Obsah

Úvod .....21 Teoretická časť ..... 3

1.1 Kombinatorika ..... 3

1.1.1 Kombinatorické pravidlo súčinu ..... 3

1.1.2 Delenie kombinatoriky ..... 4

1.1.3 Dejiny kombinatoriky ..... 5

1.2. Kombinatorika v našom živote ..... 7

1.2.1 Kombinatorika v hazardných hrách ..... 8

1.2.2 Magický štvorec ..... 9

2 Praktická časť ..... 11

2.1 Dotazník ..... 11

2.2 Výsledky a zhodnotenie dotazníka ..... 11

Záver ..... 16

Resumé ..... 17

Zoznam použitej literatúry ..... 18

Prílohy ..... 19

1

Úvod

Kombinatorika je téma ktorá ľuďom, ktorí sa nepohybujú v matematickom

prostredí asi veľa nehovorí. Možno už z toho názvu Kombinatorika si človek dokáže

vybudovať istú predstavu o čom tá kombinatorika je. Téma kombinatorika sa môže

často spájať aj s pravdepodobnosťou, no netreba si tieto dva pojmy mýliť.

Kombinatorika sa zaoberá výpočtom kombinácii v tých najrôznejších situáciách.

Možno si ani neuvedomujeme fakt ,že kombinatorika sa bežne vyskytuje v našom

každodennom živote. Ľudia ktorí berú život ako hru a radi hazardujú sa určite

s kombinatorikou už stretli keďže v bežnom živote nájdeme uplatnenie pre

kombinatoriku hlavne v hazardných hrách ako napríklad poker , mariáš a ďalšie

kartové hry. Samozrejme nie len hazardné hry sa môžu pochváliť prítomnosťou

kombinatoriky , napríklad v takom šachu je tých kombinácii viac ako elektrónov

v našom vesmíre. A pri tom aj keď sa hovorí ,že šach je kráľovská hra tak

v množstve dostupných kombinácii je kráľom iná hra. Táto hra sa volá Go. Ide

o čínsku strategickú doskovú hru ktorá pochádza ešte z čias 2000 rokov pred

Kristom.

Pre prezentovanie ročníkovej práce v 3. Ročníku som si vybral tému

Kombinatorika v našom živote. Kým som nezačal robiť tento projekt alebo teda

ročníkovú prácu vôbec som netušil kde všade sa môže taká kombinatorika

nachádzať a ako dobre ju môžeme v určitých situáciách využiť. Rád som sa dozvedel

nové poznatky z tejto oblasti a pokúsim sa vám ich priblížiť v mojej ročníkovej práci.

Mojou ročníkovou prácou sa vám pokúsim vysvetliť čo to vlastne tá kombinatorika

je. Potom vám odprezentujem kombinatorické pravidlo súčinu aj s konkrétnymi

príkladmi, ktoré sa môžu vyskytovať v praxi.Kombinatorika má samozrejme aj svoje

podkategórie takže si priblížime aj tie. Ďalej už prídu tie zaujímavejšie časti ako

napríklad výskyt kombinatoriky a jej využitie v našom živote.

2

1 Teoretická časť1.1 Kombinatorika

Pri vyslovení slova kombinatorika mnohým ľuďom, hlavne teda študentom,

vstávajú hrôzou vlasy na hlave. Permutácie, variácie, kombinácie, bez opakovania,

s opakovaniami, usporiadané, neusporiadané, na poradí záleží, na poradí nezáleží.

Kto sa v tom má vyznať? V skutočnosti to nie je také zlé ako by ste si mohli myslieť,

čo si v podstate aj ukážeme na príkladoch.

V kombinatorike riešime úlohy typu „koľko existuje usporiadaní prvkov“, „koľkými

spôsobmi dokážeme zostaviť trojice z desiatich prvkov“ a podobne. Máme teda

celkový počet prvkov, ktorý označujeme písmenkom n a počet skupín alebo tried

ktoré označujeme písmenom k. Vo väčšine prípadov vytvárame takzvané k-tice

(dvojice k = 2, trojice k = 3, štvorice k = 4 atď.) z n prvkov.

V praxi sa môžeme bežne stretnúť s potrebou určiť, koľkými spôsobmi sa dá

niečo vyriešiť, poprípade koľko je možných spôsobov ,že nejaký jav nastane.

Výpočtami spomenutého charakteru sa zaoberá práve kombinatorika. Základným

princípom je pravidlo súčinu.

1.1.1 Kombinatorické pravidlo súčinu Pomocou kombiatorického pravidla súčinu môžeme ľahko a efektívne vypočítať

koľkými spôsobmi môže nejaký jav nastať pri nezávislom výbere z možností A a B.

Uveďme si pre lepšie chápanie nejaký jednoduchý príklad.

Máme teda dve množiny, A a B. Množina A obsahuje tri dievčatá a množina B

obsahuje štyroch chlapcov. Teraz prichádza otázka, koľko rôznych párov (dievčatá -

chlapci ) môžeme vytvoriť zo zadaných množín A a B? To o čo sa snažíme je vždy

zobrať jedno dievča a priradiť ku nej nejakého chlapca. Počet všetkých párov

spočítame takto : vezmeme jedno dievča, Michaelu, a postupne k nej priradíme

všetkých chlapcov. Dostaneme tak štyri rôzne páry, pretože k nej môžeme priradiť

celkovo štyroch rôznych chlapcov. To isté urobíme aj s dvomi ostávajúcimi

dievčatami. Každá z nich teda vytvorí štyri ďalšie páry. A to je všetko, máme teda

celkom 12 párov.

Čo sme v skutočnosti urobili? Vynásobili sme veľkosť oboch množín. Mali sme tri

3

dievčatá a štyroch chlapcov, to znamená ,že ako som už uviedol vyššie celkový

počet párov je 3 × 4 = 12. Preto sa to volá kombinatorické pravidlo súčinu. Ak teda

máme nejaké dve množiny, z ktorých vytvárame dvojice, tak jednoducho len

vynásobíme počet prvkov prvej množiny s počtom prvkov druhej množiny (čo boli

v našom prípade dievčatá a chlapci)

Ďalej si môžeme overiť ,že to skutočne platí. Všetky nasledujúce možnosti

vytvorenia párov dievča- chlapec sú zobrazené v tabuľke nižšie.

(D1,CH1) (D1,CH2) (D1,CH3) (D1,CH4)

(D2,CH1) (D2,CH2) (D2,CH3) (D2,CH4)

(D3,CH1) (D3,CH2) (D3,CH3) (D3,CH4)

Tabuľka č.1 – kombinatorické pravidlo súčinu , úloha tvorenia párov

Prvý riadok predstavuje dievča číslo jedna (D1) a v tabuľke je znázornené ako sa

pri nej vystriedajú všetci štyria chlapci (CH1,CH2,CH3,CH4). Druhý riadok

predstavuje to isté ale s dievčaťom číslo dva (D2). V treťom riadku vidíme ten istý

princíp aplikovaný na dievča číslo tri (D3). Týmto pádom sme dokázali ,že konečný

počet párov je naozaj 12 a ,že kombinatorické pravidlo súčinu naozaj funguje.

1.1.2 Delenie kombinatoriky V tejto podkapitole si vysvetlíme rozdiel medzi kombináciami, variáciami

a permutáciami.

Kombinácie sú veľmi užitočný nástroj. Vedieť si ich spočítať a pracovať s nimi je

určite super pocit. V podstate nejde o nič až tak zložité, čo sa vám pokúsim ukázať aj

na jednoduchom príklade.

Kombináciou je každá neusporiadaná k-tice zostavená z celkového počtu prvkov

n. K-tice označuje počet členov, ktorý kombinácia má. Môžu to byť napríklad dvojice,

trojice, štvorice atď. Pri kombináciách je dôležitou charakteristikou to ,že sú

neusporiadané inak povedané nezáleží pri nich na poradí prvkov. Tým sa líšia od

variácii, kde na poradí záleží. Tak ako variácie (a ich špeciálna forma permutácie)

môžu byť kombinácie buď bez opakovania alebo s opakovaním.

Ak máme napríklad dva prvky a b a chceme z nich zostavovať dvojice, tak potom

4

ab a ba sú úplne rovnocenné dvojice a tvoria jednu kombináciu. Práve preto ,že pri

kombináciách nezáleží na poradí prvkov (sú neusporiadané), tak je jedno, či je a na

prvej pozícii a b na druhej, alebo naopak.

Ako príklad si môžeme uviesť situáciu z pokru. V pokri sa hrá s balíčkom 52

kariet: dvojka až eso (13 kariet) v štyroch farebných kombináciách. Koľkými rôznymi

spôsobmi môžu byť karty zoradené v balíčku?

Ako môžete predpokladať toto číslo je obrovské. Budeme musieť vynásobiť

všetky čísla od 1 po 52 ( 1× 2 × 3 × 4 ..... × 52 ). Takéto násobenie môžeme vyjadriť

aj ako 52! (52 faktoriál ). Výsledok tohto výpočtu bude 8,065×1067 . Áno až toľko

existuje spôsobov ako rôzne zoradiť karty v 52 kartovom balíčku.

Ďalej by som pokračoval variáciami. Variácie označujeme nasledovne : k-členná

variácia z n prvkov. V podstate nás pri variáciách zaujíma, koľko usporiadaných k-tic

(dvojíc, trojíc, štvoríc...) z celkového počtu n prvkov môžeme vytvoriť. Slovo

usporiadané naznačuje ,že záleží na poradí prvkov. Variácie môžu byť

s opakovaniami alebo bez opakovaní.

Pri variáciách záleží na poradí (na rozdiel od kombinácii) prvkov. Ak máme

napríklad dva prvky (1,2) potom 12 a 21 sú dve rôzne variácie ale zároven len jedna

kombinácia.

Počet variácii bez opakovania znamená ,že v usporiadanej k-tici sa každý prvok

vyskytuje najviac jeden krát (žiadny z prvkov sa neopakuje).

Ako príklad pre variácie s opakovaním si môžeme uviesť tri rôzne prvky 1 2 3.

Koľkými spôsobmi je možné vybrať jeden prvok, dva prvky a tri prvky z tejto skupiny?

Riešenie pre jeden prvok je nasledovné: V1(3) = 3! ÷ (3 – 1)! = 6 ÷ 2 = 3

Jeden prvok je možné vybrať tromi spôsobmi : 1 , 2 , 3

Riešenie pre výber dvoch prvkov je takéto: V2(3) = 3! ÷ (3 – 2)! = 6 ÷ 1 = 6

Dva prvky je možné vybrať šiestimi spôsobmi : 12 , 13 , 21 , 23 , 31 , 32

Riešenie pre výber troch prvkov znie : V3(3) = 3! ÷ (3 – 3)! = 6 ÷ 1 = 6

Tri prvky je možné vybrať šiestimi spôsobmi : 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321

Žiadny prvok sa v žiadnom z riadkov neopakuje.

1.1.3 Dejiny kombinatoriky Tak ako matematika sprevádza ľudstvo po celú dobu našej histórie, tak aj

5

kombinatorika tu už je nejaký ten piatok. Prvé poznatky z oblasti kombinatoriky

pochádzajú z obdobia 2000 rokov pred Kristom. Texty zaoberajúce sa

kombinatorikou nachádzame najčastejšie v čínskej a indickej civilizácii. Určiť však

pôvodný dátum vzniku týchto textov je však ťažšie ako sa môže zdať. Často krát sa

v textoch nachádzajú poznámky ktoré boli do textov doplnené postupne a práve to

znemožnuje s istotou určiť z akého obdobia presne texty pochádzajú. S variáciami sa

môžeme stretnúť už v slávnej Knihe premien, ktorá pochádza z Číny z roku 2200

pred Kristom.“Čínsky systém bol založený na dvoch znakoch jang (-) a jin (- -), ktoré

sa usporadúvali do tzv. trigramov a hexagramov, čo sú skupiny po troch a po

šiestich. Starí Čínania sa zaoberali otázkou, koľko takých trigramov a hexagramov je

možné zostaviť.“ V indickej matematike sa zase môžeme stretnúť s kombináciami

a permutáciami. Vo väčšine prípadov však ide len o veľmi jednoduché príklady

s malým počtom prvkov pri ktorých bolo možné zistiť odpoveď iba vypísaním

všetkých dostupných kombinácii, preto si nemôžeme byť istí či Indovia poznali

pravidlá pre výpočet kombinácii. V 6.storočí nášho letopočtu sa v práci indického

astrológa Varahamihiru objavuje príklad v ktorom autor miešal štyri vône zo

šestnástich možných. Ako výsledok uvádza odpoveď 1820 čo je aj správna odpoveď

a je veľmi nepravdepodobné ,že by vypisoval všetky možnosti. Preto sa

predpokladá ,že poznal vzorec pre výpočet k-prvkových kombinácii z n-prvkov a tak

sa dopracoval k správnej odpovedi. V siedmom storočí, keď začala indická

matematika prenikať na západ, si Arabi rýchlo osvojili poznatky Indov naučili sa ich

bežne používať. Arabský matematik Ibn-Ahmad al-Halil sa vo svojej práci okrem

iného zaoberá aj príkladom v ktorom ide počet slabík ktoré môžu byť vytvorené

z určitého počtu písmen. Z výsledkov jeho práce a z jeho výpočtov je viac než zrejmé

,že musel poznať základné pravidlá pre výpočet počtu kombinácii a permutácii.

Obrovský prínos pre arabskú matematiku v oblasti kombinatoriky sú ich práce

o binomickej vete a magických štvorcoch, ktoré si ešte neskôr budeme spomínať.

Obrázok č.1 – Útržok zo slávnej knihy premien

https://sk.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika#V.C3.BDvoj_kombinatoriky

6

1.2 Kombinatorika v našom živote Kombinatoriku môžeme v našom živote využiť naozaj vo veľa prípadoch. Hlavne

keď sa teda pokúšame zistiť pri určitých situáciách, koľko môže nastať možností

alebo inak povedané kombinácii. Znalosť kombinatoriky je veľmi dobrá a užitočná

vec. Je síce veľmi ťažké počítať kombinatoriku len tak z hlavy, na to naozaj

potrebujete byť expert, mať veľmi dobrú pamäť na čísla a hlavne byť všeobecne

nadaný v matematike. Samozrejme nehovorím o príkladoch alebo situáciách kde

počítame s nanajvýš dvomi – tromi prvkami. Zoberte si napríklad takých pokrových

hráčov. Teraz nemyslím na tých pokrových hráčov čo sa hrajú poker doma s rodinou

alebo priateľmi len za účelom zábavy, nie, mám na mysli profesionálnych pokrových

hráčov ktorí chodia na turnaje po celom svete a hrávajú o obrovské peniaze. Ak si

myslíte ,že poker face je to jediné čo vám stačí na to aby ste boli v tejto hre dlhodobo

úspešní, tak sa mýlite. Pre niekoho môže byť poker na profesionálnej úrovni nudný.

Poviem vám prečo. Hráči hrajú nesmierne opatrne a často zahadzujú ( foldujú ) aj

karty s ktorými by sme my ostatní veľmi radi náš hand odohrali. Hráči hrajú tak

opatrne preto, lebo viac ako na svoju intuíciu sa spoliehajú na pravdepodobnosť

a šancu ich výhry. A pomaly sa dostávame k bodu ktorý je pre nás dôležitý.

Profesionálni hráči si vedia za veľmi krátky čas vypočítať ich pravdepodobnosť výhry

a to vďaka počtu kombinácii kariet ktoré sa môžu ale aj nemusia na stole ukázať.

Kombinatorika je veľmi dôležitý a vplyvný faktor pri hazardných hrách ako je

napríklad poker, to znamená ,že vo vyšších leveloch tejto hry (na profesionálnej

úrovni) sa bez nej človek nezaobíde.

Hazardné hry však nie sú jediná oblasť nášho bežného života kde sa môžeme

s kombinatorikou stretnúť alebo ju dokonca využiť. Som si viac než istý ,že ak by ste

sa niekedy rozprávali s človekom ktorý vie programovať a spýtali by ste sa ho na

kombinatoriku, určite by vedel o čo ide keďže ju sám využíva pri programovaní.

7

1.2.1 Kombinatorika v hazardných hrách Ako som už spomenul vyššie, pri hazardných hrách sa nezaobídete bez znalosti

kombinatoriky a pravdepodobnosti. Kombinatorika určite nie je zbytočná ani pri

takom šachu, no som si istý, že viac nám pomôže pri rôznych druhoch kartových

hier. V pokri sa kombinatorika napríklad využíva tak ,že hráč si vie vypočítať koľko

kombinácii existuje na to aby mu na ruku prišli určité karty. Čím vyšší počet

kombinácii, tým väčšia pravdepodobnosť toho ,že mu takéto karty na ruku naozaj

prídu.

„Zo skúsenosti, alebo aj so sedliackym rozumom, nám pravdepodobne došlo, že

nie každá kombinácia sa v pokri objavuje rovnako často.“ Tým pádom je jasné ,že

častejšie nám môže prísť na ruku A-K než A-A. Všetko závisí od toho koľkými

spôsobmi je možné potrebnú kombináciu zostaviť. Karty 2-2 a A-A máme

z dlhodobého hľadiska na ruke rovnako často. Takúto kombináciu môžeme vytvoriť

presne šiestimi spôsobmi. Za pomoci veľmi jednoduchého vzorca sa môžeme

dopracovať k týmto šiestim spôsobom. Vzorec je nasledovný: ( 4 × 3 ) ÷ 2 = 6

Ak počítame napríklad s dvojkami tak prvá štvorka vo vzorci znázornuje celkový

počet dvojok v kartovom balíčku, trojka ktorou násobíme indikuje počet dvojok ktoré

môžeme pridať už k našej prvej ( pôvodnej ) dvojke, keďže ich ostalo po odobratí

jednej dvojky v balíčku tri, tak preto násobíme trojkou. Celé to musíme ešte vydeliť

dvoma keďže je jedno v akom farebnom poradí karty budú.

Obrázok č. 2 – pár dvoják na ruke

https://t.pokerarena.cz/rubriky/strategie/cash-game/jak-se-stat-cg-profikem-xxxviii-

kombinatorika_7471.html

1.2.2 Magický štvorec8

Vyššie som už spomínal, že práce o magických štvorcoch boli obrovským

prínosom pre arabskú matematiku. Magické štvorce sú veľmi staré ale hlavne veľmi

zaujímavé tak si ich poďme teda predstaviť.

S číslami môžeme robiť rôzne zaujímavé triky. Magický štvorec rozhodne patrí

medzi tieto triky a je to o fascinujúcejší, že bol „vymyslený“ tak dávno. Začnime teda

niečím jednoduchším aby sme vlastne pochopili o čo ide a vysvetlili si princíp na

ktorom tieto magické štvorce fungujú.

Čísla od jedna po deväť sú v tomto magickom štvorci

zoradené tak, že súčet v každom riadku, stĺpci a aj v oboch

uhlopriečkach je rovnaký – 15.

tabuľka č. 2 – magický štvorec

Ešte si ukážeme jeden magický štvorec, o čosi lepší a zaujímavejší ako ten

prechádzajúci magický štvorec.

V tomto štvorci sú použité čísla od jedna po

šestnásť a magickým číslom pre tento magický

štvorec je číslo 34. Číslo 34 môžeme v tomto štvorci

získať veľa spôsobmi. A to napríklad: sčítaním

štyroch čísel v ktoromkoľvek riadku alebo stĺpci

alebo uhlopriečke. Potom sa ku číslu 34 môžeme

dopracovať aj keď sčítame čísla v štyroch rohoch

alebo aj sčítaním štyroch čísel v strede štvorca.

Ak by sme tento magický štvorec rozdelili na štyri

štvrtiny a spočítali by sme štyri čísla napríklad v pravej hornej štvrtine taktiež by sme

dostali číslo 34. A dokonca tu je ešte jeden spôsob ako dostať z tohto magického

štvorca číslo 34. Ak by sme odstránili štyri čísla v strede a čísla zo všetkých rohov

a následne sčítali zvyšné čísla v ľavom a pravom stĺpci alebo v hornom a dolnom

riadku, dostali by sme za výsledok číslo 34. Toľko rôznych kombinácii pre jeden

9

8 1 6

3 5 7

4 9 2

8 11 14 1

13 2 7 12

3 16 9 6

10 5 4 15

malý, jednoduchý no zaujímavý magický štvorec.

Tento magický štvorec to je výborná vec pretože magické číslo nemusí byť len

číslo 34. Môžete si vytvoriť vlastný magický štvorec s ľubovoľným magickým číslom!

Pozrime sa na náš druhý magický štvorec ešte raz.

Sú tu štyri kľúčové čísla. Tieto kľúčové čísla sa

nachádzajú v modrých štvorčekoch. Ak chcete

magické číslo zmeniť, treba zmeniť iba tieto štyri

kľúčové čísla, ale musia sa zachovať pozície!

Predpokladajme ,že by ste chceli mať magické číslo

25. Keďže číslo 25 je o 9 menšie ako číslo 34 tak od

každého kľúčového čísla odpočítate číslo 9.

Tabuľka č. 3 – magický štvorec

Tak a máme tu magický štvorec s magickým číslom 25.

Teraz každý riadok, stĺpec, uhlopriečka a už spomínané

kombinácie čísel dávajú súčet 25.

Ak by ste napríklad chceli využiť takýto magický štvorec

ako narodeninový pozdrav pre niekoho kto má napríklad

80 rokov, dajme tomu, že by to bola vaša babička, tak len

jednoducho vymeníte kľúčové čísla a to tým spôsobom, že

keď 80 je číslo o 46 väčšie ako 34 tak ku každému

kľúčovému číslu pripočítate číslo 46 a hneď máte pekný originálny narodeninový

pozdrav. Tabuľka č.4 – magický štvorec

Obrázok č. 3 – magický štvorec

2 Praktická časť2.1 Dotazník

10

8 11 14 1

13 2 7 12

3 16 9 6

10 5 4 15

8 11 5 1

4 2 7 12

3 7 9 6

10 5 4 6

Ako praktickú časť som sa rozhodol spraviť dotazník týkajúci sa kombinatoriky

a kombinatoriky v našom živote, čo v podstate nadväzuje aj na teoretickú časť. Mojim

zámerom bolo dozvedieť sa aké sú poznatky mojich známych a kamarátov v oblasti

kombinatorika. Či už sa so spomínaním termínom niekedy stretli a či vedia, čo to tá

kombinatorika vlastne znamená. Ďalej ma zaujímalo, či si ľudia myslia ,že

kombinatorika má využitie v našom živote a či si myslia ,že hráči hazardných hier ako

napríklad pokru majú väčšiu šancu byť úspešný z dlhodobého hľadiska, keď ovládajú

kombinatorické počítanie.

Dotazník bol anonymný a spravil som ho cez portál survio.com. Dotazník som šíril

formou sociálnej siete Facebook, kde som ho uverejnil na svojom súkromnom profile

a požiadal som svojich facebookových priateľov o jeho vyplnenie. Keďže nie som

veľkým fanúšikom sociálnych sietí a nemám na Facebooku tisíce priateľov tak počet

respondentov nebol až taký vysoký, ale na druhej strane si myslím, že na zistenia

a informácie ktoré som potreboval mi 43 ľudí postačilo. Môj anonymný dotazník

týkajúci sa kombinatoriky v našom živote pozostával z desiatich otázok na ktoré bolo

poväčšine možné odpovedať formou áno alebo nie, no a pri dvoch otázkach bola

zahrnutá aj možnosť neviem.

Ako som už spomínal počet respondentov nebol nejaký závratne vysoký, no mne

to stačilo. Čo ma ale prekvapilo bolo to, že na môj dotazník odpovedalo až 72,1%

žien ( 31 z 43 ľudí ). Ak mám byť úprimný čakal som približne 50% na oboch

stranách. Čo ma ale naopak milo prekvapilo bola informovanosť respondentov

o kombinatorike, keďže až 95,3% respondentov uviedlo v otázke: „Viete čo je to

kombinatorika“ odpoveď Áno. Z tohto som bol milo prekvapený a teší ma ,že toľko

ľudí vie niečo o tejto zaujímavej téme.

2.2 Výsledky a zhodnotenie dotazníka Ako som už spomenul vyššie na dotazník mi odpovedalo celkovo 43 ľudí. V grafe

číslo 1 môžeme vidieť vekové zastúpenie týchto respondentov.

Mohol by som povedať ,že ma prekvapuje, že takmer 91% z opýtaných ľudí bola

veková kategória 15 – 19 rokov, ale uvedomil som si ,že keďže som šíril dotazník

11

formou sociálnej siete Facebook tak ma to neprekvapuje, lebo v podstate drvivá

väčšina mojich priateľov sú moji rovesníci.

Vek15 - 1920 - 340 - 14

Graf č.1 – vekové zastúpenie respondentov

Ako som už vyššie spomínal, zastúpenie mužov a žien ma dosť prekvapilo, keďže

tri štvrtiny ľudí ktoré zodpovedali môj dotazník boli ženy.

Pohlavie

ŽenyMuži

Graf č.2 – Pohlavie respondentov

Ďalej som sa ľudí pýtal, či sa už stretli s pojmom Kombinatorika a až 95% ľudí

odpovedalo áno, čo som, ak mám byť úprimný, čakal. V dnešnej rýchlej internetovej

dobe kde na nás na každom rohu číha kopa informácii a internetové portály nás

doslova zasypávajú informáciami, je takmer nemožné aby sa niekto nestretol

s pojmom kombinatorika.

Stretli ste sa už s pojom kombina-torika?

ánonie

Graf č. 3 – Stretli ste sa už s pojmom kombinatorika

12

Moja ďalšia otázka bola smerovaná na využitie kombinatoriky v našom živote a to

konkrétne v hazardných hrách ako je napríklad poker. Pýtal som sa ľudí na to, či si

myslia, že znalosť kombinatorického počítania môže nejako ovplyvniť výkony

profesionálnych pokrových hráčov, respektíve či takýto hráči majú z dlhodobého

hľadiska väčšiu šancu byť úspešní.

Až 86% respondentov odpovedalo áno, s čím sa v podstate stotožnujem aj ja,

pretože je pravda, že väčšina profesionálnych hráčov naozaj ovláda kombinatorické

počítanie a určite to nebude náhoda, že práve takýto hráči bývajú spravidla

úspešnejší než tí, ktorí si nevedia vypočítať dostupný počet kombinácii. Po tomto

skonštatovaní by sme vlastne mohli odpoveď áno označiť aj za správnu odpoveď.

Myslíte si ,že hráči hazardných hier ako napr. poker, majú väčšiu šancu uspieť

keď ovládajú kombinatorické počítanie?ánonieneviem

Graf č.4 – Myslíte si ,že hráči hazardných hier ako napr. poker, majú väčšiu šancu uspieť keď ovládajú

kombinatorické počítanie?

Ďalej som sa v mojom dotazníku ľudí pýtal, či vedia kedy boli takpovediac

položené základy kombinatoriky. Väčšina respondentov odpovedala správne z čoho

usudzujem, že majú celkom dobrý prehľad.

13

Kedy si myslíte, že boli položené základy kombinatoriky?

2000 - 0 pnl.0-1000 nl.1000-2017 nl.

Graf č.5 – Kedy si myslíte, že boli položené základy kombinatoriky

Odpoveď na otázku či ľudia poznajú nejakého matematika ktorý sa zaslúžil

o rozvoj matematiky ma vôbec neprekvapila. V tomto prípade bola odpoveď až

z troch štvrtín negatívna. Matematici ktorý sa zaslúžili o rozvoj kombinatoriky nie sú

až takí známi ako matematici z iných odvetví, to im však ale vôbec neuberá na

dôležitosti.

Poznáte nejakého matematika ktorý sa zaslúžil o rozvoj kombinatoriky?

ánonie

Graf č.6 – Poznáte nejakého matematika ktorý sa zaslúžil o rozvoj kombinatoriky?

Má kombinatorika využitie v našom živote? Tak znela nasledujúca otázka.

Kombinatorika určite má využitie v našom živote, a keďže 86% respondentov

odpovedalo áno, tak môžem s čistím svedomím povedať, že sa nemýlia. Iba jeden

respondent odpovedal nie ( 2,3% ) a zvyšných 11,6% zvolilo odpoveď neviem, tak ja

pevne dúfam, že po prečítaní mojej práce už budú vedieť.

14

Myslíte, že má kombinatorika využitie v našom živote?

ánonieneviem

15

Záver V tejto práci som sa venoval téme kombinatorika v našom živote. Ako prvé som

však rozobral kombinatoriku vo všeobecnosti a až následne som sa pustil do

kombinatoriky v našom živote. Téma bola pre mna extrémne ťažká, pretože nie som

veľkým fanúšikom matematiky a obzvlášť nie kombinatoriky. Ale klamal by som keby

som tvrdil, že táto práca mi nič nedala. Počas robenia tejto práce som sa dozvedel

mnoho zaujímavých a doteraz pre mna nových informácii.

Počas spracovávania tejto témy som sa sústredil najskôr na všeobecný rozbor

toho čo to vlastne tá kombinatorika je, pretože pred tým ako som začal spracovávať

túto tému som pravdupovediac veľa o kombinatorike nevedel. Zameral som sa teda

na konkrétne vysvetlenie princípov kombinatoriky a jej podkategórii. Samozrejme

okrem teórie som uviedol aj nejaké jednoduchšie príklady pre lepšie pochopenie toho

ako to vlastne celé funguje. Ale hlavnou pointou mojej práce bolo ukázať ľuďom kde

všade môžeme kombinatoriku nájsť v našom bežnom živote, čo som vlastne aj

spracoval v druhej časti praktickej časti. Išlo teda hlavne o výskyt kombinatoriky

v hazardných hrách, no aj to je predsa súčasť nášho každodenného života.

Ako praktickú časť som zvolil dotazník, ktorého cieľom bolo zistiť znalosti ľudí

v oblasti kombinatorika. Ďalej som chcel zistiť či si myslia ,že kombinatorika má

reálne využitie v našom bežnom živote. Z odpovedí ktoré som získal som usúdil, že

väčšina respondentov je dobre informovaná v tejto oblasti.

Počas robenia tejto ročníkovej práce som narazil na nejaké problémy ale nebolo

to nič vážne. Asi najväčší problém bol téma, keďže som si ju vybral len preto lebo

potrebujem prilepšiť z matematiky a v podstate som predtým o nej nič nevedel. Ďalší

problém bol, že v štátnej vedeckej knižnici nemali potrebnú literatúru a z knižiek čo

som si požičal som sa naozaj dozvedel len málo a tak primárnym zdrojom tejto práce

bol internet.

Za klady tejto práce považujem asi všetko. Informácie ktoré som sa dozvedel

o kombinatorike, naučil som sa lepšie pracovať s programom Word a hlavne si

myslím, že keďže som robil takúto obsiahlú prácu po prvý krát, tak to je pre mna

výborná skúsenosť, ktorá sa mi určite zíde do budúcnosti.

16

Resumé Moja práca sa zaoberá témou kombinatorika v našom živote. Práca je rozdelená

na časť teoretickú a časť praktickú. V teoretickej časti som vo všeobecnosti rozobral

termín kombinatorika, vysvetlil som princíp kombinatorického počítania a ďalej som

urobil rozbor podkategórii kombinatoriky. Snažil som sa uvádzať aj jednoduché

príklady a neklásť dôraz len na teóriu. Ďalej som prešiel na pointu celej práce, čo

vlastne bola kombinatorika v našom živote. Popísal som konkrétne oblasti života

v ktorých sa s kombinatorikou môžeme stretnúť a bližšie som sa zameral na

kombinatoriku v hazardných hrách. Pri tvorbe druhej časti mojej práce, tej praktickej,

som si zvolil za alternatívu on-line dotazník, ktorého úlohou bolo zistiť vedomosti

verejnosti o kombinatorike ako takej a ďalej o kombinatorike v našom živote a jej

využití.

Summary The theme of my work is combinatorics in our life. This work is divided into two

parts, theoretical and practial. In theorethical part of my work, I explained the

meaning of the word combinatorics in general, then I explained the principle of

combinatorial computation and the next thing I have done was analysis of

combinatorial subcategories. I also tried to show you some simple examples, so my

work would not only contain theory. Then I came to the point of my work:

Combinatorics in our life. I described the concrete parts of our lifes where we can find

or use combinatorics and I focused on combinatorics in gambling. The practical part

of my work consisted an on-line questionary whose aim was to assess the

information of majority in combinatorics in general and the information people have in

the sphere of combinatorics in our life.

17

Zoznam použitej literatúry : Knihy:

Bachratý H. – Grendár M. – Bachratá K. : Ako sa počíta pravdepodobnosť? Žilinská

univerzita v Žiline, Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica/EDIS - vydavateľstvo ŽU,

2010. ISBN 978-80-554-0226-0

Kjartan P. : Vražedná matika. Tlač PATRIA I, spol. s.r.o., Prievidza

ISBN 978-80-8085-486-7

Internet:

https://www.quora.com/What-is-the-practical-real-life-use-of-permutation-and-combination

http://www.hazardni-hry.eu/pravdepodobnost/kombinatorika.html

http://www.hazardni-hry.eu/pravdepodobnost/permutace.html

http://www.matematika.cz/kombinatorika

https://sk.m.wikipedia.org/wiki/Kombin%C3%A1cia_(kombinatorika)

https://math.stackexchange.com/questions/383436/why-is-it-important-to-study-combinatorics

18

PrílohyDotazníkKombinatorika v našom živote

Pohlaviemuž

žena

Vek0 – 14

15 – 19

20 – 35

35 – 99

Stretli ste sa už s pojmom kombinatorika?áno

nie

Viete čo je to kombinatorika?áno

nie

Myslíte, že má kombinatorika využitie v našom živote?áno

nie

neviem

Myslíte, že hráči hazardných hier ako napríklad pokru majú väčšiu šancu uspieť keď ovládajú kombinatorické počítanie?áno

nie

neviem

19

Kedy si myslíte, že boli položené základy kombinatoriky?2000 – 0 pnl.

0 – 1000 nl.

1000 – 2017 nl.

Poznáte nejakého matematika ktorý sa zaslúžil o rozvoj kombinatoriky?áno

nie

Viete ako sa počíta kombinatorika?áno

nie

Viete kde vlastne môžeme využiť kombinatoriku?áno

nie

20

21