· Web view 2. Si no hay paréntesis, la multiplicación y la división son...

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    03-Sep-2020
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Unidad de Reforzamiento

Conjunto de los números enteros (Z).

El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z.

Z = ..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

Números enteros negativos Z = { ...,5, 4, 3, 2, 1 } Números enteros positivos Z+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Las propiedades en el conjunto de los números enteros son las siguientes:

a) no tiene primer elemento

b) es infinito, o sea, no tiene último elemento.

c) entre dos números consecutivos, no existe otro. El conjunto es DISCRETO.

d) está ordenado por la relación “menor” o “menor o igual”

e) se aplica la propiedad de tricotomía. (Entre dos números , se puede comparar con una sola de las siguientes relaciones : “mayor” , “menor” o “igual”.)

En “Z” se definen las dos siguientes operaciones :

ADICION: Además de las propiedades que se cumplen en los números naturales se agregan

elemento neutro , a Z ! 0 Z a + 0 0 + a a ( Si a todo número entero le sumamos el “cero”, resulta el mismo número )

elemento inverso ( opuesto ) , a Z ! -a Z a + -a -a + a 0

( Si a cada número entero se suma su opuesto el resultado es cero)

Ley de signos para la suma de números enteros

MULTIPLICACION: Se cumplen las mismas propiedades que con los números naturales.

Ley de signos para la multiplicación y división de números enteros.

USO DE PARÉNTESIS.

Recuerda que :

1. Si hay paréntesis, primero se soluciona las operaciones al interior de aquel.

2. Si no hay paréntesis, la multiplicación y la división son prioritarias.

Operaciones combinadas con números Enteros.

(-3) - (-2) + (-6)·[(-15) + 18] = -19

(-6)·(14 - 2) - [9 - (-4)] = -85

a) (-3) - (-2) + (-6)·[(-15) + 18]

b) (-6)·(14 - 2) - [9 - (-4)]

12 + (-12) + (-18) + (-19) + (-15) = -52

[10 + (-2)]·{2 - [(-8) + 16]} = -48

c) 12 + (-12) + (-18) + (-19) + (-15)

d) [10 + (-2)]·{2 - [(-8) + 16]}

(-2) - [(-6) - (-14)] - [(-15) + 2] = 3

(-11)·[15 + (-16)]·[(-14) - (-11)] = -33

e) (-2) - [(-6) - (-14)] - [(-15) + 2]

f) (-11)·[15 + (-16)]·[(-14) - (-11)]

(10 - 11)·[(-15) + (-16) - (-4)] = 27

(-5)·[(-17) - (-19)] + 12 + (-1) = 1

g) (10 - 11)·[(-15) + (-16) - (-4)]

h) (-5)·[(-17) - (-19)] + 12 + (-1)

18·4 + 18 - (-2)·11 = 112

(-17) + 8 + (-12) - [(-16) + (-16)] = 11

i) 18·4 + 18 - (-2)·11

j) (-17) + 8 + (-12) - [(-16) + (-16)]

17 + (-14) + (-8)·[8 + (-17)] = 75

(-2) - (-16) + 8 - [(-14) + (-1)] = 37

k) 17 + (-14) + (-8)·[8 + (-17)]

l) (-2) - (-16) + 8 - [(-14) + (-1)]

8 - (1 - 12) - [(-6) - 4] = 29

12 - (-16) + 8 - (-3)·14 = 78

m) 8 - (1 - 12) - [(-6) - 4]

n) 12 - (-16) + 8 - (-3)·14

17 - 5·(-3) - [(-13) + (-10)] = 55

(-12) - (7 - 17) + 2·(-3) = -8

o) 17 - 5·(-3) - [(-13) + (-10)]

p) (-12) - (7 - 17) + 2·(-3)

Conjunto de los Números Racionales (Q)

Método del mínimo común múltiplo

Ejemplo:

· Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

mcm(6,10,4) = 60

· Se divide el mcm entre cada denominador y el resultado se multiplica por cada denominador.

· Se coloca por denominador el mcm.

· Se suman o restan las fracciones, que ahora tienen todas el mismo denominador.

· Se simplifica el resultado, si es posible.

Suma de fracciones (método de los productos cruzados)

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.

Sean a /b   y c/d dos fracciones cualesquiera. Podemos seguir la siguiente regla para sumarlas:

    a   +   c   =       ad + bc     (se multiplica cruzado y los productos de suman)

b        d                bd        (se multiplican los denominadores)

División de fracciones

En la división de fracciones se cambian en la fracción que se divide numerador por denominador y se realiza la multiplicación.

Ejemplo:

3  :   4   =  3  · 3   =  9 5      3       5     4      20

Ejemplo:

3 :  1  =  3 · 2   =  6   7 2    7· 1       7

Fracción compuesta

Ecuaciones de primer grado o lineales

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½   =  56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Problemas de ecuaciones de primer grado

Problemas con ecuaciones de primer grado. Pasos a seguir para plantear y resolver problemas de ecuaciones.

Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones

- Leer y comprender el enunciado

- Designar la incógnita

- Plantear la ecuación

- Resolver la ecuación

- Discusión e interpretación de los resultados

Problema de mezclas

Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de $6 el litro y la segunda de $7,2 el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a $7 el litro?

1. Planteamiento

 

 

 

 

Clase A

Clase B

Mezcla

Precio por litro en $

  6

  7,2

  7

Número de litros

  x

  60 - x

  60

2. Ecuación

6x + 7,2 ( 60 - x ) = 7.60 =>    x = 10

3. Solución 

Clase A   =>   10 litros   Clase B   =>   60 - 10 = 50 litros

EJERCICIOS OPERATORIA COMBINADA CON FRACCIONES

Calcula las siguientes operaciones combinadas con fracciones, simplificando al máximo:

a)

b)

c) 2+

a)

b)

c) 2+

Ecuaciones fraccionarias

Para resolver ecuaciones fraccionarias o racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

Ejemplo 1

Comprobamos la solución:

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.

Ejemplo 2

Comprobamos la solución:

La solución es: 

Ejercicios ecuaciones fraccionarias de primer grado.

1)

2)

3)

4)

5)

ECUACIONES IRRACIONALES.

Ecuación Irracional es una igualdad en la que intervienen raíces y cuya incógnita forma parte de una o más cantidades subradicales.

Ejemplos:

·

·

Para resolver una ecuación irracional debemos elevar cada miembro de ella una o más veces a las potencias que correspondan para eliminar sucesivamente las raíces que contienen a la incógnita.

Ejemplo 1 :

/( )2

2x = 54

x = 27

Nota: Toda ecuación irracional debe comprobarse porque al elevar