· Web viewHÌNH HỌC LỚP 10-CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ...
39
www.thuvienhoclieu.com Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC LỚP 10-CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG Loại . GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ Câu 1. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Lý thuyết “cung hơn kém ” Câu 2. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. . B. C. . D. Lời giải Chọn D. Mối liên hệ hai cung bù nhau. Câu 3. Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Mối liên hệ hai cung bù nhau. Câu 4. Cho góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Câu 5. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. . B. . C. . D. cot . Lời giải Chọn B. Mối liên hệ hai cung bù nhau. www.thuvienhoclieu.co m Trang 1
Transcript of · Web viewHÌNH HỌC LỚP 10-CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ...
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
Trắc nghiệm TOÁN 10 - Tích vô hướng của 2 véc tơ & Ứng dụng
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
HÌNH HỌC LỚP 10-CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
Loại . GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ
Câu 1. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
Lý thuyết “cung hơn kém ”
Câu 2. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. .B.
C. .D.
Lời giải
Chọn D.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 3.
Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 4.
Cho góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Câu 5. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .B. .
C. .D. cot.
Lời giải
Chọn B.
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 6.
Hai góc nhọn và phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 7. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. .B. .C. .D.
Lời giải
Chọn C.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
Câu 9.
Giá trị của bằng bao nhiêu?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
Câu 10.
Giá trị của bằng bao nhiêu?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 11.
Giá trị của là
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
Câu 12.
Giá trị của biểu thức là
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 13.
Giá trị của bằng bao nhiêu?
A. .B. .C. .D. 1
Lời giải
Chọn D.
Ta có .
Câu 14.
Giá trị của bằng bao nhiêu?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 15. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 17. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. .B..
C..D. .
Lời giải
Chọn D.
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 18.
Cho hai góc nhọn và (. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. .B. .C..D. .
Lời giải
Chọn B.
Biểu diễn lên đường tròn.
Câu 19.
Cho vuông tại , góc bằng . Khẳng định nào sau đây là sai?
A..B. .C. .D.
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 20. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
Lý thuyết.
Câu 21.
Cho biết . Giá trị của bằng bao nhiêu?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 22.
Cho biết . Tính giá trị của biểu thức ?
A. .B. .C. .D.
Lời giải
Chọn B.
.
Câu 23.
Cho biết. Tính giá trị của ?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 24. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. .B.
C. .D.
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 25. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. .
B.
C.
D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 26. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 27. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 28.
Cho biết . Tính ?
A. .B. .C. .D..
Lời giải
Chọn D.
Do .
Ta có: .
Câu 29.
Giá trị của biểu thức là
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 30.
Tổng bằng
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 31. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. . B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 32.
Biết . Hỏi giá trị của bằng bao nhiêu ?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
.
Câu 33.
Biểu thức có giá trị bằng:
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
·
.
·
.
.
Câu 34.
Biểu thức: có giá trị bằng
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 35.
Biểu thức có giá trị bằng
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
.
Câu 36.
Giá trị của là
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
.
Câu 37. Chọn mệnh đề đúng?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 38.
Giá trị của là
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
.
Câu 39.
Cho . Giá trị của biểu thức là:
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 40.
Cho biết . Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 41.
Cho . Tìm để .
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 42.
Biểu thức bằng
A. .B..C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 43.
Rút gọn biểu thức sau
A. .B. .C. .D.
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 44.
Đơn giản biểu thức .
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 45.
Đơn giản biểu thức ta được
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 46.
Rút gọn biểu thức sau .
A. .B. .C. .D.
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 47.
Cho biết . Tính .
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A.
.
Câu 48. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A..B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
.
Câu 49. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 50.
Rút gọn biểu thức ta được
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn B.
.
Loại . HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 1.
Cho có . Độ dài cạnh là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 2.
Cho có Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác trên là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 3.
Cho có Diện tích của tam giác trên là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: Nửa chu vi : .
Áp dụng công thức Hê-rông: .
Câu 4.
Cho thỏa mãn : . Khi đó:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Câu 5.
Cho vuông tại và có . Số đo của góc là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: Trong .
Câu 6.
Cho có Độ dài cạnh bằng:
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 7.
Cho có . Số đo của góc là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Câu 8.
Cho có , nửa chu vi. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác trên là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Câu 9.
Cho có Diện tích của tam giác là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 10.
Cho tam giác thỏa mãn: . Khi đó:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Câu 11.
Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, . Đường cao của tam giác ABC là
A. B. C.D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Mặt khác: (Vì ).
Mà: .
Câu 12.
Cho tam giác , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Câu 13.
Cho tam giác . Tìm công thức sai:
A.B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 15.
Cho tam giác ABC có , góc bằng . Độ dài cạnh là ?
A. .B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Câu 16.
Cho tam giác . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn D.
Câu 17.
Cho tam giác , chọn công thức đúng ?
A. .B. .
C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
Câu 18.
Cho tam giác thoả mãn hệ thức . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. B.
C. .D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ?
A. B. .
C. D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Câu 20.
Gọi là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
A. .B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Câu 21.
Độ dài trung tuyến ứng với cạnh của bằng biểu thức nào sau đây
A. B.
C. D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Câu 22.
Tam giác có bằng biểu thức nào sau đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Câu 23.
Cho tam giác có . Khi đó :
A. Góc B. Góc
C. Góc D. Không thể kết luận được gì về góc
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Mà: suy ra: .
Câu 24. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết :
A. Độ dài cạnhB. Độ dài cạnh và góc bất kỳ
C. Số đo góc D. Độ dài cạnh và góc bất kỳ
Lời giải
Chọn C.
Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá ).
Câu 25.
Một tam giác có ba cạnh là . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Suy ra: .
Câu 26.
Một tam giác có ba cạnh là Bán kính đường tròn nội tiếp là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 27.
Một tam giác có ba cạnh là Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
A.B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Suy ra: .
Mà .
Câu 28.
Tam giác với ba cạnh là Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Suy ra:
Câu 29.
Tam giác có là điểm trên cạnh sao cho . Độ dài đoạn bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: Trong tam giác có mà suy ra là trung điểm
Suy ra: .
Câu 30.
Cho , biết và . Để tính diện tích của . Một học sinh làm như sau:
Tính
Tính
Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 31.
Câu nào sau đây là phương tích của điểm đối với đường tròn . tâm , bán kính :
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Phương tích của điểm đối với đường tròn tâm là:
Câu 32.
Khoảng cách từ đến không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm mà từ đó có thể nhìn được và dưới một góc . Biết . Khoảng cách bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 33.
Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ , tàu thứ hai chạy với tốc độ . Hỏi sau giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có: Sau quãng đường tàu thứ nhất chạy được là:
Sau quãng đường tàu thứ hai chạy được là:
Vậy: sau hai tàu cách nhau là:
Câu 34.
Từ một đỉnh tháp chiều cao , người ta nhìn hai điểm và trên mặt đất dưới các góc nhìn là và . Ba điểm thẳng hàng. Tính khoảng cách ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: Trong tam giác vuông :
Trong tam giác vuông :
Suy ra: khoảng cách
Câu 35.
Khoảng cách từ đến không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm mà từ đó có thể nhìn được và dưới một góc . Biết , . Khoảng cách bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 36.
Cho đường tròn đường kính với ; . Kết quả nào sau đây là phương tích của điểm đối với đường tròn .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Đường tròn đường kính có tâm là trung điểm và bán kính .
Suy ra: phương tích của điểm đối với đường tròn là:
Câu 37.
Cho các điểm Diện tích bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: , , .
Mặt khác .
Suy ra:
Câu 38.
Cho tam giác có Diện tích là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: ,, .
Mặt khác .
Suy ra:
Câu 39.
Cho và . Giá trị của để và cùng phương là:
A. B. .C. D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: cùng phương suy ra
Câu 40.
Cho các điểm Góc bằng bao nhiêu?
A. . B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: , .
Suy ra:
Câu 41.
Tam giác với ba cạnh là có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ?
A. B. C. .D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh huyền ).
Câu 42.
Cho tam giác có . Khi đó diện tích của tam giác là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Suy ra:
Câu 43.
Tam giác với ba cạnh là có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: . Mà
Mặt khác
Câu 44.
Tam giác với ba cạnh là có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có: (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh huyền ).
Câu 45.
Cho tam giác thoả mãn : . Khi đó :
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Câu 46.
Tam giác có ; ; . Cạnh bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: Trong tam giác : .
Mặt khác
Câu 47.
Cho tam giác , biết Tính góc ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 48.
Tam giác ABC có , , Tính ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: Trong tam giác : .
Mặt khác
Câu 49.
Tam giác có Độ dài cạnh bằng bao nhiêu ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Câu 50.
Cho tam giác , biết Tính góc ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Loại . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
Câu 1.
Trong mp cho , , . Khảng định nào sau đây sai
A., . B..
C.. D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: , nên loại A.
Phương án B: nên loại B.
Phương án C : nên loại C.
Phương án D: Ta có suy ra nên chọn D.
Câu 2.
Cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ . Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng:
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn A
Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.
Bài toán cho và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ suy ra
Do đó nên chọn A
Câu 3.
Cho các vectơ . Khi đó góc giữa chúng là
A..B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có , suy ra .
Câu 4.
Cho , . Tính góc của
A..B. .C. .D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 5.
Trong mặt phẳng cho . Tích vô hướng của 2 vectơ là:
A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.
Lời giải
Chọn A
Ta có , suy ra .
Câu 6. Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
A. và .B. và .
C. và .D. và .
Lời giải
Chọn C
Phương án A: suy ra A sai.
Phương án B: suy ra B sai.
Phương án C: suy ra C đúng.
Phương án D: suy ra D sai.
Câu 7.
Cho 2 vec tơ , tìm biểu thức sai:
A..B..
C..D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng nên loại A
Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ nên loại B
Phương án C: nên chọn C.
Câu 8.
Cho tam giác đều cạnh . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A..B..
C..D..
Lời giải
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.
Phương án A:nên loại A.
Phương án B:nên loại B.
Phương án C:, nên chọn C.
Câu 9.
Cho tam giác cân tại , và . Tính
A.. B..C..D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 10.
Cho là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A..B..
C..D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: Donên loại A.
Phương án B:nên loại B.
Phương án C: Dovà không cùng phương nên loại C.
Phương án D:, nên chọn D.
Câu 11.
Cho tam giác có , , .Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn B
Ta có , suy ra .
Câu 12.
Cho hình vuông tâm . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A..B..
C..D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A:suy ra nên loại A.
Phương án B:và suy ra nên loại B.
Phương án C: .
nên chọn C.
Câu 13.
Trong mặt phẳng cho , , . Khảng định nào sau đây đúng.
A., . B.. C..D..
Lời giải
Chọn B
Phương án A: do nên loại A
Phương án B:
Ta có suy ra , ; .nên chọn B.
Câu 14.
Cho hình vuông cạnh . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A..B..
C..D..
Lời giải
Chọn B
Phương án A:Donên loạiA.
Phương án B:Donên chọn B.
Câu 15.
Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao ; là trung điểm của . Câu nào sau đây sai?
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A:nên loại A.
Phương án B: suy ra nên loại B.
Phương án C: suy ra nên loại C.
Phương án D: không vuông góc với suy ra nên chọn D .
Câu 16.
Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao ; là trung điểm của . Khi đó bằng :
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn B
Ta có nên chọn B.
Câu 17.
Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao vẽ Câu nào sau đây đúng?
A..B..
C..D.Cả ba câu trên.
Lời giải
Chọn D
Phương án A:nên đẳng thức ở phương án A là đúng.
Phương án B:nên đẳng thức ở phương án B là đúng.
Phương án C:nên đẳng thức ở phương án C là đúng.
Vậy chọn D.
Câu 18.
Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao vẽ Câu nào sau đây đúng?
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A:do nên loại A
Phương án B:do nên loại B
Phương án C:do nên chọn C
Câu 19.
Cho hình vuông cạnh Mệnh đề nào sau đây sai?
A.B..
C..D..
Lời giải
Chọn C
Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án.
Phương án A: nên loại A.
Phương án B: nên loại B.
Phương án C:nên chọn C.
Câu 20.
Tam giác vuông ở và có góc . Hệ thức nào sau đây là sai?
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: nên loại A.
Phương án B: nên loại B.
Phương án C: nên loại C.
Phương án D:nên chọn D.
Câu 21.
Trong mặt phẳng cho 2 vectơ : và Kết luận nào sau đây sai?
A.B..C..D..
Lời giải
Chọn C
Phương án A: nên loại A
Phương án B: suy ra vuông góc nên loại B
Phương án C: nên chọn C.
Câu 22.
Trong mặt phẳng cho . Tính ?
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn B
Ta có , suy ra .
Câu 23.
Cho các vectơ . Tính tích vô hướng của
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn D
Ta có , suy ra .
Câu 24.
Cho hình vuông ABCD, tính
A..B..C.. D..
Lời giải
Chọn D
Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc sau đó mới tính
Vì .
Câu 25.
Cho hai điểm Tìm điểm thuộc trục và có hoành độ dương để tam giác vuông tại
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn C
Ta có , gọi . Khi đó , .
Theo YCBT .
Câu 26.
Cho. Tìm tọa độ điểm sao cho
A..B..C..D.
Lời giải
Chọn B
Gọi với .
Khi đó , , .
Theo YCBT nên .
Câu 27.
Cho tam giác vuông cân tại có .Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 28.
Cho hình vuông có cạnh . Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 29.
Trong mặt phẳng , cho và . Khẳng định nào sau đây là sai?
A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là .B.Độ lớn của vectơ là .
C.Độ lớn của vectơ là .D.Góc giữa hai vectơ là .
Lời giải
Chọn D
Ta có nên B đúng.
nên C đúng.
nên A đúng, D sai.
Câu 30.
Cho là trung điểm , tìm biểu thức sai:
A..B..
C..D..
Lời giải
Chọn D
Phương án A: ngược hướng suy ra nên loại A.
Phương án B:ngược hướng suy ra nên loại B.
Phương án C: cùng hướng suy ra nên loại C.
Phương án D: ngược hướng suy ra nên chọn D.
Câu 31.
Cho tam giác đều cạnh bằng và là trung điểm . Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 32.
Biết, và . Câu nào sau đây đúng
A.và cùng hướng.
B.và nằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc .
C.và ngược hướng.
D. A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn C
Ta có nên và ngược hướng
Câu 33.
Tính biết , (, )
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn A
nên
Câu 34.
Cho tứ giác lồi có . Đặt .Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn C
suy ra .
Câu 35.
Cho 2 vectơ và có , và .Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 36.
Cho tam giác có cạnh và đường cao , ở trên cạnh sao cho .Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Câu 37.
Cho tam giác có , , .Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Câu 38.
Trong mặt phẳng cho , , . Khảng định nào sau đây đúng.
A., .B..
C. Tam giác vuông cân tại .D. Tam giác vuông cân tại .
Lời giải
Chọn C
Phương án A: do nên loại A.
Phương án B:,,suy ra không vuông góc nên loại B.
Phương án C : Ta có , , , suy ra , .Nên Tam giác vuông cân tại .Do đó chọn C.
Câu 39.
Cho , . Tính .
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Câu 40.
Cho tam giác vuông tại có ,. Tính
A..B..C..D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 41.
Cho tam giác vuông tại có . là trung điểm . Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn D
Câu 42.
Cho tam giác có đường cao ( ở trên cạnh ).Câu nào sau đây đúng
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn C
Ta có nên chọn C.
Câu 43.
Cho 2 vectơ đơn vị và thỏa. Hãy xác định
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn C
, , .
Câu 44.
Cho tam giác . Lấy điểm trên sao cho.Câu nào sau đây đúng
A. là trung điểm của . B. là đường phân giác của góc .
C.. D. A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn C
Ta có nên .
Câu 45.
Cho hình thang vuông có đáy lớn , đáy nhỏ , đường cao .Tính
A..B. .C. .D.
Lời giải
Chọn A
Vìnên chọn A.
Câu 46.
Cho tam giác vuông tại có , . Tính
A..B..C..D..
Lời giải
ChọnB
Ta có nên chọn B.
Câu 47.
Cho hai vectơ và . Biết =2 , = và .Tính
A..B..C..D..
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Câu 48.
Cho hai điểm phân biệt. Tập hợp những điểm thỏa mãn là :
A.Đường tròn đường kính.B. Đường tròn.
C. Đường tròn .D. Một đường khác.
Lời giải
Chọn A
.
Tập hợp điểm là đường tròn đường kính .
Câu 49.
Cho ba điểm phân biệt. Tập hợp những điểm mà là :
A. Đường tròn đường kính.
B.Đường thẳng đi qua và vuông góc với.
C. Đường thẳng đi qua và vuông góc với.
D. Đường thẳng đi qua và vuông góc với.
Lời giải
Chọn B
.
Tập hợp điểm là đường thẳng đi qua và vuông góc với .
Câu 50.
Cho hai điểm , . Tìm trên tia sao cho
A..B. .C. hay .D..
Lời giải
Chọn C
Gọi , với . Khi đó . Theo YCBT ta có ,nên chọn C.
www.thuvienhoclieu.com Trang 1
(
)
o
cos180cos
aa
+=-
3
3
65
.
4
525660
84.
22
abc
p
++++
===
()()()84(8452)(8456)(8460)1344
Sppapbpc
=---=---=
52.56.6065
444.13442
abcabc
SR
RS
=Þ===
3,4,5.
1.
2.
3.
2.
345
6.
22
abc
p
++++
===
3
2
()()()6(63)(64)(65)
1.
6
ppapbpc
S
Sprr
pp
------
=Þ====
ABC
6,42,2.
abc
===
M
BC
3
BM
=
AM
9.
9.
3.
3
1
108.
2
ABC
66
aBC
=Þ=
3
BM
=
M
.
BC
222
22
93
24
a
bca
AMmAM
+
==-=Þ=
ABC
D
12
(;)
aABaa
==
uuur
r
12
(;)
bACbb
==
uuur
r
1
S
ABC
D
()
I
.
cos
.
ab
A
ab
=
r
r
r
r
()
II
(
)
(
)
2
2
2
2
.
sin1os1
.
ab
AcA
ab
=-=-
r
r
r
r
()
III
(
)
22
2
11
...
22
SABACsinAabab
==-
rr
rr
()
IV
(
)
(
)
(
)
2
2222
12121122
1
2
Saabbabab
=++-+
33
cos30sin603
22
°°
+=+=
(
)
2
1221
1
2
Sabab
=+
1221
1
()
2
Sabab
=-
()
I
()
II
()
III
()
IV
.
cos
.
ab
A
ab
=
r
r
r
r
(1;2)
M
()
C
(2;1)
I
-
sin36cos6sin126cos84
E
°°°°
=
2
R
=
6.
8.
0.
5.
-
(3;1)10
MIMI
=-Þ=
uuur
M
()
C
I
(
)
2
2222
(21)(12)46.
MIR
-=--+--=
1
2
A
B
C
A
B
7824'
o
250,120
CAmCBm
==
AB
266.
m
255.
m
3
2
166.
m
298.
m
22222
2..cos2501202.250.120.cos7824'64835255.
o
ABCACBCBCACAB
=+-=+-Þ
;;
A
0
60
30/
kmh
40/
kmh
2
km
13.
1
1513.
2013.
15.
2
h
1
30.260.
Skm
==
2
h
2
40.280.
Skm
==
2
h
220
1212
2..cos602013.
SSSSS
=+-=
80
CDm
=
1
-
A
B
0
7212'
0
3426'
,,
ABD
AB
71.
m
91.
m
79.
m
40.
m
(
)
o
sin180sin
aa
+=
(
)
(
)
1
sin36cos6sin9036cos906sin36cos6cos36sin6
sin30
2
E
°°°°°°°°°°°
=+-=-==
CDA
0
00
80
tan7212'25,7.
tan7212'tan7212'
CDCD
AD
AD
=Þ==
;
CDB
0
00
80
tan3426'116,7.
tan3426'tan3426'
CDCD
BD
BD
=Þ==
;
116,725,791.
ABm
=-=
A
B
C
A
B
2222
sin51sin55sin39sin35
A
°°°°
=+++
0
5616'
200
CAm
=
180
CBm
=
AB
163.
m
224.
m
112.
m
180.
m
222220
2..cos2001802.200.180.cos5616'32416180.
ABCACBCBCACAB
=+-=+-Þ
;;
()
C
3
AB
(1;2)
A
--
(2;1)
B
(1;2)
M
()
C
3.
4.
5.
-
2.
(3;3)32
ABAB
=Þ=
uuur
4
()
C
AB
11
;
22
I
æö
-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
AB
32
22
AB
R
==
M
()
C
22
2.
MIR
-=
(1;2),(2;3),(0;4).
ABC
--
ABC
D
1
13
.
2
13.
26.
13
.
4
(3;5)34
ABAB
=-Þ=
uuur
(1;6)37
ACAC
=-Þ=
uuur
(2;1)5
BCBC
=Þ=
uuur
37345
22
ABACBC
p
++++
==
13
()()().
2
SppABpACpBC
=---=
ABC
2
(1;1),(3;3),(6;0).
ABC
--
ABC
D
12.
6.
62.
9.
(2;2)22
ABAB
=-Þ=
uuur
(5;1)26
ACAC
=Þ=
uuur
(3;3)32
BCBC
=Þ=
uuur
.0
ABBCABBC
=Þ^
uuuruuur
(
)
(
)
(
)
(
)
22222222
sin51sin39sin55sin35sin51cos51sin55cos55
2
A
°°°°°°°°
=+++=+++=
1
.6.
2
ABC
SABBC
D
==
(2;3)
a
=-
r
(5;)
bm
=
r
m
a
r
b
r
6.
-
13
2
-
12.
-
15
2
-
cos60sin30
°°
+
,
ab
rr
515
.
232
m
m
=Þ=-
-
(1;1),(2;4),(10;2).
ABC
-
·
BAC
0
90
0
60.
0
45.
0
30.
(1;3)
AB
=
uuur
(9;3)
AC
=-
uuur
3
2
·
·
0
.
cos090.
.
ABAC
BACBAC
ABAC
==Þ=
uuuruuur
uuuruuur
5;12;13
6.
8.
13
2
11
2
222
13
51213.
2
R
+=Þ=
1
2
ABC
4,6,8
abc
===
3
915.
315.
105.
2
15.
3
468
9.
22
abc
p
++++
===
()()()315.
Sppapbpc
=---=
5;12;13
2.
22.
23.
(
)
o
cot180cot
aa
+=-
3
3
3.
51213
15
2
p
++
==
222
1
51213.5.1230.
2
S
+=Þ==
.2.
S
Sprr
p
=Þ==
6;8;10
5.
42.
52.
6
222
10
68105.
2
R
+=Þ==
11
cos60sin301
22
°°
+=+=
1
2
ABC
222
3
bcabc
+-=
0
30.
A
=
0
45.
A
=
0
60.
A
=
0
75
A
=
222
0
33
cos30.
222
bcabc
AA
bcbc
+-
===Þ=
ABC
16,8
a
=
tan30cot30
°°
+
µ
0
5613'
B
=
µ
0
71
C
=
c
29,9.
14,1.
17,5.
19,9.
ABC
µ
µ
µ
µ
00000
180180715613'5247'
ABCA
++=Þ=--=
0
0
.sin16,8.sin71
19,9.
sinsinsinsinsinsin
sin5247'
abcacaC
c
ABCACA
==Þ=Þ==
;
4
3
ABC
24,13,15.
abc
===
A
0
3334'.
0
11749'.
0
2837'.
0
5824'.
222222
0
1315247
cos11749'.
22.13.1515
bca
AA
bc
+-+-
===-Þ
;
µ
0
6812'
A
=
µ
0
3444'
B
=
13
3
+
117.
AB
=
AC
68.
168.
118.
200.
ABC
µ
µ
µ
µ
00000
1801806812'3444'774'
ABCC
++=Þ=--=
0
0
.sin117.sin3444'
68.
sinsinsinsinsinsin
sin774'
abcACABABB
AC
ABCBCC
==Þ=Þ==
;
ABC
2
3
µ
0
8,3,60.
acB
===
b
49.
97
7.
61.
222220
2cos832.8.3.cos60497
bacacBb
=+-=+-=Þ=
ABC
13,14,15.
abc
===
B
2
0
5949'.
0
537'.
0
5929'.
0
6222'.
222222
0
13151433
cos5929'.
22.13.1565
acb
BB
ac
+-+-
===Þ
;
Oxy
(
)
4;6
A
(
)
1;4
B
3
7;
2
C
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
3;2
AB
=--
uuur
343
tan30cot303
33
°°
+=+=
9
3;
2
AC
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
uuur
.0
ABAC
=
uuuruuur
13
AB
=
uuur
13
2
BC
=
uuur
(
)
3;2
AB
=--
uuur
.0
ABAC
=
uuuruuur
13
AB
=
uuur
9
3;
2
AC
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
uuur
5
6;
2
BC
æö
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
uuur
2
2
513
6
22
BC
æö
÷
ç
÷
=+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
sin0cos01
°°
+=
a
r
b
r
0
r
..
abab
=
rrrr
.0
ab
=
rr
.1
ab
=-
rr
..
abab
=-
rrrr
a
r
b
r
0
r
sin90cos901
°°
+=
(
)
0
,0
ab
=
rr
o
...cos0.
ababab
==
rrrrrr
(
)
(
)
1;2,2;6
ab
=-=--
rr
o
45
o
60
o
30
o
135
(
)
(
)
1;2,2;6
ab
=-=--
rr
(
)
.102
cos;
2
5.40
.
ab
ab
ab
===
rr
rr
rr
(
)
o
;45
ab
Þ=
rr
180
°
sin180cos1801
°°
+=-
(
)
2;1
OM
=--
uuur
(
)
3;1
ON
=-
uuur
(
)
,
OMON
uuuruuur
o
135
2
2
-
o
135
-
2
2
(
)
(
)
o
.52
cos,,135
2
5.10
.
OMON
OMONOMON
OMON
-
===-Þ=
uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
uuuur
uuur
Oxy
(
)
(
)
1;3,2;1
ab
==-
rr
sin60cos601
°°
+=
.
ab
rr
(
)
(
)
1;3,2;1
ab
==-
rr
(
)
.1.23.11
ab
=-+=
rr
(
)
2;1
a
=-
r
(
)
3;4
b
=-
r
(
)
3;4
a
=-
r
(
)
3;4
b
=-
r
(
)
2;3
a
=--
r
(
)
6;4
b
=-
r
(
)
7;3
a
=-
r
cos60sin30
°°
=
(
)
3;7
b
=-
r
(
)
(
)
.2.31.4100
ab
=-+-=-¹
rr
(
)
(
)
.3.34.40
ab
=-+-¹
rr
(
)
.2.63.40
abab
=---=Þ^
rrrr
(
)
(
)
.7.33.7420
ab
=+--=¹
rr
(
)
(
)
1212
;,;
aaabbb
==
rr
1122
...
ababab
=+
rr
(
)
...cos,
ababab
=
rrrrrr
(
)
2
22
1
.
2
ababab
éù
êú
=+-+
êú
ëû
uurur
rrrr
(
)
2
22
1
.
2
ababab
éù
êú
=+--
êú
ëû
uurur
rrrr
cos60sin120
°°
=
1122
...
ababab
=+
rr
(
)
...cos,
ababab
=
rrrrrr
(
)
(
)
2
222222
11
2
22
abababababab
éù
éù
êú
+-+=+-++=-
êú
êú
êú
ëû
ëû
uururuururuurur
rrrrrr
ABC
2
a
=
(
)
.2
ABACBCBC
=
uuuruuuruuuruuur
.2
BCCA
=-
uuuruur
(
)
.4
ABBCAC
+=-
uuuruuuruuur
(
)
.2
BCACBA
-=
uuuruuuruuur
(
)
o
..cos602.2
ABACABACxABACBCBC
==Þ=
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
cos30sin120
°°
=
o
..cos1202
BCCABCAC
==-
uuuruur
(
)
..4
ABBCACACAC
+==
uuuruuuruuuruuuruuur
o
.2.2.cos1202
BCCA
==-
uuuruur
ABC
A
µ
o
120
A
=
ABa
=
.
BACA
uuuruur
2
2
a
2
2
a
-
sin60cos120
°°
=-
2
3
2
a
2
3
2
a
-
o2
1
...cos120
2
BACABACAa
==-
uuuruur
ABC
.0
ABAC
=
uuuruuur
..
ABACACAB
=-
uuuruuuruuuruuur
(
)
(
)
..
ABACBCABACBC
=
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
..
ABACBABC
=
uuuruuuruuuruuur
o
...cos600
ABACABAC
=¹
uuuruuur
.0
..
.0
ABAC
ABACACAB
ACAB
ü
ï
>
ï
ï
Þ¹-
ý
ï
-<
ï
ï
þ
uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
sin45sin452
°°
+=
(
)
.
ABACBC
uuuruuuruuur
(
)
.
ABACBC
uuuruuuruuur
ABACBCa
===
2
..
2
a
ABACBABC
==
uuuruuuruuuruuur
ABC
(
)
1;2
A
(
)
1;1
B
-
(
)
5;1
C
-
cos
A
2
5
sin30cos601
°°
+=
1
5
-
1
5
2
5
-
(
)
2;1
AB
=--
uuur
(
)
4;3
AC
=-
uuur
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
2
2.41.3
.51
cos=
.
5255
21.43
ABAC
A
ABAC
-+--
-
===-
-+-+-
uuuruuur
ABCD
O
.0
OAOB
=
uuuruuur
1
..
2
OAOCOAAC
=
uuuruuuruuuruuur
sin60cos1500
°°
+=
..
ABACABCD
=
uuuruuuruuuruuur
..
ABACACAD
=
uuuruuuruuuruuur
OAOB
^
uuuruuur
.0
OAOB
=
uuuruuur
.0
OAOC
=
uuuruuur
1
.0
2
OAAC
=
uuuruuur
1
..0
2
OAOCOAAC
==
uuuruuuruuuruuur
o2
2
...cos45.2.
2
ABACABACABABAB
===
uuuruuur
02
...cos180
ABCDABDCAB
==-
uuuruuur
..
ABACABCD
Þ¹
uuuruuuruuuruuur
sin120cos300
°°
+=
Oxy
(
)
1;1
A
--
(
)
3;1
B
(
)
6;0
C
(
)
4;2
AB
=--
uuur
(
)
1;7
AC
=
uuur
µ
o
135
B
=
20
AB
=
uuur
3
BC
=
uuur
(
)
4;2
AB
=
uuur
(
)
sin180sin
aa
°
-=-
a
(
)
4;2
AB
=
uuur
20
AB
=
uuur
(
)
4;2
BA
=--
uuur
(
)
3;110
BCBC
=-Þ=
uuur
µ
o
.101
cos135
.
20.102
BABC
BB
BABC
--
===Þ=
uuuruuur
ABCD
a
2
.
DACBa
=
uuuruuur
2
.
ABCDa
=-
uuuruuur
(
)
2
.
ABBCACa
+=
uuuruuuruuur
b
..0
ABADCBCD
+=
uuuruuuruuuruuur
02
...0
DACBDACBcosa
==
uuuruuur
o2
...cos180
ABCDABCDa
==-
uuuruuur
ABCD
4
ABa
=
2
CDa
=
3
ADa
=
I
AD
2
.8
ABDCa
=
uuuruuur
)
ab
<
.0
ADCD
=
uuuruuur
.0
ADAB
=
uuuruuur
.0
DADB
=
uuuruuur
o2
...cos08
ABDCABDCa
==
uuuruuur
ADCD
^
uuuruuur
.0
ADCD
=
uuuruuur
ADAB
^
uuuruuur
.0
ADAB
=
uuuruuur
DA
uuur
DB
uuur
coscos
ab
<
.0
DADB
¹
uuuruuur
ABCD
4
ABa
=
2
CDa
=
3
ADa
=
I
AD
(
)
.
IAIBID
+
uuruuruur
2
9
2
a
2
9
2
a
-
sinsin
ab
<
0
2
9
a
(
)
(
)
2
9
..2.
2
a
IAIBIDIAIAABIDIAID
+=++==-
uuruuruuruuruuruuuruuruuruur
ABC
a
,;
AHBK
.
HIAC
^
.2.
BABCBABH
=
uuuruuuruuuruuur
.4.
CBCACBCI
=
uuuruuruuuruur
(
)
.2.
ACABBCBABC
-=
uuuruuuruuuruuuruuur
tantan0
ab
+>
2.2.
BCBHBABCBABH
=Þ=
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
4.4.
CACICBCACBCI
=Þ=
uuruuruuuruuruuuruur
(
)
(
)
2
2
..
.2.
1
2.2...
2
ACABBCBCBCa
ACABBCBABC
BABCaaa
ü
ï
ï
-==
ï
ï
Þ-=
ý
ï
ï
==
ï
ï
þ
uuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuur
ABC
a
,;
AHBK
.
HIAC
^
(
)
2
.
ABACBCa
+=
uuuruuuruuur
2
.
8
a
CBCK
=
uuuruuur
2
.
2
a
ABAC
=
uuuruuur
cotcot
ab
>
2
.
2
a
CBCK
=
uuuruuur
(
)
22
...0
22
aa
ABACBCABBCACBC
+=+=-+=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2
o
...cos0
2
a
CBCKCBCK
==
uuuruuur
2
o
...cos60
2
a
ABACABAC
==
uuuruuur
ABCD
.
a
.0.
ABAD
=
uuuruuur
2
.
ABACa
=
uuuruuur
2
.
ABCDa
=
uuuruuur
2
().
ABCDBCADa
++=
uuuruuuruuuruuur
ABC
D
.0
ABADABAD
^Þ=
uuuruuuruuuruuur
o2
...cos45
ABACABACa
==
uuuruuur
o2
...cos180
ABCDaaa
==-
uuuruuur
ABC
A
µ
o
50
B
=
(
)
o
, 130
ABBC
=
uuuruuur
(
)
o
, 40
BCAC
=
uuuruuur
(
)
o
, 50
ABCB
=
uuuruuur
(
)
o
, 120
ACCB
=
uuuruuur
A
(
)
(
)
0o
, 180, 130
ABBCABCB
=-=
uuuruuuruuuruuur
(
)
(
)
o
, , 40
BCACCBCA
==
uuuruuuruuuruur
(
)
(
)
o
, , 50
ABCBBABC
==
uuuruuuruuuruuur
(
)
(
)
0o
, 180, 140
ACCBCACB
=-=
uuuruuuruuruuur
(
)
;,
Oij
rr
36
aij
=+
rrr
84.
bij
=-
rrur
.0.
ab
=
rr
ab
^
rr
.0
ab
=
rr
B
.0
ab
=
rr
(
)
(
)
3;6;8;4
ab
==-
rr
.24240
ab
=-=
rr
.0
ab
=
rr
a
r
b
r
(
)
2
222
.36.840
ab
=++-¹
rr
Oxy
(
)
(
)
(
)
1;2,4;1,5;4
ABC
·
BAC
(
)
cos180cos
aa
°
-=
30
°
o
60
o
45
o
90
o
120
(
)
3;1
AB
=-
uuur
(
)
4;2
AC
=
uuur
(
)
.102
cos;
.2
10.20
ABAC
ABAC
ABAC
===
uuuruuur
uuuruuur
(
)
o
;45
ABAC
Þ=
uuuruuur
(
)
(
)
1;3,2;5
ab
=-=
rr
(
)
2
aab
+
rrr
1
cos
3
B
=
16
26
36
16
-
.10
aa
=
rr
.13
ab
=-
rr
(
)
216
aab
+=-
rrr
(
)
cos,
ABCA
uuuruur
1
2
1
2
-
3
sin
2
C
=
2
2
2
2
-
(
)
,
ABCA
uuuruur
(
)
cos,
ABCA
uuuruur
(
)
(
)
(
)
oo
2
,180,135cos,
2
ABCAABCAABCA
=-=Þ=-
uuuruuruuuruuruuuruur
(
)
(
)
3,2, 4,3.
AB
-
M
Ox
MAB
M
1
cos
2
C
=
(
)
7;0
M
(
)
5;0
M
(
)
3;0
M
(
)
9;0
M
(
)
(
)
3,2, 4,3
AB
-
(
)
;0,0
Mxx
>
(
)
3;2
AMx
=+-
uuuur
(
)
4;3
BMx
=--
uuur
(
)
(
)
2
2
.0603;0
3
xl
AMBMxxM
x
é
=-
ê
=Û--=ÞÞ
ê
=
ê
ë
uuuuruuur
(
)
(
)
(
)
2; 5, 1; 3, 5; 1
ABC
-
1
sin
2
B
=
K
32
AKBCCK
=+
uuuruuuruuur
(
)
4;5
K
-
(
)
4;5
K
-
(
)
4;5
K
-
(
)
4;5
K
--
(
)
;
Kxy
,
xy
Î
¡
(
)
2;5
AKxy
=--
uuur
(
)
312;12
BC
=-
uuur
3
coscos30
2
B
°
==
(
)
2210;22
CKxy
=-+
uuur
32
AKBCCK
=+
uuuruuuruuur
212210
51222
xx
yy
ì
ï
-=+-
ï
í
ï
-=-++
ï
î
(
)
4
4;5
5
x
K
y
ì
ï
=-
ï
ÛÞ-
í
ï
=
ï
î
ABC
A
2
BCa
=
.
CACB
uuuruuur
2
.
CACBa
=
uuuruuur
.
CACBa
=
uuuruuur
cos75cos50
°°
>
2
.
2
a
CACB
=
uuuruuur
.2
CACBa
=
uuuruuur
2
2
.2.
2
.
aaa
CACB
==
uuuruuur
ABCD
a
.
ABAD
uuuruuur
0
a
a
2
2
2
a
sin80sin50
°°
>
o
...cos900
ABADaa
==
uuuruuur
Oxy
(
)
2;1
a
=-
r
(
)
3;4
b
=-
r
10
-
a
r
5
b
r
5
o
90
tan45tan60
°°
<
(
)
2
2
215
a
=+-=
r
(
)
2
2
345
b
=-+=
r
(
)
(
)
.2.31.4100
ab
=-+-=-¹
rr
M
AB
..
MAABMAAB
=-
uuuruuur
..
MAMBMAMB
=-
uuuruuur
..
AMABAMAB
=
uuuuruuur
..
MAMBMAMB
=
uuuruuur
,
MAAB
uuuruuur
cos30sin60
°°
=
o
...cos180.
MAABMAABMAAB
==-
uuuruuur
,
MAMB
uuuruuur
o
...cos180.
MAMBMAMBMAMB
==-
uuuruuur
,
AMAB
uuuuruuur
o
...cos0.
AMABAMABAMAB
==
uuuuruuur
,
MAMB
uuuruuur
o
...cos180.
MAMBMAMBMAMB
==-
uuuruuur
ABC
a
H
(
)
tan180tan
aa
°
-=
sincos
a
aa
+=
BC
.
AHCA
uuuruur
2
3
4
a
2
3
4
a
-
2
3
2
a
2
3
2
a
-
(
)
2
o
33
...cos,..cos150
24
aa
AHCAAHCAAHCAa
===-
uuuruuruuuruur
a
r
b
r
0
¹
r
sin.cos
aa
..
abab
=-
rrrr
a
r
b
r
a
r
b
r
o
120
a
r
b
r
(
)
(
)
...cos,.cos,1
abababababab
=-Û=-Û=-
rrrrrrrrrrrr
a
r
2
sin.cos
a
aa
=
b
r
(
)
,
ab
rr
1
..
2
abab
=-
rrrr
a
r
b
r
0
¹
r
o
120
o
135
o
150
o
60
sin.cos2
a
aa
=
(
)
(
)
111
...cos,.cos,
222
abababababab
=-Û=-Û=-
rrrrrrrrrrrr
(
)
o
,120
ab
=
rr
ABCD
6cm
AD
=
vABDCCB
=--
ruuuruuuruuur
.
vAD
ruuur
2
18cm
2
24cm
2
36cm
2
48cm
2
1
sin.cos
2
a
aa
-
=
vABDCCBABCDBCAD
=--=++=
ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
22
.36cm
vADAD
==
ruuur
a
r
b
r
4
a
=
r
5
b
=
r
(
)
o
,120
ab
=
rr
ab
+
rr
21
61
2
1
sin.cos
2
a
aa
-
=
21
61
(
)
(
)
222
22
2.2cos,21
ababababababab
+=+=++=++=
rrrrrrrrrrrrrr
ABC
6cm
BC
=
AH
H
BC
2
BHHC
=
.
ABBC
uuuruuur
(
)
2
2
2
1
sincos12sincossincos
2
a
a
aaaaaa
-
=+=+Þ=
2
24cm
-
2
24cm
2
18cm
2
18cm
-
(
)
2
.....24cm
ABBCAHHBBCAHBCHBBCHBBC
=+=+==-
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuur
ABC
(
)
1;2
A
(
)
1;1
B
-
(
)
5;1
C
-
.
ABAC
uuuruuur
2
cos
3
a
=-
7
5
7
-
5
-
(
)
(
)
(
)
.2.41.35
ABAC
=-+--=-
uuuruuur
Oxy
(
)
1;1
A
-
(
)
1;3
B
(
)
1;1
C
-
(
)
4;2
AB
=
uuur
cot3tan
2cottan
E
aa
aa
+
=
+
(
)
2;4
BC
=-
uuur
ABBC
^
uuuruuur
ABC
A
ABC
B
(
)
2;2
AB
=
uuur
(
)
2;2
AB
=
uuur
(
)
0;4
BC
=-
uuur
.8
ABBC
=-
uuuruuur
19
13
-
AB
uuur
BC
uuur
(
)
2;2
AB
=
uuur
(
)
2;2
AC
=-
uuur
(
)
0;4
BC
=-
uuur
8
ABAC
==
.0
ABAC
=
uuuruuur
ABC
A
(
)
1;2
a
=-
r
(
)
cot180cot
aa
°
-=-
19
13
(
)
1;3
b
=--
r
(
)
,
ab
rr
(
)
o
,120
ab
=
rr
(
)
o
,135
ab
=
rr
(
)
o
,45
ab
=
rr
(
)
o
,90
ab
=
rr
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
o
222
2
1.12.3
.51
cos,,45
5102
.
11.13
ab
abab
ab
-+--
====Þ=
+--+-
rr
rrrr
rr
ABC
A
µ
o
60
B
=
25
13
ABa
=
.
ACCB
uuuruuur
2
3
a
2
3
a
-
3
a
0
o2
3
...cos1503.2.3
2
ACCBACBCaaa
æö
÷
ç
÷
ç
==-=-
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
uuuruuur
ABC
A
12cm
AC
=
25
13
-
M
AC
.
BMCA
uuuruur
144
2
cm
144
-
2
cm
72
2
cm
72
-
(
)
(
)
2
22
2
22
2
2
3
2
3tan12
cot3tan13tan32cos19
cos
2cottan113
2tan1cos
11tan
1
cos
E
a
aaaa
a
aa
aa
a
a
-
+-
++-
======
+
++
++
+
2
cm
(
)
2
.....72cm
BMCABAAMCABACAAMCAAMCA
=+=+==-
uuuruuruuuruuuuruuruuuruuruuuuruuruuuuru
ur
ABC
BH
H
AC
..
BACABHHC
=
uuuruur
..
BACAAHHC
=
uuuruur
..
BACAAHAC
=
uuuruur
..
BACAHCAC
=
uuuruur
cot5
a
=
(
)
......
BACABHHACABHCAHACAHACAAHAC
=+=+==
uuuruuruuuruuuruuruuuruuruuuruuruuuruur
a
r
b
r
2
ab
+=
rr
(
)
(
)
3425
abab
-+
rrrr
7
5
7
-
5
-
1
ab
==
rr
2
2cos5sincos1
E
aaa
=++
(
)
2
24.1
ababab
+=Û+=Û=
rrrrrr
(
)
(
)
22
34256207.7
abababab
-+=-+=-
rrrrrrrr
ABC
M
BC
..0
ABAMACAM
-=
uuuruuuuruuuruuuur
M
BC
AM
A
10
26
AMBC
^
(
)
..00.0
ABAMACAMAMABACAMCB
-=Û-=Û=
uuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuur
AMBC
^
ABCD
4
ABa
=
2
CDa
=
3
ADa
=
.
DABC
uuuruuur
2
9
a
-
2
15
a
100
26
0
2
9
a
(
)
2
...9
DABCDABAADDCDAADa
=++==-
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
ABC
C
9
AC
=
5
BC
=
.
ABAC
uuuruuur
9
81
50
26
3
5
(
)
.....81
ABACACCBACACACCBACACAC
=+=+==
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuur
a
r
b
r
a
r
b
r
3
(
)
o
,120
ab
=
rr
ab
+
rr
101
26
73
+
73
-
723
-
723
+
(
)
(
)
222
22
2.2,723
ababababababcosab
+=+=++=++=-
rrrrrrrrrrrrrr
,
BC
M
2
.
CMCBCM
=
uuuruuuruuur
BC
(
)
;
BBC
a
(
)
222
22
11101
sin2cot5cot3cot5cot1
26
sin1cot
E
aaaaa
aa
æö
÷
ç
÷
=++=++=
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
(
)
;
CCB
22
..0.0
CMCBCMCMCBCMCMMB
=Û-=Û=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
M
BC
,,
ABC
M
..
CMCBCACB
=
uuuruuuruuruuur
AB
A
BC
(
)
(
)
22
cossincossin2,
xxxxx
++-="
B
AC
C
AB
(
)
....0.0.0
CMCBCACBCMCBCACBCMCACBAMCB
=Û-=Û-=Û=
uuuruuuruuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuruuu
ruuuuruuur
M
A
BC
(
)
2,2
A
(
)
5,2
B
-
2222
tansintansin,90
xxxxx
°
-="¹
M
Ox
·
o
90
AMB
=
(
)
1,6
M
(
)
6,0
M
(
)
1,0
M
(
)
6,0
M
(
)
0,1
M
(
)
;0
Mx
xR
Î
4422
sincos12sincos,
xxxxx
+=-"
(
)
(
)
2;2,5;2
AMxBMx
=--=-
uuuuruuur
(
)
(
)
2
.02547x60
AMBMxxx
=Û---=-+=
uuuuruuur
(
)
(
)
11;0
66;0
xM
xM
é
=Þ
ê
Þ
ê
=Þ
ê
ë
6622
sincos13sincos,
xxxxx
-=-"
(
)
(
)
662222
sincossincos1sincos
xxxxxx
-=--
(
)
1cossin
0,180
sin1cos
xx
xx
xx
°°
-
=¹¹
+
(
)
1
tancot0,90,180
sincos
xxx
xx
°°°
+=¹
(
)
22
22
1
tancot20,90,180
sincos
xxx
xx
°°°
+=-¹
22
sin2cos22
xx
+=
b
22
sin2cos21
xx
+=
22
sincos1
aa
+=
22
sincos1
2
a
a
+=
22
sincos1
aa
+=
22
sin2cos21
aa
+=
22
sincos1
aa
+=
22
sincos1
2
a
a
+=
22
sincos1
aa
+=
22
sincos1
aa
+=
2
cos
3
a
=-
sinsin
ab
=
tan
a
5
4
5
2
-
5
2
5
2
-
cos0tan0
aa
<Þ<
2
2
1
1tan
cos
a
a
+=
2
5
tan
4
a
Û=
5
tan
2
a
Þ=-
tan1tan2tan3...tan88tan89
A
°°°°°
=
coscos
ab
=-
0
2
3
1
(
)
(
)
(
)
tan1.tan89.tan2.tan88...tan44.tan46.tan4
51
A
°°°°°°°
==
222222
sin2sin4sin6...sin84sin86sin88
°°°°°°
++++++
21
23
22
24
tantan
ab
=-
222222
sin2sin4sin6...sin84sin86sin88
S
°°°°°°
=++++++
(
)
(
)
(
)
222222
sin2sin88sin4sin86...sin44sin46
°°°°°°
=++++++
(
)
(
)
(
)
222222
sin2cos2sin4cos4...sin44cos4422
°°°°°°
=++++++=
sin2cos21
aa
+=
22
sincos1
aa
+=
22
sincos1
aa
+=
22
sincos1
aa
+=
sincos2
aa
+=
44
sincos
aa
+
3
2
cotcot
ab
=
1
2
1
-
0
sincos2
aa
+=
(
)
2
2sincos
aa
Þ=+
1
sin.cos
2
aa
Þ=
(
)
2
442222
11
sincossincos2sincos12
22
aaaaaa
æö
÷
ç
÷
+=+-=-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
(
)
(
)
4466
3sincos2sincos
fxxxxx
=+-+
1
2
a
3
-
0
4422
sincos12sincos
xxxx
+=-
6622
sincos13sincos
xxxx
+=-
(
)
(
)
(
)
2222
312sincos213sincos1
fxxxxx
=---=
(
)
4222
coscossinsin
fxxxxx
=++
1
2
2
-
1
-
sin0
a
<
(
)
(
)
222222
coscossinsincossin1
fxxxxxxx
=++=+=
2222
tansintansin
xxxx
-+
1
-
0
2
1
(
)
(
)
2
222222222
2
sin
tansintansintansin1sincossin0
cos
x
xxxxxxxxx
x
-+=-+=-+=
tan5.tan10.tan15...tan80.tan85
A
°°°°°
=
2
1
cos0
a
>
0
1
-
(
)
(
)
(
)
tan5.tan85.tan10.tan80...tan40tan50.tan4
51
A
°°°°°°°
==
442
sincos12cos
xxx
-=-
4422
sincos12sincos
xxxx
-=-
442
sincos12sin
xxx
-=-
442
sincos2cos1
xxx
-=-
(
)
(
)
(
)
442222222
sincossincossincos1coscos12cos
xxxxxxxxx
-=-+=--=-
2222
cos73cos87cos3cos17
B
°°°°
=+++
2
tan0
a
>
2
2
-
1
(
)
(
)
(
)
(
)
22222222
cos73cos17cos87cos3cos73sin73cos87sin872
B
°°°°°°°°
=+++=+++=
1
3
cot
a
=
3sin4cos
2sin5cos
A
aa
aa
+
=
-
15
13
-
13
-
15
13
13
cot0
a
<
3sin4sin.cot34cot
13
2sin5sin.cot25cot
A
aaaa
aaaa
++
===
--
2
cos
3
a
=-
cot3tan
2cottan
E
aa
aa
-
=
-
25
3
-
11
13
-
11
3
-
25
13
-
(
)
(
)
2
22
2
22
2
2
3
4
43tan1
cot3tan13tan4cos311
cos
2cottan13
2tan3cos1
31tan
3
cos
E
a
aaaa
a
aa
aa
a
a
-
-+
---
======-
-
--
-+
-
tancot
m
aa
+=
m
(
)
sinsin180
aa
°
=--
22
tancot7
aa
+=
9
m
=
3
m
=
3
m
=-
3
m
=±
(
)
2
22
7tancottancot2
aaaa
=+=+-
2
9
m
Þ=
3
m
Û=±
(
)
2
cottan
aa
+
22
11
sincos
aa
-
(
)
coscos180
aa
°
=--
22
cottan2
aa
+
22
11
sincos
aa
+
22
cottan2
aa
+
(
)
(
)
(
)
2
2222
22
11
cottancot2cot.tantancot1tan1
sincos
aaaaaaaa
aa
+=++=+++=+
(
)
(
)
22
tancottancot
Axxxx
=+--
4
A
=
1
A
=
2
A
=
3
A
=
(
)
(
)
2222
tan2tan.cotcottan2tan.cotcot4
Axxxxxxxx
=++--+=
(
)
tantan180
aa
°
=-
(
)
222
1sincot1cot
Gxxx
=-+-
2
sin
x
2
cos
x
1
cos
x
cos
x
(
)
222222
1sin1cot1sin.cot11cossin
Gxxxxxx
éù
=--+=-+=-=
êú
ëû
sin
cot
1cos
x
Ex
x
=+
+
sin
x
1
cos
x
1
sin
x
(
)
cot180
aa
°
=-
cos
x
(
)
(
)
cos1cossin.sin
sincossin
cot
1cossin1cos
sin1cos
xxxx
xxx
Ex
xxx
xx
++
=+=+=
++
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
cos1cos1cos
cos1cos1cos1cos
1
sin
sin1cossin1cos
xxx
xxxx
x
xxxx
++-
+++-
===
++
22
2
cotcossin.cos
cot
cot
xxxx
A
x
x
-
=+
1
A
=
2
A
=
3
A
=
4
A
=
222
22
22
cotcossin.coscossin.cos
11sinsin1
cotcot
cotcot
xxxxxxx
Axx
xx
xx
-
=+=-+=-+=
1
tan
2
a
=
a
cot
a
cot2
a
=
cot2
a
=
1
cot
4
a
=
1
cot
2
a
=
1
tan.cot1cot2
tan
x
x
aa
=Þ==
(
)
2
sincos12sincos
xxxx
=
4422
sincos12sincos
xxxx
+=
(
)
2
sincos12sincos
xxxx
+=+
6622
sincos1sincos
xxxx
+=
b
(
)
(
)
(
)
(
)
333
6622222222
sincossincossincos3sincos.sin.cos
xxxxxxxxxx
+=+=+-+
22
13sin.cos
xx
=-
22
sincos1
aa
+=
(
)
2
2
1
1cotsin0
sin
aa
a
+=¹
(
)
tan.cot1sin.cos0
aaaa
=-¹
(
)
2
2
1
1tancos0
cos
aa
a
+=¹
sincos
tan.cot.1
cossin
xx
xx
aa
==
2
1
2sin.cos
sinx
P
xx
-
=
1
tan
2
Px
=
1
cot
2
Px
=
sincos
ab
=
2cot
Px
=
2tan
Px
=
22
1coscos1
cot
2sin.cos2sin.cos2sin2
sinxxx
Px
xxxxx
-
====
ABC
D
µ
0
6,8,60
bcA
===
a
213.
312.
237.
20.
tancot
ab
=
2220
2cos36642.6.8.cos6052213
abcbcAa
=+-=+-=Þ=
ABC
D
84,13,14,15.
Sabc
====
R
8,125.
130.
8.
8,5.
....13.14.1565
444.848
ABC
abcabc
SR
RS
D
=Û===
ABC
D
1
cot
cot
b
a
=
6,8,10.
abc
===
S
48.
24.
12.
30.
ABC
D
2
abc
p
++
=
()()()12(126)(128)(1210)24
Sppapbpc
=---=---=
ABC
D
cossin
ab
=-
2cos2
B
=
0
30.
B
=
0
60.
B
=
0
45.
B
=
0
75.
B
=
µ
0
2
2cos2cos45.
2
BBB
=Û=Þ=
ABC
D
B
µ
0
25
C
=
A
(
)
coscos90sin
abb
°
=-=
0
65.
A
=
0
60.
A
=
0
155.
A
=
0
75.
A
=
ABC
D
µ
µ
µ
µ
µ
µ
000000
180180180902565
ABCABC
++=Þ=--=--=
ABC
D
0
60,8,5.
Bac
===
b
7.
3
sin150
2
°
=-
129.
49.
129
222220
2cos852.8.5.cos60497
bacacBb
=+-=+-=Þ=
ABC
D
µ
µ
00
45,75
CB
==
A
0
65.
A
=
0
70
A
=
0
60.
A
=
3
cos150
2
°
=
0
75.
A
=
µ
µ
µ
µ
µ
µ
000000
180180180754560.
ABCABC
++=Þ=--=--=
ABC
D
103
S
=
10
p
=
r
3.
2.
2.
3.
1
tan150
3
°
=-
103
3.
10
S
Sprr
p
=Þ===
ABC
D
0
4,5,150.
acB
===
53.
5.
10.
103.
0
11
..sin.4.5.sin1505.
22
ABC
SacB
D
===
ABC
2cos1
A
=
cot1503
°
=
0
30.
A
=
0
45.
A
=
0
120.
A
=
0
60.
A
=
µ
0
1
2cos1cos60.
2
AAA
=Û=Þ=
3
cos
5
A
=
a
h
72
.
2
8.
83.
sin90sin100
°°
<
803.
22222
3
2cos752.7.5.3242.
5
abcbcAa
=+-=+-=Þ=
2222
9164
sincos1sin1cos1sin
25255
AAAAA
+=Þ=-=-=Þ=
sin0
A
>
4
7.5.
11sin72
5
..sin.
222
42
ABCaa
bcA
SbcAahh
a
D
==Þ===
ABC
222
2
.
24
a
bca
m
+
=+
222
2
.
24
a
acb
m
+
=-
222
2
.
24
a
abc
m
+
=-
222
2
22
.
4
a
cba
m
+-
=
(
)
o
tan180tan
aa
+=-
cos95cos100
°°
>
222222
2
22
.
244
a
bcabca
m
++-
=-=
ABC
2.
sin
a
R
A
=
sin.
2
a
A
R
=
sin2.
bBR
=
sin
sin.
cA
C
a
=
2.
sinsinsin
abc
R
ABC
===
1
sin.
2
SbcA
=
1
sin.
2
SacA
=
1
sin.
2
SbcB
=
tan85tan125
°°
<
1
sin.
2
SbcB
=
111
sinsinsin
222
SbcAacBabC
===
8,10
ab
==
C
0
60
c
321
c
=
72
c
=
211
c
=
221
c
=
cos145cos125
°°
>
222220
2..cos8102.8.10.cos6084221
cababCc
=+-=+-=Þ=
ABC
1
..
2
ABC
Sabc
D
=
sin
a
R
A
=
222
cos
2
bca
B
bc
+-
=
222
2
22
4
c
bac
m
+-
=
ABC
222
2.cos
ABACBCACABC
=+-
222
2.cos
ABACBCACBCC
=-+
222
2.cos
ABACBCACBCC
=+-
tan45cot135
°°
+
222
2.cos
ABACBCACBCC
=+-+
ABC
2
bca
+=
coscos2cos.
BCA
+=
sinsin2sin.
BCA
+=
1
sinsinsin
2
BCA
+=
sincos2sin.
BCA
+=
2
2sinsin2sin.
sinsinsinsinsinsin2sinsinsin
bc
abcbcbcbc
RBCA
ABCABCABC
+
++
===Þ==Û=Û+=
+
sin(2)sin3.
ABCC
+-=
cossin
22
BCA
+
=
2
sin()sin.
ABC
+=
2
cossin
22
ABCC
++
=
000
2
18090coscos90cossin
222222
ABCCBCCBCC
ABC
æöæöæö
++++
÷÷÷
ççç
÷÷÷
++=Þ=+Þ=+Û=-
ççç
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø
222
abc
Smmm
=++
ABC
222
3
()
4
Sabc
=++
222
Sabc
=++
222
3
()
2
Sabc
=++
222
3()
Sabc
=++
222222222
222222
3
().
2424244
abc
bcaacbabc
Smmmabc
+++
=++=-+-+-=++
0
c
m
c
ABC
D
222
.
24
bac
+
-
222
.
24
bac
+
+
(
)
222
1
22.
2
bac
+-
222
4
bac
+-
222222
2222
1
(22)
24242
cc
bacbac
mmbac
++
=-Þ=-=+-
ABC
cos
B
3
222
.
2
bca
bc
+-
2
1sin.
B
-
cos().
AC
+
222
.
2
acb
ac
+-
222
222
2coscos
2
acb
bacacBB
ac
+-
=+-Þ=
ABC
222
0
abc
+->
0
90
C
>
0
90
C
<
0
90
C
=
1
.
C
222
cos
2
abc
C
ab
+-
=
222
0
abc
+->
0
cos090
CC
>Þ<
3
2
1
3
1
2
tan45cot135110
°°
+=-=
3
2
13,14,15
84.
84.
42.
168.
131415
21
22
abc
p
++++
===
()()()21(2113)(2114)(2115)84
Sppapbpc
=---=---=
26,28,30.
cos30sin60
°°
+
16.
8.
4.
42.
262830
42.
22
abc
p
++++
===
()()()42(4226)(4228)(4230)
8.
42
ppapbpc
S
Sprr
pp
------
=Þ====
52,56,60.
65
.
8
40.
32,5.
![¾þnùªÉ +Éè®ú vÉc÷EòxÉ · 2019. 5. 12. · 3 ¾þnùªÉ +Éè®ú vÉc÷÷EòxÉ ´É¹ÉÇ-7, +ÆEò-80, +MɺiÉ 20, 2016ºÉÒ¨ºÉ ½þÉìκ{É]õ±É ¨É±]õÒº{É䄪ÉɱÉÒ]õÒ](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/5fcde111e26d8f48c815a815/n-vcex-2019-5-12-3-n-vcex.jpg)
