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1Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010
UNIDADES:
1. Números Reales..
2. Polinomios: operaciones. Distancia entre dos puntos. Ecuación de una
recta, rectas paralelas y perpendiculares, grafica. Despeje de formulas.
Ecuaciones lineales. Aplicaciones.
3. Ecuaciones cuadráticas. Aplicaciones. Regla de tres simple. Interés simple y
compuesto. Anualidades
Unidad 1: Números Reales
Contenido:
1. Subconjuntos de R.
2. Propiedades de R.
3. Potencias en R
4. El conjunto de los números Naturales y Enteros.
5. El conjunto de los números Racionales.
6. El conjunto de los números Irracionales.
7. Intervalos reales
Evaluación:
Guía individual 10 %
Trabajo en equipo 20 %
Pruebas cortas 10 %
Investigaciones 10 %
Participación 10 %
Examen escrito 40 %
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DESARROLLO:
1. Subconjuntos de R
El conjunto formado por los números racionales e
ir racionales es el conjunto de los números reales , se designa
por .
Con los números reales podemos real izar todas las
operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando
negat ivo, y la div is ión por cero.
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La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y
a todo punto de la recta un número real .
Representación de los números reales
Los números reales pueden ser representados en la recta
con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los
que podemos representar los de forma exacta.
Suma de números reales
2. Propiedades
1 Cerradura
El resul tado de sumar dos números reales es otro número real .
a + b
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2.Asociativa :
El modo de agrupar los sumandos no varía el resul tado.
(a + b) + c = a + (b + c) ·
3.Conmutativa :
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
4.Elemento neutro :
El 0 es el e lemento neutro de la suma porque todo número
sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
+ 0 =
5.Elemento opuesto
Dos números son opuestos si a l sumarlos obtenemos como
resul tado el cero.
e − e = 0
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Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se def ine como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo .
a − b = a + (−b)
Producto de números reales
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se s igue manteniendo con los números reales .
Propiedades
1Cerradura
El resultado de multipl icar dos números reales es otro número real.
a · b
2.Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se
cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
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)
3.Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
4. Elemento neutro :
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación ,
porque todo número mult ipl icado por él da el mismo número.
a ·1 = a
· 1 =1
5. Elemento inverso :
Un número es inverso del otro s i a l mul t ip l icar los
obtenemos como resul tado el elemento unidad .
6.Distributiva :
El producto de un número por una suma es igual a la
suma de los productos de dicho número por cada uno de los
sumandos.
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a · (b + c) = a · b + a · c
7.Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distr ibut iva.
Si var ios sumandos t ienen un factor común, podemos
transformar la suma en producto extrayendo dicho factor .
a · b + a · c = a · (b + c)
División de números reales
La div is ión de dos números reales se def ine como el
producto del div idendo por el inverso del d iv isor.
3.Potencias con exponente entero
Con exponente racional o fraccionario
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Propiedades
1.a 0 = 1 ·
2.a 1 = a
3.Producto de potencias con la misma base : Es otra
potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes .
am · a n = am + n
(−2) 5 ·(−2) 2 = (−2) 5 + 2 = (−2) 7 = −128
4.División de potencias con la misma base : Es otra
potencia con la misma base y cuyo exponente es la
diferencia de los exponentes .
am : a n = am - n
(−2) 5 : (−2) 2 = (−2) 5 - 2 = (−2) 3 = -8
5.Potencia de una potencia : Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes .
(am)n=am · n
[ (−2) 3 ] 2 = (−2) 6 = 64
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6.Producto de potencias con el mismo exponente : Es
otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
producto de las bases
an · b n = (a · b) n
(−2) 3 · (3) 3 = (−6) 3 = −216
7.Cociente de potencias con el mismo exponente : Es
otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el
cociente de las bases.
an : b n = (a : b) n
(−6) 3 : 3 3 = (−2) 3 = −8
4. Los números naturales y enteros
Con los números naturales contamos los elementos de un
conjunto (número cardinal ) .
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . .}
La suma y el producto de dos números naturales es otro
número natural .
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La diferencia de dos números naturales no siempre es un
número natural , sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que
sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente de dos números naturales no siempre es un
número natural , sólo ocurre cuando la div is ión es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos ut i l izar potencias , ya que es la forma abreviada
de escr ib ir un producto formado por var ios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número
natural , sólo ocurre cuando la raíz es exacta.
Los números enteros
Los números enteros son del t ipo:
= {. . .−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . . }
Se tiene la igualdad: Z- U {0 } U Z+
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Nos permiten expresar: el d inero adeudado, la
temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al n ivel
del mar, etc.
La suma, la di ferencia y el producto de dos números
enteros es otro número entero .
El cociente de dos números enteros no siempre es un
número entero , sólo ocurre cuando la div is ión es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente t iene
que ser un número natural .
La raíz de un número entero no siempre es un número
entero , sólo ocurre cuando la raíz es exacta o s i se trata de
una raíz de índice par con radicando posi t ivo.
Valor absolutoEl valor absoluto de un numero a , se simboliza por |a | y se define así :
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Propiedades
|a| = |−a|
|a · b| = |a| · |b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
Ejemplos
| 13 | = 13
| - 50 | = 50
| 12 | = 12
| 0 | = 0
| - 1 | = 1
El opuesto de un numero entero o inverso aditivo .
Si a es un numero entero, entonces el opuesto o inverso aditivo de a es –a
Ejemplos:
El opuesto de 20 es -20
El opuesto de -10 es 10
El opuesto de 0 es 0
Al sumar el entero a con su opuesto -a, el resultado es 0,es decir : a + (-a) = 0
Ejemplos
20 + (-20) = 0
-10 + 10 = 0
Adicion de enteros:
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Reglas:
1. Para sumar dos numero con igual signo, se suman sus valores absolutos y
se escribe el signo común.
2. Para sumar dos numero de distinto signo. Se resta al número de mayor
valor absoluto el de menor valor absoluto y se escribe el signo del número
que tiene mayor valor absoluto.
3. Para sumar más de dos números , se suman los positivos , se suman los
negativos y luego se restan ambos resultados escribiendo el signo del
numero que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplos
Efectuar las siguientes operaciones:
a. 48 + 60 =
b. 76 + 475 =
c. -78 + ( - 116) =
d. (-374) + (- 68 ) =
e. 48 + (- 60 ) =
f. 76 + ( - 11 ) =
g. 65 + ( - 100 ) =
h. 3 + ( -2 ) + ( -5) + 9 =
i. 12 + 5 + ( -15 ) + ( -3) =
Sustraccion de enteros
Se considera como una suma: a - b = a + ( -b)
Ejemplos
Efectuar las siguientes operaciones
a. 78 – 46 =
b. – 2 – ( -5 ) =
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c. ´-12-12-23-4 =
d. -7 - 10 -4 =
Ejemplos
Efectuar las siguientes operaciones
a. 12 ÷ (-2 ) =
b. ( - 100 ) ÷ 10 =
c. ( - 3 ) . ( 5 ) =
Signos de agrupación
Nos indican la operación a efectuar, se sigue el siguiente orden :
Primero se hace lo que esta en paréntesis.( )
Luego los corchetes. [ ]
Por ultimo las llaves. { }
5. Los números racionales
Se l lama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos enteros, con
denominador dist into de cero .
Los números decimales (decimal exacto, per iódico puro y
per iódico mixto) son números racionales ; pero los otros
números decimales i l imitados no.
15Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010
La suma, la di ferencia, e l producto y el cociente de dos
números racionales es otro número racional .
Podemos operar con potencias, pero el exponente t iene
que ser un número entero .
La raíz de un número racional no siempre es un número
racional , sólo ocurre cuando la raíz es exacta y s i e l índice es
par el radicando ha de ser posi t ivo.
Las Fracciones
ab donde a se llama Numerador y b y denominador
a estas fracciones se les denomina números racionales
Operaciones en Q
Suma o adicion de números racionales
:Para sumar fracciones con el mismo denominador, o sea, fracciones
homogéneas, sumamos los numeradores únicamente. El resultado tiene el mismo
denominador que las fracciones que se suman. Ejemplos:
a) 57 +
37 =
b)1312 +
−712 =
c) −58 +
28 =
d)1115 +
−1715 =
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Cuando se suman fracciones de distinto denominador, o sea, fracciones
heterogeneas, hay que ampliarlas de manera tal que las amplificaciones tengan
igual denominador. Ejemplo:
a) 26 +
17 =
b)34 +
518 =
c) 710 +
415 =
d)926 +
−513 =
e) 14 +
38 +
16 =
f)14 +
38 +
16 =
Resta o sustraccion de números racionales
De la misma manera que con los números enteros, para efectuar una resta,
sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo:
a)45 -
15 =
b)12 -
16 =
c) 8 - 23 =
d) 6 56 -
15 =
Multiplicacion de numeros racionales
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Para multiplicar dos o mas fracciones se multiplican los numeradores entre si y los
denominadores entre si.
a) 57 x
23 =
b)−34 x
25 =
c)23 x
−65 x
154 =
d) 5 x 133 x
110 =
Halle el reciproco de cada numero
a) 25 =
b)−13 =
c)37 =
d) 5 =
e) – 7 =
Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el reciproco del divisor.
a)78 ÷
43 =
b)1110 ÷
−25 =
c)−58 ÷
−14 =
6. Los números irracionales
18Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010
Un número es ir racional s i posee inf in i tas c i f ras decimales
no per iódicas , por tanto no se pueden expresar en forma de
fracción .
El número ir racional más conocido es , que se def ine
como la relación entre la longitud de la c i rcunferencia y su
diámetro.
= 3.141592653589. . .
Otros números i r racionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la
desintegración radiact iva, en la fórmula de la catenar ia, que es
la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctr icos.
e = 2.718281828459.. .
Un radical es una expresión de la forma , en la que n
y a ; con tal que cuando a sea negat ivo, n ha de ser
impar.
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Potencias y radicales
Se puede expresar un radical en forma de potencia :
Simplif icación de radicales
Si existe un número natural que div ida al índice y a l
exponente (o los exponentes) del radicando, se obt iene un
radical simpli f icado
Solamente pueden sumarse (o restarse ) dos radicales cuando son radicales semejantes , es decir , s i son radicales con el mismo índice e igual radicando .
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Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice .
Cuando terminemos de real izar una operación
extraeremos factores del radical , s i es posible.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican .
21Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010
Radicales del mismo índice
Para div idi r radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Cuando terminemos de real izar una operación
simpli f icaremos el radical , s i es posible.
22Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices .
23Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador , lo que permite faci l i tar e l cálculo
de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos dist inguir t res casos.
1Racionalización del t ipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Racionalización del t ipo
Se multiplica numerador y denominador por .
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3Racionalización del t ipo , y en general cuando
el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multipl ica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
También tenemos que tener en cuenta que: " suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados " .
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7. Intervalos Reales
Se l lama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos, dados: a y b que se l laman
extremos del intervalo .
Intervalo abierto
Intervalo abierto , (a, b) , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b .
(a, b) = {x / a < x < b}
También se puede representar ]a, b[ ó
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado , [a, b] , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b .
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
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Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda , (a, b] , es el
conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b .
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha , [a, b) , es el
conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b .
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
Intervalos infinitos:
.
Definición
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Sea a un número real. El conjunto cuyos elementos son los números
reales x tales que lo denotaremos por y lo representamos
geométricamente de la manera siguiente:
El símbolo se lee "más infinito" así:
En forma similar:
i. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo
denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera
siguiente:
Así:
ii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo
denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera
siguiente:
28Ing. MSc. Olivia Brizuela Castillo Manual de Matemáticas Aplicada III Periodo 2010
Así:
El símbolo se lee "menos infinito"
iii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo
denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la
manera siguiente:
Así:
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