Weibull Analysis(200907)

Weibull Analysis

2

Course Content

I. 신뢰성 정의 및 척도

II. 확률분포 종류

III. Weibull Analysis 통한 수명 예측 방법

IV. System Reliability & Warranty Data Analysis

V. 신뢰성 보증 시험 설계 방법

VI. 가속수명시험

Ⅰ. Reliability Introduction

4

신뢰성 정의 및 척도

Reliability?

The probability that an item will perform a required function without failure

under stated conditions for a stated period of time.

확률밀도함수 Probability Density Function : f(t)

누적고장확률 Cumulative Distribution Function : F(t)

신뢰도 ( 생존확률 )

Reliability Function : R(t)

순간 고장율 Hazard Function : h(t), λ(t)

평균 수명 MTTF (Mean Time To Failure)

MTBF (Mean Time Between Failure)

백분위수 (Percentile)

Bα Life (B10, B5, B1)

21

)(2

2

2

)(

X

eXf

5

신뢰성 척도

신뢰성 척도 계산방법

n(t) t시점의 생존수N 총샘플수

N-n(t) t시점까지 누적고장수N 총샘플수

n(t+Δt) -n(t) 시간t와 (t+Δt)간의 고장개수N 총샘플수

n(t) -n(t+Δt) 시간t와 (t+Δt)간의 고장개수n(t)·Δt t시점의 생존개수·Δt

신뢰도함수 R(t) =

F(t) =누적고장확률

=

고장밀도함수

고장율함수

=

=

=

f(t) =

λ(t) =

6

신뢰성 척도

예 90 개의 샘플에 대한 6 만마일에 걸친 수명시험 결과 아래의 Data 를 얻었다 F(t), R(t), f(t), λ(t)?

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

Fre f(t)

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000

1 2 3 4 5 6

F(t) R(t)

0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000

1 2 3 4 5 6

λ(t)

t( )만마일 고장개수 F(t) R(t) f(t) λ(t)1 42 213 304 255 86 2

고장개수 F(t) R(t) f(t) λ(t)4 0.044 0.956 0.044 0.044

21 0.278 0.722 0.233 0.2443025 0.889 0.111 0.278 0.7148 0.978 0.022 0.089 0.8002 1.000 0.000 0.022 1.000

N-n(t) 25N 90

n(t) 65N 90

n(t+Δt) -n(t) 21N 90

n(t) -n(t+Δt) 21n(t)·Δt 86

=

0.722

0.278

0.233

0.244

누적고장확률

=

=

=

=

f(t=2) =

λ(t=2) =

R(t=2) =

F(t=2) =

=

고장 밀도함수

고장율함수

=

=

신뢰도함수

0.6111 0.389 0.333 0.462

Ⅱ.Types of Probability Distributions

8

Types of Probability Distributions

Why use Probability Distributions? Probability distributions are used to evalulate failure data to predict reliability Probability distributions fit real world measurements and test data (life, failure rate)

Often Used Probability Distributions Continous Distribution :

Exponential Normal Weibull Log-Normal Gamma Chi-Square Others

Discrete Distribution : Poisson Binomial Others

9

Types of Probability Distributions

10

Bathtub Curve

Gamma Exponential Normal, Log Normal

11

Exponential Distribution

신뢰성 공학에서 전자 제품의 신뢰도 예측에 가장 널리 이용되는 확률분포

Overstress 에 의하여 발생하는 우발고장을 모형화 하는데 적용 시간에 따라 고장률이 변하지 않는 제품 ( 예 : 전자부품 ) 다수의 부품으로 구성된 제품

지수분포 신뢰성 척도

① 확률 밀도함수 : f(t) = ㆍ e-t

② 신뢰도 함수 : R(t) = e-t

③ 고장률 함수 : h(t) =

④ 평균 고장시간 (MTTF): =1/

( 가 증가하면 MTTF 는 감소 )

⑤ 신뢰도 R 일때의 시간 t 추정

tR = ㆍ ln(1/R)

12


평균고장시간 (MTTF) 추정 수명이 지수분포를 따르면 평균수명은 총 시험시간 (T) 을 관측된 고장개수 (r) 로 나눈

값으로 추정됨

r

T Where T: Total Test Time, r: 고장 개수 , n : 총시료수

Type I Type II

교체

비교체

r

nt0ˆ r

ntr

r

trnti 0)(ˆ

r

trnt ri )(ˆ

t0 : 정시중단 시점 tr : 정수중단 시점 X

X

X

X

|

|

비교체 / 정시중단시험

10

20

30

40

60

r

trnti 0)(ˆ =

10 + 20 + 30 + 40 + (6-4) x 60

4 = 220/4 = 55

13


예제 : 어떤 전자제품이 지수분포를 따르고 평균수명 (MTTF) 이 55 시간이라 가정한다면 고장률 ( λ) 은 ?

고장율 , λ = 1/ MTTF = 1/55 = 0.01818

20 시간일때 신뢰도는 ? R(t=20) = e-t = e-0.01818 x 20 = 0.695

20 시간일때 누적고장확률는 ?

F(t=20) = 1 - e-t = 1 - e-0.01818 x 20 = 1- 0.695 = 0.305

• F(t=55) = 1 - e-t = 1 - e-0.01818 x 55 = 1- 0.362 = 0.632

∴ 지수분포의 평균수명이라 하면 누적고장율이 63.2% 시점을 의미

B10 Life ( 누적고장확률이 10% 일 시점 ) => F(t=?) = 0.1 = 1 - e-t

=> e-t = 0.9 => t = ln(0.9)/-λ = 5.8

14

Normal Distribution

정규분포는 통계학의 추정 / 검정 이론과 품질관리 (6 Sigma) 에서 중요한 확률분포 정규분포는 N(, 2) 으로 표현하며 고장 밀도함수는 다음과 같다 .

정규분포의 신뢰성 척도- 제품의 수명이 정규분포 T ~ N(, 2) 을 따를 때

① 신뢰도 함수 :

② 누적 분포함수 :

③ 평균 고장시간 (MTBF):

tt

tf 22

2

exp2

1)(

)(1)()()(

tt

ZPtTPtR

)()(1)(

t

tRtF

+6+3+ +2 +4+5--4-6 -5 -3 -2

68.26%

95.46%

99.73%

99.9937%

99.999943%

99.999998%

15

Normal Distribution

예제 어떤 부품의 평균수명 =100,000 Cycle, 표준편차 =10,000 Cycle 인 정규분포를

따르고 있다 . 이 부품을 12 만 Cycle 사용하였을 때의 F(t),R(t) 를 구하라 .

z = (120,000 – 100,000)/10,000 = 2

F(t=12,000) = = z=

R(t=12,000) = 1 – 0.9772 = 0.0228

)(

t

16

Lognormal Distribution

Log(T) ( 대수 수명 ) 가 정규분포 N(, 2), : 위치모수 , : 척도모수

피로수명 ( 기구부품 , 납땜 ), 전자부품 ( 반도체 , 다이오드 ) 의 수명 , 절연체 수명

대수정규분포의 신뢰성 척도

• 고장밀도함수 :

• 평균고장시간 :

• 신뢰도 함수 :

0 t

2σ

μlntexp

σt2π

1f(t)

2

2

2

σμexpMean

2

σ

μln(t)ZPt]P[TR(t)

T ~ 대수정규분포

Log(T) ~ 정규분포

17

Lognormal Distribution

와 의 값에 따라 다양한 분포에 적합 . 와이블 분포와 함께 신뢰성 데이터 분석에 널리 활용됨 . 분포의 형태는 척도모수 에 의하여 영향을 받음 > 2 이면 , 고장률은 초기에 높았다가 시간에 비례하여 감소 = 1 이면 , 고장률은 거의 일정 < 0.5 이면 , 시간에 비례하여 고장률 증가

18

Weibull Distribution

신뢰성 데이터 분석에 가장 널리 사용되는 분포

적응성이 매우 높음 (Highly flexible)

형상모수 () 와 척도모수 () 에 의하여 분포 결정 <1: DFR, =1: CFR, =2: IFR

<1: 감마분포 , =1: 지수분포 , =2: 대수정규분포 , =3.5: 정규분포

지수분포는 전자제품이나 시스템의 수명분포를 나타내는데 사용된다 . 반면에 와이블분포는 부품(components 또는 parts) 의 수명분포를 나타내는데 사용된다 .

The Weibull Distribution(WD) should be used at or below the component level

The WD should be used only when a single failure mode is expected.

The WD is typically applied in analyzing mechanical failures( ball bearings, motors, fatigue failure of some simple structures.)

19


와이블분포의 신뢰성 척도

Definition : , 척도모수 (scale parameter) : the “compression” of the weibull probability density function , 형상모수 (shape parameter) : the slope of the weibull culmulative distribution function , 위치모수 (location parameter) : the “x” intercept of the weibull probability density function , 감마 함수

tt

expf(t)1

확률 밀도함수

신뢰도 함수

고장률 함수

t

expR(t)

1

h(t)

t

tt

expf(t)1

t

expR(t)

1

h(t)

t

2 모수 와이블분포 3 모수 와이블분포

MTBF

11MTBF

11MTBF

Ⅲ. Weibull Analysis

21

Weibull Background

Weibull Analysis Backgroud

Developed by W. Weibull (Sweden 1937)

Originally used to describe fatigue of bearings

Extended to many other applications

Works well for “LIFE” data

Works well for small data sets

Method is easy to learn and apply

Statisticians hate it

Weibull 분석이란 ?

와이블 분석은 와이블 확률용지를 이용한 데이터 분석

고장시간 데이터를 와이블 확률용지에 Plot 하고 그 결과를 해석

확률용지 확률용지 (Probability Paper) 는 데이터와 확률분포의 적합성을 조사하고 , 모수의 추정을 쉽게 할 수

있도록 고안된 그래프 용지

확률분포마다 대응하는 확률용지가 있으며 , 신뢰성공학에서 사용이 되는 대표적인 확률용지는 지수 ,

와이블 , 정규 , 대수정규 확률용지가 있음

22


Flexiblility of Weibull Distribution

Shape 모수 , 의 변화에 따른 확률분포 변화

<1: 감마분포

=1: 지수분포

=2: 대수정규분포

=3.5: 정규분포

23

Weibull Plotting theory

Weibull 확률 용지 이론 F(t) 와 수명 (t) 와 관계를 선형화 시킨 용지 F(t) = 1 - exp(-(t/)) ⇔ 1-F(t) = - exp(-(t/)) ⇔ ln[ln(1/[1-F(t)])] = ln(t) - ln()

ln[ln(1/[1-F(t)])] 와 ln(t) 가 선형 관계 Y = aX + b

10 100

1

2

3

5

10

20

3040506070809095

99

Data

Perc

ent

Weibull Probability Paper

ML Estimates

Shape:

Scale:

3.20182

77.8615

t

F(t) ln(t)

ln[ln(1/[1-F(t)])]

(t, F(t))• F(t) ?

• 직선 ?• , 추정 ?

24

Small Sample F(t) 계산

F(t) 계산 Median Rank: F(t) = (i-0.3)/(N+0.4) - 표본의 크기가 10 이하인 경우 Median

Rank 사용 Mean Rank: F(t) = i/(N+1) Midpoint Rank: F(t) = (i-0.5)/N

Median Rank GM, Johnson 개발 Median rank positions are used instead of other ranking methods because median

ranks are at a specific confidence level (50%). => 50% Ranki time to failure

1 16 (1- 0.3)/(6+0.4) = 0.109

2 34 (2- 0.3)/(6+0.4) = 0.266

3 53 (3- 0.3)/(6+0.4) = 0.422

4 75 (4- 0.3)/(6+0.4) = 0.578

5 93 (5- 0.3)/(6+0.4) = 0.734

6 120 (6- 0.3)/(6+0.4) = 0.891

F(i)

25

Small Sample F(t) 계산

Censoring Data F(t) 계산 Consider case with sample of 4 fatigue tests

2500 cycles (F), 3000 cycles (S), 4200 cycles (F), 4900 cycles (F) How to assign Median Ranks, F(t)

26

Weibull Parameter 추정 방법

Weibull Parameter(β, η) Estimation Probability Plotting

확률용지 위에 타점된 점들에 적합한 직선을 긋고 와이블 모수를 추정

Least Squares Method(LSM : 최소자승법 )

* 이때 :

Maximum Likelihood Estimator (MLE : 최우추정법 )

Method of Moments (MOM)…………

∑

∑

2)(

)(

)(

))((

xx

yyxx

S

S

i

ii

xx

xyb xy ba

xy ba

)ln(tx ]))(1ln[ln( 1 tFy

• 형상모수 β = b

• 척도모수 η = (e-a)1/b

27

Weibull Probability Plot

확률용지 사용방법 누적 고장확률 ,F(t) 계산

고장 데이터를 오름차순으로 정렬 가장 작은 데이터에 순위 1, 다음 데이터에 순위 2, ... 와 같이 순위를 매김 순위 i 에 대응하는 누적 고장확률 ,F(t) 값을 계산 (Median Rank 값 )

확률용지에 (ti , F(ti )) 를 타점하고 분포의 적합성 평가

점들 사이에 직선의 관계가 존재하면 데이터들이 가정한 분포를 따른다고 할 수 있음 . 만일 직선 관계가 존재하지 않으면 데이터가 가정한 분포를 따르지 않으므로 적합한 분포를 다시 고려

모수 추정 추정 선에서 모수 추정

결과 해석 수명분포 및 고장성격 추정

28


확률용지 타점 예

고장시간 F(t)

92 130 233 260 320 325 420 430 465 518 640 700 710 770 83010101020128013301690

0.0341 0.08310.13220.18120.23020.27930.32830.37740.42640.47750.52450.57360.62260.67170.72070.76980.81880.86780.91690.9659

= (1-0.3)/(20+0.4)= (2-0.3)/(20+0.4)

순위

1 23456789

1011121314151617181920

29


모수 추정 확률용지를 이용한 형상모수 (β), 척도모수 (η) 추정 및 특정 시점의 누적고장률 추정

t

F(t)

ln(t)

ln[ln(1-F(t))-1]

0

0

1

63.2

수명분포 추정선

t0

F(t0)

1

추정점

30

적절한 분포 선택

동일한 고장 데이터를 4 개의 확률용지에 타점한 결과임 . 데이터에 적합한 확률분포는 무엇이라고 생각됩니까 ?

31

Weibull 분석

결과 해석 와이블 분석에서 추정된 의 값에 따라 고장의 성격을 예측

시간 , t

= 1 > 1 < 1

t1

고장률

t0 t2 t3

• 부적절한 burn-in 또는 stress screening

• 제조과정의 과오• 원자재 오사용

• Over Stress Failure• 사용자 오사용• 불충분한 Safety Factor• 3 개 이상의 고장모드 혼합

1 < < 4 일 때• Weatout Failure• Fatigue• 대부분의 베어링 고장

> 4 일 때• stress corrosion• 재료의 물성• 취성 재료 ( 세라믹 )• 부식

32

Mixed Weibull Distribution

고장모드 혼합 ( 비선형 ) 2 개 이상의 고장모드 데이터를 갖고 와이블 분석을 할 때 나타날 수 있는 모양

10 100 1000

1

2

3

5

10

20

3040506070809095

99

Data

Per

cent

Weibull Probability Plot for Failure

ML Estimates

Shape:

Scale:

1.36793

344.551

33

Mixed Weibull Distribution

Mixed Weibull Distribution 확률밀도함수

Ⅳ. System Reliability & Warranty

35

System Reliability Analysis

System Reliability Analysis 목적 부품의 신뢰성 조합이 시스템 전체의 신뢰성에 어떤 관계를 가지고 있는가를 파악

System Reliability 직렬식 구조 : RS = R1R2R3…Ri = ΠRi (RS = 시스템 신뢰도 , Ri = 부품 i 의 신뢰도 )

병렬식 구조 : RS = 1 - F1F2F3…Fi = 1 - ΠFi = 1 – Π(1-Ri )

R1 = 0.9 R2 = 0.9

R1 = 0.9

R2 = 0.9

RS = R1R2 = (0.9)(0.9) = 0.81 RS = 1-F1F2 = 1-(0.1)(0.1) = 0.99

36

System Reliability Analysis

예 아래 그림과 같이 6 개의 부품으로 구성된 시스템의 신뢰도를 계산하여라 (5 만 km) 단 , R1 지수분포 , 나머지는 와이블분포로 가정 5 만 km 일 때의 각 부품의 생존확률

R1 = ? 단 , λ=0.00201/ 만 km R2 = 0.999, R3 = 0.95, R4 = 0.85, R5 = 0.89, R6 = 0.78

R1= e-t = 0.99

RS= R1R2R3Rx = 0.936

Rx = 1-(1-0.85)(1-0.89)(1-0.79)

= 0.996

37

Warranty Data, Weibull 분석을 통한 수명 예측 2008. 7 SOP 차량의 Warranty Data ( 2008. 07 ~ 2009. 01)

누적고장확률 및 개월당 고장수 계산

생산월 2008. 7 2008. 8 2008. 9 2008. 10 2008. 11 2008. 12 2009. 1 합

생산량개월 1977 4249 5945 3784 4228 8349 3417 31949

1 0 5 0 0 0 0 0 52 8 4 3 1 2 3 213 15 7 2 4 7 354 11 0 7 6 245 1 2 4 76 11 0 117 3 3

t 대상수량 고장수 f(t) F(t)100,000대당

누적 고장수개월당고장수

1 31949 5 0.00016 0.00016 16 162 28532 21 0.00074 0.00089 89 733 20183 35 0.00173 0.00263 263 1744 15955 24 0.00150 0.00413 413 1505 12171 7 0.00058 0.00471 471 586 6226 11 0.00177 0.00647 647 1767 1977 3 0.00152 0.00799 799 152

Censored Data = 99201

38

Warranty Data, Weibull 분석을 통한 수명 예측

Censoring Information Count

Uncensored value 799

Right censored value 99201

Censoring value: Censored = 0

Estimation Method: Maximum Likelihood

Distribution: Weibull

Parameter Estimates

Standard 95.0% Normal CI

Parameter Estimate Error Lower Upper

Shape 1.57865 0.05578 1.47301 1.69185

Scale 170.03 18.76 136.96 211.08

Table of Survival Probabilities

95.0% Normal CI

Time Probability Lower Upper

24.0000 0.9556 0.9491 0.9612

36.0000 0.9174 0.9020 0.9304

Table of Percentiles

Standard 95.0% Normal CI

Percent Percentile Error Lower Upper

0.0001 0.02690 0.005446 0.01809 0.04000

0.0010 0.1157 0.01750 0.08599 0.1556

0.0100 0.4974 0.05005 0.4084 0.6059

0.1000 2.1394 0.1105 1.9334 2.3674

1.0000 9.2255 0.2120 8.8192 9.6505

2.0000 14.3572 0.4382 13.5236 15.2422

3.0000 18.6218 0.6959 17.3066 20.0369

4.0000 22.4172 0.9594 20.6135 24.3787

5.0000 25.9059 1.2235 23.6156 28.4183

6.0000 29.1742 1.4868 26.4010 32.2387

7.0000 32.2746 1.7489 29.0225 35.8911

8.0000 35.2423 2.0100 31.5149 39.4104

9.0000 38.1020 2.2701 33.9027 42.8215

10.0000 40.8722 2.5293 36.2036 46.1427

Weibull Analysis 결과

39

Warranty Data 와 Lab Data 상관분석 – 실험실 Data 분석

현 실험방법으로 B10Life, 160,000Km 을 보증하고 싶다 !

• 시료수 ?

현 양산품을 현 보증실험방법으로 고장날 때까지 실험후 Weibull 분석 Fail : 3ea @ 432hr, 1ea @ 576hr Censored : 2ea @ 900hr

형상모수 β = 2.1875

척도모수 η = 986 hr

B10 Life = 281 hr

Field(Warranty) Data, Weibull Analysis B10 Life = 100,000 Km

분석결과 LAB 281 hr 시험이 Field 100,000 km 에 대응 ( 보증 )

160,000Km 에서 B10 Life 보증위한 시험시간 ?

실험실 281hr : Field 100,000Km = 실험실 T 시간 : Field 160,000Km

B10 Life 16 만 Km 보증하기 위해서 실험실 시험시간 T = 500 시간 보증

Exercises

41

Exercises

문제 1 지수분포를 하는 20 개의 부품에 대하여 5000 시간 수명시험을 한 결과 , 280, 680, 1030, 1

260, 1340, 1500, 2480, 3860, 4700 시간에 각각 고장이 났다 . 평균수명 (MTTF) 의 점추정값과 B10 Life 를 구하라 .

문제 2 문제 1 의 Data 를 와이블 분석한 결과 , 형수모수 (β) = 0.9252, 척도모수 (η) = 8445

의 값을 구했다 . 이 제품에 대한 B10 Life 를 구하여라 .

문제 3 아래 그림과 같이 각각 다른 수명분포를 하는 4 개의 부품으로 이루어진 시스템에 대해서 10

00 시간 사용할 경우 전체 시스템의 신뢰도 R(t=1000) 는 ?

μ=1500, σ= 200정규분포

MTTF = 3000지수분포


β = 2, η = 4500와이블 분포R1

R2

R3

R4

Rx

42

문제 1

지수분포를 하는 20 개의 부품에 대하여 5000 시간 수명시험을 한 결과 , 280, 680, 1030, 1260, 1340, 1500, 2480, 3860, 4700 시간에 각각 고장이 났다 . 평균수명(MTTF) 의 점추정값과 B10 Life 를 구하라 .

r

trnti 0)(ˆ =

17130 + 55000

9 = 72130/9 = 8014

평균수명 점추정값

B10 Life

R(t) = e-λt t = ·lnR(t)-1 t = 844

43

문제 2

문제 1 의 Data 를 와이블 분석한 결과 , 형수모수 (β) = 0.9252, 척도모수 (η) = 8445 의 값을 구했다 . 이 제품에 대한 B10 Life 를 구하여라 .

와이블 분포시 신뢰도 함수

t

expR(t)

= 741

t = [ln R(t)-1]1/β

B10 Life

44

문제 3

아래 그림과 같이 각각 다른 수명분포를 하는 4 개의 부품으로 이루어진 시스템에 대해서 1000 시간 사용할 경우 전체 시스템의 신뢰도 R(t=1000) 는 ?

μ=1500, σ= 200정규분포



β = 2, η = 4500와이블 분포R1

R2

R3

R4

Rx

R2,R3

= e-λt = e-1000/3000 = 0.7165 Rx = 1 – (1-R2)(1-R3) = 0.9196

R4

t

exp = 0.9518

Rs R1· Rx· R4 = (0.9938)(0.9196)(0.9518) = 0.8698

R1 )(1

t= 1 - (-2.5) = 1 – 0.0062 = 0.9938

Ⅴ. Reliability Qualification Test

Durability test:

how KDAC runs wheel cylinder stroke test

GMW15391 에 기술되어있는 99% Reliability 50% confidence 를 만족시키기위해 KDAC 은 어떻게 내구시험 진행하는가

Bayes Theorem 을 거론하며 99% 를 맞추기위해 sample숫자가 적으면 cycle횟수를 늘려야하지않겠는가 ?

또한 Weibull slope < 1 1.1Million brake apply 를 거론하며 내구성 신뢰수준을 강조하며 관련 spreadsheet 을 보여주었슴 .

46

신뢰성 보증 시험 절차

신뢰성 보증 수명 결정(R98C50 at 75,000 cycle)

Test Time & Sample Size 결정

Customer 사용 환경 분석

시험조건을 결정(Stress 조건 , 가속시험여부 )

무고장 보증 시험

47

Customer Stress & Part Strength

Good & Bad Design

Design Strength Greater Than Field Stress

Field Stress Greater Than Design Strength

Field Failure Probability = Stress & Strength Interference region

In the severe use condition of customer, no failure = good design

Lab Test Condition = 95/99/99.8th %ile customer load condition

Stress (Customer Usage)

Stress (Customer Usage)

Strength Strength

48

99.8th Percentile Customer Stress?

Customer use condition

Dec(G)Occurance

Forward Rear Total

0.2 746,618 106,660 853,278

0.3 198,490 28,356 226,846

0.4 155,112 22,158 177,270

0.5 54,515 7,788 62,303

0.6 14,493 2,076 16,569

0.7 2,915 417 3,332

0.8 274 38 312

0.9 80 - 80

1 21 - 21

1.1 6 - 6

1.2 2 - 2

Total 1,172,526 167,493 1,340,019

PercentPercentil

e10.0 0.12

20.0 0.16

30.0 0.19

40.0 0.22

50.0 0.25

60.0 0.28

70.0 0.32

80.0 0.35

90.0 0.41

91.0 0.42

92.0 0.42

93.0 0.43

94.0 0.44

95.0 0.46

96.0 0.47

97.0 0.49

98.0 0.51

99.0 0.54

99.8 0.61

100.0 0.85

99.8th %ile Customer Stress = 0.61G = Test Stress 조건

49

No Failure Test

Success-run formula (Bayes’ theorem) RL = (1 – C)1/n

Where RL = lower limit of reliability (RL = 0.97 indicates that R > or = 0.97)

C = confidence level

n = sample size

Success Run Table

• 고장분포를 모를 경우

Lower Limit Reliability = RL

Sample C = Confidence Level

Size = n 50% 60% 90% 95%

1 0.500 0.400 0.100 0.050

3 0.794 0.737 0.464 0.368

7 0.906 0.877 0.720 0.652

14 0.952 0.937 0.848 0.807

17 0.960 0.948 0.873 0.838

23 0.970 0.961 0.905 0.878

17 0.960 0.948 0.873 0.838

23 0.970 0.961 0.905 0.878

… … … … …

35 0.980 0.974 0.936 0.918

69 0.990 0.987 0.967 0.958

• Reliability Requirement :

R98 C50 at 52 cycles

• How to design Reliability

lab Test?

35 parts test to 52 cylcles

without failure

50

Weibayes formula

n2 = n1*(t1/t2) , t2/ t1 = (n1/ n2 )1/ = multiple lives

F(t) = 1 - exp(-(t/)) ⇔ R(t) = 1-F(t) = exp(-(t/))

R = (1 – C)1/n = exp(-(t/)) ⇔ Ln(1-C) = - n* (t/)

Ln(1-C) = -n1*(t1/) = -n2* (t2/)

n1*t1 = n2*t2

n2 = n1*(t1/t2)

Where = Weibull slope

n1 = original sample size

t1 = original test time = one life = target life (Reliability Evaluation point)

n2 = fewer sample size actually tested longer

t2 = longer test time

Sample Size & Test Time Trade-off

51

Sample Size 결정 예

We plan a fairly short success test on propeller shaft shown below. We can run the propeller shafts to 2.8 lives on a severe lab test. Previous data showed a failure test on a similar drive shaft with a Weibull slope of 1.5. How man shafts should we success test if customer wants to demonstrate a reliability of R97 C50 at one life?

N2 = N1*(T1/T2)

T2 = 2.8

T1 = 1

= 1.5

N1 = Ln(1-0.5) / Ln(0.97) = 22.76

N2 = 22.76*(1/2.8)1.5 = 4.86

5 Shafts must be tested to demonstrate R97C50

52

Test Time 결정 예

We want to test a few rear suspension modules to a longer time to demonstate reliablility in a success test. The reliability requirement for these modules is R > or equal to 99% at one life on a severe lab test. Previously, we ran a failure test for similar rear suspension modules and found the weibull slope to be 3.0. we would like test only 6 rear suspension modules. How many lives should we be tested on a success test to demonstrate an R of 99% at one life and at 50% confidence?

T2/ T1 = (N1/ N2 )1/

N1 = Ln(1-0.5) / Ln(0.99) = 68.97

N2 = 6

= 3

T2/ T1 = (69/ 6 )1/3 = 2.257 lives

53

Extension Test

신뢰수준 100(1-α)% 로 Bx 수명이 t 이상됨을 보증하기 위한 시료수와 시험시간 와이블 분포에서 형상모수 β 를 알고 있을 때 가용 시험시간 h 가 결정된 , 시료수 결정

시료수 n 이 결정된 경우 , 시험시간 결정

t : 보증하고자 하는 시간 h : 시험시간 n : 시료수 r : 허용고장수 α : 1- 신뢰수준 X : B x Life 보증을 위한 x

t β χ2α (2r +2) 1

h 2 ln(1- x)-1xn ≥ ( ) x

tβ χ2α (2r +2) 1 1/β

n 2 ln(1- x)-1］xh ≥［ x

54

Extension Test 예

98% Reliability at 50% Confidence (75,000 cycle)(Weibull Slope of 1.5 is Recommended for selecting sample size)

개당 75,000 cycle 시험하기로 결정 허용고장수 r = 0 신뢰수준 50% 에서 B2 Life 가 75,000 Cycle 를 보증하기 위한 최소 샘플 수는 ?

75,000 1.5 1.38629 1

75,000 2 ln(1- 0.02)-1 = 34.3x( ) x

T = 75,000 , h = 75,000 , β = 1.5 , α = 0.5 , r = 0, x = 0.02 χ2

(α, 2r+2) = χ2(0.5, 2) = 1.38629

시료수 n?

t β χ2α (2r +2) 1

h 2 ln(1- x)-1xn ≥ ( ) x

tβ χ2α (2r +2) 1 1/β

n 2 ln(1- x)-1］xh ≥［ x

무고장 보증시험중 1 개의 Sample 고장으로 연장시험을 실시함

= 13,345 cycle

Ⅵ. Accelerated Tests

56

가속 수명 시험

정의 가속수명시험은 사용조건보다 가혹한 스트레스 (온도 , 습도 , 진동 , 전압 , 전류 등 )

수준에서 시험하여 고장발생을 가속시키고 가속조건에서 관측된 수명 데이터들을 수명분포와 수명 - 스트레스 관계식을 이용하여 분석하여 사용조건에서의 수명을 추정하는 시험

가속조건에서 관측된 고장 데이터로부터 수명 - 스트레스 관계식을 추정하고 , 이를 사용조건으로 외삽 (extrapolation) 하여 사용조건에서의 수명을 추정

Tn = Af x Ts , Tn : 사용조건에서의 수명 Ts : 가속조건에서의 수명 Af : 가속계수

57


수명 · 스트레스 관계식 종류

모델명 관 계식 스트레스

아레니 우 스(Arrhenius)

T50 = A·eE/kT

A : 상수 ,E : Activation Energy

k : Boltzman 상수(8.617x10-5)T : 절대온도(섭씨도 + 273.26)T50 : 평균수명. 지수분포=>1/λ, 와이블 => η

온도

아 일 링(Eyring)

T50 = A·eE/kT·V-B

A,B : 상수, V : 전압 or 습도온도외 다른 스트레스 포함

역 거듭제곱(Inverse Power)

T50 = A·V-B

A,B : 상수, V : 전압 or 습도습도 or 전압

10℃ RuleT50 =Ta ·2-α

Ta : 가속시 평균수명α : (가속온도-정상온도)/10℃)

사용온도에서 10℃ 증가시켜 가속시험을 하면 수명은 반으로 감소

Generalized Eyring T50 = α/T·eE/kT·e(β+γ/T)S

α,β,γ : 상수, S : 물리적 스트레스(Load)온도 & Load

HAST T50 = V·eE/kT·eβ/RH

β : 상수, V : 인가전압, RH : 상대습도전압&온도&습도

58


사용조건 40℃

가속 스트레스 온도 (2 수준 ) : 105, 125℃ 온도별 20 개 샘플

가속모형 수명분포 : 와이블 수명 - 스트레스 관계식 : Arrhenius 모델

T50(40℃) = A·eE/kT

ln(T50) = ln(A) + E/kT

가속계수 ?

Temp.C Time Freq F/C

105 132 1 F

105 181 1 F

105 226 1 F

105 252 1 F

105 288 1 F

105 309 1 F

105 333 1 F

105 354 1 F

105 377 1 F

105 398 1 F

105 425 10 C

125 66 1 F

125 87 1 F

125 99 1 F

125 105 1 F

125 112 1 F

125 123 1 F

125 134 1 F

125 143 1 F

125 154 1 F

125 163 1 F

125 175 10 C

59


• 수명 & 스트레스 관계식

ln(T50) = ln(A) + E/kT

= -11.987 + 0.58018/T + 오차

60


• Tn = Af x Ts

where Tn : 사용조건에서의 평균수명

Ts : 가속조건에서의 평균수명

Af : 가속계수

• 125 도 조건 Af = 13540/138 =

98배

• 105 도 조건 Af = 13540/336 =

13.5배

125

도 105

도 40 도

감사합니다 .

62

Maximum likelihood (MLE) & Least squares (LS)

Maximum likelihood (MLE) - 최우추정법

Distribution parameter estimates are more precise than least squares (XY).

MLE allows you to perform an analysis when there are no failures. When there is only

one failure and some right-censored observations, the maximum likelihood parameter

estimates may exist for a Weibull distribution.

The maximum likelihood estimation method has attractive mathematical qualities.

Least squares (LS) – 최소자승법 - 단순회귀분석법

Better graphical display to the probability plot because the line is fitted to the points

on a probability plot.

For complete sample, LS is more accurate than MLE. MLE tends to overestimate the

shape parameter for a Weibull distribution and underestimate the scale parameter in

other distributions. Therefore, MLE will tend to overestimate the low percentiles.

63

Characteristics of the Weibull Distribution

64

F(t)=(i-0.3)/(n+0.4) vs. F(t) = i/(n+1)

65

최소자승법 = 회귀방정식 추정

•

•

22 23 24 25 26

79.5

80.0

80.5

81.0

81.5

Age(in months)

Hei

ght(

in c

entim

eter

s)

연령과 키와의 산포도

• Residual = Observed - Predicted

Predicted

Observed

)bx(ayyye iiiii

n

iii

n

iii

n

ii

1

2

1

2

1

2 ))bx(a(y)y(ye

•

• 회귀계수 (a,b) 추정 ?

2)x(x

)y)(yx(xb

i

ii xbya •a,b 추정량 = 회귀계수

66

Excel 를 이용한 단순회귀분석 예

EXCEL 을 이용하여 변수변환과 단순회귀분석을 이용하여 모수 추정

순위 t F(t) ln(t) ln[ ln(1/(1-F(t))]1 92 0.0343 4.5218 - 3.35482 130 0.0833 4.8675 - 2.44173 233 0.1324 5.4510 - 1.95214 260 0.1814 5.5607 - 1.60885 320 0.2304 5.7683 - 1.33996 325 0.2794 5.7838 - 1.11577 420 0.3284 6.0403 - 0.92108 430 0.3775 6.0638 - 0.74679 465 0.4265 6.1420 - 0.587110 518 0.4755 6.2500 - 0.438111 640 0.5245 6.4615 - 0.296512 700 0.5735 6.5511 - 0.159913 710 0.6225 6.5653 - 0.026014 770 0.6716 6.6464 0.107415 830 0.7206 6.7214 0.243016 1010 0.7696 6.9177 0.383917 1020 0.8186 6.9276 0.534918 1280 0.8676 7.1546 0.704219 1330 0.9167 7.1929 0.910220 1690 0.9657 7.4325 1.2156

ln ( 자연로그 ) 변환

ln(ln(1/(1-F(t))) 변환

회귀방정식

Y = 1.5215x - 10.055R2 = 0.9916

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3 4 5 6 7 8 9

수명

누적

고장

률

ln[ ln(1/(1- F(t))]

Y = a + bXa = -10.055 b = 1.5215

• 형상모수 β = b = 1.5215

• 척도모수 η = (e-a)1/b =

743

67

β, 를 알고 있을 때 신뢰도 및 B10 수명 계산법

β = 1.3, = 500,000 mile 일 경우 100,000 mile 일때의 신뢰도 R(t)?

B10 Life?

= 500,000 mile 고정하고 , β = 2 로 했을 때 B10 Life?

t

expR(t) = exp[-(100,000/300,000)1.3] = 0.884

t=*(ln(1/R(t)))1/

= 500,000 * (ln(1/0.9))1/1.3 = 88,549 mile

t=*(ln(1/R(t)))1/

= 500,000 * (ln(1/0.9))1/2 = 162,296 mile

68

50% Confidence Level

Why Use 50% Confidence for Reliability Demonstration Tests?

A Common way across GM

Avoids confusion

Reports the best estimate of reliability

Using higher confidence levels gives under-estimated or overly conservative estimates

of reliability

Balances risk of passing bad parts & rejecting good parts

The 50% estimates is read off the Weibull “best fit” line

69

이항분포 Binomial Distribution

•n = 6 과 p = 0.25 인 경우에 대한 밀도함수 (a) 및 분포함수 (b)

- n : 복원 샘플링 횟수 (Sampling with Replacement)

- p : 성공확률 - x : 성공 횟수

1) 부표 표준정규확률 분포표

Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

2) 부표 카이자승 분포표

df\ α 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.0051 0.00004 0.00016 0.00098 0.00393 0.01579 0.10153 0.45494 1.32330 2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.879442 0.01003 0.02010 0.05064 0.10259 0.21072 0.57536 1.38629 2.77259 4.60517 5.99146 7.37776 9.21034 10.596633 0.07172 0.11483 0.21580 0.35185 0.58437 1.21253 2.36597 4.10834 6.25139 7.81473 9.34840 11.34487 12.838164 0.20699 0.29711 0.48442 0.71072 1.06362 1.92256 3.35669 5.38527 7.77944 9.48773 11.14329 13.27670 14.860265 0.41174 0.55430 0.83121 1.14548 1.61031 2.67460 4.35146 6.62568 9.23636 11.07050 12.83250 15.08627 16.749606 0.67573 0.87209 1.23734 1.63538 2.20413 3.45460 5.34812 7.84080 10.64464 12.59159 14.44938 16.81189 18.547587 0.98926 1.23904 1.68987 2.16735 2.83311 4.25485 6.34581 9.03715 12.01704 14.06714 16.01276 18.47531 20.277748 1.34441 1.64650 2.17973 2.73264 3.48954 5.07064 7.34412 10.21885 13.36157 15.50731 17.53455 20.09024 21.954959 1.73493 2.08790 2.70039 3.32511 4.16816 5.89883 8.34283 11.38875 14.68366 16.91898 19.02277 21.66599 23.5893510 2.15586 2.55821 3.24697 3.94030 4.86518 6.73720 9.34182 12.54886 15.98718 18.30704 20.48318 23.20925 25.1881811 2.60322 3.05348 3.81575 4.57481 5.57778 7.58414 10.34100 13.70069 17.27501 19.67514 21.92005 24.72497 26.7568512 3.07382 3.57057 4.40379 5.22603 6.30380 8.43842 11.34032 14.84540 18.54935 21.02607 23.33666 26.21697 28.2995213 3.56503 4.10692 5.00875 5.89186 7.04150 9.29907 12.33976 15.98391 19.81193 22.36203 24.73560 27.68825 29.8194714 4.07467 4.66043 5.62873 6.57063 7.78953 10.16531 13.33927 17.11693 21.06414 23.68479 26.11895 29.14124 31.3193515 4.60092 5.22935 6.26214 7.26094 8.54676 11.03654 14.33886 18.24509 22.30713 24.99579 27.48839 30.57791 32.8013216 5.14221 5.81221 6.90766 7.96165 9.31224 11.91222 15.33850 19.36886 23.54183 26.29623 28.84535 31.99993 34.2671917 5.69722 6.40776 7.56419 8.67176 10.08519 12.79193 16.33818 20.48868 24.76904 27.58711 30.19101 33.40866 35.7184718 6.26480 7.01491 8.23075 9.39046 10.86494 13.67529 17.33790 21.60489 25.98942 28.86930 31.52638 34.80531 37.1564519 6.84397 7.63273 8.90652 10.11701 11.65091 14.56200 18.33765 22.71781 27.20357 30.14353 32.85233 36.19087 38.5822620 7.43384 8.26040 9.59078 10.85081 12.44261 15.45177 19.33743 23.82769 28.41198 31.41043 34.16961 37.56623 39.9968521 8.03365 8.89720 10.28290 11.59131 13.23960 16.34438 20.33723 24.93478 29.61509 32.67057 35.47888 38.93217 41.4010622 8.64272 9.54249 10.98232 12.33801 14.04149 17.23962 21.33704 26.03927 30.81328 33.92444 36.78071 40.28936 42.7956523 9.26042 10.19572 11.68855 13.09051 14.84796 18.13730 22.33688 27.14134 32.00690 35.17246 38.07563 41.63840 44.1812824 9.88623 10.85636 12.40115 13.84843 15.65868 19.03725 23.33673 28.24115 33.19624 36.41503 39.36408 42.97982 45.5585125 10.51965 11.52398 13.11972 14.61141 16.47341 19.93934 24.33659 29.33885 34.38159 37.65248 40.64647 44.31410 46.9278926 11.16024 12.19815 13.84390 15.37916 17.29188 20.84343 25.33646 30.43457 35.56317 38.88514 41.92317 45.64168 48.2898827 11.80759 12.87850 14.57338 16.15140 18.11390 21.74940 26.33634 31.52841 36.74122 40.11327 43.19451 46.96294 49.6449228 12.46134 13.56471 15.30786 16.92788 18.93924 22.65716 27.33623 32.62049 37.91592 41.33714 44.46079 48.27824 50.9933829 13.12115 14.25645 16.04707 17.70837 19.76774 23.56659 28.33613 33.71091 39.08747 42.55697 45.72229 49.58788 52.3356230 13.78672 14.95346 16.79077 18.49266 20.59923 24.47761 29.33603 34.79974 40.25602 43.77297 46.97924 50.89218 53.67196

Weibull Analysis(200907)

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