[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] on-luyen_hinh_hoc_vao_10

MOÄT TRAÊM BAØI TAÄP HÌNH HOÏC LÔÙP 9.

Phaàn 1: 50 baøi taäp cô baûn.

1

2

Lôøi noùi ñaàu:Trong quaù trình oân thi toát nghieäp cho hoïc sinh lôùp 9,chuùng ta ñeàu nhaän thaáy hoïc sinh raát ngaïi chöùng minh hình hoïc. Cuõng do hoïc sinh coøn yeáu kieán thöùc boä moân.Hôn nöõa giaùo vieân thöôøng raát bí baøi taäp nhaèm reøn luyeän caùc kyõ naêng, ñaëc bieät laø luyeän thi toát nghieäp.Ñoàng thôøi do hoïc sinh chuùng ta laø hoïc sinh coù hoaøn caûnh gia ñình coøn ngheøo vì vaäy hoïc sinh yeáu kyõ naêng vaän duïng neáu chuùng ta chæ chöõa moät vaøi baøi taäp maø thoâi.Do ñeå hoïc sinh coù theå chuû ñoäng trong quaù trình laøm baøi,caùc baøi taäp trong taøi lieäu naøy chæ coù tính caát gôïi yù phöông aùn chöùng minh chöù chöa phaûi laø baøi giaûi hoaøn haûo nhaát.Beân caïnh ñoù ñeå coù baøi taäp rieâng cuûa töøng giaùo vieân,ngöôøi giaùo vieân caàn bieát bieán ñoåi baøi taäp trong taøi lieäu naøy sao cho phuø hôïp vôùi ñoái töôïng hoïc sinh.Taøi lieäu ñöôïc söu taàm trong caùc saùch vaø ñaõ ñöôïc thoáng keâ trong phaàn phuï luïc.Caám vieäc in sao,sao cheùp döôùi baát kyø hình thöùc naøo maø khoâng coù söï nhaát trí cuûa taùc giaû.Duø coù nhieàu coá gaéng song taøi lieäu chaéc chaén koâng theå khoâng coù sai soat.Mong ñöôïc söï goùp yù cuûa baïn ñoïc.Thö veà:

Baøi 1: Cho ∆ABC coù caùc ñöôøng cao BD vaø CE.Ñöôøng thaúng DE

caét ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc taïi hai ñieåm M vaø N.

1. Chöùng minh:BEDC noäi tieáp.

2. Chöùng minh: goùc DEA=ACB.

3. Chöùng minh: DE // vôùi tieáp tuyeán tai A cuûa ñöôøng troøn ngoaïi

tieáp tam giaùc.

4. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.Chöùng

minh: OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.

5. Chöùng toû: AM2=AE.AB.

Giôïi yù:

y

A

x

N

E D

M O

B C

Ta phaûi c/m xy//DE.

Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB= 21

sñ cung

AB.

Maø sñ ACB= 21

sñ AB. ⇒goùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt)

⇒xAB=AED hay xy//DE.

4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.

3

1.C/m BEDC noäi tieáp:

C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia

ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi

hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät

goùc vuoâng.

2.C/m goùc DEA=ACB.

Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v.

Maø DEB+AED=2v

⇒AED=ACB

Hình 1

Do xy//DE hay xy//MN maø OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA laø ñöôøng trung tröïc

cuûa MN.(Ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi moät daây)⇒∆AMN caân ôû A

⇒AO laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.

5.C/m :AM2=AE.AB.

Do ∆AMN caân ôû A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒goùc

MBA=AMN(Goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB

chung

⇒∆MAE ∽∆ BAM⇒ MA

AE

AB

MA = ⇒ MA2=AE.AB.

4

Baøi 2:

Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng

troøn taâm O’, ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø

M veõ daây cung DE vuoâng goùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’

taïi I.

1.Töù giaùc ADBE laø hình gì?

2.C/m DMBI noäi tieáp.

3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD.

4.C/m MC.DB=MI.DC

5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)

Gôïi yù:

D

I

A M O B O’ C

E

3.C/m B;I;E thaúng haøng.

Do AEBD laø hình thoi ⇒BE//AD maø AD⊥DC (goùc noäi tieáp chaén nöûa

ñöôøng troøn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do goùc BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua 1

ñieåm B coù hai ñöôøng thaúng BI vaø BE cuøng vuoâng goùc vôùi DC

⊥B;I;E thaúng haøng.

5

1.Do MA=MB vaø AB⊥DE taïi

M neân ta coù DM=ME.

⇒ADBE laø hình bình haønh.

Maø BD=BE(AB laø ñöôøng

trung tröïc cuûa DE) vaäy

ADBE ;laø hình thoi.

2.C/m DMBI noäi tieáp.

BC laø ñöôøng kính,I∈(O’)

neân Goùc BID=1v.Maø goùc

DMB=1v(gt)Hình 2

•C/m MI=MD: Do M laø trung ñieåm DE; ∆EID vuoâng ôû I⇒MI laø ñöôøng

trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI ⇒MI=MD.

4. C/m MC.DB=MI.DC.

haõy chöùng minh ∆MCI∽ ∆DCB (goùc C chung;BDI=IMB cuøng chaén

cung MI do DMBI noäi tieáp)

5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)

-Ta coù ∆O’IC Caân ⇒goùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp ⇒MIB=MDB

(cuøng chaén cung MB) ∆BDE caân ôû B ⇒goùc MDB=MEB .Do MECI noäi

tieáp ⇒goùc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI)

Töø ñoù suy ra goùc O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v

Vaäy MI ⊥O’I taïi I naèm treân ñöôøng troøn (O’) ⇒MI laø tieáp tuyeán cuûa

(O’).

Baøi 3:

Cho ∆ABC coù goùc A=1v.Treân AC laáy ñieåm M sao cho

AM<MC.Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính CM;ñöôøng thaúng BM caét

(O) taïi D;AD keùo daøi caét (O) taïi S.

1. C/m BADC noäi tieáp.

2. BC caét (O) ôû E.Cmr:MR laø phaân giaùc cuûa goùc AED.

3. C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.

Gôïi yù:

D S

6

1.C/m ABCD noäi tieáp:

C/m A vaø D cuøng laøm

vôùi hai ñaàu ñoaïn

thaúng BC moät goùc

vuoâng..

2.C/m ME laø phaân

giaùc cuûa goùc AED.

•Haõy c/m AMEB noäi

tieáp.

•Goùc ABM=AEM( cuøng

chaén cung AM)

A M

O

B E C

⇒AEM=MED.

4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.

-Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB)

-Goùc ADB=DMS+DSM (goùc ngoaøi tam giaùc MDS)

-Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD)

DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS)

⇒Goùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.

Vaäy goùc ADB=SCA⇒ñpcm.

7

Hình 3

Baøi 4:

Cho ∆ABC coù goùc A=1v.Treân caïnh AC laáy ñieåm M sao cho

AM>MC.Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính MC;ñöôøng troøn naøy

caét BC taïi E.Ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D vaø ñöôøng thaúng AD

caét (O) taïi S.

1. C/m ADCB noäi tieáp.

2. C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.

3. C/m: Goùc ASM=ACD.

4. Chöùng toû ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.

5. C/m ba ñöôøng thaúng BA;EM;CD ñoàng quy.

Gôïi yù:

A

S D

M

B E C

⇒ABD=ACD (Cuøng chaén cung AD)

•Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD)

•Do MC laø ñöôøng kính;E∈(O)⇒Goùc MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM noäi

tieáp⇒Goùc MEA=ABD. ⇒Goùc MEA=MED⇒ñpcm

3.C/m goùc ASM=ACD.

Ta coù A SM=SMD+SDM(Goùc ngoaøi tam giaùc SMD)

8

1.C/m ADCB noäi tieáp:

Haõy chöùng minh:

Goùc MDC=BDC=1v

Töø ñoù suy ra A vad D

cuøng laøm vôùi hai

ñaàu ñoaïn thaúng BC

moät goùc vuoâng…

2.C/m ME laø phaân

giaùc cuûa goùc AED.Hình 4

Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc

SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.

Vaäy Goùc A SM=ACD.

4.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED (Chöùng minh nhö caâu 2 baøi

2)

5.Chöùng minh AB;ME;CD ñoàng quy.

Goïi giao ñieåm AB;CD laø K.Ta chöùng minh 3 ñieåm K;M;E thaúng

haøng.

•Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) vaø AC caét BD ôû M⇒M laø tröïc taâm

cuûa tam giaùc KBC⇒KM laø ñöôøng cao thöù 3 neân KM⊥BC.Maø

ME⊥BC(cmt) neân K;M;E thaúng haøng ⇒ñpcm.

9

Baøi 5:

Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn vaø AB<AC noäi tieáp trong

ñöôøng troøn taâm O.Keû ñöôøng cao AD vaø ñöôøng kính AA’.Goïi E:F

theo thöù töï laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B vaø C xuoáng

ñöôøng kính AA’.

1. C/m AEDB noäi tieáp.

2. C/m DB.A’A=AD.A’C

3. C/m:DE⊥AC.

4. Goïi M laø trung ñieåm BC.Chöùng minh MD=ME=MF.

Gôïi yù:

A

N E

O I

B D M C

F

A’

1/C/m AEDB noäi tieáp.(Söû duïng hai ñieåm D;E cuøng laøm vôùi

hai ñaàu ñoaïn AB…)

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chöùng minh ñöôïc hai tam giaùc vuoâng

DBA vaø A’CA ñoàng daïng.

3/ C/m DE⊥AC.

Do ABDE noäi tieáp neân goùc EDC=BAE(Cuøng buø vôùi goùc

BDE).Maø goùc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy ra goùc CDE=DCA’.

Suy ra DE//A’C. Maø goùc ACA’=1v neân DE⊥AC.

4/C/m MD=ME=MF.

10

Hình 5

•Goïi N laø trung ñieåm AB.Neân N laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi

tieáp töù giaùc ABDE. Do M;N laø trung ñieåm BC vaø AB ⇒MN//AC(Tính

chaát ñöôøng trung bình)

Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây…)⇒MN

laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE ⇒ME=MD.

• Goïi I laø trung ñieåm AC.⇒MI//AB(tính chaát ñöôøng trung bình)

⇒A’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C).

Do ADFC noäi tieáp ⇒Goùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) ⇒Goùc

A’BC=FDC hay DF//BA’ Maø ABA’=1v⇒MI⊥DF.Ñöôøng kính MI⊥daây cung

DF⇒MI laø ñöôøng trung tröïc cuûa DF⇒MD=MF. Vaäy MD=ME=MF.

11

Baøi 6:

Cho ∆ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm

O.Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn

löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán BC vaø AC.P laø

trung ñieåm AB;Q laø trung ñieåm FE.

1/C/m MFEC noäi tieáp.

2/C/m BM.EF=BA.EM

3/C/M ∆AMP∽∆FMQ.

4/C/m goùc PQM=90o.

Giaûi:

A M

F

P

B E C

Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM).

⇒Goùc ABM=FEM.(1)

Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp

neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).⇒Goùc AMB=FME.(2)

Töø (1)vaø(2) suy ra :∆EFM∽∆ABM ⇒ñpcm.

3/C/m ∆AMP∽∆FMQ.

Ta coù ∆EFM∽∆ABM (theo c/m treân)⇒ MF

AM

FE

AB = maØ AM=2AP;FE=2FQ

(gt) ⇒ FM

AM

FQ

AP

MF

AM

FQ

AP =⇒=2

2 vaø goùc PAM=MFQ (suy ra töø

∆EFM∽∆ABM)

12

1/C/m MFEC noäi tieáp:

(Söû duïng hai ñieåm E;F cung

laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn

thaúng CM…)

2/C/m BM.EF=BA.EM

•C/m:∆EFM∽∆ABM:

Ta coù goùc ABM=ACM (Vì

cuøng chaén cung AM)Hình 6

Vaäy: ∆AMP∽∆FMQ.

4/C/m goùc:PQM=90o.

Do goùc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM∽∆AFM ⇒goùc MQP=AFM Maø

goùc AFM=1v⇒MQP=1v(ñpcm).

13

Baøi 7:

Cho (O) ñöôøng kính BC,ñieåm A naèm treân cung BC.Treân tia AC

laáy ñieåm D sao cho AB=AD.Döïng hình vuoâng ABED;AE caét (O) taïi

ñieåm thöù hai F;Tieáp tuyeán taïi B caét ñöôøng thaúng DE taïi G.

1. C/m BGDC noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn naøy.

2. C/m ∆BFC vuoâng caân vaø F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp

∆BCD.

3. C/m GEFB noäi tieáp.

4. Chöùng toû:C;F;G thaúng haøng vaø G cuõng naèm treân ñöôøng

troøn ngoaïi tieáp ∆BCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F

A

B O C

F I

D

G E

Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung;

Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng

ABED).⇒∆BFE=∆E FD ⇒BF=FD⇒BF=FC=FD.⇒ñpcm.

3/C/m GE FB noäi tieáp:

14

1/C/m BGEC noäi tieáp:

-Söû duïng toång hai goùc

ñoái…

-I laø trung ñieåm GC.

2/•C/m∆BFC vuoâng caân:

Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén

cung BF) maø goùc FBA=45o

(tính chaát hình vuoâng)

⇒Goùc BCF=45o.

Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp

chaén nöûa ñöôøng

troøn)⇒ñpcm.Hình 7

Do ∆BFC vuoâng caân ôû F ⇒Cung BF=FC=90o. ⇒sñgoùc GBF= 21

Sñ

cung BF= 21

.90o=45o.(Goùc giöõa tieáp tuyeán BG vaø daây BF)

Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)⇒Goùc FED=GBF=45o.ta laïi

coù goùc FED+FEG=2v⇒Goùc GBF+FEG=2v ⇒GEFB noäi tieáp.

4/ C/m• C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp ⇒Goùc BFG=BEG maø

BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vuoâng caân ôû F⇒Goùc BFC=1v.⇒Goùc

BFG+CFB=2v⇒G;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân… :Do

GBC=GDC=1v⇒taâm ñöôøng troøn ngt töù giaùc BGDC laø F⇒G naèn

treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆BCD. •Deã daøng c/m ñöôïc I≡ F.

Baøi 8:

Cho ∆ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong (O).Tieáp tuyeán taïi B vaø C

cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song

vôùi AB,ñöôøng naøy caét ñöôøng troøn ôû E vaø F,caét AC ôû I(E naèm

treân cung nhoû BC).

1. C/m BDCO noäi tieáp.

2. C/m: DC2=DE.DF.

3. C/m:DOIC noäi tieáp.

4. Chöùng toû I laø trung ñieåm FE.

A

F

O I

B C

E

15

1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång

hai goùc ñoái)

2/C/m:DC2=DE.DF.

Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù

goùc D chung.

SñgoùcECD= 21

sñ cung EC(Goùc

giöõa tieáp tuyeán vaø moät daây)

Sñ goùc E FC= 21

sñ cung EC(Goùc

noäi tieáp)⇒goùc ECD=DFC.

⇒∆DCE ∽∆DFC⇒ñpcm.

D

Ta coù: sñgoùc BAC= 21

sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1)

Sñ goùc BOC=sñcung BC(Goùc ôû taâm);OB=OC;DB=DC(tính chaát hai

tieáp tuyeán caét nhau);OD chung⇒∆BOD=∆COD⇒Goùc BOD=COD

⇒2sñ goùcDOC=sñ cung BC ⇒sñgoùc DOC= 21

sñcungBC (2)

Töø (1)vaø (2)⇒Goùc DOC=BAC.

Do DF//AB⇒goùc BAC=DIC(Ñoàng vò) ⇒Goùc DOC=DIC⇒ Hai ñieåm O

vaø I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng Dc nhöõng goùc baèng

nhau…⇒ñpcm

4/Chöùng toû I laø trung ñieåm EF:

Do DOIC noäi tieáp ⇒ goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD)

Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)⇒Goùc OID=1v hay OI⊥ID

⇒OI⊥FE.Baùn kính OI vuoâng goùc vôùi daây cung EF⇒I laø trung

ñieåmEF.

16

Hình 8

Baøi 9:

Cho (O),daây cung AB.Töø ñieåm M baát kyø treân cung AB(M≠A vaø

M≠B),keû daây cung MN vuoâng goùc vôùi AB taïi H.Goïi MQ laø ñöôøng

cao cuûa tam giaùc MAN.

1. C/m 4 ñieåm A;M;H;Q cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

2. C/m:NQ.NA=NH.NM

3. C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ.

4. Haï ñoaïn thaúng MP vuoâng goùc vôùi BN;xaùc ñònh vò trí cuûa

M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát.

Giaûi:Coù 2 hình veõ,caùch c/m töông töï.Sau ñaây chæ C/m treân hình

9-a.

M

P

A I H B

Q O

N

1/ C/m:A,Q,H,M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.(Tuyø vaøo hình veõ

ñeå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau:-Cuøng laøm vôùi hai

ñaøu …moät goùc vuoâng.

-Toång hai goùc ñoái.

2/C/m: NQ.NA=NH.NM.

Xeùt hai ∆vuoâng NQM vaø ∆NAH ñoàng daïng.

17

Hình Hình

3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù hai caùch:

• Caùch 1:Goïi giao ñieåm MQ vaø AB laø I.C/m tam giaùc MIB caân

ôû M

• Caùch 2: Goùc QMN=NAH(Cuøng phuï vôùi goùc ANH)

Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)⇒ñpcm

4/ xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò

lôùn nhaát.

Ta coù 2S∆MAN=MQ.AN

2S∆MBN=MP.BN.

2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ.AN+MP.BN

Ta laïi coù: 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN)=2SAMBN=2. 2

MNAB×=AB.MN

Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Maø AB khoâng ñoåi neân tích AB.MN lôùn nhaát ⇔MN lôùn nhaát⇔MN laø

ñöôøng kính

⇔M laø ñieåm chính giöõa cung AB.

Baøi 10:

Cho (O;R) vaø (I;r) tieáp xuùc ngoaøi taïi A (R> r) .Döïng tieáp tuyeán

chung ngoaøi BC (B naèm treân ñöôøng troøn taâm O vaø C naèm treân ñö

ôøng troøn taâm (I).Tieáp tuyeán BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa hai

ñöôøng troøn ôû E.

1/ Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng ôû A.

2/ O E caét AB ôû N ; IE caét AC taïi F .Chöùng minh N;E;F;A cuøng

naèm treân moät ñöôøng troøn .

3/ Chöùng toû : BC2= 4 Rr

4/ Tính dieän tích töù giaùc BCIO theo R;r

Giaûi:

18

1/C/m ∆ABC vuoâng: Do

BE vaø AE laø hai tieáp

tuyeán caét nhau

neânAE=BE; Töông töï

AE=EC⇒AE=EB=EC=

2

1BC.⇒∆ABC vuoâng

ôû A.

2/C/m A;E;N;F cuøng

naèm treân…

-Theo tính chaát hai

tieáp tuyeán caét nhau

thì EO laø phaân giaùc

B E

C

N F

O A I

AEB⇒EO laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB hay OE⊥AB hay goùc ENA=1v

Töông töï goùc EFA=2v⇒toång hai goùc ñoái……⇒4 ñieåm…

3/C/m BC2=4Rr.

Ta coù töù giaùc FANE coù 3 goùc vuoâng(Cmt)⇒FANE laø hình

vuoâng⇒∆OEI vuoâng ôû E vaø EA⊥OI(Tính chaát tieáp tuyeán).Aùp duïng

heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng coù: AH2=OA.AI(Bình phöông

ñöôøng cao baèng tích hai hình chieáu)

Maø AH= 2

BCvaø OA=R;AI=r⇒ =

4

2BCRr⇒BC2=Rr

4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng ⇒SBCIO= BCICOB ×+

2

⇒S= 2

)( rRRr +

Baøi 11:

Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B sao cho

OA=OB. Moät ñöôøng thaúng qua A caét OB taïi M(M naèm treân ñoaïn

OB).Töø B haï ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi H,caét AO keùo daøi taïi I.

19

Hình

1.C/m OMHI noäi tieáp.

2.Tính goùc OMI.

3.Töø O veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BI taïi K.C/m OK=KH

4.Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K khi M thay ñoåi treân OB.

Giaûi:

A

O M B

H

K

I

Cuøng chaén cung OH)⇒OHK=HAB+HAO=OAB=45o.

⇒∆OKH vuoâng caân ôû K⇒OH=KH

4/Taäp hôïp caùc ñieåm K…

Do OK⊥KB⇒ OKB=1v;OB khoâng ñoåi khi M di ñoäng ⇒K naèm treân

ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.

20

1/C/m OMHI noäi tieáp:

Söû duïng toång hai goùc ñoái.

2/Tính goùc OMI

Do OB⊥AI;AH⊥AB(gt) vaø OB∩AH=M

Neân M laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABI

⇒IM laø ñöôøng cao thöù 3 ⇒IM⊥AB

⇒goùc OIM=ABO(Goùc coù caïnh töông

Maø ∆ vuoâng OAB coù

OA=OB ⇒∆OAB vuoâng caân

ôû O ⇒goùc OBA=45o⇒goùc

OMI=45o

3/C/m OK=KH

Ta coù OHK=HOB+HBO

(Goùc ngoaøi ∆OHB)

Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc Hình

Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K laø ñieåm chính giöõa cung AB.Vaäy quyõ

tích ñieåm K laø 41

ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.

21

Baøi 12:

Cho (O) ñöôøng kính AB vaø daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi

F.Treân cung BC laáy ñieåm M.Noái A vôùi M caét CD taïi E.

1. C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD.

2. C/m EFBM noäi tieáp.

3. Chöùng toû:AC2=AE.AM

4. Goïi giao ñieåm CB vôùi AM laø N;MD vôùi AB laø I.C/m NI//CD

5. Chöùng minh N laø taâm ñöôøng treøon noäi tieáp ∆CIM

Giaûi:

C

N M

A F O B

I

D

⇒AMB+EFB=2v⇒ñpcm.

3/C/m AC2=AE.AM

C/m hai ∆ACE∽∆AMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø

AMD=CMA cmt ⇒ACE=AMC)…

4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD ⇒CBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc

cung baèng nhau) hay NMI=NBI⇒M vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn

22

1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc

CMD

Do AB⊥CD ⇒AB laø phaân giaùc

cuûa tam giaùc caân COD.⇒

COA=AOD.

Caùc goùc ôû taâm AOC vaø AOD

baèng nhau neân caùc cung bò chaén

baèng nhau ⇒cung AC=AD⇒caùc

goùc noäi tieáp chaén caùc cung

naøy baèng nhau.Vaäy CMA=AMD.

thaúng NI nhöõng goùc baèng nhau⇒MNIB noäi tieáp⇒NMB+NIM=2v. maø

NMB=1v(cmt)⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Maø CD⊥AB(gt) ⇒NI//CD.

5/Chöùng toû N laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆ICM.

Ta phaûi C/m N laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆CIM.

• Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI

• Do MNIB noäi tieáp(cmt) ⇒NIM=NBM(cuøng chaén cung MN)

Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM)

Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì

NIB=1v)⇒ACNI noäi tieáp⇒CAN=CIN(cuøng chaén cung

CN)⇒CIN=NIM⇒IN laø phaân giaùc CIM

Vaäy N laø taâm ñöôøng troøn……

Baøi 13 :

Cho (O) vaø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn.Veõ caùc tieáp

tuyeán AB;AC vaø caùt tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE.

1. C/m A;B;H;O;C cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn.

2. C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.

3. Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB2=AI.AH.

4. BH caét (O) ôû K.C/m AE//CK.

B

E H

I D

O A

23

Hình

K C

1/C/m:A;B;O;C;H cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: H laø trung ñieåm

EB⇒OH⊥ED(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm cuûa daây …)⇒AHO=1v. Maø

OBA=OCA=1v (Tính chaát tieáp tuyeán) ⇒A;B;O;H;C cuøng naèm treân

ñöôøng troøn ñöôøng kính OA.

2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.

Do AB;AC laø 2 tieáp tuyeán caét nhau ⇒BAO=OAC vaø AB=AC

⇒cung AB=AC(hai daây baêøng nhau cuûa ñöôøng troøn ñkOA) maø

BHA=BOA(Cuøng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC)

maø cung AB=AC ⇒COA=BOH⇒ CHA=AHB⇒ñpcm.

3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc

noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ⇒∆ABH∽∆AIB⇒ñpcm.

4/C/m AE//CK.

Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC= 21

Sñ cungBC(goùc

noäi tieáp)

Sñ BCA= 21

sñ cung BC(goùc giöõa tt vaø 1 daây)

⇒BHA=BKC⇒CK//AB

Baøi 14:

Cho (O) ñöôøng kính AB=2R;xy laø tieáp tuyeán vôùi (O) taïi B. CD

laø 1 ñöôøng kính baát kyø.Goïi giao ñieåm cuûa AC;AD vôùi xy theo thöù

töï laø M;N.

1. Cmr:MCDN noäi tieáp.

2. Chöùng toû:AC.AM=AD.AN

3. Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN vaø H

laø trung ñieåm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh.

24

4. Khi ñöôøng kính CD quay xung quanh ñieåm O thì I di ñoäng

treân ñöôøng naøo?

M

C

A O B

K

D

H I

N

MN⇒IH⊥MN laø IO⊥CD.Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒AO//IH. Vaäy caùch döïng

I:Töø O döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi CD.Töø trung ñieåm H cuûa MN

döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi MN.Hai ñöôøng naøy caùch nhau ôû I.

•Do H laø trung ñieåm MN⇒Ahlaø trung tuyeán cuûa ∆vuoâng

AMN⇒ANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)⇒DAH=ACD.

Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO do ADC+ACD=1v⇒DAK+ADK=1v hay

∆AKD vuoâng ôû K⇒AH⊥CD maø OI⊥CD⇒OI//AH vaäy AHIO laø hình bình

haønh.

4/Quyõ tích ñieåm I:

25

1/ C/m MCDN noäi tieáp:

∆AOC caân ôû O⇒OCA=CAO;

goùc

CAO=ANB(cuøng phuï vôùi goùc

AMB)⇒goùc ACD=ANM.

Maø goùc ACD+DCM=2v

⇒DCM+DNM=2v⇒ DCMB noäi

tieáp.

2/C/m: AC.AM=AD.AN

Haõy c/m ∆ACD∽∆ANM.

3/C/m AOIH laø hình bình haønh.

• Xaùc ñònh I:I laø taâm

Hình

Do AOIH laø hình bình haønh ⇒IH=AO=R khoâng ñoåi⇒CD quay xung

quanh O thì I naèm treân ñöôøng thaúng // vôùi xy vaø caùch xy moät

khoaûng baèng R

26

Q

Baøi 15:

Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi D laø 1 ñieåm

treân cung nhoû BC.Keû DE;DF;DG laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc caïnh

AB;BC;AC.Goïi H laø hình chieáu cuûa D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O).

1. C/m AHED noäi tieáp

2. Goïi giao ñieåm cuûa AH vôùi HB vaø vôùi (O) laø P vaø Q;ED caét

(O) taïi M.C/m HA.DP=PA.DE

3. C/m:QM=AB

4. C/m DE.DG=DF.DH

5. C/m:E;F;G thaúng haøng.(ñöôøng thaúng Sim sôn)

A

H

P O

G

B F C

E

M D

4/C/m: DE.DG=DF.DH .

Xeùt hai tam giaùc DEH vaø DFG coù:

Do EHAD noäi tieáp ⇒HAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1)

Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2)

Vì F=G=90o⇒DFGC noäi tieáp⇒FDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3)

FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4)

27

1/C/m AHED noäi tieáp(Söû duïng

hai ñieåm H;E cuøng laøm haønh

vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng AD…)

2/C/m HA.DP=PA.DE

Xeùt hai tam giaùc vuoâng ñoàng

daïng:

HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ)

3/C/m QM=AB:

Do ∆HPA∽∆EDP⇒HAB=HDM

Maø sñHAB= 21

sñ cung AB;

SñHDM= 21

sñ cung QM⇒ cungHình

Nhöng FCG=BCA=HAB(5).Töø (1)(3)(5)⇒EDH=FDG(6).

Töø (2);(4) vaø BCD=BAD(cuøng chaén cungBD)⇒EHD=FGD(7)

Töø (6)vaø (7)⇒∆EDH∽∆FDG⇒ DG

DH

DF

ED = ⇒ñpcm.

5/C/m: E;F;G thaúng haøng:

Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt)

Do ABCD noäi tieáp⇒BAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieáp⇒EDG+EAG=2v.

⇒EDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDG⇒EDB=CDG

⇒GFC=BEF⇒E;F;G thaúng haøng.

28

Baøi 16:

Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua

I keû IK⊥BC(K naèm treân BC).Treân tia ñoái cuûa tia AC laáy ñieåm M

sao cho MA=AK.

1. Chöùng minh:ABIK noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn

taâm O.

2. C/m goùc BMC=2ACB

3. Chöùng toû BC2=2AC.KC

4. AI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BM taïi N.Chöùng minh

AC=BN

5. C/m: NMIC noäi tieáp.

N

M

A

K

B I C

⇒KBC=KCB Vaäy BMC=2ACB

3/C/m BC2=2AC.KC

Xeùt 2 ∆ vuoâng ACB vaø ICK coù C chung⇒∆ACB∽∆ICK

⇒CK

CB

IC

AC = ⇒IC=2

BC⇒ CK

BCBCAC =

2⇒ñpcm

29

1/C/m ABIK noäi tieáp

(töï C/m)

2/C/m BMC=2ACB

do AB⊥MK vaø

MA=AK(gt)⇒∆BMK

caân ôû B⇒BMA=AKB

Maø AKB=KBC+KCB

(Goùc ngoaøi tam giac

KBC).

Do I laø trung ñieåm

Hình

4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(goùc ngoaøi ∆IAC) vaø ∆IAC Caân ôû I⇒IAC=ICA

⇒AIB=2IAC(1). Ta laïi coù BKM=BMK vaø BKM=AIB(cuøng chaén cung AB-

töù giaùc AKIB noäi tieáp)

⇒AIB=BMK(2) maø BMK=MNA+MAN(goùc ngoaøi tam giaùc MNA) Do

∆MNA caân ôû M(gt)⇒MAN=MNA⇒BMK=2MNA(3)

Töø (1);(2);(3)⇒IAC=MNA vaø MAN=IAC(ñ ñ)⇒…

5/C/m NMIC noäi tieáp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI⇒ hai ñieåm N;C cuøng laøm thaønh vôùi hai

ñaàu…)

Baøi 17:

Cho (O) ñöôøng kính AB coá ñònh,ñieåm C di ñoäng treân nöûa

ñöôøng troøn.Tia phaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình

chieáu cuûa M leân AC vaø AB.

1.C/m:MOBK noäi tieáp.

2.Töù giaùc CKMH laø hình vuoâng.

3.C/m H;O;K thaúng haøng.

4.Goïi giao ñieåm HKvaø CM laø I.Khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng

troøn thì I chaïy treân ñöôøng naøo?

C

H

A O B

I

P Q K

30

1/C/m:BOMK noäi tieáp:

Ta coù BCA=1v(goùc noäi

tieáp chaén nöûa ñöôøng

troøn)

CM laø tia phaân giaùc cuûa

goùc BCA⇒ACM=MCB=45o.

⇒cungAM=MB=90o.

⇒daây AM=MB coù O laø

trung ñieåm AB ⇒OM⊥AB

M

2/C/m CHMK laø hình vuoâng:

Do ∆ vuoâng HCM coù 1 goùc baèng 45o neân ∆CHM vuoâng caân ôû H

⇒HC=HM, töông töï CK=MK Do C=H=K=1v ⇒CHMK laø hình chöõ nhaät

coù hai caïnh keà baèng nhau ⇒CHMK laø hình vuoâng.

3/C/m H,O,K thaúng haøng:

Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;do MHCK laø hình vuoâng⇒HK⊥MC taïi

trung ñieåm I cuûa MC.Do I laø trung ñieåm MC⇒OI⊥MC(ñöôøng kính ñi

qua trung ñieåm moät daây…)

Vaäy HI⊥MC;OI⊥MC vaø KI⊥MC⇒H;O;I thaúng haøng.

4/Do goùc OIM=1v;OM coá ñònh⇒I naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính

OM.

-Giôùi haïn:Khi C≡B thì I≡Q;Khi C≡A thì I≡P.Vaäy khi C di ñoäng treân nöûa

ñöôøng troøn (O) thì I chaïy treân cung troøn PHQ cuûa ñöôøng troøn

ñöôøng kính OM.

Baøi 18:

Cho hình chöõ nhaät ABCD coù chieàu daøi AB=2a,chieàu roäng BC=a.Keû tia

phaân giaùc cuûa goùc ACD,töø A haï AH vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân

giaùc noùi treân.

1/Chöùng minhAHDC nt trong ñöôøng troøn taâm O maø ta phaûi ñònh roõ

taâm vaø baùn kính theo a.

31

Hình

2/HB caét AD taïi I vaø caét AC taïi M;HC caét DB taïi N.Chöùng toû

HB=HC. Vaø AB.AC=BH.BI

3/Chöùng toû MN song song vôùi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O)

4/Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi BH;ñöôøng naøy caét HC ôû K

vaø caét (O) ôû J.Chöùng minh HOKD nt.

•Xeùt hai ∆HCA∆ABI coù A=H=1v vaø ABH=ACH(cuøng chaén cung AH)

⇒ ∆HCA∽∆ABI ⇒ BI

AC

AB

HC = maø HB=HC⇒ñpcm

3/Goïi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) laø Hx.

•DoAH=HD;AO=HO=DO⇒∆AHO=∆HOD⇒AOH=HOD maø∆AOD caân ôû

O⇒OH⊥AD vaø OH⊥Hx(tính chaát tieáp tuyeán) neân AD//Hx(1)

•Do cung AH=HD ⇒ABH=ACH=HBD⇒HBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 ñieåm

B;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN nhöõng goùc baèng nhau ⇒MNCB noäi

tieáp⇒NMC=NBC(cuøng chaén cung NC) maø DBC=DAC (cuøng chaén cung DC)

⇒NMC=DAC ⇒MN//DA(2).Töø (1)vaø (2)⇒MN//Hx.

4/C/m HOKD noäi tieáp:

Do DJ//BH⇒HBD=BDJ (so le)⇒cung BJ=HD=AH= 2

AD maø cung

AD=BC⇒cung BJ=JC⇒H;O;J thaúng haøng töùc HJ laø ñöôøng kính ⇒HDJ=

1v .Goùc HJD=ACH(cuøng chaén 2 cung baèng nhau)⇒OJK=OCK⇒CJ cuøng

laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn OK nhöõng goùc baèng nhau⇒OKCJ noäi tieáp

32

x A B

M

H I O J

N K

D C

⇒KOC=KJC (cuøng chaén cung KC);KJC=DAC(cuøng chaén cung

DC)⇒KOC=DAC⇒OK//AD maø AD⊥HJ⇒OK⊥HO⇒HDKC noäi tieáp.

33

H I MA O B

Baøi 19 :

Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB,baùn kính OC⊥AB.Goïi M

laø 1 ñieåm treân cung BC.Keû ñöôøng cao CH cuûa tam giaùc ACM.

1. Chöùng minh AOHC noäi tieáp.

2. Chöùng toû ∆CHM vuoâng caân vaø OH laø phaân giaùc cuûa goùc

COM.

3. Goïi giao ñieåm cuûa OH vôùi BC laø I.MI caét (O) taïi D.Cmr:CDBM

laø hình thang caân.

4. BM caét OH taïi N.Chöùng minh ∆BNI vaø ∆AMC ñoàng daïng,töø

ñoù suy ra: BN.MC=IN.MA.

C N

D

Sñ CMA= 21

sñcung AC=45o.⇒∆CHM vuoâng caân ôû M.

•C/m OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM:Do ∆CHM vuoâng caân ôû

H⇒CH=HM; CO=OB(baùn kính);OH

chung⇒∆CHO=∆HOM⇒COH=HOM⇒ñpcm.

3/C/m:CDBM laø thang caân:

Do ∆OCM caân ôû O coù OH laø phaân giaùc⇒OH laø ñöôøng trung tröïc

cuûa CM maø I∈OH⇒∆ICM caân ôû I⇒ICM=IMC maø ICM=MDB(cuøng

chaén cung BM)

⇒IMC=IDB hay CM//DB.Do ∆IDB caân ôû I⇒IDB=IBD vaø

MBC=MDC(cuøng chaén cungCM) neân CDB=MBD⇒CDBM laø thang

caân.

4/•C/m BNI vaø ∆AMC ñoàng daïng:

34

1/C/m AOHC noäi tieáp:

(hoïc sinh töï chöùng

minh)

2/•C/m∆CHM vuoâng

caân:

Do OC⊥AB traïi trung

ñieåm O⇒Cung

AC=CB=90o.

Hình

KD

N

Do OH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM vaø N∈OH ⇒CN=NM.

Do AMB=1v⇒HMB=1v hay NM⊥AM maø CH⊥AM⇒CH//NM,coù goùc

CMH=45o⇒NHM=45o⇒∆MNH vuoâng caân ôû M vaäy CHMN laø hình

vuoâng ⇒INB=CMA=45o.

•Do CMBD laø thang caân⇒CD=BM⇒ cungCD=BM maø cung

AC=CB⇒cungAD=CM…

vaø CAM=CBM(cuøng chaén cung CM)

⇒∆INB=∆CMA⇒ ñpcm

Baøi 20:

Cho ∆ ñeàu ABC noäi tieáp trong (O;R).Treân cnaïh AB vaø AC laáy hai

ñieåm M;N sao cho BM=AN.

1. Chöùng toû ∆OMN caân.

2. C/m :OMAN noäi tieáp.

3. BO keùo daøi caét AC taïi D vaø caét (O) ôû E.C/m BC2+DC2=3R2.

4. Ñöôøng thaúng CE vaø AB caét nhau ôû F.Tieáp tuyeán taïi A cuûa (O)

caét FC taïi I;AO keùo daøi caét BC taïi J.C/m BI ñi qua trung ñieåm cuûa

AJ.

F

A I

E

M

35

1/C/m OMN caân:

Do ∆ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong

(O)⇒AO vaø BO laø phaân giaùc cuûa ∆ABC

⇒OAN=OBM=30o; OA=OB=R vaø

BM=AN(gt)⇒∆OMB=∆ONA

⇒OM=ON ⇒OMN caân ôû O.

2/C/m OMAN noäi tieáp:

do ∆OBM=∆ONA(cmt)⇒BMO=ANO

maø BMO+AMO=2v⇒ANO+AMO=2v.

⇒AMON noäi tieáp.

3/C/m BC2+DC2=3R2.

Do BO laø phaân giaùc cuûa ∆ñeàu ⇒BO⊥AC

hay ∆BOD vuoâng ôû D.Aùp duïng heä thöùc

O

B J C

⇒AOC=120o⇒AOE=60o ⇒∆AOE laø tam giaùc ñeàu coù AD⊥OE⇒OD=ED= 2R

Aùp duïng Pitago ta coù:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2)

Töø (1)vaø (2)⇒BC2=R2+2.R. 2R

+CD2-CD2=3R2.

4/Goïi K laø giao ñieåm cuûa BI vôùi AJ.

Ta coù BCE=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)coù B=60o⇒BFC=30o.

⇒BC= 21

BF maø AB=BC=AB=AF.Do AO⊥AI(t/c tt) vaø AJ⊥BC⇒AI//BC coù A laø

trung ñieåm BF⇒I laø trung ñieåm CF. Hay FI=IC.

Do AK//FI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong ∆BFI coù: BI

BK

EI

AK =

Do KJ//CI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong ∆BIC coù: BI

BK

CJ

KJ =

Maø FI=CI⇒AK=KJ (ñpcm)

Baøi 21:

Cho ∆ABC (A=1v)noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm (O).Goïi M laø

trung ñieåm caïnh AC.Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính MC caét caïnh BC

ôû N vaø caét (O) taïi D.

1. C/m ABNM noäi tieáp vaø CN.AB=AC.MN.

2. Chöùng toû B,M,D thaúng haøng vaø OM laø tieáp tuyeán cuûa (I).

3. Tia IO caét ñöôøng thaúng AB taïi E.C/m BMOE laø hình bình

haønh.

4. C/m NM laø phaân giaùc cuûa goùc AND.

A

36

Hình

CI

KJ

FI

AK =

1/

•C/m ABNM noäi tieáp:

(duøng toång hai goùc ñoái)

•C/m CN.AB=AC.MN

Chöùng minh hai tam giaùc

vuoâng ABC vaø NMC ñoàng

daïng.

2/•C/m B;M;D thaúng haøng. Ta

coù MDC=1v(goùc noäi tieáp

I

M D

B O N C

E

Hay BD⊥DC. Qua ñieåm D coù hai ñöôøng thaúng BD vaø DM cuøng

vuoâng goùc vôùi DC⇒B;M;D thaúng haøng.

•C/m OM laø tieáp tuyeán cuûa (I):Ta coù MO laø ñöôøng trung bình

cuûa ∆ABC (vì M;O laø trung ñieåm cuûa AC;BC-gt)⇒MO//AB maø

AB⊥AC(gt)⇒MO⊥AC hay MO⊥IC;M∈(I)⇒MO laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng

troøn taâm I.

3/C/m BMOE laø hình bình haønh: MO//AB hay MO//EB.Maø I laø trung

ñieåm MC;O laø trung ñieåm BC⇒OI laø ñöôøng trung bình cuûa

∆MBC⇒OI//BM hay OE//BM⇒BMOE laø hình bình haønh.

4/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc AND:

Do ABNM noäi tieáp ⇒MBA=MNA(cuøng chaén cung AM)

MBA=ACD(cuøng chaén cung AD)

Do MNCD noäi tieáp ⇒ACD=MND(cuøng chaén cung MD)

⇒ANM=MND⇒ñpcm.

Baøi 22:

37

Hình

Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a.Goïi I laø ñieåm baát kyø

treân ñöôøng cheùo AC.Qua I keû caùc ñöôøng thaúng song song vôùi

AB;BC,caùc ñöôøng naøy caét AB;BC;CD;DA laàn löôït ôû P;Q;N;M.

1. C/m INCQ laø hình vuoâng.

2. Chöùng toû NQ//DB.

3. BI keùo daøi caét MN taïi E;MP caét AC taïi F.C/m MFIN noäi tieáp

ñöôïc trong ñöôøng troøn.Xaùc ñònh taâm.

4. Chöùng toû MPQN noäi tieáp.Tính dieän tích cuûa noù theo a.

5. C/m MFIE noäi tieáp.

A M D

F

E

P I N

B Q C

Hay NQ⊥AC⇒NQ//DB.

3/C/m MFIN noäi tieáp: Do MP⊥AI(tính chaát hình

vuoâng)⇒MFI=1v;MIN=1v(gt)

⇒hai ñieåm F;I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN…⇒MFIN noäi tieáp.

Taâm cuûa ñöôøng troøn naøy laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo hình chöõ

nhaät MFIN.

4/C/m MPQN noäi tieáp:

Do NQ//PM⇒MNQP laø hình thang coù PN=MQ⇒MNQP laø thang

caân.Deã daøng C/m thang caân noäi tieáp.

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 21

SAMIP+ 21

SMDNI+ 21

SNIQC+ 21

SPIQB

38

1/C/m INCQ laø hình vuoâng:

MI//AP//BN(gt)⇒MI=AP=BN

⇒NC=IQ=PD ∆NIC vuoâng ôû N coù

ICN=45o(Tính chaát ñöôøng cheùo

hình vuoâng)⇒∆NIC vuoâng caân

ôû N

⇒INCQ laø hình vuoâng.

2/C/m:NQ//DB:Hình

E

IH

= 21

SABCD= 21

a2.

5/C/m MFIE noäi tieáp:

Ta coù caùc tam giaùc vuoâng BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.

⇒PIB=IMN maø PBI=EIN(ñ ñ)⇒IMN=EIN

Ta laïi coù IMN+ENI=1v⇒EIN+ENI=1v⇒IEN=1v maø MFI=1v⇒IEM+MFI=2v

⇒FMEI noäi tieáp

Baøi 23:

Cho hình vuoâng ABCD,N laø trung ñieåm DC;BN caét AC taïi F,Veõ

ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BN.(O) caét AC taïi E.BE keùo daøi caét

AD ôû M;MN caét (O) taïi I.

1. C/m MDNE noäi tieáp.

2. Chöùng toû ∆BEN vuoâng caân.

3. C/m MF ñi qua tröïc taâm H cuûa ∆BMN.

4. C/m BI=BC vaø ∆IE F vuoâng.

5. C/m ∆FIE laø tam giaùc vuoâng.

Q B

A

M

D N C

39

1/C/m MDNE noäi tieáp.

Ta coù NEB=1v(goùc nt chaén

nöûa ñöôøng troøn)

⇒MEN=1v;MDN=1v(t/c hình

vuoâng)

⇒MEN+MDN=2v⇒ñpcm

2/C/m BEN vuoâng caân:

NEB vuoâng(cmt)

Do CBNE noäi tieáp

⇒ENB=BCE(cuøng chaén cung

BE) maø BCE=45o(t/c

hv)⇒ENB=45o⇒ñpcm.

Hình

Ta coù BIN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn)

⇒BI⊥MN. Maø EN⊥BM(cmt)⇒BI vaø EN laø hai ñöôøng cao cuûa ∆BMN⇒Giao ñieåm

cuûa EN vaø BI laø tröïc taâm H.Ta phaûi C/m M;H;F thaúng haøng.

Do H laø tröïc taâm ∆BMN⇒MH⊥BN(1)

MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)⇒MAF=MBF=45o⇒MABF noäi tieáp.⇒MAB+MFB=2v maø

MAB=1v(gt)⇒MFB=1v hay MF⊥BM(2)

Töø (1)vaø (2)⇒M;H;F thaúng haøng.

4/C/m BI=BC: Xeùt 2∆vuoâng BCN vaø BIN coù caïnh huyeàn BN chung;NBC=NEC

(cuøng chaén cung NC).Do MEN=MFN=1v⇒MEFN noäi tieáp⇒NEC=FMN(cuøng chaén

cung FN);FMN=IBN(cuøng phuï vôùi goùc INB)⇒IBN=NBC⇒∆BCN=∆BIN.⇒BC=BI

*C/m ∆IEF vuoâng:Ta coù EIB=ECB(cuøng chaén cung EB) vaø ECB=45o ⇒EIB=45o

Do HIN+HFN=2v⇒IHFN noäi tieáp⇒HIF=HNF (cuøng chaén cung HF);maø HNF=45o(do

∆EBN vuoâng caân)⇒HIF=45o . Töøvaø ⇒EIF=1v ⇒ñpcm

5/ * C/mBM laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH:Do AI=BC=AB(gt vaø cmt)⇒∆ABI caân ôû

B.Hai ∆vuoâng ABM vaø BIM coù caïnh huyeàn BM

chung;AB=BI⇒∆ABM=∆BIM⇒ABM=MBI;∆ABI caân ôû B coù BM laø phaân giaùc ⇒BM

laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH.

*C/mMQBN laø thang caân: Töù giaùc AMEQ coù A+QEN=2v(do EN⊥BM theo cmt)

⇒AMEQ noäi tieáp⇒MAE=MQE(cuøng chaén cung ME) maø MAE=45o vaø

ENB=45o(cmt) ⇒MQN=BNQ=45o ⇒MQ//BN.ta laïi coù MBI=ENI(cuøng chaén cungEN)

vaø MBI=ABM vaøIBN=NBC(cmt)

⇒ QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)⇒MNB=MNE+ENB=MBI+45o

⇒MNB=QBN⇒MQBN laø thang caân.

Baøi 24:

Cho ∆ABC coù 3 goùc nhoïn(AB<AC).Veõ ñöôøng cao AH.Töø H keû

HK;HM laàn löôït vuoâng goùc vôùi AB;AC.Goïi J laø giao ñieåm cuûa AH

vaø MK.

1. C/m AMHK noäi tieáp.

2. C/m JA.JH=JK.JM

40

3. Töø C keû tia Cx⊥vôùi AC vaø Cx caét AH keùo daøi ôû D.Veõ

HI;HN laàn löôït vuoâng goùc vôùi DB vaø DC. Cmr : HKM=HCN

4. C/m M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

A

J M

K

B H C

I

N

D

Maø HAM=MHC (cuøng phuï vôùi goùc ACH).

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)⇒MCNH laø hình chöõ nhaät ⇒MH//CN hay

MHC=HCN⇒HKM=HCN.

4/C/m: M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

Do BKHI noäi tieáp⇒BKI=BHI(cuøng chaén cung BI);BHI=IDH(cuøng phuï

vôùi goùc IBH)

Do IHND noäi tieáp⇒IDH=INH(cuøng chaén cung IH)⇒BKI=HNI

Do AKHM noäi tieáp⇒AKM=AHM(cuøng chaén cung

AM);AHM=MCH(cuøng phuï vôùi HAM)

Do HMCN noäi tieáp⇒MCH=MNH(cuøng chaén cung MH)⇒AKM=MNH

41

1/C/m AMHK noäi tieáp:

Duøng toång hai goùc

ñoái)

2/C/m: JA.JH=JK.JM

Xeùt hai tam giaùc:JAM

vaø JHK coù: AJM=KJH

(ññ).Do AKHM nt

⇒HAM=HKM( cuøng

chaén cung HM)

⇒∆JAM∽∆JKH

⇒ñpcm

3/C/m HKM=HCN

Hình

maø BKI+AKM+MKI=2v⇒HNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v⇒ M;N;I;K

cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

42

I

Baøi 25 :

Cho ∆ABC (A=1v),ñöôøng cao AH.Ñöôøng troøn taâm H,baùn kính HA

caét ñöôøng thaúng AB taïi D vaø caét AC taïi E;Trung tuyeán AM cuûa

∆ABC caét DE taïi I.

1. Chöùng minh D;H;E thaúng haøng.

2. C/m BDCE noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm O cuûa ñöôøng troøn naøy.

3. C?m AM⊥DE.

4. C/m AHOM laø hình bình haønh.

A

E

B H M C

D

O

⇒BDE=BCE⇒Hai ñieåm D;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BE…

Xaùc ñònh taâm O:O laø giao ñieåm hai ñöôøng trung tröïc cuûa BE vaø

BC.

3/C/m:AM⊥DE:

Do M laø trung ñieåm BC⇒AM=MC=MB= 2

BC⇒MAC=MCA;maø

ABE=ACB(cmt)⇒MAC=ADE.

Ta laïi coù:ADE+AED=1v(vì A=1v)⇒CAM+AED=1v⇒AIE=1v vaäy AM⊥ED.

4/C/m AHOM laø hình bình haønh:

43

1/C/m D;H;E thaúng

haøng:

Do DAE=1v(goùc noäi

tieáp chaén nöûa ñöôøng

troøn taâm H)⇒DE laø

ñöôøng kính⇒ D;E;H

thaúng haøng.

2/C/m BDCE noäi tieáp:

∆HAD caân ôû H(vì

Hình

Do O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BECD⇒OM laø ñöôøng trung tröïc

cuûa BC ⇒OM⊥BC⇒OM//AH.

Do H laø trung ñieåm DE(DE laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn taâm

H)⇒OH⊥DE maø AM⊥DE⇒AM//OH⇒AHOM laø hình bình haønh.

44

EF

M

Baøi 26:

Cho ∆ABC coù 2 goùc nhoïn,ñöôøng cao AH.Goïi K laø ñieåm doái

xöùng cuûa H qua AB;I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua AC.E;F laø giao

ñieåm cuûa KI vôùi AB vaø AC.

1. Chöùng minh AICH noäi tieáp.

2. C/m AI=AK

3. C/m caùc ñieåm: A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

4. C/m CE;BF laø caùc ñöôøng cao cuûa ∆ABC.

5. Chöùng toû giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆HFE chính

laø tröïc taâm cuûa ∆ABC.

I

A

K

B H C

2/C/m AI=AK:

Theo chöùng minh treân ta coù:AI=AH.Do K ñx vôùi H qua AB neân AB laø ñöôøng

trung tröïc cuûa KH⇒AH=AK⇒ AI=AK(=AH)

3/C/m A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn:

DoE∈ABvaø ABlaø trung tröïc cuûa KH⇒EK=EH;EA

chung;AH=AK⇒∆AKE=∆AHE⇒AKE=EHA maø∆AKI caân ôû A(theo c/m treân

AK=AI) ⇒AKI=AIK.⇒EHA=AIE⇒ hai ñieåm I vaø K cung laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn

AE…⇒A;E;H;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn kyù hieäu laø (C)

45

1/C/m AICH noäi tieáp:

Do I ñx vôùi H qua

AC⇒AC laø trung tröïc

cuûa HI⇒AI=AH vaø

HC=IC;AC chung

⇒∆AHC=∆AIC(ccc)

⇒AHC=AIC maø

AHC=1v(gt)⇒AIC=1v

⇒AIC+AHC=2v⇒ AICH

Hình

Theo cmt thì A;I;CV;H cuøng naèm treân ñöôøng troøn(C’) ⇒ (C) vaø (C’)

truøng nhau vì coù chung 3 ñieåm A;H;I khoâng thaúng haøng)

4/C/m:CE;BF laø ñöôøng cao cuûa ∆ABC.

Do AEHCI cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn coù AIC=1v⇒AC laø ñöôøng

kính.⇒AEC=1v

( goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)Hay CE laø ñöôøng cao cuûa

∆ABC.Chöùng minh töông töï ta coù BF laø ñöôøng cao…

5/Goïi M laø giao ñieåmAH vaø EC.Ta C/m M laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân

giaùc cuûa ∆HFE.

EBHM nt⇒ MHE=MBE(cuøng chaén cungEM)

BEFC nt⇒ FBE=ECF (Cuøng chaén cung EF)

HMFC nt⇒FCM=FMH(cuøng chaén cung MF)

C/m töông töï coù EC laø phaân giaùc cuûa ∆FHE⇒ñpcm.

Baøi 27:

Cho ∆ABC(AB=AC) noäi tieáp trong (O).Goïi M laø moät ñieåm baát kyø

treân cung nhoû AC.Treân tia BM laáy MK=MC vaø treân tia BA laáy

AD=AC.

1.C/m: BAC=2BKC

2.C/m BCKD noäi tieáp.,xaùc ñònh taâm cuûa ñöôøng troøn naøy.

3.Goïi giao ñieåm cuûa DC vôùi (O) laø I.C/m B;O;I thaúng haøng.

4.C/m DI=BI.

D

A

I K

46

⇒EHM=MHF

⇒HA laø pg…

1/Chöùng toû:BAC=BMC

(cuøng chaén cung BC)

BMC=MKC+MCK(goùc

ngoaøi ∆MKC)

Maø MK=MC(gt)⇒∆MKC

caân ôû M⇒MKC=MCK

⇒BMC=2BKC.

⇒BAC=2BKC.

2/C/mBCKD noäi tieáp:

Ta coù

BAC=ADC+ACD(goùc

ngoaøi ∆ADC) maø

M

B C

AD=AC(gt)⇒∆ADC caân ôû A⇒ADC=ACD⇒BAC=2BDC

Nhöng ta laïi coù:BAC=2BKC(cmt)⇒BDC=BKC ⇒BCKD noäi tieáp.

Xaùc ñònh taâm:Do AB=AC=AD⇒A laø trung ñieåm BD⇒ trung tuyeán CA= 21

BD⇒∆BCD vuoâng ôû C

.Do BCKD noäi tieáp ⇒DKB=DCB(cuøng chaén cungBD).Maø

BCD=1v⇒BKD=1v⇒∆BKD vuoâng ôû K coù trung tuyeán KA⇒KA= 21

BD

⇒AD=AB=AC=AK ⇒A laø taâm ñöôøng troøn…

3/C/m B;O;I thaúng haøng:Do goùc BCI=1v,maø B;C;I∈(O) ⇒BI laø ñöôøng kính

⇒B;O;I thaúng haøng.

4/C/mBI=DI:

Caùch 1: Ta coù BAI=1v(goùc noäi tieáp chaén nöû ñöôøng troøn)hay AI⊥DB,coù

A laø trung ñieåm⇒AI laø ñöôøng trung tröïc cuûa BD⇒∆IBD caân ôû I⇒ID=BI

Caùch 2: ACI=ABI(cuøng chaén cung AI)∆ADC caân ôû

D⇒ACI=ADI⇒BDC=ACD⇒IDB=IBD⇒∆BID caân ôû I⇒ñpcm. Baøi 28:

Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp trong(O).Goïi I laø ñieåm chính giöõa cung

AB(Cung AB khoâng chöùa ñieåm C;D).IC vaø ID caét AB ôû M;N.

1.C/m D;M;N;C cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

2.C/m NA.NB=NI.NC

3.DI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BC ôû F;ñöôøng thaúng IC caét

ñöôøng thaúng AD ôû E.C/m:EF//AB.

4.C/m :IA2=IM.ID.

47

Hình

M N

O

E F

I B

A

D C

IAB=ICB(cuøng chaén cung BI)

INA=BNC(ñ ñ)⇒∆NAI∽∆NCB⇒ñpcm.

3/C/m EF//AB:

Do IDA=ICB(cuøng chaén hai cung hai cung baèng nhau IA=IB) hay

EDF=ECF

⇒hai ñieåm D vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn EF…⇒EDCF noäi

tieáp

⇒ EFD=ECD(cuøng chaén cung ED),maø ECD=IMN(cmt)⇒ EFD=FMN⇒

EF//AB.

4/C/m: IA2=IM.ID.

2 ∆AIM∽∆DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai goùc nt chaén hai cung baèng

nhau)

⇒ñpcm.

48

1/C/m D;M;N;C cuøng naèm treân

moät ñöôøng troøn.

Sñ IMB= 21

sñcung(IB+AD)

Sñ NCD= 21

Sñ cungDI

Maø cung IB=IA⇒IMB=NCD

⇒IMB=NCD.

Ta laïi coù IMN+DMN=2v

⇒NCD+DMN=2v⇒MNCD noäitieáp.

2/Xeùt 2∆NBC vaø NAI coù:Hình

C

Baøi 29:

Cho hình vuoâng ABCD,treân caïnh BC laáy ñieåm E.Döïng tia Ax vuoâng goùc

vôùi AE, Ax caét caïnh CD keùo daøi taïi F.Keû trung tuyeán AI cuûa ∆AEF,AI keùo

daøi caét CD taïi K.qua E döïng ñöôøng thaúng song song vôùi AB,caét AI taïi G.

1. C/m AECF noäi tieáp.

2. C/m: AF2=KF.CF

3. C/m:EGFK laø hình thoi.

4. Cmr:khi E di ñoäng treân BC thì EK=BE+DK vaø chu vi ∆CKE coù giaù trò

khoâng ñoåi.

5. Goïi giao ñieåm cuûa EF vôùi AD laø J.C/m:GJ⊥JK.

Giaûi:

F

A J D

G

I K

49

1/C/m AECF noäi tieáp:

FAE=DCE=1v(gt)

⇒ AECF noäi tieáp

2/C/m: AF2=KF.CF.

Do AECF noäi tieáp⇒

DCA=FEA(cung chaén cung

AF).Maø DCA=45o

(Tính chaát hình vuoâng)

⇒FEA=45o⇒∆FAE vuoâng

caân ôû A coù

FI=IE⇒AI⊥FE

⇒FAK=45o.

⇒FKA=ACF=45o.Vaø KFA

E

B

3/C/m: EGFK laø hình thoi. -Do AK laø ñöôøng trung tröïc cuûa FE⇒∆GFE caân ôû

G

⇒GFE=GEF.Maø GE//CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AD)⇒GEF=EFK(so le)

⇒GFI=IFK⇒FI laø ñöôøng trung tröïc cuûa GK⇒GI=IK,maø I F=IE⇒GFKE laø

hình thoi.

4/C/m EK=BE+DK:∆ vuoâng ADF vaø ABE coù AD=AB;AF=AE.(∆AE F vuoâng

caân)⇒∆ADF=∆ABE ⇒BE=DF naø FD+DK=FK VAØ FK=KE(t/v hình

thoi)⇒KE=BE+DK

C/m chu vi tam giaùc CKE khoâng ñoåi:Goïi chu vi laø C= KC+EC+KE

=KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC khoâng ñoåi.

5/C/m IJ⊥JK:

Do JIK=JDK=1v⇒IJDK noäi tieáp ⇒JIK=IDK(cuøng chaén cung IK) IDK=45o(T/c

hình vuoâng)⇒ JIK=45o⇒∆JIK vuoâng vaân ôû I⇒JI=IK,maø IK=GI

⇒JI=IK=GI= 21

GK⇒∆GJK vuoâng ôû J hay GJ⊥JK.

Baøi 30:

Cho ∆ABC.Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc.Döïng hình bình haønh

BHCD. Goïi I laø giao ñieåm cuûa HD vaø BC.

1. C/m:ABDC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O;neâu caùh döïng

taâm O.

2. So saùnh BAH vaø OAC.

3. CH caét OD taïi E.C/m AB.AE=AH.AC

4.Goïi giao ñieåm cuûa AI vaø OH laø G.C/m G laø troïng taâm cuûa

∆ABC.

A

50

Hình

1/c/m:ABDC noäi tieáp:

Goïi caùc ñöôøng cao cuûa

∆ABC laø AN;BM;CN.

Do

AQH+HMA=2v⇒AQHM noäi

tieáp⇒BAC+QHM=2v

maø QHM=BHC(ñ ñ)

BHC=CDB(2 goùc ñoái cuûa

hình bình haønh)

⇒BAC+CDB=2V⇒ABDC

noäi tieáp.

O

M

H

N I C

G

Q

B

Vaø BH⊥AC⇒CD⊥AC hay ACD=1v,maø A;D;Cè naèm treân ñöôøng

troøn⇒AD laø ñöôøng kính.Vaäy O laø trung ñieåm AD.

2/So saùnh BAH vaø OAC:

BAN=QCB(cuøng phuï vôùi ABC) maø CH//BD( do BHCD laø hình bình

haønh) ⇒QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cuøng chaén cung CD)⇒BAH=OAC.

3/c/m: AB.AE=AH.AC:

Xeùt hai tam giaùc ABH vaø ACE coù EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cuøng

phuï vôùi BAC)⇒∆ABH∽∆ACE⇒ñpcm

4/C/m G laø troïng taâm cuûa ∆ABC.ta phaûi cm G laø giao ñieåm ba

ñöôøng trung tuyeán hay GJ= 31

AI.

Do IB=IC⇒OI⊥BC maø AH⊥BC⇒OI//AH.Theo ñònh lyù Ta Leùt trong ∆AGH

⇒AG

GI

AH

OI = .Do I laø trung ñieåm HD⇒O laø trung ñieåm AD⇒2

1=AH

OI(T/c

ñöôøng trung bình)⇒ 2

1==AG

GI

AH

OI⇒GI= 2

1AG. Hay GI= 3

1AI⇒G laø troïng

taâm cuûa ∆ABC.

Baøi 31:

Cho (O0 vaø cung AB=90o.C laø moät ñieåm tuyø yù treân cung lôùn

AB.Caùc ñöôøng cao AI;BK;CJ cuûa ∆ABC caét nhau ôû H.BK caét (O) ôû

N;AH caét (O) taïi M.BM vaø AN gaëp nhau ôû D.

1. C/m:B;K;C;J cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

51

D

Hình

O

2. c/m: BI.KC=HI.KB

3. C/m:MN laø ñöôøng kính cuûa (O)

4. C/m ACBD laø hình bình haønh.

5. C/m:OC//DH.

N

D A

M

K

B C

I J

H

Tam giaùc vuoâng caân⇒KBC=45o⇒IBH=KBC=45o⇒∆IBH cuõng laø tam giaùc

vuoâng caân.Ta laïi coù:

AMD=MAB+ABM(goùc ngoaøi tam giaùc MAB).Maø

sñMAB= 21

sñMB

SñABM= 21

sñAM vaø cung MA+AM=AB=90o.⇒AMD=45o vaø AMD=BMH(ñ ñ)

⇒BMI=45o⇒∆BIM vuoâng caân⇒MBI=45o⇒MBH=MBI+IBH=90o hay

MBN=1v⇒MN laø ñöôøng kính cuûa (O).

52

Baøi naøy coù hai hình veõ

tuyø vaøo vò trí cuûa

C.Caùch c/m töông töï

1/C/m B;K;C;J cuøng naèm

treân moät ñöôøng troøn.

-Söû duïng toång hai goùc

ñoáùi.

-Söû duïng hai goùc cuøng

laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn

thaúng moät goùc vuoâng.

2/C/m: BI.KC=HI.KB.

Xeùt hai tam giaùc vuoâng

BIH vaø BKC coù IBH=KBC(ñ

ñ)

Hình

E

O

5/C/m OH//DH.

Do MN laø ñöôøng kính ⇒MAN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) maø CAN =45o.

⇒MAC=45o hay cung MC=90o⇒MNC=45o.Goùc ôû taâm MOC chaén cung

MC=90o⇒MOC=90o⇒OC⊥MN.

Do DB⊥NH;HA⊥DN;AH vaø DB caét nhau ôû M⇒M laø tröïc taâm cuûa ∆DNH

⇒MN⊥DH⇒OC//DH.

Baøi 32:

Cho hình vuoâng ABCD.Goïi N laø moät ñieåm baát kyø treân CD sao cho

CN<ND;Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøn kính BN.(O) caét AC taïi F;BF caét

AD taïi M;BN caét AC taïi E.

1. C/m BFN vuoâng caân.

2. C/m:MEBA noäi tieáp

3. Goïi giao ñieåm cuûa ME vaø NF laø Q.MN caét (O) ôû P.C/m

B;Q;P thaúng haøng.

4. Chöùng toû ME//PC vaø BP=BC.

5. C/m ∆FPE laø tam giaùc vuoâng

A B

F

M Q P

D N C

⇒FME=45o vaø MAC=45o(tính chaát hình vuoâng)⇒FME=MAC=45o.

⇒MABE noäi tieáp.

3/C/m B;Q;P thaúng haøng:

53

1/c/m:∆BFN vuoâng caân:

ANB=FCB(cuøng chaén

cung FB).Maø FCB=45o

(tính chaát hình vuoâng)

⇒ANB=45o

Maø NFB=1v(goùc nt

chaén nöûa ñöôøng

troøn)

⇒∆BFN vuoâng caân ôû Hình

Do MABE nt⇒MAB+NEB=2v;maø MAB=1v(t/c hình vuoâng)⇒MEB=1v hay

ME⊥BN.Theo cmt NF⊥BM⇒Q laø tröïc taâm cuûa ∆BMN⇒BQ⊥MN(1)

⇒Ta laïi coù BPN=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) hay

BP⊥MN(2).

Töø (1)vaø(2)⇒B;Q;P thaúng haøng.

4/C/m MF//PC.

Do MFN=MEN=1v⇒MFEN noäi tieáp⇒FNM=FEM(cuøng chaén cung MF)

Maø FNP=FNM=FCD(cuøng chaén cung PF cuûa (O)

⇒FEM=FCP⇒ME//CP

C/m:BP=BC:Do ME//CP vaø ME⊥BN⇒CP⊥BN.Ñöôøng kính MN vuoâng

goùc vôùi daây CP⇒BN laø ñöôøng trung tröïc cuûa CP hay ∆BCP caân ôû

B⇒BC=BP.

5/C/m ∆FPE vuoâng:

Do FPNB noäi tieáp⇒FPB=FNB=45o(cmt)

Deã daøng cm ñöôïc QENP noäi tieáp⇒QPE=QNE=45o⇒ñpcm.

Baøi 33:

Treân ñöôøng troøn taâm O laàn löôït laáy boán ñieåm A;B;C;D sao cho

AB=DB.AB vaø CD caét nhau ôû E.BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa ñöôøng

troøn(O) ôû Q;DB caét AC taïi K.

1. Cm: CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE.

2. c/m:AQEC noäi tieáp.

3. C/m:KA.KC=KB.KD

4. C/m:QE//AD.

54

1/C/m CB laø phaân giaùc cuûa goùc

ACE:

Do ABCD noäi tieáp ⇒BCD+BAD=2v

Maø BCE+BCD=2V⇒BCE=BAD.

Do AB=AC(gt)⇒∆BAD caân ôû

B⇒BAD=BDA.ta laïi coù BDA=BCA

(Cuøng chaén cung AB)⇒BCE=BCA

⇒ñpcm.

2/C/m AQEC noäi tieáp:

Ta coù sñ QAB= 21

SñAB(goùc giöõa

K

Q

E

B

A C

O D

⇒QAB=ADB=BCE(cmt) ⇒QAE=QCD⇒hai ñieåm A vaø C cuøng laøm vôùi

hai ñaàu ñoaïn QE…⇒ñpcm

3/C/m: KA.KC=KB.KD.

C/m ∆KAB∽∆KDC.

4/C/m:QE//AD:

Do AQEC nt⇒QEA=QCA(cuøng chaén cung QA) maø QCA=BAD(cmt)

⇒QEA=EAD⇒QE//AD.

55

Hình

Baøi 34:

Cho (O) vaø tieáp tuyeán Ax.Treân Ax laáy hai ñieåm B vaø C sao cho

AB=BC.Keû caùt tuyeán BEF vôùi ñöôøng troøn.CE vaø CF caét (O) laàn

löôït ôû M vaø N.Döïng hình bình haønh AECD.

1.C/m:D naèm treân ñöôøng thaúng BF.

2.C/m ADCF noäi tieáp.

3.C/m: CF.CN=CE.CM

4.C/m:MN//AC.

5.Goïi giao ñieåm cuûa AF vôùi MN laø I.Cmr:DF ñi qua trung ñieåm

cuûa NI.

C

D

B

E N

J

A O

I

F

M

⇒hai ñieåm F vaø C cuøng laøm vôùi 2 ñaàu ñoaïn AD…⇒ñpcm

3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m ∆CEF∽∆CNM.

56

1/C/m:D naèm treân ñöôøng

thaúng BF.

Do ADCE laø hình bình

haønh⇒DE vaø AC laø hai

ñöôøng cheùo.Do B laø trung

ñieåm cuûa AC ⇒B cuõng laø

trung ñieåm DE hay DBE thaúng

haøng.Maø B;E;F thaúng haøng

⇒D naèm treân BF.

2/C/m ADCF noäi tieáp:

Do ADCf laø hình bình haønh

⇒DCA=CAE(so le)

Sñ CAE= 21

Cung AE(goùc giöõa Hình

4/C/m:MN//AC.

Do ADCF nt⇒DAC=DFC(cuøng chaén cung CD).Maø ADCE laø hình bình

haønh ⇒DAC=ACE(so le),ta laïi coù CFD=NME(cuøng chaén cung

EN)⇒ACM=CMN ⇒AC//MN.

5/C/m:DF ñi qua trung ñieåm NI:Goïi giao ñieåm cuûa NI vôùi FE laø J

Do NI//AC(vì MN//AB)

⇒NJ//CB,theo heä quaû taleùt⇒ BC

NJ

FB

JE =

Töông töï IJ//AB⇒ AB

JI

FB

JF =

MaØ AB=AC(gt)⇒JI=NJ

57

BC

NJ

AB

JI =

P I

JB

Baøi 35:

Cho (O;R) vaø ñöôøng kính AB;CD vuoâng goùc vôùi nhau.Goïi M laø

moät ñieåm treân cung nhoû CB.

1. C/m:ACBD laø hình vuoâng.

2. AM caét CD ;CB laàn löôït ôû P vaø I.Goïi J laø giao ñieåm cuûa

DM vaø AB.C/m IB.IC=IA.IM

3. Chöùng toû IJ//PD vaø IJ laø phaân giaùc cuûa goùc CJM.

4. Tính dieän tích ∆AID theo R.

C

M

A O

D

⇒IMJ=IBJ=45o⇒M vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn IJ…⇒MBIJ noäi

tieáp.

⇒IJB+IMB=2v maø IMB=1v⇒ IJB =1v hay IJ⊥AB.Maø PD⊥AB(gt)⇒ IJ//PD

C/m IJ laø phaân giaùc cuûa goùc CMJ:

-Vi IJ⊥AB hay AJI=1v vaø ACI=1v(t/c hình vuoâng)⇒ACIJ noäi tieáp

⇒ IJC=IAC(cuøng chaén cung CI) maø IAC=IBM(cuøng chaén cungCM)

58

Hình

1/C/m:ACBD laø hình vuoâng:

Vì O laø trung ñieåm cuûa AB;CD neân

ACBD laø hình bình haønh.

Maø AC=BD(ñöôøng kính) vaø AC⊥DB

(gt)⇒hình bình haønh ACBD laø hình

vuoâng.

2/C/m: IB.IC=IA.IM

Xeùt 2 ∆IAC vaø IBM coù CIA=MIB(ñ ñ)

IAC=IBM(cuøng chaén cung CM)

⇒∆IAC∽∆IBM⇒ñpcm.

3/C/m IJ//PD.

Do ACBD laø hình vuoâng⇒ CBO=45o.

-Vì MBJI noäi tieáp ⇒MBI=MJI(cuøng chaén cung IM)

⇒ IJC= IJM⇒ñpcm.

4/Tính dieän tích ∆AID theo R:

Do CB//AD(tính chaát hình vuoâng) coù I∈CB⇒ khoaûng caùch töø ñeán

AD chính baèng CA.Ta laïi coù ∆IAD vaø ∆CAD chung ñaùy vaø ñöôøng cao

baèng nhau. ⇒SIAD=SCAD.Maø SACD= 21

SABCD.⇒ SIAD= 21

SABCD.SABCD= 21

AB.CD (dieän tích coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc)⇒SABCD= 21

2R.2R=2R2⇒SIAD=R2.

59

Baøi 37:

Cho ∆ABC(A=1v).Keû AH⊥BC.Goïi O vaø O’ laø taâm ñöôøng troøn noäi

tieáp caùc tam giaùc AHB vaø AHC.Ñöôøng thaúng O O’ caét caïnh AB;AC

taï M;N.

1. C/m: ∆ OHO’ laø tam giaùc vuoâng.

2. C/m:HB.HO’=HA.HO

3. C/m: ∆HOO’∽∆HBA.

4. C/m:Caùc töù giaùc BMHO;HO’NC noäi tieáp.

5. C/m ∆AMN vuoâng caân.

A

M O O’ N

B H C

Phaân giaùc cuûa hai goùc treân⇒OBH=O’AH vaø OHB=O’HA=45o.

⇒∆HBO∽∆HAO’⇒ )1('HO

OH

HA

HB = ⇒ñpcm.

3/c/m ∆HOO’∽∆HBA.

Töø (1)⇒ 'HO

HO

HA

HB = ⇒ HB

HO

HA

HO =' (Tính chaát tæ leä thöùc).Caùc caëp caïnh

HO vaø HO’ cuûa ∆HOO’tæ leä vôùi caùc caëp caïnh cuûa ∆HBA vaø goùc

xen giöõa BHA=O’HO=1v ⇒∆HOO’∽∆HBA.

60

Hình

1/C/m:∆OHO’ vuoâng:

Do AHB=1v vaø O laø taâm

ñöôøng troøn noäi tieáp ∆AHB⇒O

laø giao ñieåm ba ñöôøng phaân

giaùc cuûa tam

giaùc⇒AHO=OHB=45o.

Töông töï AHO’=O’HC=45o.

⇒O’HO=45o+45o=90o.

hay ∆O’HO vuoâng ôû H.

2/C/m: HB.HO’=HA.HO

4/C/m:BMOH nt:Do ∆ HOO’∽∆HBA⇒O’OH=ABH maø

O’OH+MOH=2v⇒MBH+MOH=2v⇒ñpcm.

C/m NCHO’ noäi tieáp: ∆HOO’∽∆HBA(cmt) vaø hai tam giaùc vuoângHBA

vaø HAC coù goùc nhoïn ABH=HAC(cuøng phuï vôùi goùc ABC)

neân∆HBA∽∆HAC ⇒∆HOO’ ∽∆HAC⇒OO’H=ACH.Maø OO’H=NO’H=2v

⇒NCH+NO’H=2v ⇒ñpcm.

5/C/m ∆AMN vuoâng caân:Do OMBH nt⇒OMB+OHB=2v maø

AMO+OMB=2v⇒AMO=OHB maø OHB=45o⇒AMO=45o.Do ∆AMN vuoâng

ôû A coù AMO=45o.⇒∆AMN vuoâng caân ôû A.

61

I O B

Baøi 37:

Cho nöûa ñöôøng troøn O,ñöôøng kính AB=2R,goïi I laø trung ñieåm

AO.Qua I döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB,ñöôøng naøy caét

nöûa ñöôøng troøn ôû K.Treân IK laáy ñieåm C,AC caét (O) taïi M;MB caét

ñöôøng thaúng IK taïi D.Goïi giao ñieåm cuûa IK vôùi tieáp tuyeán taïi M laø

N.

1. C/m:AIMD noäi tieáp.

2. C?m CM.CA=CI.CD.

3. C/m ND=NC.

4. Cb caét AD taïi E.C/m E naèm treân ñöôøng troøn (O) vaø C laø

taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆EIM.

5. Giaû söû C laø trung ñieåm IK.Tính CD theo R.

D

N

M

K

E C

A

Maø MBA=ACI(cuøng phuï vôùi goùc CAI);CAI=KCM(ñ ñ)⇒NCM+NMC

⇒∆NMC caân ôû N⇒NC=NM. Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v vaø

NCM=NMC ⇒NDM=NMD⇒∆NMD caân ôû N⇒ND=NM⇒NC=ND(ñpcm)

62

Hình

1/C/m AIMD noäi tieáp:

Söû duïng hai ñieåm I;M

cuøng laøm vôùi hai ñaàu

ñoaïn AD…

2/c/m: CM.CA=CI.CD.

C/m hai ∆CMD vaø CAI

ñoàng daïng.

3/C/m CD=NC:

sñNAM= 21

sñ cung AM

(goùc giöõa tt vaø moät

daây)

4/C/m C laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆EMI.Ta phaûi c/m C laø giao

ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆EMI (xem caâu 3 baøi 35)

5/Tính CD theo R:

Do KI laø trung tröïc cuûa AO⇒∆AKO caân ôû K⇒KA=KO maø

KO=AO(baùn kính) ⇒∆AKO laø ∆ ñeàu⇒KI= 2

3R⇒CI=KC= 2

KI= 4

3R.Aùp

duïng PiTaGo trong tam giaùc vuoâng ACI coù:CA=

4

7

416

3 2222 RRR

AICI =+=+ ⇒∆CIA∽∆BMA( hai tam giaùc vuoâng coù goùc

CAI chung)⇒ MA

IA

BA

CA = ⇒MA= AC

AIAB×= 2R. =

4

7:

2

RR

= 7

74R⇒MC=AM-AC= 28

79Raùp duïng heä thöùc caâu 2⇒CD= 4

33R.

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 38:

Cho ∆ABC.Goïi P laø moät ñieåm naèm trong tam giaùc sao cho goùc

PBA=PAC.Goïi H vaø K laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc haï

töø P xuoáng AB;AC.

1.C/m AHPK noäi tieáp.

2.C/m HB.KP=HP.KC.

3.Goïi D;E;F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa PB;PC;BC.Cmr:HD=EF;

DF=EK

4.C/m:ñöôøng trung tröïc cuûa HK ñi qua F.

A

H K

P

63

1/C/m AHPK noäi tieáp(söû

duïng toång hai goùc ñoái)

2/C/m: HB.KP=HP.KC

C/m hai ∆ vuoâng HPB vaø KPC

ñoàng daïng.

3/C/m HD=FE:

Do FE//DO vaø DF//EP (FE vaø

FD laø ñöôøng trung bình cuûa

∆PBC)⇒DPEF laø hình bình

D E

B F C

tuyeán cuûa ∆ vuoâng HBP⇒HD=DP⇒DH=FE

C/m töông töï coù:DF=EK.

4/C/m ñöôøng trung tröïc cuûa HK ñi qua F.

Ta phaûi C/m EF laø ñöôøng trung tröïc cuûa HK.Hay caàn c/m FK=FH.

Do HD=DP+DB⇒HDP=2ABP(goùc ngoaøi tam giaùc caân ABP)

Töông töï KEP=2ACP

Maø ABP=ACD(gt)

Do PEFD laø hình bình haønh(cmt)⇒PDF=PEF(2)

Töø (1) vaø (2)⇒HDF=KEF maø

HD=FE;KE=DF⇒∆DHF∽∆EFK(cgc)⇒FK=FH

⇒ñpcm.

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 39:

Cho hình bình haønh ABCD(A>90o).Töø C keû CE;Cf;CG laàn löôït

vuoâng goùc vôùi AD;DB;AB.

64

Hình

⇒ HDP=KEP(1)

1. C/m DEFC noäi tieáp.

2. C/m:CF2=EF.GF.

3. Goïi O laø giao ñieåm AC vaø DB.Keû OI⊥CD.Cmr: OI ñi qua trung

ñieåm cuûa AG.

4. Chöùng toû EOFG noäi tieáp.

A G B

E

F

O

D J I C

1/C/mDEFC noäi tieáp: (Söû duïng hai ñieåm E;F cuøng laøm vôùi hai ñaàu

ñoaïn thaúng CD).

2/C/m: CF2=EF.GF: Xeùt 2 ∆ECF vaø CGF coù:

-Do DE FC nt⇒FCE=FDE(cuøng chaén cung FE);FDE=FBC(so le).Do

GBCF nt (töï c/m)⇒FBC=FGC(cuøng chaén cung FC)⇒FGC=FCE.

-Do GBCF nt⇒GBF=GCF(cuøng chaén cuøngG) maø GBF=FDC(so

le).DoDEFC noäi tieáp ⇒FDC=FCE(cuøng chaén

cuøngC)⇒FCG=FEC⇒∆ECF∽∆CGF⇒ñpcm.

3/C/m Oi ñi qua trung ñieåm AG.Goïi giao ñieåm cuûa ñöôøng troøn taâm O

ñöôøng kính AC laø J Do AG//CJ vaø CG⊥AG⇒AGCJ laø hình chöõ nhaät

⇒AG=CJ Vì OI⊥CJ neân I laø trung ñieåm CJ(ñöôøng kính ⊥ vôùi 1

daây…)⇒ñpcm.

65

Hình

4/C/m EOFG noäi tieáp:Do CEA=AGC=1v⇒AGCE nt trong

(O)⇒AOG=2GCE (goùc nt baèng nöûa goùc ôû taâm cuøng chaén 1

cung;Vaø EAG+GCE=2v(2goùc ñoái cuûa töù giaùc nt).Maø

ADG+ADC=2v(2goùc ñoái cuûa hbh)⇒EOG=2.ADC(1)

Do DEFC nt⇒EFD=ECD(cuøng chaén cungDE);ECD=90o-EDC(2 goùc

nhoïn cuûa ∆ vuoâng EDC)(&);Do GBCF nt⇒GFB=GBC(cuøng chaén cung

GB);BCG=90o-GBC(&&).Töø (&)vaø(&&)⇒EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-

2ADC maø EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2)

Töø (1) vaø (2)⇒EOG=EFG⇒EOFG nt.

ÐÏ(&(ÐÏ

66

Baøi 40:

Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau ôû A vaø B.Caùc ñöôøng

thaúng AO caét (O) laàn löôït ôû C vaø D;ñöôøng thaúng AO’ caét (O) vaø

(O’) laàn löôït ôû E vaø F.

1.C/m:C;B;F thaúng haøng.

2.C/m CDEF noäi tieáp.

3.Chöùng toû DA.FE=DC.EA

4.C/m A laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆BDE.

5.Tìm ñieàu kieän ñeå DE laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng

troøn (O);(O’)

D E

A

O

I O’

C

B

F

1/C/m:C;B;F thaúng haøng: Ta coù:ABF=1v;ABC=1v(goùc noäi tieáp chaén

nöûa ñöôøng troøn). ⇒ABC+ABF=2v⇒C;B;F thaúng haøng.

2/C/mCDEF noäi tieáp:Ta coù AEF=ADC=1v⇒E;D cuøng laøm vôùi hai

ñaàu ñoaïn CF…

⇒ñpcm

3/C/m: DA.FE=DC.EA. Hai ∆ vuoâng DAC vaø EAF coù DAC=EAF(ñ ñ)

67

Hình

⇒∆ DAC ∽∆ø EAF⇒ñpcm.

4/C/m A laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆BDE.Ta phaûi c/m A laø giao

ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆DBE. (Xem caùch c/m baøi 35 caâu 3)

5/Ñeå DE laø tieáp tuyeán chung cuûa 2 ñöôøng troøn caàn ñieàu kieän laø:

Neáu DE laø tieáp tuyeán chung thì OD⊥DE vaø O’E⊥DE.Vì OA=OD

⇒∆AOD caân ôû O⇒ODA=OAD.Töông töï ∆O’AE caân ôû

O’⇒O’AE=O’EA.Maø O’AE=OAD(ñ ñ)

⇒⇒ODO’=OEO’⇒D vaø E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúngOO’

nhöõng goùc baèng nhau⇒ODEO’ nt ⇒ODE+EO’O=2v.Vì DE laø tt cuûa

(O) vaø (O’)⇒ODE=O’ED=1v⇒EO’O=1v⇒ODEO’ laø hình chöõ nhaät

⇒DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A.

Vaäy ñeå DE laø tt chung cuûa hai ñöôøng troøn thì hai ñöôøng troøn coù

baùn kính baèng nhau.(hai ñöôøng troøn baèng nhau)

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 41:

Cho (O;R).Moät caùt tuyeán xy caét (O) ôû E vaø F.Treân xy laáy ñieåm

A naèm ngoaøi ñoaïn EF,veõ 2 tieáp tuyeán AB vaø AC vôùi (O).Goïi H laø

trung ñieåm EF.

1. Chöùng toû 5 ñieåm:A;B;C;O;H cuøng naèm treân moät ñöôøng

troøn.

2. Ñöôøng thaúng BC caét OA ôû I vaø caét ñöôøng thaúng OH ôû

K.C/m: OI.OA=OH.OK=R2.

3. Khi A di ñoäng treân xy thì I di ñoäng treân ñöôøng naøo?

4. C/m KE vaø KF laø hai tieáp tyueán cuûa (O)

68

1/ C/m:A;B;C;H;O

cuøng naèm treân

moät ñöôøng

troøn:

Ta coù

ABO=ACO(tính

chaát tieáp

tuyeán).Vì H l;aø

trung ñieåm daây

FE neân OH⊥FE

(ñöôøng kính ñi

qua trung ñieåm 1

B

O

I F y

H

E

A

C

K

OHA=1v⇒5 ñieåm A;B;O;C;H cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính

AO.

2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ∆ABO vuoâng ôû B coù BI laø ñöôøng cao.Aùp dung heä thöùc löôïng

trong tam giaùc vuoâng ta coù:OB2=OI.OA ;maø OB=R.⇒OI.OA=R2.(1)

Xeùt hai ∆ vuoâng OHA vaø OIK coù IOH chung.⇒∆AHO∽∆KIO⇒

OI

OH

OK

OA =

⇒OI.OA=OH.OK (2).

Töø (1) vaø (2)⇒ñpcm.

4/C/m KE vaø KF laø hai tt cuûa ñuôøng toøn (O).

-Xeùt hai ∆EKO vaø EHO.Do OH.OK=R2=OE2⇒ OK

OE

OE

OH = vaø EOH chung

⇒∆EOK∽∆HOE(cgc)⇒OEK=OHE maø OHE=1v⇒OEK=1v hay OE⊥EK taïi

ñieåm E naèm treân (O)⇒EK laø tt cuûa (O)

69

Hình

-c/m

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 42:

Cho ∆ABC (AB<AC) coù hai ñöôøng phaân giaùc CM,BN caét nhau ôû

D.Qua A keû AE vaø AF laàn löôït vuoâng goùc vôùi BN vaø CM.Caùc

ñöôøng thaúng AE vaø AF caét BC ôû I;K.

1.C/m AFDE noäi tieáp.

2.C/m: AB.NC=BN.AB

3.C/m FE//BC

4.Chöùng toû ADIC noäi tieáp.

Chuù yù baøi toaùn vaãn ñuùng khi AB>AC

A

N

F E

M D

K

B I C

1/C/m AFDE noäi tieáp.(Hs töï c/m)

70

Hình

2/c/m: AB.NC=BN.AB

Do D laø giao ñieåm caùc ñöôøng phaân giaùc BN vaø CM cuûa∆ABN ⇒

AN

AB

DN

BD = (1)

Do CD laø phaân giaùc cuûa ∆ CBN⇒ CN

BC

DN

BD = (2)

Töø (1) vaø (2) ⇒ AN

AB

CN

BC = ⇒ñpcm

3/c/M fe//bc:

Do BE laø phaân giaùc cuûa ABI vaø BE⊥AI⇒BE laø ñöôøng trung tröïc

cuûa AI.Töông töï CF laø phaân giaùc cuûa ∆ACK vaø CF⊥AK⇒CF laø

ñöôøng trung tröïc cuûa AK⇒ E laø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AI vaø

AK⇒ FE laø ñöôøng trung bình cuûa ∆AKI⇒FE//KI hay EF//BC.

4/C/m ADIC nt:

Do AEDF nt⇒DAE=DFE(cuøng chaén cung DE)

Do FE//BC⇒EFD=DCI(so le)

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 43:

Cho ∆ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cuøng ñôn vò ño ñoä daøi).Döïng

ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB vaø (O’) ñöôøng kính AC.Hai ñöôøng

troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi ñieåm thöù hai D.

1.Chöùng toû D naèm treân BC.

2.Goïi M laø ñieåm chính giöõa cung nhoû DC.AM caét DC ôû E vaø

caét (O) ôû N. C/m DE.AC=AE.MC

3.C/m AN=NE vaø O;N;O’ thaúng haøng.

4.Goïi I laø trung ñieåm MN.C/m goùc OIO’=90o.

5.Tính dieän tích tam giaùc AMC.

A

71

DAI=DCI⇒ADIC noäi tieáp

1/Chöùng toû:D

naèm treân ñöôøng

thaúng BC:Do

ADB=1v;ADC=1v(g

oùc nt chaén nöûa

ñöôøng troøn)

⇒ADB+ADC=2v⇒D

;B;C thaúng haøng.

I

O N O’

B D E C

M -Tính DB: Theo PiTaGo trong ∆ vuoâng ABC coù: BC= 252015 2222 =+=+ ABAC .Aùp

duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng ABC coù:

AD.BC=AB.AC⇒AD=20.15:25=12

2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xeùt hai tam giaùc ADE vaø AMC.Coù ADE=1v(cmt) vaø AMC=1v

(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn).Do cung MC=DB(gt)⇒DAE=MAC(2 goùc nt chaén 2

cung baèng nhau) ⇒∆DAE∽∆MAC⇒ AC

AE

MC

DE

MA

DA == (1)⇒Ñpcm.

3/C/m:AN=NE:

Do BA⊥AO’(∆ABC Vuoâng ôû A)⇒BA laø tt cuûa (O’)⇒sñBAE= 2

1sñ AM

SñAED=sñ 2

1 (MC+AD) maø cung MC=DM⇒cung MC+AD=AM

⇒ AED =BAC ⇒∆BAE caân ôû B maø BM⊥AE⇒NA=NE.

C/m O;N;O’ thaúng haøng:ON laø ñöôøng TB cuûa ∆ABE⇒ON//BE vaø OO’//BE

⇒O;N;O’ thaúng haøng.

4/Do OO’//BC vaø cung MC=MD ⇒O’M⊥BC⇒O’M⊥OO’⇒∆NO’M vuoâng ôû O’ coù O’I laø

trung tuyeán ⇒∆INO’ caân ôû I⇒IO’M=INO’ maø INO’=ONA(ñ ñ);∆OAN caân ôû

O⇒ONA=OAN⇒OAI=IO’O⇒OAO’I nt⇒OAO’+OIO’=2v maø OAO’=1v ⇒OIO’=1v.

5/ Tính dieän tích ∆AMC.Ta coù SAMC= 2

1AM.MC .Ta coù BD= 9

2

=BC

AB⇒DC=16

Ta laïi coù DA2=CD.BD=16.9⇒AD=12;BE=AB=15⇒DE=15-9=6⇒AE= 5622 =+DEAD

Töø(1) tính AM;MC roài tính S.

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 44:

Treân (O;R),ta laàn löôït ñaët theo moät chieàu,keå töø ñieåm A moät cung AB=60o, roài

cung BC=90o vaø cung CD=120o.

72

Hình

1. C/m ABCD laø hình thang caân.

2. Chöùng toû AC⊥DB.

3. Tính caùc caïnh vaø caùc ñöôøng cheùo cuûa ABCD.

4. Goïi M;N laø trung ñieåm caùc caïnh DC vaø AB.Treân DA keùo daøi veà phía A

laáy ñieåm P;PN caét DB taïi Q.C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc PMQ.

P

A J N K B

Q

I

O

D

M

C E

Do cung BC=90o ⇒BOC=90o⇒ ∆BOC vuoâng caân ôû O⇒BC=AD=R 2 Do cung CD=120o

⇒DOC=120o.Keû OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60o= ODDK

⇒DK=2

3R. ⇒CD=2DK=R 3

-Tính AC:Do ∆AIB vuoâng caân ôû I⇒2IC2=AB2⇒IA=AB2

2=

2

2R Töông töï IC=

2

6R; AC =

DB=IA+IC =2

2)31(

2

6

2

2 RRR +=+

4/PN caét CD taïi E;MQ caét AB taïi I;PM caét AB taïi J.

Do JN//ME ⇒ PE

PN

ME

JN =

Do AN//DE ⇒ PE

PN

DE

AN =

Do NI//ME ⇒ QE

NQ

ME

NI =

NB//ME ⇒ QE

NQ

DE

NB =

73

Hình

1/C/m:ABCD laø hình thang caân:Do

cung BC=90o ⇒BAC=45o (goùc nt

baèng nöûa cung bò chaén).do cung

AB=60o;BC=90o;CD=120o⇒

AD=90o ⇒ACD=45o

⇒BAC=ACD=45o.⇒AB//CD.

Vì cung DAB=150o.Cung ABC

=150o.⇒ BCD=CDA. ⇒ABCD laø

thang caân.

2/C/mAC⊥DB:

Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø

BD.sñAID= 2

1sñ

cung(AD+BC)=180o=90o.⇒AC⊥DB.

ME

JN

DE

AN =

DE

NB

ME

NI =

Vì NB=NA

⇒ ME

NI

ME

JN =

⇒NI=NJ.Maø MN⊥AB(tc thang caân)⇒∆JMI caân ôûp M⇒MN laø phaân

giaùc…

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi45:

Cho ∆ ñeàu ABC coù caïnh baèng a.Goïi D laø giao ñieåm hai ñöôøng

phaân giaùc goùc A vaø goùc B cuûa tam giaácBC.Töø D döïng tia Dx

vuoâng goùc vôùi DB.Treân Dx laáy ñieåm E sao cho ED=DB(D vaø E naèm

hai phía cuûa ñöôøng thaúng AB).Töø E keû EF⊥BC. Goïi O laø trung

ñieåm EB.

1. C/m AEBC vaø EDFB noäi tieáp,xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa

caùc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp caùc töù giaùc treân theo a.

2. Keùo daøi FE veà phía F,caét (D) taïi M.EC caét (O) ôû N.C/m EBMC

laø thang caân.Tính dieän tích.

3. c/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DAC.

4. C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB.

5. Chöùng toû A;D;N thaúng haøng.

6. Tính dieän tích phaàn maët traêng ñöôïc taïo bôûi cung nhoû EB

cuûa hai ñöôøng troøn.

E A

N

74

O

D

B F C

M

1/Do ∆ABC laø tam giaùc ñeàu coù D laø giao ñieåm 2 ñöôøng phaân giaùc

goùc A vaø B⇒BD=DA=DC maø DB=DE⇒A;B;E;C caùch ñeàu D⇒AEBC nt

trong (D).

Tính DB.Aùp duïng coâng thöùc tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi

tieáp ña giaùc ñeàu ta coù: DB===

oo

AB

nSin

AB

60sin21802 3

3a

Do goùc EDB=EFB=1v⇒EDFB noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O

ñöôøng kính EB.Theo Pi Ta Go trong tam giaùc vuoâng EDB

coù:EB2=2ED2=2.( 3

3a)2.

⇒EB= 3

6a⇒OE= 6

6a

2/C/m EBMC laø thang caân:

Goùc EDB=90o laø goùc ôû taâm (D) chaén cung EB⇒Cung EB=90o⇒goùc

ECN=45o.⇒∆EFC vuoâng caân ôû F⇒FEC=45o⇒MBC=45o(=MEC=45o)

⇒EFC=CBM=45o⇒BM//EC.Ta coù ∆FBM vuoâng caân ôû F⇒BC=EM

⇒EBMC laø thang caân.

Do EBMC laø thang caân coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc⇒SEBMC= 2

1

BC.EM (BC=EM=a)⇒SEBMC= 2

1a2.

3/C/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DCA:

Ta coù ACB=60o;ECB=45o⇒ACE=15o.

75

Do BD;DC laø phaân giaùc cuûa ∆ñeàu ABC ⇒DCB=ACD=30o vaø

ECA=15o ⇒ECD=15o ⇒ECA=ECD⇒EC laø phaân giaùc cuûa goùc ECA.

4/C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB:

Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45o⇒BEF=DEC vaø

DEC=DCE=15o.Maø BE F=BDF(cuøng chaén cung BF) vaø

NED=NBD(cuøng chaén cung ND)⇒NBD=BDF⇒BN//DF maø BN⊥EC(goùc

nt chaén nöûa ñuôøng troøn (O) ⇒DF ⊥EC.Do DC//BM(vì BMCE laø hình

thang caân)⇒DF⊥BM nhömg ∆BFM vuoâng caân ôû F⇒FD laø ñöôøng

trung tröïc cuûa MB.

5/C/m:A;N;D thaúng haøng: Ta coù BND=BED=45o (cuøng chaén cung DB)

vaø ENB=90o(cmt);ENA laø goùc ngoaøi ∆ANC⇒ENA=NAC+CAN=45o

⇒ENA+ENB+BND=180o⇒A;N;D thaúng haøng.

6/Goïi dieän tích maët traêng caàn tính laø:S.

Ta coù: S =Snöûa (O)-S vieân phaân EDB

S(O)=π.OE2=π.( 6

6a)2= 6

2πa⇒S 2

1

(O)= 12

2πa

S quaït EBD= o

oBD

360

90.2×π= 126

6

4

22

ππ aa =

×

S∆EBD= 2

1DB2= 6

2a

Svieân phaân=S quaït EBD - S∆EDB= 12

2πa- 6

2a= 12

)2(2 −πa

S = 12

2πa- 12

)2(2 −πa= 6

2a.

ÐÏ(&(ÐÏ

76

D E

I

Baøi 46:

Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính BC.Goïi a laø moät ñieåm baát kyø

treân nöûa ñöôøng troøn;BA keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy ôû F.Goïi D laø ñieåm

chính giöõa cung AC;DB keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy taïi E.

1. C/m BD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC vaø OD//AB.

2. C/m ADEF noäi tieáp.

3. Goïi I laø giao ñieåm BD vaø AC.Chöùng toû CI=CE vaø IA.IC=ID.IB.

4. C/m goùc AFD=AED

F

A

F

A

B O C

Hay OD laø phaân giaùc cuûa ∆ caân AOC⇒OD⊥AC.

Vì BAC laø goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn ⇒BA⊥AC

2/C/m ADEF noäi tieáp:

Do ADB=ACB(cuøng chaén cung AB)

Do ACB=BFC(cuøng phuï vôùi goùc ABC)

Maø ADB+ADE=2v⇒AFE+ADE=2v⇒ADEF noäi tieáp.

3/C/m: *CI=CE:

77

Hình

OD//BA

⇒ADB=AFE

1/* C/mBD laø phaân

giaùc cuûa goùc

ABC:Do cung

AD=DC(gt)⇒ABD=

DBC(hai goùc nt chaén

hai cung baèng

nhau)⇒BD laø phaân

giaùc cuûa goùc ABC.

*Do cung AD=DC

⇒goùc AOD=DOC(2

Ta coù:sñ DCA= 2

1sñ cung AD(goùc nt chaén cung AD) Sñ ECD= 2

1sñ cung

DC (goùc giöõa tt vaø 1 daây)

Maø cung AD=DC⇒DCA=ECD hay CD laø phaân giaùc cuûa ∆ICE.Nhöng

CD⊥DB (goùc nt chaén nöûa ñt)⇒CD vöøa laø ñöôøng cao,vöøa laø phaân

giaùc cuûa ∆ICE⇒∆ICE caân ôû C⇒IC=CE.

*C/m ∆IAD∽∆IBC(coù DAC=DBC cuøng chaén cung DC)

4/Töï c/m: ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi47:

Cho nöûa ñtroøn (O);ñöôøng kính AD.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy hai

ñieåm B vaø C sao cho cung AB<AC.AC caét BD ôû E.Keû EF⊥AD taïi F.

1. C/m:ABEF nt.

2. Chöùng toû DE.DB=DF.DA.

3. C/m:I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆CJD.

4. Goïi I laø giao ñieåm BD vôùi CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC

C

B

E

I M

A F O D

78

1/Söû duïng toång hai goùc

ñoái.

2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xeùt hai tam giaùc vuoâng BDA

vaø FDE coù goùc D chung.

⇒∆BDA∽∆FDE⇒ñpcm.

3/C/m IE laø taâm ñöôøng troøn

ngoaïi tieáp ∆FBC:

Goïi M laø trung ñieåm ED.

*C/m:BCMF noäi tieáp: Vì FM laø trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng

FED⇒FM=EM=MD= 2

1ED⇒Caùc tam giaùc FEM;MFD caân ôû

M⇒MFD=MDF vaø EM F=MFD+MDF=2MDF(goùc ngoaøi ∆MFD)

Vì CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCF⇒2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF

⇒BMF=BCF⇒BCMF noäi tieáp.

*Ta coù BFM∽∆BIC vì FBM=CBI(BD laø phaân giaùc cuûa FBC-cmt) vaø

BMF=BCI(cmt) ⇒ BC

BM

BI

BF = ⇒BF.BC=BM.BIu

*∆ IFM∽∆IBC vì BIC=FIM(ññ).Do BCMF noäi tieáp⇒CFM=CBM(cuøng

chaén cung CM)⇒ IM

IC

FI

IB = ⇒IC.IF=IM.IB v

Laáy utröøv veá theo veá

⇒ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2. ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 48:

Cho (O) ñöôøng kính AB;P laø moät ñieåm di ñoäng treân cung AB sao

cho PA<PB. Döïng hình vuoâng APQR vaøo phía trong ñöôøng troøn.Tia PR

caét (O) taïi C.

1. C/m ∆ACB vuoâng caân.

2. Veõ phaân giaùc AI cuûa goùc PAB(I naèm treân(O);AI caét PC taïi

J.C/m 4 ñieåm J;A;Q;B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.

79

Hình

ÂO B

3. Chöùng toû: CI.QJ=CJ.QP.

4. RR

I

P

J Q

A

R

C

3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.

Ta caàn chöùng minh ∆CIJ∽∆QPJ vì AIC=APC(cuøng chaén cung AC) vaø

APC=JPQ=45o⇒JIC=QPJ

Hôn nöõa PCI=IAP( cuøng chaén cung PI);IAP=PQJ(cmt)⇒ PQJ=ICJ

4/

ÐÏ(&(ÐÏ

80

Hình

1/ C/m∆ABC vuoâng caân:

Ta coù ACB=1v(goùc nt chaén

nöûa ñt) Vaø APB=1v ;Do

APQR laø hvuoâng coù PC laø

ñöôøng cheùo ⇒PC laø pg

cuûa goùc APB⇒ cung AC=CB

⇒daây AC=CB ⇒∆ABC vuoâng

caân.

2/C/m JANQ noäi tieáp:

Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ

chung;AP=PQ⇒∆PAJ=∆QPJ

Baøi 49:

Cho nöûa (O) ñöôøng kính AB=2R.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy ñieåm M

sao cho cung AM<MB.Tieáp tuyeán vôùi nöûa ñöôøng troøn taïi M caét tt Ax

vaø By laàn löôït ôû D vaø C.

1. Chöùng toû ADMO noäi tieáp.

2. Chöùng toû AD.BC=R2.

3. Ñöôøng thaúng DC caét ñöôøng thaúng AB taïi N;MO caét Ax ôû

F;MB caét Ax ôû E. Chöùng minh:AMFN laø hình thang caân.

4. Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân nöûa ñöôøng troøn ñeå DE=EF

F

C

E

M

D

N A O B

1/C/m ADMO nt:Söû duïng toång hai goùc ñoái.

81

Hình

2/C/m: AD.BC=R2.

&C/m:DOC vuoâng ôû O: Theo tính chaát hai tt caét nhau ta coù ADO=MDO

⇒MOD=DOA.Töông töï MOC=COB.Maø : MOD+DOA+MOC+COB=2v

⇒AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.

&Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng DOC coù OM laø ñöôøng cao

ta coù:DM.MC=OM2.Maø DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caét nhau) vaø OM=R ⇒ñpcm.

3/Do AD=MD(t/c hai tt caét nhau)vaø ADO=ODM ⇒OD laø ñöôøng trung tröïc cuûa

AM hay DO⊥AM. Vì FA⊥ON;NM⊥FO(t/c tt) vaø FA caét MN taïi D

⇒D laø tröïc taâm cuûa ∆FNO⇒DO⊥FN.Vaäy AM//FN.

Vì ∆OAM caân ôû O⇒OAM=OMA.Do AM//FN ⇒FNO=MAO vaø AMO=NFO

⇒FNO=NFO vaäy FNAM laø thang caân.

4/Do DE=FE neân EM laø trung tuyeán cuûa ∆ vuoâng FDM⇒ED=EM.u Vì

DMA=DAM vaø DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1v⇒EDM=DEM hay ∆EDM caân ôû D

hay DM=DEv.Töø uvaø v⇒∆EDM laø ∆ ñeàu ⇒ODM=60o⇒AOM=60o.Vaäy M

naèm ôû vò trí sao cho cung AM=1/3 nöûa ñöôøng troøn. ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 50:

Cho hình vuoâng ABCD,E laø moät ñieåm thuoäc caïnh BC.Qua B keû

ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi DE ,ñöôøng naøy caét caùc ñöôøng

thaúng DE vaø DC theo thöù töï ôû H vaø K.

1. Chöùng minh:BHCD nt.

2. Tính goùc CHK.

3. C/m KC.KD=KH.KB.

4. Khi E di ñoäng treân BC thì H di ñoäng treân ñöôøng naøo?

82

A D

B E C

H

K

KCB vaø KHD ñoàng daïng.

4/Do BHD=1v khoâng ñoåi ⇒E di chuyeån treân BC thì H di ñoäng treân

ñöôøng troøn ñöôøng kính DB.

ÐÏ(&(ÐÏ

PHAÀN TRẮC NGHIỆM

ÑEÀ 1

1/ Tam giaùc naøo sau ñaây vuoâng neáu bieát ñoä daøi 3 caïnh laø:

a/ 12cm; 9cm; 15cm b/ 11cm; 60cn; 61cm c/ 8cm; 15cm; 17cm

d/ Caû a,b,c ñuùng

83

1/ C/m BHCD nt(Söû duïng H

vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu

ñoaïn thaúng DB…)

2/Tính goùc CHK:

Do BDCE nt ⇒DBC=DHK(cuøng

chaén cung DC) maø DBC=45o

(tính chaát hình

vuoâng)⇒DHC=45o maø

DHK=1v(gt)⇒CHK=45o.

Hình

2/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù AB = 7cm; AC = 24cm, ñöôøng cao AH.

Ñoä daøi ñoaïn AH laøm troøn ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù hai laø:

a/ 6,72cm b/ 6,27cm c/ 7,62cm

d/ 7,26cm

3/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 12cm; BC = 20cm. Caâu naøo sau ñaây

ñuùng:

a/ sin µ 3C5

= b/ sin µ 4C3

= c/ cotg µ 4B5

=

d/ Caû a,b,c sai

4/ Cho sin35

α = , tg α laø bao nhieâu:

a/ 45 b/

34 c/

43

d/ 54

5/ Cho bieát sin α ≈ 0,4568. Vaây soá ño goùc α laøm troøn ñeán phuùt laø:

a/ 27013’ b/ 27010’ c/ 27011’

d/ 27023’

Traû lôøi caâu 6, 7 vaø 8 vôùi ñeà toaùn sau:

Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù BC = 12cm, ·ACB = 600, keû ñöôøng

cao AH.

6/ Ñoä daøi ñöôøng thaúng AB, AC laàn löôït laø:

a/ 12 3 cm, 6cm b/ 6 3 cm, 6cm c/ 6cm; 6 3 cm

d/ Ñaùp aùn khaùc

7/ Ñoä daøi ñoaïn AH laø:

a/ 3 3 cm b/ 3 3 cm c/ 2 3 cm

d/ 6 3 cm

8/ Caâu naøo sau ñaây sai?

a/ SinC = cosB d/ tgC = cotgB c/ cotgB = 3

d/ tgC = 3

2

9/ Tính cos27032’ laø troøn hai chöõ soá thaäp phaân:

a/ 0,82 b/ 0,89 c/ 0,38

d/ 0,29

84

10/ Caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai?

(I) sin2300 + cos2300 = 1; (II) tg280 = 0

0

sin28sin62

a/ (I) ñuùng, (II) ñuùng b/ (I) ñuùng, (II) sai c/ (I) sai, (II) ñuùng

d/ (I) ,(II) sai

ÑEÀ 2

1/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 20cm, BC = 29cm, ta coù tgB =

a/ 2021 b/

2029 c/

2120

d/ 2129

2/ Keát quaû naøo sau ñaây sai?

a/ sin600 = cos300 b/ tg450 = cotg450 c/ Sin750 = cos150

d/Khoâng caâu sai

3/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB:AC = 5:12, BC = 39. Ñoä daøi caùc caïnh

AB vaø AC laø

a/ 15cm,36cm b/ 10cm;24cm c/ 6cm;14,4cm

d/ 5cm;12cm

4/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ·ACB=500, AC = 20cm. Ñoä daøi caïnh BC

laø:

a/ 30,27cm b/ 31,11cm c/ 30,66cm

d/ 31,33cm

5/ Cho bieát tg α =1, vaäy cotg α laø:

a/ 1 b/ 0,5 c/ 0,75

d/ 0,667

6/ Tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 8cm, AC = 15cm. Caâu naøo sai?

a/ BC = 17cm b/ cosB = 8

17 c/ tgC = 1518


7/ Ñoä daøi x,y trong hình 1 laø bao nhieâu:

a/ 30 2;10 3 b/ 10 3;30 2

c/ 10 2;30 3 d/ Ñaùp aùn khaùc

85

8/ Tìm chieàu cao OM trong hình 2, bieát OA = 80m,

α = 24015’; AB = 1,5m:

a/ 33,54 b/ 36,54

c/ 37,54 d/ 38,54

9/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AC = 24mm, ·ABC=600, ñöôøng cao AH. Ñoä daøi ñoaïn AH laø:

a/ 12mm b/ 6 3 mm c/ 12 3 mm


10/ Cho bieát cos2

2α = , vaäy sin α baèng

a/ 1 b/ 2

2 c/ 3

2

d/ 12

ÑEÀ 3

1/ Ñoä daøi x trong hình (laøm troøn ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù hai) laø:

a/ 20,62cm b/ 20,87cm

c/ 21,45cm d/ 21,32cm

2/ Cho bieát sin α ≈ 0,667. Vaäy α baèng:

a/ 41050’ b/ 42015’

c/ 43025’ d/ 44018’

3/ Tam giaùc ABC caân taïi A, AB = AC = 6cm, ·BAC=1200. Vaäy ñoä daøi ñoaïn

thaúng BC laø:

a/ 3 3 cm b/ 4 3 cm c/ 5 3 cm

d/ 6 3 cm

Traû lôøi caâu 4,5,6 vôùi ñeà toaùn sau: “ Cho tam giaùc ABC coù AB = 75cm,

AC = 85cm, BC = 40cm”

4/ Tam giaùc ABC coù daïng ñaëc bieät naøo:

a/ Vuoâng taïi A b/ Vuoâng taïi B c/ Vuoâng taïi C

d/ TG thöôøng

5/ Keû ñöôøng cao BH. Ñoä daøi ñoaïn thaúng BH laø:

a/ 34,765cm b/ 35,184cm c/ 35,294cm

d/ 36,012cm

86

6/ Soá ño goùc C laø bao nhieâu:

a/ 61056’ b/ 62057’ c/ 63012’

d/ 64027’

7/ Keát quaû cuûa pheùp tính sin2400 + cos2400 laø:

a/ 0,643 b/ 1,409 c/ 1,876

d/ 1

8/ Ta giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 3a; AC = 4a. Keû phaân giaùc AD cuûa ·BAC

(D thuoäc BC). Ñoä daøi BD laø:

a/ 12a

7 b/ 15a7 c/

5a7

d/ 4a7

9/ Caùi thang daøi 2,5meùt döïng vaøo töôøng vaø khoaûng caùch an toaøn khi

goùc taïo bôõi thang vaø maët ñaát laø 600. vaäy chaân thang caùch töôøng laø

bao nhieâu meùt:

a/ 1,174m b/ 1,215m

c/ 1,305m d/ 1,502m

10/ Vôùi goùc nhoïn α tuyø yù, caâu naøo sai, caâu naøo ñuùng?

a/ sin2 α + cos2 α = 1 b/ tgα .cotgα = 1

c/ 1 + tg2 α = 2

1cos α d/ Caû a,b,c ñuùng.

Chöông II: ÑÖÔØNG TROØNÑEÀ 4

1/ Cho ñöôøng troøn (O;15cm) vaø daây cungAB=24cm. Khoaûng caùch töø daây

AB ñeán O laø:

a/12cm b/ 9cm c/ 8cm

d/ 6cm

2/ Cho ñoaïn thaúng OI=8cm, veõ caùc ñöôøng troøn (O;10cm) vaø (I;2cm). Hai

ñöôøng troøn (O) vaø (I)coù vò trí nhö theá naøo ñoái vôùi nhau ?

a/ (O) vaø (I) caét nhau b/ (O) vaø (I) tieáp xuùc ngoaøi

c/ (O) vaø (I) tieáp xuùc trong

d/ (O) ñöïng (I)

87

3/ Cho ñöôøng troøn (O;6cm) vaø ñöôøng thaúng a coù khoaûng caùch ñeán O laø

d, ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng a laø caùt tuyeán cuûa döôøng troøn (O) laø:

a/d < 6cm b/ d = 6cm c/ d 6cm≤

d/ d 6cm≥

4/ Goïi d laø khoaûng caùch hai taâm ñöôøng troøn (O;R) vaø (I;r); (R > r >0)?

Ñieàu kieän naøo thì hai ñöôøng troøn (O) vaø (I) ôû ngoaøi nhau :

a/ d < R-r b/ d > R+r c/ d = R+r

d/ d= R-r

5/ baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu caïnh 6cm laø:

a/ 3 cm b/ 2 3cm c/ 3 3 cm

d/ 6 3cm

Traû lôøi caâu 6,7 vaø 8 vôùi toaùn sau :

“Cho ñoaïn thaúng OI=29cm, veõ ñöôøng troøn (O;R) vaø (I;r) (giaû

söû R > r >0) ”

6/ Ñieàu kieän naøo sau ñaây thì hai ñöôøng troøn (O) vaø(I) caét nhau?

a/ R+r > 29cm b/ R-r < 29cm c/ caû a vaø b

d/ hoaëc a, hoaëc b

7/ Trong tröôøng hôïp hai ñöôøng troøn (O) vaø (I) caét nhau taïi A vaø B, cho

bieát R=21cm. Giaù trò r laø bao nhieâu thì OA laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn

(I)?

a/ r=16cm b/ r=18cm c/ r=19cm

d/ r=20cm

8/ Vôí ñieàu kieän ôû caâu 7. Ñoä daøi ñoaïn thaúng AB laø :

a/ 202121 cm b/

282829 cm c/

202021cm

d/ 282929 cm

9/ Tam giaùc coù ñoä daøi ba caïnh laø 7cm, 24cm, 25cm coù baùn kính ñöôøng

troøn ngoaïi laø :

a/ 12,5cm b/ 10cm c/ 10,5cm

d/ 16,5cm

10/ Hình troøn taâm O, baùn kính 3cm goàm toaøn boä caùc ñieåm caùch O coá

ñònh moät khoaûng d, vôùi :

88

a/ d = 3cm b d < 3cm c/ d 3≥ cm

d/ d 3≤ cmÑEÀ 5

1/ Töø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O), veõ hai tieáp tuyeán AB, AC vôùi

(O), (B, C laø hai tieáp ñieåm). Caâu naøo sau ñaây sai:

a/ AB = AC b/ AO laø trung tröïc cuûa BC

c/ · ·BAO CAO= d/ ∆ ABC ñeàu

2/ Cho (O; 8cm) vaø ñöôøng thaúng a coù khoaûng caùch ñeán O laø OH. Tính

OH ñeå a vaø (O) coù ñieåm chung:

a/ OH = 8 (cm) b/ OH ≤ 8 (cm) c/ OH ≥ 8(cm)

d/ OH < 8(cm)

3/ Cho (O;6cm) vaø (O;8cm) vaø (I;R). Ñieàu kieän cho R ñeå (I) tieáp xuùc vôùi

caû hai ñöôøng troøn treân:

a/ R = 1cm b/ R = 7cm c/ a, b ñuùng

d/ a, b sai.

4/ Ñöôøng troøn (O;4cm) noäi tieáp tam giaùc ñeàu. Ñoä daøi caïnh tam giaùc

ñeàu laø bao nhieâu:

a/ 2 3 cm b/ 4 3 cm c/ 6 3 cm

d/ 8 3 cm

5/ Tam giaùc ABC noäi tieáp (O), bieát AÂ = 650; µB=500. Goïi I, K, L laø trung

ñieåm cuûa AB, AC, BC. Khi ñoù:

a/ OI < OL < OK b/ OL < OK < OI c/ OK < OI < OL

d/ Caû a,b,c sai

6/ Tam giaùc ABC caân taïi A coù ·BAC = 450 vaø BC = 6cm noäi tieáp (O; R), khi

ñoù R baèng:

a/ 2 cm b/ 2 2 cm c/ 3 2 cm

d/ 4 2 cm

Traû lôøi caâu 7, 8, 9 vôùi ñeà toaùn sau: “ Cho hình thang vuoâng ABCD (µ µA D= = 900), AB = 19cm, AD = 12cm, CD = 24cm”

7/ Ñoä daøi caïnh BC laø:

a/ 13cm b/ 15cm c/ 16cm

d/ 17cm

89

8/ Soá ño goùc C laøm troøn ñeán phuùt laø:

a/ 66033’ b/ 67023’ c/ 69023’

d/ 70010’

9/ Baùn kính ñöôøng troøn taâm D, tieáp xuùc vôùi BC laø:

a/ 201

13cm b/ 222

13cm c/ 212

13cm

d/ Keát quaû khaùc

10/ Cho (O; R) vaø hai baùn kính OA, OB vuoâng goùc vôùi nhau, caùc tieáp

tuyeán taïi A, B cuûa (O) caét nhau taïi S. Caâu naøo sai:

a/ OASB laø hình vuoâng b/ SA = SB = R

c/ ·SAB = 450 d/ Caû a,b,c ñuùngÑEÀ 6

1/ Goïi d laø khoaûng caùch hai taâm cuûa (O;R) vaø (I; r) bieát ( R > r > 0 ) laø:

a/ d > R + r b/ d < R – r c/ d = R + r

d/ d = R – r

2/ Cho (O;8cm) vaø I vôùi OI = 10cm. Giaù trò naøo cuûa R thì (I;R) tieáp xuùc vôùi

(O)

a/ 2cm b/ 18cm c/ 2cm hoaëc 18cm


3/ Cho tam giaùc ABC noäi tieáp (O;5cm). Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp

tam giaùc ABC laø bao nhieâu:

a/ 5 3 cm b/ 5cm c/ 10 3 cm

d/ 10cm

4/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 15cm; AC = 20cm.Veõ (A; R).Giaù trò R

ñeå BC laø tieáp tuyeán cuûa (A)

a/ R = 12cm b/ R = 15cm c/ R = 10cm

d/ R = 17,5cm

5/ Cho (O;15cm) vaø (I;13cm) caét nhau taïi A vaø B. Bieát khoaûng caùch hai

taâm hai ñöôøng troøn laø: 14cm. Ñoä daøi daây chung laø:

a/ 12cm b/ 14cm c/ 24cm

d/ 28cm

6/ Cho (O; 4cm) vaø hai daây AB, AC sao cho AB = AC vaø ·BAC = 450.Ñoä daøi

daây BC laø:

90

a/ 4 2 cm b/ 6cm c/ 4 3 cm

d/ 8cmChöông III: GOÙC VÔÙI ÑÖÔØNG TROØN

ÑEÀ 7

1/ Treân (O) laáy thöù töï 4 ñieåm A, B,C, D sao cho sñ »BC=600, sñ »CD = 1300,

caùch xeáp naøo ñuùng:

a/ AB>BC>CD>DA b/ AB>BC>DA>CD c/ CD>AB>DA>BC

d/CD>AB>BC>DA

2/ Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O), bieát µ µ0 0A 70 ,C 40= = , caâu

naøo sai:

a/ sñ »AB = 800 b/ » »AC BC= c/ · ·AOC BOC=


3/ Dieän tích hình vaønh khaên giôùi haïn bôõi (O;10cm) vaø (O ; 6cm) laø:

a/ 64 π (cm2) b/ 60 π (cm2) c/ 72 π (cm2)


4/ Cho (O;4cm) vaø cung AB coù sñ »AB = 800. Ñoä daøi cung AB laø ( π = 3,14)

a/ 4,85cm b/ 5,58cm c/ 5,85cm

d/ 6,58cm

5/ Treân (O) laáy cung AB coù sñ »AB = 600, treân cung AB lôùn laáy C, D (C thuoäc

cung AD) sao cho sñ »CD = 1500, AD caét BC taïi I, AC caét BD taïi K. soá ño caùc

goùc · ·CID;CKD laø:

a/ 750; 300 b/ 1500; 600 c/ 1050; 450

d/ 750; 600

Traû lôøi caâu 6,7,8 vôùi baøi toaùn sau: “Cho tam giaùc ABC (AB < AC)

nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R) vôùi caùc ñöôøng cao AD; BE; CF, tröïc taâm

H”.

6/ Töù giaùc naøo noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn:

a/ BFEC b/ AEDB c/ CEHD

d/ Caû a,b,c ñuùng]

7/ Cho sñ »AB = 900, sñ »AC= 1200, Goùc EFD coù soá ño laø bao nhieâu:

a/ 600 b/ 900 c/ 450

d/ 1050

8/ Ñoä daøi ñoaïn thaúng BC (tính theo R) laø:

91

a/ R 3 b/ R( 3 1)

2+

c/ R( 2 6)

2+

d/ R( 3 2)

2+

9/ Hình troøn ngoaïi tieáp luïc giaùc ñeàu caïnh A coù dieän tích laø:

a/ 5 π (cm2) b/ 10 π (cm2) c/ 16 π (cm2)

d/ 25 π (cm2)

10/ Cung AB cuûa (O;R) coù soá ño laø 1200. Vaäy dieän tích hình quaït OAB tính

theo R laø:

a/ 2R

3π

b/ 22 R

3π

c/ 23 R

2π

d/ 25 R

3π

ÑEÀ 8

1/ Hình 1, bieát »»

sñACsñAB

= 21 , soá ño cuûa goùc α baèng bao nhieâu:

a/ 400 b/ 300

c/ 600 d/ 500

2/ Dieän tích hình troøn laø 25 π (cm2). Vaäy chu vi hình troøn laø:

a/ 10 π (cm) b/ 8 π (cm)

c/ 6 π (cm) d/ 5 π (cm)

3/ Cho (O; R) vaø daây AB = R. Treân cung nhoû AB laáy ñieåm M . Khi ñoù: ·AMB

baèng:

a/ 600 b/ 900 c/ 1500

d/ 1200

4/ Treân (O; R) laáy hai ñieåm A, B bieát soá ño cung lôùn AB laø 2700. Ñoä daøi

daây AB tính theo R laø:

a/ R b/ R 2 c/ R 3

d/ R 3

2

5/ Caâu naøo sau ñaây chæ soá ño cuûa 4 goùc noäi tieáp:

a/ 600; 1050; 1200; 850 b/ 750; 850; 1050; 950 c/ 800; 900; 1100; 900

d/ 680;920;1120;980

92

6/ Moät hình troøn coù chu vi laø 37,68cm thì dieän tích vôùi ( 3,14π ≈ ) laø:

a/ 113,04cm2 b/ 112,64cm2 c/ 110,74cm2

d/ 108,74cm2

7/ Cho (O; 5cm) vaø daây AB = 5 3 cm. Ñoä daøi cung nhoû AB vôùi ( 3,14π ≈ )

laø:

a/ 10,74cm b/ 11,36cm c/ 10,47cm

d/ 11,63cm

ÑEÀ 9

1/ Cho hình troøn (O; R) hai baùn kính OA, OB sao cho ·AOB =1200. Soá ño cung

lôùn AB laø:

a/ 1200 b/ 2100 c/ 2400


2/ Cho (O) vaø hai daây AB, AC sao cho ·BAC= 500. Khi ñoù sñ »BC nhoû laø:

a/ 1000 b/ 2600 c/ 1300

d/ 500

3/ Hình veõ, bieát · »0ASB 25 ;sñAB= =800. Soá ño cung CD laø:

a/ 500 b/ 300

c/ 450 d/ 250

4/ Moät hình quaït troøn cuûa ñöôøng troøn (O;R) coù dieän tích laø: 2R

3π

(ñvdt).

Ñoä daøi cung troøn laø:

a/ R3

πb/

2 R3π

c/ 3 R

2π

d/ Keát quaû khaùc.

5/ Treân (O) ñaët lieân tieáp caùc ñieåm A,B,C,D sao cho sñ »AB :» » »sñBC: sñCD : sñDA = 4:3:2:1. AC caét BD taïi I. Soá ño ·AIB laø:

a/ 540 b/ 600 c/ 1000

d/ 1080

ÑEÀ 10

1/ Vôùi ñieàu kieän naøo sau ñaây thì töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôïc:

93

a/ · ·0 0DAB 120 ;BCD 60= = b/ · ·DAC DBC= c/ · ·ADC ABC+ =1800

d/Moät trong ba ÑK

2/ Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø ñöôøng troøn noäi tieáp hình vuoâng

caïnh 8 laàn löôït laø:

a/ 4 2 cm, 4cm b/ 8 2 cm, 4cm c/ 6 2 cm,6cm

d/ 4 2 cm,6cm

Chöông IV: HÌNH TRUÏ – HÌNH NOÙN – HÌNH CAÀU

1/ Dieän tích maët caàu baùn kính 5cm laø:

a/ 628cm2 b/ 314cm2 c/ 942cm2

d/ 471cm2

2/ Dieän tích xung quanh cuûa hình truï laø 452,16mm2, chieàu cao hình truï laø

12mm. Vaäy baùn kính ñöôøng troøn ñaùy laø:

a/ 2cm b/ 3cm c/ 4cm

d/ 6cm

3/ Moät hình noùn coù dieän tích xung quanh laø 37,68cm2, baùn kính ñöôøng

troøn ñaùy laø 3cm. Ñoä daøi ñöôøng sinh laø: a/ 3cm

b/ 4cm c/ 5cm d/ 6cm

4/ Hình chöõ nhaät ABCD, AB = 10cm, AD = 12cm, quay moät voøng quanh caïnh

AB, theå tích hình sinh ra laø:

a/ 4521,6cm3 b/ 4641,6cm3 c/ 4812,6cm3

d/ 4920,6cm3

5/ Moät hình caàu coù theå tích laø 7134,56dm3. Vaäy baùn kính hình caàu laø:

a/ 15dm b/ 13dm c/ 12dm

d/ 10dm

6/ Dieän tích xung quanh cuûa hình 1 laø:

a/ 2586,13cm2 b/ 2865,31cm2

c/ 2658,13cm2 d/ 2568,31cm2

7/ Theå tích cuûa hình 2 laø:

a/ 14130cm3 b/ 7065cm3

c/ 9420cm2 d/ Keát quaû khaùc

94

8/ Hình truï coù theå tích laø 2826cm3,chieàu cao hình truï laø 25cm,dieän tích

ñaùy laø:

a/ 131,04cm2 b/ 113,04cm2 c/ 134,01cm2

d/ 143,10cm2

9/ Hình noùn coù dieän tích ñaùy laø 113,04cm2, chieàu cao laø 8cm, ñoä daøi

ñöôøng sinh laø bao nhieâu:

a/ 5cm b/ 6cm d/ 8cm

d/ 10cm

10/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 5cm, AC = 12cm. Quay moät voøng

quanh caïnh AC. Dieän tích xung quanh hình phaùt sinh laø:

a/ 188,40cm2 b/ 392,50cm2 c/ 204,10cm2

d/ 489,84cm2

ÑEÀ 11:

1/ Hình truï coù theå tích laø 200cm3, dieän tích ñaùy laø 100cm2, chieàu cao

baèng:


d/ 4cm

2/ Dieän tích maët caàu laø 314dm2, baùn kính laø:

a/ 5dm d/ 4dm c/ 3dm

d/ 2dm

3/ Hình noùn coù chu vi ñaùy laø 50,24cm, chieàu cao laø 6cm. Ñoä daøi ñöôøng

sinh laø:

a/ 9cm b/ 10,5cm c/ 10cm

d/ 12cm

4/ Tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 18cm, AC = 24cm. Quay moät voøng quanh

caïnh AB. Dieän tích toaøn phaàn cuûa hình sinh ra laø:

a/ 2034,72cm2 b/ 1356,48cm2 c/ 4069,44cm2

d/ 2260,8cm2

5/ Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 20mm, quay moät voøng quanh

caïnh AB. Tính theå tích hình phaùt sinh

a/ 4293,18mm3 b/ 4186,67mm3 c/ 4412,20mm3

d/ 4520,18mm3

95

6/ Moät hình caàu coù theå tích laø 113,04cm3, vaäy dieän tích maët caàu laø:

a/ 200,96cm2 b/ 226,08mm2 c/ 150,72cm2

d/ 113,04cm2

7/ Hình truï coù ñöôøng kính ñöôøng troøn ñaùy laø 30cm, chieàu cao 10cm thì

dieän tích toaøn phaàn laø:

a/ 2099cm2 b/ 2221,11cm2 c/ 2355cm2

d/ 2831,67cm2

8/ Hình noùn coù baùn kính ñöôøng troøn ñaùy laø 3cm, chieàu cao laø 4cm.

Dieän tích xung quanh laø:

a/ 37,68cm2 b/ 62,80cm2 c/ 47,10cm2

d/ KQ khaùc.

Chöông I: CAÊN BAÄC HAI – CAÊN BAÄC BAÑEÀ 1

1/ Keát quaû cuûa pheùp tính: ( ) 22 27 3 12 2 3− + − laø:

a/ 2 2 2+ b/ 2 3− c/ 2 3+

d/ 2 4 3−

2/ Bieåu thöùc 2 4x− coù nghóa khi :

a/ 1x2

≤ b/ 1x2

≥ c/ x<12

d/ x >12

3/ Caùc saép xeáp naøo sau ñaây ñuùng :

a/2 6 > 4 2 >3 3 b/ 3 3 2 6 4 2> > c/ 4 2 3 3 2 6> >

d/ 4 2 2 6 3 3> >

4/ Caên baäc ba cuûa -216laø:

a/ -6 b/ 6 c/ -36

d/ Khoâng tính ñöôïc

* Traû lôøi caùc caâu hoûi 5 vaø 6 vôùi bieåu thöùc sau2x 6x 9A x 3x 3− += − +−

96

5/ Bieåu thöùc ruùt goïn cuûa bieåu thöùc A khi x< 3 laø :

a/ 3-x b/ x-2 c/ 2-x

d/ x-3

6/ giaù trò cuûa bieåu thöùc A khi x= 4 laø :

a/ -7 b/ -6 c/ 7

d/ 6

7/ Phöông trình 2x 1 2+ = coù nghieäm laø:

a/ x=1 hoaëc x= -1 b/ x 2= hoaëc x 2= − c/ x 3= hoaëc x 3= −

d/ Voâ nghieäm

8/ Vôùi ñieàu kieän naøo thì 2a a= − :

a/ a= o b/ a≤ 0 c/ a 0≥

d/ ñaúng thöùc khoâng

theå xaûy ra

9/ Caâu naøo ñuùng? Caâu naøo sai? (I) A.B A . B=

(II) A A B

BB= (vôùi B > 0)

a/ (I) ñuùng, (II) sai b/ (I) sai ,(II) ñuùng c/ (I) ñuùng ,(II) ñuùng

d/ (I) sai, (II) sai

10/ Nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình x2 = 150 laø ( laøm troøn ñeán chöõ

soá thaäp phaân thöù ba ) :

a/ 12,247 b/ 12,681 c/ 12,405

d/ 12,717ÑEÀ II:

1/ Keát quaû cuûa pheùp tính ( ) ( ) 223 2 2 4− − − + laø :

a/ 0 b/1 c/2

d/ -1

2/ Phöông trình x 4 0+ = coù nghieäm laø:

a/ x = 4 b/ x = -4 c/ x = 4 hay x = -4

d/ voâ nghieäm

*Traû lôøi caùc caâu hoûi 3,4,5 vôùi bieåu thöùc sau:

97

x x x 1Ax x 1

− −= +−

3/ Ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc A coù nghóa:

a/ x 0≠ vaø x 1≠ b/ x > 0 c/ x > 0 vaø x 1≠

d/ x >1

4/ Bieåu thöùc ruùt goïn cuûa bieåu thöùc A laø:

a/ 2 x b/ 2 c/ 2 x 2+

d/ x 1+

5/ Tìm x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc A laø 2

a/ x = 0 b/ x = 1 c/ x = 1 hay x = -1

d/ voâ nghieäm

6/ Keát quaû cuûa pheùp tính ( ) ( )2 225 16

1 3 1 3−

− + laø:

a/ 9 3

2−

b/ 9 3 1

2−

c/ 9 3

2+

d/ 9 3 1

2+

7/ Bieåu thöùc vieát döôùi daïng bình phöông moät hieäu laø:

a/ ( ) 26 6− b/ ( ) 2

3 2 6− c/ ( ) 23 3 2 2−

d/ ( ) 23 2 2 3−

8/ Caùc keát naøo sau ñaây ñuùng :

a/ 64 36 64 36+ = + b/ 5 2 2 5<

c/ 25 49 15:36 81 14

=

d/ khoâng coù caâu naøo ñuùng

9/ Phöông trình 3 x 2 8

3x 1+ =+ coù nghieäm :

a/ x = 4 b/ x = -4 c/ x = 4 hay x = -4

d/ voâ nghieäm

10/ Ñeå thöïc hieän pheùp tính 2 3 2 3− − + , baïn Haân thöïc hieän nhö sau :

Ñaët A 2 3 2 3= − − +

98

Ta coù ( ) ( )2 22A 2 3 2 2 3. 2 3 2 3= − − − + + +

(1)

= 2 3 2 4 3 2 3− − − + + (2)

= 4 – 2 = 2 (3)

Vaäy A = 2 (4)

Baïn Haân ñaõ thöïc hieän sai ôû phaàn naøo :

a/ (1) b/ (1) vaø (2) c/ (4)

d/ Haân thöïc hieän

khoâng sai

Chöông III: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅNÑEÀ 8

1/ Phöông trình naøo laø phöông trình baäc nhaát hai aån:

a/ xy + x = 2 b/ 2x – y = 0 c/ x + y = xy

d/ Caû a,b,c

2/ Heä x 2y 3x 3y 2

+ = − = − coù nghieäm laø :

99

a/ ( - 1 ; 2) b/ (2 ; 12 ) c/ (1 ; 1)

d/ (- 2 ; 52 )

3/ Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(-2 ;0) vaø B(-2 ;1) laø :

a/ y = -x – 2 b/ x = - 2 c/ y = -2

d/ y = x + 2

4/ Coâng thöùc nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình x – 2y = 0 laø :

a/ (x ∈ R, y = 2x) b/ (x∈R ; y = x2 ) c/ (x = 2 ; y∈R)

d/ (x = 0 ; y∈R)

* Traû lôøi caâu 5,6,7 vôùi ñeà toaùn sau : « Moät hình chöõ nhaät coù chieàu

daøi lôùn hôn chieàu roäng laø 3m, neáu taêng moãi chieàu leân 3m thì dieän tích

hình chöõ nhaät taêng theâm 90m2 . Tính chu vi hình chöõ nhaät”

5/ Vôùi x (m) : chieàu roäng (x > 0), y(m) laø chieàu daøi (y > 3) thì heä phöông

trình laäp ñöôïc laø :

a/ y x 3x y 81

= + + = b/

y x 3x y 27

= + + = c/

x x 3x y 87

= + + =

d/ y x 3x y 30

= + + =

6/ Chieàu roäng hình chöõ nhaät tìm ñöôïc laø:

a/ 12m b/ 15m c/ 18m

d/ 20m

7/ Chu vi hình chöõ nhaät laø:

a/ 66m b/ 78m c/ 86m

d/ 54mÑEÀ 9

1/ Tìm m, n ñeå heä mx 2y 1x ny 2

− = + = − nhaän caëp soá (-2;1) laøm nghieâm.

a/ m=2; n = 0 b/ m = 12 ; n = 0 c/ m = -

12 ; n = 1

d/ m = 12 ; n =1

2/ Heä 3x y 22x 5y 3

+ = − = töông ñöông vôùi heä naøo?

100

(I) y 3x 217x 13

= − + = (II)

3x y 217x 5

+ = =

a/ Heä (I) b/ Heä (II) c/ Heä (I) vaø (II)

d/ Khoâng T ñöông

3/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng x – y = 0 vaø x + 2y = 3 laø:

a/ (3;3) b/ (2;2) c/ (-1;-1)

d/ (1;1)

4/ Giaù trò naøo cuûa a thì heä: 2a x y 1

x y a + = + =

coù voâ soá nghieäm

a/ a = 1 b/ a = -1 c/ a = 1 hoaëc a = -1


5/ Heä naøo sau ñaây voâ nghieäm:

(I) y 3x 1y 3x 1

= − = − + (II)

y 2 4xy 4x

= − = −

a/ Heä (I) b/ Heä (II) c/ Caû (I) vaø (II)

d/ Khoâng coù

* Traû lôøi caâu hoûi 6,7 vôùi baøi toaùn sau:“ Tìm hai soá bieát soá thöù

nhaát gaáp 3 laàn soá thöù hai vaø hieäu cuûa chuùng laø 10”

6/ Hai soá phaûi tìm laø x, y. Baïn Haân vaø Tuyeát laäp ñöôïc heä phöông trình

sau, haõy cho bieát ai ñuùng, ai sai:

Haân: y 3xy x 10

= − = Tuyeát:

x 3yx 10 y

= = −

a/ Haân ñuùng, Tuyeát sai b/ Haân sai, Tuyeát

ñuùng c/ Caû hai cuøng ñuùng d/ Caû hai cuøng sai

7/ Soá nhoû tìm ñöôïc laø:

a/ 15 b/ 10 c/ 5

d/ 3ÑEÀ 10

1/ Cho haøm soá y = ax + b coù ñoà thi (d), bieát (d) qua hai ñieåm A(1;3), B(2;2).

Vaäy giaù trò cuûa a, b laø:

a/ a = -1; b = 4 b/ a = 2;b = 2 c/ a = 1; b = 3

d/ a = -4; b = -1

101

2/ Heä 2x y 1

yx 32

− + = − =

coù nghieäm laø:

a/ (2;5) b/ (1;3) c/ VSN ( x ∈R,y=1+2x)

d/ VN

Traû lôøi caâu 3, 4 vôùi ñeà toaùn sau:” Tìm moät soá coù hai chöõ soá bieát

raèng chöõ soá haøng chuïc lôùn hôn chöõ soá haøng ñôn vò laø 6 ñôn vò, neáu

ñoåi choã hai chöõ soá cho nhau ta ñöôïc moät soá môùi vaø toång soá cuõ vaø

soá môùi laø 132”.

3/ Chöõ soá haøng chuïc caàn tìm laø:

a/ 9 b/ 8 c/ 7

d/ 6

4/ Soá phaûi tìm laø:

a/ 60 b/ 71 c/ 82

d/ 93

5/ Hình veõ sau minh hoaï taäp nghieäm cuûa phöông trình naøo:

a/ y = -2x + 1

b/ y = x2

− + 1

c/ y = -x + 1

d/ y = - x + 2

6/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng x – 3y = 3 vôùi truïc hoaønh laø:

a/ (0; 32 ) b/ (3;0) c/ (0; -

32 )

d/ (-3;0)ÑEÀ 11

1/ Tìm a ñeå ñöôøng thaúng ax – 2y = 4 ñi qua ñieåm (-3; 2)

a/ a = 0 b/ a = 83

− x/ a = 83

d/ a = -4

2/ Tìm hai soá bieát toång cuûa chuùng baèng 72, hieäu cuûa chuùng laø 36. Hai

soá phaûi tìm laø:

a/ 58 vaø 14 b/ 52 vaø 20 c/ 56 vaø 16

d/ 54 vaø 18

102

3/ Tìm a ñeå heä 2ax 3y 1x y 2a

− = + = voâ nghieäm:

a/ a = 12

− b/ a = 12 c/ a =

32

−

d/ Giaù trò khaùc

4/ Heä phöông trình:

x y 5x 1 y 22x y 1

x 1 y 2

+ = − + − = − +

coù nghieäm laø:

a/ (2; -3) b/ (3; -2) c/ (- 2; 3)

d/ Voâ nghieäm

5/ Heä phöông trình naøo sau ñaây coù moät nghieäm:

a/ y 2x 1y 2x 3

= + = − b/

y x 5y x 5

= − + = − c/

0x 2y 10x 4y 3

− = + =

d/ 2x 0y 3x 0y 1

− = + = −

6/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng x – y = 1 vaø 2x + 3y = 7 laø:

a/ (2;1) b/ (1;0) c/ (- 2; -3)

d/ (- 1; -2)

7/ Giaù trò naøo cuûa m vaø n thì heä phöông trình: mx ny 22mx ny 1

+ = − = − coù nghieäm

(2; 1):

a/ 1 3m ,n6 5

= = b/ 5 1m ;n3 6

= = c/ 1 5m ;n6 3

= =

d/ 3 1m ;n5 6

= =

CHÖÔNG IV: HAØM SOÁ y = ax2 (a ≠ 0)ÑEÀ 12

1/ Cho haøm soá y = ax2 (a ≠ 0), caâu naøo sau ñaây ñuùng :

a/ Neáu a > 0 thì y > 0 vôùi moïi soá thöïc x khaùc 0 b/ Neáu a<0 thì y<0 vôùi

moïi soá thöïc x khaùc 0

c/ Neáu x = 0 thì y = 0 d/ Caû a, b, c ñuùng

2/ Phöông trình naøo sau ñaây coù hai nghieäm phaân bieät:

a/ x2 + x + 1 = 0 b/ x2 + 4 = 0 c/ 2x2 – 3x – 1 = 0

d/ 4x2 – 4x + 1 = 0

3/ Ñieåm A(-4;4) thuoäc ñoà thò haøm soá y = ax2, vaäy a coù giaù trò laø:

103

a/ 14 b/ -

14 c/ 4

d/ -4

4/ Giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình x2 – 4x + 3m – 2 = 0 coù nghieäm laø – 2

a/ m = -2 b/ m = 103

− c/ m = 13


5/ Ñieåm naøo sau ñaây thuoäc ñoà thò haøm soá y = 2x

3−

a/ 11;3

− − ÷ b/ 42;3

− ÷ c/ (-3;3)

d/ 1; 33

− − ÷

6/ Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät:

a/ m > 13 b/ m <

13 c/ m >

43

d/ m < 43

7/ Hai soá 6 vaø -4 laø nghieäm cuûa phöông trình naøo:

a/ x2 – 6x – 4 = 0 b/ x2 + 2x – 24 = 0 c/ x2 – 2x – 24 = 0

d/ x2 – 2x + 24 = 0

Traû lôøi caâu 8, 9, 10 vôùi baøi toaùn sau: “ Moät hình chöõ nhaät coù

chieàu roäng baèng 23

chieàu daøi, dieän tích hình chöõ nhaät laø 2400.

Tính chu vi cuûa hình chöõ nhaät”

8/ Phöông trình cuûa baøi toaùn vôùi x (m) laø chieàu daøi hình chöõ nhaät (x > 0)

laø:

a/ x2 - 32 x – 2400 = 0 b/ x2 -

23 x – 2400 = 0 c/

32 x2 = 2400

d/ x2 = 3600

9/ Chieàu daøi hình chöõ nhaät tìm ñöôïc laø:

a/ 60m b/ 54m c/ 48m

d/ 36m

10/ Chu vi hình chöõ nhaät laø:

a/ 144m b/ 200m c/ 120m

d/ 160mÑEÀ 13

104

1/ Phöông trình naøo sau ñaây voâ nghieäm

a/ 2x2 – 4 = 0 b/ x2 – 6x = 0 c/ 3x2 + x – 1 = 0

d/ x2 – 4x + 5 = 0

Traû lôøi caùc caâu hoûi 2,3,4 vôùi ñoà thò haøm soá (P) : y = 2x

4

2/ Caâu naøo sau ñaây sai:

a/ Haøm soá y = 2x

4 nghòch bieán khi x < 0, ñoàng bieán khi x > 0 b/

Ñieåm A(-4; 4) thuoäc ñoà thò (P)

c/ Haøm soá coù giaù trò laø 0 khi x = 0 d/ Khoâng coù caâu sai.

3/ Treân (P) laáy hai ñieåm M, N coù hoaønh ñoä baèng laàn löôït laø – 2 vaø 1.

Phöông trình ñöôøng thaúng MN laø:

a/ y = 1 1x

4 2− − b/

1 1x4 2− + c/

1 1x2 4

−

d/ 1 1x2 4

+

4/ Ñoä daøi ñoaïn thaúng AB laø:

a/ 2 3

4 b/ 3 17

4 c/ 4

d/ 274

5/ Tìm a ñeå phöông trình x2 – 2ax – 4a – 4 = 0 coù hai nghieäm phaân bieät:

a/ a > 2 b/ a ≠ 2 c/ a ≠ - 2

d/ a > - 2

6/ Nghieäm cuûa phöông trình x3 – 4x = 0 laø:

a/ x = 0 b/ x = 2 c/ x = - 2


7/ Toång vaø tích hai nghieäm cuûa phöông trình: 3x2 – 2x + 5 = 0 laø:

a/ 2 5;3 3 b/

2 5;3 3

−c/

2 5;3 3

−

d/ Khoâng coù

8/ Tìm m ñeå phöông trình x2 – 3x + m + 1 = 0 coù hai nghieäm phaân x1, x2 vaø x12

+ x22 = 5

a/ m = -1 b/ m = 1 c/ m = 3

d/ m = - 3

105

9/ Phöông trình baäc hai bieát hai nghieäm 5 2 5 2;5 2 5 2

− ++ − laø phöông trình:

a/ 3x2 - 2 5x + 3 = 0 b/ 3x2 - 2 2 x + 3 = 0 c/ 3x2 – 14x + 3 = 0

d/ 3x2 - 2 10 +3= 0

10/ Tìm m ñeå ñöôøng thaúng (d): y = m vaø parapol (P): y = - x2 coù ñieåm chung:

a/ m = 0 b/ m < 0 c/ m ≤ 0

d/ m ≥ 0ÑEÀ 14

1/ Phöông trình x2 – 3x + 2 = 0 coù nghieäm laø:

a/ -1; 2 b/ 1;2 c/ - 1; -2

d/ 1; -2

2/ Giaù trò naøo cuûa k thì phöông trình x2 – 2kx + 2k – 1 = 0 coù nghieäm keùp:

a/ k = 1 b/ k = -1 c/ k = - 2

c/ k = 2

3/ Phöông trình : x4 + 5x + 4 = 0 coù soá nghieäm laø:

a/ 4 nghieäm b/ 2 nghieäm c/ 1 nghieäm

d/ Voâ nghieäm

4/ Tìm a ñeå ñöôøng thaúng (d): y = x + a tieáp xuùc vôùi (P): y = x2

a/ a = - 1 b/ a = 1 c/ a = -14

d/ 14

Traû lôøi caâu 5, 6 vôùi phöông trình sau: x2 – 6x + 1 – 3m = 0

5/ Giaù trì naøo cuûa m thì phöông trình coù nghieäm:

a/ m > 8

3−

b/ 8m

3−≥ c/ m =

83−

d/ Keát quaû khaùc

6/ Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm x1, x2 vaø x1 + x2 + x1.x2 = 11

a/ m = 43

−b/ m =

43 c/ m =

34−

d/ Khoâng tìm ñöôïc

7/ Tìm x, y bieát: x y 7xy 12

+ = − = ta ñöôïc:

a/ (-3 ; -4) b/ (-4 ;-3) c/ Caû a, b ñuùng

d/ a hoaëc b sai

106

ÑEÀ 15

1/ Phöông trình naøo sau ñaây coù nghieäm keùp :

a/ 3x2 – 5x = 0 b/ 9x2 – 12x + 4 = 0 c/ 3x2 + 5 = 0

d/ x2 – 4x + 3

2/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa (d): y = x vaø (P): y = x2 laø:

a/ (0;0) b/ (1;1) c/ a, b ñuùng

d/ a hoaëc b sai

3/ Tìm m ñeå phöông trình 3x2 – 2x + 4m – 1 = 0 coù hai nghieäm laø hai soá

nghòch ñaûo cuûa nhau:

a/ m = 14 b/ m = 1 c/ m =

34

d/ Khoâng toàn taïi

4/ Hai soá 5 3+ vaø 5 3− laø nghieäm cuûa phöông trình naøo:

a/ x2 - 2 3 x + 2 = 0 b/ x2 + 2 3 x + 2= 0 c/ x2 - 2 5x + 2 = 0

d/ x2 + 2 5x + 2=0ÑEÀ 16

1/ Phöông trình x 1− = x – 1 coù nghieäm laø:

a/ x = 1 b/ x = 2 c/ x = 1 hoaëc x = 2

d/ VSM x ≥ 1

2/ Bieát phöông trình x2 – 5x + 4m – 3 = 0 (1) coù moät nghieäm x1 = 2. Tìm m vaø

nghieäm x2 cuûa phöông trình:

a/ m = 94 ; x = 3 b/ m =

94 ; x = -3 c/ m = -

94 ; x = 3

d/ m = -94 ; x = -3

3/ Tìm m ñeå phöông trình (1) coù hai nghieäm x1, x2 thoaû x1 = 4x2

a/ m = 4/3 b/ m = 8/3 c/ m = 2

d/ m = 7/4PHAÀN OÂN TAÄP HOÏC KYØ I

ÑEÀ 30

1/ Keát quaû cuûa pheùp tính: 2,7. 0,3. 360. 490 laø:

a/ 378 b/ 387 c/ 396

d/ 420

2/ Tìm k ñeå ñöôøng thaúng y = (3 – 2k)x – 3k ñi qua ñieåm A(-1;1)

107

a/ k = -1 b/ k = 2 c/ k = 3

d/ k = - 4

Traû lôøi caâu 3,4 vôùi bieåu thöùc: A =

( ) ( )a 1 a 11 aa : 2 aa 1 a

− + − ÷+ − ÷ ÷ ÷+

3/ Ruùt goïn A ta ñöôïc:

a/ A = 1 b/ A = a

1 a+ c/ A = 1 a

a−

d/ A = 1 a

a+

4/ Tìm giaù trò cuûa a ñeå A = 2, ta coù:

a/ a = 0 b/ a = 1 c/ Voâ nghieäm

d/ VSN a > 0,a ≠ 1

5/ Ñoä daøi x, y trong hình veõ laø:

a/ x = 20cm; y = 30cm b/ x = 16cm; y = 26cm

c/ x = 20cm; y = 32cm d/ x = 18cm; y = 32cm

6/ Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc

ABC (AB = AC = 10cm, ·BAC=1200), ta ñöôïc keát quaû :

a/ 12cm b/ 14cm c/ 10cm

d/ 8cm

7/ Cho (O; 6cm) vaø (I;8cm) caét nhau taïi A, B, bieát AB = 9,6cm. Khoaûng caùch

giöõa hai taâm OI laø:

a/ 12cm b/ 10cm c/ a,b ñuùng

d/ a,b saiÑEÀ 31

1/ Keát quaû pheùp tính 16 1 323 27 2 3

− − laø:

a/ 3

18 b/ 7 318 c/

11 318

d/ 13 3

18

2/ Phöông trình 2 2 2x 1 4x 4 9x 9 0+ + + − + = coù soá nghieäm laø:

108

a/ 1 nghieäm b/ 2 nghieäm c/ VSN

d/ VN

3/ Tìm k ñeå haøm soá y = 2 1k3 3

− ÷ x + k nghòch bieán treân R:

a/ k = 12 b/ k > 2 c/ k < 2

d/ k < 12

4/ Cho AB = 24cm laø daây cung cuûa (O;15cm), khoaûng caùch töø daây AB

ñeán O laø:

a/ 16cm b/ 20cm c/ 12cm

d/ Ñaùp aùn khaùcÑEÀ 32

1/ Khi x = 3 + 2 thì giaù trò cuûa haøm soá y = (3 - 2 )x – 3 laø:

a/ 8 - 6 2 b/ 6 c/ 2 2

d/ 4

2/ Bieát (d): y = ax + b caét truïc tung taïi ñieåm coù tung ñoä baèng 1 vaø caét

truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä laø 2 thì a, b coù giaù trò laø:

a/ a = 1; b = 1 b/ a = 1; b = 2 c/ a = -12 ;b = 1

d/ a = - 12 ;b = 2

Traû lôøi 3,4 vôùi baøi toaùn : Cho (O; 8cm) vaø (I; 4cm) tieáp xuùc ngoaøi taïi A, vôùi DB, BC, DA laø caùc tieáp tuyeán nhö hình veõ2:

3/ Caâu naøo sau ñaây laø sai:

(1) OBCI laø hình thang vuoâng

(2) D laø trung ñieåm cuûa BC

(3) Tam giaùc ODI vuoâng taïi D

a/ (1) sai b/ (2) sai c/ (3) sai

d/ Khoâng coù caâu sai

4/ Ñoä daøi ñoaïn thaúng SO. SI laø:

a/ 32cm vaø 16cm b/ 28cm vaø 14cm c/ 24cm vaø 12cm

d/ KQ khaùcÑEÀ 33

1/ Ruùt goïn bieåu thöùc: 2 2x 4x 4 x 6x 9− + + − + vôùi 2 ≤ x ≤ 3 laø:

109

a/ 2x – 5 b/ 5 – 2x c/ 2x

d/ 1

2/ Tìm x ñeå haøm soá: y = (1 - 2 )x coù giaù trò laø 1 + 2 :

a/ x = 1 b/ x = - 3 - 2 2 c/ 3 + 2 2

d/ - 1 - 2

3/ Ñieåm naøo treân ñoà thò haøm soá y = - 3x + 2 coù hoaønh ñoä vaø tung ñoä

ñoái nhau:

a/ (1; -1) b/ (2; -2) c/ (3; - 3)

d/ (12 ; -

12 )

4/ Tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = 40cm, BC = 50cm. Keû ñöôøng cao AH.

Caâu naøo sau ñaây sai:

a/ AH = 24cm b/ BH = 32cm c/ sinC = cosB = 45

d/ tg ·HAB =34

ÑEÀ 34

1/ Keát quaû cuûa pheùp tính 7 4 3 7 4 3− + + laø:

a/ 2 3 b/ 4 c/ 2 3 - 4

d/ 0

2/ Phöông trình x + x = 0 coù bao nhieâu nghieäm:

a/ 1 nghieäm b/ 2 nghieäm c/ VSN x ≥ 0

d/ VN

3/ Ñoà thò haøm soá y = - x3 + 1 ñi qua ñieåm naøo sau ñaây:

a/ M(2;13 ) b/ N(

13 ;

23 ) c/ P(-3;0)

d/ Caû a,b,c


(1) 5 < 26 2 6<

(2) Haøm soá y = (2k – 1)x – k ñoàng bieán khi k < 12

(3) Tam giaùc coù ñoä daøi ba caïnh laø 9cm; 40cm; 41cm laø tam giaùc

vuoâng

(4) sin2270 + cos2270 = 1

110

a/ (1) b/ (1) vaø (2) c/ (1) vaø (3)

d/ (2); (3); (4)

5/ Bieát sin45

α = . Caâu naøo sau ñaây ñuùng:

a/ cos35

α = b/ tg34

α = c/ cotg43

α =

d/ Caø a,b,c ñuùng

6/ Ñoä daøi ñoaïn thaúng AC treân hình laø:

a/ 28,285cm b/ 30,186cm

c/ 32,007cm d/ 33,018cm

7/ Caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai:

(I) Baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ñeàu caïnh 9cm laø 3 3

3

(II) Vôùi OI = 12cm thì hai ñöôøng troøn (O;6cm) vaø (I;6cm) baèng nhau vaø

tieáp xuùc ngoaøi nhau:

a/ (I) sai, (II) ñuùng b/ (I) ñuùng , (II) sai c/ (I) ñuùng , (II) ñuùng

d/ (I) sai, (II) sai

8/ Cho (O; a) vôùi a > 0 vaø ñieåm A sao cho OA = 3a. Ñoä daøi tieáp tuyeán keû

töø A ñeán ñöôøng troøn (O) laø:

a/ a 3 b/ 2a 2 c/ 2a 3

d/ a 2

ÑEÀ 35

1/ Keát quaû cuøa pheùp tính: 5 2 5 25 2 5 2

− +−+ − laø:

a/ 143 b/

2 103 c/

4 103

−

d/ 4 10

3

2/ So saùnh naøo sau ñaây sai:

(1) 2 5 5 2< (2) 16 9 16 9+ > + (3) (2 2)(2 2) (2 3)(2 3)+ − < − +

a/ (1) b/ (1); (2) c/ (2) ; (3)

d/ (1); (3)

111

3/ Tìm a, b ñeå hai ñöôøng thaúng sau truøng nhau: y = (3a – 1)x – 2 + b vaø y = (2

– a)x + 4 - 3 b

a/ a=4 2;b3 3

= b/ a=3 3;b4 2

= c/ a=3 3;b2 4

=

d/ a=2 4;b3 3

=

4/ Keát quaû naøo sau ñaây ñuùng:

a/ sin850 = cos50 b/ tg600.cotg600 = 1 c/ 0

00

sin16 tg16sin74

=

d/ Caû a,b,c ñuùngÑEÀ 36

1/ Giaù trò cuûa bieåu thöùc A = 22 x x 4x 4− + − + vôùi x = 5 laø:

a/ 0 b/ 2 5 c/ 4

d/ 2 5 - 4

2/ Keát quaû cuûa pheùp tính 11 6 2 3 2 2− + − laø:

a/ 4 - 2 b/ 2 c/ 6 - 2

d/ - 4

Traû lôøi caâu 3,4 vôùi bieåu thöùc: A = a a 8 2a

a 2 a− +

−

3/ Ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc A coù nghóa:

a/ a ≥ 0 b/ a > 0 c/ a > 0 vaø a ≠ 0

d/ a > 0 vaø a ≠ ± 4

4/ Ruùt goïn bieåu thöùc A laø:

a/ ( a+1)2 b/ ( a+2)2 c/ ( a - 1)2

d/ ( a - 2)2

5/ Ñieåm naøo thuoäc ñoà thò haøm soá y = -x3 + 2 coù hoaønh ñoä vaø tung ñoä

baèng nhau laø:

a/ (3;3) b/ (2;2) c/ (2 2;3 3 )

d/ (32 ;

32 )

6/ Tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 20cm, AC = 21cm, tæ soá naøo sau ñaây

sai:

112

a/ sinB = 2129 b/ cosC =

2129 c/ tgC =

2621

d/ cotgB = 2129

Traû lôøi caâu 7,8 vôùi baøi toaùn sau: “Cho (O;R) ñöôøng kính AB,

treân cung AB laáy ñieåm M sao cho MA = R, veõ MH vuoâng goùc vôùi tieáp

tuyeán taïi A cuûa (O)

7/ Soá ño goùc A vaø goùc B laàn löôït laø:

a/ 600; 300 b/ 300; 600 c/ 750; 150

d/ 150; 750

8/ Tính MH.AB baèng:

a/ 4R2 b/ 2R2 c/ R2

d/ 23R

2

9/ Cho tam giaùc ABC coù AB = 6cm; AC = 8cm; BC = 10cm; keû phaân giaùc

cuûa goùc B caét AC taïi D. Ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng AD; DC laàn löôït laø:

a/ 2cm; 6cm b/ 3cm; 5cm c/ 3,5cm; 4,5cm

d/ 3,2cm; 4,8cm

OÂN TAÄP HOÏC KYØ II

ÑEÀ 38

1/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa (d): y = x + 1 vaø parabol (P): y = - 2x

4 laø:

a/ (-2;-1) b/ (1; - 14 ) vaø (4;-4) c/ (2;-1)

d/ (-1; -14 )vaø(-4;-4)

2/ Caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai:

(I) Phöông trình x2–( 3 -1)x - 3 -2= 0 coù hai nghieäm laø x1 =1 vaø x2 = - 3 -

2 vaø coù daïng a + b + c = 0

(II) Phöông trình 3x2 – x + 7 = 0 coù x1 + x2 = 13 vaø x1.x2 =

73 vôùi x1, x2 laø hai

nghieäm cuûa phöông trình

a/ (I) ñuùng, (II) ñuùng b/ (I) sai, (II) sai c/ (I) ñuùng , (II) sai

d/ (I) Sai, (II) ñuùng

113

3/ Moät hình truï coù baùn kính ñöôøng troøn ñaùy laø 2a, chieàu cao laø 4a (a >

0) thì coù theå tích laø:

a/ 16 π a3 b/ 8 π a3 c/ 4 π a3

d/ KQ khaùc

4/ Hình veõ, bieát · ·0 0AIC 40 vaø AKC 80= = . Vaäy sñ »DB laø:

a/ 300 b/ 400

c/ 500 d/ 600

Traû lôøi caâu 5, 6 vôùi giaû thieát baøi toaùn sau: “ Cho (O;R) vaø daây cung BC sao cho ·BOC=1200, caùc tieáp tuyeán taïi B, C caét nhau taïi A

5/ Caâu naøo sau ñaây ñuùng:

a/ ·ABC = 600 vaø ∆ ABC ñeàu b/ Töù giaùc AOBC noäi

tieáp ñöôøng troøn

b/ AO laø ñöôøng trung tröïc cuûa BC d/ Caû a, b, c ñuùng

6/ Ñoä daøi ñoaïn thaúng OA (tính theo R) laø:

a/ R 2 b/ R 3 c/ 2R

d/ KQ khaùc

ÑEÀ 39

1/ Phöông trình naøo sau ñaây voâ nghieäm

a/ 2x2 – 9 = 0 b/ 9x2 – 6x + 1 = 0 c/ x2 – x + 1 = 0

d/ Caû a,b,c

2/ Tìm m ñeå ñöôøng thaúng y = x + m tieáp xuùc vôùi parabol y = x2:

a/ m = - 14 b/ m = -

14 c/ m = 1

d/ m = 1

3/ Heä phöông trình x y 5xy 6

+ = = coù nghieäm laø:

a/ (2;3) b/(3;2) c/ Caû a,b ñuùng

d/ Caû a,b sai

4/ Moät hình noùn coù baùn kính ñöôøng troøn ñaùy laø a, chieàu cao laø 3a (a >

0) theå tích tính theo a laø:

a/ 2 π a3 b/ π a3 c/ 32 a

3π

d/ KQ khaùc

114

ÑEÀ 40

1/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d): y = x vaø parabol (P): y = -x2 laø:

a/ (0;0) vaø (-1;-1) b/ (0;0) vaø (1;-1) c/ (1;-1)

d/ KQ khaùc

2/ Hình veõ bieåu dieãn taäp nghieäm cuûa phöông trình naøo?

a/ 0x – 3y = 6 b/ 2x + 0y = -4

c/ 2x – y = 0 d/ 2x + y = - 4

3/ Cho (O) vaø moät cung AB coù soá ño laø 1100, M thuoäc cung AB nhoû.

Soá ño goùc AMB laø:

a/ 550 b/ 1100 c/ 1250

d/ KQ khaùc

4/ Cho (O;20cm) ñöôøng kính AB, M laø ñieåm treân ñöôøng troøn sao cho AM =

16cm, x’Ax laø tieáp tuyeán taïi A cuûa (O). khoaûng caùch töø M ñeán xx’ laø:

a/ 9,6cm b/ 12,8cm c/ 14cm

d/ 13cm

5/ Cho (O;R) vaø daây AB = R 2 . Dieän tích hình vieân phaân giôùi haïn bôõi

daây vaø cung nhoû AB tính theo R laø:

a/ ( ) 21 R

4π −

b/ ( ) 22 R

4π −

c/ ( ) 23 R

4π −

d/ ( ) 24 R

3− π

6/ Hình caàu coù baùn kính 6cm thì theå tích hình caàu vôùi π = 3,14 laø:

a/ 904,32 cm3 b/ 1808,64 cm3 c/ 602,88 cm3

d/ 723,46cm3

ÑEÀ 41

1/ Tìm a ñeå phöông trình x2 – 4x + a = 0 coù nghieäm keùp:

a/ a = -4 b/ a = 16 c/ a = 4

d/ a = - 16

2/ Giaù trò naøo cuûa a, b ñeå heä 2ax by 2ax 3by 15

+ = − − = − coù nghieäm laø (-3;2)

a/ a = 1; b = 2 b/ a = 2; b = 1 c/ a = - 1;b = -2

c/ a = -2; b = -1

3/ Goïi x1, x2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình x2 – 5x – 6 = 0, ta coù:

115

a/ x1+x2= -5; x1.x2= -6 b/ x1+x2=5; x1.x2=6 c/ x1+x2= -5; x1.x2= 6

d/x1+x2=5;x1.x2= - 6

4/ Tìm a ñeå ñöôøng thaúng y = a caét parabol (P): y = -x2 taïi hai ñieåm phaân

bieät :

a/ a > 1 b/ a < -1 c/ a > 0

d/ a < 0

ÑEÀ 42

1/ Ñieåm A(- 2; -1) thuoäc ñoà thò haøm soá naøo?

a/ y = -2x

2 b/ y = 2x

2 c/ y = - 2x

4

d/ y = 2x

4

2/ Phöông trình naøo sau ñaây coù hai nghieäm laø 5 vaø 3:

a/ x2 – 5x + 3 = 0 b/ x2 + 5x + 3 = 0 c/ x2 – 8x + 15 = 0

d/ x2 + 8x + 15 = 0

3/ Cho phöông trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1), tìm m ñeå phöông trình coù hai

nghieäm phaân bieät x1, x2 vaø

x12 + x2

2 = 20

a/ m = 0 b/ m = -2 c/ m = 1

d/ m = -1

4/ Cho A(1;1) vaø B(-2;7), phöông trình ñöôøng thaúng AB laø:

a/ y = 2x – 1 b/ y = - x + 2 c/ y = -2x + 3

d/ y = 3x + 2

5/ Choïn caâu traû lôøi ñuùng :

(I) : Neáu ac > 0 thì phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 voâ nghieäm.

(II) : Vôùi a = -14 thì phöông trình x2 – 2x – 4a = 0 coù nghieäm keùp.

a/ (I) sai, (II) sai b/ (I) sai, (II) ñuùng c/ (I) ñuùng, (II) sai

d/ (I) ñuùng,(II) ñuùng

6/Cho (O;R) vaø daây cung AB = R 3 , caùc tieáp tuyeán taïi A, B caét nhau taïi S.

Soá ño ·ASB laø:

a/ 1200 b/ 900 c/ 800

d/ 600

116

7/ Cung AB cuûa ñöôøng troøn coù soá ño 600. Dieän tích hình quaït OAB laø:

a/ 2R

6π

b/ 2R

4π

c/ 2R

3π

d/ 2R

2π

Traû lôøi caâu 8,9 vôùi baøi toaùn sau: “Cho (O;R) ñöôøng kính AB, C laø ñieåm chính giöõa cung AB. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC, AI caét cung BC taïi M”

8/ Tæ soá MA:MB laø:

a/ 5 : 3 b/ 4 : 1 c/ 3 : 1

d/ 2 : 1

9/ Ñoä daøi ñoaïn thaúng MA, MB tính theo R laø :

a/ 5R 34 3R 34;

17 17 b/ 3R 10 R 10;

5 5 c/ 8R 17 2R 17;

17 17

d/ KQ khaùc

ÑEÀ 43

1/ Phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng y = 2x vaø tieáp

xuùc vôùi parabol y = x2 laø :

a/ y = 2x + 1 b/ y = 2x – 1 c/ y = 2x + 12

d/ y = 2x - 12

OÂN TAÄP CUOÁI NAÊM

ÑEÀ 44

1/ Phöông trình x2 – ( 3 + 1)x + 3 = 0 coù nghieäm laø :

a/ x = 1 ; x = 3 b/ x = -1 ; x = - 3 c/ x = 2 3 ; x = -3

2

d/ VN

2/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa y = 2x – 3 vaø y = -x2 laø:

a/ (1; -1) vaø (3; -9) b/ (-1; -1) vaø (-3; -9) c/ (-1; -1) vaø (3; -9)

d/ (1; -1) vaø (-3; -9)

3/ Cung AB cuûa (O;R) coù ñoä daøi laø 4 R

9π

. Vaäy sñ »AB laø:

a/ 600 b/ 800 c/ 900

d/ 1100

117

4/ Cho tam giaùc ABC coù AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Keû ñöôøng cao

AH. Caâu naøo sau ñaây sai:

a/ ∆ ABC vuoâng taïi A b/ AH = 7,2cm c/ sinC = 35

d/ tgB = 43

ÑEÀ 45

1/ Keát quaû cuûa pheùp tính 1 1

2 5 2 5−

+ − laø:

a/ 4 b/ -2 5 c/ 2 5

d/ -4

2/ Phöông trình x 1 x

x x 1+ +

+ = 2 coù nghieäm laø:

a/ x = 1 b/ x = 2 c/ x = 1 hoaëc x = 2

d/ VN

3/ Tìm m ñeå phöông trình mx2 – 95m – 2)x + 6m – 5 = 0 coù hai nghieäm laø hai

soá nghòch ñaûo cuûa nhau:

a/ m = 0 b/ m = -1 c/ m = 1

d/ m = 2

4/ Cho tam giaùc ABC coù AÂ = 700, µC = 500 noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Caâu

naøo sau ñaây laø sai:

a/ sñ »AC = 1200 b/ » » »AC AB BC< < c/ ·AOB = 1000

d/ Khoâng coù caâu sai

5/ Dieän tích hình BCA laø bao nhieâu neáu OB = a, AB = a 3

a/ ( ) 22 3 a

6

− πb/

( ) 22 3 a

3

− π

c/ ( ) 23 3 a

6

− πc/

( ) 23 3 a

3

− π

6/ Moät hình truï coù baùn kính ñöôøng troøn ñaùy laø 10cm, chieàu cao 20cm thì

coù theå tích vôùi 3,14π ≈ laø:

a/ 4832,20cm3 b/ 5840 cm3 c/ 4186,67 cm3

d/ 6280 cm3

7/ Boùng cuûa moät caùi coät ñieän treân maët ñaát daøi 20m, tia naéng maët

trôøi taïo vôùi maët ñaát moät goùc 250, tính chieàu cao cuûa coät ñieän:

118

a/ 9,33m b/ 10,8m c/ 12,01m

d/ 14,25m

ÑEÂ1 46

1/ Keát quaû cuûa pheùp tính 21 12 1

7 2 2 3− +− + laø:

a/ 1 b/ 2 c/ 2 3 - 2

d/ 2 3 - 1

2/ Phöông trình x 2− = x – 2 coù nghieäm laø:

a/ x = 2 b/ x = 2 hay x = 3 c/ VN

d/ VSN x ≥ 2

3/ Giaù trò cuûa m vaø n ñeå hai ñöôøng thaúng y = (3 – 2m)x + 4 – n vaø y = (m –

1)x + 2n – 3 truøng nhau laø:

a/ m = 2/3; m = 5/3 c/ n = -2/3;m = -5/3 c/ m = 4/3;n = 7/3

d/ m = -4/3;m = -7/3

4/ Phöông trình truøng phöông 4x4 + 3x2 – 1 = 0 coù soá nghieäm laø:

a/ 4 nghieäm b/ 2 nghieäm c/ 1 nghieäm

d/ VN

5/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A , BC = 60cm, ·ABC = 300. Ñoä daøi ñoaïn

thaúng AB laø:

a/ 30cm b/ 30 2 cm c/ 30 3

d/ KQ khaùc

6/ Cho OI = 8cm, Veõ (O;5cm). Giaù trò cuûa R ñeå (I;R) tieáp xuùc vôùi ñöôøng

troøn (O):

a/ 3cm b/ 13cm c/ a,b ñuùng

d/ a, b sai

7/ Dieän tích hình quaït OAB cuûa (O) laø 25 R

12π

, vaäy sñ »AB laø:

a/ 900 b/ 1500 c/ 1200

d/ KQ khaùc

8/ Hình noùn coù baùn kính ñaùy laø 5cm, chieàu cao laø 10cm thì theå tích vôùi 3,14π ≈ laø:

a/ 261,67cm3 b/ 174,44cm3 c/ 232,59cm3

d/ 348,89cm3

119

ÑEÀ 47

1/ Ñoä daøi x treân hình baèng:

a/ 6cm b/ 8cm

c/ 9cm d/ 10cm

2/ Tam giaùc ñeàu ABC noäi tieáp (O;R). Ñoä daøi caïnh AB vaø baùn kính r cuûa

ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC tính theo R laø:

a/ RAB R 2; r2

= = b/ RAB R 3; r2

= = c/ R 3AB R 3; r

3= =

d/R 3AB=R 2;r=

6

9/ Daây AB = 16cm cuûa (O;10cm) coù khoaûng caùch ñeán O laø:


d/ 8cm

10/ Hình veõ, bieát ·ASO = 400. Soá ño cung AC laø:

a/ 1300 b/ 1200

c/ 1150 d/ 1100

ÑEÀ 48: Traû lôøi caâu 1,2 vôùi bieåu thuùc sau: A = 2x 8x 16x 1x 4− +− −

−

1/ Khi x < 4 , ruùt goïn A ta ñöôïc:

a/ A = x b/ A = x – 2 c/ A = 2 + x

d/ KQ khaùc

2/ Vôùi x = 14

− thì giaù trò cuûa A laø:

a/ 74 b/

94

− c/ 14

−

d/ 0

3/ Cho A, B laø hai ñieåm thuoäc (P): y = x2 coù hoaønh ñoä laàn löôït laø -2; 1.

Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua A, B laø:

a/ y = x + 2 b/ y = -x + 2 c/ y = -x – 2

d/ y = x – 2

4/ Moät hình chöõ nhaät coù chu vi laø 64m vaø dieän tích laø 192m2, chieàu daøi

hình chöõ nhaät laø :

a/ 14m b/ 16m c/ 24m

d/ 20m

120

5/ Töù giaùc naøo sau ñaây khoâng theå noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn :

a/ Hình chöõ nhaät b/ Hình thoi c/ Hình vuoâng

d/ Hình thang caân

6/ Daây AB coù khoaûng caùch ñeán taâm O cuûa (O ;29cm) laø 20cm. Ñoä daøi

daây AB laø :

a/ 26cm b/ 38cm c/ 42cm

d/ 50cm

Traû lôøi 7,8 vôùi baøi toaùn sau: Hình veõ bieát ·ABC = 600; µC = 450, SA laø tieáp

tuyeán.


a/ sñ »AC = 1200 b/ ·AOB = 900

c/ SA2 = SB.SC c/ Khoâng coù caâu sai.

8/ Soá ño goùc ASB laø:

a/ 150 b/ 200 c/ 250

d/ 300

ÑEÀ 49

1/ Tìm a ñeå ñöôøng thaúng y = x + 1 tieáp xuùc vôùi patabol y = ax2:

a/ a = -1 b/ a = -1/2 c/ a = ¼

d/ a = -1/4

2/ Tìm m ñeå phöông trình : 2x2 – (m + 1)x + 2m – 3 = 0 coù nghieäm laø -1:

a/ m = 0 b/ m = 1 c/ m = 2

d/ ÑA khaùc

3/ Ñoä daøi cung AB cuûa (O;5cm) laø 20cm. Dieän tích hình quaït OAB laø:

a/ 500cm2 b/ 100 cm2 c/ 50 cm2

d/ 20 cm2

ÑEÀ 50

1/ Phöông trình 4x2 – 4x + 1 = 0 coù nghieäm laø:

a/ x1 = x2 = ½ b/ x1 = x2 = - ½ c/ x1 = x2 = 1

b/ x1 = x2 = -1

2/ Phöông trình 12 12 1

x 1 x− =

− coù nghieäm laø:

a/ x = 4; x = -3 b/ x = 4; x = 3 c/ x = -4;x = 3

d/ VN

121

[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] on-luyen_hinh_hoc_vao_10

Documents

Transcript of [Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] on-luyen_hinh_hoc_vao_10