1

T

wo do vr za zo ma

Waarom is het weer zo moeilijk te voorspellen?

Antwoord: omdat de wereld niet lineair is …….

Reis naar de wereld van chaos, turbulentie en vreemde ordening

2

20e eeuw: 3 grote revoluties

1. relativiteitstheorie van Einstein2. quantum mechanica

Niels Bohr

Albert Einstein

Henri Poincare(1854-1912)wiskundige

Edward Lorenz(1917 - )meteoroloog (MIT)

3. chaos theorie

3

Newton’s theorie van zwaartekracht

2 deeltjes:geen probleem, deeltjes bewegen in ellipsvormige baanin een plat vlak

Henri Poincare

3 deeltjes:moeilijk, banen blijken ‘wild’geen simpele oplossing

4

Edward Lorenz

~1960: versimpelde modelen voor het weer

computer berekeningen

als na een berekening, een nieuwe – halverwege de oude –wordt gestart, wijken de antwoorden na verloop van tijd af!!!

t

T

5

t

Toorzaak: •Lorenz liet de computer rekenen

met 6 cijfers achter de komma•de computer bewaarde gegevens

met 3 cijfers achter de komma

kleine verschillen, grote gevolgen: chaos

Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?

1972, lezing door Lorenz:

6

chaos niet-lineair beperkte voorspelbaarheid

niet: onvoorspelbaar!!!

‘overal’, zelfs in heel simpele systemen

voorbeeld:

biologie: aantal beesten in een populatie

stel in jaar k: Nk beesten

in een jaar netto effect geboorte en sterfte

gemiddeld per individue beesten er bijk k kN N N

7

k k kN N N

jaar k jaar k+1 k kN rN 1

simpel: =1<1

>1r

uitsterven

explosieve groeiconstante populatie

groeifactor

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

Nk

k

1.1

0.9

1

8

explosieve groei: r>1

kan niet zo blijven: bv. voedsel te kort!

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

14x 10

5

k

Nk

1M

rem op ontwikkeling: als Nk Nmax, dan afname

als Nk<<Nmax dan merk je niks

kk k

max

NN rN

N

1 1

9

kk k

max

NN rN

N

1 1

k k k

max max max

N N Nr

N N N

1 1

k k kx rx x 1 1

kk

max

Nx

N

fractie van maximale bevolking

0 xk 1

niet lineair!!!

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.8x(1-x)

r=0.8

xstart x1

x2

k k kx rx x 1 1 x2

11

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xk

xk+1

start

x1

x2

x2

y=x

k k kx . x x 1 08 1

12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

xk+1

xk

k k kx . x x 1 08 1

uitsterven

13

r = 0.8 < 1

0 0.5 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

xk

x k+1

5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

x k

k k kx rx x 1 1

14

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

xk

x k+1

5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

x k

r = 1.6 > 1 k k kx rx x 1 1

15

r = 2.8 > 1 k k kx rx x 1 1

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

xk

x k+1

5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

x k

16

r = 3.08 > 1 k k kx rx x 1 1

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xk

x k+1

10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

x k

periode 2

17

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

00 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8

xe

1 2

‘eindwaarde van populatie’ (na lange tijd)

r=1 r=3

k k kx rx x 1 1

r20

wat gebeurt er bij hogere r-waarden?

18

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xk

x k+1

10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

x k

r = 3.52 > 1 k k kx rx x 1 1 periode 4

19

r = 3.68 > 1 k k kx rx x 1 1 periode ?

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xk

x k+1

20 40 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k

x k

20

period doubling

r1 = 3.0…. 2

r2 = 3.449… 4

r3 = 3.5440... 8

r4 = 3.5644… 16

r5 = 3.5687.. 32

…. …

r = 3.569946..

r

xe

r

xe

21

verbazingwekkend: simpel systeem vertoont zeer ingewikkeld gedrag

k k kx rx x 1 1

formule laat niks niks te raden over,maar toch kunnen we voor sommige r-waardenslecht voorspellen wat er op de lange termijn gebeurt

22

voorbeeld 2: prooi en jager

n n n nK aK K V 1 1

konijnen vossen

n n nV bK V 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

a=2, b=3.5

voss

en

konijnen0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

a=2.5, b=3.5

voss

en

konijnen

23

a=3.9, b=3.9

konijnen

voss

en

chaos!

24

terug naar Lorenz en het weer

3 variabelen:

•snelheid van de lucht, x•temperatuurverschil tussen op en neergaande stromen, y•stroming van warmte, z

x, y, z hangen enkel van de tijd af en niet van de positie op aarde

versimpel:

25

bekijk: tijdstip t en een klein tijdje t later

x( t t ) x( t )( y x )

t

y( t t ) y( t )xz rx y

t

z( t t ) z( t )xy bz

t

met =10, r=25, b=3/8

Oplossen?tegenwoordig fluitje van een cent!c:\college\chaos\Maple-Opdr5

26

tvoorsp

0

5

10

15

20

25

30

35

10-1 10-3 10-5 10-7 10-9

afwijking

voorspelbaarheid

27

vlinder van Lorenz

voorbeeld van een ‘strange attractor’

systeem keert altijd terug naar deze figuur

ding heeft rare wisundige eigenschappen:bv. herhaalt zichzelf nooit (geen gesloten kromme)

‘vlinder’ in 3 dimensies

28

belangrijk kenmerk van chaotisch systeem:

extreme gevoeligheid voor begingvoorwaarden

kleine onnauwkeurigheid in bv. de temperatuurgroeit snel aan tot grote fout in voorspelling

ons weer is chaotisch en voorspellen voor langere tijdis dus principieel onmogelijk!

T

wo do vr za zo ma

29

tot slot: is chaos nu erg??

in het geheel niet!

ons hart is chaotisch

zorgt ervoor dat je met hele kleine veranderingengemakkelijk bijstuurtkeert altijd terug naar zijn ‘strange attractor’

chaotische systemen zijn ondanks de chaos stabiel!

en laten binnen grenzen allerlei variatie toe

30

simpel praktijk voorbeeld: druppelende kraan

meet tussentijden tussen opeenvolgende druppels

c:\chaos\faucet.mws