1

Unidad de Reforzamiento

Conjunto de los números enteros (Z).

El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z.

Z = ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

Números enteros negativos Z– = { ...,–5, –4, –3, –2, –1 }

Números enteros positivos Z+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

Las propiedades en el conjunto de los números enteros son las siguientes:

a) no tiene primer elemento b) es infinito, o sea, no tiene último elemento.c) entre dos números consecutivos, no existe otro. El conjunto es

DISCRETO.d) está ordenado por la relación “menor” o “menor o igual”e) se aplica la propiedad de tricotomía. (Entre dos números , se puede

comparar con una sola de las siguientes relaciones : “mayor” , “menor” o “igual”.)

En “Z” se definen las dos siguientes operaciones :

ADICION: Además de las propiedades que se cumplen en los números naturales se agregan

elemento neutro , a Z ! 0 Z a + 0 0 + a a ( Si a todo número entero le sumamos el “cero”, resulta el mismo número )

elemento inverso ( opuesto ) , a Z ! -a Z a + -a -a + a 0

( Si a cada número entero se suma su opuesto el resultado es cero)

Ley de signos para la suma de números enteros

2

MULTIPLICACION: Se cumplen las mismas propiedades que con los números naturales. Ley de signos para la multiplicación y división de números enteros.

USO DE PARÉNTESIS.

Recuerda que :

1. Si hay paréntesis, primero se soluciona las operaciones al interior de aquel.

2. Si no hay paréntesis, la multiplicación y la división son prioritarias.

3

Operaciones combinadas con números Enteros.

(-3) - (-2) + (-6)·[(-15) + 18] = -19 (-6)·(14 - 2) - [9 - (-4)] = -85

a) (-3) - (-2) + (-6)·[(-15) + 18] b) (-6)·(14 - 2) - [9 - (-4)]

12 + (-12) + (-18) + (-19) + (-15) = -52 [10 + (-2)]·{2 - [(-8) + 16]} = -48

c) 12 + (-12) + (-18) + (-19) + (-15)d) [10 + (-2)]·{2 - [(-8) + 16]}

(-2) - [(-6) - (-14)] - [(-15) + 2] = 3 (-11)·[15 + (-16)]·[(-14) - (-11)] = -33

e) (-2) - [(-6) - (-14)] - [(-15) + 2] f) (-11)·[15 + (-16)]·[(-14) - (-11)]

(10 - 11)·[(-15) + (-16) - (-4)] = 27 (-5)·[(-17) - (-19)] + 12 + (-1) = 1

g) (10 - 11)·[(-15) + (-16) - (-4)] h) (-5)·[(-17) - (-19)] + 12 + (-1)

4

18·4 + 18 - (-2)·11 = 112 (-17) + 8 + (-12) - [(-16) + (-16)] = 11

i) 18·4 + 18 - (-2)·11 j) (-17) + 8 + (-12) - [(-16) + (-16)]

17 + (-14) + (-8)·[8 + (-17)] = 75 (-2) - (-16) + 8 - [(-14) + (-1)] = 37

k) 17 + (-14) + (-8)·[8 + (-17)] l) (-2) - (-16) + 8 - [(-14) + (-1)]

8 - (1 - 12) - [(-6) - 4] = 29 12 - (-16) + 8 - (-3)·14 = 78

m) 8 - (1 - 12) - [(-6) - 4] n) 12 - (-16) + 8 - (-3)·14

17 - 5·(-3) - [(-13) + (-10)] = 55 (-12) - (7 - 17) + 2·(-3) = -8

o) 17 - 5·(-3) - [(-13) + (-10)] p) (-12) - (7 - 17) + 2·(-3)

5

Conjunto de los Números Racionales (Q)

Método del mínimo común múltiplo

Ejemplo:

56

+110

−64

=10 x560

+6 x 160

−15 x 660

=5060

+660

−9060

=

50+6−9060

=56−9060

=−3460

=−1730

- Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

mcm(6,10,4) = 60- Se divide el mcm entre

cada denominador y el resultado se multiplica por cada denominador.

- Se coloca por denominador el mcm.

- Se suman o restan las fracciones, que ahora tienen todas el mismo denominador.

- Se simplifica el resultado, si es posible.

Suma de fracciones (método de los productos cruzados)

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente. Sean a /b   y c/d dos fracciones cualesquiera. Podemos seguir la siguiente regla para sumarlas:

    a     +   c   =       ad + bc        (se multiplica cruzado y los productos de suman) b        d                bd        (se multiplican los denominadores)

6

División de fracciones

En la división de fracciones se cambian en la fracción que se divide numerador por denominador y se realiza la multiplicación.

Ejemplo:

3  :   4   =  3  · 3   =  9 5      3       5     4      20

Ejemplo:

3 :  1  =  3 · 2    =  6   7 2    7· 1       7

Fracción compuesta

7

Ecuaciones de primer grado o lineales

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnitaPara resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:Resolver la ecuación 2x – 3 = 53Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 32x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½   =  56 • ½Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2x = 28

8

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Problemas de ecuaciones de primer grado

Problemas con ecuaciones de primer grado. Pasos a seguir para plantear y resolver problemas de ecuaciones.Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones- Leer y comprender el enunciado- Designar la incógnita- Plantear la ecuación- Resolver la ecuación- Discusión e interpretación de los resultados

Problema de mezclasUn comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de $6 el litro y la segunda de $7,2 el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a $7 el litro?

1. Planteamiento      

  Clase A Clase B Mezcla

Precio por litro en $   6   7,2   7

Número de litros   x   60 - x   60

2. Ecuación6x + 7,2 ( 60 - x ) = 7.60 =>    x = 10

3. Solución Clase A   =>   10 litros   Clase B   =>   60 - 10 = 50 litros

9

EJERCICIOS OPERATORIA COMBINADA CON FRACCIONES

Calcula las siguientes operaciones combinadas con fracciones, simplificando al máximo:

a)

23×(1−1

4 )+ 34=

b)

34÷( 3

2+1)=

c) 2+

1+ 12

3−34

+ 34=

a)

32×(1+ 1

3 )+ 34=

b)

25÷( 3

2−1)=

c) 2+

2−62

3−23

+ 14=

10

Ecuaciones fraccionarias

Para resolver ecuaciones fraccionarias o racionales  se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones,  para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

Ejemplo 1

Comprobamos la solución:

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.

Ejemplo 2

11

Comprobamos la solución:

La solución es:  

12

Ejercicios ecuaciones fraccionarias de primer grado.

1) 3x−5

2−1−2x−1

3+ x+3

4=5 x−1

8

2) 3x−8

5− x−1

4+ 7−x

3= 4−x

3−8 x−5

10

3) 2

3x−5x

= 710

− 32 x

+1

4) 3x−1

( x+4 )( x+3)= 1

2( x+3)+ 7

6 x+24

5)

x+4x−3

−2x+52 x

=0

13

ECUACIONES IRRACIONALES.

Ecuación Irracional es una igualdad en la que intervienen raíces y cuya incógnita forma parte de una o más cantidades subradicales.Ejemplos:

2√x+5=7 3√2x+4 √3 x+2=5√ x+3

Para resolver una ecuación irracional debemos elevar cada miembro de ella una o más veces a las potencias que correspondan para eliminar sucesivamente las raíces que contienen a la incógnita.Ejemplo 1 :

√2x−5=7 /( )2

(√2x−5 )2=492 x−5=49

2x = 54 x = 27

Nota: Toda ecuación irracional debe comprobarse porque al elevar la ecuación a una potencia par, la ecuación se transforma en otra, por lo que en algunos casos su solución no satisface la ecuación original.

Comprobemos en la ecuación original:

√2·27−5=7

√54−5=7

√49=7 7 = 7

Por lo tanto x = 27 satisface la ecuación, es decir, es su raíz o solución.

Ejemplo 2 :

14

Resolver √ x+5+√x+2=6 aquí conviene aislar las raíces:

√ x+5=6−√ x+2

(√ x+5 )2=(6−√x+2 )2

x+5=36−12√x+2+x+2

12√x+2=36+x+2−x−5 /( )2

(12√x+2 )2=(33 )2

144(x+2) = 1089144x+288 = 1089

x = 8916

Comprobemos usando este valor en la ecuación original:

√8916

+5+√8916

+2=6 y obtenemos 6=6,por lo

tanto 8916 es su raíz o solución.

Ejercicios ecuaciones irracionales:

a) √ x+5+√3=√ x+7 b) 2√√3 x=4

c) 3√2√3 x+4=2 d)

34 √√x=1

e) √√x+1=1 f) 5√32 3√3√ x=2

g)

12

4√2 3√ x+1=1 h)

3√ x3+3 x2=x+1

15

i) 3√ x3+6 x2+5 x+8=x+2 i)

12− 1

2 3√ x= 2

3√ x

Potencias

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

4= Exponente Se puede leer: tres elevado a

cuatro o bien tres elevado a la cuarta.

3 . 3 . 3 . 3 = 3 4

3= Base

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos:2 5 =  2 • 2 • 2 • 2 • 2 =  32    El exponente es 5, esto  significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.3 2 = 3 • 3 =  9                      El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.5 4 =  5 • 5 • 5 • 5  =  625       El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.Una potencia puede representarse en forma general como:

a n =  a • a • a • ........

Donde: a = base     n = exponente “ n” factores igualesFinalmente, recuerda que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.

16

Potencia de base entera y exponente naturalSi la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a   Z ) (léase a pertenece a zeta ) significa que puede tomar valores positivos y negativos . Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales , significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:Si la base a es positiva , la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

( + a) n = + a n

Ejemplos:( + 4) 3 =   4 3 =  4 • 4 • 4  =  64  = + 64                    Exponente impar( + 3) 4 =   3 4 =  3 • 3 • 3 • 3  =  81  = + 81                   Exponente par

Potencia de base entera negativa:Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.a) Si el exponente es par , la potencia es positiva.

( _ a) n  (par) = + a n

Ejemplos:( _ 5) 2 = _ 5 • _ 5  = + 25  =  25 _ · _ =  +( _ 2) 8 = _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2 • _ 2  = + 256  =  256b) Si el exponente es impar , la potencia es negativa.

( _ a) n (impar) = _ a n

Ejemplos:( _ 2) 3 = _ 2 • _ 2 • _ 2  = _ 8( _ 3) 3 = _ 3 • _ 3 • _ 3  = _ 27En resumen:

Base Exponente

Potencia

Positiva Par PositivaPositiva Impar Positiva

17

Negativa Par PositivaNegativa Impar Negativa

Multiplicación de potencias de igual basePara multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

División de potencias de igual basePara dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

Multiplicación de potencias de igual exponenteSe multiplican las bases y se conserva el exponente.

Ejemplo:

División de potencias de igual exponenteSe dividen las bases y se conserva el exponente

18

Ejemplo:

Potencia elevada a potenciaSe eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

1) 

2) 

Potencia de base racional y exponente entero

Sea la base   (fracción) perteneciente al conjunto de los Números

Racionales (     Q ),donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n   Z).  Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

Ejemplos:

1) 

2) 

3) 

19

Potencia de exponente negativo

Si   es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Raíces

Expresión matemática de "raíz cuadrada de x".En matemática, la raíz cuadrada de un número x, si existe, es el número y ( de la misma naturaleza que x) que al ser multiplicado por sí mismo — elevarlo al cuadrado — resulta igual a x. De modo que y2=x.1 . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente 1⁄2.

Para ciertas aclaraciones, 4 como número natural tiene una única raíz cuadrada: 2; como número entero 4 tiene dos raíces cuadradas: 2 y -2. El número entero o racional 2 no tiene raíz cuadrada entera o racional; pero sí como número real tiene como raíz cuadrada al número real irracional 1.4142... y su opuesto. Por último, todo número complejo tiene, necesariamente, dos raíces cuadradas complejas. Algebraicamente, esto significa que toda ecuación de segundo grado tiene, exactamente, dos soluciones o raíces.Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas, que es positiva, y que es negativa. Suelen denotarse de manera conjunta como . Puesto que una de las dos se tiene que tomar como principal, la designación raíz cuadrada se refiere a la raíz cuadrada principal.

El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número real negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo no conmutativo de las funciones reales de variable real con la adición y la composición de funciones si fºf = g, se puede plantear que f es la "raíz cuadrada" de g.2

20

Toda raíz consta de los siguientes elementos: Raíz, radical, índice y cantidad subradical.

Por convención se acostumbra omitir el índice 2 de las raíces cuadradas; por ejemplo 2√16 se escribe √16.

 

Propiedades

De las propiedades de las potencias se deducen las de los radicales:

Relación de la raíz y la potencia

Existe una estrecha relación entre las potencias y las raíces. En efecto, toda raíz puede ser expresada como una potencia de exponente fraccionario.

 

 

De esta propiedad se pueden extraer ciertas conclusiones:

- El índice y el exponente del subradical son simplificables entre sí.

Ejemplos:

21

 

- El índice y el exponente del subradical son amplificables entre sí:

Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional sí es posible realizar algunas operaciones que con exponentes enteros no habríamos podido realizar, ya que en este caso siempre será posible igualar los exponentes. Por ejemplo - Para multiplicar y dividir radicales conviene reducirlos a índice común.- Para comparar radicales también conviene expresarlos con el mismo índice, pues dados dos números reales positivos a y b, y un número entero positivo n se cumple que: 

Radicales equivalentes.

Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. 

 

22

Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical.Un radical es irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.

 

Multiplicación de raíces de igual índice

Se conserva el índice y se multiplican los subradicales.

 

División de raíces de igual índice.

Se conserva el índice y se dividen los subradicales.

23

 

Composición o descomposición de raíces.

a- Composición: Un factor puede ingresar a una raíz si lo elevo al índice de ella (ingresa como factor del subradical)

 

b- Descomposición: Un factor puede salir de una raíz si dicho factor tiene raíz exacta.

24

 

Raíz de una raíz

Se deben multiplicar los índices.

Suma y resta de raíces

Para sumar o restar dos radicales, éstos deben ser semejantes. Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.Para comprobar si dos radicales son semejantes o no, se simplifican si se puede y se extraen todos los factores que sea posible. La suma o resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los datos, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales. 

 

25

 

  

   

  Recuerda:

26

 - Un número entero multiplicado por un irracional es siempre irracional.- Un número entero sumado con un irracional es siempre irracional.- Una raíz exacta corresponde a un número racional.- Es posible combinar radicales cuando el índice y el radicando de dos o más radicales son iguales. A los radicales con el mismo índice y radicando se les conoce como radicales semejantes. Es útil tratar a los radicales de la misma forma que a las variables: los radicales similares pueden sumarse y restarse de la misma manera que las variables. Algunas veces, necesitarás simplificar una expresión radical antes de que sea posible sumar o restar términos semejantes.

Ejercicios con raíces

1) √2−9√2+30√2−40√2

2)2√5−1

2 √5+ 34 √5

3) x3√a2−(a−2x )

3√a2+(2a−3x )3√a2

4) √175+√243−√63−2√75

5)12 √12−1

3 √18+ 34 √48+ 1

6 √72

6)34 √176−2

3 √45+ 18 √320+1

5 √275

27

7) √9 x+9+√4 x−4−5√x−1

8) 2√m2 n−√9m2n+√16mn2−√4mn2

9)5 3√54−6 3√24−3√16+ 1

23√2

10)56

3√15⋅12 3√50

11) Desafío…compara tu respuesta

√ √(−2 )5 ·( 12 )

−1+(2−1

2 )−2

( 34 )

−1 +√ 12+(−1

2 )−2·( 1

10 )−1

2

(−1+ 25 )

−2: 1

3

1−14

· (− 136 ) · (−6

5 )−1

Respuesta: 95

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma p ( x )q( x ) , donde p(x), q(x)

∈P(x); q(x) 0.

El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica

Ejemplos:

28

(a ) x+5x−3

( x≠3) (b ) 82 x+3 (x≠−3

2 )(c ) 2x−3 y

7(d ) 3 x+4

x2−2x−8( x≠4 , x≠−2 )

Simplificación de expresiones algebraicas

Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.

Ejemplos

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(Ejemplo a)

(Ejemplo b) 5 x−10 y2 x−4 y

Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:

(Ejemplo c) x2−7 x+12x2−16

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

x2−7x+12=( x−4 )(x−3)x2−16=( x+4 )( x−4 )

Luego:

(Ejemplo d) x3−1x2+x+1

29

Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: (Diferencia de cubos)

x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1)

Entonces:

Actividades Reforzamiento. Guía de síntesis

I.- Copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios de operatoria combinada con números enteros y resuelve. Compara tus respuestas.

1) 10 - [ - 2 + ( - 3 - 4 - 1 ) + 1 - ( - 4 - 2 + 3 - 1 ) - 4 ] =2) ( - 6 + 4 ) - { 4 - [ 3 - ( 8 + 9 - 2 ) - 7 ] - 35 + ( 4 + 8 - 15 ) } =3) - 6 - { - 4 - [ - 3 - ( 1 - 6 ) + 5 ] - 8 } - 9 =4) - 3 + { - 5 - [ - 6 + ( 4 - 3 ) - ( 1 - 2 ) ] - 5 } =5) - ( 9 - 15 + 2 ) + { - 6 + [ 4 - 1 + ( 12 - 9 ) + 7 ] } - 3 =6) - { 3 – 8 - [ 4 - 3 + ( 5 + 2 - 10 ) - ( 4 - 5 ) - 3 ] + 4 - 8 } + 2 =

Respuestas:

30

1) 19 2) 13 3) 4 4) -9 5) 8 6) 7

II. Resolver en tu cuaderno las siguientes operaciones combinadas de números enteros. Compara tus respuestas.

1) ( + 5 ) · ( - 12 ) : ( + 4 ) =2) ( - 15 ) · ( - 2 ) : [ ( + 3 ) . ( + 2 )] =3) ( - 3 ) · ( + 2 ) . ( - 4 ) : ( - 6 ) =4 ) ( - 2 + 7 ) · ( - 3 - 1 ) : ( - 2 ) - (- 3) · (- 2)=5) ( -10 - 2 . 4 ) : ( - 2 - 1 ) + ( - 6 ) : ( - 3 ) - ( - 1 )=6) ( - 24 ) : ( - 7 + 1 ) - ( -4 -2 · 3 + 1 ) =7) ( - 5 ) - ( + 4 ) : [ ( - 2 ) - ( - 3 ) ] = 8) ( + 4 ) - [ ( - 15 ) : ( + 3 ) ] + ( - 4 ) · ( - 2 ) =

Respuestas:

1) -15 2) 5 3) -4 4) 4 5) 9 6) 13 7) -9 8) 17

III: Copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios de operatoria combinada con números enteros y resuelve.

m)1 − 1

3

1 + 35

−3 + 1

614

− 2 Resp.=(187/84)

n )

34

− 13

: (1 − 25 )

37

− 12· (2

3+ 7

2 ) Resp. =(-49/417)

ñ )7 − 2

3· (1 − 1

2 )3 + 5

2· (1 − 2

3 ) Resp.=(40/23)

o )3 · (−2

5+ 1) − 3

4: 1

212

− 13

: 4

Resp.=/18/25)

31

p)(3 − 1

4 ) : (145

− 2)(8 − 2

3 ) : (4 − 54 ) Resp.=(165/128)

q )(1 + 1

2 ) · 23

− ( 14

+ 1) · 2

(2 − 53 ) · 1

3+ (1

2+ 1

4 ) · 2

r ) 1 + 2

3 + 4

5 − 16

s )

32

12

+ 1

1 +13

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) x + 9 = 16 2) x – 6 = 4 3) x + 10 = 21 4) x – 8 = 12

5) 7 = x + 1 6) 40 – x = 29 7) 1 – x = 1 8) 12 – x = 4

9) 10 + 2x = 2 10) 9 + 2 = 2x – 10 11) 41 – z = 82 12) 63 = 3 – 6n

13) 4x – 2x = 44 14) 3 – x + 6x = 18 15) 4y – 1 = y – 4 16) 5b – 2 = 3b + 6

17) 2k – 1 = k – 5 + 3k 18) 45 = 52 – x 19) 7x – 15 – 6x = 31 20) 2x + 6 – x = 23

21) 3x – 17 = 13 22) 3x – 52 – 9x = 80 23) 4x – 16 – 7x = 20

24) 15x – 73 = 6x + 35 25) 23x – 52 – 17x = 80 – 6x – 12

26) 45 – 17x – 15 = 32x – 40 – 54x

32

Plantear y Resolver las siguientes ecuaciones:

1. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. ¿Cuáles son los números?

2. La diferencia entre dos números es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado será tres veces el menor. Encontrar los números.

3. ¿Cuáles son los números cuya suma es 58 y su diferencia 28?

4. Encontrar un número tal que su exceso sobre 50 sea mayor que su defecto sobre 89.

5. Si a 288 se le suma un cierto número el resultado es igual a tres veces el exceso del número sobre 12. Encontrar el número.

6. Dividir 105 en dos partes una de las cuales disminuida en 20 sea igual a la otra disminuida en 15.

7. Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 84.

8. La suma de dos números es 8 y si a uno de ellos se le suma 22 resulta 5 veces el otro. ¿Cuáles son los números?

9. Encontrar dos números que difieran en 10 tales que su suma sea igual a dos veces su diferencia.

10. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 121. Hallar los números.

11. El área de un terreno circular más el doble de su radio es 250 m 2. Hallar el radio y el área del terreno.

12. La diferencia de dos números es 3 y la diferencia de sus cuadrados es 27. Hallar los números.

13. Dividir $380,000 entre A, B y C de modo que B tenga $30.000 mas que A, y C tenga $20.000 más que B.

14. Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 años mas el tendrá el doble de la edad de su hijo. Encontrar sus edades.

15. La edad de A es 6 veces la edad de B y en 15 años mas la edad de A será el triple de la edad de B. Hallar ambas edades.

33

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:

EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN:

1. 12a2b7

60a3 b5c=

2. x2 y3

2x2 y−2 x2 y2=

3. a2−a−20a2−16

=4.

x2−13 x+9

⋅xy+3 yx2 y− y

=

5. x2+6x+8x2+7 x+12

=6.

x2+7 x+10x2+2x−3

⋅x2−4 x−21x2+9 x+20

⋅ x2+3 x−4x2−5 x−14

=

a ) 3=√x+1 b ) √x- 3=2 c)√2x−1=5 d )5=√4 x−2

e )√ x+2=√2 x+8 f ) √x- 8=√3 x+3 g )√3+√2 x+3=3 h )√2+3√x+2=2√5

34

7. 36 x2+60 x+25

a2−25⋅a

2−11a+3036 x2−25

⋅( a−5 ) (6 x−5 )(6 x+5 ) (a+6 )

=

EJERCICIOS ECUACIONES FRACCIONARIAS

8.5x+3

= 72 x+3 9.

x2+ x−1

3− x+1

4=1

10.xx+1

+ 58= 5

2 ( x+1 )+ 3

4 11.5

2x+1+ 4x+1

=12x+62 x2−x−1

12.4x−2

− 3x+1

= 8( x+1 ) ( x−2 ) 13.

52x−3

−3x−84 x−6

=79− 6 x−1

10 x−15

14.x−1x−3

+ x−3x+1

=215.

2 x2−5 x−122 x+3

−3 x+47

=6 (x−2 )21

Resuelve aplicando las propiedades de las potencias:

1) x2⋅x3⋅x6

2) 2ab⋅(a2+b2 )

3) nk−3⋅n4−k

4) pn+1⋅pn−2

5) a6(a+1+a2 )

6) m5(m3−m2+m)

7) 9⋅3n−2⋅3n+1

8) am−3 (am−2−a3−m)

9) −3⋅an−2⋅bn−3⋅6⋅a3⋅b−4

10) 10−4(105+106 )

11) x6 : x2

12) a12 :a−14

13) b−3 :b−3

14) (a−8−a−3 ) :a−11

15) (ax−a−x ): ax

16) −3a2 : 6a3

35

17) m6−c:mc−6

18) x2n−1 : xn−1

19) (a6−a5 ): a5

20) am⋅bm

21) (−2a)4 x⋅(3b)4 x

22) ( 3

4)2· (−2

3)2

23) 166 :86

24) ( 2

3)4 :( 4

9)4

25) (3m)a :ma

26) (a2 )2 :(a−2 )3

27) (22 )−2

28) (2a2b )3

29) (ax+2)5

30) (a−a2+a3−a4 )⋅a−1

31) 3−2+5−2

32) (−3)−2+(−5)−2

33) ( 2

3)−2+( 3

2)−2

34) (2−0 ,75−1 )−2

35) 5−2+5−1

5−3

36) 2−2+2−1

2−1−2−2

37) [2(−1)3 ]−1

38) 30+20−50

39) (a−b )0−a0+b0

40) 5 x0−7 y0

41) (−2

3)−1+(−2

3)−1

42) 30−3−1

3−3−2

43) (−5)2−52

44) (−x3 )2+(−x2)3

Resuelve utilizando operatoria en Z y potencias

1) -45 : 32 + ( 23 – 32 ) + 7 =

2) 5 . ( 110 + 10 ) – 36 : ( 72 – 5 . 8 ) + 1 =

3) – [ ( 2 + 42 + 9 ) : ( 52 – 42 ) ] – { ( 102 – 92 - 10 ) : -3 } =

4) Expresa como un radical cada una de las siguientes potencias de exponente fraccionario.

a. d.

36

b. e.

c. f.

2. Expresa como potencia cada uno de los siguientes radicales.

a. = ______________________________ b. = _______________________________

c. = ________________________________ d. = ________________________________

3. Desarrolla las siguientes operaciones.

a. d.

b. e.

c. f.

37

4. Calcula los cuadrados de los siguientes números.

a. d.

b. e.

5. Extrae o introduce factores del radical.

a. d.

b. e.

c. f.

38

6. Racionaliza y simplifica.

a. d.

b. e.

c. f.