INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD JUAREZ

INGENIERIA INDUSTRIAL Y LOGISTICA

VI.- ANALISIS

BEATRIZ DE LA CRUZ DOMINGUEZ 12110022

ELIZABETH RÍOS SIDAS 12110063

BLANCA BEATRIZ CAMPOS MARIN 12110039

Cd. Juárez Chihuahua Octubre del 2016

A. MEDICIÓN Y MODELADO DE LAS RELACIONES ENTRE VARIABLES

Una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una

proposición. El término «variable» se utiliza aun fuera del ámbito matemático para designar

una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de

números especificado.

Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de cierta

variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente), entre las que se intuye

que existe una relación. Para ilustrarlo retomemos los ejemplos mencionados al principio

del tema anterior. Si sobre un grupo de personas observamos los valores que toman las

variables

X ≡ Altura medida en cm Y ≡ Altura medida en metros

Es trivial observar que la relación que hay entre ambas es:

Y = X 100

Obtener esta relación es menos evidente cuando lo que medimos sobre el mismo grupo de

personas es, por ejemplo,

X ≡ Altura medida en cm Y ≡ Peso en kilos

La razón es que no es cierto que conocida la altura xi de un individuo, podamos

determinar de modo exacto su peso yi (dos personas que miden 1,70 m pueden tener pesos

de 60 y 65 kilos). Sin embargo, alguna relación entre ellas debe existir, pues parece mucho

más probable que un individuo de 2m pese más que otro que mida 1.20m. Es más, nos

puede parecer más o menos aproximado una relación entre ambas variables como la

siguiente Y = X − 110 ± (error). A la deducción, a partir de una serie de datos, de este tipo

de relaciones entre variables, es lo que denominamos regresión.

Ilustración 1relaciones entre variables

1. Coeficiente De Correlación

Es una medida de la relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A

diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de

medida de las variables.

De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson

como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables

siempre y cuando ambas sean cuantitativas.

El coeficiente de correlación entre dos variables puede definirse como

la covarianza existente entre sus dos variables tipificadas y tiene por expresión de cálculo:

pX ,Y = σxyσxσy

=E [ ( X−μX ) (Y −μy ) ]

σxσy

Dónde:

Es la covarianza de (X,Y) Es la desviación tripica de la varianza Es la desviación típica de la variable

De manera analogía podemos calcular este coeficiente sobre un estadístico muestral

rxy=∑ xiyi− nxy

(n−1 ) sxsy=¿∑ xi∑ yi

√n∑ xi−¿¿¿¿¿

Interpretación:

El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1,1]:

Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total

entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la

otra también lo hace en proporción constante.

Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.

Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica que las variables

son independientes: pueden existir todavía relaciones no lineales entre las dos variables.

Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.

Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia

total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la

otra disminuye en proporción constante.

EJEMPLO:

Un ejemplo de correlación lineal seria:

x Y

8 14

10 15

9 11

12 14

12 15

El coeficiente de correlación lineal mide la relación entre los valores emparejados de

una nueva muestra

r=n¿¿

Suma los valores de la primera columna de datos (x)

∑x= 8+10+9+12+12

Simplificando la expresión quedaría:

∑x=51

Suma los valores de la segunda columna de datos (y)

∑y=15+15+11+14+15

Simplificando la expresión

∑y=69

Suma los valores de x*y

∑xy= 8*14+10*15+9*11+12*14+12*15

Simplificando la expresión

∑xy=709

Suma los valores de x2

∑x2= (8)2 + (10)2 + (9)2 + (12)2 + (12)2

Suma la expresión

∑x2= 533

Suma de valores de y2

∑y2= (14)2 + (15)2 + (11)2 + (14)2 + (15)2

Simplificando la expresión

∑y2= 963

Ahora pasar los datos en la fórmula original quedaría

r=5(709)−5 (69 )

√5 (533 )−(51 ) 2√5 (963 )−(69 ) 2

Simplificada el resultado quedaría

R= 0,44226898

2. Regresión

El modelo de pronóstico de regresión lineal permite hallar el valor esperado de una

variable aleatoria a cuando b toma un valor específico. La aplicación de este método

implica un supuesto de linealidad cuando la demanda presenta un comportamiento

creciente o decreciente, por tal razón, se hace indispensable que previo a la selección de

este método exista un análisis de regresión que determine la intensidad de las relaciones

entre las variables que componen el modelo.

El objetivo de un análisis de regresión es determinar la relación que existe entre

una variable dependiente y una o más variables independientes. Para poder realizar esta

relación, se debe postular una relación funcional entre las variables. Cuando se trata de una

variable independiente, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación

lineal. El análisis de regresión entonces determina la intensidad entre las variables a través

de coeficientes de correlación y determinación.

Regresión lineal

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un modelo matemático usado para

aproximar la relación de dependencia entre una variable dependiente Y, las variables

independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

Yt=B0+B1 X1+B2 X2+B p X p+EDónde:

Yt: variable dependiente, explicada o regresando

X1,X2,,,,Xp: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el

recreciendo, donde B0 intersección o término “constante”, las Bi(i>0) son los parámetros

respectivos a cada variable independiente, si el número de parámetros independientes a

tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión

no lineal

Ilustración 2 Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

Ejemplo

La juguetería Gaby desea estimar mediante regresión lineal simple las ventas para el mes de

Julio de su nuevo carrito infantil "Mate". La información del comportamiento de las ventas

de todos sus almacenes de cadena se presenta en el siguiente tabulado.

MES VENTAS

ENERO 7000

FEBRERO 9000

MARZO 5000

ABRIL 11000

MAYO 10000

JUNIO 13000

El primer paso para encontrar el pronóstico del mes 7 consiste en hallar la

pendiente, para ello efectuamos los siguientes cálculos:

∑I=1

N

Xiti=[ (7000∗1 )+(9000∗2 )+ (5000∗3 )+ (11000∗4 )+(10000∗5 )+ (13000∗6 )]

∑I=1

N

Xiti=212000

∑I=1

N

Xi=(7000+9000+5000+11000+13000)

∑I=1

N

Xi=55000

∑I=1

N

ti=(1+2+3+4+5+6)

∑I=1

N

ti=21

∑I=1

N

ti=[ (12 )+( 22)+ (32 )+( 42 )+(52)+ (62 ) ]

∑I=1

N

ti2=91

∑I=1

N

ti=[(1+2+3+4+5+6)2]

∑I=1

N

ti=441

B=[6(212000)]-[(55000)(21)] / [6(91)]-(441)

B=1114.28

x=7000+9000+5000+11000+130006

X= 9166.67

t=(1+2+3+4+5+6)6

T= 3.5

A=9166.67-[(1114.28)(3.5)]

A= 5266.68

X=5266,68+[(1114,28)(7)]

X=13067

Podemos así determinar que el pronóstico de ventas para el período 7 es

equivalente a 13067 unidades.

3. Herramientas multivariantes

El MANOVA Prueba que analiza la relación entre diferentes variables de respuesta

y un conjunto común de predictores al mismo tiempo. Del mismo modo que ANOVA,

MANOVA requiere variables de respuesta continuas y predictores categóricos. MANOVA

tiene numerosas ventajas importantes en comparación con realizar múltiples ANOVA, una

variable de respuesta por vez.

Mayor potencia

Usted puede utilizar la estructura de covarianza de los datos entre las variables de

respuesta para probar la igualdad de las medias al mismo tiempo. Si las variables de

respuesta están correlacionadas, entonces esta información adicional puede ayudar a

detectar diferencias más pequeñas que las que pudieran detectar ANOVA individuales.

Detecta patrones de respuesta multivariados

Los factores pueden afectar la relación entre las respuestas en lugar de afectar a una

sola respuesta. Los ANOVA no detectarán estos patrones multivariados, tal como lo

demuestran las siguientes cifras.

Controla la tasa de error por familia

Su probabilidad de rechazar incorrectamente la hipótesis nula aumenta con cada

ANOVA sucesivo. Realizar un MANOVA para probar todas las variables de respuesta al

mismo tiempo mantiene la tasa de error por familia igual a su nivel alfa.

El MANOVA contrasta la hipótesis nula de que los vectores de las medias de todos

los grupos son iguales y/o provienen de la misma población. Matemáticamente lo

anotaríamos como sigue:

Ho: μ1=μ2=μ3=...=μn

Los supuestos estadísticos paramétricos que han de cumplir los datos para que se les

pueda aplicar el análisis de varianza son tres: deben proceder de muestras aleatorias

simples, debe existir normalidad en la distribución de los datos y las varianzas de las

subpoblaciones deben ser iguales. El análisis multivariante de la varianza, con el que

finalizamos la exposición de este capítulo, lo hemos estructurado en torno a cinco

apartados, a saber:

1. La primera parte del análisis trata de valorar la significación estadística de las diferencias

multivariantes entre los grupos. Para este fin nos encontramos con cuatro estadísticos a

partir de los cuales contrastar la hipótesis nula de igualdad de vectores de medias: mrc de

Roy, lambda de Wilks, criterio de Pillai y la traza de Hotelling.

2. Ya hemos comentado que sólo tiene sentido aplicar el análisis de varianza cuando los

datos cumplen los requisitos paramétricos arriba señalados. Por ello, es imprescindible

contrastar, fundamentalmente, la homogeneidad o igualdad de las varianzas de las variables

dependientes en los grupos (subpoblaciones) establecidos por los valores de la variable

independiente. Para este caso se aplica la prueba de Levene en las dos variables

dependientes seleccionadas. Si el resultado nos llevara a rechazar tal supuesto, deberemos

someter a los datos a un proceso de transformación.

3. Si el análisis concluye en que rechazamos la hipótesis nula (todos los criterios se sitúan

por debajo de 0.05), esto es, que existen diferencias entre entre los grupos, deberemos

analizar si las diferencias que se producen entre vectores son explicadas por las diferencias

que se producen entre las medias de alguna de las variables dependientes. Para contrastar si

las diferencias entre los vectores de medias no son debidas a las diferencias entre as medias

de una de las variables dependientes en particular deberemos realizar un análisis

univariante sobre cada una de las variables dependientes. Éste es el punto de la

investigación que lo diferencia del análisis factorial de la varianza.

4. En cuarto lugar, debemos identificar, tal y como ya hicié- ramos en el análisis de

varianza con un factor y en el aná- lisis factorial de la varianza, en qué grupos se producen

las diferencias significativas. Recordemos que estas diferencias son las que nos han

conducido a rechazar la hipótesis nula. Para ello aplicaremos algunos de los métodos Post

Hot (de Sheffe y de Tuhey). Cada uno de estos métodos indican qué comparaciones entre

los grupos presentan diferencias significativas. La aplicación de estos métodos proporciona

los contrastes para cada combinación de grupos.

5. Por último, y si el análisis concluye en que rechazamos la hipótesis nula, nos quedará por

determinar si las diferencias que se aprecian entre las medias responde al efecto de las

variables independientes consideradas de forma individual (efectos principales) o/y

responde al efecto provocado por la interacción de las variables independientes. Para

resolver esta cuestión, además de los correspondientes contrastes de hipótesis, la

representación gráfica de los resultados puede sernos de gran utilidad

Ejemplo

incorporamos un segundo factor explicativo con 5 niveles: edcat (educación) el cruce

comunidad*edcat da lugar a 20 celdas. el diseño es balanceado con 4 observaciones 6-

dimensionales por celda. medias en las celdas

:

En los 6 Anovas (uno por cada variable dependiente) todos los efectos son significativos en

todas las variables, salvo acaso la interacción de los dos factores para X1 (p-valor 0.037))

En el Manova resultan también significativos los dos factores y su interacción.

Perfiles de la sensación de inseguridad según el nivel de educación

La sensación de inseguridad disminuye cuando aumenta el nivel de educación. Para cada

variable se observa esta asociación negativa entre educación e inseguridad, especialmente

en las comunidades 1 y 3, donde es mayor la pendiente decreciente al aumentar el nivel de

educación. Esta diferencia de pendiente de unos grupos a otros debe de ser la causa de que

la interacción entre comunidad y educación resulte significativa en el modelo. (Ver los

gráficos)

Cuando el Manova de un factor detecta que los valores medios de las variables

respuesta difieren entre grupos, podemos realizar un Análisis Discriminante (AD) para

detectar las variables que más cambian a través de los grupos, caracterizar los grupos y

construir nuevas variables artificiales que recojan las diferencias entre ellos. El AD también

se emplea para asignar un nuevo individuo a uno de estos grupos (diagnóstico automático,

reconocimiento de formas…). Lo estudiaremos más adelante.

Perfil de un grupo k: medias de las p variables dentro del grupo k. Como caso

particular, las p variables respuesta de un Manova pueden ser Medidas Repetidas, es decir,

observaciones de una misma variable sobre la misma unidad experimental en p condiciones

diferentes: Medidas en p días consecutivos, o a p diferentes horas del día o bajo p diferentes

tratamientos (factor de repetición) … Sean medidas repetidas o no, en Manova

comparamos los perfiles de los grupos.

A la vista del gráfico de perfiles, sospechamos que en este caso un Manova va a

rechazar la hipótesis de no efecto e ideamos nuevas hipótesis para contrastar. Por ej.: Los

perfiles del grupo 1 y 2 son iguales. V2 es la variable causante del rechazo, pues en el

grupo 3 toma valores mucho menores que en los otros. Las medias de V3 y V4 son iguales

dentro de cada grupo… etc. En todos los grupos las condiciones producen efectos

significativos.

a) g perfiles iguales: Ho: 1=2=…=g no hay efecto de grupo (o factor A) Es la

hipótesis básica de no efecto en MANOVA Si se rechaza a) Ho, aún podrían darse

b) c) o d)

b) g perfiles paralelos: HoP: 1║2║…║g no hay efecto de interacción

condiciones*grupo. HoP: ij la diferencia i–j es constante sobre las p

condiciones (o vbles respuesta) HoP: ij i–j tiene las componentes iguales

c) perfiles con la misma media general: HoM : 1+ = 2+ =…= g+

d) g perfiles horizontales: no hay efecto de las condiciones (respuesta) HoH: i, i

es constante sobre las p condiciones (o variables respuesta) HoH: i, i tiene las

componentes iguales

Contraste a) Perfiles iguales. Es la hipótesis básica de no efecto del factor en

Manova. Contraste

b) Perfiles paralelos (las condiciones no interaccionan con los grupos) HoP :

1║2║…║g HoP: ij la diferencia i–j es constante sobre las p condiciones

(o vbles respuesta) HoP: i=2…g la diferencia 1–i es constante sobre las p

condiciones

Ejemplo de Seguridad: *b* HoP: F=5.334 ~ F15, 254.5 p-valor: 0.0001 Rechazo

paralelismo. Existe interacción entre las respuestas y la comunidad

Figura 1perfiles µ1= µ3 y µ2=µ4, los niveles de inseguridad parecen mas altos en la comunidad 1 y 3

Contraste c) Suma de las p medias en el grupo, constante a través de los grupos. Cuando

dos perfiles son paralelos, serán iguales si la suma de las p medias en el grupo (1t k) no

depende del grupo: 1t 1 = 1t 2 =…= 1t g es decir, HoM : 1+ = 2+ =…= g+ (Nota:

Si HoP no es cierta, entonces HoM tiene escaso valor, pues en ese caso sólo indicaría que el

promedio de las p medias es el mismo en todos los perfiles) HoM se puede expresar

también en la forma general ABM=O :

Contraste d) Perfiles horizontales (no efecto de las condiciones): HoH: j Si los perfiles son

paralelos –no interacción- (HoP no se rechaza), podrían además ser horizontales –no efecto

de las condiciones- En todo caso, sin necesidad de contrastar el paralelismo previamente,

podemos contrastar la horizontalidad de los perfiles directamente: HoH para cada k, la

hipótesis de que k tiene las componentes todas iguales se escribe:

Ejemplo de Seguridad *d* F=9.27 ~ F20, 306 ; p-valor< 0.0001 rechazo *c* Habíamos

rechazado ya el paralelismo de los perfiles (*b*), luego no tiene sentido contrastar la

horizontalidad (pues horizontalidad paralelismo). En cualquier caso, si contrastamos

HoM se obtiene: F=31.392 ~ F3,96 p-valor: 0.0001 Rechazo que en los g grupos la

sensación global de inseguridad sea la misma.

4. ESTUDIOS MULTIVARIABLES

El análisis multivariante es un método estadístico utilizado para determinar la contribución

de varios factores en un simple evento o resultado.

Los factores de estudio son los llamados factores de riesgo (bioestadística), variables

independientes o variables explicativas.

El resultado estudiado es el evento, la variable dependiente o la variable respuesta.

El análisis multivariante mediante técnicas de proyección sobre variables latentes tiene

muchas ventajas sobre los métodos de regresión tradicionales:

se puede utilizar la información de múltiples variables de entrada, aunque éstas no sean

linealmente independientes

puede trabajar con matrices que contengan más variables que observaciones

puede trabajar con matrices incompletas, siempre que los valores faltantes estén

aleatoriamente distribuidos y no superen un 10%

puesto que se basan en la extracción secuencial de los factores, que extraen la mayor

variabilidad posible de la matriz de las X (variables explicativas, tienen que ser

dependientes) pueden separar la información del ruido. Se asume que las X se miden

con ruido.

Variación posicional

Es un sistema de numeración en el cual cada dígito posee un valor que depende de

su posición relativa, la cual está determinada por la base, que es el número de dígitos

necesarios para escribir cualquier número. Un ejemplo de numeración posicional es el

habitualmente usado sistema decimal (base 10), necesitándose diez dígitos diferentes, los

cuales deberán estar constituidos de un símbolo (grafema), cuyo valor en orden creciente

es: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Para los números escritos en sistemas de bases menores se usan

sólo los dígitos de menor valor; para los escritos con bases mayores que 10 se utilizan

letras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D

EJEMPLO

589 = 500 + 80+ 9 

859 = 800 +50+ 9 

985= 900 + 80 + 5 

Cada cifra cambia su valor según el lugar que ocupa (valor relativo)

Variación cíclica

El modelo de variación estacional, estacionaria o cíclica permite hallar el valor

esperado o pronóstico cuándo existen fluctuaciones (movimientos ascendentes y

descendentes de la variable) periódicas de la serie de tiempo, esto generalmente como

resultante de la influencia de fenómenos de naturaleza económica. 

Estos ciclos corresponden a los movimientos en una serie de tiempo, que ocurren

año tras año en los mismos meses o períodos del año y relativamente con la misma

intensidad.

El modelo de variación estacional es un modelo óptimo para patrones de demanda

sin tendencia y que presenten un comportamiento cíclico, por ejemplo la demanda de

artículos escolares, la cual tiene un comportamiento cíclico de conformidad con el

calendario escolar.

X̂ t=1 X g

X̂ t= pronostico del periodo t

1= índice de factor estacionalidad

X g= medida o promedio general de las ventas

Dónde:

1= X iX g

X i= media o promedio de las ventas i

Ejemplo De Aplicación De Un Pronóstico De Variación Estacional O Cíclica

La distribuidora de papelería CAROLA  desea vender para el año 2015 una cantidad de

12000 kits escolares. Determine el pronóstico por trimestre a partir del modelo de variación

estacional, teniendo en cuenta la siguiente información acerca del comportamiento de las

ventas:

tetramestre ventas

1 2500

2 1500

3 3800

4 2200

El primer paso consiste en determinar el promedio general de las ventas, para ello hemos de

sumar las ventas totales y dividirlas entre el número de trimestres.

X g=2500+1500+3800+ 22004

X g=2500

Luego se procede a calcular el promedio de las ventas de cada período, en este caso

de cada período tan sólo tenemos un dato, existirán en la práctica ejercicios en los que de

cada período (por ejemplo trimestre I) tengamos gran cantidad de información histórica,

por ejemplo la información histórica del trimestre I de 5 años. Como lo mencionamos, para

éste caso no es necesario promediar, ya que contamos tan sólo con un dato de cada

trimestre, por tal razón procedemos a calcular el índice de estacionalidad de cada período.

I 1=25002500

=1,00

I 2=15002500

=0,60

I 3=38002500

=1,52

I 4=22002500

=0,88

Teniendo en cuenta que se desean vender un total de 12000 kits para el año 2015,

calcularemos el promedio general de las ventas para dicho año, para ello dividiremos ésta

cantidad en la cantidad de trimestres.

X2015=12000

4

X2015=3000

Ya que tenemos el promedio general de las ventas del año que deseamos pronosticar

y contamos con el índice de estacionalidad de cada trimestre, es momento de determinar el

pronóstico por trimestre para el año 2015.

X 1(2015)=1,00∗3000=3000

X 2(2015)=0,60∗3000=1800

X 3(2015)=1,52∗3000=4560

X 4(2015)=0,88∗3000=2640

Variación temporal

Es una secuencia de datos, observaciones o valores, medidos en determinados

momentos y ordenados cronológicamente. Los datos pueden estar espaciados a intervalos

iguales (como la temperatura en un observatorio meteorológico en días sucesivos al

mediodía) o desiguales (como el peso de una persona en sucesivas mediciones en el

consultorio médico, la farmacia, etc.). Para el análisis de las series temporales se usan

métodos que ayudan a interpretarlas y que permiten extraer información representativa

sobre las relaciones subyacentes entre los datos de la serie o de diversas series y que

permiten en diferente medida y con distinta confianza extrapolar o interpolar los datos y así

predecir el comportamiento de la serie en momentos no observados, sean en el futuro

(extrapolación pronóstica), en el pasado (extrapolación retrógrada) o en momentos

intermedios (interpolación).

Figura 2Una serie temporal formada por fluctuaciones aleatoriasSuperpuesta a una tendencia creciente, la línea de mejor ajuste y

Diferentes suavizados de la serie.

Análisis De Los Datos De Atributos

Son Gráficos de Control basados en la observación de la presencia o ausencia de

una determinada característica, o de cualquier tipo de defecto en el producto, servicio o

proceso en estudio.

TIPO DE GRAFICAS

1. Gráfico P : proporción de unidades defectuosas o no conformes, donde “P” es el

porcentaje de las unidades no conformes encontradas en la muestra controlada.

2. Gráfico NP : número de defectuosos o no conformes. Aplicable solamente si todas

las muestras son del mismo tamaño “N”.

3. Gráfico U : no conformidades por unidad. Se emplea cuando aparecen varios

defectos en una misma unidad de producto o servicio.

4. Gráfico C : número de defectos o no conformidades. Aplicable si todas las muestras

son del mismo tamaño “N”, siendo utilizado, cuando las no conformidades se hallan

dispersas en un flujo más o menos continuo de producto.

Establecer los objetivos del control estadístico del proceso, Identificar las características a

controlar.

Determinar el tipo de gráfico de control que es conveniente utilizar, conjugando aspectos

como:

1. Tipo de información requerida

2. Características del proceso

3. Recursos humanos y materiales disponibles

4. Características del producto

5. Nivel de frecuencia de las unidades no conformes o defectos

EJEMPLO DE GRFICO DE CONTROL

DEFINIR ESCALA DE GRAFICO

REPRESENTAR LINEA CENTRAL Y LIMITES DE CONTROL

INCLUIR DATOS AL GRAFICO

COMPROPBACION DE DATOS DE GRAFICOS DE CONTROL

COMPROBACION DE ANALISIS DE RESULTADOS

Si esta condición no se cumple para alguna muestra, esta deberá ser desechada para el

cálculo de los límites de control.

Se repetirán todos los cálculos, sin considerar los valores desechados.

El proceso se repetirá hasta que todas las muestras utilizadas para el cálculo de los límites

de control muestren un proceso dentro de control.

Los límites, finalmente obtenidos, son los definitivos para elaborar la gráfica de control.

FUENTES DE CONSULTA

GRIM, L. and YARNOLD, P.R. (1994). Reading and understanding multivariate statistics. American Psycological Association. Washington D.C

HAIR, J., ANDERSON, R., TATHAM, R. y BLACK, W. (1999). Análisis Multivariante. 5ª Edición. Prentice Hall.

MARTINEZ ARIAS, R. (2000). El Análisis Multivariante en la Investigación Científica. Cuadernos de Estadística. Editorial La Muralla

            Otros libros interesantes son:AFIFI, A.A. and CLARK, V. (1996) Computer-Aided Multivariate Analysis. Third Edition. Texts in Statistical Science. Chapman and Hall.EVERITT, B. And GRAHAM, D. (1991). Applied Multivariate Data Analysis. Arnold.SHARMA, S. (1998). Applied Multivariate Techiques. John Wiley and Sons.URIEL, E. (1995). Análisis de Datos: Series temporales y Análisis Multivariante. Colección Plan Nuevo. Editorial AC.  JOBSON, J.D. (1992)  Applied Multivariate Data Analysis. Volume II: Categorical and Multivariate Methods. Springer-Verlag.LEBART, L; MORINEAU, A. and PIRON, M. (2000). Statistique Exploratoire Multidimensionnelle. 3ª Edition. DUNOD.MARDIA, K.V., KENT, J.T. y BIBBY, J.M. (1994). Multivariate Analysis.  Academic Press. FERRAN, M. (1997). SPSS para WINDOWS. Programación y Análisis Estadístico. Mc.Graw Hill.VISAUTA, B. (1998) Análisis Estadístico con SPSS para WINDOWS (Vol II. Análisis Multivariante).  Mc-Graw Hill.

http://www.eio.uva.es/~valentin/ad3d/anadat/np/rlm/mlm_manova_1.pdfhttps://www.google.com.mx/?

hl=es&gws_rd=cr,ssl&ei=QqkhVvCCBMGoogT4_7LQBA#hl=es&q=ejemplos+manova

https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/12081/1/Capitulo11.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_multivariante

http://qurriculum.webs.ull.es/0_materiales/articulos/numero1/6.juan%20camacho.PDF

https://www.mathway.com/es/examples/statistics/correlation-and-regression/finding-the-

linear-correlation-coefficient?id=328

http://www.mcgraw-hill-educacion.com/pye01e/

cap13/13analisis_de_correlacion_y_regresion.pdf

http://www.dm.uba.ar/materias/estadistica_Q/2011/1/clase%20regresion%20simple.pdf

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/pron

%C3%B3stico-de-ventas/regresi%C3%B3n-lineal/