Warmteleer H3b Donker

M.b.v. (3.13) en (3.19) gaan we een proces vergelijking afleiden voor het adiabatisch proces. We vinden: vnC dT p dV= − (3.21)

M.b.v. de algemene gas wet vinden we pVTn R

= en dus

p dV V dpdTn R n R

= + (3.22)

Met (3.21) en (3.22) vinden we

v vp dV V dpnC nC p dVn R n R

+ = −

v vR p dV C p dV C V dp+ = − p vC p dV C V dp 0+ =

dV dp 0V p

κ + = (3.23)

Gaan we dit onbepaald integreren, dan vinden we .ln V ln p constante+ =κ Dus

p.Vκ = constant process vergelijking adiabaat (3.24)

Gaan we (3.23) bepaald integreren dan vinden we:

V pB B

V pAA

dV dpV p

κ = −∫ ∫

ln lnB B

A A

V p0

V p

κ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ln B B

A A

V p0

V p

κ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

κ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠B B

A A

V p1

V p

B B Ap V p VAκ κ=

Dit laatste geldt voor alle A en B dus M.b.v. (3.24) kunnen we de arbeid berekenen als volgt:

P Vκ = constant 1Kp

V κ⇒ =

Verrichte arbeid tijdens adiabatisch proces van toestand A naar toestand B:

( )VB B VB1 11 1 1

A B B AVAA VA

K K KW p dV dV V V V

1 1V1κ κ κ

κ κ κ− + − −

→ = = = = −− −∫ ∫

Nu is: κκAABB1 V.pV.pK ==

Dus:

κ

κκκκ

−−

=−−

→ 1V.V.pV.V.p

W1

AAA1

BBBBA

We vinden zo:

arbeid adiabaat (3.25)

De derde manier om de verrichte arbeid te berekenen is

=pV const antκ

κ−−

=→ 1V.pV.pW AABB

BA

FTeW ------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 ---------------------------------------------------- blz. 3.13

Fig. 3.27 Polytropen

1pV cons tan t p V dV V dp 0 p dV V dp 0−= ⇒ + = ⇒ +κ κ κκ κ = (3.26) Verder is: (3.27) pV n RT p dV V dp n R dT= ⇒ + =Vergelijkingen (3.26) en (3.27) geven:

n R dT n R dT(1 ) p dV n R dT p dV p dV1 1

− = ⇒ = ⇒ =− −∫ ∫κκ κ

We vinden dus:

κ−−

=→ 1)TT(Rn

W ABBA arbeid adiabaat (3.28)

Opdracht 3.5 Laat zien dat de drie gevonden formules voor de arbeid aan elkaar gelijk zijn. 3.7 Polytropen Een reversibele toestandsverandering, waarbij gedurende het proces de soortelijkewarmte C constant is, noemt men een polytroop. Voor een hoeveelheid ideaal gasluidt de eerste hoofdwet in differentiaalvorm als volgt:

dQ = dU + p dV = n Cv dT + p dV ⇒ n C dT = n Cv dT + p dV ⇒ n (C - Cv ) dT = p dV

Voor het ideale gas geldt tevens de toestandsvergelijking: p V = n R T ⇒ p dV + V dp = n R dT

Dus: n (C - Cv ) . (p dV + V dp)/nR = p dV ⇒ (C - Cv ) p dV + (C - Cv) V dp = R p dV ⇒ (C - Cv - R ) p dV + (C - Cv ) V dp = 0

Met Cp- Cv = R vinden we:

(C - Cp ) p dV + (C - Cv ) V dp = 0 (3.29) Definiëren we

a =

−

−p

v

C C

C C

dan wordt (3.29) : a p dV + V dp = 0

⇒dpdVa + = 0

V p

Na integratie vinden we: ln Va + ln p = constante

Dus:

p Va = constant 1e vergelijking van Poisson (3.30a)

Deze vergelijking staat bekend als de vergelijking van Poisson. De vergelijking pVa = constant is de vergelijking van een polytroop en is een procesvergelijking.

Opdracht 3.6: Leid vanuit de afgeleide Poisson vergelijking en de toestandsvergelijkingvan een ideaal gas de 2 andere Poisson vergelijkingen af, te weten

T Va-1 = constant 2e vergelijking van Poisson (3.30b) en Ta p1-a = constant 3e vergelijking van Poisson (3.30c)

Tot de grote familie van polytropen behoren o.a. de volgende toestands-veranderingen:


Fig. 3.28 Leden van de polytropen familie

Fig. 3.29 Arbeid bij rechtsom lopend

kringproces

• isobaar proces

Voor een polytroop geldt pVa = constant, dus als a = 0 dan is p = constant. We hebben dan te maken met een isobaar proces. Een isobaar is ook een lijn dietoestanden van gelijke a verbindt, waarbij a = 0 en de soortelijke warmte C = Cp.

• isochoor proces Schrijven we pVa = constant als p1/aV = constant, dan geldt als a = ∞ dat V = konstant. We hebben dan te maken met een isochoor proces. Een isochoor is ookeen lijn die toestanden van gelijke a verbindt, waarbij a = ∞ en de soortelijke warmte C = Cv.

• isotherm proces Bekijken we de Poisson vergelijking TVa-1 = constant, dan geldt als a = 1 dat T = constant. We hebben dan te maken met een isotherm proces. Een isotherm is ookeen lijn die toestanden van gelijke a verbindt, waarbij a = 1.

• adiabatisch proces Voor een adiabaat geldt dQ = n C dT = 0, dus aangezien dT ≠ 0 is C = 0. M.a.w.

a = = κ adiabatisch proces

Een adiabaat is ook een lijn die toestanden van gelijke a verbindt, waarbij a = κ enC = 0. 3.8 Kringproces 3.8.1 TOEPASSING 1E HW BIJ KRINGPROCESSEN Een kringproces is een proces dat bestaat uit een serie opeenvolgende toestands-veranderingen, waarbij het systeem tenslotte in de oorspronkelijke toestandterugkeert. Aangezien de eindtoestand gelijk is aan de begintoestand geldt dus voorde verandering van de inwendige energie U:

∆U = Ueind - Ubegin = 0 (3.31)

⇒ Σ Q = Σ W 1e HW bij kringprocessen (3.32)

⇒ Qtoe + Qaf = Win + Wuit (3.33)

3.8.2 SOORTEN KRINGPROCESSEN Het kringproces kan in twee richtingen doorlopen worden. De looprichting kan zijn rechtsom (met de looprichting van de klok mee) of linksom (tegen de looprichting van de klok in). In een rechtsom lopend kringproces kan continu warmte in technische energieomgezet worden. Een rechtsom lopend kringproces is een arbeid leverend kringproces. Om de energiedrager weer in de begintoestand te kunnen brengen zal een deel van de warmte echter ongebruikt naar een temperatuur reservoir van lageretemperatuur (vaak de omgeving) worden afgevoerd. Het rendement van een rechtsom lopend kringproces

is altijd kleiner dan 1! (3.34)

Een linksom lopend kringproces is een arbeidvragend proces en kan voor twee doeleinden worden gebruikt: • koelen van een ruimte, warmte wordt onttrokken aan de ruimte en wordt

p

v

CC

toe

W = Q

η


Fig. 3.30 Koelmachine

Fig. 3. 31 Schematische voorstelling

koelmachine

Fig. 3.32 pV-diagram van rechtsom

lopend Carnot kringproces

Fig. 3.33 Fase 1 van Carnot kringproces

toegevoerd aan het systeem. Men spreekt dan van een koelmachine. Dus:

(3.35)

• warmte wordt uit het systeem gepompt naar de omgeving. Men spreekt dan van

een warmtepomp. Dus

(3.36)

Bij linksom lopende kringprocessen spreekt men vaak van coefficient of performance (c.o.p.) in plaats van het rendement. Bij een koelmachine spreekt men vaak ook van koude factor. LET OP:

cop hoeft niet kleiner dan 1 te zijn, het is meestal wel groter dan 1! De hoeveelheid warmte die bij een koelmachine vanuit de koelruimte door het systeem wordt opgenomen noemt men koude productie. Dus koude productie is gelijk aan toeQ∑ Koude productie per tijdseenheid wordt koelvermogen genoemd. 3.8.3 CARNOT KRINGPROCES Het Carnot kringproces is een kringproces dat bestaat uit twee reversibele adiabaten en twee reversibele isothermen. Het kringproces van Carnot is voor dethermodynamica van fundamenteel belang. Er kan worden afgeleid dat geen grotertheoretisch rendement mogelijk is dan datgene dat het Carnot proces levert. Indien we de kring rechtsom doorlopen, dan wordt warmte toegevoerd en arbeid geleverd (het proces werkt als een motor). In dit proces zijn slechts 2 warmte reservoirs nodig. Een warmtereservoir is een systeem dat zo groot is dat zijn temperatuur niet verandert indien er warmte af- of toegevoerd wordt. A→B: reversibel isotherme expansie Dus:

∆T = 0 ⇒ ∆UA→B = 0 en QA→B = WA→B

B

A

VB

H HA BAV

dV V = p dV = n R n R lnW T TV V→ ∫ =∫

Dus WA→B = QA→B is positief. B→C: reversibel adiabatische expansie Dus:

Q = 0 ⇒ WB→C = - ∆UB→C

∆UB→C = n Cv (TL - TH ) en WB→C = n Cv (TH - TL ) C→D: reversibel isotherme compressie Dus:

∆T = 0 ⇒ ∆UC→D= 0 en QA→B = WC→D

D

C

VD

L LC DCV

dV V = p dV = n R = n R lnW T TV V→ ∫ ∫

Dus WC→D = QC→D is negatief. D→A: omkeerbare adiabatische compressie Dus:

QD→A = 0 ⇒ WD→A = - ∆UD→A

= ∑∑

toekoelmachine

Qc.o.p.

W

=∑∑

afwarmtepomp

Qc.o.p.

W


Fig. 3.34 Fase 2 en 3 van Carnot

kringproces

Fig. 3.35 Het Carnot kringproces

Fig. 3.36 Schematische voorstelling van

een motor werkend tussen 2 warmte reservoirs.

∆UD→A = n Cv (TH - TL ) en WD→A= n Cv (TL - TH ) De totaal verrichte arbeid ΣW is:

WA→B + WB→C + WC→D + WD→A=

nRTH ln B

A

VV

+ nCv(TH-TL ) + nRTL ln D

C

VV

+ nCv(TL - TH )

De totale warmte ΣQ is:

QA→B + QB→C + QC→D + QD→A =

n R TH ln B

A

VV

+ 0 + n R TL ln D

C

VV

+ 0

We zien dus dat geldt :

ΣW = ΣQ = n R TH ln B

A

VV

+ n R TL ln D

C

VV

Met behulp van de Poissonvergelijking langs de adiabaat BC vinden we:

1 1 1 1 B L

H L CBHC

V T = = VVT T TVκ −κ−κ− ⎡ ⎤

⇒ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Eveneens geldt de Poissonvergelijking langs de adiabaat DA: 1

1 1 1 A LH LA D

HD

V T = = V VT T TVκ −κ − κ − ⎡ ⎤

⇒ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Dus geldt: CA B

D C D

VV V V = = V V V V

⇒ BA

Het rendement van het rechtsomlopend Carnot kringproces is dan: B

H LA H L

B H Htoe HA

V(n R ln ) . ( )T T W V T T T = = = = 1 VQ T T(n R ln ) . TV

−∑

η − L

Dus:

Carnot motor (3.37)

Indien we de kring linksom doorlopen, dan kan het systeem worden gebruikt als koelmachine of als warmtepomp. Bij het gebruik als koelmachine wordt warmte onttrokken aan de ruimte en wordtdeze toegevoerd aan het systeem. De koude factor (cop) wordt dan:

toekoelmachine

Qcop

W= ∑∑

ln

ln ln

AL

D C Bkoelmachine

D C B A A AL H

B B

Vn RTQ V

copQ Q V Vn RT n RT

V V

→

→ →= =

+−

Dus

(3.38)

Bij het gebruik als warmtepomp wordt het warmte uit het systeem gepompt naar de

− L

HCarnot motor

T = 1 T

η

−L

L HCarnot koelmachine

T= cop| |T T


Fig. 3.37 Schematische voorstelling van

een koelmachine/warmtepomp werkend tussen 2 warmte reservoirs

p0,5 (bar0,5)

T 1,5 (K 1,5)

Toestand P0,5

(bar0,5) T1,5

(K1,5) A 1 5200 B 1 ---- C 2 ---- D 2 5200

omgeving. De coefficient of performance (cop) wordt dan:

afwarmtepomp

Qcop

W=∑∑

ln

ln ln

AH

BB Awarmtepomp

D C B A A AL H

B B

Vn RT

VQcop

Q Q V Vn R T n R T

V V

→

→ →= =

+−

Dus

(3.39)

Voorbeeld 3.2 Een als ideaal gas te beschouwen gas (n=0,16 mol,κ=1,5) voert een reversibel kringproces uit, die getekend is in nevenstaand P0,5 vs T1,5 – diagram. a. Teken het pV-diagram van het kringproces met alle relevante grootheden. b. Bereken de totale arbeidsverrichting. c. Bereken, afhankelijk van het soort proces, het rendement of de coëfficiënt

van prestatie van het kringproces. d. Vergelijk dit rendement of (c.o.p) met het rendement (of c.o.p) van een

equivalente Carnot kringproces. Oplossing Oriëntatie en analyse Gevraagd wordt naar het p-V diagram.Teneinde deze te kunnen tekenen moeten de volumina bekend zijn. Zoals uit het gegeven P0,5-T1,5 diagram blijkt,zijn deze onbekend en moeten zij dus worden uitgerekend. Voorts kan uit het gegeven diagram worden waargenomen dat AB alsook CD isobaren zijn. Een tabelarische weergave van de tot dusver bekende gegevens is hiernaast gegeven. Omwerking en vertaling De opgegeven gegevens staan niet in geschikte eenheden (bar0,5 en K1,5 i.p.v.bar en K). Deze moeten dus worden omgezet in de eenheden bar en Kelvin. De ontbrekende gegevens zijn de volumina en de temperaturen in de toestanden A en C. Zoals blijkt uit het gegeven diagram, zijn BC en AD lijnen door de oorsprong. Hiervan gebruikmakende, kunnen de temperaturen in de toestanden A en C worden uitgerekend. Er wordt ook gevraagd naar het rendement of de coëfficiënt van prestatie. Om deze te kunnen bepalen moet ook worden uitgerekend hoeveel energie is toegevoerd. Berekeningen en uitwerking Allereerst wordt gekeken naar lijnstuk BC. De vergelijking hiervan: P0,5=m1T1,5. Hierin stelt m1de richtingscoëfficiënt voor die moet worden uitgerekend. Bekend is dat het punt (5200,1) een element is van het lijnstuk BC. Hieruit kan de

waarde van m1 worden uitgerekend:m1=5200

1 P0,5/T1,5. Nu kan de temperatuur

in toestand C worden bepaald: Tc

1,5 = 5200 Pc0,5 ↔ Tc

1,5 = 10400.Tc = (10400)2/3 = 476,46 K. Op analoge wijze kan de temperatuur in toestand A worden uitgerekend: De vergelijking van AD: P0,5 = m2T1,5.Het punt (5200,2) ligt op AD. Hieruit volgt dat TA

1,5 = 2600 PA0,5. De temperatuur in toestand A blijkt na berekening 189,08

K te zijn. Uit het gegeven diagram blijkt verder dat PA

0,5 = PB0,5 = 1 bar0,5. Hieruit volgt dat

PA = PB = 1 bar. Verder geldt dat PC0,5 = PD

0,5 = 2 bar0,5 → PC = PD = 4 bar en TB

1,5 = TD1,5 = 5200 K1,5.

Hieruit volgt dat TB = TD = 300,15 K.

−H

L HCarnot warmtepomp

T = cop| |T T


Tabelarische weergave van de berekende toestandsgrootheden:

Toestand p (bar)

T (K)

V (dm3)

A 1 189,08 2,52 B 1 300,15 4 C 4 476,46 1,59 D 4 300,15 1

Nu de temperaturen en drukken bekend zijn kunnen de volumina worden uitgerekend met behulp van de algemene gaswet : PV = nRT. Zoals eerder is aangegeven zijn AB en CD isobaren. Voor het tekenen van het p-V diagram is het ook essentieel te weten wat voor soort proces BC en AD zijn. Dit kan op de

Voor BC en AD geldt : P0,5 = mT1,5 ↔ T3 =

volgende wijze worden bepaald:

2m

P . Deze vergelijking wordt

gesubstitueerd in de algemene gaswet ( [PV]3 = [nR]3T3 ).

Het resultaat hiervan is : P3V3 = 2

3

m

P)nR( . Hierin is 2

3)(mnR

1, waarbij C

een constante. De

vergelijking kan nu worden geschreven als P2V3 = C 1= 2

3

m

)nR( . De

laatste vergelijking kan verder vereenvoudigd worden : 32VP = 1C ↔ PV1,5 = C. Hieruit kan geconcludeerd worden dat BC en AD adiabaten zijn, want

d kunnen de volumina worden uitgerekend m.b.v. de algemene gaswet.

V =

a = κ. Zoals eerder gestel

P AnRT ⇒ V =

APAnRT = 510

325 08,189..16,0

= 2,52 dm3.

p analoge wijze kunnen de resterende volumina worden uitgerekend. O a. Het p-V diagram hiernaast geschetst b. De totale arbeid indien het kringproces linksom wordt doorlopen:

W = P(V - VA) = 105(4-2,52).10-3 = 148 J.

BC is een adiabaat:

W B→C =

AB is een isobaar : A→B B

κ−−

1)TT(nR BC =

5,11

)15,30046,476.(.16,0 325

−

−= - 470,16 J.

W = P(V -VC) = 4.105(1-1,59).10-3 = - 236 J.

DA is een adiabaat:

W D→A =

CD is een isobaar: C→D D

κ−−

1)TT(nR DA =

5,11

)15,30008,189(..16,0 325

−

− = 296,19 J

Σ W = 148 J – 470,16 J – 236 J + 296,19 J = -261,97 J.

wordt doorlopen: J

6 J = - 148 J

enen,wordt de toegevoerde (of id energie uitgerekend:

J.

Gegeven is dat κ =

Dus: Indien het proces rechtsom W A→D = - 296,19 W D→C = 236 J W C→B = 470,1 WB→ADus: ΣW = - 148 J + 470,16 J + 236 J - 296,19 J = 261,97 J. c. Teneinde het rendement of de c.o.p. uit te rekafgevoerde) hoeveelheQ B→C = Q D→A = 0

VCPC = 1,5.

= CV + R. Voor een ideaal gas geldt : CP – CV = R of CP


Fig. 3.38 pV-diagram van een benzine

motor

Dit gesubstitueerd in de eerste vergelijking : V

ieruit volgt dat C = 3R.

VC

= 1,5. RC +

p

D→C = nCp(Tc – TD) = 0,16 . 3R (476,46 – 300,15) = 705,24 J.

HQQ B→A = nCp(TA – TB) = 0,16 . 3R (189,08 – 300,15) = - 444,28 J.

Het rendement : η = toeQW∑ .100% =

24,70597,261 .100% = 37,15%.

De coëfficiënt van prestatie:

In geval van een warmtepomp:c.o.p.= ∑

∑

W

Qaf = 97,26124,705 = 2,69.

In geval van een koelmachine:c.o.p.= ∑W

= ∑Qtoe

97,261= 1,70. 28,444

t/c. n een e Carnot proces.De hoogste temperatuur bedraagt 476,46 K en de laagste 189,08 K.

d. Gevraagd wordt naar het rendemen o.p.va quivalent

Rendement Carnot kringproces: η = 1 -HL

TT = 1-

46,47608,189 = 0,603.

c.o.p.carnot koelmachine=HL

LT . Teneinde een zo hoog moTT −

gelijke c.o.p. te

H = 300,15 e 89,08. Dus: verkrijgen, wordt genomen: T n TL = 1

c.o.p.carnot koelmachine=15,30008,189

08,189−

= 1,70.

c.o.p.carnot warmtepomp=HLT

HT

T−

=15,00308,189

15,300−

= 2,7.

3.8.4 DE BENZINE MOTOR

el oIn ke kringloop van een benzine m tor vinden steeds 5 opeenvolgende processenplaats (zie figuur 3.39). Deze processen kunnen benaderd worden door het Ottokringproces, waarvan het pV-diagram in figuur 3.38 is gegeven. • Gedurende de inlaat slag O A, wordt lucht in de cilinder gezogen bij de

atmosferische druk en het volume neemt toe van V2 naar V1. Tijdens het proces A B (compressie slag), wordt het lucht - brandsto• f mengsel adiabatisch gecomprimeerd van volume V1 naar volume V2 en de temperatuur neemt toe van TA tot TB. De arbeid verricht op het gas is het oppervlak onder de curve AB. Tijdens het proces B C vindt de verbranding plaats en de warmte Q• toe wordt aan het gas toegevoerd. Het is geen instroom van warmte maar meer hetvrijkomen van verbrandingswarmte. Gedurende dit proces stijgt de druk entemperatuur heel snel, maar het volume blijft nagenoeg constant. Er wordt geenarbeid op het gas verricht.

• Tijdens het proces C D (arbeid slag) expandeert het gas adiabatisch van V2naar V1. Hierbij neemt de temperatuur af van TC naar TD. De arbeid verricht door het gas is gelijk aan het oppervlak onder de curve CD.

• Tijdens het proces D A wordt warmte Qaf aan het gas onttrokken terwijl de druk afneemt bij constante volume wanneer de uitlaat klep open staat. Er wordtgeen arbeid verricht gedurende dit proces.

• Tijdens de uitlaat slag A O wordt de rest gassen uit gestoten bij atmosferische druk en het volume V1 vermindert tot V2. De kringloop herhaalt zich.

Voor ideale Otto kringproces met een gebruikelijke volume compressie verhoudingV1 /V2 van 8 en κ = 1,4 wordt een theoretisch rendement van 54% berekend. Ditrendement is veel hoger dan hetgeen dat in de praktijk (15% tot 20%) wordtgehaald. Dit komt door effecten zoals wrijving, warmte verlies door de


Fig. 3.39 Benzine motor

p (bar) V (dm3) T (K) A 1 0,559 300 B 23,38 0,0588 738,3 C 51,4 0,0588 1623 D 2,2 0,559 659,5

Fig. 3.38 pV-diagram benzine motor

cilinderwanden, onvolledige verbranding van het lucht - brandstof mengsel. Diesel motoren hebben een hoger rendement dan benzine motoren door hun groterecompressie verhouding en daardoor hogere verbrandingstemperatuur.

Fig. 3.39 De 5 opeenvolgende processen van een benzine motor

6-cilinder 4-takt benzine motor met een verplaatsingsvolume (VVoorbeeld 3.2 Een max – Vmin) van 3 liter draait meteen toerental van 4000 rpm. De volume compressieverhouding r =

B

AVV

= 9,50. Het lucht-brandstof mengsel (κ = 1,40) komt de cilinder binnen bij een

atmosferische druk van 1 obar en een omgevingstemperatuur van 27 C. Gedurende e verbranding bereikt het mengsel een temperatuur van 1350 oC. De motor werkd

volgens het v Oplossing Oriëntatie en analyse

Het weergegeven systeem is een benzine motor dat werkt volgens 2 isocho2 isobaren. Deze motor heeft 6 cilinders en het kringproces neemt 4 slagen vande zuiger en of 2 omwentelingen van de krukas. Verder is er een verplaatsingsvolume gegeven van 3 liter. Dit is niets anders dan het totale volume dat alle 6 cilinders verplaatsen, dus 1 cilinder verplaatst dus 0,5 liter. Verder zijn gegeven de minimale en de maximale temperaturen van het kringproces. De desbetreffende volumen en de overige drukken en temperaturenontbreken, deze zullen als nodig bepaald moeten worden. Het bepalen van het vermogen in paarde kracht is er ee(1van de betrekking: η = 1+ Qaf/Qtoe en voor het bepalen van het vermogen kan

kring ces in P-V

max - Vm3

n r = κ TA PA TC

Oplossen van de opgave Bepaling van het rendement

Voor het bepalen van het rende ment zou uitgegaan worden van: aftoeQ

Q1η = + .

Dit uitwerken levert:

t Otto-kringproces. Bepaal het rendement van de motor en het geleverde

ermogen (in W en pk).

ren en

n conversiefactor nodig en deze is 0,735 pk = 0,735 kW). Voor het bepalen van het rendement kan uitgegaan worden

uitgegaan worden van: W= η.Qtoe. Weergave van de gegevens en tekening van het pro een

diagram. V in

(m ) (rpm) VA/Vb (K) (bar) (K)

0,003 4000 9,50 1,40 300 1 1623


Fig. 3.40 Benzine motor

Fig. 3.41 4-takt motor

( )( )

( )( )

A D

C B1

T T+

− (I)

b ijk:

AB A A

B

1T T . T .rV

1V

κ−κ−= = (II)

C BC

1VT .r

VD C CD A

1 1VT T . T .

V

κ− κ−κ−=⎜ ⎟

⎠ (III)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝rgelijking voor het rendement (I) De vergelijkingen (II) en (III) ingevuld in de ve

geeft:

A C

C A

1

1T T .r

1T T .r

−κ

−κ−

η = +−

(IV)

u rden geeft: Inv llen van de desbetreffende waa

1 1,4300 1623.9,51 0 59%

1623 300.9,

−−η = + ⇒ η =

−

Bepaling van het vermogen

Bij het bepalen van het vermogen zal uitgegaan worden van het rendement. Het

1 1,4 ,59365 −

=

vermogen is gedefinieerd als: dW Wdt t

omwentelingen van de krukas en deze krukas maak nu 40

vermenigvuldigd met de tijd nodig voor 1 omwenteling:

P = = . De arbeid voor het kringproces

bedraagt: W = η . Qtoe. De duur van het kringproces is gelijk aan 2 00 omwentelingen per

minuut. De tijdsduur van het kringproces is dus gelijk aan de 2 omwentelingen 1t 2= × ×60 . Het n

vermogen voor het vermogen voor 1 cilinder is dan dus: toe.Q .nηP

2.60= . Er zijn

leverde vermogen is gelijk aan: echter 6 cilinders, dus het totale ge

toe toe.Qη .n .Q .nη

A.rκ-1) (VI) aturen bekend en het aantal mol gas in de cilinder en de

oortelijke warmte (Cmiddels de gaswet (P.V=n.R.T) en de soortelijke warmte middels de betrekking:

= Cp /Cv en Cp – Cv = R. erkregen wordt dus:

P 6 P2.60 20

= × ⇔ = (V)

De enige onbekende hier is dus Qtoe. Deze is gelijk aan: Qtoe = n.Cv.(TC – TB) Met vergelijking II Q = n.C .(Ttoe v C – THiervan zijn de tempers v) onbekenden. Het aantal mol gas (n) zal bepaald worden

κV

A AA

P .VnR .T

= (VII)

p vv

C R RCC C 1

+κ = = ⇔ =

v v

C

κ − (VIII)

Substitueren van vergelijkingen VI, VII en VIII in vergelijking V geeft:

( )( )

1A A C A.P .V .n . T T .r

P20 A.T . 1

κ−η −= (IX)

Het enige dat in deze vergelijking nu nog onbekend is, is het volumzal nu bepaald moeten worden. Gewerkt zal worden met de betrekk

κ −

e VA. Deze ingen

v A D

v C B

n.C . T T T T1

n.C . T T− −

η = + =−

Bepaald moeten dus nog worden de temperaturen TB en TD. Deze kunnen met ehulp van Poisson bepaald worden. Er geldt namel

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


Toestand p (bar)

V (dm3)

T (K)

A 1 0,559 300 B 23,38 0,059 738,3 C 51,4 0,059 1623 D 2,2 0,559 659,5

Fig. 3.42 Airco

Fig. 3.43 Schematische voorstelling

koelmachine

Fig. 3.44 pV-diagram koelmachine

Vmax – Vmin = VA – V = 0,5.10-3 m3 en V /VB = r = 9,5 voor 1 cilinder. Deze

uitwerken geeft dan:

B A

2

( )

( )P

20.300. 1, 4 148913,9 J 48,9 kJ 66,54 pk

=−

= ≈ =

• evaluatie

e zien dat het niet nWrekenen. Indien er echter gemet alle relevante grootheden, dan moeten alle drukken en volumina uitgerekendworden en moet in de omlooprichting van het kringproces aangegeven worden enhet teken van de Q’s.

5 KOELMACHINES werking van een

3.8.De koelmachine met lucht als koelmedium (volgens het kringproces van Joule/Brayton) is als volgt:

Lucht met temperatuur T• 1 wordt uit de koelruimte onttrokken en door de compressor I adiabatisch van p1 tot p2 gecomprimeerd. De temperatuur neemt

• hierbij toe tot T2. Vervolgens wordt de lucht door een koeler geleid. Bij constante druk wordt een warmtehoeveelheid Q aan het medium1 onttrokken, waarbij de temperatuudaalt tot T3. In een expansiecilinder II expandeert de lucht vervolgens adiabatisch tot op debegindruk en daalt de temperatuur tot T4, welke lager mvereiste tem

• Ten slotte wordt in de koelruimte bij constante druk een warmtehoeveelheid Q2opgenomen, waarbij de temperatuur weer de beginwaarde T1 bereikt. Daarna wordt de lucht opnieuw door de compressor aangezogen.

Voorbeeld 3.3

worden vaak vanwege het lichte gewicht bepaalde aircogebaseerd zijn op het zogeheten Brayton/Joule kringproces (2 adiabaten en 2 isobaren). De werking van de airco’s is als volgt (zie fig. 9a): traject 1 → 2: een compressor comprimeert lucht uit de vliegtuig cabine (T1 = 30 oC,

p = 1 bar) met een druk compressieverhouding 6 1 : 1; traject 2 → 3: m.b.v. een warmtewisselaar wordt de gecomprimeerde lucht afgekoeld

door de koude buiten lucht; traject 3 → 4: m.b.v. een turbine expandeert de afgekoelde lucht, waarna het naar de

cabine terugkeert met een temperatuur van 12 oC. arbeid geleverd door de turbine wordt gebruikt om mede de compressor te lateDe n

dra latie verwerkt een hoeveelheid lucht van 100 kg/maien. De instalworden beschouwd als een ideaal gas, met molaire massa 29 kg/kma. Geef aan waarom de airco-installatie benaderd kan worden door de ideale

Brayton/Joule kringproces getekend in fig. 9b. Geef ook aan waarom traject 4 → 1 estippeld is.

b. Bereken. Berekenc

d. epaal hoeveel vermogen e. Bepaal het koelvermogen van de airco. Oplossing Analyse en Oriëntatie

Zoals waar te nemen is, is dit systeem een airco waarbij het kringproces benaderd kan worden met het ideale Brayton/Joule proces. Naar het verloop van de aangegeven punten in de grafiek is te concluderen dat het een linkomlopend proces is. Het medium dat het proces doorloopt is het medium van de cabine zelf

3 3A

19V .10 m34

−= . Hierdoor is alles nu bekend en kan

dus voor het bepalen van het vermogen gewoon ingevuld worden. 5 3 1,4 1190,5936.10 . .10 .4000. 1623 300.9,534

− −−

odig is om alle drukken, volumina en temperaturen uit tevraagd wordt om het pV-diagram van het kringproces

r

• oet liggen dan de

peratuur in de koelruimte.

In vliegtuigen ’s gebruikt die

in. Lucht kan ol en κ = 1,4.

g de temperaturen T2 en T3. het rendement van de totale airco-installatie.

B er nog extra aan de compressor geleverd moet worden.


Toestand p (bar)

V (m3)

T (K)

1 1 - 303 2 - - - 3 - - - 4 - - 285

en het medium dat zorgt voor de warmte afvoer is de buitenlucht. De warmte uitwisseling vindt plaats in de warmtewisselaar, de adiabatische compressie in de compressor en de adiabatische expansie in de turbine. Een deel van de compressie arbeid wordt geleverd door de turbine (de expansie arbeid). (stap 1)

egeven is een druk compressieverhouding: a = 6:1. Dit is niets anders dan de druk. Verder is gegeven de lucht

verwerking van de installatie (100 kg/s). Dit is niets anders dan de massastroom dat d heen ga Tabelarische weergave van de gegevens

Druk compressie- Φm (kg/s)

Mmol (kg/kmol)

κ

Gverhouding tussen de maximale en de minimale

oor de installatie at.

verhouding (a) 6:1 100 29 1,4

Plan van aanpak

Gevraagd is te bepalen de temperaturen T2 en T3, het rendement van de stallatie, het extra vermogen dat aan de turbine geleverd

ogen van de installatie. Voor het bepalen van de temgewerkt worden met de vergelijkingen van Poisson (stap 3a).

in moet worden en het koelverm peraturen kan er

min

max2p p a⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11 11

2 1 1 1p p 1T T . T . T .

−κ−κ −κκκ κ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (I)

min

1 1 1

3 4 4 4p 1T T . T .

−κ −κ −κκ κ κ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (II)

max

4pT .

p p a⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

rendement kan er uit gegaan worden van de bekende

etrekking

3⎝ ⎠Voor de bepaling van het

b : toeQcop

W=Σ

. (stap 3a) (III)

eft na uitwerking: Dit ge

toe toe 1 4vn C (T T )−

1 4 3 2v vDus:

Q Qcop

n C (T T ) n C (T T )W Q= = =

− − −∑ ∑

1copT T T

=− −

4(T T )−

1 4 3 2T )+ (IV)

oor het bepalen van het extra vermogen dat aan de compressor geleverd mo worden zal er uitgegaan worden van: Pextra = Pcompr. – Pturb.. (V)

eze geeft na uitwerking:

V et

D

comp comptuextra comp turbP P P

dt dt= − = − rb turbdW d( U )dW d( U )

dt dt−∆ −∆

= −

extra v 1 2 v 3 4 n v 1 2 3 4C .(T T ). .C .(T T T T )dt dt

− − =Φ − − + (VI) dn dnP C .(T T ).= −

van deze formule is nu onbekend Cv en Φn. orden m.b.v. Φm: Nu kan Φn bepaald w

mn

mol60MΦ

Φ = (VII)

En voor CV geld er:

p vv

v v

C C R RCC C

+κ = = ⇒ =

1κ− (VIII)

ubstitueren van de vergelijkingen 7 en 8 in vergelijking 6 geeft dan het ezochte:

Sg

mextra 1 2 3 4

.RP .(T T T T )

Φ= − − +

κ− (IX)

mol60M .( 1)(stap 3d)

het bepalen van het koelvermogen zal er uitgegaan worden van: Voor


Toestand p (bar)

V (m3)

T (K)

1 1 - 303 2 6 - 505,56 3 6 - 475,5 4 1 - 285

)TT.(C.)TT.(C.P 41pn41p −Φ=− dtdn

dt))TT.(C.n(d

dtdQ 41ptoe

koel =−

==

us: D

( )41mol

mkoel TT.

1.

M.60P −

−κ= (X)

Uitwerking Het kringproces kan benaderd worden door de

R.κ

a) ideale Brayton/Joule proces, omdat de intree en de uittree drukken van de lucht bij dit proces ongeveer gelijk aan elkaar zijn en het traject 4→1 is gestippeld weergegeven omdat niet dezelfde lucht het kringproces doorloopt.

)

Φ

b

1 1,411,4

2 11 1T T . 303. 505,56 Ka 6

−−κκ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1,411,4

3 41 1T T . 285. 475,53 Ka 6

−−κκ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) mextra 1 2 3 4

mol

.RP .(T T

60M .( 1)Φ

= − −κ−

T T )+

s: Du253

extra100.

P (303 505,56 475,53 285) 14, 41 kW60.29.(1, 4 1)

= − − + =−−

d. ( ) kW2,30)14,1(.29.60

TT.1

.M.60

P 341

molm

koel =−

=−−κ

=

evaluatie

)285303(..4,1.100R.25 −κΦ

oor wat de bepaling van de temperaturen betreft moet T3 lager zijn dan T2 en verder moeten beide temperaturen groter zijn dan T1 en T4. Dit blijkt ook uit de resultaten, dus deze kunnen goed zijn. (stap 5b)

V


Warmteleer H3b Donker

Documents

Transcript of Warmteleer H3b Donker