Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

20

Transcript of Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

Page 1: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

��� ������ � �� �� �������

������� �����

� �����������

����� ����� ������ �� ����� ���� ��� � �� ����� � � ������ � � ���������� � � ������� ������ ��� �� � ������� �� ������ ���� ��� ����� � ����������������� � ���� �������� � � ���� �������� � � ���� ��� ��� � ���� ��� ���� �� � ��� �� ����� �� ������ ��� � ��� ���� ��� �� �� ���� � ��������� ������ �� ��� � ����� �� � ����� �� �������� � ������ �� ��� � ���� ����� � ��� ������� ��� �� ��������� !�� ��� ���� ������� �� � � ����� �� ������ "���� �� �� #��� � ���$� � ����� ���� ����� � ����� ����� %�� ���� ����� ������ ����� �� ���� ���� �� �������� �� �� � �� �������� &������ � ��#'���($ �� # � ����� ��� ����$ � �� ���� �� ���� �� ������ �� � ��� ����� ���� ��� ����

) ����� ���� ��� *��� �� �������� � �� %� �� )�����(

�� � ������ ���� ��� ��� �� �� ��� ����������� �������� +� ��� ���� ����� �� ��� �� #&���� ����� � � �����$ �� �� � ���(#����� � � �� � , ���� ���� ��� ���� �� �� ���� ��� ������� ��+ �� �� �� &����-��. ������� �� ��� ��� �� ��� ����� �� � ����� � �� � ,� ���� ���� ��� ���� �� �� ���� ��� �����+���� ����� �� ������� �� ��� ��������� �� ��� ��� ���� � ��� ��+�� �� ���������$

) ����� �� �� ��� �� ����( ���� �� ��� � � �� �� ��������� /�� ���� � �� ��� ���� 0� ��� �������� �� � � ���� � �� �� ����� �� � � ��� � ���� ��� ��� ������������� ) � �� �� ���� � �� ����� �� � �� �� ��� ������� ����� �� ������� ��� ����� �� � � �� 1�� ��� ��� �� ����� �� ��� � � �� ����� �� ��� ��������� � �� ��� ����� � )����������� ��� ������� � � ����� �� �� �������� ����� ����� ��� � �� �� �� ��� �� ������ �� ����� �� ��� ��� ��� �����

��� ����� ��� ������� �� ����� �� �� ������� ����� �� ��� ����� ��� � ����-2.� ��� ���� �� ����� ��� � 2+����� ��-2. � �� � ���� �� � � � �����

��� ��� ���� �� ����� �� ��� ������ � �������� ����� �� ������ ������ �� � �������� �� ���

3

Page 2: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

)������ � � ����� ��-4.� ���� � ��� ���� � ��� ������ �� �������� � �� 5����-2. �� ��-4. ��� ��� ������ �� ��� ���� ��� #������� ������ �$� ����+ �� ���� �� ���� �� �� ���� �� ���� ����� ����� ���� �� ����� ����� ��� ���+����� 6������� � ����� �� �� 27,Æ ��������� �� � ������� �� ��-4. ���� � ������ ��� ��� ����� ������ ��-4. � � ����� ����� �� ��-2.�

)���� ��� � �� ����� � � ���� � ������ �� ����� �� � � �������� ��� � �������� � � ������ ����� ��� � ��� � � ���� ���������( � � ���� ����� ������� ��� � � �������� '�� ��� ����� �� ����� ��� �������� �� ��� �������� ��� � ������� ��� �� ������� �� �� ������� ����� � ��� ����� ������� ����� � ����� ������� ����� �� ������� � ���������� ��� �� -� ��� ��� ���� �� �����.���� � � ������� ��� �� � � ���� ����� ��� �� �� ��� ��� � �� �����+����� ���������� �������� -8������������� � ����� ��� ���� �� ����� �� ��� � � ��������.

��� � � �������� �� ��-2. �� ��-4. ��� ������ �� �� � � ��� �� �� ����� ���9��� ���� �� ��� ��� #�������� : � �� �� ����$ �������� ��� ���+ ������ ���� ��-4. �� ��-2. ��� ������ ������������� � ����� ��� �� ���� �� �� ����������� ����� ����� ����� � ��� ������� ��� ��� ;�������� ��� ���� ���� � ���� �������� ������ �� �� �� �� �� -����� ����� �� ���. ���� ��� &��� � ���� ��� �� �� �� �� �� ����� &������ �� ��� ����� ��� ��� ������� �� � ������� ��� � ���� �� � �� ��� �� � � �� ������ ������ �� ��� ������� ���������� ����� ��-4. �� ��-2.� ;�������� ���� � � �

� � �� ������ ���� � � 3��� �������� ��� ���� � �� ����+�+ ������ � � ��� ���� ���� �� ��� ���� � �� ������ � � ��� �������

��� ���� ���� �� ��� �������� ������� ��� < ��� ����� ��� �� �� ����� ����� < ����� ������ �� ����� ��� �� ����� � �� �� ������� ������ ��� ����������� � � ���� ���� � ��� ���� �� ��� ���� ������0 ����������� ����

� ����� ������� ��� ��� � ��� �� ������( ���� ��� �������� �� ��-4.�������� �� ����� ���= ���� ��� �� � �� ��� � � �� ��� ���������

� ����� � �� ��� ���� ��� � ������� �� � � ���� �� � � ������� ������� ��-2. � ��� ��� �������� �� � ����( ��� �� ������ ��� ���� ���� ������ �� �� ������� ��� ��� �� � ���� � ��� ����� ����� �� ������� � � ��� ���� ��� ���� ���� ��� �� �� � ����� ������ �� �� ���� � ���� #���������$� /��� �� ����� �� ��� ���� �� � ���� ���� �� ��� ������ ������� � ���� �� ����

5� � ����� ��� ��� 8������ ���������� ������� ������ �� ������ �� � ���� ��� � �� ����>��� ��� ��� ��� ��� 6� ������� ������� ��� � �� ��� �� �������� ����� ����� ����� ��� ����� ��� � �� ��� 6 ����� ���� �� ����� +������� ����� ��� ����� ��� ��� � ����� 6 ����� ���� �� ����� � ��� �� ��� ����������� ����� �� ������������ ������ �� � �� ��� �������� 6 ����� ���� � ���-'�������� �������� �� ������ ������ ���� ��� ��� ���� �� ����� �� ���� �� ������� � �� ���� ��� ��������. ��-4. ����� �� �������� �� � ������������ �� ��� � ������� � �� � ��� ���+����� �� ���� ����� ����

4

Page 3: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

�� �����

) � � ���� ���� � � ���� ����� ������� �� ��� ���� �� ��� ���+� �������� � ���� ��� ���� � ��� �� ����� � � � ���� ��� �� #?��� �����$ ������ �� �������� ��� ��� �� ���� ��� � � ���� � � ��� ���� ��� ����� �� � ������� ��������� �� � ���� � ��� ���� ��� ���� ��������= ����� ������� � ��# ������ ���� ����� �� � ( �� $ ����� ���� ������ ���� 9��� ��� #� � ����$��� � � ���� ����� ������ ���� �������� � ��� ���� ����� �� �� ��

; ����( �-�. � ��� ���� �� ��� ���������� ��� ���� ���� ��� ��� ���� ��� � �� ���� ��������� ���� ���� � : � �� � � 9��� ��� ���� �� ��� ������ ���� �� �� �� ����� ��� �� � � � �� -!����� �������� ��( ��� � �� � ������������� ���� -�.�-�. : ���� ���� ��� ���� �� � ������ ��� ���� �� ��.5��� ���� ���� ��� ����� ��� � : �� �� � : ������ ���� � : �

�� � : � ���� �� ���� ��� ����� ��-.� : 3� ���� ��-. : �3� ��-�. � ��� ������� �� ��� ���� ��� � �-�. � �� ����� ���� 3� '���( ��-�. ���������� �� � � ���� ��� ������������ �������� �� � �-�.� � � �� ����� � � ���� �� ��-4. �� ��-2.� ����� ���� ������� ����� ��� ����� �� ����� ��� � 4+���� �� 2+����� �-�. � ��� ���� �� ��"��� ��� �� ����� ����

< ����� ��( ��� ����+����� �00��� #��� � � ����� ������� ���� �� � ���� ������ � �� ���@$ � ������� �������� ����� �� � �� �� ��� ���� � � �������� ����� �� ��� �+� � ������� ��� ��"��� ��(

-�� � �. �� -��� � �.

���� ��������� �� ��� ������ �� ���� � �-2.(

�� 3 , ,

, �3 ,, , 3

��

'�� ���� �������� ��� ������� ���� ��� �� �� �� �� �� � �� ��� ����� � �� ��� 3A,Æ ����� �� ����� ��� 0+� � ������� �� � ��"��� �� � � ���� ���� ������� ��� +� �( -�� � �. �� -���� � �. �� -��� � �.� �� � ����� � ���� ���� ���� ���� � ����� �� ��� �� 0 � �� �������� -����>� ��� ��� ����.� ������ � ������ ����� ;� �� ����� ���

; ����( ��-4.� ����� ��� � 4+����� ! ��� ��-. : 3� � � ���� �� �� ����� ��� ��������� �� ��� ;���� �� ����� �� �� �� ��� ���� ��� �������( �

� ��� �

� �� ��� ������� �� ���� �� B �� : 3� C� ��� ��� � � ���+��� ������������������� �� � ���� �� ��� ����� ������ �B �� �� ��� �� � � ����� �� � �

2

Page 4: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

� � � ���� ������ �� ������� ��-4. �� ��� �� � � ����� C� ��� �� �������� �� ����� � ��� �� �� � : ��� � �� � : � � ��

;������� �� ��-4. ���� ���� ���������� ��� � � ��� ����� �� �� ���� ����-4. �� � ������� �� ��� ���� �� ��� ���+� ������ ����� 4 � 4 ���� ����'���( ��� ���� � ��-4. � � � ��� �� � ���� �� ��� ����

��B �� ,, �� ��

�:

���� ,, ����

/� ������� ��� ��� ��� � ������� ���� ����� ����������

; ����( ��-2.� ����� ��� � 2+����� '���( ��� ������� �� ��-2. ������ �� �� ������� ��� �� � � � �� �� � ����� ��� ��� �� ������ ��� ��� ����� ������ ��� � � ��� ������� �� � �� �� ����� � � �� ���� �� ��� ���������� ���� ������� ���

' ���� �� ������ ;��� � ��� ���� �������� '���( ��� ������� �� 2+�������� ������ ��� �� � � � � � ��� ����� � �� �� �� ���� ����� ��"��� ���� '������ �� ��� � � �� �� ���� �� � ��� �� ��� � �� �� 0 � ��� /�� ��"��� ������� ��� +� � �� �� ���� �� � ��� � �� �� � ��� ������� ���� ��= � �������"��� �� ����� ���� �� ��� �+� �= � �� � ��� �� ���� �� ������� ��� ���� ���� ��� 0+� �� C� ��� ���� �� �� ����� ��+������ �� ������� � ��� ����� � ���� ��� ��"��� ���� ��� �������� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ��"��� ��� � ��� �� �� ���� � ���� � ��

5� �� � � ���� ������� ������� C� ���� �� ���� ���� � ��-2. ������ � ���+��� � � -� : �.� �� � ����� ���� ���� 3 � �� � ��������� 5��� ���� ���� ������������ �� � ������ �� ��� � � ��� � � �� ���� ���� ����� 6���� � ��� ������� ��� ���� ����� '����������� � : �� �� ���� � : �� � ����� � ������ ��������� �� ��� ����� D� ��� ������� �������� ��� �� ������ 0�-���� �� ���� �. �� �� � ��������� ��� ��� �� ��� �� � � ����� ! ��� ��� ����+����� �� � ������ �� ��� ���� ���� ����� ���+���� ����� ���� � ���9������ ��� �� ������� ���� � � � ��� �� � ���� �� ��� ���� ��-�3��3��3. �� ��-�3� ���� ����.� ! ��� ��-. : 3� �� ��� ����� ���� � ��� ����� �� ��������� �� ����� ��� � �������� ���� �� 3�

��� ���� �������� ��� ���� �� ���� � � ���� ������� ����� �� � ���� �� 6����+����� ����������� ����

� �� ��������

��� �� � � � ����� ��� �-�. �� � ������ ����� � ��� �� ������� ����� � ������� �� � ���� � ������ �� �� ���� � �� �������� �� , �� ������� � �� ��� � �� �-,. : � � -.� ��� ������� ���� �� �� � ���� ��� ��

��� ���� ��� �� ��� ���� �������

������

� �� 9��� ��-,. � � ���� ������ ����� ���

E

Page 5: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

� -. � ��� � � ������� �� � � � �� ���� � � ������ ���� � -. � � ���������� ���� �� �� � ������ ����� -��� � �����. ���� � � ���� ����� �� F�� G-��� � � �������. �� � -.� � -.�

&���� ���� � -. � � ������ ���� �����( � �-�. � � ������ ����� �� �-,. : ����� ��� -�. : �-��.� � � �� �� � � ���� � ������ ����� �� �-,. : ���-,.� !�� -. � ����� ���� ���� � ��� �� �� �������� �� �� -5��� �� � �������� �� ����� ����� ��. ! � ������ ������ �� �� �-�. : �-�. -�. -� �� �-,. : -,. : ��� �����. ����� ���� � -. � ����� ���� � � ���

6 ���� ������ ��� � � ������� ����� ���� ���� �� �� �������� �� # ��� ���+ ����� ����� �� ��� ��� ��$� !���� � � � � ���� ������ �� -���� ���

� ���� ��.� # ��� ��� ����� �����$� ���� ��-,. � ��� ������ ����������

� ��-�������� �� �-,. : .

�-�. � B ���-,.

6 ���� ������ �-�. � � ��+����� ��� ��� ��� ��������� �� �

*�� ���� ��� ����� ��� �� � ����� ��� ������ ��� �� ��� � ������� �� �����+������ ������ �� ;��� � ����� �� �� ��� ����� ��� ��� ��� ��� � � ��� �� �� ���� '�� � ����� ��� � �� �� # ��� ��$ ������� ���� � � � � � �� �� �������� ������ -��� # ��� ��� ���$.� �� ��� ��� � : ��� �� ��

�-�.� �

� B

���-,.

��

� �������

)����� ���� ��� ���� ��� � � � �� �� ���� #�� ��$ ������� �� � C� �� � �����-,.� �� ��� ����� ������� �� ��� � � ������� � -.� �� � �������� ����� ������� � �� -�� �. �� ��� ���� �� � -. ��� �

�� ����� ��� ������ �� � ����( ��� ��� � � ���� � �� � � ������� � -.� �� ����� �� �� � ���� � -. ��� ���� ���� � -�. : � �� � --�� B ��.�. :� -���. � -���.� ��� ��� ��� �� � � �� � � � -.�

�� ���� ����� ��� ���� ��� � � ������� ��������� ����� ��� ��� � � ���� �����+���� #�������$( � ��� � � �������� �� ��� � � ����� ��� ������ �� ���� ���� � ����� ��� ������� ������ �� 6���� ��� � � ������� ��������� ������ ���������� ����� ��� �� �� ������ ��� ��� �� ���� ����� ������ ���

5�� ��� ��� ������ � ����� ��-�.� 5���� ��( ��� � � ������� �� ��-�. ���-�.� �� ��� ������ ��� ��� ��� � �� � : �� ��� � -,. : � ���� �� ������� ���� ��� �������� �� ��-�. ��� ��� +������� �� '���( ��� �������� � �����

; ����( ��-4.� ����� ��� � 4+����� )�� �������� �� ��-4. ���� ��� ����

�, ��� ,

)� ������� �� ��-4. ��� �� ������� �� �� �� ������� ����

H

Page 6: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

�� ��� ���� �� ����� �� �� ��-4.� � ��� � � ���+��� �������������� ��� �

�� �B ��

������� ���� ��� �� ����� �������� -C� �� ��� ����� �� �� �� B �� : 3���� �� ��� �� �� � �� �� �� ��� �� ������ �� ������� ���� ��� �� �� ����� �� ��. ���� ��� ����� ������� �� ��-4. ��������� �� ��� ����� ��� ���� ������ ��� �� �� ���� � �� -�� ��. �� ���� �� �� �� ��-4. ������� �� � � ����� �� �� � ���� � ������ � �� ��-4.�

��-2.� ����� ��� � 2+����� ;������� �� ��-2. ���� ��� ����(�� , �� �

� , ���� � ,

��� -�� �� �. � ��

-C���� ��� ��� ������ ��� ��� ���� �� ��� �� �� � ��� �� ����������� �� �� ���� � ��������.

'���( ��� ������ -�� �� �. � ��� ������� ����� �� ������ ��� ��� ����� ������� ����-2.� C��� ��� �� � ����@ C��� ����� ��� �� � �

� �� ���� ��� ����� ������= � -�. � � ����� � ��-2.� �� �� ��� �-�. : -�.��� ���� �-�. � � ����� ��������� ����� � ������ ��� ��� ���9������ �� � ��� �� � ��� ��� ����� �� ���� � � �� �� � : , � �-,.��� �� ����� ��� ���� �-,.�� ������ ��� �����+�����-�� �� �. � ��� �� �� ��������� 0�� ��� ������� ����� �� ������� ��� �� � ����������� ���������� �� � ����� �� ���� �� ����� ���� �� ���� �������� ���

���

�� :

�� , , ,

, , �3, 3 ,

�� � �� :

�� , , 3

, , ,�3 , ,

�� � �� :

�� , �3 ,

3 , ,, , ,

��

�� ��� ������� ������� �� ��-2. ��� �� �� ���� ��� B ��� B ���� )� ��� ��� ������� � ��� ��� �������� �� ��-2. �������� �� �� �� � ��� �� ���� ����� �������� ��� � �� �� 0 � ��� ������ ����� �� ��� �� ���� �� ���� �� �� ��� ������� �� ��� ������ ����������� ��� ��

�� � ��� ��� ��� ����� �� �-,.�� : -�� �� �.��� ��� ��� ��� �� ����� �� �-,. :

��� ��� �� ��� ��� ������� ���� ��� ������� �� � ���� ���

��� ������� �������������� ;������� �� ��-2. ��� ����� �� ��� ���������� ����������� ����� �� �� -������.�� D�� ��-2. ��� ���� �� ������ �� ���� �� ����������� ��� �� ��� ������ ���� ��-2.� �� �� � �� ��� � � ����������� � ����� ��� �� �� -��� ��� ��. ����� ��� ���� �� ��� ������ ����� ��� ���

��� ���� ������ � ���� �� ����� ������� � ������� �� �� �� ��� �� �� ��������� � ���� �� ��������� ���� �� ������� ������� �� ���� �� ������

7

Page 7: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

I������ ����( ��� ��� � � ���� � ����� � � �������� �� -���� ����� �� ����������� ��. �� ��� ��� ���� �� ���+� ������ � ���� ����������� ��� ����� ������ ���� � -.� � �� ������ �-.� ��� ������ �� �

6����� ��� � ����� '�� ��� ���� � �� ���� ��� ���� �� ���� �������� �����-. �� � �������� �� � ���-. ���� �� � �� � � ����� �-�. :������ ��� ������ � �-.� ��� �������� �� � � ����������� ����� ����������� �� �� ������ �� ��� ��� �� ���������� ��� �

5�� ���� �� �� � � � ����� ����� ���� �� ��� ����� �� � �� �� # ��� ��� ���$��������� B ��� ����� � � � -.�

�- B ��.��� : B ������

/� � ����� �� �� ��� ���� � �-�. � ��� ������ ��� ������ ����� ������� ����� ��� �� ��� �� �� ��-�.��� �� � : , � ���-,.���� !� ��� ������ ���� � -. � ����� ���� ��� �� � �� ������ -*������� ���� ���� �� � -. ������� �� ���� ����. �-. � ������� ����� �� � ��� ������� �� � ����( �-. ���� �������

'�� ��-2.� �� � � ������ ��� � ��� !���� � � ��-2. � � ����� �� ����� ���� � ����� �� �� ������ � � ��� ���� ����� � � ����� �� ����� ��� � � ��(-�����.-��. : ��� : ��� �� �� �� �� �� � �� �� ��� ��� ��� ����� ��� ���� ����� ���� ��� ��� �� �� ��-2. �� ��-2. � ��� �� � ����� 9��� � �� ��� ��� �� ����-2. �� ���

/��� � ����� ���� ��� � �� ��� ���� ��� �� ������� ��-4. � ���� ��� �� ����9� �� ���������� �� ��� ���� �� � � ����� � ��� ��� ��� �� � �� �������+� ��� )� ��� ������ ���� ��-E. ��� ���� �� 7� �� ��� �9� �� ���������� ��� ��� �� ��� �� �� ��-E. � ��� ���� �� ���+� ������ 7� 7 ���� ����

������� ��������� ��-�.� 5�� ��� � ������ � ����� �-�. � ��� ������ �� ���� � � � ���� ���� ���� ����� ���� ��� ��� �� �� � : � )� ����������� �� ����� ���� ��-. : 3� ��-�. � ��� ������� ��� �� �� �������� ���� � 3 -�� ������ ���� ���.� 8�� �� ��� � ���� �� � �� �-�. ����-�.� ��� ���� ��� �� �-�. �� ��-�. -�� ��� ����. ��� �� 3�

��� � � �������� �� �-�. �� ��-�. ��� ����� -�. �� � -�.� ������ �����< ������ �� �� � : �� ������� ���� -�. ���� ��� �� ��� +6��� � �� ��+�� ���( !� : �!� 5��� ���� ! � ��� +6��� � �� � �� ���� � �! � 6��� � ���

'���( � -,. : � ���� ��������

������

: �� �-,. -����� �� : �����.� -; �� ��

�� � ���� ��� ��� �� ���. �� � ����� ��� ���� �� ��� ������ �� ���� ��� ���( ���� � ������� ��� ��� � � ���� �� �� ������ ���� ��� ���� ��� �� ��� ��� ������������� ����

'�� ��� ��� �� ���� ��-4.� �� ��� ���� ��� ���� � ����� ! ��� ��-. : 3� ������ �� �� ��� ��� ��������� ��� �� ��� ��� �� ����� �� ���� �� �� ���

J

Page 8: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

�������� ���� ��-4. ���� ��� �� ��� ���� ��� �� ��� ����(

��B �" �B ����B �� �� �"

�: �

�3 ,, 3

�B �

�, �� ,

�B �

�, 3�3 ,

�B "

�� ,, ��

: � B ��B ��B "�� �� B �� B �� B "� : 3

��� �� ������� ��� � ��� 4�4 ���� ��� � ��-4.� ; ��� ��( ����� ���� ����������� ��� ��� ���� � ��� �� ����� �� ��� ������� ���� �� ��-4. � ������ � ����� ���� �� ������� ��� �� ���� 3� -��� �������� ���� �� ����������� ���� �� �� " � ��� ����� ������� �� ��-4. � ����� �� ������� ���.

5� �� �� ��� ���� ��� +6��� � �� ���� ����� � ��(

��-�B ". �B ����B �� �-�� ".

�: �

�� ,, �

�B �

�, �� ,

�B �

�, 3�3 ,

�B"

�� ,, ��

: �� B ��B ��B "�

�� � � ��������� � �� ���� � � : ,� !� �� ���� � ����� ��� 3K3 ������������������� � -4. �� ��� �� �� ���� � �� ��-2.( �� B �� B "� � -�� �� ". ����B ��� B "���

�� ����� ��� ���� �� � ������������ � � � � ������� ������ ��� ��-4. ����-2. ��� ������� ������ �� ��� ��� ������ �� �� �� � �� ��� �� ��

��-4. ���� �� � -4. � � ��� �9� �� ���������� ��� D�� �� ���� � 3K3 �����+������� ������� � -4. �� ��� �� �� ���� � ���������� �� �� ��-4. � ������� �� ���� 2�2 ���� ���� ��� �� �� ������� �� ��-4. �� � : ��B��B"� ���� ������� �� � -4.� 5��� ���� �� � : ��B ��B "�� ! ��� ��� �� � �� ���

�������� ����� ������ � �������� ����� ���� ���� ��� �� ��� �� �� ���!� ��� �9� �� ���������� �� ��� ��-4. ��� �-2.� '���( � ��� ��-4. ������-2.�

��� �������� ��� ��� ��� ������ ���� � �� ��� �������� ��� +6��� � � ���� �� � �� � � �� ���

��� ������ �� ��� �9� �� ���������� �� ��� ��-4. � �� ������� �� �� ������������ �� � � �� � ����� ���� ��� �� 9��� ����� ��� ��������� !� �� ���� �4K3 �� �� ��-4. � ��-2.� /�� ����� �����L ���� ���� �� ��� ������� ���� � � � �������

&��� � ��� ����� �� ���� � �� ��� &��� � � ���� ��� ����� �� ��� ������� ������� &��� ���� ��� ��� 9��� ��� 6��� � �� ����������� �� �� �� �� �(

� : �#�� � : �#�� � : �#�

���� ���� � ��� � -� �� .��� ��� ������ ���� �� 6��� � �� 4� 4 ���� ���(

��B " �� ���B �� �� "

�: �

�3 ,, 3

�B �

�, 33 ,

�B �

�, ��� ,

�B "

�3 ,, �3

A

Page 9: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

: � B �#� B �#� B "#�

��-4. ���� �� ��� ���� �� ��������� 6��� � �� 4� 4 ���� ��� � ��� ���� ����� �� � -4.( � �� ������

�������� ��� ��������������� C� ���� �� ������������� �� � ����( ������ ������������� ���� � � ���� �� ��� �������� �� � ������� �� �� ���� �� ��� ��� � �������� ���������� �� ���� ���� ��� �� �� ���������

C� ���� ��� ���������� ������� ���� ��� ���� �� � ���� 0�(

*���� ����� ���

������� � 2+���� ������� ����� � ��

��� ����� �� ���� ���� �� ��� ���� �� �������� '�� ��� ���������� �� �� �������� �� ���� �� ��� ���������� �� �� ��� ������ ����� �� ���� � �� �� ������ ��� � �� ���� �� ��� ��� ��� -! ��� ��� ��� �� �������� �������� ��� ������� ���� �� ��� ��� �� �� ��� ���� 9��� �� ��� ��� �� ������� �� ���� 3� ������ ��� ������.

&��� ��� ���������� ��� ��� ��� ����� �� ����( ��-2.� ��-4.� ������� ��� ������ 3� &��� ��� ���������� ��� ��� ��� ������ ����( ��� ��-2.� � -4.� �� ������� �� ��������� 6��� � �� ���� ���� '�� ��-2. � �� ��� ��� ��� �� � ���� ���� � ��� �� �� ��� ����( � �� �� '�� ��-2. � �� ��-2.� �� ��-4. � �� � -4.�� ��� ��������� 6��� � �� ���� ���� ��� ��� �� � ���9���� ��( � �� ��� :���

��� ��� ��� � �� ��-2. ��� ��� �� ������ ��� ��� ��� � �� ��-4. ��� ��� ���+��+���� �� � ����� �� ��� ���� ��� �� - ���� ����� ��.�

����� ���� �� ��� ��-4. ��� ��� � ���� ��� �� ��� ���� �� ��������� 6��� � ������ ��� ���� ��� �� ��� ���� ��� �� ��� ���� �#� B #� B �#�� �� � � � �� �� � � � ���+��� ������������ � �� � -4.(

�#� B #� B �#� � �-�#� B #� B �#�. : ��B �B ��

!� � �� �������� ��� ��-4. ��� ��� �� �������� ��� ������ ���� ��� &��� ���� ��� ���� ��� ���

)� ��� ���� ������� �� ��-4. ����� � ��

:

��B �" �B ����B �� �� �"

�: � B ��#� B ��#� B "�#� � �� B �� B �� B "� : 3

�� �� ��� ���� � : � � ��#� � ��#� � "�#� � !� ��� ������ �� ��� �� � �� �� � ��� �� ������ � ��� �� ���� �� ��� ��� ����� -� B ��#� B��#� B "�#�.-�#� B #� B �#�.-� � ��#� � ��#� � "�#�.� '�� �� � �� ��� ���

M

Page 10: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

���� � ��� �� ����� �� ��� #��� �� � � � ���(

#�� : #�� : #�� : #�#� : �#�#� : �#�#�#� : �#�#� : �#�#�#� : �#�#� : �#�

��� ��� ��� ��� �� ����� �� � � �� ���� ��� ��� ��� �� �� ��� #�� �� -$� %. � ��(

#�

�$%

�:

�%$

#�

�$%

�:

���%�$

#�

�$%

�:

�$�%

C� ���� ���� ���+������ �� 6��� � �� ���� ��� ����� ����� � ��� 6��� � ��� � ���� � ��� +6��� � ��� 5��� ��� ��� �� ������� ������� ���� ��� �� ���+�� �������� ���� �� �� #6��� � ��$ ���� � �� #����$� #��� +6��� � ��$���� � �� #����� ��� ����$� �� #�� ����$ ���� � �� #�� ��� �� � � ����$���� # ���� ��� ��� � � ��� � �� � ���� �� ��� ������� ����� �� ���� 5��+�������� � �� � ��� ���� �� ��� �� ������ ��� ����� �� ������ �� 6��� � ������ ��� � 6��� � ���

; ����( ���� ����� �� ��� �#� ��������@ ��� ��� �� �� ��� �� � ������� #�� � 9��� #� �� �#�#�-��.#� : �#�#� : �#�� ! � ��� �������� ��� ���� ���� � ������ �� �� 0 ����� ��� �� �� ���� � 3A,Æ ����� �� ����� ��� 0+� �� ! � �������� �#� �� �#��

��� � ����� �� �� ��� �� � �� �� ���� � -4. ��� ��-4.(

��#� B ��#� B �"#� �� � -��#� B ��#� B �"#�.

-C��� ��( ��� � ����� �� �� � ��� � ��� � ������� ��� ����� �� ��� � �+���� ���� ������� �� ���+�������� � ���. '�� ��� ����� �� ���� -�� ����� ����.�� � ���� � ��� ���� �� ������� ����� �� ����� ��� � ����� ��� ����� �� �������� � �� #������ �� ��� � ��� ������� ����� �� ��� ��� � �� �� �$� ��� ��� ��� #������� ����� � ��$ � � -4. � -�#� � �#�� �#�.� ��� �� ���� �� ����� ��� �������� 0+� ��

�� �� :

��� ,, ���

�: ��� � B � � � � #�

-� ��� �#� ���� ��������� �� ���� ���� �����. &����� ��� �������� ��� ��� � � � ��� ��� �� �� �� � ����� �� �� � : �#� B #� B �#� � �� ���� ��� ���� �

3,

Page 11: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

���� ����(��� ,, ���

��� �� �

�B � ��

����� ,, ��

�:

�� ��� -�� � .

���� -� B � . ��

���� � ����� �� ����� ��� 0+� � �� �4� �� ���� ; ��� ��( ��� ���� ���� �� �� ������ ��� �#� �� �#� �

!� ��� ��� ������ ����� ��� ��� �� �� ��-4. �� ������� � 2+����� ���#����� ������$ 4�� ����� ���� ���� ��� ��� ���� � ��� ��� � ��� ��� ��( � ����� )� ��� ����� ������ � ���� ��� ��� ������ ��� �� ���� ��-4. ����-2. � ���+��+����

��-4. ���� �� �� � � ���� ���� � ��� ��( � �� �� ����� � � � ������ �������?�� ��� ����� � �� ���� � � �� ������� � ��9��� � 2+����@ 1�� ���L)� ��9��� ����� �� � � � ������ ���� �� � ������� ������ D�� � ����� ��� �������

���!���� '���( ��-�. � � ��� ��������� !� ��-4. � ��� �� ������ ���+�� �� ���� �� ��-2.� ��� ����� �� �� � 4K3� �� ������� ���� ������ ������� � ������� ���� ��� ���������� ���� �� ��-2. � "��

*����� ���� �������� �� ��-4. ��� ���� ��� ���� � B ��B ��B "� � �� ��B ��B��B"� : 3� ��������� ��-4. � ������ ����� ��� ��� 2+ ���� ���� ����������-�� � � ������ �� ���� ���� ��-4. � � ��� ���������. D������ ��� ������ ��� � -��� ��L.� ��� ��� � ��� ��� ��� �� �� �� �� ��� ��-2.� �� ��-2. � ��������� � �� ���� ��9��� �� 2+�����

�� � ��� �� ���� ������� ���� ) ����� �� ��� �� ��� �� �� � ������ �������� � � �� ��� ����� ��� � �� ���� ��� � � �� ��� ����� �� ��� ����� ��� �� ������� �� ��� �� �������� �� ��-2. � �� � ��� �� � �� �� � ���� �� �� ��&� 6������� ��� ��� � ��� �� ��� ������� �� ��� ���� �������� ��� ��������� ��� ��� ������ �� ���� -� �����+ ���� ���� ���� � �� ��� ��� � ����� ��� ������� ��� ��. � ����+����� �� �� ��������� � �� ���� ��9��� ��2+����� -�� ��� �� �� ����� �� � �������� ��� � � �� ��� ����� ��� �� �� � ���� �� ��� � ����� �� �� �� ���� ��-2. ��� ��-2.�.

) ��� � ��� ������ ��� ���� ��-2. ��� �� � ���� 0� �� � ���� ���� #���9��+����$ �� ����� ���( �� ���� � � � ��9��� �� ���� � ����� � ���� ���� ��������� ������ �� � �� �� �� � ��� �� ����� ��� ��� ������ �� ���� ��� �� �������� �� �( � � ��� ��9��� � �������� �� ������ �� � ������� �� ����� ����� ��9��� � ����� ������� J4,Æ� ���� ��� ������ ��� �� �������� � ��������� �� ��� ��9��� ��� ����� 6������� � ��� ��9��� � ����� ������� 27,Æ����� ��� ������ ������ �� ��������� -��� ���+����� ���� �� �� �� � � ������� #< ����� ��� �� �� ��$�. �� �� � ������ � ���� ����� ���� ������� 27,Æ � ������ ���� �� �� ���� �� ��� -��� � J4,Æ ���� ��.

33

Page 12: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

� ������� ��������� ��������� � �����

��� ��������� �� ������� ������ �� ����� �� ����� �����( ��� 6 ����� ������ ������� ������= ��� 6��� � �� ��������� ���� ����� �����������= �� ����� ���� ������ �� ��������� � ����� �� ��� �� �� ������ ���� ������ �� ������������� ����

��� � ����� ����� ��� ������ ���� ��� �� � � ���� � �� ��� ��� ����� �� ����� � ���� -����� ���9��� �� � ����� ���.� �� #����� 0�$ �� �� ������ ������ 6 ����� ���� �� ����� +����� �� ����� ��� �� ��� �� ������ ���������������� �������� �� �� � ����� !� ���� ��� ���� �� � �����( 6� ��������!���N� ����� < ��� �� ������ ��� ��� � � �� ����� �� �� � �������

� � �� ���� �� �� ���� ��� ��� �������� ����� ������� ������� ��� 6 ��������� ��� � ���+����� ������� ������ � ��� �� ��� �������� ��� ��� �� ��+������� �� 4� 4 ����� ���� ���� ��� � � �� �� �������� ��� �� � ��� ���� ����� ���� �� � �� � ��� ����� �� � �� �� �������� -#�� �������$� �� �� ����.� �� ���� � ��� ��� ����� ���� ��� �� ������ �� �� �-����� ����. � ��� ���������� -)� ���� ������� '�������� ��������� ���������� ������ �� � �� �� ��.

#����� ������� I��������� ��� ������� ����� �� � ��� ��� ������ � ���+ �� �� � ���+0��� ������ � � 6 ����� ���� ���� ��� ����� ������� -���� � '.� � �� ��� �������� �� ���� � �� �� ��� �� ��� ���� ������� ����������� � � � ' �� � � � ���+0��� ����� ������� �� ����� ����� ��� ����� ������� ������ � -' � �,�.� � ����� � ��� ��� ������� ����� �� ������ � � �� ���� � � : � ��� ���� � �: ,� !���� ��� � � �� ����� ����������� ��� #��� ����� ������ �� ��� ������ � � � '$ ����� �� ��� �� #��� ������� ��� ������ � ��� �� �� � � ' �$

��� ����� �� ��� � �� �� �������� � ��������� ��� �� �� � � �� � ��� � � ( ��� ��� ����� ������� -� ��� ' : ��.� ��� ���� 0���� O������� ������ �� � � 9��� ��� ����� ��9��� �� � ��� ��� ������������ ������� � ��� �� �������� ��9��� �� � �� �� � ��� �� ��� * ����� ����� � ����+�����= � � ������ ��� �� � � � ������� �

&��� ������ �� ���� �� ����� ��� �������� �� � � ���� ����� � �� �� ����� ����� �� �� ��� ������� ��������� �� ���� ��� �� ��� ������� �������� ������

�� ��� � � ��! ���� �� ! �� ��� �� ��� ��� ���� �� ��� ��� " ���� ���� ��� ���� � ����� ���� � �� �� � ���� � � ���� �� ! ��� �� � �# $� ��� �� ! �� # �� ! %�� ���� # ���� ��� ����� �� �� ���� ��� $� ���� �� �� ���� �% ! $�� &� � ���� ��� ��� ������ ! �� �� � �# $� ��� � ���� �% ! $�� '������ �� ����� ���� ���� � �� �� ���������� �� �� ����� ���������� ���( ���� ������ �� ��� �� &�� ����� ������ �� ���� ����! �� ����� ��� �� �% ! $�) �� ����� ��� �� �$ ! %�) ������ �� �� ������ �� ������ ���� ! %�� �*�� �� ������� �� �� ��� ������� �� � ������� �� �� ��� ������ ��� ������ �� ����� ���( �� ��� �� �� �� ������ ����� +��� � ���� ���� ��� �� �� ���� ��������� ������� ���� �������

34

Page 13: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

� � ������ � �� �� ����� ��� � � �� ����� ��� � �� ������ ����� ���� �� ������ �� ����� ��� �� � ����� ��� ������ � �� � ��� ��� � �� ��� �� �� ��������� ������� ������� �� ��� � ��� ��� ���� �� �����( � ��� ���� ��� �������� ���� � ��� ��� � ��� ���� �� �� ����� ��� ��� ����� � ��� � ��� ���� ���� ��� ������� �������� �������

?���� ������ ��� �������� ���� �� � �� �� �� ��� ���� �� �� ������� �����+��� ���� ���� ��� ���� ���� �� ������� ������ ��� ��� ������� �������� � ����� 0�( �� ���� ��� -������� ����� ��� � � �� ����� ��. ���� �� P��4��� ��� � � �

� ��� ���� -5���( P� : ��4&� ����� � �� ������ � &������� ���+������.

��� ����� 0�� �� �� ������� ��������� �������� �� � ����� ����� ������ ����� ������ �� �����( �� 9��� �� ����� ���� ��� � �� �� ���� ���� �� � �� ���� � ��� ����� ����� !� �� ����� �� ���� �� ��� �� ��� � � ����� �� ��� ��������9��� �� � � �� � ���� �� � 2+����� �� ��� ��������� �� �� �� � � �� �� �������� ��� D�� � 9��� ���� ���� ��� ��� �� ������ � # ������ �$ �� ��� * ����������� !� ������� �� ����

$������� �%���&�%!��� !� ���� ��� ������� ������� 5� � � ���� �� ���+��������� I��������� � ����������� �� ������ �� � ������� ������ �� -� ��������� �������� � � � . � ����� ��� � �� � 6��� � �� �������� ��� � �� ���6 ����� ���� �� ������� �� �� �� ���� ���� ������ ��� ��� ������� �� ��� ���+�������� ���� �� � ��������� �� � �� � � �� � ��������� �� � �� � ��������(� ���� ������ �� � ������ � �� ����� ������ � � �� ������ � �� ��� ��� ������(�

C��� ����� � ��� ����� ������ �� ��� ������ � ��� �� � ���������@ 6��� ������� �� ������ ����� �� � ������L �� ���� �� ��� � ����� ����� -��� )))� ��. � �� ����������� ��� � ��� ' ���� �� �� �� � ���������� ��� � ��� �� : (����!���� ��� ������ ��� ����� ������ * : ���� B ) ) ) B ����� �� ������ * ������� 0� - ���� * : 3.� ��� ��+����� #�������$ ��������� �� �� ������������� �� ����( - . ��� ����������� ������ ������ ��� ������ �� 9�� ���+���� �� � ����� � �� ����� ������ ��� �� ��� �� � � � �� ��� - . ��� ����� � ������ ��� ������ 9��� �� � ����� � �� ����� ������ �� � ��

� : �*� ����� - . ��

��� ������ ��� � � �� ����� ������ ��� ���� ��� ���������� � ��� ������ (��-5��� ���� ������ ��� ����+����� ����������� ������� ������� � 6��� � ���.

5����� �������� ������ ���� ��� ������� ��������� �� � �� ��������� �� �� ���������� �� � �� ������ C������ � � ������ #������ �� �� ��$ � ��� ���9��� �������� ������� C��� �� ���� ���� ��� ����� ��� �������� �� ����� � � ��� )������ ���� ������ � ����� �� ���� ���� ��� ����� ��� ������

6�� ��� ����������� ���� ��� ��� ��������@ !�� �� ���� �� ������� ���

��� �� ������ ���������� ��� ��� �� �� �� �� �� ���� � ���������� �� � �������� �� ����������� ���� �� ��� ����) ������ ����� ��� ���� �� ������ ���� ���������

32

Page 14: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

�������� �� � � ����� ��� 0+� �� ! ��� ��� �������� � ������� � ���� � �� �� ���� ������� � �� ����� �� ����� ���� ����� ��� � � �� ����� ��� -? ������ �������� ������ � ������ � ���� �� �� �� �� �������������� � �� � �� � �� � ���� ������ � ������� "�� �� ����� � ��. ) ��� � �� ���� ��� ���� ��� ����������� � ������ � �������

C� ��� ��� ��� ������ � ������ �� ������� ��� � �� !���� �� I������ ��� �5���� � 0� ��� � �� 9��� ����� ���� ���� � ���� �� ������ ����� ������� � ��������� ������� � ������ � ���� �� ����� ��� ���� ��� ������ � ������� ����� ��������� � � � ���� ���� ������ ��� � � �� � ��� ��� ��� ��������� �� ����� ����� -�� ��� �� ��� � � � ��������. ���� ����� ���� �� �� � ���� ����������� ��� �� ������� � ������ � ����

��� ������ � ��� ��� �� ��� �� ����� � ����� �� ��� ���������� )� ��������

� �� � � � �� �� � ���� ���� � �� ���� ������� �� ���� � �� ����

�� ���� �����= �� �������� � �� � � � �� �� ��� ���� ���� � �� ����

������� �� ���� � �� ���� � ������ ������ ?���� ������ ��� ���� � ����� �������� � �� � � �� ����� + �� ��� ���� ��� �� � �� ���� �� ���� ���������� ���� �� ���+�� !� ��� �������� ���� ����� �� ���� ��� ��� � ���� ��������� ����� �� �� ����� ��� ������ ���

�� ����� ��� ���� �� �� ��� ��� ������ ��� �� ��� ���� �� ����� ����� � ��������� ��� �������� �� ��� � � ����� ��� ���� ��� � �� �� ������ �� ������� � � � ��� ���� � �� ��� ���� ���� �� �� �� ���� ����� ����� �� ���

�� ��������� ����� ������� �� ������ ��� ���� ���+����� ����� �� ���� ������ ����������� � ��

?���� ����� �� � � �� � ������ 6�� ��� ��� �������� ���� � � � �� � �� ����� �� ��� ���� � ��@ )�����( � ������� )���� ������ ������� ���� � ����� ��� 0+� �� ��� �������� ��� ���� ��� � � -��� � � �.� �� ��� �������� ���� ����� � �� �� �������� �� ������� �� � � ����� ��� +� �� ��� ����� H,KH, ������ �� ���� �� � � ���� �� � � � ���� �� ��� ��� ����� ��� � ������������ ����� ��� 0+� �� ��� ���� � H,KH, ������ �� ���� �� � � � ��� � ���� ��� +� � ����������� ��� ������� ��� ������� �� ���� ������ ��� 0+� � ������������

��� �� ��� 6��� � �� ������� �������� �� �� #������� ��� � � ����� ���0+� �$� ��� � ��������� - ���� ��� ��� �������. � �� �� 3 �� �3� � �� ��������� �� �� � ���� & �� � ��� � �� ��� � ����������= ���� ��� ���� ��� � �� �

��� � � 9���

�3 ,, �3

�� ���� ��� &��� ���� #�� -?����� ����� �� ��� ���

� ���������� � �� �� ����� �������� ��� �� �� ��� ��� ����� ��� ��������� ������ ���+����� ������� !���N� ������ ?���.

�"�� ������,� �� � ���� ������ ���� ���� �������� ���� �� ������ ���- �����!�� �������� � ���� ����� � � ��� � ����� ��� ��� �� �� �� ������ �� �� ����� ����� �� ���� .��� �� ����� �������� ��� ���� �� �� �������� �� �� ����

3E

Page 15: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

�� #� � ����� ��� #� �� #� �� ��� ��� �@ �� ����� ����� ��� ��� ���� ��� ��������� �� ��� +�������� -������ ���� �+��������. �� � �� ��� � ������ ��� �� ��� ��� ���� ��� � �� �� �����

�� ����� ��� ���� -3 ( ,. ��������� � � � ����� ��� 0+� �� -3 ( 3. ���������� � ����� ��� +� �� �� -� ( 3. ��������� � � ����� ��� �+� �� �� � ����������� ��� �� B ���� �� ��� B ���� ��� ��� ����� ������� ��� ����� ���� � ���� ���� ��� +� � �� �+� � ����� ������� ��� ��� � ���������� �� #����� ����� ��� �������� �� ����� � � �� -������ � ��� � ������ ��� � ��. � ����� H,KH, ������� ���� ��� ���� ���

)� �� � ��� ��� ��� ��� � �� �� ���� �� ����� �������( � ��� ��������������� �� ��� � ������������� ���� ��� ����� ��� 6��� � �� �������� ���� ������� ���� ��� �� � ����������� �� �� ��� �������� ���� �������� D�� ��� #���� ��� ���� �������� �� � �������� �������� ����� ��� ��� ���+ ��� � �� -���� ����� ���+����� ���. ������� �� ��� !����+I������ � �� ����� ��� 6� �������������� ��� � �� �� ����� ���� ��� ���� ���� �� ���� ���� ����

5�� � ������� �������� )�� � ���� ������� �� � 6 ����� ���� ' ������ �� �� �� ��� ���� �� ������� � ��� � � �� �� ��� ��� ����� ������� ������ ���� ������ ���� � �� �� : �� � �� �������� ��� ���� ������ ?�� � ����� � �� ��� 6 ����� ���� ��� ���� �� 9��� ���� � �� ��� ���� �� �������� ��� ���� �� ���@ ��� ������ � ���� ��� � ���� �� ������� ������ � �� ���������� � �� � ��������� �� ��� � : (�� ���� ��� � �������� (��� ��� ��� � �� ������� D�� ���� �� ���� �� ��� ��� �� �� �� ��� ���� ��������� ��� �� ��� �� -�� ����. � ���� ������ ��� ����� �������� �� �� � � ��

5����������� ��� ������� �� ����������� ��� ����� � ��� ��� �� �� �� ������� �� ������� �� �� � �: ,� ���� ��� ���� �� �� �� ��� ������� ����� �������� ���� ��� ��� ����� �� ������� �� �� - � �� ! ���� ��� ��������� �� ��� ���� : �! ��� ���� ������ � �: ,.� �� � ������ � � �� �� ������� 6��� � �� �� !� �� � �: 3� ���� �� ! ������ �������� ��� ���������������� ��� � ����� � ������ �� �� -����� ����+���� ��� �����.

; ����( ����� � : (� �� * : ,*� �� !� : (��� !* : ,*� � ��( �: (�� �� ! � ��� ���� �� �� �� ��� ������� ������ ����� �� �� ��� *� ������� ��� ������ ��� ���� � �� 6������� �� ! ��� ��� ���������� �� �� � B * �� ������ �������

������� �&�!����� ��������� !���� � ������ ��� ����� �� � ������������� #��������$� '�� � ����� � ���� ���� ��� ������ ������� ����� ��� ���� #���� � ������� � ��$ - ���� 9��� �� �� ����� ��� ����� #������ ���������$.� �� � ���� -���� ��L. ������ ��

�� ����� �� �� ��������� � ������� ������ �� ���� ��� ���� ����� ������� ��� ���� �� �� ���� ��������� &��� �� �� � ������� ���� ���� �� ���� ��� ��������� ���� �� � ����� �� ��� �� � �� ���� '�� ��� � �� �� ��������� � �����

3H

Page 16: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

��� ��� ��� ���� ������ � � ���� ����( ��� ������ �� ����� ����� �� ����� ����� �������� � ���� �� �� ������� � ��-4.� ��� ������� � ����� �� ������ � ����� �� ��������

6�� ����� �� � ���� 0� ��� ��� �� �� � ����� �� ������� - �� � ����� �������@ C� ��� ��� �� ����� - �� � ����� �� � 2+���� �� ���� �� �� �� ������ ����������� 6��� � �� ���� ���( �� --�� ����� : �#�B #�B�#�� 6�� ����� ���� � ��� ��� �� �� - �� ����� ������� � �� ��� ��� �� �� - �� ���������6��� � �� ���� ���@ �� ����� �� ��� � ������������ ������� ������ -���-� ( �.. �� ���� ��� �� ��� ���� �#� B #� B �#�� C� ����� ��� �� �� �� �� �������� ��� ������ �� 9��� �� ����

��� �� �� � �� ��� � � ������������ ������� ������ �� ��� ������� � ��� ���� ( � ��9��� �� ���� � 1�� ������� ��� �� ���� ��� ���� #� ���� ����� ��� 9�� ��� �� �� ��� ����� #� � � ����� ��� 0+� �$� )� � ��������� #� � ��� � ��9��� �� ���� � ��� � ��������� � � ������� ���� �� ���� B

��#�.� �� �� ��

6����� ��� � ���� ��� �� ��� ����� ����� ������ � : ���B ������ !���� � � ������ 0�� �� �� B �� : 3� ��� ��9��� �� ���� ��� � � � ��� �� ��� ����� ����� �� ��� ������ ������ � � �� ��� ��� ������ ��(

��� :

���

�F��� ��G :

���� ���

��� ���

-!����� ��� � ���� ����� �� � �� ��� � �� �� ��� ��� ��� ����� � �������� ���� � ����� O������� � ��� ����� �� ���� ����� � ������ ���� �� ����� ����� �� ������ ������� �� ��� �������� ��� ����� ����� ����� ��������+���� �� ���������.

5��� ��� � � 6��� � �� ���� � �� ����� ���� , -�����L.� �� ���� ������������� ��� ����(�

�B � �� � �B � �� �

�: � B �#� B #� B �#�� �� � �� � � � �� : ,

-�� ��� �������� �� �� � �� � � � �� ����� ��� �� �� #!�� �� *���� � ��L$������� �� ��� � ��� ������ ��� � ����� ��� ��� �����. 6������� ��� ����� � ��� ,���� ��� B ��� : 4�� ! ��� � ���� � �� �� ������ 0� -�� B �� : 3.� � ����������� � : �

� �

!� �� ���� � �� �� ���� ����� ������� �� 6��� � �� ���� ��� �� ��� ������ B �#� B #� B �#� � �� �� B � B �� : �

� � )� ��� ������ ��� � �� ��� ������+��� ������������ � �� � ��� �� � ����� �� �� �� ���+�����

��� �� �� � �� ��� -����� ��� �� ������ 0� �������. �������� ������ ����� ���+��� ������������ ������� ������ �� ��� ��� �� ����� �� 6��� � ������ ���� '�� ��� � �� � ����� ������ �� ���� 3= ���� -��.-��.� : ����

37

Page 17: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

C�� � � ���� ��� � ��9��� �� ���� @ )�����( �� ������� � �� ��9��� ��� ��� ���� ���� ������ ������ ��� ��� �� � � � ������ �� ���� 3� �� � � �� ��� +����� ������� ���� ��� ��9��� �� �� � #����� ��� ������ �$ - ���� � ��� ������������ �� �. � '� � �(�� )�������� �� �� �� �� ���� ��9�-*. : ��� *����� �� ��� ����� �� ��� *� ��� ��� ���� ������ �� ��� #��� ������� ������������$ ����� ��� �� � � -��*.� : �-��*. : ���*� �� ��� � ���� ����� ��� �� � � ����*��

C� ���� ���� �� � ��� ��� �� ���� �� ��� ��� �� �� ��-4. �� 2+����� ���������� � �� ���� ������� � ���� ������ ��� �� �� � �� ��� ���� � ����+��� ������������ ������� ��� ������ -� ( �. - ���� ��� ����� ��9��� ��� ��. �� � ��� �� � ����� � 2+����� �� ���� �� � � 9��� ��� * ����� ������� ��L

!� ��� ������� ������ ��� ��� � � �� �� �������� ��� �� ����� �� � ����� � ������ ;������� �� ��-4. �������� �� ��� ������ � ����� ���� ������� �� ��� ��������� �� �� � ��� �� �� ��-4. ��� �� ����� �� � ����� �� ����� ������ ��� �� �� ������ ����� � � �� ��� ��-4. ������ �� "������������ ������� � �� ��-4. ����� ��� ��� �� �� �� �� ��� ���� �� �������� ��� � �� �� �������� ��� ���� ������� ������

) � ��� ������� �� ���������� ��� ������� �� ������� ��� ����� �� ���������� � ������ �� M,Æ ����� �� ����� ��� �+� � � ��

�- B �#�.� ����� � ��� ����

��� - B �#�.#�- � �#�.� ��� ��� 4#�� �� � ��� �� - B �#�.#�- � �#�. : �4#����� +� � ��� �� ��� 0+� �� �� ��� 0+� � ��� �� � ��� ��� +� ��

��� � ���� �� �������� � � ���������� ��� �������� �� ������� ������ �� ������������

� ��%�%�!����� ���������� ��� ������� ����� ��� ��� �� ����� ����+� �� ��� ������ �� � �� ����� 6���� ; ���� ��� ������ ����� ��� #� ���������� ��� ��� ���� I� ���� �� � �� ��� �� ������$ -&����� �� �������� � �� ��� ��� � ���@.

� ������������� )��� �!������! ������� ?���� ��� ��� �� ����������� ������� ������ �� �� ��� �� ���������

!��� ���� ����� ��� ��������� ���� ���� � � �� � � ����� �� �� ��� ��������� ������ ��(

� *��� +�� ��!�� ��%���� ��� ���� ������������ � �� ��� ����� +��� � �� �� ���� ����� ������� ���� � �� ������� �� ���� ��

� *���������� �%���&�%!��� 1�� ������ � ������������ ������� ��� �� 0 ��������� �� � � -��� � ����.� ������� #� �� #� � �����������

3J

Page 18: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

� ,����� ����� ��� �%���&�%!��� ��� ����� �� �������� ����� ��� � �� � ������ �� ��� # ���� ���� �� ��� ������ �� ��� ��� �� ��������� ��������� ��� �������� ��� ��� � � ��� � � ����� � ��������������������

6� � ������ � �� ��� ���� � ���� ��� � ����� ��� � ���� � ����� ��� ��� �����+ �� � ����� � ���� �� �������� �� ��� ���� ������ � �� ������ ������(

� *��� +�� ��!�� ��%���� ��� ���� ��� 6 ����� ���� � ��� ������ ����� +����� �� ����� ��� �� 2+�����

� *���������� �%���&�%!��� ��� �������� �� �� � �� ��������� ��� �������� �� ��� ������ � ������������ ������� �� � �� �����������

� ,����� ����� ��� �%���&�%!��� ��� ���� �� �������� ��� � 2+���� � ��� � �� �� � � ���� ��� �� �� ��� �� 6 ����� ����= ��� ��������������� ������� ���� ��� �������� �� � � ��������

! ����� "���

����� ��� �� ���� ����� ��� ���� � ����� � ������ �� ��� �� � � ���� ��� �� �� �� �� �� �� � �� � ��� �������� ���� ����� ���� �� ������ 0� ���� ��� ������

��� -�� %������� ?�� ��� ����������� ��� � � ���� ���� ��� � � �������@�� �������� ��� ���� � ��� �� ����� �� � ���� � ����� �� � ��� ���� ������� � ��� �� ����� ��� �� ����������= ��� ��� ��� �� � � �� ��� # ��� ��� +���$ ����������@ �� ��� ��� �� � ������� ��� � �� �� ��� ��� �� ���� �������������� �� ��� ��� ��� ��������� � �� �-�. -�.�-�.�� -�.���

O� #��� � ��$ �� ��� � � ������� ������ ��� ��� �� ��� ��� ��� �����+����� �� ������ � ��� ��� ��� �� ��� ���� ����� �� ����� ����� � ��� �������� ���� �� ��� ���� D�� �� ��� ���� ����� ��� ����������� ��� 0���L

!�� �� ��� ���� �� # ��� ��� ���$ ������� �� ��� � � ���� ��� �� �������� ����(

�-�. � B ���-,. B��

4���-,.

�� ��� ���� ��� ��� ����������� ��� � �� �� � ���� ��� �� ��� ���� �* �*����� ��� ����� � �� * ������ �� ��� � � �������� )� ��� ��� ��� �� �����* � *� ������� � ���� �� ��� � � �������� �� ���� ���� �� �������� �* ��*� � ������� �����

*���������� �������� �� ����� ����� ���� ����� ��������� ��� ��� ������������ �� ��� � � ���� ���� ��� ��� ��� ���� �� � ��� � � �������� ���

3A

Page 19: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

������ �� ���� ��� � � ����� ��� ������� ������ �� �� � �� � ����+��������� ��� ��� �����

,����! ��!���&���. ������. ��� ��� /���� �0������� ��� ���� �� � ����� ��� ��� �� ����� � �� � ��� &� ����Q� ����( ��� ����������� ��� �� O ������ E+���� -����� ��. ���� ������� ��� O ������ ����+���� �� ��� ������0���� � ��� ������� ���� ������ ��� �� � � � �� �� ��� ���� ������0 ���� � ��� ������� �� �� ����� �� ������ �� ������0 ����������� ���� ��� ����������0 ���� � ���� ����� �� ��� ����� �� ���� �� 2+����� ��-2.�

R��� �� ��-4. � ��� ����� ����� �� ��-2.� �� ��-4. � ��� ����� ����� �� ������� ������0 ����� ����� ��-4. � ��� ���� �� �� ������ 4 � 4 ����� ���� ����

!�� � � ��-4. �� � � � ��� �� ����� ��� �� �� ������� �� �� ����� �� ��� �� ���� ���� ��� � �� � �� �� �� ���� ��� ������ ���� �� ����� �� � ������� � ��9��� ���� �� �� �� � ������ � ���� -����� ����� ��� �. � �� �� ������� #"��$� ���� � ����+���� ����� #���$ ����� �� ���������� O�������� � ��� "�� � ������ ������� 27,� � ����� ��� ��L -*�������� ���� �� ������� �� ������� �� �������. !��� �� ��9��� � ����� � � �������� )� 9��� �� ��� ��� ������ ������� ��� �� ��� ��� ����� �� �� ���������� ��� ������� � ���� ��� �� � � ��������

< ��� ������ � ���� � ��� ������ �� ����� �� -�� ������ ��. ��� < �������� ��� ��� ������� ����� � �� � ���� ����� �� ��� ��� ��������� )� � ��������� # ���� ��� ��� ��� ������ �� ����� ��� ���= < ��� �� �� �� � �� E � E���� ��� -����� ��� < ��� ���� ���.� ��� # ���� ��� ��� ���� � ��� < ������� ����

� ����� ����� ��� ����� �� ��� < ��� ������� ��� ��� ����� 5�� ��� ����� ����� �� �� ������� �� �� �� �� ��� �� -��� I������ ���� ����� ��� ����

������.

,�� ��� ,���������� ��� � �+���� �� �� ������� �� ������� ��� ������ �������� ��� ���� � �� ����+�+ ������ � � -� �� ��� ��������. ���� �� ���� ������ �� ��� ���� � �� ������ � � -� �� ��� �����. ���� �� ������� '��� ������� '��� +< ��� ���� �� ��� �� ����� ���� ��� &��� � ���� �� � �� ��� D��������� D���+; ���� � ���� �� ���

��� ������� � ���� �� �� ����� ���� ��� ����� �� �� ��� � ������ ���������� � � � �� ���� �������� ��� .��� �� �� ��������� ��� ����� �� � ����� ����� ��� ��� ���� ���� �� ��� ��� ��� ������� '�� ��� ���� �� ����� ��� ����� � �� � ��� � �� � ��� �������� ���

.��� : ��

3M

Page 20: Weiss - Lie Groups Quantum Mechanics

�� ��� ��� ����� �����.��� : �

��� � ��� � �� ��� ���� ��� ��� ������ �� ��� ���� ��� ����� ����� �� ����-2. � � ��-4.� ! ���� ���� ��� ��� ��� ���� ! ��� � ���� ����� ����������� ����� ������� �� � ����� � �� � ��� ���� �� ����

4,