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INSTITUTO NACIONAL JOSÉ MIGUEL CARRERADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASÉPTIMO BÁSICO Coordinador: Jorge Varela Sierra.Primer Semestre 2020

GUÍA N°4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

LOS NÚMEROS PARTIDOS

Nombre: ____________________________________________________ Curso: 7°___ Fecha: ___/___/_____

Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como una razón. El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q. Todo racional expresa una o varias partes iguales de la unidad. Además, en toda fracción existen dos términos: “a” llamado numerador y “b” llamado denominador. Es decir:

Q={ab|a∈Z∧b∈Z−{0 }}

- Numerador: indica el número de partes iguales que se consideran del entero.- Denominador: indica el número de partes iguales en que se divide el entero.

Ejemplos:

¿ 38= 9

14

Observaciones:- No olvides que el denominador debe ser distinto de cero.- Todo número entero puede ser escrito como un número racional.- No todo número racional puede ser escrito como un número entero.

AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR.Para amplificar una fracción se multiplica, por un número entero distinto de cero, el numerador y el denominador.Ejemplo:

23

aplificado por 4 es 2∗43∗4

= 812

Para simplificar una fracción se divide, por un número entero distinto de cero, el numerador y el denominador.Ejemplo:

915

simlificado por 3es 9 :315: 3

=35

FRACCIONES EQUIVALENTES.Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un entero.

68=12

16

Observaciones:- Para obtener fracciones equivalentes, se debe amplificar o simplificar una fracción dada. - El conjunto de todas las fracciones equivalentes entre sí, se llama Clase de Equivalencia.

2

1

- Cada clase de equivalencia tiene un representante (Número Racional), el cual es la fracción irreductible del conjunto.

- Todos los elementos de una clase de equivalencia representan el mismo punto en la recta.ACTIVIDAD 1.Amplifica por 4 los siguientes racionales.

a)25=¿ b)

1110

=¿

c)−23

=¿ d)−57

=¿

Amplifica por –3 los siguientes racionales.

e)37=¿ f)

18=¿

g)−45

=¿ h)−58

=¿

ACTIVIDAD 2.Simplifica hasta obtener una fracción irreductible.

a)1628

=¿ b)8030

=¿

c)−12

6=¿ d)

−2736

=¿

e)2884

=¿ f)−64132

=¿

ACTIVIDAD 3.Escribe 3 fracciones equivalentes a la fracción dada. Recuerda que puedes amplificar o simplificar.

a)15=❑=❑=❑ b)

67=❑=❑=❑

c)2030

=❑=❑=❑ d)−225

75=❑=❑=❑

e)−86

=❑=❑=❑ f)−1118

=❑=❑=❑

ACTIVIDAD 4.Escribe en el el número que falta para que las fracciones sean equivalentes.

a)13=❑

18 b)8

10=80

❑

c)56❑=−7

8 d)9

54=❑

6

e) ❑36

= 8−9 f)

−910

=−108

g)27= ❑

−21 h) ❑220

=−12

3

2

ORDEN EN LOS RACIONALES.Los números racionales representan cantidades, por lo tanto unos pueden representar más y otros menos, es decir hay una relación de orden entre ellos.

Es por ello, que podemos determinar si un número racional es mayor que otro o si son iguales.

ab> c

d⟺a∗d>b∗c a

b< c

d⟺a∗d<b∗c a

b= c

d⟺a∗d=b∗c

Ejemplos:

Además, un conjunto de racionales se pueden ordenar, de menor a mayor o viceversa, de la siguiente forma:

1. Calcular el MCM de los denominadores.2. Amplificar cada fracción para que todas tengan igual denominador.3. Ordenar de menor a mayor o viceversa.

Ejemplo:

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 13

, 14

, 25 .

1. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.

MCM (3 , 4 , 5 )=60

2. Amplificar las fracciones para que tengan el mismo denominador.

1∗203∗20

=2060

; 1∗154∗15

=1560

; 2∗125∗12

=2460

3. Escribir las fracciones ordenadas.

1560

< 2060

< 2460⟹ 1

4< 1

3< 2

5

DENSIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS RACIONALES.Un conjunto es denso cuando entre dos números distintos se pueden intercalar infinitos números del mismo conjunto.

Se puede intercalar infinitos racionales entre dos racionales distintos, ya que el conjunto Q es denso.

1. Calcular el MCM de los denominadores de las dos fracciones.2. Amplificar las fracciones para que tengan igual denominador.3. Escribir las fracciones intercaladas.

Ejemplo:

Intercalar 3 fracciones entre 13 y

45 .

4. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.

MCM (3 , 5 )=15

5. Amplificar las fracciones.

12> 1

3⟺1∗3>1∗2 7

10=14

20⟺7∗20=14∗102

5< 2

3⟺2∗3<2∗5

4

3

13=1∗5

3∗5= 5

1545=4∗3

5∗3=12

156. Escribir las fracciones intercaladas.

515

, 615

, 715

, 815

, 1215

ACTIVIDAD 5.Coloca en el () el signo > , < o = según corresponda.

a)13( ) 3

4 b)14() 8

−9

c)−23

() 5−9 d)

−1720

() −3245

e)153

( ) 51 f)

4260

() 168240

ACTIVIDAD 6.

a) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales.34

,−56

,−35

, 11

,1 13

b) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales.34

, 25

,−34

,−25

,−12

c) Ordena de mayor a menor los siguientes racionales.34

,−56

, 12

, 11

, −38

, 76

, 01

d) Ordena de mayor a menor los siguientes racionales.−79

,−45

, 08

, 67

, 49

,−310

5

4

ACTIVIDAD 6.

a) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales.34

,−56

,−35

, 11

,1 13

b) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales.34

, 25

,−34

,−25

,−12

c) Ordena de mayor a menor los siguientes racionales.34

,−56

, 12

, 11

, −38

, 76

, 01

d) Ordena de mayor a menor los siguientes racionales.−79

,−45

, 08

, 67

, 49

,−310

ACTIVIDAD 7.Intercala 5 racionales entre:

a)

b)

c)

d)

e)

−25

, ❑ , ❑ ,❑ ,❑ , ❑ , 57

52

, ❑ , ❑ , ❑ ,❑ , ❑ , 59

97

, ❑ , ❑ , ❑ , ❑ ,❑ , 118

38

, ❑ , ❑ , ❑ , ❑ ,❑ , 49

13

, ❑ , ❑ , ❑ ,❑ ,❑ , 12

ACTIVIDAD 8.Ubica en la misma recta numérica los racionales dados.

a)135

,−1710

, 23

,−57

b) 1 13

, 32

, 175

,−25

,−3 12

,−92

6

5

ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LOS RACIONALES.El conjunto de los números racionales, con las operaciones de adición y multiplicación, definen un cuerpo Es decir:

¿ es un cuerpo:i. ¿ es grupo abeliano:

1. Clausura.2. Conmutatividad.3. Asociatividad.4. Elemento Neutro Aditivo.5. Elemento Inverso Aditivo (Opuesto aditivo).

ii. ¿ es grupo abeliano:1. Clausura.2. Conmutatividad.3. Asociatividad.4. Elemento Neutro Multiplicativo.5. Elemento Inverso Multiplicativo.

iii. ¿ cumple la distributividad.

ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.Existen distintas formas de sumar dos racionales.

1. Fracciones con igual denominador: Se suman los numeradores y se conserva el denominador en común.ac+b

c=a+b

c2. Fracciones con distinto denominador: Se debe amplificar cada fracción para que tengan un denominador en

común y luego sumar los numeradores (amplificados).ab+ c

d=ad+bc

bd

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.El conjunto de los racionales con la operación adición forman un grupo abeliano. Es decir cumple con las siguientes propiedades:

ClausuraAsociatividadElemento neutro aditivoElemento inverso aditivo

Grupo Grupo abeliano

Conmutatividad

ACTIVIDAD 8.Ubica en la misma recta numérica los racionales dados.

a)135

,−1710

, 23

,−57

b) 1 13

, 32

, 175

,−25

,−3 12

,−92

ACTIVIDAD 9.Resuelve las siguientes adiciones de racionales.

a)17+ 3

7+ 2

7=¿

b) 3 12+ 1

5+−3

4=¿

c)−14

+ 34=¿

d)23+(−1

8+ 3

4 )=¿

e)−85

+ 715

=¿

7

6

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.La sustracción es la operación inversa de la adición. Por lo tanto:

ab− c

d=a

b+−c

d

ECUACIONES ADITIVAS EN Q.

Dada la ecuación ab+x= c

d donde ab

, cd∈Q con x variable, se puede calcular el valor de la variable sumando, en

ambos lados de la igualdad, el inverso aditivo del racional ab . Es decir:

ab+x= c

d |+−ab

ab+−a

b+x= c

d+−a

b

x= (b∗c )+(−a∗d )b∗d

ACTIVIDAD 9.Resuelve las siguientes adiciones de racionales.

a)17+ 3

7+ 2

7=¿

b) 3 12+ 1

5+−3

4=¿

c)−14

+ 34=¿

d)23+(−1

8+ 3

4 )=¿

e)−85

+ 715

=¿

ACTIVIDAD 10.Resuelve las siguientes sustracciones de racionales.

a)2731

−1331

=¿

b)−15

−38=¿

c)−23

−−16

=¿

d)37−−1

7=¿

e)−12

−1 35=¿

f)−58

−12− 3

4−−5

12=¿

ACTIVIDAD 11.Resuelve las siguientes ecuaciones aditivas con racionales.

a) x+15=2

3

b) x+ 17=2

3− 5

42

c) x−12+ 1

6=1

5−3

4

8

7

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.

ab∗c

d=a∗c

b∗d

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.El conjunto de los racionales, sin el cero, con la operación multiplicación forman un grupo abeliano. Es decir cumple con las siguientes propiedades:

ClausuraAsociatividadElemento neutro multiplicativoElemento inverso multiplicativo

Grupo Grupo abeliano

Conmutatividad

ACTIVIDAD 11.Resuelve las siguientes ecuaciones aditivas con racionales.

a) x+15=2

3

b) x+ 17=2

3− 5

42

c) x−12+ 1

6=1

5−3

4

ACTIVIDAD 12.Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios combinados.

a) (2 13−3 1

2 )−[4 15−(2 1

2+1 3

5 )]=¿

b) −(−12

−12 )−−1

2=¿

c)14−(2−1

2 )−(−13

−12+2)=¿

d)18+[ 1

4−( 1

8+2− 3

50 )−1 23 ]=¿

ACTIVIDAD 13.Resuelve las siguientes multiplicaciones de racionales.

a)38∗−2

9=¿

b)

−45

∗1

2∗1

3=¿

c)

−1215

∗−3

4∗30

40=¿

9

8

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.La división es la operación inversa de la multiplicación. Por lo tanto:

ab

: cd=

ab∗d

c

ECUACIONES MULTIPLICATIVAS EN Q.

Dada la ecuación ab∗x= c

d donde ab

, cd∈Q con x variable, se puede calcular el valor de la variable

multiplicando, en ambos lados de la igualdad, por el inverso mutiplicativo del racional ab . Es decir:

ab∗x= c

d |¿ ba

ab∗b

a∗x=

cd∗b

a

x=b∗ca∗d

ACTIVIDAD 13.Resuelve las siguientes multiplicaciones de racionales.

a)38∗−2

9=¿

b)

−45

∗1

2∗1

3=¿

c)

−1215

∗−3

4∗30

40=¿

ACTIVIDAD 15.Resuelve las siguientes ecuaciones multiplicativas.

a)43

x=−25

b)12∗x

4=−1

2

c) x∗(13

: −12 )=2

3: 1

4

ACTIVIDAD 14.Resuelve las siguientes divisiones de racionales.

a)−78

: 35=¿

b)49

:16=¿

c) 0 : 47=¿

d) ( 12

:2): 4=¿

10

9

ACTIVIDAD 16.Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios combinados.

a) (2 13−3 1

2 )−[4 15−(2 1

2+1 3

5 )]=¿

b) −(−12

−12 )−−1

2=¿

c)14−(2−1

2 )−(−13

−12+2)=¿

d)18+[ 1

4−( 1

8+2− 3

50 )−1 23 ]=¿

ACTIVIDAD 16.Resuelve los siguientes ejercicios combinados.

a)23∗[−3

4−(−1

2∗4−1

2∗10)−1]=¿

b)12+ 1

4∗[1

2−3

4:(1−1

3 )]=¿

c) ( 32−1)∗1 1

2+

34∗−4

3=¿

ACTIVIDAD 17.Resuelve las siguientes ecuaciones en ¿.

a)x2+ 1

4=−3

5

b)x3+ x

5=1

6−1

2

c)x6+5=1

3

d)49=2

3−3 x

4

e)x−4

3−5=0

f) x− x+212

=5 x2

g)x7+ 4

7+ x

2−1

2+4=7

h)23 ( x+1

5 )= 34 ( x−6

3 )

i)x−1

2− x−2

3− x−3

4= x−5

5

j)

11

10

ACTIVIDAD 17.Resuelve las siguientes ecuaciones en ¿.

a)x2+ 1

4=−3

5

b)x3+ x

5=1

6−1

2

c)x6+5=1

3

d)49=2

3−3 x

4

e)x−4

3−5=0

f) x− x+212

=5 x2

g)x7+ 4

7+ x

2−1

2+4=7

h)23 ( x+1

5 )= 34 ( x−6

3 )

i)x−1

2− x−2

3− x−3

4= x−5

5

j)

ACTIVIDAD 18.Resuelve y responde en tu cuaderno los siguientes problemas que involucran números racionales.

a) ¿Qué número sumado a −58 da como resultado

32 ?

b) ¿De qué número hay que restar 97 para obtener

12 ?

c) ¿Qué número restado a 97 para obtener

12 ?

d) La suma de tres fracciones es igual a 35 . El primer sumando es

37 y el segundo es

−14 . ¿Cuál es el

tercer sumando?

e) Un estanque de agua contiene 16 de su capacidad, si se agregan 64 litros llega hasta la mitad. ¿Cuál es la

capacidad del estanque?

f) Después de gastar 13 y

18 del dinero que tenía, me quedan $3.990. ¿Cuánto dinero tenía?

g) Determinar el número cuyos 78 exceden a sus

45 en 2.

h) ¿Por qué número hay que dividir 34 para obtener –2?

i) Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los 35 del menor con los

56 del mayor exceda

en 31 al mediano.

j) Hallar el número que disminuido en sus 38 equivale a su duplo disminuido en 11.

k) El jueves perdí los 35 de lo que perdí el miércoles y el viernes los

56 de lo que perdí el jueves. Si en los tres

días perdí $252.000 ¿Cuánto perdí el miércoles, jueves y viernes?

l) La edad de un hijo es 25 de la edad de su padre y hace 8 años la edad del hijo era los

27 de la edad del

padre. Calcular las edades actuales del padre y el hijo.

m) Un padre tiene 40 años y su hijo 15. ¿Dentro de cuantos años la edad de la hija será los 49 de la edad del

padre?

n) ¿Qué número sumado con sus 29 y con sus

38 es 318.

12

11

REPRESENTACIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN.Toda fracción puede ser representada de forma decimal dividiendo el numerador con el denominador.

Los números decimales se forman de una parte entera separada de una parte decimal con una coma. De acuerdo a como es el decimal se puede clasificar como:

1. Decimal finito: número decimal que su parte decimal tiene fin.

2. Decimal infinito: número decimal que su parte decimal no tiene fin.a. Periódico: la parte decimal se forma de una secuencia numérica que se repite (periodo).

b. Semiperiodico: la parte decimal se forma de algunas cifras (anteperiodo) acompañados de un periodo.

c. No periódicos: la parte decimal es infinita y sin periodo.

π=3,141592654. ..

REPRESENTACIÓN FRACCIONARIA DE UN DECIMAL.Los números decimales, dependiendo de su naturaleza, pueden ser expresados como una fracción (propia, impropia o igual al entero). Los únicos números decimales que no se pueden representar como una fracción son los infinitos no periódicos, es por ello que todos los decimales excepto los infinitos no periódicos, pertenecen al conjunto de los números racionales.

1. Decimal finito a fracción: se escribe en el numerador el decimal completo omitiendo la coma. Se En el denominador se escribe una potencia de diez, donde el exponente es igual al número de cifras de la parte decimal.

ACTIVIDAD 18.Resuelve y responde en tu cuaderno los siguientes problemas que involucran números racionales.

a) ¿Qué número sumado a −58 da como resultado

32 ?

b) ¿De qué número hay que restar 97 para obtener

12 ?

c) ¿Qué número restado a 97 para obtener

12 ?

d) La suma de tres fracciones es igual a 35 . El primer sumando es

37 y el segundo es

−14 . ¿Cuál es el

tercer sumando?

e) Un estanque de agua contiene 16 de su capacidad, si se agregan 64 litros llega hasta la mitad. ¿Cuál es la

capacidad del estanque?

f) Después de gastar 13 y

18 del dinero que tenía, me quedan $3.990. ¿Cuánto dinero tenía?

g) Determinar el número cuyos 78 exceden a sus

45 en 2.

h) ¿Por qué número hay que dividir 34 para obtener –2?

i) Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los 35 del menor con los

56 del mayor exceda

en 31 al mediano.

j) Hallar el número que disminuido en sus 38 equivale a su duplo disminuido en 11.

k) El jueves perdí los 35 de lo que perdí el miércoles y el viernes los

56 de lo que perdí el jueves. Si en los tres

días perdí $252.000 ¿Cuánto perdí el miércoles, jueves y viernes?

l) La edad de un hijo es 25 de la edad de su padre y hace 8 años la edad del hijo era los

27 de la edad del

padre. Calcular las edades actuales del padre y el hijo.

m) Un padre tiene 40 años y su hijo 15. ¿Dentro de cuantos años la edad de la hija será los 49 de la edad del

padre?

n) ¿Qué número sumado con sus 29 y con sus

38 es 318.

13

12

2. Decimal infinito periódico a fracción: se escribe en el numerador el decimal completo omitiendo la coma y se le resta todo lo que está antes del periodo. En el denominador se escriben tantos nueve como cifras tenga el periodo.

3. Decimal infinito semiperiodico a fracción: se escribe en el numerador el decimal completo omitiendo la coma y se le resta todo lo que está antes del periodo. En el denominador se escriben tantos nueve como cifras tenga el periodo acompañado de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

OPERATORIA ENTRE NÚMEROS DECIMALES.

Recordemos observando el ejemplo dado y escribe con tus palabras en máximo dos líneas el procedimiento adecuado de cómo resolver cada operación con números decimales.

i. ADICIÓN.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ii. SUSTRACCIÓN.

14

13

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

iii. MULTIPLICACIÓN.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________iv. DIVISIÓN.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¡DESAFIO RÁPIDO!

Observa los tres ejemplos de cómo dividir números decimales por potencias de base 10.

15

14

TEST DE SELECCIÓN ÚNICA Y SELECCIÓN MÚLTIPLE.

Instrucciones: Ennegrece una y solo una de las alternativas. Todo ejercicio debe incluir sus cálculos matemáticos coherentes al contenido y a la respuesta marcada.

1) ¿Qué fracción es equivalente a −25 ?

A)−815

B)8

20

C)−620

D)10

−25

E)4

10

2) ¿Qué fracción se obtiene al amplificar −58 por –

3?

A)1524

B)−1524

C)158

D)−15

8

E)−524

3) ¿Qué número se debe escribir en el ∆ para que las fracciones sean equivalentes?:

A) 5B) 10C) 30D) 45E) N.A.

4) ¿Cuál de las siguientes desigualdades es correcta?

A) 0 ,3> 34

B)−23

> 5−9

C) 0,25< 18

D) 0 ,25>0,2 5

E)−35

>−68

5) El número 0 ,08 es equivalente a: 6) ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor?

¡DESAFIO RÁPIDO!

Observa los tres ejemplos de cómo dividir números decimales por potencias de base 10.

1115

=33∆

16

15

A)8

90

B)16

180

C)16

198

D)4

45

E)8

99

A)−811

B)−34

C)−57

D)−1723

E)−1925

7) ¿Cuál de los siguientes racionales es mayor que 2,7 ?

A)2911

B)115

C)187

D)135

E)269

8) ¿Cuál(les) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?i. Un racional entero no tiene desarrollo decimal.

ii. 0,0 25= 5198

iii. El racional 1

33 tiene desarrollo decimal infinito

periódico.

A) Solo i. y ii.B) Solo ii. y iii.C) Solo i. y iii.D) i., ii. y iii.E) Ninguna.

9) ¿Cuál de los siguientes racionales está a igual

distancia de 14 y

35 ?

A)9

20

B)1640

C)1740

D)8

20

E)1940

10) El punto P en una recta numérica corresponde al

número −19

4 . ¿Cuál es el entero más cercano a P?

A) – 6B) – 3C) – 5D) – 4E) – 2

11) Si a=−32 ; b=−2

3 y c=−78 , entonces el orden

creciente es:

A) a , b , cB) b , c , aC) c , b , aD) a , c , bb , a , c

12) El resultado de ( 12+ 1

3 ) : 15 es:

A)6

25

B)256

C)16

D) 6

1

13) ¿Cuál es el valor de Q? 14) Un cuarto de la tercera parte de la mitad de 2 es:

17

16

Q=1− 1

1− 1

1−12

A)12

B)−12

C) 2

D) −2

E) Otro valor.

A)14

B)112

C) 2

D) 12

E) Otro valor.

15) Si hoy leí 38 de un libro y ayer leí

26 menos que hoy.

¿Cuánto me queda por leer?

A)28

B)38

C)48

D)58

E)18

16) ¿Cuánto es la mitad de 14 de

15 de

110 de

40.000 ?

A) 400B) 300C) 200D) 100E) 50