CUESTIONARIO DE MATEMÁTICAS

PARA BACHILLERATO “PRIMERO, SEGUNDO Y TERCERO DE BACHILLERATO O LO QUE SE CONOCIA COMO

4TO, 5TO Y 6TO CURSO”

MATERIA

Números enteros, Operaciones y AplicacionesOperaciones con números enterosSuma de números enteros1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Resta de números enterosLa diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, es una suma de números enteros de distinto signo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Multiplicación de números enterosLa multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

División de números enterosLa división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Eliminación de Signos de agrupaciónSignos de agrupación

( )   paréntesis

[ ]   Corchetes

{ }   llaves

Las cantidades encerradas en los signos de agrupación deben considerarse como un todo, es decir, como una sola cantidad.

Varios signos de agrupación pueden estar presentes en una sola expresión.

Ejemplo: 

4 – {10 + 25 – [4 – 1 – (8 – 15 – 19)+ 12]–5}

Como se observa, en la expresión anterior, se acostumbra escribir paréntesis dentro de corchetes, y corchetes dentro de llaves.

ELIMINACIÓN O SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓNSon dos las reglas generales para suprimir signos de agrupación.

1. Si un signo de agrupación está precedido por un signo positivo, se elimina el signo de agrupación y se escriben los elementos que se encontraban dentro de él sin cambiarles su signo. Ejemplo:

+¿ [- 25 + 3 + 6 – 8 + 9]

- 25 + 3 + 6 – 8 +9

Si un signo de agrupación está precedido por un signo negativo, se elimina el signo de agrupación y se escriben los elementos que se encontraban dentro de él cambiándoles el signo a cada uno. Ejemplo:

−¿ {- 3 + 6 – 5 + 3 – 2 – 5 + 1}

+ 3 – 6 + 5 – 3 + 2 + 5 – 1

CUESTIONARIO

Operaciones algébricas

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

18) x3 + x2 = factor común

x3 + x2 = x2 (x + 1)

19) x2 – 4 = diferencia de cuadrados

x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

20) 9 + 6x + x2 = trinomio cuadrado perfecto

21) 2x(a+1)-3y(a+1) = factor común

2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y)

22) ax+bx-ay-by = factor común por agrupación

ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by)

= x(a+b) - y(a+b)

= (a+b)(x-y)

23) (a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2 = trinomio cuadrado perfecto

(a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2 = [(a+1)+(2a-3)]2

= [ a+1 + 2 a-3 ]2

= [3a-2]2

24) 4x2 – 9y2 = diferencia de cuadrados

4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)

25) (a+b)2 – c2= diferencia de cuadrados

(a+b)2 – c2= [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]

26) x2 + 5x + 6 = + Trinomio de la forma x2 + bx + c

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

27) 10 x2– 9 x + 2 = Trinomio de la Forma ax2 + bx + c 10 x2– 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1)

5x -2 = -4x 2x -1 = -5x .

-9x

28) x3 + y3 = suma de cubos

x3 + y3 = (x + y)(x2– xy + y2)

29) x3 + (x – 1)3 = suma de cubos

x3 + (x – 1)3 = [x + (x - 1)][x2 – x(x-1) + (x-1)2]

= (x + x - 1)(x2 –x2 +x + x2 –2x + 1) =(2x - 1)(x2 – x +1)

30) x5 – 1 = Diferencia de dos Potencias Iguales

x5 – 1 = (x - 1)(x4+ x3 + x2 + x + 1)

Operaciones algébricas

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

RESUELVA:

1) 8a - 4b + 16c + 12dFACTOR COMÚN(Hay factor común entre los números)4. (2a - b + 4c + 3d)El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

2) 7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8

Hay factor común entre las letras x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

3) 4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5

2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia

4) 4a  +  4b  +  xa  +  xb

FACTOR COMÚN EN GRUPOS4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

5) x2  +  6x  +  9 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x2  +  6x  +  9 =(x + 3)2

x                3      2.3.x        6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 

6) 1- x8

DIFERENCIA DE CUADRADOS(1+x4)(1-x4)

Tienen dos términos el signo que los separa siempre es menos

Las potencias de letras están elevadas con números pares 2, 4, 6…

Tiene raíz cuadrada exacta el primer término

Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término

7) x2 – 9

(x + 3).(x - 3)

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

8) x2 - y2

(x + y).(x - y)

Las dos bases son letras

9) x2 + 3x + 2

(x + 1).(x + 2)

 

a = 1b = 3c = 2

x1,2 = 

x1 =        (con la suma)

x2 =        (con la resta)

x1 = -1

x2 = -2

a.(x - x1).(x - x2)

1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)

Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x - x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos. También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo. 

10) 36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5

12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)

Entre números grandes es más difícil hallar el MCD.

11)4a  -  4b  +  xa  -  xb

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

12)4x2a  +  3y  +  12ax  +  yx

4x2a  +  3y  +  12ax  +  yx =

4ax.(x + 3)  +  y.(3 + x) =

4ax.(x + 3)  +  y.(x + 3) =

      (x + 3).(4ax + y)

No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que haber Factor Común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual (o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores).En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

13) 9x2  +  30x  +  25 

9x2  +  30x  +  25 = (3x + 5)2

3x                   5       2.5.3x          30x

Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).

14) 36x2 - a6b4

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2) 

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

RECUERDE UN POCO OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Paso 1: se suman o restan los numeradores (los números de arriba).

Paso 2: los denominadores (números de abajo) se dejan igual.

Paso 3: se simplifica la fracción (si es necesario).

EJEMPLOS:

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DIFERENTE HETEROGÉNEAS

1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponiendo en factores los denominadores hasta llegar a uno con todos los denominadores y multiplicamos los valores divisibles que encontramos.

37+ 9

5−17

9+ 2

3

7 5 9 37 5 3 1 37 5 1 1 37 1 1 1 51 1 1 1 7

2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.

37+

95−

179 +

23=

45 (3 )+63 (9 )−35 (17 )+105(2)315

m.c.m =3.3.5.7 =9.5.7 =45.7 =315

315÷7=45315÷5=63315÷9=35315÷3=105

3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.

135+567−595+210315

=1507315

4º Si podemos simplificamos.

1507315

eneste ejemplono se puede simplificar

Resuelva con su respectivo procedimiento: