Wavelet Transform Chapter 7 Dr. Mario Chacón DSP & Vision Lab.

Wavelet TransformWavelet TransformChapter 7Chapter 7

Dr. Mario ChacónDr. Mario Chacón

DSP & Vision LabDSP & Vision Lab

Introduction to the wavelet transformIntroduction to the wavelet transform

Figura 7. 1 Señal de voz y su espectro de frecuencia

Introduction to the wavelet transformIntroduction to the wavelet transformSTFTSTFT

Short time Fourier Transform, Dennos Gabor

Figura 7. 2 Espectograma de la señal de voz.

Introduction to the wavelet transformIntroduction to the wavelet transformSTFTSTFT

Esta solución resulta en cierto grado satisfactoria, ya que genera información tiempo – frecuencia.

Sin embargo, el método incorpora una limitante en la precisión determinada por el ancho de la ventana utilizada. Recordemos que al tomar solo un cierto número de muestras de la señal a transformar equivale a multiplicar nuestra señal por una ventana rectangular lo cual afectará el espectro de frecuencia real de esa porción de la señal. Haciendo la ventana más angosta ganamos en resolución en el tiempo pero perdemos resolución en la frecuencia.

Este fenómeno es descrito por el principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual establece que es imposible conocer exactamente la frecuencia y el tiempo exacto en que ocurre esta frecuencia en la señal.


La transformada Wavelet, nos referiremos a ella en su término en inglés por ser más conocido de esta forma en el ambiente de señales, que será tratada en este capítulo genera en forma natural la información tiempo – sescala (frecuencia), y resuelve el problema establecido en el principio de Heisenberg, mediante la utilización de una ventana modulada completamente escalable. Es por esto que algunos autores relacionan la transformada Wavelet a una partitura,


Figura 7. 3 Relación tiempo frecuencia generada por Wavelet.


Cabe aclarar que el surgimiento de la transformada Wavelet no desplaza a la transformada de Fourier en sus múltiples aplicaciones, sino que viene a fortalecer el conjunto de herramientas utilizadas en el área de procesamiento digital de señales.

Basic Concepts on WaveletsBasic Concepts on Wavelets

Antes de entrar de lleno a la teoría de Wavelet un comentario sobre sus inicios. Se menciona que tal vez lo que hoy conocemos como onduleta, del inglés wavelet, proviene del trabajo de Alfred Harr, 1909. Pero la presentación del concepto como tal en su forma teórica fue realizada en Francia, por Jean Morlet y el equipo de la Marseille Theoretical Physics Center bajo la dirección de Alex Grossmann.

Basic Concepts of TransformationBasic Concepts of TransformationDirect formDirect form

)4(),3(),2(),1()( xxxxnx

)2()1()2( )2()1()1( xxyxxy

)4()3()4( )4()3()3( xxyxxy

Basic Concepts of TransformationBasic Concepts of TransformationInverse formInverse form

yyx yyx )2()1(5.0)2()2()1(5.0)1(

yyx yyx )4()3(5.0)4()4()3(5.0)3(

Basic Concepts of TransformationBasic Concepts of TransformationTypes of transformationTypes of transformation

Las transformadas se pueden clasificar en tres tipos (Strang, 1999) 1. Sin pérdida (ortogonal) (matrices ortogonales y unitarias) 2. Invertible (biortogonal) (matriz invertible)3. Con pérdida (no invertible) En el caso de las transformadas sin pérdida la señal transformada tiene la misma longitud que la original. Su transformada es proyectada sobre ejes perpendiculares.

En el caso de las transformadas biortogonales, la longitud y ángulo de la señal cambian. Los ejes de proyección no necesariamente son perpendiculares, sin embargo no existe pérdida de información.

Basic Concepts of TransformationBasic Concepts of Transformation

Un aspecto importante de las transformadas, como lo cometamos en la sección anterior, es que permiten resaltar información que no es muy obvia en un dominio de la señal.

nx 1.2,2,2,1.2)(


0.1 y 4.1 y 21.2)2(21.2)1(

1.01.22)4( 1.41.22)3( yy


Ahora si fijamos un umbral en los valores obtenidos en la transformada, digamos un valor de 1, como los valores de y son menores a nuestro umbral podemos optar por eliminarlos, es decir ponerlos a cero y obtenemos una

)2(y )4(y

)(nyM


Finalmente si utilizamos la modificada para reconstruir nuestra señal original obtenemos ,

)(nyM

)(nx )(nxR


a) b)

c) d)

Figura 7. 4 a) x(n) b) y(n) transformada, c) yM(n) modificada, d) xR(n) reconstruida.

Wavelet AnalysisWavelet Analysis

El análisis con onduletas permite analizar una señal de manera que podamos tener una venta grande para análisis de frecuencias bajas y ventanas cortas para frecuencias altas. Esto nos indica ya el esquema básico del análisis con onduletas. La ventan modulada escalable se desplaza a lo largo de la señal y se calcula el espectro para cada posición. Este procesos se repite varias veces pero cambiando la escala de la ventana, es decir haciéndola más corta o más larga. El resultado de este proceso será la descomposición de la señal bajo análisis en una representación tiempo – escala, note que no es tiempo –frecuencia, ya que el análisis se realiza mediante el cambio de escala de la ventana, sin embargo existe la relación con la frecuencia, siendo la escala opuesta a la frecuencia.


Tiempo

Amplitud

Amplitud

Frecuencia

Tiempo

Frecuencia

Escala

Tiempo

Figura 7. 5 a) Señal en el tiempo, b) en la frecuencia, c) tiempo –frecuencia, d) tiempo – escala.


Algunas ventajas que nos ofrecen las onduletas en el análisis de señales son: proporcionan información localizada, tendencias en la señal y discontinuidades


Figura 7. 6 Ejemplo de información localizada. a) Región de placa, b) proyección de región, c) descomposición en wavelet.


Una onduleta es una función limitada en duración y que tiene un valor promedio de cero.

Esta es una de las diferencias que tenemos con respecto al análisis de Fourier. En Fourier las funciones bases de la transformada son funciones senoidales que son funciones periódicas, por lo tanto no limitadas en el tiempo, y tienen una forma regular. En cambio una función onduleta es normalmente irregular.

En el análisis con onduletas, el análisis se lleva acabo mediante la descomposición de la señal sobre versiones desplazadas y escaladas de la onduleta original, denominada onduleta madre.


Figura 7. 7 Ejemplos de funciones onduletas.a) Haar, b)sym2, c) db8 c) Mexhat.


Algunos puntos de comparación entre el análisis con onduletas y un análisis con Fourier

i) En Fourier una vez que se definen las bases ortogonales ya no hay posibilidad de cambios. En Wavelet la onduleta base o madre se puede escalar.

ii) En Fourier no hay un análisis localizado ya que las funciones ortogonales tiene extensión infinita. En Wavelet la duración de la onduleta es finito y se puede reducir lo suficiente dando la posibilidad de análisis de discontinuidades.

iii) En la STFT se utilizan ventanas para el análisis las cuales truncan las funciones ortogonales. Como el análisis es realizado con una misma ventan la resolución del análisis es constante en el plano tiempo – frecuencia. En cambio en Wavelet la onduleta puede ser extendida o compactada para capturar distintos aspectos de la señal bajo análisis generando un análisis mutltiresolución.

Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform

La transformada Wavelet continua, CWT, por sus siglas en inglés, es la descomposición de la función en un conjunto de funciones bases , familia de onduletas .

donde es la variable de escala y la variable de corrimiento.El resultado de la CWT son los coeficientes de las onduletas, , que son función de la variable de escala y la variable de corrimiento.Para seguir el esquema de otras transformadas, la definición de la transformada inversa es

)(tf

)(, ts

dtttfs s )()(),( ,

s

),( s

s

dsdtstf s )(),()( ,

Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform

Las onduletas se generan de la onduleta madre mediante su escalamiento y traslación:

)(t

s

t

sts

1)(,

Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet TransformScalingScaling

s

tSintf )(

Figura 7. 8 Efecto de escalamiento en una función.

Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet TransformScalingScaling

Figura 7 9 Efecto de escalamiento en una onduleta.

Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet TransformShiftingShifting

Figura 7. 10 Corrimiento de la onduleta.

Wavelet PropertiesWavelet Properties

Las onduletas poseen dos propiedades importantes, regularidad y admisibilidad. Las funciones cuadráticas integrables que satisfacen la condición de admisibilidad

)(t

d2

)(

se pueden utilizar para analizar y después reconstruir una señal sin pérdida de información.La propiedad de admisibilidad implica que la transformada de Fourier de es cero para frecuencia cero )(t

0)( 0

2

Esta característica en la frecuencia nos hace ver que las onduletas tienen un espectro parecido a un pasa bandas. Al mismo tiempo la ecuación (7.6) indica que la onduleta tiene un valor promedio de cero en el dominio del tiempo. Recordar que el valor de la transformada en frecuencia cero de una función es el valor promedio de la función en el tiempo. Además, si su valor promedio es cero entonces implica que es una onda que oscila.

(7.6)

Wavelet PropertiesWavelet Properties

La propiedad de regularidad se relaciona con el rápido decaimiento de la transformada de onduletas al disminuir la escala . Las condiciones de regularidad indican que la onduleta debe tener un comportamiento de suavizado y concentrado tanto en el tiempo como en la frecuencia.

s


Tenemos pues, que la condición de admisibilidad nos garantiza la ondulación y regularidad se asocia con el decaimiento rápido necesario en la onduleta.

Para que una función se acepte como una onduleta madre, o base, debe:

i) Ser continua y absolutamente sumable.

ii) Tener transformada de Fourier

iii) Satisfacer las condiciones

Que stablece que la transformada Wavelet de un término constante es cero y que la integral es limitada

)(t

0 para 0)(

dy dtt2

)(0)(

Computation of the Continuous Wavelet TransformComputation of the Continuous Wavelet Transform

1.Seleccione una onduleta2.Obtenga la correlación entre la onduleta y la parte inicial de la señal, este será el coeficiente para la escala original, , de la onduleta. Si tiene un valor alto indicará que la onduleta y la señal son muy similares.3. Traslade la onduleta a la derecha y repita el paso 2 para obtener un nuevo coeficiente .4. Repita los pasos 2 y 3 hasta cubrir toda la señal. Al finalizar, los coeficientes representarán a la señal en la escala .5. Ahora escale la onduleta, cambie a escala , y repita los pasos 2,3, y 4.6. Repita los pasos 2,3,4 y 5 para todas las escalas.

C ns C

C

C

msns


.

.

.

Figura 7. 11 Ilustración del cálculo de la transformada Wavelet continua.


Figura 7. 12 a) Señal en el tiempo, b) y c) coeficientes de la transformada Wavelet continua.

Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet TransformDiscrete waveletDiscrete wavelet

j

j

jkj s

skt

st

0

00

0

,

1)(

)(),()( ,,

tkjtf kjkj

Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform

Considerando el efecto de escalamiento sobre la onduleta y usando propiedades de Fourier, tenemos que la compresión en el tiempo corresponde a una expansión y corrimiento en la frecuencia

a

Fa

atf1

)(

3 2 1


Podemos notar que cada onduleta en la frecuencia es un filtro pasa banda, por lo tanto un conjunto de onduletas dilatadas generarán un banco de filtros. Cada filtro tendrá un factor de fidelidad Q constante. Este factor Q corresponde a la razón entre la frecuencia central del espectro de la onduleta, c, y el ancho del espectro, (1, 2), Figura

7.15. Como característica tendremos que todos los filtros tendrán la misma Q.

c

1 2

Figura 7. 15 Pasa banda con factor Q.


Cada vez que la onduleta es expandida en el tiempo por un factor de 2, el ancho de banda de su espectro se reduce a la mitad. Entonces ¿Cómo lograremos cubrir el espectro hacia la frecuencia cero?¿Se requerirá un número infinito de onduletas?. La solución es no tratar de resolver este problema con las onduletas si no utilizar un pasa bajas. Este filtro pasa bajas corresponde a la función denominada función de escalamiento o filtro de promediado, , Figura 7.16.

3 2 1

)(),()( ,,

tkjt kjkj

Figura 7. 16 Función de escalamiento, pasa bajas.


Después del análisis anterior, podemos ver el análisis con onduletas como el efecto de pasar una señal a través de un banco de filtros, donde las salidas de los filtros son los coeficientes de las funciones de las onduletas y la función de escalamiento.


Forma de multiresolución o relación de escala –dos

esta ecuación indica que la función de escalamiento a cierta escala puede expresarse en términos de las funciones de escalamiento en la siguiente escala menor. Los factores se definirán más adelante.

)2()()2( 11 ktkht j

kj

j

)(kh


Lo anterior manifiesta una relación entre la función de escalamiento y las onduletas que intervienen en el análisis. Por ejemplo una nueva función de escalamiento puede sustituir a un conjunto de onduletas, por lo que podemos expresar las onduletas en términos de las funciones de escalamiento en la siguiente escala. Por ejemplo la onduleta en el nivel j será

los factores se definirán más adelante.

k

jj

j ktkgt )2()()2( 11

)(kg


Como ya tenemos una relación entre las onduletas y la función de escalamiento entonces podemos establecer la descomposición de la señal en términos de la función de escalamiento dilatada y trasladada como

)(tf

)2()()( 1 ktktf j

kj

podemos realizar la transformación de onduletas sin tener que utilizar las onduletas. Lo que queremos decir es que la transformación mediante onduletas se puede ver como una transformación mediante codificación por bandas.


La señal también se puede expresar mediante la combinación de la función de escalamiento y las onduletas para una escala j-1, como

)2()()2()()( 11

11 ktkktktf j

kj

j

kj

)(tf

Los coeficientes y se pueden obtener mediante el producto escalar

)(1 kj )(1 kj

)(),()( ,1 ttfk kjj

)(),()( ,1 ttfk kjj

si la función de escalamiento y la onduleta son ortogonales

)(1 tj )(1 tj


Si se sustituyen y por versiones escaladas y trasladadas de

)(1 tj )(1 tj

)2()()2( 11 ktkht j

kj

j

k

jj

j ktkgt )2()()2( 11

se llega a la obtención de los coeficientes y mediante

)(1 kj )(1 kj

)()2()(1 mkmhkm

jj

)()2()(1 mkmgkm

jj


Como los coeficientes provienen de la parte del pasa bajas los factores forman un filtro pasa bajas. De iguala manera, los coeficientes provienen del pasa altas, por lo que los factores forman un filtro pasa altas. Es por esto que en el análisis con onduletas se acostumbra hablar de las aproximaciones y los detalles, donde las aproximaciones corresponden a las escalas altas, frecuencias bajas de la señal bajo análisis y los detalles corresponden a las escalas bajas, componentes de frecuencias altas en la señal.

)(kj

)(kh

)(kj

)(kg


Este análisis nos lleva ahora a ver que la transformada Wavelet discreta, la cual es computacionalmente calculable, se puede obtener mediante la aplicación iterada de un banco de filtros digitales, donde los coeficientes definen el filtro de escalamiento y los el filtro de la onduleta.

)(kh )(kg


Debido a que en ambas ecuaciones los filtros tienen un paso de 2 con respecto a la variable k. Esto resulta en que solo la mitad de los son usados, dando como resultado que la razón de datos de salida es igual a la de entrada.

)(kj

g(k)

2h(k)

2

j

j-1

j-1

Esta propiedad de muestreo también resuelve la situación de cómo seleccionar el ancho del espectro de la función de escalamiento, ya que en cada iteración del banco de filtros el número de muestras para la siguiente etapa es reducida a la mitad de manera que al final terminamos con una sola muestra, al llegar a este punto será la culminación del ancho del espectro de la función de escalamiento. En realidad no hay que llegar hasta este punto extremo, lo usual es que en el momento en que el número de muestras llegue a ser menor que la longitud del filtro de escalamiento o que el filtro de la onduleta, el proceso se detiene.

Figura 7. 17 Propiedad de submuestreo.

One Level wavelet AnalysisOne Level wavelet Analysis

f

Pasa Altas

Pasa Bajas

D

A

Figura 7. 18 Transformación Wavelet, aproximaciones y detalles.


f

Pasa Altas

Pasa Bajas

Ds

As

2

2

N muestras

N/2 coeficientes

N/2 coeficientes

Figura 7. 19. Propiedad de submuestreo de los filtros.


Figura 7. 20 a) Señal original, b) Aproximación, c) Detalles.

Multilevel wavelet AnalysisMultilevel wavelet Analysis

f

As1 Ds1

As2 Ds2

As3 Ds3

Figura 7. 21 Descomposición multinivel en 3.

Multilevel wavelet AnalysisMultilevel wavelet Analysis

Figura 7. 22 Ejemplo de análisis multinivel, 3 niveles.

Inverse Wavelet TransformInverse Wavelet Transform

x

kj xxfM

kjW )()(1

),( ,0 0

x

kj xxfM

kjW )()(1

),( ,

0

0)(),(

1)(),(

1)( ,,0

jj kkj

kkj xkjW

MxkjW

Mxf


f

Pasa Altas

Pasa Bajas

Ds

As

2

2 N muestras

N/2 coeficientes

N/2 coeficientes

Figura 7. 23 Estructura de reconstrucción de la señal.


Los filtros de descomposición más los filtros de reconstrucción forman una cuadratura de filtros denominada espejo.

N/2

Ds1=0

As1

2

2

D1N/2

N

Ds1

As1=0

N/2

2

2

A1N/2

N

Figura 7. 24 Reconstrucción de la aproximación y de detalle.


11 DAf

11 ss DAf

122 sss DDAf

1233 ssss DDDAf

Wavelet – Filters relationshipWavelet – Filters relationship

Iniciaremos comentando que el proceso de onduletas no inicia definiendo la onduleta sino definiendo los filtros de cuadratura espejo y de ahí se obtiene la onduleta. Para comprender mejor esto veamos el caso para una onduleta.

Lp = 0.1629 0.5055 0.4461 -0.0198 -0.1323 0.0218 0.0233 -0.0075

Invirtiendo este vector de coeficientes y multiplicando cada muestra par por -1 genera el filtro pasa altas de reconstrucción con coeficientes Hp = -0.0075 -0.0233 0.0218 0.1323 -0.0198 -0.4461 0.5055 -0.1629 Ahora si aumentamos los coeficientes del filtro agregando ceros intercalados HpUp = -0.0075 0 -0.0233 0 0.0218 0 0.1323 0 -0.0198 0 -0.4461 0 0.5055 0 -0.1629 y convolucionamos, HpUp con el filtro original pasa bajas, Lp, tenemos una aproximación, W, a la onduleta db4.


Figura 7. 26 Generación de la onduleta db4.

Figura 7. 25 Onduleta db4.


La función de escalamiento se obtiene de forma similar solo que en este caso partimos del filtro pasa-altas original y aplicamos el proceso iterativo de convolución a versiones aumentadas con ceros del filtro pasa bajas. El resultado de este proceso generará la función de escalamiento.

Una aproximación a la relación escala–frecuencia se puede entablar mediante la ecuación

(7.29).

donde es la frecuencia central de la onduleta en Hz, es la frecuencia correspondiente a la escala en Hz y el periodo de muestreo. Este enfoque se basa en que la frecuencia central de la onduleta se considera como la oscilación principal de ella. Cuando la onduleta es escalada en , la frecuencia central de la onduleta se mueve a (7.30) y si el periodo de muestreo es entonces la relación escala – frecuencia está dada por la ecuación (7.29).

Frequency – Scale RelationshipFrequency – Scale Relationship

s

FF c

s

cF sF

s

s

Fc

s

Wavelet Package AnalysisWavelet Package Analysis

11 ss DAf

23322 sssss DDDDDAADAAf


f

Ds1

DAs2DDs2

DAs3 DDs3DDs2A,3 DDs2,3

As1

AAs2ADs2

AAs3 ADs3ADs2,A3 ADs2,3

Figura 7. 27 Descomposición con paquetes de onduletas.


Figura 7. 28 Descomposición de una señal , a) Señal, b) Coeficientes, c) Árbol de descomposición.

2D Wavelet Transform2D Wavelet Transform

Para el caso de dos dimensiones la transformada comprende una función de escalamiento de dos dimensiones, , y de tres función de onduleta de dos dimensiones, . Las tres onduletas corresponden a las orientaciones horizontal, ,vertical, y diagonal, en la imagen.

),( yx

),( yx),( yxH ),( yxV ),( yxD


1

0

1

0,,0 ),(),(

1),,(

0

M

x

N

ynmj yxyxI

MNnmjW

H,V,Di yxyxIMN

nmjWM

x

N

y

inmj

i

1

0

1

0,, ),(),(

1),,(

),(),,(1

),(),,(1

),(

,,,,

,,0

0

0

yxnmjWMN

yxnmjWMN

yxI

inmj

DVHi jj m n

j

m nnmj


W(j+1,m,n)

h(-n) 2

h(-m) 2 WD(j+1,m,n)

h(-m)2 WV

(j+1,m,n)Columnas en n

Filas en m

Filas

h(-n) 2

h(-m) 2 WH(j,,m,n)

h(-m)2 W(j,,m,n)

Columnas

Filas

Filas

Figura 7. 29 Banco de filtros de descomposición.


W(j+1,m,n)

h(n)

Columnas en n

Filas

h(n)

h(m)2WH

(j,,m,n)

h(m)2W(j,,m,n)

Columnas

Filas 2

h(m)2WD

(j+1,m,n)

h(m)2WV(j+1,m,n)

Filas en m 2+

+

Filas

+

Figura 7. 30 Bancos de filtros de reconstrucción.


W(j+1,m,n)

W(j,m,n)

WH

(j,m,n)

WV

(j,m,n)

WD

(j,m,n)

a)Image b)Primer nivel de descomposición

c)Segundo nivel de descomposición

Figura 7. 31 Descomposición de la imagen.


Figura 7. 32. a) Imagen original, b) Imagen transformada, c) Imagen reconstruida.


Figura 7. 33 Representación en árbol de descomposición.


Figura 7. 34 a) Imagen con ruido, b) Detalles excluidos, c) Imagen reconstruida.


Figura 7. 35 a) Imagen con ruido, b) Detalles excluidos, c) Imagen reconstruida.

Wavelet Transform Chapter 7 Dr. Mario Chacón DSP & Vision Lab.

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