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IES EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS ICURSO 2018-2019

NOMBRE: GRUPO:

NO HA CONSEGUIDO los objetivos del área por

No alcanzar contenidos, habilidades y actitudes mínimas

Falta de interés

Reiteradas faltas de asistencia injustificadas

No realizar los trabajos que se le encargan

Mantener una actitud pasiva

Mantener una actitud indisciplinada

Falta de estudio / atención / concentración

A la vista de este informe considero que el alumno no ha superado los objetivos mínimos de la asignatura y se le califica NEGATIVAMENTE.En consecuencia, para poder superar la asignatura deberá presentarse al examen extraordinario que se realizará en el mes de septiembre.Asimismo se le proponen las siguientes medidas y actividades complementarias y/o de refuerzo.

MEDIDAS Y ACTIVIDADES DE REFUERZO Y RECUPERACIÓN

Estudiar los conceptos teóricos en tu libro, repasar los ejercicios resueltos en tu cuaderno de clase a lo

largo del curso y realizar los ejercicios del trabajo de verano, que deberán presentarse el día del

examen con el fin de ser valorados en la nota final.

Murcia, a 21 de junio de 2019

El profesor/ La profesora

Fdo.:

NOTA IMPORTANTE:

LOS TRABAJOS PROPUESTOS PARA REPASAR TODOS LOS CONTENIDOS TRABAJADOS DE ESTA ASIGNATURA LOS PUEDES ENCONTRAR EN FORMATO PAPEL EN LA CONSERJERÍA DEL CENTRO O BIEN PUEDES DESCARGARLOS DE LA WEB DEL IES, SECCIÓN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

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Criterios evaluación Matemáticas Aplicadas CCSS I

BLOQUE 0: Resolución de problemas

1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y la precisión adecuados.

2. Analiza y comprende el enunciado a resolver o demostrar (datos, relaciones entre los datos, condiciones, hipótesis, conocimientos matemáticos necesarios, etc.).

3. Valora la información de un enunciado y la relaciona con el número de soluciones del problema.4. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, valorando su

utilidad y eficacia.5. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas.6. Reflexiona sobre el proceso de resolución de problemas.7. Utiliza diferentes métodos de demostración en función del contexto matemático.8. Reflexiona sobre el proceso de demostración (estructura, método, lenguaje y símbolos, pasos, etc.).9. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.10. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.11. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o

teorema a demostrar, tanto en la búsqueda de resultados como para la mejora de la eficacia en la comunicación de las ideas matemáticas.

12. Conoce la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.

13. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y el problema de investigación planteado.

14. Profundiza en la resolución de algunos problemas, planteando nuevas preguntas, generalizando la situación o los resultados, etc.

15. Generaliza y demuestra propiedades de contextos matemáticos numéricos, algebraicos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos.

16. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; tecnologías y matemáticas, ciencias experimentales y matemáticas, economía y matemáticas, etc.) y entre contextos matemáticos (numéricos y geométricos, geométricos y funcionales, geométricos y probabilísticos, discretos y continuos, finitos e infinitos, etc.).

BLOQUE 1: Aritmética y álgebra

1. Reconoce los distintos tipos números y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.

2. .Realiza operaciones numéricas con eficacia, empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o herramientas informáticas.

3. Utiliza la notación numérica más adecuada a cada contexto y justifica su idoneidad.4. Obtiene cotas de error y estimaciones en los cálculos aproximados que realiza valorando y justificando la

necesidad de estrategias adecuadas para minimizarlas.5. Conoce y aplica el concepto de valor absoluto para calcular distancias y manejar desigualdades.6. Resuelve problemas en los que intervienen números reales y su representación e interpretación en la recta

real.

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7. Valora los números complejos como ampliación del concepto de números reales y los utiliza para obtener la solución de ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales sin solución real.

8. Aplica correctamente las propiedades para calcular logaritmos sencillos en función de otros conocidos.

9. Resuelve problemas asociados a fenómenos físicos o económicos mediante el uso de logaritmos y sus propiedades

10. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, estudia y clasifica un sistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve, mediante el método de Gauss, en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas.

11. Resuelve problemas en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones (algebraicas y no algebraicas) e inecuaciones (primer y segundo grado), e interpreta los resultados en el contexto del problema.

BLOQUE 2: Análisis

1. Reconoce analítica y gráficamente las funciones reales de variable real elementales.2. Selecciona de manera adecuada y razonada ejes, unidades, dominio y escalas, y reconoce e identifica los

errores de interpretación derivados de una mala elección.3. Interpreta las propiedades globales y locales de las funciones, comprobando los resultados con la ayuda de

medios tecnológicos en actividades abstractas y problemas contextualizados.4. Extrae e identifica informaciones derivadas del estudio y análisis de funciones en contextos reales.5. Comprende el concepto de límite, realiza las operaciones elementales de cálculo de los mismos, y aplica los

procesos para resolver indeterminaciones.6. Determina la continuidad de la función en un punto a partir del estudio de su límite y del valor de la función,

para extraer conclusiones en situaciones reales.7. Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa la función en un entorno de los puntos de

discontinuidad.8. Calcula la derivada de una función usando los métodos adecuados y la emplea para estudiar situaciones reales

y resolver problemas.9. Deriva funciones que son composición de varias funciones elementales mediante la regla de la cadena.10. Determina el valor de parámetros para que se verifiquen las condiciones de continuidad y derivabilidad de una

función en un punto.11. Representa gráficamente funciones, después de un estudio completo de sus características mediante las

herramientas básicas del análisis.12. Utiliza medios tecnológicos adecuados para representar y analizar el comportamiento local y global de las

funciones.

BLOQUE 3: Estadística y Probabilidad

1. Elabora tablas bidimensionales de frecuencias a partir de los datos de un estudio estadístico, con variables estadísticas

2. Calcula e interpreta los parámetros estadísticos más usuales en variables bidimensionales.3. Calcula las distribuciones marginales y diferentes distribuciones condicionadas a partir de una tabla de

contingencia, así como sus parámetros (media, varianza y desviación típica).4. Decide si dos variables estadísticas son o no dependientes a partir de sus distribuciones condicionadas y

marginales.5. Usa adecuadamente medios tecnológicos para organizar y analizar datos desde el punto de vista estadístico,

calcular parámetros y generar gráficos estadísticos.6. Distingue la dependencia funcional de la dependencia estadística y estima si dos variables son o no

estadísticamente dependientes mediante la representación de la nube de puntos.

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7. Cuantifica el grado y sentido de la dependencia lineal entre dos variables mediante el cálculo e interpretación del coeficiente de correlación lineal.

8. Calcula las rectas de regresión de dos variables y obtiene predicciones a partir de ellas.9. Evalúa la fiabilidad de las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresión mediante el coeficiente de

determinación lineal.10. Describe situaciones relacionadas con la estadística utilizando un vocabulario adecuado

CONCEPTOS BÁSICOS

Operaciones con polinomios

1. Calcula y simplifica:

4. La expresión C (t ) = 2000·(1 + 0,05)t da el capital acumulado al cabo de t años para un capital inicial de 2000 € puesto a un 5 % de interés en un determinado banco. ¿Cuál será ese capital al cabo de 2 años? ¿Y al cabo de 4 años?[sol] 2205 €; 2431,01 €5. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios:

4


8. Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes divisiones:a) x 5 + x − 2x 3 : x − 1

b) 2x 3 − x 5 − 3x : x − 3

[sol] Resto: a) 0; b) −198; c) −3

Tipo II. Factorización de polinomios9. Factoriza los siguientes polinomios:

a) P(x) = 3x3 – 9x2 + 6x b) P(x) = 2x2 + x – 15c) P(x) = 8x4 + 80x3 + 200x2 d) P(x) = 6x5 + 14x4 + 4x3

[sol] a) 3x(x – 1)(x – 2) b) 2(x + 3)(x – 5/2) c) 8x2(x + 5)2 d) 6x3(x + 2)(x + 1/3)

Tipo III. Fracciones algebraicas10. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 21x 2 b) 4 − x c) 3x 2 − 4x7x − 14x 2 3x − 12 x 3

[sol] a) 3x b) − 1 c) 3x 2 − 41 − 2x 3 x 2

11. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) x 2 + 6x − 7 b) 4x 2 − 40x + 100 c) 3x 3 − 6x 2

2x − 2 4x 2 − 100 3x4 + 24x 3 − 60x 2

[sol] a) x + 7 b) x − 5 c) 12 x + 5 x + 10

12. Halla, simplificando el resultado:

a) x − 1 + 2 b) 2x − x − 1

5


x + 1 x 2

c) 1 − 2 + 4 − 8 d) 3x − 2 − 3x − 3x 3 x 4xx 2 x x + 2

[sol] a) x 2 + 1 b) 2x 3 − x + 1 c) x 3 − 2x 2 + 4x − 8 d) 7 x − 4x + 1 x 2 x 4 x(x + 2)

13. Halla, simplificando el resultado:

a)x 2 − 1 x + 1

b)x + 3 x 2 − 4x + 4

: ⋅x + 2 x 2 − 9x x − 2

[sol] a) x 2 + x − 2 b) x − 2x x − 3

Tipo IV. Aplicaciones14. Desde Sevilla a Toulouse se puede ir en un número exacto de horas viajando a 100 km/h o a 130 km/h de velocidad media. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades, si a 80 km/h se tarda menos de25 horas? [sol] 1300 km.15. De una cuba llena de vino se saca 1/6 de su capacidad; después, 1/4 de lo que queda. Si aún quedan 100 litros, ¿cuál es la capacidad de la cuba?[sol] 160 litros16. Un grifo llena un depósito en 10 horas, y otro en 8 horas.

a. ¿Cuánto llenan entre los dos en una hora?b. ¿Cuánto tardarían en llenarlo entre los dos?

[sol] a) 9/40 b)40/9 horas

INTRODUCCIÓN AL NÚMERO REAL

Tipo I. Relación de orden y recta real. Operaciones

1. Calcula las potencias:a) 3-3, (−3)3, (−3)-3, −3-3 b)(1/3)-3, (−1/3)3, −(−1/3)-3 c) 3-1 – (1/3)-1

[sol] a) 1 ; 27 ; − 1 (b) 27; − 1 ; 2727 27 27

2. Simplifica y no dejes exponentes negativos: a) 8A −1B 2 −2b)

(A −1 )2 (−B)3

c)(−A)−3 (2B)−1

(−AB)−2 4AB −3

[sol] a) A 2 (b) − B 5 (c) − B 2

2 B 4 8A 48

3. Simplifica y da el resultado en forma radical: a) 5A1/ 3 2A1/ 2 b) (16A −2 / 3B 2 / 3 )1/ 2

6


[sol] a) 106 A 5 b) 4 3 B

A

4. Los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1, ¿tienen medida racional oirracional? [sol] Irracional

5. Ordena de menor a mayor y representa en la recta real los siguientes números:

9 d) 23 e) − 0,0256a) –0,75 b) c) 34 220

[sol] −0,75 < − 0,0256 <23 < 9 < 32 20 4

6. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real, los conjuntos:(a) A = {x ∈ R x < −1} b) B = {x ∈ R x < ½ y x ≥ –0,5}c) C = {x∈ R x ≤ 1 y x > 3} d) D = {x∈ R −2,5 ≤ x < 1,2}

[sol] a) (−∞, −1) b) [−1/2, ½) c) ∅ d) [−5/2, 6/5)

7. Escribe la desigualdad que cumplen los números que pertenecen a los intervalos:a) (− ∞ , 2] b) [2, 5] c) (−1, 3) ∪ [0, ∞ ) d) [0, 3) ∩ (−1, 1] [sol] a)

{x, x ≤ 2} b) {x, 2 ≤ x ≤ 5} c) {x, −1< x ≤ ∞} d) {x, 0 ≤ x≤ 1}

8. Escribe en forma de desigualdad y de intervalo los números que verifican:a) X ≤ 3 b) X ≥ 3 c) X − 1 ≤ 0

[sol] a) [−3, 3] b) (−∞, −3] ∪ [3, ∞) c) {1}

9. Encuentra los intervalos unión e intersección de:1. I = {x ∈ R, │x + 1│< 1} y J = [−1 ,2)

2. K = {x∈ R, X − 1 ≥ 2} y L = {x, X + 2 ≤ 2}[sol] a) I ∪ J = (−2, 2); I∩J = [−1, 0). b) (−∞, 0] ∪ [3, ∞) ∪ [−4, 0]; [−4, −1]

10. Halla y representa en la recta real los números que distan de –1 menos de 2 unidades [sol] (−3, 1)

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ECUACIONES E INECUACIONES

Tipo I: Ecuaciones de primer grado

1. Resuelve: X − 1 − 2(X + 2) =3X + 1 [sol] −21/114 3 6

2. Juan gasta un tercio del dinero que tiene en la compra de un libro. Más tarde, paga la entrada al cine, costándole la mitad del dinero que le queda más 0,72 euros. Si aún le sobran 2,25 €,¿cuánto dinero tenía en un principio? [sol] 8,91 €

3. Tres operarios trabajan en total 96 horas semanales en una cadena de producción. Si el tiempo dedicado por uno de ellos a este fin son los 3/5 del tiempo empleado por otro y éste los 5/8 del dedicado por el tercero, ¿qué horas semanales permanece en la cadena cada trabajador? [sol] 18, 30 y 48.

4. Un padre tiene actualmente 47 años y la suma de las edades de sus dos hijos es de 31. ¿Dentro de cuántos años la suma de las edades de los hijos será la edad del padre?[sol] 16

5. Se mezclan 50 litros de aceite de girasol de 0,99 €/l con aceite de 0,78 €/l, obteniéndose una mezcla de 0,9 €/l. ¿Cuántos litros se han empleado del aceite más barato?[sol] 37,5

Tipo II: Ecuaciones de segundo grado

6. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:a) 3x2 + x = 0 b) 3(x + 1)2 = 27 c) 4x2 − 4x − 35 = 0 [sol] a) 0

y −1/3; b) 2 y −4; c) 7/2 y −5/2

7. ¿Cuánto tiene que valer C en la ecuación 3x2 + 5x + C = 0 para que posea dos, una o ninguna solución?[sol] Respectivamente: <, =, > 25/12

8. Una obra la realizan dos operarios, trabajando conjuntamente, en 12 días. Uno de ellos emplea 10 días más que el otro si trabaja sólo. ¿Cuántos días necesita cada obrero paracompletar la obra en solitario? [sol] 20 y 30

Tipo III: Ecuaciones reducibles a cuadráticas

9. Resuelve las ecuaciones:a) X 2 − 4 = 12 b) X − X = 6 c) 2X − 3 X − 3 = X + 3

[sol] a) ±4; b) 9; c) 3 y 12

10. Calcula las soluciones de:

a) x4 − 9x2 = 0 b) 3X 2 + 1 = 8 c) X 4 − 3X 2 + 2 = 02X + 1

[sol] a) 0, 3 y −3 b) ±1 c) ± 2 y ±1

9


11. Resuelve:a) 1 − 4X = 0 b) X 2 − 3X + 2 = 0 c) − 2 = 4 d) X − 2 =X + 4

22X − 1 X + 1 3X − 1 1 − X X + 1 X + 2

[sol] a) 1/4 b) 2 y 1 c) 1/5 d) −8/5

Tipo IV: Inecuaciones

12. Resuelve las inecuaciones:

a) 3x < 0 b) X ≥ −1 c) 1 − X ≤ 2 d) 2 <− 15 2 3 X2

[sol] a) x<0 b) x ≥ -5 c) x ≥ 2/3 d) x > −4

13. Halla el intervalo solución de las inecuaciones:

a) –x +2 + 4x > x + 2 b) X − 5X ≤ 1 − X3 2

c) X + 3 <X − 1 + 1 d) 2 + 3 ≥ − 1− 2 6 X 5

[sol] a) x > 0 b) −6/25 ≤ x c) −7/2 < x d) X ≤ − 1511

14. Un pastor afirma que en su rebaño de 120 ovejas, el triple de las CHURRAS es mayor que el cuádruplo de las MERINAS. ¿Qué número mínimo de ovejas CHURRAS tiene el rebaño? [sol] 69

15. Resuelve las inecuaciones siguientes:a) x (x + 1) < 0 b) –2x2 + 10 > 26 c) 4x2 + 4x > 0 [sol] a)

−1 < x < 0 b) ∅ c) (-∞, -1) ∪ (0, ∞)

16. Halla gráficamente la solución de las inecuaciones cuadráticas:a) 2x2 + 9x < 0 b) 3x2 − 27 > 0 c) (x+1)(x-3) > 0 [sol] a)

(−9/2, 0) b) R − [−3, 3] c) R − [−1, 3]

17. Resuelve gráfica y analíticamente la inecuación −x2 +2x +3 > 0 [sol] (-1, 3)

18. Halla la solución de:

a) 2 ≤ 0 b) X + 2 ≤ 1 c) 0 ≤ − X2 + 13X − 2 2X − 1 X

[sol] a) x < 2/3 b) (-∞, ½) ∪ [3, ∞) c) x ≤ 0

19. Representa en la recta la solución de las inecuaciones:< 1 X + 1 > 3a) X − 2 b)

[Sol] a) 1 < x < 3. b) X ∈ (−∞, − 4) ∪ (2, + ∞)

20. Resuelve las inecuaciones:

a) ≤ 1 − 1X b) X + 2 > 2 c) > −23 2X + 3

[sol] a) [0, 1/9] b) x > 2 c) x > −11/8

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Tipo I. Sistemas lineales y problemas asociados

1. Resuelve los siguientes sistemas:X + Y + 1 − Y = Y +1 X + Y = − Y + 1

X + 2 Y = −2 2X − 3Y = 22 2a) b)

Xc) d) X − Y3X − Y = 5 − Y = 1 6X − Y = 1 − X= 1

2 2[sol] a) 8/7, −11/7 b) 4, 1 c) 1/16, −5/8 d) 4/5, 2/5.

2. Añade a la ecuación 6x – 2y = –3 otra ecuación, de forma que resulte un sistema:a) Determinado. b) Indeterminado. c) Incompatible.

3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:X + Y + Z = 1 2X − Y + Z = 3 X + 2Z = −1

− X + 3 Y + Z = 0a) 2X + 3Y − 4Z = 9 b)X + 2 Y + Z = 1 c)

Y − 3Z = 5X − Y + Z = −1 4X + 2 Y − 3Z = 11[sol] a) 1, 1, −1 b) 2, 0, −1 c) 5/3, 1, −4/3

4. La suma de edades de una madre y su hija es 42 años. Cuando la hija tenga la edad de la madre esa suma será de 90. ¿Cuántos años tienen cada una en la actualidad?[sol] 33 y 9

5. Se mezclan 5 dl de esencia con 12 dl de agua de lavanda, pagándose por el perfume resultante 15,30 €. Si se mezclase 1 dl de cada colonia se pagarían 2,28 €. Calcula el precio del decilitro de la esencia.[sol] 1,72 €

6. Se alea un lingote de oro puro con otro lingote de 75% de pureza, obteniéndose 1 kilo de aleación, con una pureza del 90%. ¿Cuántos gramos de cada tipo de lingote se han empleado? [sol] 600 y 400

7. Compramos en un colmado 6 kg de café y 3 de arroz por lo que pagamos 31,8 €. Otro día, por 1 kg de café y 10 de arroz se pagan 20,5 €. ¿Cuánto nos costarían 5 kg de café y 12 de arroz? [sol] 41,7 €

8. En dos tinajas de igual capacidad hay repartidos 100 litros de aceite. La primera se llenaría si vertiéramos los 2/3 del contenido de la segunda y ésta lo hará, si trasvasamos los 3/4 de la primera. ¿Cuántos litros contiene cada tinaja?[sol] 400/7 y 300/7

9. Un individuo posee 20 monedas, unas son de 0,50 € y otras de 1 €. ¿Puede tener un total de2. €?[sol] Sí: con 8 y 12 monedas, respectivamente.

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10. [S] Una empresa ha invertido 73.000 € en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costes por unidad son de 2.400 €, 1200 € y 1000 € respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averiguar cuántos aparatos ha comprado de cada clase. [sol] 10, 20, 25

11. [S] En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada curso. [sol] 200, 100, 50

Tipo II. Sistemas no lineales

12. Resuelve los sistemas:Y + X 5 2X 2+ 3Y 2 = 11=

a) 6 = 6 b) XY = 26XY

c)Y − X = X − 1 d)X − Y = 4X 2 + Y 2 = 2 X 2 − Y 2 = 24

[sol] a) 3 y 2; 2 y 3 b) ±2 y ±1; ±√3/2, ±4/√3 c) 1, 1; −1/5, −7/5 d) 5, 1

13. Las longitudes de la altura y la base de un rectángulo cuya área mide 20 cm2 son dos números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide la altura?[sol] 4

2

14. Encuentra las dimensiones de un rectángulo de perímetro 110 m y área 700 m .

Tipo III. Sistemas de inecuaciones

15. Halla en el plano la solución de:

a) x − 2y ≤ −1 b) X + Y ≥ 22

16. Resuelve dando el resultado en forma de intervalo:X ≤ 2 X ≥ 2

a) b)2X − 1 ≥ 6 2X − 3 > 5

[sol] a) ∅ b) (4, +∞)

17. Resuelve los sistemas:X − Y ≤ 2 2(X − 1) − Y ≤ 2

a)2X ≥ 6

b)Y ≥ 0

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FUNCIONES

Tipo I. Funciones. Dominio y recorrido1. Halla el dominio y recorrido de las funciones cuya gráfica se da a continuación:

[sol] a) [–1, 3]; [0, 2]. b) [0, 5]; [–1, 3] c) R; {–1, 1}

2. Indica cuáles de las siguientes relaciones definen una función:3. A cada número le asignamos el doble.4. A cada alumna le asignamos su estatura.5. A cada número natural le asignamos sus múltiplos.6. A cada ciudad le asignamos la provincia a la que

pertenece. [sol] a) Sí. b) En cada momento sí. c) No. d) Sí.

3. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3x10 + 5x6 – 185x − 1

b) g (x) = c) h(x) = 3x − 4x 2 − 258x − 9

d) k (x) = x 2 − 1 e) l (x) = 2x 2 − 3x + 14 d) − ∞,−1∪ 1,

∞1

[sol] a) R b) R – {–5, 5} c) , ∞ e) R – ,13 2

Tipo II. Representación y características gráficas4. [S] Álvaro va cada tarde al instituto; pasa primero por la panadería y compra un bollo, luego se detiene en la siguiente esquina a esperar a un compañero. Por fin, después de las clases, vuelve a casa. Aquí tienes la gráfica de su recorrido.a) ¿Qué distancia hay de la casa al instituto? ¿Y a la panadería?b) ¿Cuánto tarda en comprarse el bollo?c) ¿Tiene que esperar mucho a su compañero?d) ¿Cuánto duran las clases?e) Si las clases comienzan a las 4 de la tarde, ¿dónde estaba a las 15 h 32 min, 15 h 36 min y a las 15 h 54 min?f) ¿Lleva la misma velocidad a la ida que a la vuelta?g) Estudia la velocidad en cada trayecto.[sol] a) 600 m, 400 m. b) 5 min. c) 10 min. d) 2 h. f) Va tres veces más rápido a la vuelta.c) Por trayectos: 80, 0 (panadería), 20, 0 (espera), 20, 0 (clase) y 60 m/min.5. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) f(x) = x4 – x2 b) g(x) = x3 – x + 1 c) h(x) = −x

x 2 + 4 14


[sol] a) Par b) no es par ni impar. c) Impar.

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x + 3, si x < −3

6. Dada la función, definida a trozos, si − 3 ≤ x < 0f (x) = 0,2 − 1, si x ≥ 0x

a) Halla f(–4), f(–2), f(–1), f(0) y f(2). b) Representa f(x).26Da los valores de x que se transforman en 0. Ídem en –1. [sol] a) –1; 0; 0; –1; 3. c) − 3,0 ∪ 1; {–4, 0}

x 2

7. Calcula algunos pares de la función f (x) = 3x

cartesiano y traza, uniendo los puntos, la gráfica de toma el valor 9? [sol] f −1 (9) = {−3, 3}

si x

<

0

, represéntalos en un diagrama si x ≥ 0

f(x). ¿Para que valores de x la función

Tipo III. Composición de funciones

8. Dadas f (x) = x − 3 y g (x) =5

, halla:x + 116. f (g (x)) y g ( f (x))17. f (g (4)) y f (g (1)) . Determina el domino de f (g (x))18. g ( f (3)) y g ( f (2)) . Determina el dominio de g ( f (x))

[sol] a) f (g (x)) 2 − 3x ; g ( f (x)) = 5 b) −2; −1/2; R – {–1} c) 5; no definido; R – {2}x + 1 x − 2

Tipo IV. Funciones dadas por enunciados9. La factura bimensual de una compañía telefónica consta de una cantidad fija (las cuotas de abono) por un importe de 29,84 euros, más el importe de los pasos gastados, con un precio por paso de 0,06 euros. A esa suma hay que cargarle el 16% de IVA. Se pide:a) ¿Cuánto debe pagar una familia que consumió en dos meses 990 pasos?b) Escribe la expresión que dé el importe total, IVA incluido, de la factura en función de los pasos gastados.[sol] a) 103,52 € b) I(p) = 34,6144 + 0,0696p.

10. Se desea cercar con cuerda dos parcelas rectangulares adyacentes (consecutivas) e iguales que encierren entre las dos un área de 1.000 m2.a) Si x indica el ancho de las parcelas, encuentra la función que da la longitud L(x) de cuerda necesaria para cercarlas.b) Representa L(x), y a partir de esa gráfica determina, aproximadamente, el mínimo necesario de cuerda para cercar las dosparcelas. (Puede convenirte hacer una ampliación de la gráfica desde x = 15 hasta x = 25).[sol] a) L(x) = 4x + 1.500

x11. Se quiere construir una caja partiendo de un trozo de cartulina rectangular de 24 por 32 cm, recortando un cuadradito en cada esquina y doblando.a) Determina la función que da el volumen de la caja dependiendo del lado del cuadrado cortado.b) ¿Qué volumen tendrá la caja cuando cortamos 0, 5 y 10 cm?c) Representa dicha función. A partir de su gráfica, determina su dominio, recorrido y máximo.

16


[sol] a) V(x) = (32 – 2x) · (24 – 2x) · x b) 0; 1.540; 480

17


FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

Tipo I. Funciones lineales1. Representa gráficamente las siguientes rectas:

a) y = x – 4 b) y = 0,8x c) y = –0,4x – 4 d) y = 3 x − 42

2. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (–1, 3) y B(5, –2)

[sol] y = − 5 x + 13 .6 6

3. Un coche cuesta 25.000 euros y se deprecia al mes 150 euros. ¿Cuál es su valordependiendo del número de meses desde su compra? [sol] f(x) = 25000 – 150x

4. La factura bimensual de una compañía telefónica consta de una cantidad fija (las cuotas de abono) por un importe de 30,60 €, más el consumo, con un precio por minuto de 0,12 €.

7. ¿Cuánto debe pagar una familia que consumió en dos meses 215 minutos?8. Halla la expresión que dé el importe total de la factura en función de los

minutos consumidos.9. Si a esa suma hay que cargarle el 16% de IVA, ¿cuál es la función que da el importe

total (IVA incluido) de la factura dependiendo de los minutos consumidos?[sol] a) 56,4 € b) f(x) = 30,60 + 0,12x c) I(x) = 35,496 + 0,1392x

5. La fuerza de la gravedad en la Tierra vale 9,81 y en Venus 8,85.h) ¿Cuánto pesaría Antonio en la Tierra si su peso en Venus es de 80?i) Escribe las funciones de conversión de pesos de un planeta a

otro. [sol] a) 88,678 kg b) f(x) = 1,108x; g(z) = 0,9z

6. Representa las siguientes funciones:a) y = x + 1 b) y = 2x − 2

7. Representa gráficamente:a) y = ENT [0,4x] b) y = ENT [2x]

Tipo II. Funciones cuadráticas8. Representa gráficamente las siguientes parábolas, calculando previamente su vértice:

a) y = x 2 – 4x + 5 b) y = –x 2+ 6x – 6 c) 1 2y = − x + x

2[sol] a) (2, 1) b) (3, 3) c) (1, 1/2)

9. Representa gráficamente la recta y = x + 1 y la parábola y = x2 – 5x + 4.d) Determina analíticamente sus puntos de corte.e) Da una recta que no corte a la parábola.

Justifícalo. [sol] a) (5,45, 6,45) y (0,55, 1,55)

10. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las parábolas:a) y = x2 – 5x; b) y = x2 + x + 4; c) y = –x2 + 4 [sol] a) (0, 0) y (5,

0) b) (0, 4) d) (0, 4), (–2, 0) y (2, 0).

18


Tipo III. Interpolación11. Halla, por interpolación lineal, el valor de m.

x 2 4 5y 1,1 m 3,2

[sol] 2,5

12. Calcula por interpolación lineal a trozos, los valores correspondientes a n1, n2 y n3 en la siguiente la tabla:

z 0,00 0,01 0,02 0,031,0 0,8413 0,8438 n1 0,84851,1 0,8643 n2 0,8686 n3

[sol] n1 = 0,84615; n2 =0,86645; n3 = 0,87075.

Tipo IV. Aplicaciones económicas13. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs = –5 + 2p; qd = 210 – 0,4p2, donde p viene dado en euros y q en miles de unidades. Halla:

27 Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 8 euros.28 El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto.

[sol] a) 11.000; 184.400 b) 20,82 €; 36.640 unidades.

14. Halla el precio de equilibrio (en euros) y el número de unidades ofertadas y demandadas a ese precio, para las siguientes funciones de oferta y demanda:

a) qs = –70 + 2p y qd = 200 – p b) qs = –40 + p y qd = 500 – 2p [sol] a) 90 €; 110 b) 180 €; 140

15. Una empresa puede vender cierto producto a 9 € la unidad. Los costes de funcionamiento de la empresa son de 3.500 € y el coste de producción por unidad de producto es de 3,50 €.

19. ¿Cuántas piezas deben producirse y venderse para que los costes se igualen a los ingresos?

20. ¿Cuánto pierde si fabrica y vende 400 unidades?21. ¿Cuánto gana o pierde si fabrica 1.000 unidades y sólo vende 700?

[sol] a) 636,36 b) 1300 €. c) Pierde 700 €.

Tipo V. Otras funciones16. Halla el dominio de definición de las funciones:

a) f (x) = x b) g (x) = x − 1x + 5 2x − 6

[sol] a) R – {5} b) R – {3} c) R – {0, 2}

17. Para las funciones anteriores:

6c) h(x) =

x 2 − 2x

c) ¿Qué sucede en los puntos que anulan los respectivos denominadores?

d) ¿Qué sucede con los respectivos valores de la función cuando la x toma valores muy grandes, pongamos x > 100; o muy negativos: x < –100?

[sol] a) Hay asíntotas verticales. b) f se acerca a 1; g se acerca a 0,5; h se acerca a 0.

18. Halla el dominio de definición de las funciones:a) f (x) = x + 3 b) g (x) = 2x

+ 3 [sol] a) [-3, +∞) b) [-3/2, +∞) c) (-∞, -3]∪[0, +∞)

19


c) h(x) = x 2 + 3x

20


LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Tipo I: La función exponencial10. Representa gráficamente, utilizando la calculadora, estas funciones:

a) y = 1,1x b) y = (0,8)x

j) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:1

a) f(x) = 10x – 2 c) h(x) = 10 x −2b) g(x) = 10 x −2

[sol] a) R; b) R – {2}; c) [2, ∞ )Tipo II: Logaritmosf) Calcula, aplicando la definición de logaritmo, el valor de:

a) log 81 b) log1 4128 c) log d) log 1259 2 4 16 5

[sol] a) 2. b) 7 . c) –2 d) 32 4

29 Sabiendo que log 2 = 0,3010, halla (sin calculadora) el valor de:a) log 20 b) log 200 c) log 0,0002

[sol] a) 1,3010. b) 2,3010; c) –3,69922. Sabiendo que log 3 = 0,4771, halla (sin calculadora) el valor de:

a) log 0,3 b) log 30.000 c) log (1/9)[sol] a) –0,5229 b) 4,4771 c) –0,9542

e) A partir de los valores de log 2 y de log 3, halla:a) log 6 b) log 75

Tipo III: La función logarítmicac) Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente la función F (X) = log(X 2 + 1)

d) Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:a) f(x) = log (x +3) b) g(x) = log (x2 + 3)

[sol] a) (–3, ∞ ); b) RTipo IV: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas9. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x = 15,21,1 b) x = 1,001100 c) 0,5 = 52x d) 3 = x2,5

e) x3,5 = 3,5 f) 52x = 625 g) 3x3 = 375 h) 53x + 2 = 15.625[sol] a) 19,954; b) 1,105; c) –0,215; d) 2,5 3 = 1,552; e) 1,4302.; f) 2; g) 5; h) 4/3.

d) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:2 + b) 31 – 2x = 2.187 c) 41 – 3x = 2x – 2 1X +

a) 2 X 1 = 32 d) = 23X 1

4

; b) –3; c) 4/7; d) −1[sol] a) ± 65

11. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 3x – 3x – 1 + 3x – 2 = 21 b) 25x – 100 · 5x = 3.125c) 3x – 3–x = 80 d) 9x – 8 · 3x + 1 – 81 = 0

9[sol] a) 3; b) 3; c) –2; 2. d) 3

21

c) log(0,36) d) log 4500 [sol] a) 0,7781; b) 1,8751; c) –0,4438; d) 3,6532


12. Resuelve:a) e2x – 2 = 1 b) e–10x = 4 c) xex − 3 = 0 d) xex – x = 0

[sol] a) 1; b) –0,138629; c) 0; d) 0; e) 1; f) –0,6931

13. Halla el valor de X en las siguientes ecuaciones:a) log6 X = 3 b) log5 X = 2,5 c) log7 3X = −0,2 d) log X = −4

1e) ln x = 3,2 f) log 2 = X g) log7 8 = X h) log16 4 = X

32[sol] a) 216; b) 55,9; c) 0,226; d) 0,0001; e) 24,53; f) –5; g) 1,0686; h) 1/2

14. Resuelve:a) log6 140 = x b) logx 100 = −2c) log2 8x = 7 d) 4 log2 (2x + 1) = 16

1

[sol] a) 2,7580; b) ; c) 16; d) 15/2.

15. Utilizando la fórmula del cambio de base, halla:a) log 2 100 b) log 5 500 c) log 8 320.000 d) log 3 0,3

[sol] a) 6,6439; b) 3,8614; c) 6,0959; d)–1,0959 (todos redondeados)

16. Resuelve las ecuaciones:a) 3 + log (x + 1.000) = 7 b) log (x + 6) − 2 · log (x −3) = 1c) log (2x + 2) − log (x − 3) = 1 d) log (32x – 2 + 7) = 2log (3x – 1 + 1)

[sol] a) 9000; b) 4; c) 4; d) 2.

Tipo V. Aplicaciones de exponenciales y logaritmos17. Calcula el capital acumulado por 1.000 euros durante 6 años a una tasa anual del 5,8 % a

interés compuesto:a) Anual b) Semestral c) Trimestral d) Continuo

[sol] a) 1.402,54 €; b) 1.409,24 €; c) 1.412,70 €; d) 1.416,23 €

18. Entre las siguientes opciones, ¿cuál es más ventajosa?a) 8 % de interés anual b) 7,8 % de interés compuesto trimestralc) 7,7 % de interés compuesto mensual d) 7,65 % de interés compuesto diario.

[sol] Para 1 euro se tendría: a) 1,08 €. b) 1,0803 €; c) 1,0798 €; d) 1,0795 €. La opción más ventajosa es la b)

19. Supongamos que un automóvil deprecia su valor en un 15 % anual.a) Si nuevo costó 24.000 €, ¿cuánto valdrá a los 6 años?b) ¿Cuántos años deben pasar para que su valor sea inferior a 6.000 euros?

[sol] a) 9.051,59 €. b) 8,53 años

20. Admitamos que el sueldo de los funcionarios experimenta una subida anual del 3,5 %, desde el año 2.000. Si un funcionario ganaba 1.600 euros mensuales a comienzos del año 2.000, ¿cuántotardará en ganar el doble? [sol] 20,15 años.

21. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 %. Si en el momento inicial hay 100 conejos:a) ¿Cuántos habrá dentro de 8 años? [sol] a) 2.562.b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30.000? [sol] b) 14,07

22


LÍMITES Y CONTINUIDAD

23


ESTADÍSTICA BÁSICA

Tipo I. Tablas y gráficos 24


11. En la siguiente tabla se dan los datos correspondientes a las notas de Matemáticas de 60 alumnos de 1º Bachillerato.

Notas IN [1, 5) SF [5, 6) BI [6, 7) NT [7, 9) SB [9, 10]Nº de alumnos 20 13 12 10 5

k) Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada.l) Dibuja el correspondiente histograma.m) Representa los datos mediante un diagrama de sectores y mediante una poligonal

acumulativa.

g) El número de turismos matriculados en España, para el período 1996–2005, se da en la siguiente tabla:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005Miles de 911 1.016 1.193 1.406 1.381 1.426 1.332 1.382 1.517 1.529turismos

30 Tomando como base 100 el número de turismos matriculados en el año 1996, expresa en números índices la variación de la serie.31 Representa los datos mediante una poligonal simple[sol] Índice 100 111,5 131 154,3 151,6 156,5 146,2 151,7 166,5 167,8

23. La precipitación (P) y la temperatura media mensual (T) registradas en Soria a lo largo del año son:

Mes E F M A M J J A S O N DP (mm) 44 45 48 47 62 55 32 31 47 46 49 55T (ºC) 1,3 3,1 5,6 7,5 10,6 15,6 18,1 18,1 15 9,4 5,6 3,1

Representa gráficamente estos datos mediante un climograma.

Tipo II: Parámetros estadísticosf) Siete estudiantes han leído este curso el siguiente número de

libros: 3 4 5 6 5 7 5Para estos datos, determina:

a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango [sol] a) 5 b) 5 c) 5 d) 4

e) En una empresa hay 3 directivos, 50 operarios y 8 vendedores. Los sueldos mensuales, en euros, de cada categoría son los siguientes: directivos, 4.000; operarios, 1.400; vendedores, 2.000.e) Halla la moda, la mediana y la media de los sueldos.f) ¿Qué medida es más representativa del promedio?

[sol] a) 1.400 €; 1.400 €; 1.606,56 € b) Ninguna es mala.

12. En primero de bachillerato de un centro escolar hay tres grupos, A, B y C, con 30, 35 y 25 alumnos, respectivamente. La nota media en Matemáticas fue, también respectivamente, de 5,3, 6,5 y 5,6. Halla la nota media de Matemáticas de todos los alumnos de primero.[sol] 5,86

13. El cociente intelectual de los 210 alumnos de un centro de bachillerato se da en la tabla adjunta:

Intervalo [82, 90) [90, 98) [98,106) [106, 114) [114, 122) [122, 130) [130, 138) [138, 146)

Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5

25


Calcula los cuartiles y el rango intercuartílico. Halla la diferencia entre los deciles 3 y 6.

Calcula la puntuación necesaria para pertenecer al 15 % de alumnos con mayor cociente intelectual.

[sol] a) C1 = 99,5; C3 = 116,9 b) 9,8 c) 122,9

14. Los rendimientos medios (en kilogramos por hectárea) en España, 3 7 representa 37 kilospara los cereales que se indican, fueron:

Año 1999 2000 2001 2002 2003Trigo 2150 3100 2300 2830 2840Maíz 9450 9220 9720 9510 9110

Halla los rendimientos medios para el quinquenio de cada cereal. ¿Qué cereal es más fiable? [sol] 2.644 kg/ha y 9.402 kg/ha. El maíz.

Tipo III: Problemas varios11. A un congreso asisten seis mujeres cuyas edades son:

27 34 38 42 33 36 Calcula la media y varianza de sus edades.

Cinco años después coinciden las mismas mujeres. A partir de los cálculos anteriores, halla la nueva media y varianza de sus edades.

[sol] a) 35 años y 21,33 b) 40 años y 21,33.

12. El siguiente gráfico representa un total de 600 elementos. ¿Cuál es la frecuencia de cada categoría?[sol] 40, 110, 120, 150 y 180

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Tipo I. Correlación y regresión

1. El número de españoles (en millones) ocupados en la agricultura, para los años que se indican, era:

Año 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994Ocupados 2,1 2,04 1,96 1,74 1,69 1,49 1,25 1,16

¿Podría explicarse su evolución mediante una recta de regresión? ¿Qué limitaciones tendrían las estimaciones hechas por esa recta?

[sol] a) Si; b) No vale para hacer estimaciones alejadas de los años considerados.

2. Asocia las rectas de regresión y = –x +16, y = 2x – 12, y = 0,5x + 5 a las nubes de puntos siguientes:

26


n) Asigna los coeficientes de correlación lineal r = 0,4, r = –0,85 y r = 0,7, a las nubes del problema anterior.[sol] a) Respectivamente: (c), (b), (a). b) Respectivamente: (a), (b), (c)

Tipo II. Cálculo de la correlación y regresión4. [S] a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X en la distribución siguiente realizando todos los cálculos intermedios.

X 10 7 5 3 0Y 2 4 6 8 10

h) ¿Cuál es el valor que correspondería según dicha recta a X = 7? [sol] a) y = –0,8276x +10,138; b) 4,3448.

5. [S] El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla:

X: Nº de horas 0 1 2 3 4 5Y: Nº de bacterias 12 19 23 34 56 62

Calcula: Las medias y desviaciones típicas de las variables, número de horas y número de

bacterias. La covarianza de la variable bidimensional. El coeficiente de correlación e interpretación. La recta de regresión de Y sobre X.

27

6. La tabla siguiente muestra las notas obtenidas por 8 alumnos en un examen, las horas de estudio dedicadas a su preparación y las horas que vieron la televisión los días previos al examen.

Nota 5 6 7 3 5 8 4 9Horas de estudio 7 10 9 4 8 10 5 14Horas de TV 7 6 2 11 9 3 9 5

Representa gráficamente los diagramas correspondientes a nota-estudio y nota-TV. ¿Se observa correlación entre las variables estudiadas? ¿De qué tipo? ¿En qué caso

estimas que es más fuerte?[sol] b) Sí. Directa; inversa.

g) Con los datos del problema anterior, halla el coeficiente de correlación de nota-estudio y nota-TV. ¿Qué puede deducirse con más precisión conociendo la nota que obtuvo una persona en el examen: el tiempo que dedicó al estudio o el que dedicó a ver la televisión?[sol] 0,943382 y 0,846283. El tiempo que dedicó al estudio.

8. Con los mismos datos, halla las rectas de regresión correspondientes y estima para un alumno que sacó un 2 en el examen:f) Las horas que estudió.g) Las horas que vio la TV.[sol] a) Est = 0,246753 + 1,46753 · Nota; 2,7 h. b) TV = 14,1299 1,2987 · Nota; 11,5 h.

Tipo III. Estimación a partir del a recta de regresión9. La altura, en cm, de 8 padres y del mayor de sus hijos varones, son:

Padre 170 173 178 167 171 169 184 175Hijo 172 177 175 170 178 169 180 187

g) Calcula la recta de regresión que permita estimar la altura de los hijos dependiendo de la del padre; y la del padre conociendo la del hijo.h) ¿Qué altura cabría esperar para un hijo si su padre mide 174? ¿Y para un padre, si su hijo mide 190 cm?[sol] a) H = 68,1853 + 0,621859 · P; P = 77,4406 + 0,545082 · H. b) 176,4 cm; 181 cm.

10. [S] Durante su primer año de vida han pesado a Marta cada mes. En la tabla siguiente se dan sus pesos:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12y 3,2 3,7 4,2 5,3 5,7 6,5 6,8 7,2 7,9 7,7 8 8,5

En esta tabla, x representa la edad en meses e y el peso en kilogramos. Calcula la media y la desviación típica de los pesos. Determina la ecuación de la recta de regresión de y sobre x, explicando

detalladamente los cálculos que haces y las fórmulas que utilizas.[sol] a) 6,225; 1,7181 b) y = 0,48706x + 3,05909

11. [S] Utilizando la recta de regresión de x sobre y correspondiente a la distribución siguiente:x = altura sobre el nivel del mar 0 184 231 481 911

y = temperatura media en ºC 20 18 17 12 10Calcula la altitud de una ciudad en la que la temperatura media es de 15º.[sol] 392,7 m.

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