Климко В.П., учитель математики

«Правильные многогранники»Урок геометрии в 10 классе

Цель урока:- ознакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников - правильными, полуправильными и звездчатыми многогранниками; -показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез;

- показать связь геометрии и природы.

Задачи:

Образовательные:

формирование навыка переработки научных текстов, обобщения материала, развитие критичности мышления;

Развивающие:

развитие самостоятельности при освоении знаний, творческой инициативы и творческих способностей;

формирование навыка публичных выступлений, способности к рассуждениям перед аудиторией и защите своей точки зрения;

развитие творческой активности и самостоятельности мышления учащихся;

привитие навыков научной работы;

Воспитательные:

воспитывать потребность к активной самостоятельной работе и взаимообучению;

способствовать развитию устойчивого интереса к математике через обучение с применением информационных технологий.

Тип урока: семинарское занятие, длительность - 90 минут.

Урок построен в форме семинарского занятия, является второй частью модуля «Многогранники». Класс разбился на группы, каждая группа выбрала один из предложенных вопросов, изучив теоретический материал, оформила информационный продукт с помощью программных средств Microsoft Power Point, Microsoft Word, который будет представлен на уроке. Предварительно с каждой группой учителем были проведены консультации, оказана помощь в подготовке к уроку.

1

Оборудование урока и ресурсное обеспечение.

1. Мобильный компьютерный класс с программами Windows-98(200) с подключением сети Интернет, мультимедийный проектор, экран.

2. Развертки правильных многогранников.3. Модели правильных многогранников.

Структура урока.

1. Организационный момент (5 минут)2. Постановка учебной задачи урока(5 минут)3. Практическая часть семинарского занятия.(30 минут)

Решение задачи на формулу Эйлера. Доказательство свойства выпуклых многогранников: В любом

выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Доказательство теоремы Эйлера методом математической индукции.

4. Теоретическая часть.(30 минут) Правильные многогранники (15 минут) Полуправильные многогранники (10 минут) Звездчатые многогранники (5 минут)

4. Анализ представленного материала, обмен мнениями (5 минут)

5. Домашнее задание (5 минут)

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Постановка учебной задачи урока.

Ла́зарь Аро́нович Люсте́рник советский математик, доктор физико-математических наук (1935), член-корреспондент АН СССР (1946) сказал: «Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников,— одна из самых увлекательных глав геометрии» и мы сегодня продолжим путешествие в этот увлекательный мир. (Учитель знакомит класс с планом работы на уроке)

3. Практическая часть семинарского занятия. Трое учащихся работают у доски по следующим вопросам:

1.Решить задачу. Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности, равен 25, а вписанной в него окружности – 12. Найдите стороны треугольника. (Ответ 8√21, 10√21, 10√21 или 48,40,40. Указание. Применить формулу Эйлера d2= R2- 2Rr)

2

2.Используя соотношение Эйлера доказать следующее свойство выпуклых многогранников: В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти. (Пусть грани правильного многогранника, существование которого доказываем,- правильные m-угольники, а его многогранные углы n-гранные, причём, очевидно, должно быть m>=3, n>=3. По формуле Эйлера В+Г-Р=2 .Подсчитаем число рёбер по числу граней. Так как в каждой грани m рёбер, а всего граней Г, то число рёбер всех граней mГ, и так как каждое из этих рёбер принадлежит двум смежным граням, то число рёбер многогранника в два раза меньше, т.е.P=mГ/2; Г=2Р/m . Подсчитаем теперь число рёбер другим способом, по числу вершин. Так как в каждой вершине сходится n рёбер, а число вершин В, то число рёбер, сходящихся во все вершины, nВ, и так как каждое ребро проходит через две вершины, то число рёбер многогранника в два раза меньше, т.е. P=nB/2 или B=2P/n . Подставив найденные значения в формулу Эйлера получаем: 2P/n+ 2Р/m - P=2; т.к. Р>0, то 2/n+ 2/m - 1>0 . Так как m и n ограниченные снизу (m>=3, n>=3) , то используем неравенство:2/n+ 2/m > 1, чтобы найти их верхние границы. Это неравенство можно записать в виде m+n> mn/2 . Сразу видно, что m и n должны быть меньше 6, иначе их сумма не будет больше их полупроизведения. Исключается случай, когда m=5 и n=5, и когда m=5 и n=4 (или m=4 и n=5). Таким образом, указанной выше системе условий удовлетворяют следующие пары чисел: m: 3 3 4 5 3 , n: 3 4 3 3 5

3. Доказать теорему Эйлера методом математической индукции.

Доказательство. Мы доказали на прошлом уроке, что выражение В+Г' -Р не меняет своего значения, если провести в любой грани диагональ. Действительно, после проведения одной такой диагонали в сетке число вершин не изменится, граней и рёбер станет на одну больше. В+(Г' +1) – (Р+1) = В + Г' - Р. Доказываемое выражение для новой сетки равно доказываемому выражению для старой сетки. Пользуясь этим свойством, разобьём сетку на треугольники проведением диагоналей и докажем для триангулированной сетки равенство В+Г' - Р =1 методом математической индукции. Если сетка состоит из одного треугольника, то В=3, Г' =1, Р=3,3+1 – 3=1 Верно. Пусть равенство имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней (n+1)-й треугольник. Его можно присоединить двояко: либо, как треугольник АВС – одной стороной к контуру сетки; либо как треугольник MNL – одним углом к контуру. В первом случае новая сетка будет иметь В+1 вершин, Г' + 1 граней и Р+ 2 рёбер.(В+1) + (Г' + 1) – (Р+2)=В+Г -Р Верно. Во втором случае новая сетка будет иметь В вершин, Г +1 граней и Р+1 рёбер. В + (Г' +1) – (Р+1)= В+Г' - Р Таким образом, при любом присоединении (n+1)-го треугольника выражение не

3

меняется и если оно равнялось 1 для n треугольников, оно равняется 1 и для сетки из (n+1)-го треугольника. Поэтому для данного многогранника имеет место равенство В+Г – Р =2.

Весь класс решает следующую задачу: Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение. Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками Д 1, Д 2, Д 3, а колодцы – точками К 1, К2,К3. Каждую точку – домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются. Эти ребра образуют на плоскости многоугольник, разделенный на мелкие многоугольники – грани. Поэтому для числа вершин, ребер и граней должно выполняться соотношение Эйлера В-Р+Г=1. Добавим к рассматриваемым граням еще одну- внешнюю часть плоскости по отношению к исходному многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера примет вид В-Р+Г=2, причем В=6 и Р=9. Следовательно, Г=5. Каждая из пяти граней имеет, по крайней мере, четыре ребра, поскольку по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше (5*4)/2=10, что противоречит условию задачи, по которому их число равно9. Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен.

II. Теоретическая часть семинарского занятия.

Лью́ис Кэ́рролл настоящее имя Чарльз Лю́твидж До́джсон английский писатель, математик, логик, философ, диакон и фотограф сказал “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.” Итак, мы должны получить ответ на вопрос: «Почему многогранников так мало, и почему они проникли в самые глубины различных наук»

1.Правильные многогранники.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши. Форма первоэлемента Земли - куб, Воздуха - октаэдр, Огня - тетраэдр, Воды - икосаэдр, а всему миру творец придал форму пятиугольного додекаэдра. О том, что Земля имеет форму шара, учили Пифагорейцы. По Пифагору, существует 5 телесных фигур: высшее божество само построило Вселенную на основании геометрической формы додекаэдра. Земля подобна Вселенной, и у Платона Земля – тоже додекаэдр. Греческая математика, в которой впервые появилась теория многогранников, развивалась под большим влиянием знаменитого мыслителя Платона.

4

Платон (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, основатель Академии и родоначальник традиции платонизма. Одним из существенных черт его учения является рассмотрение идеальных объектов - абстракций. Математика, взяв на вооружение идеи Платона, со времен Евклида изучает именно абстрактные, идеальные объекты. Однако и сам Платон, и многие древние математики вкладывали в термин идеальный не только смысл абстрактный, но и смысл наилучший. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Тетраэдр (правильная пирамида) — состоит из 4 равносторонних треугольников. Октаэдр — состоит из 8 равносторонних треугольников, сходящихся по 4 в каждой вершине. Гексаэдр (куб) — состоит из 6 квадратов. Додекаэдр — состоит из 12 правильных пятиугольников. Икосаэдр — состоит из 20 равносторонних треугольников, сходящихся по 5 в каждой вершине. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них ука-

тся число граней: «эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека» - 12

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Рассмотрим развертку вершины такого многогранника. Каждая вершина может принадлежать трем и более граням. (учащимся на парты раздаются развертки, и доказательство проводится наглядно)

5

Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника - равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику. Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° - получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° - этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник. Три пятиугольные грани дают угол развертки 3*72°=216 - вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°. Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует. Таким образом, существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

«Кубок Кеплера»

Кеплер Иоганн (Kepler I, 1571-1630г) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. ( «Гармония мира», 1619г.) И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Результаты его расчётов

6

хорошо согласовались с действительными расстояниями между планетными орбитами. Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой небесных сфер, по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет - именно шесть планет гармонировали с пятью Платоновыми телами. Однако даже на тот момент эта привлекательная модель имела один существенный недостаток: сам же Кеплер показал, что планеты вращаются вокруг Солнца не по окружностям (сферам), а по эллипсам (первый закон Кеплера). Нечего и говорить, что позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

«Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли»

Замечено, что наша матушка-Земля последовательно проходит эволюцию правильных объемных фигур. Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с вышеуказанными фигурами. Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозою - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит). Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. «Лучи» этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств,

7

позволяющих объяснить многие непонятные явления.

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро-додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов. В. Макаров и В. Морозов утверждают, что в настоящее время процессы жизнедеятельности Земли имеют структуру додекаэдра-икосаэдра. Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро-икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.

С позиций изучения симметрии, учитывая представление о додекаэдро-икосаэдрическом силовом каркасе Земли как планеты, следует признать, что в этом смысле Земля является живым существом. С душою, которую П.А. Флоренский назвал “пневматосфера”, со свободой воли и разумом.

Додекаэдрическая структура, по мнению Д. Винтера (американского математика), присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. В процессе деления яйцеклетки сначала образуется

8

тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!

Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном

искусстве.

Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.

9

«Правильные многогранники и природа»

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис.). Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрическо го тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квар-цами (K[Al(SO4)2] × 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кри-сталлов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

2.Полуправильные многогранники.

Архимедовы тела

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник); Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности, все многогранные углы при вершинах конгруэнтны. Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Каталановы тела10

Двойственные архимедовым телам, так называемые Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

То есть, полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

Все грани являются правильными многоугольниками; Все грани одинаковы; Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной

симметрии.

Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.

Многогранник – Архимедово тело

Двойственный – каталаново тело

Кубооктаэдр

Ромбододекаэдр

Икосододекаэдр

Ромботриаконтаэдр

11

Усечённый тетраэдр

Триакистетраэдр Усечённый октаэдр

Тетракисгексаэдр

Усечённый икосаэдр

Пентакисдодекаэдр

Усечённый куб

Триакисоктаэдр

Усечённый додекаэдр

Триакисикосаэдр Ромбокубо Дельтоидальный икоситетраэдр

12

октаэдрРомбоикосододекаэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр

Ромбоусечённый кубооктаэдр

Гекзакисоктаэд

Ромбоусечённый икосододекаэдр

Гекзакисикосаэдр

Курносый куб Пентагональный икоситетраэдр

Курносый додекаэдр Пентагональный гексеконтаэдр

13

3.Звездчатые многогранники.

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников грани попарно соединяются в ребрах, при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами. Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам. Правильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера-Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера-Пуансо.

На данных рисунках каждая грань для красоты и наглядности окрашена собственным цветом.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа Например Снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Тетраэдр и куб.

Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более не пересекаются.

Звёздчатый октаэдр

14

Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера». По сути она является соединением двух тетраэдров. Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера». По сути она является соединением двух тетраэдров.

Звёздчатые формы додекаэдра

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник. Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Звёздчатые формы икосаэдра

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру),называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром. Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.Икосаэдр имеет

15

двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр (см. рис) состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.

4. Анализ представленного материала, обмен мнениями.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши. Обычно модели многогранников конструируют из разверток и лент, но есть и другой способ: конструирование звездчатых многогранников оригами. В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания фигурок оригами содержится бесконечное множество скрытых возможностей. Оригами – наглядная модель евклидовой геометрии, она позволяет представить красивое решение об объединении нескольких правильных многогранников. Поэтому я предлагаю следующее домашнее задание

5.Домашнее задание.

Инициировать проект - конкурс по изготовлению моделей многогранников в рамках естественнонаучного отделения нашего лицея «Этот удивительный многогранник » для учащихся 10 классов. Учащиеся разбиваются на группы, распределяют круг обязанностей по следующим направлениям.

1. Разработать теоретическую часть проекта.

2. Изучить методику изготовления многогранников с помощью разверток, подготовить развертки, образцы и рекомендации по изготовлению моделей для учащихся.

3. Изучить методику изготовления моделей оригами и подготовить образцы и методические рекомендации по изготовлению моделей для учащихся.

16