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Transcript of wu H J wx w z...ij j j i ij j z zx x zy y zz z y yx x yy y yz z x xx x xy y xz z T e e T e e e T e e...
概要
基礎理論
1.応力とひずみおよび平衡方程式
2.降伏条件式
3.構成式(応力-ひずみ関係式)
有限要素法
1.有限要素法の概要
2.仮想仕事の原理式と変分原理
3.平面ひずみ弾性有限要素法定式化
FEMの基礎方程式
平衡方程式
0
0
0
1.
zzyzzx
yyzyxy
xzxxyx
Gzyx
Gzyx
Gzyx
ひずみ-変位関係式
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zxzx
yzyz
xyxy
z
y
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.2
klijklij D
構成式
応力-ひずみ関係式
)(
.3
変位の境界条件
力の境界条件
境界条件式
uii
tii
SonVu
SonPt
.4
応力とひずみおよび
平衡方程式
物体にはたらく力と応力
応力の定義
dA
d
AAn
PPT
0lim応力ベクトル:
dA
dN
A
N
An
0lim垂直応力:
dA
dQ
A
Q
An
0limせん断応力:
応力ベクトル
jij
j
jiji
zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
eeT
eeeT
eeeT
eeeT
テンソル標記で
応力テンソル
zyzzx
yzyxy
zxxyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
jiij
モーメントの釣合
=応力テンソルの対称性
xyyxxy
二次元応力行列と主応力
y
x
y
x
yxy
yxx
y
x
n
n
n
n
T
T
0
0
y
x
yxy
yxx
n
n
0
yxy
yxx
2121212 ,0))((0 主応力 II
三次元応力の座標変換
nmlT
nmlT
nmlT
zyzxznz
zyyxyny
zxyxxnx
nTmTlT nznynxn
222nnn T
jji
j
jjini nnT
三次元応力行列と主応力
0)(
jijij
jijijjini
n
nnnT
0)(det ijij
0322
13 III
今考えている面を主応力 がはたらく主応力面とすると
上式が nj=0 以外の解をもつためには
上式を展開すると
ここで J1,J2,J3 を応力の不変量という.
上式の3実根を 1 ,2,3 とすれば
321321 ,,0 主応力
三次元応力の不変量
ijxyzzxyyzxzxyzxyzyx
ijijjjiizxyzxyxzzyyx
miixyx
I
I
I
det2
2
1
3
2223
2222
1
3213
1332212
3211
I
I
I
あるいは主応力を用いて表すと
平均垂直応力と偏差応力
13
1
3
1
3Jii
zyxm
平均垂直応力=静水応力 ⇒塑性変形に無関係
偏差応力 ⇒塑性変形を引き起こす
ijmijij
m
m
m
zxyzxy
mzz
myy
mxx
'
'
'
'
,
,,
'
'
'
33
22
11
偏差応力の不変量
'''
6
1
)(66
1
'''2
1''''''
)(2'''2
1
0''''''
3213
213
232
221
222222
23
22
21133221
2222222
3211
J
J
J
zxyzxyxzzyyx
zxyzxyzyx
zyx
二次元x方向応力の平衡方程式
(=釣合方程式)
0
0
xyxx
xyxyx
yxxx
x
Fyx
dxdyFdxdxdyy
dydydxx
三次元応力の平衡方程式
(=釣合方程式)
0
0
0
0
,
ijji
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
F
Fzyx
Fzyx
Fzyx
ひずみ(微少ひずみ)の定義
垂直ひずみ
(=垂直微少ひずみ)
zy
zz
yy
yy
xx
xx
y
u
y
u
x
u
yy
yy
y
yyyy
y
u
dy
Audyy
AuAu
dy
AuBu
せん断ひずみ
(=微少せん断ひずみ)
zxxz
zx
yzzy
yz
xyyx
xy
z
u
x
u
y
u
z
u
x
u
y
u
2
1
2
1
2
1
yzyz
yy
yzz
z
yyzz
yz
z
u
y
u
dz
udzz
uu
dy
udyy
uu
dz
AuDu
dy
AuBu
2
1
2
1
2
1
2
1
tantan2
1
2
1
工学的せん断ひずみ
はここで ij
ひずみテンソル
(ひずみ-変位の関係式)
zyzzx
yzyxy
zxxyx
zzyzzx
yzyyxy
zxxyxx
ijji
i
j
j
iij uu
x
u
x
u
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
2
1
2
1,,
体積ひずみと偏差ひずみ
zyxzzyyxxii
i
iiV 体積ひずみ
偏差ひずみ
Vijijij
zxzxyzyzxyxy
VzVzzzzz
VyVyyyyy
VxVxxxxx
3
1'
',','
3
1
3
1''
3
1
3
1''
3
1
3
1''
降伏条件
単軸応力状態の降伏条件
多軸応力状態の降伏条件 (1)
多軸応力状態の降伏条件 (2)
主せん断応力と最大せん断応力
213
132
321
321
321
2
1
2
1
2
1
:,,
:,,
主せん断応力
主応力
2
,,max
:
31max321
321max
max
最大せん断応力
Trescaの降伏条件 (1864)
達したとき降伏する.(せん断降伏応力)に
が材料固有の臨界値最大せん断応力 TCmax
せん断降伏応力ここで
のときあるいは
:
2
2
1,
2
1,
2
1max
,,max
31max
321
133221
321max
T
TT
TT
k
kC
kC
Trescaの降伏条件における
臨界値の決定
2
2
,0,
22
0,
31
321
31
321
YT
TT
TT
YT
Y
Y
k
kC
kk
C
にあるとき純粋せん断の降伏状態
とすると,力を単軸引張試験の降伏応
Misesの降伏条件 (1913)
はせん断降伏応力ここで :
6
1
'''2
1''
2
1
2213
232
221
23
22
212
M
MM
ijij
k
kC
J
に達したとき降伏.が材料固有の臨界値不変量
次ののエネルギー=偏差応力材料中のせん断ひずみ
MCJ2
2
Misesの降伏条件における
臨界値の決定
3
,0,
3
0,
2
321
2
321
YM
MM
MM
YM
Y
Y
k
kC
kk
C
にあるとき純粋せん断の降伏状態
とすると,力を単軸引張試験の降伏応
降伏曲面・降伏曲線
主応力空間における降伏曲面 π平面上の降伏曲線
降伏条件式の実験的検証
応力-ひずみ関係式
=構成式
弾性体の構成式 (1)
(一般化されたフックの法則)
ijkkijijkkijeij
zxezx
ezxyxz
ez
yzeyz
eyzxzy
ey
xyexy
exyzyx
ex
EGEE
GE
GE
GE
GE
2
11
22
1,
1
22
1,
1
22
1,
1
ではである.テンソル標記
はポアソン比は横弾性係数,はヤング率,ここで
弾性体の構成式 (2)
(一般化されたフックの法則)
ekl
eijkl
eklklijjkiljlikij
ezx
ezxzx
ey
ex
ezz
eyz
eyzyz
ex
ez
eyy
exy
exyxy
ez
ey
exx
DG
GGE
GGE
GGE
212
12
2,)1()21)(1(
2,)1()21)(1(
2,)1()21)(1(
テンソル標記では
してあるいはその逆関係と
弾性体の構成式 (3)
(一般化されたフックの法則)
ijmije
ij
zxzx
ezxm
zez
yzyz
eyzm
yey
xyxy
exym
xex
EG
GEG
GEG
GEG
21
2
'
22
1,
21
2
'
22
1,
21
2
'
22
1,
21
2
'
テンソル標記では
差応力を用いて表すとまたフックの法則を偏
Reussの構成式
0'''
'
'''
'
dddd
dd
ddddddd
d
zyxpz
py
px
ijpij
zx
pzx
yz
pyz
xy
pxy
z
pz
y
py
x
px
ijpij
条件を満足している.上式は塑性体積一定の
テンソル標記すると
仮定した塑性構成式の方向に一致する”と
の方向は偏差応力”塑性ひずみ増分
剛塑性体の構成式
(Levy-Misesの式)
ddddd
ddddd
ddddd
zxzxpzxyxz
pz
yzyzpyzxzy
py
xyxypxyzyx
px
2
1,
2
1
3
2
2
1,
2
1
3
2
2
1,
2
1
3
2
力成分で表すと上式を変形し,一般応
弾塑性体の構成式
(Prandtle-Reussの式)
ddEG
dddd
dG
ddddd
EG
dd
dG
ddddd
EG
dd
dG
ddddd
EG
dd
ddd
ijijmijp
ijeijij
zxzxzx
zxzmz
z
yzyzyz
yzymy
y
xyxyxy
xyxmx
x
pij
eijij
'21
2
'
22,'
21
2
'
22,'
21
2
'
22,'
21
2
'
テンソル標記すると
塑性ひずみ増分弾性ひずみ増分全ひずみ増分
相当応力と相当塑性ひずみ増分
222222
222222
213
232
221
23
22
21
2
1
3
2
'
62
1
2
1'''
2
3
pzx
pyz
pxy
pz
py
px
p
p
ppijij
pijij
p
p
zxyzxyxzzyyx
ddddddd
d
ddddW
dW
れるといい,次式で定義さを相当塑性ひずみ増分
るとき に関して次式が成立す塑性仕事増分
る材では次式のようにな
ーゼスを相当応力と呼び,ミ数値換算して評価できる関
降伏応力に降伏応力の程度を単軸多軸応力状態における
二次元平面ひずみ
弾性有限要素法
FEM=Finite Element Method
解析対象物体(連続体)を有限個の要素に分割し,各要素について剛性方程式を構成し,それらを全要素について重ね合わせる
有限要素法とは
固体力学解析用有限要素法
弾塑性有限要素法
・弾性有限要素法(静的陽解法) ・微少変形弾塑性有限要素法
(静的陽解法・静的陰解法) ・大変形弾塑性有限要素法
(静的陽解法・静的陰解法・動的陽解法)
剛塑性有限要素法
(静的陰解法)
弾性FEM定式化の流れ
(3) 変分原理
(2) 仮想仕事の原理式
(7) 有限要素方程式
(1) 釣合方程式
離散化
ガウスの発散定理 ポテンシャル
停留の原理
(4) 構成方程式 (6) ひずみ-変位関係式
(5) 形状関数
弾性FEMの基礎方程式
=弾性境界値問題
平衡方程式
0
0
0
1.
zzyzzx
yyzyxy
xzxxyx
Gzyx
Gzyx
Gzyx
ひずみー変位関係式
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zxzx
yzyz
xyxy
z
y
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.2
klijeijkl
e
ij
e
ij
ijkkij
kleijklij
DUU
EE
D
2
1,
2111
)(
.3
構成式
応力-ひずみ関係式
変位の境界条件
力の境界条件
境界条件式
uii
tii
SonVu
SonPt
.4
弾性FEM定式化の流れ
(3) 変分原理
(2) 仮想仕事の原理式
(7) 有限要素方程式
(1) 釣合方程式
離散化
ガウスの発散定理 ポテンシャル
停留の原理
(4) 構成方程式 (6) ひずみ-変位関係式
(5) 形状関数
仮想仕事の原理式
0)()( , tS
iii
V
iijji dSuPtdSuG
tS
ii
V
ii
V
ijji dSuPdVuGdV
静的可容応力:平衡方程式と力学的境界条件を満足する応力
動的可容変位:ひずみ-変位関係式と幾何学的境界条件を満足する変位
仮想変位:動的可容変位の変分
静的可容応力と仮想変位に対して次式が成り立つ.
上式にガウスの発散定理を適用すると次の仮想仕事の原理式を得る
可容応力と仮想変位によってなされる内部仕事が外部仕事に等しいことを表す.
変分原理
V
iiS
iiV
e dVuGdSuPdVUt
,0
Vklij
klij
e
iii dVU
uuu
2
2
1
今,真の変位をui,それからわずかに異なる任意の可容変位をui+uiとすると,
ひずみエネルギ関数Ueが正値2次形式の場合,上式右辺第2項は正であるから
仮想仕事の原理式は弾性体の全ポテンシャルエネルギΦの第一変分が零である
ことを表しているポテンシャルエネルギ停留の原理に置き換えることができる.
iii uuu
となり,真の変位に対するポテンシャルエネルギは最小値をとる.
弾性FEM定式化の流れ
(3) 変分原理
(2) 仮想仕事の原理式
(7) 有限要素方程式
(1) 釣合方程式
離散化
ガウスの発散定理 ポテンシャル
停留の原理
(4) 構成方程式 (6) ひずみ-変位関係式
(5) 形状関数
2次元平面ひずみ変形状態の
ひずみと応力
000
0
0
2221
1211
33
2221
1211
00
0
0
33
22112211 )()21)(1(
E
平面ひずみ変形状態における
応力-ひずみ関係式
D
Ev
xy
y
x
z
y
x
または
2
)1(2
2100
011
01
1
)21)(1(
)1(
弾性FEM定式化の流れ
(3) 変分原理
(2) 仮想仕事の原理式
(7) 有限要素方程式
(1) 釣合方程式
離散化
ガウスの発散定理 ポテンシャル
停留の原理
(4) 構成方程式 (6) ひずみ-変位関係式
(5) 形状関数
三角形3節点要素と形状関数
は線形の関数である.
の値をとる.つの節点での
,それ以外では節点
の性質形状関数
yxN
yxN
yxN
,ii
02
1,i
,
形状関数の具体形
vNvNvNvNyxv
uNuNuNuNyxu
332211
332211
),(
),(
3
3
2
2
1
1
321
321
000
000
v
u
v
u
v
u
NNN
NNN
v
u
dNu
あるいはマトリックスの形で
または
形状関数の計算
yxxxyyyxyxN
yxxxyyyxyxN
yxxxyyyxyxN
)()()(2
1
)()()(2
1
)()()(2
1
122112213
311331132
233223321
)(2
1
1
1
det2
33
22
11
要素の面積
yx
yx
yx
の座標値であり,におけるは節点ただし, yxyx ,,
弾性FEM定式化の流れ
(3) 変分原理
(2) 仮想仕事の原理式
(7) 有限要素方程式
(1) 釣合方程式
離散化
ガウスの発散定理 ポテンシャル
停留の原理
(4) 構成方程式 (6) ひずみ-変位関係式
(5) 形状関数
ひずみ-変位マトリックス (1)
(Bマトリックス)
vx
Nu
y
N
vx
Nu
y
Nv
x
Nu
y
Nv
x
Nu
y
N
x
v
y
u
vy
Nv
y
Nv
y
Nv
y
N
y
v
ux
Nu
x
Nu
x
Nu
x
N
x
u
xyxy
y
x
33
33
22
22
11
11
33
22
11
33
22
11
2
ひずみ-変位マトリックス (2)
(Bマトリックス)
3
3
2
2
1
1
332211
321
321
000
000
2
v
u
v
u
v
u
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
y
N
y
N
y
Nx
N
x
N
x
N
xy
y
x
xy
y
x
マトリックスの形式で書くと
ひずみ-変位マトリックス (3)
(Bマトリックス)
の形になっているから,そのxおよびyに関する勾配は
ただし
)(2
1yCxbaN
c
y
Nb
x
N
2
1,
2
1
123312231
213132321
,,
,,
xxcxxcxxc
yybyybyyb
と書けるので,これをひずみ-変位マトリックスに代入すると
ひずみ-変位マトリックス (4)
(Bマトリックス)
したがってひずみ-変位関係式は
3
3
2
2
1
1
332211
321
321
000
000
2
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
ccc
bbb
xy
y
x
xy
y
x
または
dB
さらに
dBDD
弾性FEM定式化の流れ
(3) 変分原理
(2) 仮想仕事の原理式
(7) 有限要素方程式
(1) 釣合方程式
離散化
ガウスの発散定理 ポテンシャル
停留の原理
(4) 構成方程式 (6) ひずみ-変位関係式
(5) 形状関数
離散化(要素剛性方程式) (1)
三角形3節点要素について,仮想仕事の原理式の左辺(内部仕事)は
V
T
V
xy
y
x
xyyx
V
Vijij
dV
dV
dV
dV
2
2 121222221111
離散化(要素剛性方程式) (2)
仮想仕事の原理式の右辺(外部仕事)は
S
T
V
T
V y
x
yxV y
x
yx
SV
Sii
Vii
dStudVbu
dSt
tuudV
b
buu
dSututdVubub
dSutdVub
)()( 22112211
離散化(要素剛性方程式) (3)
ここで以下の関係式がる
dBDD
dNu
dB
よって三角形3節点要素に関する仮想仕事の原理式は
ee
e
S
TT
V
TT
V
TT
dStNddVbNd
dVdBDBd
][
離散化(要素剛性方程式) (4)
ここで仮想変位は定数であり,積分の外に出してもよいので
任意の仮想変位に対して上式が成立するためには [ ] 内は常に0
0][
eee S
T
V
T
V
TTdStNdVbNddVBDBd
eee S
T
V
T
V
TdStNdVbNddVBDB ][
これが解くべき剛性方程式である.左辺の積分内のマトリックスを
eT
V
TKBDBdVBDB
e
とおくとことにする.△ は三角形要素の面積である.
離散化(要素剛性方程式) (5)
仮想仕事の原理式の右辺第1項の物体力の項は
y
x
y
x
y
x
V y
x
V
T
b
b
b
b
b
b
dVb
b
N
N
N
N
N
N
dVbNee 3
0
0
0
0
0
0
3
3
2
2
1
1
ただし物体力は要素内で一定と仮定
離散化(要素剛性方程式) (6)
右辺第1項表面力の項は,
例えば面2-3に右図のように
表面力が分布しているなら
形状関数マトリックスを
次のように書き直して
3
3
2
2
1
1
01000
00100
v
u
v
u
v
u
L
l
L
lL
l
L
l
v
u
離散化(要素剛性方程式) (7)
これより表面力の項は次式のようになる
ただし表面力は面2-3上で等分布荷重とした.
y
x
y
x
S y
x
S
T
t
t
t
tLdS
t
t
L
lL
lL
lL
l
dStNee
0
0
2
0
0
10
01
00
00
離散化(要素剛性方程式) (8)
最終的に要素剛性方程式は次式のように書き換えられる
ee fdK
節点変位:
3
3
2
2
1
1
v
u
v
u
v
u
d 節点力:
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
e
f
f
f
f
f
f
f
要素剛性マトリックス:eK
全体剛性方程式
下図に示すような複数要素からなる系の全体系に関する仮想仕事の原理
のマトリックス表示は
これより全体系に関する剛性方程式は次のように得られる
0
e
e
e
eTfdKd
fdK
e
eKK
e
eff
弾性有限要素法解析の流れ
領域の要素分割,境界条件の設定
要素剛性マトリックスの計算
全体剛性マトリックスの計算
等価節点力,変位拘束の導入
連立一次方程式を解き節点変位を求める
節点変位からひずみ,応力の計算
結果の出力,可視化
Pre-Processor
FEM Analysis
Pre-Processor