When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric...

49

Transcript of When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric...

Page 1: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

������������� ���������������������������� �"!$#%���'&(!)� ���* +����,!-�/. ����0�������,!).

��� �1�12!3�4����5� �6���17�/!-�8 � � �9���:���;�'�<. ���* �2�=��> �<� ����!#?+;�

@;ACB:DFE6GIHKJMLNJOBPD Q�R:S�J�T<U�V�HXWZYR[U D�J]\�^P_`\ba:a:a

c dfehg i6j"k�lnm'g opj<eqCr%sutwvyx�z{t}|I~ws�� �7�`��xusu������s�tw�2��|Z�<vy��s��Zrwv�|Ir%z��Nz��y�2|9r�������|���� ��vyrw���N|9���px��h|9r�~w�������y�p�� �u����|�~w������|9�wv��yvyxus�vyz4~b�ZvyrMs-� � �Mv��p� �`�)� ��� �`�4su���¡s��(�p����z�vy��|9s�� s�tw�4~�����~b� �us�v���x-� � s¢�M~wvyz�|I���|9s�tw� �£sut}|9r��¤����xusu¥¦zp|Zxu�§��¨w|Z�<~w���pxp�¤��s����wz su�w�{|I�y����©w��r��4t���~b�px-s��<�w�uvyr��h����s-s�t��xu�w�u~w��vyxuvyr��~w�u��~b� ��suvy�pxª� � s¢�M~wvyzp|9�bv�r�xus{|9r�z��px � «)�y�Z����v�s�t��<vyz�|I�y����s�tw��tw�Z~b��v¬x¤s�t�|9s¤��rw��z�|Ir¡v�r7x����(�)�£|����¨N~w�¬|9v�r7s�tw�­x��wzpz��px�x � �w�:xu���y��s�v���r7� � �¬|9�u����~w�������y�p�(xp©N����z{t¡�¬|9���Z�p�`sut}|9r¡s�t}|9s`~w���p��vyz�s��p�¡�M��¤����xusu¥¦zp|Zxu�'|9r�|9�y�Mx�vyx ���`twv¬x/� � z����w��xu�'�{|9vyxu�px/sutw�£®¯����xusuvy��r�� � �£t}|9s����­�`�£�<��|9r��M�s¢�M~wvyzp|9�±°�`tw�¤�h|9s�tw�p�h|9s�vyzp|9�Z�Mv��p�²� � s�twvyx�v¬x�s��3��� ³wrw�'|£~w���Z�}|9�wv��yv�s´� xu~}|9z �`µ2� � v�r�xus{|9r�z��px�|9r��xus����N�sutw� � ¨M~b�pz su�p�"~�����~b� �us�v���x£� �f¶ ���{|��£r � �����·µ��-v�s�t�|���vy�Z�pr"~w�u���}|9��vy��vys¢�7�<�¸|9x��������

¹ �w�4�Nv¬x�z���x�xuvy��r � |9���¬x­r}|9su�w�{|9������vyr¯s���s¢�`�"~�|9��s�xpº­s�tw�<v�r���� ~b� r���� rMs4zp|Zxu�h|Ir���s�t��=»���¥z���v¬����|9r�z�|9x����/�`tw�'v�r���� ~b� r���� rMs zp|Zxu�`�-v����Nvyr�z��������-|���vyx�z �wx�xuv���r�� � s�tw�`� ¨Mv¬xus�� r�z��`� � �3|Z�(v��¼¥su��rwv¬|9r"z��Nz��y�px`v�r"�9|9�uvy���wx£z��¬|Zx�x��px`� � �{|Ir������½����|9~wt�x£|9r��7�Nvy����|9~wt�x �/¾²�­�-v��y�Ps�tw� r"��v¬x�z���x�x|9�������uvysut��(x � ���3³�r���v�rw���3|Z�<vy��s���r�v�|9r�z��Nz�����x)�-twvyz{t�|9�u���b��sut � |9x�s­|Ir�����vy¿�� ���"s��7xu��z z�� ���:�¾O�6vyr�z��������`|-��vyx�z �wx�xuv���r� � ��¨Ns�� r�xuv���r�¥C���Zs{|9suvy��r4z �Zr�xus����wz suvy�Zr�xf|9r�� s�tw�ª�9|9�uv�|Ir�z��6���p���wz suvy�Zrsu��z{twr�v¬®¯���§� �/À ���wv�r�xu��r;|9r��¡¾²�Z���h|9�¬�:�6Á����y���I�£vyrw��s�twvyx£�¤� z���r�xuv¬�N�p�-���{|p��� �yv�rw�=�N|9���px��=|9r �u���w���p�hx�-t��p�u�7s�tw�"z��M� Ãhz�v�� rMs�x�|I���7���{|��£r]vyrw��� ~b� r���� rMs������2¾O�"���px�z �uvy�}�7�b��s�tÄ��¨w|Zz�s|9rw�;|9~w~w�u�¸¨Nvy�=|Is�� |9�y�Z����v�s�t��(x �/¾O� vyrwz �������|<xu�pz�s�v���r���r"��~b� r�~w�u���w�����(x �

« � su� �3s�twvyx3�`��xu�w�u��� ��x�su�Nz{t}|Zxus�vyz4���pxu�w��s�x � ���)s�tw��su��s{|9���p������y� rw�Zs�t�� � s�t���» ��z���v¬�N�¸|Ir�)�NÂ����)� ���­s�tw�§z�vysuvy�px£|I��� |Zx�xu���<�p�¡su���b�§~}��vyr¯s�x`vyr¡Å`Æ|9r��¡sutw�§��v¬xus�|9r�z��§�}�ps¢�`� � r7~}��vyr¯s�xvyx�s�t�����xu�}|9��» ��z��yvy����|9r���vyxus{|9rwz ���3¾²�����px�z��uvy�b���£|p�Nx3s��¡~w���I�Z�<|N�Çx ���yvy�(v�s�sutw� �����p�(x­|9rw�z���r�z�� rMsu�{|9suvy��r"v�rw�p®¯�}|9��v�s�v���x � ���-sutw�4s��Zs{|9�[�p����� �y� rw�Zs�t�� � s�tw�4x�t�����su��xus£s����w�£��r�|��{|9rw�����x�|Z�<~w���'� � xuvyÈ �'É�©�|Zx/ÉnÊ Ë%� �`tw� � �Nz���x�vyx/��r�~w���pxu� rMs�v�rw�§~w�u���}|9��vy��v¬xusuv¬z`s��pz{twrwvy®¯�w�px/�-twvyz{trw�Zs6��rw�������px�z��uvy�b�-s�tw�)�}�pt�|��Mv����6� � s�tw�-��|9r������Ì» ��z���v¬�N�¸|Ir¡�)�NÂ�©��w�ws6�-twvyz{t¡|I�¬xu����px�z���v��b�Í ���3t}|����s�tw��~b��s�� rMsuv�|I��su�7���px�z �uvy�}�9Î's�tw���b� t}|p�Mvy�Z��� � tw� �w�uv¬xusuv¬z x �­�'tw��|9~w~����¯|Zz{tnz�� rMsu�p��x|9�u���wr���s�tw�)�}���wr���|I��� � �wr�z�suvy��r�|9�}�<� s�tw�M�h|Zx �`� ���b|Zx sutw�)vyx��Z~b� ��vy�(� s��uv¬z£�(� sutw�N�wx�� �[À t��p�|9rw�;��|9�¬|9���{|Ir��[�

Ï

Page 2: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

����� ������� �������������������������������� ����� �¾O� ³w��xus)z���������z�s-xu���<�§��|Zxuv¬z§~w�u���}|9�wv���v¬xus�vyz su�M���yx£�-t�v¬z{t��-v��y�[�b�4rw� �p���p�"v�r;sutw�4xu��®��w� �C�

!#"%$�&'"%$)( &�*+$)"-,/.�0213*5476Z� « � �wr�z�s�v���r98�ºZÅ0Ê Å�vyx)zp|9�y���p�;:=<>$�?@"BA­v �/� ���)|I�y��C)DFEHG;Å |9rw�|9���JILKNMOK Ï �`� t�|����

8 Í M�CQP Í ÏFR MPÎSEwÎTKNMU8 Í CbÎVP Í ÏFR MPÎB8 Í EwÎ%WqCr���� ���<� s��uv¬z�s�� ���(x=s�t�v¬x¡x�|��Nx=sut}|9s¡��|Zz{t�~b��v�rMs7�Zr�s�tw�nz{tw�������}�ps¢�`� � r Í CVD%8 Í CbÎ�Îh|9rw�Í EXD%8 Í EwÎuÎ�v¬xh|9�b�¸���"s�tw�����{|I~wt�� � 8��ZYZ�prwx�� rV[ x<vyrw�p®¯��|9�yv�s´�]x�|��Nx<sut}|9s<v ��\ vyx=|n�{|9rw������9|9�uv�|9���y�§�-v�s�t�³wrwv�s��4�(��|9r^]`_ \ba |Ir���v � 8�v¬x-z���rM�Z� ¨P©�s�tw� r

]F_c8 Í \baed 8 Í ]`_ \ba Î%W Í Ï � Ï Î

f "%$)"%g-0213*ihj"-kml�no"qp%6r&=no"%?s*+$)"-,/.�0213*5476�t�u[� sv8�º�Åxw Ê Åxw��b�"|9r]v�r�z�����|Zxuvyr�� � �wrwz suvy�Zr|9rw�"�y� s \ �}��|�~b��xuvysuvy�Z�4��|9r������5�9|9��v¬|9�w�����6�'tw� r � ���)|9���VyTz{I

| _ \ d y a KZ]F_c8 Í \ Î a+} 8 Í y�Î=W Í Ï �3~�Îq � �¤�=��� ~w�¬|Zz�� \ �M�{� \ R ] \ ��|9r��²��� s�8 Í CbÎ���C����¤�=����s{|9v�rÄ|;xu~b�pz v¬|9�¤zp|Zxu�=� � Í Ï �3~�Î{©r}|9�(� ���

| _i� \ R ] \ ��z�y a KZ�ª|9� \^} y � W Í Ï �c�¯Î

�^*547nHn�*��rnQ��g-<�p-0�p%*513*5476Z�ª« xu�p®¯�w� r�z��4� � � ��� rMs�xF���#D)É d Ï Dwv¬x)x�|9v¬��su�h�Mzpz��w�-�£vysut;twvy�Zt~w�u���}|9��vy��vys¢� Í �£tw~PΪv � ��v¬�Q�j�F�O| _ ��� a � Ï �

� 4�<q:/n#0>&/47*�:F:=<>$�?@"%g���"%$U:%"�� u[�ps \H� D \ � D�W�W�W�D \ �b�`�{|9r��N�����Z|I��v¬|9�w����xf��r�xu���(�ª~w�u���}|9�wv���vys¢�xu~}|Zz�� Í µ�D��OD�|�Î{�`¾²�4x�|��=s�t�|9s

Í |�Î \ ��Ê \ 0213�v<>&/4 &=.�g="�136Z©��£��v�s�su�pr"��v¬�Q�j�F� \ ��� \�� W �@W�©wv �| _ ¶ G�µ%º \ � Í ¶ Î6Ê \ Í ¶ Î`|Zx£É�Ê Ë a � Ï W

Í �bÎ \ ��Ê \ vyrb¡ � ����*+$9�¢"-0>$(v �]`� \ � R \ ��Ê I<|Zx£ÉnÊ ËNW

Í z¸Î \ ��Ê \ :=<>���X1�"�4S"�136Z©N�£��v�s�s�� r���vy�£�j�x� \ �Q� \¥¤ W ¤ Wy©wv ��� ���)|9����¦FzZI�©�§�q¨ � |e_i�

\ � R \ ��zZ¦ aV© ˪W

«¬*+$U<>�£*�021xg-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"��`Á����"|9����É­G�® |Ir��NI ©­¯°© Ï D¬± Í É²D ¯ Îh��� rw��su��x7|�wv�rw���<v¬|9����|9r������F�9|9��v¬|9�w���6�-v�s�t~}|9��|Z�<�psu� ��x[Éh|9r�� ¯ �e³¤t��p�urw�@´x[ x��b���wrw� � ����s�tw�ª��vyrw���(v¬|9�x�|��Nx's�t}|Is � ���)|9����ILKµ¦`K Ï

|e_i�¶± Í É·D ¯ Î R É ¯ � d ¦uÉ ¯�a KN~���¨N~U¸�¹»º �-¼/½�¾ W Í Ï �¶¿NÎ�¯� �§��� ��� «3����r�|9r����¯~b� r�z�� �Q_ÁÀ a �

le0>g=k>*+$U0213*5476^<�ÂÃ0L&'"�4K�6q �·Ä v¬x)|<xu� sp©�sutw� rÅ� Ä �N��� rw�Zs��px£v�s�x-zp|9���Nvyr}|I�yv�s´���

~

Page 3: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

� ����� o���g j(e�o���e �;m��� ��?ope ����e�k�j�� ��i���������x��� � ����� ��� ��� ��� ������� ����e�! ��qCr s�t�v¬x�x��pz�s�v���r§�`� ���px�z��uvy�b� s´�¤�-x�vy�<~w�y�6�<�N��� �yx[� � |'��|9r������%���{|I~wt|9rw� sutw� vy�[��� �¬|9s�v���r�xutwv�~���`tw�h�{|9rw����� ����|9~wt#"��%$ & vyxz{tw��xu� r²�wr�v � �����(���2|9s4��|9r������ � ����� sutw�¡xu� s('��%$ &�ºs�tw�=xu� s� � �Z�{|9~wtwx��£vysut]��� ��s���¨²xu� s _ É a �*) Ï D%~�D'W�W�WVDuÉ,+�|Ir�� ��¨w|9z su�y��- �p�����px �O�¯vyrwz � �.'��%$ & �·�/10&32 D54 � / � � 2 ©-��|Zz{t��Z�{|9~wt�v�r6'��7$ &�t}|Zx=~������}|I�wvy��v�s´� Ï } /10&32 � � �b� v�rw�Äxu� �y�pz�s��p�[���'twvyx�<�N��� �£�£|9x(v�rMs�� r�xu� ��� xus����Nvy�p��vyr�|2x��p�<vyr�|9�-xu��®��w� r�z��;� � ~}|9~b� ��x(�¯��» ���98��x=|9r�� À;:� rM�Mv_¶~=<N©��2I a |Ir��(t�|Zx6x�v�r�z��-�b�pz����(�)|­�`� �y�w�pxus{|9�w��vyx�t����<�w��|9r�z{t(� � ³¤�����wv�r}|9su����vyz xp©�xu� �-��� �w�/s�tw��b�¯��¿¡� �?> �Z�y����� :|ZxÃ_ ÏZÏ a �ª�`tw� ��� ��|Is��p���<�N��� �@"��%$ ¼ Í tw� ���ÃILK ¯ K Ï Îªv¬x)�N�p³�rw�p��|Zx � �������I�)x ºqCs't�|Zx'��� ��su� ¨=xu� sÃ_ É a |9r��¡��|Zz{t7� � sutw��4 ~}��x�x�v��w���§�p�����px'vyx'v�r���� ~b� r���� rMsu�y�=v�r�z��y���N���7�£vysut~w�u���}|9��vy��vys¢� ¯ |9rw�"��¨�z��y���N���"�-v�s�t"~w������|9�wv��yv�s´� ÏxR ¯ �ª�`tM��x£v � "�� Í _ É a DBA�Î{©

| _."��7$ ¼Q�6" a � ¯DC EDC Í Ï¬R ¯ Î 0 ¸ C EDC W�`tM��x � ���£��¨w|Z�<~w���§v ��¯ � �

� s�tw� r�|9���[���{|9~�t�x£�-v�s�t���� �us���¨7x�� s�_ É a |9�u� ��®��}|9���y�¡��v�¿�� �y����'t��¤rw��¨Ns�s�twv�rw��su�3�Z��xu�p�u���ªvyxfsut}|9sx:=<>$Uk>*547*�<>$U021�<>$�n#0>?q*+$��F- "-k'��"%&,©="��%$ ¼¤vyxf��v¬xusu��v��w�ws��p�|ZxG"��%$ &����'t¯��x§v ��H �¡v¬x |9rM������|9~wt�~�����~b� �us´� � ���­s�tw�<x�� s­� � ����|9~wt�x­�-v�s�t���� ��su��¨�x�� s¢_ É asutw� r

| _."��%$ ¼vG H � a � 0§&e¨JI K 4-ML ¯ & Í ÏxR ¯ Î 0 ¸ & |e_N"��7$ & G H � a W Í ~N� Ï Î

�`tw�3rM�����b� �¤� � �p�����pxª� � "��%$ ¼�vyx¤s�t����wv�rw���<v�|I�b��|9r������Ì�9|9��v¬|9�w����± Í 4 D ¯ Ϊ|Ir��hv � v�s�x¤�(��|9r4 ¯ vyx)��|9�u����©X± Í 4 D ¯ Î`v¬x)z���r�z�� rMs���|9s��p�;|9���Z�wr���v�sp�PO����u�4~w�u��z�vyxu�p����©U³¤tw� ��r��@´x[ x)�b�Z�wr��;��rsutw� �wvyr����(v¬|9� Í Ï �¶¿NΪv¬�<~w��vy�px's�t}|9s£v � 4 ¯U} �y�Z�ªÉ�Ê Ë s�tw� r

| _��¶± Í 4 D ¯ Î R 4 ¯ � dRQ S 4 ¯ �y���ªÉ a KN~¸É ¸UT ½�¾ Í ~N�3~�Î�£twv¬z{t%su� r��wx"su��È � ����|Zx7É�Ê Ë%���`tM��x ©�~w�¬|9��xuv��w�y��©��£vysut Í ~N� Ï Î¡|9rw� Í ~N� ~�Î,©3��rw�2zp|9r|9�u���w�;xuv¬���w��s{|9rw� ���wx���� |9�b�Z�wsh~�����~b� �us�v���x(� � "��7$ ¼�|9rw�V"��%$ &�� �'twvyxhvyx(rw��s(s��u�w��|9���)s�tw�suv¬�<��©:���ws§vys§vyx­v�rO�h|9rM�;zp|Zxu�pxp��O;��z{t�� � sutw��v�rMs�� ���pxus­v�r�s�tw��sutw� �����;� � �{|9r��N��� ����|9~wt�xz���r�z�� ��rwx)~w����~}�p�us�v��px3s�t�|9s��Nz z��w��We*547nsn�*��rn£��g-<�p-0�p%*513*5476 Í �-tw~bÎ,�3» ���98��x­|9r�� À;:�pr¯�Mv�~w���I�Z����h|9rM�=�b��|9�wsuv � �������pxu�w��s�x3|I�b���ws)��|9r������5���{|I~wt�x � �u���5s�t�v¬x-�Mv��p�£~b��v�rMsp�'�¯�w~�~b��xu� ¯ � ¯ Í ÉfÎ��� ~b� r���x-��r�É/ºX q � É ¯ R �����ªÉ�Ê Ë s�tw� r�"��7$ ¼ v¬x-z���rwr���z�su���7�£tw~��X q � É ¯ � ¤ z Ï © ¤ z �Zr�xus{|9rMs ©/s�t��prY"��%$ ¼¡t}|Zx�|;��rwv¬®��w� Í ��v¬|9rMs�Χz����(~}��rw� rMs� � xuv�Èp�

������� �-É�©��-t�~���`tw� �%|9�¬xu�����wx�� �u���p�%sut}|9s � �����=|9r¯��~w���Z~b� ��s�v��px H � sutw� ���2v¬x�|Äsutw���pxutw���y�%~w�u���}|9�wv���vys¢�¯ I;� ¯ I Í É�Î=xu��z{t s�t}|9s¡v �`¯U}-¯ I]Ê I]sutw� rZ"��7$ ¼\[G H �]�£tw~F|9rw� v �F¯U}=¯ I]Ê Ë sutw� r"��%$ ¼ÃG H ���-tw~[�ªÁw�Z�-��¨w|Z�<~w���§v �,] �Q�^)=" z���rMs{|Ivyr�x-|<z���~M�=� �?S�_ +�s�tw� r

| _."��7$ ¼LG ] � a � ` Í Ï Î v � É � ½S¾ ¯ Ê I#W| _."��7$ ¼LG ] � a � ÏxR ` Í Ï Î v � É)� ½S¾ ¯ Ê ËªW

�`tM��x��Zrw�"��vyr���� � �u��xu��|9��z,t]v�r ��|9r������$����|9~wt�x�v¬x�s�tw����� su�p���(v�r}|9suvy�Zr]� � sutw���pxutw���y�wx � �������|9~wt"~w�u��~b� ��suvy�px �

Page 4: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�x� � ��� �����o� ���)���Z� �����S���» ���98��x(|9r�� À :� rM�Mv£�Nv¬� rw�Zs(�h|9r}|9���7s��2�pxus{|I�w�yvyxut�sutw�"s�tw�u�px�t����¬� � �Z��s�tw����¨Nvyxus�� r�z��"� � |�3|Z�(v���s���rwv¬|9r�z��Nz����Ov�r�|]�{|Ir������ ����|9~wt�� qCs�su�M��¿%|9�}���ws�s¢�`� rMs´������|9��x"su��xu���y�Z�2s�twvyx~w�u���w���p�;�

��� � ����������������������! "�#�%$'&)(+*������-,.*�/0*��21

«0�w����|9¿Msutw���Z�w��t�zp|Z�(�§�£tw� r�Â���x�| _4305 a ~w�u�I���p�7s�tw� � �������I�-v�rw�<s�tw� ���u�p�;������6�#���6( �7�98  S z Ï 3 *+&�:=<>$�&/4�0>$�40>$Uk ¯Od T;:4<>= �� 47no"%$ "��7$ ¼¢*+&@? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ Wen'�)tA ���B�- ¾²����v�����sutw�­��� s{|9v��yx¤� � s�tw��~w�u�M� � �b�pzp|9��xu� Í v Î v�s`vyx`�Z�p�u�<� ���p��|9rMsp© Í v�v Î v�s`vyx`r���ssu��z{twr�v¬zp|9���y����v�Ãhz��w��sp©:|9r�� Í v�vyv Î)|9rw��v�s�v��y����xus���|9s��px3�`� ����sutw���(��x�s)�}|Zxuvyz��(� s�t��N�wx3� � ~w�u�M� �v�r�s�t�v¬x3|I����|��

¾O�§³w��xus£xutw�I� s�t}|9s "��7$ ¼§t}|Zx£|���|9�(v��ysu��rwv¬|9r¡~}|9s�t7�-tw~[�ªÁw�Z�-|����{|I~wtM"�� Í"C D A�Î6�`���� s M Í "�Τ��� rw��s�� sutw� �y� rw��sut�� � s�tw� ����rw���pxus£~}|9sut�v�r "�� ¹ ��xu� �����§s�t}|Is" t}|9x3|<��|Z�<vy��s��Zrwv�|Ir�~�|9s�t�v�´ M Í "�ÎzµM Í " RED Î � ���)|9��� D G C �Á����)|9��� Ï K!F�K�É�©��y� s`�HGf�b� sutw� �p�Z�pr¯s )2M Í "��7$ ¼IÎ �ªM Í "��%$ ¼ R F Î +M�6�'tw� r

| _."��7$ ¼�t}|Zx£rw�=�3|Z�(v���s���rwv¬|9r"~}|9sut a K �§G�¨ �

|e_ �HG a ��ÉX|e_ ��� a W Í ~N�c�¯Î

¾O� �-v��y��xutw�I��s�t�|9s|e_ ��� a K�É ¾ ¸UT ½ _ P]É�¸UT ½ _ W Í ~N�¶¿NÎ

u[� sJI �Z"��%$ ¼ R É;|9r���rw�Zs�vyz �£s�t}|IsJI vyx6�Nv¬xus��uvy���ws��p�h|ZxF"�� ¸ � $ ¼��·u[� sJK � Í C IqD-C � D�W�W'WJD-C)LpÎ�b�|9r¯�¡�y�Zrw���pxus£~}|9s�t"� � I |9rw����� s

\ �^)rC�ºMI z���rMs{|Ivyr�x)|�~}|9sut�� � ��� rw��s�tON � ����� CJI)s��¢C +�W¾O� �-v��y��xutw�I��s�t�|9s

| _i� \ ��K � _ a K�É ¾ ¸UT ½ _ W Í ~N�P5�Ϋ3x�xu���<v�rw� Í ~N�P5�Ϊ|9r��¡rw��suvyr���s�t}|9s¬����vy�(~w��v���x¤s�tw� ���­vyx'rw���p���Z�RQ ��v�rwv�rw� \ s���Énv�r "��%$ ¼�©Nv�s� �������I�)x'sut}|9s

| _ ��� a K | _�� \ ��K � _ a P;| _ ���b��� \ ��z � _ aK É ¾ ¸UT ½ _ P Í ÏxR ¯ Î �q½ _K É ¾ ¸UT ½ _ P É ¸UT ½ _ D

�£twv¬z{t;vyx Í ~N�¶¿NÎ,�6¾²�4rw�I�Ft}|��Z�4s��(~w���¸��� Í ~M�S5�Î{�'Á����-�¸|9z,t'FTG )rI#D Ï D�W�W'WVDTN R ~U+�xu��z{t;s�t�|9sÍ C)L>D-C�GKΤvyx3|Ir��p����� � � I �¤�4zp|9r;�N�p³�rw��|�rw� �F~}|Is�t Í x�� �Áfvy�Z�w����~N�3~N� Ï Î

K@Uo�WVYX.Z6[)ZB\ Í KM]=C#LrD-C�GKÎ � Í C IqD-C � D�W�W�W�D-C�G�D-C#L>D=C#L ¸ � D�W�W�W�D-C�G w � Î=W¾O� x�|��(s�t�|9s^K U vyx'���ws�|9v�rw�p� � �����_K��M�¡|vg=<24�0247*�<>$��-v�s�t CJI3|Zx`s�tw�­³�¨N�p�¡� r���~}��vyr¯sp�a`-��s��sut}|9sbK U vyx�|I�¬xu��� � �y� rw��sutcN²|9rw� xu��C�G w � G \ �Ou[�ps \ Ued \ �b�=s�t��7xu� s�� � � r���~}��vyr¯s�x����s{|9v�r}|9�w���h�M������v�rw�n|�x��p®¯���prwz �(� � �u��s{|Is�v���r�x ©�xus�|9��suvyrw��|IsbK�©/|9r��²|9�y�'|��Nx ��xuvyr��9C I�|Zxsutw� ³�¨N�p�"� r���~b�ZvyrMs �

¿

Page 5: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

x

xx

0

ik

x

xx

0

ik

Á������ d C=Í I�Τ���ps4�� Í �ªÎe� )�� G ChÍ InÎ���� º D G���x��wz,t"s�t}|9s Í D D��§Î¬G A Í I�Î +�W�`tw� � ���y���I�£vyrw���y�p�(�=|�vyx£~b� ��t}|I~�x-s�t��4¿Z�p�=vy����|��b� twv�r���Â���x :|#[ x£�u�px����ys � �6(+( &E� �

�.4�� Í \ U Î'� © ~�� \ U � WA ���B�- ¾²�=xutw�I� sut}|9s4v � E G 4�� Í \ U Î���)rCJI�+¡s�tw� rOs�t��p�u�h��¨Nvyxus�x�� G \ U xu��z{tOs�t�|9sÍ EXD��MΪv¬x)|9r��p���Z� � � K��ª�`tw� �y�p�(�=| � �Z�y���I�)x'vy�(�(�p��v¬|9s�� �����

�¯v�r�z��ÃE G 4�� Í \ U Τs�tw� ��� � ¨Mv¬xus�x CbG \ U xu��z{t;s�t�|9s Í C)D�E�ÎxG A Í I�Î,�-�¯�hsutw� ���4� ¨Mv¬xus�x3|~}|Is�t��Ì� � �y� rw�Zs�t N � ����� C I�s��HC��-v�s�tbE�|Zx­|Ir�v�rMsu�p�ur}|9�f�Z�p�us���¨:©}���ws�|9vyr�|9�w��� � ����� K �M�|"xu��®��w� r�z��(� � �u��s{|Is�v���r�x �¢u[� s�� � �b�(s�t��hrw� v���tM�b�Z�4� � E���r����b� s´�¤�p� r E2|Ir�� C��=�`tw� r� � G \ U �b�pzp|9��xu�3v�s¤vyxªs�t��3�prw��~b��v�rMs¤� � VYX.Z6[)ZB\ Í � ]-CVD�EwÎ,�6�¯�v � Í E�D�� � Î�vyx'|9rh�p�����)� � KF�`�|9�u�4���Zrw���ªq � Í E�D��MΤvyx£rw��s)|9r��p����� � � K s�t��pr"��rw� � � s�tw� �p�����px���� Í E�D�� � Τv�r�z�vy��� rMs-�£vysutE;vyr+K8t}|Zx­�b� �pr2��� ��� s��p�nvyr2sutw�(xu�p®¯�w� r�z���� � ����s�|9s�v���r�x­�£twv¬z{t�~w�u�N����z��p���<� > �ws§�£tw� r|9r"���N����� v¬x)�N�p��� s��p�"�M�"|��u��s{|9suvy�Zr�©���rw� � � v�s�x£� r���~}��vyr¯s�x-v¬x£~w�¬|Zz��p�"vyr \ U �`�¯v�r�z�� E [G \ U�¤� t}|��Z��� � G \ U |9r��"sutw� �y�p�(�=| � �Z�y���I�)x � �

`)�¸� � ���)|�zp|9�yz ����|9suvy�Zr�º

| _���²D Ï K ��� ��K � _ D>�.4�� Í �ªÎ�� © ~������ a K�q½ _§� ¨ �

K É R�Ï� L K É R Ï

~@��L Í ÏxR ¯ Î ��� � ¸ ¾ � �K

�q½ _§� ¨ �

É � É � � É ¸UT � ½ _K ~IÉ ¾ ¸UT ½ _ W

�¯� Í ~N�P5�Î � �Z�y���I�)x � ����� s�twvyx<|9r��Åu[�p�h�h|9~N�3~N�O«3~�~w�y�¯vyrw� Í ~N�3��Π�`�"xu� �7s�t}|Is "��%$ ¼7t}|Zx<|�3|Z�(v���s���rwv¬|9r7~}|9s�t��-t�~��

5

Page 6: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

���=³�rwv¬xut�s�tw�~����M� � z���r�xuvy��� �3sutw������|9~wt�� � "��7$ ¼���¨��»¼/½����"��7$ ¼ º ¨@¼%½�p�3»6|Zz{t�� � sutw��4~b��x�xuv��w���4�p���Z��x)|9~�~b��|9��x£v�r���� ~b� r���� rMsu�y�¡�-v�s�t�~w���Z�}|9�wv��yv�s´� ¯)� P ¯ � R ¯U�+¯ � © ¯ |9r���xu�|e_�� vyx3�3|Z�<vy��s���r�v�|9r a K | _."��7$ ¼<vyx3�3|Z�(v���s���rwv¬|9r a Í ~N� 3¯Î

`-�I�8�M�Osutw�¡~w�u� �Mvy�Z��x<|Ir}|9���Nxuv¬x ©/�-tw~ "��%$ ¼��4t}|Zx�|���|9�(v��ysu��rwv¬|9r ~}|9s�t[©aK·x�|����nÁ�v¼¨²��rw�� � v�s�x-� r���~b�ZvyrMs�x�C I­|9rw���y� s \ �b�4s�tw�xu� s)� � � r��N~b��v�rMs�x)� � ��|Z�<v��ysu��rwv¬|9r�~}|9sut�x-�-v�s�t;��rw�� r���~}��vyr¯s�C I�� > �7sutw��|9�}�I����|9r�|9�y�Mx�vyx ©·� \ � d � _ �-t�~��e`)�I�F��v���� r \ ©�s�t��xu�ps-� � �p�����px-� �"��%$ ¼ º �£twv¬z{t Q ��vyrQC I�|9r�� \ v¬xfv�r���� ~b� r��N�pr¯s/� � "��%$ ¼��f|9r��4v � s�tw� ���ªvyx���rw��© �=vyx/��|Z�<v��ysu��rwv¬|9r���¯�

|e_�� vyx£rw��s3�3|Z�<vy��s���r�v�|9r a K|e_N"��7$ ¼���t}|9x-r��=��|Z�<v��ysu��rwv¬|9r"~}|9s�t a P;| _�� \ ��K � _ a P Í ÏFR ¯ � Î

�q½ _ � ` Í Ï Î=W�`twv¬x£su����� s�tw� �£�£vysut Í ~N� 3¯Îª~w�u�I���px)�`tw� �����p� ~N� Ï � �

`)�¸��|§���{|I~wt(�-v�s�th|§�Z�p�us���¨�� � ��� ����� � I­��� Ï v¬x6r���sª��|Z�<v��ysu��rwv¬|9r��·u[�ps3-­� �� Í �����ªÉ�P�����ª�����ªÉ¢P ¤ �ZÉ�Î,�ª»����98��x-|9r�� À;:� rM�Mv�_¶� Ï a Τxutw�I�`�p�7s�t�|9s

��v¬��q�F� | _�� Í "��7$ &§Î d ~ a ����� I ¤ ��Ê R Ë

� ¸������ ¤ ��Ê ¤Ï ¤ ��Ê P4Ë

Í ~N� À�Î

Í �'tw� ���§vyx£rw�(���Mx�su� ���hs��<sutw� �uvy��t¯s£t}|9r���xuvy��� � � sutw�|9�}�I��� �£tw� r ¤ �Q� ¤ �6�'tw� ��¨N~b�pz�s��p�rM�w���b� �§� � ��� �us�vyz �px§� � ��� ����� �¢I7��� Ï vyx�� � ¸�� |9r��2sutw�h��v¬xusu��v��w�ws�v���rO� � sutwv¬x rM�����b� � vyx|Zxu�N�<~wsu��s�vyzp|9�y���¡Â���vyx�xu��r�� Î

�'t���|9�b�I�Z�-~w�u�I�Mvy���px¤|­�y�I�¤� � �b���wr�� � �Z�6s�t���|9x��M�(~wsu��s�vyz'~w�u���}|9�wv���vys¢��� � |­���{|9~�t(�b� vyr���3|Z�(v���s���rwv¬|9r����§���(� :��xf|9r����¯È ���<� � :���NvU_43 Ï a ~w���I�Z���4sut}|9sfsutwvyxf�£|Zx�s�v���tMs ©I��x�xu� rMs�v¬|9���y�§x�|��Mv�rw�sut}|9s£s�t��4�}��xus)z���r�xus{|IrMs£vyr;�'tw� ���u����~N� Ï v¬x S � Ï ������6�#���6( �!

�yvy��j�F� | _."��7$ &°*+& ? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$ a � ��v¬��j�x� |e_�� Í "��%$ &§Î d ~ a W

��� � " � &$# � A ��� / �6� �

�`tw� ���§vyx3|Ir�|I�ysu�p�ur}|9suvy���§xus��u��rw��� �'��� ��xuvy�Zr"� � �'tw� ���u�p� ~N�3���£twv¬z{t"vyx-®¯�wv�s��§���p�h|9��¿9|9�w��� |9s³w��xus�xuv���tMsp�f�'tw� ���{|9~�t ~w�u�Nz���x�x[vyx�|'��|9r�������xu��®��w� r�z��F"�IqDB" � D�W'W�WVD " GV� Í _ É a D ARGCÎ=D'W�W�WJDB" 0�£tw� ���GAeGJ�^) � � D�� � D�W�W�W�D�� G +�|9rw� � G�vyx£z{tw��xu� r"��|9r������<��� � ����� %AeG ¸ � �6�'tM��x£xus�|9��suvyrw� � �����sutw�h�p�<~ws´�����{|9~�t "�I�©f�`�(��|9r������(���2|9�w�Orw� � �p���Z��x �wrMsuvy�6�¤�ht}|p���=|�z����<~w�y� su�(�Z�{|9~wt[�`-��s��§s�tw� " &�t}|Zx£s�t��x�|Z�<� ��vyxus���v��w�wsuvy�Zr�|Zx "��%$ &��

Áw�Z�3|����{|I~wt�~w�u��~b� ��s¢� ''©�sutw�Ln�*54 47*+$��¢47*+�¢"'& Í 'ªÎªvyx£��vy�Z�pr"�M�& Í 'ªÎe� �(v�r ) Fªº(" G²G 'F+�W

u[� s)( �^)="0vyx'�3|Z�<vy��s���r�v�|9r +4|Ir��+*bL`� ),� Í "Î d N +M��³¤����|9�����-& Í (�Î d & Í * � Î{� > �Z�y����� :|Zx_ Ï ~ a |Ir���« Q s�|9vX©.�­���<� :��x-|9r����¯È �p�<�p� :�p��v _ Ï a xutw�I�¤���3

Page 7: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�����6�#���6( ��� & Í (�Î � & Í * � Î ��� ¯ WqCr���sutw� �3�¤�����wx ©}v � �¤��{|9r��N���(����|Z�w���p�����px)��rw��M�"��r���©��-tw~�s�t���³w��x�s)�p�����sut}|9s)�{|9vyxu��xsutw�4�(v�rwvy�������N�p�Z��� � su�^~N©�|9�yxu�h�h|9¿��px'sutw� ���{|I~wt���|9�(v��ysu��rwv¬|9r��

� �����0� #�� �.# �H� ��* �6��`tw� ���pxu�w�ys�x£� � �'tw� ���u�p�hx`~N�c�<|9r��O~N�¶¿(t�|���� �}�p� r���� rw� �{|9��v�Èp�p�"v�r�|�r¯�����}�p�£� � �£|��Nx º «)�y�xus{|Is��p�(� rMs�x-|I���4z��¬|9vy�(�p�7su�(tw���y�"�£tw~��X "�� ����� t}|Zx� 7N } ~��§���N��� �Nv¬x�Q ��v�rMs£z �Mz ���px'~w����x)| � �w��sutw� �£�p����� �Nv¬x�Q ��v�rMs Í rw��|9�,Î6~b� � � �pz�s�h|9s�z{twv�rw�<v � N¡vyx£�N�w�[©-Nv��� Í Ï Î _ Ï�� a �X "�� � º � t}|Zx Í �����ªÉ�Î � ¸�� � � � ��vyx�suvyrwz s3�3|Z�(v���s���rwv¬|9r�z��Nz��y�pxÃ_Á~ Ï a �X "�� � º � z �ZrMs{|9v�r�x^N¡��� ��su� ¨7��vyx�Q ��v�rMs)z��Nz�����x'� � x�v�È � É } NP©)Nv��� Í Ï Î�_¶�05 a �X " � � º � z �ZrMs{|9v�r�x-|<z��Nz���� � � � ��� �u�7xuv�È ��©��LK NHK�É�©�_Á~2~N©)3@~N©�~2I a�¯� �4|9�¬xu�9_¶~2� a |9r��"s�tw�4xu�w���Z�p�Mx�_ � � a © _ ¿@¿ a �

��� � �����.��&�� " ��&�# �.�qCr�sutwv¬x"x��pz�s�v���r%�`�2��vyx�z �wx�x"s�t��O��¨Nvyxus�� r�z���� � ��|Z�<v��ysu��rwv¬|9r�z��Nz��y�px"v�r��{|Ir������ �u� ���w�¬|9�����|9~wt�x �)¾O���wx���"��7$ ��s��7��� rw�Zs���|h����|9~wtnz,t���xu�pr��wr�v � �����(����|9s3�{|9rw����� � �u����s�tw��xu� s�� �� ¥C�u� ���w�¬|9�£���{|I~wt�x£�-v�s�t��Z�p�us���¨7xu�ps�_ É a �qCs)vyx)��|Zxu�¡s��hxutw�I�Fs�t}|Is)�-tw~ "��%$ � vyx3|(z������y�pz�s�v���r�� � � Í �����ªÉ�Î`��� ��su��¨���vyx�Q ��v�rMs)z �Mz ���px ��`tM��x "��7$ ¾)���-�{|9r��N����z��w��v¬z4����|9~wt�x-vyx)�£tw� ���4sutw��u��|9��v�rMs�� �u��xus)xus{|9�us�x �'�`tw� ���4�£|Zx-x����(�xu��z z��px�x)v�rn|9~w~w���Mv�rw�=s�tw���¨Ns�� r�xuv���r�¥C���Zs{|9suvy��r��<� s�tw�M�wx)� � �¯�pz�s�v���r�~N� ~M©·_ Ï ¿ a ©»_¶�r¿ a |9r��m_ � < a �qCrs�tw�ª��|9x�sf�(� rMsuvy��r����§~}|9~b� �fvysf�'|Zxfxutw�I�£r�sut}|9s9"��7$ �fv¬x/�3|Z�(v���s���rwv¬|9r4�-tw~ � ����|9���):=<>$�&/4�0>$�4� d � 5N�«F�w�u��|9¿Ms�t������w�Zt7zp|Z�(�3�-v�s�t¡s�tw�­�`�Z��¿(� �fÀ ���wv�r�xu��r"|9r��=¾O�����h|9�y��_cÀ@À¯©�À � a �-tw����xu�p�|Äz����(~��y� s�� ������v�´P� �u�pr¯s�|9~w~w�u�¯|Zz{t%s���x��Z�y����s�tw�2~w���Z�w�y�p��� �`tw� ��~w���I�Z��� s�t�|9s�"��%$ �;vyx�3|Z�(v���s���rwv¬|9r7�-tw~ � ���)|9���T:=<>$�&/4�0>$�4 � d ���

����� � �B�����a�- ��&#,.���( �������.� & � �)��&$# �.�¾O�­���px�z���v��b�­sutw��:=<>$"!��r.�g=0247*�<>$H�¢<qk�"�19� �D> �����y�Z� :|Zx _ Ï � a �6�'t�v¬x¤vyx£|4~w������|9�wv��yvyxus�vyz�v�rMsu�p�u~w����¥s�|9s�v���r"� � |<z����wrMsuvyrw� � ����������|�� �?> �prw��� �3|9r��b³'|Irw³w� �¬� _ Ï I a �

�'t¯��x)��� s$# � _ É a&% _ � a Í #('�� D % _ � a �u� ~w���pxu� rMs�x � n#021 Â�"-k'��"%&¤v�r�z�vy��� rMs3�£vysut;��� ��su� ¨D G�_ É a � Î��'tw�3� �y�p�<�pr¯s�x6� � # |9���3zp|9�y���p���o<>*+$�47& |9r��¡|�~¸¥C� �y�p�<�pr¯s¤xu�w�wx�� s¤� � # v¬x¤z�|I�y���p�¡|�o0>*+g%*+$��Z��« :=<>$"!��r.�g=0247*�<>$*) v¬x)|�~}|9�us�v�s�v���r"� � # v�rMsu� � É } ~�~}|9v���v�rw��x �/¾O�|Zx�xu�Nz�v¬|9s��§�£vysut) |����w��s�v�����|9~wt,+ Í )Î � Í _ É a DBA Í )ÎuÎ`�£tw� ����©�|Zx)|<���w��s�v¼¥¦xu�ps ©A Í )Î �^) Í D D��§Î'º ) Í D D F Î%D Í ��D.-NÎ +QG/) � �Z�-x����(� Ï K!F-D.-vK � +�WÍ `)��su� s�t�|9s D � ��vyx-~b��x�xuv��w���4t��p�u��� Î

À

Page 8: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

u[� s�µ%�N�pr���s��§s�tw�4xu� s-� � ~b��x�xuvy���y�z���r�³w���w��|9s�v���r�x �6�'t¯��x� µÃ�@��� Í � ÉfÎ

�£tw� ���

� Í ~ -�Îe� Í ~7-�Î �-/� ~ & W¾O��x�|��7s�t}|9s�) vyxÃ&=*+���X1�"£v � sutw�����w��s�v����{|9~�t(+ Í )Î't}|Zx)rw�=�y�M�Z~�x3���3���w�ysuvy~��y����N���pxp�`u[� sµFI3��� rw��su�4sutw�4xu�ps£� � x�vy�<~w�y� z���rw³w�����{|9suvy��rwxp�

¾O��s�����r�µ�vyr¯s��7|(~w�u���}|9��vy��vys¢��x�~�|Zz���M�"��vy�¯vyrw�=��|Zz{t;� �y�p�<� rMs)s�t���x�|Z�<�4~w���Z�}|9�wv��yv�s´����`tw�4�=|9v�r"~�����~b� �us�v���x£sut}|9s-�¤� rw� �p�"� � sutwvyx)�<�N��� ��|I����ºA � »ª|Zz{t " G ' Í É·D � Ϊv¬x£sutw� v¬�h|9��� Í �wr���� � +fΤ� � ��¨w|Zz�s���� Í � � Î � xuv¬�<~w���4z���rw³w�Z�w�{|9suvy�Zr�x �A � | _ ) G�µFI a � � ¸ � � º ¸ � � ½ _ �Í �)� ����� ���]�<��|9r�x's�t}|9s�� } �²Ê Ï |Zx'É�Ê Ë�� Î

�¯�w~�~b��xu�-rw�I� s�t}|9s ]�� v¬x6|­~w�u��~b� ��s¢��� � z �Zrw³w���w��|9s�v���r�x6|Ir�� ] vyxª|�~w���Z~b� ��s´�� � ����|9~wt�xxu��z{t�sut}|9s£�-t��pr ) G�µ IqD + Í )4άG ] v¬�<~w��vy�px ) G ] � �6�'tw� r�Â Ï |9r��;Â�~�v¬�<~w���

| _N"°G ]Qa K Í Ï PY` Í Ï ÎuÎ � � � º ¸ � � ½ _ |e_ ) G ] � a�£tw� ��� "Ìvyx§z{tw��x�� r��{|9rw�����<�y� � �u��� ' |Ir�� )Ìv¬x­z{tw��xu� rn��|9r������(��� � �����?µ­��¯�7v � � v¬x§|z���r�xus�|9rMs'vyr��N�p~}�prw��� rMs)� � É�s�tw� r��¤�4zp|9r���xu� s�t�v¬x-su�(x�� �§s�t}|9s

| _ ) G ] � a � ` Í Ï Îªvy�<~w�yv��px¬| _." G ]£a � ` Í Ï Î%W��� ����� � ��� *7,.� �,� ����)� ( &#�7� &�# #����)&)/���¯��~w~b��xu�(�¤�(�'|9rMsu���ns�����xu�H³ªtw� �M�Nxutw� �X[ x v�rw�p®¯�}|9��vys¢� Í Ï �3�¯Î)s���~����I����s�t}|Is4sutw�<��¨Nv¬xusu�prwz �� � |<��|Z�<v��ysu��rwv¬|9r�z �Mz ��� �6Áw��� ) Gnµ ���ps� ����� � Í )Î ��s�tw� rM�w���b� �£� � ��|9�(v��ysu��rwv¬|9r�z��Nz��y�px£v�r I W«0����|Zxu��r}|9���y�¡xus���|9vy�ZtMs � ���u�£|9���7zp|9�¬z��w�¬|9suvy��r�x�t��I�)x's�t}|9s

]F_���� a ��� �~¸É�� K � R ~� L � � ¸ � � ½ � Í � R Ï Î�� � W

«�����z{t"�(���u� ��v�Ãhz��w�ys-zp|9�¬z��w�¬|9suvy��r;_ ¿�~ a ��v����px

]`_�� �� a � � �~ Í � R ~�뢃 � K � R ~� L � ¸ � Í � R Ï Î � � � W

�¯�<�`� vy�(�(�p��v¬|9s�� ���h��� s

| _�� ��[�NI aJd ] Í ���­Î��] Í � �� Î � � R ~

�W

Page 9: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�¯�4�-t��pr � �N� �¤�)x�� ��|I�y�u�¸|9����sut}|9se| _���� [�ªI aJd Ï } ���f¾O�)rw� �p�(s��4�b�M��xus6s�twvyx6s�� Ï ¥C� Í Ï Î,�u[� s����­��� rw��s��ns�tw��rM�w���b� �7� ��� ¥¦z��Nz��y�px7� � + Í )Î � �Z� �µd Ï � ¾²���£vy���§�b�2z���r�z�� ��rw�p��h|9v�rw�y���-v�s�t����w�-tw� �����Pvyxª�M�w�[� Áw��� / � Í ¤q� D ¤ � D�W'W�WVD ¤ άG 4 ©��-tw� �u��4 �^)rI#D Ï D=~�D�W�W'W +M©��� s����u���w~ µ��H� ) ) G0µ�º � � L ¸ � � ¤ L>D Ï K N K���+M�2�¯�w�u~w��vyxuvyrw�Z�y��© s�tw� ���¡vyx����wz,t²���px�x�9|9�uv�|9suvy�Zr2vyrOsutw�(rM�����b� � � � ��|Z�<vy��s��Zrwv�|IrOz��Nz��y�px�We*547n�*+$������Z�w~�x ©fsut}|9r2s�tw� �u�(v¬xHp="�4 W¬"="%$���u���w~�x �qCr � |Zz�s ©�|9�y�(��xus§|9���/� � s�tw���9|9�uv�|9rwz ��zp|9rn�b��� ��¨N~w�¬|9vyr������¡�M���9|9�uv�|9suvy�Zrn�b� s´�`� � r���u���w~��<�¸|Ir�x �

Áw�Z� / G 4 �y� s� �F�Z| _ )°G�µ�� a D¬]�� �{]F_���� � ) Gnµ�� a |9r�� C �F�µ�ª|I�>_���� � ) G�µ�� a W

�`tw� r��M�7z���r��Nvysuvy��r�vyrw�<��r / �`�§t}|����]F_ � �� a � §

�� 0 � � �-]`_�� �� � ) G�µ�� a � §��� 0�� � � C � P §

��� 0�� � �-] �� WÀ ���wv�r�xu��r�|9rw�7¾²�Z���h|9�¬� _cÀ2ÀM©XÀ � a ~w�u�I��� sut}|9s

§��� 0 � � � C ��K �J]F_ � � a � D Í ~N� � Î

� ���-xu���<�§x��h|9���[�9|9���w� �¯��'t��;�u��xus�v¬xh|9r�|9~w~w��v¬zp|9suvy�Zr�� � ³¤tw� �M�Mx�t��p��[Çx<vyr���®��}|9��vys¢� Í Ï �3��Î,����� ³wrw��s�t����{|9rw�����

�9|9�uv�|9���y��������M�������Z]���D£v � ) G�µ��jW

�`tw� r � ���)|9rM�¢yTz{I|e_i����� R ���� � d y a K ]F_ Í ��� R �� �-Î � } y � a

� §��� 0�� � � C � } y �

K �']`_���� a � } y � Í ~N� <¯Î�£tw� ��� sutw� ��|9x�s£vyr���®��}|9��vys¢� � �����y�I�-x � ����� Í ~N� � Î,�

À ���wv�r�xu��r¡|Ir��<¾O�����=|9�y�(|9���Z�w�-s�t}|9s � ��� �yv�¿�� �����9|9�y����x � � / �¤�)³�r��(s�t}|Ise]���z{¦�] Í � �§Î�£tw� ��� � } ¦ � zp|9r]�b�"z{tw��xu� r |9�u�wvysu�{|9�uvy���²x��=|I�y�X©�s�tw�Z�w��t]³�¨N�p�Ä|Zx�É0Ê Ë��O �wsus�v�rw�9y��¦�] Í � �§Îªvyr Í ~N� <¯Îª��v����px£sutw� ���p®¯�wv����p�"�u�px����ys

| _�� �ª�NI a K � } ¦ � P���£tw� ��� ��vyx£s�tw�4x��=|I�y�:~w�u���}|9�wv���vys¢�¡s�t}|Is "��%$ � G ]���-tw� �u��]���KN¦�] Í � �§Î,�

�x�"! � �T�$#������������L����� ����� �������� �����-�p�u�4�`�4s�����r��Z�w��|9sus�� rMs�v���r�s��¡|9�������uvysut��(x � �Z�)³wr���v�rw�¡��|Z�<vy��s��Zrwv�|Ir�z �Mz ���px-�-t�v¬z{t��¤����¿�£tw~��

<

Page 10: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�! Y � � #.&�� ��� / &#���«)rw�����wvyr;|9rw�H�ª|9��v�|IrMsÃ_ � a ���px�z��uvy�b�p��|��{|Ir������<vyÈ �p�7|9�y�Z����v�s�t��½�£twvyz,t7�-tw~7³wr��wx-|<�3|Z�(v��¼¥su��rwv¬|9r�z��Nz�����v�r "��7$ ¼�~w�u�I�Mvy���p� ¯ d�S �y�Z�ªÉ } É � ���(x���Ãhz�vy� rMsu�y� ��|I����� S � ��t}|Z�<vy�O_ � I avy�(~����I���p�¡sutwv¬x£s�� ¯bd Í �y�Z�ªÉ^P Í ~`Pm¦�ί�����¤�����ªÉ�Î } Én�-twvyz{t�vyx3|9�y�(��xus'�}��xus-~b��x�xuv��w�y���

¾O�§�Nv¬x�z���x�x¤s�tw�­|9�y�Z����v�s�t��½�)« O � �D> ��������� :|Zx ©�Áw� rwr��p�'|Ir��7Áw�uvy� È ��_ Ï À a �-twvyz{t¡�Mv��p�y�wx'|z���r�xusu����z�s�v����3~w�u�M� � � � �'tw� ���u��� ~N�c����¾O���`���u¿<v�rM"��%$ & �-tw� �u� -­� �

� Í �����ªÉ�P������¤�����ªÉ�P¤ �¯Î­|9r���� v�s�tw� � ¤ �;Ê ¤ �Z� ¤ ��Ê Ë%��u�� s��b� ~7- } ÉÄ�b�(sutw�h|���� �{|I���<�N�p�Z��� �<� � "���¾²�rw�Zs��­sut}|9s�"�vyx£z���r�rw�pz su�p�¡�-tw~�|9rw�7�`�­z,t���z{¿ � �Z� � �Z�£�<v�rwv¬�����½�N�p�Z��� �§|9s'���¸|9x�sF~4�b� � ������u�wrwrwv�rw�=�3« O²�

«3�������uvysut�� �)« O �`�Z��¿Nx v�r xus{|9���px �¡«'ssutw�=xus�|9��s4� � xus{|9��� N��`�(t}|��Z�¡|"~}|Is�t K�L�� ���� rw��s�t Nb� �¯�w~w~}��xu�7s�t}|9s�vys�x��prw��~b��v�rMs�x<|I��� � IjD�� � �n¾O�"xus{|I��s�s�tw��|I�y���Z��v�s�t�� vyr��¯s{|I���I7�-v�s�tEKDI£� ) Ï +M�<¾O�(³w��xus4�����¸�Ì|7s���� �<� � ~}|9s�twx � � ��� rw��sut NP©�|9���6�£vysutO�prw��~b��v�rMs�x�� I¸�Í �'tw� ���=|9�u�h~w�¬|Zz��px4v�r²s�twvyx4~w�u�Nz����N�w���h�£tw� ���(�`�hz�|Ir'Q ���<~Os���xus{|I���%NLP Ï �h¾ tw� r N�vyxx��h|9�y���¤��|I���4�yv�¿�� �y�7su�¡���hsutwvyx)v¬�(�(�p��v¬|9su�p����©�xu�p�4�b� ���I�4� Ρ�`tw�s��u�p� v¬x)���u�I�-r;v�r�������|Z��sut³w��xus � |Zxutwv���r;s��¡|(��� ~wsut��4©}�£tw� ����� ��� �����6É } Í �y�Z��� R �y�Z�¤������MÎ�xP Ï �'�'tw��z{twv��y����� r;� �|�rw�M��� K |9�u�4|9���[sutw��xu�­~}|9s�twx'�-twvyz{t�zp|9r"�}�§���ws{|Ivyrw�p� � ����� K��M�7|�����s�|9s�v���r¡�-v�s�t �PI3|Zxsutw� ³�¨N�p�"� r���~b�ZvyrMs �

u[� s?A�4 � Í �PIjDB"Î[��� rw��su�ªs�t��¤xu�ps�� � � r���~b��v�rMs�xp©I�Zs�tw� ��s�t}|Ir��PI�©I� � sutw�ª~}|Is�t�x�~w���M����z��p�v�r�s�twvyx(�=|9r�rw� �p���'t��pr � �Z�<��|Zz{tZC G A 4 � Í � IjD "Î��¤�;xus{|9�us(�£vysut�s�tw��³w��x�s<~}|Is�t ���~w�u�N����z��p���-v�s�t�� r��N~b��v�rMs�x �PIqD-C(|9r����Z���I� |�su��� �'� � ��� ~wsut��©Z�-v�s�t��u�M��s ���)|Ir���sutwvyx�suv¬�<���xu�4����s�|9s�v���r�x£�£vysut9C�|Zx-³�¨N�p��� r���~b��v�rMs �xu[�ps A�4�� Í CVDB"�Î'��� rw��su�4s�t���xu� s-� � �prw��~b��v�rMs�x ©��sutw� �£s�t}|IrOC�©�� � s�t��4~�|9s�t�x£~w�u�N����z��p�"vyr�sutwvyx)�=|Irwrw� �p�

¾O���h|�� rw�Zs(r��p�p� su�²���Os�twvyx(����z{t �¤����¿ v�r�|2x�s�|9������q � � ��� �<�`�"³wr���|�~�|9s�t ��£vysut��prw��~b��v�rMs�xvCVD�EÄxu��z{t�s�t�|9s Í E�D��MÎ G A |Ir�� � }G �?sutw� r�z��y��|9�u�y� �`��t�|�����|n~}|9sut�LD��(� � �y� rw��sut N�P Ï |9r����¤�4���(vy�h�<�p��v¬|9s�� ���¡su�hsutw�4rw��¨Ns)x�s�|9��� �M��|H&=*+���X1�"£"BA@4S"%$�&=*�<>$}�q � Í C)D�E�Î�G A sutw� r²�b�pzp|9��xu� "5vyxz���r�rw�pz su�p�[©fs�tw� �u�(v¬x�|IrO���N��� Í�� D D ÎaQ ��v�rwv�rw�;s�tw�hz��Nz��y��ÅP Í CVD�EwÎ6s���sutw�­���pxus'� � "���¾²�§sutw� r7t}|���� |�~�|9s�t ��P Í CVD�EwÎXP Í�� D D Î R Í �oD � Î6� � ��� rw��sutNTP Ï �£tw� ��� �4vyx`|Z� Q�|Zz��pr¯sªsu� � ��r �<� �'t�v¬x6v¬x¤zp|9�������h|^:/6�:�1�" "BA@4S"%$�&=*�<>$�|9r��(�¤��zp|9��� Í C)D�E�Îsutw�L:�1�<>&=*+$��v"-k'��"�� q � rw� vysutw� �¤� � s�tw�pxu�3s´�¤�~b��x�xuvy�wv���vysuvy�px¤�Nz z��w��x¤������v�rw��x�s�|9���@N<s�tw� r7�)« O� |9v��yxp�

�3« O xus���~�x/xu��z z��px�x � �w�����4vyr�x�s�|9���¤É R"Ï v � v�s��h|9r}|I���pxfsu�§z��y��xu�¤��rw�`� � s�t��-�3|Z�<vy��s���r�v�|9r~}|Is�t�x£s�t�|9s£vys)z�����|9su�pxp�

qCrOs�t��h� ��� rMs§s�t}|9s�)« O � |Ivy�yx ©�v � A 4 � � A�4�� Í "�Î�� )�� I�+ ��A 4 � Í � IjDB"�Î3sutw� r�¤� ¿Mrw�¸��s�t}|9s

C G A�4�� D�E^G A 4 � Í C)DB"�Τvy�(~w��v���x Í C)DBEwÎ }G "£W Í ~N� Ï I¯Î¾O�3�£vy���Pxutw�I��s�t}|9s��.A 4 �9�Zvyxª� � �����N�p�6É;�£tw~7|9r��=xu�v � s�t��p�u�3�¤� ���)rw��z���r���v�s�v���rwv�rw��©¯s�twvyx�¤���w�y�"�b� �wrw��vy¿Z�p���¡s��<t}|9~w~}�pr[�

�¯�w~�~b��xu�"rw�I�½s�t}|9s(�)« O � |Ivy�yx�vyr xus{|I����NP�;u[�ps # � # Í "Î��� rw�Zs��"sutw�7�p�����px�� �sutw�­~}|9sut�x K � I � DTK � � � D'W�W�WJD#K ����� �9K�L)�-tw� ���;K � G w � � vyx`���ws�|9vyr���� � �u���_K � G � �M�¡|��u��s{|Is�v���r�©xuvy�(~w���ª���fz �Mz ���ª� ¨Ms�� r�xuvy�Zr~w�y�wx�s�t��`z ����xuv�rw�3�p�����pxf� � s�t��`z �Mz ���ª� ¨Ms�� r�xuvy�Zr�xfv�r�sutw�`xu�p®¯�w� r�z����³ª�y��|9�u�y�

� #°��K�É��`W Í ~N� Ï�Ï Î

Ï I

Page 11: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

Á���� \�� A ��� s "�� � Í _ É a D A � \ Î,�6�`tw� � �����y�I�£vyr��hxutw�Z�w�¬�"�b�4z��y��|9� � �6(+( &E� � .>���o<>&'" 47n#024 ?���� 4S"%g%�£*+$U024S"%&�.�$�&=.�:=:%"%&=&7Â-.o1+136£*+$b&/4�0'��" N <>$b*+$@��.o4@"¢t 8 Â\ d A � # 47no"%$ ?���� We*51+1¬4S"%g/�Q*+$U024S"H.�$�&=.�:=:%"%&=&7Â-.o1+136 <>$Z*+$@��.o4�"�� t�.�g�47no"%g%�v<>g="��<>$�"���� ?���� We*51+1V��"%$)"%g-024S"�K�Lb024`47no"£&/4�0>g�4�<�Â�&/4�0'��" N 47n�g-<>.��rn�47no"Q&�0>�^"£&'"-,/.�"%$U:%"v<�Âg-<24�0247*�<>$�& 0>$Uks"BA@4S"%$�&=*�<>$�&�t« �Z�p�us���¨�� � "�v¬xF&=�¢021+1¸v � v�s�xª��� ����� �)vyx¤|9sª�(��xus � } ~2I4|9r��O1�0>g���"/��s�tw� �u�-vyx���� �`tw� � ���y���I�£vyrw����p�h�h|�vyx£~w���¸���p�"v�r _ Ï À a � �6(+( &E�� ��&=&=.��¢" ¤ �M[Ê Ë t��Vno"%$� &�� " :=<>$�4�0>*+$�&�$U<��v<>g="Ã47n#0>$¡É � ½ �Ã&=�v021+1U?@"%g�47*�:%"%&�t� ��� " k�<j"%&�$U<24T:=<>$�4�0>*+$��H&=�¢021+1X?@"%g�47*�:%"%& 024¬0Hk>*+&/4�0>$U:%"Ã<�Â�� <>gÃ1�"%&=&Ã0%�o0>g�4�t� /�� " :=<>$�4�0>*+$�&�$U<L?@"%g�4S"BA^<�ÂÃk�"��rg="=" 5 � <>g �¢<>g="'t� ��� �Jno"%g="�k�<j"%&¬$U<24e"BAr*+&/4 0 &'"�4²<�ÂF1�0>g���"x?@"%g�47*�:%"%& ���e������K�É } � 0>$Uk£�.4�� Í �ªÎ���K �U��� � } �@I@I�t`-�I� ���psG'5IÃ� '��%$ &3�Qu[� sG' � � )="�º "8vyx§z���rwrw�pz�s��p�[©:t}|Zx§�<vyr�v¬����� ��� ����� �<|9s§����|Zxus ~|9rw��x�|9s�vyxu³w�px-sutw�4z���r���v�s�v���r�x£� � u[���(�h|L~N� 3 +M�6�`tw� r�©w�M� Í ~N� ÀZÎ,©

�.' � � � �r¸�������� K 4- L W Í ~N� Ï ~�Î

`-��s��]sut}|9sns�t��Ä����rwrwv�rw�%s�vy�<�]� � �3« O ��r |��(�p���b� ��� � ' � v¬x � Í É � Í 5 �NÎ! 3�����ªÉfÎZ�� Í É ¾ w � � � � Î4|Zx�xu���<vyr���_ � a sut}|9s��¤�¡z�|Ir]����|;����s�|9s�v���r²v�r � Í �����ªÉfΧs�vy�(���"¾O�7zp|9r]�h|9¿���)« O |9�y�'|��Nx'���wr�vyr�~b�����Mrw���(v¬|9�[s�vy�(�§�M�¡rw��s-su���Mv�rw�(��r�����|9~wt�x£�-v�s�t;�h|I¨Nvy�������N�p�Z��� �d 5 �w�a`-��s��4|9�¬xu�<s�t�|9s3�)« O v¬x3| k�"�4S"%g%�Q*+$�*+&/47*�:£|9��������v�s�tw�;�

�¯�w~�~b��xu�s�t}|Is��)« O su�p���(v�r}|9su�px£�wr�xu��z z��px�x � ���y���7vyr�xus�|9��� N7�Zr;v�rw~w�ws "��Tu[� s \ d A�b�^k�"�1�"�4�0�p�1�"ªv � s�tw� � �����y�¸�-v�rw�<s�tw�u�p� ~w�u��~b� ��suvy�px£tw���y�[ºÏ �^`)�<���N��� � � \ vyx-v�r�z�v¬��� rMs£�-v�s�t�|�x��h|9���[��� ��su��¨:©~M�^`)�<��|9�u��� �Z�p�us���¨7�(� � s�x£�<���u�§sut}|9r � } Ï I2I@I��p�����px'� � \ ©}|9rw��N� \#" # �%$w�

�`tw� � ���y���I�£vyrw���y�p�(�=|�vyx£~w���¸���p�"v�r _ Ï À a � �6(+( &E�'& � .>���o<>&'"£47n#024J?���� 4S"%g/�Q*+$U024S"%&�.�$�&=.�:=:%"%&=&7Â-.o1+136¢*+$;&/4�0'��";NZ<>$ *+$@��.o4�"�G' � t � .>���o<>&'" \ d A­*+&Ãk�"�1�"�4�0�p�1�"'t(�Jno"%$£Â�<>gÃ1�0>g���"£É)�

�.A 4 � Í "��-Î'� d É } Ï I2I@I Í ~N� Ï �¯Î�.A 4 � Í C)D "��-Î'� d É } Ï I2I@I Â�<>g`C G A�4�� Í "��-Î%W Í ~N� Ï ¿NÎ

Ï�Ï

Page 12: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

Í q¦����|�� � ~w���¯� � º u[�ps�������� rw��s��§s�tw� xu�ps£� � ��|I�����§� r���~}��vyr¯s�x-� � ~}|9s�twx)|9s-��� ~wsut y¤v�r�|�su��� ����`tw�3z���r���v�s�v���r�x6v�rHu[�p�h�h| ~N� 3§v¬�<~w����sut}|9s������=��K�É } �vy�(~w��v���x������ w � � d �U�����=� } Ï I@I@I��/�'twvyxvyxª��|Zxuv¬zp|9���y���}��zp|9�wx�������� w � � d Í �� R ` Í Ï Î�Î'�.4 Í ���CÎ'� � �'tw�)� Í Ï Î |Zz z����wrMs�x � ���¤x��h|9����rw� vy��t¯�b����x|9rw�"s�tw� �� z����<�px � ������s´�¤�<rw� v���tM�b�Z��x£��v��Mvyr��(s�tw�4x�|Z�<�§rw� �F� r���~}��vyr¯sp� Î

`)�¸�F���ps ' � �^)=" º(" G�' � |Ir��;�3« O s�� ���<v�r}|9s��px'�wrwx��wzpz��px�x � �w�y���¡��r " +M��¾O�4��xu�|�uz��������uvyrw� �(|9�u�����<�pr¯s'� � Áw� rwrw� �3|9r��;Á���v�� Èp�¢_¶�>¿ a su�<~w���I�Z�

�.' � ��.'5I2� Ê I<|Zx£É�Ê ËªW Í ~N� Ï 5�Î

³ª������vyrwv�rw� Í ~N� Ï ~�Î{©����w�)|Zx�x��w�(~wsuvy�Zr��Zr ¤ ��©�|9r�� Í ~N� Ï 5�Ϊ�`�§���ws{|Ivyr�º�����6�#���6( ���

�yvy��j�F� | _ ?���� !·$Uk>&Ã0b? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$ :/6�:�1�" a � �yvy��j�F� | _."��7$ & *+&@? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$ a W

A ���B�- a� � �Y7� ��� u[� s ¶ � �5M�� � �Z�`xu���<� Í |9����vysu�{|9�u��Î/~b��xuv�s�v����­z���rwx�s�|9rMs¬M���Áw���P" G ' ���� s Í "LD.-NÎ%D.-^� Ï D=~�D�W'W�WVD�� � / &

� 2 �pr¯���(� ��|9s���|I�y�fsutw��~}��x�x�v��w�����£|��Nx)� � z{tw�M��xuv�rw� ¶ �p���Z��x� � " |9r��¡z���������v�rw��s�t����Ì����� � r7|9r��=sutw�����p�=|Ivyrwv�rw� - R ¶ �p�����px¤�w�y�����eu[� s \ � \ Í "LD.-NÎ��� rw�Zs�� sutw�4xu�ps£� � ����� � r"���N���pxp� u[� s

� Í "£D.-�Îe���

�Ï

Í F Î �3« O s�� ���(v�r}|9su��x'��r�xu��z z �px�x � �w���y�¡�Zr�" |Ir���"�� WÍ F"FuÎ �'tw� ��� ���M�px£rw��s£� ¨Mv¬xus���� Í CVD�EwÎTG \ xu��z{t"s�t}|Is

C G A�4�� Í "��-Î`|9r��sEHG A 4 � Í CVDB"��)ÎÍ F"F F Î �.A 4 � Í "��-Î'� d É } Ï I@I2I<|9r�� �.A 4 � Í C)DB"��-Î�� d É } Ï I@I@I

� ���)|9����C G A 4 � Í "��-Î%WI ��sutw� ���£v¬xu�

¾O�4x�t��I��rw��¨Ns-sut}|9s � ��� " G ' �§

� ¨ �� Í "LD.-NÎ d Í ÏxR ` Í Ï Î�Î K - R É �

¶ L W Í ~N� Ï 3¯Î

����xu� �¡sutwvyx��y� s�" G^' � |9r��²�y� s��3« O su� ���<vyr}|Is��=��r�xu��z z �px�x � �w���y�2vyr]xus{|9�Z��N2��rY"��nqCs� �������I�)x � �u��� Í ~N� Ï I¯Î­|9r�� u[���(�h|ZxÃ~N�P5�|9r��;~N� À¡s�t}|9s v �T\ � \ Í "LD.-NÎ�vyx��� �y� s�|9�w���hsutw� r� Í "£D.-NÎ � Ï �¢u[�ps " U � Í"C U DBA U Î��b�hsutw�=xu�w�����{|9~�tO� � "�vyr��N��z����2�M�ns�t��h�¬|9���Z�(��� ��suv¬z��px|9rw��s�tw��p�����px-rw��s)v�r/# Í "�Î{�£�'tw� rÅ� C U � d É R É � ½ � |9r��m�.A U � d - R É���£�'tw�rM�w���b� �� � ��� �y� s�|9�w���hxu�ps�x4vyx s�tw�(rM�����b� � � � �£|��Mx � � z{tw�¯��xuvyrw� ¶ �p���Z��x � ����� A U xu�w��Q �pz�s4su�;s�tw�z���r��Nvysuvy��r�s�t�|9s�rw�7��� ��su� ¨�vyr C U vyx�v�r�z�v¬��� rMs��-v�s�t��<�����s�t}|9r � } Ï I@I@Ih�p���Z��x �­«3�y�(��x�s­|9���z{tw��vyz��px'� �f¶ �p�����px-x�|9s�vyx � �¡sutwvyx3|Ir�� Í ~N� Ï 3¯Î � ���y���I�-xp�

¹ r�s�tw����sutw� �§t�|9r��n�y� s I��b�(|¡³�¨M�������{|I~wt��-v�s�t��Z�p�us���¨�xu� s¢_ É a |9r���- R ¶ �p�����px �u[� s � Í I�Îe� � ) Í "LD.-NÎ`ºMI �Z"���D5" G�' � |9r�� � Í "LD.-NÎ � Ï +�� �ª�`tw� r

� Í I�ÎK K 4 U R - P ¶¶ L �-tw� ��� 4�Uo�64 R K ��É } Ï I@I@I

~ L W Í ~N� Ï À�Î

Ï ~

Page 13: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�`tw� r�©w�¯� Í ~N� Ï 3¯Î{©

Í ÏxR ` Í Ï Î�Î K - R É �¶ L �.' � � K §

� ��� º

§� ¨ �

� Í "£D.-�ÎK §

� �����§

� ¨ �� Í "£D.-�Î � §

�� Í I�Î

K K 4 U R - P ¶¶ L K 4- R ¶ L

��r"��xuvyrw� Í ~N� Ï À�Î{�qCs � �����y�I�-x's�t}|Is

�.' � ��.'5I@� K Í Ï PY` Í Ï ÎuÎ /10�� ¸ & w �� 2 / 0& ¸ � 2/ & �� 2 / 0 � 2 K � ¸�� Æ ½ � I I I I I � D

�£twv¬z{t�~����I���px Í ~N� Ï 5�Î,�

�! Y � �%�6,.��� / &)� �

«)�y���Z��v�s�t��5�)« O �£|Zx'���pxuvy�Zrw�p�7s����¤����¿¡|Is's�tw�§sutw���pxutw���y� � �Z�'s�tw�§��¨Nvyxus�� r�z��­� � ��|Z�<vy��s��9¥rwv¬|9rOz��Nz����pxp��«£s§sutw�<��s�t��p�§� r��n� � sutw�(x�zp|9���<�¤�<t}|��Z�<s�t��(��� r�xu�(zp|Zxu� "��%$ ¼�© ¯ z���r�xus{|9r¯sp©�£tw� ���2���w������|9~wt�t}|9x�µ Í É � Î=���N���px"�-tw~[�·Á�����s�t��²zp|Zxu� ¯ � Ï } ~ Í vX� ���5��|Zz{t�����|9~wt�p®¯�}|I�y�����yv�¿�� �y�wÎ,©���rw�¡zp|9r xutw�I�Ìs�t�|9s��3« O � |9v��yx�-v�s�t²~w������|9�wv��yv�s´� ` Í ~ ¸ � Π|9r��²v � vyr s�tw���|9�����Nz zp|Zxuvy�Zr�x¤�-tw� ����v�s � |9v��¬x¤su��³wrw�"|��3|Z�(v���s���rwv¬|9r7z��Nz������`����xu�§sutw� � Í É � ~ � Î6���Mr}|9�(vyz~w�u������|Z�h�<v�rw�­|9��������v�s�tw� � � �)� �y�<|9r��-� |9��~ _ 52I a s�t��pr��¤�'t}|��Z�-|­�N�psu� ���<vyrwvyxus�vyz'|9�y�Z����v�s�t���£twv¬z{t Í v Î��u�wr�x v�rh~b�Z�y�Mr����(v¬|9����¨N~b�pz�s��p�<suv¬�<�)|9r�� Í vyv ÎF021 WT0>6r&f��� su�p���(v�rw�px��-t��psutw� �6��� r���s|�����|9~wt�t}|9x3|<�3|Z�(v���s���rwv¬|9r�z��Nz��y���

�w�u� �Mv¬z{t;|9r����¯t��p�¬|9t;_ ¿U< a |9r����'t����=|9x��Zr _.< Ï a z���rwx�su����z�su���¡�{|9rw�����<vyÈ �p�"|9��������v�s�tw�hx�£twv¬z{t��u�wr�v�r Í vC� ��� � Í É � Î�Ϊ��¨N~b�pz�s��p�"suv¬�<� �£twv¬z{t�vyx 13*+$)"-0>g`v�r�s�t��4rM�����b� �£� � ���N���px£�-t�~��

qCs£vyx£v�r � |Zz�s£®¯�wv�s��§��|Zxu�=s��<z���r�xus��u��z�s)|9r;|9�������uvysut����£twvyz,t"³wrw�wx)|<��|9�(v��ysu��rwv¬|9r"z��Nz��y�v�r " �%$ � ½ � �-tw~[��qCs�v¬x��(���u�¡��v�Ãhz��w��s�s��n�h|9¿��hs�t�� � |9v����w���¡~������}|I�wvy��v�s´�Ox��h|9���¤� rw�Z�w��t s���h|9¿��hv�s����wr]v�r]~}���y�¯rw���<v�|9�ª��¨N~b�pz�s��p�²s�vy�(�����)� ���=v¬x�|;��� ���2x�vy�<~w�y�7|9�������uvysut�� � ���s�tw�� �����(� �§zp|Zxu���<qCs vyx§�}|Zxu�p����r2sutw�<v¬�N�¸|¡� � �o024�:/n�*+$���z��Nz�����x � v���� r2s¢�`��z��Nz��y�px � � D�� � �`����M��¿ � ���-�p�����px�� G � Í C�GSD�E�GXÎ%D F�� Ï D%~<xu��z{t;s�t}|9s "Ìz���r¯s{|9v�r�x-sutw��p�����px�8 � � Í C � D-C � Σ|9rw�8 � � Í E � D�E � Î{��¾O�)s�tw� r=z�����|9su�3|§rw� ��z �Mz ��� � � � � P � � PO8 � Pb8 � R � � R � � �-twvyz{t=z��I��� ��xsutw� ��� ��s�vyz��px'� � � � |9r���� �� xu� ��Áfv����w�u�Q~M�3���3~N�

Ï �

Page 14: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

x x

x x

yy

y

y

1

1

1

1

2

2

2

2

C C

C

1 2

A &�� /��.*�, ���%� �)�#� * ���.(� &�� �3vy�¯v¬��� _ É a vyr¯s��;� � É }�¶ ��xu� s�x \H� D \ � D�W�W'WJD \ � � � xuv�È � ¶ ��� ¶ P Ï �-t��p�u� ¶ �

�5~/����� � É ��� ����� xu�4s�t���|9�������uvysut��5� � _ 5rI a s��(³wr���|h�3|Z�(v���s���rwv¬|9r;z��Nz���� �aGfs�tw�u���w��t;sutw�4��� �us�vyz �px£� �

��|Zz{t \ G¢©�F·� Ï D%~�D'W�W�WJD=����¯su�p~ Í �PÎ[s�|9¿��px � Í É ¶ ~ � Îe��� Í É ¾ �����ªÉfÎ:s�vy�<�'|9rw�v�s � |9v��yxf�-v�s�t�~������}|I�wvy��v�s´� � Í ~ ¸ � ÉfÎ� ` Í Ï Î,�

� /�� Áw��� F¬� Ï D=~�D�W'W�WJD=����v��Mvy������|Zz{tnz��Nz�����vyrMsu� ~(~}|9sut�x;KBG $ � DTK G $ � � � �y� rw��sut�x � ¶T} ~¡|9rw�s�t��pr � ��� F � Ï D=~�D�W�W'WVD=� R%Ï s��u�7s��(~}|9s�z{t �aG�v�rMsu���aG w � �wx�v�rw�h���N���px � ����� K G $ � |9rw�K G w � $ � �£twv¬z{t;�N�(rw��s-z �ZrMs{|9v�r"� r���~b��v�rMs�x-� � s�tw� ~}|9sut�x Í su�=|p����vy���N�p~}�prw��� r�z�vy�px,Î,��'t��4~������}|I�wvy��v�s´�¡s�t}|9s���s�� ~ Í z¸Î � |9vy�yx£v¬x � Í �j~ ¸�� � � º � Î �6` Í Ï Î{�

�`tw�(�<� s�tw�N��vyx§��|Zxuvy����~}|I�{|9���y� ��vyÈ�|9���y�(|9rw�O|7�<������z����<~w�yvyzp|9s��p��~}|I�{|9���y� �/��� ��xuv���r��u�wr�x§v�r� Í �����ª�����ªÉ�Î��<s�vy�<� _ ¿�I a �YOn|Zz{¿�� rwÈ v���|9r�����s����wsO_ 32� a |Ir��m�ª|9rľ v�� ��� r�|9r����¯su���wsO_.<�~ a� ����r�� � Í ����� � É�Π~}|9��|9���y� �¤��¨N~b�pz�s��p�²s�vy�(�7|9�������uvysut��hx �nÂ/|9�{|9�����p�`|9�������uvysut��hx � ����{|9rw���������|9~wt�x-�-v�s�t S ɧ�����ªÉO�p�����px)�¤� ���z���r�xuvy��� ���p�;v�r ³ª��~w~b� ��x��<v�s�t�© À |9��t}|��9|9r[©b|9r��������<~}|_¶~ 3 a �

�! Y � �����.��&����#��&$# �.�qCrns�twvyx§xu��z�suvy��r��`��z���r�xuvy��� �­s�tw��~w�u���w����� � � ³�r���v�rw�;|7��|Z�<vy��s��Zrwv�|Ir�z��Nz�����vyr2|=�{|9rw������u�p�Z�w��|I�4���{|I~wt����`tw�h~}|9~}�p�s_ � < a ~w�u�I�Mvy���px�|Ir � Í É ¾ w � � � � Î�s�vy�(�(��¨Ns�� r�xuv���r�¥C���Zs{|9suvy��r |I�y���9¥�uvysut�� � ����³wrw��vyr��4|­�3|Z�<vy��s���r�v�|9r�z��Nz����'v�r "��7$ �/�-tw~�~w���¸�Mv¬�N��� � d � 5M© � z �Zr�xus{|9rMs �/Áw�uvy� È ��©YZ� ���u����©UO��������I��© À ���wv�r�xu��r¡|Ir��<¾O�����=|9�y�O_ ¿�~ a ��xu�p�=| z����<~w��� s�� �y����v�´b�p�u� rMs¤|9~w~w�u�¯|Zz{t � ���� d ��© � z���r�xus{|9r¯sp��'t��3vy����| vyx6��� �u�<xuvy�(~w����º � xu�)s�tw��|I�y���Z��v�s�t�� � � YZ� ���u���8|Ir��7�¯v�r�z���|9v���_ 5 Ï a s��4��� rw� �{|9su�| Í rw��|9�,Σ��|9r������ ~¸¥ � |Zz�su���3� � "��%$ �p�4�`tw��~}|I~b� �v_¶�=< a s�tw� r2|9�u���w�px3s�t}|Is­�£tw~ns�t���rM�w���b� �

Ï ¿

Page 15: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

� � �3|Z�(v���s���rwv¬|9r�z��Nz�����x­v�r "��7$ �§vyx4|9s­�y��|Zxus |¡~w�u��~b���us�v���r Ï } Í ~IÉ ��½ �,Î)� � sutw�<r¯�����}�p��� � ~¸¥� |Zz�su����x �/�'t¯��x6| � s�� � � Í É ��½ �������ªÉ�Î/|9~w~w��vyz�|Is�v���r�x�� � s�t��`YZ�p�u������¥ �¯v�r�z���|Ivy�6|9��������v�s�tw� �`�'�-v��y��£tw~�~w�u�N����z���|<��|9�(v��ysu��rwv¬|9r�z��Nz��y���

« xuv¬�<vy�¬|9�£v¬����|��£|Zx£��xu�p�"vyr�Áw�uvy� È ��|9r����¯�w� rm_ ¿�À a�� ���-³�r���v�rw�¡��|Z�<v��ysu��rwv¬|9r;z��Nz��y�px£v�r|��{|Ir������ �Nvy����|9~wt��£vysut -?�p���Z��x ©J- } É ¾�½ � Ê Ë%�

�! Y�� ��* �#� &$# �.�«)r}|9����������xu���Äs��Y"��%$ &�s�t�����|9r������ ��v����{|9~�t �Ã�%$ &�t}|9x=�Z�p�us���¨�xu�ps�_ É a |9r�� - �{|9rw������p�����px � �'tw�§�<�N��� � �Ã�%$ ¼­v¬x'��� ³wrw�p�7xuv¬�<v���|9�u�y����«�r}|9s����{|9�:z���r Q �pz�s��������`�����¬�=�b�­s�t}|9s �Ã�%$ &vyx���|Z�<v��ysu��rwv¬|9r;�-tw~��£tw� r�v�s3t}|Zx)� rw�Z�w��t��p���Z��x)su�=� r�xu�w�u�s�t}|9s3�}��s�t�s�t����(v�rwvy�����5v�r�¥��� ���u� � |Ir��¡�Z�wsu¥¦��� ���u� � |I�����b��sut�|9s`����|Zxus`��rw���-tw~��6�`twvyx'�'|Zx¤~w���I�Z���hvyr�Á���v��pÈ ��_ ��À a � u[� s-­� É Í �����ªÉ¢P ¤ �MÎ{�ª�'t��pr�����6�#���6( ���

�yvy��j�x� |e_ �Ã�%$ &°*+&@? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ a ����� I ¤ ��Ê R Ë

� ¸ � � � � ¤ ��Ê ¤Ï ¤ ��Ê P Ë

�`twv¬x4�'|Zx ~w���I�Z���O|9�������uvysut��(vyzp|9���y���¡�'tw�=z��Nz����hvyx � ���wrw�O�-t�~²�M�2|9r � Í É ¾�½ � Î�s�vy�(�=|I�y���9¥�uvysut��;� qCr��¯�pz�s�v���r ���3~��¤�§�-v��y�[��v¬x�z���x�x)|����pxu�w��sp©�v�r�x����(�§��� s{|9v��X©��£twvyz,t"vy�(~��yv��px-�'tw� ���u���~N� <��

»ª|9�u�yv�� �p©}«3r����y��vyr�|Ir�� �ª|9��v¬|9rMs£_ � a t}|9�;��v���� rn|9r � Í É Í �y���ªÉfÎ���Î`s�vy�<��|9�������uvysut��5�-twvyz{t�¤����¿Nx£�£tw~ � ��� - d^S É­�����¤É/© S xu�wÃ(z v�� rMs����7�¬|9������� O�z ��v¬|9���<vy� _43r¿ a ~w�u�I���p�"s�tw�4vyr¯s�� �u¥�pxus�v�rw�<vyr���®��}|9��vys¢�

| _ ���7$ ¼<vyx3�3|Z�<vy��s���r�v�|9r aJd | _."��7$ ¼<vyx3�3|Z�(v���s���rwv¬|9r a W Í ~N� Ï�� Î�¯�~w�wsus�v�rw� ¯ � Í �����ªÉ P;�����ª�����ªÉ P ¶ Î } ɲD ¶ Ê Ë Í ~N� Ï�� Î�|9rw�7�`tw� �����p� ~N�c�4vy�(~w��v���x6s�t�|9s�Ã�%$ ¼ v¬x)��|9�(v��ysu��rwv¬|9r"�-tw~[�ª�'t�v¬x-vyx£rw��s-®¯�wv�s��|Zx-xus����Zrw�h|Zx)�`tw� �����p��~N� <���x��� �m� ��J�{� ����� ���¾O�­�w�uvy���w�=z���r�xuvy��� �£xu���<�����pxu�w��s�x`~}�p�us{|9v�rwv�rw�<su��sutw�­��¨Nvyxus�� r�z��­� � ��|Z�<vy��s��Zrwv�|Ir�x¤vyr7��sutw� ��<�N��� �yx'� � |��{|9r��N���5����|9~wt��� &),.���-( ��� ���.� &�� �.* �)��&$# �.� �vu[� s �Ã�%$ �4�b�hz{tw��xu� r2�wr�v � �����(��� � �u��� s�tw�hxu� s � � ��v¼¥

����|9~wt�x'�-v�s�t���� ��su� ¨¡xu�ps�_ É a vyr"�-twvyz{t;��|Zz{t"��� ��su� ¨=t}|Zx£v�r�¥¦��� ����� �|9r��7���wsu¥¦�N�p�Z��� � � ������6�#���6( �7��� ���� ���&=&=.��^" � *+&Ã:=<>$�&/4�0>$�4·*+$Uk�"S��"%$Uk�"%$�4<�Â`É�t

�yvy��j�F� | _ �Ã�%$ �¢*+&@? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ a ��� I � Kª~Ï � d �

N ����� ( � ���6� ��qCr]s�t�v¬x��(�M��� �P" L ¸���� �-s�t��¡��� ��su� ¨²xu� s�vyx _ É a |9r�� sutw� r]��|Zz{t ��� ��su� ¨D G _ É a v�r���� ~b� r���� rMsu�y��z{tw�¯��xu��x'N�rw� v���tM�b�Z��x �Ì�'t�v¬x¡v¬x"|]�Z�{|9~wt[©)rw��s"|Ä�Nvy����|9~wt�©)s�tw�|��Z�p��|9���4��� ���u�p�4vyx�~ N�|9r��������ysuvy~w���4���N���px�|9���4~b��x�xuvy���y���'¾ t}|9s)v¬x)¿Mrw�I�£r�vyx�xu���(�=|I��v�Èp�p�v�r�s�t�� � �Z�y���I�-v�rw���6�`tw�4zp|Zxu� Nv�N��vyx)|9r�vy�(~b�Z��s{|IrMs£�Z~b� r�®¯����xusuvy��r[�

Ï 5

Page 16: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�����6�#���6( �7�)� � � ��vy��q�F� | _N";L ¸���� ��*+& ? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$ a � � I NHKN~

Ï N d ¿N T*�, � N ����� ( � ���6� �6qCr�sutwv¬x£�(�M��� � �bL ¸ G �%$ L ¸���� ��s�tw�§�Z�p�us���¨7xu� s'v¬xÃ_ É a |9rw�"sutw� r"�¸|9z,t��� �us���¨ D GÅ_ É a v�r���� ~b� r���� rMsu�y�"z{tw�¯��xu��x^N¡v�r�¥Crw� vy�ZtM�b����x3|9r��ON=���wsu¥Cr��pv���tM�}����x �

�����6�#���6( �7��� � � �yvy��j�F� | _ �bL ¸ G �%$ L ¸���� ��*+&@? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ a � � I Nv� Ï

Ï N d ~$�*��.���6,!$'&)(+*���� �,.* &#,!/ 1�/0� �6� �ªqCr"s�twvyx-�<�N��� �:�`�§xus{|9�us£�£vysut�|�z��Nz����§� � xuvyÈ �§É2|9rw�

|Z����� v�s�tw� � Í v±Î ¤ ÉÄ��|9r������ �p�����px§su�"v�sp© ¤ z �Zr�xus{|9rMs­��� Í vyv Î�|¡�{|9r��N��� ~b� � � ��z�s �h|9s�z{twv�rw����`twv¬x�t}|Zx�x����(��z����M~�s�������|9~wtwvyz�xuv���rwv�³�zp|9r�z���v�rn��� ��|Is�v���rnsu��|9�wsutw� rMs�vyzp|9s�v���rnx�z{tw�p�<�pxL_ Ï < a �_ Ï < a xutw�I�-x�s�t�|9s�vyr4z�|9x�� Í v Î,©�v �o¤ v¬x�xu�wÃhz�vy� rMsu�y���¬|9���Z�6s�t��pr ��r��¤zp|9r ³wrw�|-��|Z�<vy��s��Zrwv�|Ir4z��Nz��y��£tw~"vyr"~b�����Mrw���(v¬|9�:s�vy�(��� �'twvyx-�h|��(rw��s£�b�§s�tw�§����v���v�r}|9�[z��Nz��y��©N�w�ws£vys'rw� ��� ��sutw� �y�px�x'¿Mv��y�yxsutw�­|9�wsutw� rMs�vyzp|9s�v���r¡x�z{tw�p�<���6�¯vy�<vy�¬|9������©)_ ¿�~ a xutw�I�)xªsut}|9sª�-tw~=�`�3z�|Ir¡³�r��7|��3|Z�<vy��s���r�v�|9rz��Nz����<v�r²zp|Zxu� Í vyv Î,�h�¯� ��¾²�����=|I�¬� _ <r¿ a � ���4|7���pz�� rMs xu�w���Z�p���£twv¬z{t2��¨N~w�¬|9vyrwx sutw�<��� �¬|9s�v���r�b� s¢�`� � r��Z�{|9~wtwx-�Z�pr��p��|9s��p�"|Zx£vyr Í v�v±Î`|9r��"��|9r������5�u� ���w�¬|9�-����|9~wt�x �

�'t�v¬x=� r���x=�Z�w�=��vyx�z���x�xuv���r�� � sutw�n��|Z�<vy��s��Zrwv�|Ir�z��Nz��y��~w�u���w���p� v�r���|9r������ ���{|9~�t�x ©��¨�z�� ~ws � �Z����~b� r~������w���p�hx ©Ixu� �'����z�suvy��r����P5N��¾²�6s�����r4s��)sutw�`���{|p��� �yv�rw�­�N|9���px��h|9r �u���w�����Í �3�NÂ`Î{�

� � i���� ��ope��� ���� �9� ��e�8i6j � �� �� �%ope�k� � ­e�k� ­ehgZ� j"k �¾O�(z���r�xuvy��� �§~w���Z�w�y�p�(x­�£tw� ����s�tw�<z �¯�pÃ(z v�� rMs�x­� � s�tw�<z���xus �h|9s��uv�¨ ���­_ ¤ G $ � a |I����� vysutw� �z����<~w���psu� �y�=v�r���� ~b� r���� rMs Í |Zxu�N�(�<�psu��vyz§�<�N��� � Τ���)z���r�xusu�{|9v�rw�p���¯� ¤ G $ � � ¤ � $ G Í xu�N�(�(� su��vyz�<�N��� � Î,� �¯�pz�s�v���r�xH��� Ï ©F��� ~2z �Zr�xuv¬��� �=��¨w|Zz�s=xu�����ws�v���r�x7|Ir���s�tw� r��¯�pz�s�v���rN�N�3�²z���rwx�vy��� ��x|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s��§xu�����ws�v���r�x �

!F��� � #�� � �)�o����� �)� ������� � ���X� ���� �`������u[� s=��x¡³w��xus7z���rwx�vy��� �"|²xu�N�h�<� s��uv¬z;�(�N�N�p�3v�r �£twvyz,t�sutw�nz �¯�pÃ(z v�� rMs�x ¤ G $ � |9�u���{|9rw�����v�rMs�� ��� ��x)vyr�sutw����|9rw���s_¶I�W�W3± a ��Áw��v�� È �s_¶� 3 a ���px�z �uvy�}���n|9rn|9�������uvysut����£twv¬z{t�³�r��wx­|9r���¨w|Zz�sxu�����ws�v���r��£tw~�~w�u�I�Mvy���p�O± �6` Í É } �����ª�����ªÉfÎ,�

�'t��xusu�{|9su�p�Z�¡� � sutw�|9�y�Z����v�s�t��½v¬x£su�(³w��xus£³wr��;|<xu�ps \ I)� � 47g=<>.�p�1�"%&�<>�¢"¤��� �us�vyz �px-|9rw�sutw� r s���³wr��]|�xu� s� � ��� ��s���¨O��vyx�Q ��vyr¯s~}|9s�twx H � ) K � D2K � D�W�W�WJD2K � +7�-t�v¬z{t]z �¸��� � \ I(|Zxz{tw��|9~w���=|Zx¤~b��x�xuvy�w����� > �hz��I��� �`�¤�§�<�¸|Ir¡sut}|9s`��|Zz{t7�Z�p�us���¨h� �V\ I£v¬x£|Ir7vyrMsu� ��v����`��� �us���¨h� ���r��<� � s�tw�<~}|Is�t�x§� ��H ��¾O�(z,t��M��xu� H s��;�<v�rwv¬�<v�Èp� ¤ Í H Î���� �

G�¨ � ¤ Í K GKÎ3�-t��p�u� ¤ Í K GXÎ)vyxsutw� �`� vy�ZtMs£� � s�tw� �p�����px£� � KBG¢�

��|p�Mvyr�� � �Z�wr�� H �¤� s�t��pr"³wr��;|(�3|Z�<vy��s���r�v�|9r"z��Nz��y��I?�-t�v¬z{t;z���rMs�|9v�r�x£sutw� ~}|9s�twx£� �H |Zx`xu�w�N¥C~}|9s�twx£|Ir��=�-t�v¬z{t¡��sutw� ���£v¬xu�3��rw���hz���rMs�|9v�r�xªÈ �p�u���y� rw��sut=���N���pxp��qCs`vyx`��|Zxu��s���xu�p�sut}|9s I xu���y�Z��x's�tw�|Zx�xu�Nz�v¬|9s��p�7s���|���� �yv�rw�(x�|9����x��h|9r"~������w���p�;�

Ï 3

Page 17: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

Áw�Z��± ��` Í É } Í �����ªÉ�Î � ½ �,Î3v�s4xu�wÃhz��px§s���s�|9¿�� \ IQ� ) D G�_ É a º �=I Í D Î K � } ~ +=�-tw� ����=I Í D Î�v¬x sutw�)rM�����b� �6� � È � ���4��� rw��suth�p�����px�vyr�z�vy��� rMsª�£vysut D |9r�� �£��É } ±�vyx Í z ����xu�-s��NÎfs�tw���¨N~b�pz�s��p��r¯�����}�p�f� � È � �������pr���s�t��p���Z��xfvyrwz vy��� rMs/�-v�s�t�|3��� ��su� ¨P� �¯��vyr�s�tw�'z���r�xusu����z�s�v���r�� �I �¤�§��x�xu� rMs�v¬|9���y�ht}|����§su�<³wrw�;|<�3|Z�(v���s���rwv¬|9r"z��Nz����§vyr;|��{|9rw�������Z�{|9~wt7�-v�s�t��<vyrwvy�������� ���u� � d � } ~N� «��(�M��vy³wz�|Is�v���r=� � sutw�§|9��������v�s�tw���)« O?� � �¯�pz�s�v���r ~N�c��� Ï �-v��y�Pxu�wÃhz����6Á�����¬|9���Z�p��±8�`�4t}|��Z�su�¡|9�w���<� rMs \ I3�M�"�Zs�tw� �)��� ��s�vyz��pxp�'�'tw� ����|I����=|9r¯�"��� s�|9vy�yx)�b�pxus3��� � ssu�(sutw� vyr¯s�� ���pxus��p�7����|Z��� �£� � _ � 3 a �

!F� � �N� #�� � �)�o����� �)� �����9� � ���X�Z���� �`������qCr4sutwvyxfxu��z�suvy��r �¤�ªz���r�xuvy��� ���{|Ir������<�y�3��� rw� �{|9su�p�|9x��M�h�<� s���vyz�~w���Z�w�y�p�(x ��qCr~�|9��suv¬z��w�¬|9���`���vyx�z���x�x6|­���pxu�w��s � � Á���v�� Èp��© � |9��~(|9rw� À �p�p� _ ¿�� a ���'tw�-�h|9v�r����pxu�w�ys�� � _ ¿�� a v¬x�sutw� � �����y�¸�-v�rw��ºÁ����£|9r¡É % É��=|9su��v¼¨ ���y� s Ä K Í �Î �b�­sutw�§�<vyrwvy�����Ì�9|9���w� � ���¤s�tw�§|Zx�xuv���r��<�pr¯s¤~w�������y�p��£vysut��h|9s��uv�¨ �Ì|9r��;��� s Ä � � K Í �Î`�b��sutw���(v�rwvy���w��z���xus)� � |(s���|���� ��vyrw�=x�|9���px��=|9r�s��Z�w��£vysut=z ��x�s�x ����¾O�­|I�y�'|��Nx t}|���� Ä K Í �ÎTK Ä � � K Í �Î,� �`tw� � ���y���I�£vyrw�4~w�u�I�Mvy���px¤xu�wÃhz�v�� rMsz���r��Nvysuvy��rwx � �Z�£��®��}|9��vys¢�¡�£tw~�������6�#���6( Y7��� "�4 ) \ �U+Lp="¬0`&'"-,/.�"%$U:%"T<�·g-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%&<>?@"%g47no" $U<>$�$)"���0247*+?@"·g="-0213&�t� "�4 ¯ � ¯ �^� |e_ \ �O� I a 0>$Uks1�"�4 ¶ � ¶ Í ÉfÎF� É ¯ t � "�4 � � � Í ÉfÎ�p="L0>$;É % ɵ�¢0247g%*�AWen#<>&'"Q"%$�47g%*�"%&�0>g%"Qk>g-07We$9*+$Uk�"S��"%$Uk�"%$�4 136`Â-g-<>� 47no" &�0>�¢"Qk>*+&/47g%*�p%.o47*�<>$ 0>& \ ��t 8  ¶ Ê Ë0>&'É�Ê Ë 47no"%$ Ä K Í �Î�� Ä � � K Í �Î Wen'�)t¾O� xu� �­��|Zxuv��y�hsut}|9s'sutwv¬x'vy�<~w�yv��px£�'t��p�Z���p� ~M� < � ���`sutw� zp|Zxu� ¤ ��Ê P4Ë%� u[� s \ �Q�NI���� Ï �`-�I�ÄÉ ¯ � �����ªÉ¬P ¤ ��Ê Ë |9rw��vys�vyx/¿Mrw�I�£r � ����� »����98��x�|9r�� À :� rM�¯vJ_ ��~ a sut}|9s Ä K Í �Î �NI�£tw~��(�'tM�wx Ä � �aK Í �Î�� I7�-t�~OvX� �����-t�~Osutw� ���<v¬x4|��3|Z�<vy��s���r�v�|9r2z��Nz����(v�r2s�tw�<����|9~wtv�r�����z��p�"�M�¡È � ���<�y� rw�Zs�t��p�����px �

u[� s I �b�]s�tw�]�¤� vy��t¯s��p�0�wv�~}|9��suvysu�]���{|I~wt �£vysut ��� ��su��¨0x�� s \ ���h©��£tw� ��� \ �)rC � D-C � D'W�W�WJD#C�� +|Ir���� �^)jE � D�E � D'W�W�WJD�E>� +M©�|9rw�¡�£vysut"|9r¡�p������� � �`� v���tMs ¤ G $ � �b� s´�¤�p� rHC�G|9rw� E � �¢u[�ps � �b�(s�t��hz����(~��y� s��(��v�����|9~wtO��r2��� ��su� ¨�xu� sH_ É a ©�vyrO�-twvyz{tO��|Zz{t2���N��� Í F-D.-NÎt}|9x-�`� v���tMs ¤ G $ � �¤«�:/6�:�1�"�:=<>?@"%g'vyx�|<xu�w�w����|9~wt;� � � vyr;�£twvyz,t;��|Zz{t�� � sutw�4É2��� ��suv¬z��px-t}|Zxv�r�¥¦��� ���u�p� Ï |9r������ws ¥¦��� ����� � Ï �§�`tw��«�x�xuv���r��<�pr¯s­Â �������y�p� zp|9r��b��xus{|Is��p��v�r�|9rM��� � s�tw�� �������I�-v�rw�<�p®¯��vy�9|9��� rMs � �����hx ºX Áfvyrw��|�~}�p� � �pz s-�=|Is�z{twv�rw��� � �<vyrwvy�����½�`� v���tMs£v�r I2�X Áfvyrw��|<z��Nz����4z �¸��� �£� � �<vyrwvy�����½�`� v���tMs£v�r ���X Áfvyrw��|�~}�p������s{|9suvy��r�� Í � � _ É a Τs��(�<vyr�v¬�<vyÈ � � �G�¨ � ¤ G $ � � G � �

u[� s§sutw��vyrw��v¬zp|9su���­�Z|I��v¬|9�w��� ��G $ � �b� Ï v �¤ G $ � � I"|9r���I¡��sutw� ���£v¬xu�����'tw� rns�tw� � G $ � |9���v�r���� ~b� r���� rMs ©:|Ir��;�¸|9z,t � G $ � vyx)��®��}|9��s�� Ï �-v�s�t�~w���Z�}|9�wv��yv�s´� ¯ �-»6���w�¬|9s�v�rw�=|(��xu� � �w��s��uv¬z{¿������su�n¾]|9��¿M�w~ _.<@� a �`�7�Mvy� ��s�tw� ��G $ � |Zx��b� vyrw����� rw� �{|9su���]v�r s�t�� � �Z�y���I�-v�rw�n�£|���� u[� s�H��� Í É�Τ�b���� ³wrw�p�"�M�¡sutw�4�p®¯�}|9suvy�Zr ÏxR ¯ � Í ÏxR �bÎ � |9r��"��� s � LG $ � © � �Z� Fe� Ï D=~�D�W'W�WJDuÉ�©-£� Ï D=~�D�W�W'WVDuÉO|9r���Nv� Ï D=~�D-�#D�¿�DT5N©��b� v�r���� ~b� r���� rMs-v�r���vyz�|Is����£�9|9�uv�|9���y�px ©���|Zz{t"� � �-twvyz{tvyx6�p®¯�}|9��su� Ï �-v�s�t(~w������|9�wv��yv�s´� �[� u[� s � G $ � �%�h|I¨ �LB¨ � � LG $ � � �'tw� rhsutw� ��G $ � |9���-v�r���� ~b� r���� rMs ©|9rw�"��|Zz{t7v¬x'��®��}|9�:s�� Ï �£vysut"~w������|9�wv��yv�s´� ¯ �6Áw���^Nv� Ï D=~N©���� s I L3�b�§s�tw�§�wvy~�|9��suvysu� ����|9~wt�£vysut2��� ��su� ¨nxu� s \ ��=©f|9r����-v�s�t²|9r2�p���Z�(�}�ps¢�`� � r C�G¤|9r���E � v � |9r��n��rw���nv � � LG $ � � Ï �

Ï À

Page 18: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

Á���� Nm�­�#D�¿�DT5N©���� s � L(�b�¡s�t��7��v����{|9~�t]�£vysut]��� ��s���¨²xu� s _ É a |9rw�Ä|9r]�p���Z� � �u��� F­su� -v � |Ir�����rw��� v � � LG $ � � Ï �%�'t����p���Z��x(� � �Q¾�© � _ |9r�� � � ©'�u�px�~}��z�suvy��� ����©'�£vy���)�b��zp|9���y�p�<>.o4���"-k'��"%&,©U*+$���"-k'��"%&'|Ir��s�o024�:/nb"-k'��"%&,�`»6|Zz{t;s¢�M~b�4� � �p����� �-v��y��~w�¬|��"|(x�~}��z�v¬|9���u�����4vyr;s�tw�z���r�xusu����z�s�v���rh� � |��3|Z�<vy��s���r�v�|9r=z�vy��z ��vysª� � �¤�pv���tMs Ä K Í �Î,� qCs¤�£vy���P�}��vy�(~b�Z��s{|IrMsªs�t�|9s¤s�tw���|9r������½�Z�{|9~wtwx^I � |9r��'I � ©�|9r��¡s�tw�§��|9r��������Nvy����|9~wt�x �Q¾'D � _ |9rw��� �p©w|9���§z����(~��y� s�� ���v�r���� ~b� r���� rMs �­«3�yxu��©P��� s �Q� � Í ÉfÎx��É �B]J��vyx�s�tw����¨N~b�pz�s��p���N�p�Z��� ��� � |(��� ��s���¨�v�r I � ���I � ©b|9r���sutw�4� ¨M~b�pz su�p������su¥¦��� ���u�p� � � |���� ��su� ¨7v�r �£¾p© � _ ��� � � �F³¤����|9������©�� d�¶T} 5N©b|9rw�sutM��x � s�� r��wx£s��<vyrw³�rwvys¢�7v ��¶ ���¯��x �

�'t��²z���r�xusu����z�s�v���r�� � s�tw�O���pxuvy�u�p�F��|Z�<vy��s��Zrwv�|IrFz�v���z��wv�s�~w���Mz � �p�wx"v�rFsutw� � ���y���I�£vyrw�xus{|I���pxpº� &�� Í q¦��� rMs�v�³�zp|9s�v���r�� � 47g-<>.�p�1�"%&�<>�¢"s?@"%g�47*�:%"%&�Î{� > ��z���r�xuvy��� ��v�rw�²s�tw�;���N���pxh� � I � � I �vy��� rMs�v � �;|(x�� s Ä �N\ |9r���|(xu� s�± � �h© � Ä ��� �¶±H� �)�'t���z�|I����v�r}|9��vys¢�"� �eÄ �O±8vyx

x��=|I�y�[�£tw~���'t��<x�� s Ä �9±5z���rMs�|9v�r�x­sutw����� ��s�vyz��px�� � ��¨�z�� ~wsuvy��r�|9�y����x��=|I�y�/��� ���u� ��~w����x§z��p�us{|9v�r��sutw� �)�Z�p�us�vyz���x£s�t}|9s3|9�u�4��vy¿�� ���7su�h�}�v�r�z�v¬�N�pr¯s)�-v�s�t;�p�����px-� � rw��r�Èp� �u�h�¤�pv���tMs£vyr�|9r��~wsuv¬�h|9��|Zx�xuv���r��<�pr¯sp� «£s­sutw��x{|9�(��suv¬�<��z���r�xusu����z�s |¡�h|9s�z{twv�rw�¡v�r+I$�£twvyz,tnv¬x�� ��<vyrwvy�������¤�pv���tMs ©Pxu�w��Q �pz�s3s��=s�tw��z���r��Nvysuvy��r�s�t}|9s3v�s­z��I�Z�p��x)s�tw���� ��suv¬z��px3v�r Ä �b±|9r��"rw�(�Zs�tw� �£��� ��suv¬z��px � Í ³ª���(~�|9���­�-v�s�t�sutw�|9��������v�s�tw�5� � sutw� ~w��� �Mv�����x-xu�pz suvy�Zr�� Î

� ��� ³¤��r�xuvy��� �£sutw�4xu�w�����{|9~�t"� � I � ��I � vyr��N��z����7�M� Í \ � Ä Î � Í � �¬±�Î,�6�'twvyx£��vy~}|I��s�v�s������|9~wt;t}|Zx)|<~b� � � ��z�s)�h|9s�z{twv�rw�<�-tw~[�F³¤�����wv�rwv�rw�(sut}|9s-~b� � � �pz�s)�=|9s�z{twvyr��(�£vysut;s�tw��h|9s�z{twv�rw��z���r�xus��u��z�s��p�(v�r¡sutw��~���� �Mv�����x¤xus�� ~�©¯���ws�|9vyr7|9rh��~wsuv¬�h|9�P|9x�xuv���r��<� rMs � ��� Iv�r;�£twv¬z{t�� ��� �u�¡r���r�¥CÈ � ���Z¥C�¤�pv���tMs'�p�����§v¬x-v�r�z�vy��� rMs-�£vysut�|���� ��su��¨7v�r Ä �O±(�

� /�� �'tw�­��~wsuv¬�h|9�:|Zx�xuv���r��<�pr¯s�Q ��xus'z���r�xus��u��z�s��p�¡t�|Zx`s�t��§~w�u��~b� ��suvy�px`� � |�{|9r��N���½~}�p�����N¥s{|Is�v���r��ªqCr"~}|9��suv¬z��w�¬|9�£vys£t}|Zx � Í �y�Z�¤É�Î`z��Nz��y�px �

� ����� xuvyr���s�t��7���wsu¥C�p���Z��x�|9r��]v�r�¥C�p�����px ©ª|9s�su�p�(~wss���z���rM�Z�p�us�s�tw�7���uvy�Zvyr}|I�`��~wsuv¬�h|9�'|Zx ¥xuvy�Zr��(� rMs£v�rMsu�=|�~b� �����ws{|9suvy�Zr"�-v�s�t�rw�hxutw�Z��s-z��Nz��y�px �6�'t�v¬x-~����Nz��px�x-xu��z z��p�p�wx£�£tw~��

� � � � xuv�rw��s�t��¡~�|9s�z{t �p�����px ©�~}|9s�z,t²s�tw�=����rw�nz��Nz�����x4s����Z�psutw� �vyr¯s��n|�xuvyr����y�¡z��Nz�����©�sutM��xxu�����Mvyr��ns�tw� Ä � � K�© ����z{tÄ|Zx�v�rÄsutw�¡~}|Is�z{twv�rw�2|I�y���Z��v�s�t�� � � �¯�pz�s�v���r�~N�c���3~N���'tw�~}|9s�z{twvyr��(~w���Mz �px�x-xu��z z � �p�wx'�-tw~��

�'t��n�I��� �{|9����xus���|9s�� ��� � � s�tw�n~����M� � vyx¡s��Äz �Zr�xus����wz s7|9r���~wsuv¬�h|9�§|9x�xuv���r��<� rMs=�£twvy���¿�� � ~wv�rw�=s�tw��v�r�¥C�p�����px ©P����su¥C�p�����px­|Ir���~}|9s�z{t��p�����px Í � ¨Nz � ~ws3sutw��xu��vyrwz vy��� rMs��-v�s�t Ä �b±�Îv�r����pxu� ����� � ���3��xu�vyrnz���r¯��� ��s�v�rw�hs�tw����~wsuv¬�h|9�f|Zx�x�v���r��<� rMs)s��7|(su���w�3�-v�s�t����ws�v�r�z�����|Zxuv�rw�z���xusp�

qCr;s�t�v¬x)xu���h�h|9�u�=�`� � �Nz���x-��rn�¯s�� ~ Í �bÎ,�`�`tw�4����|Zxu��r��`� �'|9rMs-su�h�Z�ps-�¬|9���Z�z��Nz����px-vyxsut}|9sªv � �`�3t}|����3s¢�`��z��Nz����px � � |9r���� � ©Msutw� r¡�`�3��� s'µ Í � � � ��� � � � Î ��~�~b����su�wrwv�s�v��px`su��z�����|9su�~}|Is�z{tw�px |Ir��n�¤��rw� ����s��7�b�<xu�w����sut}|9s­s�twvyx­v¬x§xuvy��r�vy³�zp|9r¯s��������u�¸|Is�� ��s�t}|9rns�tw��v�rM��� ��x���� �sutw� ~w�u���}|9��vy��vys¢� �q� } ÉV�£� � �h|9¿Mv�rw�(|<xuvyrw�Z�y� ~}|9s�z{t�v�r��-� �`���(v � � � |9r�� � � |I��� �¬|9�u��� sutw� r� � � ��� � � � d É � }�¶ |9rw�"s�twvyx-vyx£��|9�u���4z����<~}|9�u�p�7�-v�s�t"É � } � � �

��

Page 19: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

Y�� � � ��*�(E*�,�&���*��-,!�- � ( &#�7��� 1�/0� ���³`|9�y�3|²z��Nz�����v�r |2~b� �����ws{|Is�v���r &=�v021+1/v � v�s¡z���rMs�|9vyrwx � �p�¤� �hsut}|9r�É }�� ¶ �Z�p�us�vyz���x ��¾²�rw�¸�0��vyx�z �wx�x-tw�I��s�tw� ���wsu¥C�p���Z��x)|9rw��vyr�¥C�p���Z��x)|9�u�4��xu�p��su�hz���rM��� �us-s�t��4����v���v�r}|9�[��~wsuv¬�h|9�|Zx�xuv���r��<�pr¯s�v�rMs��2|9r]��~wsuv¬�h|9�'|Zx�xuvy�Zr��(� rMsvyr]�-twvyz{tÄrw��z��Nz����7vyx�x��=|I�y�X� ¹ ����~w�u�Nz��p���w���vyx4s��;s{|9¿��(��|Zz{t²x��=|9���6z��Nz��y�h� � sutw�=�Z��v���vyr�|9�6��~�s�vy�=|9�ª|Zx�xuvy��rw�(� rMs � v�r²s��w�ur]|9r��Osu���ns���u���<�I����vys£�-v�s�tw����s)z�����|9suvyrw�h|9r¯�¡rw� �0x��h|9�y�[z��Nz�����x �

¾O�£rw�I�����px�z��uvy�b�£sutw� g-<24�0247*�<>$���:�1�<>&=.�g="`021¶��<>g%*547n���s�t}|Is vyx���xu�p�<su� � ��v¬�<vyr�|9s��'�Zrw�-x��=|9���z��Nz������Lu[�ps �½�b�=|"x��h|9��� z��Nz��y����¾²�(�=|9¿Z�(|7rM�����b� � � � xu� ~}|9�{|Is��h|9s�su�p�(~ws�x­s����u�p�(�I�Z����ª�'tw�;FCs�t�|9s�su�p�(~ws£z���r�xuvyx�s�x£� � |9r ¹ �ws3 t}|9x��4|9r��;|9r�qCr� t�|Zxu����¾O� �-v��y��v���rw���u�4x����(�su��z{twr�v¬zp|9�[~}��vyr¯s�x£�-twvyz{t�|9�u�4r���z��px�x�|9���=s��(�h|9v�rMs{|9v�r�xu���<�§v�r���� ~b� r���� r�z����

� ��� � ��� A ��&#����3� ³wrw�h|b$)"-0>g ��:/6�:�1�" ��:=<>?@"%g3|Zx4|"��v����{|9~�t��"z �Zr�xuv¬xus�v�rw�"� � |7��v����pz�s��p��~}|Is�tEK��4~w����x|"xu� s� � �Z�p�us���¨M¥¦��vyx�Q ��v�rMs`��v����pz�s��p�¡z��Nz��y�px`z��I��� ��v�rw��s�t��­��� ��suv¬z��px¤rw��s`v�r�K��p�/¾O�­���ws�|9v�r"|9r¡vyrwv�s�v¬|9�rw��|9� ¥¦z��Nz��y��¥¦z��I��� �(�M� ��� �y� s�v�rw�Ä|9r��p������� � � � ����� s�tw��z��w�u��� rMs Í ��~wsuv¬�h|9� Î<|Zx�x�v���r��<� rMsp©sutM��x(z���rM�Z�p�us�v�rw�2sutw��x��h|9���-z��Nz���� �?v�rMs��²|n~}|9s�t[� ¾O��s�tw� r�|9sus��p�<~ws<su�O����s{|9v�r��=|IrM�rw��|9� ¥¦z��Nz��y��¥¦z��I��� ��x­�¯�2|"�u��s{|9suvy�ZrO~w�u�Nz��px�x �=�'tw�hxus{|9su�(� � sutwvyx4~w�u�Nz��px�x vyx���px�z���v��b�p�2�M�2|�u�M��s��p��s��u�p�<�£tw��xu�hr��N���px�|I���<rw��|9�u¥¦z��Nz�����¥¦z �¸��� ��x ©��£vysutOs�tw�(����v���v�r}|9� rw��|9� ¥¦z��Nz��y��¥¦z��I��� � |9ssutw�-�u�M��sp� Í ³ª���(~�|9���'�£vysut=�3« O�� � ����z�suvy��r¢~N�c��� Ï � ÎQ³¤��rwx�vy��� �ª|­s´�M~�v¬zp|9��rw�N�N� � z���rwx�vyxus�v�rw�� � |h~}|9sut K��­��v����pz�s��p� � �u��� � �­s�������~w����x§|hz��Nz��y��z �¸��� �3� � s�t����u�p�=|9v�rwv�rw�=�Z�p�us�vyz���x �£¾²�����s{|9v�r��N��x�z�� r���|9r¯s�x�� � �h�M�;���M��¿¯vyrw�"|9s����ws ¥C�p�����px���vy�u�pz su�p� � �u��� �����óª��r�xuvy��� � |Irn�p�����sut}|9s)v¬x3��vy�u�pz su�p� � �u��� ����s��7|<��� ��s���¨sE"�-v�s�t�~w�u�p���pz �px�xu����C����¯��z{tn|9r��p������vyxÃ&=.�:=:%"%&=&7Â-.o1v � � v�s�tw� ��E;��v���x3��r2|=�¬|9�u����z �Mz ��������E��yv��px���r K��4|9rw��s�tw��xu�w�N¥C~}|9s�twx­� � K�� � �u��� � �§s��sC|9rw� � �u��� Ehsu� ���-|9�����b��sut7� � ���pr���s�t"|9s`����|Zxus`É } � ¶ �6qCr"xu��z{t7zp|Zxu��x'|��N��x�z�� r���|9r¯s'� � ��vyxz�����|9su�p�=�¯�h��� �y� suvyrw� Í CVD�EwΪ|Ir��¡v�r�xu� ��suvyrw� Í ���qD�EwÎ,�6�`tw��s��u�p�3� � rw��|9�u¥¦z��Nz���� ¥¦z��I�Z�p��xªvyx`���u�I�-rv�r�|��w�u��|Z��s�tN¥C³w��xus)�h|9rwr��p�£��rMs�v���sutw� rM�����b� �£� � �y��|����px'����|Zz{tw�px - � � É­��r)É��

«�x�xu���<vyr��¡sut}|9s3sutw��rM�w���b� �)� � ��� �us�vyz �px)��r�xutw���us�z��Nz��y�px)vyx����px�x3s�t�|9r�É }�¶ � ½S¾ Í s�twvyx3vyxsu���w���-t�~PΤ|9r��=v���rw���uvyrw��xu���<��s��pz{twrwvyzp|9��vysuvy�px ©Ms�tw��rM�����b� �`� � ���px�z�� r���|9rMs�x`� � rw�M��� ��vyx£|vyx£|�wv�rw���<v¬|9�P��|9r������½�9|9�uv�|9���y� ± Í É R ` Í É�Î%D=� } ÉfÎ{©w|9r��¡sutw�­��|9r������Ì�Z|I��v¬|9�w����x'|Zx�x��Mz v¬|9su����£vysut��Nv¬xus�v�r�z�s/rw�N���px�|9�u�¤vyr��N�p~}�prw��� rMsp�ª���w~w~b��xu�`s�t�|9s��y� ��� ��y�� � sutw�`���M��su�p��su��� �`���px�z���v��wvyr��sutw� ¹ �ws­Â t}|Zxu�t}|Zx � ��� ��suv¬z��px �)�'tw� r�©:|9~w~w���Mv�rw�¡s�t���³¤t��p�urw�@´2�}���wr�� Í Ï �¶¿NÎ'��r�sutw��s{|9v��¬x� � sutw���wv�rw���<v�|9�X©Psutw��rM�w���b� �3� � rw�N���px§|Is����p�Z�p��y P Ï �yv��px��b� s´�¤� �pr � � } ~=|9r���~ � ��©P�£vysut~w�u���}|9��vy��vys¢�"���u��|9s�� �-s�t}|Ir����)�p®¯��|9��s�� ÏFR � ¸� � ½ � I �£�)� r�z��sutw�~w���Z�}|9�wv��yv�s´�7s�t}|Is3sutw� ¹ �ws t�|Zxu� � |9v��yx¡su�]~w���N�N��z�� - �y��|��Z��xhv¬x Í ®¯�wv�s���z���r�xu� ���9|9suvy��� ����Î(|9s7�<��xus � �

L-¨ � � ¸ L � ½ � I K� ¸ � ½ � I W

� �����, A ��&#����`tw�s��u�p�4~w�u�N����z��p���M��|9r ¹ �ws­Â t�|Zxu�t}|9x - s�� ���<vyr�|9��rw�N���px �)»ª|Zz{t;� � sutw�pxu�v¬x�|<rw��|9�u¥z��Nz���� ¥¦z��I�Z�p�hv�r��-t�v¬z{t�s�t�����v����pz�s��p��~}|9sut��b� ��vyrwx"|9s=s�tw�nx�|Z�(�;��� ��su� ¨ D ��u[�ps=s�tw�,-�sutsu�p���(v�r}|9��rw�N���¤�b�'�N�pr���s��p��" � ©�|9r����� s�s�tw�`��vy�u�pz su�p�~}|9sut�vyr " � �u�wr � �u��� D su��C � �����w�uvyr��sutw�¡qCr] t}|Zxu�(�`�h���u�I� ���M��su�p�Os��u� ��x v�r���� ~b� r���� rMsu�y� � �u��� |9���6s�tw� " � © -�� Ï D=~�D�W�W�WJD -2��`tw�h~w���Mz �px�x v¬x4��vy¿Z�hs�tw� ¹ �ws� t}|Zxu��©f��¨�z�� ~wssut}|9s ©fvyr²z ���(~w��s�v�rw�;s�tw�=�N��x�z�� r���|9r¯s�x4� � |rw�M��� ��©w�`� � |9r"�}|Zz{¿M�'|9���wx-|9����rw�<vyrN¥C���N���pxp©��{|Is�tw� �-sut}|9r � �Z���£|I���wx-|9����rw�<����su¥C�p�����px �

q � |9�������M�px3|Zz z�������vyr��hs��h~w�¬|9r�©}�¤�� r���s�tw��qCr� t}|Zxu�4�-v�s�t�|9s)���¸|9x�s - � } ~�rw��|9�u¥¦z��Nz�����¥Ï <

Page 20: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

z��I��� ��xp�7�'t��¡z���r���v�s�v���r}|I�ª~w���Z�}|9�wv��yv�s´�ns�t}|Is�`�=zp|9rwrw�Zs�z�����xu�¡|9rM��� � s�tw�h~�|9s�t�x4� � sutw�px��z��I��� ��x§v�rMs��;�¬|9���Z�hz��Nz��y�px vyx�|Is�<��xus Í Ï�R � } ÉfÎ & º ½ �LKÌÉ ¸ � ½ � �s³ª�y��xuv�rw��|"~}|9sut²z�����|9s��px4|rw� ����~ws�vy�h|9��|Zx�x�v���r��<� rMs'�-v�s�t�|9s£�y��|Zxus£��r��4���px�x-x��=|I�y��z��Nz������

!F�"! �N� #�� � �)�o����� �)� �����9� ������� � ��� �²������ ��� �������� ��¾O�rw�I��z���r�xuv¬�N�p�­|I~w~w����¨Nv¬�h|9suvy��r�|9�������uvysut��hx � ���3sutw��zp|Zxu�4�-tw� �u�s�tw��pr¯s���v��px ¤ G $ � � � �Z�w�É % ÉÄ�h|9su��v¼¨ ��|9�u��v�r���� ~b� r���� rMs­�wrwv � ����� _ I�© Ï a ��|9r������ �9|9�uv�|9���y�px � �4|I��~�_ 5>¿ a �£|9x�s�tw�³w��xus-s��<~w�u�I���§s�tw� �{|Is�tw� �-xu�w��~���vyx�v�rw� � |Zz�s£s�t}|Is

Ä � � K Í ��Îe� Ä K Í ��ÎVP#` Í Ï Î d ÏxR ` Í Ï Î ��� ¯ W Í ��� Ï Î�-�"z �Zr�xus����wz su�p� |9r � Í É ¾ Î4~}|9s�z{twvyr��O|9�������uvysut�� s�������s�twvyx �2¾O��xu� �7s�tw� rÄs�t}|Is+� |9�u~V[Çx|9�������uvysut�� v¬xs0>&=6r���X4�<247*�:=021+136�<%�X47*+�¢021 � Í `)��su�=s�t}|9ss�tw�=���I�`� ��b�Z�wr�� v�r Í ��� Ï Î­t}|Zx�b� � rv�r�z�����|Zxu�p�¡su�<�<���u��s�t�|9r Ï �P5�|9rw�¡v�s'vyx£z���r Q �pz�s������p�=s�t�|9s Ä K Í ��Î ��� º� �£tw~�� Σu�|9s�� � �4|I��~|9rw���¯s�� � ���H_ 5 5 a v¬�<~w���¸���p�7s�t�v¬x£s��

Ä � � K Í ��Îe� Ä K Í �ÎVP � Í É�¸ � ½ � Î ��� ¯|9rw� �3��� �`|9r��¡Áw�uvy� È �£_Á~�À a �h|Z��� � �w��sutw� �¤vy�(~����I���p�<� rMs�x x�t��I�-v�rw� Ä � � K Í ��Îe� Ä K Í �Î#P� Í�Í �y���6ÉfÎ _ } Í É§�����ª�y���6ÉfÎ�Î{�YO����u�"���pz��pr¯s�����©ªÁw��v�� È ��|Ir���������¿Mv�r _ ¿H3 a t}|p�����h|Z����|�x��=|9���vy�(~����I���p�<� rMsp©Mxutw�I�-v�rw�

Ä � � K Í ��Î R Ä K Í �ÎTK ¤'� Í �y�Z�ªÉfÎ �É ��� ¯ Í ���3~�Î� ���-xu���<�§z �Zr�xus{|9rMs ¤'� zZI��

¾O�(rw�I� ���ws���v�rw�hsutw�(~w�u�M� � � � Í ���3~�Î,�hqCs �'|Zx x�t��I�-r2v�rµ_ ¿H3 a s�t}|9s �£tw~Os�tw�<��~�s�vy�����|Zx�xuv���r��<�pr¯s<xu�����ws�v���r Í z �Mz ����z��I��� ��Î4��r��y� t}|Zx<�p���Z��x�� � �y� rw�Zs�tªK ¤ � : < =

�� �£tw~ � ���<x����(�z���r�xus�|9rMs ¤ � zZI��/¾O� �y� s3|Ir��p����� �}�z����y�Z�w���p�À �p�[º ¤ Í F-D -NÎGÅ_¶I�D ¤ � :4<>=

�� a ] > �y���hº ¤ Í F-D -NÎG�_ ¤ � :4<>=�� D=~ ¤ � :4<>=

�� a ] �u� �pr[º ¤ Í F=D.-NÎTGm_Á~ ¤ � :4<>=

�� D-� ¤ � : < =�� a ] > �¬|Zz{¿=��s�t��p�u�-vyxu���

�'t��pr��-tw~�s�t��<��~wsuv¬�����?|Zx�xuv���r��<�pr¯s§xu���y��s�v���r Í z��Nz��y�<z��I�Z�p�,Î��Ä�-v����6z���r�xuvyxus§� rMsuvy�u�p���� ��À �p�"�p�����px � > �"xu�N�(�(� su���hv�s)�£vy����t�|���� sutw�z��Nz����xus����wz su�w��� � � |��{|Ir������ z��Nz����4z �¸��� �p©vX� ����t}|����LKN~/�����ªÉ2z��Nz����px£�-t�~��

u[� s6|­z��Nz����`� � �7�}�-x��h|9���Nv � v�s�x/���pr���s�t�vyx¬K�É } Í �����ªÉ�Î � ½S¾ ��¾²�'��xu�£sutw�'�u��s{|9suvy�Zr�¥¦z��y��xu�w�u�|9�������uvysut�� � � s�tw�(~���� �Mv�����x xu��z�suvy��r�s����u���<�I����x��=|I�y��z��Nz��y�px �(���"�����I� sutw�<s��u�p�px§�`�(|9�����r��y��|9�����I�`�p�"s��(��xu��p�����px Í F-D.-NÎ`�-twvyz{t;� vysutw� �)��rw�4� � sutw� Ï I(xutw����su�px�s-����s)� � Fª���)�Zrw�4� �sutw� Ï I"xutw���us��pxus§vyrMsu� -�� ¹ rw�(zp|9rOxutw�I� s�t}|9s§�-tw~2s�t��(s��u�p�px­�����I� |Is|7��|9s��<� � |9s ����|Zxus�<~b� �)�y� ��� �f|9r���xu�hs�tw� �7��rw���"r��p�p��s��=�}������I�£r;s��¡|(��� ~wsut�� � � Í �y���6ÉfÎ,�-�`tw���¨N~b�pz�s��p���� rw��s�t � � sutw�px��=�p�����px�vyx � Í Ï } ÉfÎ,��¾ tw� r]�`�=t}|����=���u�I�-r²�pr����w��t ~}|9sut�x ©��¤�7zp|9r �-t�~z�����xu�4��rw���xuv�rw�7| > �y�w��p�������£�'t¯��x)�-tw~�v�s3z���xus�x�� Í :4<>= �� Î'su�h���p�(�¸���|(x��h|9�y��z��Nz��y��©�s�tw�z���xus� � s�tw�7|Z�����p� À �p��� > ���w�=�p�����px ���'t��p�u�7|9�u�bK�~/�����ªÉ�z��Nz��y�px�|9��s������ sutw� ��|9rw�]xu��v�sz���xus�x � ÍuÍ �����ªÉ�Î } É�Τs��(�=|9¿Z�4|9����z �Mz ���px£� � ��� rw��sut�|9s£���¸|9x�s£É } Í �y�Z�ªÉfÎ � ½S¾ �

¾O�3zp|9r<sutw� r(�-tw~<~}|9s�z{th|9���ws�t���xu�)z��Nz��y�px�v�rMs�� ��r���|Is s�tw�£� ¨Ms��{|§z���xus�� � � Í�Í �y�Z�ªÉfÎ�� ½S¾ %Í �y���6É } É�Î�Τ~����I�Mv�rw� Í �N� ~�Î{�

~2I

Page 21: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

!F��� �N� #�� � �)�o����� �)� �����9� � ��� �����²������ ��� ������S� ���`tw�4«­Â�zp|9r"�b�4��¨N~����px�x��p�;|9x)| 13*+$)"-0>g¬��g-<-�rg-0>�<ºu�Â�º On|¸¨Nv¬�<vyx�� §

G $ � ¤ Í F-D.-�Î�C�G $ � xu�w��Q �pz s£s�� §GC�G $ L � §

C#LB$ � � Ï D�� NXD-ILKµC�G $ � K Ï D��F-D.-�W

�`twv¬x£t}|9x-sutw�4���}|9���ufÂ�º On|I¨Mv¬�<v¬xu� §

G� GoP §

D � xu�w��Q �pz s£s�� � GoP D � K ¤ Í F-D.-NÎ%D��F-D.-�W

�¯��~w~b��xu�§rw�I� sut}|9s'�¤�§z���r���v�s�v���r"�Zr�|9r7��~wsuv¬�h|9�b�}|Zxuv¬x � ���xu�Â�|9r��¡v�r�xuv¬xus's�t}|Is � � �NI��6qCs� �������I�)x6sut}|9sªsutw�3���p�h|9v�rwvyr�������|9�}�Z|I��v¬|9�w����x¤|9�u�)�wrwvy®¯�w� ���h�N�psu� ���<vyrw�p�[©��£vysut=~w�u���}|9�wv���vys¢� Ï sutw� ��x�|9suv¬x � �Q~¸É R"Ï �yv�rw��|9�/�p®¯�}|9suvy��rwxp�/Áw�w�us�tw� ���(���u�`sutw�`���p����z��p��z���xus�x %¤ Í F-D -NÎe� ¤ Í F-D.-NÎ R� G R D � � � s�tw�¢$U<>$���p-0>&=*�:-�9|9�uv�|I�w�y�px�4�|9�u��vyr��N�p~}�prw��� rMs�����|9r����wrwv � �����<���;�Nv¬xus��uvy���ws��p��v�rsutw�=vyrMsu� ���9|9��_ �h|I¨ )rI#D � G)P D � +�D Ï�R � G R!D � a � Í ¾ v�s�twv�r]s�twvyx�v�rMs�� �u�Z|I� ¤ Í F-D.-NÎ�G _¶I�D Ï a |9rw�%¤ Í F-D.-NÎ d I�� Î�qCs-vyx)xutw�I�-r"v�rm_ ¿H3 a s�t�|9s£�-tw~

�h|I¨G $ � )�� � G�� Dr� D � � +Ã��� K �����ªÉÉ L W Í ���c�¯Î

u[� s���L¡��� rw�Zs��"sutw�"vyr¯s�� ���9|9�Ã_Á~ ¸ L ¤'� � : < = � � º� D=~ ¸ � L ¸ � � ¤q� � :4<>= � � º� a'� ��� N d Ï �ÄqCs � �����y�I�-x � �����Í ���3��Î`|9r��"sutw�4��v¬xusu��v��w�ws�v���r�� � s�tw� ���p���wz �p��z���xus�x %¤ Í F-D.-�Ϊ� � sutw� rw��r�¥C�}|9x�vyz§�9|9��v¬|9�w���pxp©�s�t�|9s�£tw~ Í v±Î`sutw� ����|9���vK ¤'� ~ ¸ � L ¸ � � É­�y���ªÉ2rw��r�¥C�}|9x�vyz4�9|9��v¬|9�w���px�C�G $ � �-t���xu��u���N��z����;z���xus)vyx)v�r� L>D Ï K N{K N%Is� �

� ����� � É |9rw� Í v�v Πs�tw� �u��|9�u��K­~ ¤'� � ɧ�����ªÉ�rw��rN¥C�}|Zxuv¬z¡�9|9�uv�|I�w�y�px£C�G $ ��£tw��xu� �u���N��z����"z ��x�s£vyx K ¤'� � : < = � � º����� º �¾O�=zp|9rOxu�¸|I��z{t � �Z� s�t��h��~�s�vy�=|9� xu�����ws�v���rOs��;«6�3�MÂF�M��z{tw�¯��xuvyrw��|"x�� s4� � rw��r�¥C�}|9x�vyz�9|9�uv�|9���y�px ©�x�� sus�v�rw��s�tw�p�½su� Ï |9r��¡s�tw� r7���pxu���y�¯vyrw��sutw�4|Zx�xuvy�Zr��(� rMs`~w�u���w���p�;� q � �`�­s����¡|9���xu� s�x£|9r��7z,t��M��xu�§sutw�§�b�pxus£s������'�`�§³wrw�[©wsutw� r"�¤�§�£vy����z��y��|9�u�y�=xu�������­s�tw�§~������w���p����¨w|Zz�su�y����-�I�`� ��� �p©fv�s � �Z�y���I�)x � ����� Í ���3~�έsut}|9s��¤�=rw� �p�²��r��y�Oz���rwx�vy��� ��xu� s�x�£twv¬z{t]z���r¯s{|9v�rZK�~ L�9|9�uv�|9���y�pxª�-v�s�t=���p����z��p�¡z���xus�xªv�r���L3|Ir��hrw��rw���-v�s�t=���p����z��p�=z ��x�s dµ¤'� � :4<>= � � º� �6�`tM��x ��#�¤� rw� �p�"��rw���7z{tw�pz{¿7|9s-�(��x�s

~ � � ��� � : < = � L � LB¨ �

� �§�i¨ �

K ¤'� ~ ¸ � L ¸ � � ɧ�����ªÉy L � ���� � � � �

xu� s�x �¾O�4t�|���� sutM��x-xutw�I�£r

�����6�#���6( Y�� � � ��� :=0>$ p="�&�<213?@"-kH"BA�0�:�4 136 Wen'�b*+$ � �� � � � � 47*+�¢"'t

!F��� ����� � ������ �������A ����� � �6( �98 &�" ¾ ¸���� �e? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$ Wen'��qCs£v¬x£�wrMsutwv�rw¿9|9�w���4s�t}|Is-s�t���|Ir�xu�`� �£v¬x£rw� �

~ Ï

Page 22: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

A ����� � �6( � 8 & 47no"%g%"�0>$;"BA@4S"%$�&=*�<>$���g-<24�0247*�<>$�021¶��<>g%*547n��Q*�:x��g-<q<�ÂÃ<� 47no" Â�0�:�4�47n#024eg-0>$Uk�<>�:/.�p%*�:��rg-0%��n�&Ã0>g="@? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$ ��¯���(�§�p�<~wvy�uv¬zp|9�:�¤����¿¡xu�w�����pxus�x's�t}|Is-s�t��p�u� vyx)xu��z{t�|�~w���¯� � �A ����� � �6( � n#<7Wµ47n#024,"��%$ �Q*+& ? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$�Wen'�b*+$ 47no"�:=0>&'"!Weno"%g=" � � � Í É�Î6Ê Ë tqCr���rw~w�w�w��vyx�t������`���u¿P©�_ ¿ Ï a ©wv�s-�'|Zx-xutw�¸�-r�su�(�}�4s��u�w� � ��� � � ` Í É � ½�� Î,�A ����� � �6( � V<>gFWen#024�g=0>$���"x<� ?20213.�"%&¬<�ÂD- *+&�*54)47g%.�"¬47n#024 " �Z"��%$ &ª:=<>$�4�0>*+$�& � Í "�Î } ~��"-k'��"�k>*+& � <>*+$�4 ? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ :/6�:�1�"%& Wen'���`tw� ~}|9~b� �Q_ Ï�� a ����|9�¬x£�£vysut;sutw�4z�|9x��§�-tw� �u�!- � �

� ɧ�����ªÉ��A ����� � �6( � "�4 ��� k�"%$U<24S"�47no" É ��:/.�p="�� ?@"%g�4S"BA &'"�4 )rI#D Ï + � 0>$Ukb0>$Z"-k'��" � <>*+$�*+$�� 4 WT<?@"-:�4�<>g%&£<�Â;? 0>�Q�£*+$�� k>*+&/4�0>$U:%"���t � "�4 ���%$ ¼9p="£47no"Ãg-0>$Uk�<>� &=.�p��rg-0%��n9<� ���;<�p�4�0>*+$)"-k p%6*+$Uk�"S��"%$Uk�"%$�4 136 k�"�1�"�47*+$���"-k'��"%&FWe*547nF��g-<�p-0�p%*513*5476 Ï�R ¯ t ·*+$Uk 47no"x47n�g="%&=n#<21�k·Â�<>gF47no"`"BAr*+&/4S"%$U:%"<� 0 ? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ :/6�:�1�"�*+$ ���%$ ¼�t

�'t��"|9~w~w�u�¸¨Nvy�=|Is��=sutw���pxutw���y� � ����z���rwr���z�suvy�Mv�s´��v¬x ¯ � �� Í » ���98��x�|Ir�����~b� r�z��p� _¶�@� a Î2]

¯ � �� vyx;|9�yxu� s�tw�O|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s��nsutw���pxutw���y� � ���"sutw��� ¨Mv¬xus�� r�z���� � |]~}�p� � �pz s"�=|Is�z{twv�rw�

Í > �����y��� :|Zx�_ Ï 5 a Î{�A ����� � �6( �8 &F47no"%g%" 0F�o<2136r$U<>�Q*�021�"BA/��"-:�4S"-k 47*+�¢"�021¶��<>g%*547n��ZÂ�<>g�:/no"-:��q*+$�� ? 0>�£*51 4�<>$�*�:/*5476� � � <� "��%$ & Â�<>gQ021+1 - �A ����� � �6( & � .>���o<>&'" ¤�d � } ~s*+&�:=<>$�&/4�0>$�40>$Uk ¯ � ¤'} ɵ0>$Uk "��6"��7$ ¼�t 8 &�*5447g%.�" 47n#024

��v¬��j�x� |e_N"��%$ ¼O*+& ? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$s�,� Í "Î d � a � Ï °> �Z�y����� :|Zx ©�³ª�M��~b� � ©}Á��pr�rw� ��|Ir��;Áw�uvy� È �^_ Ï 3 a ~w�u�I���§s�t�v¬x-�u�px����ys � ��� ¤ xu�wÃ(z v�� rMs����¡�¬|9���Z���A ����� � �6( � le0>$96�<>. *+����g-<>?@" 47no"�g="%&=.o1 4¬<� � "-:�47*�<>$���t �¢4�<�± �6` Í É�Î�°A ����� � �6( ��8 &�47no"%g%" 0>$90>$U021�<-��<>.�&�021¶��<>g%*547n�� 4�<£47n#024�<� � "-:�47*�<>$���t��`Â�<>g�47no" &=6r�Q�^"�47g%*�::=0>&'"�Weno"%g=" ¤ G $ � � ¤ � $ G`0>g%" *�t�*�t+k�tx.�$�*¶Â�<>g/� �� ���� �«�r}|9su�w�{|I�f|9~�~w���¯|9z,t"v¬x-su�(³wr���|<�<vyrwvy�������¤�pv���tMs ~¸¥ � |Zz�s��Z�£³w��xus�|Ir���sutw� r;su���¡s��(~�|9s�z{tsutw��z��Nz��y�px�su����� s�t��p� � �`tw��~w�������y�p�·�-v�s�tns�t�v¬x�v¬x�~w�u�I�Mv�rw�7sut}|9s§xu��z{t�|s~¸¥ � |Zz�s��Z�����M�px­r���st}|p��� �=|IrM�¡z��Nz�����x �A ����� � �6( ��� � .>���o<>&'"T47n#024MÉ ¯ � ¤ *+$ �Vno"-<>g="%����t ��t��Q"�4S"%g%�Q*+$)"T47no"¬13*+�£*547*+$����g-<�p-0�p%*513*547647n#024 Ä K Í �Î � Ä � � K Í �Î�tqCs£v¬x-xutw�I�£r�vyr;_ ¿�� a sut}|9s-sutwvyx-~������}|I�wvy��v�s´�¡vyx-rw��s Ï �A ����� � �6( �)� ��"�4S"%g/�Q*+$)"�47no"���g="-:/*+&'" <>g-k�"%g <�ÂF�¢0'�r$�*547.�k�" <�Â�� Ä K Í �Î R Ä � � K Í ��Î���.�$��k�"%g£47no"�0>&=&=.����X47*�<>$�&£<� � "-:�47*�<>$���t���t 8 Â�47n�*+&Ã*+&Ã&=�¢021+1 �`:=0>$ 6�<>. !·$Uk 0��o<2136r$U<>�£*�021J47*+�^"021¶��<>g%*547n���47n#024e&�<213?@"%& Ä � � K Í �ÎQ"BA�0�:�4 136�Wen'��A ����� � �6( ��� � .>���o<>&'"�47no"�"-k'��"%&Q<� "��%$ & 0>g="Ãg-0>$Uk�<>��136 :=<21�<>g="-kv.�&=*+$���É :=<21�<>g%&�t9�^n#024*+&H47no"s47n�g="%&=n#<21�kLÂ�<>g 47no"O"BAr*+&/4S"%$U:%" <� 0 ? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$µ:/6�:�1�"^*+$ Wen�*�:/nÅ"-0�:/n�"-k'��"Hn#0>& 0k>*���"%g="%$�4:=<21�<>g ��`tw�4x{|9�(�§®¯�w�pxus�v���r � ���-xu~}|9rwrwv�rw�(su��� �px£�£|Zx£x��Z�y���p�7v�r�Á���v��pÈ �4|9r��MO�z �4|p� _ ¿65 a �

~@~

Page 23: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

� � lnm��popk� ��e � i�� �� ��pope � � ���� �9� ��e Ìiªj ���� �O;��xusª� � �-t�|9s � �Z�y���I�)x t}|Zx`|9~w~}�¸|I���p�h� �yx�� �£tw� ���)vyr=s�t��3�yv�s�� �{|Is��w�u�­|9rw�h���w�`|9vy�Ìvyxªs���w�uvyr��su����� s�tw� �4s�tw�=�9|9�uvy���wx��<� s�tw�M�wx�|9rw�²���pxu�w��s�x ���'tw� � �Nz���x4v¬x��Zr]���px�z �uvy��vyrw��s�tw��xu�=~w�u���}|I¥�wv���v¬xus�vyz=�(� sutw�N�wx4��xu�p�²su�n|9r}|I�y�MÈ �hs�tw�¡�3�NÂ0�-t�v¬z{t t}|p���hs�tw�h~b��su�pr¯s�v¬|9�ªs������px�z���v��b�=s�tw��b� t}|p�Mvy�Z� � � tw� �w��vyxus�vyzpx6|9x �`� ���C�/�'tw�-�(� sutw�N�wx����px�z �uvy�}����tw� ���)|9�yxu� s��u��|9s sutw�£~w�u���}|9�wv���v¬xus�vyz�b� t}|p�Mvy�Z� � � ~w���Zs���s¢�M~wvyz�|I�w~w���Z�w�y�p�(x � � » ��z���v¬�N�¸|Irhz�������vyr}|Is����uv�|9����~�s�vy�(v�È�|9s�v���r�©Zvyrwz ������v�rw�sutw�4�(v�rwvy�=|9�[x�~�|9rwrwv�rw�(s���� � ~w�u���w������©�s�tw�4�<vyrwvy�h|9���h|9s�z{twv�rw�<~������w���p�;©�|9r��"s�t�����s�� vyr��p��<vyr�v¬�h|9�/xu~}|9rwr�vyrw�"s���� ��~w�u���w���p�;�<�¯� �<sutw�(�<��rw�Z���{|9~�t�x�� � ��s�� � �y�O_ � 5 a |9r����6�w¿Mvyz{tZ_.<�À a� ��� �N�ps�|9v��¬x �<�)� �u�<�`�<���px�z �uvy�}�(s´�¤�"¿�� ��s��M�Z�¬x§��xu�p��v�rOsutw�<~w�u���}|9��vy��v¬xusuv¬zh|Ir}|9���Nxuv¬x§� � s�tw�su��s{|9���p�����(�y� rw�Zs�tO� � sutw�¡»���z��yvy����|9r �3�MÂF��rO�{|9rw����� x{|9�(~w���px§� � �¬|9���Z�hxuvyÈ ���¡�`tw�(³w��x�ssu�M����vyx sutw�£�b����r���|9�u� � ��r�z�s�v���r}|9�w�<�psutw�N�<|9rw�<sutw�-xu�pz �Zr���su�M����v�rM���Z�y���px/s�tw�£vyxu��~b� ��vy�<�psu��vyzv�rw�p®¯�}|9��v�s�v���x£� �/À tw� ��|Ir��;��|9�¬|9����|9r��[�

� ��� � � �#��� ���������J�#����� �����H� �� � ���V��� ��������� �`�q � ) � Å Æ vyx�|(~b�ZvyrMs3xu� s­|9rw��� � Å Æ |h�N¥¦��vy�<�prwx�v���r}|I�����pz�s{|Irw������©�sutw� r��`�4���ps � Í )¬D�4Î��� rw�Zs���s�tw��su��s{|9�-���N�����y� rw��sut�� � sutw��x�t�����su��xushs����w�hs�tw�u���w��t ) " ���%¾O���¯vy� � �?|Zx| � �wrwz suvy�Zr���rn~}|9v���x­� � s�t�� � ����� Í )TD� Î,©[�£tw� ��� )8vyx |¡³wrwv�s��<xu� s |9r���� v¬x |=���pz�s{|9rw�Z�y���¾ tw� r�� � _ I#D Ï a Æ �`�¤�-�uvysu� � Í )Î � ��� � Í )¬Dj_ I#D Ï a ÆpÎ{���'t�v¬xfrw��s{|Is�v���r����<~wt}|9x�v�È �pxfsut}|9s � vyx�|� �wrwz suvy�Zr�� � s´�`� |9�u�����<�pr¯s�x�|9r���tw� �y~�x �N�{|�� �Z�ws sutw�£x�����¥¢|Z�w��v�s�v��Mv�s´��|9r���xu�w~b� �u¥¢|Z����vysuvy�¯vys¢�v�rMs��uvyrwx�vyz§s�� ��ª» ���p�(� rMs�|9���h���ws-��x�xu� rMs�v¬|9�[~�����~b� �us�v���x£� � �0v�r�z���������º

Í |�Î�� <>$U<24�<>$�*�:/*5476Z��q � ) d "�©�s�tw� r � Í )¬D� Î¬K � Í "£D�4Î � �Z�)|9�y�[���pz�s{|Irw������x ���Í �bÎ � :=0213*+$�� Í tw���<����� rw� v�s´��Î{� Á����)|9��� �;zZI�© � ���-|9���[���pz�s{|9r����y�px ��©�|9r�� � �Z�)|9��� ) � �

� Í � )TD ���4Î ��� � Í )TD�4Î%WÍ z¸Î ��g-0>$�&/1�0247*�<>$ *+$�?20>g%*�0>$U:%"�� Á����-|9���UE^G;Å Æ © � ���£|9�y�P���pz�s{|9r����y�px���©w|9rw� � ���£|9��� ) � �

�¤� t}|��Z�� Í )¬D� Î�� � Í ){P;EXD� P;E�Î=W

Í �}Î f "-<>�^"�47g%*�:�&=.�p ��0�k�k>*547*+?q*5476Z���¯�w�P��v��Mvy��� _¶I#D Ï a Æ v�rMsu� -"Æ x�����¥¦z��w�b�px � � D � � D�W�W�W�D � &��� � �p�����-���pr���s�t - ¸ � � v���� r�) � _ I#D Ï a Ƹ©¯��� s � Í ) " �@GKÎ/��� rw�Zs��-s�tw�-��� rw��s�t(� � s�tw�)xutw���us��pxussu���w�)s�tw�u���w��t/) " �@G¢� > �;|Z�w��v�rw�7|9r������ ��� s�v�rw�=�p�����px)v�s3v¬x)��|Zxu�7s��¡xu�p�sut}|9s)s�tw���� rw��sut� � s�tw��xutw���us��pxushs����w�hsutw���Z�w��t ) vyxh�b���wrw���p� |9�}�I�����¯� sutw��xu��� � � sutw��s������=���pr���s�t�x� Í ) " �@GKÎ%D Ï K F�K - Æ D�~w�y�wx�|9s��<��xus�~7- Æ �p�����px4��|Zz{t²� � ���pr���s�t]|9s�(��x�s s´�-vyz��hs�tw���v¬|9���Zr}|9��� � |9rM��x�����¥¦z��w�b� �@G¦�(�'t�v¬x§�¬|Zxus4xu� s§� � �p���Z��x§vyx§��xu���ns��;z���rwr���z�s§sutw�(�(v�rwvy�=|9�su���w��xª��r¡��|Zz{t¡xu�ps ) " �@G�D Ï K!F�K - Æ ©Mv�rMs���| � ��|Zxuv��w�y�3���{|Ir��hs����w�¤s�tw�u���w��t,)��6�`tM��x¤�`�t}|p��� xutw�I�-r"s�t}|9s���x�|9suv¬xu³w�px£��� ���<�psu��vyz§xu�w�N¥¢|Z�w��v�s�v��Mv�s´�¡�-v�s�t�|9r"�p�u�����£su� ����º

� Í )¬Dj_ I#D Ï a Æ ÎK& �§G�¨ �

� Í ) " �@GSD �@GXÎVP�� � - Æ ¸ � D Í ¿�� Ï Î

�£tw� ��� � � vyx3|�³wr�vysu�z���r�xus{|9r¯sp�~2�

Page 24: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

Í �IÎ f g-<7W�47n�p-<>.�$Uk>&,�3Áw���­|9�y� �H� ~�D-�#D�W�W�Wbs�t��p�u��v¬x­|=z���r�xus�|9rMs � � º � � � Í �NÎ-xu��z{t�s�t�|9s� ���)|I�y� ) � _ I#D Ï a Æ �¤� t}|��Z�� Í )¬Dj_¶I�D Ï a Æ ÎTK � � � )¢� � Æ ¸

� � ½ Æ W Í ¿��3~�Î�`tw�px��£�����¸�-s�t��b���wrw�wx � �����y�¸� � ����� |9r<�¸|9x���|9~�~w�yvyzp|9s�v���r(� � sutw�-~wv���� ��rwt����y�£~w��v�r�z�v�~w�y�3|9r��[©|Zx'rw��su���7�M� À tw� �^_ÁÀ2~ a ©}|9�yxu� � ���y���I� � �u������� ���(� su��vyz§xu�w��¥¢|9�w��v�s�v��Mvys¢� _ <�À a �

Í � Î � �v<q<247n�$)"%&=& Í ������y��� ��z���rMsuvyrM��vys¢��Î,�3Áw���­|I�y� �^� ~�D=��D'W�W�Wbsutw� ����vyx­|hz �Zr�xus{|9rMs �T¾ º ��T¾ Í �NΤx��wz,t"s�t}|9s � ���)|9����xu� s�x )TD " � _ I#D Ï a ÆI© ��x{|Is�vyx�³���x's�tw�4x��<�M��s�t�rw�px�x£z���r���v�s�v���r�º

� � Í ) �M"Î R � Í )Î��#K �T¾>�."^� � Æ ¸ � � ½ Æ W�¯v�r�z����0vyx)�<��rw��su��rwvyz�©Nsutw� ~w���M� � � � x��(�¯��s�twr���x�x � ���y���I�-x'��r�z�� �`�4xutw�¸�

� Í ) �M"�ÎK � Í )ÎJP �T¾2�."¢� � Æ ¸ � � ½ Æ W�`twv¬x)��|9x�s3�pxus�vy�h|9s��4vyx3vy�(�(�p��v¬|9s��4x�v�r�z���sutw����� rw��sut�� � s�tw��xutw����su�px�s3su���w�)s�tw�u���w��t/) ��"vyx'�b���wrw���p�;|I�b�I���­�M�=sutw� xu����� � sutw�§���pr���s�t � Í )4Ϊ� � s�tw� xutw���us��pxus's��Z�w�£sutw���Z�w��t()�©�s�tw���� rw��s�t � Í "Î`� � s�tw�xutw����su�px�s-su���w�-s�tw�u���w��t "�©b|9r���sutw���� rw��sut;� � s¢�`�(���N���px)z���rwrw�pz�s�v�rw�sutw�4x�� s�x ) |9r�� "��`�¯v�r�z���� Í "�ÎTK � � �."¢� � Æ ¸ � � ½ Æ ©�x��<�M��sutwrw�px�x � �����y�¸�)x �

q � | � �wr�z�s�v���r}|9� xu��z{t |9x sutw�=�)�NÂFx�|9s�vyxu³w�px z �Zr���v�s�v���r�x Í �PÎ,© Í z¸Î,© Í �}Î,©�|9rw� Í � Î{©�s�t��pr2�`�x�|��=s�t�|9s£vys£v¬x)|H&=�v<q<247n^&=.�p ��0�k�k>*547*+?@"���.�:�13*�k�"-0>$QÂ-.�$U:�47*�<>$U021U_ �wÏ a © _.<�À a �

�'t��;~w������|9�wv��yvyxus�vyz�|9r}|9���Nxuv¬x<� � s�t���» �wz ��vy����|9r��)�N vyxhxuvy�(~��yv�³w�p��z���r�z�� ~wsu�}|9���y� |9rw�su��z{twr�v¬zp|9���y�]�¯� s¢�`�O¿�� �]vy����|Zx ©'�£twvyz,t�|9�����N�p�Z�p����~b�p� vyr�s�t��;rw��¨Ns=xu��z�suvy��rwxp� �`tw�;³w��x�svy����|(vyrM�Z���y�Z��x)s�tw��z���r�z�� rMsu�{|9suvy��r;� � s�tw��xutw���us��pxus3s����w�3�y� rw�Zs�t�|9�u���wr��;vys�x­|���� ��|9���4�Z|I�y�w���> ��xutw�I�£vyr���s�t}|Is§s�tw�h» ��z���v¬�N�¸|Ir²�3�NÂ%v¬x­s�v���tMs����nz���r�z�� rMsu�{|9su����|9���Z�wr���v�s�x§�(��|9rn�Z|I�y�w��©sutw��~w�u���}|9��vy��v¬xusuv¬z�|9r}|I�y�Nxuvyx3� � s�t��<�)�NÂ�� � su� r����p���wz �px3s��7|9rn|9r�|9�y�Mx�vyx3� � s�tw��b� t}|��Mv����3� �v�s�x3|p��� �{|9���§�9|9���w���¤�`twv¬x-vy����|<��vy�px3|Is-s�t��4tw��|9��s£� � |9x��M�(~wsu��s�vyz |9r}|I�y�Nxuvyx �`�`tw�xu�pz �Zr��"¿�� �vy����|�vyr¯���������px |­�(�M��vy³����<�)�N � �wr�z�suvy��r�|9�C©�zp|9���y�p��sutw��p-<>.�$Uk�0>g/6 Â-.�$U:�47*�<>$U021 ©9�£twv¬z{t<z�����xu�p���|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s��px)s�tw��xus�|9r���|9�����3�NÂ�©:|9r����-t�v¬z{t2|9�yxu�7t}|9x |=r}|Is��w��|9�/xu�w~b� �u¥¢|Z����vysuvy�Z�<x�su����z�¥su�w����� > ��z�������vyrwv�rw� xu�w~b� � ¥¢|Z�w��v�s�v��Mv�s´��su����� s�tw� ���£vysut(x�����¥¢|Z�w��v�s�v��Mv�s´��©�sutw�3�)�N � �wr�z�s�v���r}|I��b�pz����<�px � rw��|9�����7|Z�w��v�s�v���� ��vyr�s�t��xu� r�xu� s�t}|Is

� Í ) " �4Î� � Í ) " � � ÎVP � Í ) " � � Î%D�£tw� ��� � � |9r�� � � � �Z��� |�~}|9��suvysuvy�Zr<� � s�tw�£�u��z�s�|9rw����� ��� À � �¬|9s�v���r�x/� � s�twvyx xu����s6|I���£z �u��z�v�|I�v�r¡xutw�I�£vyr��s�t}|9s6s�tw�3�������}|I�P�3�M s��Z�w�ª���pr���s�t=z�|Ir=�b�­|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s�� ������¨N~w�u��x�xu�p�=|Zx¤|xu���� � s�t��4��� rw��sut�x£� � ���Nzp|9��z����(~}��rw� rMs�x �

� � � � �� �)�T���)� �T�o���·�����T� ���H� �� � �`� �e���R����� ������� �J����`tw� � �Z�y���I�-v�rw���}|9x�vyz2���pxu�w��s;~����I�Mvy���px"s�tw� |�� x �·|9x��M�(~wsu��s�vyz x � ��� � Í�� � D'W�W�W�D � �MÎ{©­�-tw� ���� � D'W�W�W�D � �n|9���=vX� vX�Ç�:���wr�v � ����� ��|9r������ �9|9��v¬|9�w���px�v�r _ I#D Ï a ÆjD � d ~M�n�`tw�pxu�"|Zxu�N�<~ws���suv¬z x�¤�p�u�§³w��xus-~w�u�I���p�7�M� > ��|9�����`�M�M�[©���|I�ysu��r�©�|9r��;��|Z�(�(� ��x���� ��_ < a �

~>¿

Page 25: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�����6�#���6( � 7� V<>g£021+1 �L�ª~�D-�#D�W�W�W²47no"%g="�*+&Ã0 !·$�*54S"¬�o<>&=*547*+?@"Ã:=<>$�&/4�0>$�4 � Í �NÎ�&=.�:/ns47n#024�yvy��j�F�

� Í�� � D�W�W�W�D � �MÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �NÎ � W3�@W

�'t¯��x ©:s�tw�����pr���s�t�� � sutw�<|���� �{|9�Z���p������vyx��u���w��tw��� � Í �NÎ¦É ¸ � ½ Æ � qCr���v¬�<� r�xuvy�Zr ~ À t��p�|9rw����|9�¬|9���{|Ir�� _ÁÀ 3 a x�t��I�·sut}|9s=sutw���y� rw�Zs�t�� � s�tw������rw���pxus=�p���Z��v�r�s�tw���)�NÂÌsu���w�=��r� � D'W�W�W�D � � vyx¡�b���wr��N���%|9�}�I�����M� � Í �����ªÉ } ÉfÎ � ½ �¡�-v�s�t�twv���t ~w�u���}|9��vy��vys¢��� �'tw� ���u�p� ¿�� Ïxutw�I�-x£sut}|9s-sutw� ���4|9���§rw��s)�h|9rM� � ����rw� ���p�����px �

�'t��p�u��|9����h|9rM�¡�£|��Nx£s��h~w�u�I�����'tw� ���u����¿�� Ï |9r����`���� � � �-s��hsutw��z���|Zx�xuvyz4~}|I~b� ��x)� ��¯su� �p��� _ �wÏ a ©�_ � ¿ a�� �Z�§xuvy�(~��y��~����M� � x§|Zx��¤� �y��|Zx­r���r�¥Cs��uvy�¯v�|9����� rw� �{|9��v�ȸ|Is�v���r�x �4Â�� �ut}|9~�x�s�tw���|Zxuv���xus£�'|��=su�(~w���¸���4�'tw� ���u�p��¿w� Ï v�rM���������px-xutw�I�£vyr��(s�t}|Is

��v¬��j�F�] � Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ

É � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �MÎ%D Í ¿��c�¯Î|9rw�"sutw� r;xutw�I�£vyrw�<sut}|9s£s�t��4su��s{|I�[su���w�£�y� rw��sut � Í � � D�W�W�W�D � �MΪv¬x-z�����xu�p���7|9~w~w�u�¸¨Nvy�=|Is��p�¡�M�sutw�4�(��|9r7s����w�£�y� rw�Zs�ts] � Í�� � D'W�W�W�D � �MÎ{�

�'t��¡vyxu��~b� ��vy�<�psu��vyzh�(� sutw�N�O��v���x�|9ssutw�=tw��|9��s� � sutwv¬x�|9~�~w���¯|9z,t[� u[�M��xu� �y�2xu~b��|9¿Mv�rw��©vyxu��~b� ��vy�(� su��vyz(�(� sutw�N�wx4xutw�I� sut}|9sx���vys�|9�w������� ������|9� � �wr�z�s�v���r�x�|9��� �uz��y��x�� �"s��;sutw� vy��|��¯¥� �{|I�����9|9���w�px¢_ � � a ��Áw�Z�4| � �w�y� |9~w~w�u��z�v¬|9s�v���rn� � s�tw��~b�I�`� �­� � s�tw�pxu�<�<�psutw�N�wx ©:s�tw���u��|Z��� �xutw�����¬��z���r�xu�w��s;����z�suvy��rZ¿�� � �b� ���I�4��Á����=sutw�n�<���<�pr¯s(�`���-v����­z���r�xuvy��� �=��rw��� s�tw� � �Z��¥���I�-v�rw�7v¬xu��~b� �uv¬�<� s���vyz�vyrw�p®¯��|9�yv�s´����qCs§vyx xus{|9su�p��v�rO|¡��� rw� �{|9��vys¢�;�-twvyz{t��y� r��wx§v�s�xu� � � s��"s�tw�xus��w���4� � �b�Zs�t�tw� �w��vyxus�vyzpx�|9rw�<|3~�|9rw��~w���4� � �u� ��|9su�p��~������w���p�hxfvyr<» ��z���v¬�N�¸|Ir�z�������vyr}|Is����uv�|9���~�s�vy�(v�È�|9s�v���r�������6�#���6( � �� � �¬no"="�( &£*+&�<%��"%g%*+�¢"�47g/*�:£*+$)"-,/.�0213*5476 �� � � "�4 \ G�D F d Ï DFp="L*+$Uk�"S��"%$Uk�"%$�4g-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%&MWe*547nZ?20213.�"%&O*+$ _ I#D Ï a Æ>D � d ~�t � "�4á p=" 0m&=�v<q<247n �¢&=.�p ��0�k�k>*547*+?@"��.�:�13*�k�"-0>$QÂ-.�$U:�47*�<>$U021�t(�Vno"%$ 47no"%g="�*+&�0H:=<>$�&/4�0>$�4 � _ º � � _ Í �NÎ�&=.�:/ns47n#024�Â�<>g�021+1#yTzZI

| _��¶¡ Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ R ]e¡ Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ���z�y a K � _ ��¨N~ K R Í y } �T¾�Î � Æ ½ � Æ ¸ � �� _ É L Í ¿��¶¿NÎ

�'t��n��xusuv¬�h|9s�� Í ¿��Á¿MÎ<vyx"|9r�� ¨�|Z�(~��y��� � | ��� �Mv¬|9s�v���r�vyrw�p®¯��|9�yv�s´�bºOv�s¡s�� ���¬x¡��x¡t��I� ¡��� �Mv¬|9su��x � �u���%v�s�xf|p��� �{|9���/�Z|I�y�w����¾O�ªzp|9��� Í ¿��¶¿NÎP|9r v¬xu��~}�p�uv¬�<� s��uv¬z/vyr���®��}|9��vys¢�§xuv�r�z�� vys�x�~w�u�M� �_ÁÀ2~ a ©»_ <�À a ���pxus�x��w~b��r(|9r�vyxu��~b� ��vy�<�psu��vyz¤vyrw�p®¯��|9�yv�s´� � ����s�tw�-��|Z�(�<vyrw����vyx�s�|9r�z��'��r Í _¶I�D Ï a Æ Î � ��`tw���~�xutw��s)� � Í ¿��Á¿MÎ`v¬x-s�t�|9sp©���¨�z�� ~ws�v�rw�¡|(xu� s)�-v�s�t;~b�Z�y�Mr����(v¬|9���y�"x��h|9����~w������|9�wv��yv�s´��©�s�tw�� �wrwz suvy�Zr}|9�á Í \s� D'W�W�W�D \ �MΡ|9r��%v�s�x��<��|9r{] ¡ Í \H� D�W�W�W�D \ �NÎ=�N��rw��s��Nv�´b� ���M���(���u�ns�t}|Ir� Í É­�y�Z�ªÉfÎ � Æ ¸ � � ½ � Æ �½�'t��O�<��xus¡��xu� � �w�§z���r�xu�p®¯�w� r�z���� ��À tw� �@[Çx7z���r�z�� rMs���|9s�v���r �pxus�vy�h|9s��Í ¿��Á¿MΣvyx�s�t}|Is�v�s­�u�p����z��px�s�tw��~w�������y�p�·� � xutw�I�-v�rw�7z����<~w��� s���z���r¯��� ����� r�z���� � ¡�s��¡��rw��� �xutw�I�£vyr��"s�t��<z �ZrM��� ����� r�z���� � s�tw�<�(��|9rn� � ¡£���'tw�<�<��|9rn� � ¡�v¬x |7x�zp|9�¬|9� |Ir���x�t��I�-v�rw�z���rM�Z�p�u��� r�z��¤� � x�zp|9�¬|9��x�vyx/��xu�}|9������¸|9x�v�� �/s�t}|9r�xutw�I�£vyrw�§z���rM��� �u��� r�z��`� � ��|9r������ �9|9��v¬|9�w���px ����#������ &���1 � ! � :=<>$�?@"%g���"%$U:%"Q<�Â��¢"-0>$�& *+���X13*�"%&£:=<>���X1�"�4S"Q:=<>$�?@"%g���"%$U:%"� � "�4 \ GSD@F d Ï Dp="`*�t�*�t+k�txg-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%& We*547nL?20213.�"%&F*+$9_ I#D Ï a ÆjD � d ~�t � "�4)¡ p=" 0¬Â-.�$U:�47*�<>$U021JWen�*�:/nL*+&n#<>�v<-��"%$)"-<>.�& �F47g=0>$�&/1�0247*�<>$ *+$�?20>g%*�0>$�4 ��0>$UkH&=�v<q<247n#t 8 £47no"Q�^"-0>$Å<� ¡°:=<>$�?@"%g���"%&�*+$ 47no"&'"%$�&'" 47n#024

��v¬��j�x� ]e¡ Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ } É � Æ ¸ � � ½ Æ ��� Í ¡¬D �MÎ~ 5

Page 26: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

47no"%$�yvy��j�x� ¡ Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ } É � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í ¡xD �NÎ ¤ W ¤ W

A ���B�- �'tw�4��� �Mv¬|9suvy��r"��xusuv¬�h|9s�� Í ¿w�Á¿NΪv¬�<~w��vy�px � ���)|9����¦FzZI�§�j¨ � | ������

¡ Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ R ]e¡ Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ ���� zZ¦���K �

�§�j¨ � ��¨N~ � R K ¦

�T¾ L � Æ ½ � Æ ¸ � � É� _ �{W

�`tM��x ©3�M� �N�p³�rwvysuvy�Zr�© ����� �� � $ ��� � $ � � � ¸� � � � �B$ ��� � $ � � ��� � � � � � � ��� z �ZrM��� �����px7z����<~w���psu� �y��s��ÄÈp� �u��|9r�� s�tw�

~w�u�M� � v¬x-z����<~w���psu��� �

�'t¯��x§s���~w�u�I���(�`tw� �����p� ¿�� Ï v�s �£vy��� �b�<� rw���w�Zt2s��;xutw�¸� s�tw�<��v¬�<vys Í ¿��c�¯Î,�<�`tw�<rw��¨Nsxu�pz�s�v���r<���px�z �uvy�}��x6|§�<� s�tw�N��� � ~����M� � vyrM�Z���y�¯vyrw�§s�tw�£�}���wr���|I���<�)�NÂ����`twvyxª|9~w~����¯|Zz{t�tw� ��~�x~w�u�I���(~w���Z�}|9�wv��yvyxus�vyz=x�s�|9s��p�<� rMs�x sut}|9s����z���r�xuv¬�N�p��|9�w�����b� ����r�� �'t��p�Z���p� ¿�� Ï ��Áw�Z���xusuv�¥�h|9s��px`� � � Í �MΤ�`� �u� � �p�£su�b_cÀrI a |9rw�"~}|9���px^52II¥ 5 Ï � � _.<�À a �� �"! � �����J��� ���e��#�� �`� v���� r/) � _¶I#D Ï a ÆI©}s�t�� p-<>.�$Uk�0>g%6 � ��� Â-.�$U:�47*�<>$U021 ��� Í )Î'vyx ©b�y�M��x�� ����xu~b��|9¿Mv�rw��©bsutw��z���xus� � s�tw�h����|Zxus4��¨N~b� r�xuv����hsu���w�4s�tw�u���w��t )�©��-t��p�u�hsutw�hz ��x�s � � s��{|p��� � �-v�s�twv�rN_ I#D Ï a Æ�vyx4s�tw���xu�}|I� » ��z���v¬�N�¸|Ir2��vyxus{|9r�z���©:�w��s§�£tw� ����s��{|p��� ��|9�y�Zrw��|9rM��~}|9sut���rnsutw���b���wrw��|9�����·_ I#D Ï a Æ� � s�t��4��rwvys)z��w�b� vyx � ��� ���

¾O� ~w�u�I�Mvy���4|��(���u�­~w�u��z�vyxu�|9r��"xu��vy��t¯s����7�<���u�­��� rw� �{|9�[��� ³wr�vysuvy��r;|Zx � �����y�I�-x �6Á����)|9����u��z�s�|9rw�����px ��©�³wrwv�s��xu� s�x ) � ��©�|9r��"~}|9v���x ) � D���+ � � ��©��y� s � Í )TD��D ) � D ��+�Î`��� rw�Zs�� s�tw���� rw��s�th� � s�tw��xutw�Z��s��pxusª~}|Is�t=sutw���Z�w��t,) � ) � D���+§�-v�s�th�prw��~b��v�rMs�x � |9r�� �¸�6�`tw�3�b����r���|9�u��)�N � �wr�z�suvy��r�|9��vyx£��v���� r��¯�

��� Í )¬D� Î`º �%�<v�r � � Í )¬D�4Î=D-vyr � § G � Í ) GSD�QD ) � G�D � G + � D

�£tw� ����sutw��vyr�³����w� ��|9rw���px��I��� �§|9���/~�|9��suvysuvy��rwx Í ) GKÎ G�� � � � )½|9r���|9�y�/xu��®��w� r�z���x�� � ~}|9v���x� � ~b��v�rMs�x Í � G�D � GXÎ"G�� � �b� ����rw��v�rw�(su��� ���> ����r���|9�u� � �wr�z�suvy��r�|9�¬x`�`� �u�­³w��xus'�wx��p�¡�M� À �p�w�<��r�� _43 3 a |Ir�� À �p�w�(�Zr��"|Ir�� �6�w¿Mvyz{t_43�À a ©`_43 � a vyr s�tw�7|9r}|9���Nxuv¬x� � �Z�pr��p��|9�`» ��z��yvy����|9r � �wr�z�s�v���r}|I�¬x �n�`tw� � |9�u�=���p�(v�rwvyx�z � rMs4� �sutw� � �£vy�u�p���b���wrw��|9���nz���r���v�s�v���r ��|9rw��s�tw� � �£vy�u�p�2xu~}|9rwrwv�rw� � �Z���pxus �7�wx��p��vyr�s�tw�(xus����N�� � ~b� ��z����¬|9s�v���rO|Ir��n�{|9r��N��� s���� �px ©[�u�px�~}��z�suvy��� ����� �����h|��;�b�<vyr¯s�� ��~w�u� s��p�2|Zx­s�tw����� rw��sut� � s�tw�(xutw���us��pxus§su���w�§s�t������w�Zt )½�-t�v¬z{t2�=|p����� ~b��|9su�p���y����¨Nv�s§s��"s�t��<�b����r���|9�u�n� � �8|9s��r�� ~b��v�rMs3|9r��7����¥C� rMs�� �)|9s)|9r���s�tw� � ©wv�r�z��w���uvyr��(rw�hz���xus � �Z�£s��{|p��� ��|I�y��r��(sutw� �b���wrw��|9�����

�'t��­�b���wrw��|9���=�3�M � �wr�z�s�v���r}|I������x{|Is�vyx�³���x¤��� ���<� s��uv¬z)xu�w~b� �u¥¢|Z����vysuvy�¯vys¢�Pº�v � sutw�����pz�su¥|9r����y� ��v¬x£~}|I��s�v�s�v���rw�p�"v�rMsu�(���pz�s{|9r����y�px � � |Ir�� � � sutw� r

��� Í )¬D�4Î d ��� Í )¬D� � ÎVP ��� Í )TD� � Î%W Í ¿��P5�Î���7xu� ��s�twvyx ©Prw��s���xuvy�(~w����sut}|9s�sutw���u��xusu��vyz suvy�Zr�� � s�t����������}|9�fs������­�u��|9�yv�È vyr�� ��� Í )TD� Î£s���u��z�s�|9rw����� � GSD Ï K F Kª~N©I~w���M����z��px�| � ��|Zxuvy�w���¤�b����r���|9�u�4s�������� � ) " � GSD Ï K!F�KN~N©I�-twvyz{t

~ 3

Page 27: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�M�(�(v�rwvy�=|9��v�s´�<t�|Zx£|��� rw��s�t¡�-t�v¬z{t¡v¬x'|9s¤�y��|Zxus£|9x`��|I�����­|Zx ��� Í )TD�^GXÎ,� �'t�� |9��xu� r�z���� � |9r� ���u���£s�� ���5vyr�xu�w~}�p� ¥¢|Z�w��v�s�v��Mv�s´�"z���rMsu�{|Zxus�x-xut}|9�u~w�y�¡�-v�s�t�s�t��4��� ���<�psu��vyz§xu�w��¥¢|Z�w�Nvysuvy�Mv�s´�¡� ��4���`twv¬x§�Nv¬xus�v�r�z�s�v���r�©:�-t�v¬z{t�t�|Zx­s�� ���yv�rw�"z���r�xu�p®¯�w� r�z��px ©:� � s�� r��h|9¿��px3s�tw�(|Ir}|9���Nxuv¬x�� � ���� |9�£��|Zxuv�� �£s�t}|9r"s�tw�|9r}|I�y�Nxuvyx£� � �4�> � ��� ³wrwv�s�v���r ��� K �� qCs�v¬x���|Zxuv��y� z{tw�pz{¿��p� s�t}|9s ��� x�|9s�vyxu³w�px�|9��� � � s�t��O�}|Zxuv¬z~w�u��~b� ��suvy�px£� � s�tw� ��xu�}|I�f» �wz ��vy����|9r��)�NÂ�©w��¨�z�� ~wsuvyrw�<��� ���<� s��uv¬z­xu�w��¥¢|Z�w�Nvysuvy�Mv�s´���

����~����I���`z���r¯��� ����� r�z��ª� � s�tw�`�(��|9r� � � Í �£twvyz,t�M�Q³¤���u������|9�u� ¿��c�)vy�<~w�yv��px�zZ�ÇzZ��z���rM��� � ¥��� r�z��IÎ��I�Z�p�/vyr��N�p~}�prw��� rMs6��|9r������ �9|9��v¬|9�w���px � � D � � D'W�W�W�D � �§�-v�s�t<s�t��£�wrwv � ����� ��v¬xusu��v��w�ws�v���r��r;_¶I#D Ï a Ƹ©wr}|Z�<� �y�hs��<~w�u�I��� sutw� �yvy�<vys

�yvy��q�F�] � Í � � D'W�W�W�D � �¯Î

É � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �MÎ%Dv�s-vyx£�pr����w��t�su�<~w���I�Z� s�t�� � �Z�y���I�-v�rw�<s´�¤�<�}|9x�vyz§�y�p�(�=|9xpº �6(+( & � �� � ��&=6r���X4�<247*�:/& Â�<>g�47no"Ãp-<>.�$Uk�0>g%6FÂ-.�$U:�47*�<>$U021 V<>gÃ021+1 �£�ª~�D-�#D�W�W�W�47no"%g="�*+& 0:=<>$�&/4�0>$�4 � Í �NÎ�&=.�:/ns47n#024

�yvy��j�F�] ��� Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ

É � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �NÎ=W �6(+( & � � ��� 0%����g-<'Ar*+�v024S"%& � �Vno"�Â�<21+1�<7We*+$��^0%����g-<'Ar*+�¢0247*�<>$On#<21�k>&��

� ] ��� Í � � D�W�W�W�D � �MÎ R ] � Í � � D�W�W�W�D � �¯Î'�@� ` Í É � Æ ¸ � � ½ Æ Î%W�'t��¤~w�u�M� � � � u[���(�h|¬¿��P5'vyx���� � � ���u�p�4su�)s�tw�ªrw��¨Nsfxu�pz suvy�Zr��/�`tw� ���`|I���`|9s��y��|Zxus�s´�¤�)�£|p�Nx

su��~w�u�I��� u[�p�(�=| ¿��Á¿w�6�`tw�§³���xus'�£|p��©M�£twvyz,t7�}�¸|I��x£|��yv�¿�� rw�px�x'su��sutw�§�Z��v���vyr�|9�P�}|9�u�§t}|Ir��wx|9~�~w���¯|9z,t=� �@> ��|9���N�`�M�N�=� s£|9�C�`_ < a ©N�u�p��v���x¤��r"xusu�{|9v���tMs � �����'|9���=|9r}|9���Nxuv¬x¤� � xu�w~b� � ¥¢|Z�w��v�s�v����xu�p®¯�w� r�z��px7� � ����|9�­rM�w���b� ��xp� �'tw��x��pz���r����£|������{|��-x¡tw��|��Mv��y����r�|Ä���w��s�v¼¥C~}|9��|Z�(� su�p�xu�w~b� � ¥¢|Z�w��v�s�v���� � �����N�Nv¬z§s�t��p�Z���p�;�

·*+g%&/4e��g-<q<�Â�<� � "%�£�v0 ��t �w�=�¯� s�� Í É�Î�� ] ��� Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ,�(Â�|9�us�v�s�v���rZ_¶I�D Ï a Æ v�rMs�� - Æxu�w��¥¦z��w�}��x � � D � � D�W�W�W�D � &�� � � �p�����)�y� rw��sut - ¸ � � �'tw�3r¯�����}�p�6� � ~b��v�rMs�x � �u��� s�tw��x�|Z�<~w���Í�� � D�W�W�W�D � �MÎh�-t�v¬z{t � |9���­vyrF|]��v���� r�xu�w��¥¦z��w�b�2� � _¶I�D Ï a Æ;� � ���������<� - ¸ Æ�vyx;|]��vyrw���(v¬|9���|9r������5�9|9��v¬|9�w���Q± Í É²D - ¸ ÆpÎ`�£vysut;~}|9��|Z�(� su�p��x£É²|9r�� - ¸ Ƹ�'qCs � �����y�¸�)x � �u����x�zp|9��vyr��¡|9rw�sutw�4x���~b� �u¥¢|Z�w�Nvysuvy�Mv�s´� Í ¿w�S5�Ϊ� � ���Os�t}|9s

� Í ÉfÎ d -9¸ � & �§G�¨ �

� Í ± Í É²D -9¸ Æ ÎuÎ%W> �¡x��<�M��sutwrw�px�x-|9r�� YZ� r�xu� rV[ x-v�rw�p®¯�}|9��vys¢� Í Ï � Ï Îªv�r�s�twvyx£������� �£�`� t�|����

� Í É�Î d -b¸ � & �§G�¨ �

/ � Í É -b¸ Æ Î R �T¾B] Í �¶± Í É·D -b¸ Æ Î R É -9¸ Æ � � Æ ¸ � � ½ Æ Î 2d - ¸ � & �§

G�¨ �/ � Í É - ¸ Æ Î R �T¾ Í É - ¸ Æ Î � Æ ¸ � � ½ � Æ 2 W

~�
Page 28: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�¯vy�<~w�yv � �Mv�rw��©��¤� ��� s� Í ÉfÎ d - Æ ¸ � � Í É -b¸ Æ Î R �T¾ - � Æ ¸ � � ½ � É � Æ ¸ � � ½ � Æ W

�3vy�¯v¬��v�rw�(�¯�¡É � Æ ¸ � � ½ Æ |9rw���u�p~���|Zz�v�rw�<É��M�¡É - Æ �Mv�� �¬��x-sutw� tw���<����� rwv�È ���¡��� �¬|9s�v���r� Í É -"ÆpÎ

Í É - Æ Î � Æ ¸ � � ½ Æ d � Í ÉfÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ R

�T¾É � Æ ¸ � � ½ � Æ W

�¯� s ��º ��� Í �NÎ�º ����v¬��xu�w~ �q�F� � � � �� � � � � � � |9r���rw�Zs���s�t}|Is �{K � � �M�;�Z���I�£s�t��b�Z�wr��wx Í ¿��3~�Î{�Í �)� ���4|9r��"� �yx�� �£tw� ��� sutw�4xu�N���}��� ��º ���<�<�¸|Ir�x � �p®¯�}|9�:s��<�M�7��� ³wr�vysuvy��r �w� Î�Áw�Z�)|9�y�J¦Fz{I�Dz{tw�M��x�� É � x��wz,t s�t}|9s � ���f|9����É d É � ©��`�6t}|������T¾ } É � Æ ¸ � � ½ � Æ Kµ¦�|9rw� � Í É � Î } É � Æ ¸ � � ½ Æ� d � R ¦'W�`tM��x © � �Z�)|9�y� - � Ï D=~�D�W�W�Wwv�s � �Z�y���I�)x'sut}|9s

� Í É � -7Æ ÎÍ É � - Æ Î � Æ ¸ � � ½ Æ d � R ~2¦�W

���7rw�I� ���ws{|Ivyr u��p�(�=|v¿��¶¿"�¤����xu��s�tw�<x��<�M��sutwrw�px�x­� � ����|9r��2|7xuvy�(~��y��v�rMs�� �u~b���¬|9s�v���r|9�u�����<� rMsp� Á����)|9r�|I���wv�s���|9���¡v�rMsu�p�Z�p� N d Ï ³wr��"s�tw� �wr�v¬®¯���4vyr¯s�� ��� �P- xu��z{t�sut}|9s

É � - Æ © NHK�É � Í - P Ï Î Æ W�`tw� rµ� É � -"Æ R NJ�VK �­É � -"Æ ¸ � ©��-t��p�u�<tw� �u�h|9r��n�p�yxu� �-tw� ��� ����� rw��su�px4|7³wr�vysu�(~}��xuvysuvy���z���r�xus�|9rMs=�£tw��xu���9|9���w�n�h|�� z{t}|9rw��� � �u��� ��vyrw��s�� ��vyrw��� > ��x��<�M��sutwrw�px�x=�¤��s�tw� ��� � ���u�����s{|9v�r

� Í NwÎN � Æ ¸ � � ½ Æ d

� Í É � -"Æ ÎÍ É � Í - P Ï Î Æ Î � Æ ¸ � � ½ Æ R�T¾ Í �§É � -"Æ ¸ � Î � Æ ¸ � � ½ ÆÍ - P Ï Î Æ ¸ � É � Æ ¸ � � ½ Æ�

d Í � R ~2¦,Î Í -- P Ï Î Æ ¸� R �T¾ Í �­É � - Æ ¸ � Î � Æ ¸ � � ½ ÆÍ - P Ï Î Æ ¸ � É � Æ ¸ � � ½ Æ�

W

�¯v�r�z�� s�tw� �¬|Zxus-su�p����vyr�sutw�|9�b�I�Z� ���M�px's��(È � ���h|Zx -?���M�px's��(v�rw³wrwv�s´��©�vys � �������I�)x'sut}|9s��v¬��v�r �LB�F� � Í N�Î } N � Æ ¸ � � ½ Æ d � R ~2¦�W

`-�I�·�y� ss¦¡s�� r���s��]È � ��� s��Äxu� �nsut}|9s¡sutw�n��v¬� v�r � |9rw��s�t�� ��vy� xu�w~ � � sutw�nx��p®¯���prwz �� � L �L � � � � � � D N d Ï ©wz���v�r�z�v¬����©�s�t}|Is-vyx

��v¬�LB�x�� Í N�ÎN � Æ ¸ � � ½ Æ � ��W

¾O� t}|����§sutM��x)xutw�I�£r��vy��q�F�

] ��� Í � � D'W�W�W�D � �MÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ � �

|Zx-���pxuv����p�[�ªqCr;sutw�4rw��¨Ns � � �F~}|9��|9����|9~wt�x'�`� �-v��y��xu� � s�t}|Is � v¬x£~b��xuvysuvy�Z���ª�`twv¬x-z �Zr�z��y���N��xsutw� ³w��xus-~����M� � � � u[���(�h|�¿��Á¿w� �> � � ���u�£~w���I�¯v¬��v�rw� s�t��3xu�pz���r���~w�u�M� � � � u[�p�h�h| ¿��¶¿ �`�£���pzp|9���}|­��� rw� �{|9�wxu�w~b� � ¥¢|Z�w��v�s�v����� ���Z�N��vyz�s�tw� ���u�p�;� u[�ps�� Í �NÎ(��� rw�Zs���s�tw�n�N¥¦��vy�(� r�xuv���r}|9�3�u�pz s�|9rw�����px=� � Å Æ � u[� s ¡ �

~ �

Page 29: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

)2¡ Í �4Î=D � G � Í �MÎ +7�b�7|����w��s�v¼¥C~}|9��|Z�<�psu� � � �wr�z�s�v���r}|9�ª��� ³wrw�p�²��r |�~w�u���}|9�wv���vys¢�Oxu~}|9z �Í µ�D ] D�|�Î{� ¡�v¬x�&/4�0247*�<>$U0>g%6�v �'� �Z��|9����- d Ï D � � D'W�W�W�D� &�G � Í �MÎ,©/|9r�� � G Í Åxw Î Æ ©fs�tw�Q ��v�rMs��Nv¬xus��uvy���ws�v���r�x�� � ¡ Í � � Î%D�W�W�W�D=¡ Í � &)Î|9r���¡ Í � � P � Î=D�W�W�W�D=¡ Í ��&ZP � Î�|I���7s�t���x�|Z�<���¡%vyxHp-<>.�$Uk�"-k�v � xu�w~ � ]e¡ Í _¶I#DuÉ a ÆZÎ } É:Æ © Ë |9r�� ¡%vyxL&/47g-<>$��@136 &=.>��"%g ��0�k�k>*547*+?@")v � ¡ Í �4Î d� &G�¨ � ¡ Í �^GKÎ{©f�£tw� ���(sutw�(���pz�s{|9rw�Z�y�px � � D� � D'W�W�W�D� & � ����� |"~�|9��suvysuvy��rO� � ��� `-��s�vyz��(s�t�|9sxus��u��rw�(xu�w~b� �u¥¢|9�w��v�s�v��Mvys¢�7vyx-xus����Zrw��� �£s�t}|Ir�s�tw� ��xu�}|I��x���~b� �u¥¤|Z�w�Nvysuvy�Mv�s´���

�'t�� � �����y�¸�-v�rw�<xus����Zrw�<�¬|��%� � �¬|9�����­rM�����b� ��x'� � «3¿�z����Z�y��|9r�� �­��� rw��� ��_¶~ a �Z�pr��p��|9��vyÈ �px�­v�rw���h|9rV[ x£x�����¥¢|Z�w��v�s�v����4� �u���N��vyz§sutw� �����p��������6�#���6( � � � .>��"%g ��0�k�k>*547*+?@"^"%g���<qk>*�:^47no"-<>g="%� � "�4x¡ º � )2¡ Í �4Î�º�� G � Í �MÎ +Åp="H0&/4�0247*�<>$U0>g%6 �Tp-<>.�$Uk�"-k �·&=.>��"%g ��0�k�k>*547*+?@"eÂ-.�$U:�47*�<>$U021Vk�" !·$)"-k¢<>$ Í µ�D ] D�|fÎ�t �Jno"%$

��vy��q�F�¡ Í _ I#DuÉ a ÆpÎ

É Æ � 8 Í ¡xD �NÎ0�t�&�t�0>$UkL*+$ ¡ � ��Weno"%g="�8 Í ¡xD �MάG�¡ � Í µ�D ] D�|�Î%W � <>g="-<>?@"%g��

]�8 Í ¡xD ��Îx��� Í ¡xD �NÎ � x���~�

] ¡ Í �4Î?2<213.��¢" � W� Í ¡¬D �MΤvyx£s�tw�£&��o0247*�021J:=<>$�&/4�0>$�4 � ���'s�t��4~����Nz��px�x ¡£�6qCs£v¬x-|��Z�pr��p��|9��vyÈ�|9suvy��r7� � s�tw��47*+�^"

z���r�xus�|9rMs�vyr�sutw��sutw� �����;� � �Zrw��¥¦��v¬�<� r�xuvy�Zr}|9��xu�w�N¥¢|Z�w��v�s�v�����~w�u�Nz���x�xu�px ��qCs­v¬x­r��I� |9rn��|Zxu��h|9s�su� �'s��(~����I�Mvy���4|9r�|9��s�� ��r�|9s��§~w���M� � � � u[�p�(�=|Q���¶¿��

� "-:=<>$Uk���g-<q<� <� � "%�Q�¢0 ��t � ���� ­�`���ps��� Í �4Îe� ��� Í�� " �QD�4Î=D ��G � Í �MÎ%D

�£tw� ��� � v¬x§|7Â���vyx�xu��rn~}��vyr¯s§~w�u�Nz��px�x���r Í Å w ΦÆ4�-v�s�tnvyr¯s�� r�xuvys¢� Ï � ���Ävyx§xus{|Is�v���r}|9�u��|9rw�xus��u��rw�����(xu�w~b� �u¥¢|Z����vysuvy�Z���¤��vyr�z�� � " _ I#DuÉ a Æ ��É Í � � D�W�W�W�D � 0 Î%D¯�-tw� �u�G4·v¬x£|Ir¡vyrw��� ~b� r���� rMsÂ��Zv¬x�xu��r"�{|9rw�������9|9��v¬|9�w��� �-v�s�t�~}|I�{|Z�<� s�� �'É:Ƹ©w�`� x�� �§s�t}|9s����Ovyx£�b���wr��N���:º

] ��� Í _ I#DuÉ a Æ Îe�Z] ��� Í É Í � � D�W�W�W�D � 0 Î=Dj_¶I#DuÉ a Æ Î��ÉX] ��� Í ) � � D�W�W�W�D � 0 +�Dj_¶I�D Ï a Æ ÎK � � É�]�4 � Æ ¸ � � ½ ÆK � � É Æ D

�M�¢YZ� r�xu� rV[Çx¤vyrw�p®¯��|9�yv�s´� Í Ï � Ï Î{�6�`tw� ¡ � z���r¯��� ����� r�z��3��v���� r¡�M�(s�tw�§xu�w~b� �u¥¢|9�w��v�s�v����­� �����M��v¬zsutw� �����p��vy�<~w�yv��px

�yvy��q�F�] ��� Í _ I#DuÉ a ÆpÎ

É Æ ��� Í �MÎ � xu�w~� �� � Æ �

] � Í �4Î���Z�y���<� � D

�£tw� �����`��rw��su��s�t}|9s`sutw�§xu~}|9suv�|9�Pz���r�xus{|IrMs � Í �NÎ v¬x`z ����|9�����(~b��x�v�s�v������ª�¯vyrwz ��] ��� Í _¶I#DuÉ a ÆpÎ �É�] ��� Í�� � D�W�W�D � 0 Τ�¤� �(��s{|9v�r

��v¬��j�x�] ��� Í�� � D�W�W�W�D � 0 ÎÉ Æ ¸ � � � Í �NÎ=W

~=<

Page 30: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

> �"xusu�{|9v���tMs � �����'|9���"x��(�¯��s�twr���x�x3|I�������<� rMs�x ©�s�tw��|I�b�I���z���r¯��� ����� r�z�� vyx)�wr}|>´P�pz�s��p�"v � 4vyx-��� ~w�¬|Zz��p���¯�7v�s�x)�(��|9r"É Æ � O;���u�p�¸��� �p©�v�rMs�� �u~b���¬|9s�v���r�|9�����w�(� rMs�x-xutw�I�Fs�t�|9s-É Æ �h|��=�b��u�p~���|Zz��p�(�M��É�©M�-t�v¬z{t=sutM��xª�Mv�� �¬��x¬u[�p�h�h|�¿��Á¿�-v�s�t�� Í �MÎ � � Í �NÎ{� `-��s�vyz��3s�t}|9sªs�t�v¬xª~w�u�M� �xutw�I�-x3s�t}|9s � Í �NΣv¬x­xusu��vyz su�y��~b��xuv�s�v������ �'twvyx­z �Zr�z��y���N��x3s�tw��xu�pz���r���~w���¯� � � � u[�p�(�=|L¿��Á¿w�

� ��� � �����J��� ���e��#�� �`� �e������� � ��� �²�o� � � �� ���o��� ��� � � � �`����h����s{|9v�r��¬|��)x-� � �¬|9�u���r¯�����}�p��x ©}��|9s��px-� � z���rM��� ���Z�prwz � � � �(��|9r�x ©}|9r��;��|I�������� �Mv¬|9s�v���r~w�uvyrwz v�~w���pxp©[vys§vyx§��¨Nsu���p�<�p���;��xu� � �w��su�"¿Mrw�¸� s�t}|9s§sutw�<�}���wr���|I���n�3�N � �wrwz suvy�Zr}|9� z�����xu�p���|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s��pxfsutw�£xus{|9rw��|9�����3�M � �wr�z�s�v���r}|I�C���'t�� � �����y�I�£vyr��­�pxus�vy�h|9s���©9�£twvyz,t��pxus{|9�w��vyx�t���xu[�p�h�h|ÿ��S5M©�v¬x)|<xus�|9��s£v�r;sutwvyx)�Nvy�u��z�suvy��r[º

� ] � Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ R ] ��� Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ'��K �­É � Æ ¸ � � ½ Æ W Í ¿�� 3¯Î¾O���£vy���/xutw�I� Í ¿�� 3¯Î'�M� � �Z�y���I�-v�rw�¡sutw��|9~w~w�u�¯|Zz{t�� �ªÀ �����(��rw��|9r�� �6�w¿Mvyz{t _43�À a © _43 � a �

�¯v�r�z������ K �4©wvyr������N�p�£su�<~w���I�Z� Í ¿w�P3¯Îªv�s)xu�wÃ(z �px£s��(xutw�I�] � Í � � D�W�W�W�D � �MÎTK ] ��� Í � � D'W�W�W�D � �MÎVP��­É � Æ ¸ � � ½ Æ W

���hxutw�I��sutwvyxp©w�¤� ³w��xus-�pxus�vy�h|9s��§sutw�4z�|I����v�r}|9��vys¢�¡� � ~b��v�rMs�x£�-twvyz{t�|9���eQ ��v�rw�p����v����pz�s����su�;sutw�h�}���wr���|I�����=«�x vyrµ_ <�À a ©f��� s ) ��� rw��su�(��rw�<� � sutw� � |9z �px � � _ I#D Ï a Ƹ�^u[� s�suvyrw����� �) � � D'W�W�W�D � � +<�b��sutw��x�� s3� � ~}��vyr¯s�x3s�t}|Is§|9�u�^Q ��v�rw�p����v����pz�s�����s��,) �M��sutw�����{|9~�t�����|9��vyÈ v�rw����6©��¤�§³���xus£xutw�I�%sut}|9sT] � ���`��K �­É � Æ ¸ � � ½ ÆjW�Áw���-|9���V¦Fz{I�|9r��sC G/)�©N�y� s � Í ¦'D-CPÎ6��� rw��s��sutw��z��M��vyrw��� �<v�r _¶I�D Ï a Æ=��� s�� ���<vyr���� �M� sutw� ¦<��vyx�¿²vyr ) z � rMsu� ���p� |9s�C��O¾²���h|9¿��¡s�tw�z���v�s�vyzp|9�/�Z��xu�p�u�9|9s�v���r�sut}|9s­vyr�sutw��~}|9�us§� � � Í ¦�D-CPÎ-�-twvyz{t2vyx |9s |7��vyxus{|9rwz ���Z����|9s�� ��s�t�|9r ¦� �u��� )�©�sutw� ���)|9�u�)|9s �(��xus�s¢�`�§~b�ZvyrMs�x �£twv¬z{th|9�u� Q ��vyr�����su� )���¾O� ���£sutw� ���£s�t���� �-��� �<�����~b�ZvyrMs�x ©¯sutw� rhs´�¤�4� � s�t���xu�)~}��vyr¯s�xªz����w�y�(�b� Q ��v�rw�p�(�£vysut¡|9rh�p���Z��©��-twvyz{th�`�����¬�<���pxu�w��sªv�r¡|z���xus)x�|��Mv�rw��x ©}z �ZrMs���|Z��vyz suvyr��h��~ws�vy�h|9�yv�s´���£�¯vyrwz � ) zp|9r��b��z��I�Z�p�u�p���£vysut/� Í ¦ ¸ � Æ ¸ � � Î'��vyxu¿Nx� � �{|9��vy�wx ¦ ©��`� t�|���� sutw� �b���wrw�

]`� ��� ��KZ]O� )rC G Í�� GXÎ"G����<º � Í CVD )ÎTKµ¦ +o� P � ¦�¸ � Æ ¸ � � D�£tw� ��� � Í CVD )Î���� rw��s��px s�tw�(��v¬xus�|9r�z��h�}�ps¢�`� � rOsutw�(~b��v�rMs�C |9rw�2s�tw�hxu� s )��=�'tw�=|9�b�¸���vyx4�b���wrw���p�²�M��É)¦ P � ¦ ¸ � Æ ¸ � � |9r��Ox��;~w�wsus�v�rw�9¦£�8É ¸ � ½ Æ �Zvy���px s�tw�=�N��xuv����p�O�pxus�vy�h|9s��]`� ��� �¬K �§É � Æ ¸ � � ½ ÆjW6q � � � ) � � D�W�W�W�D � � +���� rw��su�px<sutw�;xu� s<� � ~}��vyr¯s�x<�£twv¬z{t�|9���MQ ��v�rw�p���v����pz�s����¡su�=|IrM� � |Zz�� � � s�tw� �b�Z�wr���|9�u��©ws�tw� r

]`� �H��K �­É � Æ ¸ � � ½ Æ W¾O�h|9���<rw�I� ~b��xuv�s�v���rw�p�2su�;xutw�I� Í ¿�� 3¯Î,��u[� s�� U � �²_ I#D Ï a Æ�b�(sutw�hxu� s � � ~b�ZvyrMs�x ��r2s�tw��b�Z�wr���|9�u��� � _ I#D Ï a Ƥ�-twvyz{t=|9�u� Q ��vyr�����su�4~}��vyr¯s�x vyr��(�·u[� s � Í � U Î Í �u��xu~b�pz�s�v���� ����©�� Í � U Î��� rw�Zs�� s�tw� su��s{|9�[�p����� ���pr���s�t�� � s�tw�4�Z�{|9~wt"� � s�tw�4�(v�rwvy�=|9�:su���w� Í ���pxu~b�pz�s�v���� �y��©w�(v�rwvy�=|9��h|9s�z{twv�rw�NÎfs�tw�u���w��t�� U �-t���xu�3�p�����px6�yv��3��r �·_ I#D Ï a Ƹ� `-��s��)s�t}|Isªs�tw�3��rwvy�Zr=� � s�t����(v�rwvy�=|9�su���w�����{|I~wtnsutw���Z�w��t�� U ©Ps�tw���(v�rwvy�=|9��s����w������|9~wt�s�tw�u���w��t�� U ©[|9r���s�tw���}���wr���|I���n�)�NÂ����|9~wths�tw�u���w��t � � D�W�W�W�D � ����� ³wr���x`|9r7»��w�y� �uv�|9rh~}|9sut¡sutw���Z�w��tM) � � D�W�W�W�D � � + � � U ©¯�-t��p�u�­|9���

�@I

Page 31: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

��� �us�vyz �px­t}|����<� ��� rO��� ���u�p��� �3�p��� s�v�rw�;xu���<�<� � sutw�(�p�����px§v�rOsutwv¬x ~}|9sutO�¯vy� �y�wx| � ��|Zxuv��w�y�su���w�£s�t������w�Zt ) � � D�W�W�W�D � � + � � U W}qCs � �����y�¸�)x's�t�|9s

] � Í�� � D�W�W�W�D � �MÎTK ] � Í�Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ � �;U�ÎK ] ��� Í�� � D�W�W�W�D � �MÎVP;] � Í � U ÎVP;] �� Í � U Î%W

`-�I�{] � Í � U ÎTK ��] � � U � � Æ ¸ � � ½ � Æ ¸ � � xuvyrwz � � U ��v���x¤vyr¡s�tw���wrwv���r7� � xu� s�x¤� � ��vy�(� r�xuv���r � R Ï �> ��YZ� r�xu�pr)[Çxªv�rw�p®¯�}|9��v�s´� Í Ï � Ï Î,©¯�¤�3³�r���] � Í � U ÎTK �§É � Æ ¸ � � ½ ÆjW��¯vyrwz �`] �� Í � U ÎTK ] � Í � U Î�¤� t}|��Z�4xutw�I�£r Í ¿�� 3¯Î`|Zx-���pxuvy�u���:� �

�'t��<|I~w~w����¨Nv¬�h|9suvy��r Í ¿�� 3¯Î'v¬x3~w�u���}|9��vy��v¬xusuv¬zZ�-¾ v�s�t�|h��v�s�s�������¨Nsu�{|(��´P�Z��s3��rw��zp|9r�x�t��I�sutw� � �������I�-v�rw�¡��� s�� ���<v�rwv¬xusuv¬z4�pxus�vy�=|Is���� u[� s�) � _¶I#D Ï a Æ4|9r���� )¢�#�0É���q � -7Æ �0É } � Í É�Î,©�£tw� ��� � Í É�Î-vyx§|9r��wrM�b����r����p�nv�r�z�����|Zxuv�rw� � ��r�z�s�v���rn� � É�©Psutw� r2|Zx3� ¨M~w��|Ivyrw�p��v�r���� s{|9v���v�r_ <�À a © ��x�|9s�vyxu³w�px£s�t�� � �Z�y���I�-v�rw�<rw��|9�)|Z�w��v�s�v��Mv�s´�7z���r��Nvysuvy��r

� � Í )Î R& �§G�¨ � �

Í ) " �@G�D �@GKÎ'��K � ��¸ � ½ Æ � Æ ¸ � � É � Æ ¸ � � ½ Æ W Í ¿�� À�Î

�`tw�6³w��xus�s�� ������rsutw�6��v���tMs�t}|9rw�xuvy���ª� � Í ¿�� ÀZÎ[|9�uv¬xu�px � �����0|9~w~����¸¨Nvy�h|9s�v�rw� � Í ) " �@GCÎ=D Ï KF K -"ÆjD��M�<sutw����� rw��s�th� � sutw�3���pxus��uv¬z�s�v���rh� � s�tw�3�������}|I�bsu���w�ªs���x�����¥¦z��w�b���@G�|Ir��hs�tw�3�¬|Zxussu�p����vyr Í ¿�� À�Ϊv¬x Q ��xus£s�tw�4xu�w��¥¢|Z����vysuvy�Z�4� �����Z�P- Æ ¸ � � �u��� Í ¿�� Ï Î{�

qCr���s�tw� �£�¤�����wx ©

� � Í )Î R& �§G�¨ �

� Í ) " �@GSD �@GKÎ'��� ` Í É � Æ ¸ � � ½ Æ Î=W Í ¿�� � Î

�'t��4|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s�v���r Í ¿oWP3¯Î�����|Z��v����=x�t��I�)x`sut}|9s£|Zxu�N�<~ws��Zs�vyzpx � ���] � Í � � D�W�W�W�D � �MÎ � ���y���I�� �u��� s�tw�=|9x��M�(~wsu��s�vyz x � ����] ��� Í � � D�W�W�W�D � �MÎ,�(�)�I�¤�p�Z�p� ©[s�tw�pxu�=|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s�v���r�x ©[su����� s�tw� ��£vysut�|9~w~w�u�¸¨Nvy�=|Is�v���r�x Í ¿oW À�Î`|Ir�� Í ¿oW � Τzp|9�u���¡�h|9rM�7|9�w��v�s�v���r}|9���b� rw� ³ws�x)|9r��"~w���I�¯v¬����ºX |<xus���|9v���tMs � �Z���£|I���¡~w�u���}|9�wv���v¬xus�vyz|9r�|9�y�Mx�vyx£� � ~}|9��suvysuvy�Zrwvyr��(tw� �w��vyxus�vyz xp©X �pxus�vy�=|9su�px � ���£s�tw�Lg-024S"�<�ÂÃ:=<>$�?@"%g���"%$U:%"ª� � ] � Í � � D�W�W�W�D � �¯Î,©X |Zxu�N�<~ws��Zs�vyzpx � ��� � Í \s� D�W�W�W�D \ �MÎ{©¤�-t��p�u� \ GSD F d Ï D6|9����vX� vC� �[���£vysut�|Ir�|9�u�wv�s��{|I���

��vyxus���v��w�wsuvy�Zr�©b|9rw�X �¬|9����� ��� �Mv¬|9s�v���r�~w�uvyrwz v�~w���px � ����� Í�� � D'W�W�W�D � �MÎ{��`tw� � ���y���I�£vyrw�<xu��z�suvy��rwx-��¨N~��y���u� sutw�px�� �b� rw� ³ws�x �

� ��� �N�����$#��#��� �F� ��.�������������V��`tw�;|��Çx � |Zxu�N�<~ws��Zs�vyzpx�� � �'tw� ���u���¥¿�� Ï ���p� � |9�u~ _ 52~ a ©�_ 52� a s���³wr��Ä�pÃ(z v�� rMs(�<� s�tw�M�wx� ����|9~w~w�u�¸¨Nvy�=|9suvyr��ns�tw�7�y� rw��sut � Í � � D�W�W�W�D � �MÎ4� � s�tw�"xutw�Z��s��pxus�~}|9s�tÄsutw��������tÄvC� vC� �[�²�wrwv¼¥� �����(���Ä��vyxus���v��w�wsu�p����|9r������ �9|9�uv�|9���y�px � � D�W�W�W�D � �²��r�sutw���wrwv�s¡x�®¯�}|9�u���FqCr�twvyx=xu���<v�r}|9��¤����¿ _ 5@~ a © _ 52� a © � |9�u~���� ��� �y�Z~b�p��s�t�� � ³�¨N�p����vyx�xu�pz�s�v���r�|I�y���Z��v�s�t�� ���-t�v¬z{t�~����I�Mvy���px=|

� Ï

Page 32: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

xuvy�(~w���tw� �w�uv¬xus�vyz�� � Í�� � D�W�W�W�D � �MΣt}|p�Mvyr��¡sutw��~w���Z~b� ��s´�"sut}|9s � � Í � � D�W�W�W�D � �MÎ } � Í�� � D�W�W�W�D � �MÎz���rM�Z�p�u���px'z����<~w�y� su�p���(s�� Ï |9rw�7�-t�v¬z{t��(�Z��� �I��� �`t�|Zx'~b�����Mrw���<v¬|9�[�(��|9r7��¨N�pz��ws�v���r7s�vy�(���� |9��~)[Çx¤³�¨N�p�¡�Nv¬x�xu�pz suvy�Zr"|9��������v�s�tw�½z���rwx�vyxus�x¤� � ��v��Mv¬�Nvyrw��s�t��­��rwvys'z��w�b��_¶I#D Ï a Æ£v�rMs��(-7Æz���rw�Z���w� rMs�x�����¥¦z��w�b�px�� � D�W�W�W�D � &�� ©I³�r���v�rw��sutw�¤xutw���us��pxus�s��Z�w� �GN� � ���pr���s�t�� Í ) � � D�W�W�W�D � � + "�@GKÎ6��r"��|Zz{t7� � s�tw� xu�w��¥¦z��w�}��x ©wz���r�xus��u��z�s�v�rw�(|�su���w��F�£twv¬z{t7�yv�rw¿Nx'��� ~w���pxu� rMs{|Is�v����px � �������|Zz{t �G¢©b|9r���s�tw� r��N�p��� s�v�rw�=��¨�z��px�x-�p�����px-s��h��� rw� �{|Is���|<����|9r�� Í tw� �w�uv¬xus�vyz¸Î`s��Z�w�3sutw���Z�w��t� � D'W�W�W�D � �<t}|p�Mvyr��(��� rw��sut � � Í�� � D'W�W�W�D � �MÎ{�� |9��~7|9r����¯s�� � �y��_ 5 5 a xutw�I� �¯v�|� �y�p�<�pr¯s{|9�u�<�(� s�t��N�wx¤s�t}|Is`s�t��­~}|9�us�v�s�v���rwv�rw��tw� �w�uv¬xus�vyz� ��vyx ¦ ¥C��~wsuv¬�h|9�:�-v�s�t�~������}|I�wvy��v�s´�¡��r���º�����6�#���6( � & � �Q0>gS�Z0>$Uk � 4S"="�1�"�� � � 8 Â�-"Æ¡º �ÌÉ } � � Weno"%g=" �ª*+&^0>$ .�$)p-<>.�$Uk�"-kH*+$��:/g="-0>&=*+$��`Â-.�$U:�47*�<>$ <�Â'É)�47no"%$£Â�<>g�021+1�¦FzZI

�§�j¨ � | � � � Í � � D�W�W�W�D � �MÎ

� Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ d Ï PŦ�� © ËNW

�'t��p�Z���p� ¿�W À�xutw�I�-x(s�t}|9s(s�t����{|Is�v��²� � s�t������pr���s�t�x(� � s�tw�;tw� �w��vyxus�vyz�s������¡|9r���s�tw���~�s�vy�=|9��s�������z �ZrM��� �����px)z����(~��y� s�� ���7s�� Ï � vy��� r�s�t���z����<~w�ws{|Is�v���r}|9��z ���(~w����¨Nv�s´�7� � s�tw��)�NÂ�©�v�s£vyx£���p�h|9��¿9|9���y�­sut}|9s's�tw�§��~wsuv¬�h|9�:su���w�'�y� rw�Zs�t"v¬x£xu�<�`� ����|9~w~����¸¨Nvy�h|9s��p�=�M�7|�xu���� � v�r���v��Mv¬�N�}|9��su���w�£��� rw��s�twxp©w�£tw� ���§s�tw�4xu���5t}|9x-~}���y�¯rw���<v�|9�[�(��|9r7� ¨M��z��wsuvy�Zr�s�vy�(���

�¯v�r�z�� � |9�u~V[Çx)�`���u¿ _ 52~ a ©·_ 52� a ©bz���r�xuv¬�N�p��|9�w����|9sus�� rMsuvy��r;t�|Zx3�b� � r���v���� r�su�¡��� ��� ����~wv�rw�sutw�"~w�u���}|9��vy��vys¢� s�t��p�Z���²� � tw� �w�uv¬xusuv¬z x � �M�p�h|9r�x�|9r�� > � �us�xuv¬�h|Zx _ ¿ � a ��� ��� ����~Äs�tw�;|�� x �|Zxu�N�<~wsu��s�vyz x � ����sutw�£�)� �y�N¥� |9��~�t��p����vyx�suv¬z _ 52I a �/�'tw� ��N�­sutwvyx/�M� �px�xu� rMsuv�|9�����xutw�I�-v�rw��s�t�|9ssutw��)� �¬�M¥�4|I��~�tw� �w��vyxus�vyz v¬x)|<x��(�M�Zs�t�xu�w��¥¢|Z�w�Nvysuvy����» ��z���v¬�N�¸|Ir � �wrwz suvy�Zr}|9��|9r��"s�tw� ��� � ���u�vyx�|Z�(� r}|I�w�y�¤s��­s�tw�'�<� s�tw�N��x��Nv¬x�z���x�xu����tw� �����/���§��� ��� �y�Z~�s�tw�`~w������|9�wv��yv�s´�4s�tw� ���u�4� � ��sutw� �tw� �w�uv¬xusuv¬z x ©�xu��z{t |9s£³¤t���vyx�su��³����px�[�t��p����vyx�suv¬zZ©f��r��=z����w�y�Ot���~b�hs���|9~w~��y���(�N�Nvy³�zp|9suvy�Zr�x � �sutw���(� sutw�N�wxh��vyx�z���x�x��p��t��p�u�����`twvyx¡z������¬��v�rM����������|9~w~w�u�¸¨Nvy�=|9suvyr��Os�tw�;tw� �w��vyxus�vyz;�M��|xu�w~b� � ¥¢|Z�w��v�s�v���� � �}���wr���|I����tw� �w��vyxus�vyz ���h�-� ���<�`�<��v¬�<vys§�Z�w��xu� �y�Z��x§su��|"��vyx�z �wx�xuv���r2� � s�tw�~w�u�M� � � � �'tw� ���u��� ¿�W À��xuvyr��hsutw�|9~w~w�u�¸¨Nvy�=|9suvy�Zr�x Í ¿�W À�Î`|9r�� Í ¿�W � Î{�

v���� r ) � _¶I�D Ï a Æ<z �Zr�xuv¬��� ��s�t�� � ��|Zxuv��w���¡su���w�s�tw�u���w��t ) ���ws�|9v�rw�p� �M�2x��Z�y�Mv�rw��s�tw���~�s�vy�(v�È�|9s�v���r�~w���Z�w�y�p� ��r�s�t��-xu�w��¥¦z��w�}��x �@G�D Ï K!FK -7ÆI©�|Ir���s�tw� r(|Z����vyr��|9r����N�p��� s�v�rw��p�����px­vyr2sutw�<�u�px����ysuvyrw�"���{|9~�t2su�"���ws{|Ivyr²|¡�������}|I� xu���y��s�v���r2��r�s�t��hxu� s )��<�`twv¬x � ��|Zxuv��w�y�xu�����ws�v���r�©��-twvyz{t]�`�7zp|9�y�¤s�tw�7zp|9rw��r�v¬zp|9�¤tw� �w��vyxus�vyz'IO©�t}|Zx�|�s���s�|9�¤�p�����¡�y� rw�Zs�t �N�pr���s��p��M� � � Í )¬D -"ÆpÎ{� � � Í )TD -"ÆpÎ)vyx§sutw�<xu��� � � sutw�<��� rw��s�twx � Í ) " �@GXÎ%D Ï K F�K -"Ƹ©[~w����x4|z����u���pz�s�v���r"su�p�����-twvyz{t�v¬x£�b�Z�wr����p���M� � � - Æ ¸ � �6�'tM�wx � � x�|9suv¬xu³w�px

� Í )ÎTK � � Í )TD - Æ ÎK & �§G�¨ � �

Í ) " �@GKÎVP�� � - Æ ¸ � W«�x3v�rnsutw��~���� �Mv�����x�xu��z�suvy��r[©b�`����� s3s�tw��rM�w���b� �3� � xu�w��¥¦z��w�b�px­�N�p~}�prw����r�s�tw��zp|9���Nv�¥

r}|I�yv�s´��� � )�©f�N�pr���s��p�n�M� � )¢� � �Z�§�w��� �Mv�s´���������h|9¿���s�twvyx§~w���pz�v¬xu��©[���ps ��º � � Í ÉfÎ3��� rw��s��| � �wr�z�suvy��r�� � É x��wz,t�s�t�|9s � Í ÉfÎ-|9r���É } � Í ÉfÎ'vyr�z��u�¸|9x����w~�s��=vyrw³�rwvys¢���4����z{t � �wrwz suvy�Zr�x ���� ³wr��4t��p����vyx�suv¬z x I º �WI Í ��Τt�|��Mv�rw�(���pr���s�t

� � � � �K )TD � )¢�� Í � )¢� Î L W

��~

Page 33: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�`tM��x(s�t��;tw� �w��vyxus�vyz I Í ��Î�x����P��v��Mv¬�N��xhs�tw�;�wr�vys=z��w�b�;v�rMsu� C � C� � C � C � xu�w�N¥¦z ���b�pxp� q � �`�;��� s-7Æ�º � C � C� � C � C � �¤� ���ws�|9v�r � ������sutw� rw��|9�3|Z����vysuvy�¯vys¢�7z���r���v�s�v���r Í ¿�� ÀZÎ� � Í )Î R � � � � � Í )Î'�@� ` Í É � Æ ¸ � � ½ Æ Î%W Í ¿�� <¯Î

�`tM��x sutw�-��� rw��sut � � � � � Í )Îfvyx �¬|9����� ��s�t}|Ir � Í )Î��M��|§®¯�}|IrMs�v�s´��-twvyz{t(v¬x ��� s�� ���<v�rwv¬xusuv¬zp|9���y�x��h|9�y�}z����(~�|9���p�<s���É � Æ ¸ � � ½ ÆqWN�'t��p�u� � �����3sutw�­|Zxu�N�<~ws���suv¬z-�b� t}|��¯vy���ª� � sutw�­x�zp|9���p�htw� �w�uv¬xus�vyz� � � � � Í \s� D'W�W�W�D \ �MÎ } É � Æ ¸ � � ½ Æ Í ¿�� Ï I¯Î

z���v�r�z�v¬�N��x'�-v�s�t�s�tw�|Zxu�N�<~wsu��s�vyz­�}�pt�|��Mv����-� �� Í \H� D'W�W�W�D \ �MÎ } É � Æ ¸ � � ½ Æ D Í ¿�� Ï�Ï Î

�£tw� ��� \ G�D^F d Ï Db|9�u�vX� vC� �[�'�{|Ir������ �9|9�uv�|9���y�px-�-v�s�t��9|9���w�px-vyr�s�t���wr�vys�z��w�b�s_ I#D Ï a Æ �¤¾²��£vy���fxu� ��xutw�Z��s���� Í xu� ���`tw� �����p��¿�� Ï I<�b� ���I�­Î¤s�t}|9s-s�tw�4�{|9suvy� Í ¿oW Ï�Ï Î'z���r¯��� �����px-z����(~��y� s�� ���su��|4~}��xuvysuvy����z���rwx�s�|9rMsª�£tw� rw� ��� �¤sutw���¬|���� �)\H� t�|Zx'|4z �ZrMs�v�rM�w���wxª~}|9��s � > � Í ¿w� <¯Î/v�s¤sutM��x� �������I�)x s�t}|Is Í ¿�W Ï I¯Î§|9�yxu��z �ZrM��� �����px4z����<~w��� s�� �y�nsu��|;z���r�xus�|9rMsp�"qCssutw� ��� � ���u� � �������I�)x �M�xus{|Ir���|9����|9�u�����<� rMs�x's�t}|9s-sutw���|9s�v��(� � Í ¿�W Ï I¯Îªs�� Í ¿�W Ï�Ï Î¤z���rM��� ���Z��x£z����(~��y� s�� ���=s�� Ï �6¾²�t}|p���`s�tM��x���¨Nsu� r����p�-� |9��~(|9rw�h�¯s�� � �y�@[ x��u�px����ys�su�§�Z�pr��p��|9�wxu�p®¯�w� r�z��px/� � �{|9rw����� �9|9��v¬|9�w���px º�����6�#���6( � �� � 47no"Lno"%.�g%*+&/47*�:�� � *+& ¦ ��<%�X47*+�v021�<>?@"%g���"%$)"%g-021²&'"-,/.�"%$U:%"%&� V<>gH021+1V¦�z I0>$Ukb021+1²*�t�*�t+k�t &'"-,/.�"%$U:%"%& \ GSD F d Ï D¬<�£g-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%&(We*547n 09:=<>$�47*+$�.�<>.�& �o0>g�4 ��47no"no"%.�g%*+&/47*�:�� � � � � *+&F¦ ��<%�X47*+�¢021 �

�§�j¨ � | � � � Í \s� D�W�W�W�D \ �MÎ

� Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ d Ï Pm¦ � © ËNW Í ¿�� Ï ~�Î

¾O� z �Zr�z��y���N�§s�tw� ��vyx�z���x�x�v���r7� � tw� �w��vyxus�vyzpx'�¯�=��� ��v � �Mv�rw��s�t�|9s£sutw�­� ¨M~b�pz su�p�7��¨N�pz��ws�v���rsuv¬�<� � ��� � � Í � � D�W�W�W�D � �MÎ�vyxh~b�����Mrw���(v¬|9���y�]�b�Z�wr����p�[�%�'t��;���p®¯�wv����p��z����<~w�wsuvyr��Os�vy�(��vyx�b�Z�wr����p�"�M�

�X�(º ��j½ � � � �§G ¨ � 8 Í 4 GXÎ=D

�£tw� ��� 4@G�º � � ) �@G " ) � � D�W�W�W�D � � + +�� D Ï K F K É } � Í É�Î,©­|9r����-tw� ���;8 Í 4�Îh��� rw��s��px�|�b�Z�wr��7��r7s�t��§s�vy�(�­r��p�p���p�¡s��<z����<~w�ws�� � Í )4Î%DQ� )v���Z4sW�qCs'vyx'�¤�p���¼¥C¿Mrw�I�£r"s�t�|9s'�`�§�h|��s�|9¿��98�s��Ot}|�����s�t�� � ����� 8 Í CPÎs� Ä C � ~ � © � ���=xu���<�;z���r�xus�|9rMs�x Ä |Ir��{±h�F�¯vyrwz �;s�tw�4@GSD Ï K F�K�É } � Í É�Î,©w|9�����wvyr����(v¬|9�P��|9r������8�9|9��v¬|9�w���px ©�xus���|9vy�ZtMs � ���u�£|9���=z�|I�¬z��w�¬|9s�v���r�x _ 5 5 axutw�I��sut}|9s

] �X�HKZ¿ Ä É Í � Í ÉfÎ�Î � ¸ � ��¨N~ Í � Í ÉfÎuÎ%W`-�I��z{tw�M��xu� � Í ÉfÎ �������ªÉ"s��z���rwz �������-sut}|9s6sutw�-��¨N~b�pz�s��p�<��¨N�pz��ws�v���r(suv¬�<� � ��� sutw�-tw� �w��vyx ¥suv¬z � ��vyx � Í ÉV������� � ¸ � ÉfÎ{©}|Zx-�N��xuv����p�[�

�@�

Page 34: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

� ��� �{�²�o� �Å��� �)����T��� ��� ���)�����s� �������·� � ��� ��`tw�4x�����¥¢|Z�w��v�s�v��Mv�s´�¡� � s�tw���)�N � �wrwz suvy�Zr}|9�[v¬x£rw��s£� rw���w��t"s��(��v����§�{|9su��x£� � z���rM��� �u��� r�z�����¯����¥¢|Z�w��v�s�v��Mv�s´�¡��rw���7�¯vy� �y�wx-��rw�4xuvy���p���pxus�vy�=|Is��px'�-tw� �u�¸|9x-��|9s��§���pxu�w��s�x-�u��®��wvy�u� s´�`�(xuvy���p��pxus�vy�=|Is��px �7�-�I�`� ��� � ©fxuvyr�z��hsutw�¡�3�N � �wr�z�s�v���r}|I�¤zp|9rO�}�¡�h|Z���hxu�w~b� � ¥¢|Z�w��v�s�v����=sutw���Z�w��t��xu�)� � sutw�3�}���wr���|I���h�3�N � �wr�z�s�v���r}|I�bsutwvyxª�-v��y�}�b�3�pr����w��ths���Mv�� �¬�(�{|9su��x6� � z���rM��� �u��� r�z�����¯vy�<vy�¬|9��(� s�t��N�wx�|9~w~��y� � �Z���sutw� �~w���Z�w�y�p�(x4vyr]» ��z��yvy����|9r z������wvyr�|9s����uv�|I�6��~wsuv¬�<v�ȸ|Is�v���r_ <�À a � «)�y��¨w|Ir���� � _ 5 a �Z�ws{|9v�r�x¡��|9s������pxu�w��s�x¡�-v�s�t����ws7s�t��n��xu�n� � �b���wr��w|9��� � ��r�z�s�v���r}|9�yx �À tw� �£_ÁÀr� a xutw�I�-xªsut}|9s6s�tw� � �����y�¸�-v�rw���|9s��px¤|I���)��~�s�vy�=|9���Zrhs�tw�)�wrwv�s¤x�®¯�}|9�u�3~����I�Mvy���p�(s�t�|9s] � Í�� � D'W�W�W�D � �MΪv¬x£��� ~w�¬|Zz��p�"�M�¡sutw�Â���vyx�x��ZrwvyÈ �p�7��� ��xuv���rH] � Í � � D�W�W�W�D � 0 � � � Î,������6�#���6( � �� � g-024S"%&`<�ÂF:=<>$�?@"%g���"%$U:%"`<�Â��^"-0>$�&� J<>g�021+1 �£� ~�D=��D'W�W�W � 47no"%g="¬*+&`0�:=<>$�&/4�0>$�4� &=.�:/ns47n#024

� ] � Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ R � Í �NÎ¦É � Æ ¸ � � ½ Æ ��K �­É � Æ ¸ � � ½ Æ WA ���B�- ¾²� �£vy����³w��xus£~w���I�Z�

� ] � Í�� � D�W�W�W�D � 0 � � � Î R � Í �N뢃 � Æ ¸ � � ½ Æ ��K �­É � Æ ¸ � � ½ Æ D Í ¿�� Ï �¯Î�£tw� ���¤�`�`|Z��t��p�u�¤s��3s�tw�`z �ZrM��� rMs�v���rsut}|9s?4 Í ÉfÎ[��� rw��su��x/|Ir�v�r���� ~b� r��N�pr¯s Â���vyx�xu��r�{|9rw������9|9�uv�|9���y�`�-v�s�t�~}|9��|Z�<�psu� ��É/� �`tw�'~w�u�M� � � � Í ¿�� Ï �¯Î[v�rM���������px/x�vy�<~w�y�¤�w�ws��wx�� � �w��xu�w�N¥¢|Z�w��v�s�v����su��z{twr�v¬®¯����x � ¾²�<x�� s � Í É�Î�� ] � Í�� � D'W�W�W�D � 0 � � � Î%W�qCs � �������I�)x � ����� su�{|9rwx��¬|9suvy��rnvyr¯�Z|I��v¬|9r�z���©tw���(���Z�pr��pv�s´��©�|9r���xu�w��¥¢|9�w��v�s�v��Mvys¢��©ws�t}|9s

� Í É - Æ ÎK -9¸ � & �§G�¨ �

� Í ÉfÎVP�� - Æ ¸ � � - Æ ¸ � � Í É�ÎJP ¤ - Æ ¸ � W�3vy�¯v¬��v�rw�(�¯� Í É - Æ Î � Æ ¸ � � ½ Æ �Mv��p�y�wx£s�t��4t����(�Z��� rwvyÈ �p�7�u� ��|9suvy�Zr

� Í É - Æ ÎÍ É - Æ Î � Æ ¸ � � ½ Æ K � Í ÉfÎ

É � Æ ¸ � � ½ Æ P�

É � Æ ¸ � � ½ Æ W

�`tw� �yvy�(v�s£� � s�tw� ��� � s-x�vy����|9xP-?su� r��wx£s��(v�rw³wr�vys¢�7��¨Nvyxus�x)|Ir����p®¯��|9�¬x � Í �NÎ,�ª�`tM��x� Í ÉfÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ R � Í �MÎ d R �

É � Æ ¸ � � ½ Æ���-xuvy�(~��y�

� Í ÉfÎ R � Í �NÎ¦É � Æ ¸ � � ½ Æ d R ��W Í ¿�� Ï ¿NÎ�¯� s�suvyr�� � � Í É�Χº ��] ��� Í � � D�W�W�W�D � 0 � � � Î�|9rw�n��¨N~w����v�s�v�rw�"sutw�<xu�w~b� �u¥¢|Z����vysuvy�¯vys¢��� � ��� v�r

sutw�¡x{|9�(�h�£|���s�t�|9s��¤�¡��¨N~��y��v�s��p�²sutw�7xu�w��¥¢|9�w��v�s�v��Mvys¢�O� � �©/�`�=���ws�|9vyr s�t��7z����<~}|9r�vy��r�pxus�vy�=|Is��­s�� Í ¿�� Ï ¿NΪ�£tw� ��� �`� �=|p�=rw�I����� s�� �NI�º

� � Í ÉfÎ R � Í �M뢃 � Æ ¸ � � ½ Æ KµI�W Í ¿�� Ï 5�Î

�r¿

Page 35: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

> �7z�����xu� rw�px�x Í ¿��P3�Ϊ� � ��|9r�� ����©}Áw�w��vyrwv [ x-s�tw� ���u�p�;©w|9r��"v�r���� ~b� r���� r�z���©w�`� t}|��Z�� � � Í ÉfÎ R � Í É�Î'��K ] 0 � ]�� ��� Í�� � D�W�W�W�D � 0 Î R ]�� � Í�� � D'W�W�W�D � 0 Î��

K ] 0 Í �G4 � Æ ¸ � � ½ Æ ÎK � Í É � Æ ¸ � � ½ Æ Î

�£tw� ���T] 0 |9r��Q]������ rw��s��'s�t��£� ¨M~b�pz s�|9s�v���r��£vysut<���pxu~b�pz�s�s��§sutw�£�{|Ir������ �9|9��v¬|9�w���px�4 |9rw�� ©I�u�px�~}��z�suvy��� �����.`)�I� Í ¿�� Ï �¯Î � ���y���I�-x � �u��� Í ¿�� Ï ¿NÎ:|9r�� Í ¿w� Ï 5�Î,��qCsf���p�h|9vyrwx�su���N� ¥¢Âf��v¬x�xu��rwv�È �Í ¿�� Ï �¯Îªsu�(���ws�|9v�r��'tw� ���u�p� ¿�� <��a`-��s�vyz�� �M�¡x��<�M��sutwrw�px�x's�t}|Is

� ] � Í � � D�W�W�W�D � 0 Î R ] � Í � � D�W�W�W�D � �MÎ'��K ��]`�.4 R É� � Æ ¸ � � ½ Æ K �§É � Æ ¸ � � ½ � Æ D|9rw��sutM��x­�-tw� r � d �=�`����|Zxuv��y�����ws�|9v�r²�`tw� �����p� ¿�� <N��Á������ � ~¡sutwvyx4xuvy�(~��y�<�<� s�tw�N����¯��x£rw�Zs£�`���u¿"|Ir���su�<���ws{|Ivyr��`tw� �����p� ¿�� <��`� r��p�p��xu�yv���tMsu�y�7�<���u�§�¤����¿ Í xu� �^_.<�À a Î,�

�'t�v¬x)z����<~w��� s��px'sutw� ~w���¯� � � � �'tw� ���u��� Í ¿�� <�Î,� �

� ��� �N� #�� � �o�e�����V�Å� �T�J�µ���T��� ����� �%���� ���e� � ��� �u[� s \ GSD F d Ï DI�}�£vX� vX� �[���{|9r��N��� �9|9�uv�|I�w�y�px/�£vysut��9|9�y����x�vyrO_ I#D Ï a Æ D � d ~N©�|Ir����y� s�8(��� rw��s��sutw�¡��� r�xuvys¢�2� � s�tw�"|I��xu���y��s�� �y�2z �ZrMs�v�rM�w���wx~}|9�us�� � sutw�=��|p� +�� �¬\s� ��qCr]sutw� vy��xu���<v�r}|9�~}|I~b� �p© > ��|9�����`�¯�N�[©���|9��s��Zr�©�|9r�����|9�h�<� ��xu�y� �¢_ < a �pxus{|9�w��vyx�t�����s�t�� � �����y�I�£vyr�� |Zxu�N�<~ws���suv¬z x� ���£sutw� �y� rw�Zs�t�� � s�t��xutw�Z��s��pxus£s��Z�w� � Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ,������6�#���6( � 7��� � 0>&=6r���X4�<247*�:/& Â�<>gQ47no" � ��� $U<>$���.�$�*¶Â�<>g%��&�0>���X1�"%&��V<>g�021+1��¢� ~�D-�#D�W�W�WW¬"�n#0>?@"

�yvy��q�F�� Í \s� D�W�W�W�D \ �MÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �MÎ�� I $ ��� � 8 Í CPÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��C ¤ W ¤ W Í ¿�� Ï 3¯Î

�'t��§�yvy�(v�s Í ¿�� Ï 3¯Î vyx'~����I���p�¡v�r"s¢�`��xus{|I���pxp� ¹ rw�­³w��xus'~w���I�Z��x Í ¿�� Ï 3¯Î��-tw� r"sutw� ��� r�xuv�s´�� � + vyx |=xus�� ~ � ��r�z�s�v���rn� � sutw� � ����� � & �G ¨ � �BG Ï� �� D � GTGOÅxwD²�-t��p�u� �@GSD Ï K F K^- Æ Dbvyx|7~�|9��suvysuvy��r2� � _ I#D Ï a Æ v�rMsu��xu�w��¥¦z��w�}��x � � ���N���<�y� rw��sut - ¸ � �=�'t��pr Í ¿w� Ï 3�Î3vyx4���p����z��p�2�M�|9~�~w���¸¨Mv¬�h|9s�v�rw����� rw� �{|I�w��� r�xuv�s�v���x/�M��xus�� ~<��� r�xuv�s�v��pxp���`tw� ���-|9���£xu�p�Z�p��|9�M�£|��Nx�s�� zp|9���u��Z�wssutwv¬x6~w�u�����{|9�;�/�'tw�)��|Zxuvy�pxus¤|9�����w�(� rMs�x�_ �wÏ a ©V_ � 5 a �h|9¿��)z��y� ��� �6��xu�)� � s�tw�3�(�Zrw��s��Zrwv¬z�v�s´��� ��4©��w�ws6xu��z{th|9�����w�(� rMs�x |9���£r���s ��|Zxuv��y����� rw� ��|9�yv�È �p��s�� su����|9s���s�t��p�6» ��z���v¬�N�¸|Ir � ��r�z�s�v���r}|9�yx �¾O�'rw�I�Ä���ws���v�rw�)|�xuv¬�<~w���-|9~w~����¯|Zz{t�s�� Í ¿�� Ï 3¯Î��£twv¬z{t�vyx��Z�pr��p��|9�M�pr����w��t�su� ��� �yv���� � |Zxu�N�(~N¥su��s�vyz x � �Z� |3�-vy���£�9|9�uvy� s¢�4� � ~w�u���w�����(x�vyr<z������wv�r}|9su����v¬|9�M��~�s�vy�(v�È�|9s�v���r�|9r���z����<~w�ws�|9s�v���r}|9���� ���<� s��u�"|9r����-twvyz{t�t�|Zx)s�tw�~}��s�� rMsuv�|9��su�¡���px�z���v��b��|Zxu�N�<~ws���suv¬z x � �Z�3tw� �w�uv¬xusuv¬z x�|Zx)�¤�p���X��`tw��|9~w~����¯|Zz{t��Mv��p�y�wx)zZ�ÇzZ�`|Zxu�N�<~ws��Zs�vyzpx-|9r���v�s3zp|9r��b���¨Ns�� r����p�"s��(s��u�¸|Is)sutw�z�|9x�� �£tw� rsutw�4�{|Ir������ �9|9�uv�|9���y�px \ GSD^F d Ï Dwt}|p���4�wrM�}���wr����p��xu�w~w~b�Z��s Í À tw� �H_cÀ Ï a Î,�'�`tw���<� s�tw�M�wxtw� �u�|9�u� ~}|9�us-� � s�t�� �´��������� �y�¬|<|I~w~w����|Zz{t �<���px�z��uvy�b�p�"vyr���� s{|9v���v�r _.<�À a �

�'t���~w�u�M� � � � Í ¿�� Ï 3¯Î��N�p~}�prw�wxh�w~b��r�s´�¤�O����xu� ���9|9suvy��rwx(�-twvyz{t��Z����|9s����Äxuv¬�<~w��v � �]s�tw�|9r�|9�y�Mx�vyx �`�`tw�4³w��xus)v¬x£s�t}|9s-�M� ³¤�Z��������|I���^¿��c��©wv�s-v¬x-� rw���w��t�s��hxutw�I��s�t}|9s Í ¿�� Ï 3¯Î¤tw�Z�¬�wx-v�r��¨N~b�pz�s{|Is�v���r�©�vX� ����s��hxutw�I�

�yvy��j�x�] � Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ

É � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �MÎ��� I $ ��� � 8 Í CPÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��CVW Í ¿�� Ï À�Î

�05

Page 36: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�`tw���yvy�(v�s Í ¿w� Ï ÀZÎ�v¬x'|�xus{|Is��p�(� rMs`|9�b�Z�ws£|�xu�p®¯�w� r�z���� � x�z�|I��|9��x'|9rw�[©Nv�r7~���v�r�z�vy~w����©Nvyx`��|Zxuvy� �su�(~����I���§s�t}|Ir�s�tw� ��v¬�<v�s Í ¿�� Ï 3¯Î{�

�'t���x��pz���r��(����xu� ���9|9suvy��rhvyxªs�t�|9s¤v�r=s�tw�3~����pxu�prwz �)� � x��(�¯��s�twr���x�x6� � �©¯vysªvyxª�pr����w��ths���pxus{|9���yvyxut Í ¿�� Ï À�Î � ���'|xu~b�pz�v�|I�:z��¬|Zx�xª� � �Nv¬xus��uvy���ws�v���r�x¤�-t�v¬z{t¡�¤��z�|I�y� p�1�<q:��@"-k-��vyxus��uvy�w��s�v���r�x ��`tw�px��­|I������vyxus���v��w�wsuvy�Zr�x +���r _ I#D Ï a Æ£�£vysut=s�tw� � ����� � Í CPÎ ��C�P(+ � ©¯�-tw� ��� � Í CPÎ�vyx'|xuv¬�<~w���rw�Zr�¥Crw� �¯|9suvy��� � �wr�z�s�v���r�� � s�t�� � ����� � & �G�¨ � � G Ï �� ©Z�-tw� �u�'sutw�£�<��|Zxu�w��� + � vyx/~w�w�u�p���x�v�rw������|9�|9rw� �@GSDRF d Ï ©�|I���­sutw�§�wx���|9�[x�����¥¦z��w�b�px ��O;�����­~����pz�v¬xu� �y��©M�`�­t}|p���­s�t�� � �������I�-v�rw���y�p�(�=|�£twv¬z{t�vyx-���w� s��¡�¯s�� � �y�^_ � � a � �6(+( & � �)� � .>���o<>&'"Ã47n#024XÂ�<>g�"%?@"%g%6¢&'"-,/.�"%$U:%"£<�Â�*�t�*�t+k�t g-0>$Uk�<>��?20>g/*�0�p�1�"%& \ GSD F d Ï Dk>*+&/47g%*�p%.o4S"-k�We*547n 0Hp�1�<q:��@"-k^k>*+&/47g%*�p%.o47*�<>$ +Oº � � Í CPÎ ��CQP + � W¬"�n#0>?@" 47n#024

�yvy��j�x�] � Í \H� D�W�W�W�D \ �NÎ

É � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �MÎ � I $ ��� � 8 Í CbÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��CVW Í ¿�� Ï�� Î

�O" 47no"%$bn#0>?@" 47n#024��v¬��q�F�

] � Í � � D'W�W�W�D ���MÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �NÎ � I $ ��� � 8 Í CbÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��C Í ¿�� Ï <¯Î

Weno"%g=" �#GSD F d Ï �F0>g%"Ã*�t�*�t+k�tÃg-0>$Uk�<>�­?20>g%*�0�p�1�"%&!Wen#<>&'"Q1�07Wµn#0>&£0>$ 0�p%&�<213.o4S"�136 :=<>$�47*+$�.�<>.�&�o0>g�4 �r*+?@"%$ p%6L8 Í CPÎ ��C t

A ���B�- «�x�xu���<�(sut}|9s§s�tw�h�Nv¬xus��uvy���ws�v���rO� � �·t�|Zx§s�tw� � �Z��� +�º ��8 Í CbÎ ��CvP + � ©�£tw� ����+ � vyx'xuvyrw�Z�w��|I�p�6Áw�Z�-|I�y�)¦FzZI��¤�§�h|��<³wr��"|����y�Nz{¿��p�7|I~w~w����¨Nv¬�h|9suvy��r=su� +

�� � s�tw�

� ����� + �%º � � Í CbÎVP + � ©w�£tw� ��� �nº � � ¹ |9~w~w�u�¸¨Nvy�=|Is��px 8;vyr�sutw��¡� x�� r�xu��º

�� I $ ��� � � � Í CPÎ R 8 Í CPÎ'� ��C © ¦�W

> ��x�s�|9r���|I����z����w~��yv�rw�"|9�u�����<� rMs�x)sutw� ����v¬x­|;Q �ZvyrMs��Nv¬xus��uvy���ws�v���r � ����sutw��~}|9v���� � �{|9rw������9|9�uv�|9���y�px Í \ D �<Τx��wz,t"s�t}|9s¬|e_ \ [� � a KN~2¦p�6�`tM��x£v�s � �����y�¸�)x£sut}|9s

� ] � Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ R ] � Í � � D�W�W�W�D ���MÎ'��K ��]`� ) F`K�É º \ G [� �#G +�� � Æ ¸ � � ½ ÆK � Í ¦�É�Î � Æ ¸ � � ½ Æ W

�`tM��x ©w�¯� Í ¿�� Ï�� Ϊ�¤� ����s{|9v�r

�yvy��q�F� ����] � Í � � D�W�W�W�D �o�NÎ

É � Æ ¸ � � ½ Æ R � Í �MÎ��� I $ ��� � � Í CbÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��C ���� K � Í ¦ � Æ ¸ � � ½ Æ Î%W Í ¿��3~2I¯Î

Á����)|9��� � D � d I��`� t�|����� � � Æ ¸ � � ½ Æ R � � Æ ¸ � � ½ Æ ��K � � R �@� � Æ ¸ � � ½ Æ

|9rw�"s�tw� �u� � �Z���§�M�¡sutw��¡ � |9~w~w�u�¸¨Nvy�=|9suvy�Zr���� � 8 Í CPÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��C R � � Í CbÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��C ���� K � �Á8 Í CPÎ R � Í CPÎ'� � Æ ¸ � � ½ Æ ��C Í ¿��3~ Ï Î

Kµ¦ � Æ ¸ � � ½ Æ W Í ¿��3~@~�Î

� 3

Page 37: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

³ª������vyrwv�rw� Í ¿��3~2I¯Î`|9rw� Í ¿��3~ Ï Î`|Ir��"���psus�v�rw�¢¦£s�� r��"su�(È � ���<��v����px Í ¿w� Ï <�Î`|Zx-���pxuv����p�[� �

¾O��|9�u�"rw�I�5����|Z��� s��2~w�u�I���;�'tw� ���u�p��¿�� Ï I�� > �]sutw��|9�b�I���"���p�h�h|�© s�tw��~w�u�M� � � ��`tw� �����p� ¿�� Ï I�vyx�u�p����z��p�²su��xutw�I�£vyr�� Í ¿w� Ï�� Î,� > �Oxuvy�(~��y�=x��<�M��s�t�rw�px�x|9�u�����<�pr¯s�x vysv�s� rw������t�s��(xutw�I�

��v¬��q�F�] � Í \s� D�W�W�W�D \ 0 � � � ÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ � � Í �MÎ��� I $ ��� � � Í CbÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��CVD Í ¿��3~2�¯Î

�£tw� ��� 4 Í ÉfÎ3v¬x4|�Âf��v¬x�xu��r��{|Ir������?�9|9�uv�|I�w�y���-v�s�t2~}|9��|Z�(� su�p��É��(Áw��� xuv¬�<~w��v¬z�v�s´���`���-v��y�|Zx�xu���<��+ � �NI��

`)�Zs�vyz ��sut}|9s¢� ) F�K 4 Í ÉfΧº �#GxG � � +�� D Ï K�-9K -"Ƹ©[v¬x |7Â���vyx�xu��rn�{|9rw����� �9|9�uv�|I�w�y�4 Í É � � - ¸ Æ Î,�xu[� s � GSD^F d Ï ©}�}�vC� vC� �[�'�wr�v � ����� �{|9rw����� �9|9��v¬|9�w���px)�£vysut��9|9���w�px)v�rÅ_¶I�D Ï a Ƹ�> �=��� ���(� su��vyz§xu�w��¥¢|9�w��v�s�v��Mvys¢�"|9r���x�zp|9�yv�rw�<�`� t}|p���] � Í \H� D'W�W�W�D \ 0 � � � ÎTK -9¸ � & �§

� ¨ �] � Í ) � G + 0 � ��� � & � � �G�¨ � ÎVP ��- Æ ¸ � W

> �7�'tw� ���u���°¿�� Ï vys � �����y�I�-x's�t}|Is

��v¬��xu�w~�q�F�] � Í \H� D�W�W�W�D \ 0 � � � ÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ K

& �§� ¨ �

��vy��xu�w~�q�F� � ] � Í�� � D'W�W�W�D � 0 � ��� � & � � � ÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ � � Æ ¸ � � ½ Æ

� - ¸ � Æ ¸ � � � � � Æ ¸ � � ½ Æ� -9¸ Æ �

� � Í �NÎ � I $ ��� � � Í CPÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��C)W�¯vy�(v��¬|9������©��M�¡��� ���<� s��uv¬z­xu�w~b� �u¥¢|Z����vysuvy�¯vys¢��|9rw�"�M�su[�p�h�h|�¿��¶¿<�`�4xu� � s�t}|Is

��v¬��v�r ��q�F�] ��� Í \H� D'W�W�W�D \ 0 � � � ÎÉ � Æ ¸ � � ½ Æ d � Í �NÎ�� I $ ��� � � Í CbÎ � Æ ¸ � � ½ Æ ��C

|9rw�"s�tw�4���pxuv����p�"��v¬�<vys Í ¿��3~2�¯Î � �����y�¸�)x£xuvyrwz ��� d ���6�� ��� ��������������� ��� �Z���������J����� �V�o����� � �������#�¯�pz�s�v���r�¿��3~3���px�z���v��b�p��tw�I�]s�tw�£�3�MÂ���� �Mv¬|9s��px � �u����v�s�x�|��Z�p��|9���ª�9|9�y�����/�'tw�'z���r�z�� rMsu�{|9suvy��r�pxus�vy�=|Is��px[� � �'t��p�Z���p� ¿��3~-|9�u�ª�Z�pr��p��|9�¯|9r��|9~w~w���§s�� � ��r�z�s�v���r}|9�yx��-t�v¬z{t�|9���6tw���<����� rw� ���wxp©su�{|9r�xu�¬|9s�v���r v�rM�9|9�uv�|9r¯sp© |9r��]x��(�¯��s�t���qCr]s�tw�7zp|Zxu�=� � s�tw�"�)�NÂ�©ftw�I�¤�p�Z�p� ©/s�t��7��� �Mv¬|9s�v���r�pxus�vy�=|Is��px¡� � �`tw� �����p� ¿w� ~Ä|9��� � |9� � �u��� ��~wsuv¬�h|9�X��qCr�s�t�v¬x�xu��z�suvy��r%�`���£vy���4xu� �2s�t�|9s��|9�¬|9����|9r��)[ x _ � � a ©�_ � < a �N�p� ~7v¬xu��~b� �uv¬�<� s���vyz­�<� s�tw�N��x � ���`~w���N�N��z�s-x�~�|Zz���x`�Mv�� �¬�wx'v¬�<~w�u�I���p�s�|9vy�:�pxus�vy�=|Is��px � ���'sutw��)�NÂ��w�'tw�pxu�§�px�suv¬�h|9su��x¤���pxu�����w���­s�t�� s{|Ivy�:�pxus�vy�=|9su�px`� � |�x�s�|9r���|I���rw�Z���h|9�¯��|9r��������9|9�uv�|9���y�'|9r���xu�w�����pxus�sut}|9s�~b� �ut}|9~�x�s�t��-�)�NÂ�v¬x/|Zxu�N�<~ws���suv¬zp|9�����§rw�����h|9���y���vyxus��uvy�w��s��p�[�=q¦xu��~b� ��vy�<�psu��vyz<�(� s�t��N�wx§t}|�����s�tw�(~b��su� rMs�v¬|9��s��;���px�z��uvy�b�<s�tw�h��� �Mv¬|9s�v���r�x§� �tw� �w�uv¬xusuv¬z x)|Zx£�¤� �y�X�

��|9�¬|9����|9r��)[ x`vyx��Z~b� ��vy�(� s��uv¬z3s�tw� ���u�hvyx£xu�w��xus{|9r¯s�v¬|9��|9rw�7t}|Zx`t}|Z�"|�~���� � ����r��¡v¬�<~}|Zz�s`v�rsutw�£~w���Z�}|9�wv��yv�s´�s�tw� ���u�� � �{|9rw����� ����|9~wt�x ���'twvyx xu�pz suvy�Zr<v��y����xus���|9s��px�tw�I�Ä��rw�£~wv��pz �'� � ��|I¥�¬|9����|9r��)[ x s�tw� ���u���=|p���}�)��xu�p�(su��xus��w����sutw�)s�|9vy���}�pt�|��Mv����6� � sutw���)�NÂ�� ¹ ���ª~����pxu�pr¯s{|9suvy��r

��
Page 38: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

vyx �<��s�v��9|9s��p���M��sutw�<³wr��<��¨N~b��xuv�s�v���r�� � �¯s�� � �y�O_ � 5 a �b`�|9su�w�{|I�y����©��`���£vy����rw�Zs§~w���pxu� rMs4|9���sutw�4s��pz{twrwvyzp|9�f|Zxu~b�pz�s�x-� � s�t��4s�tw� ���u��|Ir������ � � �-sutw��u��|Z��� �-su��_ � 5 a |9rw� _ � � a�� ���)z ���(~w��� s����� s�|9vy�yx �

����xus����N��s�t��hs�|9vy�6�b� t}|p�Mvy�Z�4� � � Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ,©f�-t��p�u� � GSD F d Ï Df|9���(vX� vC� �[�¡�-v�s�tOs�tw��wr�v � ����� ��vyxus���v��w�wsuvy�Zr]��r s�t��¡��rwvys�z ���b� _ I#D Ï a Ƹ©/v�s�vyx���xu� � �w�ªs����¯vy� � �5|Zx�| � �wr�z�s�v���r}|I���� ³wr����h��r¡s�t��­rN¥ � ���¬�h~w���N�N��z�s'xu~}|Zz�� µ � º � Í _¶I#D Ï a Æ Î � ��¾²�§|Z���Z~ws¤s�twvyx`~b�ZvyrMs¤� � �Mvy� �%|9rw��£vy��� sutM��x z���r�xuvy��� � vyx��Z~b� ��vy�(� s��uv¬z��<� s�tw�M�wx­��r2sutw�<~w���N�N��z�sxu~}|9z �hµ � ©��£tw� ���<s�tw��s��uvy~w���Í µ�D ] D H Î�v¬x�|"~������}|I�wvy��v�s´�2xu~}|9z ���7�`tw� � ���y���I�£vyrw���Nv¬x�z���x�xuvy��r²�=|I¿��px r�����xu�(� � s�tw� � |Zz�ssut}|9s)µ�vyx£sutw�§�wrwv�s)z��w�b�4|9r��¡vyr��N�p�p�[©�s�t�� �9|9���w�§� � vyxu��~b� ��vy�(� su��vyz�s�tw� ���u�=��vy�px'~w���pz�v¬xu� ���=v�rsutw� � |Zz�s£sut}|9s Í µ�D ] D�|�Î)z�|Ir��b��|9r¯�"|I��xus��{|9z s£~������}|I�wvy��v�s´�7xu~}|Zz����

v���� r Ä � µ � ©Z��|9�¬|9���{|Ir��)[ xfv¬xu��~b� �uv¬�<� s���vyz6s�tw� ���u� ~w�u�I�Mvy���px��pxus�vy�=|9su�px�� � sutw�'�<��|Zxu�w���� � sutw�§xu� s`� � ~b��v�rMs�x`v�r;µ � �-t�v¬z{t"|9�����-v�s�t�vyr�|�xu~b�pz v�³w�p�7��vyxus{|9r�z��­� � Ä � �'t��p�u� |9�u�§�=|IrM��'|��Nx3s��"��� ³wr��(|¡��v¬xus�|9r�z����ZrOµ � |Ir��n~b� �ut}|9~�x­sutw�<xuvy�(~��y�pxus­vyx­sutw�(�3|Z�(�(v�rw�7��vyxus{|9rwz �� � Í CVD�EwÎ'º � � ) Ï K FK�É ] C�G [�µE�G +�� �¤�`tw���3|Z�h�<v�rw�(��vyxus{|9rwz � � ����� |�~b�ZvyrMs COG�µ � su�=|xu� s Ä � µ � v¬x£��v���� r��M�

� � Í CVD Ä Î¤º �Ìv�r �� ����§G�¨ � ��� � ���¨ � ��� W

À tw� �@[Çx§vyx��Z~b� ��vy�(� s��uv¬z�v�rw�p®¯�}|9��v�s´� Í ¿��¶¿NÎ3v¬x4|Zz�s��}|9�����n�}|9x��p����r²|�xuvy�(~w���<v¬xu��~}�p�uv¬�<� s��uv¬z�v�r�¥�p®¯�}|I�yv�s´�=v�rM�������Mv�rw�(s�t����3|Z�(�(v�rw�<��vyxus{|9r�z�� � �3�

��|9�¬|9����|9r��;_ � � a x�t��I�)x � �Z�)� ��� �u� MbzµIh|9rw���p�Z�p�u�7~������}|I�wvy��v�s´�"�<�¸|9x�������|]��r�µ%s�t�|9ssutw���|Z�(�(v�rw�<��vyxus{|9rwz �4x�|9suv¬xu³w�px£sutw� � �����y�I�£vyr��(��¨N~}��rw� rMs�v¬|9�[vyr¯s�� ���{|I�wvy��v�s´�¡z���r���v�s�v���r�º

�� ���¨N~ Í M�� � Í CVD Ä ÎuÎ �2| � K Ï

| � _ ÄFa ��¨N~ Í R ÉVM � } ¿NÎ=W Í ¿��3~>¿NξO�4�-v��y��xu� �4xutw����su�y�=tw�I�Fsu�(��xu�4sutwv¬x-x��Z��s£� � z���r��Nvysuvy��r�s��(��� ��v����4z �Zr�z��pr¯s��{|Is�v���r"��xusuv�¥

�h|9s��px � ����sutw�`�)�NÂ��¸��|9�¬|9����|9r��)[ x��<� s�tw�M� � � ~w���M� � |Zz�s��}|9����� |9~w~w��v���x�s���|9����� � s�tw�¤�3|Z�h�<v�rw��<� s���vyz x

� Í CVD�EwÎ'º ��§G�¨ �

� G � � � ���¨ � ��� D � � Í �#� D�W�W�W�D � �NÎTG Í Å w Î � D

~w�u�I�Mvy���p�(s�t}|Isªs�tw� � |Zz�s��Z�ª� � É�vyrhs�tw�)��¨N~b��rw� rMsª� � Í ¿��3~>¿NÎ�vyxª��� ~w�¬|Zz����(�¯� � � � � �G�¨ � � �G �¾O� �y� s � Í C)D Ä Î ��vyr � � ����� Í C)D�E�Î=W> �hz���r�xuv¬�N�p�uvyr��(|�xusuvy���:��v�´P� ��� rMs'|9r��¡xu�yv���tMsu�y�h�(�Z����z����<~w�yvyzp|9s��p�=�<�psutw�N� � �Z�`�(��|Zxu�w� ¥v�rw�(��vyx�s�|9r�z�� �¤�§�-v��y�[�b�|9�w��� su�<v¬�<~w���¸���­�w~b�Zr;sutw� vyxu��~b� ��vy�(� su��vyz­vyrw�p®¯��|9�yv�s´� Í ¿��Á¿MΪ�£tw� rsutw� � ��r�z�s�v���r}|9��¡�vyx�s�t��)�)�NÂ�����|I��|9�Z�{|9r��U[Çx`:=<>$�?@"BA n�.o1+1�:=<>$�47g-<21p��v¬xus�|9r�z��£�Z�6xuvy�(~w���s:=<>$�?@"BA��vyxus{|9rwz �§v¬x£��vy�Z�pr"�M�

� � Í CVD Ä Î¤º �8xu�w~C C ¨ � � Í C)D Ä Î%W�`tw�ªz �ZrM����¨§��v¬xus�|9r�z��6�wrwv � �����<�y�­z �ZrMs��u���¬x[s�tw�¤�3|Z�h�<v�rw�)�<� s���vyz x � Dx� � ��� Ï �/�`tw�6~w���pxu� rMs��� ³wr�vysuvy��r=� � � � ©M�-twv����­sutw�­xuvy�(~��y�pxus � ���¤���w�¤~��w��~b��x��px ©�xu���<� �-t}|Isª����x�z��w���pxªvys�x`z���rM����¨Nv�s´�~w�u��~b� ��suvy�px �

�'t��p�u� v¬x)|<xu�pz���r��7�£|��=su� � �Z�����w��|Is��­s�tw�4��� ³wrwv�s�v���r�� � � � º� � Í CVD Ä Î'º � �(v�r��y`º � ) � G + �E^G Ä xu��z{t�sut}|9s

�§G�¨ �

� G ��� � � �¨ � ��� KZy Í�§G�¨ �

� �G Î � ½ ��� W

� �

Page 39: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

qCs6vyxªxusu�{|9v���tMs � �����'|9����s��xu� �-s�t}|9s6sutw�px��-s¢�`�4��� ³wrwv�s�v���r�x6� � � � |9���£�p®¯�wv��Z|I�y� rMs � `)��suv¬z��-s�t�|9s�M�=�y� s�suvyr�� � GJ��É ¸ � ½ � � �Z�)|9�y� Ï K FK�É��`�4xu� � s�t}|9s � � Í CVD Ä Îªv¬x3|I�y�'|��Nx-|9s£�y��|Zxus3|9x-�¬|9�u���|Zx'É ¸ � ½ � � � Í CVD Ä Î,��'t��Oz���r¯����¨���vyxus{|9r�z���x{|Is�vyx�³���x"|9r%��¨N~b�Zrw� rMs�v¬|9�§x�®¯�}|I����v�rMsu�p�Z�{|9�wv���vys¢��z���rw��vysuvy�Zr�©­|Zx

���px�z���v��b�p�]�M�Os�tw�7r�� ¨Ms�sutw� �����p��©6|9�¬xu�������7s��O��|I��|9�Z�{|9r��ª_ � � a �²�'tw�7~w�u�M� � _ � � a � � s�twvyxsutw� �����p�8��xu��x'v�r����wz suvy�Zr��Zr"É2|9r��¡�-twv���� v�s£vyx£xu�w��~w�uv¬xuv�rw�����¡x�t�����s ©��¤�§�£vy���[rw�Zs£�u�p~����N���wz �v�s-tw� �u��� `-��s�vyz�� s�t}|9s£sutwvyx-vyr¯s�� ���{|I�wvy��v�s´�¡z���r���v�s�v���r�vyx£vyr���� rw� �{|9�[x�su����r���� �£s�t}|9r Í ¿��3~>¿NÎ{������6�#���6( � 7��� J<>g£"%?@"%g%6�&'"�4 Ä � µ � W¬"�n#0>?@"

�� ���¨N~ K Ï¿ � �� Í C)D Ä Î L �r| � Í CbÎTK Ï

| � _ ÄFa W

qCs � �����y�I�-x��M� s�tw�"��� rw� �{|I�yv�È ��� ³ªtw� �M�Nxutw� � v�rw�p®¯�}|9��vys¢� Í Ï � ~�Î4�-v�s�t{8 Í CP΢� ��¨N~ Í �_ C��,Îsut}|9s

| � _ � � Í CVD Ä ÎTz�y a K � ¸ � º ½ _| � _ Ä`a W Í ¿��3~ 5�Î

�'t�v¬x'v¬x-|9r;|9��xus���|Zz�s-|9r��7��� rw� �{|I���N�p�¯v�|9suvy�Zr"�b����r�� � ���'s�tw� z���rM����¨¡��vyxus{|9r�z����6qCs£vyx � |9�� �u���0�Z�M�Mv�����x�s�t}|9s�s�twvyxf��� rw� �{|9���}���wr��t}|Zxf�u� �y� �9|9r�z��ªsu�3s�tw�¤s�|9vy���b� t}|��Mv����f� � sutw�`�3�NÂ��p¾²��£vy����rw�I�Fxu� �4x�t�����su�y�¡tw�I��s��(~w��s)sutwvyx-s��(�Z�M�N�"��xu����¾²� ³w��xus-r��p�p�"��rw� s��pz{twrwvyzp|9�[�y�p�(�=|�£twv¬z{t�tw� �y~wx���x­z����<~}|9�u�s�tw���}�pt�|��Mv������ � � ��r C2º � )rC � D�W�W�W�D-C�� +=|9r��OEnº � )jE � D�W�W�W�D�E>� +M�Á����-��� s{|9v��yx)z���rwz � �urwvyr��(sutw� ~w���¯� � xu�p���¯s�� � ���H_ � 5 a � �6(+( & � � �Vno"%g=" *+&Ã0�$U<>$���$)"���0247*+?@" W¬"%*��rn�4�Â-.�$U:�47*�<>$ � Í CbÎ�� Í �o� Í CbÎ%D�W�W�W�D � � Í CPÎuÎ�&=.�:/n47n#024�Â�<>g�021+1�C;º �^)rC � D�W�W�W�D-C#� +b0>$Uk Ev�^)jE � D�W�W�W�D�E>� + 47no" � ��� Â-.�$U:�47*�<>$U021�&�0247*+& !T"%&

� Í C � D�W�W�W�D-C��NÎTK � Í E � D�W�W�W�D�E>�MÎVP�§G�¨ �

� G Í CbÎ � � � ���¨ � ��� D Í ¿��3~ 3¯Î

Weno"%g=" � Í CbÎ � K � � .�$�*¶Â�<>g/�L136�*+$sC t³¤�����wv�rwv�rw��sutw�;|I�b�I���¡�y�p�(�=|�|9r�� �`tw� �����p� ¿�� Ï ~��¤�"zp|9rÄrw�¸�5x�t��I��sut}|9s �����¯��x

rw�Zs7��� �Mv¬|9s��n����z{t � �u��� v�s�x¡�<���Nv�|9r[�0¾O�n���pzp|9�y�3sut}|9s � GSD F d Ï D'|9�u��vX� vX�Ç�:� �{|9rw������9|9�uv�|9���y�px<�-v�s�t�s�t��;�wrwv � ����� ��vyxus��uvy�w��s�v���r���r�_¶I�D Ï a Æ ��¾²�����ps�� �2��� rw��s���|2�<���Nv�|9r � �� Í � � D�W�W�W�D � �MÎ3|9r��n�`� � �����y�I� �¯s�� � �y� _ � 5 a z��y��xu� ������'t���rw��¨Ns xus�|9s��p�<�pr¯sp©P�-twvyz{t�vy�(~����I���px�w~}��r(s�t��-�=|9�us�v�rw�¯|9���'��xusuv¬�h|9s��px/� � _cÀq¿ a |9r��b_ÁÀ 5 a ©�xutw�¸�)x sut}|9s � Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ R ���§��¨Ntwv��wv�s�xxu�w��¥ |9��x�xuv�|9r²s�|9vy�6�b� t}|p�Mvy�Z�p��Á���� � � ~�|9r�� y­v�r sutw�=��|9rw���¢I K yLK �­É � ½ � ©fs�twvyxs�|9v���b� t}|p�Mvy�Z�£v¬x-xut}|9�u~m_43 < a ����#������ &���1 � 7��� � :=<>$U:%"%$�47g=0247*�<>$�Â�<>gÃ47no" � ��� ;�O"�n#0>?@"

| _�� � Í � � D�W�W�W�D � �MÎ R � ��� d y a K{¿ � ¨M~ Í R y � } ¿ � � Î%W

� <

Page 40: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

A ���B�- Áw�������I�-v�rw���¯su� �p���Q_ � 5 a ©��`�-��xu�3�'tw� ���u�p� ¿�� Ï ~ � ���6sutw�-~}|9�{|9�(� s�� �uvyÈ �p� � |Z��¥v��y�=� � xu� s�x

Ä Í � Τº � ) )jE � DBE � D�W�W�W�DBE>� +�º � Í E � D�W�W�W�D�E>�MÎTK ��+�W¾O� ¿Mrw�I���M�=vyrw�p®¯��|9�yv�s´� Í ¿��3~ 3¯Î � ���)|I�y�9)rC � D-C � D�W�W�W�D-C#� +�|9r���)jE � D�E � D'W�W�W�D�E>�J+s�t�|9s

� Í )rC � D�W�W�W�D-C#� +�ÎK � Í )jE � D�W�W�W�DBE>� +�ÎVP �§G�¨ �

� G � � � ���¨ � ��� WO;vyr�v¬�<vyÈ v�rw�<�I��� �¬EHG Ä Í � Τ�Zvy���px

� Í C � D-C � D�W�W�W�D-C#�MÎTK �eP �(v�r� ��� � �

�§G�¨ �

� G Í CbÎ � � � � �¨ � ���� �eP �<v�r� ��� � �

� � �§G�¨ �

Í � G Í CbÎ } � � Î�� � � ���¨ � ���K �eP���� � Í CVD Ä Í � ÎuÎ

�M�3s�tw�6�N�p³�rwvysuvy�Zr4� � � � Í CVD Ä Í � Î�ÎP|9r��§�M�3tM�M~b��sutw�pxuv¬x Í ¿�� Ï �¯Î{��¾O�6�Z�ws{|9v�r � �Z�JCH� ) � � D � � D�W�W�W�D � � +sut}|9s � � Í CVD Ä Í � Î�Î d � ¸ � Í � Í � � D � � D'W�W�W�D � �¯Î R � Î%W> �"�`tw� �����p� ¿�� Ï ~��`�§t}|����| � _ � � Í C)D Ä Í ��Î�ÎTz�y a K Ï

| � _ Ä Í ��Î a ��¨N~ Í R y � } ¿NÎ=D

|9rw�"s�tw� �u� � �Z���§v � �`� �£��v�s������(º � � Í�� � D'W�W�W�D � �¯Î¤sutw� r| � _ ��� d �eP���y a K Ï

| � _ Ä Í � Î a ��¨N~ Í R y � } ¿NÎ%W

�`tM��x ©w��� s�suvyrw� � � ��y,©w�¤� t}|p���| � _ ����K � a | � _ �X� d �eP � a K���¨N~ Í R � � } ¿ � � Î

|9rw���M����� s�s�v�rw����� � �¡|9r��;s�tw� r ��� � R É R � �¤��z����<~w�y� su�s�tw��~w�u�M� � � � ³ª�����Z�y�¬|9���¿�� Ï ¿��

� ��� � ���#� ����{�e���������)�·�������� ���s��J��� ��� ��# � �����X�������� ���� 0 � 0>g���" �Q"%?q*�0247*�<>$ � g%*+$U:/* �X1�"%&�t9u[� s�suvyr�� ) � ) � � D�W�W�W�D � � +M©/s�tw�¡rw��|9��|Z�w��v�s�v��Mv�s´�²z���r�¥��v�s�v���r Í ¿w� À�Î-��¨N~w�u��x�xu�px­s�tw� � |9z s­s�t�|9s§sutw�<�Z�y����|9�/s����w�­���pr���s�t�s�t������w�Zt )8vyx§�u���w��tw����s�tw�xu���8� � vC� vC� �[���y�Nzp|9�Psu���w�¤�y� rw��sut�x �6������� s�t��p�¤�£vysut"x��<�M��sutwrw�px�xp©¯s�t�v¬x'z���r���v�s�v���r7x�t��I�)x¤s�t�|9sv �J\ Í É�Î ��É � ½ Æ � Í�� � D'W�W�W�D � 0 � � � Î%DN�£tw� ���G4 Í ÉfÎ v¬x'sutw�§�wx���|9�:v�r���� ~b� r���� rMs)Âf��v¬x�xu��r¡�{|9rw������9|9�uv�|9���y�­�£vysut7~�|9�{|Z�<� s�� �¤É�©Nsutw� r \ Í É�Ϊx�|9suv¬xu³w�px`sutw� � �������I�-v�rw� �3��r�xu¿�� �u¥��ª|I�{|Z��t�|9r7�¬|9�u������ �Mv¬|9suvy��r²~w�uvyrwz v�~w�����n�`twvyx�~���v�r�z�vy~w���7®¯��|9rMs�v�³w�pxs�tw�=~w�u�pz vyxu�¡��� �Mv�|Is�v���r�x� �x\ Í É�Î } É�|9rw��u�p³�rw�px-sutw�4xus����Zrw�<��|���� � �¬|9���Z� rM�����b� ��x'��¨N~w���px�xu�p�"vyr;�'tw� ���u��� ¿�� Ï �6Á����FyTG;Å �¤� ��� s� Í y�Î`º � ��vy��É ¸ � �y���e]`_ ��¨N~�y \ Í É�Î a

¿�I

Page 41: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�b� sutw� �y����|9��v�s�t��<vyz§�(���<� rMs`��� rw� �{|9suvyr�� � ��r�z�s�v���r � ��� \ Í ÉfÎ{�ª�'t��z���r¯����¨7���}|I��v¬x� � Í CbÎ`º �%xu�w~� ���)jy�C R � Í y�Î +�W

�����6�#���6( � 7� � � 0>g���"Ãk�"%?q*�0247*�<>$L��g/*+$U:/* �X1�"·Â�<>g 47no" � ��� �� � V<>g�021+1V:�1�<>&'"-kQ&'"�47& ) �Å W¬"�n#0>?@"

�yvy��xu�w~�j�x� ����� | _ É ¸ � \ Í ÉfÎTG ) a K R vyr �� � � � � Í CbÎ0>$Uk`Â�<>g�021+1�<%��"%$b&'"�47& � � Å W¬" n#0>?@"

�yvy��vyr ��q�F� ����� |e_ É ¸ � \ Í É�ÎTG/� aJd R v�r �� � � � � Í CPÎ=W� <>g="-<>?@"%g�� � � n#0>&�*547&�.�$�*�,/.�" hj"%g=<^024 � Í �MÎ�t

�'t��~w�u�M� � � � �'t��p�Z���p� ¿w� Ï 5�vyx)����rw�¡|9rw�;v�rM���������p�[�F³ª���<~w�y� su��N�ps�|9v��¬x3�h|��=�b� � ���wrw�v�rn�¯� ~w~ �|I���|9v�rw� r�|9r�� �6�w¿¯v¬z{t _cÀ%< a ©w�£twvyz,t�|9�yxu�(�Zvy���px-|9r�� rMs��u��~wvyz z{t}|9��|Zz�s�� ��v�È�|9s�v���r7� � � � �

� p� ��*+g="-:�4S"-k � ��� ³¤��r�xuvy��� ��sutw���{|Ir������ �Nvy�u��z�su��������|9~wt�"��=�-tw��x������ �us�vyz �px�|9����v�r�¥��� ~b� r��N�pr¯s�|Ir�����rwv � �Z���<�y�¡��vyxus���v��w�wsu�p���{|9r��N���5�9|9��v¬|9�w���px � � D�W�W�W�D � �(��r�sutw�4�wr�vys)x�®¯�}|9�u���Á���� Ï K F£K -mK�É�©�sutw�¡���uvy� rMs�|9s�v���r²� � s�t��¡�p����� \ G \ � vyx�xu� �y�pz�s��p�]|Is���|9r������;©�v�r�����¥~b� r��N�pr¯s���� � ���4�¸|9z,t²�p�����¡|Ir��²v�r���� ~b� r���� rMsu�y�2� � s�tw� � GSD�F d Ï �;�'tw�=�p�����px4v�rY"���|9�����v���� r<|­��v����pz�s�v���r��M� �wvy~�~wvyr�� � |9v���z �Zvyr�x �/�'tw�£��v����pz�s��p�<�)�NÂ�v�rM���������px�³wr���v�rw� sutw�£xutw���us��pxus��v����pz�s��p�2~}|9s�t²sutw��������t²sutw�=��|9r������ ��� ��su� ¨2xu� sp�"q � � Í É�ÎÃ� � Í � � D'W�W�W�D � �Mέ��� rw��su��x4s�tw���� rw��s�t²� � s�t��¡xutw���us��pxus���vy�u�pz su�p�²~�|9s�t sutw���Z�w��t²s�tw�¡x�|Z�<~w��� � � D�W�W�W�D � �oD�s�tw� r���s�� � �y��_ � ~ axutw�I�-x£sut}|9s

�yvy��j�x� A � Í ÉfÎ } Éb� �� ����xu���<�=z���r�xus{|IrMs �ª����|9��|I���{|9rw�N_ � À a xutw�I�-x�sut}|9ss�twvyx�z �ZrM��� ����� r�z��=zp|9r �}�¡v¬�<~w�u�I���p�su�hz����(~��y� s�� z���r¯��� ����� r�z����ªqCs-vyx-rw��s-z ����|9�-�£tw� s�tw� �£�b���wr��w|9��� � ��z�suvy��r�|9�¬x-zp|9r��b�4��xu�p�"s������s{|9v�r�|Zxu�N�<~ws��Zs�vyzpx`�I��� �£�(�Z���§��� rw� �{|I�[~b��v�rMs)xu�ps�x)|Zx£v�r Í ¿w� Ï 3�Î,�

� : � <7W¬"%g£�O"%*��rn�4S"-k �xk'��"%&�t/Á����/|9��� ¯ zZI�©Iz �Zr�xuv¬��� �fsutw�ª�y� rw��sut � ¼ Í )Î[� � s�t��`xutw���us��pxussu���w�£s�t������w�Zt ) �£vysut ¯ sut�~b�I�¤�p�£�¤� vy��t¯s��p�7���N���pxp�6�'tM�wx

� ¼ Í )4Î'º � �(v�r

§� � � ���

¼ D

�£tw� ����sutw���<v�rwv¬�����$vyx(�I�Z�p�(|9���-s��Z�w��x � |9r�� �£tw� ���m� ������� rw��s��px<sutw��» ��z��yvy����|9r��p�������� rw��s�t�� � s�t��(�p���Z� ���(�`tw�(�(� sutw�N�n� � �b�Z�wr���|9�u� � ��r�z�s�v���r}|9�yx¢_ 5 � a ©T_.<�À a xutw�I�)x­s�t}|Is � ���|9���JI © ¯O© �(�`� t}|p���§s�tw� � �������I�-v�rw�<��� rw� �{|9��v�ȸ|Is�v���r"� � Í ¿�� Ï 3¯Î,º

��vy��q�F�� ¼ Í \H� D�W�W�W�D \ �NÎ

É � Æ ¸ ¼ � ½ Æ � � Í ��D ¯ Î�� I $ ��� � 8 Í CPÎ � Æ ¸ ¼ � ½ Æ ��C ¤ W ¤ W Í ¿��3~�À�Î

�£tw� ��� � Í ��D ¯ Î-v¬x |7z���r�xus�|9rMs§��� ~b� r��Nvyrw�"��rw������r ��|9r�� ¯ ��Á����­s�tw�<zp|Zxu� ¯ � �w©�|7�<�������� ��v¬zp|9su����xu��� � �b���wrw��|9��� � ��r�z�s�v���r}|9�yxv_ <05 a xutw�¸�)x�sut}|9s�v � � GSD F d Ï D:|9�u��vX� vX�Ç�:� �£vysutns�tw��wr�v � �����5��v¬xusu��v��w�ws�v���r���r _ I#D Ï a Æ�s�t��pr

��v¬��j�F� � Æ Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ � � Í �NÎ � W3�@W�D

¿ Ï

Page 42: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�£tw� ��� � Í �MΤvyx-x����(�§³wr�vysu�z���r�xus{|9r¯sp�� k Z� <>g%&/4�le0>&'" ��<>.�g � "%$��@47n#t¢u[� s s�tw�(��|I�����pxus ~b��x�xuv��w���h�y� rw��sutO� � |��<vyrwvy�h|9��s��Z�w�

�£vysut ¯ s�t"~b�I�`� �£�¤�pv���tMsu�p�"�p���Z��x's�tw�u���w��t�É�~}��vyr¯s�x£vyr _ I#D Ï a Æ �b�4��� rw��su���7�M�& ¼ Í ÉfΤº � �h|I¨

��� I $ ��� � $ C � C ¨�� � ¼ Í )Î%W> �¡z���r�xuvy��� ��v�rw�<�b���wrw��|9���"�3�M � ��r�z�s�v���r}|9�yx Í �-v�s�t�~b�¸�`� �£�`� v���tMs��p�¡���N���px�Î6v�s-vyx-~�|9��suv¬z���¥

�¬|9�����=��|Zxu�¡s��(xutw�I��sutw�|Zxu�N�(~�s���suv¬z x

�yvy��j�x�& ¼ Í ÉfÎÉ � Æ ¸ ¼ � ½ Æ ��� Í �oD ¯ Î

�£tw� ����� Í �oD ¯ Î(v¬x7xu���<�n~}��xuvysuvy����z���rwx�s�|9rMs �8�¯su�p� ���2|9r��F�¯rM�M��� � _ � 3 a �¤� ����s�tw�n³w��xus7s��~w�u�I���§s�tw�pxu�|Zxu�N�(~�s���suv¬z x ©�|9��s�tw�Z�w��t�sutw� �7�u��xusu��vyz su�p�;|9s�su� rMs�v���r"s��(sutw�zp|Zxu� ¯ � Ï � � xuvyr���b�Z�wr���|9�u� � �wr�z�s�v���r}|I�¬x © �6�w¿¯v¬z{t _ <�À a s��u��|9s�x�sutw��z�|9x�� Ï K ¯;© ��|9r���u[� �O_ 5=< a su����|9s�x�s�tw�zp|Zxu�pxFI © ¯b© Ï |9r�� ¯Od �w�

� ����� ����� � ������ �������A ����� � �6( � �Jno"-<>g="%����t � �Å0>$Uk ��021�0'�rg-0>$UkJ( &b:=<>$U:%"%$�47g=0247*�<>${*+$)"-,/.�0213*5476¢Â�<>g947no" � �����g-<>?q*�k�"x:/*+g-:/.��Q&/4�0>$�47*�021�"%?q*�k�"%$U:%"47n#024U47no" � ��� Â-.�$U:�47*�<>$U0212&�0247*+& !T"%&T0>&=6r���X4�<247*�:�$U<>g%�v0213*5476*+$�47no" Â�<21+1�<7We*+$��L&'"%$�&'" �

� Í � � D�W�W�W�D � �MÎ R ] � Í � � D�W�W�W�D � �MÎÍ�� 0>g�� Í�� � D�W�W�W�D � �MÎ�Î � ½ � Ê 4 Í I#D Ï Î%W

� g-<>?q*+$��£<>g�k>*+&���g-<>?q*+$�� 47no"�0�p-<>?@" :%"%$�47g-021o13*+�Q*54 47no"-<>g="%� g="%�¢0>*+$�& 0Qk>* :/.o1 4²<%��"%$���g-<�p�1�"%�0>$Uk;WT<>.o1�k90�k�kO4�<O47no"^:%"%$�47g-021e13*+�Q*54 47no"-<>g="%� Â�<>gv47no"v1�"%$��@47n <�Â�47no" ��.�:�13*�k�"-0>$;�Q*+$�*+�¢021&��o0>$�$�*+$��v47g="="Q<>?@"%g�0�g-0>$Uk�<>� &�0>���X1�" � � � � � � � �tA ����� � �6( ��� ��"%?@"�1�<%� 47no"Q0�t�&�t�13*+�Q*5447no"-<>g%6�Â�<>g¢l�n�g/*+&/4�< !k�"%&o(@no"%.�g/*+&/47*�:qt 8 $^�o0>g�47*�:/.o1�0>g��k�<j"%& 47no"vl�n�g/*+&/4�< !k�"%&o(@no"%.�g%*+&/47*�: &�0247*+&7Â-6v47no" 13*+�£*54 �r*+?@"%$ p%6 �Jno"-<>g="%� ��t � � �

�'t��¡�<�psutw�N�wx4���px�z���v��b�p�²t��p�u�¡zp|9rO~b��x�xuvy�w�����b�¡�<�N��v�³w�p�Osu��su����|9s4s�tw�s³ªtw��vyxus���³��N��x�[tw� �w�uv¬xusuv¬zZ�ª�`twvyx)�h|��hvyrM�Z���y�Z�4��� ³wrwv�rw�=|�x���~b� �{|Z�w�Nvysuvy��� �b���wr��w|9���¡tw� �w��vyxus�vyzZ�A ����� � �6( � ��"%?@"�1�<%��47no"�0�t�&�t 13*+�Q*54�47no"-<>g%6`Â�<>g 47no"Ãk>*+g%"-:�4S"-k � ��� �J*+$�?@"%&/47*���024S" Weno"�47no"%g47no"�k>*+g="-:�4S"-k � ��� &�0247*+& !T"%&�47no"Ã13*+�Q*54 *+$ �Vno"-<>g="%� ��t � � tA ����� � �6( �� ��&/4�0�p�13*+&=nÅ47n#024Q47no" ?20>g%*�0>$U:%"9<� 47no" � ��� :=<>$�?@"%g���"%& �Q*�t7"'t �Q&=n#<7W 47n#024 *+$k>*+�¢"%$�&=*�<>$�� W¬"�n#0>?@" � 0>g � Í � � D'W�W�W�D � �MÎ Ê �(�3Weno"%g="¢lÅ*+&�&�<>�¢"¬�o<>&=*547*+?@"�:=<>$�&/4�0>$�4�tA ����� � �6( � & ·*+$Uk 47no"-<>g="�47*�:=021�?20213.�"%&UÂ�<>gF47no"F13*+�£*547*+$���:=<>$�&/4�0>$�47& � Í �MÎ`0>$Uk�� Í �oD ¯ Î�t � "%g �n#0%��&�47no"V��g-<�p�1�"%� *+& &=*+���X13* !T"-k p%6 .�&=*+$�� 0 �¢"�47g/*�:x<>$­Å Æ <247no"%gT47n#0>$�47no" ��.�:�13*�k�"-0>$Q�^"�47g%*�:qt�¬no"=" �� � �&=n#<7We& 47n#024e*+$9n�*��rn k>*+�¢"%$�&=*�<>$�& � Í �NÎ�*+&Ã:�1�<>&'" 4�< Í � } ~ � �IÎ � ½ �qt

¿�~

Page 43: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

A ����� � �6( � ��� &'"L47no"���1�k�<>.�& � � 4S"="�1�"�<�p � "-:�47*+?@"��^"�47n#<qk � £4�<H&=n#<7W 47no"v0�t�&�ts0>$Uk 47no"¡ � :=<>$�?@"%g���"%$U:%" <�Â� ¼ Í � � D�W�W�W�D � �MÎ Weno"%$ ¯ "-,/.�0213& 47no"�k>*+�¢"%$�&=*�<>$ ��t�`twv¬x��`���w�y��~w�u�I�Mvy���-|�xu�pz���r����£|�� su�­v¬�N�pr¯s�v � �sutw�`�yvy�(v�s�v�rw�§z���rwx�s�|9rMs � Í �oD �NÎ�|9rw��v�s/�`���w�y�z����<~w�����<� rMs�s�tw�3«3�y������x ¥ �¯su� �p���)���pxu�w�ys�x�_ ¿ a ��rhs�tw�)�{|Ir������8» �wz ��vy����|9r=�(v�rwvy�=|I�}xu~}|9r�rwvyr��su��� ���A ����� � �6( ��� �Jno"`1�0>g���"�k�"%?q*�0247*�<>$Ã��g%*+$U:/* �X1�" � �Vno"-<>g="%� ��t � � �n#<21�k>&VÂ�<>g�0 � <>*+&=&�<>$¢$�.�� �

p="%g`<�Â.�$�*¶Â�<>g%� g-0>$Uk�<>� ?20>g/*�0�p�1�"%&�t���<j"%&¬47n�*+& � � � n#<21�keÂ�<>g 0 !�A�"-kÃk�"�4S"%g%�Q*+$�*+&/47*�:T$�.��^p="%g<�Â�.�$�*¶Â�<>g%� g-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%& �A ����� � �6( � � f "%$)"%g-0213*ihj" �Vno"-<>g="%� ��t � �£p%6L"%&/4�0�p�13*+&=n�*+$���0���"%$)"%g-021#1�0>g���"�k�"%?q*�0247*�<>$Ã��g%*+$��:/* �X1�"�Â�<>g�47no" g-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%& � Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ �,Weno"%g%" \ GSDeF d Ï � 0>g=" *�t�*�t+k�t We*547n^0>$90>gqp%* �47g-0>g%6sk>*+&/47g%*�p%.o47*�<>$�<>$ _ I#D Ï a Æ@t � n#<7Wµ47n#024�47no"�g-024S"�Â-.�$U:�47*�<>$ "BArn�*�p%*547& ,/.�0�k>g-0247*�:£p="%n#0>?q*�<>g'tA ����� � �6( �Y� «¬* ���o0>g�47*54S"Ã�v024�:/n�*+$���t f *+?@"%$ \ G�D Ï K�F © Ë��0>$Uk �#GSD Ï K F © Ë�`4 WT<*+$Uk�"S��"%$Uk�"%$�4F&'"-,/.�"%$U:%"%&H<�ÂLg-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%& We*547n 47no"¢.�$�*¶Â�<>g%� k>*+&/47g%*�p%.o47*�<>$Z<>$µ_ I#D Ï a Æ �47no"Qp%* ���o0>g�47*54S"��v024�:/n�*+$�� ��g-<�p�1�"%��&/47.�k>*�"%& 47no"Qp="%n#0>?q*�<>g�<�Â

�X�Q� �<vyr�

�§G ¨ � \ G R � � � G � jDWeno"%g=" � g%.�$�&�<>?@"%g 021+1@��"%g%�£.o4�0247*�<>$�&�<� 47no" *+$�4S"���"%g/& Ï D=~�D�W�W�W�DuÉ tH�^no"%$ � d �H&=.�p-0�k�k>*547*+?@"

�¢"�47n#<qk>& � ���� Q*+���X136v47n#024U] �X� } É � Æ ¸ � � ½ Æ£Ê � Â�<>g�&�<>�¢"�:=<>$�&/4�0>$�4 �vt^�^no"%$ �£�ª~ �·&=.�p �0�k�k>*547*+?@" �^"�47n#<qk>&²Â�0>*51V0>$UkQ*54·*+& �q$U<7We$ � � � �� � v<>$�136�47n#024e47no"%g%" 0>g="¬�o<>&=*547*+?@" :=<>$�&/4�0>$�47&� � 0>$Uk � � &=.�:/ns47n#024

� � KZ] �X� } Í É­�y���6ÉfÎ � ½ � K � � W�Vno"Ã1�<-��0>g%*547n��Q*�:Ã4S"%g%� *+$�47no"Qk�"%$U<>�Q*+$U024�<>g¬��g="%?@"%$�47&�.�&eÂ-g-<>� 0%���X136r*+$��v47no"�.�&=.�021X&=.�p-0�k �k>*547*+?@"�0>g��r.��¢"%$�47& 4�<^:=<>$U:�13.�k�" 47n#024

] �X� } Í É§�����ªÉ�Î � ½ � Ê ��D Í ¿��3~ � ÎWeno"%g="�� *+&�&�<>�¢" �o<>&=*547*+?@"¬:=<>$�&/4�0>$�4�t � g-<>?q*+$�� <>g`k>*+&���g-<>?q*+$�� � ��t����� g="%�v0>*+$�&x0>$�*+$�47g%*��r.�*+$��.�$�&�<213?@"-k���g-<�p�1�"%�¢tA ����� � �6( �)� «¬* ���o0>g�47*54S" � ��� t f *+?@"%$ \ G�D Ï K F © Ë �^0>$Uk�#G�D Ï K F © Ë�¢4 WT<*+$Uk�"S��"%$Uk�"%$�4�&'"-,/.�"%$U:%"%&T<� g-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%&�We*547nÃ47no".�$�*¶Â�<>g%� k>*+&/47g%*�p%.o47*�<>$^<>$H_¶I�D Ï a � �J47no"p%* ���o0>g�47*54S" � ��� *+$�?2<213?@"%& !·$Uk>*+$���47no" 1�"%$��@47n <�Â�47no"�&=n#<>g�4S"%&/4 4�<>.�g 47n�g=<>.��rn \ G�D Ï K!FK�É �0>$Uk � G�D Ï K!F�K�É)�·&=.�:/nv47n#024"-0�:/n \ �o<>*+$�4 *+& � <>*+$)"-kQ4�<L4 WT< � �o<>*+$�47&�0>$Uk�?q*�:%" ?@"%g/&�0�t 8 Â��� k�"%$U<24S"%&F47no"�1�"%$��@47n¢<�ÂF47no"F&=n#<>g�4S"%&/4J&=.�:/n�4�<>.�g 47no"%$b:�1�"-0>g�136 �X�¢*+&�p-<>.�$Uk�"-k£p="�1�<7WZp%6£47no"1�"%$��@47n9<�Â�47no"vp%* ���o0>g�47*54S"��v024�:/n�*+$��O<>$;47no"�.�$�*�<>$ <� \ G�D Ï K F K�É 0>$Uk �#GSD Ï K F`K É t? <7W¬"%?@"%g�� !·$Uk>*+$��¢47no"�0>&=6r���X4�<247*�:/& <� �X� g="%�¢0>*+$�&Ã<%��"%$UtA ����� � �6( �� �� <>$���&/4�0>$Uk�0>g-k &�:=0213*+$���t �Jno"-<>g="%� ��t � � 4S"�1+13& .�&O47n#024GWeno"%$)"%?@"%g g-0>$Uk�<>�?20>g%*�0�p�1�"%& \s� D \ � D�W�W�W)n#0>?@" 0>$ 0�p%&�<213.o4S"�136v:=<>$�47*+$�.�<>.�& �o0>g�4 � 47no"%$ � Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ &�:=021�"%&�13* �@"É � Æ ¸ � � ½ Æ2t �Vn�*+&vg=0>*+&'"%&^47no"�Â�<21+1�<7We*+$�� ,/.�"%&/47*�<>$ �¢�r*+?@"%${0>$µ0>gqp%*547g-0>g/6b*+$U:/g="-0>&=*+$��£Â-.�$U:�47*�<>$8 Í É�Î �6` Í É � Æ ¸ � � ½ Æ Î=D@Weno"%$ k�<¢47no"%g="Q"BAr*+&/4e*�t�*�t+k�tFg-0>$Uk�<>� ?20>g%*�0�p�1�"%& \s� D�W�W�W�D \ �O&=.�:/ns47n#024

��v¬��j�x� � Í \H� D�W�W�W�D \ �MÎ } 8 Í É�Î � ��DWeno"%g=" � *+&�0��o<>&=*547*+?@" !·$�*54S"�:=<>$�&/4�0>$�4 �

¿��

Page 44: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

�* ��= �i� §e�m �_ Ï a O ��« Q s{|9vX©�Yw���­���<� :��x |Ir��²»£���¯È ���<� � :���Nv �Jno" !·g%&/4�<q:=:/.�g%g="%$U:%"¢<�Â�? 0>�£*51 4�<>$Å:/6�:�1�"%&

*+$9g-0>$Uk�<>�°�rg-0%��n�&¤«)rwr}|9�yx-� � ��vyx�z���� s��GOn|9sutw�p�=|Is�vyzpxF~�À Í Ï < � 5�Î Ï Àr�I¥ Ï À � �_¶~ a O �`«3¿�z �Z���y�%|9r�� � � �­��� rw��� �X© ��g���<qk>*�:�47no"-<>g="%�£&�Â�<>gO&=.>��"%g=0�k�k>*547*+?@"L��g-<q:%"%&=&'"%&,© Yw�

À � v�rw�4«)rw��� O�|9s�t��o��~2� Í Ï < �wÏ ÎR52�I¥>3�ÀM�_ � a O �[« Q s�|9vC©�Yw� �§���(� :��x ©�|9r�� ������xur :|Z�N��©��$�<%�X47*+�¢021 �v024�:/n�*+$��r&�³¤�����wv�r}|9su����vyzp|^¿

Í Ï < � ¿Nά~ 5=<I¥�~ 3r¿w�_ ¿ a ���P«3�y������x |9rw��Yw� O²����s�� � �y��© ��&=6r���X4�<247*�:/&TÂ�<>g ��.�:�13*�k�"-0>$ �£*+$�*+�v021�&��o0>$�$�*+$��s47g="="%&

<>$9g-0>$Uk�<>� �o<>*+$�47&,©� �u�������'tw� ���u�"|Ir�� À �p�¬|9su����Áfv��p�y�wx <@~ Í Ï < <�~�ά~>¿�À�¥�~ 5 � �_ 5 a �<�¸«3��� ¨�|9r���� �p© �F024S"%&x<�ÂF:=<>$�?@"%g���"%$U:%"x<�Â��¢"-0>$�&UÂ�<>g k>*+&/4�0>$U:%" ���£*+$�*+�Q*ih/*+$���&=.�p-0�k�k>*547*+?@"

�.�:�13*�k�"-0>$QÂ-.�$U:�47*�<>$U0213&,©N«3rwr���«)~w~w�X�} ���Z���o¿ Í Ï < <>¿NÎ <2I�~¸¥ <�~@~M�_43 a �<� «3����¨w|9r���� � © �Vno" � � � 47no"-<>g="%��Â�<>gb:=<>$�47*+$�.�.�� ��"%g-:=<21�0247*�<>$ª0>$Uk 47no" l � ��Â�<>g

�.�:�13*�k�"-0>$O�Q*+$�*+�¢021X&��o0>$�$�*+$��v47g="="%&,©w«3rwr[�}«3~�~w�C�}Â��������#3 Í Ï <=< 3¯Î ¿H3 3I¥�¿U<>¿��_ÁÀ a `��«)�y�Zr�©oYw���4�}�¯~}�prwz � � ©��Vno" � g=<�p-0�p%*513*+&/47*�: � "�47n#<qk9©#YZ��twr¡¾ vy��� �¡|9r��;�¯�Zr�x © Í Ï < < Ï Î,�_ � a ����«3r����y��vyr�|Ir�� u6� �#�ª|I�yv¬|9rMs ©�V0>&/4)��g-<�p-0�p%*513*+&/47*�:Ã021¶��<>g/*547n��Q&·Â�<>g@? 0>�£*51 4�<>$�:/*+g-:/.�*547&

0>$UkL�¢024�:/n�*+$��r&,©oYZ������r}|9�[� � ³ª���(~��ws�� �-|9r����¯�Mx�su�p� �Mz�vy� r�z��px Ï�� Í Ï <�À%<¯Î Ï 5 5¸¥ Ï <2���_ < a Yw� > ��|9�����`�M�M�[©)Yw���4�[�3|9�ysu��r�©[|9r���Yw� O²�[�3|Z�h�<� ��xu���p��©��Jno"�&=n#<>g�4S"%&/4 �o0247nO47n�g-<>.��rn

�¢0>$�6 �o<>*+$�47&,©w ���NzZ��³`|Z������ twv�����x �P�¯�Mz v�� s´��5 5 Í Ï <05=<�ά~=<=<I¥S��~�ÀM�_ Ï I a »-�Ç«� > �prw��� �|9r��2»-� À � ³'|9rw³��p�y�[©��'tw�(|Zxu�N�(~�s���suv¬z�rM�w���b� �­� � ��|9�}�p�������n���{|9~�t�x§�£vysut

��vy�Z�pr���� ����� �;xu��®��w� r�z���x ©xYZ�Z�w��r}|I�)� � ³¤�����wv�r}|9su����v¬|9�)�'t��p�Z����©)�¯� ��v��pxh« ~>¿ Í Ï <�À � Î~=< 3I¥S�@I�ÀM�

_ Ï�Ï aG> � > ���y����� :|9xp© �x0>$Uk�<>� f g-0%��n�& �:«3zp|Z���p�(vyz Â �u��x�x © Ï < � 5N�_ Ï ~ aG> � > �����y��� :|Zx � �Vno"�"%?2<213.o47*�<>$ <�Â�&��o0>g%&'"��rg-0%��n�&�t �{|9~�tn�'t��p�Z����|9r��9³¤�����wv�r}|9su����vyz xp�

Í Â �u�NzZ�V³'|Z���w��vy������³ª������vyr}|Is����uv¬z x ³ª��r � � ��� r�z���v�rO�)�Zrw���w�­� � Â�|9����» ���98��x Í > � > �Z��¥�y��� :|Zx�]�»6�bÎuÎ`«�zp|Z�N���<vyz4 �u��x�x Í Ï < � ¿NÎT� 5¸¥ 5�ÀM�

_ Ï � aG> � > ���y����� :|9xp©��­��g-<�p-0�p%*513*+&/47*�:���g-<q<�Âb<�Âb0>$ 0>&=6r���X4�<247*�:�Â�<>g%�£.o1�0¢Â�<>g947no" $�.��^p="%g�<�Â1�0�p="�1+1�"-kLg="��r.o1�0>g �rg=0%��n�&,©w» ������~b��|9r YZ���w��r�|9����r9³ª������vyr}|Is����uv¬z x Ï Í Ï < � I�ÎT� ÏZÏ ¥S� Ï 3��

_ Ï ¿ aG> � > ���y����� :|9xp©���13�v<>&/4�021+1Fg%"��r.o1�0>gH�rg-0%��n�&�0>g%"�? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$}©)» �w�u��~b��|9rªYZ�Z�w��r}|I�­��r³¤�����wv�r}|9s��Z��vyzpxT¿�© Í Ï < � �¯ÎF<�À�¥ Ï I 3N�

_ Ï 5 aG> � > ���y����� :|9xp©Xl <>���X1�"�4S" �¢024�:/n�*+$��r&·*+$£g-0>$Uk�<>� &=.�p��rg-0%��n�&<�Â�47no"¬:/.�p="�© À |9rw����� �¯s��u��z�¥s��w�u��x-|9r���«3�������uvysut��hx Ï Í Ï < <2I¯Î < 5¸¥ Ï Ir¿��

_ Ï 3 aG> � > ���y����� :|9xp©#³3� ³ª�M��~b� �p©¯�§�Çq�� Á�� rwrw� �`|9r��h«� O²�ÇÁw��v�� È ��©��$%? 0>�Q*51 4�<>$O:/6�:�1�"%&x*+$H&��o0>g%&'"g=0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&�We*547n �Q*+$�*+�£.�� k�"��rg="="F024U1�"-0>&/4#NP©Iv�r�«Äs��uvy���ws��¤su�§Â�|9���N» ������x ©I�p��vysu�p��M�7«�� > |9¿Z�p� © > � > �Z�y�����}|Zx-|9r���«� �3|�Q r�|9�C© Í Ï < < Ï ÎR5=<I¥ < 3N�

¿@¿

Page 45: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

_ Ï À aG> � > ���y����� :|9xp©¯�§�Çq�� Á�� rwrw� �`|9r��(«�� O²� Á���v��pÈ ��© �`$b021¶��<>g%*547n��{Â�<>g&!·$Uk>*+$��;? 0>�Q*51 4�<>$Q�o0247n�&0>$Uk^:/6�:�1�"%&�*+$bg=0>$Uk�<>� �rg=0%��n�&,©�³¤�����wv�r}|9s��Z��vyz�|�À Í Ï < � À�Î��~�Àp¥S�r¿ Ï �

_ Ï�� aG> � > ���y����� :|9x7|9r���«� O²� Á���v�� Èp��© ��$ª�v024�:/n�*+$��r&b0>$Uk n#0>�£*51 4�<>$�*�0>$ :/6�:�1�"%&s*+$Ng-0>$Uk�<>��rg=0%��n�&,©�«)rwr}|9�yx-� � ��vyx�z���� s��GOn|9sutw�p�=|Is�vyzpx`~ � Í Ï < � 5�ά~2�¸¥�¿H3��

_ Ï < a «�� > ���N�N�p� ©/«� O²� Á���v�� Èp�¡|9r�� »-� �¯t}|Z�<v��p©�·*+$Uk>*+$��On�*�k�k�"%$E? 0>�Q*51 4�<>$Z:/6�:�1�"%& À |9r�������¯s��u��z�s��w�u��x)|9rw��«3�������uvysut��hx^5M© Í Ï < <r¿NÎ� <05�¥�¿ Ï I��

_¶~2I a ³�� ³¤�¯��~b� �p© � ���o0>$U:/6�:�13*�:M? 0>�£*51 4�<>$Å:/6�:�1�"%&Q*+$ g-0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&,© À |9rw����� �¯s��u��z�s��w�u��x|9r���«)�y���Z��v�s�t��(x¬¿ Í Ï < <@�¯Î ¿H3 <I¥�¿�À2~N�

_¶~ Ï a ³���³¤�¯��~b� �6|9r���«� O²�ÇÁw��v�� È ��© �$H47no"¬$�.��^p="%g`<�ÂTn#0>�Q*51 4�<>$ :/6�:�1�"%&*+$ 0�g-0>$Uk�<>���rg-0%��n¯©YZ���w��r�|9��� � ��|9~wt��`tw� ����� Ï � Í Ï < � <¯ÎxÀ Ï <I¥�Àr�05M�

_¶~@~ a ³���³¤�¯��~b� �¤|9r��h«�� O²� Á���v��pÈ ��© � 0>$U:/6�:�13*�:`g=0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&,©�v�r¡Â ���Mz � �p��v�rw��x6� ��À |9r������ �{|9~�t�x�[ � ÀM©w»6�Nvysu���¡�M� O²� �4|I����r�xu¿MvX©oYw�3Y�|p�`����x�¿¯v[|9r��"«� À ��z�v�r�xu¿MvC©�YZ��twr¡¾ vy��� �7|9rw��¯��r�x © Í Ï < <2I¯Î¬~%<I¥S� <��

_¶~2� a ³��o³ª�M��~b� �`|9r��¡«� O²� Á���v�� Èp��© �O.o1 47*�:=<21�<>.�g="-k ? 0>�Q*51 4�<>$9:/6�:�1�"%&F*+$ g-0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&�� 0>$0>$�47* � �F0>�Q&'"%6v47n�g="%&=n#<21�k9©�»��y�pz�s��u��rwvyz YZ���w�ur}|9�[� � ³¤�����wv�r}|9s��Z��vyzpx`~ Í Ï < <05�Î À Ï <��

_¶~>¿ a ³���³¤�M�Z~b� � |9rw� «�� O²� Á���v��pÈ ��©%? 0>�Q*51 4�<>$°:/6�:�1�"%&;*+$ g-0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&Å0>$Uk k>*+g="-:�4S"-k�rg=0%��n�&,©Nsu�=|9~w~b��|9� �

_¶~ 5 a ³�� ³¤�M��~}�p� ©6«�� O �ÇÁw�uvy� È �;|9rw� O²�cYw� O;�����y�I��©e? 0>�Q*51 4�<>$N:/6�:�1�"%&v*+$ g-0>$Uk�<>�¥g="��r.o1�0>g k>* ��rg=0%��n�&,©�³ª������vyr}|Is����uv¬z x ©w ������|9�wv��yv�s´�7|9r��b³¤���(~w��s�v�rw�v��© Í Ï < <r¿NÎ� <I¥ 52IN�

_¶~ 3 a ���V³¤��~w~}�p��x��(v�s�t�©[Â�� À |9��t�|��9|9r2|Ir�� O �:�����<~}|�© � 0>g-021+1�"�1 f g-0%��n ��1¶��<>g%*547n��Q& �Jn#024�`g%" � :/*�"%$�4T<>$��`?@"%g-0'��"�©�qCr � �����h|9s�v���r�|9r��b³ª���(~��ws{|9suvy�Zr �wÏ Í Ï < � <�ÎT� Ï � ¥S�@�@���

_¶~�À a O �Ç»-� ����� �`|9r��=«�� O²� Á���v��pÈ ��© �$��o024�:/n�*+$���021¶��<>g%*547n��£&�Â�<>g g=0>$Uk�<>� 0>&=6r�Q�^"�47g%*�:�47g-0>? �"�1+13*+$���&�021�"%&=�¢0>$v��g=<�p�1�"%�Q&,© On|Is�tw�p�h|9s�vyzp|9�� �u������|Z�h�<v�rw�£¿03 Í Ï < <@I�ÎT� 3 Ï ¥S��À � �

_¶~ � a ������������vyz7|Ir�� Yw�/»-� �6�w¿Mvyz{t�© �·A�0�:�4 0>&=6r���X4�<247*�:/&FÂ�<>gH47g-0>$�&��o<>g�4�0247*�<>$ :=<>&/4 *+$mn�*��rnk>*+�^"%$�&=*�<>$�&,©#Yw�}�'tw� ���u�psuv¬zp|9�� �u����� Í Ï <=<05�ÎF<�À�¥ Ï�Ï�� �

_¶~=< a Â/��» ���98��x<|9r��Ä«�� À;:� rM�MvX© ��$ g-0>$Uk�<>� �rg=0%��n�& 8 ©  �w���C�3On|Is�t�� �3� �w���pz�� r 3 Í Ï <05=<�Î~=<@II¥�~=<�ÀM�

_ �@I a Â/�f» ���98��x�|9rw�²«�� À;:�pr¯�MvC© ��$�47no"s"%?2<213.o47*�<>$�<�£g=0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&,©� �w�w�X�,On|9sut��fqCr�xusp��)�wrw��|9�p�w«�zp|Z�[�b�Mz�vX�-5 Í Ï < 3@I�Î Ï Àp¥>3 Ï �

_ � Ï a Â/�6»����98��x(|9rw��«�� À :� rM�MvX© �$µ47no"H&/47g="%$��@47nÅ<� :=<>$�$)"-:�4S"-k>$)"%&=&s<�Âs0 g-0>$Uk�<>� �rg-0%��n¯©«�z�s{|�� On|9sut��w«�zp|Z�[�b�Mz�vC�}�-�wrw�¯|I�p� Ï ~ Í Ï < 32�¯Î¬~ 3 Ï ¥�~ 3�À¯�

_ ��~ a Â/��» ���,8��x�|Ir��²«�� À;:� rM�MvX© �$mg-0>$Uk�<>� �¢0247g%*�:%"%&,©� �w�w�X� O�|9sut����)��rw�¯|9� �f«3zp|Z�[�fqCr�xusp��Mz�vC� � Í Ï < 3r¿NÎ ¿65 5¸¥�¿03 Ï �

¿65

Page 46: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

_ �@� a Â/�£» ���98��x�|Ir�� Yw� �¯~b� r�z�� �p© �?2<213.o47*�<>$�<�Âb47no"¡É ��:/.�p="�©�³¤���<~w�ws �PO�|9s�t��'«3~�~w�yvyz x � 5Í Ï <�À7<¯ÎT�2�I¥S� <��

_ �r¿ a �§�Çq��NÁw� rwrw� �'|9r��=«�� O �ÇÁw�uvy� È ��©)? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$O:/6�:�1�"%&`*+$ g=0>$Uk�<>� g="��r.o1�0>gx�rg-0%��n�&,©#YZ�Z�w�u¥r}|9�[� � ³ª�����wvyr�|9s����uv�|I���'t��p�Z����©P���p�uvy�px > © Í Ï < � ¿NÎ Ï I@�I¥ Ï�Ï ~N�

_ �05 a «�� O ��Áw�uvy� È ��© � 0>g�47*547*�<>$�*+$�� g-0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&x*+$�4�<Ã1�0>g���"�:/6�:�1�"%&,© �3v¬x�z���� s���O�|9sutw�p�=|9suv¬z xÀrI Í Ï < � � Î Ï ¿U<I¥ Ï 5 � �

_ � 3 a «�� O ��Á���v�� Èp��© ��$ 47no"Q"BA�0�:�4·&�<213.o47*�<>$ <�Â�g-0>$Uk�<>��47g-0>?@"�1+13*+$��L&�021�"%&=�¢0>$v��g-<�p�1�"%�£& We*547n�^"-k>*+.�� ��&=*ihj"-k£*+$�4S"���"%g�:=<>&/47&,©b�Nq¦« O¥YZ�Z�w��r}|I����rb³¤���<~w�wsuvyrw� Ï 3 Í Ï < � À�Î Ï I052~¸¥ Ï I�À2~M�

_ ��À a «�� O ��Á���v�� Èp��©��`$ 021¶��<>g%*547n��{Â�<>g !·$Uk>*+$��;? 0>�Q*51 4�<>$ :/6�:�1�"%&¬*+$^g-0>$Uk�<>� k>*��rg-0%��n�&,©�YZ�Z�w�u¥r}|9�[� � «)�y�Z����v�s�t��(x < Í Ï < � � Î Ï��wÏ ¥�~2Ir¿��

_ � � a «�� O �fÁw�uvy� È ��© ��$m�v024�:/n�*+$��r&v0>$Uk'? 0>�Q*51 4�<>$ :/6�:�1�"%&£*+$ g=0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&,© ���w����� �Nx v�r³¤�����wv�r}|9s��Z��vyzpx Í Ï < � <�Î,©¯Â �u�Nz��p�p��v�rw��x � � > ��v�s�vyx�ts³ª�����wvyr�|9s����uv�|I�X³ª��r � � ��� r�z���© � ¿Z¥ Ï�Ï ¿��

_ � < a «�� O �ÇÁw�uvy� È ��© ·*+$Uk>*+$�� ? 0>�£*51 4�<>$ :/6�:�1�"%&�*+$b&��o0>g/&'"�g-0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&,©�YZ�Z�w��r}|I��� � ³¤����¥�wvyr�|9s����uv�|I���'tw� ���u� > ¿@¿w© Í Ï < � � ÎT~2�@II¥�~ 5rI��

_ ¿�I a «�� O �[Áw�uvy� È ��© � 0>g=021+1�"�1·021¶��<>g%*547n��£&TÂ�<>g !·$Uk>*+$�� ? 0>�Q*51 4�<>$Å:/6�:�1�"%&Ã*+$ g-0>$Uk�<>�­�rg-0%��n�&,©qCr � �����h|9suvy��r� ���Mz �px�xuvyr��¢u[� s�su� ��x ~ 5 Í Ï < � ÀZÎ Ï�ÏZÏ ¥ Ï�Ï ÀM�

_ ¿ Ï a «�� O ��Áw�uvy� È ��© �F0>$Uk�<>� g="��r.o1�0>gm�rg-0%��n�&YWe*547n $U<>$���:=<>$�&/4�0>$�49k�"��rg="="�©¡�wrw~w���w�yvyxutw�p��=|9r¯��x�z �uvy~�sp�

_ ¿�~ a «�� O �NÁ���v�� Èp��© O � À ��YZ� �u������© O²� O��Z�y���I��© À � ¾ � À ���wv�r�xu��r7|9r�� `� ³���¾O�����h|9�y�[© f "%$��"%g=0247*+$��b0>$Ukb:=<>.�$�47*+$�� ? 0>�£*51 4�<>$Å:/6�:�1�"%&Q*+$ g=0>$Uk�<>� g="��r.o1�0>gÃ�rg-0%��n�&,©JYZ���w�ur}|9� � � «3�¼¥������v�s�tw�hx`~ Ï Í Ï < < 3¯Î Ï À 3¸¥ Ï < � �

_ ¿�� a «�� O ��Áw�uvy� È ��© À � O²���4|I��~�|9rw� > � À �p�p�[©`�^no"%$b*+& 47no"Q0>&=&=*��r$��¢"%$�4¬p-<>.�$Uk^0>&=6r���X4�<24��*�:=021+136 47*��rn�4·Â�<>gs47no" 0>&=6r�Q�^"�47g%*�:s47g-0>?@"�13*+$�� ��&�021�"%&=�v0>$���g-<�p�1�"%� ��©¤�Nq¦« O YZ�Z�w��r}|I�'��r³¤���<~w�wsuvyrw�v~>¿ Í Ï < <05�Î ¿ � ¿9¥�¿U<@���

_ ¿@¿ a «�� O ��Á���v��pÈ �=|Ir�� ³3� O�z ��v¬|9���(vy�[© ��1¶��<>g%*547n��£*�:v47no"-<>g%69<�ÂQg-0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&,© À |9r�������¯s��u��z�s��w�u��x)|9rw��«3�������uvysut��hx Ï I Í Ï <=<�À�ÎR5¸¥�¿�~N�

_ ¿65 a «�� O �'Áw�uvy� È ��|9r�� > � ��� O�z � |���©��O.o1 47*�:=<21�<>.�g="-k 47g%"="%& *+$Ng-0>$Uk�<>� �rg-0%��n�&,© À |9r�������¯s��u��z�s��w�u��x)|9rw��«3�������uvysut��hx^5 Í Ï < <>¿NÎ�¿H5¸¥ 5 3��

_ ¿H3 a «�� O ��Áw�uvy� È �)|9r�� � �¯�Z��¿Mv�r�© � $U<24S"�<>$Hg-0>$Uk�<>� 0>&=&=*��r$��¢"%$�4²0>$Uk�47g-0>?@"�13*+$�� &�021�"%&=�v0>$��g=<�p�1�"%�Q&,©�v�r�~w�u�p~�|9�{|9suvy�Zr��

_ ¿�À a «�� O ��Á���v�� Èp�¡|Ir��Ä�b� ���w� r�© le<>.�$�47*+$��'? 0>�Q*51 4�<>$Z:/6�:�1�"%&L*+$mg-0>$Uk�<>��k>*+g="-:�4S"-kH�rg-0%��n�&,©À |9rw�����·�¯s��u��z�s��w�u�px3|Ir���«3�������uvysut��(x`� Í Ï <=<�~�ÎT~2�05¸¥�~>¿�~N�

_ ¿ � a O � �M�p�h|9r�x�|9r�� ��� > � ��s�x�vy�h|Zx © � g-<�p-0�p%*513*+&/47*�:F0>$U02136r&=*+&x<�Â47no"a?Ã"�1�k � �Q0>g���g="�1�0'A�0247*�<>$Â�<>gv47no"���.�:�13*�k�"-0>$m47g-0>?@"�13*+$��s&�021�"%&=�¢0>$ ��g=<�p�1�"%� ��� 0247n#t ����"%g't �`"%&'"-0>g-:/n � � � � � � � � � � � � �

¿H3

Page 47: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

_ ¿U< a ��� �w��� �Mvyz{t%|9r��F�}�)��tw� ��|9t[© �·A/��"-:�4S"-km:=<>����.o4�0247*�<>$ª47*+�¢"QÂ�<>g�? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ �o0247n��g=<�p�1�"%��©b�Nq¦« O¥YZ���w�ur}|9�[��r9³¤���(~w��s�v�rw� Ï 3 Í Ï < � À�Î�¿ � 3I¥ 52I�~M�

_ 52I a O �Ç�)� �y�O|9r�� À � O²� � |9�u~�©��Vno"v47g-0>?@"�13*+$��s&�021�"%&=�v0>$O��g-<�p�1�"%�¥0>$UkH�£*+$�*+�v021 &��o0>$�$�*+$��47g%"="%&,© ¹ ~}�p��|9s�v���r�x À �px���|9��z{t Ï�� Í Ï <�ÀrI¯Î Ï�Ï � � ¥ Ï�Ï 3�~N�

_ 5 Ï a O � À ��YZ� �����w�½|9r��h«��cYw�w�¯v�r�z���|Ivy� © �T����g-<'Ar*+�v0247*+$��£47no" ��"%g%�¢0>$)"%$�4K©��Nq¦« O YZ�Z�w��r}|I�b��r³¤���<~w�wsuvyrw� Ï�� Í Ï < � <¯Î Ï�Ï ¿ <I¥ Ï�Ï À � �

_ 5@~ a4À � O²��� |9�u~�©��Vno"x��g-<�p-0�p%*513*+&/47*�:Ã0>$U02136r&=*+& <�Â�&�<>�¢"�:=<>�^p%*+$U024�<>g%*�021�&'"-0>g-:/n 021¶��<>g/*547n��Q&,©«3��������v�s�tw�hx§|Ir�� ³ª���(~��y��¨Nv�s´�Pº `-� � �3vy�u�pz suvy�Zr�x |9r�� À �pz�� rMs À ��xu�w��s�x Í Yw�[Á`�[���{|9�w�[©���:� Î{©�«3z�|9���p�(vyz Â ���px�x ©)`-� � �6���u¿ Í Ï <�À 3�Î Ï ¥ Ï <��

_ 52� a4À �FO²� � |9�u~�© � g-<�p-0�p%*513*+&/47*�:90>$U02136r&=*+& <�£�o0>g�47*547*�<>$�*+$�� 021¶��<>g%*547n��£& Â�<>gO47no"O47g-0>?@"�13*+$��&�021�"%&=�¢0>$v��g-<�p�1�"%� *+$�47no"x�X1�0>$)"�© O�|9sut�� ¹ ~b� � � À �px���|9��z{tO~ Í Ï <�À@À�ÎT~2I <¸¥�~@~>¿��

_ 5>¿ a4À � O � � |9��~[©��Z�o024�:/n�*+$��£021¶��<>g%*547n��{Â�<>g 47no"F$U<>$���&=6r�Q�^"�47g%*�: 47g-0>?@"�13*+$�� &�021�"%&=�¢0>$���g-<�p �1�"%�<©b�Nq¦« O¥YZ�Z�w��r}|I����rb³¤���<~w�wsuvyrw� � Í Ï <�À%<¯ÎR5 3 Ï ¥ 5@Àr���

_ 5 5 a4À �UO ���4|I��~¡|9r��¢Yw� O²���¯su� �p����© � g-<�p-0�p%*513*+&/47*�:�0>$U02136r&=*+&�<�Âxno"%.�g%*+&/47*�:/&�vyr¡�'tw�)s���|���� ��vyrw�x{|I�y�px��=|Ir ~w���Z�w�y�p��º;|����wvy���p��su���w�<� � z������wvyr�|9s����uv�|I�'��~wsuv¬�<vyÈ�|9suvy�Zr�©`»-�cu6� u�|��-��� �p©Yw� ����u�� r�xusu�{|�©w«� �4� � À vyrwr��M�I� � |9r�|9r�� ��� > �b�¯t��<�I�Nx-» �wx � Í Ï < � 5�Î Ï �wÏ ¥�~2I 3N�

_ 5 3 a �� �­�pxus�� r�|9r��n�b��u[� ��© �Vno"£:%"%$�47g-021V13*+�Q*54T47no"-<>g="%��Â�<>gGW¬"%*��rn�4S"-kL�£*+$�*+�v021U&��o0>$�$�*+$��47g%"="%& <>$9g-0>$Uk�<>� �o<>*+$�47&,©w«)rwr���«)~w~w�X�} �����[�)3 Í Ï < < 3�Î�¿U< 5¸¥ 5@~�ÀM�

_ 5�À a �b�Uu[�p��© �Jno"�:%"%$�47g-021�13*+�£*54¬47no"-<>g="%� Â�<>g �.�:�13*�k�"-0>$��£*+$�*+�v021J&��o0>$�$�*+$��H47g%"="%& 8 ©P«3r�r��«3~w~w�X�} �u�����#3 Í Ï < <�ÀZÎ < < 3I¥ Ï I�~2IN�

_ 5 � a �b��u[� ��©���&=6r���X4�<247*�:/& <�ÂT�o<7W¬"%g � W¬"%*��rn�4S"-k �.�:�13*�k�"-0>$QÂ-.�$U:�47*�<>$U0213& Í Ï < < � Î{©�~���� ~w��v�rMs �_ 5=< a �b�Xu[� ��©�� <>g/&/4x:=0>&'"£0>&=6r���X4�<247*�:/&Q<�¬�o<7W¬"%g � W¬"%*��rn�4S"-k ��.�:�13*�k�"-0>$�Â-.�$U:�47*�<>$U0213& Í Ï < < <�Î,©

~w��� ~w�uvyrMs �_43@I a �b�ou[� ��© �F024S" <� :=<>$�?@"%g���"%$U:%" <� �o<7W¬"%g � W¬"%*��rn�4S"-k ��.�:�13*�k�"-0>$ �£*+$�*+�v021�&��o0>$�$�*+$��L47g="="%&

Í Ï < <=<¯Î,©}�¯su�Nz{t��}Â����NzZ�w«)~w~w��v¬zZ��©�s��h|9~�~b��|9�p�_43 Ï a Yw� �­���<� :��x4|9r��²»-�/�¯È �p�(� � :�p��vX© � *+�Q*54�k>*+&/47g%*�p%.o47*�<>$�&xÂ�<>g¢47no"H"BAr*+&/4S"%$U:%"¢<� ? 0>�Q*51 4�<>$

:/*+g=:/.�*547&�*+$ 0Lg-0>$Uk�<>�°�rg-0%��n¯© ��vyx�z���� s��GOn|9sutw�p�=|Is�vyzpxT¿�� Í Ï < � �¯ÎR5 5¸¥>3@�N�_43�~ a �§� �u��wz È�|9¿b© l 6�:�1�"%&�*+$bg=0>$Uk�<>� �rg=0%��n�&,© ��vyx�z �u� s���O�|9sutw�p�=|9suv¬z xP< � Í Ï <=< Ï ÎT~2� Ï ¥�~2� 3��_43@� a Â/� ��� O�|Zz �­�pr�Èpv��|9r������ Á¤�P�¯su���wsp© �J�X47*+�v021 � 0>g-021+1�"�1el <>$�&/47g%.�:�47*�<>$ <� ? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$

l 6�:�1�"%&O0>$Uk � �o0>$�$�*+$�� ��g%"="%&s*+$ �x0>$Uk�<>� f g=0%��n�&,©£Â �u�Nz��p�p��v�rw��x(� � s�tw� 5Isut�«�³ O�¯�N�<~b��xuvy�w�5�Zr�Â�|9��|9�y��� ��«3�������uvysut��(x-|9r���«)��z{twv�s��pz�s��w�u��x Í Ï < <@�¯Î{©N~w~���~@~>¿9¥�~@~=<��

_43r¿ a ³�� O�z �3v�|I���<v¬�[©Vl·13.o4 4S"%g·��"%g-:=<21�0247*�<>$ 0>$Uk�g=0>$Uk�<>���rg-0%��n�&,©�³¤�����wv�r}|9s��Z��v¬|9� ¹ ~wsuv¬�<v�ȸ|¸¥s�v���r�© Í ���3Yw� À |��M�£|I���N¥ �M�<v�s�t�©£»6�[� Î O�|9s�t����h|9suv¬zp|9�) �����Z�{|Z�(�(v�rw�]��s������ Ï � Í Ï < � I�ÎÏ À�¥�~ 5N�

¿�À

Page 48: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

_4305 a u6�Z :��x�|�©�? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ :/*+g-:/.�*547&*+$^g-0>$Uk�<>���rg-0%��n�&,© �3v¬x�z���� s��POn|9sutw�p�=|Is�vyzpx Ï ¿ Í Ï <�À 3�Î�05=<I¥S� 3>¿��

_43 3 a ³�� À �����(��rw�9« <>.�$Uk�0>g/6vg-<q<24S"-kQ�rg-0%��n�&Ã0>$Uk �.�:�13*�k�"-0>$b�v024�:/n�*+$��s021¶��<>g%*547n��Q&' t�� ���s�tw�pxuv¬x Í Ï < <@�¯Î��3�p~�sp��� � O�|9sutw�p�=|9suv¬z x ©ou[� twv���t � rwv���� ��xuv�s´���

_43�À a ³�� À �p�w�<��r��%|9r��ªYw�-»-� �6�w¿¯v¬z{t�© � *+�£*54L47no"-<>g%"%�Q& 0>$Uk g-024S"%& <�Â�:=<>$�?@"%g���"%$U:%"QÂ�<>g&=.�p-0�k�k>*547*+?@"���.�:�13*�k�"-0>$QÂ-.�$U:�47*�<>$U0213&,©�«3r�r���«3~w~��C�} �����[�#¿ Í Ï < <r¿NÎ Ï I05�Àp¥ Ï I�Àr���

_43 � a ³�� À �p�w�<��r��<|Ir���Yw��»-� �6�w¿¯v¬z{t�©���&=6r���X4�<247*�:/&)Â�<>g ��.�:�13*�k�"-0>$�Â-.�$U:�47*�<>$U0213&FWe*547n��o<7W¬"%gW¬"%*��rn�4S"-kH"-k'��"%&,©}�¯su�Nz{t}|Zxus�vyz4Â����Nz��px�x��px-|9r��;�`tw� vy�)«3~�~w�yvyzp|9s�v���r�x^3 Ï Í Ï < < 3¯ÎT~ � <¸¥S�@Ir¿��_43 < a ¾ � À tw� ��© �$ 47no"���.�:�47.�0247*�<>$�&O<� 47no"O&/4�<q:/n#0>&/47*�:O47g-0>?@"�13*+$�� &�021�"%&���"%g%&�<>$ ��g-<�p�1�"%��©On|9sut�� ¹ ~b� �p� À �pxu�¸|I��z{t Ï 3 Í Ï < < Ï Î ¿ � ~�¥�¿ � <��_ÁÀrI a ¾ � À t��p��© �${47no"s47g-0>?@"�13*+$��b&�021�"%&���"%g%&�<>$ ��g-<�p�1�"%�¥*+$ �v0>$�6;k>*+�¢"%$�&=*�<>$�&,© À |9r������

�¯s��u��z�s��w�u��x)|9rw��«3�������uvysut��hxF� Í Ï < <@~�ά~2~�À�¥�~2�@�N�_ÁÀ Ï a ¾ � À tw� ��© ��$O47no"`&/4�<q:/n#0>&/47*�: ��.�:�13*�k�"-0>$ 47g=0>?@"�13*+$��Ã&�021�"%&���"%g%&�<>$Q��g=<�p�1�"%�NÂ�<>g k>*+&/47g%*�p%. �

47*�<>$�& We*547n^.�$)p-<>.�$Uk�"-k£&=.>���o<>g�4K© O�|9sut�� ¹ ~b� � � À �px���|9��z{t Ï�� Í Ï < <@�¯ÎT~=<�~¸¥�~%< <��_ÁÀ2~ a ¾ � À tw� ��© � �¢024�:/n�*+$��¬��g-<�p�1�"%� 0>$Uk�&=.�p-0�k�k>*547*+?@" ��.�:�13*�k�"-0>$�Â-.�$U:�47*�<>$U0213&,©9«3rwr[��«)~w~w�X�

 �����[��� Í Ï < <@�¯Î¬À%<r¿Z¥ � I Ï �_ÁÀr� a ¾ � À tw� ��©�«�<>.�$Uk�0>g%6^" ��"-:�47& *+$�47no" 47g-0>?@"�13*+$��L&�021�"%&���"%g%&�<>$L��g-<�p�1�"%�(� ¹ ~b� �p� À �pxu�¸|I��z{t

u�� sus�� ��x Ï 3 Í Ï < <>¿NÎ Ï <I¥�~ 5N�_ÁÀj¿ a ¾ � À tw� �|9r�� O �}��|9�¬|9����|9r��[© � 0>g�47*+$���021�"�*+$)"-,/.�0213*547*�"%& 0>$Uk � � ��:=<>���X1�"�4S"¬��g=<�p�1�"%�Q&,©On|9sut�� ¹ ~b� �p� À �pxu�¸|I��z{t Ï ~ Í Ï < � À�Î Ï À@Àp¥ Ï��wÏ �_ÁÀ 5 a ¾ � À tw� �§|9r�� O²����|I��|9�Z�{|9r��:© � &=n#0>gS��k�"%?q*�0247*�<>$ *+$)"-,/.�0213*5476¬Â�<>g�47no" &/4�<q:/n#0>&/47*�:�47g-0>? �

"�13*+$���&�021�"%&=�¢0>$v��g=<�p�1�"%��©w«)rwr��} �u����� Ï À Í Ï < � <¯Î Ï ¥ � �_ÁÀ 3 a ¾ � À tw� �"|Ir��#O �/��|9�¬|9���{|Ir��[© ��$Z47no"H1�<>$�� "-k'��"%&�*+$Z47no"v&=n#<>g�4S"%&/4�4�<>.�gH47n�g-<>.��rn�É

g=0>$Uk�<>� �o<>*+$�47&,©�³ª�����wvyr�|9s����uv¬zp| Ï ~ Í Ï < <�~�Î��~2�¸¥S�@�@I��_ÁÀ@À a4À � ¾ � À ���wv�r�xu��r�|9r��c`� ³���¾O�����=|9�y�[©���13�¢<>&/4 021+1F:/.�p%*�:��rg-0%��n�&s0>g=" ? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$}©

À |9rw�����·�¯s��u��z�s��w�u�px3|Ir���«3�������uvysut��(x`� Í Ï <=<�~�Î Ï�Ï À�¥ Ï ~ 3��_ÁÀ � a4À � ¾ � À ���wv�r�xu��rn|9r�� `4� ³3��¾²�Z���h|9�¬�:© ��13�¢<>&/4x021+1Vg="��r.o1�0>g��rg-0%��n�&Q0>g=" ? 0>�£*51 4�<>$�*�0>$}©

À |9rw�����·�¯s��u��z�s��w�u�px3|Ir���«3�������uvysut��(x 5N© Í Ï < <r¿MÎT� 32�I¥S��Àj¿��_ÁÀ%< a �§�b�¯� ~w~ �|9���|Ivyrw� r�|9r�� Yw��»-� �6�w¿Mvyz{t�© � 0>g���"�k�"%?q*�0247*�<>$v��g%*+$U:/* �X1�"%&·Â�<>g ��.�:�13*�k�"-0>$QÂ-.�$U: �

47*�<>$U0213&Ã0>$Uk^<247no"%g�$)"-0>g�136s0�k�k>*547*+?@"T��g-<q:%"%&=&'"%&,© Í Ï <=< <¯Î,©N~w�u� ~w��v�rMsp�_ � I a »-�¯�¯t}|Z�<vy� ©�? <7W;�v0>$�6 g-0>$Uk�<>� "-k'��"%&T�v0 �@"�0��rg-0%��n�? 0>�Q*51 4�<>$�*�0>$ ��©�³ª�����wvyr�|9s����uv¬zp|

� Í Ï < � ��Î Ï ~r�I¥ Ï ��~N�_ �wÏ a Yw�UO �M�¯s�� � ����© � .�p-0�k�k>*547*+?@" ��.�:�13*�k�"-0>$�Â-.�$U:�47*�<>$U0213& 0>$Uk $U<>$��S13*+$)"-0>g�rg-<7W�47n£*+$v��"-<>�¢"�4��

g/*�:x��g-<�p-0�p%*513*5476Z©�«)rwr��bÂ�������� < Í Ï < �wÏ Î� 305¸¥S��À�3��¿ �

Page 49: When is the Assignment Bound Tight for the Asymmetric ...af1p/Texfiles/TSP.pdf · The Asymmetric Traveling-Salesman Problem (ATSP) is the problem of nding a Hamiltonian circuit of

_ � ~ a Yw� O �}�¯su� �p����© � g-<�p-0�p%*513*+&/47*�:�021¶��<>g%*547n�� Â�<>g 47no"�k>*+g="-:�4S"-kL47g=0>?@"�13*+$��L&�021�"%&=�v0>$v��g-<�p�1�"%��©On|9sut�� ¹ ~b� �p� À �pxu�¸|I��z{t Ï�Ï Í Ï < � 3¯Î�r¿��¸¥S�052I��_ � � a Yw�!O²���s�� � �y��© f g-<7W�47nªg-024S"%&m<� ��.�:�13*�k�"-0>$ �£*+$�*+�v021 &��o0>$�$�*+$��µ47g%"="%& We*547nÅ�o<7W¬"%gW¬"%*��rn�4S"-kH"-k'��"%&,©�«)rwr��bÂ�������� Ï 3 Í Ï < � � Î Ï À 3�À�¥ Ï À � ÀM�_ � ¿ a Yw� O²�:��s�� � �y��© � g=<�p-0�p%*513*+&/47*�:£0>$Uk WT<>g%&/4¬:=0>&'"£0>$U02136r&'"%&�<�Â�:�1�0>&=&=*�:=021���g-<�p�1�"%�Q&Q<�ÂÃ:=<>� �

p%*+$U024�<>g/*�021�<%�X47*+�Q*ihq0247*�<>$H*+$ ��.�:�13*�k�"-0>$H&��o0�:%"�©UOn|9sut�� ¹ ~b� �p� À ��xu��|9��z,t Ï 5 Í Ï < <@I�Î Àj¿U<¸¥À@ÀrI��

_ � 5 a Yw� O²�P��s�� � �y��© � g-<�p-0�p%*513*5476 �Vno"-<>g/6H0>$UkOl <>�¢p%*+$U024�<>g%*�021 ���X47*+�Q*ihq0247*�<>$ Í Ï < <�À�Î'�Nq¦« O �_ � 3 a Yw� O �¯�¯s�� � �y�)|9r��(�§�@u6�M�¯rM�M��� �¢� <>g/&/4²:=0>&'"�rg-<7W�47nQg-024S"%& <�¬&�<>�¢"�:�1�0>&=&=*�:=021j��g-<�p�1�"%�Q&

<�ÂÃ:=<>�¢p%*+$U024�<>g%*�021J<%�X47*+�Q*ihq0247*�<>$¡�¯v¬|Z��Yw��³¤���<~w�ws�|9s�v���r Ï � Í Ï < � <�ά~�À � ¥�~ � ÀM�_ � À a O �M��|9�¬|9����|9r��[©²le<>���X1�"�4S" :=<>$�?@"%g���"%$U:%"�<� 47no"�k>*+g%"-:�4S"-k � ��� © On|Is�t�� ¹ ~b� �p� À �pxu�¸|I��z{t

Í Ï < < Ï Î � �wÏ ¥ � � À¯�_ � � a O ����|9�¬|9���{|Ir��[©Xl <>$U:%"%$�47g-0247*�<>$v<�Âe�¢"-0>&=.�g="x0>$Uk`*+&�<%��"%g%*+�^"�47g%*�:�*+$)"-,/.�0213*547*�"%&·*+$���g-<qk>.�:�4

&��o0�:%"%&,©�Â��w�w��v¬zp|9suvy��rwx O�|9sut :�p�h|9s�vy®¯�w�px'��� ��[Çq�� �4� »£� �b� �wÏ Í Ï <=<05�άÀr�I¥�~2I05M�_ � < a O ����|9�¬|9���{|Ir��[© � $)" WN1�<q< ��024 *+$Uk�"S��"%$Uk�"%$U:%"�©N«)rwr��bÂ���������~>¿ Í Ï < < 3¯Î Ï ¥S�r¿��_ <@I a O ����|I��|9�Z�{|9r��<|9r��vYw��»-� �6�w¿Mvyz{t�© �Vno"F*+$�4S"��rg-0�p%*513*5476£<�Âx47no"F&�,/.�0>g="�"BA/�o<>$)"%$�47*�021#47g-0>$�& �

�o<>g�4�0247*�<>$ :=<>&/4K©w«)rwr���«)~w~w�X�b �u������� Í Ï < <@��Î Ï�Ï I@II¥ Ï�Ï�ÏZÏ �_ < Ï a «��Ç�'tw���h|Zxu��r�©�� &=*+���X1�"Ã13*+$)"-0>g£"BA/��"-:�4S"-k¢47*+�^"Q021¶��<>g/*547n�� Â�<>g;? 0>�Q*51 4�<>$ :/6�:�1�"%&,© ��vyx ¥

z �u� s���O�|9sutw�p�=|9suv¬z x`À 5 Í Ï < � <¯Î��Àr�I¥S��À7<��_ <�~ a �����ª|Irh¾ v��p�u� r"|Ir�� ���ÇÁ¤����s����ws © �x0>$Uk�<>� �rg-0%��nH021¶��<>g%*547n��£&�Â�<>g�47no" �¢"%&=n We*547n�g-<7W

0>$Ukb:=<213.��Q$ &=.�pqp%.�&'"%&,©� �u�Nz��p�p��v�rw��x­� � sutw�(x��pz���rwrw�n¾O���u¿Nxutw��~���r À �pz �Zrw³w���w��|9�w���«3��z{twv�s��pz�s������px Í Ï < <05�Î{©N~w~�� Ï ¥ Ï �N�

_ <@� a ��� ¾ �}¾ |9��¿M�w~�© ��$ 47no"�"BA/��"-:�4S"-kv?20213.�"£<�ÂQ0¢g-0>$Uk�<>� 0>&=*��r$��¢"%$�4J��g-<�p�1�"%�<©[�Nq¦« O Yw�³¤���<~w�wsuvyrw� � Í Ï <�À%<¯Î ¿@¿�II¥�¿2¿�~N�

_ <r¿ a `� ¾²�����=|I�¬�[©�� <qk�"�13&Ã<�Â�g-0>$Uk�<>��g="��r.o1�0>g��rg-0%��n�&,©P���w����� �Nx£vyr�³ª������vyr}|Is����uv¬z x Í Ï < < <�Π���Nz�� �p��v�rw��x£� �?> �uvysuv¬xut9³¤�����wv�r}|9su����v¬|9��³ª��r � � ��� r�z���©�~2�=<I¥�~=< � �

_ <05 a Yw�9»£� �6�w¿Mvyz{t�© ��&=6r���X4�<247*�:/&�Â�<>g¬47no"�&/4�<q:/n#0>&/47*�: � ��� We*547nx�o<7W¬"%gFW¬"%*��rn�4S"-k "-k'��"%&[ �����[��'tw� ���u�"|Ir�� À �p�¬|9su����Áfv��p�y�wx Í Ï < <05�ά~2I2�I¥�~@~2I��

_ < 3 a Yw�6»-� �6�w¿Mvyz,t[© ��g���<qk>*�: 47no"-<>g%"%�Q&�Â�<>gH&�<>�¢" :�1�0>&=&=*�:=021¬<%�X47*+�£*ihq0247*�<>$ ��g-<�p�1�"%�Q&«3r�r��«3~w~w�X�} �u����� Í Ï < < 3¯Î Ï I@I 3I¥ Ï I@~2���

_ <�À a Yw�f»-� �6�w¿Mvyz{t�© � g-<�p-0�p%*513*5476 �Jno"-<>g%6�<� l·1�0>&=&=*�:=021 ��.�:�13*�k�"-0>$ �J�X47*+�£*ihq0247*�<>$ � g-<�p�1�"%�£&u��pz�s�������`-��s��px'vyr On|Is�tw�p�h|9s�vyz x Ï 3�À 5 Í Ï < < � Î'�¯~w�uvyr���� �`� � �u��|9�w�

¿U<