Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ...

74

Transcript of Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ...

Page 1: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

����� ��������� ���� �� ����������

��������� ��!#"�$&%('�)�*�+-,/.0.0132�4�+6587:9<;=)�*�>?7:4�9=+-*�@A+(B�*?C�D�*?BE2F,G;=)�*IH�1:>?4�.A;J,LK7:1:9=BEM�>N)�*?B�4�.A*?+PORQ�)�@A>S)1:9=*UTE@AD�@ATE1:.<5R7:9V.A*W>?;=4�9=@0D�XY13D�BZTE1:[/@0TE1:.\587:9P*W[/1:TE@0D�@0D�X^]`_�ab+=)�7:4�.0Bdcfe/!hgi�kj�l#mn13o�o�9=*W>?@A1:;=*2^*?@0D�Xp;=7:.ABq7:5�1:DF,r>W739=9=*W>?;=@A7:D�+b7:9Io^7:+=+=@02�.0*�@0TEo�9=7#s:*?TE*WD/;=+b13D�BtTE@0X:)/;I*?s:*WDto�1:9=;IQ�@0;`)q1p+=TE1:.A.9=*?Qu1:9=Bv;=7Y;`)�*EC�9=+=;VC�D�B�*W9V7:5uo�1:9=;=@A>?4�.A1:9�*?9=9=7:9=+#_G'�)�@0+VB�7/>?4�TE*?DF;V@A+�Q�9=@0;`;=*?Dv@0Dvwyx?'�z�{b|:*E1:D�B+=;=7:9=*?Bp@0Dp;=)�*IC�.A*I.01:2^*?.0.A*WBZ}?~F�/�/�&�?�/�F�/�/�/�u�J~/�F�G7:Dp*?TG4�@ADkO8a\)�7:o^*F]�9=*W13Bpo�*?9=TE@0;`;=*?B�5R7:9=T�_��k,*?��TE1:@0.&13B�B�9=*?+-+�@0+b~/�/�/�F�/�/�F����_

�����v���d�v�E 

¡ ¢¤£¦¥¨§�©«ªZ¬®­�©6¯F£b¬�°�± ²² ³v£�¬µ´\¶¦·`©6¸ ©6¹rº»°�¼�£�·½¸«¬�§�¬&¾ ¿¿ ³v£�¬µÀ�©(Á½Â�´\Ã�©�Ä�¢Å¬&·`¬&°�¾F¯/°�´<¾F¾n¯/£�¬&©6°�¬�¸ ÆÆ Çµ·½È6£�¬&°É§�·½¸«¬�Ãb¾F·`©6Ã�¾ ÊË Ì»Í�¬&Ãδ\Ã�§Ï¼�Á`©6¾F¬&§Î¾F¬&¯/¾ ¡�ÐÑ ³v£�¬µ¼�¬&æ¯/°�´\ÁE¯/£�¬&©6°�¬�¸«¾n©6¹r´\Ã�´\Á`¥¦¾F·½¾ ¡�¿Ò Ó ·½Ô�¬�°�¬&æ¯/·`´\¯/·`©6à ¡�ÑÊ ÕL©¦¼�´\ÁE³U´&¥¦Á`©6°É¯/£�¬&©6°�¬�¸«¾ ²6ÐÖ ×»·½¬�¸«´\Ã�ÃÏ·`æ¯/¬&È6°�´<¯/·½©(à ²6Æ¡�ÐÙØbÚb°�¯F£b¬�°É°Û¬�¸«´\°�ܦ¾n©6Ãη½Ã¦¯/¬�È6°�´\¯F·½©6à ²6Ê¡6¡ÉÝŬ&¯F°�·½¼�¾FÍb´<¼�¬�¾ ¿�¡

Þ

Page 2: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

¡�²ÙºßÁ½©¦©6ܨ¯F©«¯/£�¬µ¹NÚ�¯/Ú�°�¬ ¿6Æ¡�¿Ùàn©6¸«Í�Á½¬&¯F¬&Ã�¬&¾F¾ ¿ Ò¡�ÆÙ³v£�¬µÚ�Ãb·`¹N©6°�¸ ¸«¬&¯F°Û·`¼ Æ6С�ËÙ³v£�¬µ¼�©6æ¯/°�´\¼�¯/·`©6Ãθ«´\Í�Í�·½Ã�È«¯/£�¬&©6°�¬�¸ Æ6Æ¡�ÑÙáµ°�¬&¬�ÃEâã¾n¹NÚ�Ãb¼�¯/·`©6Ã Æ Ò¡ Ò ØbÚb°�¯F£b¬�°É°Û¬�´\§�·½Ã�È Ë6С�ÊÙØ�·½°�¾F¯dä�£�¬&¬�¯d©6¹råY¶¦¬�°�¼�·`¾F¬&¾ Ë6²¡�ÖÙä�¬�¼�©(Ãb§Îä�£b¬�¬&¯d©6¹råt¶¦¬&°�¼�·½¾F¬&¾ Ë6ʲ6ÐÙ³v£�·½°�§Îäb£�¬&¬�¯d©6¹råY¶¦¬�°�¼�·`¾F¬&¾ Ñ6²²�¡ÉØb©6Ú�°�¯/£Îäb£�¬&¬�¯d©6¹råY¶¦¬�°�¼�·`¾F¬&¾ Ñ6Ñ

æ ç è�é ê � ëì� í��d� è �ïî�ð

ñóòÙô�õ»õ÷ö\ø÷ù\øWô�õ÷ô�ú\ûýü\þhÿ����^ú�� ù��/þ^ù��nòFü<ô�ú�ÙòÛü�:òÉòÛü�:ò��^ú� ���õ÷ô�õ��/þ�ú\õ÷ô�õ`òFõ»ô�ú«òFü�� ô����/ö� òïù\ø÷þ�þ��Jõqþ���þ ���uô�þ^ö\õUòÛü�/þ^ø����dõ��������(ÿ���ú��� � �&ú\þhÿ! uòÛü�"�ýõ����# �ô�õUÿkü��ò����ô�dô òvô�õ� <òÛü� � ��$\ú\ô òÛô�þ^úµþ �%�/þ�úÛòFô�ú�ö\ô ò&�'��ú � òFü� � ��$\ú\ô òFô�þ^úµþ �uòFü� � �/ø÷ô(�)�:òÛô��*��������òFü��ø��/õ`òZô�õ,+�ô�úÛòÛö\ô òÛô��*�����-������^ø�.��

ñ/�qù\ø��/õ÷õ�� � òFü�"��ÿkô�����^û�ø0��� òÛü�:òÉòÛü�/õ�� � ��$\ú\ô òFô�þ^ú\õ1�^ù<ù���2�^õ1�vö�3ü«òFþµòFü�ø0��òFô�þ^ú3����õ �^õ(òFþGòFü�Lø�������ú�ö�4�5�FøWõ �76pü�"��òÛü�/úvü���*�IòFþ��"8ù����ô�úròÛü�7�Jþ����þhÿkô�ú\ûô�úÛò��/ø0�/õ`òÛô�ú\û��"89���nù�����åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡*:½¡5:�;=<?>A@ B CED�F�CHGJI0KML�N

>PORQTSPUWV Þ CX<YQ*Z�[]\ ^>PORQTSPU Þ _#`ba I�cedfCHDgI�^

`ba I0KbhCXij>kCHD�l _ K ` CHK3m _ m)Dn<"m)Kol ` C _ K�dfC `ba >fOqp�SrUWV Þ ^Y>PO=\ SYU Þ NI `7`ba I�c�Its _ I�D�K _ `

I�u�CED `7v4w dfC `ba >fO w SYUxp ^hCHCXi->yCHD v szCX{�I�czI�K ` C v L�|RI�</m)KTl ` C _ K}dPC `Ra >�~&ORQTS�U�pA< _ c v |H|*Q2NI ` >yCHD�K _ `

l _ KD `�v K `q�� ü�:ònô�õEòFü3� � ô����/ø0�/ú�������?òSÿ����/ú ��ú � ÿZü\ô��3ü-����� �/õ���� ���/ö��ö\õUÿqþ^ø��µþ^ú

þ^ú���"�*�/úvòÛü\þ�ö\û^ü ô ò!�E��ô���õpþ^ú�òÛü�tþ�òFü3�/ø0���Eþ�òFüA�^ø���+�þ�ø � �/ø�� � $��� � õ�. �òÛü�:òkô�õ� ��(þ�òFü\

Page 3: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

õ÷ö\ù\ù(þ�ø`òYþ^ù��/ø0��òFô�þ^ú\õLþ ��+�� �� ô òÛô�þ�ú.*��ú � +��vö3� òÛô�ù��ô�����òFô�þ^ú.�òFþ�û��?òÛü�/ø�ÿZô òÛü��Zø�������òFô�þ^ú+�û�ø0����ò��/øUòÛü�^ú. O +�þ�ø � �/ø�. S ÿZô òÛü»òÛü�ïù\øWþ�ù5�/ø`òFô�/õUòÛü�:òqÿ����"8uù����?ò��»ñ&��òFü�dø0��� � �/øqô�õô�úÛò��/ø0�/õ`ò�� � õ#ü��ÿZô���*$\ú � ���/þ �dù3���?ò��?��ô�õ`òYþ ��òÛü�?��ù\ù\øWþ�ù\øWô�:ò�����8ô�þ �dõLô�ú�ò��"8&òÛõ7��ô���òFü����� òFþ�û��?òÛü�/øn�"89��������/úÛò��(þ�þ��nþ ���\ù\ô(�)������� ���^ú � ô òÛõn���^ú��µø��:òÛü�/øn���/õ÷õ��"89��������/úÛò�/þ��nù5�?òÛô òÛþ^ø÷õ� n�\öfò� Uô�úFò��/ø��/õ`òFô�ú\û��^õvõ÷ö�3ü�òFü\ô�ú\û^õ4���������� bòFü�"�}�^ø�� ô�øWø������"���^úÛòZòÛþþ^ö\ø�ù<ö\øWù(þ�õ���ÿkü\ô�hü ô�õ�ú\þ�ò�òFþ��/þ^ú\õ÷ô � �/ø¦òÛü��õ÷ü��ø0� � ù\ø÷þ^ù5�/ø`òFô�/õGþ�� ��ú � �\öfò�òÛþô � �/úÛòÛô��X�A� s�CX{�I�czI�KTl�I ���?òSÿ����/úqòÛü�Pò ÿtþ�õq�õ`ò����dõ�ÿkü\ô�hüqÿZô����/ú� �����ö\õ¦òFþ!�"89����ö � �òFü�tùuþ^õ÷õ#ô��\ô��ô ò&�®þ��o��� ö\ú�?òÛô�þ�ú���ô���UòFü��òqþ ����89���nù��� Þ � Þ �Jþ^ø��Jö\ú�?òFô�þ^ú\õ�� ø÷þ�� òÛþ�6�þ�õ`ò��:ò��PòFü� � ô��5�Fø0�/ú���Pÿ���ú��� � þ�ú��� ø����������� � ��$\ú\ô òFô�þ^ú��Jø÷þ�� òFü3���5�/û�ô�ú\ú\ô�ú\û

þ��6òÛü���/þ^ö\ø÷õ����,��� ���Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡*:㲡:�;=<1¢g£y¤ < _ c¥I v l a-¦¨§ Þ©v KTs-¢ª¤ `ba I�Kyd?I�D v N `ba5v `¢ £ B ¢�CX<?F�CHGJI�K�«7¬]p�d?I�l v K�­TKTs v K ¦�® Oq«�S�D�m9l a¯`ba5v `

° ¢±£�Vª¢ ° [x«r< _ c v |E| ¦'§}¦ ® Oq«�S�²6�ü�����"�¨ù\øWþ�ù5�/ø`ò&�¨þ��bòFü�nø�������õ� �òFü� <"m)Kos v�³ I0K `�v | v u�C _�³ ÿZü\ô��3ü'��� ���/õ!�"�J´

�/ø=��òÛü\ô�ú\ûqÿtþ�ø0�Zÿ���õ,� ��õ÷þnõ`ò���ò�� � ô�úïòÛü���/þ^ö\ø÷õ����,��� ���º»¶¦·`©6¸ ¡*:R¿ªµ?³Z£�¬µ¹NÚ�Ã�§�´\¸«¬&æ¯F´\ÁU´<¶¦·½©6¸ ©6¹r´<Ãb´<Á½¥¦¾F·½¾�¶ :�;=<t¢±£¯¤ < _ c�I v l a¦x§ Þ ^�·¸¤ v KTs1¢)¹!º»¢ Z º¼¢±½�º»²�²�² v KTs1¢ £ [¨·¾< _ c�I v l a1¦¸`ba I�K `ba I�c�II�u�CED ` D v K-¢t¤ D�m9l a¯`ba*v#` ¢±£�B ¢ v D ¦ B ¿ �ÀT�/õ÷õYùuþ^ú � �/ø÷þ^ö<õ����# %��ú �jÁ ö\õ`ò���õYø÷ô�û�þ^ø÷þ^ö\õ����# (òÛü�4�Jö\ú � � ���/úÛò����¡��8ô�þ��Â�Jþ�øGòFü�

ø0��� �¦ú�ö�t�5�/ø÷õ�õ����õ I�GJI0c�N�CHKTl�czI v D�CHKF�DgI�Ã�m�I�KTl�I�L _ mJKTs#I�s v L _ GJI ` I�KTszD `�_1v | C ³ C ` ����*�/ø=��òFü<ô�ú\ûZÿkü<ô��3ü � �/ù��/ú � õYþ�ú òÛü�4�Jö\ú � � ���/úÛò����¡��8ô�þ�� ô�õ���ú���(�õ÷ô�õ� ¡�"�*�/ø=�J´

òFü\ô�ú\û�����õ���ô�õ,���/ø0��� ��û ���\ø0� �

Ä Åìè � Æ?ǯÈ÷�ÊÉ �ÌËxÍ îYÎ è È�É � ê �ï 

ñSúròFü�7�/þ^ö\ø÷õ��r�,��� �Y�<þ�öZù<øWþ��*� � òÛü�r�Jþ ����þ#ÿkô�ú\û ø��/õ÷ö� òÛõbþ�ú�òÛü�r��ô��nô òÛõ�þ���õ���Ï&ö�/ú3���/õ��ÕL¬&¸«¸«´�²%:½¡*:

hCXi]Ð a IÊ| C ³ C ` CHD�mJK3C"Ã�m�I � Ð a*v#` CHD�^�CX<�¢±£ÑB ¢ v KTsÊ¢±£ÑB Ò v D

¦ B ¿ `ba I�K�¢4U2Ò �hCHCXi1;q<�¢g£�B ¢ v D ¦ B ¿ v KTs ¦ O Þ S�[ ¦ Oq\�S�[ ¦ OqÓ S3²�²�² `ba I�Kk¢±£ ÔÖÕ�×fB ¢ v D

Ø B ¿ �hCHCHCXi�;=<?¢g£4U w < _ c v |H| ¦Ù`ba I�K-¢±£�B w�v D ¦ B ¿ �hCHG�i�;=<?¢g£tB ¢ v KTstÒ/£�B Ò v D ¦ B ¿ `ba I0K-¢±£�ÚÛÒ"£tB ¢�ÚÛÒ �hG�i�;=<?¢ £ B ¢ v KTstÒ £ B Ò v D ¦ B ¿ `ba I�K�¢ £ Ò £ B ¢JÒ �hG�CXi�;=<?¢g£tB ¢ v D ¦ B ¿ v KTs4¢g£AÜU2p!< _ cjI v l at¦ ^P¢AÜUxp `Ra I�K-¢JÝ ¹£ B ¢)Ý ¹ �hG�CHCXi�;q<?¢g£tºW·y< _ cjI v l at¦Ùv KTst¢±£�B ¢ v D ¦ B ¿ `ba I�K�¢tºW· �

Ó

Page 4: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�<ô�ú��� òFü�/õ��µø��/õ÷ö� òFõZÿ��/ø��®ù\øWþ��*� � ô�ú«òÛü������ø0��ô��/ø1�/þ^ö\ø÷õ��®ñdõ÷ü���� ú\þ�òÙù\øWþ��3�òFü������ÞYþ#ÿ��"�*�/ø0 ¦ô ò�ô�õ I�D�DgI�K ` C v | �Jþ^ø��Jö\ø`òFü�/øEù<øWþ�û^ø��/õ÷õ�òÛü��òEòFü�qø0��� � �/øEõ÷ü\þ�ö� � �5������VòFþkù\øWþ��*�VòFü���ß� þ�ø�ü�/ø÷õ������H�Eñ&�#�6þ^ö�����únú\þ:òrù<øWþ��*�VòFü�/õ���ø��/õ÷ö� òÛõ l _ KD�m�| ` N _ m)cD�m�à9I�ceG�CHD _ c v#`¡_ KTl�I �Tárþ�önõ÷ü\þ^ö� ��� þEòFü3�põ�� ���pô�#�6þ^ö�����ú\ú\þ:ò ù\øWþ��*�VòFü�,�Jþ����þhÿkô�ú\û�)��øWô�:òÛô�þ�úiþ^úïòÛü���Jö\ú � �����/úÛò�� ���z8ô�þ ���ÕL¬&¸«¸«´�²%:㲡:�âãs#I�l0c�I v D�CHK3FtD±I�Ã�m�I�Kol�I _ <,czI v |JK3m ³ L�I�c�D�L _ m)Kos#I�s1L�I�| _ d ` I0KTs�D `q_v | C ³ C `��

�(ÞYô�úÛò��pñ&� ¢tºWÒ òFü�/ú V�Ò�ºÙV�¢ ���äYõ����Jö����õbòÛü�Yø��/õ÷ö� òFõEþ���ÀT������� \ � Þ �^ø��� &òÛü�"����ø0������õ÷þ òFø÷ö�Yþ ��õ���Ï�ö�/ú���/õEô�ú��6�ü�"�¯�^ø��pòFü�/ø����Jþ^ø��!���/ø��� Iô��Pô��nù(þ�ø½ò��^úÛò� o����û����\ø�����å�ö\ø,$\ø÷õ`òròFø÷ö���¯+���ú���(�õ÷ô�õ�.

ø0�/õ#ö� ò������ õ`òÛø÷ô�� �EòFü��ø���� � �/ø,�^õrø0��òFü�/ø�þ �� �³Z£�¬&©(°�¬&¸ ²¡:R¿ªµ?º»¶¦·`©6¸ ©6¹rº °�¼�£b·`¸«¬&§�¬&¾�¶#:

Þ¦ B p v D ¦ B ¿

6�ü�/þ�ø0��� \ � Ó õ÷ü\þ#ÿZõ�òÛü��òEòFü�/ø��tô�õpú\þ�+�"8uþ�òFô��.ø������ú�ö�t�5�/ø õ���� O òÛþ��3ü\þ�þ^õ���^ú��"8uþ�òFô�Zõq�9�t�(þ�� S ÿkô òFünòÛü�Zù\ø÷þ^ù��/ø½ò/� òÛü��ò Þ�æ�¦ ¬ �Jþ�ø�����Iô�úÛò��/û �/øWõ ¦©§ Þ �*�?ò¬Wp�O òFü��òvô�õ� ô�õrõ=òFø÷ô��?ò���� ù(þ^õ#ô òÛô��*�!��ú � �3�?òvõ���� ����/ø�òFü3�^ú�����Iõ`òÛøWô�?ò��(��ù(þ�õ÷ô òFô(�3�

ø0��òFô�þ^ú3����õ S �76pü�/ø��P�"8ô�õ`òGú�ö�4���/ø�õq�uõ=ò����nõ�ÿZô òÛükõ÷ö�3ü��"8þ�òFô��ú�ö�t�5�/øWõ O òFü�Y�E� �dþ�ö\õ+�ú\þ�úç´#õ`ò��^ú � ��ø � ��ú���(�õ÷ô�õ�.�þ��7���\ø0��ü� �éèrþ �\ô�ú\õ÷þ�ú¯�^ú � òÛü��+�õ÷ö\ø÷ø������Vú�ö�t�5�/ø÷õ�.Vþ���pþ�úÛÿ����¯�/þ^ú\õ`òÛô òÛöfò��EòSÿqþnõ÷ö�3üiõq�õ`ò����nõ S �\öfò� Á ö\õ=ò��^õ�òÛü��ø��:òÛô�þ�ú����õ?�^ø��� �ô�ú�õ÷þ ���õ��/ú\õ��� bòFþ�þ�õ�������Y�µõq�õ`ò����ê�Jþ^ø�òFü� õ`ò��^ú � ��ø � òÛü�/þ^ø����dõZþ ���^ú� ���õ÷ô�õ�òFþµü\þ�� � õ÷þòFü�Fõ��®ú\þ^ú�´�� ø��3ü\ô���� � ���^ú õq�uõ=ò����nõ1��ø0�� kô�ú õ÷þ����®õ��/ú\õ��� EòÛþ�þÑ�\ô�û �ë�Yø0�3ü\ô��� � �/õ�^ú � �Gö � þ�8ö\õ ø�������ô�õ�� � òÛü�kú3��� � �Jþ�ø?��úÊ�z8ô�þ � òÛþ õ÷ü\þ#ÿ òFü��òròÛü�/ø0�Zô�õYú\þj�"8þ:òÛô��ú�ö�4�5�/ø �\ô�û^û �/ø�òÛü�^ú���ú���ô�úFò��/û��Fø ¹ O ô����� ¬ ¦ �Jþ^ø?� ���bô�úÛò��/û��/ø÷õ ¦Ñ§ Þzì òÛþ õ����òFü���/þ^ú\ú���?òÛô�þ�úÉÿZô òÛüÙþ^ö\ø��Jþ^ø�� þ��¦òÛü�t�z8uô�þ��í�/þ�ú\õ÷ô � �/ø U Þ�æ S ��ÞYþ#ÿ��"�3�/ø� Vô�úõ÷ù\ô ò���þ �bô òFõrú������ ÿZü�:ò�ÿ���õ,��úÌ��8ô�þ �¨� þ�ø��Yø��hü<ô���� � �/õ�ô�õ?�tòÛü�/þ^ø����ã�Jþ�øpö\õ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ ²¡:RÆ¡:�înCHGJI�K v K3NMc�I v |7K3m ³ L�I0c¯ï d?I¥l v K�­TKos v K2CHK ` IðFJI0c ¦ dPC `Ra¦ ¬xï �

ñ Åìè � ò �Êó�ô?Æv�É��õ ç ��È÷�ïî� u�EîYÆv P  � è �t�iî���Éñóòïô�õ�����3�*�/ø=�iÿ������¡��ú\þ#ÿkô�ú\ûZòFü��ò òÛü�4�Jö\ú � � ���/úÛò����¡��8ô�þ � ô�õLòFü�4�Jþ�ö\ú � �:òÛô�þ�ú®þ������òFü3������òFô�/õ��<öfònü\þ#ÿ¨����ú»ÿ���$\ú � � ù\ø÷þ�þ��Iò����3ü\ú\ôÏ&ö�tÿkü<ô��3ü ÿkô���f� ����þ#ÿ ö\õEòÛþ�^ù\ù3��� ô ò���å�ú�Eò����3ü\ú\ô�Ï�ö��ö\õ��FõVòFü���Eþ ��ö���ú\þ�÷ �}�/ô�/øWõ`òÛø��^õ÷õ�òFü�/þ�ø0�����ø Hf7F73;=D�7:;=*V587:9�o�1:+=+-@AD�XE)�@0+=;=7:9=@A1:D�+�ùF;`)�@A+I@0+�1E>?7:4�9-+=*V@0DtTE13;=)�*WTE13;=@0>?+#_

ú

Page 5: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¿¡:`¡kµ?À�©(Á½Â�´\Ã�©�Ä�¢Å¬&·`¬&°�¾F¯/°�´<¾F¾�¶#:�;=<�Q�£Û¤ v KTs `ba I�c�I�I�u�CHD ` D v ïD�m9l ak`ba5v ` ° Q�£ ° ºûï�< _ c v |H| ¦¾`ba I�K-d?I�l v K1­TKTs ¦ O Þ S�[ ¦ O=\ S�[¾²�²�² v KTs�Q'¤D�m9l a¯`ba*v#` Q £ ÔÖÕ�× BêQ v D Ø B ¿ �

è�����������JøWþ �ü��� ��� òFü��òïÿ�� õ����ýòFü3�:òÌ� õ���Ï&ö�/ú3�����/þ�ú��3�/ø÷û��/õdô�rô òdò��/ú � õtòÛþ�¥��ô��nô ò��ý6pü���Eþ��ö��^ú\þz÷��Û�/ô��/ø÷õ`òÛø0��õ÷õZòFü�Fþ^ø���� òFü�ö\õ»õ����uõZòÛü�:ò-�"�3�/øq�x�uþ^ö\ú � � �õ���Ï�ö�/ú���kþ��Pø0��� ��õrü��õ?���/þ^ú��*�/øWû �/úÛòZõ÷ö�\õ���Ï�ö�/ú������þ þ�òÛô����pòFü��ò�ÿ��kõ���� ú\þ�òFü\ô�ú\û���uþ^öfòZö\ú\ô�Ï�ö�/ú�/õ÷õ� ¦ô� Q�£tUýOqV Þ S £ òFü�/ú Q Z £�B Þ �\öfò Q Z £�ÿ ¹ B V Þ �^õ ¦ B ¿ �

6�ü�/ø���ô�õ,�nù\ø÷þ&þ ��þ��6òÛü���Eþ��ö��^ú\þz÷��Û�/ô��/ø÷õ`òÛø0��õ÷õVòÛü�/þ^ø����¨��� ø��/ù5����ò�� �Ì� ô�õ÷õ����"´òFô�þ^ú�� ��þ�ú\ûZòFü3�4��ô�ú�/õtþ �òÛü�vù<øWþ�þ���þ��¦òFü��ô�úFò��/ø���� � ô�:ò��?������ö�ròÛü�/þ�ø0��� û�ô��*�/úÙô�ú�/þ^ö\ø÷õ��Ê�,��� ���ª�Û��õ÷ü� ���rû�ô��*�Ê��ú\þ:òÛü�/ø ù\øWþ�þ ����^õ�� � þ^ú òFü���Jþ�����þ#ÿZô�ú\ûk����/û���úÛò�/þ��t�\ô�ú��òFþ�øWô���������������ÕL¬&¸«¸«´�¿%:㲡:�;=<�Q5£©¤ `ba I0K v#` |RI v D `!_ KTI _ < `Ra I�< _ |H| _ dfCHK3F ` d _ D `�v#` I ³ I�K ` D³ mJD ` L�I ` cem�I �h

âYiÙÐ a I�czI-I�u�CHD `Y¦ O Þ SA[ ¦ Oq\�SÌ[ü²�²�²�D�m�l a `ba5v#` Q�£�ÔÖÕ�×4ºéQ5£ ÔÖÕ�ÿ ¹ ×n< _ ckI v l aØ § Þ �h

� iªÐ a I�czIAI�u�CHD `�� O Þ S�[ � Oq\�S�[¼²�²�²�D�m�l a�`ba*v#` Q��7ÔÖÕ�× § Q��nÔÖÕ�ÿ ¹ ×f< _ c�I v l aØ § Þ �

6�ü�/ø����^ø������)�^ø÷ô��?ò/� þ��6ò����3ü\ú\ôÏ�ö�/õ,�Jþ^ø�ö\õ÷ô�ú\ûtòÛü���Jö\ú � �����/úÛò�� ���z8ô�þ � @ ´rõ÷ö�"´���/õ÷õ÷ô(�3� � ô�õ÷õ����?òFô�þ^ú �ö\õ#ô�ú\ûAÞ��/ô�ú�"÷*�Eþ^ø����� P��þ�þ���ô�ú\ûA�Jþ�øUòFü�ïõ÷ö<ù\ø0����ö�í��ú � õ÷þ þ�ú��Åü�/úÙòFü� ø���� � �/øïô�õ��/þ^ú$ � �/úÛòiô�ú ü�/ø��Fþ^úÛòFø÷þ��Eþ ��òÛü�A����ò��/ø÷ô�� �Eô�úÙòÛü\ô�õ��/þ^ö\ø÷õ��O ��ú � ÿZü�/ú õ÷ü����ú\þ#ÿZõvòFü���)�^ø÷ô�þ�ö\õvò����3ü\ú\ôÏ&ö�Fõ1�/ú�ö���/ø0��ò�� � ô�úýòFü������õ`ò õ��/úç´ò��/ú3��� S õ#ü�qõ÷ü\þ�ö� � ò��/õ`òkü�/øpõ���ô�������Ùù\ø÷þ��ô�ú\ûtòÛü�����^ô�ú ø��/õ÷ö� òFõ�þ��<òÛü\ô�õ,�/þ�ö\øWõ������ö\õ÷ô�ú\ûA�����3ü»ò����3ü\ú\ô�Ï�ö�dô�ú òFö\ø÷ú���<þ�øUòFü���dþ ���/úÛònô ònõ������nõqõ��/ú\õ#ô����YòÛþA�/þ^ú���/úç´òFø��:ò��Yþ^ú»þ^ú�Yù\ø÷þ&þ � ò����3ü\ú\ô�Ï�ö�Yö\úÛòFô�(ô òqô�õn�Jö���(�Ê���^õ`ò��/ø�� � ��6pü3��ò����3ü\ú\ô�Ï�ö���hü<þ^õ��/ú�Jþ^ø�òÛü\ô�õ��"8ù(þ�õ÷ô òÛô�þ�úµô�õ�òFü3�:òvþ �%�Eþ��ö��^ú\þz÷��Û�/ô�/øWõ`òÛø0��õ÷õ��n�}���/þ^ú����ö � ��òFü\ô�õrõ����?òFô�þ^úÿkô òFüvòSÿtþ�ô�dùuþ^ø`ò���úÛò��"8�� �dù��/õ� 96pü�/þ�ø0��� Ó ����þ�úZòÛü���"8ô�õ=ò��/ú���tþ���õ#ö\ù\ø0�����t�^ú �6pü�/þ�ø���� Ó � Þ Ó þ�úïòFü��û �/ú�/ø�����ù\øWô�ú�/ô�ù���þ��¡�/þ�ú��3�/ø÷û��/ú�����

ñ òGô�õo�^úkö\ú�Jþ^ø`òFö\ú3�:ò��P�H���?òGþ �J��ô��H�òÛü�:òr����ú��# �þ:òÛü�/ø½ÿZô�õ���ù��/ø0�H���?ò��(�Yÿ����� �5�/ü���3� �õ��?òÛõEþ��Iú�ö�4���/øWõ � þïú\þ:ò�ü���*�tû^ø����:ò��/õ`ò������t�5�/ø÷õ O ����8ô��� S ��� õ÷ô�dù����"89���nù���ô�õïû�ô��*�/ú©��� QW¤ @�p'[ QW[ Þ�� ��ÞYþ#ÿ��"�*�/ø0 �ÿ�� õ÷ü����Uõ���� ô�ú©6pü�/þ�ø0��� Ó ���^ú�� ú\þ^ú�´����dùfò/�¯�(þ�ö\ú � � � õ��?ò�þ��Vø������Iú�ö�t�5�/ø÷õ � þ �/õYü���3����������õ`òvö<ù\ù5�/ø?�uþ^ö\ú �O õ#ö\ù\ø0����ö� S �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6Ãο¡:ã¿¡:� _ K3D�C"s#I�c v K _ K���I ³ à ` NjDgI ` · _ <�czI v |�K3m ³ L�I0c�D ��� I�D v N `ba5v `� CHD v ������õ`òEö\ù\ù5�/ø¡�(þ�ö\ú �

h_ c õ#ö\ù\ø0����ö� i7< _ c�·ÛCX< `ba I�< _ |E| _ dPCHKF ` d _ l _ KTszC ` C _ K3D

a5_ |Rs �hCXi � § ¢t< _ c v |H|¢t¤k·

h`ba5v ` CHD�^ � CHD v K�m±à#à9I0c�L _ m)KTs"i �h

CHCXij;q<�� § ¢�< _ c v |H|3¢�¤�· `ba I0K�� § �h`ba5v#` CHD�^ � CED!K _ F�czI v#` I�c `ba5v K v K3Nà _ D�D�C"L�|RI�m±à#à9I0c�L _ m)KTs/i �

Page 6: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

ÕL¬&¸«¸«´�¿%:ãÆ¡:�Ð a I�D�m±à*c�I ³ m ³ CHD�m)K3C"Ã0m�I�CX<,C ` I�u�CHD ` D �ñ òdô�õ��/þ�ú��3�/ú\ô�/úÛòtòFþ ü���*� òÛü��� þ ����þ#ÿZô�ú\ûA��� ò��/ø÷ú�:òÛô��*���hü��ø0� �?ò��/øWô�õ��:òÛô�þ�ú þ���òFü�

õ÷ö\ù\ø����vö���ÕL¬&¸«¸«´�¿%:ãË¡:� _ KD�C"s#I�c v K _ K���I ³ à ` N�DgI ` · _ <¡czI v |�K3m ³ L�I�ceD�� � CHD v ������õ`òGö\ù<ù5�/ø�(þ�ö\ú � < _ c!· CX< v KTs _ Ko| NjCX< `ba Ir< _ |H| _ dfCHK3F ` d _ l _ Kos�C ` C _ KD a5_ |Rs �h

CXi � § ¢t< _ c v |H|¢t¤k· �hCHCXi�înCHGJI�K�«7¬]p `ba I�czI�I�u�CHD ` D v K-¢t¤k· D�m�l a¯`ba5v ` ¢�ÚÛ« § � ��Û�Eÿkø÷ô ò���õ÷ö\ù · þ�øpõ÷ö\ù������ ¢ � þ�øPòÛü��õ÷ö\ù\ø����vö� þ�� · ô���ô ò!�"8ô�õ=òFõ��Þ��/ø���ô�õVòÛü��ù\ø÷þ��nô�õ�� � òÛü�/þ�ø0�����

³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¿¡:RѪµ?åY¶¦·`¾F¯/¬&Ã�¼�¬µ©6¹r¯/£�¬µ¾FÚ�Í�°�¬&¸ÙÚ�¸k¶#:�;=<�· CHD v K _ KßI ³ à ` NÑDgI `_ <�c�I v |�K3m ³ L�I�ceD4d a C"l a CHDAL _ m)KTs I�s v L _ GJI

h`ba5v#` CHD�^ `ba I�c�I�I�u�CHD ` D v ï D�m�l a©`ba5v `

¢4ºÙïí< _ c v |H|¢t¤k·Yi `ba I0K-· a5v D v D�m±à5czI ³ m ³Ì�6�ü��ò�òFü<ô�õkô�õ!��û��/ú�ö\ô�ú�tòÛü�/þ�ø0��� þ �n�^ú� ���õ÷ô�õkô�õkõ÷ü\þhÿkú'���®òÛü���E� �?ò�òÛü�:ò� Gô��

ÿ���ÿtþ�ø0�«ô�ú òÛü� õ��?ò� Q¾¤ @YQ Z [�\ � ü��õdú\þ-������õ`òiö\ù\ù5�/ø��(þ^ö\ú � � O ����� ö�/õ`òÛô�þ�ú Þ � � Þ Ó �Jþ�ø�� � �?ò���ô��� �Ì� ô�õ��/ö\õ÷õ÷ô�þ^ú� S�Û�j������3�Éô òZòFþnòFü�Éø0��� � �/øpòÛþ � ��$<ú��òFü� F�czI v#` I�D ` | _ d?I�c�L _ m)Kos ����õ÷þ��������� �

òFü� CHK�­ ³ m ³ þ��¡�nõ��?ò · ��ú � ÿkø÷ô ò÷ò��/ú�ô�ú� · þ^ø�ô�ú� ��� � ¢ ���\ü3��õ÷ü\þ^ö� � ù\øWþ��3�EòÛü�:òô�ú3������ ¢4U2V õ÷ö\ù��� � O�V�¢#S

ù\øWþ��uô � � � òÛü�:ò��/ô òÛü�/øpõ#ô � ��þ �<òÛü����Ï�ö�:òÛô�þ�úÌ�"8ô�õ`òÛõ���Yõ,��úÌ�"89���nù����þ ��ô òÛõ�ö\õ��� �ø0����� ����òFü3��� þ ����þ#ÿZô�ú\û������������JøWþ �ã�/þ�ö\ø÷õ������ ��� �

ÕL¬&¸«¸«´�¿%: Ò : � I1d _ c !-CHK � ;=< "£$# ® ¢g£&% £ l _ K3GJI�c/FJI�Dt< _ c�%�U % ® `ba I0K C `l _ KGJI�c/FJI�D7< _ c v |H|'%�dPC `ba ° % ° [ ° % ® ° �6�ü��ö\õ���þ �J6�ü�/þ^ø���� Ó ���û^ô(�3�/õIö\õo��ø0��òFü�/ø�òÛø��^ú\õ÷ù��ø0�/úÛòGù\ø÷þ�þ���þ �ÛòÛü�P�"8ô�õ=ò��/ú���

þ��6òÛü��ø0� � ô�ö\õrþ��¡�/þ^ú��*�/øWû �/ú�����³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¿¡:RÊ¡: � I¡d _ c !�CHK � _ KD�C"s#I�c `ba I¡D�m ³ "£(# ® ¢±£)% £ �+* C `ba I�c "£(# ® ¢±£)% £l _ KGJI�c/FJI�D�< _ c v |H|,%

hCHK `ba CHD�l v DgI�d,I�D v N `Ra5v#`�`ba I�DgI�ceC"I�D a5v D�CHKç­TK3C ` I�c v s�CHmJD _ <

l _ KGJI�c/FJI�KTl�I=i _ c `ba I�c�ItI�u�CHD ` D v czI v |)K3m ³ L�I�c.- § p�D�m�l a¯`ba5v `hCXi "£$# ® ¢g£&% £ l _ K3G I�c"F I�Dn< _ c v |H| ° % ° [/-�^hCHCXi "£$# ® ¢g£&% £ s�CHGJI0c"FJI0Dn< _ c v |H| ° % ° ¬/-�^h

CHK `ba CHD�l v DgI�d?I�D v N `ba5v `7`ba I�DgI�ceC"I�D a*v D�c v s�CHmJD _ <�l _ K3GJI�c/FJI�Kol�I10fi �6�ü�Uú��òFö\ø��Uþ �^òFü�Eõ÷ö\ù\ø0����ö�Åô�õPô����ö\õ`òÛø0��ò�� � ���kòÛü�n�Jþ����þhÿkô�ú\û��"8�� �dù3���bÿZü\ô��3ü

ÿ����������3�GòÛþròÛü� ø���� � �/ø7�^õn��ú1�"89�/ø0�/ô�õ��Yô�úZòÛü�����?òÛü\þ � õUþ���òFü���/þ�ö\øWõ����,��� ��� O �Yõö\õ÷ö� ���/þ�úFò�� �?ò��6þ^ö\ø�õ÷ö\ù5�/øq�ô�õ÷þ�øpô�*�<þ�öÌ���^úiú\þ�ò � þdô ò�� S

Page 7: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µ¿¡:ãÖ%:hCXi¾Ð a I�D�m ³ "£(# ¹ ¦ Ý Z % £ a*v DÌc v s�CHmJD _ <�l _ K3GJI�c/FJI�Kol�I ÞÑv KTs

l _ KGJI�c/FJI�D7< _ c v |H| ° % ° U Þ �hCHCXixÐ a I�D�m ³ "£$# ® % £ a5v D�c v szCHm)D _ <Ìl _ K3GJI�c/FJI�Kol�I Þ¯v KTsks�CEGJI�c/FJI�D!< _ c v |H|

° % ° U Þ �hCHCHCXi�Ð a InD�m ³ "£(# ¹ ¦ Ý ¹ % £ a*v D,c v s�CHmJD _ <�l _ K3G I�c"F I�KTl�I Þ ^7s�CHGJI�c/FJI�D%< _ c2%�U Þ

v Kos�l _ KGJI�c/FJI�D7< _ c.%!UWV Þ �� �Åü�/ú»ø��"�ô�õ÷ô�ú\ûròÛü\ô�õEù�^ø`òtþ ��òFü���/þ�ö\øWõ��r�6þ^ö õ÷ü\þ^ö� � ����õ÷þt�5���^øUô�ú��dô�ú � 6pü�"´

þ^ø���� Þ ú � \�p � ô�õ��/ö\õ÷õ�� � ��:ò��/ø0���Û�EòÛö\øWúiú\þ#ÿ òÛþtòÛü��û��/ú�/ø�����ù\øWô�ú�/ô�ù����þ �T�Fþ^ú��3�/ø÷û��/ú�����

Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6Ãο¡:½¡�Ð%: � ItD v N `ba5v#`�v DgI�Ã�m�I�KTl�I _ <�c�I v |�K3m ³ L�I0c�D�Q5£'CHD v ����ö�3ü��õ���Ï�ö�/ú��� CX<PF�CHG I�K v K3N�«7¬]p�d,I�l v K!­oKTs ¦ ® O�«�SrD�m9l a�`ba5v ` ° Q�3)V4Q�4 ° [x«7d a I�KTI0GJI�c5,6�7 §Û¦ ® Oq«�S �

åkö\ø�$\ø÷õ`ò!��������dô�õ,���/ø0���(�-����û����\ø��^ô���ÕL¬&¸«¸«´�¿%:½¡6¡*:�â�K3N�l _ K3GJI�c/FJI�K ` DgI�Ã0m�I�KTl�IY< _ c ³ D v v m9l a NjD±I�Ã�m�I�Kol�I �

6�ü���/þ�ú��*�/øWõ���ô�õ,�nù(þhÿ��/ø0�Jö��òFü�/þ�ø0��� þ��¡��ú���(�õ÷ô�õ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¿¡:`¡�²¡:�â�K3N� v m9l a NjD±I�Ã�m�I�Kol�I _ <,c�I v |�K3m ³ L�I�ceD�l _ K3GJI�c/FJI�D �

��þ��t�\ô�ú\ô�ú\ûtòÛü�EòSÿqþdø��/õ÷ö� òÛõVÿ��kû��?ò�òFü��û �/ú�/ø0� �¦ù\ø÷ô�ú�/ô�ù���þ��¡�/þ�ú��*�/øWû �/ú�����³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¿¡:`¡�¿ªµ?ᵬ&Ã�¬&°�´<ÁUÍb°�·`Ãb¼�·`ÍbÁ`¬µ©6¹r¼�©6Ã986¬�°�È6¬&Ã�¼�¬ ¶#:�â2D±I�Ã�m�I�Kol�I _ <7c�I v |K3m ³ L�I�ceD�l _ K3GJI�c/FJI�D�CX< v Kos _ Ko| NjCX<,C ` CHD v v m9l a NjD±I�Ã�m�I�Kol�I �

6�ü�iû �/ú�/ø�����ù\ø÷ô�ú�/ô�ù����þ����/þ�ú��3�/ø÷û��/ú����ô�õ ö\õ÷ö� ���(� òFþ�þ û �/ú�/ø0� �VòFþ'���iö\õ�� �ô�ú òÛü� õ������»ÿ����Ù��õïòFü�¯�/þ�ú��*�/ø÷û��/ú��� ò��/õ=òFõiþ��4�pþ�ö\ø÷õ��¯��� ���M�\ö^ò ü�^õiû�ø0����òòFü�Fþ^ø��?òFô������ô��nù(þ�ø½ò��^ú������õVÿ���õ÷ü3������õ������

�6þ�ø�òÛü\þ^õ��kÿkü\þ�����úýú\þ:òvÿ���ô ò ü�/ø��Éô�õt�®ù\øWþ�þ��pþ �PòFü�»ö\ú�/þ^ö\úÛò����\ô��ô ò&� þ�� �6pü����øWû�ö���/úFò ô�õ4��ö�3ük����þ^õ��/ø�òÛþ��,�^úÛòÛþ^ø�.�õvþ�øWô�û^ô�ú���Lù\øWþ�þ ��òÛü�^ú�òÛü�Éõ`ò��^ú � ��ø �þ^ú��û�ô��*�/úiô�úÌ�/þ^ö\ø÷õ���� Þ ��ñLù\ø0�/õ��/úÛòkô ò���õ,�dü�����uô��� õ`ò��^ø÷ø�� � �"8��/ø��/ô�õ����åY¶¦¬�°Û¼�·`¾F¬µ¿¡:½¡�ƪµ;: Ã�¼�©6Ú�æ¯/´\­�·½Á`·½¯3¥¨©6¹r¯/£�¬µ°�¬&´<Á½¾�¶#:=<%I `�> ¹ ^ > Z ^7²�²�²ÌL�I v K3N1DgI?�Ã�m9I�KTl�I _ <Pà _ CEK ` D�CHK � <¡I ` Q ® Uxp ^A@ ® U Þ �h

CXiCB a5_ d `ba5v ` N _ m l v K2l _ KD ` cem�l ` CHKos�m�l ` CEGJI�| N v DgI�Ã�m�I0KTl�I _ <tczI v |�K3m ³ L�I�c�DQ ¹ ^9Q Z ^Y²�²�² v KTs,à _ D�C ` CHGJI�K3m ³ L�I�ceD=@�Õ�D�m�l a¯`ba5v `h

v i ° Q5£�VkQ5£ Ý ¹ ° [D@�£ Ý ¹ æ ú ^hLqi�Q�£AÜU > £ ^hlqi�p�[D@�£�[ ° Q�£�V > £ ° ^hs"i�@ £ [D@ £ Ý ¹ æ ú �h

CHCXiEB a5_ d `ba*v#` @�£ ÿ(�Û[ ú Ý � @�£4< _ c � 6 ¦'§ p v KTs�s#I�s�m9l�I `ba5v#`Y`ba IYQ�£�< _ c ³êv v m�l a N�DgI�Ã�m�I0KTl�I � _ KTl�| m�s#I `ba5v#` Q5£ ` I�KTszD `�_�v | C ³ C ` Q �h

CHCHCXi1B a5_ d `ba5v ` ° Q�£�ÿ(�!V�Q5£ ° [D@�£ æ Ó�< _ c v |E| � 6 ¦'§ p �+F I�s�m�l�I `ba5v#` ° Q7V�Q�£ ° º@�£ æ Ó!< _ c v |E| ¦'§ p ����a N�s _ I�D `ba CED�D a5_ d `ba5v `�> £ÌÜU�Q�< _ c v |H| ¦HGh

CHG�i F I�szm�l�I `ba*v#`7`ba I�czI v |�K3m ³ L�I�ceD v c�I�m)KTl _ m)K `�v L�|RI �I

Page 8: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

J K ÈML è �ïî ê È�É �ï�Ù %È÷���Ù 

ñSú Þ�N p � PO!�JÞ��JÞ��^ø � ��ÿZøWþ�ò��n�Gò��"8&ò��(þ�þ��pòFþtô�úÛòÛøWþ � ö���IòÛü�Uú�?ÿ ø÷ô�û�þ^ø÷þ^ö\õ%��ú���(�uõ#ô�õO þ�ø�+�/þ^úÛòÛô�ú�/úÛò�� ����ú���(�uõ#ô�õ�.��^õ�ô òpÿ���õ,�&ú\þhÿkúiô�úÌ���,� �4�\øWô � û����"�*�/úÌ�dþ�ø0��ô�ú\õ#ö����øòFü��ú�òFþ � ��� S òÛþ?+�$\ø÷õ`òo�*���^øIõ=òFö � �/úÛòÛõo��òIòÛü�YäYú\ô(�3�/ø÷õ÷ô òÛô��/õ<ÿZü\þ^õ��Y� �\ô���ô òÛô��/õT��ù\ù\øWþ ���3üõ÷þ ���?òÛü\ô�ú\û1��ô���rÿkü��ò�ô�õYö\õ÷ö� ���(� � �/õ��/ø÷ô���� � �^õRQSõ��hü<þ�����ø÷õ÷ü\ô�ù®õ`ò��^ú � �^ø �'S .����Yù�^ø`ò�JøWþ �¤òFü���H���?òïòFü��òA�"�3�/ú®òÛü���dþ�õ`ò ü��ø � �/ú� � �^ú� ���õ`òïÿtþ^ö� � ú\þ#ÿ ü�/õ÷ô ò���ò��ZòÛþ������9��ú ô�úFòÛøWþ � ö�?òÛô�þ�ú�òÛþ���ú���(�uõ#ô�õ âT _ mJc�DgI _ <VUYm)czI2W v#`ba I ³Ìv#` C"l�D ô òkô�õ�õ`òFø÷ô���ô�ú\ûü\þ#ÿÂ����þ�õ���òÛü�j�(þ�þ�� ô�õZô�ú¥�(þ:òÛük�/þ^úÛò��/úÛò���ú � �H�����¦òÛþÊ���nþ � �/ø÷úk$\ø÷õ`ò��/þ�ö\øWõ�� ô�ú�^ú� ���õ÷ô�õ�� O �Yú � ÿkü�/ø��LòFü�/ø����^ø����3ü��ú\û��/õEô òqô�õEþ �Aò��/ú ú\þ:ò�������^ø�òFü��òUòÛü���nþ � �/øWú�/þ^ö\ø÷õ�� Z ü��õròÛü��� � ���^úÛò���û���� S 6�ü�Éþ^ú�(�}��� Á þ�ø � ô�5�/ø��/ú���Éô�õròÛü�:ò�Þ��^ø � ��þ�ú���õ`òÛö � ô��/õLòÛü��ø������%��ô�ú�t�\öfò���:ò��/ø�� � �)��ú���/õtô�ú�����òÛü������òFô�/õ������^úÉòÛü�:òtÿ��t��ö\õ`òú\þ#ÿ�õ`òFö � ����ú���(�õ÷ô�õrô�ú � ��õVÿ�������

ñ úïòFü���/þ�ö\øWõ���� Þ � \ �<þ�öiõ��#ÿ òFü3�:ò � ü�^õ?���Gö����ô � ���^ú�ú\þ^ø��

X ¶ X U�

Y # ¹Q Z Õ

¹[Z Z

O ò�����ô�ú\ûtòÛü��ù(þ�õ÷ô òÛô��*��õ�Ï�ö�^ø���ø÷þ&þ�ò S ÿZô òÛüïòFü���Jþ ����þhÿkô�ú\ûdù<øWþ�ù5�/ø½òÛô��Fõ��ÕL¬&¸«¸«´�Æ%:½¡*:�;=< X\X CHD `ba I * m�l�| C"s I v K�K _ c ³�_ K � `ba I�Kh

CXi X ¶ X § p!< _ c v |H|&¶�¤ � ^hCHCXi�;=< X ¶ X Uxp `ba I�Kµ¶�U Ð9^hCHCHCXi�;=<^]�¤ v Kosk¶�¤ � `ba I�K X ]\¶ X U ° ] °_X ¶ X �hCHG�i

hÐ a I ` c�C v K3FJ|RI�CHKTI�Ã�m v | C ` Nei�;=<p¶ 6 ¥-¤ £ `ba I0K X ¶jÚ¨¥ X º X ¶ X Ú X ¥ X �

6�ü�rþ�ú�(�iú\þ^úç´-òFø÷ô��ô�� �6ù�^ø`òYþ���òÛü\ô�õr���������ÿ���õ�òÛü��òÛøWô�^ú\û ��� ô�ú��Ï�ö� ��ô ò&�ïÿZü\ô��3ü�<þ�öiù\ø÷þ��3� � ö<õ÷ô�ú\ûqòFü���,�^ö�3ü��J´���3üFÿ��^ø�ö�ô�ú��Ï�ö� ��ô ò&�#�

ñ ú òÛü���/þ�ö\øWõ����,��� ���<þ�ö õ`òFö � ô� � òÛü�nú\þ:òÛô�þ�ú�þ �IòÛü����ô��nô òj�Jþ�ø�õ���Ï�ö�/ú���/õkô�ú� �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎÆ¡:㲡:�;=<q´)£�¤ � < _ cÊI v l a1¦ § Þ�v Kosn´¥¤ � `ba I�K¥d?I4D v N `ba5v `´J£�B ´-CX<,F�CHGJI�K�«7¬]p�d?I�l v K�­TKos v K ¦ ® Oq«�S�D�m�l a¯`ba*v#`

X ´J£�V�´ X [x«7< _ c v |H| ¦'§}¦ ® O�«�S�²þYþ�òFô���bòÛü�:òPòÛü\ô�õVõ÷ü\þ#ÿZõuòFü��òa`���$\ú\ô òFô�þ^ú Þ � \ ÿ��^õf� �(þ^öfòPòÛü� s�CHD `�v KTl�I ���?òSÿ����/ú

òSÿtþnù(þ�ô�úÛòÛõ,�^ú � ú\þ�ò�òFü��� �\õ÷þ���öfò����)����ö��þ��6òÛü� � ô����/ø0�/ú����þ �6òSÿtþnú�ö�4�5�/ø÷õ��árþ�ö ù\ø÷þ��*� � òFü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\ûdø0�/õ#ö� òÛõpþ^úiõ���Ï�ö�/ú���/õpô�ú � ô�úA�"89���?ò����ÉòÛü�qõ�� ���

ÿ����-��õf�<þ�öiù\ø÷þ��3� � òÛü���/þ�øWø��/õ÷ù(þ�ú � ô�ú\ûnø0�/õ#ö� òÛõ�ô�ú �b aJD�B�*?*?B�ù&1:DF,:73D�*pQ�)�7qQu7:9dc/+G;=)�9=7:4�X:)ï;`)�*p*W[/*?9->?@A+-*?+G@ADEe�139=B�,Z13+G1qC�9=+-;�>?7:4�9=+-*p1:D�Bï;=)�*

*?[F*?9=>?@0+=*W+�@0Dgf )�@A;=;=1 c:*W9�1:D�Bgfv1:;=+=7:D)h +�*?s:*?D�7:.0B�*?9�ikjPl�monqpsr2lut1vwlMx�rMnqywi�y{z�|~} p���p2�����q�61:+�1+=*?>W7:D�BYQ�@0.0.&)�1#s:*V)�13Bt1E+=o�.A*WD�B�@0Bt*?B�4�>?1:;`@07:DY@0Dt13D�13.0,F+=@0+#_

Page 9: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

ÕL¬&¸«¸«´�Æ%:ã¿¡:hCXi Ð a IÌ| C ³ C ` CHD�mJK3C"Ã�m�I � Ð a5v#` CHD�^�CX<k´J£'B ´ v KosÉ´)£¯B ­ v D

¦ B ¿ `ba I�K�´1U ­ �hCHCXi1;=< ´J£�B ´ v D ¦ B ¿ v KTs ¦ O Þ S,[ ¦ O=\ S,[ ¦ O=Ó S3²�²�² `Ra I�K ´ £�ÔÖÕ�× B ´ v D

Ø B ¿ �hCHCHCXi�;=<E´)£4U ¼�< _ c v |H| ¦Ù`ba I0Kµ´J£�B ¼ v D ¦ B ¿ �hCHG�i�;=<E´)£tB ´ v KTs�­�£�B ­ v D ¦ B ¿ `ba I�Kµ´J£�Ú¨­�£�B ´4Ú ­ �hG�i.Bm±à#à _ DgIG´J£�¤ � ^¦´1¤ � ^�])£t¤ v KTs1]�¤ � ;=<V´)£tB ´ v KTs1])£tB ]

`ba I0K�]J£�´J£tB ]<´ �åkú������û���ô�ú ñ�������*�Éô òvòFþ òÛü�Éø���� � �/ø òFþ��3ü���e� òFü��ò õ÷ü�1���^ú ô�ú � ��� � ù\øWþ��3�

òFü�Fõ��nø��/õ÷ö� òÛõ!��ú � òÛþÊ�/þ^ú\õ#ö� òÉü�/økõ÷ö\ù��/ø=�ô�õ#þ^økô�Uõ÷ü�����^ú ú<þ:ò����\ü� õ÷ü\þ�ö� � ����õ÷þ��� ���Lõ÷ö\ø��IòFü��òUõ÷ü�Lö\ú � �/ø÷õ`ò��^ú � õ6ÿZü��j���/ø`ò���ô�úvø0�Fõ÷ö� òÛõ�ô�ú4Ào������� \ � Þ ÿkü<ô��3ü � ����� òÿkô òFüA�^ú þ�ø � �/ø0� � $��� ��� þïú\þ�ò���ù\ù5����øUô�ú�Ào������� ú � Ó ÿkü\ô�3ü � ��� ��õ�ÿZô òÛü����*���?òFþ�øõ÷ù� �����

ÀT������� ú � Ó ô�õ� uþ ���/þ^ö\ø÷õ��� ����/ø0���(������û����<ø0�t�^ú � �^ù\ù��ô��/õ�òFþ � ��õn�vö�3ü1��õbòÛþ� ��ñSú þ^ø � �/øEòÛþ � þÌ�^ú3���(�uõ÷ô�õpÿ��nú��� � �Ì�nþ^ø��dùuþ#ÿ��/ø�� ö3�òFþ�þ �P�^ú � Gô�ú'�����/ù\ô�ú\ûÿkô òFüZòFü� õ#ù\ô�ø÷ô òtþ�� òÛü\ô�õn�/þ^ö\ø÷õ��� �ÿ����"8�ò��/ú � òFü���Eþ ��ö���ú\þ�÷ �}�/ô�/øWõ=òFø��^õ÷õbòFü�/þ�ø0��� òÛþ� ��6pü���"8�ò��/ú\õ÷ô�þ^úµô�õ����^õ���õ÷ô�ú3���pòÛü�kø0��� �\ÿtþ�ø0� ü3�^õ�����ø0��� � �¯�5���/ú � þ^ú�Zô�únòFü�þ^ú� � ô����/ú\õ÷ô�þ�ú�������^õ����³Z£�¬&©(°�¬&¸ Æ¡:Rƪµ?À�©(Á½Â�´\Ã�©�Ä�¢Å¬&·`¬&°�¾F¯/°�´<¾F¾�¶#:�;=<Y¶5£�¤ � v KTs `ba I0c�IjI�u�CHD ` D v ïD�m9l a-`ba5v#` X ¶5£ X ºWïÂ< _ c v |H| ¦Ù`Ra I�K�d?Itl v Kj­TKTs ¦ O Þ SY[ ¦ O=\ SY[2²�²�² v KTs�¶�¤D�m9l a¯`ba*v#` ¶5£�ÔÖÕ�×9B ¶ v D Ø B ¿ �

åkú�����^û �^ô�úÌ+���ú����uþ^ö\ú � � � õ���Ï&ö�/ú���kü�^õ,���/þ^ú��*�/øWû �/úÛòkõ÷ö�\õ���Ï&ö�/ú����.��6�ü�iù\øWþ�þ � þ ��6�ü�/þ^ø���� ú � ú ô�ú��6þ��(�3�/õ��"8�ò��/ú � ô�ú\û¯� þ^ú� � ô���/ú\õ#ô�þ�ú���pø��/õ÷ö� ò

òFþ õ��"�*�/ø0� � � ô���/ú<õ÷ô�þ�ú\õ��ã6pü\ô�õ ô�õA�dþ�ø0�Ùþ�ø1��/õ÷õ ô�ú�"�ô ò��������5������ö\õ��Éÿ��Ùõ=ò���ò�� �òFü�4�Jö\ú � � ���/úÛò����T�z8ô�þ �¤þ �f��ú���(�õ÷ô�õYô�ú��Éþ�ú� � ô����/ú\õ÷ô�þ^ú� �T�Jþ^ø�����ÞYþ#ÿ��"�3�/øGòFü��Eþ��ö��^ú\þz÷��Û�/ô��/ø÷õ`òÛø0��õ÷õròFü3�/þ^ø���� ô òÛõ�������/þ�úÛò���ô�ú\õvú\þµø����H�/ø0�/ú������õròFþ ÿkü�?òÛü�/ø�ÿ���^ø��Lÿtþ�ø0��ô�ú\ûïô�ú þ^ø � ��6pü�ö\õ I�u v l ` | N `Ra I?D vz³ IPà5c _�_ <"D �^õ�ÿ��tö\õ�� � ô�úvòÛü�tþ^ú�� ô����/ú\õ÷ô�þ^ú� �3����õ��rû^ô(�3�rö\õr�kû �/ú�/ø0� �<ù\ø÷ô�ú�/ô�ù���rþ��9�/þ^ú��*�/øWû �/ú���rô�ú � � O �pþ �dù��ø0�`���$\ú\ô òFô�þ^ú Ó � Þ p �^ú � 6�ü�/þ^ø���� Ó � Þ Ó ÿkô òFüïÿZü�:ò��Jþ����þ#ÿZõ�� SÓ ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎÆ¡:ãË¡: � IjD v N `ba*v#`!v DgI�Ã�m�I0KTl�I _ <�à _ CHK ` D ¶5£©CHK � CHD v ����ö�3ü��õ���Ï�ö�/ú��� CX<�F�CHGJI�K v K3N�«r¬]pjd,I4l v K�­TKTs ¦ ® Oq«�S,D�m9l a�`ba5v ` X ¶�3%V«¶�4 X [2«P< _ c v |H|5,6�7 §Û¦�® Oq«�S �³Z£�¬&©(°�¬&¸ Æ¡:RѪµ?ᵬ&Ã�¬&°�´\Á���°�·`Ãb¼�·`ÍbÁ`¬µ©6¹ràd©6Ã98(¬&°�È6¬&Ã�¼�¬ ¶ :�âßDgI�Ã�m9I�KTl�I�CHK �l _ KGJI�c/FJI�D�CX< v KTs _ KT| N�CX<?C ` CHD v v m�l a NjDgI�Ã0m�I�KTl�I �Þ��/ø��iô�õj�^ú}�"89���nù��iþ �GòÛü��ö\õ���þ��LòFü��û��/ú�/ø�� ��ù\øWô�ú�/ô�ù3����þ����/þ^ú��3�FøWû �/ú�����

O �6þ ����þ#ÿkô�ú\û òFü�Ì�/þ�ú��3�/úÛòÛô�þ�ú\õnþ����/þ�ö\øWõ��Ì��� ��� ÿ��iõ���� òFü��ò "ÕM# ¹ ´JÕ �/þ�ú��*�/øWû �/õô��LòFü��õ���Ï�ö�/ú���iþ �Yù��ø½òÛô�� ��õ÷ö�nõ �ÕM# ¹ ´)Õ ò��/ú � õqòÛþ'�'��ô�nô ò ¾ õ����#���Û�ïÿZøWô ò��

"ÕM# ¹ ´JÕnU ¾ � SN

Page 10: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

³Z£�¬&©(°�¬&¸ Æ¡: Ò :=<¡I ` ´J£}¤ � < _ c'I v l a�¦,� ;=< "ÕM# ¹ X ´JÕ X l _ K3GJI�c/FJI�D `ba I�KªD _s _ I�D "ÕM# ¹ ´JÕ �6�ü\ô�õEø0�/õ÷ö� ò�õ÷ö�\õ`ò��^úÛòFô������®û �/ú�/ø0� ��ô�õ��/õ�òÛü�tø��/õ÷ö� ò�ô�ú��/þ�ö\ø÷õ������ ���Yÿkü<ô��3ü õ����õ

òFü��ò!��úÌ� �\õ÷þ���öfò����(�-�/þ^ú��*�/øWû �/úÛòkõ��/ø÷ô��/õ?�/þ^ú��3�/ø÷û��/õ��

� ��� �ï� Æv� ê Î?ó÷�� (� ê  (�t�E 

�Åü�/ú®ÿ��vÿtþ�ø0� ô�ú òFü� ô�úÛò��/ø=�)� ��õ���ø0�� �ô�ú õ÷þ ��� õ��/ú\õ��� VòÛü�1+�ú�:òÛö\ø����.Uõ��?òFõYòÛþ�/þ^ú\õ#ô � �/ø���åkú�nþ �bòÛü� ù\øWþ ������nõ�òFü��òkÿ����H� ���qÿZü�/úiÿ���òFøq� òFþ � þ��^ú� ���õ÷ô�õZô�ú����ú�� � ô����/ú\õ÷ô�þ^ú\õ�ô�õròÛü�:òvòÛü�kò/�uù��/õvþ �põ��?òÛõrÿZô òÛüµÿkü\ô�hüµÿ��»ü���*�kòÛþ � �����7��ø0��vö�3üÛ�nþ^ø�� � ô��*�/ø÷õ���� ñóò òÛö\ø÷ú\õÉþ^öfòÉòÛü�:òÉòFü�®õ÷þk��� ���� � ����þ^õ�� � �^ú � þ�ù5�/úÏõ��?òFõ�^ø��!�uþ:òÛü�õ÷ö3���/ô�/úFò���� � ô��*�/øWõ����^ú � õ÷ö���/ô��/úÛò���� ÿ������o���/ü���*� � òÛþj�5�kö<õ���� ö���6�ü\ô�õõ÷ü\þ�ø½ò õ����?òFô�þ^ú ô�õ � �"�<þ�ò�� � òÛþ � �/ø÷ô��ô�ú\ûZõ÷þ ���rþ���òÛü�/ô�øGõ÷ô��nù���/øGù\øWþ�ù5�/ø`òFô�/õ���þ þ��uô���/õ�Jø0��Ï�ö�/úÛò��(��$\ú � òÛü�UòÛþ^ù\ô��ü�^ø � �\öfò!�"�3�/úÛòÛö������»òFü��ø���� � �/øPÿZô������ù\ù\ø0���/ô�:ò��EòFü��òòFü\ô�õ�õ����?òÛô�þ�úiô�õ?�dø��:òÛü�/øPòÛøWô(�ô�� �¦ô�úÛò��/ø���ö � ��ô�úÌ� � ���/ù5�/ø � ô�õ��/ö\õ÷õ#ô�þ�ú�

6�ü� � ��$\ú\ô òFô�þ^úiþ �¡������þ^õ�� � õ��?òkô�õ,�dú3�:òÛö\ø0� �¦þ�ú���Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎË¡:½¡*:�âÙDgI `��/� � CHD�l�| _ DgI�s�CX<�d a I�KTI0GJI�c ¶5£t¤ � < _ c�I v l a!¦2v KTs¶5£tB ¶ v D ¦ B ¿ `ba I�Kµ¶�¤ �j�

6�ü�ö\õ��iõ��?ò ô�õ�����þ^õ�� � ô�ú òÛü�dõ��/ú\õ��nþ��IòÛü\ô�õ��/þ�ö\øWõ��dô��Lô ònô�õ�+����þ�õ�� � ö\ú � �/øEòFü�þ^ù��/ø0��òFô�þ^úýþ���ò�����ô�ú\û���ô��nô òÛõ�.��-�Yú«ô�ú � ô����:òÛô�þ�ú«þ���ÿZü�� òFü\ô�õZô�õvû^þ�þ �k� ��$\ú\ô òFô�þ^úýô�õû^ô(�3�/úÊ���»òÛü��� þ ����þ#ÿZô�ú\û��3�/ø÷õ÷ô�þ^úiþ �6òFü���Eþ ��ö���ú\þ�÷ �}�/ô�/øWõ`òÛø0��õ÷õ�òFü�/þ�ø0�����³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ë¡:R²¡:�;=<�ï CHD�l�| _ DgI�sÊL _ m)KTs#I�s�DgI ` CHK � `ba I0KÛI�G I�c�N1DgI�Ã0m�I�KTl�I�CHK'ïa5v D v D�m�L�DgI�Ã0m�I�KTl�Itl _ K3GJI0c"F�CEK3F `�_1v à _ CHK `7_ <�ï �� ü�/úqÿtþ�ø0��ô�ú\ûkô�ú � òÛü�Vÿqþ^ø � õY+����þ�õ�� � �^ú � �(þ^ö\ú � � � .\õ#ü\þ^ö� � � � ÿ����uõr����ô��/ô ò

òFü�Yø0�/õ#ù(þ^ú\õ���+��Eþ ��ö���ú\þ�÷ �}�/ô�/ø÷õ`òFø��^õ÷õ�.��%�}�Yõ÷ü����(õ���� ô�dùuþ^ø`ò���úFò��"89� �dù��/õLþ � òÛü\ô�õõ���þ^û �^úiô�úÌ���?òÛô�þ�úiô�úïòÛü��ú�"8�òkõ����?òFô�þ^ú O 6pü�/þ�ø0���ã� � Ó �^ú � 6�ü�/þ^ø����¨��� Þ \ S ��Û�EòÛö\øWúiú\þ#ÿ òÛþtòÛü� � ��$\ú\ô òÛô�þ�úiþ��¡��úiþ^ù��/úiõ��?ò��

Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎË¡:ã¿¡:�â DgI `��T� � CHD _ à9I�K¥CX<!d a I0KTI�GJI�c�¶Û¤ � `ba I�czI�I�u�CHD ` D v K«�OJ¶oSY¬xp�D�m�l a¯`ba5v ` d a I0KTI�GJI�c X ¶1V�¥ X [2«�O ¶oS�d?I a5v GJI�¥-¤ �j�

6�ü�ö\õ,�"�*�/ø=� ù(þ�ô�úÛòZþ��¡�^úiþ�ù5�/úiõ��Wò!��ô��/õ,+ ÿ�����¦ô�ú\õ÷ô � �EòFü��õ��?ò�.��åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µË¡:ãÆ%:� _ K3D�C"s I�c7DgI ` DrCHK � Ð a IPCHK ` I0c�G v | � ¢ 6 Ò � U Q�¤ @*¢tº}Q�ºWÒ �CHD�l�| _ DgI�s�^ `ba I�CHK ` I�ceG v |nOq¢ 6 ÒeS�U QÙ¤ @?¢Ñ[ QÙ[�Ò � CHD _ à9I0K3^ `Ra I�CHK ` I�ceG v |� ¢ 6 ÒeS�U Qk¤ @�¢jº]Q¥[ Ò � CED�KTI0C `ba I�c _ à9I�K¯K _ c1l�| _ DgI�sz^ CHD1L _#`bak_ à9I�K v KTsl�| _ DgI�s �

Þ p

Page 11: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µË¡:ãË%:� _ K3D�C"s I�c�DgI ` D�CHK � � <¡I ` ¶�¤ � v Kos2��¬]p �hCXiÑÐ a I�DgI `�� OJ¶ 6 �)SYU ¥-¤ � @ X ¶�V�¥ X [�� � CHD _ à9I�K �hCHCXiÑÐ a I�DgI `��� OJ¶ 6 �)SYU ¥-¤ � @ X ¶�V�¥ X º�� � CHD�l�| _ DgI�s ��Û����� ��� � OJ¶ 6 �)S òFü�dþ^ù��/ú-�����Vþ��Gø�� � ô�ö\õ � �^ú � ���/úÛòFø�� ¶ �!�Û����� ��� �� O ¶ 6 �)S

òFü������þ�õ�� � �3�����þ �Eø�� � ô�ö\õ � �^ú � ���/úFòÛø�� ¶ �-å!�\õ��/ø=�*��òÛü�:òZòÛü�j����þ^õ�� � �^ú � �^ú �þ^ù��/úÌ������õrþ�� ��ø0��ù\ø����/ô�õ������»òFü3������þ�õ�� � �^ú � þ�ù5�/úiô�úÛò��/øq�)� ��õ��

6�ü���Jþ����þhÿkô�ú\ûdø��/õ`ò��:ò������/úÛòZþ��6òFü� � ��$\ú\ô òÛô�þ�úiü����ù\õ�ö<õ�ù\ô��?òÛö\ø0����úiþ^ù��/úiõ��?ò��ÕL¬&¸«¸«´�Ë%:ãÑ¡:�âÙD�m�L�DgI ` · _ < � CHD _ à9I0K�CX< v KTs _ KT| N�CX<!I v l a à _ CHK `Y_ <?·ÙCHD `ba Il�I�K ` c�I _ < v K _ à9I0KML v |E|�| NçCHKFÌI�K ` CEc�I�| N�dPC `Ra CHK-· �6�ü�ö\õ��"�3�/øq�ýùuþ^ô�úFònþ��r�^ú þ^ù��/úÙõ��?òdô�õqõ÷ö\ø÷ø÷þ^ö\ú � � � ���¥���� ���f�/þ^ú\õ÷ô�õ`òÛô�ú\û þ�ú���

þ���ù(þ�ô�úÛòÛõ�þ��6òÛü��õ��?ò��6�ü�YòÛþ^ù<ô��/õ�þ���òÛü\ô�õ�õ����?òÛô�þ�ú-��ø0�dþ��0ò��/ú»òÛø0����ò�� � ö\õ÷ô�ú<ûvòÛü�ïô � ��� þ � KTI0CHF a L _ m)c��

a5_�_ s�D �Y�Û�kõ÷ü� ���Iú\þ�òZö\õ��kú3�/ô�û�ü �uþ^ö\ø÷ü\þ�þ � õY�3�/øq�¯�vö�3üÊ�\öfò�òÛü�"�¯�/þ����kô�ú�ö\õ����Jö��JøWþ �ÅòÛô����EòFþqòFô�����Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎË¡: Ò :�Ð a I�D±I `�� CHD v KoI�CHF a L _ m)c a5_�_ s _ < `ba Irà _ CHK ` ¶ÑCX<?d?I�l v K�­TKTsv K���OJ¶oSY¬xp�D�m�l a¯`ba5v `�� OJ¶ 6 ��OJ¶oS0S ���¥�6�ü�ö\õ��Éõ��?òvô�õYþ^ù5�/ú®ô��P�^ú � þ^ú�(� ô���ô ò�ô�õ ú�/ô�û^üJ�(þ�ö\ø÷ü\þ&þ � þ��f�"�*�/ø=�«ù(þ^ô�úÛò òFü��ò

ô ò��/þ^úÛò��^ô�ú\õ��è��?òFö\ø÷ú\ô�ú\ûqòFþqòFü������ô�úïòÛü�����Eÿ���ú\þ:ò��EòFü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\ûnø0�����^ø��±� ������H���?ò��

ÕL¬&¸«¸«´�Ë%:ãÊ¡:�âxD�m�L�DgI ` · _ < � CHD _ à9I�K�CX< v KTs _ KT| N�CX<rC ` D�l _�³ à%| I ³ I�K ` ��� ·CHD�l�| _ DgI�s ��Û��þ��<õ��/ø=�*�EòFü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\û���^õ÷ô��ø��/õ÷ö� òÛõ�þ�úiþ^ù5�/úÊ�^ú � ����þ^õ�� � õ��?òFõ��

ÕL¬&¸«¸«´�Ë%:ãÖ¡:� _ KD�C"s#I�c `ba I�l _ |E|RI�l ` C _ K�� _ < _ à9I�K�D±I ` D�CHK � �hCXi���¤���^ � ¤�� �hCHCXi�;=< ��  ¤��Ê< _ c v |H| � ¤¥· `Ra I�K   � � ��  ¤�� �hCHCHCXi�;=< � ¹ 6 � Z 6 ²�²�² 6 � £�¤�� `Ra I�K £ÕM# ¹ � Õ�¤�� �

ÕL¬&¸«¸«´�Ë%:½¡�С:� _ K3D�C"s#I�c `ba Itl _ |H|RI�l ` C _ K�¡ _ <�l�| _ DgI�s�DgI ` D�CHK � �hCXi���¤�¡Ì^ � ¤�¡ �hCHCXi�;=< �¢  ¤�¡¼< _ c v |H| � ¤¥· `ba I�K   ��� �¢  ¤�¡ �hCHCHCXi�;=< � ¹ 6 � Z 6 ²�²�² 6 � £�¤R¡ `ba I�K £ÕM# ¹ � Õ�¤�¡ �ñ úïòFü\ô�õ,�/þ^úÛò��"8�ò��6þ^öiõ#ü\þ^ö� � ú\þ:ò��EòFü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\û��"8�� �dù3���/õ��

åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µË¡:½¡(¡*:hC i "ÕM# ¹ O�V!\�V Ø Ý ¹ 6 \�Ú Ø Ý ¹ S,U � V!\ 6 \ � ^ "ÕM# ¹ O�V!\�Ú Ø Ý ¹ 6 \�VØ�Ý ¹ SYUýO�V Þ 6 Þ S�^ "ÕM# ¹ O�V!\,Ú Ø�Ý ¹ 6 \,Ú Ø�Ý ¹ SYUýO�V Þ 6 \ � �h

CHCXi "ÕM# ¹ � V Þ V Ø�Ý ¹ 6 Þ Ú Ø�Ý ¹ � U � V!\ 6 \ � ^ "Õ?# ¹ � V Þ Ú Ø�Ý ¹ 6 Þ V Ø�Ý ¹ � UýOqV Þ 6 Þ S0^"Õ?# ¹ � V Þ Ú Ø�Ý ¹ 6 Þ Ú Ø�Ý ¹ � UýO�V Þ 6 \ � �

Þ�Þ

Page 12: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

6�ü�ö\õ�òÛü��ø0�/õ`òÛøWô�?òFô�þ^úpòFþ,$\ú\ô ò��P�/þ�������?òÛô�þ�ú\õ�ô�ú�ù�^ø`ò O ô�ô�ô S þ��JÀo��������õ�� � N �^ú � � � Þ p���^úiú<þ:ò��5��ø0���nþ��*� � �

�<þ��E��øEô�úvòÛü\ô�õ��/þ�ö\ø÷õ��Lÿ��qü���3�qþ�ú��� � ����� òEÿkô òFü õ÷ö�<õ��?òFõ���ú � õ���Ï&ö�/ú���/õ����Eöfò�^ú� ���õ÷ô�õ � ������õEÿZô òÛü¯�Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ� �þ�ø�ø0��òFü�/øEÿZô òÛü¯+ ÿ������P���/ü���3� � �Jö\ú�?òFô�þ^ú\õ�.��Ì6pü�õ÷ô�dù��/õ`òkõ#ö�hüÌ����^õ#õVÿ���õ � ��$\ú� � ô�úÊ�/þ^ö\ø÷õ������ ��� �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎË¡:½¡�²%:=<¡I `¢£¤� � d,I,D v N `ba5v#`fv <"m)Kol ` C _ KÊ>A@ £ B 3 CHDtl _ K ` CHK��m _ m)D v#` D _�³ Inà _ CHK ` ¶¯¤ £ CX<�F�CHGJI�K¯«�¬Wp�d,I�l v K1­TKTs v @)O�« 6 ¶oS�¬Wp�D�m�l a'`ba5v `d a I�KTI�GJI0ct¥-¤ £�v Kos X ¶�V�¥ X [D@)O�« 6 ¶oS�d?I a5v GJI

X >PO ¶oSoVª>PO ¥¡S X [2«�²;=<P>ACHD�l _ K ` CHK3m _ m)D v#` I�GJI�ceNnà _ CEK ` ¶�¤ £ d?IYD v N `ba5v ` >�CHD v l _ K ` CHK3m _ m)Do<"mJKTl ` C _ K_ K £1�

ñ ú þ�òFü�/øUÿqþ^ø � õ > ô�õ��/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ���ò ¶ ô� >PO ¥¡S ���^ú¯�5����� � ���^õ�����þ�õ����^õEÿ��ÿkô�õ÷ü òÛþ >PO ¶oS õ÷ô�dù�(�k��� ò�� �&ô�ú\û ¥ õ÷ö���/ô�/úÛò��(�k����þ�õ��ròÛþ ¶ �vñSú®þ�òFü3�/ø�ÿqþ^ø � õ > ô�õ��þJ��� ���(���^ù\ù\ø÷þ�8ô����:ò��������/þ�ú\õ`ò��^úÛò��pñSú1��/õ÷õUù\ø����/ô�õ��Gò��/ø��dõ�+�õ���������hü��ú\û �/õUù\øWþ � ö���õ�����������5���?òÛõ�.�åY¶¦¬�°Û¼�·`¾F¬µË¡:½¡�¿¡:�âY< ` I�c'| _�_ !�CHK3F v#` à v c ` D

hCECHCXi `�_

hG�i _ <¥<¡I ³�³Ìv�¦*�[§ D `�v#` I `ba I

l _ ceczI�Dðà _ KTs�CHK3FAc�I�D�m�| ` D�< _ c�l _ K ` CHK3m _ m)D�<"mJKTl ` C _ K3D �hÐ a m)D�à v c `

hG�i¥l _ cec�I�D�à _ KTs�D

`�_1`ba I�D `�v ` I ³ I�K `7`ba*v#` CX<^]�@ £ B v KTst>�@ £ B 3 v czI�l _ K ` CHK3m _ m)D v#` ¶�¤ £`ba I0KÌD _ CHD^]�> � i¨UYc _ G I�N _ m)c�D `�v#` I ³ I�K ` D4s�CEc�I�l ` | N�<"c _�³©F Iq­TKC ` C _ K«ª �[¬�­*� _ K3D�m9| `N _ m)c�D�m±à9I0c�G�CHD _ c�CX<?N _ m a5v GJI v K3N�à5c _ L�|RI ³ D �

ñ útòÛü\ô�õP�/þ�ö\øWõ��Pÿ��põ#ü��������ô�ú�(� ö\õ��VòFü�,�Jþ����þ#ÿZô�ú\ûkõ÷ô��nù���,�/þ�ú\õ���Ï�ö�/ú����þ��&òFü�� ��$\ú\ô òFô�þ^ú�ÕL¬&¸«¸«´�Ë%:½¡�Æ¡:=<%I `®£¯� � v KTs�D�m±à#à _ DgI `ba5v#`�`ba I�</m)KTl ` C _ K�>}@ £ B 3 CEDl _ K ` CHK3m _ m)D v#` ¶Ñ¤ £1� Ð a I�K'CX< ¶5£�¤ £�v Kos�¶5£�B ¶ÛC ` < _ |H| _ dPD `ba*v#` >PO ¶5£JS?B>fOJ¶oS �

ÞYþ#ÿ��"�3�/ø�  �nþ^ø��P� � �)��ú��� � ÿtþ�ø0�Yö\õ��/õIû��/ú�/ø�����ô�õ���òÛô�þ�ú\õ�þ��ÛòÛü�P�Jþ����þ#ÿZô�ú\û,����������O è��������4���/øPòÛü�:òZô�� >A@(° B ± ô�õ,���Jö\ú�?òÛô�þ�úÌ�^ú � · � ± ÿ��Eÿkø÷ô ò��

> Ý ¹ Oq·�SYU Q�¤�° @�>fObQoSr¤¥· ��^ú � òÛü\ô�õ�ú\þ:ò��:òÛô�þ�ú � þJ�/õ�ú\þ�òkø���Ï&ö<ô�ø�� > òÛþ��5��ô�ú��3�/ø`òFô������ SÕL¬&¸«¸«´�Ë%:½¡�Ë¡:�Ð a Ij<"mJKTl ` C _ KÙ>»@ � B 3 CHD�l _ K ` CHK3m _ mJD-CX< v Kos _ KT| N}C <> Ý ¹ Od²!S�CHD _ à9I�K�d a I�KTI0GJI�c.²¸CHD _ à9I�K �

�Yõ�� õ÷ô��nù����"8�� �dù3���ïþ ��ü\þhÿãÀo��������� � Þ ������ú-�5�ïö\õ�� � �/þ�úÛòFø��^õ`òqòFü��+ « @ù\øWþ�þ �".^þ �ÛòFü��ú�"8�òr����������ö\õ÷ô�ú\ûa`���$\ú\ô òÛô�þ�ú���� Þ \ ÿkô òFü���ù\ø÷þ&þ ��ö\õ÷ô�ú\û,Ào�������,��� Þ � �

Þ \

Page 13: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

ÕL¬&¸«¸«´�Ë%:½¡�Ñ¡:�;=<4>©@ � B 3 v Kos´³¥@ 3 B µ v czIAl _ K ` CHK3m _ m)D `ba I4D _ CED`ba I0CHcjl _�³ à _ D�C ` C _ K�³g¶?> �

O è?����� ����òFü��òpÿ��Eÿkø÷ô ò�� ³g¶?>PO ¶oSYU·³¡O�>fOJ¶oS�S � S��� òFü\þ�ö\û^ükÿ�� õ÷ü� ���(ú\þ:ò���� �����vö3�hüÉö\õ�� þ �ô ò� �òÛü��� þ ����þ#ÿZô�ú\ûvô�õ7��úÉô��nù(þ^ø`ò���úÛò

�/þ^ú\õ���Ï&ö�/ú3����þ��6òFü���Eþ ��ö���ú\þ�÷ �}�/ô�/ø÷õ`òFø��^õ÷õ�òFü�/þ�ø������³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ë¡:`¡ Ò :=B3m�à#à _ DgI `ba*v#`,� ¹ ^ � Z ^�²�²�² v c�I7K _ K���I ³ à ` N�L _ mJKTs#I�stl�| _ DgI�s�DgI ` DCHK � D�m�l a-`ba5v#`�� ¹�¸ � Z ¸ ²�²�² � Ð a I�K "ÕM# ¹ � Õ�ÜU/�#²

6�ü��ò®ô�õ� UòÛü�µô�úÛò��/ø÷õ����?òÛô�þ�úÏþ����uþ^ö\ú � � � �����þ^õ�� � qú�/õ`ò�� � ú\þ�úç´����dùfò/� õ��?òÛõÉô�õô òÛõ�����Iú\þ�úç´����nùfò&�#��6�ü���"89���nù��� � ÕnU � Ø 6 ¿}S õ÷ü\þhÿkõPòÛü��ò�+�(þ^ö\ú � � � .9����ú ú\þ:ò!�5�� øWþ�ù\ù5� � �JøWþ � òFü�tü��ù(þ:òÛü�/õ÷ô�õ���6pü���"89���nù��� � ÕnUýO=p 6 Ø Ý ¹ S õ÷ü\þ#ÿZõ�òFü��ò�+�����þ^õ�� � .���^úiú<þ:ò��5� � ø÷þ^ù\ù5� � �Jø÷þ�� òFü��ü��ù(þ�òFü�/õ#ô�õ��

�Vô�ú� ���(�# ¦ô òZô�õVÿqþ^ø`òFüÌ���nù\ü�^õ#ô�õ÷ô�ú\ûtòÛü�:òZþ^ù��/ú�/õ÷õ�ô�õ�ú\þ:ò���úiô�úÛòFø÷ô�ú\õ÷ô���ù\ø÷þ^ù��/ø½ò/�þ��¡�nõ��?ò!�\ö^ò � �/ù5�/ú � õ�þ^úïòÛü��õ÷ù� ����ô�úïÿZü\ô��3üïòÛü��õ��?ò�$\ú � õ�ô òÛõ������H�åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µË¡:½¡�Ê¡:�Ð a I�DgI ` ObQ 6 p Sr¤ Z @p�[MQ�[ Þ�� CHD�K _#`r_ à9I�K�CHK Z �

O ñ&�3�6þ^öiü���*���dõ÷ö���/ô�/úÛò��(����þ�û^ô�������dô�ú � ��89���nù������� Þ �nô�õ�þ:òÛô�þ�õ����V�3�?ÿ þ �bö\õü���*�EòFü��ò!��ô�ú � þ��¡�nô�ú � � S

¹ Åìè � Î��ï�v�pîYÆ4ó�� è �t�iî¦��É   �ÊËxÆv��Ætó é  %ÈÛ 6pü\ô�õpõ����?òFô�þ^úÌ�/þ^úÛò���ô�ú<õPòÛü���/þ^ø��qþ �T��$\øWõ=ò��Fþ^ö\ø÷õ��qô�úA�^ú3���(�uõ÷ô�õ��V�<þ�ø��/þ��nù���?ò��/ú�/õ÷õñGõ#ü����¦ô�ú����ö � �qõ÷þ ���EòFü�/þ�ø0���nõ�� ��ø���� � �Ùù\øWþ��3� � ô�úA�Fþ^ö\ø÷õ����,��� ���,6pü��$\øWõ`òkõ÷ö�3üòFü�Fþ^ø���� ô�õïòÛü��ô�úFò��/ø0��� � ô�:ò����)� ��ö� òFü�/þ�ø0��� ù\ø÷þ��3� � ô�ú]�,��� �����Åõ÷ö�����/õ÷õ÷ô(�3��\ô�õ����?òFô�þ^ú�y6pü��òiù\ø÷þ&þ � ô�õ��/úÛòÛô�ø������ õ���òFô�õ��H���?òÛþ^øq�y�\öfò� ��^õ���úM�"8��/ø��/ô�õ��� �ÿ�� õ#ü����ù\øWþ��3�EòÛü��ø0�/õ#ö� òZö\õ÷ô�ú\ûqòÛü�����?òÛü\þ � þ��¡�Eþ��ö��^ú\þz÷��Û�/ô��/ø÷õ`òÛø0��õ÷õ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡:`¡kµ;º:æ¯/¬�°Û¸ý¬&§�·½´\¯F¬�8�´\Á½Ú�¬µ¯/£�¬�©6°�¬&¸k¶#:�;=<�>Û@ � ¢ 6 Ò � B CHD�l _ K��` CHKm _ m)D v KTs�>fO�¢#Srº2p�ºW>fO�ÒeS `ba I0K `ba I�czI4I�u�CHD ` D v�w ¤ � ¢ 6 Ò � D�m�l a�`ba5v#` >fO w SYUxp �árþ�öÙõ#ü\þ^ö� � �/þ �dù��ø0�YòFü\ô�õtø��/õ÷ö� òtÿZô òÛüÙù��ø½ò O ô S þ �Y��89� �dù�� Þ � Þ ��þYþ�ò�������õ÷þ

òFü��òpòÛü��ø��/õ÷ö� ò � �/ù5�/ú � õrþ^ú > ò�� �&ô�ú\û�������ö�/õ�ô�ú ø��:òÛü�/øPòÛü�^ú Z þ�ø �åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µÑ¡:ã²%:�;=<�>Ê@ � p 6 Þ � B CHD�F�CHG I�K�L�N1>PO¼»eSnU �"8ù+½9¾ » `ba I�K¯>kCHD�l _ K ` CHK��m _ m)D�^Y>fOqp�SYU Þ ^P>PO Þ SYU2V Þ L�m ` >fO�»eS�ÜUxp!< _ c v |H|{» �

åkö\øpú�"8�òkø��/õ÷ö� ò!��þ&þ ��õ,����ô òWò������ �\õ`òÛø0� �?ò!��ò!$\ø÷õ`ò��³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡:R¿¡:=<¡I ` ï L�I v l�| _ DgI�sÌL _ mJKTs#I�s�D�m�L�DgI `�_ < � v KTs�>�@�ï�B 3 vl _ K ` CHK3m _ m)Dn<"mJKTl ` C _ K � Ð a I�K->fO�ï�S�CHD�l�| _ DgI�s v KTs�L _ m)KTs I�s �

Þ Ó

Page 14: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

6�ü�ö\õ(òFü�n�/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õPô����^û �Uþ��3������þ�õ�� � �(þ�ö\ú � � � õ��?òEô�õ%����þ^õ�� � ��ú � �(þ�ö\ú � � � �O 6�ü���"89���nù��� � Ux\ 5 U Þ

ïÂU ObQ 6 > Sj@ >A§ Q Ý ¹ 6 Q�¬]p �>fObQ 6 > S1UÂQ õ÷ü\þhÿkõ�òFü��ònòFü�Ì�/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ ô����^û �iþ ���'����þ�õ�� � õ��?òµú��� � ú\þ:ò��5�����þ�õ�� � �

6�ü�Ì�"89���nù��Ì6pü�Ê�"8�� �dù3��� � U Þ 5 U Þ ï òFü�iþ�ù5�/ú�ô�úÛò��/øq�)� � Oqp 6 Þ S >fObQoS�U Q¡Ý ¹ bõ#ü\þ#ÿkõGòÛü�:ò òÛü�4�/þ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õYô����û��vþ��P���(þ�ö\ú � � � õ��?ò�ú��� � ú\þ�òt�5��(þ�ö\ú � � � � S�Û� � �/ø÷ô��*������ö�hüÌ�nþ^ø����/þ�ú�/ø0�?ò����/þ^ø÷þ������ø=�#�

³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡:RÆ¡:=<¡I ` ï L�I v K _ K���I ³ à ` N-l�| _ DgI�sÌL _ m)KTs#I�stD�m�L�DgI `�_ < � v KTs�>�@ïíB v l _ K ` CHK3m _ m)Dn</m)KTl ` C _ K � Ð a I�K�d,I�l v K�­TKTs�Ü ¹ v KTskÜ Z CHK�ï D�m�l a-`ba5v#`

>PO Ü ¹ SrºW>PO ÜoSrºW>PO Ü Z S< _ c v |H|�Ü�¤¥ï �

ñ úÉþ�òFü�/øIÿqþ^ø � õ7�vø���� �#�)����ö� � �/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ^ö\õn�Jö\ú�?òFô�þ^ú»þ�ú��4����þ^õ�� � �(þ�ö\ú � � � õ��?òô�õ4�(þ�ö\ú � � � ��ú � ��ò÷ò���ô�ú\õvô òÛõ��uþ^ö\ú � õ��-ÀT�/õ÷õZö\õ���� ö�����ÿ�������� õ���� òÛü�:ò� Uô�ú�òÛü\ô�õ���^õ�� > � �?òFö3������ ü�^õ��-����8ô���ö�ü�^ú � �-�nô�ú<ô��vö���ÛþYþ�òFô���vòÛü�:òdòFü�/ø�� ô�õdú\þ�^ú� ��þ�û^þ�ö\õYø0�/õ#ö� òt�Jþ^ør�3���?òÛþ^øY������ö� � �Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ��.¿Ùö�3üµþ �f���/þ�ú\þ��nô��/õ��/þ�ú\õ÷ô�õ`òÛõYô�ú�^ú��:ò÷ò����nùfòPòFþ � ô�õ÷û^ö\ô�õ��bòÛü\ô�õ%�H���?ò O òFü�/ø��Uô�õPö\ú��ô�� �����ZòFþ��5���Yõ=ò���ò��Uþ �^òÛü�n���/þ�ú\þ��?�ô�úïÿZü\ô��3ü I�GJI�ceNL _ szN ô�õ,���/õ`òkþ � ½ S �

6�ü�/þ�ø0���¨��� ú ü��õ,��úÌ�"�3�/úÌ�nþ^ø����/þ^ú�Fø0�?ò����/þ^ú\õ���Ï�ö�/ú�����³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡:RË¡:=<¡I ` >�@ � ¢ 6 Ò � B L�I v l _ K ` CHK3m _ m)D�<"m)KTl ` C _ K � Ð a I�K©d?IÌl v K­TKosgÀ ¹ 6 À Z ¤ � ¢ 6 Ò � D�m�l a-`ba5v#`

>POÁÀ ¹ SrºW>POÁÀ�SrºW>POÁÀ Z S< _ c v |H|'À�¤ � ¢ 6 Ò �

ñ úÌ�/þ^ö\ø÷õ����,��� ���6þ^öiö\õ�� � òFü\ô�õ�ø0�/õ#ö� ò�òFþnù\øWþ��3��èrþ �����.�õ�òFü�/þ�ø0�����³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡:RѪµ?×É©6Á`Á½¬âã¾n¯/£�¬&©6°�¬�¸k¶#:�;=<!>k@ � ¢ 6 Ò � B CHD v l _ K ` CEK3m _ mJD�<"m)KTlM�` C _ K¾dPC `ba >»s�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RI _ K O�¢ 6 Ò�S v KTs©>fO�¢#SMU >fO�ÒeS `ba I0K¾d?I©l v KÛ­TKTs vw ¤ªO�¢ 6 ÒeS�D�m9l a¯`ba5v ` > ~ O w SYUxp �

�¡�A+ òFô� òÛô�ú\û!èrþ������.�õ¦òÛü�/þ^ø�����.^ÿ���þ �fò���ô�úqòÛü�,������ú��)� ��ö� O ô�únþ�ú� � ô����/ú\õ÷ô�þ^ú S �Â�à 5&>?7:4�9=+=*�*W>?7:D�7:TE@A+-;`+¢cFD�7#Q ;=)�@0+2�4�;5R*?Q 7:5&;=)�*?@09uo�4�2�.0@0>�o�9=7:D�7:4�D�>?*?TE*WD/;=++=*?*WTý;=7GTE*WD��

;=@A7:Dt@A;#_

Þ ú

Page 15: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡: Ò µ?³Z£�¬µ©(Ãb¬®§b·`¸«¬&Ã�¾F·½©6Ã�´\ÁE¸«¬&´<ÃÄ8�´\Á½Ú�¬µ¯F£b¬�©6°�¬&¸k¶#:ª;=<¡>A@ � ¢ 6 Ò � BCHD v l _ K ` CHK3m _ m)Dn<"m)KTl ` C _ K�dPC `ba >ªs�CX{�I�czI�K ` C v L�|RI _ KMO�¢ 6 Ò�S `Ra I�K�d?I�l v K1­oKTs vw ¤ªO�¢ 6 ÒeS�D�m9l a¯`ba5v `>POqÒeSoVª>fO�¢#SYUýO�Ò%Vª¢#S�> ~ O w S�²

ÞYô�õ`òFþ�øWô��������# ����:òÛü�����:òÛô��/ô�^ú\õ�ÿ��/ø0�iõ���þ#ÿ òÛþ�û�ø0��õ÷ù òÛü�iô��nù(þ�ø½ò��^ú���iþ �GòFü�������úk�)� ��ö� òÛü�/þ^ø���� ��ú � òFü�®õ÷ö�fò����?ò/� þ ��ô òÛõ»ù\øWþ�þ��H�Å�*� ������/ô�þ^ö\õ»ù\ø÷þ�þ��Jõ»õ`òÛô����^ù\ù����^ø�� � ô�ú ò��"8&ò��(þ�þ �&õ O �Eø÷ô òÛô�õ#ü ò��"8&ò��(þ�þ���õ� %� � �dô òWò�� � �(� S ô�ú òÛü�4����ø0�(�Ì�3����øWõtþ��òFü� \�p òFüÑ���/úÛòFö<ø=�#� O 6�ü�»ù\øWþ�þ��Jõ ÿ��/ø����H������ �/ô�þ�ö\õ�ô�úµòFü3�Éõ`òÛøWô�?ò��/õ`ò õ��/ú\õ����¥6pü�0�+�ù\ø÷þ��*� � . òÛü��ô��nù(þ�õ÷õ÷ô�\ô���ô ò&� þ �6òFü��ø��/õ÷ö� òZû�ô��*�/úiô�úiù��ø½ò O ô�ô S þ��¡��89���nù��� Þ � Þ � S

�Yõo�<þ�ö õ��#ÿ ô�új�/þ^ö\ø÷õ��?�,��� �� �òÛü�?�����^ú�������ö��òÛü�/þ^ø����ß6�ü�/þ�ø0���ý��� I ü�^õIòFü��Jþ����þ#ÿZô�ú\û�� �"���/þ�ø÷þ������øWô�/õ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡:RÊ¡:=Bm±à#à _ D±I `ba5v ` >A@TO �Æ6 �YSrB CHD v s�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RIY<"m)KTl ` C _ K �h

CXi�;=<�>)~&ObQoS § pA< _ c v |H|*QÙ¤¼O �Æ6 �rS `ba I�KÛ>yCHD v K}CHKTl0c�I v D�CHK3F�<"m)KTl ` C _ K _ KO �Ç6 �rSh`ba5v ` CHD�>fObQoSrºW>PO > S�d a I�KTI�G I�c � [MQ�[ > [���i �h

CHCXi�;=<�>)~&ObQoSr¬]p�< _ c v |H|çQ�¤ªO �Æ6 �rS `ba I�K->'CHD v D ` ceC"l ` | N�CHKTl�czI v D�CHKF�<"m)Kol ` C _ K_ K©O �Æ6 �rSh`ba5v#` CHD�>fObQoSr[x>PO > S�d a I0KTI�GJI�c � [MQ�[ > [���i �h

CHCHCXi�;=<?>�~&ORQTSPU2p!< _ c v |E|çQ�¤ªO �Ç6 �rS `ba I�K�>kCED�l _ K3D `�v K `��hCHG�i4;=< ° > ~ ORQTS ° ºWï¼< _ c v |H|�Q�¤ªO �Æ6 �rS `ba I�K ° >PO¼ÈTS3V¥>fO�É*S ° ºWï ° È4VRÉ ° < _ c v |E|

È 6 É�¤ªO �Ç6 �rSÊf�^ø`ò O ô�ô�ô S þ ��þ �Y6�ü�/þ�ø0���í� ��� ô�õUòÛü��ø��/õ÷ö� òtòFü��òtò�������õqö\õUòFü��òtòFü3��õ÷þ ��öfòÛô�þ^ú\õ

O ô�n�^ú�� S þ�� > ~ ObQoS�U˳¡ObQoS þ�ú O �Æ6 �rS � ô����/økþ^ú�(�M���ÙòFü�j� �� ô òFô�þ^ú«þ��n�Ê�/þ�ú\õ`ò��^úÛòO òÛü��õ÷þ��������� � +�/þ^ú\õ=ò���úÛòkþ �bô�úÛò��/û�ø0��òFô�þ^ú. S �

Êf�^ø`ò O ô(� S þ���þ �Y6�ü�/þ^ø����í���� ô�õ���ú��"89��������/úÛò��"89���nù���ïþ���òFü�Yÿ����µòFü��òtòFü�òFü�Fþ^ø����dõEþ �\òFü\ô�õEõ����?òÛô�þ�ú O �^ú � ����ú��®þ�òFü�/ø�òÛü�/þ^ø����dõpþ��o��ú���(�uõ#ô�õ S �/þ�ú��*�/ø½ò | _ l v |ô�ú�Jþ�ø0���:òÛô�þ�úZô�úÛòFþ FJ| _ L v | ô�ú�Jþ�ø0���:òÛô�þ�ú�o�}�7��ú\þ#ÿýòFü��ò ° >�~&ORQTS ° ºWï õ#þ�òÛü��ò | _ l v |H| NòFü�rø0��ò��rþ��9�hü��ú\û ��þ�� > ô�õGú\þkû^ø����:ò��/ø¦òFü��ú ï �T�Û� � � � ö����òFü��ò ° >PO¼ÈTS V�>PO¼É5S ° ºï ° Q1V > ° õ÷þtòÛü�:ò FJ| _ L v |H| N òFü3��ø0��ò���þ �T�3ü��ú\û���þ � > ô�õ�ú\þdû�ø����:ò��/øPòÛü�^ú ï �

6�ü�,$\ú� �fòÛü�/þ�ø0��� þ��&òÛü\ô�õGõ����?òÛô�þ�ú O 6�ü�/þ�ø0���ß��� Þ \ þ�únö\ú\ô� þ�ø0�ß�/þ�úFòÛô�ú�ö\ô ò&� S ô�õ�^ú\þ�òFü3�/ø��"8���������/úÛò7�"8�� �dù���þ���òFü�Y�/þ^ú��*�/øWõ#ô�þ^úkþ �J��þ ��� ��ô�ú�Jþ^ø�����òFô�þ^úpòFþrû���þ��� ���o�}�ú��� � �1�/þ�ö\ù����þ � � ��$\ú<ô òÛô�þ�ú\õ��^ú � �"89���nù���/õ���è?��������¡$\ø÷õ`ò��Jø÷þ��Ì`���$\ú\ô òFô�þ^ú�� � Þ \ÿkü��òkô ò�������ú\õ,�Jþ^ø,���Jö\ú�?òÛô�þ�úïòFþ��5���/þ�úÛòFô�ú&ö\þ�ö\õ�þ�úÌ�dõ��?òÓ ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎÑ¡:ãÖ¡:=<%I `Æ£Ë� � d?I�D v N `ba5v `�v <"m)Kol ` C _ K¯>Ê@ £ B 3 CHD �/þ^úÛòÛô�úç´ö\þ^ö<õ _ K £ CX<?F�CHGJI0K v K3N�à _ CHK ` ¶�¤ £�v Kos v K3Nj«7¬]p1d,I�l v Kj­TKTs v @)O�« 6 ¶oSY¬xpD�m9l a¯`ba*v#` d a I�KTI�GJI0cq¥-¤ £év KTs X ¶1V¨¥ X [D@)O�« 6 ¶oS�d?I a5v GJI

X >PO ¶oSoVª>PO ¥¡S X [2«�²þYþ#ÿý�/þ �dù��ø0�EòÛü�:ò � ��$\ú\ô òFô�þ^úïÿZô òÛüiþ^ö\ø � ��$\ú\ô òFô�þ^úiþ � m)K3CX< _ c ³ �/þ�úÛòFô�ú�ö\ô ò&�#�

Þ �

Page 16: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÎÑ¡:½¡�Ð%:=<¡I `A£Í� � d?I�D v N `ba5v `�v <"m)KTl ` C _ K©>¥@ £ B 3 CHD ö\ú\ô�´�Jþ^ø����(�¯�/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ _ K £ CX<�F�CHGJI�K v KN�«�¬Ùp�d,I�l v K1­TKos v @)O�«�S�¬Wp�D�m�l a'`ba5v `d a I�KTI�GJI0ct¶ 6 ¥-¤ £év KTs X ¶1V¨¥ X [D@�Oq«�S�d?I a5v GJI

X >PO ¶oSoVª>PO ¥¡S X [2«�²åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µÑ¡:½¡(¡*:�Ð a I�< _ |H| _ dfCHK3F `ba czI�I�<"m)KTl ` C _ K3D v czIÊl _ K ` CHK3m _ m)D�L�m ` K _#` m)K3C[�< _ c ³ | N�l _ K ` CHK3m _ m)D �h

CXij> ¹ @ B F�CHGJI�K©L�N�> ¹ ORQTSPU}Q Z �hCHCXij> Z @TO=p 6 Þ SrB F�CHGJI�K©L�N�> Z ORQTSPU}Q Ý ¹ �hCHCHCXij> ½ @oOqp 6 Þ SrB F�CHGJI0KML�Nj> Z ObQoSYU õ÷ô�ú ObQ¡Ý ¹ S �

³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ñ¡:`¡�²¡:=<¡I ` ï L�I v l�| _ D±I�s�L _ m)KTs I�s4D�m�L�D±I `n_ < � � ;=<�>A@5ïéB 3 CEDl _ K ` CHK3m _ m)D _ K-ï `ba I0K->'CHD�m)KCX< _ c ³ | N�l _ K ` CHKm _ m)D _ K¨Î �6�ü�iø0�/õ÷ö3� òÛõdþ ��òÛü\ô�õnõ����WòFô�þ^ú��^ø��ïòFü�Ì�Jþ^ö\ú � ��òFô�þ^ú\õnþ ��� ������ú� ���õ÷ô�õ�� ñóònòFþ�þ��

\�p p �*���^ø÷õ�òFþj�Jþ�ö\ú � ��ú� ���õ÷ô�õ þ�únòFü�Zõ�� �����z8uô�þ����:òÛô������õ÷ô�õ���õ2Okø0����� û��/þ ���?òÛø=��^ú � òÛü� õ÷ö�����/õ÷õ��Jö���/þ��nù���?òÛô�þ�ú þ���òFü3�»ù<øWþ Á ���?ò�ÿ��^õ��»òFø÷ô�ö�nù\ü þ���òFü� ü�ö���^úô�úÛò���������?ò��Ùñ&�T�6þ^ök����ú òÛø0� ���j�Ê�/þ��nù5�?ò�� ù�:òÛü'�Jø÷þ�� òÛü�j� ö\ú � �����/úFò�� �Y��8ô�þ � òÛþòFü�Eþ�ú� � ô���/ú\õ÷ô�þ^ú3����������ú��)� ��ö��òÛü�/þ^ø����y�<þ�öYÿkô����ü���*������õ`ò��/ø0� � òÛü���/õ÷õ��/úÛòÛô�� �ù(þ�ô�úÛòZþ��6òFü\ô�õ,�/þ�ö\øWõ����

Ï Ð ÈMÑý�ïî¦�ï����È�Ær��È÷���

�y� ö\ú�?òÛô�þ�únô�õr�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ^ö<õ�ô��uô ò ô�õr��þJ��������A��ù\ù\øWþ�8uô����ò����(�A�/þ^ú\õ=ò���úFò��n�y�Jö\ú�?òÛô�þ�únô�õ� ô����/ø0�/úÛòÛô�� ����kô��Pô òvô�õ?��þJ��� ���(�-��ù\ù\øWþ�8uô����ò������¯��ô�ú���^ø��^¿Ùþ^ø���ù\ø����/ô�õ������# o��� ö<ú�?òFô�þ^úô�õP�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õf��ò,�qù(þ�ô�úÛò ¶ ô�6ô ò�ô�õf��þJ����������^ù\ù\ø÷þ�8ô����:ò��������/þ^ú\õ`ò��^úÛòVÿZô òÛü���ú��/ø÷øWþ�øÿkü\ô�3ü � ���/ø�����õ��/õUòFþ�ö��/ø÷þ��^õUÿ��t��ù\ù\øWþ ���3ü ¶ ���ý� ö\ú3�?òFô�þ^ú ô�õ � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� �������ò��ù(þ�ô�úÛò ¶ ô�bô òkô�õ,��þJ��� ���(����ù\ù\ø÷þ�8ô����:ò������-��ô�ú����øPÿZô òÛüÌ�^úÌ�/ø÷øWþ�øPÿZü\ô��3ü � ���/ø0����õ��/õVòÛþö��/øWþ < v D ` I�c `ba5v K©| CHKTI v c�| N �^õ�ÿ����^ù\ù<øWþ ���3ü ¶ �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6Ã Ò :½¡*:=B3m±à#à _ DgI `ba5v#`V£ CHD v D�m�L�DgI `!_ < _ < � v KTs ¶ v à _ CHK ` D�m�l a`ba5v `�`ba I0c�IÊI0u�CHD ` D v @�¬Âp¯dPC `RaÒ� O ¶ 6 @±S �Ó£1�D� I�D v N `ba5v#` >ª@ £ B 3 ^�CEDs�CX{�I�czI�K ` C v L�|RI v#` ¶©CX<�d,I�l v K�­TKTs v | CHKoI v c ³Ìv à � @ � B 3 D�m�l a'`ba*v#` ^Pd a I0KX £ X [/@

>PO ¶�Ú £fSYU2>fOJ¶oS�Ú � £AÚÕÔ)O ¶ 6 £%S X £ X Öd a I�c�I X Ô)O ¶ 6 £%S X B p v D X £ X B p ��� I�dPceC ` I � U/×1>fOJ¶oS _ c � U2> ~ OJ¶oS �;q< £ CED _ à9I0K v KTs�>�CHDÌs�C {�I�czI�K ` C v L�|RI v ` I v l a à _ CHK `�_ < £ d,I4D v N `ba5v#` >}CEDs�CX{�I�czI�K ` C v L�|RI _ K £1�

Þ �

Page 17: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

þ���� � ��/õ÷õqòÛþ�õ����# GòFü�Ê���/úFòÛø��iþ��GòÛü� � ��$\ú\ô òÛô�þ�ú�ô�õqòFü�Ê� þ�ø0��ö��� Ö �^ú � òFü�ø0��� � �/ødõ#ü\þ^ö� � �/þ^ú���/úÛòÛø0��ò��iþ�ú¨ö<ú � �/øWõ`ò��^ú � ô�ú\û òÛü�iøoØþ ���iþ �������3ü ò��/ø�� ô�ú òFü��ò�Jþ^ø��vö�����6�ü�ïø��/õ`ònþ���òÛü� � ��$\ú\ô òFô�þ^ú ô�õ Á ö\õ`ònõ÷ö\ù\ùuþ^ø`òFô�ú\û�ÿ��$Ù������6þ^ø��vö�� Ö ô�õõ÷þ ���?òÛô����/õ�ø��?ÿkø÷ô ò÷ò��/ú

>PO ¶�Ú £fSoVª>fOJ¶oSoV � £X £ X B p

�^õ X £ X B p �árþ�ödü���3��� ��ø���� � � õ`òÛö � ô�� ��� ô�5�/ø0�/úÛòÛô���òFô�þ^údô�ú��/þ�ö\øWõ����,��� ����ú � �6þ^ödø��/û^ö��^ø����

ö\õ���ù��ø½òÛô�� � � ô�5�/ø��/úFòÛô���òÛô�þ�úiô�úÌ��ù\ù��ô� � �/þ^ö\ø÷õ��/õ,��ú � ����õ��?ÿkü�/ø����pñLõ#ü���� òÛü�/ø0���Jþ�ø0��/þ^ú���FúFòÛø0��ò���þ�úiø����������ô�ú\ûdõ÷þ ���kþ��6òFü��� �"� ù(þ�ô�úÛòFõ��ÕL¬&¸«¸«´ Ò :㲡:=<¡I ` >]L�I v D�CHK F I=­TK3C ` C _ KÚ �[¬#� ;=<�d?I�m)DgI�D `�v KTs v c�sÊl _�_ c�szCHK v#` I�D`ba I0K¯CX<�>ÑCHD�s�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RI v ` ¶�C ` D�à v c ` C v |Ts#I�ceCHG v#` CHG I�D�> YÜÛ ÕçOJ¶oSPUÞÝ > Y

Ý Q5ÕI�u�CHD `�v KTs

`ba I ³Ìv#` ceCHu _ < `ba I4s#I0c�CHG v#` CHGJI2×�>PO ¶oS?CED `ba I´ß v l _ L�C v K ³Ìv ` c�CEu�O�> Y[Û ÕçO ¶oS�S _ <%à v c ` C v |s#I0c�CHG v ` CHGJI�D �ñ ò ô�õÌ�/ö<õ`òFþ ����ø=�ÎòFþ�ù(þ�ô�úÛò þ�öfò òÛü�:òiòFü�¯�"8ô�õ`ò��/ú����þ��ròÛü� ù��ø½òÛô�� � � �/ø÷ô�����´

òFô(�3�/õ � þJ�/õdú\þ:òiô�dù�(�«òÛü� � ô�5�/ø��/úFòÛô�� �\ô���ô ò/�Îþ���òFü�A�Jö\ú�?òFô�þ^ú O õ�������8�� �dù3���A�����5����þ#ÿ S �\öfò òÛü�Ê����ô�úÏþ�� Á ���?òÛô�þ�ú\õ�òÛþ«þ��3�/øq´#ø0����ô���ú����þ�ú ù��ø½òÛô�� � � �/ø÷ô����:òÛô��*�/õj��ø0�òFü��ò�òÛü\ô�õ������ �/õ��Jþ^ø��vö������/ö�4���/øWõ÷þ ������ú � õ`òFô_à�/õïû��/þ ���?òÛøWô� ô�úÛòÛö\ô òÛô�þ�ú�MÀT�?ò�<þ�ö\ø7�dþ�òWòÛþ����Vá ¼�©¦©6°�§�·½Ã�´\¯F¬&¾v´\Ã�§ ¸«´\¯/°�·`¼�¬�¾Z¹N©(°�¼�´\Á`¼�Ú�Á½´<¯/·½©(Ããâ986¬�¼�¯/©6°�¾Z´<Ãb§Á½·`Ãb¬�´\°É¸«´\Í�¾n¹N©6°ÉÚ�Ãb§�¬&°�¾F¯F´\Ã�§b·`ÃbÈPâ=:

åkú�����"�¨ù\ø÷þ^ù��/ø½ò/� þ � � ô����/ø0�/úÛòÛô���òFô�þ^ú ô�õpòÛü���3ü��ô�ú ø÷ö������á þ^ö ü���3��� ��ø���� � �õ����/úkòFü\ô�õ � ô�õ��/ö\õ÷õ�� � �^ú � ù\ø÷þ��3� � ô�ú��/þ^ö\ø÷õ������ ��� ��å�ö\ø � ô�õ��/ö\õ÷õ÷ô�þ�úkÿkô���6ø÷ö\új� ��þ�ú\ûòFü��õ���������ô�ú�/õ,�\öfòZô�õ�õ���ô�û^üÛò��(� ú���:ò��/ø0�ÕL¬&¸«¸«´ Ò :ã¿¡:�;=< � @ � B 3 CHD v | CHKTI v c ³Av àÌd?I�l v Kt­oKTs v l _ K3D `�v K ` ï D�m�l a`ba5v ` ° � ¶ ° ºWï X ¶ X < _ c v |H|�¶�¤ � ��Û�����^ú�ú\þ#ÿß����� �EòÛü��� þ ����þ#ÿZô�ú\û � ��$\ú\ô òFô�þ^ú�

Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6Ã Ò :ãÆ¡:�;=< � @ � B 3 CHD v | CHKTI v c ³Av à `ba I�KX � X U õ#ö\ùä_åæäèç ¹ X � ¶ X ²

6�ü���Jþ����þhÿkô�ú\û�����õq�-�"89�/ø0�/ô�õ���ù\ø÷þ��ô � �/õ,��úÌ��Ï�ö\ô�������/úFò � ��$\ú\ô òFô�þ^ú�åY¶¦¬�°Û¼�·`¾F¬ Ò :ãË%:=B a5_ d `ba5v#` CX< � @ � B 3 CHD v | CHKTI v c ³Av à `ba I�K

X � X U õ#ö\ùä_åæä # ¹ X � ¶ X ²

Þ I

Page 18: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

6�ü\ô�õ,+�þ�ù5�/ø��:òÛþ^ø�ú\þ^ø���.�ü�^õ?����ú��Ùù����^õ��^úÛòkù<øWþ�ù5�/ø½òÛô��Fõ��ÕL¬&¸«¸«´ Ò :ãÑ¡:=<¡I ` �Æ6 �¥@ � B 3 L�I�| CHKoI v c ³Ìv à5D �h

CXi�;=<p¶�¤ � `ba I�K X � ¶ X º X � X�X ¶ X �hCHCXi X � X § p�^hCHCHCXi�;=< X � X Uxp `ba I0K � U2p�^hCHG�i�;=<^]�¤ `ba I0K X ] � X U ° ] °_X � X �hG�ihÐ a I ` ceC v KFJ|RI�CEKTI�Ã�m v | C ` Nei X � Ú«� X º X � X Ú X � X �h

G�CXi�;=<+é�@ 3 B 4 `ba I�K X é � X º X é XAX � X �ÕL¬&¸«¸«´ Ò : Ò µ?³v£�¬µ¼�£�´\·½Ãΰ�Ú�Á½¬ ¶ :w<%I `¢� L�I v KoI�CHF a L _ m)c a5_�_ s _ <L¶kCHK � ^ v KTsê v KTI�CHF a L _ m)c a5_�_ s _ < ¶ÛCHK 3 � B3m±à#à _ DgI `Ra5v#` >-@ � B ê CHD�s�CX{�I�czI�K ` C v L�|RI v `¶MdPC `ba s#I�ceCHG v#` CEGJI � ^ `Ra5v#` >Ê@ ê B 4 CHDjszCX{�I�czI�K ` C v L�|RI v#` ¥�dPC `ba s#I0c�CHG v#` CHGJIã�v Kos `ba5v ` >PO ¶oSYU ¥ � Ð a I�K�³g¶�>'CHD�szCX{�I�czI�K ` C v L�|RI v#` ¶©dfC `ba s I�c�CHG v#` CHGJI�� � �

ñ úÌ�dþ�ø0���/þ�ú � �/ú\õ�� � ú\þ�ò���òFô�þ^ú×�O¼³g¶�>�S�O ¶oSYU/×.³%Oq>PO ¶oS�SM×1>fOJ¶oS�² ÖëÖ

ñóò ô�õ�ô��nù(þ�ø½ò��^úÛòvòFþ®õ����kòÛü�:ò��Jþ^ø��vö�� ÖëÖ ô�õ4�"89� �?ò��(��ÿkü��òvÿ��Éõ÷ü\þ�ö� � �"8uù����?ò�^ú � òÛü��òkô òFõ�ù\ø÷þ�þ���ô�õrõ÷ô��nù����uþ�þ���´������/ù\ô�ú\û �×ɬ�¸«´\°�Ü å�ú�qþ �<òFü���nþ^õ`òpòÛøWþ�ö����/õ÷þ �����/ö� òÛö\ø0������^õ#ü�/õ��5�?òSÿ����/ú ù\ö\ø�������òFü�"´����òFô�/õY�^ú � �^ù\ù��ô�� � ô�õ¦òÛü�:ò�òÛþ��^ú��^ù\ù��ô�� � ����òFü3������òFô�/ô���ú��)��ø÷ô�� ����/õY��ô��� Q �^ú � »ü���*�7������ú\ô�ú\û�õ�õ÷ö�3ü4��õ�ù(þ�õ÷ô òÛô�þ�ú4�^ú � òÛô����Iÿkü3�/ø0����õ6òFþ�� ù\ö\ø��7����òFü3������òFô�/ô���ú4�����)��øWô�����/õn��ø0��+ � ö���?���)��øWô�����/õ�.uþ^øn+�ù������"´hü\þ�� � �/øWõ�.&òÛþ4���Yô�úÛò��/ø0�3ü��ú\û�� � ��òUÿkô����6�þ1� ù\ö\ø0�t���:òÛü������òÛô��/ô�^ú É ô�õ��^ú���ø0�\ô òFø��^øq�¥� ö\ú�?òÛô�þ�ú � ��$\ú� � ���ýô òÛõ����5���?òdþ^ú���)��øWô�����kõ÷þ�òÛü�:ò É%O�»eS7U¾·A» ½ �����^ú<õrù\ø����/ô�õ����(� òÛü�kõ�� ����òFü<ô�ú\ûj�^õ É%ObQoS7U¾·YQ ½ÿkü�/ø�����õ¦òÛþ!�^új��ù\ù��ô� � ����òFü�����:òÛô��/ô�^ú�ÿkü\þ�òFü\ô�ú��õ�þ � É �^õr���*����þJ�/ô ò/��òÛü��õ=ò���ò��"´���/úÛòÛõ É%O¼»eSYU2·�» ½ ��ú � É%ORQTSPUW·YQ ½ �����^ú4�3�/øq� � ô��5�/ø��/úÛò O ô�ú � ��� � ô�ú�/þ �nù�:òÛô���� SòFü\ô�ú\û�õ���6�ü���^ù\ù��ô�� � ����òFü�����:òÛô��/ô�^úïÿZøWô ò��/õ

ì Éì » U

ì Éì Q

ì Qì »

�\öfòpòÛü��ú����ø0�/õ`ò�òFü��ù<ö\ø0�����:òÛü������òFô�/ô���úÌ����úiû��?ò�òFþqòFü\ô�õ�õ`ò��:ò������/úÛòZô�õìì » É%ObQ7O�»eS�SPU�É ~ ObQnO¼»eS�SqQ ~ O¼»�S�²

6pü� õ������ ù\øWþ ������nõïþ ���Fö\ø�ô�ú õ=òFô�����dþ�ø0���/þ�ú� ö\õ#ô�ú\û-� þ�ø0� ÿkü3�/úµÿ�� � ������ÿkô òFüù�^ø`òÛô�� � � �/ø÷ô��)��òFô(�3�/õ��pñSú�ù�^ø`òFô�/ö����øPòÛü���Jþ^ø��vö��

Ý >Ý Q Y

í # ¹Ý >Ý > í

Ý > íÝ Q Y

Þ �

Page 19: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

��� ���/õ ú\þ õ��/ú\õ���ÿkô òFü\þ�öfòZö<õ÷ô�ú\ûj�Jö\ø½òÛü�/ø m)KDðà _ !JI0K �/þ�ú��3�/úÛòÛô�þ�ú\õ���6�ü�kþ^ú3����ø�����´� � � òÛü�:òvñ����^úµõ÷ö\û^û �/õ`òvô�õ�+ òÛü\ô�ú3����ô�����nù\ö<ø0�!����òFü�����:òÛô��/ô�^únÿkü�/ú � þ^ô�ú\û ù\ö\ø0�����òFü3������òFô�/õ��^ú � ��ô�� ����úA�^ù\ù��ô�� � ����òFü�����:òÛô��/ô�^ú�ÿZü�/ú � þ^ô�ú\û���ù\ù��ô� � ����òFü�"´����òFô�/õ�.�

6�ü���Jþ����þ#ÿZô�ú\ûdõ÷ô�dù��qø0�/õ÷ö� ò�ü��õ��ïõ÷ô�nù��� � ô�ø����?ò�ù<øWþ�þ��T�\öfò�ô ò�ô�õpô�ú\õ=òFø÷ö�?òFô(�3�òFþnù\øWþ��3��ô ò!���»òÛü���hü��ô�úiø÷ö����ÕL¬&¸«¸«´ Ò :ãÊ¡:=<¡I `�� L�I v KTI0CHF a L _ mJc a*_�_ s _ <�¶¯CHK � � B3m±à#à _ DgI `ba*v#` > 6 ³1@ � B3 v c�I�s�CX{�I�czI�K ` C v L�|RI v ` ¶ � Ð a I�K�>PÚ.³1CHD�szCX{�I�czI�K ` C v L�|RI v#` ¶ v KTs^×�O�>PÚ.³5S�OJ¶oSPU×�>PO ¶oS�ÚÄ×.³%O ¶oS �

�<þ©�H�^ø þ^ö\ø õ`òFö � � þ � � ô�5�/ø��/úÛòFô�:òÛô�þ�ú ô�ú ü\ô�û^ü�/ø � ô����/ú\õ÷ô�þ^ú\õ ü��õ ø�������ô�ú� �þ^úýòÛü����"�3���tþ��!���/ø���� ��û ���\ø���� O 6�ü� � ��$\ú<ô òÛô�þ�úÎþ �EòÛü�Ùþ^ù5�/ø��:òÛþ^ø ú\þ^ø�� ö\õ�� �òFü�nõ÷ö\ù\ø0����ö�é��ú � õ÷þÌ����� � ���/ù5�/ø��\öfòqÿ����/þ^ö� � ü���*�����6þ^ô � � � òÛü�dö\õ��dþ �IòFü�þ^ù��/ø0��òFþ�øbú\þ�ø0�Ù�^õ(ÿ��^õ � þ^ú�Lô�ú4�/þ^ö\ø÷õ��7�,��� ��� S 6�ü�Lú�"8&òEø0�/õ#ö� òEô�õ¡�GòFø÷ö�IòÛü�/þ^ø����þ��¡��ú���(�uõ#ô�õ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ò :RÖªµ?³Z£�¬µ¸«¬�´\Ã8 ´<Á½Ú�¬µ·½Ã�¬æî¦Ú�´\Á`·½¯3¥�¶#:=B3m�à#à _ DgI `ba5v#`�� CHD v K _ à9I�KDgI ` CHK � v KTs `ba5v#` >'@ � B 3 CHD�s�C {�I�czI�K ` C v L�|RI � _ K3D�C"s#I�c `Ra I!D ` c v CHF a5` | CHKTIDgIðF ³ I�K `

ï U O Þ VÒ»eS ´4Ú«»#­¯@3p�º�»�º Þ��ð _ CEK3CHK3FZ´ v KTs�­ � ;=< ï ���

hC � I � ï | C"I�D�I�K ` CHczI�| N�dPC `ba CHK � i v KTs X ×�>PO ¶oS X ºWï

< _ c v |H|�¶�¤ ï `Ra I�KX >fOJ´*SoVª>PO ­fS X ºWï X ´tV�­ X ²

6�ü��ø0��� � �/ø���������� � ô�õ��^ù\ùuþ^ô�úÛò�� � òFü��ò!�tòÛü�/þ^ø���� ô�ú��6þ��(�ô�ú\û���úÌ��Ï&ö� ��ô ò&� ô�úþ^ú� � ô����/ú\õ÷ô�þ^ú¨õ÷ü\þ^ö� � ��� ø��/ù��� ��� � ���Îþ�ú� ô�ú��6þ��(�ô�ú\û-��ú ô�ú��Ï�ö����ô ò&� ô�úM����ú��� ô����/ú\õ÷ô�þ^ú\õ���Þ þhÿ��"�3�/ø� �ô�ú\õ#ù5���?òÛô�þ�ú þ �VòÛü�»ö\õ�� þ �VòÛü�1�����^ú��)� ��ö�vòFü�/þ�ø����ßô�úþ^ú� � ô���/ú\õ÷ô�þ^úýõ÷ü\þhÿkõròÛü�:ò»ô òFõ4�/õ÷õ��/úFòÛô�� �r�/þ�úÛò��/úÛò»ô�õ�òÛü�Éõ`ò���ò������/úÛòZòÛü�:ò1+��þJ��� �û^ø÷þ#ÿ�òFüj�(þ�ö\ú � õGû���þ��� �<û�øWþ#ÿ�òFü.*�^ú � òFü\ô�õGõ`ò��:ò������/úÛò ô�õGù\ø0���/ô�õ������ïòFü�?�����^ú��)� ��ö�ô�ú��Ï�ö� ��ô ò&�#�

ñ ú��^ú�� ����õ��ïòFü�Ê� þ ����þ#ÿkô�ú\û'�"89���nù���iõ#ü\þ#ÿkõ�òFü��òdÿ��Ì���^ú ú\þ:òµü\þ^ù��Ì�Jþ^ø��^ú�"89���?ò��^ú� ��þ�û^ö��þ �6òFü��þ�ú� � ô���/ú\õ÷ô�þ^ú� � òÛü�/þ�ø0�����åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ Ò :½¡�С:=<¡I ` >x@ B Z L�IjF�CHGJI�KÙL�N'>PO¼»�S�U O �/þ�õ » 6 õ#ô�ú »eSsñ � Ð a I�K>fOqp�SYU2>PO=\ ½ StL�m ` ×1>fO�»eS�ÜUxp!< _ c v |H|{» �

ñ òqô�õ�����õ÷þ���������ø O òÛü\þ^ö\û�üvÿ��tõ÷ü� ���ú\þ:ò�ù\ø÷þ��3�tô ò� 9��ú � ô�ú � ��� � ���^ú ú\þ�òqõ=ò���ò��tô òÿkô òFü\þ�öfòtö\õ#ô�ú\ût�/þ^ú���/ùfòÛõbÿkü<ô��3üZÿ��Yü���*�Yú\þ:ò�� þ�ø���� ���(� � ��$<ú� � S òÛü�:òUòFü���/þ�øWø����?òû��/ú�/ø�� ��ô�õ��:òÛô�þ�úZÿkü�/ú\ï ô�õUú\þ�ò��võ`òÛø0��ô�û�üÛò���ô�ú�Gÿkô���uøWö\ú1��õn� þ ����þ#ÿZõ���+�ñ&��ï ô�õn�rÿ������5�/ü���3� � ù��òFü����ô�ú<û��/úÛòÛô�ø������iÿZô òÛü\ô�ú � ��ú � X ×�>PO ¶oS X ºýï � þ�ø����� ¶¥¤ ïýòFü�/úX >fOJ´*SoVª>fOJ­%S X ºWïÓò ��/ú\û:òÛü^ïY.��

Þ�N

Page 20: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ Ò :½¡(¡*:=<¡I `� U ¶�¤ Z�@ X ¶ X ¬ Þ�� � ORQ 6 p S ñ @�Q�º2p �(�

;=<?d,I `�v ! IwóO ¶oS `�_ L�I `Ra I�m)KC"Ã�m�I�D _ | m ` C _ K _ <�/þ�õ OÁóOJ¶oS0SYU�Q 6 õ÷ô�ú OÁóOJ¶oS0SYU > 6 V ½ [DóO ¶oSr[ ½

< _ c®¶ÂU ORQ 6 > S ñ ¤ � `ba I�K¤ó]@ � B CHDMI�GJI�ceNçd a I�czIÑs�CX{�I�c�I0K ` C v L�| I�dPC `baX ×�óO ¶oS X [ Þ �®ôt_ d?I�G I�c�CX<p´�UëOqV Þ 6 Þ p#Ý ¹ S ñ ^P­¯UýOqV Þ 6 V Þ p#Ý ¹ S ñ `ba I0K

° óO ´*STVÄóO ­fS ° ¬ X ´tV�­ X ²

õ ö �¯Î?Æ4ó Å Æ é ó÷��îì� è �t��î¦��É  

ñSú�òÛü\ô�õvõ����?òFô�þ^ú�ÿ����"8uù3��þ^ô òvòFü�������^úÊ������ö�Éô�ú��Ï�ö� ��ô ò&��òFþ®þ �fò���ô�úýô�ú� þ�ø�����òFô�þ^ú���uþ^öfòiòÛü�¯�5�/ü���ô�þ^ö\øiþ �vø0����õ÷þ^ú� ����Îÿ��������5�/ü���3� � � ö\ú�?òÛô�þ�ú\õ >ã@ � Bô�úÉòFü�vú�/ô�û^üJ�uþ^ö\ø÷ü\þ&þ � þ �P�Éùuþ^ô�úÛò ¶ � O �\ô�ú��� ÿ��4����ú���� ÿ����õGòÛø��^ú\õ���:ò��rÿ��võ#ü����õ÷þ ���?òÛô����/õVù\öfò ¶�U Ð ÿZô òÛü\þ^öfò,�/þ������/úÛò�� S ñóò������1�5��ÿtþ�ø½òÛüt� ���/ø`òÛô�ú\ûLòÛü�Eø0��� � �/øòFþ òÛü���E� �?òUòFü��òLÿ��Yõ÷ü� �����5�Yö\õ÷ô�ú\û òFü�Yþ�ú�"´ � ô���/ú\õ÷ô�þ^ú� ��������ú��)� ��ö�Yô�ú��Ï�ö����ô ò&�O õ����,6�ü�/þ^ø����ß���� O ô�� S0S ô�új� þ�ø0�nõr��ô����òFü3�,�Jþ����þ#ÿZô�ú<û���+�ñ&� ° > Û ¹ ORQ 6 w S ° ºWï � þ�ø�õ÷þ ���$ç89� � w �^ú � ���� ¢�ºyQ¯º¾Ò òÛü�/ú ° >fO�¢ 6 w STVy>fO�Ò 6 w S ° º ï ° ÒPVª¢ ° ��.tñSúnòFü\ô�õrõ����?òFô�þ^úÿ���õ÷ü� ����ö\õ���ø÷þ#ÿ�ø0��òFü�/øVòFü��úÌ�/þ���ö�nú��3���?òÛþ^ø÷õ��

Þ��/ø���ô�õ�þ�ö\ø,$\øWõ`ò��"89���nù�����³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ê¡:`¡kµ?àd©6æ¯/·`æÚb·`¯h¥¨©(¹rÍb´<°�¯/·½´<ÁU§�¬&°�·Ü8�´\¯/·Á86¬&¾n·`¸«ÍbÁ`·½¬&¾n§�·½Ô�¬&°�¬�ïF·½´\­�·½Á`·½¯3¥�¶#:B3m�à#à _ DgIE@A¬¨p�^r¶ªU�ORQ 6 > S4¤ Z ^ � OJ¶ 6 @gS �÷£Ì� Z v KTs `ba5v#` >M@ £ B �;=< `ba Irà v c ` C v |�s#I�ceCHG v#` CHG I�D�> Û ¹ v Kost> Û Z I�u�CHD ` CHK � OJ¶ 6 @gS v Kos v c�Itl _ K ` CHKm _ m)D v#` ¶`ba I0K�dPceC ` CHKF>PO0ObQ�Ú�ø 6 > ÚÄÀ�S0SYU2>PORQ 6 > SoÚ}> Û ¹ ORQ 6 > SMø�ÚÛ> Û Z ObQ 6 > SùÀ�ÚÛ«�Odø 6 À�S�OÁø Z Ú�À Z S ¹uZ Z

d?I a*v GJI�«�Odø 6 À�S�B p v DjOdø Z ÚÀ Z S ¹[Z Z B p �h;0K _#`ba I�c!d _ czs�D!>kCHDjs�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RI

v#` ¶ � i��� òFü\þ�ö\û^üròÛü\ô�õ�ô�õ�ú\þ�òUþ^ú3�Gþ ��òÛü�Gû�ø0����òbòÛü�/þ^ø����dõ�þ ��� ���FòÛô���� O þ�øbô�ú � ��� � þ ��òÛü\ô�õ

�/þ^ö\ø÷õ�� S ô ò � þJ�/õLù\øWþ��ô � �?�Zö\õ����Jö�6õ÷ü\þ^ø`ò��/öfò�� þ�øGù\øWþ��ô�ú\û�� ö\ú�?òÛô�þ�ú\õ � ô�5�/ø��/úÛòFô�������6pü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\û����^õq�-�"8�ò��/ú\õ÷ô�þ�úiô�õ?�����0òpòÛþqòFü��ø���� � �/ø��³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ê¡:R²¡:

hCXiúBm±à#à _ DgI�@'¬êp�^�¶¾¤ � � OJ¶ 6 @±S �û£û� � v KTs `ba5v `

>�@ £ B � ;=< `ba Ifà v c ` C v |�s#I�ceCHG v#` CEGJI�D�> Û ¹ ^%> Û Z ^%²�²�²!> Û �ëI0u�CHD ` CHK � O ¶ 6 @±S v Kos v c�Il _ K ` CHK3m _ m)D v ` ¶ `ba I0K->'CHD�s�C {�I�czI�K ` C v L�|RI v ` ¶ �hCHCXi�B3m�à#à _ DgIü@�¬¾p�^�¶'¤ � � O ¶ 6 @±S �Ë£k� � v KTs `ba*v#` >�@ £ B 3 � ;=<

`ba I7à v c ` C v |os#I�ceCHG v#` CHGJI�D!> YÜÛ Õ1I�u�CHD ` CHK � OJ¶ 6 @gS v KTs v czI�l _ K ` CHK3m _ m)D v ` ¶ � Þ º ¾ º5,6 Þ º Ø º � � `ba I�K�>'CHD�s�CX{�I�c�I0K ` C v L�| I v#` ¶ �

\ p

Page 21: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

6�ü�nú�"8�ò ø��/õ÷ö� ò� r��� òFü\þ�ö\û^ü'� ��þ�ú\ûiõ÷ô�nô���^ø���ô�ú3�/õ� Gô�õ!�vö3�hü'�nþ^ø��nô�úÛò��/ø��/õ`òÛô�ú\û ��}�EÿZøWô ò��

> Û Y ÕçO ¶oSYUýO�> Û ÕeS Û Y O ¶oS 6þ^ø� ¦ô�úÌ�nþ^ø����E� �dô��ô�^ø�ú\þ�ò���òFô�þ^ú

> Û Y ÕnU Ý Z >Ý Q Y Ý Q�Õ

²³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ê¡:R¿ªµ?ä�¬&¼�©6Ã�§Ï©(°Û§�¬�° ³E´&¥¦Á`©6°É¾F¬&°�·½¬�¾�¶#:=B3m±à à _ DgIÇ@�¬]p ^<¶�UýObQ 6 > Sr¤Z � OJ¶ 6 @±S �ý£ý� Z v KTs `ba5v#` >Ê@ £ B � ;=< `ba Irà v c ` C v |�s#I�ceCHG v#` CEGJI�D�> Û ¹ ^r> Û Z ^> Û ¹&¹ ^P> Û ¹ Z ^Y> Û Z/Z I�u�CHD ` CHK � OJ¶ 6 @±S v Kos v czI�l _ K ` CHK3m _ m)D v ` ¶ `ba I�K�dPceC ` CHKF>fO�ORQ�ÚÄø 6 > Ú�À�S�SYU!>fObQ 6 > S�ÚÛ> Û ¹ ObQ 6 > Sùø�Ú}> Û Z ORQ 6 > SMÀÚ ¹

Z O�> Û ¹&¹ ORQ 6 > Sùø Z Ú}\ > Û ¹ Z ObQ 6 > SMø�À�ÚÛ> Û Z&Z ORQ 6 > SMÀ Z SoÚ}«�Odø 6 À�S�Odø Z ÚÄÀ Z Sd?I a5v GJI�«�Odø 6 À�SYB p v D�Odø Z Ú�À Z S ¹uZ Z B p ��Û��ü���*�EòFü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\ûnô��nù(þ�ø½ò��^úÛò��/þ^ø÷þ������ø=�#�

³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ê¡:Rƪµ?ä�¥¦¸«¸«¬&¯/°�¥¨©6¹r¾F¬�¼�©(Ãb§ÎÍ�´\°�¯/·`´\ÁU§�¬&°�·Á8 ´<¯/·Ü86¬J¶#:=B3m±à à _ DgIE@A¬p�^�¶ªU�ORQ 6 > S�¤ Z � OJ¶ 6 @gS �÷£÷� Z v Kos `ba5v#` >M@ £ B � ;=< `ba I�à v c ` C v |s#I0c�CHG v ` CHGJI�D!> Û ¹ ^7> Û Z ^7> Û ¹/¹ ^7> Û ¹ Z ^n> Û Z ¹ > Û Z&Z I�u�CHD ` CHK � O ¶ 6 @±S v KTs v czI�l _ K ` CHK3m _ m)D v `¶ `ba I�K-> Û ¹ Z O ¶oSYU2> Û Z ¹�OJ¶oS �

�^òFø÷ô�ù\ù5� � þ��%� ���\òÛü�!$\ú� O �^ú � �Jþ^ørù\ø0� �?òÛô���� ��ù<ö\øWù(þ�õ��/õrô�øWø�����"�)�^úÛò S � �?ò���ô��\òFü<ô�õò������õkö\õEòÛü�:ò�ÿ�������ú�ô�úÛò��/ø0�3ü��ú\û��tòÛü�dþ�ø � �/ø�þ��Lù��ø½òÛô�� � � ô��5�/ø��/úÛòFô�:òÛô�þ�ú¯�Jþ^øEÿ������5�/ü���3� � �Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ��

ñ òGô�õIù(þ�õ÷õ÷ô��3���òÛþ�ù\ø÷þ � ö3����ù��^ö\õ÷ô�\ô���ô ò/���^ø÷û^ö���/úÛòFõo�Jþ^ø�òÛü��õq�9�����?òÛø=�dþ���õ����/þ^ú �ù�^ø`òÛô�� � � �/ø÷ô��)��òFô(�3�/õ���Þ��/ø����^ø������/þ�ö\ù�����

O Þ S ñ&� > ô�õ����vö� òFô�ú\þ��nô�� �� Vô����� >fObQ 6 > S,U þ3�# ® ÿ4�# ® ¢ 3 Û 4"Q 3 > 4 (òÛü�/ú > Û ¹ Z U> Û Z ¹ ���Eöfòdõ��dþ�þ:òÛü-� ö\ú�WòFô�þ^ú\õ��^ø����3�/øq�¥����þ^õ��YòÛþ��5�/ô�ú\û ù(þ ���ú\þ �dô���Võ÷þvÿ��Yÿtþ�ö� ��"8ù5���?òpòÛü��ø��/õ÷ö� ò�òÛþ��5�EòÛøWö3�qô�úiû �/ú�/ø0� ���

Oq\ S ��� òFü\þ�ö\û^ü�ÿ������^ú ú\þ:ò�ô�úÛò��/ø��3ü�^ú\û ����ô��nô òÛõEô�ú û �/ú�/ø����ô ò�ô�õpù����ö\õ÷ô����UòFü��òô�� > ô�õVÿ��������5�/ü���*� � òFü3�/ú> Û ¹ Z ORQ 6 > SPU ��ô��

��� ® ��ô�í�� ® ø ݹ À Ý ¹ O�>fObQ�Ú�ø 6 > ÚÄÀ�SoVÛ>PORQ�ÚÄø 6 > SoVª>fObQ 6 > Ú�À�S�ÚÛ>fObQ 6 > S�S

U ��ô�í�� ® ��ô����� ® ø ݹ À Ý ¹ O�>fObQ�Ú�ø 6 > ÚÄÀ�SoVÛ>PORQ�ÚÄø 6 > SoVª>fObQ 6 > Ú�À�S�ÚÛ>fObQ 6 > S�S

UW> Û Z ¹ ObQ 6 > S�²ÞYþ#ÿ��"�*�/ø0 �òÛü�/õ�����ø0�����/ø������®ù��^ö\õ÷ô�����^ø÷û^ö���/úÛòFõ���6�ü�"� � þïú\þ:ò������ ����������ø�òFü�øWþ ���dþ���òÛü���/þ�úFòÛô�ú�ö\ô ò&� þ��IòFü�ïõ����/þ�ú �-� �/ø÷ô(�)�:òÛô��*� O ô�ú-��89���nù��������vÿ��ïõ÷ü� ���Võ����

\ Þ

Page 22: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

òFü��òtòFü�ïø0�/õ÷ö3� ò������¥�H�^ô�¡�Jþ�ø � ô�õ��/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õqõ����/þ^ú � ù�^ø`òFô��� � �/ø÷ô����:òÛô��*�/õ S ��¿®þ�ø0��Jö\ú � �����/úÛò�� ���(�qòÛü�"����ø0� v | FJI�L�c v C"l �^ø÷û^ö���/úÛòFõ¡��ú � )�^õ6òÛü�Lö\õ��Lþ��fòFü�7�����^ú?�)� ��ö�òFü�Fþ^ø���� ô�ú � ô�����ò��/õ� �òÛü��ø0�/õ÷ö� òkô�õ�þ�ú��þ�� v K v | NçD�CHD �

6�ü�/þ�ø0���nõ���� Þ �^ú � � � ú ��ø0��ô�ú�"8&òÛø÷ô���� ����¥��ô�ú��� � ô�ú����^ú��¥�"8�� �dô�ú�/øWõ�.¡�nô�ú � õÿkô òFüdòFü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\ûqòSÿtþ��/þ�ö\úFò��/øq´��"8�� �dù��/õ��,6�ü��ù\ø0�/õ��/úÛò!����?òFö\ø��/øVÿtþ^ö� � ø��:òÛü�/ø�<þ�ö��Jþ^ø÷û^þ�ò?� ���^òÛü�,�/þ^ö\ø÷õ��VòÛü�^úqòÛü��òP�6þ^ö��Jþ�øWû�þ:ò ü\þ#ÿ òFþkù\ø÷þ��3��òFü�VòÛü�/þ^ø����dõr�^ú �ø0�������4���/ø0� � òFü���/þ^ö\úÛò��/ø=´��"89� �dù��/õ!�\öfò�ÿkô����ú\þ�òj���Wò ü\ô�õkù5�/ø÷õ÷þ^ú� �P�H������ô�ú\û^õkû �?òô�úïòÛü�Eÿ����Ùþ ��ü\ô�õ � ö^ò&�#�

�<ö\ù\ù(þ^õ�� >'@ Z B ü�^õ >PO Ð9S�Uýp ���Û�Yÿkø÷ô ò�� ³¡O�� 6 óçS�U¸>fO�� �/þ�õ ó 6 � õ#ô�ú óçSO ô�����tö\õ��kù(þ ����ø?�/þ&þ�ø � ô�ú��ò��/õ S �Yñ&� > ô�õrþ^ú��� � ô����/ø0�/úÛòÛô�� ����pòÛü�/ú \òÛþ�$\ø÷õ`òvþ^ø � �/ørô�ú�

O ô S+³¡O�� 6 óçS û�øWþhÿkõ,��ô�� � � O ô�ô S òÛü���/þ�úFòÛþ^ö<øWõ >PORQ 6 > SPU w ��ø0��ù��ø0� ���������ô�ú�/õ��

ñ&�6ÿ���õ��������/þ^ö\úÛò��/ø=´��"89���nù��/õ�ô òZô�õrø0����õ÷þ�ú�����EòÛþ���þ�þ����Jþ^ø,��ú > õ÷ö�3üïòÛü��ò O ô S ô�õòFø÷ö�!�<öfò O ô�ô S ô�õrú\þ�ò��7�Û�!�nô�û�üÛòròFü�/ø����Jþ^ø��!���!�� � òÛþj�/þ^ú\õ#ô � �/ø ³%O¼� 6 óçS7U� õ÷ô�ú \�ó �O �Vô�ú � ô�ú\û��/þ�ö\úÛò��/øq´��"89���nù���/õdô�õ��nþ�ø0����ô�� �vòFô�ú���/ø÷ô�ú<ûÉÿZô òÛü©������������ú\þ���ô ò�òÛü�^ú�^ú���òFü<ô�ú\û�����õ���� SåY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µÊ¡:ãË%:�;=<

>PORQ 6 > SPU Q >ObQ Z Ú > Z S ¹[Z Z < _ cjObQ 6 > S�ÜUýO=p 6 p S 6

>fOqp 6 p�SYUxp 6`ba I0K�> a5v D�­TceD ` à v c ` C v |rs I�c�CEG v#` CHGJI0D�I�GJI0c�Nçd a I�czI�^�>ªCHDÊs�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RIAI�uJl�I=à `�v `O=p 6 p S�d a I0c�I�C ` CHD�K _#`���r�4�uþ�� � �/ú� � ���¨þ�ö\økõ÷ö�����/õ#õ�ÿ��j�/þ^ö3� � ÿ������û�ö�/õ÷õZô����� � ô���ò����(����õ÷ö\ô ò�� ����

�Jö\ú�?òFô�þ^úÉòÛþ1��þ�þ �Ì�Jþ�øYô�ú òÛü�t�/þ^úÛò��"8&òdþ��Y6pü3�/þ^ø����Â��� ú �ïñ/��ú\þ�ò���?òïö\õ��/þ�ú\õ÷ô � �Fø >�^ú � ³ �^õ?�5���Jþ^ø������\ö\ù\ùuþ^õ��EòÛü�:ò

>fOJÐ�SYU2> Û ¹ OJÐ�SYU2> Û Z O Ð�SYUxp#²ñ&� > þ��5�0�uõ òFü���/þ�ú����ö\õ÷ô�þ�ú\õvþ ��6pü�/þ�ø0����� � Ó©O ô�����«ü��õ4�®õ����/þ�ú � þ�ø � �/ø46¡���9��þ�øõ��/ø÷ô��/õ S òFü�/ú �òFþnõ����/þ�ú � þ^ø � �/ø�ô�ú �

O ô S+³¡O�� 6 óçS û�øWþhÿkõ,��ô�� � � Z O ô�ô S òÛü���/þ�úFòÛþ^ö<øWõ >PORQ 6 > SPU w ��ø0���/þ�ú\ô��/õ��å�ú������û���ô�únÿ�����þ�þ �A� þ�ø��^ú > õ÷ö�3ünòÛü�:ò O ô S ô�õGòFø÷ö���\öfò O ô�ô S ô�õ ú\þ�ò����Û���dô�û^üÛò�

�Jþ^ø,�"8�� �nù���� ��/þ^ú\õ÷ô � �/ø ³¡O�� 6 óçSYU·� Z õ#ô�ú ú ó �åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µÊ¡:ãÑ%:�;=<

>PORQ 6 > SPU Q > ObQ Z V > Z SObQ Z Ú > Z S < _ cjObQ 6 > S�ÜUýO=p 6 p S 6

>PO=p 6 p�SYU2p 6\ \

Page 23: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

`ba I0K > a5v D�­oc�D `4v KTs�DgI�l _ KTsjà v c ` C v |,s#I�ceCHG v#` CHG I�D'I�GJI0c�Nçd a I�czI-L�m ` > Û ¹ Z O=p 6 p SkÜU> Û Z ¹ O=p 6 p S �ñ òvô�õ ù\øWþ �Jþ^ö\ú � �(� ö\ú� þ�ø½òÛö\ú��ò���òÛü�:ò òFü����^õ`òt�/þ^úÛò����?òt����ú��¯���:òÛü������òÛô��/ô�^ú\õ

ü���*�dÿZô òÛü�òÛü\ô�õkòÛþ^ù\ô��ô�õj�k�/þ�ö\ù���µþ����/þ��nù��ô���:ò�� � �/þ�ö\úÛò��/øq´��"89���nù���/õ��¤¿Ùö� òÛô�´� ô����/ú\õ÷ô�þ^ú� ��������/ö��ö\õ����� � õPòÛþ#ÿ���ø � õ � ô��5�/ø��/úÛòFô���¦û �/þ����?òFøq����ú � ô�ú$\ú\ô ò�� � ô���/úç´õ÷ô�þ^ú� �������/ö��ö\õ O �Jö\ú�?òÛô�þ�ú�����ú���(�õ÷ô�õ S �n�Eþ�òFünõ÷ö� Á ���?òÛõ � �/ù5�/ú � þ�ú m)KTs#I�ceD `�v KTs�CHK3Fþ�� Á ���?òFõGÿkü\ô�3ünÿ��4��ú\þ#ÿ òFþ�����ÿ�����T�5�/ü���*� � �\öfò ÿZü\ô��3ü®þ^ö\ø���ô�dô ò�� � û��Fþ����?òFø÷ô��ô�úÛòÛö\ô òÛô�þ�ú������ �/õUô òtü��ø � �Jþ^øLö\õbòÛþ4�/þ��nù\ø0�/ü�/ú � ���pþ�ö\úÛò��/øq´��"89���nù���/õUõ÷ö�3ü���õbòFü�þ^ú�/õ Á ö\õ=òkù\ø÷þ � ö��� � �^ø���õ÷ô��nù�(�Ùô�øWø������"���^úÛò� ü�:ò ü��ù\ù5�/ú\õ�ô�7�Ì� ö\ú3�?òFô�þ^ú�ô�õ�õ��nþ�þ:òÛü O ü�^õkù�^ø`òFô��� � �/ø÷ô��)��òFô(�3�/õkþ��7� ����þ�ø=´

� �/ø÷õ S�� 6�ü�4� þ ����þ#ÿZô�ú\ûZòFü�/þ�ø0���Â�/þ��nù���?ò��/õGòFü� � ô�õ��/ö\õ÷õ÷ô�þ^ú®þ��òFü\ô�õYõ����?òÛô�þ�ú�kñóòïô�õú\þ:òUþ�ú�òFü�Lõq������ �\ö\õT��ú � ����AòbòÛþ�òÛü�Gø���� � �/øT��õT�^ú4�"8��/ø��/ô�õ�� O �\ö^ò7�Y�3�/øq�nô�ú\õ=òFø÷ö�?òFô(�3�þ^ú� S �³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ê¡: Ò µ?³Z£�¬µÁ`©¦¼�´<ÁU³U´�¥¦Á½©6° âR¾n¯/£�¬&©6°�¬�¸k¶#:=B3m±à à _ DgI\@M¬ p ^Z¶ë¤ �� O ¶ 6 @±S �T£T� � v KTs `Ra5v#` >k@ £ B 3 � ;=< `ba I v |H| à v c ` C v |fs#I�ceCHG v ` CHGJI�D�> YÜÛ Õ�^> Y[Û Õ í ^Y> YÜÛ Õ í ^Y²�²�²�I�u�CHD ` CHK � OJ¶ 6 @±S v Kos v czI�l _ K ` CHK3m _ m)D v ` ¶ `ba I0K�dPceC ` CHKF

> Y O ¶�Ú¨£%SYU2> Y O ¶oS�Ú�ÕM# ¹ > YÜÛ ÕgOJ¶oSùø Õ¡Ú

�ÕM# ¹

í # ¹> YÜÛ Õ í OJ¶oSMøJÕ ø í

Ú������ Ú}D�m ³ m�à `�_�¦�`ba à _ d,I�ceD¡Ú}« Y OJ£fS X £ X £d?I a5v GJI X Ô)O £fS X B p v D X £ X B p �

6�ü�tÿkô � ���#ÿ���� �ïø���� � �/ø������ þ��\õ��/øq�3�tòFü3�:ònñ ö\õ�� � O û �^õ÷ù �ü\þ^ø÷øWþ�ø� S �/þ�þ^ø � ô�´ú�:ò��/õqô�ú»òÛü�ïõ`ò���ò������/úÛònþ��r6�ü�/þ^ø����í� � I ��ÞYþ#ÿ��"�*�/ø0 òÛü�����^ô�ú-�Jþ^ø��vö���A����ú-�5�õ`ò��:ò�� � ô�úÌ���/þ�þ^ø � ô�ú��ò����Jø����Eÿ����-��õ>PO ¶�Ú¨£%SYU2>PO ¶oS�Ú � ¹ O £fS�Ú � Z OJ£ 6 £fS�Ú}Ú������ Ú � £�OJ£ 6 £ 6 ²�²�² 6 £fS�ÚÕÔ)O £fS X £ X £ 6ÿkü�/ø�� � í @ � ò � ������ò � B 3 ô�õ,��ô�ú���^øpô�úÌ�����3ü��)��øWô����� O ô�����,� À ´���ô�ú����ø�Jö\ú�?òFô�þ^ú S ���<þ�øY�dþ�ø0� � �?ò���ô���õY�/þ�ú\õ÷ö� ò õ����?òFô�þ^ú Þ \ þ ���3ü�^ùfò��/ø��ïñWñ÷ñ�þ ��`tô�/ö � þ^ú<ú����.�õ� _ m)Kos v#` C _ KD _ <´W _ s#I�ceKMâ�K v | NçD�CHD �(����ÿZü�/ø���òÛü�Éü\ô�û�ü�/ø � �/ø÷ô����:òÛô��*�/õ4�^ø�� � ����� òÿkô òFüµô�úÊ�j�/þ�þ^ø � ô�ú��ò���� ø����pÿ���� ��Àbô�� �!Þ��^ø � ��.�õ?�(þ�þ �¯��� �� �`qô��/ö � þ�ú\ú����.�õ ô�õ?�j���^õq´ò��/ø÷ù\ô�������\öfòkô�ú��3�/øq� � ô��5�/ø��/úÛòpòÛø0� � ô òFô�þ^ú�

�Yú��6þ^ú�qÿkü\þÊ�E������õpòÛü�:ò�òÛü�nü\ô�û�ü�/ø � �/ø÷ô����:òÛô��*�/õ!�^ø����5�/õ`òÉõ`òFö � ô� � ö\õ÷ô�ú\ûÊ�/þ�´þ^ø � ô�ú3�:ò��/õtõ÷ü\þ^ö� � ø0��à���?òtòFü��òïô� >-@ ½ B ½ ô�õLÿ�����¡���/ü���3� � òÛü�/úÉòFü�t+ òFü\ô�ø �� �/ø÷ô��)��òFô(�3�Ê���/ü���ô�þ�ö\ø0.?�:ò®þ�� > �:ò�� õ÷ô�ú\û����ù(þ�ô�úÛò®ô�õj��ù\ù�^ø��/úÛò��(� û^ô(�3�/ú}��� òFü�ÓEòkÓEòkÓEòkÓ�U � Þ ú&ö3�4�5�/ø÷õ > YÜÛ Õ í� O ¶oS ���¡�«õq�������?òFøq� O õ�����6�ü�/þ^ø����»��� ú S þ�ú���Ó�p þ �òÛü��ú&ö�t�5�/ø÷õ���ø0� � ô�õ=òFô�ú�?ò��\öfòYòFü3�/õ�� Ó p ú�ö�4�5�/ø÷õ��^ø��vô�ú � �/ù5�/ú � �/úÛò O �/þ^úç´õ÷ô � �/ø ùuþ����ú\þ �dô����õYô�ú òFü<ø0���?�)��øWô�����/õ��Jþ�ø�ÿZü\ô��3ü òÛü�ròFþ�ò�� � � �/û^ø����vþ��P��� �3ü ò��/ø��ô�õ Ó�S ��ÞYþ#ÿû����úvÿ��qö\ú � �/ø÷õ`ò���ú � òÛü�tô�ú�Jþ^ø�����òFô�þ^úA���^ø÷øWô� � ������ú���øWø����®þ � Ó p ø0��� �ú�ö�4�5�/ø÷õ �

\ Ó

Page 24: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

� � È÷��É Æv�Ù� ÈÛ�v�P�1L�îYÆr��È÷���

O ¿Ùö�3ü þ��VòÛü\ô�õïõ����?òFô�þ^ú®ÿ���õ�õ�� �?ò��3ü� � ô�úµòÛü�1�/þ^ö<øWõ������ �����\öfò�òFü\ô�õ òÛø0����ò����/úÛòÿkô���Uõ÷ö\ù\ù3���Ïõ÷þ ���»ô�dùuþ^ø`ò���úÛò��"8�òÛø0� � �?ò��^ô��� S ���*�/ø=�9�uþ � �Û��ú\þ#ÿZõ ÿZü�:òA��ø0���Ùô�õ� �\öfòUòÛü�/ú1�"�*�/ø=�9�(þ � ����ú\þhÿkõ�ÿkü��òqü\þ�ú�"�nò��^õ`ò��/õ���ô�� �����Eöfò � þJ�/õUü\þ�ú�"�nò��^õ=ò��LòFü�õ�� ���UòÛþ��<þ�öA��õpô ò � þ �/õVòFþ���� � Ê%�/ø÷ü�^ù\õVòFü��Ï&ö�Fõ`òFô�þ^úiô�õ�ö\ú�^ú\õ`ÿ��/ø0� ������\öfò��Jþ�ø����ú��µù<ø0� �?òFô�����ù\ö\ø÷ù(þ^õ��FõEô ò�ô�õEõ#ö���/ô�/úÛòUòÛü�:òEÿ�����û^ø����tþ^úvÿZü��òUÿ������ ���ü\þ�ú�"�#�ñSú»òÛü�ïõ������Yÿ���� ô òdô�õqô��nù(þ�ø½ò��^úÛòqòFü��òtÿZü�/ú»òSÿqþ����:òÛü������òFô�/ô���ú\õUò�����Ê� �(þ�öfò�^ø����ròFü��ò O Þ S òÛü�"��õ÷ü\þ^ö� � �^û�ø���� þ^úkÿZü\ô�hüÉõ��?òFõ £ � �?òFö� ���(��ü���*���^ø����� ��^ú � òFü��òO=\ S ÿZü�/úÌ�nõ��?ò £ ü��õ,�^ø����tòÛü�"� õ÷ü\þ�ö� � ��û^ø������^õ�òFþqÿkü��òpòÛü���^ø����nô�õ���Vò�þ�ú�òÛô�����õ÷þ����P���:òÛü������òFô�/ô���ú\õ������Yÿ�������ü���*��ü\þ�ù5� � òFü��òY�0�3�/øq�t�uþ^ö\ú � � �

õ��?òïô�ú Z �/þ^ö� � �5��û^ô(�3�/ú��^ú���ø0��� %�"�3�/øq�k�(þ�ö\ú � � � õ��?òïô�ú ½ �/þ^ö� � ���vû^ô(�3�/ú���<þ ��ö���� ���ú � õ÷þ®þ�ú�kÞYþ#ÿ��"�3�/ø4���^ú� �3ü¥��ú � 6¡�^ø÷õ���ôLõ÷ü\þ#ÿ�� � òFü3�:ò��������Lô�ú ½�/þ^ö� � �5��õ#ù��ô ò ô�úÛòÛþkõ��"�3�/ú ù��ø½òÛõ¦ÿZü\ô��3üj�/þ^ö� � �5�rø0����õ÷õ����4��� � � �0ò��/ø�ø÷þ:ò��:òÛô�þ�új�^ú �òFø��^ú<õ�����òFô�þ^ú®ô�úÛòÛþ����� ���bþ �Võ���������/ø ø�� � ô�ö\õ�� O 6�ü�Zù\ø÷þ�þ���ô�õYú\þ^úç´-òFø÷ô��ô�� �T�\öfò òÛü�/ø0�ô�õ��Éû�þ&þ ��� ô�õ��/ö\õ÷õ÷ô�þ^úÙô�új�Û�^û�þ^ú.�õ��(þ�þ � Ð a I � v K v l a�� Ð v ceD�!�C�U v c v s _ u � Þ p ��� S ñ&������3ü»þ � òÛü�/õ��Yõ��"�*�/ú»ù�^ø`òFõEü� � �?�6þ���ö���GòFü�/ú»ø��/ù5����ò�� � ���^ú3���3ü16¡�^ø÷õ���ô � ���/þ ��´ù(þ�õ÷ô òÛô�þ�ú\õPÿqþ^ö� � �/ú� �����ö\õPòÛþdû��?ò!��Ï�ö�^ø`òkô�úÛòÛþ��dù\ô�úÛòkù(þ�ò��%�Û�^ø÷ú� � ���ÉòÛü\ô�õVÿ��õ÷ü� ����ú\þ�ò��:ò÷ò����nùfòYòFþ1��õ÷õ÷ô�û^ú��^ø����ZòFþ1�"�*�/ø=�ýõ÷ö�\õ��?òïþ � Z þ^øGòÛþ»ô�úÛò��/û^ø��:ò��4�"�*�/ø=��Jö\ú�?òFô�þ^ú�

6�ö\ø÷ú\ô�ú\û õ÷ù5���/ô$��������µòFþ�òFü��èrô�������ú\úÙô�úÛò��/û�ø0� �(ÿ����/þ�ú\õ÷ô � �/ø��(þ^ö\ú � � � �Jö\ú�"´òFô�þ^ú\õ >�@ � ¢ 6 Ò � B � O 6�ü&ö\õ(òÛü�/ø��7�"8ô�õ`òFõf� ï ÿZô òÛü ° >fObQoS ° ºÙï � þ�ø¡� ��� Q�¤ � ¢ 6 Ò � S �� � ô�õ÷õ����?òÛô�þ�ú�� þ���� ¢ 6 Ò ��ô�õ?��$\ú\ô ò��kõ÷ö�\õ��?òvþ���� ¢ 6 Ò ���/þ^úÛò��^ô�ú\ô�ú\ûqòÛü�!�/ú � ùuþ^ô�úFòÛõ ¢�^ú � Ò �,�¡���/þ�ú��3�/úÛòÛô�þ�úïÿ��EÿZøWô ò��

� U Q ® 6 Q ¹ 6 ²�²�² 6 Q5£ � ÿkô òFü ¢4U�Q ® º}Q ¹ ºÛQ Z º������*º}Q5£tU2Ò�²�}� � ��$<ú�EòFü� m±à#à�I�c�D�m ³ �^ú � | _ d?I0c!D�m ³ þ�� > �^õ÷õ÷þJ�/ô�:ò�� � ÿkô òFü��í���

� Oq> 6 � SYU£ÕM# ¹ ORQ�Õ%VkQ5Õ Ý ¹ S õ÷ö\ù

� �! �#"%$'& Û �("*)>fObQoS 6

+ Oq> 6 � SYU£ÕM# ¹ ORQ�Õ%VkQ5Õ Ý ¹ S ô�ú�

� �! �#"%$'& Û �("*) >fObQoS

6�ü�Zú�"8�ò4�������� ô�õ ü��ø � �(�¯�nþ^ø���òFü3�^ú���úµþ��\õ��/øq�)��òFô�þ^ú��\öfò�ô ò�ô�õ�òÛü�����"� òÛþòFü��ù<øWþ�ù5�/øPòÛø����:ò����/úÛòkþ �6òFü��ô�úÛò��/û�ø0� ���ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:½¡kµ-,µ¬&¥¨·½Ã¦¯/¬�È6°�´\¯F·½©6ÃÎÍ�°�©6Í�¬�°�¯h¥�¶#:�;=<1> @ � ¢ 6 Ò � B CHDkL _ m)KTs#I�sv Kos � ¹ v KTs � Z v czI ` d _ s�CHD�DgI�l ` C _ K3D `ba I�K

� Oq> 6 � ¹ S § � O�> 6 � ¹/. � Z S § + O�> 6 � ¹/. � Z S § + Oq> 6 � Z S�² Ö

\ ú

Page 25: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

6�ü�Lô�ú��Ï�ö����ô ò/� Ö ò������õPö\õ6òÛü�:ò� �ÿkü3�:ò��"�3�/ø � ô�õ÷õ����?òÛô�þ�ú?�6þ^ö�ù\ô��e����ú � ÿkü��ò��"�*�/ø� ô�õ#õ����?òFô�þ^ú ñ�ù\ô���J J�<þ�ö\øn��þ#ÿ��/øEõ÷ö�¸����ú ú\þ:ò��"8������ � ���µö\ù\ù��/øUõ÷ö����6�ü�/ø0�tô�õEú\þÿ����Éÿ�������ú ù\öfò���Ï�ö��ø½ò�ô�úA�ïù\ô�úÛò�ù(þ�ò��^ú � òFü�����^ú� �3üç´�6¡�^ø÷õ��&ôù\ü3�/ú\þ����/ú\þ^ú ô�õ���6þ^ô � � � �

�<ô�ú��� � Oq> 6 � S § V�O�ÒnV2¢ S�ï �Jþ^ø�� ��� � ô�õ÷õ����?òÛô�þ�ú\õ0� ÿ������^ú � ��$\ú�kòFü� m±à,�à9I�ctCHK ` I�F�c v |2143�Oq>9S�U ô�ú3�65 � O�> 6 � S ���Û� � ��$\ú�YòFü� | _ d,I�c�CHK ` IðF�c v | õ÷ô�dô����ø0�(�Ñ�^õ1 3 Oq>9S�U õ÷ö\ù 5 + Oq> 6 � S ��6�ü�vô�ú��Ï�ö� ��ô ò&� Ö ò������õYö\õGòÛü��ò òÛü�/õ��4�/þ^ú���/ùfòÛõ��5�/ü���3�ÿ�������ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:㲡:�;=<�>A@ � ¢ 6 Ò � B CHD�L _ m)KTs#I�s `ba I0K7143�O�>�S § 1 3 O�>�S �

ñ/� 143�Oq>9SPU�1 3 Oq>9S ÿ��kõ����»òFü��ò > ô�õ?èrô������^ú\ú�ô�úÛò��/û�ø0� �����^ú � ÿ��EÿZø÷ô ò��8

� >PORQTS ì Q�U91 3 O�>�S�²�}��ÿkø÷ô ò��;:M� ¢ 6 Ò �6þ�øGõ÷þ����?òFô���Fõ Á ö\õ`ò<:��Jþ^ø�òÛü�rõ��?òYþ���èrô������^ú\úÉô�úÛò��/û^ø������?�Jö\ú�"´òFô�þ^ú\õrþ^úk� ¢ 6 Ò ��6�ü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\û���������®ù\ø÷þ��ô � �/õt���/þ^ú��*�/ú\ô��/úÛò��/ø÷ô ò��/øWô�þ^úÑ�Jþ^ø4èrô������ú\úýô�úÛò��"´û^ø����\ô��ô ò&�#�ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:ã¿¡:

hCXi�â¨L _ m)KTs#I�s,<"m)KTl ` C _ K�>A@ � ¢ 6 Ò � B CHD=0nC"I ³Av K3K�CHK ` IðF�c v L�|RI�C <

v Kos _ Ko| NjCX<?F�CHGJI�K v K3N�«r¬]p1d,I�l v Kj­TKTs v s�CHD�DgI�l ` C _ K � dPC `ba� Oq> 6 � SoV + O�> 6 � SY[x«�²h

CHCXitâ¸L _ m)KTs#I�s�<"m)KTl ` C _ KÊ>A@ � ¢ 6 Ò � B CHD20nC"I ³Av K3KÌCHK ` IðF�c v L�| I,dPC `ba CHK ` IðF�c v |1�CX< v KTs _ KT| N�CX<?F�CHGJI0K v KN�«7¬]p�d?I�l v K�­oKTs v s�CHD�DgI�l ` C _ K � dPC `ba

� O�> 6 � SoV + O�> 6 � Sr[x« 6 v KTs � O�> 6 � S § 1 § + Oq> 6 � S�²6�ü�Eø0��� � �/ø(ÿkü<þtô�õuò����dùfò�� � òÛþtõ`ò��^ø`òpü�/ø(òÛø0����ò����/úÛòpþ���òFü��èrô�������ú\ú�ô�úÛò��/û�ø0� �

ÿkô òFü�Ào������� N � Ó�O ô�ô S õ÷ü\þ�ö� � ø���à���?òPòFü3�:òPÿZô òÛü\þ^öfòPòÛü�Eô�ú��Ï�ö����ô ò/� Ö õ÷ü�bÿZô���)$\ú �ô òZü�^ø � òÛþdù\ø÷þ��3�EòÛü��ö\ú\ôÏ&ö3�/ú�/õ÷õ�þ�� 1 �

���*�/ú òFü\þ�ö\û^ü ÿ���� � �dô ò�òÛü�:òkÿ������^ú ú\þ�òj�"8ù5���?òj� ���Y�Jö\ú�?òFô�þ^ú\õpòÛþÌ���dô�úÛò��"´û^ø������� ��^ú�� õ���òFô�õ��E� �?òÛþ^øq�»òFü�/þ�ø=� þ �bô�úÛò��/û�ø0��òFô�þ^úÊ�vö\õ`òZü���*������^ø÷û��!�/þ�������?òÛô�þ�úiþ��ô�úÛò��/û^ø��������Jö\ú�?òFô�þ^ú\õ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ö¡:RÆ¡:

hCXiMâ�K3N ³Ì_ K _#`�_ KC"l

h`ba5v ` CHD v K3N�CHKol�c�I v D�CHK3F _ c}s#I�l0c�I v D�CHK3F�i

<"m)Kol ` C _ K�>A@ � ¢ 6 Ò � B CHD=0nC"I ³Ìv K3K�CHK ` IðF�c v L�|RI �hCHCXi�â�KN�l _ K ` CHK3m _ m)Dn<"mJKTl ` C _ K�>A@ � ¢ 6 Ò � B CHD=0nC"I ³Ìv K3K�CEK ` IðF�c v L�|RI �

\ �

Page 26: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

Êf�^ø`ò O ô S þ ��6�ü�/þ^ø���� N � ú ��þ�þ���õn����ô ò÷ò��� þ �� ��ÞYþ#ÿ��"�3�/ø7�nþ^õ`òtþ � òFü��� ö\ú�?òÛô�þ^ú\õ> ���?ò ÿZô òÛüÏô�úÛ+��"�*�/ø=� � ���x��ô��H��.rô�ú����ö � ô�ú\ûk���^ú�� � ô�õ��/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õÉþ�ú�/õ��^ø��nòFü�� ô����/ø0�/ú��� þ ��òSÿtþ ô�ú�/ø����^õ÷ô�ú\û��Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ O òFü��ò ô�õ >yU > ¹ VÙ> Z ÿZô òÛü > ¹ �^ú � > Zô�ú�/ø�����õ÷ô�ú\û S �Ê�\ö�3ü¯�Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ���ø0����� ���� � +�Jö\ú�?òFô�þ^ú\õkþ �7�(þ�ö\ú � � � �)�^ø÷ô���òFô�þ^ú.Y�^ú �ü���*�����3�/øq� ù\ø��?òWò/�# Eô�pþ � � �H�^õ÷ü\ô�þ^ú� � PòÛü�/þ^øq� þ �PòÛü�/ô�øvþhÿkú�ÑÀo������� N � I ò������õö\õZòFü��ò��"�*�/ø=�2� ö<ú�?òFô�þ^úÎþ����(þ�ö\ú � � � �)�^ø÷ô���òFô�þ^úÎô�õ1èrô�������ú\úÏô�úÛò��/û�ø0� �������ñóò ô�õÿtþ�ø½òÛü ú\þ�òFô�ú\ûYòÛü�:ò!èrô������ú\ú � ô � ú\þ:òkü���*�UòÛü�UòÛü�/þ^ø���� òÛü��ò��"�*�/ø=���/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ�Jö\ú�?òFô�þ^ú¨þ^úM�-����þ^õ�� � �(þ�ö\ú � � � ô�úÛò��/øq�)���pô�õdö\ú\ô��Jþ�ø0�����y�/þ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ��^ú � õ÷þ»ÿ��^õö\ú� ����EòÛþdù\ø÷þ��3�pòFü��ò!�"�*�/ø=�-�/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õ,�Jö\ú�?òFô�þ^úiô�õ,èrô������ú\úiô�úFò��/û^ø�� ������

6�ü�pø���� � �/øÿkô���\ø�����������JøWþ �û�/þ^ö\ø÷õ����,��� �UòÛü�põ`ò��^ú � ��ø � �"89� �dù��pþ��5�uþ^ö\ú � � ��Jö\ú�?òFô�þ^úïÿZü\ô��3üiô�õ�ú\þ�ò!èrô������ú\úiô�úÛò��/û^ø��������åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬µÖ¡:ãË%:�;=<?>A@ � p 6 Þ � B CHD�F�CHGJI0KML�N

>fObQoSYUxp d a I�K1Q©CHD�c v#` C _ K v | ^>fObQoSYU Þ d a I�K1Q©CHD�CHc�c v#` C _ K v | ^

`ba I0K->'CHD�K _#` 0nC"I ³Ìv K3K�CHK ` IðF�c v L�|RI �6�ü���Jþ����þhÿkô�ú\ûdø��/õ÷ö� òFõ,��ø0������õq�»òFþnù\ø÷þ��3���

ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:ãÑ¡:=B3m±à à _ DgI `ba*v#` ¢1º w ºýÒ v Kos�>-@ � ¢ 6 Ò � B � ;=<�> ° � Û = ) ¤ :M� ¢ 6 w �v Kost> ° =?Û 8 ) ¤ :�� w 6 Ò � `ba I0K->̤ :M� ¢ 6 Ò � v KTs8

� >fObQoS ì Q�U =� >fObQoS ì Q�Ú 8

=>fObQTS ì QT²

ñ/�¦ÿ��t� � þ^ùfòtòFü�t�/þ�ú��3�/úÛòÛô�þ�úÉòFü��ò �8 >PORQTS ì QÑUýV 8� >fObQoS ì Q òÛü�/úÉòFü�t�Jþ�ø=´

�vö��8

� >PORQTS ì Q�U =� >PORQTS ì Q�Ú 8

=>PORQTS ì Q

ü\þ�� � õ�ô�ú � �/ù5�/ú � �/úÛò���� þ��6òÛü��þ^ø � �/øpþ � ¢ Ò ��ú � w �ÕL¬&¸«¸«´�Ö%: Ò :�;=<=] 6-> ¤ v Kosj> 6 ³�@ � ¢ 6 Ò � B v czI.0nC"I ³Av K3K'CHK ` IðF�c v L�|RI `ba I0KD _ CHDü]5>�Ú > ³ v KTs

8� ]5>fObQoS�Ú > ³%ORQTS ì Q�U/] 8

� >PORQTS ì Q�Ú >8

� ³¡ORQTS ì Q¡²ñ ú�òÛü�?��^ú\û�ö�^û � þ��9��ô�ú����ør� ��û ���\ø0�?:�� ¢ 6 Ò �6ô�õ7�,�*���?òFþ�øGõ÷ù� ���?��ú � òÛü�rô�úÛò��/û�ø0� �

ô�õ?����ô�ú����ø��Jö\ú�?òÛô�þ�ú��� O ô�����,����ô�ú3���^ø,����ùÌ� ø÷þ �@:M� ¢ 6 Ò � òÛþ � S �

\ �

Page 27: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:ãÊ¡:�;=<t> 6 ³M@ � ¢ 6 Ò � B v czIE0�C"I ³Ìv K3K©CHK ` IðF�c v L�|RI v KTsA>fObQoS § ³%ORQTS< _ c v |H|çQ�¤ � ¢ 6 Ò � `ba I�K

8� >fObQoS § 8

� ³%ORQTS ì QT²ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:ãÖ¡:�;=<�>A@ � ¢ 6 Ò � B CHD=0nC"I ³Av K3K�CHK ` IðF�c v L�|RI `ba I0K�D _ CHD ° > ° �

6�ü��ú�"8�òkø��/õ÷ö� òkø���Ï�ö\ô�ø��/õ,�dõ���� ����ô � ��� �ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:½¡�С:

hCXi�;=<�>�@ � ¢ 6 Ò � B CHDw0�C/I ³Ìv K3K�CHK ` I�F�c v L�|RI `Ra I�K�D _ CHD�> Z �h

CHCXi�;=<?> 6 ³�@ � ¢ 6 Ò � B v czI10nC"I ³Av K3K�CHK ` IðF�c v L�|RI `ba I0K�D _ CHD�>&³ ��Û����ø0�Yú\þhÿ ô�ú1��ù(þ�õ÷ô òÛô�þ�úZòÛþ�ù\øWþ��*�GòÛü���Jö\ú � �����/úÛò�� ��òÛü�/þ�ø0��� þ���òÛü����� ���/öç´

��ö\õ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ö¡:`¡6¡kµ?ØIÚ�Ã�§�´\¸«¬&æ¯F´\ÁU¯F£b¬�©6°�¬&¸ ©6¹r¯F£b¬®¼�´<Á½¼�Ú�Á½Ú�¾�¶#:=B3m�à#à _ DgI `ba5v `È�¤ªOq¢ 6 ÒeS v KTs�>A@TOq¢ 6 ÒeSrB CHD v 0�C"I ³Ìv K3K�CHK ` IðF�c v L�|RIT<"mJKTl ` C _ K�<"m)KTl ` C _ K�d a C"l aCHD�l _ K ` CHKm _ m)D v#` D _�³ I�»�¤ªOq¢ 6 ÒeS � ;=<?d?I�DgI `

� O + SYU AB>fObQoS ì Q

`ba I0K � CHD�s�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RI v#` » v Kos � ~ O¼»�SPUW>fO�»eS ��<þ����?òFô���/õYÿ��ZòÛü\ô�ú� þ ��òFü���Jö\ú � �����/úÛò�� �bòÛü�/þ^ø����ßô�ú©�Ùõ���ô�û�üÛò��(� � ô��5�/ø��/úÛò

ÿ����#�³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ö¡:`¡�²¡:=B3m�à#à _ DgI `ba5v ` >¥@,Oq¢ 6 ÒeS�B CHDAl _ K ` CHKm _ m)D�^ `ba5v#` ÈÛ¤ßOq¢ 6 ÒeSv Kos w ¤ � Ð a I0K `Ra I�czI�CED v m)KC"Ã�m�IÊD _ | m ` C _ K `�_Û`ba I¥s�CX{�I�c�I0K ` C v |�I�Ã�m v#` C _ K³ ~ O�»eSYU2>fO�»eS � »�¤ÛO�¢ 6 ÒeS � D�m�l a¯`Ra5v#` ³¡O�ÈoSYU w��

6�ü�ö\õ O ö\ú � �/ø���ù\ù\ø÷þ^ù\ø÷ô���ò��A�/ô�ø0�/ö�nõ`ò��^ú���/õ S ô�úFò��/û^ø��:òÛô�þ�úM��ú �M� ô�5�/ø0�/úÛòÛô���òFô�þ^ú�^ø��®ô�ú��3�/ø÷õ��®þ^ù��/ø0��òFô�þ^ú\õ1��ú � òFü� òÛü�nòÛü�/þ^ø÷ô��/õ»þ � � ô�5�/ø��/úÛòFô�:òÛô�þ�úÛ��ú � ô�úÛò��/û^ø���´òFô�þ^ú���ø0�võ÷ö�<õ÷ö��� � ô�ú òFü�vû^ø�����ò��/øGòFü�/þ�ø=�«þ��òFü3����� ���/ö��ö\õ���äYú � �/ø���ù\ù\ø÷þ^ù\ø÷ô���ò���/ô�ø��/ö�nõ`ò���ú���/õ� �ô��6òFü��û�ø0��ù\üiþ � � ü3�^õVò��^ú\û �/úÛòpÿZô òÛüiõ���þ�ù5� >PORQTS ��ò Q

��ø����dö\ú � �/øVòFü��û�ø0��ù\üiþ �bõ���þ�ù5��þ��6ò��^ú\û �/úÛòkþ � �U ��ø0���nö\ú � �/øPòÛü��û�ø0��ù\üiþ�� >U 8

� >fObQoS ì Q�U 8� � ~ ObQoS ì Q�U � OqÒeSoV � Oq¢ S�²

��� òFü\þ�ö\û^ü�ô ònô�õ�ú\þ:òj�"8ù��ô�/ô ò���� þ^ú òÛü�dõq�9������\ö\õpòFü���"89���nô�ú�/ø÷õ�õ������ � ���/ù�(��:ò÷ò�� �3ü� � òFþïòFü�dú�"8�òqòÛü�/þ�ø0������6pü�dø��/õ÷ö� òqÿ���õ�õ`ò��:ò�� � ô�ú¯�/þ�ö\øWõ���� ú ��ú � òFü�ù\øWþ�þ �3��� ���/õVö\õ��Uþ �Ï�ö\ô ò�������þ:òpþ��^òÛü�n���?òFü\þ � õ � �"�3����þ^ù5� � ô�ú òÛü�Uù\ø��/õ��/úÛò��/þ�ö\ø÷õ����

\ I

Page 28: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

³Z£�¬&©(°�¬&¸ Ö¡:`¡�¿ªµ Ó ·`Ô�¬&°�¬�æ¯/·½´<¯/·½©6ÃÎÚ�Ã�§b¬�° ¯F£b¬®·½Ã¦¯/¬�È6°�´\Á=¶ :=B3m�à#à _ D±I�³1@ � ¢ 6 Ò � ò� w 6 ì � CHD!l _ K ` CHK3m _ m)D v KTs `ba*v#`¡`ba ITà v c ` C v |3s#I0c�CHG v#` CHGJIƳ Z I0u�CHD ` D v Kos�CHD!l _ K ` CHKm _ m)D �Ð a I�K�dfc�C ` CHK3F�CjO > SYU 8� ³¡ObQ 6 > S ì QMd,I a5v GJIDCís�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RI _ K©O w 6 ì S�dPC `ba

C ~ O > SYU 8� ³ Û Z ORQ 6 > S ì QT²

ñ ú òÛü������õ`òj�H�?ÿû�*���^ø÷õEòÛü���"89���nô�ú�/ø÷õ�ü3���3�nõ÷ü\þhÿkú'�^ú'�"89���/õ÷õ÷ô(�3�nô�úÛò��/ø0�/õ=ò ô�úòFü�dú�08&òj���������iù\ø÷þ��� ����©�5������ö\õ��tòÛü�dù\øWþ�þ �Gú����ò����©�/þ��t�\ô�ú�/õkõ��"�3�/ø�����þ��Lþ�ö\øù\ø0�0�uô�þ^ö\õ�ø��/õ÷ö� òFõ��ÕL¬&¸«¸«´�Ö%:½¡�Æ¡: B3m±à à _ DgI `ba5v#` ³�@ Z B CED1l _ K ` CHK3m _ m)D v KTs a5v D�l _ K ` CHKm _ m)Dà v c ` C v |�s#I�ceCHG v ` CHGJI�³ Û Z �h

CXi�;q<�d?I!DgI ` CjObQ 6 > S�U �® ³¡O�È 6 > S ì È `ba I�KEC¼CHDAszCX{�I�czI�K ` C v L�|RI!dPC `ba à v c ` C v |s#I0c�CHG v ` CHGJI�D

C Û ¹ ObQ 6 > SYU·³¡ObQ 6 > S v KTsFC Û Z ORQ 6 > SPU�® ³ Û Z O¼È 6 > S ì ÈT²

hCHCXi�;=<,d?I�DgI `�� O�»eSYU G® ³¡O�È 6 »eS ì È `ba I0K � CHD�s�CX{�I�czI�K ` C v L�|RI�dPC `ba s#I�ceCHG v#` CHG I

� ~ O¼»�SPU�³¡O¼» 6 »eSoÚ G® ³ Û Z O�È 6 »eS ì È¡²

æDH IKJ î�� è �ïî î���É Ævî;L   ��� ÈF�����1L�îYÆ ��È÷���

�}� ü���*� � ��$\ú� � èrô������^ú<ú ô�úFò��/û^ø��:òÛô�þ�úy�Jþ�ø��(þ�ö\ú � � � �Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ þ�úy�uþ^ö\ú � � �ô�úÛò��/ø=������õ��¥ÞYþ#ÿ��"�*�/ø0 PòFü�»ø0��� � �/ørÿkô���n����ø0��� � � ü���*�1�"�)����ö�:ò�� � ���õt������òWò��/øvþ��øWþ�öfòÛô�ú�� �ô�úÛò��/û�ø0� ��õrô�úïòÛü���Jþ����þ#ÿZô�ú\û����^ú\ú�/ø

¹® Q Ý

¹uZ Z ì Q�U ��ô�M � ® ÿ

¹MQ Ý ¹uZ Z ì Q�U ��ô�

M � ® ÿ � \�Q¹uZ Z � ¹M Ux\ 6

�^ú �"¹ Q Ý Z ì Q�U ��ô�

N � "N¹ Q Ý Z ì Q�U ��ô�

N � "� V,Q Ý ¹ � N ¹ U Þ ²

�ã� ö���òFü3�/þ^ø��?òFô������òÛø0����ò����/úÛò»þ��Eõ#ö�hüýô�úÛò��/û^ø�����õ�ÿZô òÛüiòÛü�kòFþ�þ���õ���ò»þ�ö\ø � ô�õq´ù(þ�õ����uô�õ��^ùfòEòFþt���� � ô�úÛòÛþt��ü\þ#ÿ���ô�ú\û ÿZô�� � �/øWú�/õ#õUþ ��+�ô�ú$\ú\ô ò��Yô�úFò��/û^ø�����õEþ��\òFü��$\ø÷õ`ò��ô�ú � . �+��,�^ö�3ü��Ùù\ø÷ô�ú3�/ô�ù� �)�)����ö�/õ�.���ú � õ÷þdþ�ú�pñ ú\õ`ò���� � ñLõ÷ü3����¦û^ô(�3�����E�?ÿ ò&�ù\ô���� �òFü�Fþ^ø����dõ� � ��$\ú\ô òFô�þ^ú\õn��ú � �/þ^ö\úÛò��/ø=´��"89���nù��/õ7�Jø÷þ�� ÿkü\ô�hüZòÛü� ø���� � �/øLõ÷ü\þ�ö� � �5������EòFþnø����/þ^ú\õ`òÛøWö�Wò!��ú�� ù��ø½òÛõ�þ��6òÛü�EòFü�/þ�øq�ÉòÛü�:òZõ÷ü��ú��� � õ��

\ �

Page 29: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�С:½¡5:�;=<�>k@ � ¢ 6 ¿}S�B CHD4D�m�l a©`Ra5v#` > ° � Û O ) ¤ :M� ¢ 6 ° � < _ cÌI v l a° ¬û¢ v Kos O� >PORQTS ì Q¥B ï v DV° B ¿ `ba I�K'd,I�D v N `ba5v ` "� >PORQTS ì QWI�u�CHD ` DdPC `ba G v | m�I ï �ÕL¬&¸«¸«´ ¡�С:㲡:=B3m±à#à _ DgIj>]@ � ¢ 6 ¿}S�B CHD1D�m�l aª`ba5v#` > ° � Û O ) ¤ :M� ¢ 6 ° � < _ cI v l a °ü¬x¢ � ;=<?>fObQTS § p!< _ c v |H|gQ `ba I�K "� >fObQoS ì Q I�u�CHD ` D�CX< v KTs _ KT| N�CX< `ba I�c�II�u�CED ` D v ï D�m�l a-`ba5v#` O� >fObQoS ì Q�ºÙïí< _ c v |H| ° �ÕL¬&¸«¸«´ ¡�С:ã¿¡:=B3m±à#à _ DgIj>]@ � ¢ 6 ¿}S�B CHD1D�m�l aª`ba5v#` > ° � Û O ) ¤ :M� ¢ 6 ° � < _ cI v l a °ü¬x¢ � ;=< "� ° >PORQTS ° ì QxI0u�CHD ` D `ba I�K "� >fObQoS ì Q]I�u�CED ` D �

ñ òqô�õEú�:òÛö\ø0� �&òFþ�õ=ò���ò���Ào������� Þ p � Ó ��õUõ����ô�ú\û òÛü�:ò�+���\õ÷þ ��öfò����/þ�ú��3�/ø÷û��/ú���tþ��òFü��ô�úÛò��/û�ø0� �¦ô�dù3��ô�/õ,�/þ^ú � ô òFô�þ^ú3�����/þ^ú��3�/ø÷û �/ú����.��

� �� ô òFô�þ^ú� �¦ù\ø÷þ ������nõ,�^ø÷ô�õ��pÿkü�/úïòÛü�/ø0����ø��Uò ÿtþ���ô�dô òFõ�ô�ú��<þ ���*� � �åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�С:RÆ¡:�;=<2] 6-> ¬]p `Ra I�K

P N

ÝRQ NQ

Þ Ú'Q Z ì Q�B ��þ�û ]>

v D=-xB ¿ �� ù\ö\ø��1����òFü�����:òÛô��/ô�^ú û �?òÛõ�øWþ�ö\ú � òFü\ô�õ�ù\ø÷þ����������Û��� �&ô�ú\û�� � ��$\ú\ô òFô�þ^ú

����þ^ú\ûqòÛü�/õ�����ô�ú�/õ��Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�С:ãË%:�;=<�>x@ B CED1D�m�l ay`ba5v ` > ° Ý O�Û S ) ¤ :M� ° 6 ± � < _ c¯I v l a° 6 ±¾¬]p "Ý " >fObQoS ì QkI�u�CHD ` DYdfC `ba G v | m�I ï CX< v KTs _ KT| N�CX< `ba I�< _ |E| _ dPCHKF�l _ Kos�C ` C _ Ka5_ |Rs�D � înCHGJI�K�«7¬]p�d?I�l v K�­TKos v K�° ® Oq«�Sr¬xp�D�m9l a¯`ba*v#`

S

Ý O>fObQoS ì Q1V ï [x«�²

< _ c v |H| ° 6 ±¾¬�° ® O�«�S �6�ü�Ùù\ü��õ÷ô��/ô�õ`ò�û��?òÛõ øWþ�ö\ú � òÛü�Ùù\øWþ ������ ��� ô�û^ú\þ�øWô�ú\û ô ò��ìñ&�kõ÷ü�Ùô�õ�� c�I v |

à a NçD�C"l�CHD ` ÿZô òÛüM�/þ�ø÷ø0���?ò�ù\ü��õ÷ô�����pô�úÛòFö\ô òFô�þ^ú òFü<ô�õqÿtþ�ø0��õnõ÷ù��/ú � ô � �(�UTÌ�<öfò�ô��Yú\þ:ò� ú\þ:ò��

�<ù5������ô�ú\û��\øWþ � � ���# Uô�ú$\ú\ô ò��Éô�úÛò��/û^ø�����õ V >fObQoS ì Q ÿtþ�ø0� ÿ������Iÿkü�/ú�òÛü�"����ø0����\õ#þ���öfò����(�-�/þ�ú��3�/ø÷û��/úÛò� �òÛü�:òvô�õ V ° >PORQTS ° ì Q-[W¿ ��\öfò4�^ø��!� ö���þ �6òÛø0��ù\õ?�Jþ^ø�òFü�ö\úÛÿ���ø=� þ:òÛü�/ø½ÿZô�õ����W aJD�� | �K7:1:+L9=*?o^7:9=;=+G;=)�*r+-;`7:9=,v7:5�1�589=@A*WD�Bds/@0+=@0;=@AD�X�;=)�*?X(9=@AD�>?*?;=7:Dd>?7:TETE73Dd9=7F7:TZY�[�[-[

Q�)�*?9=* z @0D�+=;=*?@0D»Qu1:+�;`1:.�c/@0D�Xï;=7�1:D�7:;`)�*?9�TE1:D)ù(Q�)�7ïQu7:4�.0B»+=)�1�c:*q)�@0+�)�*?1:B»1:D�B»+=;=7:o»)�@0T]\z @AD�+=;=*?@0D�;`)�*?D�;=)�7:4�X:)/;�5R7:9�1�Q�)�@A.0*�ù�;=)�*?D�+-;=139=;=*?B�;=1:. cF@0D�Xr13X:1:@0D^\fQu13+�+-;=73o�o^*?B�1:X:13@0D^\f1:D�B�+=77:D _/_�5R;=*?9P1rQ�)�@0.A*�ù4[�[-[�TG,t5R9=@0*?D�BkQu1:+P@ADF;`9=7FB�4�>?*?Bk;=7 z @AD�+=;=*?@0D _�e�*G1:+dc:*?B z @0D�+=;=*?@0DkQ¦)�7r;=)�*7:;`)�*?9�TE1:DtQu1:+#_;` Ã ))ù aE+-13@0B z @0D�+-;`*W@AD�ùb`�;=)�1:;ùh +�TG,rTE1:;=)�*?TE1:;=@A>W@A1:D _ aÆh

\ N

Page 30: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�<þ?�H��ø<ÿ��Lü���3� � ����� òUþ^ú3���qÿZô òÛü�òÛü�Gô�úÛò��/û�ø0��òFô�þ^úvþ��� ö<ú�?òFô�þ^ú\õ >�@ £ B ÿkô òFü£ �4+ ÿ��������5�/ü���*� � .(õ÷ö�\õ��?òtþ � �Eñóòtô�õUú\þ:ò � ô���/ö� òLòÛþ4�"8&ò��/ú � þ^ö\ø � ��$\ú\ô òFô�þ^ú<õIòÛþòFü�t�Jö���¡��ö� òÛô � ô���/ú<õ÷ô�þ�ú���¡����õ��t�\öfòYòFü�t����ô�úÙö\õ��/ø÷õtþ��Y�vö� òÛô � ô���/ú\õ÷ô�þ�ú����ô�úÛò��"´û^ø�����õ���ø0���/ô òÛü�/ø���ù\ù��ô�� � ���:òÛü�����:òÛô��/ô�^ú\õ O ô�úÉòFü���\øWþ � � �/õ=òïõ��/ú<õ�� S � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� �û��/þ ���?ò��/ø÷õo�^ú � ��ú� ���õ`òFõ O ô�ú����ö � ô�ú\ûrù\øWþ ����\ô��ô�õ`òÛõ S �76pü�Y��ù\ù��ô�� � ���:òÛü������òÛô��/ô�^ú\õ�^ø��Eü�^ù\ù��ZòFþUò�� ����òÛü� � �?ò���ô���õVþ^úYòÛøWö\õ`ò,�^ú � �uþ:òÛü òÛü� � ô����/ø0�/úÛòÛô�� � û��/þ ���?ò��/ø÷õf�^ú �òFü�!��ú� ���õ`òFõ ø0��Ï�ö\ô�ø0�!�nþ^ø��kõ÷þ�ù\ü\ô�õ`òÛô���:ò�� � �^ù\ù\ø÷þ�� �3ü�/õ O òFü\þ�ö\û^ü�þ �Pø0��òFü�/ø � ô����/ø=´�/úÛò!��ô�ú � õ S �

ÞYþ#ÿ��"�3�/øbòFü�Yù�^ø`òFô�/ö��^ø7����õ��Yþ����4�Jö\ú�?òFô�þ^ú >A@ � ¢ 6 Ò � B � ô�õUú��� � � � ô�úZòFü��/þ��nù��"8��)��øWô�������/þ�ö\øWõ��/õ O ÿkô òFü � Ux\�S ��ú � ����õ��?ÿZü�/ø0�Gÿkü�/ú1��ô�ú�Yô�úÛò��/û�ø0� ��õn��ø0�ö\õ�� � �,6pü� � ��$\ú\ô òÛô�þ�úiô�õ�õ÷ô�dù����Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�С:ãÑ%:�;=<�>�@ � ¢ 6 Ò � B � CHD!D�m�l ak`ba5v ` > Õ @ � ¢ 6 Ò � B CED.0�C"I ³Ìv K3KCHK ` IðF�c v L�|RIY< _ cjI v l a Ø `ba I�K 8� >PORQTS ì Q�U ¥�d a I�czIr¥-¤ � v Kos

> ÕnU 8� >zÕçObQoS ì Q¡²

ñ òqô�õ�����õq� òÛþ�þ �fò��^ô�úvòFü�qù\øWþ�ù5�/ø`òFô�/õEþ �\òFü\ô�õEô�úFò��/û^ø�� � � ô�ø0���?ò��(��� ø÷þ��ìô òFõ � ��$\ú\ô�´òFô�þ^ú�,Þ��/ø0��ô�õ,��úÌ�"8�� �dù3�����ÕL¬&¸«¸«´ ¡�С: Ò :�;=< � @ � B 3 CHD�| CHKTI v c v KTsA>Û@ � ¢ 6 Ò � B � CHD�0�C"I ³Ìv K3KCHK ` IðF�c v L�|RI `ba I�K�D _ CHD � ¶�> v Kos

8� � Oq>PORQTS0S ì Q�U �

8� >PORQTS ì Q ²

6¡� �&ô�ú\û � òÛþ4������ú���þ�ø½òÛü\þ^û�þ^ú� ��òÛø0��ú\õ��Jþ^ø�����òFô�þ^ú»þ � � òÛþvô òFõ������ÿ��Yõ����GòFü��òòFü��òYþ^ö\ø � ��$\ú\ô òÛô�þ�ú ô�õ� (ô�ú��H���?ò� 5�/þ&þ�ø � ô�ú�:ò��rô�ú � �/ù5�/ú � �/úFò����pü\þ�þ�õ÷ô�ú\û��Zù3�^ø`òFô�/ö����øþ^ø`òFü<þ^û�þ^ú� � òÛø0��ú\õ��Jþ^ø�����òFô�þ^úïÿ���þ��fò��^ô�úïòFü3��� þ ����þ#ÿZô�ú\ûnú\ô�����ø��/õ÷ö� ò��³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�С:RÊ¡:�;=<�>�@ � ¢ 6 Ò � B � CHDw0�C"I ³Ìv K3K�CHK ` IðF�c v L�|RI `Ra I�K

8� >PORQTS ì Q º¸OqÒ%Vª¢#S õ÷ö\ù

� �� � Û 8 )X >PORQTS X ²

6�ü\ô�õ�ø0�/õ÷ö� ò��^ú � ô òFõ,�"8�ò��/ú\õ÷ô�þ�ú\õ,��ø0��þ �0ò��/úÌÏ�ö\þ�ò�� � ô�úïòFü���Jþ�ø0�ô�úÛò��/û�ø���� º ���Fú\û:òÛü ò õ÷ö\ù ²

åY¶¦¬�°Û¼�·`¾F¬ ¡�С:RÖ¡:=B a*_ d `Ra5v#`Y`ba Itl _ |H|RI�l ` C _ K : _ <V0nC"I ³Ìv K3K�CHK ` IðF�c v L�|RIP<"m)Kol ` C _ K3D>�@ � ¢ 6 Ò � B � < _ c ³êv czI v |�GJI�l `�_ c�Dðà v l�I � ;=<,d?I�dfc�C ` I

c >AU 8� >fObQoS ì Q

D a*_ d `ba*v#` c @ : B CHD v | CHKTI v c ³Av à v KTs ° c > ° ºëOqÒfVÛ¢ S X > X �Ó p

Page 31: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

6�ü�Aè ô������^ú\ú�ô�úÛò��/û^ø����pô�õdõ#ô��nù���ïòFþ � ��$\ú�Ì�^ú � ���^õ��ýòFþ�ö\õ����y�\þ¯��þ^ú\û'�^õÿ��vþ^ú�(� ú��� � òÛþÉô�úÛò��/û^ø��:ò����/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ��Jö\ú�?òFô�þ^ú<õ O þ^ø�� ö\ú�?òÛô�þ�ú\õ��/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��"8J´���/ùfò��:ò����E�?ÿ õ÷ô�dù�� � ô�õ��/þ^úÛòÛô�ú�ö\ô òFô�/õ S ô ò ô�õ�ù5�/ø��E���?ò���� õ��:òÛô�õ��H���?òÛþ�ø=�#�k6�ü�Éû�ø0����ò��� Á þ�øWô ò&� þ��¡����òFü������òFô�/ô���ú\õ�ú��� � ú\þ:òÛü\ô�ú\û�����õ����,ÞYþ#ÿ��"�*�/ø0 �òFü���nþ � �/ø÷úïòFü�/þ�øq�þ���ù\øWþ ����\ô��ô ò&�Û�^ú � ����ú�� ù��ø½òÛõvþ ���nþ � �/øWúÑ�^ú� ���õ÷ô�õ�ú��� � òÛü���nþ^ø��»ù(þ#ÿ��/ø��Jö�ô�úÛò��/û^ø����\þ �5Ào�����/õ÷û^ö� O ��ü\ô�úÛò?�^õ¦òÛþUÿZü��vòÛü\ô�õY�dô�û^üÛò?���pô�õ�û�ô��*�/údô�ú���89�/ø0�/ô�õ�� Þ Ó � N S�^ú � ô òFõtø�������òFô(�3�/õ���6pü\ô�õtô�õ Á ö\õ`ò��^õ�����õq�iòÛþ»ö\õ��4�\öfòdõ÷ö�\õ`ò��^úÛòÛô�� ���(�«ü��ø � �/øLòFþ õ��?òö\ùRd��

ædæ e �Y�pîYÈ�Î   � Æ4Î��d 

å�ú�nþ �IòÛü�nö\ú\ô�X�uô�ú\ûiô � ����õkþ��n�nþ � �/øWú'��ú���(�õ÷ô�õZô�õ�òFü��ò þ � � ô�õ`ò��^ú�������Û�nõ`ò��^ø`òÿkô òFü¯� � ��$\ú\ô òÛô�þ�ú¯�dþ � ������ � þ^ú òÛü\þ^õ��ïù\ø÷þ�ù5�/ø½òÛô��/õ�þ �r�Gö����ô � ����ú � ô�õ`ò��^ú3���YÿZü\ô��3ü� þïú\þ�ò�ø0���H�/ø�òÛþ��3���?òÛþ^øEõ÷ù3�����qõ`òFø÷ö�?òFö<ø0�/õ�� O 6pü�ö\õ%�<þ�ö õ#ü\þ^ö� � �uþ:òÛü l _�³ à v c�I �^ú �l _ K ` c v D ` Ào������� ú � Þ � SÓ ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡6¡*:½¡5: � I�D v N `ba5v ` O�° 6 ì S�CHD v�³ I ` c�C/l�Dðà v l�I�CX<ü° CHD v DgI `�v KTsì @(° Z B CHD v <"mJKTl ` C _ K�dPC `ba-`ba IY< _ |H| _ dPCHK3F�à*c _ à9I�c ` C"I�D�f��h

CXi ì ORQ 6 > S § p�< _ c v |H|çQ 6 > ¤�° �hCHCXi ì ObQ 6 > SYUxp1CX< v KTs _ KT| N�CX<YQ�U >%�hCHCHCXi ì ObQ 6 > SYU ì O > 6 QTSY< _ c v |H|gQ 6 > ¤�° �hCHG�i

hÐ a I ` c�C v K3FJ|RI�CHKTI�Ã�m v | C ` Nei ì ObQ 6 % Srº ì ObQ 6 > S�Ú ì O > 6 %�S

�Yõ�þ�ö\û^üÛò�òFþ��5�EòÛü�����^õ��� �ÿ���ü3���3�EòÛü���Jþ����þ#ÿZô�ú\ûnø��/õ÷ö� ò��ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:㲡:ý;=< ì O ¶ 6 ¥¡SPU X ¶1V¨¥ X `ba I0KMO � 6 ì S�CHD v4³ I ` ceC"l�D�à v l�I �

ñtõ÷ü�����û�ô��*������ò��Fø�õ÷þ �����"89� �dù��/õkþ �7���?òFø÷ô��nõ#ù�����/õpÿZü\ô�hü'��ø0���uþ:òÛü ö\õ����Jö��^ú � ú\þ��*��� O ô�ú�òFü�?�/þ^úÛò��"8&ò þ �&òÛü\ô�õr�/þ�ö\øWõ�� S ��6pü�?���?òÛøWô�rþ���ÀT������� Þ^Þ � \ ô�õGö\õ����Jö��\öfòïü�^ø � �(�«ú\þ��3������ñSúÉòFü�vô�úÛò��/ø��/õ`òïþ��Y�����^ú���t���?ò����vû�ô��*�4�1���?òFø÷ô�� ÿkü\ô�3ü ÿZô����5��ú\þ��3����òFþ��dþ�õ`òkþ �¡�?� ø0��� � �/ø÷õ,�"�3�/úiô��ô òZô�õ�ú\þ�òkö<õ���� ö3���åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡6¡*:R¿¡:�;=< ì OJ¶ 6 ¥¡S�U X ¶ X Ú X ¥ X d a I�K ¶WÜU ¥ v KTs ì O ¶ 6 ¶oS�U p `ba I�KO � 6 ì S�CHD v�³ I ` ceC"l�D�à v l�I �

O 6�ü\ô�õ����?òFø÷ô��tô�õ���� ���� � òFü3���Uø÷ô òÛô�õ#ü�è?�^ô� ÿ��������WòFø÷ô���� S Þ��/ø��tô�õ��^ú��"�*�/ú þ �� �/øø0��ô�� ÿ����-���?òFø÷ô����åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡6¡*:RÆ¡:�;=<�¶ v KTs ¥ v c�I�| CHKTI v c�| N�s#I=à9I�KTs#I0K `

hCHK ³A_ c�I�FJI _z³ I ` ceC"l v |*| v K'�

F�m v FJIqi�CX<p¶o^P¥ v KTskÐ v c�I _ K `ba I�D v�³ I�D ` c v CHF a5` | CHKoIqi `ba I�K�DgI `ì O ¶ 6 ¥TSYU X ¶1V¨¥ X ²

g a�c/D�7#QÙ7356;JQu7�4�D�@0s:*?9=+=@0;=@A*?+PQ¦)�@A>S)�;=*?1:>N)k4�D�B�*?9=X:9=1:B�4�1:;=*?+�w�*W2^*?+-X34�*G;`)�*?7:9=,Y@0D�;=)�*?@09�C�9=+-;,:*?1:9�2�4�;�735�D�7E4�D�@0s:*?9=+=@0;J,rQ�)�*?9=*�4�D�B�*?9=X:9=1:B�4�1:;=*?+I.A*W139-DYw�*W2^*?+=X:4�*V;=)�*?7:9=,r@0DY;=)�*W@A9�C�9=+=;�,:*?1:9#_

Ó Þ

Page 32: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

h `Ra I�cedPCHDgI0^PDgI `ì O ¶ 6 ¥¡SPU X ¶ X Ú X ¥ X ²

� C `Ra¯`ba CHD�s#Iq­oK3C ` C _ K^?O � 6 ì S�CHD v4³ I ` ceC"l�Dðà v l�I ��<ö\øWù\ø÷ô�õ÷ô�ú\û¥�^õ»ô ò������ õ������ òFü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\ûýø0��òFü3�/ø�òÛøWô(�ô�� �?���?òFø÷ô��®ô�õ1�«ø÷ô��3ü

õ÷þ�ö\ø0���ïþ ��ô�úÛòFö\ô òFô�þ^ú-�Jþ^ø��/þ����vö\ú\ô���:òÛô�þ�ú»òFü�Fþ^øq�#� O ÞYþ#ÿ��"�3�/øqô ònô�õqþ ��ú\þA�^ú� ����òÛô��ô�úÛò��/ø0�/õ`ò�� SÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:ã˪µWÇ�´\¸«¸«·½Ã�Èý¸«¬&¯/°�·½¼#¶ :w<%I `/i L�I `ba I�D�à v l�I _ <?DgI�Ã�m9I�KTl�I�D

¶�UëORQ%¹ 6 Q Z 6 ²�²�² 6 Q £ SdPC `ba Q Õ Uëp _ c�Q Õ U Þ �Ò� I�l v |H| i `Ra I�Dðà v l�I _ < ³ I�D�D v F I�D _ <j|RI�K3F `ba�¦�� ;=<Y¶v Kosk¥ v c�I ³ I�D�D v FJI�D�d,I�s#Iq­oKTI

ì OJ¶ 6 ¥¡SYU£ÕM# ¹

° Q5ÕfV > Õ °

`�_ L�I `ba I Þ������dô�ú\û � ô�õ`ò��^ú��� L�I ` d,I�I�K `ba I ` d _1³ I�D�D v F I�D � O i 6 ì StCED v�³ I ` c�C"lDðà v l�I �¿Ùö�3ü«þ���òÛü�j+���/ø��j� ��û ���\ø0� .�ÿkü\ô�hü�ÿ�� � ô � �Jþ^ø�òÛü�j�Gö����ô � ���^ú¥���?òÛøWô�j����ø=´

øWô�/õZþ��*�/øpÿZô òÛü ü��ø � �����^ú����hü��ú\û �qòÛþdòÛü� û��/ú�/ø����r���?òÛøWô�j���^õ�������þ��nù�^ø���òFü��Jþ����þ#ÿZô�ú\û � ��$\ú\ô òFô�þ^úïÿZô òÛüR`���$\ú\ô òÛô�þ�ú ú � \ � SÓ ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡6¡*:ãÑ%:=<¡I ` O�° 6 ì SAL�I v1³ I ` ceC"ltD�à v l�I � ;=<4¢±£-¤�° < _ c�I v l a�¦x§ Þv Kos4¢4¤�° `ba I�K�d?I�D v N `ba*v#` ¢±£�B ¢�C <,F�CHG I�K�«r¬]p�d,Itl v Kj­oKTs v K ¦ ® O�«�S?D�m�l a`ba5v `

ì Oq¢g£ 6 ¢ Sr[x«r< _ c v |H| ¦'§}¦ ® Oq«�S�²ÞYþ#ÿ��"�3�/ø� �ÿ��?��ø0�rú\þ:òYú\þ#ÿ � ��� ��ô�ú\ûpÿkô òÛü��!+�ú\þ�ø0� þ�új���3���?òÛþ^øGõ÷ù������.6õ÷þkõ÷þ ���

ø0�/õ#ö� òÛõ � þ®ú\þ:ò�����øWøq��þ��3�/ø��k6pü�»ø0�/õ÷ö3� ò��/þ^ø÷ø0�/õ÷ùuþ^ú � ô�ú\û òFþ�Ào������� ú � Ó ü�^õ4�H��ø�H�?ÿ��/ø�ù�^ø`òFõ��ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*: Ò :=<%I ` O�° 6 ì StL�I v�³ I ` ceC"l�D�à v l�I �h

CXi�Ð a Ij| C ³ C ` CHD�m)K3C/Ã�m�I � Ð a5v#` CHD�^nCX<�¢g£�B ¢ v KTs�¢g£�B Ò v D ¦ B ¿ `ba I�K¢�UWÒ �h

CHCXi1;q<�¢g£�B ¢ v D ¦ B ¿ v KTs ¦ O Þ S�[ ¦ Oq\�S�[ ¦ OqÓ S3²�²�² `ba I�Kk¢ £ ÔÖÕ�× B ¢ v DØ B ¿ �h

CHCHCXi�;=<?¢g£4U w < _ c v |H| ¦Ù`ba I�K-¢±£�B w�v D ¦ B ¿ �

Ó \

Page 33: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

6�ü�����:ò��/øWô���þ^ú þ�ù5�/ú���ú � ����þ^õ�� � õ��?òFõ��Jø÷þ�� ����?òFô�þ^ú��ïû^þJ�/õPòFü\ø÷þ^ö\û�ü��/õ÷õ��/úç´òFô������ ö\ú�3ü��ú\û�� � �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡6¡*:ãÊ%:=<¡I ` O�° 6 ì SkL�I ³ I ` c�C/lÊD�à v l�I � âêDgI `=� � ° CHDÑl�| _ DgI�s'C <d a I�KTI�GJI0c�Q�£�¤ � < _ cjI v l a4¦Ùv Kos�Q5£�BêQ v D ¦ B ¿ `ba I0K1Q�¤ �j�Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡6¡*:ãÖ%:=<¡I ` O¼° 6 ì S�L�I ³ I ` c�C"l�Dðà v l�I�âßDgI `Ç� � ° CHD _ à9I�K¯C <�d a I�K'�I�GJI0c4Q2¤ � `ba I�c�IÊI0u�CHD ` D v K}«�¬Âp¯D�m�l aÛ`Ra5v#` d a I0KTI�GJI�c ì ObQ 6 > S�[é«�d?I a5v G I> ¤ �j�åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡6¡*:`¡�С:=<%I ` O¼° 6 ì StL�I ³ I ` ceC"l�Dðà v l�I � <%I ` Q�¤�° v KTs^��¬]p �h

CXiÑÐ a I�DgI `�� ObQ 6 �)SPU > ¤�° @ ì ObQ 6 > Sr[�� � CHD _ à9I�K �hCHCXiÑÐ a I�DgI `��� ObQ 6 �)SYU > ¤�° @ ì ObQ 6 > Srº�� � CHD�l�| _ DgI�s ��Û����� ��� � ORQ 6 �)S òFü�nþ^ù5�/ú'�����Vþ �Lø0� � ô�ö\õ � �^ú � ���/úFòÛø0� Q �t�}�������� �� ObQ 6 �)S

òFü������þ^õ�� � �����¦þ ��ø0� � ô�ö\õ � �^ú � ���/úÛòÛø0� Q �ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:½¡6¡5:=<¡I ` O�° 6 ì SÌL�I v�³ I ` c�C"l�Dðà v l�I � â¨D�m�L�DgI ` · _ <2° CHD _ à9I0K�C <v Kos _ KT| N�CX<�I v l a à _ CHK `Y_ <?·¾CHD `Ra Itl�I�K ` c�I _ < v K _ à9I�K©L v |H|�| NçCHK3F�I�K ` CHczI�| N�dPC `ba CHK· �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡6¡*:½¡�²¡:�Ð a I�D±I `�� CED v KTI�CHF a L _ m)c a5_�_ s _ < `ba I�à _ CHK ` Q2C <td?IÌl v K­TKos v K���¬]p�D�m�l a-`ba5v#`�� ObQ 6 �)S �¤�¥�ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:½¡�¿%:=<¡I ` O�° 6 ì SÌL�I v�³ I ` c�C"l�Dðà v l�I � â¨D�m�L�DgI ` · _ <2° CHD _ à9I0K�C <v Kos _ Ko| NjCX<?C ` D�l _�³ à%|RI ³ I�K ` ° � · CHD�l�| _ D±I�s �ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:½¡�Æ%:=<¡I ` O�° 6 ì S�L�I v1³ I ` ceC"ltD�à v l�I � _ K3D�C"s I�c `ba I�l _ |E|RI�l ` C _ KC� _ <_ à�I�K�DgI ` D�CHK�° �h

CXi���¤���^9° ¤�� �hCHCXi�;=< �   ¤��Ê< _ c v |H| � ¤¥· `Ra I�K   � � �   ¤�� �hCHCHCXi�;=< � ¹ 6 � Z 6 ²�²�² 6 � £�¤�� `Ra I�K £ÕM# ¹ � Õ�¤�� �

ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:½¡�Ë%:=<¡I ` O�° 6 ì S�L�I v�³ I ` ceC"l!D�à v l�I � _ KD�C"s#I�c `ba I�l _ |E|RI�l ` C _ KR¡ _ <l�| _ DgI�s4D±I ` D�CHK�° �h

CXi���¤�¡Ì^9°ü¤�¡ �hCHCXi�;=< �¢  ¤�¡¼< _ c v |H| � ¤¥· `ba I�K   ��� �¢  ¤�¡ �hCHCHCXi�;=< � ¹ 6 � Z 6 ²�²�² 6 � £�¤R¡ `ba I�K £ÕM# ¹ � Õ�¤�¡ �6�ü�µú�Wÿ � ��$\ú\ô òÛô�þ�úÏþ ���/þ^úÛòÛô�ú�ö\ô ò/� þ^ú�(�x�\ø�������õZòFü���hü��ô�úÎþ��EòFø��^ú\õ���:òÛô�þ�ú\õ

õ���ô�û�üFò����-�5�����^ö\õ���ô òkô�ú��<þ ���*�/õ ` d _ ���?òÛøWô��õ÷ù� ���/õ��

Ó Ó

Page 34: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡6¡*:½¡�Ñ¡:=<¡I ` O¼° 6 ì S v KTs'Okj 6�l SÊL�I ³ I ` c�C"l�Dðà v l�I0D �ý� I�D v N `ba5v#`�v<"m)Kol ` C _ KÌ>A@$°üB jWCHD�l _ K ` CHK3m _ mJD v#` D _�³ I¡à _ CHK ` Q�¤�° CX<nF�CHGJI�KÌ«7¬]p�d,I!l v K­TKos v @)Oq« 6 QTSY¬xp�D�m�l a¯`ba5v ` CX< > ¤�° v KTs ì ORQ 6 > Sr[D@�Oq« 6 QoS�d?I a5v GJI

l � O�>fObQoS 6 >PO > S0Sr[x«�²;=<P>�CHD�l _ K ` CEK3m _ mJD v#` I�GJI�ceNnà _ CHK ` Q�¤�°�d?IYD v N `ba*v#` >�CHD v l _ K ` CHK3m _ mJDo<"mJKTl ` C _ K_ K�° �6�ü�vø0��� � �/ø������k�H�����<òÛü�:òE`���$\ú\ô òFô�þ^ú�� � Þ \ ô�õ��nþ^ø��vû��/ú�/ø�����ô�ú òÛü�^úC`���$\ú\ô�´

òFô�þ^ú Þ�Þ � Þ ���5������ö\õ���ô òkô�ú��<þ ���*�/õ,�dõ��?ò £ �6�ü���Jþ����þhÿkô�ú\ûdø�������ø0�»õ÷ü<þ#ÿkõ�òFü��òpòÛü\ô�õ�ô�õ�ú\þ�òkõ÷þ �

ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:½¡ Ò :=<¡I ` O�° 6 ì S�L�I vt³ I ` ceC"l�D�à v l�I v KTs £ý� ° � <¡I ` ì V @ £ Z BL�I�F�CHGJI�K}L�N ì V O�È 6 É5S�U ì O�È 6 É5S�d a I0KTI�GJI�c2È 6 É�¤ £1� Ð a I0KÛO £ 6 ì V S�CED v�³ I ` c�C"lDðà v l�I ��Û���/þ^ú����ö � �UòFü<ô�õpõ����?òÛô�þ�ú�ÿkô òFüA�nþ^ø��qø0�/õ÷ö3� òÛõPò�� ���/ú � ô�ø0���?ò������JøWþ � ����?òÛô�þ�úA�

ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:½¡�Ê%:=<¡I ` O¼° 6 ì S v KTs�Okj 6�l StL�I ³ I ` ceC"l�D�à v l�I�D v KTs�D�m�à#à _ DgI `ba5v#`r`ba I<"m)Kol ` C _ K->A@�°üB jûCHD�l _ K ` CHK3m _ m)D v#` Q-¤�° � Ð a I�K�CX<YQ�£�¤�° v KTs�Q�£�B�QMC `< _ |E| _ dPD `ba5v#` >PORQ�£ SrB >fObQoS �ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:½¡�Ö%:=<¡I ` O¼° 6 ì S v KosÑOkj 6-l S�L�I ³ I ` ceC"l�D�à v l�I�D � Ð a I�<"m)KTl ` C _ Ky>2@°üB jûCHD�l _ K ` CHKm _ m)D�CX< v Kos _ Ko| NjCX<�>�Ý ¹ Od²�S�CHD _ à9I�K�d a I�KoI�GJI�c.²ëCHD _ à9I0K �ÕL¬&¸«¸«´ ¡(¡*:ã²6Ð%:=<¡I ` O¼° 6 ì S4Od± 6 ógS v KTs1O6j 6�l StL�I ³ I ` ceC"l�Dðà v l�I�D � ;=<?>A@(°üB ±v Kos2³1@�±ÙB j v c�Itl _ K ` CHKm _ m)D `ba I�K�D _ CHD `ba I�CHcjl _z³ à _ D�C ` C _ K�³g¶�> �

� ö�/õ`òFô�þ^ú \ Þ � Þ ÿZü\ô��3ü��^õ���õY�6þ^önòÛþj��þ�þ ����òvþ�ù5�/ú��� ����õ��^ú � þ^ù��/úµõ��?òFõ ô�únòFü�òSÿtþqø0��ô�� ÿ����1���?òFø÷ô��FõVû^ô(�3�/úïô�ú���8�� �dù��/õ Þ�Þ � Ó ��ú � Þ^Þ � ú ���nù\ü�^õ÷ô�õ��/õuòÛü���H���?òVòFü��òþ^ù��/úiõ��?òFõrô�ú � ô�5�/ø��/úFò����?òÛø÷ô��/õ,�����-�5���*�/ø=� � ô�5�/ø0�FúFò��

æ�Ä Í ó÷� �mL ��� � è � Ë J � J î¦�

ñSúýòÛü\ô�õ õ÷ü\þ�ø½ò�õ=ò���øWø�� � õ����?òÛô�þ�ú ñj��þ�þ �}��ò¯���*�/ø=� ô��nù(þ�ø½ò��^úÛò¯������õ÷õ þ��!���?òÛøWô�/õ��6pü� � ô�õ��/ö\õ÷õ#ô�þ�úZÿkô�����5�Yô�ú� þ�ø0����� ���õUô�ú � ô�����ò�� � ���nòFü�Yø��/ù����������/úFòqþ���òÛü�Gÿtþ�ø �+�6�ü�/þ^ø�����.����-+��fò��:ò������/úÛò�.��

�<ö\ù\ù(þ^õ��Pÿ��PÿZô�õ÷üqòFþ��\ö\ô� � ��ø÷þ�� ��Á þ^ô�ú\ô�ú\ûEòSÿqþqùuþ^ô�úÛòFõ�þ���òFü3�pù����ú���n6�ü���/þ�õ`òþ��o�t�\ö\ô�� � ô�ú\û ÿZô��� � �/ù5�/ú � þ^úvòFü�tú�:òÛö\ø0�tþ��\òFü�Lò��/ø÷ø0��ô�ú�pñ&�\òFü���/þ^õ`òqþ ���\ö\ô� � ô�ú\û�Ùõ÷ü\þ^ø`ò õ`òFø��?ò��3ü þ �,��/ú\û:òÛü @ + ú���^øt�Ùù(þ�ô�úÛò ORQ 6 > S ô�õ O òFþ�$\ø÷õ`ò þ^ø � �/ø S1³¡ObQ 6 > Sù@ +òFü�Fú õ#ö� Á ���?ò�òFþ��"�3�/øq�&òÛü\ô�ú\û��5�Fô�ú\ûqÿ��������5�/ü���3� � òÛü���/þ^õ`òZþ �bø÷þ�� �on ÿZô�������

p³¡ObQ 6 > S ì + ²

Ó ú

Page 35: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

+��Eöfò�.Y�/øWô�/õpòÛü�nø���� � �Fø�+(�<þ�ö ü���3� ú\þ:ò � ��$\ú� � ��ô�ú�nô�úÛò��/û�ø0� ��õ,�3�?ò� �.�6�þdÿkü\ô�3ü ñø0�/ù3����+_¿���òFü�����:òÛô���� � � ô�õ��/þ^ö\ø÷õ��Lò�� ���/õEù������tþ^ú����^ú�����"�3����õ��^ú � ÿ����vö\õ=ò�������øWúòFþ��dþ��*��� ø����������5�?ò ÿ����/úvòFü����.rq��Eñ òqô�õ�ò����dù^òFô�ú\û òFþ � ��$\ú�GòÛü� � ô�õ`ò��^ú��� ì O�· 6 � S�5�?ò ÿ����/úïòSÿtþnù(þ�ô�úÛòÛõ · �^ú � � ô�úïòFü��ù��^ú����õ

ì Oq· 6 � SYU ô�ú�p³¡ObQ 6 > S ì + @ nÌÁ þ�ô�ú<ô�ú\û · ��ú � � ²

ñ/��ÿ��rô�ú����ö � �?���nþ^ú<û^õ`òYþ�ö\ør�/þ^ú � ô òFô�þ^ú\õIòFü��ò ³ ô�õr�/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ7�^ú � ³¡ORQ 6 > SY¬xp�"�3�/øq��ÿkü�/ø��Eÿ���õ����EòÛü��ò ì ô�õ?�����?òFø÷ô����ä�¯/´\¯/¬�¸«¬&毵¡�²¡:½¡5:

hCXi ì Oq· 6 � S § p�< _ c v |H|· v KTs ���h

CHCXi ì O�· 6 � SYUxp�CX< v KTs _ KT| N�CX<�·ªU ���hCHCHCXi ì O�· 6 � SYU ì O � 6 ·?Sr< _ c v |H|· v KTs ���hCHG�i ì O�· 6ts Srº ì O�· 6 � S�Ú ì O � 6ts SY< _ c v |E|·�^ ��v KTs s �ñLü���*�qø��:òÛü�/ø����^ø���� ö����-���/ùfòpòFþ�+�ô�ú�".¦ø��:òÛü�/øPòFü��ú�òÛþ�+�dô�ú.��,å�ú�qù\ø÷þ������ ô�õ

òFü��ò�ñEü���*�Zú\þ�òvõ#ù5���/ô�$� � òFü����ô�ú � þ�� n òFü��ò�ô�õ ù��/ø0�nô�õ÷õ#ô������ O þYþ:òÛô����òFü��ò òFü��^ø÷û^ö���/úÛòLÿ��Yö\õ�� � òFþvù\ø÷þ��3���fò��:ò������/úÛò Þ \ � Þ ������ú\õbòFü��òLÿ����/þ^ö� � ú\þ�ò Á ö\õ`òtö\õ��+�õ��dþ�þ:òÛü.�� S Þ þhÿ��"�*�/ø0 Lô ò�����ú'���nõ÷ü\þhÿkúiòFü��òÉô��bÿ����3ü\þ�þ^õ��j��õ÷ö\ô ò�� ����j������õ÷õ!�Jþ�øòFü�kù(þ�õ÷õ÷ô���� n �^ú � �dõ÷ö<ô ò�����(�»ÿ����������/ü���*� � ³ òFü�/úïòÛü���nô�ú\ô�vö� ô�õ,��òWò��^ô�ú� � �ñ&� n ® ô�õ,�nù�:òÛüÌ� ø÷þ�� · òFþ � õ÷ö�3üïòÛü�:ò

pRu³%ORQ 6 > S ì + U ì O�· 6 � S

ÿ��-��� ��� n ® � û �/þ � �/õ÷ô���� O 6�ü�Ùû �/þ � �/õ÷ô�� ú3��� � ú<þ:ò¯��� ö\ú\ô�Ï�ö�� 4�/þ^ú\õ#ô � �/ø øWþ � ��\ö\ô� � ô�ú\û�� þ�ø�òSÿqþYòFþ#ÿZú\õ��:ò � ô�� ���?òÛøWô��������Ùþ^ù\ùuþ^õ÷ô ò��qù(þ�ô�úÛòFõpþ �o���/ô�ø0�/ö��^ø����^ø÷õ÷ü� Sñ&�%�^ú�� òSÿtþ ù(þ�ô�úÛòÛõ?�^ø�� Á þ�ô�ú� � ���¯�nû �/þ � �/õ÷ô���òFü�/ú ì O�· 6 � S ô�õ�òFü�!+���/ú\û�òFü�þ �(òFü�û��/þ � �/õ÷ô�Zù��òFü Á þ^ô�ú\ô�ú\û · �^ú � � .<ÿkü�Fø0����/ú\û:òÛüµø0���H�/ø÷õ�òFþkòFü3�����?òÛøWô� ì �^ú � ú\þ�òòFþqòFü���Gö����ô � ����úÌ���WòFø÷ô����

ÀT�?òkö\õVòÛø=�»òÛþdö\õ��UòÛü�/õ���ô � ���^õ�òFþ�$\ú � �����?òFø÷ô��kþ^úïòÛü��ö\ù\ù5�/ø�ü���� ´hù����ú�v U %�¤ @�w^%�¬]p �

ÿkü\ô�3ü ô�õ�ô�ú��)��øWô�^úÛò�ö<ú � �/ø�¿yxþ �\ô�ö<õPòFø��^ú\õ�� þ�ø0���:òÛô�þ�ú� O ������/þ^ö\ø÷õ���� Þ � \ �Jþ�ø��� ����´û^ø÷þ^ö\ú � S �a¿Ùþ^ø���ù\ø0���/ô�õ����(�Éÿ��Uÿ��^úÛò!�����?òÛøWô� ì õ#ö�3ü�òÛü�:òZô�� c ô�õ,��¿yxþ �\ô�ö\õ,���^ù����ù\ù\ô�ú\ûDv òÛþYô òFõ�����3�\ô Á ���?òFô(�3���(�# �òÛü�/ú ì O c % ¹ 6 c % Z SPU ì OÁ% ¹ 6 % Z S �Jþ�ø¡� ��� % ¹ 6 % Z ¤ v��å��¡�/þ^ö\ø÷õ���ú\þnõ÷ö�3üÌ����ùÌ�������"8ô�õ`ò!�<öfòpÿ���õ#ü����¦õ����EÿZü�/ø��EòFü��Ï�ö�/õ`òÛô�þ�úÌ����� � õ��ä�¯/´\¯/¬�¸«¬&毵¡�²¡:ã²%:ÊÐ a I�D±I `{z _ <2W@|_ L�CHmJD ³Ìv à*D c D�m�l ak`ba*v#` c ° } @ v B v CEDL�C�ð�I�l ` CHGJI�CHD v D�m9LðF�c _ m±à _ < `ba I4F�c _ m�à7~ _ < v |H|¢W@|_ L0CHm)D ` c v K3D�< _ c ³Ìv#` C _ K3D � Ð a I� Y M�)F4�;�4�oU� h�)�*V*?[Fo�.01:@AD�*?B _

Ó �

Page 36: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

D�m9LðF�c _ m±à z CHD7FJI�KTI�c v#` I�s�L�N `ba I ` c v K3Dð< _ c ³Av#` C _ KD c � dfC `ba ¢t¤ ^�× P dfC `ba ]1¬xpv KosF��d a I�czI

c � U!¢�ÚÄ%× P Od% SPU.]�%�nOd% SPUÛVÄ% Ý ¹

�¡�Ì��þ�þ���ô�ú\û���òGòFü�����5���?òYþ��9��������/úFòÛõGþ � z þ�új�Zõ�������*�^ø��� �ÿ��?��ø0�?�� � òÛþ�òFü��Jþ����þ#ÿZô�ú\û � O 6pü<øWþ�ö\û^ü\þ�öfò�ÿ��pÿkø÷ô ò��pÿkø÷ô ò�� %�U}Q1Ú ¾ > �^ú � ô � �/úÛòFô� � òFü�kù����ú� Zÿkô òFü ô�úïòÛü��ö\õ÷ö� �����^ú\ú3�/ø0� Sä�¯/´\¯/¬�¸«¬&毵¡�²¡:ã¿%:wB3m±à#à _ DgI®³�@ v B CED�d?I�|H|�L�I a5v GJI�s � Ð a I�K

ñ Ô p ׳¡ORQ 6 > S ì + U

p³¡ObQ 6 > S ì +

< _ c v |E|�K3C"l�I�à v `ba D n CHK v v Kos v |H| c ¤ z CX< v KTs _ Ko| N�CX<^³¡ObQ 6 > S!U»· > Ý ¹ < _ cD _z³ I�·y¬]p �

ÀT�?òkö\õ�ú\þhÿß$ç8 ³¡ObQ 6 > SYU > Ý ¹ �^ú � ��?ò ì ���EòFü� � �/ø÷ô��*� � ���?òFø÷ô����ä�¯/´\¯/¬�¸«¬&毵¡�²¡:ãÆ%:ÊÐ a I ³ I ` ceC"l�ð"mJD ` s#I�D±l�ceC"L�I�snCHDfCHK3G v ceC v K ` m)Kos#I�cAW@|_ L�CHmJD ` c v K3D��< _ c ³Ìv ` C _ K �

�Û�t����ú ö\õ�� òÛü�t��� ���/ö��ö\õqþ����)�^ø÷ô���òFô�þ^ú\õ O �/þ^ö\ø÷õ���� Þ p ¿��:òÛü������òFô�����Ç¿��?òFüç´þ � õ S òÛþ�$<ú � û��/þ � �/õ÷ô�/õ��ä�¯/´\¯/¬�¸«¬&毵¡�²¡:ãË%:ÊÐ a IÌFJI _ s#I�D�C"l�D�< _ c `ba I ³ I ` ceC"lEð"m)D ` s#I�D±l�c�C"L�I�s v c�I v czl�D _ <l�CHczl�|RI�D�dPC `ba l�I�K ` c�I�D _ K `ba I�czI v | v u�CHD v KTs�D ` c v CHF a5` | CHKoI�D�d a C"l a l�m `r`ba I�czI v | v u�CEDv#` c�CHF a5`7v K3FJ|RI�D �6�ü\þ�õ���ÿkü\þ��^ø��Eô�úÛò��/ø0�/õ`ò�� � ô�úYòFü���z8uô�þ�� þ��6ù��ø0� �������õP� þ�ø%�Gö����ô � ����úïû��/þ ���?òÛø=�

ÿkô���bú<þ:ò���òÛü�:ò� T�Jþ�ø O v 6 ì S bô�uÿ��4������T�/ô�ø�����/õ�ÿZô òÛü����/úÛòÛø0�/õYþ^ú òÛü�Zø������T�z8uô�õ��^ú �õ`òÛø0��ô�û�üFò���ô�ú�/õbÿZü\ô��3ü1�/öfòUòFü3�Yø0��� �5�z8ô�õn��òtø÷ô�û�üÛò���ú\û���/õUû �/þ � �/õ÷ô�����ô�ú3�/õn�Jþ^ø O v 6 ì S òFü�FúÙû^ô(�3�/ú-�^ú��ýû��/þ � �/õ÷ô�t��ô�ú� n �^ú � �^ú��ýù(þ�ô�úÛò · ô�ú�v ú\þ�òdþ^ú n ÿ��t����ú�$\ú �����ú��¨û �/þ � �/õ#ô��j��ô�ú�/õ�òFü\ø÷þ^ö\û�ü · ÿkü\ô�3ü � þ�ú<þ:òÉô�úÛò��/ø÷õ����?ò n �C¿Ùþ^ø�� � �?ò��^ô��õ���ø0�û^ô(�3�/ú�ô�úÌ�/þ�ö\øWõ��ü` Þ O O!�/þ����?òFøq� S �

å!���/þ�ö\øWõ��LòÛü�����WòFü\þ � õEþ��o� Þ p �^ø��tô�ú � ô���:òÛô��*�tø0��òFü3�/øbòFü��ú��/þ^ú3����ö\õ÷ô(�3��� O �}�ü���*�Zö\õ�� � � KTI�l�I�D�D v ceN �/þ�ú � ô òÛô�þ�ú���ú � ú\þ:òt� D�m��Ûl�C"I�K ` þ^ú��� S ÞYþ#ÿ��"�*�/ø0 bô�únòÛü\ô�õù�^ø`òÛô��/ö��^ø,����õ��� �ô òZô�õ�ú<þ:òZü��ø � �þ�ú���EòÛü����ú\õ`ÿ��/ø�ô�õ,��ú\þ#ÿZú �òÛþnõ`ò���ò��!�^ú � ù\øWþ��3��"�3�/øq��òFü\ô�ú\ûµø÷ô�û�þ^ø÷þ^ö\õ��(�#� ñ&��ÿ��kÿ��^úÛò»û �/ú�/ø����Gö\ú � �/øWù\ô�ú\ú\ô�ú\ûnòÛü�/þ�ø0���nõròFü�"�}���^ú�5���Jþ^ö\ú � ô�úR`tô�5�/ø��/úÛòFô����O!�/þ����?òFøq�-�\öfòkø���Ï�ö\ô�ø�������þ:òZþ���ü��ø � ÿqþ^ø�� �

6�ü�/ø���ô�õ,��úiô�úÛò��/ø0�/õ`òÛô�ú<û���ú����þ^û�ö��þ��6òÛü\ô�õ,��ô�ú � þ��¡���?òFø÷ô����Jþ�øpû�øWþ�ö\ù\õ��Ó �

Page 37: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

ÕL¬&¸«¸«´ ¡�²¡:ãÑ¡:=<%I ` C L�I v F�c _ m±à v KTs�· v D�m9L�DgI `�_ <�CãFJI�KTI�c v#` CHKF�C �¨� c�C ` I· Ý ¹ U ¢ Ý ¹ @*¢4¤¥· �*� ;=<?d?I�DgI `ì ORQ 6 > SPU �nô�ú� ¦ @3d?I�l v K�­oKTst¢ ¹ 6 ¢ Z 6 ²�²�² 6 ¢±£�¤¥· . · Ý

¹ dPC `ba ¢ ¹ ¢ Z ²�²�²�¢g£4U�Q > ݹ � 6

`ba I0K ì CHD v4³ I ` ceC"l _ K7C¸dPC `Ra ì ObQ�% 6 > %�SrU ì ORQ 6 > SY< _ c v |H|çQ 6 > 6 %4¤EC �hÐ a mJD ì

CHD v ceCHF a5`r` c v KDg| v#` C _ K�CHKG v ceC v K `�³ I ` ceC"l � iñ/� ì ObQ 6 > S ô�õ��(þ�ö\ú � � � ÿ��!��� ���o����8 ì ORQ 6 > S òÛü� s�C vz³ I ` I�c þ��(òÛü�kû�øWþ�ö\ù��6pü�

ú\þ:òÛô�þ�ú þ�� � ô�� ���?ò��/ø�ü��õY��ú þ����ô�þ�ö\õGø0����"�)��ú���VòÛþpòÛü��ù<øWþ ������ß+ÞYþ#ÿW���^ú�� õ#ü&ö3� ´à�/õ � þqÿ���ú��� � òÛþdù\ø÷þ � ö�����tÿ������õ÷ü�ö'Ù�� � ù� �e� � .��

æ�ñ ���ÊÉ � ó÷�Y���d� �d P 

ñ&�Gÿ��Ì�"89� �dô�ú�ïòÛü�Ì�^ø÷û^ö���/úÛòFõ þ�������?òÛô�þ�ú Þ^Þ ÿ���õ����ïòFü3�:ònòFü�"� ��ø0�Ì� ���,���/ø0�����û����\ø����Ñ�Åü�:ò � þ ÿ��iú��� � òFþ�ô�úÛòFø÷þ � ö����òFþ � þ�û��/ú�ö\ô�ú�A�^ú� ���õ÷ô�õdþ�úM���?òFø÷ô��õ÷ù� ���/õ��j�Û�j���^ú«ú\þ�òÉö\õ��j���)��øWô�^úÛòÉþ �bòÛü�j� ö\ú � �����/úÛò�� �Y��8ô�þ � �������^ö\õ���òÛü�/ø0�ô�õ�ú\þ þ�ø � �/øtþ�ú þ�ö\øtõ÷ù3�����/õ�����6pü���/þ�ø÷ø0���?ò��)��øWô�^úÛònþ���òÛü���Eþ��ö��^ú\þz÷��Û�/ô��/ø÷õ`òÛø0��õ÷õ���?òÛü\þ � ô�õ� pô ò ô�õ�û��/ú�/ø�������Û�^û�ø���� � �òÛü�»ú\þ:òÛô�þ�úýþ ���/þ �dù� �?òÛú�/õ÷õ ÿkü\ô�3ü�ÿZô���7�5�õ`òÛö � ô�� � ô�úÙòFü�A�/þ�úFò��"8�òiþ ��òÛþ^ùuþ���þ^û�ô���� �Eõ#ù�����/õ O �-�/þ�ú���/ùfòÌ�nþ�ø0� û �/ú�/ø0� ��òÛü�^ú���?òÛø÷ô��tõ÷ù�����/õ S ô�ú��/þ^ö\ø÷õ���� Þ \ �pñSú\õ`ò���� � ÿ��tö\õ�����û �/ú�/ø�����ô�õ���òFô�þ^ú þ ��òFü3�Yû �/ú�/ø0� �ù\øWô�ú�/ô�ù����þ �T�/þ�ú��3�/ø÷û��/ú�����Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�¿¡:½¡5:�;=<?O�° 6 ì S7CHD v�³ I ` ceC"lrDðà v l�I7d,I7D v N `ba5v#`Tv DgI�Ã�m�I0KTl�I _ <�à _ CHK ` DQ5£�¤�° CHDü v m�l a N!CX<YF�CHGJI�K v K3N�«7¬]p4d?I�l v K�­TKos ¦ ® Oq«�S7D�m�l aA`ba5v#` ì ORQ�3 6 Q�4zSr[x«< _ c v |H| 5,6�7 §}¦ ® O�«�S �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�¿¡:ã²%:�â ³ I ` ceC"l�Dðà v l�IMO�° 6 ì S�CHD}l _�³ à¡|RI ` I�CX<ÑI0GJI�ceN¤ v m9l a NÛDgI?�Ã�m9I�KTl�Itl _ K3GJI0c"FJI0D �å!�T�/þ�ö\øWõ��� £ ÿkô òFüïòÛü���Gö����ô � ���^úÌ���?òÛøWô��ô�õ,�/þ �dù3���?ò����6�þ�õ÷ü\þ#ÿ òFü��ò¦òÛü��ú\þ�òFô�þ^ú�þ �J�/þ��nù���?ò��/ú�/õ÷õ�ô�õ � ô�õ=òFô�ú�?òY�Jø÷þ��x+��Eþ��ö��^ú<þ�÷ �}�/ô�/øWõ`òÛø0��õ÷õ

ú\þ:òÛô�þ�ú\õ�.�ÿ���ô�úFòÛøWþ � ö����� � ö����\öfòZö\õ����Jö�����?òFø÷ô���õ#ù�������ÕL¬&¸«¸«´ ¡�¿¡:ã¿¡:=<%I ` ° L�I v K3N�DgI `�� ;=<?d?Its#Iq­TKTI ì @(° Z B L�N

ì ObQ 6 > SYU Þ CX<PQMÜU >ì ObQ 6 QoSYU�p

`ba I0KMO¼° 6 ì S�CHD v�³ I ` ceC"l�Dðà v l�I �� '�)�*W9=*@0+\1:DL1:o�o�9=73o�9=@A1:;=*;=)�*W739=,�5R7:9\7:2��`*W>?;=+\Q�@0;`)U7:9=B�*?9IO8.013;=;=@A>W*?+#]f2�4�;�Q*+=)�13.0.ÛD�7:;\o�4�9=+-4�*

@0;�)�*?9=*/_

Ó I

Page 38: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�Û���������òFü�����?òFø÷ô�� ì þ �6òFü��ù\ø��"�ô�þ�ö\õ,���������qòÛü� szCHDgl�czI ` I ³ I ` ceC"l �ÕL¬&¸«¸«´ ¡�¿¡:ãÆ¡:=<%I ` O�° 6 ì S�L�I v D�à v l�I4dfC `baM`ba I�s�CHD±l�c�I ` I ³ I ` c�C"l � Ð a I�K O¼° 6 ì SCHD�l _�³ à¡|RI ` I �

B3m±à#à _ DgIE° CHD�CEK�­TK3C ` I � Ð a I�K v | `ba*_ m)F a ° CHD¥L _ m)Kos#I�shCX<4Q ® ¤ ° `ba I�K

�� ORQ ® 6 Þ SYU·°�i�d?I�l v K�­TKos v DgI�Ã�m�I�KTl�I¡Q5£�D�m�l aÌ`ba*v#` K _ D�m�L�DgI�Ã�m�I�KTl�I�l _ K3GJI�c/FJI�D �Þ��/ø���ô�õ,��ú\þ�òFü�/ø�ù\øWþ�ù5�/ø`ò&� þ��6òÛü� � ô�õ��/ø��?ò������?òÛøWô���

ÕL¬&¸«¸«´ ¡�¿¡:ãË¡:�;=<�O¼° 6 ì S�CHD v Dðà v l�I�dfC `baÊ`ba I�s�CHDgl�czI ` I ³ I ` c�C/l `ba I�K'I�GJI�ceN4D�m�L�DgI `_ <+° CHD�L _#`ba-_ à9I�K v KTs1l�| _ DgI�s �6�ü�1�/þ�úÛòFø����?òÛô�þ�úÑ���^ù\ù<ô�ú\ûÉòFü3�/þ^ø���� O 6�ü�/þ^ø���� Þ � � Þ S �^ú � ô òÛõt��ù\ù��ô���:òÛô�þ�ú\õ

ÿkô���¦ù\øWþ��uô � ���ïõ`òÛøWô�&ô�ú\û��"89� �dù��tþ �<òFü�qöfòFô��ô ò&�Ùþ��<òFü���/þ�ú���/ùfò�þ �o�/þ �dù��?ò��/ú�/õ#õ��ÞYþ#ÿ��"�*�/øEòFü\ô�õ�õ����?òFô�þ^ú'�^ú � òFü3�dú�"8�òj�^ø�� � �"�<þ�ò�� � �dþ�ø0�qòFþÌ�"89� �dù��/õkþ��Lõ÷ù3�����/õÿkü\ô�3ü���ø0�4�^ú � �^ø��Zú\þ�ò4�/þ �dù3���?ò������fòÛö � �/úÛòFõGÿkü\þkÿ��^úÛò òFþÉõ����4�/þ��nù���?ò��/ú�/õ÷õYô�ú���?òÛô�þ�úiô����� � ô���ò����(� õ÷ü\þ^ö� �Ì� þqòFü��ú�"8�ò� ¦õ`ò��^ø÷ø0� � ��"89���nù�����åY¶¦¬�°Û¼�·`¾F¬ ¡�¿¡:RÑ¡: � I�D v N `ba5v `�v�³ I ` ceC"l�Dðà v l�I�O�° 6 ì S a*v D!K _ CHD _ | v#` I�s�à _ CHK ` D!C <F�CHG I�K > ¤Õ° v KTsA«�¬»p-d?IÌl v K�­TKTs v K-Q]¤° D�m�l a}`Ra5v#` p�[ ì ObQ 6 > St[« �B a*_ dxL�N `Ra I ³ I `ba5_ s�D _ < * uJI�czl�CHDgI § �[¬�¦�`ba5v `fv K _ K'��I ³ à ` N ³ I ` ceC"l�Dðà v l�I�dfC `ba K _CHD _ | v#` I�s,à _ CHK ` D�CHD�mJKTl _ mJK `�v L�|RI �

î�CHGJI v K�I�u v�³ à%|RI _ < v K-CHK�­TKC ` I�l _ m)K `�v L�|RI ³ I ` ceC"l�Dðà v l�I � înCHGJI v K}I�u v�³ à%| I_ < v K�mJKTl _ m)K `�v L�|RI ³ I ` ceC"l�Dðà v l�I v |H| _ <?d a5_ DgIrà _ CHK ` D v c�I�CHD _ | v ` I�s �6�ü�rú�"8�ò����������Zû�ô��*�/õr�Zû^þ�þ � õ÷ö\ù\ù�(�iþ��9���?òFø÷ô�� õ÷ù�����/õIÿkü\ô�3üj�^ø��?�/þ �dù��?ò��

�^ú � þ �¡���?òÛøWô��õ÷ù� ���/õVÿkü<ô��3üÌ�^ø���ú\þ�ò!�/þ �dù��?ò����ÕL¬&¸«¸«´ ¡�¿¡: Ò :=<%I ` O�° 6 ì S�L�I v l _�³ à%|RI ` I ³ I ` ceC"l�Dðà v l�I � ;=< £ CHD v D�m�L�D±I `7_ <A°v Kos�d?IAs#Iq­TKoI ì V @ £ Z B L�N ì V O¼È 6 É5S4U ì O¼È 6 É5S�d a I�KTI0GJI�c.È 6 É�¤ £ `ba I�KO £ 6 ì V S�CHD�l _z³ à%|RI ` I�CX< v KTs _ KT| NjCX< £ CHD�l�| _ DgI�s4CHK©O�° 6 ì S �6�ü�ö\õ� t� þ�øA�"89���nù��� ròÛü�¯����þ�õ�� � ô�úÛò��/øq�)� ��� ¢ 6 Ò �qô�õA�/þ �nù���?ò��-�Jþ�ø�òFü��ö\õ÷ö� �

���?òÛø÷ô����\öfò�òFü��þ�ù5�/úiô�úFò��/øq�)��� Oq¢ 6 ÒeS ô�õ�ú\þ�ò��Þ��/ø���ô�õ,���nþ^ø���ô�úÛò��/ø0�/õ`òÛô�ú\û��"89���nù����þ �¡�����?òFø÷ô��EÿZü\ô�hüiô�õ�ú\þ�ò!�/þ �dù��?ò����åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�¿¡:RÊ¡:� _ K3D�C"s#I0c s O � V Þ 6 Þ � S `ba I¯D±I `A_ <Ml _ K ` CHK3m _ mJDÌ<"m)KTl ` C _ K3D¥> @� V Þ 6 Þ � B � ;=<?d?I�DgI `

ì O�> 6 ³*SYU X >�VÒ³ X ¹ U¹Ý ¹° >PORQTSoV«³%ORQTS ° ì Q

`ba I0K ì CED v4³ I ` ceC"l � <¡I `>�£�ObQoSYU2V Þ < _ c!V Þ ºÛQ�ºÙV Þzæz¦>�£�ObQoSYU ¦ Q < _ c!V Þzæz¦ º}Q�º Þzæz¦>�£�ObQoSYU Þ < _ c Þzæz¦ º}Q�º Þ ²

Ó �

Page 39: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

Ð a IÌDgI�Ã�m�I0KTl�IÊ>�£ÛCHD v m�l a N]L�m `�a5v D�K _ | C ³ C `�� Ð a m)DÑO s O � V Þ 6 Þ � S 6 ì SÌCHD�K _ `l _�³ à%|RI ` I �6�ü���"89� �dù�� Á ö\õ`òiû^ô(�3�/úM�������*�/õïþ�ù5�/ú®òÛü� ù(þ�õ÷õ÷ô�\ô���ô ò/�«òFü��òïòFü� õ������vò&�ù5�

þ������?òFø÷ô��j�nô�û�üFò1�5�j�5�j�/þ��nù��?ò���ÿZü�/úk�^ù\ù��ô�� � òÛþÊèrô�������ú\ú«ô�úÛò��/û�ø0� ����j�Jö\ú�"´òFô�þ^ú\õ���6�ü���Jþ ����þ#ÿkô�ú\ût�"8�� �dù3���Gÿkü<ô��3ü»ô�õn��þ^ú\û uü�����ô��(�µõ`ò���øWø�� � ��^ú � þ�ú�����Jþ^øbòFü����t�\ô òÛô�þ�ö\õ�õ÷ü\þ#ÿZõVòÛü�:ò�òFü\ô�õ�ô�õ�ú\þ:òZõ÷þ �åY¶¦¬�°Û¼�·`¾F¬ ¡�¿¡:RÖ¡:� _ K3D�C"s I�c : O � V Þ 6 Þ � S `ba I7DgI `T_ <A0nC"I ³Ìv KK1CHK ` IðF�c v L�|RIo<"m)Kol ` C _ K3D<"m)Kol ` C _ KD�>A@ � V Þ 6 Þ � B � ;=<?d,I�DgI `

ì O�> 6 ³*SYU X >�VÒ³ X ¹ U¹Ý ¹° >PORQTSoV«³%ORQTS ° ì Q

D a*_ d `Ra5v#` ì D v#` CHDð­nI�D!l _ KTszC ` C _ K3DhCXi±^hCHCHCXi v Kos

hCHG0i _ < `ba I�s#Iq­TKC ` C _ K _ < v�³ I ` c�C"lh

D±I�I F Iq­oK3C ` C _ K ¬(¬#�[¬ i�L�m ` F�CHG I v KÙI�u v�³ à%|RI `�_ D a5_ d `ba5v ` l _ KTs�C ` C _ KhCHCXi ³Ìv N

< v C/| �¥� I4l _ m9|Rs!K _ d}D `�_ à�D�CHKTl�I ì CHD�K _#`Yv�³ I ` ceC"l4L0m `Y`ba CHD�d _ m�| s�L�I `�_!³ CHD�D `ba ICHK ` I�c�I0D ` CHK3F�à v c `��

;�K ³Ìv K3Njd v NçD�^�l _ KTs�C ` C _ KhCHCXijCED `ba I�|RI v D ` C ³ à _ c `�v K ` à v c `n_ < `Ra I�s#Iq­oK3C ` C _ K

_ < v�³ I ` ceC"l ��� I�l v |H|�D _�³ I `ba CHK3FtD v#` CHDð</NçCHK3F v |H| `ba I _#`ba I�cjl _ KTs�C ` C _ K3D v ù\õ��/ö � þ�´���?òÛø÷ô�� �Õ� IÌl v Kxs#I=­TKTIA| C ³ C ` D�< _ c v à5DgI�m9s _ � ³ I ` ceC"l�D�CHK `ba ItD v�³ I�d v N v D�< _ c³ I ` c�C/l�D �

;q<1O�° 6-l S�CHD v à5D±I�m�s _ � ³ I ` ceC"ltDðà v l�ItD a5_ d `ba5v ` CX<�Q5£¯B Q `ba I�K�Q�£¯B > C <v Kos _ Ko| NjCX< l ObQ 6 > SYUxp �;�K `Ra I�D v�³ I,d v Ntd?I!l v Kks#Iq­TKTIü v m�l a NtDgI�Ã�m�I0KTl�I�D � â�à5DgI0m�s _ � ³ I ` ceC"l�Dðà v l�ICHD�l v |E|RI�s�l _�³ à¡|RI ` I?CX<!I�GJI�ceN� v m�l a N�DgI�Ã0m�I�KTl�I4l _ K3GJI�c/FJI�D � h m)c _ LÜð�I�l ` CHD `�_ D a5_ d`ba5v ` O : O � V Þ 6 Þ � S 6 ì S�CHD�K _#` l _z³ à%|RI ` I �h

CXi�BTI `� £�ObQoSYU�p CX<?\ Ý ½ £ º ° Q °� £�ObQoSYU Þ VÛ\ ½ £ ° Q ° CX< ° Q ° º2\ Ý ½ £ �

v Kos.³�£9O¼»eS�U Z��� # Ý Z � � £�O�»rV��)\ Ý £ S�< _ c v |H|9V Þ ºý»�º Þ�� B'!JI ` l a ³�£ v KosjD a5_ d`ba5v ` X ³�£ X ¹ ºW\#Ý Z £ ÿ ¹ �h

CHCXi�;=<�> £ ObQoS�U ����89 >�¹�ORQTS 6 > Z ORQTS 6 ²�²�² 6 > £ ORQTS � I�u�à¡| v CHKWL�ceC"I6�%N-d a N¯> £ CHD vl _ K ` CHK3m _ m)Dr</m)KTl ` C _ K _ K � V Þ 6 Þ � dfC `ba p!ºÙ>z£9ORQTSYº Þ�� B a5_ d `ba5v ` X >�£�ÿ ¹ V©>�£ X º\#Ý Z £�ÿ ½ v KTs1s#I�s�m9l�I `ba*v#` >z£ÌCHD v v m�l a N�DgI�Ã�m�I0KTl�I�CEKMO : O � V Þ 6 Þ � S 6 ì S �h

CHCHCXi B3m�à#à _ D±IÌCX<4à _ D�D�C"L�|RI `ba*v#`�`ba I0c�IkI0u�CHD ` D v K2>¸¤ : O � V Þ 6 Þ � SÌD�m9l aW`ba5v `X >z£�Vª> X B p v D ¦ B ¿ � B a*_ d `ba*v#` X > X º2\ æ Ó �hCHG�i � I�K _ dÛm)DgI `ba I�K _#`�v ` C _ K _ <VBTI�l ` C _ Ky� �®* u�à¡| v CHK�d a N `ba I�czI ³ mJD ` I�u�CHD `

v s�CHD�D±I�l ` C _ K � _ < � V Þ 6 Þ � D�m�l aÑ`ba5v#` � Oq> 6 � S�º Þ �gF I�s�m�l�I `ba*v#` d?I�l v KÌ­TKTsj¢v KostÒ�dfC `ba V Þ ºÙ¢4[xÒ�º Þ D�m�l a¯`ba5v ` >PORQTSYº Þzæ \!< _ c v |E|çQ�¤ � ¢ 6 Ò � �

Ó N

Page 40: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

hG�iúB a5_ d `ba5v#` 8� ° >fObQTSnV >�£�ObQoS ° ì Q p v KTsÑs#I�s�m9l�I `ba*v#` X >�V >z£ X ¹

p � Ð a CHDMl _ K ` c v s�C"l ` C _ KWD a5_ dPD `ba5v#`j`ba I�D±I�Ã�m�I�Kol�I�>�£ûs _ I�D�K _#` l _ K3GJI�c/FJI v KTsO : O � V Þ 6 Þ � S 6 ì S�CHD�K _#` l _z³ à%|RI ` I �Ð a IÊczI v s I�c�d a5_'a*v D�F _ `�`ba CHD�< v cMl v K�<zI�I�|7d,I�|H|oà%|RI v DgI�s'dfC `baÛa I�c�D±I�| <'L�m `L�NÌd _ c�!�CEK3F�D ` C"|H| a*v czs#I�c�d?I1l v KyI�u ` c v l `�v | C `�` |RI ³A_ c�IVð"m)C"l�I?<"c _�³ `ba CEDÌI�u v�³ à%|RIv KosÌD a5_ d `ba5v#` >z£ l _ K3GJI�c/FJI�D�à _ CHK ` dPCHDgI `q_kv <"m)Kol ` C _ K�d a C"l a CHD�K _#` 0�C"I ³Ìv K3KCHK ` IðF�c v L�|RI �h

G�i.B a5_ d `ba5v#` ^< _ c�I v l a Qo^T>�£�ObQoSnCHD v L _ m)Kos#I�s�CHKTl0c�I v D�CHK3Fn<"mJKTl ` C _ K ��F I�s�m�l�I`ba5v ` >�£�ObQoS ` I�KTs�D `�_ | C ³ C `�� ORQTS0^PD v Ng^9< _ cjI v l a Q � B a5_ d `ba5v ` 143�O � SYUx\ �h

G�CXi¥<¡I ` jT£4UW>�Ý ¹£ Oqp�S �®* u�à%| v CHK�d a N�j¡£�CHD�l�| _ DgI�s v KTs�j ¹A¸ j Z ¸ ²�²�² � ;=< �CHD v ­TuJI�s�szCHD�DgI�l ` C _ K _ < � V Þ 6 Þ � D a5_ d `ba5v#` < _ ctI v l a�¦ d?I�l v Kt­TKTs v l _ |H|RI�l ` C _ K _ <� £ _ <TCHK ` I�ceG v | D21�U � Q5Õ 6 Q�Õ Ý ¹ � dfC `ba I�KTsTà _ CHK ` DPD�m9l�l�I�D�D�CHG I5à _ CHK ` D _ < `ba I�s�CHD�D±I�l ` C _ Kv Kos _ < `�_#`�v |�|RI�K3F `ba F�czI v#` I�c `ba*v K Þ D�m�l a¯`ba5v#` 1��KjT£ÌÜU/� �h

G�CHCXi <%I ` � U "£$# ¹ � £ � B a5_ d `Ra5v#` � CHD v l _ |H|RI�l ` C _ K _ <ACHK ` I�c�G v | D�1xU� Q�Õ 6 Q�Õ Ý ¹ � dfC `ba I�KTs�à _ CHK ` D�D�m�l�l�I�D�D�CHGJIPà _ CHK ` D _ < `ba I4s�CHD�DgI�l ` C _ K � v KTs!dfC `ba�`�_#`�v ||RI�KF `ba F�c�I v ` I�c `ba5v K Þ D�m�l a-`ba5v#` 10�Kj¡£AÜU/��< _ cjI v l at¦,�h

G�CHCHCXi���D±I�Ð a I _ c�I ³ ª �[¬ Ú `�_ D a5_ d `ba5v ` 1�� "£$# ¹ jT£ ÜU �Ñd a I�KTI�G I�cK1Û¤� ¢ »�ø w ¢��61 �®F I�szm�l�I `ba5v#` + O � 6 � Srº Þ �h

CHu�i� _ KTl�| m�s#I `ba*v#`�� CHD�K _#` 0�C"I ³Av K3K�CHK ` IðF�c v L�|RI �ñ/�fÿ��Lõ������EòFþ����t�5� � O : O � V Þ 6 Þ � S 6 ì S ô�ú�õ÷þ ���7��^ø÷û��Føbõ#ù�����Uþ���Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ6ÿZü\ô��3ü

ô�õ?�/þ��nù���?ò��Eÿ�����ø0���� � òFþ�Ào���5�/õ#û^ö�EòÛü�/þ^øq�#�

æ®J Åìè � J ��È�Ë���îYÉ É �Y�pîYÈ�Î6pü\ô�õ�õ����?òÛô�þ�ú�ô�õ � �"�6þ:ò�� � òFþiþ^ú�dþ �IòFü���nþ^õ`ò ô��nù(þ�ø½ò��^úÛò����?òÛøWô�/õ�þ^ú¯�Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ���}��õ#ü���� ÿZøWô ò�� òÛþ�������úÌ�/ô òÛü�/ø þ^ø �Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�Æ¡:½¡5:�;=< £ CHD v K _ K���I ³ à ` N}DgI ` d?I�dfc�C ` I7��O £ Sj< _ c `ba I�D±I `1_ <L _ mJKTs#I�s�<"m)Kol ` C _ KDÌ>W@ £ B � Ð a I1mJK3CX< _ c ³ K _ c ³ X X " _ K�� CHD's Iq­TKTI�sL�N X > X " U õ#ö\ù � � V ° >PORQTS ° �ÕL¬&¸«¸«´ ¡�Æ¡:㲡:�;=<rd?Inm)DgI `ba InD `�v Kos v czs _ à9I�c v#` C _ K3D���O £ SnCHD v GJI�l `�_ c,Dðà v l�I _ GJI�c� ;=<?> 6 ³ 6 ø1¤E��O £ S `ba Ir< _ |E| _ dPCHKF�c�I0D�m�| ` D v czI ` cem�I �hCXi X > X " § p�^hCHCXi�;=< X > X " U2p `ba I0K->AUxp�^hCHCHCXi�;=<^]�¤ `Ra I�K X ]�> X " U ° ] °_X > X " �hCHG�i

hÐ a I ` c�C v K3FJ|RI�CHKTI�Ã�m v | C ` Nei X >�Ú«³ X " º X > X " Ú X ³ X " �h

G�i Ð a Ità _ CHK ` dPCHD±I�à*c _ szm�l ` >)³û¤���O £ Shd a I�czIÌ>)³¡ObQoS�U >fObQoSd³¡ObQoSqi v Kos

X >&³ X " º X > X " X ³ X " ��Û���������òFü�����?òFø÷ô�� ì û�ô��*�/úÌ��� ì O�> 6 ³5SPU X >�VÒ³ X " òFü��ö\ú\ô�Jþ^ø��ã���?òFø÷ô����

ú p

Page 41: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:R¿¡:�Ð a I�m)K3C < _ c ³¼³ I ` ceC"l _ K���O £ S�CHD�l _�³ à%| I ` I �6�ü�tõ÷ù����� ��O £ S ô�õEú\þ:òn�*�/ø=�®ô�úÛò��/ø0�/õ=òFô�ú\û�ô�ú ô òÛõ�������\öfòqô� £ ô�õ��t���?òÛøWô�Yõ#ù�����

ô òZü�^õ?���*�/ø=� ô�úFò��/ø��/õ`òFô�ú\ûdõ÷ö3�\õ÷ù�������Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�Æ¡:ãÆ%:�;=<�O £ 6 ì StCED v K _ K'��I ³ à ` N ³ I ` ceC"l4Dðà v l�I4d?I4dPceC ` I0�,O £ S?< _ c`ba I�DgI `r_ <4L _ mJKTs#I�s1l _ K ` CEK3m _ m)D7<"m)Kol ` C _ K3D�>A@ £ B �

6�ü��ú�"8�òkø������^ø������/ø������ ø0�/õ=ò���ò��/õVÿZü�:ò�ÿ���� ��ø���� � �-��ú\þ#ÿ��ÕL¬&¸«¸«´ ¡�Æ¡:ãË¡:�;=<�O £ 6 ì S!CHD v K _ K���I ³ à ` N ³ I ` ceC"l!D�à v l�I `ba I�Ko�,O £ S�CHD v GJI�l `�_ cD�m9L�Dðà v l�I _ <0��O £ S � � m)c `ba I�c�CX<�> 6 ³�¤m��O £ S `ba IYà _ CHK ` dPCHDgIYà5c _ s�m�l ` >)³1¤m�,O £ S �

ÞYþ#ÿ��"�3�/øVòFü��ú3�"8&òZø0�/õ#ö� òZô�õ�ú3�?ÿß��ú � �/øWö�/ô����³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:RÑ¡:�;=<�O £ 6 ì S�CHD v K _ K'��I ³ à ` N ³ I ` ceC"l�D�à v l�I `ba I�K��,O £ S�CED v l�| _ DgI�sD�m9L�DgI `7_ <0��O £ S�m)Kos#I�c `ba I�m)K3CX< _ c ³¨³ I ` c�C"l �

6�ü\ô�õtô�õLòÛü�t�H� �dþ�ö\õ�+ « æ Ó 6pü�/þ�ø0����.�����6�ø0� � ô òÛô�þ�ú������# Vô òdü��õ������/úÙù\ø��/õ��/úÛò�� �ô�úÌ� � ô�5�/ø0�/úÛò��\öfò!�/õ÷õ��/úÛòFô������-��Ï�ö\ô��)� ���/úÛò�����ú\ú�/ø��Ó ¬ ��Ã�·½¯/·`©6ÃÅ¡�Æ¡: Ò µ;: Ã�·½¹N©(°Û¸ ¼�©6Ã98(¬&°�È6¬�Ãb¼�¬ ¶ :�;=< £ CHD v K _ K���I ³ à ` N©DgI `�v KTs>�£4@ £ B v KTs�>A@ £ B v c�IP<"m)Kol ` C _ K3D�d?I?D v N `ba5v ` >z£ �/þ�ú��3�/ø÷û��/õpö\ú\ô� þ�ø0�����`�_ > v D ¦ B ¿ CX<"^7F�CHGJI�K v KNA«?¬¾pAd?Ijl v KA­oKTs v K ¦ ® Oq«�S�D�m�l a¥`ba*v#` ° >�£�ObQoS¡V>fObQoS ° [2«r< _ c v |H|çQ�¤ £�v Kos v |H| ¦'§}¦ ® O�«�S �

6�ü�/þ�ø0��� Þ ú ���nú\þ#ÿ ò�� ���/õVòÛü���Jþ����þhÿkô�ú\û��Jþ�ø0���³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:RÊ¡:�;=<¯O £ 6 ì SACHD v K _ K���I ³ à ` N ³ I ` ceC"lÌD�à v l�I v KTs¯>�£x@ £ B< _ c ³ v DgI�Ã�m9I�KTl�I _ <Êl _ K ` CEK3m _ mJD�<"m)KTl ` C _ K3D ` I�KTs�CHKF�m)K3CX< _ c ³ | N `�_ > `ba I0Kª>]CEDl _ K ` CHK3m _ m)D �

¿Ùþ^ø��,�<øWô��àç�# �òFü�rö\ú\ô�Jþ^ø��ß��ô�dô ò þ ���/þ�úÛòFô�ú&ö<þ^ö\õr�Jö\ú�?òFô�þ^ú\õGô�õr�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ^ö<õ�� O 6�þõ����EòÛü���"89� �?ò!��Ï�ö\ô(�)����/ú����þ��<õ��/ø=�*�EòFü��òkô� >�£�B > ö\ú\ô��Jþ�ø0�����»òFü3�/ú�ÿ������^úÌ$\ú ��^ú � õ÷ö�3üïòFü��ò >�£�Vª> � ô�õ?�(þ^ö<ú � � � � þ�ø�� ��� ¦'§�� � S

�<ô�ú��� �,O £ S ô�õt������þ�õ�� � õ÷ö�\õ��?ò þ � ��O £ S �6pü�/þ�ø0��� Þ ú � Ó ��ú � Ào������� Þ Ó � Iû^ô(�3�/õrö\õ,�^ú\þ�òFü3�/øpô�dù(þ�ø½ò��^úÛò�òFü3�/þ^ø������³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:RÖ¡:�;=<!O £ 6 ì S?CHD v K _ K���I ³ à ` N ³ I ` c�C"l?D�à v l�I `ba I�K `ba I `ba I?m)K3CX< _ c ³³ I ` c�C/l _ K��,O £ S�CHD�l _�³ à¡|RI ` I �

6�ü\ô�õ�ø0�/õ÷ö� ò� �� ��õ÷þ ¦ü��õ,���dþ�ø0�EòÛø0� � ô òÛô�þ�ú� ���Jþ^ø����  à 9�1:>?>?7:9=B�@0D�XE;=7E1E9=@0s#1:.&+=>S)�7/7:.&7:5�;`)�734�X:)/;�;=)�*?Y ¡�¢('�)�*W739=*WTühA_

ú Þ

Page 42: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:`¡�Ъµ?ᵬ�Ãb¬�°�´\ÁUÍ�°�·½Ã�¼�·½Í�Á½¬µ©6¹rÚ�Ã�·½¹N©(°Û¸ ¼�©6Ã98(¬&°�È6¬&Ã�¼�¬ ¶ :=Bm±à#à _ D±I`ba5v ` O £ 6 ì S�CHD v K _ K'��I ³ à ` N ³ I ` ceC"l�Dðà v l�I v KTs¥>�£ @ £ B CHD v l _ K ` CHK3m)�_ mJD�<"mJKTl ` C _ K � ¦]§ Þ � � Ð a I4DgI�Ã�m9I�KTl�It>�£�l _ K3GJI�c/FJI4m)KCX< _ c ³ | N `�_�v l _ K ` CHKm _ m)D<"m)Kol ` C _ Kª>]CX< v KTs _ KT| N¯CX<�F�CHGJI�K v K3N'«A¬êpkd?I�l v K'­TKos v K ¦ ® O�«�SjD�m�l ay`ba5v `° >�£�ObQoSoVª>���ObQoS ° [2«r< _ c v |H| ¦ 6 � §}¦ ® O�«�S �6�ü\ô�õPòÛü�/þ^ø���� ô�õ,����õ÷þ���ú\þ#ÿkúÌ�^õVòFü3�=O.ÊYä��]���ÉòFü<þ^õ��Eÿkü\þ � þdú\þ�ò�þ � Á ���?òpòÛþ

òFü�Fþ^ø����dõVÿZü\ô��3üiõ÷þ�ö\ú � ��õVòFü\þ�ö\û^üïòÛü�"�»ÿ��/ø������\ø��^ú�3üiþ �<òÛü��õ����/ø��?òkùuþ���ô������ñ/� £ ô�õ4������þ^õ�� � �(þ�ö\ú � � � õ÷ö�<õ��?ò þ�� � ÿZô òÛü�òÛü���Gö����ô � ����ú¥���?òFø÷ô��ZòFü�/ú

���Ñ6pü�/þ�ø0���é� � ú � ���f�/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ >k@ £ B �^ø����uþ^ö\ú � � � �ÉñSú»òÛü�/õ���/ô�ø��/ö�nõ`ò���ú���/õpÿ��nõ÷ü����ÿkø÷ô ò�� s O £ S�U@� ���6þ^øEòÛü�dø��/õ`ò þ �IòÛü���/þ�ö\øWõ��tÿ��tÿZô���þ^ú�(���/þ^ú\õ#ô � �/ø<òFü\ô�õbõ÷ù5���/ô��� ����õ����o�}�Gõ`ò��^ø`òbÿkô òFü����/þ^ö\ù��Gþ � ô�dùuþ^ø`ò���úÛò7�"89���nù���Fõ��åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Æ¡:`¡6¡kµ?³v£b¬®ªd·½¯F¼�£UâR¾n£b´<¯�¶#: F I=­TKTI�>�£t@ � p 6 \ � B L�N

>�£�ObQoSYU Þ V ¦ ° Q1V ¦ Ý ¹ ° < _ c ° Q1V ¦ Ý ¹ ° º ¦ Ý ¹ ^>�£�ObQoSYU�p _#`Ra I�cedPCHDgI �

Ð a I�K `ba I�>�£ v czIÌl _ K ` CHKm _ m)D�<"m)Kol ` C _ KDjD�m�l a}`ba5v#` >�£�ObQoS�B p v D ¦ B ¿ < _ cI v l a Q]L�m ` > £ p�m)KCX< _ c ³ | N �

¿Ùþ^ø����\ø÷ô���àç�# ù(þ^ô�úÛòSÿkô�õ����/þ^ú��3�/ø÷û��/ú3��� � þJ�/õUú\þ�òqô��nù���µö\ú<ô��Jþ^ø��¸�/þ^ú��3�/ø÷û �/ú�����åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Æ¡:`¡�²¡: F Iq­TKTI�>�£t@ � p 6 Þ � B L�N�>�£9ORQTSYUÛQ £ � Ð a I�K->�£9ORQTSrB >PORQTSv D ¦ B ¿ d a I�czI�>fObQoSYUxp�< _ c�p�º}Q�[ Þ L�m ` >fO Þ SPU Þ �6�ü�ö\õbòÛü�Yù(þ^ô�úÛòSÿZô�õ�����ô��nô òqþ ���/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õn�Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õUú��� � ú\þ�ò������/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��äYú\ô�Jþ^ø�� �/þ�ú��3�/ø÷û��/ú����ô�õ����*�/ø=�Ùö\õ���� ö� òÛþ&þ � ÿkü�/ú � ������ô�ú\ûtÿkô òFüiô�úÛò��/û^ø��:òÛô�þ�ú�

³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:`¡�¿¡:=<%I ` >�£�¤ s O � ¢ 6 Ò � S � ;=<,>�£tB >¯m)K3C < _ c ³ | N `ba I�K�>A¤ s O � ¢ 6 Ò � Sv Kos8

� >�£�ObQoS ì Q�B 8� >fObQoS ì QT²

�^òFö � �/úÛòÛõrþ �Aò��/ú��dô�õ÷õ�òFü��� ö��o�Jþ^ø����Zþ��(òÛü\ô�õ�òÛü�/þ^ø����¼�5������ö\õ���òFü���Jþ^ø��vö���Éô�õõ÷þ�����õq� òFþÙù\øWþ��*�����}�1� ��õ÷þÙú��� � òFþ®ù<øWþ��*�ZòFü��òvòÛü�Éõ����/þ^ú � ô�úFò��/û^ø����n���?òÛö�������"8ô�õ`òÛõ��¯6pü�Éõ����/þ�ú � ü� ���Eþ ����8�� �nù��� Þ Ó � N õ÷ü\þhÿkõròFü��òZòFü�Éù(þ�ô�úÛòSÿZô�õ�����ô�dô ò»þ���/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ,�Jö\ú�?òFô�þ^ú\õ�ú��� � ú\þ:ò��5��ô�úFò��/û^ø����3�����

6�ü�/þ�ø0��� Þ ú � Þ Ó õ÷ü\þ�ö� � �5�t�/þ^ú\õ#ô � �/ø�� � ô�úÉòFü�t�/þ�úFò��"8�òïþ��¦òFü3�4�Jþ����þhÿkô�ú\ûZòSÿqþ�"89���nù���/õ��

ú \

Page 43: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Æ¡:`¡�ƪµ?³v£b¬®¯/´\Á`ÁUªd·½¯F¼�£UâR¾n£�´\¯�¶#: F I=­TKTI�>z£t@ � p 6 \ � B L�N>z£9ORQTSPU ¦ O Þ V ¦ ° Q1V ¦ Ý ¹ ° S < _ c ° Q1V ¦ Ý ¹ ° º ¦ Ý ¹ ^>z£9ORQTSPU!p _#`ba I0c�dfCHDgI �

Ð a I�K `ba I�>�£ v czI�l _ K ` CHK3m _ m)D7<"m)KTl ` C _ K3D�D�m�l a¯`Ra5v#` >z£9ORQTSYB p v D ¦ B ¿ L�m `Z® > £ ObQoS ì Q p

v D ¦ B ¿ �åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Æ¡:`¡�˪µ?åt¾F¼�´<Í�¬µ¯F©«·½Ã¡��Ãb·`¯h¥�¶ : F Iq­oKTI�>z£t@ B L�N

>�£�ObQoSYU Þ V ¦ Ý ¹ ° Q ° < _ c ° Q ° º ¦ ^>�£�ObQoSYU�p _#`ba I�cedPCHDgI �

Ð a I�K `Ra I�>z£ v c�Ikl _ K ` CHK3m _ m)Dj</m)KTl ` C _ K3D�D�m�l aW`ba5v#` >�£�ObQoS'B p�m)K3CX< _ c ³ | N v D¦ B ¿ L�m `

"Ý "

>z£9ORQTS ì Q pv D ¦ B ¿ ���89���nù��� Þ ú � Þ ���vö\õ`òn�5��ÿ������&ö\ú � �/ø÷õ`òFþ�þ � õ÷ô�ú���Gô òUø��/ù\ø0�/õ��/úFòÛõT�Y�3�Fø=���/þ ���nþ^ú

ù\ü�/ú\þ ���/ú\þ�úïÿkü\ô�3üïÿ���ü���*�EòFþ�������øWúdòFþ���ô(�3�EÿZô òÛü�6�ø�� � ô òFô�þ^ú� ���(�# �6�ü�/þ^ø���� Þ ú � Þ Ó ô�õ4� � ÿ����õvù��ô�ø�� � ÿZô òÛü�òÛü���Jþ����þ#ÿZô�ú<ûµø��/õ÷ö� ò

ÿkü\ô�3üiô�õ�ø���� ���(��� � ô�õ÷û^ö\ô�õ�� � òÛü�/þ^ø���� þ�úiô�úÛò��/û^ø��:òÛô�þ�ú£ ³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:`¡�Ñ¡:=B3m±à à _ DgI `ba5v#` >�£t@ � ¢ 6 Ò � B CHD�szCX{�I�czI�K ` C v L�|RI _ K � ¢ 6 Ò � dPC `bal _ K ` CHK3m _ m)D�s#I0c�CHG v ` CHGJIj> ~£

hd,I `�v !JI `ba I _ KTIM� D�C"s#I�sks I�ceCHG v#` CHGJI v#` I�KTs�à _ CHK ` D�C <

KTI�l�I�D�D v ceNei � Bm±à#à _ D±I `ba5v ` >�£�ORQTS4B >fObQoS v D ¦ B ¿ < _ c�I v l a Q ¤ � ¢ 6 Ò � v KTsD�m�à#à _ DgI `ba5v ` > ~£ l _ K3GJI�c/FJI�D�m)K3CX< _ c ³ | N `�_Av | C ³ C `��é_ K � ¢ 6 Ò � � Ð a I�K->¥CHD�s�CX{�I�c��I�K ` C v L�|RI�dPC `ba s#I�ceCHG v#` CEGJI �j�6�ü�®ø0��� � �/ø���ú\þ#ÿZõÉü<þ#ÿ¤òFþµòFö\ø÷úÏø��/õ÷ö� òFõ»þ�ú òÛü����ô�dô òFõ»þ �qõ���Ï�ö�/ú���/õ»ô�úÛòÛþ

ø0�/õ#ö� òÛõ�þ�únô�ú$\ú\ô ò���õ÷ö�nõP��ú � �uô���f�3�/ø÷õ������Yù\ù��ô� � òÛþ�6�ü�/þ^ø����dõ Þ ú � Þ Ó ��ú � Þ ú � Þ �òFü�Eò����3ü\ú\ô�Ï�ö�/õ�ù\ø÷þ � ö���/õVòÛü��� þ ����þ#ÿZô�ú\ûnø0�/õ#ö� òÛõ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:`¡ Ò µ?³E¬&°�¸ ­¦¥¨¯/¬&°�¸ ·`æ¯/¬&È6°�´<¯/·½©(ÃT¶ :=<¡I ` ³�Õ]@ � ¢ 6 Ò � B L�Il _ K ` CHK3m _ m)D � ;q< £ÕM# ¹ ³�Õjl _ K3G I�c"F I�D�mJK3CX< _ c ³ | N v D ¦ B ¿ `ba I�K

8�

"ÕM# ¹ ³�ÕçORQTS ì Q�U

"ÕM# ¹

8� ³�ÕçObQoS ì QT²

ú Ó

Page 44: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:`¡�ʪµ?³E¬&°�¸ ­¦¥¨¯/¬&°�¸ §�·½Ô�¬&°�¬&æ¯F·½´\¯F·½©6á¶#:=<%I ` ³�Õ�@ � ¢ 6 Ò � B L�Is�CX{�I�czI�K ` C v L�|RI�dPC `ba l _ K ` CHK3m _ mJD�s#I�ceCHG v#` CHGJI � ;=< £ÕM# ¹ ³�ÕçObQoS�l _ K3GJI�c/FJI�D7< _ c�I v l a Qv Kos £ÕM# ¹ ³ ~Õ l _ KGJI�c/FJI�DjmJK3CX< _ c ³ | N v D ¦ B ¿ `Ra I�K "ÕM# ¹ ³�Õ�CHD�s�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RIv Kos

ìì Q

"ÕM# ¹ ³ Õ ORQTS U "

ÕM# ¹ ³ Õ ORQTS�²

Þ��/ø��Eô�õf�qõ`ò���øWø�� � ��ù\ù��ô���:òÛô�þ�úïþ��*6pü3�/þ^ø���� Þ ú � Þ � �n6pü�Eø���� � �/øf�����# \þ��*�/þ^ö<øWõ��þ��nô òEô ò��\öfòUñ¦ô�ú����ö � �Gô òUù��ø`ò��(���������^ö\õ��Lô òUô�õ�þ��0ò��/ú4�dþ�ø0�Lö\õ����Jö�ÛòFü��úròFü�IòÛü�/þ^ø����O 6�ü�/þ�ø0��� N � Þ Ó�S òFü��ònô òj�"8�ò��/ú � õ���ú � ù��ø`ò��(�Ñ�5������ö\õ��dô ò ù\øWþ��ô � �/õ��^ú¯�"89��������/úÛò�"89���nù����þ ��ü\þ#ÿý6pü�/þ�ø0��� Þ ú � Þ �dô�õ�ö\õ�� � ô�úiù\ø����?òÛô������³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:`¡�Öªµ Ó ·`Ô�¬�°�¬&æ¯/·½´<¯/·½©(ÃÏÚ�Ã�§�¬&°É´\Ãη½Ã¡�bÃ�·½¯F¬µ·½Ã¦¯F¬&È6°�´\Áq¶#:=B3m±à à _ DgI³�@ � p 6 ¿ � ò � w 6 ì � CHD1l _ K ` CHK3m _ mJD v Kos `ba*v#`,`ba I�à v c ` C v |¡s#I�ceCHG v#` CHGJIV³ Û Z I�u�CHD ` D v KTsCHDÊl _ K ` CHK3m _ m)D � B3m±à#à _ DgI�<"m)c `ba I0c `ba5v `�`ba5v#`�`ba I�c�IAI0u�CHD ` D v l _ K ` CHK3m _ m)D�<"mJKTl ` C _ Køj@ � p 6 ¿ � ò � w 6 ì � dPC `ba ° ³ Û Z ORQ 6 > S ° º�øTObQoS�< _ c v |E|ORQ 6 > S v KTs?D�m�l a�`ba5v ` "® øTObQoS ì QI�u�CED ` D v KTs!CHDr­TK3C ` I � Ð a I�K3^%CX<?CjO > SYU "® ³%ORQ 6 > S ì Q I�u�CHD ` Dr< _ c v |E| > ¤ÛO w 6 ì S?d,Ia5v GJIDCís�CX{�I�c�I0K ` C v L�| I _ K©O w 6 ì S�dfC `ba

C ~ O > SYU "® ³ Û Z ObQ 6 > S ì Q¡²

�Û���/þ�ú����ö � �PòFü\ô�õ�õ����?òFô�þ^útÿZô òÛü��qø�������ø0� ÿkü\ô�hü��������^ù\ù����^ø�ø��:òÛü�/øVô�õ÷þ ����ò�� ��\öfò�ÿZô���P�5���/þ �����nþ^ø��dô�nù(þ^ø`ò���úÛò ô�ú'�/þ�ö\øWõ���� Þ \ �^ú � ����ò��/øpÿtþ^ø��®þ�ú'�/þ��nù���"8�)��øWô�������³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Æ¡:R²6С: � IAd _ c !'CHK � <¡I ` "£(# ® ¢±£)% £ L�I v à _ d?I�c�DgI�ceC"I�DÊdPC `bac v s�CHmJD _ <�l _ K3GJI�c/FJI�KTl�I=- � ;=<�ptº ��[¤- `ba I�K �£$# ® ¢g£&% £ l _ K3GJI0c"FJI�D�mJK3CX< _ c ³ | N_ K �� Oqp 6 �)S v D � B ¿ �Aô4_ d?I�GJI0c�^�C ` KTI�I�snK _#` L�I ` cem�I `ba5v ` �£(# ® ¢±£)% £ l _ K3GJI�c/FJI�Dm)KCX< _ c ³ | N _ K � O=p 6 -�S �

æw� Åìè � Î������EîYÆ4Î���È÷��� É Æ �C� ÈÛ��L � è �Y��î¦��É6pü�iú3�"8&òµø��/õ÷ö� òµô�õj�¯�����^öfòÛô��Jö�,�"8�� �dù3���iþ �GòFü�iùuþ#ÿ��/ønþ���� �\õ`òFø����?òÛô�þ^ú� ñSú�ô ò���^ú� �3üïòFø��^ú\õ��Jþ�ø0��� � ��+�Jþ����´=ò����3ü\ú\ô�Ï�ö��.�ô�úÛòÛþ��qòFü�/þ�ø0�����³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Ë¡:`¡kµ?³v£b¬®¼�©(ïF°�´\¼�¯/·½©(Ãϸ«´<Í�Íb·`ÃbÈý¯/£�¬&©6°�¬&¸k¶ :=<¡I ` O¼° 6 ì S�L�I vK _ K���I ³ à ` N]l _�³ à%|RI ` I ³ I ` ceC"lÌDðà v l�I v KTs c @w° B ° v¯³Ìv à#à5CHK3F'D�m�l aW`ba5v ``ba I0c�I�I�u�CED ` D v ïé[ Þ dPC `ba ì O c Q 6 c > SrºWï ì ObQ 6 > Sf< _ c v |H|�Q 6 > ¤�° � Ð a I0K `ba I�c�II�u�CED ` D v m)K3C"Ã�m9I7Q ® ¤�° D�m�l a-`ba5v#` c Q ® U}Q ® �

ú ú

Page 45: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

¿Ùþ^ø����<øWô��àç�# ?�-�/þ�úFòÛø0� �?òÛô�þ�ú©���^ù\ù<ô�ú\û þ�úM�-�/þ��nù��?ò��A���?òÛø÷ô�� õ÷ù����� ü��õ��ö\ú\ôÏ&ö��$ç89� � ù(þ�ô�úÛò��� ô � ��òFü\þ�ö\û�ü�òÛü�?�/þ�ú � ô òÛô�þ�ú\õ7�^ø���òÛü� ø0��� � �/øGõ÷ü\þ�ö� � �"8��/ø��/ô�õ��?����öfòFô�þ^ú��5���Jþ�ø0�

�:ò÷ò����nùfòÛô�ú\ûqòFþqÿkô � �/úïòFü3���ã�Jö\ø½òÛü�/ø��åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Ë¡:R²¡:

hC i�;=<�° CHD `ba I�m)KC ` l�CHczl�|RI�l�I�K ` czILÐ�CHK `Ra I¡à%| v KTI�^ ì * m�l�| C"s#I v K

s�CHD `�v KTl�I v Kos c v K _ K�� ` ceCHG�C v |�c _#`�v#` C _ K `ba I�K�O¼° 6 ì S�CED v l _�³ à¡|RI ` I ³ I ` ceC"l�Dðà v l�Iv Kos ì O c ¶ 6 c ¥¡SYU ì OJ¶ 6 ¥¡SY< _ c v |H|�¶ 6 ¥-¤�° L�m ` c a5v D�K _ ­Tu I�s?à _ CHK `��hCHCXi�;=<+° U ^ ì CHD * m�l�| C"s#I v K©s�CHD `�v KTl�I v KTs

c Q�U Þ Ú'Q�Ú«³¡ObQoS< _ cYD _�³ I%D�m)C `�v L�| Ntl a5_ DgI�Kw³ `ba I0KÌO¼° 6 ì S¡CHD v l _�³ à¡|RI ` I ³ I ` ceC"l%Dðà v l�I v Kos ì O c Q 6 c > Sr[ì ORQ 6 > SY< _ c v |H|çQ 6 > ¤R° L�m ` c a5v D�K _ ­TuJI�s,à _ CHK `���Û�pö<õ��PòÛü���/þ�úÛòFø����?òÛô�þ�ú�����ù\ù\ô�ú\ûEòÛü�/þ^ø���� òÛþ�õ÷ü\þ#ÿ�òÛü�:ò?�EÿZô � �,����^õ÷õ�þ � � ô��X´

�H�/ø0�/úÛòÛô�� ���Ï&ö��òFô�þ^ú\õY� �?òFö� ���(� ü���*����õ÷þ ��ö^òFô�þ^ú�T�Û�põ#ü�����5����þ�þ���ô�ú\û!�:ò?��Ï�ö�:òÛô�þ�ú\õþ��6òÛü��� þ�ø��

> ~ U2>fObQ 6 > S�²å�ö\øt$\øWõ`ò� põ÷ô�dù��1�\öfò ô��nù(þ�ø½ò��^úÛò� pø0�/õ÷ö3� ò ô�õYòFü��òvòÛü\ô�õ�ù\øWþ ������ þ�ú � ô����/ø0�/úÛòÛô�� ���Ï�ö�:òÛô�þ�ú\õ,����úÌ�5�EòÛö\øWú� � ô�úFòÛþ��dù\ø÷þ������ þ�úiô�úÛò��/û^ø�������Ï�ö�:òÛô�þ�ú\õ��ÕL¬&¸«¸«´ ¡�Ë¡:ã¿¡:�;=<�>-@ Z B CHD1l _ K ` CHK3m _ mJD�^¡Q ® 6 > ® ¤ v Kos�@�¬ûp `ba I�K `ba I< _ |E| _ dPCHKF ` d _ D `�v#` I ³ I�K ` D v czI�I�Ã0m)CHG v |RI0K `��h

âYiÛÐ a I,<"m)Kol ` C _ K > @�ORQ ® VD@ 6 Q ® Ú @±S�B CHDAszCX{�I�czI�K ` C v L�|RI v KTsjD v ` CHDð­nI0D`ba I�I�Ã�m v#` C _ K > ~ ObQoS,Uû>PORQ 6 > ObQoS�Sn< _ c v |E|#Q¥¤2ObQ ® V @ 6 Q ® ÚÕ@±S `�_ FJI `Ra I�c4dPC `Ra¥`ba IL _ mJKTs v ceN�l _ KTs�C ` C _ K > ORQ ® SYU > ® �h

� iÑÐ a Ir<"m)Kol ` C _ K > @%ORQ ® V@ 6 Q ® Ú@±S7B CHD�l _ K ` CHK3m _ mJD v KTstD v#` CHDð­nI0D `ba Il _ Kos�C ` C _ K

> ORQTSYU > ® Ú �� u>fO�È 6 > O¼ÈTS�S ì È

< _ c v |H|çQ�¤ªORQ ® VÄ@ 6 Q ® Ú�@gS �³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Ë¡:RÆ¡: B3m�à#à _ D±I�>�@ Z B CHDjl _ K ` CHKm _ m)D�^TQ ® 6 >�® ¤ v KTsE@4¬Ùp �B3m�à#à _ DgIY<"m)c `ba I�c `ba*v#`7`ba I�c�ItI�u�CHD ` D v ïí¬]p1D�m�l a¯`ba*v#` ï¨@�[ Þ�v KTs

° >PORQ 6 ÈTSoVª>fObQ 6 É*S ° ºÙï ° È1VÒÉ ° Ö< _ c v |E|ùÈ 6 ÉA¤ÛObQ ® V¥@ 6 Q ® Ú¥@±S � Ð a I0K `ba I�czI?I�u�CHD ` D v mJK3C"Ã�m�I > @TORQ ® V�@ 6 Q ® Ú¥@±SrBCHD�l _ K ` CHKm _ m)D v KTs�D v#` CHD�­nI�D `Ra I�l _ Kos�C ` C _ K

> ObQoSYU > ® Ú �� u>PO¼» 6 > O�»eS�S ì »

< _ c v |H|çQ�¤ªORQ ® VÄ@ 6 Q ® Ú�@gS �ú �

Page 46: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

��þ^ú � ô òÛô�þ�ú Ö ô�õr��� ���� � ��ÀIô�ù\õ��3ü\ô ò�ö?�/þ�ú � ô òÛô�þ�ú�Eñóò�����þ�õ����(�iø0����:ò�� � òÛþ � ô����/ø0�/úç´òFô���\ô��ô ò&� O �/þ�ú\õ÷ô � �/øUòFü�������^ú��)� ��ö�tòÛü�/þ^ø���� S �\öfò � þJ�/õ�ú\þ:ònô�dù3��� � ô��5�/ø��/úÛòFô��´�\ô���ô ò/� O �/þ^ú\õ#ô � �/ø >PORQ 6 > SYU ° > ° S �pñSú�òÛü�����\õ��/ú���qþ �Iõ÷ö3�hüA���/þ�ú � ô òFô�þ^ú � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� ���Ï�ö�:òÛô�þ�ú\õ,����úiü���3�kö\ú�"8uù����?ò�� � ù\ø÷þ^ù��/ø½òÛô��/õ��åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Ë¡:RË¡:�Ð a I�czI v czI v K�CHK�­TKC ` N _ <4s�CX{�I0c�I�K ` D _ | m ` C _ KD `�_�`Ra I�I�Ã0m v#` C _ K

> ~ UxÓ > Z Z ½dPC `bag> Oqp�SYUxp �

6�ü������?òFö\ø��/ø!���^ú«ú\þ:ò��5����øpòFþÊ��?ò�òÛü�qòÛþ^ù\ô�nû�þÌ��òkòFü\ô�õkùuþ^ô�úFò��\öfòkòÛü�nø��/õ`òþ��GòÛü\ô�õnõ����?òÛô�þ�ú�ô�õnü�����uô��� õ`ò��^ø÷ø�� � �]� õnô ò�õ=ò���ú � õ�6pü�/þ�ø0��� Þ � � ú ô�õnú<þ:òÊÏ�ö\ô ò��ù(þ#ÿ��/ø0�Jö�f�/ú\þ�ö\û^ü-�Jþ�øqù\ø0� �?òFô�����Vù\ö\ø÷ù(þ�õ��/õ��1����ø0���Jö�uòFü<þ^ö\û�üFò� ÿZô òÛü\þ^öfòqòÛü�ïú��� ��Jþ^ø�ú�?ÿ ô � ���^õrõ÷ü\þ#ÿZõVòFü��òkô ò����^úÌ�5���08&ò��/ú � � � òFþqòÛü��� þ ����þ#ÿZô�ú\ûnø0�/õ#ö� ò��³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Ë¡:RÑ¡:=B3m�à#à _ DgI�>A@ Z B CHD v l _ K ` CHK3m _ m)Df<"m)KTl ` C _ KAD v#` CHD�<"NçCHK3F `ba I< _ |E| _ dPCHKFÌl _ Kos�C ` C _ K � Ð a I�c�ItI�u�CHD ` D v ïÂ@ � p 6 ¿ÛSYB D�m�l a-`ba5v#`

° >fObQ 6 ÈoSTVÛ>PORQ 6 É5S ° ºWï©Od-�S ° È1V«É °d a I�KTI�GJI0c ° Q ° 6 ° È ° 6 ° É ° º - � Ð a I�KWF�CHGJI�K v K3N2ObQ ® 6 > ® SѤ Z d?IÑl v K}­TKos v@)ObQ ® 6 > ® Sn¬2p�D�m�l a'`Ra5v#`n`ba I�c�I�I�u�CHD ` D v mJK3C"Ã�m�I�s�CX{�I�czI�K ` C v L�|RIr<"m)KTl ` C _ K > @%ORQ ® V@ 6 Q ® Ú¤@±S�B d a C"l a D v#` CEDð­nI�D `ba I�I�Ã�m v ` C _ K > ~&ORQTS�Uê>PORQ 6 > ORQTS0S�< _ c v |E|5Q¾¤ORQ ® VÄ@ 6 Q ® ÚÄ@±S `�_ FJI `ba I�c�dPC `ba-`ba I�L _ m)KTs v c�N�l _ Kos�C ` C _ K > ORQ ® SYU > ® �

6�ü�/þ�ø0��� Þ � ����ò������õLö\õ�òÛü�:òGòFü�rö<ú � �/ø��*�/ø=�ïÿZô � �?�/þ�ú � ô òÛô�þ�ú\õ�òÛü� � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� ���Ï�ö�:òÛô�þ�ú�ü��õ�� | _ l v |%D _ | m ` C _ K òFü\ø÷þ^ö\û�ü���� �hü ORQ ® 6 > ® S �/`tþJ�/õnô ò�ü3���3�Ê� FJ| _ L v |D _ | m ` C _ K ¦òÛü�:ò ô�õ� Y���^ú ÿ���$\ú � � õ#þ���öfòFô�þ^ú¯�Jþ^øEòFü����Ï�ö�:òÛô�þ�ú > ~ ObQoS�U >fObQ 6 > ObQoS�Sÿkü\ô�3üiô�õ � ��$\ú� � � þ�ø�� ��� Q�¤ �

�Û��$\ú\ô�õ÷üiþ^ö\ø � ô�õ��/ö\õ÷õ÷ô�þ^úÌ��� õ÷ü\þ#ÿZô�ú\ûqòFü��òpòÛü��Ï�ö�/õ`òÛô�þ�úiô�õ�ú\þ�úç´=òÛøWô(�uô����³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Ë¡: Ò :=B3m�à#à _ DgI�>A@ Z B CHD v l _ K ` CHK3m _ m)Df<"m)KTl ` C _ KAD v#` CHD�<"NçCHK3F `ba I< _ |E| _ dPCHKFÌl _ Kos�C ` C _ K � Ð a I�c�ItI�u�CHD ` D v ïÂ@ � p 6 ¿ÛSYB D�m�l a-`ba5v#`

° >fObQ 6 ÈoSTVÛ>PORQ 6 É5S ° ºWï©Od-�S ° È1V«É °< _ c v |E| ° Q ° º - v Kos v |H|$È v KTs1É � Ð a I�K�F�CHGJI�K v K3N�ORQ ® 6 > ® Sn¤ Z d?I�l v K�­TKTs vm)KC"Ã�m�I > @ B d a C"l a CHD?CHDts�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RI v KTs�D v#` CHDð­7I�D `ba I�I�Ã0m v#` C _ K > ~ ObQTSPU>fObQ 6 > ObQoS�SY< _ c v |E|çQ�¤ `�_ FJI `ba I�c�dPC `ba¯`ba ItL _ m)Kos v ceN�l _ KTs�C ` C _ K > ObQ ® SPU > ®åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Ë¡:RÊ¡:�;=<�>fObQ 6 > SYU Þ Ú > Z `ba I�K

° >PORQ 6 ÈTSoVª>fObQ 6 É5S ° º2\�- ° È1VÒÉ °d a I�KTI�GJI0c ° È ° 6 ° É ° º�- ��ôt_ d,I�GJI�ce^ `ba I�czI!s _ I�D?K _#` I�u�CHD `fv s�CX{�I�c�I0K ` C v L�|RI¡<"m)Kol ` C _ K> @ B dfC `bag> ~ U2>PORQ 6 > SY< _ c v |H|gQ �

ú �

Page 47: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

æw¹ ¤ î¦�t�ï�¦¥÷ íË J ��Î���È÷���

O 6�ü���/þ�úFò��/úÛòFõ�þ �6òFü\ô�õ�õ����?òÛô�þ�úÌ�^ø�������¦õ=ò���øWø�� � Sñ úÌ�/þ^ö\ø÷õ���� Þ \ �<þ�öiõ��#ÿ�ü\þ#ÿ òFþnõ÷þ��(�3�pòFü� � ô�5�/ø��/úFòÛô�� ����Ï�ö��òFô�þ^ú

> ~ ~ Ú}¢�ORQTS > ~ ÚÛÒçORQTS > U2>PORQTS Ok§ Sõ÷ö� Á ���?òdòÛþ»òÛü�A�/þ�ú � ô òÛô�þ�ú\õ > O=p SjU > O Þ SjUêp ��� ö\õ÷ô�ú\û òÛü��Okø0���/ú3.�õ��Jö\ú�?òÛô�þ�ú�6pü�/ø��Lô�õ�ú\þ � þ^ö�^òUô�úròFü�Uù\ø0�/õ��/úÛò��^öfòÛü\þ�ø0.�õ¡�nô�ú � òÛü�:ò�òÛü�7+�ù\ü��õ÷ô�/ô�õ`ò�.�õ%�^ù\ù\ø÷þ�� �3ü.ö\õ÷ô�ú\û ô�dù\ö��õ��/õ� � ��� ò��Ì� ö\ú3�?òFô�þ^ú\õ���ú � ü�^ú � ´=ÿ����ô�ú\ûiô�õEòÛü���nþ^õ`ò ô��nù(þ�ø½ò��^úÛò��Jþ�øòFü�Uõ`òÛö � �/úÛòbòÛþ����^õ`ò��/ø0�nÞ þhÿ��"�3�/ø� �ô òn� �� õ(òFþYþ�ö\ø¡�/þ^ú$ � �/ú���Lô�úròÛü�Lü��ú � ´=ÿ����ô�ú\û�^ù\ù<øWþ ���3üïòFþnõ����EòÛü�:òZô òÛõ�ø��/õ÷ö� òÛõ,����úÌ�5���/þ^ú3$\ø0��� � øWô�û^þ�ö\øWþ�ö\õ��(�#��Û��õ`ò��^ø`ò!���-��þ�þ �&ô�ú\û��:òZõ÷þ���öfòFô�þ^ú\õrþ��

> ~ ~ Ú}¢�ORQTS > ~ ÚÛÒgObQoS > Uxp O6§¨§ Så��\õ��/øq�3��$\ø÷õ`òEòFü��òUòÛü�tø0�/õ#ö� òÛõEþ��\òÛü������õ`ò�õ����?òFô�þ^ú þ�úvòÛü���"8uô�õ`ò��/ú���tþ��Iõ÷þ ��öfòÛô�þ�ú\õþ�� � ô��5�/ø��/úÛòFô���o��Ï�ö��òFô�þ^ú\õ�����úÊ�5���"8�ò��/ú � � � òFþkòFü�,�3���?òÛþ^ø÷ô�� �o���^õ��pÿZô òÛü�þ�ú��� òFü��dþ�õ`ò��nô�ú\þ�ø*�)��øWô�:òÛô�þ�ú\õPô�ú òFü�Uù\øWþ�þ �E�n6pü�ö\õ� ��Jþ�ø¡�"89���nù���� �6�ü�/þ^ø���� Þ ��� I �"8&ò��/ú � õ�^õ?� þ ����þ#ÿZõ��³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Ñ¡:`¡*:=B3m�à#à _ DgI�>�@ ò � B � CHD v l _ K ` CHK3m _ m)D�<"m)KTl ` C _ K-D v#` CHDù�<"NçCEK3F `ba Ir< _ |E| _ dPCHKFÌl _ KTszC ` C _ K � Ð a I0c�ItI�u�CHD ` D v ïÂ@ � p 6 ¿ÛSrB D�m�l a¯`Ra5v#`

X >PORQ 6 ª1SoVª>fObQ 6  S X ºWï©Od-�S X ª V¨Â X< _ c v |H| ° Q ° º�- v Kos v |H|�ª v Kos  � Ð a I�K�F�CHGJI�K v K3N?Q ® ¤ v KTsr¥ ® ¤ � d,I�l v K­TKos v m)K3C"Ã0m�IU¥�@ B � d a C"l a CED?CHD4s�CX{�I�c�I0K ` C v L�|RI v KTs�D v#` CHDð­nI0D `ba I!I�Ã0m v#` C _ K

¥ ~ ORQTSYU2>fObQ 6 ¥¡S< _ c v |H|çQ�¤ `�_ F I `ba I�c�dfC `ba¯`ba I�L _ mJKTs v ceN�l _ KTs�C ` C _ Kµ¥�ORQ ® SYU ¥ ® �

�YõkòFü�nòFü3��ø0��� � �/øj��ú\þ#ÿZõj�Jø÷þ�� �/þ�ö\øWõ��Ê� ú O `qô��5�/ø��/úÛòFô���?�rÏ�ö�:òÛô�þ�ú\õ S ô òÙô�õ���^õ�� òÛþj�/þ�ú��3�/ø`ò4��Ï�ö�:òÛô�þ�ú O6§¨§ S ô�úÛòFþ��j�Jþ^ø��¼��ù\ù\ø÷þ^ù\ø÷ô���ò����Jþ^ø�òFü����ù\ù��ô���:òÛô�þ�úµþ��6pü�/þ�ø���� Þ ��� Þ ��ñ&�6ÿ���õ��?ò¥�U >

> ~ ��ú � >PORQ 6 ª1SYU p ÞV�¢5ObQoS V�ÒgObQoS ª¸U © ZV�ÒçObQoS © ¹oVª¢5ObQoS © Z 6

òFü�Fú¥ ~ ORQTSPUW>fObQ 6 ¥¡S�²

ú(I

Page 48: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

þYþ#ÿX >fObQ 6 ª1SoVª>fObQ 6 ÂJS X U © Z V% ZV�ÒçObQoS�O © ¹ VÄ% ¹ SoVª¢5ObQoS�O © Z VÄ% Z SºëO Þ Ú ° ¢�ORQTS ° Ú ° ÒçORQTS ° S X ª¾V� X

õ÷þqòFü��òpÿZøWô òFô�ú\û ïMOÁ-�SYU õ÷ö\ù G �� Ý N Û N ) O Þ Ú ° ¢5O�»eS ° Ú ° ÒçO�»eS ° S ÿ���ü���3�X >PORQ 6 ª1SoVª>fObQ 6  S X ºWï©Od-�S X ª V¨Â X

ÿkü�/ú3�"�3�/ø X Q ° ºýï©Od-�S �46�ü&ö\õLòFü�Fø0�vô�õYþ�ú�4��ú � þ�ú���«þ�ú�võ#þ���öfòFô�þ^ú > P ) Põ����# Pþ��O6§¨§ S ÿZô òÛü > O=p SPU2p ��ú � > ~ Oqp�SYU/] �,�¡�-��ô�ú3���^ø÷ô ò&�# > P ) U/] > ¹ ) �ÀT�?òÉö<õ�ÿZøWô ò�� > ¹ �Jþ�øpòÛü� õ#þ���öfòFô�þ^úýþ�� Ok§¨§�S ÿZô òÛü > ¹�O=p S�U¼p > ~ ¹ Oqp�S�U Þ ���}���� ���pòFü���Jþ����þhÿkô�ú\û

Ü6¬&¥¨´<¾F¾FÚb¸«Í�¯/·`©6à > ¹ O Þ S�ÜUxp#²�}�ZÿZøWô ò�� > Z � þ�øròÛü�»õ÷þ���öfòFô�þ^ú þ � O6§¨§ S ÿZô òÛü > Z O=p StUíp > ~Z Oqp�S�U Þ �Ñ6�ü�»ú�"8�ò���������^õ,��ø0���H���nô��ô�^ø,�JøWþ �ã�/þ�ö\øWõ��Fõ,� ú �^ú � � Þ p �f�}� � ��$\ú�

ª ObQoSYU > ¹ ORQTS > ~Z ORQTSoV > Z ORQTS > ~ ¹ ORQTS�²6pü���Jö\ú�?òÛô�þ�úmª ô�õ,��� ���� � òÛü��� ø÷þ^ú\õ��&ô�^ú�ÕL¬&¸«¸«´ ¡�Ñ¡:㲡:

hCXiÑÐ a I � c _ K3Dù!�C v K�CHD�s�CX{�I�c�I0K ` C v L�|RI�dfC `ba

ª ~ ObQoSYU2V�¢5ObQoS ª ORQTS�²hCHCXiÑÐ a I � c _ K3Dù!�C v K�CHD�KTI0GJI�c]«gI�c _#��Û�����^ú�ú\þ#ÿ � ��$\ú�EòFü�üOkø����/ú.�õ,�Jö\ú�?òÛô�þ�ú Cx@ Z B ���

CjO + 6 »�SPU > ¹ O + S > Z O�»eS ª O¼»eS Ý ¹ �Jþ^ø + [·»CjO + 6 »�SPU > Z O + S > ¹ O�»eS ª O¼»eS Ý ¹ �Jþ^ø »�º + �

O � ü��®õ÷ü\þ�ö� � ÿ�� � þt�^ú��®õ÷ö�3üZòÛü\ô�ú\û � ��������ö\õ��LòFü�tô�úÛòÛö\ô òÛô��*����øWû�ö���/úFòÛõEþ��o� Þ pò�����¦ö<õVòFþ � S äYõ÷ô�ú\û�Ào������� N � Þ ú ô òZô�õ?���^õq�»òÛþ��*�/øWô� � þ�ö\ø����^ô�úiø��/õ÷ö� ò��³Z£�¬&©(°�¬&¸ ¡�Ñ¡:R¿¡:�;=<�>�@ B CED�l _ K ` CHK3m _ mJD `ba I0K

> ORQTSPU¹® C�ORQ 6 © S�>fO © S ì ©

CHD ` dPC"l�Its�CX{�I0c�I�K ` C v L�|RI v KTs�D v#` CHD�­nI�D> ~ ~ Ú}¢�ORQTS > ~ ÚÛÒçORQTS > U2>PORQTS Ok§ S

`�_ F I `ba I�c�dfC `ba¯`ba I�l _ Kos�C ` C _ KD > Oqp�SYU > O Þ SPU2p �ú �

Page 49: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

O å�ö\øvù<øWþ�þ���ô�õ��3�/øq� � ô�ø����?ò���ú � ô�ú��<þ ���*�/õ�ú�/ô òFü�/ø � ô����/ø0�/úÛòÛô���òFô�þ^ú ö\ú � �/ø òFü�ô�úÛò��/û^ø����rú\þ�ø�ÀT������� N � Þ ú �¾Þ þhÿ��"�3�/ø� tô ò®ô�õÉú\þ:ò®ü�^ø � òÛþ õ����dòFü3�:ò®õ÷ö�3ü ô � ���^õÿtþ�ö� � ����ø0����"�)�^úÛòZô�úÌ�nþ^ø����/þ �dù��ô�����ò�� � õ#ô òÛö�:òÛô�þ�ú\õ�� S

�6ø÷þ�� òFü�pù(þ�ô�úÛòrþ��#�ô��?ÿ þ��5�dþ�ø0��� � �)��ú��� � ÿtþ�ø0�ròFü<ô�õ�õ÷ü\þhÿkõ�ü\þhÿ � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� �þ^ù��/ø0��òFþ�øWõ,��ô�� �

>­¬B � > U > ~ ~ ÚÛ¢5ObQoS > Ú}ÒçObQoS >���^úÌ������ô�ú��� � ÿZô òÛüÌ�5�?ò÷ò��/ø��5�/ü���3� � ô�úÛò��/û�ø0� �¦þ�ù5�/ø��:òÛþ^ø÷õ,��ô���

> ¬B c > ÿZô òÛü c >fObQoSYU¹® CjObQ 6 É5S�>PO¼É5S ì É�²

þYþ:ò��GòÛü��òUÿ��tü���*�tõ÷ü\þ#ÿZú � c >AU2> � þ�ø > �/þ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ� ��\ö^òqú\þ:ò�������õ÷þ òÛü�:ò� ô�� >ô�õ,���/ø0���(���/þ�úÛòFô�ú&ö\þ�ö\õ� � > ú��� � ú\þ�ò!�5� � ��$\ú� � ��6�ü�üO�ø����/ú.�õ��Jö\ú�?òÛô�þ�ú C ô�õ,�^ú�"89���nù����þ �¡�^úiô�úÛò��/û�ø0� ��� �/øWú����®��V¿®þ^ø����Jþ^ø���� ���(�# �ô��6ÿ��EÿZøWô ò��

c >fObQTSPU¹® ï©ObQ 6 É5S�>PO¼É5S ì É 6

òFü�Fú c ô�õ���� ����� � �^ú ô�úFò��/û�ø0� �uþ�ù5�/ø0��òÛþ^ø�ÿkô òFü�� �/øWú��� ï � O �\þ��H�^ø��^õEñr�&ú\þhÿ! �òÛü�/ø0�ô�õ�ú\þA�/þ�ú\ú���?òFô�þ^ú ÿZô òÛü»òÛü��+���/ø÷ú���.uòFü��ò��<þ�ö¯�����?ònô�ú»òÛü����ô�ú���^ø����:òÛü�����:òÛô��/õ�/þ^ö\ø÷õ��üÊ Þ � S�Û�?�/ú � ÿZô òÛüj�^új�"8�� �nù����òFþZõ÷ü\þ#ÿ òÛü�:ò�òÛü\ô�ú\û^õGø0��� ���(� � þZû^þ!�hÿkøq� ô��þ^ö<ø Ü6¬&¥

´\¾F¾FÚ�¸«Í�¯/·½©(à �H��ô���õ��åY¶¦´<¸«ÍbÁ`¬ ¡�Ñ¡:RÆ¡:�Ð a I�I�Ã�m v#` C _ K

> ~ ~ Ú ½ Z > U�Qa5v D�K _ D _ | m ` C _ K�D v ` CHDð<"NçCHKF > Oqp�SYU > O Þ SPU2p �¯ �k73+-;�735�;=)�*�D�*?Q�Q739=B�+�@0Dt;`)�@A+I.A1:+=;�o�1:9=13X:9=1:o�)t1:9=*VQu*W.A.&Qu7:9=;=)tB�9=7:o�o�@AD�Xf_° 7:4tTG4�+-;�.0@A*�1:TE7:D�XE;=)�*VB�1:@A+-@A*?+I1:D�BtB�@0+=>?7:4�9=+-*�@ADtD�7#s:*?.�o�)�9=13+-*?+I7:5�,:734�9�>W73TE�

o�.0@0>?1:;`*WBY+-;`1:;=*V7:5�TE@AD�B)ù'�)�*�TE*?1:D�@0D�X�B�7F*?+-D)h ;<TE1:;`;=*?9(@A5^@0;ùh +(73D�.A,L@AB�.A*I>N)�1:;=;=*?967:5^1�;`9=1:D�+->?*?D�B�*?DF;=13.{cF@AD�B __�D�BY*?s:*?9=,:7:D�*�Q�@A.0.&+=1#,�ù_�+I,37:4tQu1:. cr,:7:4�9ITG,/+-;`@0>�Qu1#,�ùY aJ5�;=)�@A+I,:7:4�D�XETE1:Dt*?[Fo�9=*?+-+=*?+I)�@0TE+=*?.05�@ADt;=*?9=TE+�;=7F7EB�*?*WoY58739ITE*f )/,�ù3Q�)�1:;61�s:*?9=,L+-@AD�X34�.A1:9=.0,LB�*W*?op,37:4�D�X�TE1:Dp;`)�@A+(B�*W*?op,37:4�D�X�TE1:DpTG4�+-;62^*t��h

ú N

Page 50: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

æ Ï IKJ î�� è �ïî î���Æ ê ÈÛ��L�\ô�ú3���nú�?ÿ¤ô�úFòÛø÷þ � ö�?òÛô�þ�ú\õ�òFþÊ��ú���(�uõ#ô�õZù(þ�ö\økþ��®òÛü�nù\ø÷ô�úÛòÛô�ú\û�ù\ø��/õ÷õ��/õZô�ú'��ú ö\úç´�/ú � ô�ú\ûtòFþ�øWø��/úÛò� ¦ô ò!�����»ÿ�������5���?�-�H�^ö� òpòFü3�:òkñ7����úiú\þ:òkø����/þ �����/ú � þ^ú���(þ�þ��òFþ1�/þ��*�/ø�òFü3��ÿZü\þ ���4�/þ^ö<øWõ������\ù\ô(�)� � .�õ v |Rl�m�| mJD �(���¡�^ú �²± �T�,�T�Eö\ø���ô����.�õ â � CHc�D ` _ m)ceDgIrCEK�W v `ba I ³Av#` C"l v |±â�K v | NçD�CHD � Ó �)�^ø��n�(þ�òFüt�"89��������/úÛòpô�úÛòFø÷þ � ö�?òFô�þ^ú\õuòFþ��^ú� ��´�õ÷ô�õ��<öfòiþ�ú��� � �����Pÿkô òFüÙòÛü� ø���������ô�ú�A�^ú � ú\þ�òïÿZô òÛü � � ± �������Eö\ø0��ô�����^ú �Þ��o�Uö\ø���ô����.�õ âËBTI�l _ KTs\ _ mJc�DgI�CHK�W v#`ba I ³Ìv#` C"l v |â�K v | NçD�CHD � ú �Iô�õ�����õ÷þ û�þ&þ � �\öfòø0��òFü3�/økþ � � �H��õ÷ü\ô�þ�ú� � � O å����/þ^ö\ø÷õ��� bòFü<ô�õZü��õZú\þ�òFü\ô�ú\ûnòFþ � þnÿkô òFü�òFü�j��öfòFü<þ^ø÷õ�.��ú\þ#ÿ!�� � û �1�\öfòA�®û�ø0����ò � �����bòÛþ � þÉÿkô òFü®ÿkü��ò�ÿ��^õYòFü�/ú®òFü\þ�ö\û^üÛò�òFü���^ù\ù\ø÷þ�´ù\øWô�:ò����/þ�úÛò��/úÛò-� þ�ø1�ýõ����/þ�ú � �/þ�ö\øWõ���� S `qô��/ö � þ�ú\ú����.�õ³� _ m)Kos v#` C _ K3D _ <�W _ s I�c�Kâ�K v | NçD�CHD ��� �Vô�õ�õ÷ö\ù5�/ø��-�\öfòqÿZøWô òWò��/ú-��� õ÷þ ���/þ�ú�YÿZü\þ ú�/ô òÛü�/ø���ú�?ÿ ú\þ^ø�����ø0� �ÿkü��òÉþ:òÛü�/øWõ�òFü\þ�ö\û^üÛòkÿ��^õ�òFü�j�^ù\ù\ø÷þ^ù\ø÷ô���ò��j�/þ^úÛò��/úÛò��Jþ^ø!��õ����/þ^ú � �/þ^ö\ø÷õ�� ¹ ® ���õ÷ö\ô ò�� ������/þ��nù\øWþ �dô�õ��tô�õEø0��� �3ü� � ô�ú�¿���øWõ � �/ú1��ú � ÞYþ�������ú.�õ * |RI ³ I�K `�v ceNR �| v Dù�D�C"l v |gâ�K v | NçD�CHD � I ��76�ü\ô�õf�/þ��*�/øWõuòÛü�n���:ò��/øWô��� þ�út��ö� òÛô � ô���/ú\õ#ô�þ�ú���)��� ���/ö��ö\õ5�*�/ø=���������ø0�(�}�^ú � ô�õvù\øWþ �����(��òFü���(þ�þ �»òÛü�:ò��dþ�õ`ò»õ=òFö � �/úÛòÛõrÿkô���7$\ú � �dþ�õ`ò»ö\õ����Jö��¿�� ����õ÷ö\ø��EòÛü�:ò,�<þ�ö\ø��/þ ����/û�����ô��<ø0��ø=� ü�^õ?���/þ�ù��Ùþ �6òFü��õ����/þ�ú � � � ô òFô�þ^ú�

6�ü�!����ò��/ø÷ô�� ��þ�úÊ���?òÛøWô��õ#ù�����/õrô�õ?�/þ��3�/ø�� � ô�úÊ�\öfòÛü�/ø0��^ú � .�õ ;0K ` c _ szm�l ` C _ K `�_W¥I ` c�C"l v KTs}Ð _ à _ | _ F�C"l v |�Bçà v l�I�D � N ��ÿZü\ô��3üýô�õrÿqþ^ø��J����ú��ô���ZòFü\þ�ö\û^ü¥���\ô ò � ö����O å�ú3������ú���(�&òÛô��ÉòÛþ^ùuþ���þ^ûz� ô�õ � �?ò����3ü� � �JøWþ � ô òÛõ��^ù\ù��ô�����òFô�þ^ú\õ ô ò»ò�� ���/õ����*�/ø=�û^ô�0ò�� � ÿZøWô ò��/øVòFþ������ ��ô ò��"8��Fô òÛô�ú\û � S

ñVÿtþ�ö� � �5�vû ��� � òÛþÉü����øYþ���þ�òFü�/øYõ÷ö\û�û��/õ=òFô�þ^ú\õ�� þ�øYõ÷ö\ô ò�� ����4�uþ&þ ��õ��4�û�/þ ��´ù���?ò����(�ýö\ú\õ#ö\ô ò��������\öfòdô�úÛò��/ø��/õ`òFô�ú\û4�*�/øWõ#ô�þ�ú þ���òÛü�ïõ`ò���ú � ��ø � ��ú���(�uõ#ô�õ��/þ�ö\øWõ��ïô�õû^ô(�3�/új���A���/ø0��ô�ú\õ��&ô.�õ âÂÐ _ m)c _ < `ba I= v |Rl�m9| m)D � Þ �'´ �\ù\ô�������ø��?ÿkø÷ô ò÷ò��/ú����A�fò��/øWú�ÿkô òFüÌ� �� ô òFô�þ^ú� �¦ù\ö\ø÷ù����ù3�^õ÷õ���û��/õ?���»òÛü���Yú�&üç´�¿®þ^ø÷ù(þ�ø0�ZòFþ�ö\ø÷ô�õ`ò��(þ �^ø � �

� ��Ë��ïî¦�d��Î��d 

� Þ �ü`������/ø���ô�ú\õ���ô âêÐ _ mJc _ < `ba Ig v |Rl0m�| m)D ¿��^ú � �^ø÷ô�úRÊf�^ù5�/ø�����e��õ Þ�N$N I �� \ ��è��wÊ9���Eþ �^õ <TC _ K ô m)K ` CHKF v KTs h `ba I�c¨W v#`ba I ³Av#` C"l v |�UYm)ceD�mJC ` D]O � � ô òFþ�øWõ

O!��Ào�)�����"89�^ú � �/ø%�^ú � `���Þ��P¿®ö\û ���/ø S '`tþ ���/ô�^ú\ô���8ù(þ�õ÷ô òFô�þ^ú\õ� !�rþ � Þ �� '¿����� Þ�N$N ���

� Ó � ± ���,���Eö\ø��&ô��� â � CHceD ` _ m)ceDgI�CHKCW v#`ba I ³Ìv#` C"l v |�â�K v | NçD�CHD �,ä1Ê� Þ�N � \ �� ú � ± �������Eö\ø��&ô������ú � Þ����Eö\ø0��ô��� â¤BoI�l _ KTs� _ m)ceDgI,CHK�W v#`ba I ³Av#` C"l v |Jâ�K v | NçD�CHD

�,ä1Ê9 Þ�N I p �ø¶µ K¦731:+bD�7:;=*?+b;`)�13;<Y '�)�*?9-*�@0+I1p;=*?+=;I587:9I@0B�*?DF;`@05R,F@0D�Xp+-73TE*�7:5�;=)�*�5R4�;`4�9=*�o�9-7358*?+=+-@A7:D�1:.�TE1:;=)��

*?TE1:;=@A>W@A1:D�+r1:;�1:D *?1:9=.0, 1:X:*/_i'�)�*?+-*�139-*q+-;`4�B�*?DF;=+rQ¦)�7ï@0D�+-;`1:DF;`.0, >?7:TEo�9=*?)�*?D�B 1ï+-*?D/;=*?D�>?*2^*?X:@0D�D�@0D�X·`�w *?;b¸ 2^*P1:DY7:9=B�*?9-*?B0¹F4�@0DF;`4�o�.0*pO»º�¼¾½¿¼»À{¼-Á�¼»Â�] Q�)�*?9=*Ã[-[-[AhA_�'�)�*W,�139=*V*?s:*?DYTE7:9=*o�9=7:TE@0+=@0D�XE@05 ;=)�*W,r13B�B)ù�Y auD�*?s:*W9�9=*?1:.0.A,r4�D�B�*?9=+-;`7F7FBY@0;�2^*?58739=*F_ aÆh�OÁ� |��&o�1:X:*?|(¡$�3_0]

� p

Page 51: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�(��� ± �9`tô�/ö � þ�ú\ú���]� _ m)Kos v#` C _ K3D _ <VW _ s#I�ceK�â�K v | NçD�CED ������ � ���nô��üÊGø0�/õ#õ� Þ�N � p ��(���üO!�3Þ��3Þ���ø � � âk _ m)ceDgI _ <®UYm)czI�W v#`ba I ³Ìv#` C"l�D *�,ä2Ê9 Þ�N p ��� O �fòÛô���3�����^ô��� ����

ô�úiô òFõ Þ p òÛüÌ� � ô òÛô�þ^ú� S� I � ± �%�r� ¿��^ø÷õ � �/ú-��ú � ¿�� ± �fÞYþ�������ú * |RI ³ I0K `�v ceN« �| v D�D�C"l v |5â�K v | NçD�CHD¯Oq\ ú �

� � ô òFô�þ^ú S )� ��Þ��9�6ø���������ú �þ��?ÿxárþ^ø��  Þ�N(N Ó ��(���ü¿����\ù\ô(�)� �  v |Rl�m�| mJD � �� ô�õ÷þ^úç´��Û�/õ���"��� ���/ú Á ���nô�úç´���ö���nô�ú\û^õ� Þ�N � I �� N ��� �������\öfòÛü�/ø0��^ú � ;0K ` c _ szm�l ` C _ K `�_ WkI ` ceC"l v KTs-Ð _ à _ | _ F�C"l v |PBçà v l�I�D �å�ä1Ê9

Þ�N I ���� Þ p ���3�)�Û�^û�þ^ú Ð a I � v K v l a�� Ð v ceD�!�C U v c v s _ u ��,ä1Ê9 Þ�N$N Ó �� Þ�Þ ���r�56��#�Åü\ô òWò�� ���/ø7�^ú � O!�*þ��#�}��òFõ#þ^ú â _ m)ceDgI _ <ãW _ s#I0c�KÌâ�K v | NçD�CHD ��ä1Ê9

Þ�N p \�O �fòÛô�������)�^ô��� ����kô�úiô òFõ ú òFüÌ� � ô òFô�þ^ú3� S

� Þ

Page 52: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

æwõ I ÈÛî� (�ÅÄ è �t�Y� �ÊËÇÆÛÇ �ïîYÎ?ÈÛ u�ï 

ñuü���*�¦òFø÷ô�� � òFþrù\øWþ � ö��� Þ \ ø��:òÛü�/ø�ø÷þ^öfòÛô�ú�YÏ�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õo�Jþ^øo�����3ükõ÷ü���?ò��7� ú����Jö\ø½òÛü�/øÏ�ö�/õ`òFô�þ^ú\õ��^ø����Jþ�øÉô�úÛò��/ø��/õ`ò þ^ú�(�#�ë���4�<ô òÛô�þ�ö\õ»õ`òÛö � �/úÛòFõ��^ú � òFü�/ô�ø»õ÷ö\ù5�/øq�uô�õ÷þ�øWõõ÷ü\þ�ö� � ��þ&þ �1�:ò�6�øWô�ù(þ^õ?Ï&ö3�/õ`òFô�þ^ú\õ�òFþnõ÷ö\ù\ù������/úÛòpòÛü\ô�õ?������û^ø����H�^ø����

È ¡�Ê¡:½¡5:�O �Û� ÿtþ�ø0�ýÿkô òFü¨òFü� õ�������ô � ���^õÊ��õiô�ú]��89���nù��� Þ � Þ � S O ô S �Vô�ú � �� ô����/ø0�/úÛòÛô�� ������Jö\ú�?òÛô�þ�ú > @ B õ÷ö�3ü®òÛü�:ò > ~ ORQTS�U Þ � þ�ø����� QW¤ �\öfò>fOqp�Sr¬x>PO Þ S �

O ô�ô S ñ&�&ÿ�� � ��$\ú� ³1@ B ��� ³¡ObQoSYUýObQ Z V�\ S�Ý Z õ÷ü\þ#ÿ òFü��ò ³ ô�õY�/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ�\öfòkö<ú �uþ^ö\ú � � � þ�ú� Q�¤ @ ° Q ° ºW\ � �È ¡�Ê¡:ã²%: ñSú � ö�/õ`òÛô�þ�ú Þ � � Ó �5����þ#ÿ¾�<þ�ö��^ø��t��õ���� � òFþ ù\øWþ��*�tÀo������� \ � Þ ���ÏøWô ò���dù��ø0��û^ø��^ù<üiþ^úÌ��� �3üiþ��6òFü3��� þ ����þ#ÿZô�ú\ûnõ÷ö� Á ���?òÛõ��

O ô S �Ïþ^ö� � ô ò�ü���*���5���/úA�5�?ò÷ò��/ø��Jþ^ø�òÛü������?òFö\ø��/ø�òFþïù\ø÷þ��*��Ào������� \ � Þ ø��:òÛü�/øòFü��úÌ�������3��ô òpòÛþ��6þ^ö3�%�Åü�� �

O ô�ô S �Åü��ò��5�/ú��$fò� uô�����ú��# � þ?�6þ^ö1�"8ù5���?òLòÛþ � �/øWô(�3���JøWþ � � þ�ô�ú\û4Ào������� \ � Þ �Okô��*��ø0����õ÷þ^ú<õ��

O ô�ô�ô S �Åü�:ò ô�õYòFü���5�/õ`ò�ÿ����Ïþ��?�^ù\ù\ø÷þ�� �3ü\ô�ú\û � ö�/õ=òFô�þ^ú Þ � � Þ ���<þ�øt�"89���nù���õ÷ü\þ�ö� � �6þ^ö���þ&þ �A�:ò��<þ�ö\ørú\þ�ò��/õ�� ø÷þ��»����õ`ò?�*���^ø��5���Jþ�ø0����òWò����e��ô�ú\ûkòFü��Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú ��\ü\þ�ö� � �6þ^öÌ��þ&þ �1�:ò,�<þ�ö\øpú<þ:ò��/õ,�JøWþ �ã��^õ`ò,�3����ø,���0ò��/ø,�:ò÷ò����e��ô�ú\ûqòFü��Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú �È ¡�Ê¡:ã¿%: Ê�ø÷þ��*��Ào������� \ � Þ O ø0�/õ`ò��:ò�� � �5����þ#ÿý� þ�øf�<þ�ö\ø��/þ�ú��*�/ú\ô�/ú��� S

O ô S 6pü����ô��nô ònô�õqö\ú\ôÏ�ö���j6pü��òdô�õ� �ô�� ¢±£ÌB ¢ ��ú � ¢±£ÌB Ò ��õ ¦ B ¿ òFü�/ú¢�UWÒ �

O ô�ô S ñ&� ¢g£ÌB ¢ �^õ ¦ B ¿ �^ú � ¦ O Þ S�[ ¦ Oq\�S�[ ¦ OqÓ�S*²�²�² òÛü�/ú ¢g£�ÔÖÕ�×YB ¢ �^õØ B ¿ �

O ô�ô�ô S ñ&� ¢g£4U w � þ�ø,���� ¦ òÛü�/ú ¢±£�B w �^õ ¦ B ¿ �O ô�� S ñ&� ¢±£�B ¢ ��ú � Ò/£�B Ò �^õ ¦ B ¿ òFü�/ú ¢g£�Ú}Ò"£�B ¢�ÚÛÒ �O � S ñ&� ¢g£tB ¢ �^ú � Ò"£tB Ò ��õ ¦ B ¿ òÛü�/ú ¢±£)Ò/£�B ¢ Ò �O �ô S ñ&� ¢±£�B ¢ ��õ ¦ B ¿ ��ú � ¢±£ÌÜUxp � þ�ø,�����3ü ¦ ¢AÜUxp òFü�/ú ¢)Ý ¹£ B ¢JÝ ¹ �O �ô�ô S ñ/� ¢ £ ºÙ· �Jþ�ø���� �hü ¦ ��ú � ¢ £ B ¢ ��õ ¦ B ¿ òÛü�/ú ¢tºW· �

È ¡�Ê¡:ãÆ%: Ê�ø÷þ��*��Ào������� \ � \ ÿkü\ô�3ü õ`ò��:ò��/õ�òFü��ò�� � ���/ø����^õ÷ô�ú\û�õ���Ï�ö�/ú��� þ��Eø0��� �ú�ö�4�5�/ø÷õ,�(þ�ö\ú � � � �5����þ#ÿ ò��/ú � õVòÛþ�����ô��nô ò��È ¡�Ê¡:ãË%:�O ô S ñ/� ¢gÕ ô�õ4��ô�úÛò��/û �/ø�ÿkô òFü p�ºÂ¢±Õ�º N õ÷ü\þ#ÿ <"c _�³ `ba I�<"mJKTs v�³ I�K `�v |v u�C _�³ òFü��ò

"ÕM# ¹ ¢±Õ Þ p Ý

Õ

� \

Page 53: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�"8ô�õ`òÛõ����\ü\þ#ÿ òÛü�:ò p4º "ÕM# ¹ ¢±Õ Þ p#Ý Õ º Þ ���^ø����Jö���(�-Ï�ö\þ:òÛô�ú\û��^ú�� òFü�/þ�ø0���nõ�òFü��ò�<þ�öiö\õ����

O ô�ô S ñ&� ptºªQ¯º Þ õ÷ü<þ#ÿ òFü��òrÿ��!����úÊ$\ú � ô�úÛò��/û �/øWõ Q5Õ ÿZô òÛü ptºªQ�Õ,º N õ÷ö3�hüòFü��ò

Q�U "ÕM# ¹ Q�Õ Þ p Ý

Õ ²

�Åü��òkô�dùuþ^ø`ò���úFò � ���/ùiø��/õ÷ö� ò � þ��<þ�öiö\õ�� �O ô�ô�ô S ñ/� ¢±Õ �^ú � Ò"Õ ��ø0��ô�úÛò��/û��/ø÷õGÿZô òÛü pjºý¢±Õ 6 Ò"Õ�º N �^ú � ¢±Õ�UßÒ"Õ �Jþ^ø Ø [ �

¢ � ¬xÒ � õ÷ü\þ#ÿ òFü3�:ò"Õ?# ¹ ¢gÕ Þ p Ý

Õ § "ÕM# ¹ Ò"Õ Þ p Ý

Õ ²

Okô��*�UòÛü��ù\ø0���/ô�õ���ú�����/õ÷õ���ø=�-�^ú � õ÷ö���/ô��/úÛò!�/þ�ú � ô òÛô�þ�úÌ� þ�ø���Ï�ö����ô ò/����ú � ù\øWþ��3��ô ò��È ¡�Ê¡:ãÑ%:�O ô S Ào�?òZö\õVÿZøWô ò��

� £4U£

� # ®Þ� ²

�\ü\þ#ÿ� ��JøWþ � $\øWõ`ò�ù\ø÷ô�ú3�/ô�ù��/õ� �òFü��ò � £ �/þ^ú��*�/øWû �/õtòÛþ¯�¯��ô�nô ò O ÿkü\ô�hü3 �ÿkô òFü òFü��5�/ú��$fòZþ��¡�"8�òFø�����ú\þhÿ!�� � û��� �ÿ������ ���/É S �

O ô�ô S �<ü\þ#ÿ òÛü��ò� �ô�� ¦'§ \ �^ú � � § p òÛü�/ú¦

O ¦ Úú�)S ºÞÓ � ²

`�� � ö��������ø0���Jö����»òÛü�:ò� ¦ô� ��§}¦k§ \ p!º ¦ O � �¥V � £JSYº Þ

\ ²�^ú � òÛü��ò

p�[ ¦ O É V � £ Srº Þ\ ²

`�� � ö���LòFü��ò ¦ ÊÉtô�õUú\þ:ò���ú»ô�úÛò��/û��/øn�Jþ^øn�^ú�� ¦ ��ú � �/þ^ú����ö � �GòÛü�:ò]Étô�õUô�øWø��:òÛô�þ�ú����O ô�ô�ô S �\ü\þ#ÿ�õ÷ô�dô����ø0�(�»òFü��ò "

� # ®Þ

O=\��)S ô�õrô�ø÷ø0��òFô�þ^ú� ���

� Ó

Page 54: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ¡�Ê¡: Ò : ñSú�òÛü\ô�õtÏ&ö�/õ=òFô�þ^úÊ�6þ^ö õ÷ü\þ^ö� � �H�����7� ø����kòÛþ®ö\õ����^ú�� ø��/õ÷ö� òFõ?�6þ^öÑ�&ú\þhÿO ù\ø÷þ��ô � � � �<þ�öÌÏ&ö\þ�ò��EòFü���¨�/þ^ø÷ø0���?ò���� S �

O ô S �¡�Éö\õ÷ô�ú\ûLòFü�n������ú��)����ö�bòFü3�/þ^ø����� �õ#ü\þ#ÿ òÛü��ò O Þ Ú!Q%Ý ¹ SË� ô�õ%�^ú�ô�ú�/ø����^õ÷ô�ú\û�Jö\ú�?òFô�þ^úiþ � Q �Jþ^ø Q § p �

O ô�ô S �<ü\þ#ÿ òÛü��ò O Þ Ú ¦ Ý ¹ S £ ò��/ú � õVòÛþ���ô��nô ò´ï���õ ¦ B ¿ �O ô�ô�ô S �\ü\þ#ÿ òFü3�:ò� ¦ô� ¦'§¤�

É § Þ Ú Þ¦

£§ �� # ®

¦� ¦ ÝR� ²

`�� � ö���EòÛü��òÉ § ï § �

� # ®Þ� 6

�^ú � �Fþ^ú����ö � �EòFü��òÞ Ú Þ

¦£B É

�^õ ¦ B ¿ �O ô�� S �Yõ÷õ÷ö�nô�ú\ûqòFü��6¡���9��þ�ø,�"8uù��ú\õ÷ô�þ^úÌ�Jþ^ø?É G õ÷ü\þ#ÿ òÛü�:ò

Þ Ú »¦

£B É G

�^õ ¦ B ¿ �Jþ^ø,���� »�¬]p �O � S �\ü\þhÿ òÛü�:ò

Þ V Þ Ú » Z¦ Z

£B p

�^ú �Ì� � � ö���EòFü��òÞ V Þ V » Z

¦ Z£B p

�^õ ¦ B ¿ �,Þ��/ú��� � � � ö���EòFü��òÞ V »

¦£B É Ý G

�^õ ¦ B ¿ �Jþ^ø,���� »�¬]p �O �ô S �pþ�ú����ö � �EòFü��ò

Þ Ú »¦

£B É G

�^õ ¦ B ¿ �Jþ^ø,����¦ø������ » �� ú

Page 55: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ¡�Ê¡:ãÊ%:�O � S ÊGøWþ��3�EòÛü��õ`ò��:ò������/úÛòÛõ,��� � ��ô�úÌ��89���nù��� Ó � N �O ô S 6�ü�nõ÷ö� "£(# ¹ ¦ Ý Z % £ ü��õkø�� � ô�ö\õkþ �n�/þ�ú��*�/øWû �/ú��� Þ ��ú � �/þ�ú��*�/øWû �/õ!�Jþ�ø

���� ° % ° U Þ �O ô�ô S 6�ü� õ÷ö� "£$# ® % £ ü��õdø0� � ô�ö<õdþ����/þ^ú��*�/øWû �/ú��� Þ ��ú �M� ô��*�/øWû �/õ��Jþ^ø�����

° % ° U Þ �O ô�ô�ô S 6�ü�Yõ÷ö� "£(# ¹ ¦ Ý ¹ % £ ü��õUø�� � ô�ö\õUþ ���/þ^ú��*�/øWû �/ú��� Þ � ô��*�/ø÷û��/õn�Jþ�ø %�U Þ

�^ú � �Fþ^ú��3�/ø÷û��/õ?� þ�ø %!UWV Þ �O � S �\ö\ù\ù(þ�õ��tòÛü�:ò "ÕM# ® ¢gÕ�% Õ ü3�^õkø0� � ô�ö\õkþ��7�/þ�ú��3�/ø÷û��/ú��� - ��ú � "ÕM# ® Ò"Õ�% Õ

ü�^õrø0� � ô�ö\õ�þ �¡�/þ^ú��*�/øWû �/ú��� � �O ô S �\ü\þ#ÿ òFü��ò ô�� -íÜU � òFü�/ú "Õ?# ® Oq¢ Õ Ú]Ò Õ Sù% Õ ü��õ�ø�� � ô�ö\õ�þ��7�/þ�ú��3�/ø÷û��/ú����dô�ú OÁ- 6 � S �O ô�ô S �\ü\þhÿ òÛü�:òïô� - U � òFü�/ú "ÕM# ® O�¢±ÕPÚ Ò/ÕeSù% Õ ü��õYø�� � ô�ö\õtþ �P�/þ�ú��3�/ø÷û��/ú����:ò�������õ`ò - �O ô�ô�ô S ñ&� c § Þ U�- U � û�ô��*����ú1�"89���nù���Lÿkü�/ø�� "ÕM# ® O�¢±Õ9Ú¥Ò/ÕeSù% Õ ü�^õUø�� � ô�ö\õ

þ��¡�/þ�ú��3�/ø÷û��/ú��� c �È ¡�Ê¡:ãÖ%:�O ô S �\ö\ù<ù(þ^õ��ròFü��ò Q�£ ô�õ��1�(þ�ö\ú � � � õ���Ï�ö�/ú���vþ ��ø0��� �bú�ö�t�5�/øWõ����\ü\þhÿòFü��ò > £AU õ÷ö\ù �ÍÌ £ Q�� ô�õ��vÿ����� � ��$\ú� � �(þ�ö\ú � � �-� ���/ø����^õ÷ô�ú\û õ���Ï�ö�/ú������ú � õ÷þ> £ ò��/ú � õVòÛþ�����ô�dô ò > õ����#�f�}�EÿZøWô ò��

��ô�� õ÷ö\ù£ � "Q5£tU > ²

O ô�ô S Ào�?ò ¢±£ �5����õ���Ï&ö�/ú3���tþ��T�/þ��nù���"8®ú�ö�t�5�/øWõ����\ü\þ#ÿ òFü��ò�ô��\òÛü�tõ���Ï�ö�/ú���° ¢g£ ° ¹uZ £ ô�õ ö\úJ�(þ^ö\ú � � � \òFü�/ú "ÕM# ® ¢±Õ�% Õ ü��õrø�� � ô�ö\õ þ��%�/þ�ú��3�/ø÷û��/ú��� p �^ú � ô��uòFü�òFü��õ���Ï�ö�/ú��� ° ¢g£ ° ¹[Z £ ô�õ��uþ^ö\ú � � � �^ú � ú\þ^úç´�ö��/ø÷þ� (òFü�/ú "ÕM# ® ¢±Õ�% Õ ü��õYø0� � ô�ö<õYþ���/þ^ú��*�/øWû �/ú��� O ��ô��õ÷ö\ù £ � " ° ¢g£ °

¹uZ £ S�Ý ¹ �n�fò���ò��� fÿkô òFüïø�����õ÷þ^ú\õ� ^ÿkü��òpü��ù\ù5�/ú\õÿkü�/ú��ô��õ÷ö<ù £ � " ° ¢g£ °

¹[Z £ UxpÈ ¡�Ê¡:½¡�С: �\ö\ù\ù(þ�õ��IòÛü�:ò · �^ú � � �^ø��Lú\þ�úç´����nùfò&�j�(þ�ö\ú � � � õ÷ö�\õ��?òÛõ�þ � �7�\ü\þhÿòFü��ò

õ÷ö\ù� ¢�ÚÛÒn@3¢t¤¥· 6 Ò�¤ �g� U õ÷ö<ù ·ÑÚ õ#ö\ù � ²6pü����^õ=ò!�Jþ^ø��vö��dô�õ,�nþ^ø����Jø0��Ï�ö�/úÛò��(�»ÿkø÷ô ò÷ò��/ú

õ÷ö\ù����� Û 8 �ÏÎ ¢�ÚÛÒnU õ÷ö\ù����� ¢�Ú õ÷ö\ù8 �ÏÎ Òe²

�<ö\ù\ù(þ^õ��� ��Jö\ø`òFü�/ø�òFü��ò ¢g£ �^ú � Ò"£ �^ø��!�(þ^ö<ú � � � õ���Ï&ö3�/ú���/õrþ��Pø������Iú&ö3�4�5�/ø÷õ���6þ^ø7�����3üÉþ � òFü��� þ ����þ#ÿZô�ú\ûvõ`ò��:ò������/úÛòÛõ7�/ô òFü�/øLû^ô(�3���vù\øWþ�þ�� òÛü�:òtô òYô�õ7� � ÿ����õIòÛøWö�þ^ø,�^úÊ�"8�� �dù��EòÛþdõ÷ü\þhÿ òÛü�:òZô òZô�õ�õ#þ����?òFô���/õ?�E� ��õ����

O ô S õ÷ö\ù £ Oq¢g£�Ú}Ò"£ SYU õ÷ö\ù £ ¢±£�Ú õ÷ö\ù £ Ò"£ �O ô�ô S õ#ö\ù���� � Û 8 �(Î ¢ ÒnUýO õ÷ö\ù���� � ¢#S�O õ÷ö<ù 8 �ÏÎ ÒeS �O ô�ô�ô S ô�ú� ��� � Û 8 �(Î ¢�ÚÛÒnU ô�ú� ��� � ¢�Ú ô�ú� 8 �(Î Ò �

� �

Page 56: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ¡�Ê¡:½¡(¡*: ÊGøWþ��*�������òFü��õ`ò��:ò������/úÛòÛõ,��� � ��ô�úÌÀo������� ú � Ó ��uôö @O ô S 6�ü�4��ô��nô òïô�õtö\ú\ô�Ï�ö���t6pü��òïô�õ� Pô� ´J£�B ´ �^ú � ´J£�B ­ ��õ ¦ B ¿ òFü�/ú

´�U ­ �O ô�ô S ñ&� ´J£ÌB ´ �^õ ¦ B ¿ ��ú � ¦ O Þ S�[ ¦ Oq\�S�[ ¦ OqÓ�S*²�²�² òFü�/ú ´J£ ÔÖÕ�×PB ´ �^õ

Ø B ¿ �O ô�ô�ô S ñ&� ´J£tU ¼ �Jþ^ø,���� ¦ òÛü�/ú ´J£�B ¼ �^õ ¦ B ¿ �O ô�� S ñ&� ´J£�B ´ �^ú � ­�£�B ­ ��õ ¦ B ¿ òÛü�/ú ´J£�Ú¨­�£tB ´4Ú¨­ �O � S �\ö\ù\ù(þ�õ�� ´)£t¤ � ´�¤ � ])£t¤ *��ú � ]1¤ �Eñ/� ´J£�B ´ ��ú � ])£tB ]

òFü�Fú ])£�´J£�B ]\´ �È ¡�Ê¡:½¡�²¡: äYõ��GòFü���Eþ��ö��^ú<þ�÷ �}�/ô�/øWõ`òÛø0��õ÷õbòÛü�/þ^ø���� òÛþvù\ø÷þ��3�GòÛü�Yû��/ú�/ø����uù\øWô�ú�/ô�´ù����þ �¡�/þ^ú��*�/øWû �/ú����ô�ú � O 6�ü�/þ^ø���� ú ��� S �

6�ü�Ùø�������ô�ú\ô�ú\ûÑÏ�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õ���ø0�Ùô�ú����ö � � � � þ�ø»û �/ú�/ø����tô�úÛò��/ø��/õ`ò¯�^ú � ú\þ�ò-�Jþ�øø0����"�)��ú���EòFþqòFü��õ������� �\ö\õ�þ�øPòÛþdù3�^õ÷õ÷ô�ú\û�6�ø÷ô�ùuþ^õ,�"89� �dõ��

È ¡�Ê¡:½¡�¿¡: �¡�-�/þ��nù�^ø÷ô�ú\û¢Ò ÿZô òÛü

Ó ¢�Ú ú Ò\ ¢�Ú}Ó Ò

õ÷ü\þ#ÿ òFü��òkû^ô(�3�/úÌ��ú�� Q�¤ ÿZô òÛü Q Z º2\ ÿ�������úA$\ú � � > ¤ ÿZô òÛü > ¬MQ �^ú �> Z ºÙ\ �2`�� � ö���EòÛü��ò�òÛü�kõ��?ò´ Q-¤ @#Q Z [2\ � ü�^õrú\þ õ÷ö\ù\ø����vö� ô�ú � O 6pü�ô � ���nþ��¡�/þ �dù��øWô�ú\û ¢ æ Ò ÿZô òÛü OqÓ ¢�Ú ú ÒeS æ Oq\ ¢�Ú}Ó ÒeS û^þJ�/õ,�� ���1��õ,�H�^ø,�^õ,�Gö����ô � � S

È ¡�Ê¡:½¡�Æ¡: ñ&� ¢�[ w [ûÒ ��ú � £ ô�õ��»õ÷ö�\õ��?òïþ�� �"8ù����ô�úÉÿkü��«ô�� £ � � ¢ 6 w �¡�^ú �£ � � w 6 Ò ����ø0��$\ú\ô ò��UòÛü�/ú õ#þdô�õ £ � � ¢ 6 Ò ���äYõ��UòÛü\ô�õPòÛþdû^ô(�3���dù\øWþ�þ �T�����\ô�õ����?òFô�þ^úþ��¡�Eþ ��ö���ú\þ�.�õVòFü3�/þ^ø������È ¡�Ê¡:½¡�Ë¡: `tþ���8��/ø��/ô�õ�� Ó � Þ ú õ÷ü\þ#ÿZô�ú\ûqòFü��ö<ú�/þ^ö\úÛò����\ô��ô ò&� þ��6òFü3��ø0��� ��õ��

ÀT�?ò > ¹ > Z ²�²�² �����^ú�� õ���Ï�ö�/ú����þ���ùuþ^ô�úFòÛõ�ô�ú �,Ào�?ò Q ® U2p @ ® U Þ �O ô S �\ü\þhÿÅòÛü�:ò��<þ�ö-����ú-�/þ^ú\õ=òFø÷ö�?òdô�ú � ö�?òÛô��*�����Ñ� õ���Ï�ö�/ú���ïþ��Gø���� �Pú�ö�4���/øWõ

Q ¹ Q Z ²�²�² �^ú � ù(þ^õ#ô òÛô��*��ú&ö3�4�5�/ø÷õ @�Õ õ÷ö�3üïòFü��òO � S ° Q�£�V'Q�£ Ý ¹ ° [D@�£ Ý ¹ æ ú O � SPQ £ ÜU > £ O � S,p![/@0£�[ ° Q�£�V > £ ° O � S^@0£�[D@�£ Ý ¹ æ ú �O ô�ô S �\ü\þ#ÿÎòÛü��ò @�£�ÿ(�Û[ ú Ý � @�£ �Jþ^ø � 6 ¦'§ p �^ú �1� � � ö���GòÛü�:òUòFü� Q5£ �Jþ�ø0�¸�

����ö�3ü��Ùõ���Ï�ö�/ú�����,��þ^ú����ö � �EòFü��ò Q�£ ò��/ú � õVòÛþ�����ô�dô ò Q �O ô�ô�ô S �\ü\þ#ÿ òFü��ò ° Q5£ ÿ$�!V�Q�£ ° [D@�£ æ Ó �Jþ^ø¡���� � 6 ¦'§ p �®`�� � ö���IòFü��ò ° QrV�Q�£ ° º

@�£ æ Ó �Jþ^ø,���� ¦'§ p �f�Åü�� � þJ�/õVòFü\ô�õ�õ÷ü\þhÿ òÛü�:ò > £AÜU}Q �Jþ^ø,���� ¦ �O ô�� S Ê�ø÷þ��*�EòFü��òpòÛü��ø�������ú�ö�4�5�/ø÷õ,�^ø���ö\ú�/þ�ö\úFò����3�����

� �

Page 57: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ¡�Ê¡:½¡�Ñ¡: �\ö\ù\ù(þ�õ��Eÿ����/þ�ú\õ÷ô � �/øPòÛü���/þ�������?òÛô�þ�úEÐÅþ���ø��:òÛô�þ�ú�����Jö\ú�?òFô�þ^ú\õ>PO¼°ÑSYU ¢ ® ÚÛ¢ ¹ °ÂÚÑ������ÚÛ¢±£ ° £

Ò ® Ú}Ò ¹ °ÂÚ������ ÚÛÒè�+° �O ÿZü�/ø�� òÛü� ¢±Õ �^ú � Ò"Õ ��ø0�ïø������f�^ú � ÿkü�Fø0� Ò;� ÜUýp ��ú � ¢±£kÜUýp ô� ¦ª§ Þ S ÿkô òFüòFü�»ö<õ÷ö���UøWö��/õt�Jþ^øt� �3� ô òÛô�þ�úÑ�^ú � ��ö� òÛô�ù��ô�����òFô�þ^ú3�Ñ�\ö\ù\ùuþ^õ��ZòÛü�:ò�ÿ��»õ���� òFü��ò>fO�°¥S�¬ûp ô�� ¢g£JÒ;�2¬ûp �^ú � òÛü�:ò >¯¬ ³ ô�� >�V ³�¬ûp ���pþ�ú��ô�ú�����<þ�ö\øWõ�����¦òFü��òÐ ü��õ,���� òÛü��õ`ò���ú � �^ø � ù\øWþ�ù5�/ø`òFô�/õ�þ��¡�^ø÷ô òÛü���?òFô����ú � þ^ø � �/øPÿ����"8ù5���?ò�� O �\þ ���õ`òÛö � �/úÛòFõGÿkô����þ^ú�(�'�5�4� ����ròÛþ��/þ^ú��ô�ú���ròÛü���dõ������*�/õ����k��þ�þ���ô�ú\ûÉö\ù òFü3���z8uô�þ��nõ�Jþ^øf�^úïþ�ø � �/ø�� � $��� � ô�ú �Jþ^øf�"89���nù���� ���� �)��ú � òÛü�/ú��3�/ø÷ô��X�ô�ú\û������3ü��z8uô�þ�� ô�úYòFö\ø÷ú�Okþ�þ � ��ö�e�kòÛþqòFü���� ¦ñLõ����#� S

�<ü\þ#ÿ òÛü�:ò Þzæz¦ ¬ Þzæ ° ¬ûp �Jþ�ø�� ���Pô�úÛò��/û��/ø÷õ ¦ �^ú � õ#þ1�Yø0�3ü\ô��� � �/õ�.¡�r8ô�þ �ô�õ?�E� ��õ��!� þ�ø�Ð��

� I

Page 58: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

æD� ÄÉ��Î���� ê Ä è �t�Y� �ÌËÇÆÛÇ �dîYÎ?ÈÛ (�d 

ñuü���*�¦òFø÷ô�� � òFþrù\øWþ � ö��� Þ \ ø��:òÛü�/ø�ø÷þ^öfòÛô�ú�YÏ�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õo�Jþ^øo�����3ükõ÷ü���?ò��7� ú����Jö\ø½òÛü�/øÏ�ö�/õ`òFô�þ^ú\õ��^ø����Jþ�øÉô�úÛò��/ø��/õ`ò þ^ú�(�#�ë���4�<ô òÛô�þ�ö\õ»õ`òÛö � �/úÛòFõ��^ú � òFü�/ô�ø»õ÷ö\ù5�/øq�uô�õ÷þ�øWõõ÷ü\þ�ö� � ��þ&þ �1�:ò�6�øWô�ù(þ^õ?Ï&ö3�/õ`òFô�þ^ú\õ�òFþnõ÷ö\ù\ù������/úÛòpòÛü\ô�õ?������û^ø����H�^ø����

È ¡�Ö¡:½¡5: Þ��/ø���ô�õ,�^úÌ� � ò��/øWú��òÛô��3�kù\øWþ�þ���þ �¡6pü�/þ�ø0���¨����O ô S Ào�?ò ï § p �^ú � «7¬]p �pñ/� >A@ � ¢ 6 Ò � B ü�^õ�òFü��ù\ø÷þ^ù��/ø½ò&�»òÛü�:ò

>POqÒeSoVª>fO�¢#S § Oqï¸ÚÛ«�S�OqÒ%Vª¢#S�^ú � � ô�õïõ`òFø÷ô�?ò��(�Ïù(þ�õ÷ô òÛô��*�»ô�úÛò��/û �/ø�õ÷ü\þ#ÿ òÛü�:ò�òÛü�/ø��1�"8ô�õ`òÛõ��^ú ô�úÛò��/û��/ø � ÿkô òFüÞ º���º � ��ú �

>POq¢�Úú��O�Ò%Vª¢#S æ�� SoVÛ>POq¢�ÚWO���V Þ S�OqÒfVÛ¢ S æ�� S § O�ï¸Ú}«�S�O�Ò%VÛ¢ S æ��O ô�ô S äYú � �/ø�òÛü�4�/þ�ú � ô òFô�þ^ú\õtþ���ù��ø½ò O ô S � � � ö���ròÛü��ò òÛü�/ø0�t�"8ô�õ`òÛõ��»õ���Ï�ö�/ú���

þ��¡����þ^õ�� � ô�úÛò��/øq�)� ��õ�� Q5£ 6 > £ � ÿZô òÛü� ¢ 6 Ò � U � Q ® 6 > ® � ¸ � Q ¹ 6 > ¹ � ¸ � Q Z 6 > Z � ¸ ²�²�²

õ÷ö�3üïòFü��ò >PO > £ SoVª>fObQ5£ S § O�ï¸Ú}«�S�O > £�V'Q�£ S �^ú � > £�VkQ5£�B p ��õ ¦ B ¿ �O ô�ô�ô S �pþ�úFòÛô�ú�ö\ô�ú\û®ÿkô òÛüýòÛü�Ùõ������Ùú\þ�ò���òFô�þ^ú3 Zõ÷ü\þhÿ òFü��ò Q5£WB w � þ�ø õ÷þ ���

w ¤ � ¢ 6 Ò ��,�\ü\þ#ÿ òFü��ò w ¤ � Q�£ 6 > £ ���Jþ�ø�� ��� ¦ �^ú � òÛü�:ò� �ô�� w ÜU}Q5£ 6 > £ òÛü�/ú����8 >fO > £ SoVª>fO w S

> £�V w 6 >PO w SoVÛ>PORQ�£ Sw V'Q�£ § ï¸Ú}«�²�pþ�ú����ö � �EòFü��òkô� > ô�õ � ô����/ø0�/úÛòÛô�� �������ò w òFü�/ú > ~ O w S § ï¸ÚÛ« �

O ô�� S `�� � ö����� ����òFü3��ø0�/õ÷ö� òFõrþ��¡6pü�/þ�ø����ã� ��� �È ¡�Ö¡:ã²%:�O ô S ñ&� £ ô�õ?�dõ��?òZõ÷ü\þ#ÿ òÛü�:ò�òFü��õ��?ò

£FÒ U � @ � ô�õ�þ�ù5�/úÌ��ú � �/��£´�ü�^õ�òFü���Jþ����þhÿkô�ú\ûdù<øWþ�ù5�/ø½òÛô��/õ��

O � S £ Ò ô�õ�þ^ù��/ú�O � S £ Ò ��£ �O � S ñ&� · ô�õ�þ�ù5�/úÌ�^ú � · ��£ òÛü�/ú · ��£ Ò �O ô�ô S �<ö\ù\ù(þ�õ��EòFü��ò £ ~ ô�õrõ÷ö�3üïòFü��òO � S £ ~ ô�õ�þ�ù5�/ú�O � S £ ~ �¤£ �O � S ñ&� · ô�õ�þ�ù5�/úÌ�^ú � · ��£ òÛü�/ú · ��£ ~ �

� �

Page 59: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�\ü\þ#ÿ òFü��ò £ ~ U £ Ò �O ô�ô�ô S ��8ù����ô�údÿkü�� O ô S �^ú � O ô�ô S ��� ����ô òZù(þ^õ#õ÷ô����EòÛþ � ��$\ú3�EòFü� CHK ` I�ceC _ c þ � £

�^õ�òFü����^ø÷û��/õ`òZþ�ù5�/úiõ��?ò��/þ^úÛò��^ô�ú� � ô�ú £ �O ô�� S �\ü\þ#ÿ ÿZü��Îô òiô�õïùuþ^õ÷õ÷ô����vòÛþ � ��$\ú�vòFü� l�| _ D�m)czI þ�� £ ��õYòFü� õ���������/õ=ò

����þ�õ�� � õ��?ò��/þ^úÛò��^ô�ú\ô�ú\û £ �O � S �Pô�ú � òFü�iô�úFò��/øWô�þ^ø��^ú � ����þ^õ÷ö\ø��iþ�� Oq¢ 6 ÒeS �� ¢ 6 ÒeS Oq¢ 6 Ò ����ú � � ¢ 6 Ò �PÿZü�/ø0�¢4[2Ò �

È ¡�Ö¡:ã¿%: `tþqòFü����89�/ø0�/ô�õ������ Þ Ó ø��/õ`ò���ò�� � ������þhÿ!����0ò��Fø���þ&þ ��ô�ú\û��:òdù�^ø`òÛõ O ô�ô�ô S òÛþ O � S þ �YÀo������� ú � Ó õ`ò��:ò�� òFü3�4�/þ�ø÷ø0�/õ÷ùuþ^ú � ô�ú\û

ø0�/õ#ö� òÛõ%�Jþ^ø%�Fþ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õf�Jö\ú�?òFô�þ^ú\õ�� O 6pü�ö\õVù�^ø`ò O � S �/þ^ø÷ø0�Fõ÷ù(þ^ú � õ(òÛþLòFü�Eõ`ò���ò������/úÛòòFü��ò�ô� ]Ê@ £ B ��ú � >�@ £ B 3 ��ø0�4�/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ���ò ¶k¤ £ òFü�/ú®õ÷þ»ô�õ ]�> � SÊGøWþ��*���<þ�ö\øpõ=ò���ò������/úÛòFõ � ô�ø0���?ò��(���Jø÷þ�� `���$\ú\ô òFô�þ^úÌ� � Þ \ �È ¡�Ö¡:ãÆ%: ñ&� > 6 ³1@ 3 B � �^ø����/þ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õrõ÷ü\þ#ÿ òFü��ò

>³ @ 3 B Z � U � ò �

� ��$\ú� � ���>³ O ¶oSYU >PO ¶oS

³%O ¶oSô�õ?�/þ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ��

�<ü\þ#ÿ òÛü�:ò�òÛü������ù ·ª@ � ò � B � � ��$\ú� � ���

· ¶¥ U ¶jÚ¨¥

ÿkü�/ú3�"�3�/ø ¶ 6 ¥}¤ � ô�õ��/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ����¡�Ñ�^ù\ù�(�ô�ú\û�òFü���/þ�úÛòFô�ú�ö\ô ò&� þ �r�/þ��nù(þ�õ÷ô�´òFô�þ^ú\õEþ����/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ^ö<õn� ö\ú�?òÛô�þ�ú\õ O Ào�������4� � Þ � S òFþ · ¶ >

³ � � � ö���GòFü��ò >�ÚR³ ô�õ�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��

å!�fò���ô�úïòÛü��þ:òÛü�/øpø��/õ÷ö� òFõ�þ � � ö�/õ`òÛô�þ�ú Þ�N � Ó õ÷ô��nô���^ø����#�È ¡�Ö¡:ãË%: Ào�?ò >y@ B �}�fò���ò��vÿkü\ô�hü¨þ���òÛü��� þ ����þ#ÿZô�ú\û õ`ò��:ò������/úÛòÛõ���ø0��� ��´ÿ����õ òÛø÷ö�1�^ú � ÿZü\ô��3üÑ�����Û�5�1�H� ��õ��»û�ô��ô�ú\û��Ùù\ø÷þ&þ ��þ^øt���Fþ^ö\úÛò��/øt�"89���nù�����^õ�^ù\ù<øWþ�ù\øWô�:ò����

O ô S ñ&� >�Ý ¹ O £ S ô�õ,����þ^õ�� � ÿZü�/ú�"�*�/ø £ ô�õ?����þ�õ�� � òFü3�/ú > ô�õ,�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��O ô�ô S ñ/� > ô�õ,�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õVòFü�/ú >PO � S ô�õrþ^ù5�/úïÿZü�/ú�"�*�/ø � ô�õ�þ^ù��/ú�O ô�ô�ô S ñ&� > ô�õ,�/þ�úÛòFô�ú&ö<þ^ö\õVòÛü�/ú >fO £ S ô�õ,�(þ�ö\ú � � � ÿkü�/ú�"�*�/ø £ ô�õ,�(þ�ö\ú � � � �O ô�� S ñ&� >fO £ S ô�õ,�(þ^ö<ú � � � ÿkü�/ú�"�*�/ø £ ô�õ,�(þ�ö\ú � � � òFü�/ú > ô�õ?�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ^ö<õ��

� N

Page 60: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ¡�Ö¡:ãÑ%: �\ö\ù\ù(þ�õ��»òÛü�:ò £ ô�õÌ�¨õ÷ö�\õ��?ò þ � £ �Â�\ü\þ#ÿ òÛü�:ò £ ô�õÌ����þ�õ�� � �^ú ��(þ�ö\ú � � � ô��¡��ú � þ^ú�(� ô��¡�"�3�/øq�-�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ,� ö<ú�?òFô�þ^ú >A@ £ B £ ô�õ,�(þ�ö\ú � � � �È ¡�Ö¡: Ò : ñ&� · ��ú � � ��ø0��õ÷ö�<õ��?òFõ�þ � � ÿ��EÿZøWô ò��

·¥Ú � U ´4Ú ­¯@�´�¤¥· 6 ­'¤ �g��¡�-�/þ�ú\õ÷ô � �/ø÷ô�ú\ûtòÛü�����^õ�� � U Þ

·ªU V ¦ @ ¦ ¤ � �^ú � � U ¦ Ú Þzæz¦ @ ¦ ¤ 6 ¦'§ \ �õ÷ü\þ#ÿ òFü��òkô� · �^ú � � ��ø0������þ^õ�� � ô ò � þ �/õrú\þ:ò��Jþ�����þ#ÿ òÛü�:ò ·¥Ú � ô�õ,����þ^õ�� � �

�<ü\þ#ÿ ü\þ#ÿ��"�*�/øuòÛü��ò�ô� · ô�õY����þ�õ�� � �^ú � �uþ^ö\ú � � � �^ú � � ô�õY����þ�õ�� � òÛü�/ú ·�Ú �ô�õ?����þ�õ�� � �

ñ/� · ��ú � � �^ø���þ^ù��/ú � þJ�/õ�ô ò!�Jþ ����þ#ÿ òFü��ò ·ÑÚ � ô�õ�þ^ù��/ú � Okô��*��ø����^õ÷þ�ú\õ��È ¡�Ö¡:ãÊ%: �pþ�ú\õ÷ô � �/øVòÛü������ùoÓ @ q B ½ û^ô(�3�/úÌ���

Ó ¶¥ U ¶�Ô ¥

�Jþ^ø����� ¶ 6 ¥¯¤ ½ � O Þ��/ø0� Ô ô�õPòÛü��+��*���?òÛþ^øpù\øWþ � ö�?ò�.þ �o���:òÛü�����:òÛô���� �9���?òFü\þ � õ�� S�\ü\þ#ÿ � ô�ø����?ò��(�-� ø÷þ�� òÛü� � ��$\ú\ô òÛô�þ�úïòÛü�:ò�Ó ô�õ � ô����/ø0�/úÛòÛô�� ������

Þ����ô�ú\û � þ�ú�EòÛü\ô�õ� �$\ú � òFü� ± ���/þ �\ô���úÌ����òFø÷ô�8 þ �ÕÓ��È ¡�Ö¡:ãÖyµ-Öq¬�°Û¥¨¯F°�´\§�·½¯/·`©6Ã�´\Á=¶ : �pþ�ú\õ÷ô � �/øVòÛü������ù >�@ Z B û�ô��*�/úÌ���

>PORQ 6 > SYU�Q > ° Q1V > ° ²�Pò�ÿkü\ô�3üiù(þ�ô�úÛòFõrô�õ > � ô����/ø0�/úÛòÛô�� ���� � ÊGø÷þ��3���6þ^ö\ø�õ`ò��:ò������/úÛòÛõ��� `������3Ï&ö\ô�e� �(�vÿZô òÛüqòFü�,����õq� ù��ø½ò��ã`qþ�ú\þ�ò?�5��õ÷ö\ø÷ù\øWô�õ�� � ô��òÛü��ü�^ø � ù�^ø`òrø0�"�*��� ��õ�dõ#ù5���/ô�� �����^õ��EòÛü�:ò��vö\õ`ò��5� � ��� � ò�ÿkô òFü�õ��/ù�^ø��:ò������#��È ¡�Ö¡:½¡�Ъµ?º Á½¾F©Ò86¬�°�¥¨¯/°�´\§�·½¯/·`©6Ã�´\Á=¶ :�O ô S ��þ^ú\õ÷ô � �/øYòÛü�A� ö\ú�?òÛô�þ�ú > @ Bû^ô(�3�/ú¥��� >fO�»eS�U©» Z õ÷ô�ú Þzæ » �Jþ^ø »�ÜU»p >fOqp�S4U»p �'�\ü\þ#ÿ�òÛü�:ò > ô�õ4�"�*�/ø=��ÿZü�/ø0�� ô����/ø0�/úÛòÛô�� ����t�^ú � $\ú � ô òÛõ � �/øWô(�)�:òÛô��*���t�\ü\þhÿ òFü��ò >�~ ô�õYú\þ�ò��/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��A�~`���� �Ï�ö\ô��e�J���Ùÿkô òFüiòFü�����^õ�� ù��ø½ò��^ú � òÛü�/ú û^þÊ�� ���ÉòÛþïòÛü� � ��$\ú\ô òÛô�þ�ú òFþ � �����¦ÿkô òFü»�Uûp �46pü�/ø��4�^ø��rÿkô � �võ�������?òFô�þ^ú®þ �P�/þ^ö\úÛò��/ø=´��"89� �dù��/õYþ��fò��^ô�ú� � ���k��þ�þ���ô�ú\û���ò»-× õ÷ô�ú »   �Jþ^øf�)��øWô�þ^ö\õf������ö�/õ�þ�� � �^ú � � ���

O ô�ô S �Pô�ú � ��ú ô�ú$\ú\ô ò������ � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� ������ ö\ú�?òÛô�þ^ú ³}@�O Þ 6 ¿}S�B õ÷ö3�hü®òFü��ò³¡O�»eSrB p �\öfò ³ ~ O¼»�S p �^õ »�B ¿ �

O ô�ô�ô S ��þ^ú<õ÷ô � �/øròÛü���Jö\ú�?òÛô�þ�ú � @ Z B û�ô��*�/ú¥��� � O + 6 »eStUí>fO + SPÚW>fO�»eSÿkü�/ø�� > ô�õUòFü���Jö\ú�?òÛô�þ�ú � ��$\ú� � ô�ú O ô S �j�\ü\þ#ÿ òFü��ò � ô�õ��"�3�/øq��ÿkü�/ø�� � ô����/ø0�/úç´òFô�������\öfò � Û ¹ ��ú � � Û Z �^ø���ú\þ:ò��/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ,�:ò O=p 6 p S �

� p

Page 61: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ¡�Ö¡:½¡(¡*: Ào�?ò Ú ��ú � 8 �5�!��ô�ú���^ø�����ô�ú � �/ù��/ú � �/úÛò��*���?òÛþ^ø÷õ�ô�ú Z �?�\ö\ù\ùuþ^õ��pòFü��ò� @ Z B ü�^õ�òFü��ù\ø÷þ^ù��/ø½ò&�»òÛü�:ò

� O ¶�ÚÄø�ÚfSoV � OJ¶oSø B ¢�O ¶oS 6 ��ú � � O ¶�ÚÄøP8¡SoV � O ¶oS

ø B ÒçOJ¶oS�^õ øÑB p �Jþ^ø����� ¶y¤ Z �-�\ö\ù\ù(þ�õ��j�Jö\ø½òÛü�/ø�òFü��ò ¢�@ Z B ô�õ��/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ���\ü\þ#ÿ òFü��ò � ô�õ,�"�*�/ø=��ÿkü3�/ø0� � ô�5�/ø��/úFòÛô�� �����È ¡�Ö¡:½¡�²¡: �\ü\þ#ÿ òFü��ò.`���$\ú\ô òFô�þ^ú I � ú ���^úÌ�5���nþ � ô$� � òÛþïû�ô��*�UòFü� � ��$\ú\ô òÛô�þ�ú þ���^ú�þ^ù5�/ø��:òÛþ^ø�ú\þ�ø0� X � X �Jþ^ø,����ô�ú����ø,����ù � @ � B 3 �^ú � òÛü��òpòÛü��ø0�/õ#ö� òÛõ�þ��Ào������� I ����/þ�úÛòFô�ú�ö�qü<þ�� � ³ m `�v#` CED ³ m `�v KTs�CHD ¹/¹ �

ñ/� � ü�^õ?����òFø÷ô�8 Oq¢ Y ÕeS ÿZô òÛüiø0�/õ÷ù����?òpòÛþtòÛü��õ`ò��^ú � ��ø � ���õ��/õ�õ#ü\þ#ÿ òÛü��ò���z8YÜÛ Õ ° ¢ Y Õ ° º X � X º � 5 ���z8YÜÛ Õ ° ¢ Y Õ ° ²

�6þ�øZòFü�Ùø0�/õ=ò þ��pòFü\ô�õ�Ï&ö�/õ=òFô�þ^úýÿ��Éò�� ��� � U 5 O õ÷þµÿ�����ø0� � ������ô�ú<ûµÿkô òFüI�Kos _�³Ì_ c&à a CHD ³ D þ �6òFü���*���?òFþ�øpõ#ù����� � S �

O ô S ñ&� � ü��õ�����þ#ÿ��/øGòÛøWô�^ú\û�ö����ø�����òFø÷ô�8 Oq¢ Y Õ S ÿZô òÛüÙø0�/õ÷ù����?òYòÛþZòÛü��õ`ò��^ú � ��ø ���^õ#ô�õ õ÷ü\þ#ÿ òFü��òròFü�Zõ��?ò�þ��Vô òÛõ?�/ô�û��/ú�������ö�/õ ô�õ ù\ø0���/ô�õ����(� òÛü�kõ��?òvþ��uòFü� � ô�^û�þ^ú� ��/úÛòFø÷ô��/õ ¢ Y Y � O Ê�ö\ø�������û����\ø���� SO ô�ô S ñ&� � ü��õ��1��þ#ÿ��/øGòÛøWô�^ú\û�ö����ø�����òFø÷ô�8 Oq¢ Y ÕeS ��ú � «�¬ p õ#ü\þ#ÿ òÛü�:òYÿ��t���^ú$\ú � � õ÷ö�3üïòFü��ò � ü��õ � � ô�õ`òFô�ú�?òZú\þ^úç´�ö��/ø÷þ��/ô�û��/ú��)� ��ö3�/õ,�^ú � X ��V � X [2« �

O ô�ô�ô S ñSúÌ����û����\ø����6þ^öiõ÷ü\þ#ÿ òFü��ò�û�ô��*�/úA��ú����/ú � þ��nþ^ø÷ù\ü\ô�õ�� � ÿ������^úÌ$\ú � �^úô�ú��*�/ø½òÛô����P�/ú � þ �dþ�øWù\ü\ô�õ�� ó õ÷ö�3üEòÛü�:ò ó � ó Ý ¹ ü�^õo����þ#ÿ��/ø�òFø÷ô�^ú\û�ö����ø����:òÛøWô(8Yÿkô òFüø0�/õ#ù5���?òtòFþvòFü��õ=ò���ú � �^ø � ���õ÷ô�õ�� O þ������%6pü\ô�õtô�õLòÛøWö�t�Jþ�ø��/þ �dù3���"8Ê�3���?òFþ�øYõ÷ù3�����/õ�\öfòïú\þ�ò��Jþ�øYø������Pþ^ú�/õ�� S äYõ�� òFü<ô�õ��H���?òtòFþ õ÷ü\þ#ÿÅòFü��òïû�ô��*�/ú��^ú��¥�/ú � þ��nþ^ø÷ù\ü\ô�õ��� �^ú � �^ú��KØ ¬ûp ÿ��t����ú��^ú��/ú � þ �dþ�øWù\ü<ô�õ�� é õ÷ö�3üÉòFü��ò X éÌV � X [ Ø¥�^ú � éü�^õ � � ô�õ`òFô�ú�?òkú\þ�úç´�ö��/ø÷þ��/ô�û��/ú��)� ��ö�/õ��

O ô�� S �ÏøWô ò���Ù   O¼»eS!U � �?ò O�»(ÚoV � S�O ÿZü�/ø0� Ú ô�õ�òFü� ô � �/úÛòÛô ò/�M�/ú � þ��nþ^ø÷ù\ü\ô�õ�� S ��\ü\þ#ÿ òFü��òkô� � ü��õ � � ô�õ`òFô�ú�?ò!�/ô�û��/ú�������ö�/õVòÛü�/úmÙ   O � SYUxp � O Ê�ö\ø�������û����<ø0� � SO � S Ào�?ò � ���!��ú��'�/ú � þ��nþ^ø÷ù\ü\ô�õ������¡�¯�/þ^ú<õ÷ô � �/ø÷ô�ú\ûj� õ���Ï�ö�/ú��� � £ þ��f�/ú � þ�´�dþ�øWù<ü\ô�õ��nõLÿkô òFü � � ô�õ`òFô�ú�?ò��/ô�û��/ú��)� ��ö�/õtõ÷ö3�hüÉòÛü�:ò X � £�V � X B p �^õ ¦ B ¿õ÷ü\þ#ÿ òFü��ò�Ù   O � SYUxp ���6�ü\ô�õtù<øWþJ��� � ö\ø��vô�õtõ÷ö�\õ`ò��^úÛòÛô�� ���(�k��þ^ú\û �/øGòÛü�^úÉòÛü�:òdö\õ�� � òFþ ù\øWþ��3� òFü�t�,���9���"�J´Þ����nô�� òFþ�ú òÛü�/þ^ø���� ô�úÑ�6þ^ö\øA� ��û ���\ø0�M�/þ�ö\øWõ��¯�\öfò ô ò ô�õÌ�^ú ô�ú\õ`òÛøWö3�?òFô(�3�»ÿ���� þ����þ�þ �&ô�ú\û��:ò�òFü\ô�ú\û^õ���ø�ø�Û )�1:D�X3@0D�XE;=)�7:+-*V;=)�@0D�X:+I;`)�13;�D�*?*?Bt;=7E2^*V>S)�1:D�X:*?B�_

� Þ

Page 62: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

Ä�H Åìè ÈFî ê Ä è �Y�t�¤�ÊËÇÆÛÇ �dîYÎ?ÈÛ (�ï 

ñ ü���3�»òÛøWô� � òÛþ ù\øWþ � ö��� Þ \ ø��:òÛü�/ø øWþ�öfòÛô�ú�-Ï&ö�/õ=òFô�þ^ú\õA�Jþ^ø���� �3ü õ÷ü���?ò��¨�Yú��ø0�����^ô�ú\ô�ú\û1Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õ���ø0��� þ�øtô�úÛò��/ø0�/õ`òdþ�ú���#�����4�\ô òFô�þ^ö\õqõ`òÛö � �/úÛòFõ���ú � òÛü�/ô�øtõ÷öç´ù5�/øq�uô�õ÷þ�øWõ�õ#ü\þ^ö� � ��þ�þ��1��ò!6�ø÷ô�ùuþ^õ,Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õVòÛþdõ÷ö\ù\ù3�������/úFò�òFü<ô�õ,�����^û�ø0���H��ø0���

È ²6С:½¡5: �Pò�òÛü�,�5�/û�ô�ú\ú\ô�ú\û�þ��&òFü� Þ�N òÛü����/úÛòÛö\ø=� ô ò�ÿ��^õ�ü\þ�ù5� � òFü��ò�òÛü����� ���/ö3��ö\õ�/þ^ö� � �5�Zø�� � ö��� � òFþ ³ I�czI v | FJI�L�c v ��� ö\õ÷ô�ú\û�6¡���9��þ�ø0.�õ�òÛü�/þ�ø0�����!6pü�4�Jþ����þhÿkô�ú\û�"89���nù��� � ö�EòÛþ��,�^ö3�hü�� õ÷ü\þ#ÿZõVÿZü��Ùõ#ö�hüiü\þ�ù5�/õVÿ��/ø0���nô�õ#ù��� ��� � �

ÀT�?ò £ @ B �5� � ��$\ú� � ��� £ O�»eSYU �"8ù OqV Þ�æ » Z S �Jþ^ø »!ÜUxp ��ú � £ Oqp�SYUxp �äYõ���ô�ú � ö�WòFô�þ^úïòÛþdõ÷ü\þhÿ òÛü�:ò £ ô�õ�ô�ú$\ú\ô ò������ � ô�5�/ø��/úFòÛô�� ���UÿZô òÛü

£ ÔÖ£ × O�»eSYU9Ü�£�O Þzæ »eS £ O�»eS � þ�ø »�ÜUxp£ ÔÖ£�× Oqp�SYUxp#²

ÿkü�/ø�� Ü�£ ô�õ,�dùuþ��(�uú\þ �nô�� ���V�<þ�øPÿZü\ô��3ü�������ö�/õ�þ�� » ô�õ�ô òpòÛøWö�EòÛü��ò

£ O�»eSPU "£(# ®

£ £ Oqp�Sd» £¦ �

��8ù����ô�ú®ÿkü��«òFü���5�/ü���ô�þ^ö\ø�þ � £ ô�õt�/þ�ú\õ÷ô�õ`ò��/úÛò�ÿZô òÛüÑÀT����������� I O ò�����ô�ú\û� U Þ S �È ²6С:ã²%: ñSúÉòÛü�t$\øWõ`ò��*���^ø7�<þ�öÙõ��#ÿ ü\þ#ÿÅòFü�t$<ú � õ`ò���òFô�þ^ú��øq�«ùuþ^ô�úÛòFõ��Jþ�ø��vÿ������5�/ü���3� � �Jö\ú�?òFô�þ^ú >Ì@ Z B ��ú � ü\þhÿ òÛþ � ���/ô � � O �"89���/ùfòZô�úÊ���/ø`ò���ô�ú�õ÷ù����/ô�$� ����^õ��/õ S ÿZü�?òFü�/øbòFü�"���^ø������z8uô��� ��nô�ú\ô���vþ�øLõ�� �� ��"´#ù(þ�ô�úÛòFõ���äYõ���6pü�/þ�ø0���¸��� ÓòFþnõ`ò��:ò����^ú � ù\ø÷þ��*���<þ�ö\øpø��/õ÷ö� òFõ�ø÷ô�û�þ^ø÷þ^ö\õ����#�

ñ únòÛü���/þ^ö\ø÷õ��Zþ�ú�Ï�ö� � ø0��òFô�����:òÛü������òFô�/õY�6þ^ö ÿkô���bõ�����òÛü��òvû�ô��*�/ú���ú�� ø0��� �õq�9�����?òFø÷ô�� � ò � ���:òÛøWô(8 · �<þ�ö1���^ú1$\ú � �võ#ù5���/ô�� �(þ�ø½òÛü\þ^û�þ^ú3���5���:òÛø÷ô�8²Ù õ÷ö�3üòFü��ò�Ù · Ù ñ ô�õ � ô�^û�þ^ú� ������8ù��^ô�únòÛü�vø0����"�)�^ú���vþ �uòÛü\ô�õYø0�/õ#ö� ò òÛþkòFü3�Zù\ø÷þ������þ�� � ���/ô � ô�ú\û O �"89���/ùfòÉô�ú'���/ø`ò���ô�ú Dðà9I�l0CX­nI�s ����õ��/õ S ÿZü�/úk��õ`ò���òFô�þ^ú��ø=��ù(þ�ô�úÛòÉþ����ÿ�����f���/ü���*� � �Jö\ú�?òFô�þ^ú >¥@ � B ô�õ��Ì���z8ô��vö3�� Y�Ì�nô�ú\ô�vö� þ^ø��iõ�� �� ���ù(þ�ô�úÛò��È ²6С:ã¿%: `���$\ú� >©@ � p 6 Þ � B ��� >fO 5 æ 7 S�U Þ�æ 7 ÿkü�/ú 5 ��ú � 7 �^ø����/þ�ù\øWô���ô�úÛò��/û��/ø÷õVÿkô òFü Þ º 5 [ 7 �^ú � >fObQoSYUxp þ:òÛü�/ø½ÿZô�õ����O ô S �\ü\þ#ÿ òFü��ò > ô�õ,èrô������^ú<úiô�úÛò��/û�ø0� �����^ú � $\ú � ¹® >PORQTS ì Q �O ô�ô S �Vò�ÿkü\ô�hüiùuþ^ô�úÛòFõ�ô�õ > �/þ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ � Ê�ø÷þ��*���<þ�ö\ø���ú\õ`ÿ��/ø��È ²6С:ãÆ%: �}� õ����«òFü��òÌ���Jö\ú�?òÛô�þ�ú > @ � p 6 Þ � B ô�õïþ �?�(þ�ö\ú � � � �)��øWô�:òÛô�þ�ú ô��òFü�Fø0���"8ô�õ`òÛõn�t�/þ�ú\õ`ò���úÛò ï õ÷ö�3üZòFü��òUÿkü�/ú�"�*�/ø p�º}Q ® ºÛQ ¹ º}Q Z �����3º}Q�£�º Þ

� \

Page 63: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

ÿ���ü���*�£ÕM# ¹

° >PORQ�Õ Ý ¹ SoVÛ>PORQ�ÕeS ° ºWï1²

O ô S �\ü\þ#ÿ òFü3�:ò ô�� ³�@ � p 6 Þ � B ô�õ�ô�ú�/ø����^õ#ô�ú\ûpòFü�/ú ³ ô�õ�þ ���(þ�ö\ú � � � �)��øWô�:òÛô�þ�ú��\ü\þ#ÿÎòÛü�:òtô� ø ¹ 6 ø Z @ � p 6 Þ � B ��ø0�Yô�ú3�/ø0����õ÷ô�ú\ûròÛü�/ú øjU/ø ¹ VÒø Z ô�õLþ ���uþ^ö\ú � � ��)��øWô�:òÛô�þ�ú�

O ô�ô S �<ö\ù\ù(þ�õ��EòFü��ò > ô�õ�þ �¡�(þ�ö\ú � � � �)��øWô�:òÛô�þ�ú���\ü\þhÿ òÛü�:ò> ¹ ORQTSYU õ÷ö\ù� £ÕM# ¹ >PORQ�Õ�SoVª>PO > ÕeSY@p�º > ¹ º}Q ¹ º > Z º}Q Z º������3º > £�º}Q�£tº}Q �ô�õ���ÿ������ � ��$\ú� � ô�ú�/ø0����õ÷ô�ú\û��Jö\ú�?òÛô�þ�ú���<ü\þ#ÿ òFü��ò > ¹ Vy> ô�õ�����õ÷þ��^úµô�ú�/ø����^õ÷ô�ú\û�Jö\ú�?òFô�þ^úÌ��ú � õ÷þ > ô�õVòFü� � ô��5�/ø��/ú����þ��6ò ÿtþdô�ú�/ø0����õ÷ô�ú\û��Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ��

O ô�ô�ô S �\ü\þhÿ òÛü�:ò»ô���ÿ�� õ��?ò >fObQoS�UßQ õ÷ô�ú Q Ý ¹ �Jþ^ø Q ÜU¼p ��ú � >fOqp�S�U¼p òFü�/ú>�@ � p 6 Þ � B ô�õ,���/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ,�Jö\ú�?òÛô�þ�úïÿkü\ô�3üiô�õ�ú<þ:òZþ��¡�(þ�ö\ú � � � �)��øWô�:òÛô�þ�ú���è?�������4���/ø � ô�^û�ø0� �dõ4������ú\þ�ò���� øWô�û^þ�øWþ�ö\õ��\öfòZòFü�"�����/ø`ò���ô�ú�(�¨ü3����ùÌ�6þ^ö«ö\úç´� �/ø÷õ`ò���ú � ÿkü��ò��6þ^öÌ��ø0�pò�� ����ô�ú\û�� �(þ^öfò����È ²6С:ãË%: ñ&� >¸@ � p 6 Þ � B ô�õiô�ú�/ø����^õ÷ô�ú\û¨õ÷ü\þ#ÿ òÛü�:ò ô�� Q�£ ô�õA��ú ô�ú�/ø����^õ÷ô�ú\ûõ���Ï�ö�/ú��� òFü�/ú >PORQ�£ S ò��/ú � õZòÛþ¥��ô��nô ò-�^õ ¦ B ¿ �©`�� � ö�������^ø����Jö���(�¨òÛü��òÙô��pA[ > º Þ òÛü�/ú >fObQoS ò��Fú � õEòFþÌ�Ì��ô�dô ò >fO > V!S �^õ QÛB > òÛü\øWþ�ö\û�ü��)����ö�/õ�þ � Qÿkô òFü Q�[ > � O �}��õ#ü����¦õ��?ò >fOqp V!SYUW>fOqp�S � S `���$\ú� >PO > Ú!S õ÷ô�dô����ø0�(�#�

ÀT�?òdö\õ������� >fO > Ú�S%V]>PO > V!S òFü� Á ö�dù ��O > S �:ò > ���\ü\þ#ÿ òFü��òdô�� > ¹ > Z ²�²�²> £ ��ø0� � ô�õ`òÛô�ú�?òZù(þ�ô�úÛòFõrþ�� O=p 6 Þ S òÛü�/ú£ÕM# ¹ ��O > Õ SrºW>PO Þ SoVÛ>PO=p S�²

�\ü\þ#ÿ òFü��ò > ���^ú ü���3�tþ�ú����$\ú\ô ò�����������ú�� Á ö�nù\õEþ ��õ#ô�ö�� Þ�æ�¦ þ�øn�nþ^ø����a`�� � ö���òFü��ò > ü��õvþ�ú���}�/þ�ö\úÛò�� ����}���^ú�� Á ö�nù\õ4�^ú � òFü��ò > ��ö\õ`ò��5���/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õ4��òõ÷þ ����ù(þ�ô�úÛò��È ²6С:ãÑ%: Ào�?òÃݪ����òÛü�Gõ��?òEþ����Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ >�@ � p 6 Þ � B õ#ö�hüròÛü�:ò > ô�õT�/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õþ^ú Oqp 6 Þ ���^ú � > ü��õ,�^úiô�nù\øWþ�ù5�/ø�è ô������^ú\úiô�úÛò��/û�ø0� �

� >AU¹® >fObQoS ì QT²

�<ü\þ#ÿ òÛü�:òZô�� > 6 ³1¤ Ýß��ú � ] 6-> ¤ òÛü�/ú ]5>�Ú > ³�¤ Ýû��ú �� Od]5>�Ú > ³5SPU�] � >�Ú > � ³5²

�¡��û^ô(�uô�ú\û��nù\ø÷þ&þ ��þ�ø,�/þ^ö\úÛò��/ø=´��"89� �dù����/õ`ò������ô�õ#üïÿZü�?òFü�/ø�ô òZô�õ?� � ÿ����uõ�òÛøWö�òFü��òkô� > 6 ³�¤ Ý òÛü�/ú >)³1¤ Ý!�

� Ó

Page 64: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ²6С: Ò : �\ö\ù\ù(þ�õ���òFü��ò >M@ Z B ô�õ��/þ�úÛòFô�ú&ö\þ�ö\õ����¡��ö\õ÷ô�ú\û�ø��/õ÷ö� òFõZþ�úiòFü�� ô����/ø0�/úÛòÛô���òFô�þ^úiþ ��ô�úÛò��/û�ø0� ��õ�ÿkü\ô�3üiõ÷ü\þ^ö� � �5��Ï�ö\þ�ò�� � �"89���?ò���� õ#ü\þ#ÿ òÛü��ò

ìì »

G�

Þ=>PO¼È 6 É5S ì É ì È�U ì

ì »Þ=

G� >PO¼È 6 É5S ì È ì É5²

`�� � ö���EòÛü��ò8

�Þ=>PO¼È 6 É5S ì É ì È�U Þ

=8

� >fO�È 6 É5S ì È ì É 6þ^ø� ��nþ�ø0��ô�ú� þ�ø0��������

8�

Þ=>PO¼È 6 É5S ì É ì È�U Þ

=8

� >fO�È 6 É5S ì È ì É�²È ²6С:ãÊ%: Ê�ø÷þ��*�A����PòFü�iø0�/õ÷ö� òFõnþ����3���?òFô�þ^ú Þ�Þ � O �»��þ^ú\û¯�\öfòÊ����õq�y�^ú � ö\õ����Jö��"89�/ø0�/ô�õ����«ñSúýþ�ø � �/øròFþ�� ���/ù�òFü�Éú\þ�ô�õ������"�*���7� ø÷þ�� ÿZü\ô�ú\û�ô�ú\û®õ`òÛö � �/úÛòFõ � þhÿkú�òÛþòFþ ���/ø����3������"�3����õVòFü\ô�õ,�/þ�ö\úÛòFõ,��õ \ Ï�ö�/õ`òÛô�þ^ú\õ�� SÈ ²6С:ãÖ%: ���� � ö�/õ`òÛô�þ�ú \�p ��� �È ²6С:½¡�С: �pþ�ú\õ÷ô � �/ø?ßÎòÛü� õ÷ù� ��� þ ����ô�ú����ø�����ù\õ � @ B�B B �1�Û��ÿZô�õ#üiòÛþõ÷ü\þ#ÿ òÛü��ò ì O �Æ6 �rSPU X � V«� X O ÿkô òÛü X � X òFü��ö\õ÷ö� ��+�þ�ù5�/ø��:òÛþ^ø�ú\þ^ø���. S � ��$\ú�/õ,��/þ��nù��?ò������?òFø÷ô����

6�þdòÛü\ô�õ��/ú � �/þ^ú\õ÷ô � �/ø!�Ê�,�^ö�3ü��¨õ���Ï�ö�/ú��� � £ ô�úoß7���\ü\þ#ÿ òÛü�:òÉô� ¶ª¤ BòFü�Fú � £�OJ¶oS ò��/ú � õ�òÛþ!��ô��nô ò� *��� ���6ô ò � OJ¶oS ��þYþ#ÿ õ#ü\þ#ÿÏòFü��ò � @ B�B B ô�õ7��ô�ú���^ø���¡� ö\õ÷ô�ú\ûqòFü��ô�ú��Ï�ö����ô ò/�

X � O ¶oSTV � £�OJ¶oS X º X � ��OJ¶oSoV � £�OJ¶oS X Ú X � ��OJ¶oSoV � O ¶oS Xº õ÷ö\ù3 Û 4�Ì £ X � 3 OJ¶oSoV � 4�OJ¶oS X Ú X � ��OJ¶oSoV � O ¶oS X 6

�^ú � � ����þ#ÿZô�ú\û � B ¿ õ÷ü\þ#ÿ òFü3�:òX � V � £ X º õ÷ö\ù3 Û 4�Ì £ X � 3 V � 4 X 6

�^ú �Ì� � � ö���EòFü��ò X � V � £ X B ¿ �^õ ¦ B ¿ �È ²6С:½¡(¡*: ñSú � ö�/õ`òFô�þ^ú \�p � Þ p ÿ��võ÷ü\þ#ÿ�� � òFü��ò�ß ÿkô òFü òFü3���^ù<ù\øWþ�ù\øWô�:ò������?òFø÷ô��ô�õ?�/þ��nù���?ò����pñ úïòFü\ô�õ,Ï�ö�/õ`òFô�þ^úïÿ������ ����ö<õ���þ��6òÛü��ø0�/õ÷ö� ò��

O ô S �\ö\ù\ùuþ^õ�� � ¤ ßÛ��ú � X � X [ Þ ��Ào�?òà £tU9Ú*Ú � Ú � Z Ú������ Ú � £ ²

� ú

Page 65: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�\ü\þ#ÿ òFü��ò à £ �/þ�ú��3�/ø÷û��/õVòÛþ�����ô��nô ò à ¦õ����#���þ��nù\öfò�� O6Ú5V � S à £ ��ú � õ÷ü\þhÿ! ����^ø���� ö����»òÛü�:ò O6Ú5V � S à U9Ú �O ô�ô�ô S `�� � ö���EòFü��òkô� X Ú5VÒé X [ Þ òFü�/ú é ô�õ�ô�ú��3�/ø`òFô������O ô�� S �\ü\þ#ÿ�òFü3�:ò»ô�� �¾¤ ß ô�õZô�ú��3�/ø`òFô����j��ú � X �¥V·� X [ X � Ý ¹ X Ý ¹ òFü�/ú � ô�õ

ô�ú��*�/ø½òÛô������O � S ��þ^ú����ö � �EòÛü�:ò�òFü��ô�ú��3�/ø`òFô�������������/úÛòÛõ�þ��{ߪ�Jþ^ø��ã��úiþ�ù5�/úiõ��?ò��

È ²6С:½¡�²¡: �pþ�ú\õ÷ô � �/ø s O � V Þ 6 Þ � S òÛü�võ��?òïþ �P�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ >-@ � V Þ 6 Þ � B�,�\ü\þ#ÿ òFü��ò� �ô��6ÿ���õ��?ò

ì O�> 6 ³5SPU X >�VÒ³ X Z U¹Ý ¹° >fObQoSoVÒ³¡ObQoS ° Z ì Q

¹[Z Z

òFü�Fú ì ô�õ,�����?òÛøWô���\öfò ì ô�õ�ú\þ�ò!�/þ �dù��?ò�����<ü\þ#ÿÏòFü��òYô�� X >�V\³ X ¹ ô�õ � ��$\ú� � ��õGô�új��89���nù��� Þ Ó ����òÛü�/ú \ ¹uZ Z X > X Z § X > X ¹

�Jþ^ø�� ��� >2¤ s O � V Þ 6 Þ � S �\öfòdòFü��ò� û�ô��*�/úM��ú��y�/þ^ú\õ`ò���úFò ï ¬ p ÿ��A����úM$\ú � �³1¤ s O � V Þ 6 Þ � S õ÷ö�3üïòÛü�:ò X ³ X Z § ï X ³ X ¹ �

6�ü�vø�������ô�ú\ô�ú\û�Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú®ô�õYô�ú����ö � � � �Jþ^øYû��Fú�/ø0� �bô�úÛò��/ø��/õ`òt��ú � ú\þ�òt�Jþ^øYø������"´�)��ú���EòFþqòFü��õ������� �\ö\õ�þ�øPòÛþdù��õ÷õ÷ô�ú\û�6�ø÷ô�ùuþ^õ,�"89���nõ��

È ²6С:½¡�¿¡: �}��ö<õ��EòFü��ú\þ�ò���òFô�þ^ú�þ�� � ö�/õ`òÛô�þ�ú\õ \�p � Þ p �^ú � \ p � Þ^Þ �O ô S �\ü\þ#ÿ òFü��òZô�� � ¤ ß«ÿ�������úÌ$\ú � É   ¤ ßÎõ÷ö�3üïòFü��ò

£

� # ®� �� V É

  B p�^õ ¦ B ¿ �

O ô�ô S �<ü\þ#ÿß����ø���� ö����»òÛü�:òZô�� � ��ú � � �/þ����vöfò��É   É × U É   ÿ × ²

O ô�ô�ô S �\ü\þ#ÿ�òFü��òÉô� � ��ú � � �^ø�� û��/ú�/ø���� O ú\þ�òÉú�����/õ÷õ��^ø÷ô��(�M�/þ ����öfòFô�ú\û S �����"´���/úÛòÛõ�þ��{ß«òÛü�/ú

ø Ý Z O É �   É � × V É � × É �   SoVÙO � ��V«� � S B p�^õ�òFü��ø�������ú�ö�4�5�/ø ø�B p �

��þ^ú3����ö � �EòÛü�:ò� ¦ô�úiû��/ú3�/ø0� �� /É   É × ��ú � É   ÿ × ú��� � ú\þ�ò!�5����Ï�ö� ���

� �

Page 66: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

Ä�æ I � J î¦� è Ä è �Y�t� �ÌËÇÆÛÇ �ïîYÎ?ÈÛ (�d 

ñ ü���3�»òÛøWô� � òÛþ ù\ø÷þ � ö��� Þ \ ø��:òÛü�/ø øWþ�öfòFô�ú�-Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õA�Jþ^øA��� �hü õ÷ü���?ò��»6pü�ø0�����^ô�ú\ô�ú\û1Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õ���ø0��� þ�øtô�úÛò��/ø0�/õ`òdþ�ú���#�����4�\ô òFô�þ^ö\õqõ`òÛö � �/úÛòFõ���ú � òÛü�/ô�øtõ÷öç´ù5�/øq�uô�õ÷þ�øWõ�õ#ü\þ^ö� � ��þ�þ��1��ò!6�ø÷ô�ùuþ^õ,Ï�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õVòÛþdõ÷ö\ù\ù3�������/úFò�òFü<ô�õ,�����^û�ø0���H��ø0���

È ²�¡*:½¡5: �pþ�ú\õ÷ô � �/øLòFü�rò ÿtþ»ø��^ô� ÿ����k���?òÛø÷ô��/õ ì ¹ ��ú �¨ì Z þ^ú Z û^ô(�3�/úÙô�ú���89� ��´ù���/õ Þ^Þ � Ó ��ú � Þ^Þ � ú �D�6þ^ø������3ü�þ �GòFü�ïò ÿtþ'���?òÛøWô�/õnû�ô��*�Ì� ø0����õ÷þ^ú� ���� õ#ô��nù���� �/õ��/ø÷ô�ùfòÛô�þ�ú þ �<òÛü��þ^ù5�/úÌ�� ����õpþ �bø�� � ô�ö\õ � ��ú � ���/úÛòFø�� ¶ ÿkü�/ú ¶�U Ð ��ú � ÿkü�/ú¶©ÜU Ð �^ú � O � S+��º X ¶ X O � S ��[ X ¶ X º2\�� O � S,\���[ X ¶ X �

��8ù����ô�údòÛü��õ=ò���ò������/úÛò�+ ÿZü�/úÊ$\ú � ô�ú\ûnþ�ù5�/ú�õ��?òÛõ�þ�ú�(�-�� ����õ�þ ��õ���� ����ø�� � ô�ö\õ�^ø���ô��nù(þ�ø½ò��^úÛòZõ÷þ�����õ��/õ O � S ��ú � O � S ��ø0��ô�øWø������"���^úÛò�.��

Okô(�3�PòFü�põ÷ô��nù��/õ`ò � �/õ��/øWô�ùfòFô�þ^ú��<þ�ö�����ú�$\ú � þ��6þ�ù5�/údõ��?òFõ�ô�útòÛü��òSÿtþ����?òÛøWô�/õ��È ²�¡*:ã²%: Ào�?ò >A@ Z B �5� � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� �������ú � ���?ò ³¡ObQTSPU2>PORQ 6 w V�QoS ÿkü�/ø�� w�/þ^ú\õ=ò���úÛò����<ü\þ#ÿ òÛü��ò ³1@ B ô�õ � ô����/ø0�/úÛòFô���3������ú � $\ú � ô òÛõ � �/ø÷ô��)��òFô(�3�

O ô S � ô�ø0���?ò����-�JøWþ �ÅòÛü� � ��$\ú\ô òFô�þ^úiþ � � ô��5�/ø��/úÛòFô���\ô��ô ò&��^ú � � ��õ#þ

O ô�ô S ��� ö\õ÷ô�ú\ûtòÛü���3ü�^ô�úiø÷ö�����`�� � ö���nòÛü�:ò®ô� > Û ¹ U > Û Z òÛü\øWþ�ö\û^ü\þ�öfò òÛü�/ú >PORQ 6 > SAU ø¡ORQ¯Ú > S � þ�ø õ÷þ ���� ô����/ø0�/úÛòÛô�� ������Jö\ú�?òÛô�þ�ú ø �È ²�¡*:ã¿yµ?³U°�´\§�·½¯F·½©6Ã�´\Áq¶#: ��þ^ú\õ÷ô � �/ø òÛü�1�Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ >�£k@ � p 6 Þ � B � ��$\ú� � ���>�£�ORQTSYU ¦ 3 Q �"8ù OqV ¦ 4 QoS ÿkü�/ø�� 5,6�7 ¬]p �O ô S �\ü\þ#ÿ òFü��ò >z£ �/þ^ú��3�/ø÷û �/õ�ù(þ�ô�úÛòSÿZô�õ���þ�úk� p 6 Þ ���O ô�ô S �<ü\þ#ÿ òÛü��òkô� 5 [ 7 òFü�/ú >�£ �/þ^ú��3�/ø÷û��/õrö\ú\ô��Jþ�ø0����� þ^ú¥� p 6 Þ ��O ô�ô�ô S �\ü\þ#ÿìòFü��ò ô�� 5 § 7 òÛü�/ú >�£ � þJ�/õïú\þ�òA�/þ^ú��*�/øWû � ö\ú\ô��Jþ�ø0�����Îþ^ú]� p 6 Þ ��`tþJ�/õ >�£ �/þ�ú��*�/øWû � ö\ú\ô� þ�ø0����� þ�úx� p 6 Þ V¾« � � `tþJ�/õ >z£ �/þ^ú��*�/øWû � ö\ú\ô��Jþ^ø������ þ^ú� « 6 Þ � �©O Þ��/ø0� p�[x«7[ Þ )�6þ^öiõ÷ü\þ�ö� ��Á ö\õ=òFô� �1�6þ^ö\ø,�^ú\õ=ÿ��/øWõ�� SÈ ²�¡*:ãÆ%: Ào�?ò O¼° 6 ì S �5�-�M���?òFø÷ô���õ÷ù� �����ß�Û� õ����ÏòÛü�:ò £ ô�õ � �/ú\õ�� ô�ú ° ô��ÿkü�/ú3�"�3�/ø Q�¤�° ÿ�������úÌ$\ú � É £�¤ £ ÿZô òÛümÉ £�BêQ �

O ô S �\ü\þ#ÿ òÛü�:òròÛü�kø���òFô�þ^ú� ��õ��^ø�� � �/ú\õ��Zô�únòFü�Zø0��� ��õ O ô����� ô�õ � �/ú\õ��Zô�ú ô��ÿ�� û^ô(�3� òFü� ö\õ÷ö� �*���?òÛøWô� S ���\ü\þhÿÏòFü��òGòFü� ô�ø÷ø0��òÛô�þ�ú����õr��ø0� � �/ú\õ�� ô�úkòFü� ø�������õ��� árþ�öiõ÷ü\þ�ö� � ����� ���"8ù��ô�/ô ò��^ú�� ö\õ����6þ^öÌ����� ��þ �<òÛü����8ô�þ�� þ��¡�Yø0�3ü\ô��� � �/õ����

O ô�ô S �pþ�ú\õ÷ô � �/ø�òÛü� õ#ù����� s O � p 6 Þ � S þ����/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õn� ö\ú�?òÛô�þ�ú\õbÿkô òFükòÛü� ö\ú\ô�Jþ^ø��ú\þ^ø������\ü\þ#ÿ òFü3�:ò�òFü��ù\ô�����?ÿkô�õ�����ô�ú����ø��Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õ,�^ø�� � �/ú\õ���ô�ú s O � p 6 Þ � S �È ²�¡*:ãË%: è?��������*�JøWþ �]�6þ^ö<øY�/þ�ö\ø÷õ��/õGô�új���:òÛü������òFô�����*���?òFü\þ � õIòFü��ò� (ô� >�@ B

ô�õ,���/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ�ù��/øWô�þ � ô����Jö\ú�?òÛô�þ�úïÿkô òFüiù��/øWô�þ � \ ½ òFü�/úïÿ��Eÿkø÷ô ò��Ø>PO ¦ SYU Þ

\ ½áÝ á>fO�»eS �"8uù O�V ¾ ¦ »eS ì »�²

� �

Page 67: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�<ü\þ#ÿ! �Ï�ö\þ:òÛô�ú\û'���^ø���� ö���� ��ú�� ø��/õ÷ö� òÛõqòFü��ò��6þ^ö�ö\õ��� GòFü��ò� Yô�� ¢g£�¤ �^ú ��£$# Ý � ° ¢±£ ° �/þ�ú��*�/ø÷û��/õ� ÛòÛü�/ú �£(# Ý � ¢g£ �"8ù O ¾ ¦ »eS �/þ^ú��*�/øWû �/õIö\ú\ô�Jþ^ø����(�tòFþ?�?�/þ^úç´òFô�ú�ö\þ^ö\õZù5�/ø÷ô�þ � ô���Jö\ú�?òFô�þ^ú >fO�»eS Lõ����# Iÿkô òFü«ù5�/ø÷ô�þ � \ ½P���\ü<þ#ÿ òFü��ò Ø>fO ¦ S�U¼¢±£ �

�Jþ^ø,�����3ü ¦ ���6�ü\ô�õ?�hü3�^ô�úiþ��6òFü\þ�ö\û�üFòZô�õ?�/þ^úÛòFô�ú�ö� � ô�ú � ö3�/õ`òFô�þ^ú \ Þ � Þ ú ���È ²�¡*:ãÑ%: è?���������òÛü�:ò X�X ô�õpõ���ô � òÛþ��5���dú\þ^ø��ìþ�úA�ïø������)�3���?òÛþ^øpõ÷ù�����üê�ô��<òFü��Jþ����þ#ÿZô�ú\û��/þ�ú � ô òÛô�þ�ú\õ�ü\þ � � �

O Þ S X ¶ X § p � þ�ø�� ��� ¶�¤ ê��Oq\ S X ¶ X Uxp ô��nù��ô�/õ ¶�U Ð �OqÓ S X ]\¶ X U ° ] °_X ¶ X � þ�ø�� ��� ]1¤ �^ú � � ��� ¶�¤ ê��O ú S X ¶jÚ¨¥ X º X ¶ X Ú X ¥ X �Jþ^ø,���� ¶ 6 ¥-¤ �O ô S Ào�?ò X�X Z ��� òFü�ïö\õ÷ö���%�Gö����ô � ���^ú ú\þ^ø�� þ�ú � �^ú � ��?ò X�X �5�t��ú\þ:òÛü�/ø

ú\þ^ø�� þ�ú � �ÛÀT�?ò 1¥@4O � 6 X«X Z SjB O � 6 X«X S �5��òFü� ô � �/úÛòFô ò&�ª���^ù û^ô(�3�/ú��� 1^¶WU ¶ �y�¡�y�/þ�ú\õ÷ô � �/ø÷ô�ú\û¯���õ÷ô�õ��3���?òÛþ^ø÷õdþ�øïþ�òFü�/ø`ÿZô�õ���òÛü�:òdòÛü�/ø0�A�"8ô�õ`òFõ���/þ^ú\õ=ò���úÛò ï õ÷ö�3üÙòÛü�:ò X ¶ X º ï X ¶ X Z � þ�ø�� ��� X ¶ X ¤ � �`�� � ö����òFü��ò 1 ô�õ�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��

�¡�M�^ù\ù�(�ô�ú\ûÌ�dòFü�/þ�ø0��� þ�ú'�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ^ö<õ��Jö\ú�?òÛô�þ�ú\õkþ^ú'����þ�õ�� � �(þ�ö\ú � � � õ��?òFõõ÷ü\þ#ÿ òÛü�:òqòÛü�/ø����"8ô�õ`òÛõ�� À�¬ýp õ#ö�hü òFü��ò X ¶ X § À � þ�ø����� ¶ ÿZô òÛü X ¶ X Z U Þ ��pþ�ú����ö � �EòFü��ò

À X ¶ X Z º X ¶ X ºÙï X ¶ X Z�Jþ^ø,���� X ¶ X ¤ � ���6�ü�ö\õ,����¦ú<þ^ø��dõ�þ�úÌ��$\ú<ô ò�� � ô����/ú\õ÷ô�þ�ú� �¦õ÷ù� �����^ø����/õ÷õ��/úÛòÛô�� ���(�»òFü��õ�� ������

O ô�ô S �pþ�ú\õ÷ô � �/ø\òÛü�Gø��������3���?òÛþ^øbõ÷ù� ��� âZþ ������&ø0��� ��õ���Ï&ö�/ú���/õ ¶�UýObQ ¹ 6 Q Z 6 ²�²�²�Sÿkô òFü»òÛü�ïö\õ÷ö� �5�3���?òÛþ^ø�� �3� ô òÛô�þ�ú-�^ú � �vö� òFô�ù��ô���:òÛô�þ�ú-���ýõ���� ����ø÷õ��jÀo�?ò�ê¨���YòFü�õ��?ò�þ��f����Iõ���Ï&ö�/ú3���/õ ¶-UãORQ ¹ 6 Q Z 6 ²�²�²zS õ÷ö�3ünòFü��ò Q�Õ4ÜU¾p � þ�ørþ�ú���'$\ú\ô ò����(�'����ú��Ø ���\ü\þ#ÿ òÛü��ò¥ê ô�õ�� õ÷ö�\õ÷ù� ����þ�� â ��ú � õ÷þ1���*���?òÛþ^øYõ÷ù3������ô�úÙô òFõtþ#ÿZúÙøWô�û^üÛò���¡�¯�/þ�ú\õ÷ô � �/øWô�ú\û ú\þ�ø0�nõ þ��uòFü���Jþ^ø�� X ¶ X U ����8 Õäã Õ ° Q�Õ ° bþ^ø þ:òÛü�/ø½ÿZô�õ��� o$\ú � òSÿqþú\þ^ø��nõ X�X � �^ú � X�X Î õ÷ö�3üïòFü��ò

õ÷ö\ùä å&äËå # ¹ X ¶ X Î U õ÷ö\ùä å&äçæ # ¹ X ¶ X � U2¿ª²È ²�¡*: Ò :�O ô S �\ö\ù\ù(þ�õ�� òFü��ò >-@ B ô�õ��ZòSÿZô���� � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� ����t�Jö\ú�?òFô�þ^úÙõ÷ö�3üòFü��ò

>PORQTS�> ~ ~ ORQTS> ~ ObQTS Z º�]

�Jþ^ø,���� Q �^ú � õ#þ���� ° ] ° [ Þ �\ü<þ#ÿ òÛü�:ò�òFü3������ù\ù\ô�ú\ûc Q�U}Q1V >PORQTS

> ~ ORQTS� I

Page 68: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

ô�õ?���/þ�úFòÛø0� �?òÛô�þ�úÌ����ù\ù\ô�ú\û��^ú �Ê� � � ö���EòFü��ò > ü�^õ?�dö\ú\ôÏ�ö��øWþ�þ:ò > �O ô�ô S �<ö\ù\ù(þ�õ��EòFü��ò � @ B ô�õ?�tòSÿZô���� � ô��5�/ø��/úÛòFô�������Jö\ú�?òFô�þ^úiõ#ö�hüïòÛü��ò

� ORQTS � ~ ~&ObQoS� ~ ObQoS Z º�]

�Jþ^ø,���� ° Q ° ºÙ¢ ��ú � õ÷þ���� ° ] ° [ Þ �^ú � òÛü�:ò � Oqp�SYUxp �,��þ^ú\õ÷ô � �/øVòFü�����^ù\ù\ô�ú\ûc Q�U}Q1V � ObQoS

� ~ ObQoS ²�\ü\þ#ÿ òFü��ò c £ Q�B p �

�<ö\ù\ù(þ^õ��EòFü��òõ÷ö\ù�è G è ç � ° >)~&O�»eS ° õ#ö\ù�è G è ç � ° >�~ ~&O¼»eS °ô�ú� è G è ç � ° > ~ O�»eS ° Z

U i ²

�¡� ö\õ÷ô�ú\ûqòFü��������ú��)����ö�EòÛü�/þ^ø����Åò ÿkô���� ¦õ÷ü\þhÿ òÛü�:òZô�� ° Q ° ºW¢ òÛü�/ú° c Q ° º i Q Z ²

O ô�ô�ô S ñ/�*�<þ�öÌ��ú\þ#ÿ ÿZü�:ò�òÛü��þ��?ÿpòÛþ^úç÷*è?�^ù<ü\õ÷þ^úÊ���?òÛü\þ � ô�õ� ��/þ �����/úÛòZþ^údòFü�ø0����"�)��ú����þ��6òÛü��ø0�/õ÷ö3� òÛõ�þ�� O ô S �^ú � O ô�ô S òÛþtòÛü��ò!���?òFü\þ � �È ²�¡*:ãÊ%: �}��ÿqþ^ø��ýô�ú � ÿZô òÛüÙòÛü� ö\õ÷ö� ��+�Gö����ô � ���^ú�ú\þ^ø���.�y6�ü�A�Jþ����þhÿkô�ú\û��ô�ú��þ �¦òFü\þ�ö\û�üFòdô�õ��"8�òFø����������ýô�dùuþ^ø`ò���úFòdô�ú���:ò��/øLÿtþ^ø��J���\ö\ù\ùuþ^õ��Yÿ�� ÿ���úÛòtòFü�õ÷þ ��öfòÛô�þ�ú ¶ ® þ��

¶jÚÕÔ)O ¶oSYU ¥ÿkü�/ø�� Ô)OJ¶oS ô�õ1+��ýõ���� �����/ø÷øWþ�økò��/ø���. þ�ø�+�þ ��$\ø÷õ`òÙþ^ø � �/ø��/þ��nù�^ø�� � òÛþ ¶ �ß6pü��Jþ����þ#ÿZô�ú\û����?òFü\þ � þ �Eõ÷þ���öfòFô�þ^úýô�õ�òÛø0� � ô òÛô�þ^ú� � O � þ�ø�òFü�j�"89��������/úÛò»ø0����õ÷þ^ú�òFü��òÉô òö\õ÷ö� ���(�nÿtþ�ø0��õ���ô�����t�\ù�^ú\ô�õ÷ü��hü��ø0� S ���fò��^ø`ò����µô�û�ú\þ^ø÷ô�ú<û òFü�tõ���� ��� Ô ò��/ø��¸�^ú �û^ö�/õ#õ ¶ ®�é ¶ ¹ UÅ¥ ���\ô�ú���ròÛü\ô�õYô�ú\ô òÛô����û�ö�/õ÷õtô�õtû^þ�þ � ÿ��4�/õ=òFô����ò�� òÛü�võ���� ��� Ôò��/ø�� ��õ ÔJOJ¶ ¹ S �C�*��� � ô�ú\ûdòÛü\ô�õ��/õ`òÛô����:ò��j����e� ô�úÛòFþnòFü�j��Ï�ö�:òÛô�þ�úiÿ�� ú\þ#ÿ¤û�ö�/õ÷õ¶ ®Dé ¶ Z U ¥AV Ô)O ¶ ¹ S ��è?�/ù5����òFô�ú\ûqòÛü\ô�õrù\ø÷þ ���/õ#õ�û�ô��*�/õrö\õ�òFü3��ø÷ö���!�Jþ^ørõ÷ö�����/õ÷õ÷ô(�3��^ù\ù<øWþ�8ô����òFô�þ^ú\õ

¶5£ ÿ ¹ U ¥AVÕÔ)OJ¶5£ S�²�}��ú\þhÿ òÛø=�»òÛþ Á ö\õ`òÛô��X�»òFü\ô�õ�ô�úÌ���/ø½ò��^ô�úÌ���^õ��Fõ��

O ô S �\ö\ù\ùuþ^õ��EòÛü�:ò Ô)O Ð�SYU Ð �^ú �X Ô)OJ´*SoV Ô)O ­fS X [ X ´tV�­ X æ \

� �

Page 69: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

�Jþ^ø����� X ´ X 6 X ­ X º @ ÿkü�/ø�� @}¬ p � O þYþ�ò��ÉòÛü�:ò òFü�/õ�����ø0�Ùø��:òÛü�/ø»õ=òFø÷þ^ú\û �/ø�/þ^ú � ô òÛô�þ�ú\õ�òÛü�^ú��dô�û^üÛòvü���*�!�����/úÊ�"8ù5���?ò�� � ��Þ þhÿ��"�3�/ø� \òÛü\ô�õ ô�õ ú\þ�ò�òÛþ õ���� òFü��òòFü�Éû��/ú�/ø����Gô � �����dô�û^üÛò»ú\þ�òkÿqþ^ø�� ö\ú � �/ø�ÿ���� ���/ø��/þ�ú � ô òÛô�þ�ú\õ�� S �Û� õ÷ü� ���Gõ÷ü\þhÿòFü��òpòÛü�����?òFü\þ � ÿtþ�ø0��õ,�Jþ�ø X ¥ X º�@ æ \ �

��þ^ú<õ÷ô � �/øVòFü������þ^õ�� � ����� � U ¶�@ X ¶ X º�@ � ���\ü\þhÿ òÛü�:ò�òFü����Ï�ö��òFô�þ^úc O ¶oSYU ¥AVÕÔ)OJ¶oS

� ��$\ú�/õ4�����^ù c @ � B � �kþYþ#ÿ ö\õ��ZòFü���/þ�úÛòFø����?òÛô�þ�ú¥���^ù\ù\ô�ú\û òFü�/þ�ø0��� òÛþõ÷ü\þ#ÿ òFü��ò

¶jÚÕÔ)O ¶oSYU ¥ü�^õ1�«ö<ú\ô�Ï�ö�µõ÷þ ��öfòÛô�þ�ú ¶7OJ¥¡S ÿZô òÛü X ¶7O ¥¡S X º @ ��ú � òFü3�:ò c £ O ¥¡S�B ¶7O ¥¡S �^õ¦ B ¿ �

O ô�ô S �\ö\ù<ù(þ^õ��PòÛü�:ò >�@ � B � ô�õP� � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� ������Jö\ú�?òÛô�þ�úYÿZô òÛü � �/øWô(�)��òFô(�3��/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ���ò Ð >fOJÐ�S?U Ð ��ú � ×1>fOJÐ�S�Uê1 ���\ü\þ#ÿÅòÛü�:òqÿ��t����ú-$\ú � � @�¬ßpõ÷ö�3üïòFü��òpÿZü�/ú�"�*�/ø X ¥ X º�@ æ \ òFü����Ï�ö�:òÛô�þ�ú

>PO ¶oSYU ¥ü�^õ?�dö\ú\ôÏ�ö��õ÷þ���öfòFô�þ^ú ¶7OJ¥¡S ÿZô òÛü X ¶7O ¥¡S X º�@ �

O ô�ô�ô S �\ö\ù\ùuþ^õ���òÛü��ò >A@ � B � ô�õT� � ô����/ø0�/úÛòÛô�� ����r�Jö\ú�?òÛô�þ�ú�ÿkô òFü � �/øWô(�)��òFô(�3��/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õ!�:ò Ð >fOJÐ�S�U Ð ��ú � ×�>PO Ð9S ô�ú��*�/ø`òFô��������\ü\þ#ÿ òFü��òkÿ������^úk$\ú � �@ ¹ 6 @ Z ¬]p õ÷ö�3üïòFü��òpÿZü�/ú�"�3�/ø X ¥ X º�@ ¹ òÛü����Ï&ö��òÛô�þ^ú

>PO ¶oSYU ¥ü�^õ?�dö\ú\ôÏ�ö��õ÷þ���öfòFô�þ^ú ¶7OJ¥¡S ÿZô òÛü X ¶7O ¥¡S X º�@ Z �È ²�¡*:ãÖ%:�O �»���?òFü\þ � þ �����5��� SÌO ô S �\ö\ù<ù(þ^õ���òFü��ò ¢±Õ ��ú � Ò"Õ �^ø�� õ���Ï&ö�/ú���/õnþ���/þ��nù��"8�ú�ö�4�5�FøWõ��^ú � òFü3�:ò � £�U £ÕM# ¹ ¢±Õ � þ�ø ¦Ñ§ Þ ��ú � � ® UÙp ���\ü\þ#ÿ òÛü�:ò� ô�� Þ º�È�º�É òÛü�/ú

ëÕM# B

¢±Õ�Ò"ÕnU ëÕ?# B

� ÕçOqÒ"Õ%VªÒ/Õ�ÿ ¹ SoV � BgÝ ¹ Ò B Ú � ë Ò ë ÿ ¹ ²

O 6�ü\ô�õrô�õ,��ú\þ#ÿZúÌ��õ�ù�^ø`òFô����õ÷ö������òFô�þ^ú ��Jþ^ø�þ����ô�þ�ö\õ�ø����^õ÷þ�ú\õ�� SO ô�ô S �\ö\ù\ù(þ�õ��vú\þ#ÿ òÛü�:ò� Pô�ú�� �� ô òÛô�þ�ú (òFü� Ò/Õ �Jþ�ø0�Â� � ���/ø����^õ÷ô�ú\û»õ���Ï�ö�/ú���vþ��

ù(þ�õ÷ô òÛô��*�Eò��Fø0�nõ,�^ú � òÛü�:ò ° � £ ° ºWï �Jþ�ø�� ��� ¦ ���\ü\þhÿ òÛü�:òëÕM# B

¢gÕeÒ"Õ º2\#ï�Ò B ²

� N

Page 70: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

`�� � ö���EòÛü��òkô� Ò"Õ�B p ��õ Ø B ¿ òFü�/ú "ÕM# ¹ ¢±Õ�Ò"Õ �/þ^ú��3�/ø÷û��/õ��`�� � ö���EòÛü����� ò��/ø÷ú�:òÛô�ú\ûnõ��/ø÷ô��/õVò��/õ`ò��O ô�ô�ô S ñ/� Ò/Õ ô�õY� � ���/ø����^õ#ô�ú\ûkõ���Ï�ö�/ú����þ �uù(þ�õ÷ô òÛô��*�Vò��/ø0�nõ¦ÿZô òÛü Ò"Õ�B p �^õ Ø B ¿

õ÷ü\þ#ÿ òÛü�:ò "ÕM# ¹ Ò/Õ�% Õ �/þ�ú��*�/ø÷û��/õ ö\ú\ô��Jþ�ø0������ô�údòÛü�Zø0�/û�ô�þ�ú�û�ô��*�/úÊ��� ° % ° º Þ �^ú �° %?V Þ ° § « �Jþ�ø�� ��� «r¬xp �È ²�¡*:½¡�С: �}�Eÿqþ^ø��»ô�ú � ÿZô òÛüïòÛü��ö\õ÷ö��� � ô�õ`ò���ú�����

O ô S �\ü\þ#ÿ òÛü�:ò ô�� · ¹ · Z Y��ø0�dú\þ^úç´����dùfò&�  P����þ^õ�� � �^ú � �uþ^ö\ú � � � ÿZô òÛü · ¹w¸· Z ¸ ²�²�² òÛü�/ú "ÕM# ¹ ·7Õ ô�õ�ú\þ^úÌ���dùfò/�#�pñSõVòFü<ô�õ�ø0�/õ÷ö� òpòFø÷ö�qô�<ÿ������/ø����(���^õ÷õ#ö���·nÕ ����þ^õ�� � �^ú � ú\þ�úç´����nùfò&� � Okô��*��ø0����õ÷þ�ú\õ��

O ô�ô S ñ&� · ô�õIú\þ�úç´����nùfò&�# J����þ�õ�� � ��ú � �(þ�ö\ú � � � õ÷ü\þ#ÿ«òÛü�:òIÿ��Y����ú!$\ú � ´ ~ 6 ­ ~ ¤¥·õ÷ö�3üïòFü��ò

X ´ ~ V¨­ ~ X § X ´tV�­ X�Jþ^ø�� ��� ´ 6 ­¸¤ · � ñSõ�òFü\ô�õnø��/õ÷ö� òdòÛø÷ö�iô��Lÿ��Ì���/ø������ ��õ÷õ÷ö��� · �uþ^ö\ú � � � �^ú �ú\þ^ú�´����dùfò/� � Okô(�3��ø����^õ#þ^ú\õ��È ²�¡*:½¡(¡*: �}� ÿqþ^ø���ô�ú � ÿZô òÛüÉòÛü��ö\õ÷ö��� � ô�õ=ò���ú������Ào�?ò £ ���t�1����þ^õ�� � ú\þ^úç´���dù^ò&� õ÷ö�\õ��?òZþ�� � ��ú � ���?ò c �5��������ù c @ £ B £ �

O ô S �\ö\ù\ù(þ�õ�� X c O ´5S%V c OJ­fS X [ X ´�VÏ­ X � þ�ø����� ´ 6 ­Û¤ £ ÿZô òÛü ´�ÜU ­ ���}�õ��#ÿÅô�ú���89� �dù�� Þ � � \ òÛü�:ò c ú��� � ú\þ:òtü���*�?�4$ç8�� � ù(þ�ô�úÛò����\ü\þ#ÿÏòÛü�:ò� (ô�� c ü3�^õ��$ç89� � ùuþ^ô�úFò� ¦ô òkô�õ�ö\ú\ôÏ�ö���

O ô�ô S �\ö\ù\ùuþ^õ�� X c OJ´*SfV c OJ­fS X ¬ X ´jVέ X �Jþ^ø�� ��� ´ 6 ­y¤ £ ÿZô òÛü ´ÛÜU ­ �»ñSú� ö�/õ`òÛô�þ�ú \ Þ � Þ I ô òqô�õEõ÷ü\þhÿkúvòÛü�:ò c ú��� � ú\þ:ò�ü���*���t$ç89� � ù(þ�ô�úÛò����\ü\þ#ÿ òÛü��ò� ô��c ü�^õ?��$ç89� � ù(þ�ô�úÛò� ¦ô òkô�õ�ö\ú\ô�Ï�ö���

O ô�ô�ô S �\ö\ù\ùuþ^õ�� X c O ´5SPV c OJ­fS X U X ´�V ­ X � þ�ø����� ´ 6 ­2¤ £ �-�\ü\þ#ÿ�òFü��ò cú��� � ú\þ:òZü���3�!��$ç89� � ùuþ^ô�úÛò��?��ú � òFü��ò� Iô�� c ü�^õ?��$ç89� � ù(þ�ô�úÛò� �ô òZú3��� � ú\þ�ò��5�ö\ú\ôÏ&ö���

O ô�� S �\ö\ù\ù(þ�õ���ú\þ#ÿ òFü��ò £ ô�õ�ú\þ^úç´����dùfò&�# �����þ�õ�� � ��ú � �(þ�ö\ú � � � �^ú �X c O ´5SoV c OJ­%S X [ X ´tV�­ X

�Jþ^ø,���� ´ 6 ­'¤ £ ÿkô òFü ´-ÜU ­ �,�¡�-�/þ^ú\õ÷ô � �/ø÷ô�ú\ûnô�ú� � � G �Ï8¾ì � � V X ¶�V c O � ¢o»�ø5Ò�>JQoS X þ^ø�þ:òÛü�/ø`ÿkô�õ���õ÷ü\þ#ÿ òFü��ò c ü��õ,��$ç8�� � ù(þ^ô�úÛò��È ²�¡*:½¡�²¡: �6øWþ � òFô����òFþ�òFô���rú�ö���/ø÷ô���� �3�^ú� ���õ`òÛõr���/úÛòÛô�þ�úqòÛü� Dðà9I�l ` c v |�c v szCHm)D �ñóò1�Jþ^ø��dõvú\þµù�^ø`ò»þ�����ú���þ��Eú\þ�úç´#þ�ùfòFô�þ^ú� � Þ �û�/þ�ö\øWõ��/õ��\öfòZòÛü� ø���� � �/ø��������5�ô�úÛò��/ø0�/õ`ò�� � òÛþdõ����EÿZü�:òZô òZô�õ��

O ô S Okô��*���^ú-�"89���nù��ïþ��r����ô�ú����ø����^ù � @ � B � õ÷ö�3ü»òFü��ò � � Ý ¹ ÜU Ð�\öfò � � U Ð �

O ô�ô S ÀT�?ò � @ � B � �5����ô�ú����ø0��ñ&� ¦ U Ø À�Úú� �"8ù��^ô�úïÿkü��X � Õ í ÿ � X º X � Õ X í X � X � ²

I p

Page 71: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

O ô�ô�ô S ��þ^úÛòÛô�ú�ö\ô�ú\ûZÿkô òFüÉòFü��ü��uùuþ:òÛü�/õ��/õYþ � O ô�ô S Põ÷ü\þhÿ òFü��ò � U ô�ú� £ X � £ X ¹[Z £ô�õ�ÿ������ � ��$\ú� � ��ú � ���� ö\õ÷ô�ú\ûtòÛü��ø0�/õ÷ö� òkþ � O ô�ô S ¦þ�ø�þ:òÛü�/ø½ÿZô�õ��� �òÛü�:ò

X � £ X ¹uZ £ B � ²�}����� ��� � òFü��õ÷ù����?òFø�����ø0� � ô�ö\õrþ�� � ��ú � ÿkø÷ô ò�� l O � SYU � �

O ô�� S ñ&� � @ � B � ô�õ � ô�^û�þ^ú� ��ô�õ�������õ÷ü\þhÿ òÛü�:òl O � SYU ����89 ° ] ° @�] ��úÌ�/ô�û��/ú��)� ��ö��þ � � � ²

O � S Okô��*���^ú©�"89���nù��� þ �,��ô�ú����øt����ù\õ �Æ6 �ý@ Z B Z õ÷ö�3ü®òFü��ò l O � S�Ul O��rSPUxp �\öfò l O � Ú«�rSPU Þ �

O �ô S è?����� ����ô�ú\û � ö�/õ`òÛô�þ�ú \ p � Þ^Þ þ�� òÛü��òÛü\ô�ø � õ÷ü���?ò� (õ÷ü<þ#ÿÎòFü��òYô� l OkÚ#V�é¡SY[ ÞòFü�Fú é ô�õ�ô�ú��3�/ø`òFô������

6�ü�Ùø�������ô�ú\ô�ú\ûÑÏ�ö�/õ`òÛô�þ�ú\õ���ø0�Ùô�ú����ö � � � � þ�ø»û �/ú�/ø����tô�úÛò��/ø��/õ`ò¯�^ú � ú\þ�ò-�Jþ�øø0����"�)��ú���EòFþqòFü��õ������� �\ö\õ�þ�øPòÛþdù3�^õ÷õ÷ô�ú\û�6�ø÷ô�ùuþ^õ,�"89� �dõ��È ²�¡*:½¡�¿¡: �}��ÿtþ^ø��tô�ú � X ¶fVk¥ X ÿkô����ø��/ù\ø0�/õ��/úÛòIòFü�Gö\õ÷ö���#�Gö����ô � ���^ú � ô�õ`ò��^ú����5�?ò ÿ����/ú ¶ �^ú � ¥ �

O ô S ñ&� ï ô�õn�t����þ^õ�� � ú\þ�úç´����nùfò&���(þ�ö\ú � � � õ��?ò��^ú � ¶ ô�õn��ú��µù(þ^ô�úÛò� õ÷ü\þ#ÿ òFü��òòFü�Fø0���"8ô�õ`òÛõ,�nù(þ�ô�úÛò Ü*~�¤kï õ÷ö�3üïòFü��ò

X ¶1V¨Ü X § X ¶1V¨Ü ~ X�Jþ^ø,���� Ü�¤¥ï �pñSõ Ü ~ ú�����/õ÷õ��^ø÷ô��(� ö\ú\ô�Ï�ö� �

O ô�ô S ñ&� £ ô�õ���ú\þ�úç´����dùfò/�M����þ^õ�� � õ��?ò1�^ú � ¶ ô�õ���ú��¨ù(þ�ô�úÛò� Lõ÷ü\þ#ÿ�òFü��òkòÛü�/ø0��"8ô�õ`òÛõ,�nù(þ^ô�úÛò ¬�~5¤ £ õ#ö�hüïòÛü��ò

X ¶�V�¬ X § X ¶1V¨¬ ~ X�Jþ^ø,���� ¬�¤ £ �f�Û�UÿZø÷ô ò�� ì OJ¶ 6 £ SYU X ¶�V�¬ ~ X ²

O ô�ô�ô S �Åô òFüïòÛü��ú\þ�ò���òFô�þ^úiþ � O ô�ô S õ÷ü\þ#ÿ òFü��òì O ¶ 6 £ S�Ú X ¶�V�¥ X § ì O ¥ 6 £ S�²

�\ü\þ#ÿ òFü��ò ì O 6 £ SY@ � B ô�õ?�/þ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ��O ô�� S ñ&� £ ô�õ7����þ^õ�� � �^ú � ú\þ�úç´����nùfò&�Ê�^ú � ï ����þ^õ�� � ��(þ�ö\ú � � � ��ú � ú\þ�úç´����dùfò/�

õ÷ü\þ#ÿ òFü��òpòÛü�/ø����"8uô�õ`ò ¬ ~ ¤ £ �^ú � Ü ~ ¤¥ï õ÷ö�3üïòFü��òX ¬�V�Ü X § X ¬ ~ V¨Ü ~ X ²

� þ�ö� � òÛü\ô�õ�ø��/õ÷ö� ò,�5�PòFø÷ö�pô���ÿ��pþ�ú�����^õ÷õ#ö��� � £ ��ú � ï ����þ�õ�� � �^ú � ú\þ�úç´����dù^ò&�#�I Þ

Page 72: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

È ²�¡*:½¡�Æ¡:�O ô S �\ü\þ#ÿ òFü��òkô� >A@ B ô�õ?���/þ�úÛòFô�ú&ö\þ�ö\õ�ù5�FøWô�þ � ô���Jö\ú�?òFô�þ^údÿkô òFüù5�/ø÷ô�þ � \ ½¨õ÷ö�3üïòÛü�:ò Ø>fO ¦ SYUxp �Jþ�ø�� ��� ¦ òFü�/ú

áÝ áO Þ VÛ« ¹ Ú}« Z �/þ^õ »�S � >fO�»eS ì »�Uxp

�Jþ^ø,���� � �O ô�ô S �\ü\þ#ÿ òFü��ò� uû�ô��*�/ú @�¬]p ÿ�������ú1$\ú � « ¹ 6 « Z ¬]p �^ú � �^úíØ ¬]p õ÷ö�3üZòFü��ò

O Þ Vª« ¹ ÚÛ« Z �/þ�õ »eS � B ¿ ö\ú\ô��Jþ�ø0�����-�Jþ^ø ° » ° º ØO Þ Vª« ¹ ÚÛ« Z �/þ�õ »eS � B p ö\ú\ô��Jþ�ø0�����-�Jþ^ø @�º ° » ° º ½

�^õ � B ¿ �O ô�ô�ô S �\ü\þ#ÿÏòÛü�:òYô�� >A@ B ô�õr�!�/þ�úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õGù��/øWô�þ � ô�?�Jö\ú�?òFô�þ^ú�ÿZô òÛü ù5�/ø÷ô�þ �

\ ½�õ÷ö�3üïòÛü�:ò >fOqp�S ô�õ�ø���� ����ú � >fOqp�Sr¬]p ÿ�������úÌ$\ú � « ¹ 6 « Z ¬]p õ÷ö�3üïòFü��òî á

Ý áO Þ Vª« ¹ ÚÛ« Z �/þ�õ »eS � >PO¼»eS ì »�B ¿

�^õ � B ¿ �O ô�� S �\ü\þ#ÿÏòÛü�:òYô� >�@ B ô�õr���/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õGù��/øWô�þ � ô��?�Jö\ú�?òÛô�þ�ú�ÿZô òÛü ù5�/ø÷ô�þ �

\ ½�õ÷ö�3üïòÛü�:ò Ø>fO ¦ SPU2p �Jþ^ø,���� ¦ òÛü�/ú >PO¼»eSYUxp �Jþ^ø,���� » �O � S �¡�¨ö\õ÷ô�ú\û � ö�/õ`òÛô�þ�ú \ Þ ��� Gþ�ø�þ�òFü3�/ø½ÿZô�õ��� Gõ÷ü<þ#ÿ òÛü�:òÉô��Uô�� � @ B ô�õ

���/þ�úÛòFô�ú&ö\þ�ö\õpù5�/ø÷ô�þ � ô��� ö\ú�?òÛô�þ�ú�ÿkô òFü ù��/øWô�þ � \ ½ õ#ö�hü�òÛü�:ò ° Ø� O ¦ S ° �/þ�ú��*�/øWû �/õòFü�Fú

� O¼»eSYU "£(# Ý "

Ø� O ¦ S �"8ù O ¾ ¦ »�S�²

È ²�¡*:½¡�Ë¡:�O ô S �\ö\ù\ùuþ^õ��GòFü��ò ³�@ B ô�õn�4�/þ^úÛòÛô�ú�ö\þ�ö\õLù��/øWô�þ � ô��� ö\ú�WòFô�þ^úZÿkô òFüù5�/ø÷ô�þ � \ ½f�,�\ü\þ#ÿ òFü��ò

Þ\ ½

Z á® ³¡O�»eSoV �

� # Ý �س¡O��)S �"8ù O ¾ �{»�S

Zì »nU Þ

\ ½Z á® ° ³%O¼»�S ° Z ì »fV �

� # Ý �° س¡O��)S ° Z ²

`�� � ö���EòÛü��ò�

� # Ý �° س%O¼�)S ° Z�º Þ

\ ½Z á® ° ³%O¼»eS ° Z ì »�²

O 6�ü\ô�õrô�õ,���3�/ø÷õ÷ô�þ^úiþ �¡�n�/õ#õ�����.�õ�ô�ú��Ï&ö3����ô ò&�#� S

I \

Page 73: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

O ô�ô S þYþ#ÿ õ#ö\ù\ù(þ^õ��kòÛü�:ò >Û@ B ô�õt���/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��(� � ô�5�/ø0�/úÛòÛô�� ����»ù5�/ø÷ô�´þ � ô��A� ö\ú�?òÛô�þ^úÙÿkô òFü¨ù5�/øWô�þ � \ ½f�Ïñ&� > ü�^õ � �/øWô(�)��òFô(�3� ³ rþ��fò��^ô�ú©� õ#ô��nù��� ø0�����´òFô�þ^úÊ�5�?ò ÿ����/ú Ø>fO ¦ S �^ú � س¡O ¦ S �?�¡�¯�^ù\ù�(�ô�ú\ûqòÛü�!����ö�hü��J´���3üÛÿ��^ø�ökô�ú��Ï�ö� ��ô ò/�»òÛþ£'ï# ® Û è £ è ç � ° ¦ °° س¡O ¦ S ° õ÷ü\þhÿ òÛü�:ò

£'ï# ® Û è £ è ç �° Ø>PO ¦ S ° ºW· Þ

\ ½Z á® ° ³%O¼»�S ° Z ì » 6

�Jþ^ø�õ÷þ������/þ�ú\õ`ò���úÛò · ����þ^ú����ö � �EòÛü�:ò ° Ø>PO ¦ S ° �/þ^ú��*�/øWû �/õ��O ô�ô�ô S `�� � ö���� Gö\õ÷ô�ú\û � ö�Fõ`òFô�þ^ú \ Þ � Þ ú �òFü��ò ô�� >¥@ B ô�õ!�Ì�/þ�úFòÛô�ú�ö\þ�ö\õ��(�

� ô����/ø0�/úÛòÛô�� �����ù��/øWô�þ � ô���Jö\ú�?òFô�þ^úïÿZô òÛüiù5�/ø÷ô�þ � \ ½ÙòÛü�/ú

>PO¼»eSYU "£(# Ý "

Ø>PO ¦ S �"8ù O ¾ ¦ »eS�²

È ²�¡*:½¡�Ñ¡: �}���/þ�úÛòFô�ú�ö�tÿZô òÛü òFü3�dô � ����õkþ�� � ö�/õ`òÛô�þ�ú \ Þ � Þ Ó ���6ø÷þ�� ú<þ#ÿ þ�ú'����õ��?òÛõ�ÿkô���T�5����þ^ú\ûkòFþkòFü���/þ ������?òFô�þ^ú²Ý þ �%����þ^õ�� � �(þ^ö<ú � � � ú\þ^úç´����nùfò&� õ÷ö�\õ��?òÛõ þ��� �V`���$\ú�

ì O £ 6 � SPU õ÷ö\ùð � V

ì O É 6 � S�Ú õ#ö\ùì �(ñ ì O�> 6 £ S�²

�\ü\þ#ÿ òFü��ò ì ô�õ,�����?òÛøWô��þ^úmÝ!��<ü\þ#ÿß� ��õ#þtòÛü�:ò ì ô�õ,���/þ��nù��?ò������?òFø÷ô����

È ²�¡*:½¡ Ò : ñ&� O¼° 6 ì S ô�õr�!�/þ��nù��?ò��?���?òÛøWô�rõ÷ù�����?�^ú � c @(°üB ° ô�õr�kõ÷ö\ø Á ���?òFô(�3�����ùiõ÷ö�3üïòÛü�:ò

ì O c Q 6 c > S § ï ì ObQ 6 > S�Jþ^ø,���� Q 6 > ¤�° ��ú � õ÷þ ��� ïé¬ Þ õ#ü\þ#ÿ òÛü��ò c ü��õ,�dö\ú\ôÏ�ö��$ç8�� � ù(þ^ô�úÛò��

�¡�©�/þ�ú\õ÷ô � �/øWô�ú\û�òÛü������ù c @ B � ��$\ú� � ��� c ObQoS�U Þ Ú ú ¦ Úy\�Q �Jþ�øp�º}Q�[ Þ ��ú � ¦ ��ú�ô�úÛò��/û��/ø� �þ�øPþ:òÛü�/ø½ÿZô�õ��Eõ÷ü\þ#ÿ òFü��ò�òÛü�n�/þ�ú � ô òÛô�þ�ú c õ÷ö\ø Á ���?òFô(�3����^úiú<þ:ò��5� � ø÷þ^ù\ù5� � �È ²�¡*:½¡�ʪµ?ºß¼�©(ïF·½Ã¦Ú�©6Ú�¾nÃb©�ªd£�¬&°�¬µ§�·½Ô�¬&°�¬�ïF·½´\­�Á`¬µ¹NÚ�Ãb¼�¯/·`©6á¶#: 6pü3�P� þ ����þ#ÿ,´ô�ú\û��/þ^ú\õ=òFø÷ö�?òFô�þ^úiô�õ � ö�EòÛþD�?��ú � �/øf�}� �/ø � �/ú�

O ô S �� �?ò��3üïòFü3��û^ø��^ù\üiþ �6òFü���Jö\ú�?òÛô�þ�ú ³ û�ô��3�FúÌ���»òÛü���/þ^ú � ô òÛô�þ�ú³¡ORQ�ÚÄÀ�SYU ° Q ° ô�� À ô�õ,�^ú�� ô�úÛò��/û��/ø,�^ú � V Þzæ \![�Q�º Þzæ \ �

O ô�ô S ÀT�?ò ³�£9O¼»�SPUx\ Ý £ ³%O � £ »eS ���� �?ò��3üïòÛü��û^ø��^ù\ü<õ�þ�� ³ ¹ ³ Z ��ú � ³ ½ �O ô�ô�ô S Ào�?ò >�£�O�»eS�U ³ ¹ O�»eSfÚ ³ Z O¼»�SfÚ]²�²�²)Ú ³�£9O¼»eS ������?ò��3ü òFü� û^ø��^ù\ü\õkþ � > ¹ > Z�^ú � > ½ �

I Ó

Page 74: Welcome to DPMMS | Department of Pure Mathematics and ...twk/Anal.pdf · õ÷ö\ù\ù(þ ø`òyþ^ù /ø 0 òfô þ^ú\õlþ + ô òÛô þ ú.* ú + vö 3 òÛô ù ô òfô þ^ú.

O ô�� S �\ü\þ#ÿ òFü��ò >�£ �/þ�ú��3�/ø÷û��/õrö\ú\ô��Jþ^ø������»òFþ����Fþ^úÛòFô�ú�ö\þ^ö\õ,�Jö\ú�?òÛô�þ�ú > �O � S ñ/� ¦ ô�õ��»ù(þ�õ÷ô òFô(�3�vô�úÛò��/û �/ø���ú � � ��ú®þ �� ô�úÛò��/û��/øYû^ô(�3�t�^ú��08uù\ø��/õ÷õ÷ô�þ^ú��Jþ�ø

>fO��)\#Ý £ S ���\ü\þ#ÿ òÛü�:ò�ÿZü�/ú ¦ ô�õY��^ø÷û���òFü�/ú \ £ ° >fO�O¼�PÚ�\ S�\#Ý £ SJV�>fO��)\#Ý £ S ° ô�õr����øWû ����pþ�ú����ö � �EòFü��òkô� �)\ Ý £ [·»�[ßO���Ú�\ S0\ Ý £ òÛü�/ú

���z8 >PO¼»eSTVÛ>PO¼�)\ Ý £ S»fV«�)\ Ý £ 6 >PO0O���Ú}\ S0\ Ý

£ SoVÛ>PO¼»�SO¼��Ú}\�S�\ Ý £ V«» ²

O �ô S �¡� � �"�3����þ^ù\ô�ú\ûtòÛü��ô � ���^õ�þ ��ù�^ø`ò O � S õ÷ü<þ#ÿ òÛü�:ò > ô�õ�ú\þhÿkü�/ø�� � ô����/ø0�/úç´òFô�������

Ø�·½Ã�´\ÁÃò�©6¯/¬µ³E©«ä�ÚbÍ�¬&° 8¦·½¾F©(°�¾Ào�?ò����»ø��/ô ò��/ø0��ò��1��� ø���Ï�ö�/õ`ò��Jþ^øt�/þ�øWø����?òFô�þ^ú\õt��ú � ô��nù\ø÷þ��3�����/úÛòFõ à v c ` C"l�m�| v c�| N`�_k`ba I�I�uJI�czl�CHDgI�D �ª6�ü�A���^õ÷ô�/õ`ò�ù�:òÛü©�Jþ�ø���� ô�õ��"´����^ô���¿��ª�"´����^ô��� �� ø0�/õ#õdô�õó�ô4õ4ö�÷4ø�ù4ùbú � ñvü���*��òÛþ¯�"8ù\ø0�/õ÷õ��?� û^ø��:òÛô òÛö � ��òÛþú`tø÷õ�����ø � �/ú��^ú � ÊGô�ú�3üM�Jþ�ø$\ú � ô�ú\ûÌ�Ì�vö� òFô òFö � �nþ��n�/øWø÷þ^ø÷õ!�\öfò ñ���� õ÷ö\ø��qòFü��ò þ^ú���qòÛü��$\ø÷õ`ò��3�/ô��þ �7�/ø÷øWþ�øü�^õ?�5���/úÌ��ô�0ò�� � ���Jö\ø½òÛü�/ø%�*�/ô���þ�� � ���/ù��/ø��/ø÷øWþ�øWõ�ÿkô�����^ù\ù����^ø��

I ú