ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ( α,β ) c {\displaystyle \mathbb {R} }ℝ και xo ϵ (α,β). Η συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο Χο , όταν ο λόγος μεταβολής έχει πεπερασμένο όριο στο Χο, δηλαδή υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός.

Συμβολικά γράφουμε: f’ (xo) = = x=xο

Αν τώρα πάρουμε όλα εκείνα τα χ ϵ (α,β), για τα οποία υπάρχει η παράγωγος και σε κάθε ένα από αυτά αντιστοιχίσουμε την παράγωγο της f σ’ εκείνο το σημείο, τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, που συμβολίζεται με f’ και λέγεται παράγωγος συνάρτηση της f ή απλά παράγωγος της f.

Η νέα συνάρτηση θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο εκείνων των χ ϵ (α,β), για τα οποία υπάρχει η παράγωγος της f .

Εξ’ άλλου, έστω h , τέτοιο ώστε (+h) ϵ (α,β). Ο λόγος μεταβολής της f , μεταξύ και +h γράφεται και ως συνάρτηση του h: και f’(xo) =

Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση f έχει παράγωγο ( ή είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο , τότε είναι συνεχής σ’ αυτό το σημείο. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν είναι η f(x) συνεχής σ΄ ένα σημείο , δεν υπάρχει πάντα η παράγωγος της σ’ αυτό το σημείο.

Γεωμετρική σημασία της παραγώγου

Παράγωγοι ανώτερης τάξης.

Η συνάρτηση παράγωγος της f(x), μπορεί να είναι επίσης παραγωγίσιμη οπότε ορίζεται η δεύτερη παράγωγος 4’’ (x) , η Τρίτη παράγωγος 4’’’ (x) και γενικότερα μπορεί να υπάρχει μια f(v) ν ≥ 1)

Παράγωγος βασικών συναρτήσεων

I. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης y = c είναι το μηδέν.

Π.χ Αν y = f(x) = 3 τότε f’(x) = 0

II. Παράγωγος μονωνύμου : Αν f(x) = xn τότε f’(x) = n χn-1

Π.χ Αν f(x) = x3 τότε f’(x) = 3x2

Αν f(x) = 3x2 τότε f’(x) = 3·2·x = 6x

Αν f(x) = x τότε f’(x) 1·xo = 1·1 =1

III. Παράγωγος ρίζας

Αν f(x) = , τότε f’(x) = x ϵ (ο,+∞)

Αν f(x) = , τότε f’(x) = ν ϵ ℕ

IV. Αν f(x) = ημ x τότε f’(x) = συν χ

V. Αν f(x) = συν x τότε f’(x) = -ημ x

VI. Αν f(x) = εφ x τότε f’(x) = = 1+

VII. Αν f(x) = σφ x τότε f’(x) = = - (1+)

VIII. Αν f(x) = , τότε f’(x) = , όπου = 2,71828

IX. Αν f(x) = , τότε ,

Από τη γνωστή ισότητα: =

Θα έχουμε: () =( )’ = (xlna)’ = ·lna

ή >ο , ≠1

Παρατήρηση: Εδώ εφαρμόστηκε ο κανόνας παραγώγισης

σύνθετης συνάρτησης που θα αποδειχθεί παρακάτω:

Δηλ. = [f(g(x))]’ = f’(g(x)) · g’(x)

X. Αν f(x) = ln x , τότε f’(x) = x>o.

XI. , >ο , ≠1

Διότι = (τύπος αλλαγής βάσης λογαρίθμων)

Κανόνες παραγώγισης

Ι.[a f(x)]’ = a f’(x)

ΙΙ.[f(x) ± g(x)]’ = f’(x) ± g’(x)

ΙΙΙ.[f(x) · g(x)]’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)

IV. = και =

V. = = f’ · g’(x) . (Κανόνας της αλυσίδας)

Εφαρμογές των παραγώγων

I. Άρση της απροσδιοριστίας

Αν έχουμε δύο συναρτήσεις f, g, παραγωγίσιμες σ’ ένα σημείο Xo με g’(Xo) ≠ 0 και

f(x) = 0 , και επίσης αν υπάρχει το , τότε ισχύει :

= .

Το θεώρημα ισχύει και για όρια των συναρτήσεων στο +∞ ή -∞ .

II. Θεώρημα (Fermat): Αν μια συνάρτηση f ,

i) Είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα

ii) Παρουσιάζει τοπικό ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο ) σ’ ένα σημείο Xo ϵ D(f) και

iii) Είναι παραγωγίσιμη στο Χο , τότε ισχύει f’(Xo)=0

III. Θεώρημα Rolle: Έστω μια συνάρτηση f , για την οποία υποθέτουμε ότι:

i) Είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] .

ii) Είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) .

iii) Ισχύει f(a) = f(β) ,

Τότε υπάρχει σημείο Xo ϵ (α,β) , για το οποίο

η παράγωγος είναι μηδέν : f’(Xo) = 0

IV. Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού:

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και

παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) , τότε υπάρχει

τουλάχιστον ένα σημείο Xo ϵ (α,β) τέτοιο ώστε:

f’(Xo) =

V. Μονοτονία συνάρτησης:

1) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]

και για κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος (α,β) υπάρχει

η παράγωγος και είναι θετική, τότε η f είναι αύξουσα στο [α,β].

2) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και

η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε σημείο του (α,β), τότε

η f είναι φθίνουσα στο [α,β].

3) Αν η παράγωγος f’ της f μηδενίζεται σε ένα σημείο

Αλλάζοντας πρόσημα δεξιά και αριστερά του σημείου

αυτού, τότε στο σημείο αυτό υπάρχει ακρότατη

τιμή, μέγιστο ή ελάχιστο.

VI. Η Σημασία της δεύτερης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα).

Έστω μια συνάρτηση f , για την οποία υπάρχει η παράγωγος και η δεύτερη παράγωγος σ’ ένα σημείο Χο.

Αν όπως προαναφέρθηκε, η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημα στο Χο , τότε η f έχει ακρότατη τιμή στο Χο . Σ’ αυτή την περίπτωση , το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου αποτελεί ένα κριτήριο για το αν η ακρότατη αυτή τιμή είναι μέγιστο ή ελάχιστο ( Κριτήριο β’ παραγώγου )

Πιο συγκεκριμένα ισχύει:

1. Αν η f’’ (Xo) > 0 τότε η f έχει ελάχιστο στο Χο

2. Αν η f’’ (Xo) < 0 τότε η f έχει μέγιστο στο Χο

VII. Γεωμετρική σημασία της δεύτερης παραγώγου

1. Αν η f’’(x) > 0 τότε η καμπύλη της f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Π.χ

2. Αν η f’’(x) < 0 , τότε η καμπύλη της f , στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Π.χ

Σημείο Καμπής

Αν η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο σε ένα σημείο Χο , τότε το σημείο αυτό λέγεται σημείο καμπής. Π.χ

Το Χο είναι

σημείο καμπής

αν f’’(Xo) = 0

και η f’’ αλλάζει

πρόσημο αριστερά

και δεξιά του Χο.

Παράδειγμα: Αν f(x) = , τότε

f’(x) = και f’’(x) =

f’(x) = 0

x -∞ 0 2 4 +∞ Η καμπύλη της συνάρτησης

f’(x) + 0 - - 0 + έχει μέγιστο στο ,

f’’(x) - - 0 + + το σημείο

f(x) max

8 minΕπίσης έχει ελάχιστο

-8 -24στο Xo = 4 , το σημείο

Σ καμπής(4, f ) = (4, -24)

Η καμπύλη έχει σημείο

καμπής στο σημείο Xo = 2

το σημείο = (2, -8)

Ασκήσεις

1. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής και να γίνει μελέτη ως προς τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Αν η συνάρτηση είναι της μορφής , λέγεται ρητή ή κλασματική. Τότε το πεδίο

ορισμού είναι το ℝ -

Στις ρητές συναρτήσεις παρουσιάζονται ασύμπτωτες ευθείες.

Η μελέτη και η γραφική παράσταση μιας ρητής συνάρτησης , ακολουθεί την ίδια διαδικασία , όπως και στις πολυωνυμικές , αλλά επί πλέον θα πρέπει να προσδιοριστούν και οι ασύμπτωτες ευθείες , κατακόρυφες και οριζόντιες κ’ πλάγιες , όπως αναφέρεται στη σελίδα 6.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ – ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Λύση 1 Πεδίο ορισμού:

2. Κατακόρυφες ασύμπτωτες: Άρα η ευθεία x = 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη

Οριζόντιες – πλάγιες

Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη

Άρα η ευθεία με α = 0 , β = 1 , δηλαδή η ευθεία ή y = 1

Είναι οριζόντια ασύμπτωτη.

3.

Η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε x στο πεδίο ορισμού της f , άρα δεν υπάρχουν

μέγιστα ή ελάχιστα.

, Άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Άρα η είναι θετική για

4. Τομές με άξονες

Για

Για

Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο

5. Πίνακας μεταβολών (μονοτονίας)

II. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης:

Λύση:

1. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, βρίσκουμε τις ρίζες του παρανομαστή και τις αποκλείουμε.

Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι το

2. Βρίσκουμε τις τομές της καμπύλης με τους άξονες

Για Άρα η καμπύλη τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο

Για

=

Άρα

Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x’x στα σημεία (1,0) και (3,0)

3. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, επειδή είναι ρητή.

4. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή ούτε περιοδική

5. Ασύμπτωτες α) Κατακόρυφες

Άρα υπάρχουν δύο κατακόρυφες ασύμπτωτοι και είναι οι ευθείες

Β) Οριζόντιες – πλάγιες

Αν υπάρχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη, θα είναι της μορφής όπου

α = β =

α =

β =

Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη και είναι η ευθεία y = 1

6. Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης

Ρίζες πρώτης παραγώγου

Πρόσημο πρώτης παραγώγου

Οι παράγοντες 16 και είναι θετικοί και δεν επηρεάζουν το πρόσημο.

Άρα μπορούμε να τους διαγράψουμε διαιρώντας με αυτούς και τα δυο μέλη της ανίσωσης. Οπότε η ανίσωση θα γίνει:

Άρα: Άρα το 2 είναι

ακρότατη τιμήδιότι η παράγωγος

μηδενίζεται αλλάζοντας

πρόσημο

Κατόπιν βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο:

Ρίζες δεύτερης παραγώγου

Άρα η δεύτερη παράγωγος δεν έχει ρίζες ,

άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής

Πρόσημο δεύτερης παραγώγου

Οι παράγοντες 48 , και

Είναι μονίμως θετικοί άρα μπορούν να διαγραφούν με διαίρεση και των δυο μελών, χωρίς να επηρεαστεί το πρόσημο της ανίσωσης

Άρα η ανίσωση θα γίνει

ή

Συγκεντρώνουμε τα συμπεράσματα μας

στον παρακάτω πίνακα μονοτονίας της

συνάρτησης και βάσει του πίνακα αυτού

σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ)

III. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης

Λύση

1. Πεδίο ορισμού είναι το

2. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο

Ορισμού της επειδή είναι ρητή

3. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή αφού

4. Τομές με άξονες

Τέμνει τον άξονα y’y για θέτοντας θα έχουμε

Άρα τέμνει τον y’y στο σημείο (0,6)

Τέμνει τον άξονα x’x για θέτοντας , θα έχουμε:

Άρα τέμνει τον x’x στα σημεία (2,0) και (3,0)

5. Ασύμπτωτεςα)Κατακόρυφες

Άρα η ευθεία x=1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη

β) οριζόντιες - πλάγιες

Αναζητούμε την , όπου α =

α =

β = Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη, η ευθεία y=1

7/3

+ +

Πίνακας μεταβολών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

I. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)8)

9)10)

ΙΙ. Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο σημεία

του πεδίου ορισμού της στα οποία η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.

ΙΙΙ. Αν η συνάρτηση έχει ένα τοπικό ελάχιστο

στο , ποιο από τα παρακάτω είναι το m;

Α) -3Β) -2Γ) -1Δ) 1Ε) 2

IV. Έστω η συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι έχει δυο σημεία καμπής

και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων αυτών.

V. Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

με α>2 , βρίσκεται πάνω από τον άξονα x’x .

VI. Δίνεται η συνάρτηση . Αν γνωρίζετε ότι

η παράγωγος της έχει τοπικό ελάχιστο -1 , βρείτε ποια από τις

παρακάτω είναι η θετική τιμή του α ;

Α) 0Β) 1Γ) 2Δ) 3Ε) 4

VΙI. Δίνονται οι συναρτήσεις: και

Να βρείτε το α ϵ ℝ , ώστε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της

να βρίσκεται πάνω στην πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ,

όταν

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

I. ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Η εύρεση του ολοκληρώματος μια συνάρτησης είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης.

Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση θα λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα

ή παράγουσα της συνάρτησης , αν η παράγωγος της είναι η , δηλαδή αν ισχύει:

Παράδειγμα

Η είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα (ή μια παράγου

Της συνάρτησης , διότι

Αν η , είναι αόριστο ολοκλήρωμα της , τότε και κάθε άλλη συνάρτηση της μορφής , με c ϵ ℝ , είναι επίσης αόριστο ολοκλήρωμα της αφού η παράγωγος σταθερού αριθμού είναι μηδέν και θα ισχύει:

Το αόριστο ολοκλήρωμα της συμβολίζεται

Έτσι, για το προηγούμενο παράδειγμα θα έχουμε:

c ϵ ℝ

Η σταθερά c μπορεί να προσδιοριστεί αν μας δοθεί κάποια αρχική συνθήκη.

Π.χ αν μας δοθεί στο προηγούμενο παράδειγμα ότι , τότε θα έχουμε

ή

Λύνουμε ως προς c και βρίσκουμε ή

Στην οικονομία η παράγωγος εκφράζει το οριακό κόστος , ενώ το ολοκλήρωμα εκφράζει το συνολικό κόστος.

Παράδειγμα Αν το οριακό κόστος παραγωγής ποσότητας Q ενός προϊόντος είναι και αν για την , παραγωγή μιας μερικής μονάδας του προϊόντος το συνολικό κόστος είναι 10€ , το συνολικό κόστος παραγωγής θα είναι

Και επειδή C(1) = 10 έπεται ότι

, άρα , άρα Άρα τελικά το συνολικό κόστος θα είναι:

Βασικοί Τύποι Ολοκλήρωσης

1.

2.

3. διότι

4. , όπου α ϵ ℝ

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. x ϵ

12.

13.

14.

Παρατηρήσεις

Από τη θεωρία των παραγώγων γνωρίζουμε ότι

τότε και

Αν συμβολίσουμε με και τις πολύ μικρές οριακές ????? τιμές μεταβολής των

προκύπτει ο συμβολισμός της παραγώγου του Leibnitz , δηλαδή

Από την ταύτιση των δυο συμβολισμών που μας δείχνει αυτή η ισότητα δηλαδή από τη σχέση

Η ποσότητα , δηλαδή το γινόμενο λέγεται διαφορικό της

Αν στη σχέση (1) πάρουμε το ολοκλήρωμα και στα δυο μέλη και εφαρμόσουμε τον

ορισμό του ολοκληρώματος , θα έχουμε:

Αυτό σημαίνει ότι τα σύμβολα ∫ και d αλληλοαναιρούνται (με τη σειρά που είναι γραμμένα)

Ακόμα ισχύει:

Για κάθε c ϵ ℝ ,

και

Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων

1)

2)

3)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

1) Ολοκλήρωση κατά μέλη (Γραμμικότητα του Ολοκληρώματος)

Παράδειγμα

2) Ολοκλήρωση κατά παράγοντες ή Παραγοντική ολοκλήρωση

Αν f(x) και g(x) είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις , από τη σχέση της παραγώγισης γινομένου και τη γνωστή σχέση που συνδέει τους δύο συμβολισμούς της παραγώγου και ορίζει το διαφορικό μιας συνάρτησης, δηλαδή από τη σχέση:

,

θα έχουμε:

Αν πάρουμε το ολοκλήρωμα κατά μέλη , θα έχουμε:

ή

(1)

Αυτός ο τύπος είναι ο τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης και εφαρμόζεται για να αλλάξει η συνάρτηση που πρέπει να ολοκληρωθεί και να γίνει έτσι ευκολότερος ο υπολογισμός του ολοκληρώματος ισχύει όταν οι συναρτήσεις έχουν συνεχείς παραγώγους.

Παραδείγματα α) Να υπολογισθούν τα παρακάτω ολοκληρώματα.

1.

2.

Β) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

3. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

Στη μέθοδο αυτή δεν υπάρχει γενικός κανόνας, απλώς γίνεται αλλαγή μεταβλητής με σκοπό να γίνει πιο απλός ο τύπος της συνάρτησης και έτσι να υπολογισθεί πιο εύκολα το ολοκλήρωμα.

Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων με αντικατάσταση

1)

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα αυτό θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. Αυτό σημαίνει ότι θα επιλέξουμε να συμβολίσουμε ένα μέρος του τύπου της συνάρτησης μας με άλλη μεταβλητή και θα εκφράσουμε ολόκληρο τον τύπο συναρτήσει της νέας μεταβλητής.

Συγκεκριμένα θέτουμε:

(1). Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη της (1).

Από τη γνωστή σχέση έπεται

Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα:

2)

Θέτουμε . Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη:

Αντικαθιστούμε:

3) . Θέτουμε , άρα ή

ή

Αντικαθιστούμε:

4) Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων

Αν έχουμε να ολοκληρώσουμε μια ρητή συνάρτηση δηλαδή μια συνάρτηση της μορφής όπου τα f(x) και g(x) είναι μη μηδενικά πολυώνυμα , τότε θα πρέπει να προσέξουμε το βαθμό των πολυωνύμων f(x) και g(x) .

Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του παρανομαστή τότε θα πρέπει να γίνει η διαίρεση των πολυωνύμων και να γραφτεί το κλάσμα

σύμφωνα με την ισότητα της διαίρεσης

δηλαδή το γνωστό τύπο του Ευκλείδη:

ή

Οπότε το κλάσμα θα αναλυθεί σε άθροισμα ενός πολυωνύμου (πηλίκο) και ενός άλλου κλάσματος στο οποίο ο βαθμός του αριθμητή θα είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή.

Κατόπιν ο παρανομαστής θα αναλυθεί σε άθροισμα απλών κλασμάτων , δηλαδή κλασμάτων της μορφής:

όταν ο παρανομαστής είναι τριώνυμο β’ βαθμού και έχει ρίζες πραγματικές ,

τις

Γενικότερα στο άθροισμα που θα προκύψει , επειδή μπορεί να υπάρχουν και διπλές ρίζες ή ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας λ , σε κάθε πραγματική ρίζα ρ του παρανομαστή, αντιστοιχούν τα κλάσματα , αν η ρίζα έχει πολλαπλότητα λ.

Συνήθως ασχολούμαστε με λ = 1 , 2 , ή 3.

Επίσης μπορεί να υπάρχουν στον παρανομαστή παράγοντες της μορφης

Σε κάθε τέτοιο παράδειγμα αντιστοιχούν τα κλάσματα

Παραδείγματα 1). Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

και το ολοκλήρωμα θα γίνει:

Για το εφαρμόζουμε τη μέθοδο αντικατάστασης:

θέτουμε , άρα και επομένως

Επίσης είναι βασικός κανόνας ολοκλήρωσης ότι:

Άρα τελικά θα έχουμε:

2)Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

Λύση: Επειδή ο παρανομαστής έχει διπλή ρίζα η ρητή συνάρτηση θα χωριστεί σε απλά κλάσματα ως εξής:

1 x+1 1

Οπότε το ολοκλήρωμα θα γίνει:

3) Επίσης το ολοκλήρωμα θα γίνει

Λύση: Το ολοκλήρωμα γράφεται:

και η συνάρτηση θα αναλυθεί

1 x2+1 x

επειδή το είναι μόνιμα

θετική παράσταση , δηλαδή

δεν έχει ρίζες πραγματικές.

Οπότε θα έχουμε:

ή

ή

και το ολοκλήρωμα θα είναι:

4) Επίσης το ολοκλήρωμα:

Λύση:

1 xδιότι το

ή έχει

ή και άρα δεν έχει

ήρίζες πραγματικές.

Άρα:

Ασκήσεις

Με τον ίδιο τρόπο να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1) 2) 3)

5) 6)

7)

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Θεωρούμε μια συνάρτηση , ορισμένη και

συνεχή σε ένα κλειστό διάστημα .

Αν πάρουμε μια διαμέριση του διαστήματος δηλαδή ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

του , για το οποίο ισχύει:

και συμβολίσουμε τα μήκη των υποδιαστημάτων που δημιουργούνται μέσα στο ως διαφορές: , τότε αν τα μήκη αυτά τα θεωρήσουμε ίσα,

το κάθε ένα από αυτά θα είναι:

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν Ε της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και τις ευθείες , , κατασκευάζουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα πλευράς Δx και ύψους ίσου με την ελάχιστη τιμή της στο αντίστοιχο υποδιάστημα. Θέτουμε στο διάστημα

όταν το , τότε

Τότε το άθροισμα των εμβαδών όλων των παραπάνω ορθογωνίων πλησιάζει παραμένοντας μικρότερος το ζητούμενο εμβαδόν Ε.

Γράφουμε:

Το σύμβολο του απείρου αθροίσματος μπορεί να αντικατασταθεί από το σύμβολο

του ολοκληρώματος και το εμβαδόν αυτό που αποτελεί το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των στοιχειωδών αυτών ορθογωνίων, λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο διάστημα και συμβολίζεται

Το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει μια ορισμένη τιμή σε αντίθεση με το αόριστο ολοκλήρωμα που είναι συνάρτηση. Η τιμή αυτή μπορεί να υπολογισθεί αν χρησιμοποιήσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton-Leibnitz), το οποίο αναφέρει ότι:

Αν είναι το αόριστο ολοκλήρωμα (ή παράγουσα) της στο διάστημα , τότε το ορισμένο ολοκλήρωμα της είναι ίσο με Συμβολικά γράφουμε:

(1)

Με τη βοήθεια του θεωρήματος αυτού το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τη σχέση (1) , αφού πρώτα βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα (ή παράγουσα) της

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

1.

2.

3. , όπου

Αναφέρθηκε προηγουμένως ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν

Της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες και , καθώς και τον άξονα x’x . Αυτό όμως ισχύει όταν

Γενικότερα το εμβαδόν αυτό θα είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος:

Παραδείγματα

1.

2.

3. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τον άξονα x’x και τις ευθείες και

Λύση

026

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι θετική στο διάστημα Άρα:

διότι

4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση τέμνει τον άξονα x’x για δηλαδή όταν

Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι:

1 3

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

α) β)

γ) δ)

ε) στ)

ζ) η)

θ)ι)

ια)

2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης τις ευθείες και τον άξονα x’x

3. Ομοίως το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τις ευθείες και τον άξονα x’x

4. Α) Βρείτε το εμβαδόν που περικλείετε από τη καμπύλη και την ευθεία

Β) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων