Workshop – Memecahkan Masalah Kendali Optimal dengan ... · Beberapa deﬁnisi elementer I Misal...

Outline

Bagian 0: Motivasi

Bagian 1: Optimasi TaklinierDasar–dasarTeorema Karush–Kuhn–Tucker

Bagian 2: Sequential Quadratic Programming

Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di↵erensial BiasaBeberapa definisi elementerMasalah kendali optimalMetode Langsung

,

UNIKO, Compact Course, August 21, 2017 44

Beberapa definisi elementer

I Misal X adalah ruang vektor atas lapangan R. Ruang�

X , k·kX�

adalah sebuahruang norm.

I Barisan (xk)k ⇢ X dikatakan sebagai barisan Cauchy jika untuk setiap ✏ > 0terdapat K✏ 2 N sehingga kxk � xlkX ✏ for all k, l > K✏.

I Konvergen =) Cauchy.I Tidak harus Cauchy =) konvergen! Jika

�

X , k·kX�

memenuhi maka�

X , k·kX�

kita katakan complete.I

�

X , k·kX�

kita sebut sebagai ruang Banach, jika complete.I Pemetaan h·, ·i : X ⇥ X ! R dikatakan sebagai hasil kali dalam jika untuk setiap

x , y , z 2 X dan a, b 2 R,

hx , xi � 0 and hx , xi = 0 , x = 0, (definit positif)

hx , yi = hy , xi , (simetri)

hax + by , zi = a hx , zi+ b hy , zi , (linieritas)

terpenuhi. Diberikan hasil kali dalam h·, ·iX di X , ruang�

X , h·, ·iX�

dikatakansebagai ruang hasil kali dalam atau ruang pre-Hilbert. Jika sebuah ruangpre-Hilbert

�

X , h·, ·iX�

complete dengan norm k·kX :=p

h·, ·iX , maka itudikatakan ruang Hilbert.

,



I Sekarang perhatikan Rn, sebuah subhimpunan U ✓ Rn danf : U ! R : x 7! f (x).

I Ruang semua fungsi kontinu f yang memetakan U pada R dinotasikan denganC(U;R)

I Misal ↵ 2 Zn+ dan definisikan |↵| := k↵k1, dimana k↵k1 = ↵1 + · · ·+ ↵n

menotasikan 1–norm dari ↵. Definisikan D↵f (x) := @|↵|f (x)/@x↵11 · · · @x↵n

n . Kitadefinisikan dengan C k(U) ruang semua fungsi f : U ! R dimana D↵f untuksemua |↵| k kontinu di U.

I⇣

C k(U), k·kCk (U)

⌘

, dimana kf kCk (U) =P

|↵|k kD↵f kC(U) dan

kf kC(U) = maxU f , mendefinisikan sebuah ruang Banach

I Untuk k = 1, kita mendapatkan C1(U) =T1

k=0 Ck(U) ruang semua fungsi

yang terdi↵erensiasi takhingga di U.

I Semua fungsi f di C k(U) dengan support kompaksupp(f ) := {x 2 U : f (x) 6= 0}, diklasifikasikan dalam ruang C k

0 (U).

,



I Ruang Lebesgue Lp(U), dimana 1 p 1 adalah ruang dari semua fungsiterintegrasi Lebesgue f : U ! R yang memenuhi kf kLp(U) < 1

I Norm yang disebutkan didefinisikan sebagai

kf kLp(U) :=

(

�R

U|f |p dx

�1/p, 1 p < 1,

ess supU |f | = infµ(E)=0 supU\E |f | , p = 1.

Dalam formulasi terakhir µ(E) menotasikan ukuran Lebesgue dari subhimpunanE .

I untuk semua p, i.e. p = 1,1 (resp. 1 < p < 1),⇣

Lp, k·kLp(U)

⌘

mendefinisikan

ruang Banach (refleksif)

I Untuk p = 2, kita mendapatkan ruang Hilbert⇣

L2(U), h·, ·iL2(U)

⌘

dengan

mendefinisikan hf , giL2(U) :=R

Ufg dx untuk setiap f , g 2 L2(U)

I Kita menotasikan Lploc(U) sebagai ruang semua fungsi terintegrasi Lebesgue f

sehingga f 2 Lp(V ) untuk setiap V ⇢c U. Catat bahwa L1loc(U) tidak harus

terdi↵erensiasi di seluruh bagian dari U.

,



I Untuk kasus f 2 L1loc(U), kita katakan g : U ! R sebagai turunan lemah dari f

untuk spesifik ↵ 2 Zn+ jika

Z

U

fD↵h dx = (�1)|↵|Z

U

gh dx 8h 2 C10 (U)

terpenuhiI Dengan menggunakan kembali D↵f untuk semua turunan lemah dari f , kita

menotasikan W k,p(U) sebagai ruang semua fungsi f 2 Lp(U) dengan semuaturunan lemah D↵f in Lp(U) untuk semua |↵| k.

I Bersamaan dengan kf kWk,p(U) :=⇣

P

|↵|k

R

U|D↵f |p dx

⌘1/p, ruang

⇣

W k,p(U), k·kWk,p(U)

⌘

mendefinisikan ruang Banach.

I Jika p = 1, maka norm tersimplikasi menjadikf kWk,1(U) = max|↵|k kD↵f kL1(U).

I Semua ruang W k,p(U) biasanya disebut sebagai ruang Sobolev.I Untuk p = 2, kita biasa menuliskan W k,2(U) =: Hk(U).I Ruang H1(U) hanya menggunakan Jacobian dan, bersama dengan hasil kali

dalam hf , giH1(U) :=R

Ufg dx +

R

Uru0rg dx , mendefinisikan ruang Hilbert.

,


Outline

Bagian 0: Motivasi




,


Kendali Optimal

Definisi

I Diberikan sebuah interval waktu ⌦ := [t0,T ]

I variabel kendali u yang didefinisikan di himpunan semua kendali yangdiperbolehkan U, bisa jadi L1(⌦), L2(⌦), atau C(⌦)

I himpunan semua keadaan x yang memungkinkan dinotasikan X , bisa jadi C k(⌦),W k,1(⌦) atau Hk(⌦) dimana k � 1.

I Definisikan S := {x 2 X : x = f (t, x , u), t 2 ⌦, x(t0) = x0, u 2 U} sebagaihimpunan semua keadaan x yang diperbolehkan.

Maka masalah kendali optimal didefinisikan sebagai

minS⇥U

J(x , u) := �(T , x(T )), (Mayer)

minS⇥U

J(x , u) :=

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt, (Lagrange)

minS⇥U

J(x , u) := �(T , x(T )) +

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt. (Bolza)

dimana J0 : Rn ⇥ Rm ! R disebut distributional cost and � : R⇥ Rn ! R terminalpay o↵.

,


Beberapa contoh masalah kendali optimal

minS⇥U

�(T , x(T )) +

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt Standard problem

minS⇥U

T � t0 Minimal time problem

minS⇥U

�(T , x(T )) +

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt

s.t. T � t0

Variable time problem

minS⇥U

�(T , x(T )) +

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt

s.t. x0 arbitrary

Free initial condition problem

minS⇥U

�(T , x(T )) +

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt

s.t. g(t, x , u) 5 0, h(t, x , u) ⌘ 0

Mixed constraints problem

minS⇥U

�(T , x(T )) +

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt

s.t.

Z

⌦

g(x(t), u(t)) dt Cg ,

Z

⌦

h(x(t), u(t)) dt = Ch

Isoperimetric problem.

,


Outline

Bagian 0: Motivasi




,


Metode Langsung

min�(T , x(T )) +

Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt s.t.

x = f (x , u), t 2 ⌦, x(t0) = x0, u 2 U,

gig (t, x , u) 0, hih (t, x , u) = 0,

Z

⌦

pip (t, x , u) dt cip ,

Z

⌦

qiq (t, x , u) dt = diq ,

ig 2 {1, · · · , ng}, ih 2 {1, · · · , nh}, ip 2 {1, · · · , np}, iq 2 {1, · · · , nq}.

I Berasal dari ide ”dikritisasi kemudian optimasi”.

I Kuncinya: diskretisasi

⌦ ⇡⇢

ti = t0 + ih : h =T � t0

N, i = 0, · · · ,N

�

, N 2 N.

I Akibatnya

x ⇡ (x0, x1, · · · , xN) 2 Rn⇥(N+1) dan u ⇡ (u0, u1, · · · , uN) 2 Rm⇥(N+1).

,


Metode Langsung

I Intergrasi numerik

Z T

0

p(t, x , u) dtdiskritisasi�!

NX

k=0

akp(tk , xk , uk).

dimana koefisien-koefisien a0, a1, · · · , aN mengidentifikasi skema numeriktertentu.

I Masalah kendali optimal diskrit sekarang menjadi

minRn⇥N⇥Rm⇥(N+1)

�(tN , xN) +NX

k=0

akJ0(xk , uk) s.t.

xk+1 = ⇧(tk , tk+1, xk , xk+1, uk , uk+1), k = 0, · · · ,N � 1, x0 = x0,

gig (tk , xk , uk) 0, hih (tk , xk , uk) = 0, k = 0, · · · ,N,

NX

k=0

akpip (tk , xk , uk) cip ,NX

k=0

akqiq (tk , xk , uk) = diq ,


,


Diskritisasi persamaan di↵erensial ...

I Metode Runge–Kutta eksplisit order r

c1 a11c2 a21 a22...

......

. . .cr ar1 ar2 · · · arr

b1 b2 · · · br

�!

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

xk+1 = xk +Pr

i=1 bi'i

'i = f⇣

tk + cih, xk + hPi�1

j=1 aij'j

⌘

i = 1, · · · , rk = 0, · · · ,N � 1

I Metode Runge–Kutta implisit order r

c1 a11 a12 · · · a1rc2 a21 a22 · · · a2r...

......

. . ....

cr ar1 ar2 · · · arrb1 b2 · · · br

�!

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

xk+1 = xk +Pr

i=1 bi'i

'i = f⇣

tk + cih, xk + hPr

j=1 aij'j

⌘

i = 1, · · · , rk = 0, · · · ,N � 1

I Menentukan Butcher–tableauc A

bmembutuhkan definisi konsistensi

dengan order r !I N besar, r kecil ”besar tapi sparse”; N kecil, r besar ”kecil tapi padat”

,


Diskritisasi persamaan di↵erensial ...

I Runge–Kutta eksplisit order 1: Metode Euler

0 01

�!(

xk+1 = xk + hf (tk , xk)

k = 0, · · · ,N � 1

I Runge–Kutta eksplisit order 2

0 0 0↵ ↵ 0

�

1� 12↵

�

12↵

�!

8

>

<

>

:

xk+1 = xk + h��

1� 12↵

�

f (tk , xk)

+ 12↵ f (tk + ↵h, xk + ↵hf (tk , xk))

�

k = 0, · · · ,N � 1

↵ = 1 ! Metode Heun!I Runge–Kutta implisit order 2: Metode Trapesium

0 0 01 1

212

12

12

�!

8

>

>

>

<

>

>

>

:

xk+1 = xk + h�

12'1 + 1

2'2

�

'1 = f (tk , xk)

'2 = f�

tk + h, xk + 12h('1 + '2))

�

k = 0, · · · ,N � 1

�!(

xk+1 = xk + h2(f (tk , xk) + f (tk+1, xk+1))

k = 0, · · · ,N � 1

,


Metode Langsung

I Dengan metode langsung

minRn⇥N⇥Rm⇥(N+1)

�(tN , xN) +NX

k=0

akJ0(xk , uk) s.t.

xk+1 = ⇧(tk , tk+1, xk , xk+1, uk , uk+1), k = 0, · · · ,N � 1, x0 = x0,

gig (tk , xk , uk) 0, hih (tk , xk , uk) = 0, k = 0, · · · ,N,

NX

k=0

akpip (tk , xk , uk) cip ,NX

k=0

akqiq (tk , xk , uk) = diq ,


kita menyelesaikan masalah optimasi

minx2S

f (x)

dengan jumlah kendala N + (N + 1)(ng + nh) + np + nq dan jumlah variabelnN +m(N + 1)!

,


EXERCISE

1. Perhatikan model IR berikut

I = � (N � I � R)I

I + ⌫N� (� + µ)I ,

R = �I � µR.

1.1 Estimasi � sebagai variable bebas yang bervariasi setiap waktu denganmembandingkan I dan data

1.2 Estimasi �0,�1, · · · ,�m,!1, · · · ,!m pada

�(t) = �0 +mX

i=1

�i cos(!i t)

untuk m = 1 and m = 3 dengan membandingkan I dan data

,


EXERCISE

2 Lakukan hal yang sama untuk model berikut

ddt

Si = � �NSi Ii + ↵Ri + µ(�S)i

ddt

Ii =�NSi Ii � �Ii + pµ(�I )i

ddt

Ri = �Ii � ↵Ri + µ(�R)i

untuk i = 1, · · · , 5. Gunakan data berikut:

↵ = 1/36, p = 0.2, � = 1/3, µ = 0.7 dan

� =

0

B

B

B

B

@

�0.5212 0.1354 0.0261 0.0453 0.24340.1131 �0.5611 0.0933 0.0656 0.11630.1318 0.1763 �0.2989 0.0694 0.03570.1280 0.0721 0.1414 �0.2443 0.06750.1483 0.1773 0.0381 0.0640 �0.4629

1

C

C

C

C

A

,


Workshop – Memecahkan Masalah Kendali Optimal dengan ... · Beberapa deﬁnisi elementer I Misal...

Documents

Transcript of Workshop – Memecahkan Masalah Kendali Optimal dengan ... · Beberapa deﬁnisi elementer I Misal...