WYKŁAD 1 · 12 nierównościach drogi. Aby poznać zjawisko rezonansu drgań pionowych, wystarczy...
Transcript of WYKŁAD 1 · 12 nierównościach drogi. Aby poznać zjawisko rezonansu drgań pionowych, wystarczy...
-
10
WYKŁAD 1
Rozdział 1: Wiadomości wstępne
1.1. Istota, występowanie i znaczenie drgań
Drganiem nazywamy przebieg czasowy dowolnej wielkości fizycznej, np.
przemieszczenia tłoka w cylindrze silnika spalinowego, kąta obrotu wirnika, natężenia prądu
w obwodzie elektrycznym lub indukcji magnetycznej w rdzeniu elektromagnesu, jeśli
przebieg ten charakteryzuje się tym, że wielokrotnie na przemian rośnie i maleje, oscylując
wokół pewnej wartości średniej – stałej lub zmiennej w czasie. Typowy doświadczalnie
uzyskiwany przebieg drgań przedstawia elektrokardiogram serca pokazany na Rys. 1.1.
Analiza tego przebiegu drgań, niezależnie od tego, jaką wielkość fizyczną przedstawia,
pozwala na diagnozowanie ważnych zmian w funkcjonowaniu tego organu, zarówno
fizjologicznych, jak i chorobowych.
Rys. 1.1. Elektrokardiogram człowieka jako przykład przebiegu drgań
Z powyższej definicji drgań wynika, że możemy mieć do czynienia z drganiami
mechanicznymi, elektrycznymi, magnetycznymi i wieloma innymi rodzajami drgań, które
mogą zależeć od siebie wzajemnie. Znajomość ich natury, związanych z nimi zjawisk oraz
opisu matematycznego umożliwiającego analizę, nabiera szczególnego znaczenia, zwłaszcza
w dobie szybkiego rozwoju układów mechatronicznych, których istotą są sprzężenia elektro-
magneto-mechaniczne wynikające z budowy tych systemów oraz ich sterowania. Drgania
występują powszechnie w przyrodzie, czego najbardziej spektakularnym przykładem są
trzęsienia ziemi, turbulencje w atmosferze i naturalne efekty akustyczne. Występują też w
maszynach, pojazdach i obiektach latających, powodując zmęczenie materiałów, hałas, straty
energii oraz dyskomfort pasażerów i różne dysfunkcje urządzeń, a często tragiczne katastrofy.
Drgania mogą być również użyteczne i celowo wzbudzane, np. w instrumentach muzycznych,
w urządzeniach diagnostycznych, w rozmaitych metodach drążenia i obróbki materiałów,
-
11
utwardzania i zagłębiania elementów w gruncie, wytwarzania ciepła i w wielu innych
technologiach. Jasna jest więc motywacja do poznania natury, przyczyn i opisu drgań oraz do
nabycia umiejętności ich analizowania i wpływania na ich przebieg.
Przedmiotem tego wykładu są drgania mechaniczne, a więc zmienne w czasie
przebiegi przemieszczeń lub prędkości ciał lub układów ciał (mechanizmów, maszyn,
pojazdów), traktowanych modelowo jako układy punktów materialnych i brył sztywnych na
gruncie Mechaniki ogólnej lub jako ciała odkształcalne, znane z Wytrzymałości materiałów w
ujęciu statycznym. Do analizowanych przebiegów drganiowych zaliczymy również zmienne
w czasie siły wewnętrzne, w tym naprężenia w rozpatrywanych ciałach odkształcalnych,
powodujące między innymi groźne w skutkach zmęczenie materiałów.
Kluczowe znaczenie w badaniu drgań ma określenie relacji pomiędzy przyczyną
(procesem wzbudzenia lub wymuszenia) i skutkiem w postaci zmiennego w czasie przebiegu
drgań. W niniejszym kursie Drgań mechanicznych relacje te będą opisane równaniami
różniczkowymi - zwyczajnymi dla układów ciał modelowo nieodkształcalnych oraz
równaniami cząstkowymi w przypadku rozpatrywanych ciał odkształcalnych, takich jak pręty,
struny, wały i belki. Rozwiązując te równania i nadając interpretacje fizyczną otrzymanym
wynikom, poznamy najważniejsze właściwości drgań, np. zjawisko rezonansu, aby móc
skutecznie na nie wpływać.
1.2. Modele układów drgających
Układem drgającym nazywamy pojedyńcze ciało lub układ ciał (mechanizm, maszynę
pojazd lub inne urządzenie, którego elementy wykonują ruchy powyżej określone jako
drgania. Układem drgającym jest więc zarówno pojazd poruszający się po nierównościach
drogi, jak i wieżowiec w czasie trzęsienia ziemi oraz most wiszący poddany działaniu silnego
wiatru bocznego (jak Tacoma Bridge w USA podczas spektakularnej katastrofy w roku 1942).
Te i podobne rzeczywiste układy drgające – choć niezwykle interesujące i ważne - nie będą
rozważane w ramach tego wykładu. Przedmiotem Drgań mechanicznych, podobnie jak
Mechaniki ogólnej i Wytrzymałości materiałów, są modele ciał i układów rzeczywistych –
możliwie proste, ale na tyle złożone, aby oddać najistotniejsze interesujące nas właściwości
układu rzeczywistego. Modelowanie układu drgającego polega na pomijaniu cech
drugorzędnych i mniej istotnych z punktu widzenia przyjętego celu. Może to dotyczyć w
szczególności liczby stopni swobody modelowanego układu, jeśli jego natura tej liczby z góry
nie narzuca. Jako przykład można podać modelowanie pojazdu poruszającego się po
-
12
nierównościach drogi. Aby poznać zjawisko rezonansu drgań pionowych, wystarczy
najprostszy model o jednym stopniu swobody. Badanie kątowych drgań podłużnych wymaga
modelu o dwóch stopniach swobody, a drgań kątowych podłużnych i poprzecznych – modelu
o co najmniej trzech stopniach swobody. Różne modelowanie pojazdu traktowanego jako
układ ciał sztywnych w ruchu po nierównościach drogi pokazano na Rys. 1.2.
Rys. 1.2 Modelowanie drgań pionowych pojazdu jako układu ciał sztywnych w ruchu po
nierównościach drogi; stopnie swobody: (a) s=1, (b) s=2, (c) s=4
W tym miejscu – jeszcze bez wyjaśnienia szczegółów – należy zaznaczyć, że
pojedyncze ciało odkształcalne, w którym masa rozłożona jest w sposób ciągły, takie jak
podatna giętnie belka czy odkształcalny skrętnie wał, należy traktować jako układ o
nieskończenie wielu stopniach swobody. Taki układ nazywamy ciągłym, w odróżnieniu od
znanych z Mechaniki ogólnej układów ciał sztywnych o skończonej liczbie stopni swobody,
zwanych dalej układami dyskretnymi. Z punktu widzenia liczby stopni swobody, modele
układów drgających można podzielić na trzy poniższe kategorie:
a) układy dyskretne (złożone modelowo z punktów materialnych i brył sztywnych),
b) układy ciągłe (ciała odkształcalne lub ich układy),
c) układy hybrydowe (zawierające zarówno ciała sztywne jak i odkształcalne).
Modelowanie rzeczywistych układów drgających może również obejmować rozmaite
uproszczenia dotyczące kształtu elementów, właściwości materiałowych, właściwości oporów
ruchu lub ich zupełnego pominięcia, nieliniowości charakteru wzbudzenia i innych cech. Z
modelowaniem wiąże się klasyfikacja drgań, o czym będzie mowa w dalszej części wykładu.
1.3. Modele oddziaływań wzbudzających drgania
Podobnie jak rzeczywiste układy drgające, modelowaniu podlegają oddziaływania
mechaniczne zależne od czasu (siły skupione lub rozłożone, momenty napędowe),
-
13
powodujące te drgania. Od modelu oddziaływania zależy metoda jaką należy zastosować w
badaniu drgań. Realne procesy )(tF wymuszające drgania mają następujące modele:
a) proces harmoniczny
)sin()( tFtF a , (1.1)
gdzie aF oznacza amplitudę, - częstość kołową [rad/s], a - fazę początkową procesu.
Przypomnijmy, że związek częstości kołowej z okresem procesu harmonicznego T jest
następujący: T
2 ,
b) proces poliharmoniczny
n
i
iiai tFtF
1
)sin()( , (1.2)
gdzie iiaiF , , są ciągami liczb o interpretacji jak w punkcie a),
c) proces okresowy nieharmoniczny, o okresie T
1
)2
sin()(
n
nan tT
nFtF
, (1.3)
gdzie anF i n są ciągami liczb wyznaczanymi na podstawie rzeczywistej funkcji
)()( TtFtF , na podstawie teorii szeregów Fouriera [4,6],
d) proces skokowy
)( )( 0 tHFtF , (1.4)
gdzie 0F jest skokiem siły F od poziomu 0 w chwili 0t ( )(tH jest funkcją Heaviside’a
[4]),
e) proces impulsowy
(t) )( 0 JtF , (1.5)
gdzie 0J jest impulsem siły wymuszającej w chwili 0t ( )(t jest dystrybucją Diraca [4]).
Należy zaznaczyć, że przyczyną wywołującą drgania może być nie tylko siła lub
moment bezpośrednio działające na element układu, ale też zadany ruch pewnego elementu
lub punktu układu. Tego typu wymuszenie nazywamy kinematycznym. Tak więc,
wymuszenia podzielimy na siłowe (w tym poprzez momenty) oraz kinematyczne (poprzez
zadane ruchy). Powyższa klasyfikacja, z wyjątkiem pozycji d) i e) dotyczy też procesów
wymuszenia kinematycznego.
-
14
1.4. Klasyfikacja drgań
Istnieje wiele klasyfikacji drgań, wyróżniających kategorie według rozmaitych
kryteriów. Poniżej podajemy najważniejsze z tych kryteriów i odpowiadające im typy drgań.
Kryterium źródeł energii:
a) drgania swobodne – jedynym źródłem energii są warunki początkowe, poprzez które
jednorazowo wprowadzana jest do układu energia potencjalna i kinetyczna; energia ta
zostaje zachowana lub jest rozpraszana w wyniku pracy sił oporów ruchu,
b) drgania wymuszone – energia jest dostarczana do układu w wyniku pracy sił
wymuszających, a jednocześnie jest rozpraszana na skutek oporów ruchu, przy czym
może dojść do zrównoważonego bilansu energii, co prowadzi do drgań wymuszonych
ustalonych,
c) drgania wymuszone parametrycznie – źródłem energii są wywołane przez czynniki
zewnętrzne lub wewnętrzne okresowe zmiany parametrów układu, które mogą prowadzić
do narastania drgań, ale też do drgań ustalonych przy zrównoważonym bilansie
energetycznym; przykładem mogą być drgania wahadła o okresowo zmiennym momencie
bezwładności względem osi obrotu,
d) drgania samowzbudne – energia dostarczana jest do układu z istniejącego stałego źródła w
wyniku pracy sił niezależnych jawnie od czasu (innych niż wymuszenia siłowe,
kinematyczne i parametryczne), ale zależnych od bieżącego położenia i prędkości
elementów układu; przykładem są drgania strun instrumentów smyczkowych, którym
energii dostarcza praca siły tarcia smyczka po strunie, a stałym źródłem energii jest muzyk
poruszający smyczkiem.
Kryterium stopni swobody (jak w modelowaniu układów):
a) drgania układów dyskretnych,
b) drgania układów ciągłych,
c) drgania układów dyskretno-ciągłych (hybrydowych).
Kryterium liniowości równań:
a) drgania liniowe,
b) drgania nieliniowe.
Kryterium prawdopodobieństwa dla zmiennych, wymuszeń i parametrów:
a) drgania deterministyczne – wszystkie wielkości układu i wzbudzenia są zdeterminowane,
b) drgania losowe – przynajmniej jedna wielkość jest zmienną lub procesem losowym.
-
15
1.5. Składanie drgań harmonicznych
Rozpatrzmy najpierw problem sumowania algebraicznego drgań harmonicznych.
Interesuje nas, jakie właściwości ma drganie będące sumą n składników harmonicznych
)sin()sin(...)sin()(
1
111 ii
n
i
innn tatatatx
. (1.6)
Rozpatrzymy następujące przypadki szczególne.
a) Składniki harmoniczne mają tę samą częstość
Przyjmiemy n...21 . Wówczas:
)sin()sincoscossin()sin()(
1 1
tAtatatatx ii
n
i
n
i
iiii , (1.7)
gdzie
2
1
2
1
sincos
n
i
ii
n
i
ii aaA oraz
n
i
ii
n
i
ii
a
a
1
1
cos
sin
tg
. (1.8)
Wniosek
Suma dowolnej liczby drgań harmonicznych o jednakowej częstości jest drganiem
harmonicznym o tej samej częstości oraz o amplitudzie i fazie początkowej zależnej od
amplitud i faz początkowych składników, w sposób pokazany powyżej.
b) Składniki harmoniczne mają różne częstości, ale częstości te są współmierne
Współmierność częstości drgań oznacza, że istnieją takie liczby naturalne nkkk ,..., 21 , że:
pkkk n
n
...2
2
1
1 ,
gdzie p jest pewną liczbą rzeczywistą. Korzystając z tej właściwości możemy stwierdzić, że
okresy drgań składowych spełniają warunek:
2
... 2
...22
111111
2211
Tp
TkTkTkpTkTkTk nn
. (1.9)
Oznacza to, że istnieje wspólny okres dla wszystkich drgań składowych, który jest też
okresem ich sumy. Jest on najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów drgań składowych.
Wniosek
Jeśli w ciągu częstości drgań składowych n ,..., 21 istnieje choćby jedna para częstości
niewspółmiernych, to drganie sumaryczne )(tx jest nieokresowe.
-
16
c) Przypadek dwóch składników harmonicznych o zbliżonych częstościach
Precyzując ten przypadek, założymy, że:
tatatx )(sinsin)( 21 , gdzie const. , (1.10)
Uwaga
Przyjęta zerowość fazy początkowej pierwszego składnika upraszcza obliczenia, ale nie
zmienia ogólności rozważań, ponieważ zachowane jest przesunięcie w fazie obu składników.
Przekształcając wzór (1.10), otrzymujemy:
,)(sin)(cos)sin(sin)cos()sin(cos)cos(sinsin)(
221
221
tttAttattaa
ttattatatx
(1.11)
gdzie:
)cos(
)sin()( tg,)sin()cos()(
21
222
221
taa
tattataatA . (1.12)
Funkcje (t) i )( tA są wolnozmiennymi okresowymi funkcjami czasu, przedstawiającymi
zmienną amplitudę i fazę początkową drgań )(tx . Okres obu tych funkcji wynosi /2T .
Wniosek
Suma drgań harmonicznych o zbliżonych częstościach jest drganiem zbliżonym do
harmonicznego, charakteryzującym się wolnozmienną amplitudą i fazą początkową.
Zjawisko „falowania” amplitudy drgań znane jest pod nazwą dudnienia (Rys. 1.3). Można je
często zaobserwować jako efekt akustyczny nakładania się dźwięku emitowanego przez dwa
źródła, np. silniki samolotu o nieidealnie zsynchronizowanej prędkości obrotowej.
Rys. 1.3. Przebieg amplitudy drgań w przypadku dudnienia
Warto zauważyć, że drganie )(tx jako suma drgań harmonicznych o zbliżonych
częstościach, może być drganiem okresowym, jeśli częstości i są współmierne lub
nieokresowym, jeśli warunek ten nie jest spełniony.
Przykład 1.1.
-
17
Wyznaczyć zmienną w czasie amplitudę drgań będących sumą drgań harmonicznych o
jednakowej amplitudzie a i zerowej fazie początkowej.
Zauważmy najpierw, że postać sumowanych drgań może być zarówno sinusowa, jak i
kosinusowa, to jest tatatx )sin(sin)( lub tatatx )cos(cos)( .
Przyjmując postać sinusową i korzystając z wzoru (1.12), otrzymujemy:
2
cos22
cos4))cos(1(2)sin()cos()( 222 t
at
atatataatA
. (a)
Dla postaci kosinusowej mamy najpierw
tattaatttattatatx sinsincoscossin sincos coscos)( (b)
oraz, jak dla postaci sinusowej:
2
cos2)sin()cos()(22 t
atataatA
. (c)
Wykres funkcji )(tA wraz z przebiegiem drgań )(tx pokazano na Rys. 1.4.
Rys. 1.4. Suma drgań harmonicznych o zbliżonej częstości i jednakowej amplitudzie
Koniec Przykładu 1.1.
Oprócz algebraicznego sumowania drgań (zachodzących w tym samym kierunku)
rozważa się również ich sumowanie geometryczne w przypadku, kiedy zachodzą w
kierunkach prostopadłych. Ograniczając się do płaszczyzny, np. Oxy formułujemy problem
następująco. Współrzędne prostokątne punktu P na płaszczyźnie Oxy są drganiami
harmonicznymi:
).sin()(
),sin()(
22
11
tbty
tatx (1.13)
Jaki jest tor punktu P na płaszczyźnie Oxy ? Problem ten był rozważany w kinematyce
punktu materialnego w kursie Mechaniki ogólnej [MO] i nawiązuje bezpośrednio do
-
18
wykorzystania oscyloskopu w rejestracji i badaniu sygnałów elektrycznych. Składanie drgań
w kierunkach prostopadłych jest też podstawą badania drgań na płaszczyźnie fazowej, o czym
będzie mowa w dalszych wykładach.
Jakie zatem właściwości może mieć trajektoria punktu o współrzędnych prostokątnych (1.13),
obserwowana np. na ekranie oscyloskopu? Przede wszystkim należy zauważyć, że jeśli
częstości 21 i są współmierne, to istnieje wspólny okres obu funkcji i punkt P po tym
okresie wraca do swego położenia początkowego (i każdego innego zajmowanego na
trajektorii). Oznacza to, że trajektoria jest krzywą zamkniętą, po której punkt P krąży, lub
otwartą, po której punkt P porusza się okresowo tam i z powrotem.
Przykład 1.2
Na cewki odchylające oscyloskopu podawane są sygnały ttx cos)( oraz tty 2cos2)( . Jaką
krzywą jest trajektoria obserwowana na ekranie?
Problem polega na znalezieniu krzywej )(xyy poprzez eliminację czasu z równań
sygnałów. Dokonamy tego, wykorzystując wzory trygonometryczne:
241cos22sincos22cos2 2222 xtttty . (a) Trajektoria obserwowana na ekranie oscyloskopu jest więc parabolą pokazaną na Rys. 1.5.
Rys. 1.5. Parabola jako trajektoria obserwowana na ekranie oscyloskopu w Przykładzie 1.2
Punkt ),( yxP porusza się po trajektorii tam i z powrotem, zaczynając z położenia
początkowego (1,2) i powracając do tego położenia po każdym okresie 2T [s].
Koniec Przykładu 1.2.
Dalsze rozważania dotyczące sumowania drgań zachodzących w kierunkach
prostopadłych ograniczymy do przypadku drgań harmonicznych o jednakowej częstości, ale
przesuniętych względem siebie w fazie. Można je zapisać następująco:
-
19
).sin()(
),sin()(
tbty
tatx (1.14)
Eliminując czas, korzystamy z zależności trygonometrycznych:
sin 1cossincoscossin2
x
a
bbx
a
btbtby . (1.15)
Podnosząc wyrażenie (1.15) stronami do kwadratu, otrzymujemy:
0sincos2 222
a
x
a
x
b
y
b
y. (1.16)
Równanie (1.16) przedstawia krzywą II stopnia. Jej wyróżnik
1cos4 222
ba
(1.17)
jest mniejszy lub równy zeru, co oznacza, że krzywa ta jest typu eliptycznego i w zależności
od kąta przesunięcia fazowego , może być:
a) elipsą o środku w początku układu współrzędnych i osiach obróconych względem osi
układu, jeśli 0cos ; dla 0cos elipsa ta ma osie równoległe do osi układu xyO ,
b) prostą xa
by , gdy 1cos lub prostą x
a
by gdy 1cos .
1.6. Analiza harmoniczna drgań okresowych
Analiza harmoniczna drgań okresowych (ogólniej wszystkich procesów okresowych,
w tym tych, które mogą wzbudzać drgania) polega na przedstawieniu okresowej funkcji czasu
w postaci sumy procesów harmonicznych o różnych częstościach, amplitudach i fazach
początkowych. Analizie harmonicznej służy aparat matematyczny szeregów Fouriera [3,9].
Wykorzystamy w tym wykładzie niektóre rezultaty teorii szeregów Fouriera, w sposób
niewymagający głębszych przypomnień lub studiów. Proces (niekoniecznie ciągły) )(tx o
zadanym okresie T można przedstawić w postaci nieskończonego szeregu składowych
procesów harmonicznych (zwanych harmonikami), w następujący sposób:
1
0 sin cos)(
n
nn tnbtnaatx , (1.18)
gdzie T
2 jest częstością podstawową procesu i częstością jego pierwszej harmoniki, 0a
jest wartością średnią procesu, rozumianą jako średnia całkowa:
-
20
T
dttxT
a
0
0 )(1
(1.19)
a liczby nn ba i wyznacza się z wzorów znanych jako wzory Eulera do szeregów Fouriera
[3,9]:
T
n
T
n dttntxT
bdttntxT
a
00
sin)(2
, cos)(2
. (1.20)
Poszczególne harmoniki w szeregu Fouriera (1.18) można przedstawić w formie zawierającej
amplitudę i fazę początkową:
nnnn tnAtnbtna sin sin cos , (1.21)
gdzie
n
nnnnn
b
abaA tg,22 . (1.22)
Szereg Fouriera przyjmuje postać:
1
0 )( sin)(
n
nn tnAatx . (1.23)
Wynikiem analizy harmonicznej procesu lub drgań okresowych jest widmo amplitudowo-
częstościowe oraz widmo fazowo-częstościowe. Widma (inaczej spektra) są to diagramy
przedstawiające amplitudy kolejnych harmonik i ich fazy początkowe odpowiadające
częstościom tych harmonik. Poszczególne harmoniki charakteryzują się tym, ze ich częstości
są wielokrotnościami częstości podstawowej T/2 . Powoduje to, że prążki widma
procesu okresowego leżą w równych odległościach od siebie. Niektóre z nich mogą mieć
wysokość zerową. Ogólny charakter widm drgań okresowych pokazano na Rys. 1.6.
Rys. 1.6. Widmo amplitudowo-częstościowe (a) i fazowo-częstościowe (b) drgań okresowych
Przykład 1.3
Znaleźć widmo amplitudowo-częstościowe procesu okresowego, przedziałami stałego,
pokazanego na Rys. 1.7.
-
21
Rys. 1.7. Proces okresowy z Przykładu 1.3
Z Rys. 1.7 wynika, że okres funkcji )(tx wynosi 2T . W przedziale czasu
odpowiadającym okresowi, funkcję tę opisujemy następująco:
2 2
3 dla
2
30 dla
)(
t
ttx . (a)
Częstość podstawowa tej funkcji wynosi 12/2/2 T . Funkcję )(tx przedstawimy
w postaci szeregu Fouriera (1.18). Wartość średnią 0a i współczynniki nn ba , obliczamy na
podstawie wzorów Eulera:
2
1 )(
2
1)(
2
12/3
0
2
2/3
2
0
0
dtdtdttxa , (b)
2
3sin
2sin
1sin
1 cos )( cos
2
2 22/3
2/30
2/3
0
2
2/3
nn
ntn
ntn
ntdtntdtan
, (c)
2
3cos1
2cos
1cos
1sin )(sin
2
2 22/3
2/30
2/3
0
2
2/3
nn
ntn
ntn
ntdtntdtbn . (d)
Pierwszych 8 współczynników nn ba , oraz amplitud 22nnn baA pokazano w Tabeli 1.1.
Tab. 1.1.
Numer harmoniki 1 2 3 4 5 6 7 8
na -2 0 2/3 0 -2/5 0 2/7 0
nb 2 2 2/3 0 2/5 2/3 2/7 0
nA 22 2 22 /3 0 22 /5 2/3 22 /7 0
-
22
Widmo amplitudowo-częstościowe funkcji )(tx pokazano na Rys. 1.8.
Rys. 1.8. Widmo amplitudowo-częstościowe funkcji )(tx z Przykładu 1.3
1.7. Budowanie równań ruchu układów drgających
Przedmiotem naszego zainteresowania w tym kursie drgań mechanicznych będą
dynamiczne równania ruchu modelowych układów złożonych z punktów materialnych i brył
sztywnych, charakteryzujących się skończona liczą stopni swobody i jak już wiemy
nazywanych układami dyskretnymi, a także równania wybranych modelowych ciał
odkształcalnych w postaci prętów, strun wałów i belek, traktowanych jako układy ciągłe.
Statyczne równania przemieszczeń wyżej wymienionych układów ciągłych (z wyjątkiem
strun) znane są Czytelnikowi z kursu Wytrzymałości materiałów [9]. Budując ich dynamiczne
równania (równania drgań), wykorzystamy podstawowe założenia i hipotezy przyjęte w
Wytrzymałości materiałów dla każdego z tych elementów. Budowa równań ruchu poprzedza
analizę ich drgań i będzie zaprezentowana w odpowiedniej części wykładu. W tym miejscu
zatem skoncentrujemy się na budowie równań ruchu układów dyskretnych. Ze względu na
podstawowy zakres tego wykładu i jego rolę na poziomie studiów I stopnia, rekomendowane
następujące metody układania równań ruchu układów dyskretnych:
a) Metoda bezpośredniego zastosowania II prawa Newtona
Istnieje wiele układów drgających, nawet o wielu stopniach swobody, które można
podzielić na elementy w postaci punktów materialnych, do których można wprost zastosować
II prawo Newtona, uwzględniając wszystkie siły działające na te elementy, w tym siły
zewnętrzne czynne, reakcje i opory ruchu oraz siły wewnętrzne wszelkiej możliwej natury, w
tym w podatnych elementach sprężystych i tłumiących, którymi połączone są punkty
materialne. Równanie ruchu i -tego elementu ma postać [1]:
),,...,,,...,,( 2121 txxxxxFxm niii , ),...,1( ni , (1.24)
gdzie im oraz ix oznaczają masę i współrzędną i -tego punktu materialnego, a iF jest sumą
wszystkich sił odpowiadających współrzędnej ix , zależną ogólnie od wszystkich
-
23
współrzędnych i ich pochodnych oraz od czasu. Wyrażenie (1.24) jest układem n
sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych, ogólnie nieliniowych i niejednorodnych.
Omawiając bezpośrednie wykorzystanie prawa Newtona do budowy równań ruchu
układu drgającego, należy zauważyć, że elementy sprężyste, traktowane jako bezmasowe,
mogą być nie tylko sprężynami liniowymi i obrotowymi, które są już znane Czytelnikowi z
kursu mechaniki ogólnej [1], ale też mogą mieć charakter belek, ram, prętów, wałów, płyt lub
innych elementów, których sprężyste przemieszczenia pod działaniem sił statycznych
potrafimy wyznaczać na podstawie wiedzy z kursu Wytrzymałości materiałów. Współczynnik
sztywności każdego takiego elementu można obliczyć jako stosunek siły do wywołanego
przez tę siłę statycznego przemieszczenia.
Bezmasowe elementy sprężyste o sztywnościach 21 i kk można łączyć równolegle lub
szeregowo, otrzymując element zastępczy o sztywności zk , jak pokazano na Rys. 1.9.
Rys. 1.9. Łączenie bezmasowych elementów sprężystych: a) równoległe, b) szeregowe
W połączeniu równoległym obydwa elementy mają jednakowe wydłużenie 21 , takie
jak element zastępczy, a siła F w elemencie zastępczym jest równa sumie sił w elementach
składowych, 21, FF . Wynika stąd sztywność elementu zastępczego w połączeniu
równoległym:
21212121 )( kkkkkkkFFF z . (1.25)
Dwa elementy sprężyste połączone szeregowo przenoszą jednakową siłę 21 FFF , a suma
ich wydłużeń stanowi wydłużenie elementu zastępczego 21 . Stąd sztywność
zastępcza:
2121
21
111
kkkk
F
k
F
k
F
zz
. (1.26)
Zauważmy, reguły łączenia sprężyn w układach mechanicznych są takie same, jak reguły
łączenia kondensatorów w obwodach elektrycznych.
Przykład 1.4.
-
24
Wyznaczyć sztywność zastępczą elementów sprężystych w postaci sprężyny o sztywności sk
oraz belki wspornikowej o długości l i sztywności giętnej EI [9], w połączeniach
pokazanych na Rys. 1.10.
Rys. 1.10. Połączenia sprężyny i belki wspornikowej: a) równoległe, b) szeregowe
Najpierw należy określić sztywność elementu belkowego w odniesieniu do ugięcia jej
swobodnego końca f pod działaniem pewnej próbnej siły F . Sztywność tę wyznaczymy na
podstawie wiedzy z wytrzymałości materiałów, dotyczącej zależności ugięcia belki
wspornikowej od jej obciążenia siłą na końcu:
3
3 3
3 l
EI
f
Fk
EI
Flf b . (a)
Sztywności zastępcze połączeń równoległego i szeregowego (Rys. 1.10 a,b) wynoszą więc:
równoległe:
3
3
3 3
3
:szeregowe ,3
l
EIk
l
EIk
kk
kkk
l
EIkkkk
s
s
bs
bs
ZsbsZ
, (b)
gdzie E oznacza moduł Younga, a I jest geometrycznym momentem bezwładności przekroju
względem osi obojętnej naprężeń.
Koniec Przykładu 1.4.
Uwaga
W przypadku drgań w ruchu obrotowym względem stałej osi, odpowiednie równania ruchu,
wynikające z prawa zmienności krętu względem osi obrotu, zastosowanego do każdego z ciał
z osobna, mają postać analogiczną do (1.24):
),,...,,,,...,,( 2121 tMJ ssiii , ),...,1( si , (1.27)
gdzie iJ oraz i oznaczają masowy moment bezwładności względem osi obrotu oraz kąt
obrotu i -tej bryły, a iM jest sumą momentów działających na tę bryłę, względem jej osi
obrotu.
-
25
b) Metoda równań Lagrange’a
Równania Lagrange’a (II rodzaju) są znane z kursu mechaniki ogólnej [1], z którym
skoordynowany jest ten wykład. Nie będziemy zatem ich wyprowadzać ani szczegółowo
komentować. Ograniczymy się do podania ich rekomendowanej postaci opartej na energii
kinetycznej, energii potencjalnej oraz dysypacyjnej funkcji Rayleigha, ograniczając się do
przypomnienia sposobu korzystania z nich. Równania Lagrange’a mają następującą postać:
),...,1( siQq
D
q
E
q
E
q
E
dt
di
ii
p
i
k
i
k
, (1.28)
gdzie DEE pk ,, oznaczają odpowiednio energię kinetyczną, energię potencjalną i
dysypacyjną funkcję Rayleigha [1], s jest liczbą stopni swobody układu, a iq oraz iQ
oznaczają współrzędne uogólnione oraz odpowiadające im siły uogólnione wymuszające
drgania (niepotencjalne i niedysypacyjne). Równania Lagrange’a (1.28) po wykonaniu
wszystkich niezbędnych operacji matematycznych stają się układem równań różniczkowych
zwyczajnych, ogólnie nieliniowych i niejednorodnych. W dalszych wykładach równania te
będziemy rozwiązywać, stosując standardowe metody analityczne i interpretując fizycznie
otrzymane wyniki.
Budowa równań Lagrange’a, po podjęciu decyzji o modelu fizycznym układu drgającego,
obejmuje następujące etapy.
1) Przyjęcie współrzędnych uogólnionych w liczbie równej liczbie stopni swobody układu.
2) Zbudowanie energii kinetycznej układu w jego możliwym ruchu i wyrażenie jej przez
współrzędne i prędkości uogólnione.
3) Zbudowanie wyrażenia na energię potencjalną układu w jego chwilowym położeniu w
czasie ruchu i wyrażenie jej przez współrzędne uogólnione.
4) Zbudowanie wyrażenia na dysypacyjną funkcję Rayleigha i wyrażenie jej przez
współrzędne i prędkości uogólnione.
5) Wyznaczenie wszystkich sił uogólnionych odpowiadających przyjętym współrzędnym.
6) Wykonanie różniczkowań przewidzianych w wyrażeniu (1.28) i końcowe sformułowanie
równań ruchu Lagrange’a.
W przypadku, gdy bezmasowe elementy sprężyste łączące punkty materialne układu
drgającego są elementami belkowymi lub ramowymi, wygodne jest w budowie równań ruchu
zastosowanie uogólnionej na dynamikę metody sił, stosowanej w wytrzymałości materiałów
-
26
do obliczania statycznych przemieszczeń w ramach. Nie omawiamy tej metody, odsyłając
Czytelnika do literatury uzupełniającej [2].
Pytania sprawdzające do Wykładu 1
1. Jakie jest znaczenie drgań w budowie maszyn?
2. Jakie właściwości ma drganie będące sumą: tttx 101sin100sin)( ?
3. Co to jest widmo drgań okresowych i jak się je otrzymuje? 4. Klasyfikacja drgań ze względu na źródło energii. 5. Jaki opis i właściwości mają drgania harmoniczne? 6. Co to jest proces skokowy? 7. Na czym polega analiza harmoniczna drgań? 8. Jaki jest warunek okresowości sumy algebraicznej drgań harmonicznych? 9. Jakie są reguły łączenia bezmasowych elementów sprężystych w układach drgających? 10. Jaką postać mają równania Lagrange’a II rodzaju i do czego służą?