w20150824190007093_7000170729_09-24-2015_120855_pm_SESION 03 - FUERZAS EN SUPERFICIES PARTE 1

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: MECANICA DE FLUIDOS

SESION 03: SUPERFICIES SUMERGIDAS PLANAS

AUTOR: Ing. JORGE RONDO VASQUEZ

TRUJILLO - PERÙ

Fuerza hidrostática Una válvula de una compuesta de una presa se encuentrasometida a presiones distribuidas como se muestra en lafigura

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida

Consideremos la

superficie sumergida

mostrada en la figura

La fuerza hidrostática

sobre dA será

dF pdAk

La fuerza hidrostática

resultante será

R

A

F pdAk

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal sumergida

Teniendo en cuenta la

variación de la presión

con la profundidad

Debido a que todos los

puntos de la superficie

está, a la misma

profundidad

0R

A

F p gh dAk

0R

A

F p gh dAk

0RF p gh Ak

Fuerza hidrostática:CENTRO DE PRESIONES

El centro de presiones se determina aplicando el teorema

de momentos

El momento de la fuerza

resultante con respecto a los ejes

x ó y es igual al momento del

conjunto de fuerzas distribuidas

respecto al mismo eje x ó y. Es

decir

C R

A

x F xpdA

C R

A

y F ypdA

Fuerza hidrostática:CENTRO DE PRESIONES

Reemplazando la magnitud de FR y el valor de la presión

a una profundidad h en la ecuación (), tenemos

0 0C

A

x p gh A x p gh dA 1

C

A

x xdAA

Cx x

0 0C

A

y p gh y p gh dA 1

C

A

y ydAA

Cy y

Esta ecuaciones indican que la

fuerza hidrostática esta dirigida

hacia abajo y esta aplicada en el

centroide de la región

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana inclinada sumergida

Considere la superficie

inclinada un ángulo

Para encontrar la fuerza

resultante se divide a la

superficie en elementos

de área dA.

Debido a que el fluido

esta en reposo no existe

esfuerzos cortantes,

entonces la fuerza FR

actuará

perpendicularmente a

dA. Esto es


La fuerza hidrostática será

dF pdAk Teniendo en cuenta que la

presión a una profundidad

h es p = po + ρgh

0 0dF p gh dAk

De la figura se tiene además

que h = y senθ, entonces

0 0dF p gysen dAk


La fuerza resultante será

Teniendo en cuenta la definición

de centroide

R 0

R 0

ˆF ρgysen dA

ˆ ˆ F Ak ydA

A

A

p k

p gsen k

CGA

ydA y A

0ˆ ( ) R CGF p A gsen y A k

De la figura se observa CG CGh y sen

0ˆ ( ) R CGF p gh Ak

La magnitud de la

fuerza hidrostática seráR CGF p A

Centro de presiones

El punro de aaplicación de la

fuerza resultante se determina

aplicando el principio de

momentos

Momento respecto al eje x

Donde es el momento de inercia respecto al eje x2

xx

A

I y dA

0

0

2

0

0

( )

( )

CP R

CP R CG xx

y F ydF y p h dA

y p y sen dA

p ydA sen y dA

y F p y A sen I

Centro de presiones

Utilizando el teorema de los ejes

paralelos

Entonces se tiene

2

,xx G x CGI I y A

2

0 ,

0 ,

0 ,

,

( )

( )

( )

CP CG CG G x CG

CG CG G x

CG CG G x

CP CG CG CG G x

y p A p y A sen I y A

p sen y y A sen I

p h y A sen I

y p A p y A sen I

,G x

CP CG

CG

sen Iy y

p A

Centro de presiones

Momento respecto al eje x

Donde es el producto

de inercia del área. Utilizando el

teorema de steiner se tiene

xy

A

I xydA

0

0

0

0

( )

( )

CP R

CP R CG xy

x F xdF x p h dA

x p y sen dA

p xdA sen xydA

x F p y A sen I

,xy G xy CG CGI I x y A

Centro de presiones

Entonces se tiene

0 ,

0 ,

0 ,

,

( )

( )

( )

CP CG CG G xy CPG CG

CG CG G xy

CG CG G x

CP CG CG CG G xy

x p A p x A sen I x y A

p sen y x A sen I

p h x A sen I

x p A p x A sen I

,G xy

CP CG

CG

sen Ix x

p A

FUERZA RESULTANTE

La magnitud de la fuerza resultante FR actuando sobre unasuperficie plana de una placa completamente sumergida enun fluido homogéneo es igual al producto de la presión en elcentro de gravedad pCG de la superficie por el área A de dichaplaca y está actuando en el centro de presiones

Propiedades geométricas de regiones conocidas

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical

Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical: Prisma de presiones

Consideremos una superficie vertical de altura h y ancho b como se muestra en la figura.

La fuerza hidrostática resultante es

( )( )2

R CG CG

hF p A h A bh


Es decir la fuerza hidrostática es igual al volumen del prisma de presiones


Su punto de aplicación será390 ( /12)

( / 2)( ) 2 6

2

3

CP CG

CP

sen bh h hy y

h bh

y h


Si la superficie no se extiende hasta la superficie libre(compuerta) como se muestra en la figura


La fuerza resultante se obtiene

sumando el paralelepípedo de

presiones más la cuña de presiones


La fuerza resultante se obtiene

sumando el paralelepípedo de

presiones más la cuña de presiones

1,( ) 2,( )

1 2 1( ) ( )

R paralelipipedo prisma

R ABDE BCD

R

F V V

F F F

F h A h h A

La localización de la fuerza

resultante se obtiene tomando

momentos. Es decir

Donde

MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS

• El momento de inercia delárea alrededor del eje x,es

• El momento de inercia delárea alrededor del eje y,es

• El productor de inercia

Teorema de los ejes paralelos

• El momento del area conrespecto a ejes paralelosse expresa en la forma

EJERCICIOS PARA DESARROLLAR

Para desarrollar en casaEJEMPLO 01

• La placa AB de 3 m por 4 m de un depósito al aire esbasculante en torno a su borde inferior y se mantiene enposición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que vaa llenarse de glicerina, cuya densidad es 1263 kg/m3.Determinar la fuerza T en la barra y las reacciones en labisagra A cuando el depósito se llena hasta unaprofundidad d = 2,9 m.

EJEMPLO 02

• La compuerta de 6 m de ancho mostrada en lafigura se mantiene en la posición mostrada en lafigura mediante un momento M aplicado ensentido antihorario. Halle el valor de dichomomento para mantener cerrada la compuerta

EJEMPLO 03• Una placa rectangular AB,

mostrada en sección verticaltiene 4 m de altura por 6 mde anchura(normal al planode la figura) y bloque elextremo de un depósito deagua de 3 m de profundidad.La placa se encuentraarticulada en A y en elextremo inferior es sostenidapor una pared horizontal.Encuentre la fuerza en Bejercida por el muro decontención

EJEMPLO 04• La compuerta vertical

accionada por el resorte estáengoznada por su bordesuperior A según un ejehorizontal y cierra el extremode un canal rectangular deagua dulce de 1,2 m deanchura (normal al plano delpapel). Calcular la fuerza Fque debe ejercer el resortepara limitar la profundidaddel agua a h =1,8 m.

EJEMPLO 05

• El eje de la compuerta de 2 m de anchonormal plano del papel fallará con unmomento de 160 kN.m. Determine el máximovalor de la profundidad del líquido h. El pesoespecífico del líquido es 10 kN/m3.

EJEMPLO 06

• La presa de concreto está diseñada para que su cara ABtenga una pendiente gradual en el agua, como se muestra.Por esto, la fuerza friccional en la base BD de la presa seincrementa debido a la fuerza hidrostática del agua queactúa sobre la presa, Calcule la fuerza hidrostática queactúa en la cara AB de la presa. La presa tiene un anchode 60 pies. w =62.4 lb/pies3.

EJEMPLO 07• El aire del espacio superior del tanque cerrado es

mantenido a una presión de 5,5 kPa sobre laatmosférica- Determine la fuerza resultanteejercida por el aire y el agua sobre uno de losextremos del tanque

EJEMPLO 08• Un cilindro hidráulico

acciona la palancaarticulada que cierra lacompuerta verticalvenciendo la presión delagua dulce represada alotro lado. La compuerta esrectangular con unaanchura de 2 mperpendicular al plano deldibujo. Para una altura deagua h = 3 m, calcular lapresión p del aceiteactuante sobre el pistón de150 mm del cilindrohidráulico

EJEMPLO 09

• Una placa rectangularuniforme AB,representada en sección,tiene una masa de 1600kg y separa los doscuerpos de agua dulce enun depósito que tiene unaanchura de 3 m (normal alplano de la figura).Determine la tensión T delcable soportante.

EJEMPLO 10• En la figura se representa la

sección normal de unacompuerta rectangular AB dedimensiones 4m por 6m quecierra el paso de un canal deagua dulce (ρ = 1000 kg/m3).La masa de la compuerta es de8500 kg y está engoznada en uneje horizontal que pasa por C.Determine: (a) La fuerzaejercida por el agua sobre lacompuerta, (b) el punto deaplicación de dicha fuerza y (c)la fuerza vertical P ejercida porla cimentación sobre el bordeinferior A de la compuerta.

EJEMPLO 11• Calcular la magnitud, dirección y localización de la

fuerza resultante ejercida por los fluidos sobre elextremo del tanque cilíndrico de la figura.

EJEMPLO 12• Una placa rectangular,

mostrada de perfil en lafigura, tiene una altura de274 cm y una anchura de244 cm (normal al papel)y separa depósitos deagua dulce y petróleo. Elpetróleo tiene unadensidad relativa de 0,85.determine la altura h queha de alcanzar el aguapara que sea nula lereacción en B.

EJEMPLO 13

• Calcular la fuerza vertical mínima F, requeridapara mantener cerrada la cubierta de esta caja.La cubierta tiene una anchura de 3m deperpendicular a plano del dibujo.

EJEMPLO 14• En la figura mostrada. (a) Determine la fuerza única

resultante que actúa sobre la compuerta Ģ provocada porla presión hidrostática para el caso en el que θ = 53º. Elancho de la compuerta es 5 m y la densidad del agua es 1g/cm3, (b) Calcule las reacciones en el perno A y el piso B.

EJEMPLO 15• La compuerta rígida OBC, tiene 5 m de ancho

normal al plano del dibujo. Despreciando el peso de la compuerta, y suponiendo que el peso de la bisagra es despreciable. Determine la magnitud de la fuerza P necesaria para mantener cerrada la compuerta.

EJEMPLO 16• En un canal de agua dulce, de 1.5 m de ancho, se

construye un dique temporal clavando dos tablas a lospilotes ubicados a los lados del canal y apuntalando unatercera tabla AB contra los pilotes y el piso del canal. Sintomar en cuenta la fricción, determine la magnitud y ladirección de la tensión mínima requerida en la cuerda BCpara mover la tabla AB.

EJEMPLO 17• La compuerta AB está situada al final del canal de agua de

6 ft de ancho y se mantiene en la posición mostrada en lafigura mediante bisagras instaladas a lo largo de suextremo superior A. Si el piso del canal no tiene fricción,determine las reacciones en A y B.

EJEMPLO 18• Una compuerta colocada en el extremo de un canal de

agua dulce de 1 m de ancho fue fabricada con tres placasde acero rectangulares de 125 kg cada una. La compuertaestá articulada en A y descansa sin fricción sobre unapoyo puesto en D. Si d 0.75 m, determine las reaccionesen A y D.

EJEMPLO 19• Al final de un canal de agua dulce se encuentra una

compuerta en forma de prisma que está sostenida pormedio de un pasador y una ménsula colocados en A ydescansa sin fricción sobre un soporte ubicado en B. Elpasador se localiza a una distancia de h 4 in. por abajodel centro de gravedad C de la compuerta. Determine laprofundidad del agua d para la cual se abrirá lacompuerta.

EJEMPLO 20• Un tanque abierto tiene una partición vertical y en un lado

contiene la gasolina con una densidad de ρ = 700 kg/m3a una profundidad de 4 m, como se muestra en laFigura. Una puerta rectangular que es de 4 m de altura y2 m de ancho y con bisagras en un extremo se encuentraen la partición. El agua se va añadiendo lentamente haciael lado vacío del tanque. ¿A qué profundidad, h, será elinicio para abrir la puerta?

EJEMPLO 21• Una puerta rectangular que

es de 2 m de ancho seencuentra en la paredvertical de un tanque quecontiene agua como semuestra en la Figura. Sedesea que la puerta se abraautomáticamente cuando laprofundidad del agua en laparte superior de la puertallegue a los 10m.(a) ¿A quédistancia, d, si el ejehorizontal sin rozamiento seencuentra? (b) ¿Cuál es lamagnitud de la fuerza en lapuerta cuando se abra?

EJEMPLO 22

• Una puerta rectangularcon una anchura de 5 mse encuentra en el lado endeclive de un tanquecomo se muestra en laFigura. La puerta estáarticulada a lo largo de suborde superior y semantiene en posición porla fuerza P. Despreciandola fricción de la bisagra yel peso de lapuerta. Determinar elvalor requerido de P.

EJEMPLO 23• Una puerta rectangular de 4 m de anchura, 8 m de largo

con un peso de 300 kg se mantiene en su lugar medianteun cable flexible horizontal como se muestra en laFigura. El agua actúa contra la puerta que está articuladaen el punto A. La fricción de la bisagra esinsignificante. Determine la tensión en el cable

EJEMPLO 24

• Una compuerta circular de 3 m de diámetro, tiene sucentro a 2,5 m debajo de la superficie del agua, ydescansa sobre un plano con pendiente de 60º. Determinela magnitud, dirección y localización de la fuerza totalsobre la compuerta debido al agua.

EJEMPLO 25

• Un área triangular de 2 m de base y de 1,5 m de alturatiene su base horizontal y yace en un plano inclinado 45º,con su ápice debajo de la base y a 2,75 m debajo de lasuperficie libre del agua. Determine la magnitud, direccióny la localización de la fuerza resultante del agua sobre elárea triangular.

EJEMPLO 26• Una compuerta, cuya sección transversal se muestra en la

figura, cierra una abertura de 0,6 m de ancho por 1,2m de alto. La compuerta es homogénea y su masa es de 600 kg. Calcular la fuerza P requerida para abrir la compuerta.

EJEMPLO 27• La compuerta AB es una placa

rectangular de 280 Kgf que tiene1,5 m de altura y 1,1 m de anchuray se utiliza para cerrar el canal dedesagüe en la parte inferior de undepósito de petróleo. Aconsecuencia de la condensación enel depósito, se recoge agua dulceen la parte inferior del canal.Calcular el momento M respecto deleje del pasador en B necesario paracerrar la compuerta contra la acciónde las fuerzas hidrostáticas delagua y del petróleo, la densidadrelativa del petróleo es 0,85.

Ejemplo 28

• La compuertarectangular mostradaen la figura tiene 1, 2m de ancho y unresorte se encarga demantenerla cerrada.Cuando la compuertaestá cerrada la fuerzade compresión sobre elresorte vale 15000 N.Determine el valor de Hpara que la compuertaempiece a abrirse.

Ejemplo 29

• En la figura: (a)determine la fuerzaresultante que actúasobre la compuertaABC debido a la presiónhidrostática; (b)¿Cuáles son lasreacciones en el piso Ay en el perno C?.Considere que b = 1,5m; c = 1,25 m; d = 2m y el ancho de lacompuerta es 1,5 m.

Ejemplo 30

• Una placa plana cierrauna abertura triangularexistente en la paredvertical del depósitoque contiene un líquidode densidad ρ . Laplaca está articulada enel borde superior O deltriángulo. Determine lafuerza P requerida paracerrar la compuertavenciendo la presióndel líquido.

Ejemplo 31• La tapa de la abertura de

20 por 30 cm del depósito está roblonada, siendo despreciables las tensiones iniciales en los roblones. Si el depósito se llena con mercurio (DR = 13,6) hasta el nivel que se indica. Determine: (a) La fuerza ejercida por el mercurio sobre la tapa de la abertura y (b) la tensión inducida en cada uno de los roblones A y B.

Ejemplo 31

• Las caras de un canjilónen forma de V para aguadulce, representado ensección, están articuladaspor su intersección comúnque pasa por O y unidaspor un cable y untorniquete colocados cada183 cm a lo largo delcanjilón. Determine latensión T que soportacada torniquete.

Ejemplo 31• En la figura puede verse la

sección de una compuerta ABDque cierra una abertura de 1,5m de anchura en un calla deagua salada. Para el nivel delagua indicado. Determine lafuerza de compresión F delvástago del cilindro hidráulicoque mantenga una fuerza decontacto de 3 kN por metro deanchura de compuerta a lolargo de la línea de contactoque pasa por A. La compuertapesa 17 kN y su centro degravedad está en G.

Ejemplo 31

• Halle la fuerza total sobre la compuerta AB y el momento de esta fuerza respecto del fondo de la compuerta.

GRACIAS

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