oipopp.ed-sp.netoipopp.ed-sp.net/.../matematychnyy_kaleydoskop.docx · Web viewЯкщо число...

Методичний посібник створено відповідно до програми

факультативного курсу для учнів 6-х класів «Математичний калейдоскоп»,

автор Гартфіль О.Р. Посібник містить 35 уроків, кожен з яких складається з

таких етапів: актуалізація знань (інтелектуальна розминка, до якої включено

усні запитання і графічне завдання), мотивація навчальної діяльності (задача

для обговорення), вивчення і закріплення нового матеріалу (основні

теоретичні відомості, типові й нестандартні задачі), підбиття підсумків уроку

(інтерактивні вправи), домашнє завдання (усні запитання, задачі для

письмового розв’язання, творче завдання). Задачі, які розглядаються на

занятті, подані в такій послідовності: задача з повним розв’язанням, задача з

частковим розв’язанням, яке учні повинні доповнити, задачі для

самостійного розв’язання.

Матеріали посібника допоможуть розкрити математичні здібності учнів,

розвинути логічне мислення, сформувати навички дослідницької діяльності,

розширити кругозір.

Посібник може бути використаний вчителями математики для

проведення факультативного курсу, підготовки до уроків, а також буде

корисний учням, які цікавляться математикою.

1

Зміст

Програма факультативного курсу «Математичний калейдоскоп» ……………4

Урок №1. Поняття системи числення. Види систем числення. Запис чисел у десятковій системі числення.…………………………………………………….8

Урок №2. Запис чисел у позиційних системах числення, відмінних від десяткової. Арифметичні дії в різних позиційних системах числення.…………………………………………………………………………15

Урок №3. Переведення чисел із десяткової системи числення у інші системи числення, і навпаки..........................................................................................21

Урок №4. Цифрові задачі (заняття 1).…………………………………………25



Урок №7. Ознаки подільності на 4 і 25, 8 і 125.……………………………….44

Урок №8. Ознаки подільності на 7, 11, 13...…………………………………...47

Урок №9. Ознаки подільності на складені числа. Властивості подільності (заняття 1)..……………………………………………………………………….52

Урок №10. Ознаки подільності на складені числа. Властивості подільності (заняття 2)..……………………………………………………………………….56

Урок №11. Прості числа. НСД і НСК. Різні способи знаходження НСД і НСК (заняття 1)..……………………………………………………………………….59

Урок №12. Прості числа. НСД і НСК. Різні способи знаходження НСД і НСК (заняття 2)..……………………………………………………………………….66

Урок №13.Головоломки із сірниками..……………………………….………..70

Урок №14. Розрізання..…………………………………………..……………...80

Урок №15. Розфарбовування..………………………………….……………….90

Урок №16. Конструювання..……………………………………………………98

Урок №17.Три типи задач на дроби..…………………………………………105

Урок№18. Розв’язування задач за допомогою зображення дробів на відрізку………………………………………………………………………….112

Урок №19. Стародавні задачі, пов’язані з поняттям дробу…….……………118

Урок №20. Три типи задач на відсотки..………………………………..……125

2

Урок №21. Задачі на відсотки, пов’язані зі збільшення (зменшенням) числа на кілька відсотків.………………………………………….………………….128

Урок №22. Задачі економічного змісту..……………………………..………133

Урок№23.Розв’язування задач за допомогою пропорцій..…………………139

Урок №24. Концентрація. Задачі на розчини, суміші і сплави (заняття 1)…..… ………………………………………………………………………………….144

Урок №25. Концентрація. Задачі на розчини, суміші і сплави (заняття 2)....150

Урок №26. Поняття модуля числа. Геометрична інтерпретація модуля. Властивості модуля (заняття 1).……………………………………………….159

Урок №27. Поняття модуля числа. Геометрична інтерпретація модуля. Властивості модуля (заняття 2)..………………………………………………164

Урок №28. Розв’язування рівнянь вигляду |х| = а, |ах+b| = с. Геометрична інтерпретація розв’язків рівнянь з модулем (заняття 1)……………………..167

Урок №29. Розв’язування рівнянь вигляду |х| = а, |ах+b| = с. Геометрична інтерпретація розв’язків рівнянь з модулем (заняття 2)……………………..171

Урок №30. Поняття множини та елемента множини. Порожня множина. Способи задання множин.……………………………………………………..175

Урок №31. Підмножина. Основні операції над множинами (переріз, об’єднання, різниця).…………………………………………………………...181

Урок №32.Задачі на застосування принципу Діріхле (заняття 1)...…………187

Урок №33. Задачі на застосування принципу Діріхле (заняття 2)…………. 192

Урок №34.Розв’язування задач за допомогою кругів Ейлера – Венна……..197

Урок №35.Турнір. Обчислювальний практикум……….…………………….204

Література..……………………………………………………………………..207

3

Програма факультативного курсу «Математичний калейдоскоп»

Розподіл навчального часу

6 клас (35 год)

№п/п

Тема Кількість годин

1 Цифри і системи числення 52 Подільність чисел 63 Конструкції 44 Дроби. Відсотки. Пропорції 75 Модуль числа 56 Елементи теорії множин 47 Методи розв’язування нестандартних задач 4

Зміст навчального матеріалу та вимоги до навчальних досягнень учнів

6 клас

К-сть годин

Зміст навчального матеріалу Навчальні досягнення учнів

5 Тема1. Цифри і системи численняПоняття системи числення. Види систем числення. Запис чисел у десятковій системі числення. Запис чисел у позиційних системах числення, відмінних від десяткової. Арифметичні дії в різних позиційних системах числення. Цифрові задачі.

Учень (учениця): уміє подавати

числа за допомогою степенів числа 10 у вигляді аn 10n + an – 1 10n – 1 + … a1

101 + a0 100 , де кожен з коефіцієнтів аn , an

– 1 , …, а1 , а0 є однією з десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, причому а n ≠ 0; подавати числа за допомогою степенів числа 2 у вигляді аn 2n + an – 1

2n – 1 + … a1 21 + a0

20 , де кожен з коефіцієнтів є однією з двох

4

цифр 0 або 1, причому а n ≠ 0;

переводить число з десяткової системи числення у двійкову і навпаки;

застосовує знання про системи числення до розв’язування задач.

6 Тема 2. Подільність чиселОзнаки подільності на 4 і 25, 8 і 125, 7 (11 чи 13). Ознаки подільності на складені числа. Властивості подільності. Прості числа. НСД і НСК. Різні способи знаходження НСД і НСК.

Учень (учениця): знає ознаки

подільності на 4 і 25, 8 і 125, 7 (11 чи 13), на складені числа; властивості подільності; різні способи знаходження НСД і НСК;

уміє застосовувати ознаки подільності, властивості подільності, алгоритм Евкліда для знаходження НСД до розв’язування задач підвищеної складності.

4 Тема 3. КонструкціїГоловоломки із сірниками. Розрізання. Розфарбовування. Конструювання.

Учень (учениця): змінює структуру

фігури за допомогою перекладання сірників та розрізання фігур;

розв’язує геометричні

5

головоломки із сірниками, задачі на розрізання та розфарбовування

7 Тема 4. Дроби. Відсотки. ПропорціїТри типи задач на дроби. Розв’язування задач за допомогою зображення дробів на відрізку. Стародавні задачі, пов’язані з поняттям дробу. Три типи задач на відсотки. Задачі на відсотки, пов’язані зі збільшенням (зменшенням) числа на кілька відсотків. Розв’язування задач за допомогою пропорцій. Концентрація. Задачі на розчини, суміші і сплави.

Учень (учениця): розв’язує задачі

на дроби за допомогою ілюстрування їх на відрізку;

розв’язує стародавні задачі на дроби за допомогою рівнянь;

має уявлення про застосування відсотків у повсякденному житті;

розв’язує задачі на розчини, суміші і сплави; задачі на відсотки, пов’язані зі збільшенням (зменшенням) ціни товару на кілька відсотків.

5 Тема 5. Модуль числаПоняття модуля числа. Геометричний зміст модуля. Властивості модуля. Розв’язування рівнянь вигляду |x|= a, |ax+b|= c. Геометрична інтерпретація розв’язків рівнянь з модулем.

Учень (учениця): уміє знаходити

модуль числа; спрощувати числові вирази, що містять модулі;

розв’язує найпростіші рівняння з модулем з використанням геометричного змісту модуля.

6

4 Тема 6. Елементи теорії множинПоняття множини та елемента множини. Порожня множина. Способи задання множин. Підмножина. Основні операції над множинами (переріз, об’єднання, різниця). Зображення відношень між множинами за допомогою кругів Ейлера – Венна.

Учень (учениця): має уявлення про

основні елементи теорії множин;

уміє виконувати основні операції над множинами; зображувати відношення між множинами за допомогою кругів Ейлера – Венна.

4 Тема 7. Методи розв’язування нестандартних задачЗадачі на застосування принципу Діріхле. Розв’язування задач за допомогою кругів Ейлера – Венна.

Учень (учениця): уміє

використовувати круги Ейлера – Венна, принцип Діріхле до розв’язування задач.

7

Урок №1. Поняття системи числення. Види систем числення. Запис чисел у десятковій системі числення

Інтелектуальна розминка

Увага: запитання!

1. Записати числом: сім тисяч двадцять п’ять.2. Скільки метрів у 10000 см?3. Записати двоцифрові числа, сума цифр яких дорівнює 5.4. Скільки метрів у 1000 дм?5. Записати всі двоцифрові числа, сума цифр яких дорівнює 6.6. Задане натуральне число а. Запишіть всі натуральні числа, які більші за

а – 2 і менші а + 7.7. Скільки десятків вийде, якщо два десятки помножити на три десятки?

Графічне завдання

Рухаючись за стрілочками, прочитайте прислів’я:

Цікаво знати Першою відомою нам позиційною системою числення була шістдесяткова система вавилонян, що виникла приблизно за 2500 – 2000 років до н. е. Основою її було число 60. Вавилоняни записували всі числа від 1 до 59 за десятковою системою, використовуючи додавання. Для позначення 1 вживали прямий клин, а для 10 – лежачий клин. Спеціального знака для нуля в ній не існувало. Для обчислень вавилоняни користувалися готовими таблицями множення, ділення, квадратів і кубів чисел.

8

Десяткова система числення є позиційною. У позиційних системах числення внесок цифри в число залежить від позиції цієї цифри в записі числа. Позицію цифри в числі називають розрядом.

Алфавіт системи числення – набір символів (цифр), які використовуються для запису чисел у цій системі числення. Кількість символів у такому алфавіті дорівнює основі системи.

Основою десяткової системи числення є число 10, а її алфавітом – набір цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У десятковій системі числення 10 одиниць одного розряду утворюють одиницю наступного розряду.

Обговорюємо задачу

Задача 1. Запиши і прочитай число, розкладене по розрядах:

1) 3 ∙ 100000 + 7 ∙ 10000 + 2 ∙ 1000 + 1 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 8 ∙ 1;2) 4 ∙ 100000 + 0 ∙ 10000 + 0 ∙ 1000 + 5 ∙ 100 + 1 ∙ 10 + 7 ∙ 1;3) 5 ∙ 10000 + 3 ∙ 100;4) 6 ∙ 10000000 + 3 ∙ 100;5) 6 ∙ 10000000 + 8 ∙ 10000 + 1 ∙ 1000 + 4 ∙ 1;6) 8 ∙ 1000000000 + 7 ∙ 1000000 + 5 ∙ 10000 + 3 ∙ 10.

Задача 2. У числах невідомі цифри позначені зірочками (одна зірочка замінює одну цифру). Чи можна порівняти ці числа? Відповідь поясніть.

1) 35** і 15***;2) 3**** і 9999;3) 12** і **12;4) 9**1 і 9**5;5) 9**1 і 9*1*;6) ** і ***.

9

Учимось розв’язувати задачі

Задача 3. Системи числення поділяються на непозиційні і позиційні. Вставте пропущене.

До нашого часу збереглася римська система, яку використовують для нумерації століть, томів книг, розділів, на циферблатах годинників.

Вузловими в римській нумерації є числа:

10

Системи численняНепозиційні??Позиційні??

1 І

5 V

10 X

50 L

100 C

500 D

1000 M

Алгоритмічні числа утворювалися як комбінації вузлових за такими правилами:

1) якщо в запису числа знак меншого числа йде за знаком більшого, вони додаються;

2) якщо знак меншого числа записаний перед знаком більшого, менше число віднімається від наступного більшого;

3) віднімати можна не більше одного, а додавати не більше трьох чисел:

IV 5 – 1

VI 5 + 1

XII 10 + 1 + 1

XXXIX 30 + (10 - 1)

DCCLXXXIV 500 + 100 + 100 + 50 + 30 + (5 - 1) = 784

Як бачите система незручна.

Задача 4. Запишіть римськими цифрами числа: 26; 112; 1980.

Задача 5. Прочитай числа і запиши їх арабськими цифрами:

1) XXVIII;2) XLIII;3) MCCXVIII.

Задача 6. На одному з будинків написано: MDCCCLXXIV. У якому році споруджено цей будинок?

Задача 7. Знайдіть трицифрове число, усі цифри якого різні, а всі слова в назві починаються з тієї самої літери.

11

Відповідь: 147.

Задача 8. Марійка записала на дошці трицифрове число, а Петрик переставив у ньому цифри у зворотному порядку. Чи може сума отриманих чисел записуватись тільки непарними цифрами? Якщо так, то яке число могла записати Марійка?

Розв’язання:

П + П = П, Н + П = Н, Н + Н = П. Не забудьте про можливість переносу одиниці в старший розряд. Марійка могла записати, наприклад, число 829.

Задача 9. Настя записала на дошці всі натуральні числа від 1 до 30 без пробілів і одержала величезне число: 123456789101112131415161718192021222324252627282930. Викресліть із цього числа 20 цифр так, щоб вийшло число, найменше з можливих (воно не має починатися нулем).

Відповідь: 1011111111110122224252627282930.

Число – паліндром. Паліндромом називають слово, фразу або число, які читаються зліва направо і справа наліво. Наприклад, слова ОКО; РАДАР, числа 131; 2662 – паліндроми.

Задача 10. Відомо, що в чотирицифрового числа – паліндрома сума цифр дорівнює числу, утвореному першими двома цифрами. Знайдіть це число.

Підказка. Позначте шукане число abba = 1000a + 100b + 10b + a і складіть рівняння з невідомими цифрами a і b.


Задача 11. Відомо, що перша цифра шестицифрового числа – 1, а остання – 7. Якщо останню цифру переставити на перше місце, то вийде число, в 5 разів більше за початкове. Знайдіть початкове число.

Підказка. Запишіть умову задачі у вигляді ребуса, позначивши невідомі цифри літерами.


Розв’яжемо самостійно

Задача 12. Літера а замінює одну цифру, літера b – другу. Сума двох двозначних чисел аа і аb дорівнює 111: аа + а b = 111. Які цифри замінюють літери а і b?

Задача 13. Запишіть найбільше число, у запису якого всі цифри різні.

12

Задача 14. Випишіть всі числа, в запису яких немає 1 і добуток цифр яких дорівнює 45.

Задача 15. Напишіть найменше шестизначне число, в запису якого беруть участь тільки цифри 0, 1, 2, 3 (кожна цифра записується не менше одного разу).

Домашнє завдання

Дайте усні відповіді

1. Для чого потрібні натуральні числа?2. У чому полягає різниця між цифрою і числом?3. Назвіть найменше натуральне число.4. Чи існує найбільше натуральне число? Чому?5. Коли виникли натуральні числа і хто їх увів?6. Які ми знаємо дії на множині натуральних чисел?7. Якими властивостями володіють додавання та множення натуральних

чисел?8. Де знайшла своє застосування шістдесяткова система числення?9. Де «народились» арабські цифри?

Розв’яжіть задачі

1. На першій друкованій російською мовою арифметиці написано: MDCXCIX. У якому році надруковано цю книжку?

2. Знайдіть суму чисел CLXXVI і XXXIV. 3. На скільки число MXL більше від CDX?4. Знайдіть закономірність і запишіть наступні три числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, … .5. Восьмизначне число записане двома одиницями, двома двійками,

двома трійками і двома четвірками, між одиницями стоїть одна цифра, між двійками – дві, між трійками – три, між четвірками – чотири. Знайдіть це число. Чи є інші рішення?

Виконайте творче завдання

1. Запиши римськими цифрами рік свого народження, твоїх батьків та членів родини.

2. Підготуйте повідомлення про інші непозиційні системи числення.

3. Придумайте задачу про числа – паліндроми.4. Що це за система числення?

13

Урок №2. Запис чисел у позиційних системах числення, відмінних від десяткової. Арифметичні дії в різних позиційних системах числення



1. Для чого потрібні системи числення?2. Запишіть числа 774, 1032, 2689 римськими цифрами.3. Запишіть числа CM, MC, LXXXI, CDIV, MCMXCX у десятковій

системі.4. Чи правильно розв’язані приклади: ІХ + VIII = XVII; ХХV + XVII =

XLII; LXX + XL = CX; DC + CCC = CM; MD + CD = MCM?5. Запишіть цифрами: мільярд, більйон, квадрильйон.6. Годинник за кожну добу «тікає» на 3 хвилини уперед. Його встановили

точно. Через який час стрілки годинника будуть знову показувати точний час?

7. Мірошник прийшов на млин. В кожному кутку він побачив по три мішки, на кожному мішку по 2 коти. Скільки ніг було на млині. (2, інші лапи)


Знайти закономірність і нарисуйте в порожніх клітинках квадратів відсутні фігури. Розфарбуйте фігури трьома кольорами так, щоб у кожному рядку й кожному стовпці були фігури різних кольорів, до того ж ті самі фігури також були пофарбовані в різні кольори.

1) 2)

Основою позиційної системи числення може бути будь – яке натуральне число р, відмінне від одиниці. Алфавіт р – кової системи – набір цифр: 0, 1, … , р – 1.

Записати число в р – ковій системі числення – означає розкласти це число за степенями числа р. Розкладання за степенями основи системи називають розгорнутим записом числа, наприклад: 123= 1 ∙ 31 + 2 ∙ 30 = 5, 1210 = 1 ∙ 101 + 2 ∙ 100.

Арифметичні операції додавання та множення в усіх позиційних системах числення виконуються за допомогою відповідних таблиць додавання та множення. Дії над числами виконуються за звичайними правилами додавання, віднімання, множення та ділення у стовпчик. Для всіх

15

систем числення справджуються такі арифметичні закони, як переставний, сполучний і розподільний.

Для двійкової системи вже дві одиниці утворюють одиницю іншого розряду. Для запису чисел у двійковій системі використовують цифри 0 і 1.

1. Двійкова система числення

Запис кількох перших натуральних чисел у двійковій системі числення

Число у десятковій системі Запис числа у двійковій системі

1 (1)2

2 (10)2

3 (11)2

4 (100)2

5 (101)2

6 (110)2

7 (111)2

8 (1000)2

9 (1001)2

10 (1010)2

11 (1011)2

12 (1100)2

Дії можна виконувати лише над числами, записаними в одній і тій самій системі.

Таблиця додавання:

+ 0 1

01

0 11 102

16

Учимось розв’язувати задачі:1) Додавання чисел, записаних у двійковій системі числення

10111112

+ 11011112

110011102

1101112

+ 110102

10111112

101100102

100112

+ 110112

1011102

2) Віднімання чисел, записаних у двійковій системі числення

11001102

- 1010012

1111012

10100102

- 1011012

1001012

Таблиця множення

х 0 1

01

0 00 1

3) Множення чисел, записаних у двійковій системі числення

х101012

1012

10101

10101

11010012

х101112

10112

4) Ділення чисел, записаних у двійковій системі числення

110112 1001

1001 112

1001

111102 1102

1012

17

1001

0

Цікаві факти

Двійковою системою захоплювались протягом ХVI – XIX ст. Німецький математик Г.В. Лейбніц (1646 – 1716) вважав двійкову систему числення простою, зручною і красивою.

2. Вісімкова система числення

У вісімковій системі числення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Запис кількох перших натуральних чисел у вісімковій системі числення

18 28 38 48 58 68 78 108 118 128 138 148 158 168 178 208

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Приклади:

1008 = 1 ∙ 82 + 0 ∙ 81 + 0 ∙ 80 = 6410;

778 = 7 ∙ 81 + 7 ∙ 80 = 56 + 7 = 6310 – найбільше двозначне число у вісімковій системі; 648 = 6 ∙ 81 + 4 ∙ 80 = 48 + 4 = 5210.

Таблиця додавання

+ 0 1 2 3 4 5 6 7

0 7

1 10

2 10 11

3 10 11 12

4 10 11 12 13

5 10 11 12 13 14

18

6 10 11 12 13 14 15

7 10 11 12 13 14 15 16

Учимось розв’язувати задачі:

1) Додавання чисел, записаних у вісімковій системі числення

43738

+ 27538

73468

376548

+755458

1354218

2) Віднімання чисел, записаних у вісімковій системі числення

214328

- 57418

134718

214358

- 57428

3) Множення чисел, записаних у вісімковій системі числення

х 238

128

+ 46 23 2768

х 238

568

х 6378

658


Задача 1. Обчисліть:

1) 11012 + 10112 ;2) 10001102 – 110112 ;3) 10112 ∙ 11022 ;4) 1000112 : 1012 ;

Задача 2. Обчисліть:

1) 12458 + 43018;2) 35478 - 10268;

19

3) 2568 ∙ 3218;4) 15528 : 568.

Домашнє завдання:


1. Які системи числення ви знаєте?2. Які дії можна виконувати в різних системах числення?3. Чи можна виконувати дії над числами, записаними в різних системах

числення?4. Де використовується двійкова система числення?5. У якій системі числення виконано такі дії:

1) 23 + 14 = 42;2) 51 – 15 = 33;3) 5 ∙ 5 = 41;4) 72 : 5 = 14?

Розв’яжіть задачі:

1. Обчисліть:1) 101111012 + 1011102;2) 1000111102 – 1110112 ;3) 101112 ∙ 11022 ;4) 111001112 : 10112.

2. Обчисліть: 1) 36758 + 3258 ;2) 213468 + 76778 ;3) 3438 ∙ 678 ;4) 1018 : 328.


1. Складіть таблицю додавання і множення у трійковій та шістковій системах числення.

2. Розшифруйте Марійчину розповідь: «Нещодавно мій друг Петрик запросив мене на день народження – йому виповнилося 110 років. На святі зібралося 112 дітей, і всі з одного класу. Ми дуже любимо математику й порахували, що в нас разом 1001 рука. Мама Петрика спекла 10 тортів, а Петрик з татом прикрасили кімнату 1100 повітряними кульками. Було дуже весело, і ми розійшлися по домівках тільки о 101 годині вечора».

20

Урок №3. Переведення чисел із десяткової системи числення у інші системи числення, і навпаки



1. Яка різниця між позиційними і непозиційними системами числення?2. В якій системі числення 2 ∙ 2 = 10; 4 ∙ 4 = 31; 3 ∙ 3 = 10; 14 ∙ 2 = 30?3. В якій системі числення 71 – 36 = 33; 55 : 4 = 13?4. Якщо 4 ∙ 4 = 20, то чому дорівнює добуток 5 ∙ 5?5. Розшифруйте запис: «Мені 1111 років і я навчаюсь в ІІІ класі»6. Один шестикласник про себе написав: «Пальців у мене 24, на кожній

руці 5, а на ногах 12». Як так може бути?7. Перевірте, чи правильно розв’язані приклади:

14218

+ 204768

221178

- 11001012

1101112

1011102

х1213

123

10123

1213

22223

Цікаві факти«Військова система числення». У військових частина найчастіше використовується ділення на 4 підрозділи. Зазвичай у полку 4 батальйони, у батальйоні – чотири роти, у роті – 4 взводи і так далі. Виходить, у військових на кожній «позиції» може бути до 4 одиниць! Військові мислять немовби в системі числення з основою 4.Четвіркову систему з давніх – давен використовують індіанці юкі в Каліфорнії й споріднене з ними плем’я в Південній Америці – вони рахують на проміжках між пальцями.


21

Алгоритм переходу від десяткової системи числення до будь – якої іншої:

Щоб перетворити число десяткової системи числення в число нової системи, треба поділити його на основу нової системи, нову частку знову поділити на основу нової системи і т.д., поки дістанемо частку, меншу від основи нової системи. Остання частка і послідовні остачі, записані в зворотному порядку, будуть розрядними числами шуканого числа.

Задача 1. Запишіть число 3910 у двійковій системі числення.


39 : 2 = 19 (1); 19 : 2 = 9 (1); 9 : 2 = 4 (1); 4 : 2 = 2 (0); 2 : 2 = 1 (0)

3910 = 1001112.

3910 = 1 ∙ 25 + 0 ∙24 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 +1 ∙ 20 = 1001112.

Розв’яжемо самостійноЗадача 2. Покажіть за допомогою ділення перехід з десяткової системи числення в будь – яку іншу.1) 2810 = 1 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 111002;………………………………………………………….2) 5310 = 1101012; 21610 = 110110002;………………………………………………………….3) 198110 = 3 ∙ 83 + 6 ∙ 82 + 7 ∙ 81 + 5 ∙ 80 = 36758;………………………………………………………….4) 200110 = 3 ∙ 83 + 7 ∙ 82 + 2 ∙ 81 + 1 ∙ 80 = 37218.………………………………………………………….

Задача 3. Запишіть число 3458 ; 2768 у десятковій системі числення.


1) 3458 = 3 ∙ 82 + 4 ∙ 81 + 5 ∙ 80 = 22910;2) 2768 = ………………………………. .

Задача. Яке з чисел більше: 1112 чи 1118?

Підказка. Дії можна виконувати лише над числами, записаними в одній і тій самій системі.

Додаткові завдання

1. Обчисліть:1) 32405 + 40235;2) 3225 ∙ 145;3) 1201013 : 1023;

22

4) 1213 ∙ 123

2. У скільки разів зменшиться число 2120003 , якщо відкинути справа один нуль?

3. У скільки разів збільшиться число 3256 , якщо приписати справа один нуль?

4. Яке з чисел більше: 1410 чи 148?5. При якому х справджується рівність: 12х + 13х = 30х?6. Знайдіть х: 10112 = х8.7. Запишіть число, місяць і рік свого народження у двійковій, п’ятірковій,

вісімковій системах числення.



1. У скільки разів зменшиться число 2120003 , якщо відкинути справа три нулі?

2. У скільки разів збільшиться число 3256 , якщо приписати справа три нулі?


1. В якій системі числення 2310 записується як 212?23

2. В якій системі числення 3310 записується як 53?3. В якій системі числення 4210 записується як 52?4. Яке з чисел більше: 310 чи 38?5. При якому х справджується рівність: 16 = 31х?6. Знайдіть х: 10118 = х10.


1. Розшифруйте відомості з біографії П.Л. Чебишова: «Пафнутій Львович Чебишов народився у 2111110 році; 202 – річним юнаком закінчив Московський університет, а через 2 роки, у віці 211 років, написав свою першу наукову роботу».

2. У якій системі числення написано відомості з біографії П.Л. Чебишова?3. Фокус «Угадування числа». Попросіть кого – небудь із глядачів

задумати число від 1 до 15 і дайте йому набір з 4 «чарівних карт», на кожній з яких написано свій набір чисел:№1

1 3 5 7 9 11 13 15

№2

2 3 6 7 10 11 14 15

№3

4 5 6 7 12 13 14 15

№4

8 9 10 11 12 13 14 15

Нехай глядач поверне вам ті картки, які містять задумане число. Це число ви можете миттєво знайти, складаючи перші числа повернених карт. Розгадайте секрет фокуса.

24

4. Складіть ребуси у будь – якій системі числення.

Урок №4. Цифрові задачі (заняття 1)



1. Сума шести різних натуральних чисел дорівнює 22. Знайдіть ці числа.2. Знайдіть всі двозначні числа, які зменшуються в 14 разів після

закреслення останньої цифри.3. Ділене в 7 разів більше дільника, а дільник у 7 разів більше частки.

Чому дорівнюють ділене, дільник і частка?4. Петрик перемножив усі натуральні числа від 1 до 30. Скількома нулями

закінчується добуток?5. Як число 1888 поділити на дві частини, щоб у кожній половині вийшло

по тисячі? (Провести посередині горизонтальну лінію)


Задача 1. Викресли три цифри так, щоб одержане число було:

а) якомога більшим;

25

б) якомога меншим.

1) 1385618;2) 111121111;3) 123456789;4) 5678569124.

Запис abc означає число, яке складається з цифр a, b, c, тобто abc = 100a + 10b + c. Наприклад, x 034 z = 10000 ∙ x + 100 ∙ 3 + 10 ∙ 4 + z = 10000х + z + 340.

При розв’язуванні ребусів потрібно замінити однакові букви однаковими цифрами, а різні – різними так, щоб отримати правильну рівність.


Задача 2. У книзі 120 сторінок. Скільки цифр знадобиться, щоб пронумерувати сторінки цієї книги?

Підказка. Визначте, скільки одноцифрових, двоцифрових і трицифрових чисел доведеться написати.

Задача 3. Скільки разів до найбільшого одноцифрового числа слід додати найбільше двоцифрове, щоб отримати найбільше трицифрове?


Нехай найбільше двоцифрове число додається х разів. За умовою задачі складаємо рівняння: 9 + 99х = 999;

99х = 999 – 9;

99х = 990;

х = 990 : 99;

х = 10.

Відповідь: 10 разів.

Задача 4. Усі цілі числа, починаючи з одиниці, записані в рядок. Яка цифра стоїть на 2002 – му місці?


На 2002 місці стоїть цифра якогось трицифрового числа. Дійсно, до цього місця будуть виписані усі одноцифрові і двоцифрові числа (9 + 2 ∙ 90 = 189 цифр), далі починається виписування трицифрових чисел. Оскільки 2002 – 189 = 604 ∙ 3 + 1, то будуть виписані числа 100, 101, …, 704, і на 2002 – му місці опиниться цифра 7 – перша цифра в числі 704.

26


Задача 5. Усі трицифрові числа записані в рядок: 100101102…998999. Скільки разів у цьому рядку після двійки йде нуль?


Оскільки трицифрове число не може починатися з нуля, двійка, після якої йде нуль, не може стояти в розряді одиниць одного з трицифрових чисел ряду. Нехай така двійка стоїть у розряді десятків трицифрового числа. Тоді нуль, що йде за нею, стоїть у розряді одиниць того ж числа, тобто це число закінчується на 20. Таких чисел 9: 120, 220, … , 920. Нарешті, якщо двійка, після якої йде нуль, стоїть у розряді сотень, то відповідне трицифрове число починається на 20. Таких чисел 10: від 200 до 209.


Задача 6. Цифру 9, із якої починається трицифрове число, перенесли на кінець числа. Нове число на 216 менше, ніж попереднє. Яким було початкове число?


Нехай початкове число має вигляд 9 х , де х – двоцифрове число. Тоді за умовою задачі 100 ∙ 9 + х – (10х +9) = 216, звідси, х = 75. Отже, початкове число буде 975.



Задача 7. Випишіть підряд усі числа від 1 до 99. Скільки разів написана цифра 5?

Задача 8. Усі натуральні числа від 1 до 100 розбиті на дві групи: парні та непарні. Визначте, у якій із груп сума всіх цифр, використаних для запису чисел, більша і на скільки?

Задача 9. Усі трицифрові числа записані в рядок: 100101102…998999. Скільки разів у цьому рядку після двійки йде трійка?

27

Задача 10. До деякого числа праворуч дописали 6, і воно збільшилося у 13 разів. Яке це число?

Задача 11. До деякого трицифрового числа ліворуч дописали 3, і воно збільшилося у 9 разів. Яке це число?

Задача 12. У трицифровому числі переставили першу цифру на кінець числа, і воно стало на 441 менше. Яке це число?



1. Які числа називаються натуральними?2. Чим відрізняються цифри від чисел?3. Назвіть найменше натуральне число.4. Чи існує найбільше натуральне число?5. Назвіть найбільше одноцифрове число.6. Назвіть найменше двоцифрове число.7. Скільки існує двоцифрових натуральних чисел? А трицифрових?


1. Дмитрик «перенумерував» усі свої книги за допомогою трьох літерного коду, використовуючи всі 26 літер латинського алфавіту: ААА, ААВ, ААС, … , ААZ, АВА, АВВ, … . У нього 680 книг. Який код останньої з його книг?

2. Для нумерації сторінок книги знадобилося всього 1392 цифри. Скільки сторінок у цій книжці?

3. До деякого числа праворуч дописали 36, і воно збільшилося у 103 рази. Яке це число?

28

4. Допишіть цифри в деякі клітинки таблиці поруч із заданими цифрами таким чином, щоб сума утворених чисел у кожному рядку й кожному стовпці дорівнювала 50.

0 6 7 7

9 5 4 2

3 1 0 6

8 8 9 5


1. Знайдіть цікаві відомості про видатного вченого й педагога Я. І. Перельмана.

2.Перевірте, чи може бути правильною рівність, у якій різні букви позначають різні цифри:

З х Р х О х Б х И = С х А х М

29




1. У книзі не вистачає розділу, перша сторінка якого має номер 592. Номер останньої сторінки записується тими ж цифрами, але в іншому порядку. Скільки всього сторінок у відсутньому розділі?

2. Цифру 9, з якої починалося тризначне число, перенесли в його кінець. Утворилось число на 216 менше. Яке число отримали?

3. У кого більше ребер: у 3 паралелепіпедів чи у 2 учнів? (У 3 паралелепіпедів 36 ребер, у двох учнів 48 ребер)

4. Знайти різницю між найбільшим двоцифровим числом і йому протилежним.

5. Розгадайте ребус:

Відповідь: ……………….

30

6.Чи знаєте ви, що найменший птах на землі – колібрі – важить 1,8 г, а найбільший – страус 90 кг. У скільки разів страус важчий від колібрі?


Зафарбуйте в кожному ряду по три числа, сума яких дорівнює числу в кружечку.

17 20 1 16 15 14 3

3 4 6 5 1 2 7

9 7 15 4 1 10 16

2 5 15 8 4 7 3


Задача 1. Деяке шестицифрове число починається цифрою 1. Якщо цю цифру закреслити і дописати одиницю праворуч, то одержимо втричі більше число.

31

47

10

21

16


Позначимо шукане число через х = 105 + у. Згідно з умовою задачі, 3(105 + у) = 10у + 1; 3 ∙ 105 + 3у = 10у + 1; 7у = 300000 – 1; 7у = 299999; у = 299999 : 7; у = 42857; знайдемо х: х = 100000 + 42857 = 142857.

Відповідь: х = 142857.

Задача 2. Знайдіть усі числа, які не перевищують 1000 і кожне з яких у 12 разів більше від суми своїх цифр.


Нехай шукане число двоцифрове і записується цифрами a і b. Тоді умова задачі записується у вигляді 10a + b = 12(a + b), звідси 2a + 11b = 0, що неможливо. Нехай шукане число трицифрове і записується цифрами a, b, с. У цьому випадку умова задачі записується у вигляді рівняння 100a + 10b + с = 12(a + b + с), звідси 88а = 2b + 11с і 11(8а – с) = 2b. Отже, 2b ділиться на 11. Оскільки а, b і с – цифри, отримаємо єдино можливий випадок: b = 0, 8а = с. Тоді а = 1, с = 8. Тому 198 – єдине число, яке задовольняє умову задачі.


Задача 3. Розв’яжіть ребус: ОХОХО + АХАХА = ОХОХОХ.


1. У цьому ребусі доданки – п’ятицифрові числа, а сума – шестицифрове число. При додаванні двох багатоцифрових чисел в наступний розряд переходить максимум одна одиниця. Тому перша цифра шестицифрової суми …….

2. Замінимо всі букви О цифрою ……….3. Оскільки О + А = 1Х, то А = …………4. Знайдемо Х ……………………………5. Перевірка: ……………………………..

Задача 4. Розв’яжіть символьні ребуси:

Підказка: Запишіть ребуси у стовпчик як арифметичні приклади на додавання багатоцифрових чисел.

1) КОКА + КОЛА = ВОДА2) КОЗА + КОЗА = СТАДО3) ЛІТО + ЛІТО = ПОЛІТ

32

4) ПЛАН + ЗАВОД = БУДОВА5) МОРЕ + ШТОРМ = АВАРІЯ6) РАНОК + РАДІО = НОВИНА7) БАЛЕТ + БАЛЕТ = ТЕАТР8) ДРАМА + ДРАМА = ТЕАТР9) ДРУЖБА + РОБОТА = БРИГАДА10) АВТО + АВТО + АВТО = ГАРАЖ11) ДОМНА + ДОМНА + ДОМНА = ЗАВОД12) КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА13) ОЦЕ + ВЖЕ + ДУЖЕ = ВАЖКО14) АТАКА + УДАР + УДАР = НОКАУТ15) КЛАС + КЛАС + КЛАС + КЛАС = ШКОЛА16) ДІМ + ДІМ + ДІМ +ДІМ +ДІМ +ДІМ = ДВІР17) РІК + РІК + РІК + РІК + РІК +РІК = РОКИ18) ЩУКА х 6 = АКУЛА19) КВАНТ х 30 = ЖУРНАЛ20) СОРОК х 5 = ДВІСТІ21) (АА)Н = АННА22) МАН = ІЛА23) ГАВ = АНА

24) СМ3 = КУБИК25) М3 = КУБ26) СОМ2 = ОГОГО

Підказка. яс = сім’я; 57 = 78125.

Задача 5. Розв’яжіть ребуси, які мають вигляд прикладів на ділення.

1) ШІСТЬ : ДВА = ТРИ2) ПРОП : О = РЦІЯ3) ЩУКА : 36 = СУП

Якщо на будь – якому етапі розв’язання ребуса не вдається знайти значення жодної букви, то можна скористатись методом розумного перебору: визначити, для якої з букв можна обмежити кількість варіантів (допустимих значень), після чого послідовно перебрати кожен з варіантів, що залишилися.


Задача 6. У деякого шестицифрового числа першу цифру перенесли у кінець, і число стало у 5 разів менше. Що це за число?

Задача 7. Онук у 4,5 рази молодший від діда. Скільки років кожному з них, якщо їх вік записується одними і тими ж цифрами.

Задача 8. Знайдіть двоцифрове число, яке дорівнює подвоєному добутку своїх цифр.

33

Задача 9. Нехай а, b, с – три різні цифри. Якщо скласти всі шість двоцифрових чисел, які можна записати за їх допомогою, не повторюючи одну й ту ж цифру в числі двічі, то отримаємо 528. Знайдіть ці цифри.



1. До двоцифрового числа додали суму його цифр. У результаті цифри числа поміняли місцями. Яким було початкове число?

2. Знайдіть усі натуральні числа, які в 11 разів більші від суми своїх цифр.3. Нехай а, b, с – три різні непарні цифри. Якщо додати всі шість

трицифрових чисел, які можна записати за допомогою цих цифр, не повторюючи одну й ту саму цифру двічі, то отримаємо 2442. Знайдіть ці цифри.

4. Розгадайте ребуси:А) АС х С = ВАСБ) АБ х ВГ = БББВ) АБВГ + АБДГ = ДГВАГГ) Д – В – А = Д : В : А = 2Д) РОЗА + ОЗА + ЗА + А = 2000Е) АНДРІЙ + ЖАННА = ДРУЖБАЄ) ТРИ – ДВА = ЯРДЖ) А + АБ + АБВ = БВБЗ) ЛІНІЯ + ЛІНІЯ = ФІГУРА


1. Знайдіть або складіть самостійно арифметичний ребус. Запишіть його розв’язання.

2. Складіть задачу про відшукання невідомих цифр у числі.

34




1. Скільки букв міститься в назві країни, у якій ми живемо?2. Скільки трицифрових чисел є меншими за 100?3. Знайти зменшуване і від’ємник: **** - *** = 1.4. Одне яйце варять 4 хвилини. Скільки хвилин треба, щоб зварити 5

яєць?5. Знайти такі числа, добуток яких 24 і частка від ділення більшого числа

на менше також 24. (24; 1)6. У рівності 2 ∙ 3 ∙2 + 3 ∙ 4 ∙3 = 3 ∙ 2 ∙ 3 + 4 ∙ 3 ∙ 2 розставте дужки так, щоб

вона з неправильної стала правильною.7. Розгадайте ребуси:

1)

Відповідь: ……………………………………………..2)

35

Відповідь: ……………………………………………..

3)

Відповідь: ……………………..


Погляньте уважно на картки і визначте, якої фігури не вистачає на кожній із них? Домалюйте цю фігуру.

36


Мартін Гарднер (1914 - 2010) – американський математик, письменник, популяризатор науки. Вів рубрику математичних ігор і розваг у журналі «Scientific American», у якій друкував багато ігор, задач, головоломок. Першим опублікував винайдену Джоном Конвеєм гру «Життя», яка стала дуже популярною.

Числовим ребусам уже майже тисяча років. Вони виникли у Стародавньому Китаї, а потім з’явились у Стародавній Індії. У Європі числові ребуси стали відомими лише у ХХ столітті під назвою криптарифметичних задач, або криптарифмів. Розрізняють два типи числових ребусів. У ребусах першого типу всі цифри замінено на букви, причому часто числа перетворюються на слова. Різні букви позначають різні цифри, а однакові букви – однакові цифри. У записі можуть бути не тільки цифри, але й зірочки, - це другий тип ребусів. У ребусах третього типу всі символи замінено на зірочки. Числові ребуси є цікавими задачами, що розвивають логіку, кмітливість, обчислювальні навички.

Обговорюємо задачу37

????

Задача 1. Дмитрик виклав із карток з цифрами приклад на додавання, а Оксанка поміняла місцями дві картки, порушивши при цьому рівність. Які картки переставила Оксанка?

+

------------------------------------

Оксанка записала приклади, а Дмитрик замінив у них деякі цифри на смайлики. Допоможіть Оксанці відновити цифри та знову отримати правильні приклади.

1) ☺5☺+ 3☺4 = 789;

2) ☺48 - 2☺1 = 58☺.

Відповідь: ……………………..

1) ……………………………….

2) ……………………………….


Ребус із зірочками – це арифметичний ребус, у якому кожна зірочка замінює одну цифру, при цьому цифри можуть повторюватися.Розв’язати ребус із зірочками – означає відновити всі цифри, замість яких стоять зірочки, й отримати правильний приклад.

Задача 2. Відновіть цифри, які зображені зірочками, в записі 2**1 : 13 = *2*, якщо відомо, що ділення виконується без остачі.


Зрозуміло, що остання цифра частки дорівнює 7, а перша цифра частки – 2, бо 320 ∙ 13 = 4160, а 129 ∙ 13 = 1677. Звідси ділене дорівнює 2951.

Задача 3. У числах невідомі цифри позначені зірочками (одна зірочка замінює одну цифру). Чи можна порівняти ці числа? Відповідь поясніть.

38

3 1 4 1 5 9

2 19 8 2 8

5 8 5 7 78

1) 35** і 15***;

2) 3**** і 9999;

3) 12** і **12;

4) 9**1 і 9**5;

5) 9**1 і 9*1*;

6) ** і ***.

Задача 4. Замініть зірочки на цифри так,щоб рівність стала правильною. Розгляньте всі можливі варіанти.

22** + 5*3 = *746 + *45.

Відповідь: . ……………………..

Задача 5. Замініть зірочки на цифри так, щоб приклади на додавання і віднімання стали правильними:

Виконайте додавання Виконайте віднімання

1) *** 1 ****

1) *** 1 **

2) 5*09* *02*8 *43*69

2) 32**6 **34* 20241

3) 35*8 29*

**45

3) *574* 2*6*5 7*66

Задача 6. Замініть зірочки на цифри так, щоб приклади на множення стали правильними.

1) 4*

х *7

3**

*15

2) *5*

х *8

2*64

1*3*

39

2*51 *718*


1. Добуток закінчується цифрою 1, тому перший неповний добуток також закінчується цифрою 1. Отже, остання цифра першого множника дорівнює 3, а перший неповний добуток дорівнює …….

2. Другий неповний добуток закінчується цифрою 5, тому перша цифра другого множника – це …….Другий неповний добуток дорівнює ……

3. Таким чином, добуток дорівнює …….4. Перевірка.

Аналогічно

розв’яжіть варіант 2.

Задача 7. Замініть зірочки на цифри так, щоб отримати правильний приклад на ділення.

1) 14**│*7**5 │** ***1 0

2) ****8│*2******7 ***8***8 0

3) ***** │***** │*8* ***** ****** 0

4) ****7 │**** *7 *** ** **7**7 0

Задача 8. У прикладі на множення у стовпчик усі цифри замінені на зірочки. Відомо, що в прикладі використовувалися тільки цифри, які позначають прості одноцифрові числа. Відновіть приклад.

х ***

***

40

****

+ ****

****

******

Підказка. Прості одноцифрові числа – 2, 3, 5, 7.

Багатоповерхові ребуси

Багатоповерховий ребус – це ребус, який містить одразу кілька зашифрованих прикладів, записаних за рядками і стовпцями; іншими словами, це своєрідний кросворд, складений з ребусів.

Задача 9. Розв’яжіть ребуси:

1)

РТ х ТН = УЦН

+ х -

АА + К = ТЕБ

= = =

ТТН + ТУИ = РЦУ

2)

ЕЕ х РС = ЕНВ

+ х -

АИ + О = РКЕ

= = =

РРА + ВО = РНТ

3)

41

Н х ОК = ОХП

+ х -

І + Т = ЛЧ

= = =

ЛА

+ ЛНЧ = ЛІК

Задачі, що розв’язуються за допомогою ребусів

У багатьох задачах, пов’язаних із десятковим записом числа, умову можна переформулювати у вигляді ребуса. Задача стає більш наочною, і для її розв’язання можна використовувати ті самі методи, які застосовують під час розгадування ребусів.

Задача 10. Шестицифрове число починається цифрою 1 і закінчується цифрою 7. Якщо цифру 7 перенести на перше місце, то отримаємо число, в 5 разів більше від заданого. Знайдіть це число.


1.Умову цієї задачі зручно подати у вигляді ребуса, позначивши невідомі цифри буквами:

1АВСД7

х

5

71АВСД

2.З останнього стовпця знаходимо, що Д = 5.

3.Послідовно обчислюємо: С =…, В = …, А = ….

Задача 11. Запишіть умову задачі у вигляді ребуса й розв’яжіть задачу. Сума двох натуральних чисел дорівнює 1224. Якщо наприкінці першого приписати 3, а наприкінці другого відкинути 2, то числа стануть рівними. Знайдіть ці числа.

Відповідь: ………

Задача 12. На яке число потрібно помножити число 285714, щоб отримати інше шестицифрове число, записане тими самими цифрами? Відомо, що другою цифрою розв’язку є цифра 5.

42

Відповідь: ………



1. Що таке ребус із зірочками?2. Опишіть основні правила розгадування ребусів із зірочками.3. Що таке багатоповерховий ребус?4. Які основні правила розв’язування багатоповерхових ребусів?


1. Розв’яжіть ребус:

ПО

+ Г = ІП

+ + +

Р + Р = ПА

= = =

ІФ + ПІ = ФГ

2. У прикладі на множення один із множників і добуток складаються з дев’яти різних цифр – від 1 до 9. Відновіть приклад.

*********х 8 *********

3. Відновіть запис прикладу.******* │**** **2** *** *** **** 0


43

1.Знайдіть або складіть самостійно ребус із зірочками (на множення або ділення).

2. Знайдіть відомості про види багатоповерхових ребусів, які не розглядались на уроці. Складіть багатоповерховий ребус.

Урок №7. Ознаки подільності на 4 і 25, 8 і 125



1. Сума двох чисел непарна. Парним або непарним числом є їхній добуток?

2. До числа 9 і праворуч, і ліворуч припишіть ту саму цифру, щоб здобуте тризначне число ділилося на 3.

3. Знайдіть цифру n таку, що 310 + n ділиться на 9.4. Не виконуючи обчислень, визначте, чи ділиться число 235 ∙ 47 + 35 ∙ 81

на 5?5. Є число 645*7235. Замініть * цифрою так, щоб здобуте число ділилося

на 3.6. При якому натуральному значенні n буде простим числом значення

виразу n(n + 1)?7. При якому натуральному значенні n буде простим число 2n?

Робимо висновки:

44

Задача 1. Виконайте ділення:

1) 632: 4;2) 224 : 4;3) 116 : 4;4) 106 : 4;5) 528 : 4;6) 220 : 4;7) 102 : 4;8) 256 : 4.

Висновок: На 4 діляться всі ті і тільки ті натуральні числа, у яких дві останні цифри складають число, що ділиться на 4.


1) 125 : 25;2) 200 : 25;3) 320 : 25;4) 275 : 25;5) 350 : 25;6) 305 : 25;7) 135 : 25;8) 145 : 25.

Висновок: На 25 діляться всі ті і тільки ті натуральні числа, у яких дві останні цифри складають число, що ділиться на 25 або нулі.


1) 256 : 8;2) 108 : 8;3) 3324 : 8;4) 5328 : 8;5) 3168 : 8;6) 11112 : 8;7) 2216 : 8;8) 112244 : 8.

Висновок: На 8 діляться всі ті і тільки ті натуральні числа, у яких три останні цифри складають число, що ділиться на 8.


1) 1000 : 125;2) 1225 : 125;3) 1250 : 125;4) 1375 : 125;5) 1025 : 125;6) 1125 : 125;

45

7) 1360 : 125;8) 2500 : 125.

Висновок: На 125 діляться ті і тільки ті числа, три останні цифри яких нулі або утворюють число, яке ділиться на 125.


Задача 5. На дошці записано число *****7*. Михайлик і Віталік по черзі витирають будь – яку зірочку і на її місце записують деяку цифру. Якщо здобуте число ділиться на 4, то перемагає Віталік. Чи зможе він перемогти, якщо почне гру?


Згідно з ознакою подільності число ділиться на 4. Тобто Віталію потрібно першим ходом останню зірочку замінити на 2 або 6. Тоді він переможе Михайлика за будь – якої гри.

Відповідь: так.

Розв’яжемо самостійно:

1. Чи ділиться сума 666 + 4 на 5?2. Чи ділиться сума 262 + 4 на 5?3. Записати всі значення х, які кратні 8 і при яких нерівність 16≤ х <48 є правильною.



1. Сформулюйте ознаку подільності на 2.2. Сформулюйте ознаку подільності на 3.3. Сформулюйте ознаку подільності на 5.4. Сформулюйте ознаку подільності на 9.5. Сформулюйте ознаку подільності на 10.6. Сформулюйте ознаку подільності на 4.7. Сформулюйте ознаку подільності на 8.8. Сформулюйте ознаку подільності на 25.9. Сформулюйте ознаку подільності на 125.


1. Учні трьох класів вирушили на екскурсію. Коли вчитель захотів вишикувати їх парами, то з’ясувалося, що один учень залишився без пари; коли вчитель вишикував їх трійками або четвірками – також

46

залишився один учень. Тільки коли всі вишикувалися п’ятірками, не залишилося жодного учня поза строєм. Скільки було учнів?

2. На ринок привезли огірки. Коли рахували їх десятками, то не вистачило двох огірків до повного числа десятків; коли почали рахувати дюжинами, то залишилося вісім огірків. Знайдіть кількість огірків, якщо відомо. Що їх було більше, ніж 300, але менше, ніж 350.

3. Оля стверджує, що кожне число, яке складається з однакових цифр, відмінних від вісімки, не ділиться на 8. Чи має рацію Оля?


1. Складіть кросворд до відповідної теми.2. Ця людина народилася у Тверській губернії. На її могильному камені

написано, що «… науки вивчав у дивний і неймовірний спосіб…». У 1700 році Петро І дарував йому чин учителя математики для російського шляхетного юнацтва. Він – творець першого російського підручника з математики, який М,В,Ломоносов назвав «воротами вченості». На знак визнання переваг математики Петро І подарував йому ще й інше прізвище, намагаючись підкреслити, що жвавий розум і знання привертають до цієї людини інших людей. Хто цей великий математик? Його прізвище складається з 10 літер?

Урок №8. Ознаки подільності на 7, 11, 13



1. У двоцифровому числі закреслили одну цифру, і воно зменшилось у 31 раз. Яке це число і яку цифру закреслили?

2. Сума двох простих чисел є непарним числом. Знайдіть одне із цих чисел.

3. Добуток двох простих чисел є парним числом. Знайдіть одне із цих чисел.

4. Чи може бути простим числом сума трьох послідовних натуральних чисел?

5. До двоцифрового числа приписали таке ж число. Чи може отримане число бути простим?

6. Увага! Чорна скринька! Скільки часу це тривало? Не багато і не мало. По одинадцять тижнів. Було 13 раз. Про що тут йдеться?

47


Натуральне число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли різниця суми його цифр, що стоять на непарних місцях, і суми цифр, що стоять на парних місцях, ділиться на 11.

Щоб натуральне число ділилось на 7 або на 11, або на 13, необхідно і достатньо, щоб на 7, 11, 13 відповідно ділився модуль різниці між числом, записаним його трьома останніми цифрами, і числом, записаним усіма іншими його цифрами. Твердження. Якщо до будь – якого трицифрового числа дописати таке саме трицифрове число, то здобуте шестизначне число обов’язково ділитиметься на 7, 11, 13.

Задача 1. Якими цифрами слід замінити зірочки, щоб рівність 77* = * ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 була правильною?


773 – просте число, отже, замість зірочки в числі 77* можна спробувати підставити 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При цьому має утворитися число, простими дільниками якого є 5, 7, 11, крім невизначеного першого простого дільника. Таким числом є 770, а першим простим дільником є число 2.

Задача 2. На які з чисел 7, 11, 13 ділиться 237457?


Обчислимо різницю 457 – 237 = 220. Оскільки 220 ⋮ 11; 220 ⋮ 7; 220 ⋮ 13, то число 237457 ділиться на 11, не ділиться на 7 і на 13.

Задача 3. На дошці записано число 1234*567890. Замініть зірочку цифрою так, щоб здобуте число ділилось на 11.

48

8173 : 11 = ?

((8 + 7) – (1 + 3)) : 11 = ?


У цьому числі сума цифр, що стоять на парних місцях, дорівнює 27, а сума цифр, що стоять на непарних місцях, - 18 + *. Згідно з ознакою подільності на 11 різниця цих чисел повинна ділитися на 11. Це можливо, якщо * = 9.


Задача 4. Кілька шахістів провели між собою турнір, у якому кожен зіграв з іншими однакову кількість разів. Загальне число партій – 105. Скільки було учасників і скільки партій зіграв кожний, якщо відомо, що учасників було більше, ніж партій, зіграних кожним.


Нехай учасників було n, тоді партій було зіграно (n(n – 1)) : 2, , що за

умовою задачі дорівнює 105. Маємо рівняння: n(n – 1)2 = 105, звідки n = 7,

партій – 5.

Відповідь: 7 учасників, 5 партій.

Додаткові задачі

Задача 5. До числа 579 допишіть праворуч три цифри так, щоб здобуте число ділилося на 5, 7 та 9.

Задача 6. Добуток чотирьох послідовних натуральних чисел дорівнює 7920. Знайдіть ці числа.

Задача 7. У рівності AB ∙ CD = EEFF цифри замінені буквами. Різним цифрам відповідають різні букви, а однаковим – однакові. Доведіть, що в прикладі допущено помилку.

Задача 8. Марійка забула пін – код свого телефону – число, що складається з 7 цифр – двійок і трійок. Вона пам’ятає, що двійок більше, ніж трійок, а код ділиться і на 3, і на 4. Допоможіть Марійці згадати пін – код.

Задача 9. Сума перших n натуральних чисел дорівнює трицифровому числу, всі цифри якого однакові. Знайдіть число доданків (аналогічно до задачі 4).

Задача 10. Записати всі значення х, які кратні числу 7 і задовольняють нерівність 19 < х <42.


49

Розумна жінка Шехерезада, яка знала слабинку свого чоловіка – царя Шихрияра, рубати голови жінкам, спасла себе і своїх дітей тим, що кожну ніч розповідала казку, і тим самим спаслася від смерті. От саме 1001 казку розповіла ця жінка, але чому саме 1001? Та напевно тому, що число 1001 – свого роду чарівне число. З точки зору математики число 1001 володіє цікавими властивостями:1) це найменше чотиризначне натуральне число, яке можна преставити як: 1001 = 10∙ 10 ∙ 10 + 1 ∙ 1 ∙ 1;2) Число 1001 складається із 77 чортових дюжин: 77 ∙ 13 або із 143 сімок, адже число 7 вважається магічним.3) А сама основна його властивість – це: якщо на 1001 помножити будь – яке тризначне число, то це число повториться двічі. Наприклад: 303 ∙ 1001 = 303303; 873 ∙ 1001 = 873873. Ось саме на таких властивостях базуються деякі фокуси, в тому числі і Шехерезади.

4) Тих, хто не знає цієї властивості, можна вразити таким фокусом. Нехай хто – небудь напише на аркуші паперу таємно від вас трицифрове число, а потім припише до нього ще раз те саме число. Нехай поділить утворене число на 7, результат передасть сусіду, який на ваше прохання поділить його на 11. Одержаний результат передається іншому сусідові, якого ви просите розділити число на 13. Результат третього ділення ви, не дивлячись на одержане число, вручаєте першому товаришу зі словами: «Ось число, яке ти задумав!» Розгадка фокуса в тому, що число 1001 ділиться на 7, на 11, на 13. Фокус можна змінити так: того, хто загадав шестицифрове число, як було запропоновано раніше, попросити розділити це шестицифрове число спочатку на 7, потім на 11, потім на задумане. Ви з упевненістю можете оголосити кінцевий результат: 13. Можна придумати інші варіанти.


Дайте усні відповіді:

1. Сформулюйте ознаку подільності на 2.50

2. Сформулюйте ознаку подільності на 3.3. Сформулюйте ознаку подільності на 5.4. Сформулюйте ознаку подільності на 9.5. Сформулюйте ознаку подільності на 10.6. Сформулюйте ознаку подільності на 4.7. Сформулюйте ознаку подільності на 8.8. Сформулюйте ознаку подільності на 25.9. Сформулюйте ознаку подільності на 125.10. Сформулюйте ознаку подільності на 7.11.Сформулюйте ознаку подільності на 11.12.Сформулюйте ознаку подільності на 13.


1. Аркуш паперу розрізали на 5 частин, потім одну із частин знову розрізали на 5 частин і тік зробили ще кілька разів. Чи могло врешті вийти рівно 2020 шматочків паперу?

2. У кошику лежить менш, ніж 100 яблук. Їх можна розділити порівну між двома, трьома, п’ятьма дітьми, але не можна розділити порівну між чотирма. Скільки яблук у кошику?

3. Учні двох шостих класів, у кожному з яких не менше, ніж 30 школярів, купили 737 підручників. Кожен учень купив однакову кількість книжок. Скільки було шестикласників і скільки було книжок?

4. До деякого числа з непарною кількістю цифр дописали таке саме число. Доведіть, що отримане число ділиться на 11.

Виконайте творче завдання.

Задача одна – запитань декілька:

1. Ілля Муромець, Добриня Микитич і Альоша Попович вступили в бій з велетнями. Отримавши по три удари богатирськими палицями, велетні втекли. Більше всіх ударів завдав Ілля Муромець – 7, менше всіх Альоша Попович – 3. 1) Скільки всього було велетнів?2) Скільки всього було б велетнів, якби Ілля Муромець завдав 9 ударів,

а Альоша Попович – 5?3) Скільки всього було б велетнів, якби вони отримали по 4 удари

богатирськими палицями?4) Скільки ударів завдав би Добриня Микитич, якби богатирі вступили

в бій з шістьма велетнями, а Ілля Муромець завдав би 9 ударів, Альоша Попович 4?

51

Урок №9. Ознаки подільності на складені числа. Властивості подільності (заняття 1)



1. Чи може продавець дати здачу 2 грн 45 коп монетами по 25 коп?2. Жителі острова поділили між собою порівну 48 кокосових горіхів.

Скільки може бути жителів на острові?3. Дівчинка забула першу цифру коду замка *15421, але пам’ятає, що це

число ділиться на 3. Скільки варіантів коду їй треба спробувати?4. Які однакові цифри слід написати замість зірочок, щоб число 24*5*

одночасно ділилося на 3 і на 2?

52

5. Чи можна 30 горіхів розкласти на три купки так, щоб у кожній купці було непарне число горіхів?

6. Деяке число ділиться на 2 і на 3. Чи обов’язково воно ділиться на 6?7. Деяке число ділиться на 4 і на 6. Чи обов’язково воно ділиться на 24?


Значний внесок у вивчення ознак подільності зробив Блез Паскаль (1623 – 1662рр.), французький релігійний мислитель, математик і фізик, один з визначних діячів ХVІІ сторіччя. Роботи Паскаля у сфері точних наук належать до раннього періоду його творчості (1640 – 1650 рр.). За ці 10 років вчений зробив дуже багато, зокрема склав алгоритм для визначення ознак подільності будь – якого цілого числа на будь – яке інше ціле число. Ознака Паскаля – метод, що дозволяє визначити ознаки подільності на будь – яке число. Це своєрідна «універсальна ознака подільності».Ознака подільності – алгоритм, що дозволяє визначити, чи є число кратним заданому, без виконання дії ділення. Якщо кожний доданок ділиться на деяке число, то й сума ділиться на це число.Якщо в добутку хоча б один із множників ділиться на деяке число, то й добуток ділиться на це число.


Задача 1. Доведіть, що добуток з двох послідовних цілих чисел ділиться на 2. Чи ділиться він на 3?

Доведення:

Зрозуміло, що з двох послідовних цілих чисел одне парне. Отже, їх добуток ділиться на2, але не обов’язково ділиться на 3. Наприклад, 4 ∙ 5.

Задача 2. Доведіть, що коли добуток трьох послідовних цілих чисел ділиться на 4, то він ділиться і на 4.

Вказівка. Якщо добуток трьох послідовних цілих чисел ділиться на 4, то серед цих чисел є два парних, одне з яких ділиться на 4.

53

Задача 3. Використовуючи кожну з цифр 8, 0, 3, 7 один раз, склади найбільше і найменше чотирицифрові числа, які діляться на 15 без остачі. Щоб число ділилося на 15, воно має ділитися на 3 і 5.


Сума цифр: 8 + 0 + 3 + 7 = 18; 18 ⋮ 3. На 5 діляться лише числа, що закінчуються цифрами 0 і 5. Отже, найбільшим буде число 8730, а найменшим – 3780.

Факторіалом натурального числа n називається добуток усіх натуральних чисел від 1 до n. Факторіал позначають так: n!n! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ n! Наприклад: 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.Чи існує таке натуральне n, що n! закінчується точно п’ятьма нулями? Відповідь обґрунтуйте.

Задача 4. Чи ділиться число 2002! на 21000 ?


Ділиться, оскільки 2 входить множником у число 2002! Більше ніж 1000 разів.

Задача 5. Доведіть, що числа, десятковий запис яких складається із трьох однакових цифр, діляться на 3 і на 37.

Вказівка. Число, десятковий запис якого складається з трьох однакових цифр, ділиться на 111.


aaa = 100a + 10a + a = 11a = 3 ∙ 37a.

Задача 6. Добуток чотирьох послідовних натуральних чисел дорівнює 7920. Знайдіть ці числа.


7920 = 8 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 11.

Задача 7. До числа 89 допишіть праворуч дві цифри так, щоб здобуте число ділилося і на 8, і на 9.


Якщо число ділиться і на 8, і на 9, то воно ділиться і на їх добуток, тобто на 72. Серед чисел від 8900 до 8999 існує лише одне число, яке ділиться на 72. Це 8928.

54

Задача 8. Знайдіть найменше число, яке записується тільки одиницями і ділиться на число, що складається зі ста трійок.


1 …11⏟300 одиниць


Задача 9. Знайдіть найменше натуральне n таке, що n! Ділиться на 990.

Задача 10. Доведіть, що добуток трьох послідовних чисел ділиться на 6.

Задача 11. Чи ділиться число 24 ∙ 35 ∙ 52 на:

1) 2;2) 15;3) 22;4) 54;5) 150;6) 250?

Задача 12. Чи ділиться число 2002! + 1 на якесь двоцифрове число? А на трицифрове?

Задача 13. Доведіть, що число 100! закінчується 24 нулями.

Задача 14. Знайдіть цифри х та у п’ятицифрового числа 42 х 4 у , якщо відомо, що це число ділиться на 72.



1. Знайдіть усі такі двоцифрові числа n, для кожного з яких є істинними рівно три із поданих шести тверджень:1) n ділиться на 3;2) n ділиться на 9;3) n ділиться на 25;4) n ділиться на 5;5) n ділиться на15;6) n ділиться на 45.

2. Учень сформулював дві нові теореми: 1) Якщо натуральне число ділиться на 27, то і сума його цифр ділиться

на 27;2) Якщо сума цифр деякого натурального числа ділиться на 27, то і

саме число ділиться на 27. Чи зможе учень довести свої теореми?

Розв’яжіть задачі:55

1. Доведіть, що сума чотирьох послідовних непарних цілих чисел ділиться на 8.

2. Доведіть, що сума трьох послідовних парних цілих чисел ділиться на половину числа, середнього в цій трійці.

3. До числа 15 припишіть зліва і справа по одній цифрі так, щоб одержане число ділилося на 15. Вкажіть усі можливі варіанти.

4. Записати всі значення х, які є дільниками числа 84 і задовольняють нерівність 7 < х ≤ 42.


Задача одна – запитань декілька:

Покупець купив в магазині пакет молока вартістю 9 грн, коробку сиру вартістю 30 грн., 6 тістечок і 3 кілограми цукру. Ціни одного тістечка і кілограма цукру виражаються цілими числами гривень. Коли касирка вибила чек на 104 грн., покупець зажадав перевірити рахунок і виправити помилку.

1) Як визначив покупець, що рахунок неправильний?2) Чи може вартість покупки дорівнювати 105 грн.?3) Чи може вартість покупки дорівнювати 120 грн., якщо купили 5 пакетів

кефіру і декілька кілограмів цукру по 10 грн. за 1 кг, якщо пакет кефіру коштує ціле число гривень?

Урок №10. Ознаки подільності на складені числа. Властивості подільності (заняття 2)



1. Які однакові цифри можна поставити замість зірочок, щоб число 2*75* одночасно ділилося на 3 і 5?

2. Дівчинка забула першу цифру коду замка 15421*, але пам’ятає, що це число ділиться на 9. Скільки варіантів коду їй треба спробувати?

3. Якої найменшої довжини слід взяти дошку, щоб її можна було розрізати без остачі на бруски завдовжки 40 см або 55 см?

4. Яке найменше число метрів полотна має бути в сувої, щоб його можна було продати без остачі по 3 м або по 2,8 м?

56

5. До двоцифрового числа приписали деяку цифру, і воно збільшилося в 19 разів. Знайдіть ці числа.

6. Чи правильно, що:7. 1) будь – яке просте число – непарне;

2) не існує простого числа, яке ділилося б на 7;3) сума двох простих чисел – завжди складене число?


Задача 1. Знайдіть число 62 ab 427, якщо воно ділиться на 99.


Задача 2. Чи ділиться число 1234567891011…9899100 (підряд виписані натуральні числа від 1 до 100) на 18?

Відповідь: ні.

Задача3. Якщо замість зірочок у десятковому записі числа 3*4*1*0*8*2*40923*0*320*2*56 поставити у довільному порядку цифри від 0 до 9 (використовуючи кожну один раз), то отримане число ділитиметься на 396. Доведіть це.

Вказівка. 396 = 4 ∙ 9 ∙ 11. Далі скористайтеся ознаками подільності на 4, 9, 11.

Задача 4. Чи можна з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, використовуючи кожну один раз, скласти шестицифрове число, яке ділилося б на 11?

Вказівка. Цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6 не можна розбити на дві трійки, різниця сум яких ділиться на 11.


Задача 5. Визначте, яку найменшу суму цифр може мати число, яке ділиться:

1) на 55;2) на 33.

Задача 6. Марійка записала на дошці двоцифрове число, а Михайлик приписав до нього таке саме ще двічі. Доведіть, що отримане шестицифрове число кратне 21. Яким ще числам кратне це число?

Задача 7. У запису 52*2* замініть зірочки так, щоб одержане число ділилося на 36. Вкажіть всі можливі розв’язки.

57

Задача 8. Записати всі значення х, що є дільниками числа 72 і задовольняють нерівність 8 < х ≤ 36.

Задача 9. У квітковому магазині продається грунт для домашніх рослин у пакетах по 6 кг, 7 кг та 9 кг. Чи може продавець відпустити 40 кг грунту, не розриваючи пакети?



1. Чи може добуток кількох простих чисел закінчуватися нулем; п’ятіркою?

2. Не виконуючи дій, встановіть, простим чи складеним числом є значення виразу: 1) 13 ∙ 11 ∙ 7 – 7;2) 3 ∙ 3 ∙ 4 – 3 ∙ 11;3) 27 ∙ 7 – 54 ∙ 3.

3. Чи ділиться сума 1216 + 2346 + 166:1) на 2;2) на 5;3) на 10?


1. До числа 38 припишіть ліворуч і праворуч по одній цифрі так, щоб отримане чотирицифрове число ділилося на 36. Знайдіть усі варіанти.

2. У класі за кожною партою сидять хлопчик і дівчинка. Під час диктанту кожний хлопчик припустився або удвічі більшої, або удвічі меншої кількості помилок, ніж його сусідка. Чи могли всі діти класу припуститись рівно 200 помилок?

3. Які показники степеня потрібно записати замість «*» у добутку 2* ∙ 3* ∙ 11, щоб він ділився на 144?


1. Чи можна прямокутний паралелепіпед розміром 210 х 310 х 510 розрізати на цеглинки розміром 4 х 5 х 10?

58

Урок №11. Прості числа. НСД і НСК. Різні способи знаходження НСД і НСК (заняття 1)



1. Яке число таке саме, як і обернене до нього?2. Коли ділене і частка рівні між собою?3. Чи є правильним твердження, що будь – які два парні числа не є

взаємно простими?4. Чи є правильним твердження, що будь – які два прості числа є взаємно

простими?5. Якою може бути остання цифра числа, кратного числу 561?6. Якою може бути остання цифра числа, кратного числу 562?7. Складіть задачі до малюнка:

59


Пошук простих чисел розпочався ще в ІІІ столітті до н.е., коли Евклід довів, що їх кількість є нескінченною. Але ряд відомих математикам простих чисел збільшувався повільно, поки не з’явилися комп’ютери, здатні швидко перевіряти подільність величезних чисел. Так, найбільше просте число, відоме 1952 року, містило 157 цифр, а 1985 року – 65050. Пізніше група американських математиків, використовуючи потужний комп’ютер, одержала просте число, що складалося з 65087 цифр. Пошук таких чисел цікавий не тільки з теоретичної точки зору. У сучасній криптографії теорію простих чисел використовують для шифрування.


Запишемо всі дільники чисел 1; 2; 6; 12; 13; 19 у таблицю:

Число Дільники Кількість дільників

1 1 1

2 1; 2 2

6 1; 2; 3; 6 4

12 1; 2; 3; 4; 6; 12 6

13 1; 13 2

19 1; 19 2

60

Робимо висновок:

1) Число 1 має 1 дільник. Числа 2, 13, 19 – мають тільки два дільники: 1 та саме число.

2) Натуральне число називається простим, якщо воно має тільки два різні дільники: одиницю і саме це число.

3) Число 2 – найменше просте число.4) Натуральні числа, які мають більше, ніж два дільники, називають

складеними.5) Число 1 має один дільник, тому не належить ні до простих, ні до

складених чисел.6) Усі парні числа, крім 2, - складені, бо вони діляться на 2.


Задача 1. Пари простих чисел, які відрізняються одне від одного на 2 називаються числами – близнюками. Знайдіть і випишіть такі пари простих чисел.

Задача 2. Випишіть окремо прості і складені числа: 8, 5, 2, 9, 11, 6, 12, 14, 17, 22, 18, 31, 45, 100, 125, 363, 291, 281, 101.

Прості числа Складені числа

Задача 3. Складіть самостійно таблицю простих чисел від 2 до 100, виключивши з цього ряду числа, кратні 2, потім 3, 5 і 7 і т.д.


61

Саме таким чином одержав таблицю простих чисел давньогрецький вчений Ератосфен.

Щоб виписати всі прості числа, менші від n, Ератосфен записував усі натуральні числа, не більші за n, викреслював число 1, кожне друге – після 2, кожне третє – після 3, кожне п’яте – після 5 тощо. При цьому багато чисел викреслював по декілька разів. А всі числа, які залишались не викресленими, - прості. Ератосфен числа записував на восковій дощечці і не викреслював їх, а проколював, після чого та дощечка ставала подібною до решета. Тому й досі такий метод знаходження простих чисел називають решетом Ератосфена.

62

Два числа називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює одиниці.

Зауваження. Серед двох взаємно простих чисел обидва можуть бути простими, наприклад, НСД (7;19)=1; обидва можуть бути складеними, наприклад НСД (9; 10) = 1, або одне число є простим, друге складеним, наприклад НСД (19; 16) = 1.

Звернемося до іншого способу знаходження НСД двох чисел.

Кожний дільник числа НСД (m;n) є спільним дільником чисел m і n. Правильно і протилежне: кожен їх спільний дільник є дільником числа НСД (m;n).

Наприклад, знаючи, що НСД (12; 18) = 6, можна сказати, що спільні дільники чисел 12 і 18 – це дільники числа 6, тобто 1, 2, 3, 6.

Учимось розв’язувати задачі Задача 4. Запишіть три пари двоцифрових складених чисел, які були б взаємно простими.

Розв’язання:46 і 57; 25 і 16; 54 і 65. Задача 5. Із цифр 2, 3, 4 складіть усі можливі двоцифрові числа та випишіть із них пари взаємно простих. Задача 6. Доведіть, що числа1) 364 і 495;2) 945 і 572 є взаємно простими. Задача 7. Знайдіть

1) НСД (42; 36);2) НСД (54; 63);3) НСД (48; 64);4) НСД (16; 25).

Задача 8. Знайдіть

НСД (13; 7);

НСД (11; 19).

Зробіть висновок.

Задача 9. Знайдіть: 1) НСД (1200; 1800); 2) НСД (125; 325); НСД (72; 108).

64


Легко помітити, що 1200 і 1800 діляться на 100 (або на 600). 1200 = 600 ∙ 2; 1800 = 600 ∙ 3. Отже, НСД (1200; 1800) = 600. Робимо висновок. Для знаходження НСД чисел не завжди потрібно розкладати кожне число на прості множники. Звертаємо увагу на те, що обидва числа кратні 25. 125 = 25 ∙ 5; 325 = 25 ∙ 13. НСД (125; 325) = 25. Бачимо, що 72 = 36 ∙ 2; 108 = 36 ∙ 3, тоді НСД (72; 108) = 36.

Задача 10. Михайлик та Віталік грають у таку гру: зі 101 цукерки, що лежать на столі, вони по черзі беруть від однієї до десяти. Коли цукерок не залишається, підраховують кількість у кожного. Якщо ці числа взаємно прості, то перемагає Михайлик, якщо ні – Віталік. Хто може перемогти в цій грі та як?

Вказівка. Це гра – жарт, оскільки, в умові задачі мова йде про суму двох чисел, що дорівнює простому числу 101. Отже, доданки завжди є взаємно простими. Михайлик виграватиме завжди.

Задача 11. Знайдіть усі пари натуральних чисел, сума яких дорівнює 288, а НСД – 36.


Оскільки НСД шуканих чисел дорівнює 36, то ці числа мають вигляд 36m + 36n = 288, звідки m + n = 8.

Розв’язки: 1 і 7 або 3 і 5. Отже, шукані числа 36 і 252 або 108 і 180.

Відповідь: 36 і 252 або 108 і 180.



1. Кому з вчених належить ця теорема: Між будь – яким натуральним числом, більшим за 1 і його подвоєнням у натуральному ряді обов’язково знайдеться хоча б одне просте число.

2. Кого з математиків назвали переможцем простих чисел?3. Хто з вчених сказав: «Друг - це інший я, мов числа 220 і 284».4. Скільки пар дружніх чисел знайшов Л.Ейлер?


1. Знайдіть не менше чотирьох простих чисел, кожне з яких на 6 більше від попереднього.

2. Уздовж залізничної станції за деякий проміжок часу пройшли три потяги. У першому потязі було 418 пасажирів, у другому – 494, а в

65

третьому – 456. Скільки вагонів було в кожному потязі, якщо відомо, що в кожному вагоні однакова, найбільша з усіх можливих кількість пасажирів.

3. Знайдіть НСД усіх п’ятицифрових чисел, що складаються із цифр 1; 2; 3; 4; 5 без повторень.

4. Дівчинку запитали: «Скільки ти знайшла грибів?» Вона відповіла: «Менше 100, і якби я розклала їх у купки по 3 або 4, або по 7 грибів, то в кожному випадку залишку не було б». Скільки грибів назбирала дівчинка?


1. Підготуйте повідомлення про числа – близнюки.2. Підготуйте повідомлення про досконалі числа.

66

Урок №12. Прості числа. НСД і НСК. Різні способи знаходження НСД і НСК (заняття 2)



1. Найменше просте число.2. Задумано просте число, наступне за ним натуральне число теж є

простим. Яке число задумано?3. Задумано два простих числа. Їхня сума теж є простим числом. Які

числа задумано?4. Чи існують три послідовних натуральних числа, кожне з яких є

простим? Відповідь обґрунтуйте.5. Чи кожне натуральне число можна розкласти на прості множники?6. Чи кожне складене число можна подати у вигляді добутку кількох

простих множників?7. Складіть задачі до поданого малюнка:

Цікаві факти Спосіб знаходження НСД (m; n) за допомогою розкладання даних чисел на прості множники достатньо простий, легкий і зручний. Але він має суттєвий недолік: якщо дані числа великі, та ще й не дуже легко розкладаються на множники, то знайти НСД стає досить складно. До того ж, доволі попрацювавши, ми можемо дістати, що НСД (m; n) = 1, і тоді вся робота виконана марно. Евклід знайшов чудовий спосіб знаходження НСД без попереднього опрацювання чисел. Цей спосіб називають алгоритмом Евкліда.

67

Алгоритм Евкліда:

Щоб знайти НСД двох натуральних чисел, треба спочатку більше число розділити на менше, потім менше число ділимо на остачу від ділення, а потім остачу від першого ділення ділимо на остачу від ділення другого і т.д. Остання в цьому процесі остача, яка не дорівнює нулю, і буде НСД даних чисел.


Задача 1. Знайдіть НСД (102; 84).Розв’язання:

1) 102 : 84 = 1 (остача 18);2) 84 : 18 = 4 (остача 12);3) 18 : 12 = 1 (остача 6) – остання остача, яка не дорівнює 0;4) 12 : 6 = 2 (остача 0).

Отже, НСД (102; 84) = 6.

НСК взаємно простих чисел дорівнює їх добутку.

Задача 2. Заповніть пусті клітинки таблиці за зразком.

m 35 49 74 100 132 1000

n 21 42 111 125 232 1000

НСД (m; n) 7

НСК (m; n) 105

m ∙ n 735

НСД (m; n) ∙ НСК (m; n) 735

68

Який висновок можна зробити? Задача 3. Доведіть, що для будь – яких натуральних чисел m і n є правильною рівність: НСД (m; n) ∙ НСК (m; n) = m ∙ n.

Доведення:НСК (m; n) =

m ∙nНСД (m;n) .

Задача 4. Знайти найменший спільний знаменник дробів 5468 і 17

252 .Розв’язання:

НСК (468; 252) = 468∙ 252

НСД (468 ;252) = 468 ∙25236 = 468 ∙7

1 = 3276.



1) НСД (2016; 1320);2) НСД (3465; 3105); 3) НСД (1486276; 343751); 4) НСД (19461377; 472397).


1) НСК (63; 72);2) НСК (100; 48);3) НСК (121; 88);4) НСК (156; 91).

Задача 7. Три теплоходи роблять з одного і того самого порту регулярні рейси. Один із них повертається через 10 днів, другий – через 12 днів, а третій – через 15 днів. Через яку найменшу кількість днів усі три теплоходи зустрінуться разом у порту?

Задача 8. Мауглі кожного дня вчиться полювати, кожного третього дня вчиться лазити по ліанах і кожного п’ятого дня вивчає закони джунглів із Балу. Сьогодні в Мауглі важкий день: він повинен робити всі три справи. Коли в Мауглі буде наступний важкий день?



1. Три числа спочатку додають, а потім їх перемножують. Сума і добуток виявилися рівними. Які це числа?

2. Як піфагорійці називали число 6?3. Як знаючи НСД двох чисел, знайти всі їхні спільні дільники?

69

4. Що можна сказати про числа m і n, якщо НСД (m; n) = n? Наведіть приклади таких чисел.


1. Знайдіть НСД (150; 375; 600).2. Доведіть, що числа 209 і 171 не є взаємно прості.3. Довжина кроку Буратіно 40 см, а Мальвіни – 35 см. На якій найменшій

відстані вони зроблять цілу кількість кроків?


1. Підготуйте повідомлення про дружні числа.2. Підготуйте повідомлення про фігурні числа.

70

Урок №13. Головоломки із сірниками

Нагадаємо, що коли три точки утворюють трикутник, а не лежать на одній прямій, то сума будь – яких двох сторін більша від третьої сторони.



Увага! Сірники дітям не іграшка!

1. Як з трьох сірників, не ламаючи їх, зробити 4? (IV)2. Хочуть 30 яблук розкласти на три купки так, щоб кількість яблук у

кожній купці була непарною. Чи можна це зробити? (Не можна)3. Три послідовних натуральних числа дають в сумі 24. Знайдіть ці числа.

(7, 8, 9)4. Число 666 збільшити в півтора рази, не виконуючи над ним ніяких

арифметичних дій.5. З 8 сірників скласти фігуру з найбільшою площею.


Допоможи Левкові дістатися меду. Бережися черепа! Стрибай по червоних стрілочках через стіни лабіринту.

71


Франсуа Едуард Анатоль Люка (1842 - 1891) – французький математик, який одним з перших у 1884 році запропонував цікаве дозвілля – головоломки із сірниками.

Задачі із сірниками – це задачі, для розв’язання яких необхідно забрати та/або перекласти сірники чи порахувати в конструкції із сірників кількість фігур певного виду.У задачах із сірниками – передбачається розв’зати задачу, не ламаючи сірник.

Цікаві факти Хто винайшов сірники? У 1805 році француз Жан Луї Шансель створив «змочувані» сірники. На дерев’яну паличку наносили суміш, яка містила бертолетову сіль. При змочуванні сірника у сірчаній кислоті відбувалася хімічна реакція й виникало полум’я. От тільки сірчана кислота дуже небезпечна і не завжди була під рукою. Сірники, що запалювались тертям, виникли тільки в 1831 році. Їх винайшов 19 – річний хімік із Франції Шарль Соріа. Сірники того часу містили білий фосфор – вельми отруйну речовину – і легко займалися від тертя об будь – яку поверхню. Вони могли спалахнути навіть від дотику одна до одної в коробці. Шведський вчений Густаф Ерік Паш зробив сірники безпечними, замінивши білий фосфор червоним та запропонувавши додавати його не на голівки сірників, а на окрему пластинку, розташовану на коробці. Коли сірники стали безпечними та доступними, французький математик Франсуа Люка (1842 - 1891) запропонував громадськості розважити себе головоломками із сірників. Приміром, близько 3 тисяч років тому в Китаї вже існували геометричні вправи з фігурами, складеними з бамбукових паличок однакового розміру.


Задачі на перекладання сірників

Задача 1. Перекладіть 4 сірники так, щоб утворилося 10 квадратів.72

Конструкція Відповідь

Задача 2. З 10 сірників скласти будиночок. Потрібно повернути його іншою стороною, переклавши 2 сірника.


Задача 3. В огорожі, зображеній на малюнку, перекладіть 14 сірників так, щоб вийшло 3 нерівних квадрати.

73

Конструкція

Відповідь

Задача 4. Перекладіть 3 сірники так, щоб утворилося 3 рівних квадрати.


74

Задача 5. Перекладіть 3 сірника так, щоб стріла поміняла свій напрям на протилежний.


Задача 6. Як потрібно перемістити «келих» і «чарку», переклавши по два сірники в кожному з них, щоб вишеньки виявилися зовні?


Задача 7. Є 13 сірників довжиною по 5 см кожен. Викладіть з них метр.

Відповідь

Задача 8. Перекладіть 4 сірники так, щоб вийшло 3 квадрати.75

Конструкція

Відповідь

Задача 9.


Задача 10. Перекладіть рівно 2 сірники так, щоб корова дивилася вправо.

76


Задача 11. Переставте 2 сірники 3 18 так, щоб замість 8 трикутників фігура стала складатися з 6 трикутників.


Задачі, в яких потрібно забрати сірники

Розв’язувати задачі, в яких потрібно з конструкції забрати сірники, допомагають такі міркування:1) якщо потрібно забрати «мало» сірників, а геометричних фігур має залишитися «багато», то слід забирати сірники таким чином, щоб отримані фігури мали тільки спільні вершини, але не спільні сторони;2) якщо в задачі не сказано, що мають залишитися рівні геометричні фігури, то шукана конструкція може складатися з фігур, однакових за формою, але різних за розміром. Фігури можуть бути вкладеними одна в одну.

Задача 1. Заберіть 2 сірники так, щоб утворилося 2 нерівних квадрати.

77


Задача 2. Заберіть 4 сірники так, щоб утворилося 5 однакових квадратів.


78

Задача 3. З 8 сірників складені гратки з маленькими квадратними отворами. Потрібно забрати 2 сірники так, щоб один з отворів виявився великим квадратом – лазом.


Задача 4. Заберіть 6 сірників так, щоб залишилися тільки два квадратики.




1. Скласти квадрат із 10 сірників? (двома способами)2. Скільки знадобиться сірників, щоб скласти квадрат периметром 60 см?

Яка площа цього квадрата?3. Складіть три рівні квадрати з 10 сірників.


1. Квадрат 3х3 складений із 24 сірників. 79

Виконайте такі завдання:1) Заберіть 4 сірники так, щоб залишилося 5 рівних квадратів;2) Заберіть 4 сірники так, щоб залишилося 4 маленькі квадрати й один

великий;3) Заберіть 5 сірників так, щоб залишилося 6 рівних квадратів;4) Заберіть 6 сірників так, щоб залишилося 3 квадрати.


Знайдіть цікаві відомості про французького математика Франсуа Е.А.Люка.

80

Урок №14. Розрізання



1. Було 8 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 4 частини. Усього одержали 17 аркушів. Скільки аркушів паперу розрізали?

2. З паперу вирізано круг. Як, перегинаючи папір, знайти центр цього круга?

3. Хвилинна стрілка за 15 хв повернулася на деякий кут. За який час на той же кут повернеться годинна стрілка?

4. Як число 1888 поділити на дві частини, щоб у кожній половині вийшло по тисячі? (Провести посередині горизонтальну лінію).

5. У трикутника відрізали три кути. Скільки кутів залишилось?


1. Як можна рівносторонній трикутник розрізати на:

а) три рівних трикутники;

б) чотири рівних трикутники;

в) шість рівних трикутників;

г) вісім;

д) дванадцять?

2.Дано два рівні квадрати. Як розрізати кожний із них на дві частини, щоб з отриманих частин можна було скласти квадрат?

3.Як даний прямокутник двома прямими розбити на два рівних п’ятикутника і два рівних прямокутних трикутника?

81


Задача 1. У квадрата відрізали всі кути. Який многокутник при цьому отримали? Нарисуйте всі можливі варіанти.


Поліміно – це різновиди фігурок, складених із клітинок таким чином, що кожна клітинка має спільну сторону ще хоча б з однією клітинкою.

Фігурки з трьох клітинок називаються триміно, з чотирьох – тетраміно, з п’яти – пентаміно.

Розрізання фігур на тетраміно

Задача2. Нарисуйте всі можливі фігурки тетраміно. Тетраміно вважаються рівними, якщо їх можна сумістити поворотом або віддзеркаленням.


Існує 5 видів тетраміно:

Смужка Квадрат L - тетраміно T - тетраміно S - тетраміно

Задача 3. Розріжте квадрат 4х4 на L – тетраміно, S – тетраміно і два T – тетраміно.

Задача 4. Розріжте прямокутник 4х8 на L – тетраміно (двома способами).

Задача 5.Чотири на п’ять – двадцять: складіть із будь – яких чотирьох фігур пентаміно (прямокутник зі сторонами 4х5).

82

Відповідь: Має бути ще декілька способів.

Розрізання кліткових фігур на однакові частини

Розріжте намальовану фігуру на дві однакові (співпадаючі при накладанні) частини.

Відповідь:

Розрізання на куточки

Задача 6. Відомий садівник Леслі Браун заповів свій сад синам. Чотири сини повинні були поділити сад так, щоб кожна ділянка була однакової форми, однакового розміру й на кожній росло по три унікальні дерева. Сини впоралися із цим непростим завданням. А вам воно під силу?

83

Завдання Відповідь

Задача 7. Незнайко розрізав фігуру на трикліткові та чотирикліткові куточки, намальовані праворуч від неї. Скільки трикліткових куточків могло вийти?

Відповідь: 6 куточків

Задача 8. Розріжте цю фігуру на дві рівні частини так, щоб з них можна було б скласти прямокутник.

Умова задачі

84

Відповідь


«Головоломка Піфагора» - це квадрат, поділений на 7 частин: два квадрати (великий і маленький), чотири трикутники (два великі і два маленькі) і паралелограм. Усі деталі головоломки покладено в рамку – неподільну частину, за допомогою якої можна пов’язати елементи гри. З деталей можна складати геометричні фігури складної конфігурації, силуети, що нагадують предмети реальної дійсності.

85

Завдання 1: Спробуйте скласти дані фігури, а потім придумайте свої.

Елементи «Архімедової гри» одержані шляхом довільного ділення прямокутника на 14 рівних частин. З утворених деталей конструюють на площині різноманітні предметні силуети.

86

Завдання 2. Спробуйте скласти відповідні фігури.

88

Вислів «Колумбове яйце» увійшов до багатьох європейських мов із твору «Історія Нового Світу» (1565 р.), написаного італійським мандрівником Джироламо Бенцоні. Автор описав цікаву історію. Коли Христофор Колумб на обіді в іспанського кардинала Мендоси розповідав про своє відкриття Америки, один із гостей вигукнув: «Та це ж так просто!» Тоді Колумб запропонував йому розв’язати нібито теж просту задачу – поставити яйце вертикально. Але гість, попри всі намагання, не зміг цього зробити. А Колумб, стукнувши тупим кінцем яйця об стіл, прим’яв шкарлупу й поставив яйце на стіл. І сказав: «Так, це справді дуже просто». Алегоричний вислів «Колумбове яйце» використовують, маючи на увазі несподіваний, сміливий вихід зі скрутного становища або неординарний, дотепний розв’язок складної задачі.Крім того, так називається й стародавня головоломка на розрізання і складання фігур.

Завдання 3. Спробуйте скласти відповідну фігуру та придумати і скласти свої.

89



1. Що таке поліміно?2. Які ви знаєте різновиди поліміно?3. Що таке триміно?4. Що таке тетраміно?5. Що таке пентаміно?


1. Розріжте квадрат 6х6 на два L – тетраміно, два S – тетраміно, чотири T – тетраміно й одну смужку з чотирьох клітинок.

2. У квадратах 4х4 і 8х8 вирізали кутові клітинки. Як розрізати отримані фігури на трикліткові куточки?

3. Розріжте прямокутник, довжина якого 9 см, а ширина 4 см, на дві рівні частини, з яких можна скласти квадрат.


1. Знайдіть і запишіть прізвище вченого, який ввів термін «поліміно».2. Виготовте «Головоломку Піфагора» та придумайте і складіть свою

фігуру.3. Виготовте «Архімедову гру» та придумайте і складіть свою фігуру.4. Виготовте «Колумбове яйце» та придумайте і складіть свою фігуру.

90

Урок №15. Розфарбовування



1. Пофарбований куб з ребром в 10 см розпиляли на кубики з ребром в 1 см. Скільки вийде кубиків з трьома пофарбованими гранями? (8)

2. Три в квадраті дорівнює 9, сім у квадраті дорівнює 49. Чому дорівнює кут у квадраті? (90◦)

3. У квадрата відрізали два кути. Скільки кутів залишилося? (6)4. Квадрат розрізали на три прямокутники, два з яких мають розміри 5х11

і 4х6. Які розміри має третій прямокутник?5. Скільки разів за добу годинникова та хвилинна стрілки знаходяться на

одній прямій?У задачах на розфарбовування сусідніми називаються ділянки

(частини фігур, клітинки), які мають спільну межу. Дві ділянки, що мають лише одну спільну точку, сусідніми не вважаються. У задачах із використанням розфарбовування, як правило, потрібно: розфарбовувати частини фігури в певний спосіб, тобто одержати розфарбовування із заданими властивостями;Дібрати таке розфарбовування, яке допоможе розв’язати задачу (наприклад, розфарбовування стовпчиками, шахове розфарбовування).


Розмістіть у білих клітинках ще 7 зірочок так, щоб жодні дві із 8 не знаходилися на одній діагоналі, вертикалі, горизонталі.


Шахова дошка без двох кутів. З шахової дошки вирізали дві протилежні кутові клітинки. Чи можна ту фігуру, яка залишилась, розрізати на «доміношки», які складаються з двох клітинок?

91


Задача 1. Ходом коня. Чи можна обійти шаховим конем по одному разу всі клітинки:

1) шахової дошки;

2) дошки розміром 9х9?


Кожним своїм ходом шаховий кінь стає на клітинку іншого кольору. Отже, якщо обхід дошки шаховим конем існує, то число білих клітинок на ній має дорівнювати числу чорних клітинок. Тому:

1) варіанти обходу існують;

2) варіантів обходу немає.


У ХІХ ст.. в Лондоні серед студентів – математиків дуже популярними були задачі на розфарбовування географічних карт. Цікаво, що саме ця «дитяча» розвага привела до висунення серйозної математичної гіпотези, відомої як «Проблема чотирьох фарб». У 1852 році шотландець Френсіс Гутрі висунув гіпотезу про те, що будь – яку карту можна розфарбувати чотирма кольорами так, що зафарбовані одним кольором ділянки не матимуть спільних меж.

Над доведенням цієї гіпотези працювали багато відомих математиків. І тільки 1997 року вчені К.Аппель і В. Хакен довели, що чотирьох кольорів достатньо для розфарбування будь – якої карти. Значну частину перевірок при цьому виконав комп’ютер.

92

Задача 2. Перефарбування в шаховому порядку. У квадраті 4х4 клітинки лівої половини пофарбовані в синій колір, а інші – у жовтий. За одну операцію дозволяється перефарбувати в протилежний колір усі клітинки будь – якого прямокутника, який знаходиться усередині цього квадрата. Як за три операції з початкового розфарбування одержати розфарбування в шаховому порядку?



У першій чверті ХХ ст. в образотворчому мистецтві виник новий напрям – кубізм – (франц. Cubism, від cube - куб). Його засновниками вважають Пабло Пікассо й Жоржа Брака.

Принцип кубізму – розкладання форми на елементарні складові (куб, куля, конус тощо). Крім того, предмет зображувався не повністю, а частинами й не з однієї, а відразу з декількох точок.

Художники прагнули побачити об’єкт одночасно в усій його повноті, у чотирьох вимірах, не тільки зовні, але й зсередини, однак у результаті він розсипався на уламки, розпадався на грані.

Деякі роботи, виконані в стилі кубізм, відрізняються відсутністю колірної палітри. Використовувались тільки коричневий, чорний і сірий тони. Вважалося, що інші кольори пробуджують емоційну складову й відволікають від пізнання предмета.

93

Пабло Пікассо

Жорж Брак

Задача 3. Розфарбування вершин куба. Чи можна розфарбувати чотири вершини куба в чорний колір, а чотири інші – у білий так, щоб площина, що проходить через будь – які три точки одного кольору, містила точку іншого кольору?

Відповідь: так.

94

Задача 4. Квадрат 4х4. Квадрат 4х4 розділений на 16 клітинок. Розфарбуйте квадрат по клітинках в зелений і білий кольори так, щоб у кожної зеленої клітинки було три білі сусіди, а в кожної білої клітинки був один зелений сусід. (Сусідніми вважаються клітинки, що мають спільну сторону).



Задача 5. Квадрат 7х7. У квадраті 7х7 клітинок зафарбуйте деякі клітинки так, щоб у кожному рядку й у кожному стовпчику виявилося по три зафарбовані клітинки.

Задача 6. На фарбування дерев’яного кубика витратили 4 г фарби. Коли вона висохла, кубик розпиляли на 8 однакових кубиків меншого розміру. Скільки фарби знадобиться для того, щоб пофарбувати утворені при цьому не зафарбовані поверхні?

Задача 7. Розрізання на «доміношки». Із протилежних кутів дошки 10х10 вирізали два квадрати 3х3. Чи можна частину, що залишилася, розрізати на «доміношки», тобто прямокутники 1х2?

Задача 8. Грані куба, ребро якого дорівнює 4 см, пофарбовано в червоний колір. Куб розрізали на кубічні сантиметри. Скільки дістали кубиків з однією, двома і трьома пофарбованими гранями? Скільки було кубиків з непофарбованими гранями?



Придумайте 4 запитання для товариша


1. Фарбування куба. Для фарбування кубика розміром 2х2х2 потрібно 18 г фарби. Скільки фарби знадобиться, щоб пофарбувати кубик 8х8х8?

95

2. Розгортки. Домовимося позначати грані куба літерами: П – передня, З – задня, В – верхня, Н – нижня, Б – бічна (їх дві). На розгортках куба проставлено деякі літери. Проставте відсутні літери.


1. Зробіть розгортку куба, згорніть та склейте його.

96

Н

П

В

З

В

П

Н

П

2. Як називається фігура за цією розгорткою?

97

3. Знайдіть картини або фото в стилі кубізм.

98

Урок №16. Конструювання



1.Чи може дріб, у якого чисельник менший за знаменник, бути рівним дробу, у якого чисельник більший за знаменник?

2. На глобусі через один градус проведені паралелі. Скільки всього кіл побудовано на глобусі? (179)

3. Коли моєму батькові минув 31 рік, мені було 8 років. А тепер батько старший від мене вдвічі. Скільки мені тепер років? (23)

4. Усі висоти трикутника перетинаються в одній з вершин. Який це трикутник?

5. Вісім сірників покладіть так, щоб утворилися один восьмикутник, два квадрати й вісім трикутників – усі в одній фігурі.


Із сірників складено фігуру. Заберіть 10 сірників так, щоб залишилося 4 рівних квадрати. Запропонуйте хоча б 3 розв’язки.

Цікаве дозвілля

Вироби із сірників – це окремий вид мистецтва. Із сірників можна конструювати справжні шедеври, які вражають не менше, ніж величні скульптури. Рекордсменом у галузі виготовлення виробів із сірників є чеський інженер Томаш Корда, який виготовив близько сотні предметів,

99

використавши 670000 сірників. Серед його дивовижних виробів – гітара та

скрипка, на яких можна грати.

Як побудувати будиночок без клею?

Інструкція

1. Візьміть звичайну книгу – вона буде виконувати роль робочої поверхні, розмістіть на ній паралельно один одному два сірники так, щоб вони були напрямлені головками в одну і ту ж сторону. Відстань між сірниками повинна бути трохи меншою від довжини сірника.

100

2. Далі поверх цих сірників покладіть ще вісім, після чого додайте ще один шар з восьми сірників, перпендикулярний попередньому.

3. Далі сформуйте колодязь – він буде семирівневим. Розташовуйте головки сірників по колу. Сірники один на один вкладайте паралельно, щоб вийшов квадратний колодязь.

4. Покладіть на дах колодязя вісім сірників, потім ще шість, перпендикулярно до попередньої вісімки. Потім покладіть на самий верхній ряд сірників монетку, притиснувши її пальцем.

5. Не забирайте з монетки пальця і встромляйте сірники вертикально по кутах будиночка, головками вгору. Встромивши з кожного з чотирьох кутів по одному сірнику і, тим самим, зафіксувавши кути, встромляйте сірники вертикально по периметру конструкції, щоб укріпити стіни. У процесі сірники нижнього ряду допускається акуратно розсовувати.

6. Щоб будиночок не деформувався, стисніть його пальцями з усіх боків і витягніть монету з верхнього ярусу. Ті, що йдуть по периметру вашої «споруди» вертикальні сірники втисніть всередину. Далі переверніть будиночок, після чого поставте його на головки вертикальних сірників, які виконують роль фундаменту.

7. Вставте з кожної зі сторін будиночка вертикальні сірники, щоб сформувати стіни. Далі перпендикулярно їм укладайте такі ж ряди сірників з усіх сторін, тільки горизонтально. Головки вертикальних сірників повинні «дивитися» вгору, горизонтальних – по колу.

8. Щоб зробити дах, по кутах будиночка вставте додаткові сірники, а також злегка підштовхніть вертикальні сірники стін знизу, щоб підняти їх над верхнім ярусом. Кладіть сірники для настилу даху перпендикулярно верхньому шару. Після цього покладіть новий шар сірників на дах, перпендикулярно попередньому. Притисніть сірники – створиться видимість черепиці.


Як сконструювати на столі:

а) до розкладених на столі чотирьох сірників додайте ще п’ять сірників так, щоб дістати сто;

б) кожен сірник має довжину 4,5 см. Як з 5 сірників скласти один метр?

в) чотири однакові трикутники, використовуючи 6 сірників;

г) один трикутник, використовуючи 1 сірник;

д) один квадрат, використовуючи 2 сірника;

101

е)* усе в одній фігурі – з восьми сірників один восьмикутник, два квадрати і вісім трикутників;

є) з двох сірників зробити десять, не ламаючи їх.

Учимось розв’язувати задачіВикористання букв, цифр і знаків арифметичних дій у конструкціях із сірниківУ задачах на конструювання із сірників часто використовуються

правила накреслення римських і арабських цифр, написання чисел словами, як у ребусах і головоломках. Задача 1. Побудуйте із сірників геометрично правильний шестикутник.

Після цього перекладіть 4 сірники так, щоб утворилося три рівносторонніх трикутники, з яких тільки два рівні між собою.

Задача 2. З 10 сірників викладіть 3 квадрати. Потім заберіть один із сірників, а з тих сірників, що залишилися, зробіть один квадрат і 2 ромби.


Задача 3. З 12 сірників складено чотири однакових квадрати так, що утворився ще один квадрат (великий):

102

а) перекладіть чотири сірники так, щоб дістати три рівних квадрати;

б) перекладіть два сірники так, щоб дістати сім квадратів (можна накладати сірники один на один);

в) перекладіть чотири сірники так, щоб дістати 10 квадратів (можна накладати сірники один на один).

Задача 4. Із сірників складені неправильні приклади з римськими числами. У кожному прикладі перекладіть один сірник так, щоб він став правильним.

Підказка. Скористайтесь таблицею відповідності римських і арабських чисел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 500 1000

I II III IV V VI VII VIII IX X L C D M

1 XIV + IV = XX

2 VI + IX = XX

3 XXI – VI = XIII

4 VII – V = XI

5 VI – V = VI

6 XV + X = XX

7 III + V = VI

8 V + I = III

9 X + V = X

10 V – IV = X

11 XV + VI = X

Визначення кількості фігур

Під час розв’язування задач на визначення кількості фігур у конструкції допомагає метод «розумного перебору»: спочатку необхідно

103

визначити, фігури яких форм і розмірів входять у задану конструкцію, а потім порахувати кількість фігур кожного виду.

Задача 5. Квадрат 3х3 складений із сірників. Скільки квадратів можна побачити в цій фігурі? Скільки прямокутників, що не є квадратами? Скільки всього прямокутників?

Підказка. Складемо і заповнимо таблиці:

Розмір

квадрата

Кількість

квадратів

1х1

2х2

3х3

Усього

Розмір

прямокутника

Кількість

1х2 6

1х3 3

2х3 2

Усього 11

Задача 6. Скільки квадратів містить фігура? Скільки прямокутників?

104


1. Із сірників складені «неправильні» приклади з римськими цифрами. У кожному прикладі перекладіть один сірник так, щоб приклади стали правильними.

1 IV – V = I

2 XII – XI = III

3 IV – I + V = II

4 II – III = I

5 VIII – II = XI

6 VI – IV = IX

7 V – V = V

8 VI – IV = XI

2. Із 12 сірників складіть фігуру, в якій було б 3 однакові чотирикутники і 2 однакові трикутники.

3. З 8 сірників скласти фігуру з найбільшою площею.


1. Знайдіть відомості про прийоми конструювання за допомогою сірників без використання клею та спробуйте змайструвати що - небудь самостійно.

2. Складіть 16 сірників так, щоб усю споруду можна було підняти, тримаючись тільки за один сірник.

105

Урок №17. Три типи задач на дроби



1. Скільки «дюжин» в «чортовій дюжині»?2. Знайдіть 3

4 від 12.3. Знайдіть 0,4 від 30.4. Знайдіть 0,2 від 0,8.5. Знайдіть число 1

4 якого дорівнює 21.6. Знайдіть число 0,5 якого дорівнює 10.7. Знайдіть число 33 1

3 якого дорівнює 41.


Вставте пропущені числа.

+ 12 + 1

8 - 114


Задача – жарт. Жив собі кіт, і у нього був хвіст. Коли спитали у кота: «Якою є довжина твого хвоста?», то у відповідь почули: «У мене є хвіст. Він завдовжки 8 см і ще 2

3 мого хвоста!» Якою є довжина хвоста у кота?

Дріб – це число, яке складається з однієї або декількох частин (часток) одиниці.


106

34

?

Задача 1. У парку 120 дерев, із них 34 берези. Скільки беріз у парку?


120 ∙ 34 = 120∙ 3

4 = 90.

Задача 2. За два дні учні посадили 90 дерев. За перший день посадили 0,7 всіх дерев. Скільки дерев посадили за другий день?


Розвиваємо дивергентне мислення

Способи розв’язання

І спосіб 1) 90 ∙ 0,7 = 63 (д) – посадили за І день;

2) 90 – 63 = 27 (д) – посадили за ІІ день.

ІІ спосіб 1) 1 – 0,7 = 0,3 – частини всіх дерев посадили за ІІ день;

2) 90 ∙ 0,3 = 27 – дерев посадили за ІІ день.

Задача 3. За перший день дівчинка прочитала 13 усієї книжки, за другий -

14 решти. Яку частину книжки дівчинка прочитала за другий день? За два

дні?


1) 1 - 13 = 2

3 (ч) – залишилось прочитати;

2) 23 ∙ 1

4 = 16 (ч) – прочитала за ІІ день;

3) 13 + 1

6 = 12 (ч) – прочитала за два дні.

Відповідь: 16 і 1

2 частини.

107

Висновок: Щоб знайти дріб від числа, треба це число помножити на даний дріб.

Задача 4. У парку посадили 90 беріз, що становить 34 всіх посаджених

дерев. Скільки всього дерев посадили?

34 - 90 дерев.


Розвиваємо дивергентне мислення


І спосіб (90 : 3) ∙ 4 = 120 (д)

ІІ спосіб 90 : 34 = 90 ∙ 4

3 = 90 ∙ 43 = 120 (д)

ІІІ спосіб х ∙ 34 = 90; х = 90 : 3

4 = 120 (д)

Відповідь: 120 дерев.

Задача 5. Туристи за перший день подолали 30% шляху, за другий – 70% того, що пройшли за перший, а за третій – решту 24,5 км. Яка довжина всього маршруту?


1) 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 – усього шляху пройшли туристи за ІІ день;2) 1 – (0,3 + 0,21) = 0,49 – усього шляху пройшли туристи за ІІІ день, що

становить 24,5 км;3) 24,5 : 0,49 = 50 (км) – увесь шлях.

Відповідь: 50 км.

Висновок: Щоб знайти число за значенням його дробу, треба число поділити на даний дріб.

Задача 6. Свіжі гриби містять 90% води, а сушені – 12%. Скільки кілограмів сушених грибів вийде із 22 кг свіжих?

108


1) 100% - 90% = 10% - становить суха маса свіжих грибів;2) 22 ∙ 0,1 = 2,2 (кг) – становить суха маса у 22 кг свіжих грибів;3) 100% - 12% = 88% - становить суха маса сушених грибів;4) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) – маса сушених грибів.

Відповідь: 2,5 кг.


Задача 7. На створення фільму «Кінг Конг» витрачено 207 млн дол., що становить 23

61 загального збору, одержаного від прокату фільму. Який прибуток одержали?

Задача 8. Велосипедисти за три дні проїхали 360 км. За перший день вони проїхали 4

15 усієї відстані, за другий – 40% усієї відстані, за третій – решту відстані. Скільки кілометрів проїхали велосипедисти за третій день?

Задача 9. Учень прочитав 86% усієї книжки і йому ще залишилося прочитати 56 сторінок. Скільки сторінок у книжці?

Задача 10. Вологість трави 80%, а сіна – 20%. Скільки вийде сіна з 1 тонни трави?

Задача 11. Зрубали дерево масою 5 ц, деревина якого мала вологість 64%. Через тиждень вологість становила вже 55%. Наскільки центнерів зменшилась маса дерева за тиждень? (на 1 ц)

Задача 12. Заєць може з’їсти всю моркву з ящика за 10 хвилин, а кролик – за 12 хвилин. Скільки хвилин знадобиться їм, щоб удвох спустошити ящик, якщо кролик і заєць будуть хрумтіти морквою одночасно?

Задача 13. У прикладах з десятковими дробами деякі цифри замінили зірочками. Відновіть записи.

1) +¿∗,4559 ,2778 ,∗3

¿¿182,1∗¿¿

2) х ¿∗,∗¿2 ,∗7¿∗¿∗¿∗¿∗¿¿∗¿ , 8 3 5


Звичайні дроби широко використовувались у Стародавній Греції й Індії. Правила дій з дробами, викладені індійським вченим Брамагуптою(VІІІ ст),

109

лише трохи відрізняються від наших. Наш запис дробів теж збігається з індійським, тільки дробової риски індійці не використовували. Греки записували зверху знаменник, а знизу чисельник.

У грецьких творах з математики дробів не було. Грецькі вчені вважали, що математика повинна займатися тільки цілими числами. А «возитися» з дробами мали купці, ремісники, астрономи, землеміри, механіки й інший «чорний люд». Але все – таки й у суто наукові твори греків дроби проникали. Адже крім арифметики й геометрії до грецької науки входила музика, або вчення про гармонію. Греки знали: чим довша натягнута струна, тим нижчий виходить звук, який вона видає, а коротка струна видає високий звук. Але у всякого музичного інструмента не одна , а кілька струн. Для того, щоб усі струни під час гри звучали «в лад», приємно для слуху, довжини їхніх частин, що видають звук, повинні перебувати в певному співвідношенні. Тому вчення про співвідношення й дроби використовувалось у грецькій теорії музики.

- ціла нота (1);- половинна (1

2);

- четвертна (14 );

- восьма (18).

110

Завдання 1. Скільки четвертних нот за тривалістю звуку дорівнюють половинній ноті?

Завдання 2. Скільки «восьмушок» за тривалістю звуку дорівнюють половинній ноті?

Завдання 3. «Музичні вправи»

1)

2)

3) ( )

4)

5)

Індійське позначення дробів і правила дій з ними були засвоєні в ІХ ст. в мусульманських країнах завдяки великому середньовічному вченому Мухаммеду Хорезмському (Аль - Хорезмі).

111

Вони були перенесені до Західної Європи італійським купцем і вченим Леонардо Фібоначчі з Пізи (ХІІІ ст.).



1. Як знайти дріб від числа?2. Як знайти число за його дробом?3. Яке число? Половина – третина його. Яке це число?4. Розділіть 50 наполовину.


1. Середня тривалість життя жінки 75 років, що становить 5/4 тривалості життя чоловіка. На скільки років довше в середньому живуть в Україні жінки, ніж чоловіки?

2. Середня людина проводить уві сні 1/3 свого життя, ще 50 років вона не спить. Яка середня тривалість життя людини?

3. За альбом заплатили 6 грн і ще половину його вартості. Скільки коштує альбом?

4. На уроці трудового навчання для виготовлення гачків учень отримав 8 дм дроту. На виготовлення одного гачка потрібно 1

2 дм дроту. Скільки гачків він може виготовити?

5. Яку відстань подолає черепаха за 1 23 год, якщо вона буде повзти зі

швидкістю 350 км/год? Відповідь запишіть у метрах.

112

Виконайте творче завдання:

1. Доведіть, що значення виразу ( 178)2 ∙ ( 11

3)3 ∙ (35 )2 є натуральним

числом.2. Доведіть, що m% від 13 дорівнюють 13% від m.3. Придумайте і розв’яжіть задачі на знаходження дробу від числа та

числа за його дробом.

Урок №18. Розв’язування задач за допомогою зображення дробів на відрізку.



1. Результат ділення.2. Символи для запису чисел.3. Знайдіть число, якщо половина від його чверті дорівнює 6.4. Знайдіть число, якщо третина від його половини дорівнює 8.5. Як називаються дроби, які більші за 1?6. Доповніть 5

7 до одиниці. 7. Якщо півтори курки несуть півтора яйця за півтора дня, скільки дві

курки знесуть за два дні? (4)8. Половина від половини числа рівна половині. Яке це число?(2)9. Розділити 10 апельсинів порівну між дванадцятьма дітьми, за умови,

що різати кожен апельсин можна не більше як на 3 рівні частини. (6 апельсинів розрізати навпіл, а кожний з решти – на 3 рівні частини, потім даємо кожній дитині по половині і одній третині апельсина).

10.Розгадайте кросворди:

1) 4 = б (Дріб)

113

2)

(Знаменник)


Потреба знаходити частини цілого з’явилася у давніх людей ще тоді, коли необхідно було ділити здобич після полювання. Крім того, вимірюючи земельні ділянки, масу тих чи інших предметів тощо, люди не завжди отримували в результаті цілі числа. Доводилося враховувати і їхні частини. Першим дробом, із яким познайомилися люди, була половина. У розрахунках часто зустрічалась також одна третина. Тому і єгиптяни, і вавилоняни, мали спеціальні позначення для дробів 1/3 та 2/3, які не збігалися з позначеннями для інших дробів.

Окрім 2/3, єгиптяни використовували тільки дроби з числівниками, що дорівнювали одиниці, тобто частки. Будь – яку частину єгиптяни подавали у вигляді суми різних часток. Цікава система дробів була у Стародавньому Римі. Вона ґрунтувалась на діленні на дванадцять часток одиниці ваги, яка називалась ас. Дванадцяту частку асу називали унцією.

Для дробів, які отримували діленням унції на менші частки, також були особливі назви. Зараз іноді кажуть: «Він скрупульозно вивчив це питання». Це означає, що питання вивчене до кінця, що жодної найменшої неясності не залишилось. А походить дивне слово «скрупульозно» від римської назви 1/288 аса – «скрупулус». Найдовершеніші методи поводження з дробами було винайдено в Індії.

У рукописах ІV століття до н.е. зустрічаються вже не тільки частки, але й дроби з числівниками, більшими за одиницю. У Західній Європі остаточно сформовану й зрозумілу теорію звичайних дробів дав 1585 року фламандський інженер Симон Стевін.

114

Запис 1n означає, що одиницю поділили на n рівних частин і взяли

одну таку частину. Рівні частини називають частками.У задачах на частки й поділи необхідно знайти ціле за його частиною або частинами чи здійснити правильний поділ. Для деяких часток використовують певні назви. Запишіть їх:12 - ……………13 - ……………14 - ……………


Задача 1. Королівський садівник зібрав у саду яблука. Щоб вийти із саду, йому довелося пройти повз чотири пости з вартовими. На кожному посту в садівника відбирали половину яблук. На королівську кухню він приніс лише 10 яблук. Скільки яблук зібрав садівник і скільки дісталося вартовим?


Відновимо порядок описаних у задачі подій з кінця. Після проходження кожного поста кількість яблук зменшувалась у 2 рази. Перед проходженням четвертого поста яблук було 10 ∙ 2 = 20, третього поста - ……………… , другого поста - …………… , першого поста - …………… .

Відповідь: садівник зібрав - …………… ;

вартовим дісталося - …………… .


Задача 2. До господині додому прийшли переночувати 3 солдати. Добра жінка зварила служивим казанок картоплі. Перший солдат прокинувся й з’їв третину картоплі. Другий солдат прокинувся, подумав, що він прокинувся першим, і зїв теж третину картоплі. Прокинувся третій, подумав, що він прокинувся першим, і зїв третину картоплі. В результаті залишилося 8 картоплин. Скільки картоплі наварила господарка?

115


Подамо розв’язання графічно.

¿¿⏞ ¿¿⏞8картоплин

13

⏟ ¿

Вся картопля, що залишилася

1) Розглянемо ситуацію для третього солдата. З рисунка видно, що 8 картоплин – це 2

3 , отже, 4 картоплини – це 13 .

Висновок: третій солдат взяв 4 картоплини з 12.

2) Розглянемо ситуацію для другого солдата, використовуючи результат попереднього кроку.………………………………………………………………

3) Розглянемо ситуацію для першого солдата.………………………………………………………………

Відповідь: ………………..

Задача 3. Яблука розсипали по трьох ящиках. У другому ящику в 7 разів менше яблук, ніж у першому, а в третьому – в 3 рази більше, ніж у другому. Яка частина яблук знаходиться в кожному з ящиків?


І ¿⏟І

¿ І⏟ІІ

¿ І¿⏟ІІІ


Задача 4. Відріз тканини розрізали на дві частини, причому одна частина в 7 разів довша за іншу. Яку частину відрізу становить кожна з частин? Намалюйте схему.

Задача 5. Пасажир,проїхавши половину шляху, ліг спати і спав доти, доки не лишилося проїхати половину того шляху, що він проїхав, коли спав. Яку частину шляху він проспав? Намалюйте схему та дайте відповідь на запитання.

Задача 6. У Михайлика на дні народження було 5 друзів. Першому він відрізав 1

6 частину святкового пирога, другому - 15 залишку, третьому - 1

4

того, що залишилося, четвертому - 13 нового залишку. Останній шматок

116

пирога Михайлик розділив навпіл із п’ятим другом. Хто з’їв найбільший шматок пирога?

Задача 7. Дмитрик відпив 16 чашки чорної кави і долив її молоком. Потім

він випив 13 чашки і знову долив її молоком. Потім Дмитрик випив ще

півчашки і знову долив її молоком. Нарешті він випив повну чашку. Чого Дмитрик випив більше – кави чи молока?

Задача 8. Після того як Дмитрик з’їв половину персиків із банки, рівень компоту понизився на одну третину. На яку частину (від отриманого рівня) знизиться рівень компоту, якщо з’їсти половину персиків, що залишилися?

Задача 9. Михайлик, Віталій, Дмитрик та Андрійко купили разом човен. Михайлик вніс половину тієї суми, яка була внесена рештою, Віталій - третину суми, яка була внесена рештою, Дмитрик – чверть суми, яка була внесена рештою хлопців. Скільки коштує човен і скільки грошей вніс кожен, якщо Андрійко вніс 130 грн?

Задача 10. На літніх канікулах Юрко розв’язував задачі зі збірника головоломок. Половина всіх задач і ще 4 задачі він розв’язав у червні. Третину задач, що залишилися, і ще 8 він розв’язав у липні, 3

4 решти задач і останні 5 він розв’язав у серпні. Скільки всього задач було у збірнику головоломок?

Задача 11. В ящику лежать лимони. Спочатку з нього взяли половину всіх лимонів і пів лимона, потім половину залишку й ще пів лимона, нарешті, половину нового залишку та знову пів лимона. Після цього в ящику залишився 31 лимон. Скільки лимонів було спочатку?

Задача 12. Михайлик, Віталій та Дмитрик зібрали горіхи та лягли спати. Вночі прокинувся Михайлик і з’їв свою порцію (третю частину). Після цього прокинувся Віталій і з’їв третину тих горіхів, що залишилися. Нарешті прокинувся Дмитрик і з’їв третину залишку. Вранці з’ясувалося, що залишилося 16 горіхів. Скільки горіхів було зібрано друзями, скільки з’їв кожен і як справедливо поділити горіхи, що залишилися?

Підказка. Почати розв’язувати задачу з кінця.

Задача 13. Мати для трьох своїх синів уранці залишила тарілку слив, а сама пішла на роботу. Першим прокинувся старший син, побачив на столі сливи, з’їв третю частину їх і пішов. Другим прокинувся середній син, думаючи, що його брати ще не їли слив, він з’їв третю частину слив тих, що були на тарілці. Пізніше всіх прокинувся молодший син, вирішивши, що його брати ще не їли, з’їв лише третю частину тих, що залишалися, після чого в тарілці залишилося 8 слив. Скільки слив було спочатку?

117



1. Пастух привів до корівника 6 корів, що становить половину від третини череди. Скільки всього корів у череді?

2. Що означає поняття «частка»?3. Колись дроби називали ламаними числами. Як ви думаєте, чому?

Розв’яжіть задачі (3 на вибір)

1. На 22 картках записано числа від 1 до 22. Із цих карток склали 11 дробів. Визначте, чи можуть мати цілі значення:

1) усі 11 дробів;2) 10 із цих дробів.

2. На одну чашку терезів поклали круг сиру, а на другу - 34 круга такого

самого сиру та ще двокілограмову гирю, при цьому терези врівноважилися. Яку масу має круг сиру?

3. Кухар пі церії виготовив 6 піц. На скількох відвідувачів вистачить цих піц, якщо кожен із них побажає скуштувати 1

2 піци?

4. На питання: «Котра година?» – один жартівник відповів: «Половина часу, що пройшов після півночі, дорівнює 3

4 часу, що залишився до півдня». Котра була тоді година?

5. Петрик заплатив за книжку половину своїх грошей, а третину решти витратив на покупку зошитів. Скільки всього грошей мав Петрик, якщо в нього залишилося 28 грн?

6. Малюк і Карлсон стягли у фрекен Бок 3 тарілки з ватрушками. Малюк з’їв половину ватрушок з однієї тарілки, 2

3 ватрушок з другої і 14 ватрушок з

третьої, а Карлсон з’їв все, що залишилося. Хто з’їв більше ватрушок? (кількість ватрушок на тарілках була однаковою).


1. Дізнайтеся, що означає німецька приказка «потрапити в дроби».

118

1.... 2

3

4

5

Урок №19. Стародавні задачі, пов’язані з поняттям дробу



Відповіді впишіть у пусті клітинки кросворду і прочитайте закодоване слово.

1. Задача (Єгипет). У пастуха, який вів 10 овець, спитали: «Яку частину овець своєї отари ти ведеш?». Він відповів: «Я веду дві третини половини». Скільки овець мав пастух?

2. Знайдіть х з рівняння: 223 : х - 5

6 = 118 .

3. Як називається 124 доби?

4. Дроби 23 і 3

2 називаються взаємно …

5. Обчислити : 1612 ∙ 1 5

11 - 1312 : 11

3 - 3912 : 4.

119

Графічне завданняВставте пропущені числа.


Задача 1. Стародавня задача (із задачника Леонтія Магницького, ХVІІІ ст.)

Один чоловік на запитання, скільки він має грошей, відповів: «Якщо додати до моїх грошей стільки, та півстільки, та 3

4 і 23

, і відняти від усього 50 рублів, тоді буде 100 рублів». Скільки грошей має цей чоловік?

Учимось розв’язувати задачіЦікаві факти

Факт 1. Великий російський письменник Л.М.Толстой казав, що людину можна оцінювати дробом, знаменник якого становить те хороше, що вона думає про себе сама, а чисельник – те хороше, те хороше, що думають про цю людину інші.

120

35

- 215 + 3

10

- 320

Факт 2.

Історія зберегла мало відомостей із життя стародавнього математика Діофанта. Все, що відомо про нього, взято з напису на його гробниці, складеного у формі математичної задачі:

Рідною мовою Мовою алгебри

Подорожній! Тут поховано прах Діофанта. І розповісти про те, який вік його був дуже довгий, можна лише мовою чисел.

х

Шосту частину його становило прекрасне дитинство.

х/6

Дванадцята частка кінчилась – покрилось пухом його підборіддя.

х/12

Сьому частину життя провів Діофант у бездітному шлюбі.

х/7

Минуло 5 років, і він став батьком щасливим – первісток синок народився у нього.

5

Та синові доля судила прожити лише половину прекрасного і світлого життя на землі порівняно з батьком.

х/2

І в скорботі глибокій старий ще прожив років чотири з тих пір, як сина він втратив.

4

Скажи, скільки років життя досягнувши, смерть сприйняв Діофант?

121


х = х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4;……………………………….……………………………….

х = 84. Задача 2. Розшифруйте деякі записи:

- коли Діофант одружився?- коли став батьком?- у скільки років втратив сина?

Задача 3. Якось Піфагора запитали: «Скільки зараз у тебе учнів?» На що Піфагор сказав: «Половина моїх учнів вивчає прекрасну математику, чверть досліджує таємниці вічної природи, сьома частина мовчки вдосконалює силу духа, зберігаючи вчення в серці. Додай ще до них трьох юнаків, з яких Теон перевершує інших своїми здібностями. Ось скільки учнів веду я до народження істини».


12х + 1

4 х + 17х + 3 = х

Відповідь: 28 учнів.

Задача 4. Перші рівняння люди вміли розв’язувати дуже давно. Єгипетські вчені майже 4 тис. років тому невідоме число в рівнянні називали «хау» (у перекладі – «купа») і позначали спеціальним знаком. У папірусі, що дійшов до нас, є така задача: Купа і її сьома частина становлять 19. Знайдіть купу. Сьогодні ця задача виглядала б так: «Сума невідомого числа і його сьомої частини дорівнює 19. Знайдіть невідоме число.»

Розв’язання:122

х + 17х = 19

…………..

…………..

(Розв’яжіть далі задачу самостійно).

Задача 5. Капітан: «Звертаюся до вас усіх. Допоможіть розв’язати задачу, яку задали пірати. Я спробував сам угадати, скільки ж всього піратів, і сказав їм: «Добрий день, 60 піратів!» Але їхній ватажок Однооке здоровило відповів: «Нас не 60, якби нас було стільки, скільки зараз, і ще раз стільки, і ще півстільки, і чверть стільки, і п’ята частина стільки, та ще й коли б ти був піратом. То скільки ж нас?»»


х + х + х2 + х

4 + х5 + 1 = 60;

20х + 20х + 10х + 5х + 4х + 20 =60 ∙ 20;

59х + 20 = 1200;

59х = 1200 – 20;

59х = 1180;

х = 1180 : 59;

х = 20.

Відповідь: 20 піратів.

Задача 6. Порівняйте дроби 45 і 3

8 не зводячи їх до спільного знаменника.


45 > 3

8 , бо 1 - 45 = 1

5; 15 менше половини, а 1 - 3

8 = 58 - більше половини.

Задача 7. Порівняйте дроби:

125181 і 125125

181181 .


123

125181 = 125125

181181 , оскільки 181181 : 181 = 1001 і 125 ∙ 1001 = 125125.

Задача 8. (Стародавня задача єгиптян). Як розділити 7 хлібів між 8 людьми?

Розв’язання: Для того, щоб один хліб розділити на 8 частин, потрібно зробити … ….розрізів, а для 7 хлібів – …………….. розрізів. Давні єгиптяни не стали розрізати кожний із 7 хлібів на 8 частин. Спробуйте розділити хліб, зробивши якомога менше розрізів. Скільки ви отримали розрізів? Відповідь: …………….


Задача 9. (Стародавня задача). Три брати успадкували від батька 17 верблюдів. Старшому батько заповів половину стада, середньому – третину, а молодшому – дев’яту частину. Брати спробували поділити спадщину й з’ясували, що виконати заповіт батька вони не зможуть. Тоді вони вирішили попросити допомоги в мудреця, що проїжджав повз них на своєму верблюді. Мудрець допоміг братам поділити спадщину. А брати замислилися: чому ж кожен із них одержав більше верблюдів, ніж передбачалося? Чи зможете ви пояснити, що відбулося?

Задача 10. Заповіт римлянина. Один римлянин, помираючи, склав заповіт на користь дружини й дитини, яка мала народитися. Якщо на світ з’явиться хлопчик, то він мав би отримати дві третини спадщини, а мати – одну третину. Якщо ж з’явиться дівчинка, то вона мала б одержати одну третину, а дві третини – мати. На світ з’явилися близнята: хлопчик і дівчинка. Як слід поділити спадщину?

Задача 11. Хто одержав більше яблук – кожний Дмитриковий приятель або кожна Оксанчина подруга, якщо відомо, що:

1) Дмитрик поділив порівну 5 яблук між 6 приятелями;

2) Оксанка поділила 7 яблук порівну між 12 подругами.


Задача 12. Визначте, який із дробів більший:

1) 179180 або 189

190 ;

124

2) 1631 або 9

19 .

Задача 13. Скільки було гусей?

Гуси з вирію летіли

І в зеленім лузі сіли.

Їх побачив Єлисей:

- Добрий день вам, сто гусей!- Нас не сто! – сказав вожак,

Найповажніший гусак.- Скільки ж вас? – хлопчак питає.- Хто кмітливий – відгадає!..

Якщо нас порахувати, Й, скільки є, ще раз додати,А до того половину,Ну, а потім четвертину,Та пристав би ти до нас,То було б вже сто якраз!..Ой, скажіте, любі друзі,Скільки ж їх було у лузі?..



1. Пастух привів до корівника 6 корів, що становить половину від третини череди. Скільки всього корів у череді?

2. На питання: «Котра година?» – один жартівник відповів: «Половина часу, що пройшов після півночі, дорівнює 3

4 часу, що залишився до півдня». Котра була тоді година?


1. Порівняйте дроби: 173181 і 173173

181181 .

2. Порівняйте дроби 1124 і 15

28 не зводячи їх до спільного знаменника.3. Задача іранського математика ХVІ ст. Бега Еддіна. Одна третина

довжини риби застряла в мулі, одна четверта – занурена у воду, а три п’яді були над поверхнею води. Знайдіть довжину риби.

4. Старий купець заповів усі свої гроші розділити порівну між своїми синами. За його заповітом старший син отримує 1000 золотих і 1

8

125

частину залишку, другий син – 2000 золотих і 18 нового залишку.

Третій син – 3000 золотих і 18 частину третього залишку і т. д. Визначте

число синів і кількість грошей за заповітом.


2. Порівняйте дроби: 2399 ; 2323

9999 ; 232323999999 .

3. Назвіть два дроби, які задовольняють нерівність 111 < х < 1

10 .4. Знайдіть стародавні задачі, пов’язані з поняттям дробу та розв’яжіть їх.

Урок №20. Три типи задач на відсотки



1. Знайдіть 1% від 100.2. Знайдіть 50% від 50.3. Знайдіть 25% від 40.4. Знайдіть 110% від 200.5. Знайдіть 150% від 60.6. Знайдіть число, якщо 80% його дорівнюють 45.

126

7. Знайдіть число, якщо 120% його дорівнюють 60.8. Знайдіть число 168% його дорівнюють 1,68.


Заповніть таблицю:

Звичайний дріб

12

110

34

Десятковий дріб

0,25 1,5 2

Відсотки 33 0,5 100


Ідея подання частин цілого в тих самих частках зародилася ще в давнину у вавилонян. Знайдено клинописні таблички із задачами, присвяченими обчисленню відсотків. Однак вавилоняни рахували не «зі ста», а «із шістдесяти». Відсотки були особливо поширені в Стародавньому Римі. Римляни називали відсотками гроші, які платив боржник за кожну позичену сотню. Від римлян відсотки перейшли до інших народів Європи.

Протягом тривалого часу відсотки розуміли винятково як прибуток або збиток на кожні сто рублів. Їх застосовували тільки в торговельних і грошових угодах. Потім сфера їх застосування розширилась. Відсотки почали застосовувати в господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці й техніці. Нині відсоток – це окремий вид десяткових дробів, сота частка цілого (прийнятого за одиницю).

Основні типи задач на відсотки


Тип задачі За формулою За допомогою пропорції

І. Знаходження відсотків від числа

Приклад. Площа поля 32 га. Засіяли 80% поля. Скільки

1) 80% - 0,8; 32 га – 100%

127

гектарів засіяли? 2) 32 ∙ 0,8 = 25,6 га.

Відповідь: 25,6 га.

х га – 80%

32х = 100

80 ; х = 32∙80100 =

25,6.

Відповідь: 25,6 га.

ІІ. Знаходження числа за його відсотками

Приклад. Маса вершків становить 21% маси молока. Скільки потрібно взяти молока, щоб дістати 84 кг вершків?

1) 21% - 0,21;

2) 84 : 0,21 = 400 кг.

Відповідь: 400 кг.

84 кг – 21%

х кг – 100%

84х = 21

100 ; х = 84 ∙10021 =

400.

Відповідь: 400 кг.

ІІІ. Знаходження відсоткового відношення

двох чисел

Приклад. У 200 г розчину міститься 18 г цукру. Скільки відсотків цукру міститься в розчині?

18 : 200 ∙100% = 9%.

Відповідь: 9%.

200 г – 100%

18 г – х%

20018 = 100

х ; х = 18∙100200 =

9.



Задача 1. У картоплі міститься 20% крохмалю. Скільки крохмалю отримають із 70 т картоплі?

Задача 2. Продали 30% усіх помідорів, що становить 8,4 т. Скільки було тонн помідорів спочатку?

Задача 3. У Петра було 50 грн. З них 10% він витратив на морозиво, 45% - на подарунок Василеві, 15% - на книгу про тварин. Скільки коштує: морозиво; подарунок Василеві; книга? Скільки грошей залишилося в Петра?

Задача 4. На полиці стояло 36 книжок, із них 9 були підручники. Який відсоток усіх книжок складають підручники?

128

Задача 5. Поділити число 472 на такі три частини, щоб 50% першої частини дорівнювали 60% другої і 80% третьої частини.

Задача 6. У книжці 160 сторінок. За перший день дівчинка прочитала 7,5% усієї книжки, а за наступний – на 8 сторінок більше, ніж за перший. Скільки відсотків усієї книжки залишилось прочитати дівчинці?



1. Що таке відсоток?2. Як знайти дріб від числа?3. Як знайти число за даним його відсотком?4. Як перевести десятковий дріб у відсотки?5. Як перевести відсотки в десятковий дріб?


1. Кава при смаженні втрачає 12% своєї маси. Скільки свіжої кави треба взяти, щоб отримати 14,08 кг смаженої кави?

2. З чайного листа отримують 4,2% чаю. Скільки треба взяти чайного листа, щоб отримати 46,2 кг чаю?

3. З молока виходить 10% сиру. Скільки молока треба, щоб вийшло 50 кг сиру?

4. Василь прочитав книгу з 600 сторінок за 4 дні. За перший день він прочитав 0,2 книги, за другий – 110% того, що прочитав за перший, за третій – 150% того, що за другий день. Скільки сторінок прочитав Василь за кожний день? Скільки відсотків всієї книги прочитав Василь за четвертий день?

5. У листопаді було 12 сонячних днів. Який відсоток усіх днів листопада складають сонячні дні?


1. Складіть задачі відповідно до 3 типів і розв’яжіть їх різними способами.

Урок №21. Задачі на відсотки, пов’язані зі збільшенням (зменшенням) числа на кілька відсотків


Увага: запитання!129

1. Знайдіть наступне число: 2; 6; 12; 20; 30; …2. Яке число є зайвим: 256; 49; 900; 169; 386; 529; 400?3. Знайдіть невідомий дріб: Київський політехнічний інститут КПІ; 385

561 ?

4. Розв’яжіть анаграми і визначте, яка з порід собак є вівчаркою: СОМП, ШІПЦ, КІЛЛО, ДОЛЬБУГ.

5. Знайдіть невідому букву:

142 Е

2011 Г

333 ?

6. Знайдіть невідоме число:

72 89

81

54 37

?

7. Нарисуйте фігуру:

100 %

12,5 % ?

Обговорюємо задачі

Задача 1. Знайдіть відношення 7,2 до 3,6 у відсотках.


7,23,6 ∙ 100% = 7,2∙100 %

3,6 = 200%.


Задача 2. Скільки відсотків становить число 2 від числа 5?


(2 : 5) ∙ 100% = 25 ∙ 100% = 40%.


130

Задача 3. У минулому році урожайність була 40 ц пшениці з 1 га, а в цьому році – 42 ц з 1 га. На скільки відсотків зросла урожайність зернових порівняно з минулим роком?


1) 42 – 40 = 2 (ц) – більше зібрали в цьому році з 1 га.2) 1 ц - 1

40 урожаю, тоді 2 ц - 240 .

3) 240 ∙ 100% = 5% - становить 2 ц від 40 ц.

Відповідь: урожайність зросла на 5%.

Робимо висновок:

Щоб дізнатися, на скільки відсотків збільшилась або зменшилась одна величина, треба знайти:

1) на скільки одиниць збільшилась або зменшилась дана величина;2) скільки відсотків становить одержана різниця від початкового

значення величини.


Задача 4. Робітник за зміну виготовив 72 деталі, а його учень – 54. На скільки відсотків менше виготовив учень, ніж робітник?


І спосіб ІІ спосіб

1) 72 – 54 = 18 (д);2) 18

72 ∙ 100% = 25%.

Можна записати так:

72 д – 100%;

18 д – х%.

7218 = 100

х ; х = 18∙10072 = 25%.

1) 72 д – 100%;54 д – х%.7254 = 100

х ;

х=54 ∙10072 = 75%. Маємо: 54

деталі становлять75% від 72 деталей.

2) 100% - 75% = 25%, на 25% менше зробив учень.

Відповідь: на 25%.

Задача 5. Учень стрибнув у довжину на 2,4 м, а стрибок другого був на 15% довший. Яка довжина стрибка другого учня?

131



І – 2,4 м – 100%

ІІ – х м – 100% + 15% = 115%

Складаємо пропорцію:

2,4х = 100

115 ; х = 2,4 ∙115100 = 2,76 (м).

Стрибок другого учня становить 100% + 15% = 115% від стрибка першого. Знаходимо 1,15 від числа 2,4: 2,4 ∙ 1,15 = 2,76 (м).

Відповідь: 2,76 м.

Задача 6. Ціна стола була 400 грн, потім вона зменшилась на 10%. Якою стала ціна стола?



Було

Стало

400 грн. – 100%

х грн. – 90%

400х = 100

90 ; х = 90 ∙ 400100

= 360 (грн.).

Ціна стола стала 100% - 10% = 90% = 0,9 від старої ціни. Знаходимо нову ціну як 0,9 від 400 грн.: 400 ∙ 0,9 = 360 (грн.)

Відповідь: 360 грн.

Задача 7. Заробітна плата робітника збільшилась на 20%. Якою стала заробітна плата, якщо вона була 700 гривень?



Було

Стало

700 грн. – 100%

х грн. – 120%

700х = 100

120 ; х = 700 ∙120100 =

840 (грн.).

100% + 20% = 120% = 1,2 становить нова сума від попередньої, що складає 700 ∙ 1,2 = 840 (грн.)

132

Відповідь: 840 грн.

Слід пам’ятати, що не можна складати відсотки від різних величин.

Задача 8. Ціна товару 150 грн. Знайдіть ціну товару після двох послідовних знижок, якщо перша становила 10%, а друга – 5%.


Після першої знижки ціна товару стала 100% - 10% = 90% = 0,9 від старої ціни і дорівнює 150 ∙ 0,9 = 135 (грн.).

Після другої знижки 100% - 5% = 95% = 0,95 від нової ціни, тобто 135 грн.

Остаточна ціна 135 ∙ 0,95 = 128,25 (грн.).

Відповідь: 128,25 грн.

Задача 9. Ціну на товар, який коштував 440 грн., зменшили на 20%. На скільки відсотків треба збільшити нову ціну, щоб одержати початкову?


1) Нова ціна товару стала 100% - 20% = 80% = 0,8 від попередньої, тобто 400 ∙ 0,8 = 320 (грн.);

2) 320 грн. – 100% або 320 грн. – 100%400 грн. – х% (400 - 320) грн. – х%320400 = 100

х ; 32080 = 100

х ;45 = 100

х ; 41 = 100

х ;

х = 5∙1004 = 125%; х = 100

4 = 25%;125% - 100% = 25%.

Відповідь: на 25%.

Задача 10. Ринкова ціна картоплі зросла на 20%, а потім знизилася на 20%. Як змінилася ціна картоплі порівняно з початковою?


Якщо ринкова ціна картоплі зросла на 20%, то вона склала: 100% + 20% = 120% = 1,2 від початкової ціни. 20% від …………… становлять:1,2 ∙ 0,2 = 0,24 = 24%. Після зниження вартості товар почав коштувати 1,2 – 0,24 = 0,96. Отже, нова ціна дорівнює 96% старої ціни. ……………………………………..

Відповідь: зменшилася на 4%.

Розв’яжемо самостійно133

1. Число збільшили на 25%. На скільки відсотків необхідно зменшити одержане число, щоб знову дістати задане?

2. Яку ціну ти мав би заплатити за товар, якщо після 20% підвищення ціни він став коштувати 240 грн.?

3. Скільки треба заплатити за покупку телевізора, якщо початкову ціну 2340 грн. спочатку знизили на 20%, а потім знову знизили на 15%?

4. У магазині на новорічні свята 25% знижки. Скільки можна зекономити, якщо за старими цінами покупка коштувала 128,45грн.



1. Знайдіть 10% від числа: 100; 120; 5000; 8.2. Знайдіть число, 50% якого дорівнюють 8; 10; 2000; 1.3. Скільки відсотків становлять: 20 від 100; 15 від 4500; 100 км від 800

км?


1. Спочатку музичний диск коштував 25 грн. Через деякий час він став коштувати 30 грн. На скільки відсотків збільшилася ціна диска?

2. Спочатку енциклопедія коштувала 32 грн. Через деякий час вона стала коштувати 24 грн. На скільки відсотків знизилася ціна енциклопедії?

3. Магазин «Скажені знижки» зменшив ціну товарів на 50%, потім на 30% і нарешті на 20%. Сергійкова бабуся вважає, що тепер магазин роздає товари безкоштовно. Допоможіть Сергійку переконати бабусю у зворотному. Скільки відсотків від первинної вартості становить остаточна ціна товарів?

4. Ціни знижені на 20%. На скільки відсотків більше можна купити товарів на одну й ту ж зарплату?


Складіть кросворд на тему: «Відсотки».

134

Урок №22. Задачі економічного змісту



1. Частка двох чисел:а) відсотки;б) пропорція;в) відношення;г) різниця.

2. 50% від 40:

а) 40;

б) 20;

в) 30;

г) 10.

3. Добуток крайніх членів … дорівнює добутку середніх:

а) основна властивість дробу;

б) основна властивість пропорції;

в) переставна властивість множення;

г) сполучна властивість додавання.

4. Чисельник і знаменник дробу можна домножити на одне і те ж число:

а) основна властивість дробу;

б) основна властивість пропорції;

в) переставна властивість множення;

г) сполучна властивість додавання.

5. 2/3 від 30:

а) 10;

б) 15;

в) 20;

135

г) 25.

6. Число, 3/4 якого становить 18:

а) 24;

б) 30;

в) 20;

г) 25.

7. Сота частина числа:

а) відсоток;

б) проміле;

в) секунда;

г) масштаб.

8. (13

х+4) ∙ 5 = 25

а) 2;

б) 5;

в) 10;

г) 3.

9. Значення виразу: 212 ∙ 12

3 + 212 ∙ 1

3

а) 2;

б) 5;

в) 10;

г) 3.

10. Число обернене до 0,4:

а) 4;

б) 14 ;

в) 25;

136

г) 52 .

Ключ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

а к п р е с а т р о р

б а а т п е о у н к і

в м к а у м к п о р в

г ф ю п с в п о и і а


Задача 1. Сім’я з трьох осіб, площа квартири 49,5 м2. Надаються пільги на зменшення оплати за газ, тепло і воду на 25%.

Газ (без лічильника)

Кількість людей

Вартість на одну особу

Загальна вартість

Пільги 25% До оплати

3 10,14 грн. 30,32 грн. 7,51 грн. 22,81 грн.

Вода (гаряча)

Покази лічильника

Покази лічильник

а

Різниця показів

Вартість 1 м3

Загальна

вартість

Пільги 25%

До оплати

0385 0391 6 14,85 грн.

89,10 грн.

22,27 грн.

66,82 грн.

Вода (холодна)



Різниця показів

Вартість

1 м3


Пільги 25%

До оплати

0656 0665 9 4,20 грн.

37,8 грн.

9,45 грн.

28,35 грн.

Тепло Загальна площа

Вартість 1 м2


Пільги 25% До оплати

49,5 м2 4,75 грн. 235,12 грн. 58,78 грн. 176,34 грн.

137

Комунальні послуги

Кількість людей

Вартість на одного

чоловіка


Пільги До оплати

3 26,40 грн. 30,32 грн. - 79,20 грн.

Середньомісячна зарплата батьків становить 2564,80 грн. Субсидії надаються, якщо оплата за квартиру перевищує 20% середньомісячної зарплати сім’ї. Чи будуть надані субсидії, якщо квартплата становить 373,52 грн.?


Задача 2. Вкладник поклав в ощадбанк 1000 грн. під 5% річних. Скільки грошей буде на рахунку через 1 рік, 2 роки?


Через рік банк нарахує вкладнику 5% від 1000: 1000 ∙ 0,05 = 50 грн і в нього на рахунку буде 1000 + 50 = 1050 (грн.).

Через два роки банк знову нарахує вкладнику 5% від нової суми 1050 грн., тобто 1050 ∙ 0,05 = 52,50 грн., і в нього стане 1050 + 52,5 = 1102,5 (грн.)

На рахунку у вкладника через рік буде 1000(1 + 0,05), через два роки – 1000(1 + 0,05) ∙ (1 + 0,05) = 1000 ∙ (1 + 0,05)2 = 1102,5 (грн.).

Відповідь: 1050 грн.; 1102,5 грн.

Аn = А0(1 + Р100)n – формула складних відсотків, де А0 – початковий

внесок в банк, Р – відсоток банківської ставки, n – скільки років гроші лежали в банку.

Задача 3. Вкладник поклав у банк 5000 грн. під 7% річних. Скільки грошей буде на рахунку через 3 роки?


А0 = 5000грн., Р = 7, n = 3. А3 = 5000(1 + 7100)3 = 5000 ∙ (1,07)3 = 6125,215 ≈

6125,22 (грн.)

Відповідь: 6125,22 грн.


Задача 4. За деякий обсяг роботи Івану Степановичу нарахували 2395 грн. Із них 13% прибутковий податок, 2% - відрахування у пенсійний фонд,

138

1% - відрахування у фонд зайнятості, 1% - профспілковий внесок. Скільки грошей одержить Іван Степанович після всіх відрахувань?

Задача 5. Поклавши до банку 1100 грн., через рік клієнт отримав відсоток, що становив 88 грн. Скільки відсотків річних сплачує цей банк?

Задача 6. Вкладник поклав у банк 8000 грн. на 3 роки під 5% річних за умови щорічного отримання нарахованих процентів. Скільки гривень прибутку отримав вкладник за три роки?

Задача 7. Вкладник вніс до банку 2000 грн. під 18% річних. Скільки відсоткових грошей він отримає через 5 років?

Задача 8. У яку суму перетворяться 8000 грн. через 3 роки, якщо банк виплачує 19% річних?

Задача 9. Сім’я на придбання пральної машини взяла в банку позику 5000 грн. терміном на 2 роки під 36% річних. Який прибуток отримає банк через 2 роки?



1. Що таке банк?2. Що таке кредит?3. Формула складних відсотків.4. Що таке депозит?5. Що таке іпотека?6. Яку роль відіграють банки в економіці та розвитку держави?7. Що таке прибуток банку і як він формується?8. У який банк ви б поклали свої гроші: туди, де нараховують 15% річних,

чи туди, де нараховують 18% річних?


1. Іван Степанович сплачує медичну страховку в розмірі 120 грн, що становить 15% його заробітної плати. Яка заробітна плата в Івана Степановича?

2. Вкладник поклав у банк 5000 грн. на 3 роки під 6% річних за умови щорічного отримання нарахованих процентів. Скільки гривень прибутку отримав вкладник за три роки?

3. Вкладник вніс до банку 800 грн. під 25% річних. Скільки відсоткових грошей він отримає через 3 роки?


139

1. Говорять, що гетьман Полуботок у 1723 році поклав до англійського банку великий капітал з України під 4% річних. У скільки разів збільшився б тоді капітал до 2015 року?

2. Вкладник поклав у банк 6000 грн. під 8% річних. Яку суму він матиме на рахунку через рік; через 2 роки, якщо банк нараховує відсотки на відсотки?

140

Урок №23. Розв’язування задач за допомогою пропорцій



1. Прочитайте пропорцію і зазначте її крайні і середні члени: 3 : 2 = 12 : 8.2. Складіть, якщо можна, пропорції із чисел: 3, 5; 18; 30.3. Виходячи з правильної рівності, складіть по 4 пропорції: 6 ∙ 30 = 5 ∙ 36.4. Переставте середні і крайні члени пропорції і складіть три нові правильні

пропорції: 5 : 15 = 4 : 12.5. До чисел 2 і 7 знайдіть обернені числа і складіть пропорцію.6. Знайдіть відношення х

у , якщо відомо, що: ух = 4

9 .Обговорюємо задачі

Задача 1. Чи залишиться пропорція правильною, якщо:

1) обидва члени першого відношення пропорції помножити на 3;2) один із крайніх членів пропорції поділити на 4;3) обидва члени другого відношення пропорції поділити на 4;4) обидва члени першого відношення пропорції поділити на 5;5) обидва середні члени пропорції помножити на 6;6) обидва крайні члени пропорції поділити на 7;7) один із крайніх членів і один із середніх членів пропорції помножити

на 8.

Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називаються прямо пропорційними.

Дві змінні величини прямо пропорційні, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї величини у декілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друга величина.

Задача 2. Визначте, чи є залежність між даними величинами прямою пропорційністю:

1) шляхом, який пролетить літак із сталою швидкістю і часом польоту;2) вартістю товару і його кількістю;3) масою речовини і об’ємом;4) віком людини і розміром її взуття;

141

5) стороною квадрата і його площею;6) ребром куба і його об’ємом.


Задача 3. Сталева кулька об’ємом 6 см3 має масу 46, 8 г. Якою буде маса кульки з тієї самої сталі, якщо її об’єм 2,5 см3?


Об’єм Маса

І кулька 6 см3 46, 8 г

ІІ кулька 2,5 см3 х г

Залежність між об’ємом і масою кулі прямо пропорційна.

Складаємо пропорцію: 62,5 = 46 , 8

х ; х = 2,5∙46,86 = 19,5 (г).

Відповідь: 19,5 г.

Задача 4. Зі 100 кг насіння льону виходить 37 кг олії. Скільки кілограмів олії вийде із 250 кг такого насіння?

Маса насіння Маса олії

І 100 кг 37 кг

ІІ 250 кг х кг

Складаємо пропорцію: 100250 = 37

х ; 25 = 37

х ; х = 5∙ 372 = 31, 25 (кг).

Відповідь: 31,25 кг.

Задача 5. Із 20 кг води озера Сиваш можна добути 0,5 кг солі. Скільки потрібно взяти води, щоб добути 1 т солі?


142

Маса насіння Маса олії

І 20 кг 0,5 кг

ІІ х кг 1000 кг

Складаємо пропорцію: 20х = 0,5

1000 ; х = 20∙ 10000,5 = 40000 (кг) = 40 (т) – води.

Відповідь: 40 т.

Задача 6. Довжина автомобільної траси 150 км. Яка довжина цієї траси на карті масштабом 1 : 500000?


Записувати відношення іменованих величин потрібно в однакових одиницях вимірювання: 500000 см = 5 км.

На карті На місцевості

1 см 5 км

х см 150 км

Складаємо пропорцію: 1х = 5

150 ; х = 150∙ 15 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

Задача 7. Розчин цементу складається з цементу, піску і води, які взято у співвідношенні 1 : 4 : 2. Скільки треба взяти цементу, піску і води, щоб одержати 14 кг розчину?


Нехай цементу взяли х кг, тоді піску 4х кг, а води 2х кг. Оскільки всього одержали 14 кг розчину, то складемо рівняння:


х + 4х + 2х = 14; х + 4х + 2х = 14;

(1 + 4 + 2)х = 14; 7х = 14;

х = 141+4+2; х = 14 : 7;

143

х = 2 х = 2.

1) 2 ∙ 1 = 2 (кг) – цементу;

2) 2 ∙ 4 = 8 (кг) – піску;

3) 2 ∙ 2 = 4 (кг) – води.

Маємо: цементу треба взяти 2 кг, піску 4х = 14 ∙ 41+4+2 = 8 (кг), води 2х =

14 ∙ 21+4+2 = 4 (кг).

Відповідь: 2 кг; 8 кг; 4 кг.

Дві величини називають обернено пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів друга величина у стільки ж разів зменшується (збільшується).Якщо величини обернено пропорційні, то відношення значень однієї величини дорівнює оберненому відношенню відповідних значень другої величини.Якщо дві змінні величини обернено пропорційні, то добуток відповідних значень цих величин є величина стала.Дві змінні величини, добуток відповідних значень яких є величина стала, є обернено пропорційними.

Задача 8. Два прямокутники мають однакову площу. Довжина першого прямокутника дорівнює 3,6 м, а ширина – 2,4 м. Довжина другого прямокутника 4,8 м. Знайдіть ширину другого прямокутника.


Довжина Ширина

І прямокутник 3,6 м 2,4 м

ІІ прямокутник 4,8 м х м

Складаємо пропорцію: 3,64,8 = х

2,4 ; х = 3,6 ∙2,44,8 = 1,8 (м).

Відповідь: 1,8 м.

Задача 9. Для перевезення вантажу потрібно 24 машини вантажопідйомністю 7,5 т. Скільки потрібно буде машин вантажопідйомністю 4,5 т для перевезення цього ж вантажу?

Вантажопідйомність Кількість машин

144

І 7,5 т 24

ІІ 4,5 т х

Складаємо пропорцію: 7,54,5 = х

24 ; х = 7,5∙ 244,5 = 75∙ 24

45 = 40 (м).

Відповідь: 40 машин.


Задача 10. Із 20 кг яблук отримують 16 кг яблучного пюре. Скільки кілограмів яблучного пюре одержують з 45 яблук?

Задача 11. Для виготовлення 12 деталей треба 20 кг металу. Скільки металу треба для виготовлення 18 таких деталей?

Задача 12. Відстань між двома містами на карті дорівнює 8 см. Якою є відстань між цими містами на місцевості, якщо масштаб карти – 1 : 100000?

Задача 13. Сторони трикутника АВС відносяться як 5 : 7 : 9, а різниця більшої і меншої сторін дорівнює 20 см. Знайдіть периметр трикутника.

Задача 14. Деяку роботу 12 робітників можуть виконати за 4 год. За скільки годин двоє робітників виконають цю роботу?

Задача 15. Сплав масою 117 кг складається з міді та цинку, маси яких відносяться як 4 : 5. Якого металу в сплаві більше і на скільки кілограмів?



1. Дайте означення відношення.2. Дайте означення пропорції.3. Означення крайніх і середніх членів пропорції.4. Сформулюйте основну властивість пропорції.5. Алгоритм знаходження невідомого члена пропорції.6. Що означає: одна величина залежить від іншої?

Розв’яжіть задачі: «Дроби на кухні»

1. Щоб зварити кашу, треба взяти2/3 від усього об’єму води і 300 г крупи. Яку кількість води потрібно для каші?

145

2. Щоб спекти пиріг, треба взяти борошно, масло і яйця у відношенні 5 : 2 : 3. Скільки кожного інгредієнту треба взяти, якщо тісто заважило 1,21 кг?


1. Дано х : у = 1 : 2 і у : р = 3 : 5. Знайдіть числа х, у і р, якщо їх сума дорівнює 38.

2. Відношення одного числа до другого становить 2 : 1. На скільки треба поділити перше число, щоб відношення дорівнювало 5 : 1?

Урок №24. Концентрація. Задачі на розчини, суміші і сплави (заняття 1)



1.Відсоток – це…

2. Запишіть 1% у вигляді звичайного дробу.

3. Запишіть 1% у вигляді десяткового дробу.





8. Знайдіть 25% від 400; 5% від 200.

9. Знайдіть число, 20% якого дорівнює 100.

10. Скільки відсотків становить число 8 від 32?

Відсотки були відомі індійцям ще в V столітті. Це закономірно, бо в Індії з давніх – давен рахунок вівся в десятковій системі числення. В Європі десяткові дроби з’явилися на 1000 років пізніше, їх ввів бельгійський вчений С. Стевін. В 1584 році він вперше опублікував таблицю відсотків.

146

Концентрацією речовини в розчині наз відношення маси цієї речовини до маси всього розчину. Концентрацію часто подають у відсотках.

Для сплавів аналогічним поняттям є поняття вмісту.Для розв’язування задач на розчини й сплави широко

застосовують пропорції й правила обчислень із відсотками.

Є три основні типи задач на відсоткові розрахунки:

Знаходження Формула

1 p відсотків від числа а а • 0,01р

2 Числа за його відсотками b : (0,01p)

3 Відсоткового відношення двох чисел

(a : b) • 100%

Концентрація, міцність У хімії відсоткова концентрація називається ваговими відсотками. Якщо йдеться про об’ємні відсотки (відношення об’єму розчиненої речовини до об’єму розчину), то вживають термін міцність. Наприклад, якщо на 10 л спирту припадає 4 л чистого безводного спирту, то кажуть, що міцність цього спирту 40◦ (пам’ятаємо, що літр – одиниця об’єму ). А якщо на 10 кг спирту припадає 4 кг чистого безводного спирту, то кажуть, що відсоткова (вагова) концентрація цього спирту 40%. Поняття концентрації широко використовується в задачах на змішування.


147

Задача1. Скільки грамів солі міститься в 120 г 20% - го розчину?


Знайти 20% від числа 120:

20% = 0,2;

120 ∙ 0,2 = 24 г.

Відповідь: 24 г.

Задача 2. Знайдіть масу 30% - го розчину солі, якщо чистої солі в ньому 36 г.


Знайти число, якщо 30% від нього становить 36.

30% = 0,3;

36 : 0,3 = 120 г.

Відповідь: 120 г.

Задача 3. У 120 г розчину солі міститься 48 г солі. Чому дорівнює відсотковий вміст солі?


48120 ∙ 100% = 40%.


Задача 4. Скільки грамів 10% - го і 15% - го розчинів солі необхідно взяти, щоб одержати 40 г 12% - го розчину?


Нехай для утворення суміші необхідно взяти х г 10% - го розчину. Систематизуємо дані задачі у вигляді таблиці:

Вид розчину Маса розчину, г Маса солі, г10% - й х 0,1х15% - й 40 - х 0,15(40 - х)12% - й 40 0,12 ∙ 40

148

За умовою задачі складаємо рівняння:

0,1х + 0,15(40 - х) = 0,12 ∙ 40;

0,1х + 6 – 0,15х = 4,8;

- 0, 05х = - 1,2;

0, 05х = 1,2;

х = 24.

Отже, треба взяти 24 г 10% - го розчину і 40 – 24 = 16 г 15% - го розчину.

Відповідь: 24 г і 16 г.

Задача 5. До 8 – ми кг 70% розчину кислоти долили 2 кг води. Визначте відсоткову концентрацію нового розчину.


1) 8 кг розчину – 100%,

х кг кислоти – 70%.

х = 8 ∙70100 = 5,6 (кг) – кислоти в розчині.

2) 8 – 5,6 = 2,4 (кг) – води в розчині.3) Занесемо дані в таблицю:

Речовина Маса розчину, кг

Маса води, кг Маса кислоти, кг

Було 8 2,4 5,6Долили 2 2 -Стало 10 4,4 5,6

10 кг розчину – 100%,

5,6 кг кислоти – х%.

х = 5,6∙10010 = 56 (%)


149

Цікаво знати

Вміст різних металів і домішок у сплавах також виражається у відсотках. Якщо, наприклад, кажуть, що чавун містить 3% кремнію і 1 % марганцю, то це означає, що на 100 кг всього сплаву припадає 3 кг кремнію і 1 кг марганцю. Наприклад, якщо в 1 кг сплаву є 875 г чистого золота, то його називають золотом 875 – ї проби.

Вміст дорогоцінних металів у сплавах виражається пробою. Проба – це кількість грамів чистого золота (срібла, платини тощо) в 1 кг сплаву.

В Україні законодавством встановлено такі проби:

Для золота – 375, 500, 583, 750, 958; Для срібла – 800, 875, 916.

Проміле – це одна тисячна частина (1‰ = 0,001)

Цікаві факти Залежно від домішок золото може набувати незвичайних відтінків. Рожеве золото – це сплав чистого золота і міді; використовується для виготовлення ювелірних прикрас. Зелене (оливкове) золото – можна одержати, сплавивши золото з калієм.

Такі поєднання ще називають металідами. Узагалі металіди – це поєднання золота з алюмінієм (фіолетове золото),Рубідієм (темно - зелене),Калієм (фіолетове й оливкове),Індієм (блакитне золото).Такі сплави дуже гарні й екзотичні, але при цьому крихкі й непластичні. Як дорогоцінний метал їх обробляти не можна.

Задача 6. Латунь – сплав 60% міді і 40% цинку. Скільки міді та цинку треба взяти, щоб дістати 500т латуні?


1) 500 • 0,6 = 300(кг) – міді;

2) 500 • 0,4 = 200(кг) – цинку.150

Відповідь: 300 кг і 200 кг.


Задача 7. Відомо, що 200 г одного розчину містить 160 г солі, а 160 г другого розчину – 120 г солі. У якому розчині відсотковий вміст солі більший і на скільки?

Задача 8. Розчин масою 120 г містить 8 г цукру. На скільки зміниться відсотковий вміст цукру в розчині, якщо в нього покласти ще 4 г цукру?



1. Що таке концентрація?2. Що таке проба?3. Що таке міцність?4. Що таке проміле?5. Як знайти відсоткове відношення двох чисел?6. Як знайти відсоток від числа?7. Як знайти число за його відсотком?

Розв’яжіть задачі:1. Скільки треба долити води до 0,5 л 9% оцту, щоб одержати 6%

оцет?2. 50 кг сплаву міді з оловом містить 15 кг міді. Скільки відсотків

становить мідь від олова в цьому сплаві?3. Знайдіть відсоток вмісту солі в розчині, якщо 200 г розчину містить

36 г солі?


1. Підприємець цікавиться: скільки золота 375 проби треба сплавити із 20 г 750 проби, щоб одержати сплав 500 проби?

2. Де застосовується проміле?

151

Урок №25. Концентрація. Задачі на розчини, суміші і сплави (заняття 2)



1. Скільки відсотків становить число 3 від числа 6?2. Скільки відсотків становить число 2 від числа 20?3. На скільки відсотків число 4 менше від числа 10?4. На скільки відсотків число 15 більше за число 12?5. У класі навчаються 15 хлопчиків і 12 дівчат. Скільки відсотків

становлять хлопчики від усіх учнів класу?


Підкресліть типи задач на відсоткові розрахунки, які необхідні для уроку:

152

Цікаво знати

№

п/п

Сплав = Склад + Склад Домішки

1 Бронза = Мідь,

80 – 90%

+ Олово,

10 – 20%

153

ВідсоткиЗнаходження відсотка від числаЗнаходження числа за його відсоткомВідсоткове відношенняКонцентраціяБанківська ставкаФормула складних відсотківНарощений капітал

2 Сталь = Залізо,

98%

+ Вуглець,

1,5%

Хром

кокс нікель

сірка

154

Кремній

3 Чавун = Залізо

93%

+ Вуглець

4,5%

Марганець

Хром

Нікель

Марганець

4 Дюраль = Алюміній

95%

+ Мідь

3 – 5%

Магній

155

5 Латунь = Мідь + Цинк

Монета 20 тенге, Туркменістан

156

6 Мельхіор = Нікель,

30%

+ Мідь,

5%

Канада

157


Задача 1. Сталь двох видів містить відповідно 5% і 40% нікелю. Скільки кілограмів сталі кожного виду необхідно взяти, щоб після переплавлення отримати 140 т сталі, що містить 30% нікелю?


Нехай необхідно взяти х т сталі, що містить 5% нікелю. Систематизуємо дані задачі у вигляді таблиці:

Відсотковий вміст нікелю

Маса сталі, кг Маса нікелю, кг

Сталь першого виду

5% х 0,05х

Сталь другого виду

40% 140 - х 0,4(140 - х)

Сплав 30% 140 0,3 ∙ 140

Складаємо рівняння:

0,05х + 0,4(140 - х) = 0,3 ∙ 140;

158

0,35х = 14;

х = 40.

Отже, необхідно взяти 40 т сталі першого виду і 140 – 40 = 100 т сталі другого виду.

Відповідь: 40 т і 100 т.

Задача 2. Сплав міді з оловом містить 45% міді і має масу 12 кг. Скільки олова необхідно добавити до цього сплаву, щоб отримати новий сплав, який містить 40% міді?


Нехай до сплаву необхідно додати х кг олова. Складаємо таблицю:

Початковий сплав Новий сплав

Відсотковий вміст

Маса, кг Відсотковий вміст

Маса, кг

Усього 100% 12 100% 12 + х

Мідь 45% 0,45 ∙ 12 = 5,4 40% 5,4

Або

0,4(12 + х)

Олово 55% 0,55 ∙ 12 = 6,6 60% 6,6 + х

або

0,6(12 + х)

Для того, щоб скласти рівняння, необхідно прирівняти масу міді або масу олова в новому сплаві:

5,4 = 0,4(12 + х);

0,4х = 0,6;

х = 1,5

або

6,6 + х = 0,6(12 + х);

0,4х = 0,6;

х = 1,5.

159

Відповідь: 1, 5 кг.

Задача 4. Скільки води треба долити до 100 г сухого молока із 7% вмістом води, щоб отримати молоко із 60% вмістом води?


Нехай треба долити х л води. За умовою задачі складаємо таблицю:

Було Стало

Відсотковий вміст

Маса, г Відсотковий вміст

Маса, г

Вода 7% 0,07 ∙ 100 = 7 60% 7 + х

або

0,6(100 + х)

Молоко 93% 0,93 ∙ 100 = 93 40% 93 + х

або

0,4(100 + х)

Складаємо рівняння:

7 + х = 0,6(100 + х);

0,4х = 53;

х = 132,5

або

93 + х = 0,4(100 + х);

0,4х = 53;

х = 132,5.

Відповідь: 132,5 г.


Задача 5. Розчин масою 150 г містить 6 г солі. На скільки зміниться відсотковий вміст солі в розчині, якщо в нього долити 30 г води?

Задача 6. Деякий розчин масою 200 г містить 5% солі. Скільки води треба випарувати з цього розчину, щоб відсотковий вміст солі становив 10%?

160

Задача 7. До 124 г 40% розчину солі долили 36 г води. На скільки відсотків змінився відсотковий вміст солі?

Задача 8. Скільки треба взяти солі, щоб приготувати 12% розчин, у якому 396 г води?



1. Що таке концентрація?2. Що таке проба?3. Що таке міцність?4. Що таке проміле?5. Які ви знаєте типи задач на відсотки?6. Як знайти відсоток від числа?7. Як знайти число за його відсотком?8. Як знайти відсоткове відношення чисел?


1. Скільки грамів води треба додати до 40 г 25% розчину сірчаної кислоти, щоб одержати 10% розчин?

2. У 20% розчин солі додали 200 г солі і одержали 25% розчин. Знайдіть масу початкового розчину.


Складіть і розв’яжіть задачі за трьома типами задач на відсотки.

Урок №26. Поняття модуля числа. Геометрична інтерпретація модуля. Властивості модуля (заняття 1)





1. Яке це число?161

8

2.Чому дорівнює його модуль?3. Йому протилежне?4. Йому обернене?5. Де розташоване на координатній прямій?6. Відстань від початку відліку?7. Відстань між ним і початком відліку?8. Відстань між ним і йому протилежним?9. Число, що має менший модуль?10. Розв’язком якого рівняння може бути?1) │х│= 0;2) │х│= 3;3) │х - 8│= 0;4) – (- х) = 8.

Властивості модуля числа

│а│= { а ,якщо а>0 ;0 , якщо а=0 ;−а , якщоа<0.

Обговоримо задачу

Задача 1. Білка вилізла з дупла та бігає по стовбуру дерева вгору та вниз. Покажіть, де буде білка, якщо вона віддалиться від дупла на 2. Скільки відповідей можна дати на це запитання?

Покажіть на рисунку, де зупиниться білка, якщо вона знаходитиметься:

1) вище дупла на 3 м;2) нижче дупла на 2 м;3) нижче дупла на 1,5 м;4) вище дупла на 1 м.

Задача 2. Гроші, які вносять до банку, касир записує зі знаком «+», а які беруть з банку – зі знаком «-». Як змінилась сума грошей у касі після того, як

162

касир обслужив 5 вкладників? Зобразіть на координатній прямій усі проміжні результати і дайте відповідь на поставлене запитання.

Вкладник Грошова операція

1 +300

2 -250

3 -200

4 +700

5 -400


Історія виникнення від’ємних чисел починається в VII столітті в Китаї та Індії. Тільки тоді вони називалися не від’ємними числами, а були «боргами» або «недостачею». Математик з Індії вже в той час розглядав їх нарівні з додатними. Але в цьому він був самотній. Розуміння того, що від’ємні числа потрібні і корисні, приходило поступово. Історія чисел і систем числення загалом доволі цікава.

В Європі про від’ємні числа першим написав Леонард Пізанський у своїй «Книзі абака» 1202 року. Спочатку вони також трактувалися як борг. Але навіть незважаючи на це, в ХVІІ ст. знаменитий вчений Паскаль вважав, що якщо від нуля відняти якесь додатне число, то в результаті вийде нуль.

Історія виникнення від’ємних чисел набула свого розвитку з появою аналітичної геометрії. Тепер вони на рівні з додатними були позначені на геометричній осі.

163

1831 року Гаусс детально обґрунтував, що від’ємні числа абсолютно рівнозначні з додатними, а те, що їх можна застосовувати не у всіх випадках, значення не має.

Історія виникнення від’ємних чисел закінчується в ХІХ столітті, коли Вільям Гамільтон і Герман Грассман створили повну теорію від’ємних чисел. З цього моменту починається історія розвитку цього математичного поняття.


Задача 3. По координатній прямій з точки О в протилежних напрямках поповзли дві мурашки. Одна з них опинилась через деякий час у точці А (4), а друга – у точці В (-3). Яку відстань проповзла кожна мурашка?

Задача 4. |х|=3

164

О АВ Х

0 4-3

Х


[ х=3 ;х=−3.

Задача 5. |х|=0

Х


х=0

Задача 6. |х|= - 3


Коренів немає.

Задача 7. |х|<2


Х

Відповідь: -2<х<2


Задача 7. При яких значеннях х правильна рівність |х|=х; |х| + х = 0?

Задача 8. Розв’яжіть рівняння:

1) |х|=6;2) |х|= -10;3) |х|=0;4) |х|=2;5) 3|х|=21.


165

0-3 3

0

0-2 2


1. Що таке модуль числа?2. Модуль якого числа дорівнює 0?3. Чи правильно, що модуль будь – якого числа – число додатне?

Наведіть контр приклад.4. Наведіть приклади величин, значення яких бувають від’ємними.

Розв’яжіть рівняння:

1. 3|х|=6;2. |х|= -10;3. |х|=0;4. |х|=12.5. 13|х|=26.

Виконайте творче завдання1. Знайдіть і підготуйте повідомлення про модуль числа, додатні і

від’ємні числа.

Урок №27. Поняття модуля числа. Геометрична інтерпретація модуля. Властивості модуля (заняття 2)



1. Які числа називають протилежними?2. Яке число протилежне самому собі?3. Чи існує число, що має два протилежні до себе числа?4. Як позначають число, яке протилежне числу а?5. Як розташовані на координатній прямій точки з протилежними

координатами?6. Які числа називають цілими? Як позначають множину цілих чисел?

166

7. Які числа називають раціональними? Як позначають множину раціональних чисел?


Знайдіть правильну відповідь до прикладів і зафарбуйте в лівій колонці умову відповідним кольором:

1) |−3| + |9| =

2) |−12| - |−5| =

3) |−57| - |29| =

4) |8| ∙ |−15| =

5) |34| ∙ |−11| =

6) |−85| : |−5| =

167

6

1

7

2

120

374

17

-17

-120 -7


Задача 1. Які з чисел 3; - 17; 84 ; 0,7; 2,4; - 1001; 5

5є:

1) цілими;2) дробовими;3) раціональними?

Задача 2. Чи завжди |a+b| = |a| + |b|?


Задача 3. Знайдіть усі цілі числа, які є розв’язками нерівності |х|<3.


-3<х<3

Задача 4. Скільки існує цілих чисел, які задовольняють нерівність |х|<5?


Перелічимо цілі числа, які задовольняють нерівність: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. Їх 9.


Задача 5. Скільки існує натуральних чисел, які задовольняють нерівність |х|<12?

Задача 6. Назвіть три додатних і три від’ємних числа, які задовольняють нерівність:

1) |х|>5;2) |х|>3.

Задача 7. Знайдіть усі цілі числа, які є розв’язками нерівності:

168

0 Х -3 3

1) |х|≤5;

2) |х|<8;

3)|х|≤2,45;

4)|х|<-4.



1. Найменше натуральне число.2. Яке число протилежне саме собі?3. Яке ціле число ділиться без остачі на будь – яке ціле число, відмінне

від 0?4. Які числа називають цілими? Як позначають множину цілих чисел?5. Які числа називають раціональними? Як позначають множину

раціональних чисел?6. Сформулюйте властивості модуля.


1. Скільки існує натуральних чисел, які задовольняють нерівність |х|<11? Скільки цілих від’ємних чисел? Скільки цілих чисел?

2. Яке з тверджень завжди правильне:1) якщо |х|=|у|, то х = у;2) якщо х = у, то |х|=|у|;3) якщо |х|< у, то х < у;4) якщо |х| >|у|, то х < у.


1. Позначте на координатній прямій множину всіх значень х, які задовольняють нерівність |х|>3.

2. Складіть і розв’яжіть кросворд, використовуючи нові поняття.

169

Урок№28. Розв’язування рівнянь вигляду |x|=a, |ax+b|=c. Геометрична інтерпретація розв’язків рівнянь з модулем (заняття 1)



1. Сто курей з’їдають за 100 днів 100 кг зерна. Скільки кілограмів зерна з’їсть 10 курей за 10 днів?

2. У кравчині є шматок тканини завдовжки 18 м. Щодня вона відрізає по 3 м. На який день кравчиня відріже останній шматок тканини?

3. Скільки важить щука, якщо дві щуки важать стільки, скільки й одна щука та ще 4,5 кг?

4. На уроці фізкультури учні вишикувались в одну шеренгу завдовжки 25 м. Скільки було учнів?

5. За три роки хлопчик буде вдвічі старшим, ніж він був три роки тому. Скільки йому зараз років?

6. Назвіть найбільше чотирицифрове число, сума цифр якого дорівнює трьом.

7. Чому в поїздах стоп – крани червоні, а в літаках – блакитні? (у літаках їх немає).


Запишіть у клітинках квадрата числа -1; 2; -3; -4; 5; - 6; -7; 8; - 9 так, щоб у всіх горизонталях, вертикалях і діагоналях їхні добутки були додатними.

Для того, щоб розв’язувати рівняння виду |х−а| = b, використовуючи геометричну інтерпретацію модуля, введемо терміни: а – центр модуля;b – крок модуля. Розв’язання покажемо на числовій прямій у такій послідовності:

1) позначаємо на числовій осі точку, координата якої дорівнює центру модуля;

2) відкладаємо відрізки довжиною, яка дорівнює кроку модуля, праворуч та ліворуч від позначеної точки;

3) встановлюємо координати одержаних точок;170

4) записуємо корені рівняння.


Задача 1. Розв’яжіть рівняння |х−5| = 3.


Виконаємо рисунок згідно з викладеним алгоритмом.

Х

3⏟ 3⏟

Очевидно, що х = 2 або х = 8.


Задача 2. Розв’яжіть рівняння |−х−5| = 3.


Оскільки модулі протилежних виразів рівні, то подамо рівняння у вигляді |х+5| = 3.

Тоді за допомогою рисунка визначимо корені рівняння: х = - 8; х = - 2.

Х

3⏟ 3⏟


Задача 3. Розв’яжіть рівняння |х−5| = 0.

171

2 5 8

-8 - 5 -2

Х


Задача 4. Розв’яжіть рівняння |х−5| = - 10.

Відповідь: коренів немає.


Задача 5. Розв’яжіть рівняння

1) |х+2| = 1;2) |х−10| = 4;3) |х+12| = - 41;4) |х+2| = 0;5) |х−4| = 0;6) |5−х| = - 13;7) 3|х| + 15 = 21;8) 27 - 5|х| = 2;9) 4|х| : 5 = 8;

10)2|х| - 7 = 5.

Задача 6. Знайти ті значення х, при яких дріб 3−|х|6 дорівнює нулю.

Задача 7. Знайти ті значення х, при яких дріб 2−3|х|5 дорівнює нулю.

Задача 8. При якому значенні х дріб 5

|х|−4 дорівнює 5?

Задача 9. При якому значенні х дріб 8

|х|−1 дорівнює 2?



1. Яке з наведених тверджень правильне?1) не існує числа, яке протилежне самому собі;2) раціональні числа – це всі натуральні числа і числа їм протилежні;3) якщо k – від’ємне число, то – k – тим більш від’ємне число;

172

5

4) якщо а = - b, то b = - а.2. За яких значень а справджується рівність а + |а| = 2а?


1. Розв’яжіть рівняння:1) 8(9 + 2|х|) = 5(2 - 3|х|);2) 2|х| - 1 = |х| + 7.

2. Складіть рівняння, яке має такі самі розв’язки, що й рівняння |2 х+4| = 10.

3. Знайдіть значення виразу |х| - |у| + |z|, якщо х = - 10; у = - 16; z = 17.


1. Розв’язком рівняння - |х| - 3,2 = 6,9 є варіант:1) 10,1;2) 10,1 ; – 10,1;3) коренів немає;4) -10,1.

Правильна відповідь підкаже вам, що таке корали (1 – камені; 2 – рослини; 3- тварини; 4 - гриби ).

2. Розв’яжіть рівняння: |3 (2 х−5 )−2,5 (2 х−6)| + 2|0,3 (3 х−10 )+0,1 х+3| = 9.

173

Урок №29. Розв’язування рівнянь вигляду │х│= а,│ах + b│= c. Геометрична інтерпретація розв’язків рівнянь з модулем (заняття 2)



1. За цукерку заплатили 1 грн. і ще половину вартості. Скільки коштує цукерка?

2. Якщо квадрат і ромб мають однакові сторони, то площа якої з цих фігур є більшою?

3. У будинку 100 квартир. Скільки разів на табличці з номером квартири повторюється цифра 9?

4. Обчисліть 99 – 97 + 95 – 93 + … + 3 – 1.5. Чому дорівнює 1 дюйм?6. Три різних числа спочатку додали, а потім перемножили. Сума цих

чисел дорівнює їх добутку. Які це числа?7. Якщо третя частина числа дорівнює половині, то яке це число?


Запишіть у клітинках квадрата числа -1; 2; -3; -4; 5; - 6; -7; 8; - 9 так, щоб у всіх горизонталях, вертикалях і діагоналях їхні добутки були від’ємними.

174

Учимось розв’язувати задачі Задача 1. Розв’яжіть рівняння 37

11 = |х|−53 .


11(|х| - 5) = 37 ∙ 3;11|х| - 55 = 111;11|х| = 111 + 55;11|х| = 166;|х| = 166 : 11;|х| = ….. х = …………………..


Задача 2. Розв’яжіть рівняння |– 0,63| : |х| = |−1 120|.


|– 0,63| : |х| = |−1 120|;

63100 : |х| = 21

20 ;

|х|= 63100 : 21

20 ;

|х| = 63∙20100∙ 21 = 3

5 ;х = ………………..


Задача 3. Розв’яжіть рівняння |4 х−5| = 3.


Нехай 4х = t.

Виконаємо рисунок згідно з викладеним алгоритмом, назвавши числову вісь t.

175

t

3⏟ 3⏟

Маємо, [4 х=2;4 х=8; [ х=0,5 ;

х=2.


Користуючись аналогічними міркуваннями, можна розв’язувати рівняння, які містять модуль під знаком модуля.

Задача 4. Розв’яжіть рівняння ||х−4|−5| = 3.


Нехай |х−4|= t.

t

3⏟ 3⏟

Очевидно, що [|х−4|=2;|х−4|=8.

х

2⏟ 2⏟

8⏟ 8⏟

176

2 5 8

2 5 8

2 4 6 12-4

Отже, [ х=−4 ;х=2 ;х=6 ;х=12.



Задача 5. Розв’яжіть рівняння

1) |2|х|−3|=9;2) ||х−3|−4| = 7;3) |3 х−1| = 2;4) |х−1| = 5;5) 4|х| + 3 = 0;6) |3 х+6| = 2;7) |4 х+8| = 12.

Задача 6. При якому значенні х значення дробу 10

10−10|х|

дорівнює 5?

Задача 7. Знайти ті значення х, при яких вираз 2

2− 2|х|−2

існує.



1. Яке з наведених тверджень правильне?

1) кожне число дорівнює своєму протилежному числу;

2) існує число, яке протилежне самому собі;

3) жодне число не дорівнює своєму протилежному числу;

4) якщо а = - b і b = с, то а = с.

2. За яких значень а справджується рівність |а| + а = 0?


1.Розв’яжіть рівняння:1) 7 + 3|х| = 22 - 2|х|;2) 5|х| - 6 = - 3|х| + 26.2. Знайдіть значення виразу |9 (3 m−0,05n )−2(13 m+0,275 n)|, якщо n – m = 5.

177

3. Знайдіть значення виразу у : |х|, де х і у – корені рівнянь – 4у = 7,2 і -3(х - 2) = 1. Відповідь запишіть у вигляді десяткового дробу.


1. Розв’язком рівняння - |х| + 7,8 = 12,4 є варіант:1) – 4,6;2) 4,6;3) 4,6; -4,6;4) коренів немає.

Правильна відповідь підкаже вам, через що найбільше страждають їжаки (1 – через вологість; 2 – через жару; 3- через холод; 4 – через кліщів ).

2. Розв’яжіть рівняння (5|1− х| - 7|х−1| ) : 4 = - 6.

Урок №30. Поняття множини та елемента множини. Порожня множина. Способи задання множин



1. Жінка, ідучи до Києва, зустріла трьох чоловік. Кожний із них ніс мішок, а в кожному мішку – по коту. Скільки живих істот ішло до Києва?

2. У людини спитали, скільки їй років. Вона відповіла, що їй сто років і кілька місяців, але днів народження у неї було лише 25. Як таке могло статися?

3. Син батька професора розмовляє з батьком сина професора, до того ж сам професор у розмові участі не бере. Чи може таке бути?

4. Петрик каже: «Позавчора мені було ще 10 років, а в наступному році мені виповниться 13». Чи може таке бути?

5. Запишіть число 100 дев’ятьма різними цифрами, поєднаними знаками дій.

178

6. У кав’ярні снідали три особи. При цьому дві з них їли сосиски, дві - вінегрет, а дві виноград. Та особа, що не їла сосисок, не їла й вінегрету. Та, що не їла винограду, не їла й вінегрету. Хто що їв на сніданок?

7. За легендою, саме він винайшов циркуль і створив перший у світі лабіринт.


Наведіть приклади таких множин.


Задача1. Впишіть в порожні хмаринки елементи множини одноцифрових чисел.

179

МножиниНескінченні???Скінченні???

Задача 2. Виберіть і впишіть в кружечки номер правильної відповіді:

1) множина натуральних чисел;2) множина цілих чисел;3) множина раціональних чисел;4) множина точок на прямій;5) множина точок на відрізку;6) множина двоцифрових чисел;7) множина натуральних дільників числа 10;8) множина чисел, кратних 5;9) множина букв латинського алфавіту.

Примітка. Якщо залишилися невикористані кружечки, наведіть приклади самостійно.

Задача 3. Встановіть відповідність між рівними множинами.

180

Нескінченна множинаСкінченна множинаА = В

{1, 2, 3} { , , }

{ , , , } {3, 1, 2}

{ , , } { , , }

{ , , } { , , }

Задача 4. Обведіть червоним кольором те сонечко, яке містить правильну відповідь.

Задача 5. Запишіть множину розв’язків рівняння:

1) |х| = - 45; Відповідь: ………………..2) −¿2 ∙ |х| = 6; Відповідь: ………………..3) |х| + 2 = 1; Відповідь: ………………..4) |х| + 1 = 0; Відповідь: ………………..

181

Задача 6. Намалюй у прямокутнику множину, яка складається з таких елементів: будиночок, берізка, сосна. Чи можна вікно будиночка вважати елементом цієї множини?

Задача 7. Покажіть співвідношення між множинами за допомогою кругів Ейлера:

1) А – множина учнів нашої школи;В – множина учнів 6 – А класу нашої школи;С – множина учнів 5 – Б класу нашої школи .

2) А – множина учнів 6 – Б класу нашої школи;В – множина дівчаток 6 – Б класу нашої школи;С - множина хлопчиків 6 – Б класу нашої школи.

182

Додаткові завдання Задача 8. Як називають множину:

1) корів;2) овець;3) вовків;4) птахів;5) риб?

Задача 9. Напишіть множину спільних дільників чисел 20 і 50.

Задача 10. Запишіть множину натуральних дільників числа 55; 2; 0.



1. Що таке множина?2. Наведіть приклади скінченних множин.3. Наведіть приклади нескінченних множин.4. Яка множина називається порожньою?5. Які множини називаються рівними?6. Чи може множина складатися тільки з одного елемента?


1. Запишіть множину натуральних дільників числа 155; 12; 10.2. Напишіть множину спільних дільників чисел 21 і 84.3. Складіть задачу до рисунка:


1. Підготуйте повідомлення про Л.Ейлера.2. Складіть задачу до рисунка:

183

Урок №31. Підмножина. Основні операції над множинами (переріз, об’єднання, різниця)



1. Назва якої книги містить число, яке є добутком четвертого, п’ятого й шостого простих чисел, що йдуть поспіль?

2. Скільки разів до найбільшого одноцифрового числа потрібно додати найбільше двоцифрове число, щоб отримати найбільше трицифрове?

3. Ім’я якого з видатних математиків складається з трьох складів, до того ж перший склад є числом, другий – нотою, а третій – одним із імен давньогрецького бога Сонця?

184

4. Яке число Піфагор вважав досконалим, оскільки воно виражало початок, середину й кінець?

5. Який із рядків зайвий?

2 5 8 11 14

1 4 7 10 13

3 4 5 6 7

3 6 9 12 15

6. Летіла зграя гусей: один гусак попереду й два позаду, один позаду й два попереду; один гусак між двома й три в ряд. Скільки всього було гусаків?

7. Скільки букв у числі 3527737?


Дано множину. Складіть усі її двоелементні підмножини.

{ , , , }


Якщо А – частина множини В, то її називають підмножиною множини В і записують так: А ⊂ В.

185

Яку б множину не взяли, її підмножинами будуть і сама множина і порожня множина:

А ⊂ А Ø ⊂ А

Задача 1. Встановіть відповідність між множинами і підмножинами:

Тварини Рослини

Водойми Помешкання

Дерева Озера

Люди Лисиці

Барометри Лікарі

Юрти Рослини

Задача 2. Чи правильне висловлення: N ⊂ Z ⊂ Q?

Переріз множин

186

Q

Z

Задача 4. А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Напишіть множину С, яка складається з спільних елементів множин А і В, тобто С = А ∩ В.

Розв’язання:А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14};С = А ∩ В = {2, 4, 6, 8}.

Об’єднання множин

А ∪ В = К

Задача 5. Чому множина А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} не є об’єднанням множин В = {1, 2, 3, 4} і С = {3, 4, 5, 6}? Відповідь: тому що елемент 7 не належить ні множині В, ні множині С. Задача 6. Чому множина Х = {1, 2, 3, 4, 5} не є об’єднанням множин В = {1, 2, 3, 4} і С = {3, 4, 5, 6}?(Усно)

Задача7. Знайдіть А ∪ В, якщо А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В = {4, 6, 8, 12, 14}.


Різниця множин

Задача 8. А = {1, 2, 3, 4}, В = {1, 4, 5, 7, 8}, то чому дорівнює А¿В? Відповідь: А¿В = {2, 3}. Задача 9. Дано множини А = {а, с, 1, 2, 3, 4} і В = {а, с, х, 1, 2, 3, 4}. Знайдіть А ∩ В, А ∪ В, А¿В.

187




1.

2.

188

Де використовується знак?За поданою таблицею і

запитаннями складіть розповідь по даній темі

С

ВА

1) Що таке підмножина даної множини?

2) Що таке переріз?

3) Що таке об’єднання?

4) Що таке різниця?


1. Чи є множина голубів підмножиною множини птахів? Покажіть це допомогою кіл Ейлера.

2. Складіть і розв’яжіть задачі за поданими схемами:

1)

2)


Складіть і розв’яжіть задачу за поданими схемами:

1)

189

2)

Урок №32. Задачі на застосування принципу Діріхле (заняття 1)



1. Двоє грали в шахи 2 год. Скільки часу грав кожен? (2 год)

2. Вчора в школі три дитини

Малювали три картини

Працювали три години.

Якщо сто таких картин

Сто дітей сидять малюють

Скільки треба їм годин? (3 години)190

3. На яке число треба поділити 2, щоб дістати 4? (на 1/2)

4. У будинку 5 поверхів однакової висоти. У скільки разів шлях по сходах, який веде на 5 поверх, більший за той, що веде на другий? (у 4 рази)

5. У будинку 200 квартир. Скільки разів на дверях написано цифру 7? (40)


В ящику лежать кулі двох різних кольорів: чорного і білого. Яку найменшу кількість куль треба взяти із ящика, не розглядаючи, так, щоб серед них напевно було дві кульки одного кольору?

Метод доведення від супротивного – один із основних методів доведення в математиці. Характерною ознакою цього методу є доведення не самого твердження, а абсурдності протилежного йому. Латиною цей метод називається reduction ad absurdum, що означає «зведення до абсурду».

Принцип Діріхле – твердження, сформульоване німецьким математиком Діріхле 1834 року, яке встановлює зв'язок між кількістю кроликів і кількістю кліток у разі виконання певних умов: якщо в n клітках перебуває не менш, ніж n + 1 кролик, то знайдеться клітка, у якій буде принаймні два кролики. Зрозуміло, що під кроликами й клітками можна розуміти будь – які об’єкти.


Петер Густав Лежен Діріхле (1805 – 1859рр.) – німецький математик. Парадокс днів народження – твердження, у якому йдеться, що якщо є група з 23 або більше людей, то ймовірність того, що хоча б у двох із них дні народження (число й місяць) збігатимуться, перевищує 50%.

Для 60 і більше людей імовірність такого збігу перевищує 99%, хоча 100% вона досягає, згідно із принципом Діріхле, тільки коли в групі не менше, ніж 367 людей (з урахуванням високосних років).

191


Задача 1. У класі навчається 29 учнів. Сашко Петренко зробив у диктанті 13 помилок, і ніхто інший не зробив більшої кількості помилок. Довести, що принаймні три учні зробили однакову кількість помилок.


Приймемо за «клітки» всі можливі варіанти кількості помилок. Помилок – 14, оскільки учні можуть зробити 0, 1, … , 13 помилок. «Зайцями» вважатимемо учнів, які писали диктант і яких за умовою 29. Кожного з них «садимо» у «клітку», що відповідає кількості зроблених помилок. Зрозуміло, що знайдеться «клітка», в якій «сидять» принаймні три «зайці», а це й означає, що знайдуться три учні, які зробили однакову кількість помилок.

Задача 2. У п’ятих класах школи навчається 160 учнів. Довести, що знайдуться 4 учні, у яких день народження припаде на один і той самий тиждень.


У році може бути максимум 53 тижні. Тижні приймемо за «клітки», а за «зайців» - учнів. Розсаджуватимемо «зайців» у ті клітки, що відповідають їх дням народження. Оскільки 160 : 53 = 3 1

3 , то за принципом Діріхле знайдеться «клітка», у якій принаймні 4 «зайці». Це означає, що знайдеться тиждень, на який припаде день народження одразу чотирьох учнів.

Задача 3. У клітинках таблиці розмірами 3х3 розміщено числа -1; 0; 1. Розглянемо вісім сум: суми всіх чисел у кожному рядку, кожному стовпці і на двох діагоналях таблиці. Чи можуть усі ці суми бути різними?


Нехай «клітками» будуть усі різні значення сум трьох чисел, кожне з яких набуває значення 0, 1 або -1. Зрозуміло, що таких значень 7. Це: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

192

«Зайцями» будуть набори із трьох чисел, що розміщені або в одному стовпці, або в одному рядку, або на одній з двох діагоналей таблиці. Таких наборів 8.

Як розсаджуватимемо «зайців»? Кожного «зайця» садитимемо в «клітку», що є значенням суми чисел «зайця». Тоді за принципом Діріхле знайдеться «клітка», де сидять не менше двох «зайців». А це й означає, що знайдуться дві розглядувані трійки чисел, для яких суми рівні.

Відповідь: ні.

Задача 4. У ящику лежать 10 пар чорних рукавичок і 10 пар червоних одного розміру. Скільки рукавичок потрібно витягнути з ящика навмання, щоб серед них були:

а) хоча б дві рукавички одного кольору;

б) хоча б одна пара рукавичок одного кольру?


а) Якщо за «клітки» прийняти кольори рукавичок, то взявши три довільні рукавички, ми отримаємо, що в одній із «кліток» знаходяться два «зайці» - рукавички. А це і вимагається в задачі.

б) Якщо взяти 20 рукавичок на одну руку, то з них не можна буде вибрати пару рукавичок одного кольору, тому шукана кількість рукавичок не менша, ніж 21.

Справді, якщо за «клітки» прийняти кольори рукавичок (їх два), а за «зайців» - рукавички, то за узагальненим принципом Діріхле в одній з «кліток» буде не менше 11 «зайців». Це означає, що знайдеться 11 рукавичок одного кольору. Але ми маємо лише 10 пар рукавичок одного кольору. Тому всі вони не можуть бути на одну руку. Отже, серед цих 11 рукавичок знайдеться одна пара рукавичок одного кольору.

Задача 5. Довести, що серед будь – яких трьох цілих чисел є два числа, сума яких парна.


Всі числа поділяються на парні і непарні. Сума двох чисел однакової парності є числом парним.


Задача 6. У школі 740 учнів. Довести, що принаймні троє з них народилися в один і той самий день.

193

Задача 7. У похід пішли 12 туристів. Наймолодшому з них 20 років, а найстаршому – 30. Чи є серед них однолітки?

Задача 8. В шаховому турнірі кожен шахіст зіграв з кожним по одній партії. Всі отримали принаймні по одній перемозі. Довести, що якісь двоє шахістів у підсумку мають однакову кількість перемог.

Задача 9. Чи можна в клітинках таблиці 3х5 розставити числа так, щоб сума чисел у кожному з трьох рядків дорівнювала 8, а сума чисел у кожному з п’яти стовпців дорівнювала 5?

Задача 10. Шість білок розділили між собою 20 горіхів, причому кожній білці дістався хоча б один горіх. Доведіть, що знайдуться дві білки, які матимуть однакову кількість горіхів.

Задача 11. У класі 25 учнів. Серед будь – яких трьох із них двоє дружать між собою. Доведіть, що є учень, у якого не менше, ніж 12 друзів.



1. (Стародавня китайська задача). У клітку посадили невідоме число фазанів і кролів. Відомо тільки, що вся клітка містить 35 голів і 94 ноги. Треба знайти число фазанів і число кролів.

2. В гуртку 10 школярів. Чи можна стверджувати, що серед цих гуртківців є хоча б 2, які відзначають день народження в одному й тому самому місяці?

3. В таксі їдуть 5 пасажирів. Доведіть, що серед них знайдуться два пасажири, які мають однакову кількість знайомих серед цих 5 – ти пасажирів.

4. В районній олімпіаді з математики брали участь 20 учнів з однієї школи, що представляли всі класи із шостого по одинадцятий. Доведіть, що якийсь клас представляли хоча б 4 учні. Чи можна стверджувати, що якийсь клас представляли рівно 4 учні? Хоча б 5 учнів?


1. На кожній клітинці дошки розміром 5х5 клітинок сидить жук. За командою жуки переповзають на сусідні клітинки (клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону). Довести, що після того як усі жуки переповзуть, знайдеться клітинка, на якій сидітимуть принаймні два жуки.

2. Складіть і розв’яжіть задачу за готовим рисунком:

194

3. Виготовте модель куба:

Урок №33. Задачі на застосування принципу Діріхле (заняття 2)



1. У центрі Будапешта (Угорщина), недалеко від одного з найкращих мостів, стоїть кам’яний пам’ятник цифрі. Якій саме цифрі і чому? (пам’ятник 0; означає початок усіх доріг)

195

2. Клаптик паперу розрізали на три частини. Потім одну з частин розрізали ще на три частини, і так зробили 40 раз. Скільки при цьому утворилося клаптиків? (81)

3. У кого більше ребер: у трьох паралелепіпедів чи у двох учнів? ( у трьох паралелепіпедів – 36 ребер, а у двох учнів - 48)

4. Три хлопчики грали в шахи. Всього було зіграно три партії. Скільки партій зіграв кожен хлопчик? (2)

5. Одного разу хлопець – математик гуляв з дівчиною. Вона зірвала ромашку і почала відривати пелюстки, примовляючи: «Любить – не любить». Тоді хлопець сказав: «Не варто цього робити. Це зайве. Достатньо тільки…»


У квадраті розміром 5х5 клітинок зафарбували 16 клітинок. Довести, що можна вибрати квадрат 2х2, у якому зафарбовано не менше трьох клітинок.


Зустрілись у кафе скульптор Білов, скрипаль Чернов і художник Рижов. «Чудово, один з нас блондин, другий брюнет, а третій – рудий, і при цьому в жодного з нас колір волосся не співпадає з прізвищем», - сказав Чорнявий. «Ти правий», сказав Білов. Якого кольору волосся художника?

Учимось розв’язувати задачі196

Розглянемо, як принцип Діріхле використовується до розв’язування задач на подільність. Такі задачі – класичний принцип застосування принципу Діріхле.

Задача 1. Довести, що серед довільних трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких ділиться на 2.

Розв’язання: Приймемо за «клітки» різні остачі від ділення чисел на 2. Їх усього дві: 0 і 1. «Зайцями» будемо вважати остачі від ділення на 2 трьох даних чисел, їх буде три. Розмістивши «зайців» у «клітки» (кожного «зайця» розміщаємо у «клітку», що дорівнює остачі від ділення його на 2), за принципом Діріхле отримаємо, що знайдеться «клітка» з двома «зайцями», тобто знайдуться два числа, що дають при діленні на 2 однакові остачі, їх сума і ділиться на 2. Задача 2. Довести, що серед довільних семи чисел можна знайти три, сума яких ділиться на 3.

Розв’язання: За «клітки» приймаємо різні остачі від ділення на 3, їх усього три: 0; 1; 2. «Зайцями» вважатимемо остачі від ділення на 3 даних семи чисел., їх усього 7. Отже, знайдуться три «зайці», що знаходяться в одній із «кліток». А це й означає, що знайдуться три числа, які дають однакові остачі від ділення на 3, їх сума ділиться на 3. Задача 3. Дано 12 довільних цілих чисел. Довести, що з них можна вибрати два, різниця яких ділиться на 11.

Розв’язання: Приймемо за «клітки» різні остачі від ділення чисел на 11, їх усього 11. За «зайців» приймемо остачі від ділення даних чисел на 11, їх усього 12. Розміщуючи «зайців» у «клітки», аналогічно до попередніх задач, за принципом Діріхле отримаємо, що знайдеться два «зайці» в одній із «кліток». А це означає, що знайдеться два числа, які дають однакові остачі від ділення на 11. Зрозуміло, що різниця цих чисел буде ділитися на 11.

Принцип Діріхле використовується під час розв’язування задач на зафарбовування.

Задача 4. Кожну грань куба зафарбовано у жовтий або синій колір. Довести, що знайдуться однаково зафарбовані грані, що мають спільне ребро.


Розглянемо довільну вершину куба. У ній перетинаються три грані. Приймемо за «клітки» кольори, а за «зайців» - грані, що перетинаються в одній вершині, їх усього три. Тому за принципом Діріхле знайдеться «клітка», у якій міститься два «зайці». А це означає, що знайдуться дві грані, які мають спільне ребро (оскільки вони мають спільну точку) і зафарбовані однаково.

197


Задача 5. Чи завжди серед будь – яких шести цілих чисел знайдеться два числа, різниця яких ділиться на 5?

Задача 6. Довести, що серед 100 довільних цілих чисел завжди знайдеться 15 таких, що різниця будь – яких двох з них ділиться на 7.

Задача 7. Вершини правильного дев’ятикутника пофарбовані у два кольори. Довести, що існують два рівні трикутники, вершинами яких є одноколірні вершини заданого дев’ятикутника.


1. Дев’ятициліндровий двигун

198

2. Фортеця італійського міста Пальманова в основі має дев’ятикутник.

3. Ювілейні срібні монети 5 Євро, що карбуються Національним банком Австрії, мають форму дев’ятикутника.

4. Купол храму в бахаїзмі



1. Іван збирає домашню фільмотеку, і в ній уже 72 фільми. Скільки у фільмотеці історичних фільмів, якщо їх у 2 рази менше, ніж комедій, а комедій у 3 рази менше, ніж фантастики?

2. Чи можна числа від 1 до 9 розподілити на три групи так, щоб добуток чисел у кожній групі був не більшим за 70?

3. Довести, що число 574 можна написати підряд кілька разів так, що отримане багатоцифрове число буде ділитися на 31.

199


1. Яку найбільшу кількістьа) тур;б) ферзів;в) коней;г) королівможна розставити на шахівниці так, щоб вони не «били» один одного?

Урок №34. Розв’язування задач за допомогою кругів Ейлера - Венна



1. Якщо 0 18 год ночі йде дощ, то чи можна стверджувати, що через 72 год буде сонячна погода? (ні, бо буде ніч)

2. Двоє батьків і двоє синів поділили між собою три яблука так, що кожному з них дісталося по одному. Як це трапилося? (батько , син, дідусь)

200

3. До шпака під час обіду прилетіло сім сусідів, на гілках зелених сіли і усі по вісім вишень з’їли. Скільки всього вишень з’їли шпаки? (64)

4. Заєць висмикнув 8 морквин і з’’їв їх усі, крім 5. Скільки морквин залишилося? (5)

5. Супутник Землі робить перший оберт за 1 год 40 хв, а другий оберт – за 100 хв. Як це пояснити?


Один із видатних російських математиків академік Леонард Ейлер (1707-1783) написав 850 наукових праць, в одній із яких і з’явилися ці кола. Ейлер писав, що «вони дуже допомагають і полегшують роздуми». Інколи застосовують прямокутники та інші фігури. На занятті ми ознайомимося з колами Ейлера, з їх допомогою навчимося розв’язувати деякі логічні задачі.


Задача 1. У класі 35 учнів. Із них 20 відвідують математичний гурток, 11 – біологічний, 10 – не відвідують жодних гуртків. Скільки біологів люблять математику?


Позначимо: М – учні математичного гуртка, Б – учні біологічного гуртка, МБ – учні, що відвідують математичний та біологічний гуртки. За допомогою кіл Ейлера зобразимо умову задачі.

201

М МБ Б

20 11

10

У колі, позначеною літерою М, знаходяться учні, які відвідують математичний гурток, у колі Б – учні, які відвідують біологічний гурток. У спільній частині цих двох кіл (позначена МБ) знаходитимуться учні, які люблять математику та біологію. Очевидно, що в колах М, Б і МБ знаходяться 35-10=25 учнів. Оскільки математичний гурток відвідують 20 учнів, то 5 учнів із 11 відвідують тільки біологічний гурток. Отже, 6 учнів відвідують і біологічний, і математичний гуртки.

Відповідь. 6 учнів.

Задача 2. У таборі 70 дітей. 27 із них відвідують драматичний гурток, 32 – співають у хорі, 22 – займаються спортом. У драматичному гуртку 10 дітей, які співають у хорі, у хорі 6 спортсменів, у драмгуртку 8 спортсменів, 3 спортсмени відвідують і драмгурток, і хор. Скільки дітей не співають у хорі, не займаються спортом, і не відвідують драмгурток? Скільки дітей займаються тільки спортом?


Д – діти з драмгуртка (27),

Х – діти з хору (32),

С – діти, які займаються спортом (22).

70-(27+32+22+3-(8+10+6)) = 10 (дітей) – не співають, не займаються спортом, не грають у драмгуртку.

11 дітей займаються тільки спортом. Побудуйте самостійно кола Ейлера.

Відповідь. 10 дітей; 11 дітей займаються тільки спортом.

Задача 3. Підлогу кімнати площею 12 м2покрили трьома килимами площами 5 м2, 4 м2 і 3 м2. Кожні два килими перекриваються на площі 1,5 м2; на площі 0,5 м2; на площі 0,5 м2перекриваються всіма трьома килимами.

1) Яка площа не покрита килимами?

2) Яка площа покрита тільки одним першим килимом?

202

С

0,5

В

4

А

1,5

1,5

1,5

5

3

5

18

3

16 4

х

17

3


- кімнатаА – площа 1-го килима;

В – площа 2-го килима;

С – площа 3-го килима;

1) 5-3+0,5=2,5(м2);2) 4-3+0,5=1,5(м2);3) 3-3+0,5=0,5(м2);4) 12-5-0,5-2,5=4(м2) – площа не

покрита килимами;5) 2,5 м2– площа покрита тільки

першим килимом.Відповідь. 4 м2; 2,5 м2.

Задача 4. У класі 38 учнів. Із них 16 грають у баскетбол, 17 – у хокей, 18 – у волейбол. Займаються двома видами спорту: 4 – хокеєм і баскетболом, 3 – волейболом і баскетболом, 5 – волейболом і хокеєм, 3 – узагалі не займаються спортом.

1) Скільки дітей займаються трьома видами спорту?

2) Скільки дітей займаються тільки одним видом спорту?


Нехай х учнів займаються трьома видами спорту. Тільки баскетболом займаються

16-(4+х+3)=9 – х учнів. Тільки хокеєм займаються 17-(4+х+5)=8 – х учнів. Тільки волейболом займаються 18-(3+х+5)=10 – х учнів. Маємо таке рівняння:

9-х+8-х+10-х+3+3+4+5+х=38.

Отже, х=2 учнів займаються трьома видами спорту. 9-2=7 учнів - тільки баскетболом.

8-2=6 учнів – тільки хокеєм.

10-2=8 учнів – тільки волейболом.

203

Відповідь. 2 учні; 21 учень.

Задача 5. У класі 40 учнів. Із них мають «7»: 19 учнів з української мови, 17 – з алгебри, 22 – з фізики. Лише з одного предмета мають «7»: 4 – з української мови, 4 – з алгебри, 11 – з фізики; 7 учнів мають «7» з алгебри і фізики, а 5 з них – ще і з української мови.

а) Скільки учнів навчаються без «7»?

б) Скільки учнів мають «7» з двох предметів?

Відповідь. 4; 12.

Задача 6. У класі навчаються 35 учнів. Усі або грають на гітарі, або мають собаку, або плавають у басейні. 25 – мають собаку і плавають, 5 з них ще й грають на гітарі. Чемпіон класу з плавання не грає на гітарі і не має собаки, а 2 його товариші мають собаку і грають на гітарі, але плавати не вміють. Серед гітаристів є 7, які не плавають і не мають собак.

1) Скільки в класі гітаристів?

2) Скільки учнів ходять до басейну?

3) Скільки учнів, які не грають на гітарі, не плавають, але мають собаку?

Відповідь. У класі 14 гітаристів; 26 плавають; учнів, які мають собак, але не плавають і не грають на гітарі, немає.

Задачі для самостійної роботи

1. Впишіть 9 будь-яких букв так, щоб у крузі було 8 букв, а прямокутнику – 5.

204

2. За допомогою кругів Ейлера покажіть у прямокутнику співвідношення між обсягами наступних понять.

А – гриби

В – їстівні гриби

С – неїстівні гриби

D – білі гриби

Е– мухомори

Напишіть, якими між собою (сумісними чи несумісними) є наступні поняття:

1) їстівні гриби і неїстівні гриби …

2) гриби і їстівні …

3) білі гриби і мухомори …

Доведіть свою думку.

Домашня контрольна робота

205

D

ВА

С

1. Роздивись малюнок. Ти бачиш три множини, зображені за допомогою кругів Ейлера. Елементами кожної з цих трьох множин є точки. Виконай наступні завдання:

1) Постав 3 сині точки у межах перерізу трьох множин;

2) Постав 2 жовті точки у межах перерізу двох множин;

3) Постав червону точку так, щоб вона належала тільки до однієї множини.

2. Роздивись уважно малюнок, на якому за допомогою кругів Ейлера зображено співвідношення між обсягами понять.

А – фрукти

В – груші

С – сливи

D – солодкі фрукти

Використовуючи дані поняття, склади і запиши правильне складне судження:

А) зі словом і (та): …

Б) зі словом чи (або): …


Складіть і розв’яжіть аналогічні задачі до поданих нижче:

1. У 6-А класі 27 учнів. З них 18 займаються легкою атлетикою, 15 – захоплюються плаванням. 9 учнів займаються і легкою атлетикою, і плаванням. Скільки дітей не відвідують ці спортивні секції?

2. У 6 – В класі 40 учнів. Кожний із них вивчає не менше від однієї іноземної мови: англійську, німецьку, французьку. 34 особи вивчають

206

хоча б одну з двох мов: англійську, німецьку; 25 учнів – хоча б одну з мов: німецьку, французьку; 6 – тільки німецьку мову. Одночасно дві мови – англійську і німецьку – вивчають на 3 особи більше, ніж французьку й німецьку. Скільки осіб вивчає кожну з мов і скільки одночасно – кожну пару мов?

Урок №35. Турнір. Обчислювальний практикум


207


1. Продовжіть послідовність: Е,Є, Ж, З, ?2. Що це за число: пів третини – числа 100?3. На яке число потрібно розділити 2, щоб отримати 4?4. Годинник відбиває один удар за 1 с. Скільки часу потрібно годиннику,

щоб відбити 12 годин?5. Один чоловік випиває бочку квасу за 14 днів, а разом із жінкою

випиває таку ж саму бочку квасу за 10 днів. За скільки днів жінка одна вип’є таку бочку квасу?


Задача 1. Хлопчика мама попросила купити буханець хліба. «А скільки грошей мені взяти?» - запитав хлопчик, на що мама відповіла, що буханець коштує 11 копійок і половину вартості буханця. Скільки коштує буханець хліба? Задача 2. Вирішив Ілля Муромець звільнити одне село від злого дракона, у якого було три голови і три хвости. Ілля здобув чарівний меч, за допомогою якого можна відрубати одну голову, або дві голови, або один хвіст, або два хвости. Якщо відрубати голову, виросте одна нова; якщо відрубати хвіст, виросте один новий; якщо відрубати два хвости, виросте одна нова голова; а якщо відрубати дві голови – не виросте нічого. Скільки ударів знадобиться Іллі Муромцю, щоб перемогти дракона?

Задача 3. Знайдіть число, одна третя й одна четверта якого дорівнюють 21. Задача 4. За допомогою діаграм Ейлера Венна зобразіть такі множини: множину птахів, множину тварин, що живуть у Європі, і множину тварин, що вміють літати. Відзначте, де в цих множинах перебувають: горобець, кажан, пінгвін, вовк, слон, кондор. Задача 5. Другокласник Артем розв’язав 32 приклади, з них 24 він розв’язав правильно. Серед усіх прикладів 19 було на додавання. Скільки прикладів на додавання Артем розв’язав правильно? Задача 6. Букет складається із червоних і білих квітів – троянд і гвоздик. Кожна третя троянда червона, а серед червоних квітів троянди становлять п’яту частину. Скільки квітів у букеті, якщо троянд у ньому рівно 21, а білих гвоздик – 12? Скільки білих троянд у букеті?

208

Задача 7. Під час формування шкільної команди з баскетболу з’ясувалося, що зі 100 претендентів 30 школярів займаються бігом, 28 – стрибками в довжину, 42 – плаванням. Бігом і стрибками займаються 8 учнів, стрибками й плаванням – 10, бігом і плаванням – 5. А ще є троє учнів, які займаються всіма трьома видами спорту. Скільки претендентів не займаються ні бігом, ні стрибками, ні плаванням? Задача 8. Із 26 картин, представлених на шкільній виставці, 12 виконано аквареллю, 17 – портрети, а 13 написані в стилі кубізм. Відомо, що аквареллю було виконано 4 портрети й 5 картин у стилі кубізм, крім того, 9 портретів були написані в стилі кубізм. Скільки портретів було виконано аквареллю в стилі кубізм? Задача 9. У класі навчаються 20 учнів, із них 16 вивчають англійську мову, 13 – французьку, а 12 – німецьку. Доведіть, що хоча б один учень цього класу вивчає всі три мови. Задача 10. Підлогу кімнати площею 12 м2 покрили трьома килимами площами 5 м2; 4 м2; 3 м2. Кожні два килими перекриваються на площі 1,5 м2; на площі 0,5 м2 перекриваються всіма трьома килимами. Яка площа не покрита килимами? Задача 11. Підлогу кімнати площею 12 м2 покрили трьома килимами площами 5 м2; 4 м2; 3 м2. Кожні два килими перекриваються на площі 1,5 м2; на площі 0,5 м2 перекриваються всіма трьома килимами. Яка площа покрита тільки одним першим килимом? Задача 12. Перекладіть один сірник так, щоб рівності стали правильними.

1) ІІІІІІІІІ=XI2) XI – V = IV3) X + V = VI4) VII = I5) X = VIII – II6)VI = IV – III

209

Підбиваємо підсумки

Позначте задачі, які ви розв’язали:

Номер задачі

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Оцінка

Напишіть вашим молодшим товаришам – п’ятикласникам, що найважливішого вони дізнаються в майбутньому навчальному році.

210

Вправа

«Лист майбутнім шестикласникам»

Література:

- Басанько А.М. За лаштунками підручника з математики: Збірник розвивальних задач для учнів 5 – 7 кл. – К.: Генеза, 2007. – 160 с.

- Бєлова Л.П. Математичний калейдоскоп (факультативний курс). 5 клас: Робочий зошит. Частина 1. – Х.: Видавництво «Ранок», 2012. – 80 с. – (Логіка +).

- Бєлова Л.П. Математичний калейдоскоп (факультативний курс). 5 клас: Робочий зошит. Частина 2. – Х.: Видавництво «Ранок», 2012. – 80 с. – (Логіка +).

- Бєлова Л.П., Корнієнко М.М., Полякова Л.Ю. 101 логічна задача. – Х.: Видавництво «Ранок»,2014. – 64 с.

- Василенко Н.В. Логіка 5 – 11 класи. – Х.: Вид. група «Основа», 2011. -256 с. – Серія «Логіка».

- Воєвода А.Л. Зацікавити математикою: 5 – 11 класи. – К.: Редакції газет природничо – математичного циклу, 2012. – 128с.

- Вороний О.М. Готуємось до олімпіад з математики. - Х.: Вид. група «Основа», 2008. - 255 с.

- Укл. Геращенко В.О. – 2 – ге видання, перероблене і доповнене. Логіка. Збірник задач. 5 – 9 класи. – Х.: Торсінг плюс, 2012. – 384.

- Упоряд. Гладій Л.К. Метод проектів на уроках математики. – Х.: Видавництво «Ранок», 2012. – 160 с.

- Ігнатьєв О.І. Пізнавальні та логічні задачі з математики. 5 – 9 класи. – Х.: Видавництво «Ранок», 2013. -176с.

- Корнієнко Т.Л. Тиждень математики в школі. 5 – 11 класи. – Х.: Веста, 2010. 176 с.

- Місюра Т.В. Математика: Пробний підручник для 5 класу середн. загальноосвіт. шк. – К.: Форум, 2001. – 256 с.

- Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984. – 160 с.

- Савченко Л. Математичний гурток. 5 клас. – К.: Шкільний світ, 2008. -120с.

- Сухарева Л.С. Тести для тематичного оцінювання: Математика. 5 клас. – Х.: Веста: Видавництво «Ранок», 2006. – 48 с. + Додаток (8с.).

- Фурман М.С., Нагорна А.О. Математика 6 клас. Навчальний посібник. Частина 2. - Х.: Вид. група «Основа», 2014. - 141 с.

211

oipopp.ed-sp.netoipopp.ed-sp.net/.../matematychnyy_kaleydoskop.docx · Web viewЯкщо число...

Documents

Transcript of oipopp.ed-sp.netoipopp.ed-sp.net/.../matematychnyy_kaleydoskop.docx · Web viewЯкщо число...