TEORIA DE LÍMITES

El primer ejemplo que se nos presenta acerca de límites, evoca la gran figura de Arquímedes (Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.)

Matemático griego: Se trata de evaluar la longitud de una circunferencia. Se parte de un triángulo equilátero

inscrito en una circunferencia de un metro de diámetro: Se determina su perímetro. Luego se pasa al hexágono, después al dodecágono, y así sucesivamente, duplicando el numero de lados, los resultado del calculo se acercan continuamente los unos a los otros, y en el limite se obtienen aproximaciones al número pi (π).

Realiza esta actividad tomando la circunferencia de un metro de diámetro, realiza los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos, luego toma la media aritmética de estos perímetros y podrás observar el límite

Hacia el cual tienden estos. Presenta el informe y discútelo con tus compañeros de clase.

Elabora una tabla que muestre estos perímetros.

El lado de un triangulo equilátero en función del radio de la circunferencia es l=R√3

Un segundo ejemplo que era igualmente conocido por Arquímedes, se trataba de una regla de un metro de longitud, de la cual se tomaba la mitad de el( 500 mm), a esta mitad le agregamos su mitad ( 500mm + 250mm), y así sucesivamente. Podemos observar en la figura siguiente la idea de lo infinitamente pequeño.

En la figura del lado derecho podemos apreciar que a medida que aumentamos los totales estos se acercan a la unidad. Ahí tenemos una clara idea de un crecimiento de una serie hacia el infinito.

SERIE DE LOS INVERSOS CUADRADOS Y LOS INVERSOS DE LOS NATURALES

Las dos series que podemos apreciar a continuación, nos llevan a las fracciones, de las cuales se ocuparon los egipcios dos milenios antes de nuestra era

La serie de los inversos cuadrados, figura de la izquierda, se llama así los términos sucesivos contienen en el denominador los cuadrados de los números naturales, mostrados como factores, esta serie involucra el numero pi (π) en la continuidad de su serie.

La serie de la figura lado derecho, corresponde a los inversos de los números naturales, la cual fue profundamente estudiada por Leonardo Euler, esta nos muestra que la suma de sus términos es infinita.

PROGRESION GEOMETRICA DECRECIENTE12=0.5 0.5

12x 2

=0.25 0.75

12x 2x 2

=0.125 0.875

12x 2x 2x 2

=0.0625 0.9375

12x 2x 2x 2x 2

=0.3125 0.96875

12x 2x 2x 2x 2x 2

=0.015625 0.984375

12x 2x 2x 2x 2x 2x 2

=0.0078125 0.9921875

En esta tabla podemos observar una progresión geométrica decreciente con los primeros siete términos de la serie y si la analizamos en la columna de los términos del lado derecho podemos observar que la suma de sus términos tiende al número uno es decir limite=1. Consecuentemente la diferencia entre esos totales sucesivos y el número uno se hace mas y mas pequeña, y recibe el nombre de infinitamente pequeña desde Newton y Leibniz, los que le dieron ese nombre a una magnitud variable que admite como límite el número cero.

PRUEBA INICIAL OPERATIVA

Con este taller algebraico podrás repasar aquellos temas que te ayudarán a la operatividad para aplicar esto a los límites y sus aplicaciones realiza estos ejercicios con mucho cuidado pues pertenecen al algebra operativa.

1. AL SIMPLIFICAR CON LEYES DE POTENCIACION

(x 0 x−2x − 3 x−5 ) OBTENEMOS

1 .1 xx2

1.2. x2 1.3 . x0 1 .4 x8 1 .5 x6

2 AL RACIONALIZAR:

3√3 + 3

OBTENEMOS

2 .. 1 3−√33

2 .2 3−√32

2 .3 3+√33

2 .4 √3 −36

2.5 3−√3

3. AL SIMPLIFICAR POR FACTORIZACION

y2−2 y−3y−3

OBTENEMOS

3 .1 yy−1

3.2 y+3y−3

3.3 y−3y+3

3 .4 y−1 3 .5 y+1

DETERMINE lim x→−2x2−4x+2 elabore una tabla tabuladora

para las proximidades de X al -2 por la izquierda y por la derecha

Valores de X

−2.1 −2.01 −2.001 −1.9 −1.99 −1.999

Valores de f(x)

−4.1 −4.01 −4.001 −3.9 −3.99 −3.999

Preguntas:

1. ¿que le esta sucediendo a f(x) cuando la variable X se está aproximando con valores de x<-2?

2. Que le esta sucediendo a f(x) cuando X se está aproximando con valores de x>-2?

3. Hacia que valor límite tiende f(x)?4. ¿Determinaríamos el limite si se remplaza

directamente la x por -2 en la función?

DETERMINE lim x→−1x2+1x+2 elabore una tabla tabuladora

para las proximidades de X al -1 por la izquierda y por la derecha

Valor de X

Valor de f(x)

Preguntas

1.¿A que valor se aproxima f(x), cuando la variable se aproxima a -1?.

2. Cual es el Valor del limite de f(x)?

3. ¿Qué sucede si se remplaza la x directamente por -1?

4. ¿Por qué no se verifica la indeterminación?

TEORIA DE LÍMITES

A continuación tendremos un desarrollo de la teoría de límites y ejercicios tanto propuestos como resueltos para tener una idea más amplia del concepto de límite y sus aplicaciones

El concepto de límite de una función cuando esta toma valores cercanos a un punto, donde la función sufre un cambio, es realmente el interés de nuestro estudio, pues las aplicaciones de este tipo de funciones son de gran importancia en el análisis del comportamiento de un capital, representado en acciones en la bolsa de cualquier modelo económico.

El valor del límite hacia el cual una función tiende, cuando su variable se aproxima a un punto dado por la izquierda y por la derecha, lo podemos determinar de dos formas:

a. Forma algebraica b. Forma numérica.

Como método recursivo para determinar el límite algebraicamente, podemos utilizar la factorización, la racionalización ó la simplificación, según el caso.

Analicemos algunos ejemplos:

LIMITES POR MANIPULACION ALGEBRAICA

Ejercicio 1

Hallar el límite hacia el cual tiende la función:

f ( x )= x2−9x−3

cuando su variable se aproxima a un punto

podemos decir cuando x tiende a 3. Esta situación problémica de limite la podemos escribir simbólicamente

como:lim ¿x→3x2−9x−3

¿ esto quiere decir que debemos

determinar hacia que número se aproxima la función f(x), cuando la variable se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha, podemos observar que cuando le damos a la variable X el valor de 3 en la función esta se nos hace 00 es decir nos da una indeterminación, la cual es evitable si hacemos una factorización del numerador y al realizar la simplificación, luego tenemos: y cancelamos los términos que nos causan esta indeterminación en la función.

Procedamos a factorizar lim ¿x→ 3( x−3 ) ( x+3 )

()¿ podemos

observar que la indeterminación esta en X-3 luego podemos determinar lim ¿x→3 ( x+3 )=3+3=6¿

Podemos concluir entonces que el límite de la función es 6.

EJERCICIO 2

DETERMINE lim ¿x→ 5x2−4 x−5x−5

¿ si reemplazamos

directamente el 5 en la función tendremos la indeterminación 00 para evitar esto debemos simplificar la función factorizando el trinomio que tenemos en el numerador y hacer una simplificación para destruir esta

indeterminación, luego tenemos que: lim ¿x→ 5x2−4 x−5x−5

¿=

lim ¿x→ 5( x−5 ) ( x+1 )x−5

= lim ¿x→5 (x+1 )=5+1=6¿¿

EJERCICIO 3

Determine lim ¿x→0√ x+2−√2

x¿ observamos que si

reemplazamos la variable por 0 se nos hace indeterminado este limite, por lo tanto por tener este numerador del tipo irracional debemos efectuar una racionalización en el numerador utilizando la expresión conjugada, es decir debemos multiplicar numerador y denominador por la expresión (√ x+2 )+√2 con esta

expresión garantizamos una expresión que nos vuelve la expresión racional en el numerador, permitiendo que la indeterminación sea destruida, veamos: lim ¿x→ 0

(√ x+2−√2 ) (√x+2+√2 )x (√x+2+√2 )

=lim ¿x→0x+2−2

x (√ x+2+√2 )=lim ¿x→0

xx (√x+2+√2 )

=lim ¿x→01

√x+2+√2= 1

√0+2+√2= 1

√2+√2= 12√2

=√24

¿¿¿¿

.EJERCICIO 5 LIMITES AL INFINITO

Determine con el análisis numérico utilizando la tabla tabuladora: lim ¿x→∞

x+2x+2

¿

X 10 100 1000 10000 100000 1000000

F(x) 0.92 0.99 0.999 0.9999 0.99999

0.999999

Podemos observar de la tabla que cuando la variable X tiende a valores muy grandes ó sea para el infinito, la función tiende a uno, lo que quiere decir que no necesariamente la función va ser indefinida cuando la variable tiene tendencia al infinito, si queremos determinar este limite en forma algebraica, debemos dividir tanto el numerador como el denominador por la mayor potencia de X, hacemos simplificaciones y razonando los teoremas propuestos de limites al infinito, podemos llegar a la misma conclusión del limite de la función. Se deja la demostración al estudiante.

Actividad. En la función:

P(t)=200.000+10000( t+2 )2

Elabora la tabla que se muestra a

continuación para valores de

(t→∞ )hacia el infinito.

t 10 100 1000 10000 1000000P(t)Preguntas

1.¿Cual es el limite hacia el cual tiende P?

2. ¿Tiene p un crecimiento también infinito?

3. ¿Qué le esta sucediendo al segundo termino

De P?.

4. Si P (t) es una función representativa de una población. ¿Que significado puedes darle al crecimiento continuo hacia el infinito de esta población?.

5. ¿Qué factores podrán influir en el crecimiento ó decrecimiento de esta población?.

A continuación encontraras ejercicios propuestos con tabla para llenarla y descubrir los límites, realiza también la manipulación algebraica.

DETERMINE LOS SIGUIENTES LIMITES CONSIDERE EL ANALISIS POR MEDIO DE UNA TABLA TABULADORA Y LUEGO DETERMINESE EL LIMITE CON LA MANIPULACION ALGEBRAICA.

1. HALLAR

X 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 F(x)

2. Hallar e=2.71828….

X -0.1 -0.01 -0.001 0.1 0.01 0.001 F(x)

3. Hallar

X 0.1 0.01 0.001 -0.1 -0.01 -0.001 F(x)

4. Elabore una tabla tabuladora para determinar el limite de la siguiente función

5. Hallar limite lateral con valores de X > 1

X 1.1 1.01 1.001 1.0001 F(x)

6. Hallar

x 5 10 100 1.000 10.000 100.000 F(x)

CONTINUIDAD.

La grafica de una función continua, no tiene interrupción, esto quiere decir que se puede dibujar sin levantar el lápiz. Una función (f )es continua en x=a, si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. F(x) es definida, es decir, existe en un valor x=c2. lim ¿x→c f ( x ) existe¿

3. lim ¿x→c f ( x )=f (c)¿

También podemos tener en cuenta algunas propiedades de la continuidad, las cuales se cumplen para todo numero real x.

1. Todas las funciones polinómicas son continuas.2. Todas las funciones racionales son racionales

son continuas, excepto en aquellos puntos donde la función no esta definida, es decir en aquellos puntos donde su denominador se hace cero.

3. La sumatoria f(x) g(x) Es continua4. f(x) g(x) es continua5. f (x )g (x) es continua, siempre que g(x)≠0 6. m√ f (x ) es continua siempre y cuando m√ f (x ) este

definida.

Veamos algunos ejemplos que nos ilustran la continuidad algebraica de una función:

1. Analice si f(x)= 5x+1 es continua en x=2

a. f(2)=5(2)+1=10+1=11 se define en x=2b. lim ¿x→ 2 (5 x+1 )=5 (2 )+1=11¿

c. lim ¿x→ 2 f ( x )= f (2)¿

Esta verificación de la tres condiciones de continuidad en esa función nos permiten asegurar que esa función es continua, es decir que su trazado no tiene interrupción.

Veamos otro ejemplo.

2. Determine si f ( x )= x2+2x−2x−2 es continua en x=1

1. f(1)=12+2 (1 )−21−2

=−1

2. lim ¿x→ 1x2+2 x−2x−2

=lim ¿x→ 1 (−1 )=−1¿¿

3. lim ¿x→ 1 f ( x )=f (1 )=−1¿ podemos observar claramente que se están cumpliendo las tres condiciones que son propuestas por la teoría de la continuidad en límites.

3. Veamos un ejemplo más. Determine si f(x)= √ x+4 es continua en x=−2

1. f(-2)= √−2+4=√2.

2. lim ¿x→−2√ x+4¿=√−2+4=√2

3. lim ¿x→−2 f (x )=f (−2 )=√2¿ como se puede observar se están dando las tres condiciones de continuidad, lo que asegura que su trazado es continuo y no tiene saltos.

ILUSTREMOS AHORA UNOS EJEMPLOS QUE NOS CLARIFIQUEN LA DISCONTINUIDAD EN UNA FUNCION ALGEBRAICAMENTE.

Determine si f ( x )= x2−4x−2 es continua en x=2

1. f (4 )=22−42−2

=00 f(x) no se define en x=2

2. lim ¿x→ 2x2−4x−2

¿ =lim ¿x→ 2( x+2 ) ( x−2 )x−2

¿ =lim ¿x→2 ( x+2 )=4¿ el limite esta definido

3. lim ¿x→ 2 f (x)≠ f (2)¿ lo que quiere decir que por no cumplir todas las condiciones de continuidad, la función es discontinua en x=2, por lo tanto su trazado tiene esa discontinuidad.

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD GRAFICAMENTE.

4.En la siguiente gráfica analiza las siguientes preguntas y arguméntalas. Tener en cuenta los teoremas de continuidad

a. la función de la recta es y=3-X ¿Cual es el limite de f(x) cuando x→2+ ?

b la función de la curva es y= x2-1 ¿Cuál es el limite de F(x) cundo x→2−¿¿ ?.

c ¿Son los limites de ambas f(x) iguales?

d ¿Qué puedes concluir si son diferentes los limites?

e ¿Qué característica se puede concluir de la recta en X=2?.

f. ¿Cómo es el intervalo que recorre la curva en ambos extremos?

h. ¿Como es el intervalo que recorre la recta?

I ¿Podrías asegurar que la discontinuidad es inevitable? ( Argumenta tu respuesta )

j. ¿Cómo se representa en forma de intervalo el extremo derecho de la curva?

k. Hacia que valor tiende la recta en su extremo derecho?