Wytrzymałość Wytrzymałość materiałówmateriałów

11

materiałówmateriałów

Naprężenia główne na przykładzie Naprężenia główne na przykładzie płaskiego stanu naprężeń płaskiego stanu naprężeń

Tensor naprężeńTensor naprężeń

Naprężenia w stanie przestrzennym:Naprężenia w stanie przestrzennym:

τστττσ

= yzyyyx

xzxyxx

σ

22

στττστ=

zzzyzx

yzyyyxσ

Układ współrzędnych jest zwykle wybrany w ten sposób, że os Układ współrzędnych jest zwykle wybrany w ten sposób, że os zz ma ma

kierunek pionowy, a osie kierunek pionowy, a osie xx i i yy zlokalizowane są w płaszczyźnie poziomej.zlokalizowane są w płaszczyźnie poziomej.

Kierunek osi Kierunek osi xx i i y y też jest dobierany zwykle na podstawie pewnych też jest dobierany zwykle na podstawie pewnych

przesłanek, np. wzdłuż osi belki. Z tymże te kierunki nie muszą być przesłanek, np. wzdłuż osi belki. Z tymże te kierunki nie muszą być najważniejszymi i nie ma powodu, żeby sprawdzać inne kierunki lub szukać najważniejszymi i nie ma powodu, żeby sprawdzać inne kierunki lub szukać zastępczych naprężeń według hipotez wytrzymałościowych.zastępczych naprężeń według hipotez wytrzymałościowych.

Płaski stan naprężeniaPłaski stan naprężenia

Można dobrać w taki sposób układ współrzędnych, że naprężenia normalne Można dobrać w taki sposób układ współrzędnych, że naprężenia normalne przyjmą wartości ekstremalne a naprężenia styczne przyjmą wartości przyjmą wartości ekstremalne a naprężenia styczne przyjmą wartości zerowe. Naprężenia normalne w takim układzie są nazywane naprężeniami zerowe. Naprężenia normalne w takim układzie są nazywane naprężeniami głównymi, a kierunki osi kierunkami głównymi. Metody poszukiwania głównymi, a kierunki osi kierunkami głównymi. Metody poszukiwania kierunków głównych zostaną wykonane na przykładzie płaskiego stanu kierunków głównych zostaną wykonane na przykładzie płaskiego stanu naprężeń (PSN).naprężeń (PSN).naprężeń (PSN).naprężeń (PSN).

σττσ

=yyyx

xyxxσ

Naprężenia w PSN w dowolnym Naprężenia w PSN w dowolnym układzie współrzędnych:układzie współrzędnych:

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Zależność pomiędzy składowymi tensora stanu naprężeń zostanie Zależność pomiędzy składowymi tensora stanu naprężeń zostanie

wyprowadzona na podstawie równowagi elementu o szerokości wyprowadzona na podstawie równowagi elementu o szerokości bb. .

Zestawienie podstawowych Zestawienie podstawowych zależności:zależności: dt=BC

dtdA ⋅= b

( )dtdx=ϕsin ( )

dtdy=ϕcos

dxdA x ⋅= b dydA y ⋅= b

( )dtdx⋅⋅=ϕ

b

bsin ( )

dtdy⋅⋅=ϕ

b

bcos

( )dAdA x=ϕsin ( )

dA

dA y=ϕcos

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Naprężenia na ścianie ukośnej można rozłożyć na kierunki osi x i yNaprężenia na ścianie ukośnej można rozłożyć na kierunki osi x i y

tak jak jest to pokazane na rysunku z prawej strony zgodnietak jak jest to pokazane na rysunku z prawej strony zgodnie

z następującymi zależności:z następującymi zależności:

( )ϕ

ϕ

σσ

=ϕ ysin ( )ϕ

ϕ

σσ

=ϕ xcosϕ ϕ

( )ϕ

ϕ

ττ

=ϕ xsin ( )ϕ

ϕ

ττ

=ϕ ycosorazoraz

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Suma rzutów składowych sił na kierunek osi x:Suma rzutów składowych sił na kierunek osi x:

dt=BC( )ϕ==⋅ cosdAdAdy yb

0=σ⋅⋅+τ⋅⋅−τ⋅⋅−σ⋅⋅− ϕϕ xxyxxx bbbb dtdtdxdy

( )ϕ==⋅ sindAdAdx xbdAdt =⋅b

Po uwzględnieniu powyższych Po uwzględnieniu powyższych zależności mamy:zależności mamy:

( )ϕ==⋅ sindAdAdx xb

( ) ( )0

sincos

=σ⋅+τ⋅−

+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ−

ϕϕ xx

yxxx

dAdA

dAdA

( ) ( ) 0sincos =σ+τ−τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ xxyxxx

Ostatecznie:Ostatecznie:

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Suma rzutów składowych sił na kierunek osi y:Suma rzutów składowych sił na kierunek osi y:

dt=BC( )ϕ==⋅ cosdAdAdy yb

0=σ⋅⋅+τ⋅⋅+τ⋅⋅−σ⋅⋅− ϕϕ yyxyyy bbbb dtdtdydx

( )ϕ==⋅ sindAdAdx xbdAdt =⋅b

Po uwzględnieniu powyższych Po uwzględnieniu powyższych zależności mamy:zależności mamy:

( )ϕ==⋅ sindAdAdx xb

( ) ( )0

cossin

=σ⋅+τ⋅+

+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ−

ϕϕ yy

xyyy

dAdA

dAdA

( ) ( ) 0cossin =σ+τ+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ yyxyyy

Ostatecznie:Ostatecznie:

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Zestawienie równań równowagi: Zestawienie równań równowagi:

Składowe naprężeń są równe:Składowe naprężeń są równe:

( ) ( ) 0cossin =σ+τ+τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ yyxyyy

( ) ( ) 0sincos =σ+τ−τ⋅ϕ−σ⋅ϕ− ϕϕ xxyxxx

Składowe naprężeń są równe:Składowe naprężeń są równe:

( )ϕσ=σ ϕϕ siny( )ϕσ=σ ϕϕ cosx

( )ϕτ=τ ϕϕ sinx( )ϕτ=τ ϕϕ cosy

Zestawienie równań równowagi: Zestawienie równań równowagi:

( ) ( ) ( ) ( ) 0sincoscossin =ϕσ+ϕτ+ϕτ−ϕσ− ϕϕxyyy

( ) ( ) ( ) ( ) 0cossinsincos =ϕσ+ϕτ−ϕτ−ϕσ− ϕϕxyxx

yxxy τ=τ

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Zestawienie równań równowagi: Zestawienie równań równowagi:

( ) ( ) ( ) ( ) 0sincoscossin =ϕσ+ϕτ+ϕτ−ϕσ− ϕϕxyyy

( ) ( ) ( ) ( ) 0cossinsincos =ϕσ+ϕτ−ϕτ−ϕσ− ϕϕxyxx

Z powyższego układu równań wyznaczamyZ powyższego układu równań wyznaczamy

σσϕϕ i i ττϕϕ, które są równe: , które są równe:

( ) ( ) ( ) ( )ϕϕτ+ϕσ+ϕσ=σϕ cossin2sincos 22xyyyxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ−ϕτ−ϕϕσ−σ=τϕ22 cossinsincos xyxxyy

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o ϕϕ są są

równe: równe:

( ) ( ) ( ) ( )ϕϕτ+ϕσ+ϕσ=σϕ cossin2sincos 22xyyyxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ−ϕτ−ϕϕσ−σ=τϕ22 cossinsincos xyxxyy( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ϕ−ϕτ−ϕϕσ−σ=τϕ cossinsincos xyxxyy

( ) ( )2

2cos1sin 2 ϕ−=ϕ

Podstawiając do powyższych równań zależności: Podstawiając do powyższych równań zależności:

otrzymamy: otrzymamy:

( ) ( )2

2cos1cos2 ϕ+=ϕ

( ) ( ) ( )ϕ=ϕϕ 2sincossin2

( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ

+σ+σ

=σϕ 2sin2cos22 xy

yyxxyyxx

( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ

=τϕ 2cos2sin2 xy

xxyy

( ) ( ) ( )ϕ−ϕ=ϕ 22 sincos2cos

Transformacja naprężeń Transformacja naprężeń pomiędzy układami obróconymi pomiędzy układami obróconymi

Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o Naprężenia w układzie współrzędnych obróconym o ϕϕ są są

równe: równe:

( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ

+σ+σ

=σϕ 2sin2cos22 xy

yyxxyyxxn

( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ

=τϕ 2cos2sin2 xy

xxyy

( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ

+σ+σ

=σϕ 2sin2cos22 xy

yyxxyyxxt

Naprężenia i kierunki główne naprężeńNaprężenia i kierunki główne naprężeń

Naprężenia główne są naprężenia, które przyjmują wartości Naprężenia główne są naprężenia, które przyjmują wartości ekstremalneekstremalne..

Ekstremum występuje wtedy, gdy pochodna względem zmiennej funkcji Ekstremum występuje wtedy, gdy pochodna względem zmiennej funkcji (w tym przypadku względem kąta (w tym przypadku względem kąta ϕϕ) jest równa zero. Pochodna ) jest równa zero. Pochodna σσϕϕwzględem względem ϕϕ opisana jest wzorem:opisana jest wzorem:

Kąt pomiędzy osiami dowolnego układu współrzędnych i kierunkami Kąt pomiędzy osiami dowolnego układu współrzędnych i kierunkami głównymi czyli pomiędzy x i n: głównymi czyli pomiędzy x i n:

względem względem ϕϕ opisana jest wzorem:opisana jest wzorem:

( ) ( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ−=ϕσϕ 2cos22sin xyyyxxd

d

0=ϕσ

ϕ=ϕ

ϕ

od

d ( ) ( ) ( )oxyoyyxx ϕτ+ϕσ−σ−= 2cos22sin0

( )yyxx

xyo σ−σ

τ=ϕ

22tan

Naprężenia i kierunki główne naprężeńNaprężenia i kierunki główne naprężeń

Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:

( ) ( )oxyoyyxxyyxx

n ϕτ+ϕσ−σ

+σ+σ

=σϕ 2sin2cos22

a kąt a kąt ϕϕoo musi spełnić równanie: musi spełnić równanie:

( )yyxx

xyo σ−σ

τ=ϕ

22tan

( ) ( )oxyoxxyy ϕτ−ϕ

σ−σ=τϕ 2cos2sin

2

( ) ( )oxyoyyxxyyxx

t ϕτ−ϕσ−σ

+σ+σ

=σϕ 2sin2cos22

Naprężenia i kierunki główne naprężeńNaprężenia i kierunki główne naprężeń

Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:Naprężenia w układzie z kierunkami głównymi są równe:

2

2

22 xyyyxxyyxx

n τ+

σ−σ+

σ+σ=σϕ

Naprężenia normalne wzdłuż kierunków głównych przyjmują wartości Naprężenia normalne wzdłuż kierunków głównych przyjmują wartości ekstremalne, a naprężenia styczne są równe zero.ekstremalne, a naprężenia styczne są równe zero.

0=τϕ

2

2

22 xyyyxxyyxx

t τ+

σ−σ−

σ+σ=σϕ

Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń

Naprężenia główne można wyznaczyć na podstawie koła Mohra, które Naprężenia główne można wyznaczyć na podstawie koła Mohra, które wyznaczamy za pomocą dwóch punktów A i B. Punkty A i B umieszczamy wyznaczamy za pomocą dwóch punktów A i B. Punkty A i B umieszczamy

w układzie współrzędnych o osiach w układzie współrzędnych o osiach σσ i i ττ. Punkty te mają następujące . Punkty te mają następujące

współrzędne A(współrzędne A(σσyyyy, , ττxyxy) i B) i B((σσxxxx, , --ττxyxy).).

Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń

Naprężenia względem dowolnych osi na podstawie koła Mohra są Naprężenia względem dowolnych osi na podstawie koła Mohra są opisane za pomocą współrzędnych dwóch punktów A’ i B’, które są opisane za pomocą współrzędnych dwóch punktów A’ i B’, które są

punktami przecięcia koła Mohra oraz średnicy obróconej o kat 2punktami przecięcia koła Mohra oraz średnicy obróconej o kat 2ϕϕ, gdzie , gdzie ϕϕ jest katem pomiędzy osiami układów współrzędnych.jest katem pomiędzy osiami układów współrzędnych.

Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń

Wzór na naprężenia główne:Wzór na naprężenia główne: 2

2

22 xyyyxxyyxx

minmax τ+

σ−σ±

σ+σ=σ

Długości odcinków na rysunku:Długości odcinków na rysunku:

yyxxODσ+σ

=2

yyxxODσ+σ

=

yyxxAC σ−σ=

xyBC τ= 2

( ) ( ) ( )222BCACAB +=

( ) ( )22 2 xyyyxxAB τ+σ−σ=

EDODOEmin −==σ

EDODOFmax +==σ

Koło Mohra dla naprężeńKoło Mohra dla naprężeń

Wzór na naprężenia główne na podstawie Koła Mohra:Wzór na naprężenia główne na podstawie Koła Mohra:

2

ABED =

EDODminmax ±=σ

( ) ( )22 2 xyyyxxAB τ+σ−σ=2

ED =

2yyxxOD

σ+σ=

2

2

22 xyyyxxyyxx

minmax τ+

σ−σ±

σ+σ=σ

( ) ( )22 22

1

2 xyyyxxyyxx

minmax τ+σ−σ±

σ+σ=σ

Analogia pomiędzy momentami Analogia pomiędzy momentami bezwładności i naprężeniamibezwładności i naprężeniami

Wzory transformacji pomiędzy dowolnymi układami obróconymi o kąt Wzory transformacji pomiędzy dowolnymi układami obróconymi o kąt ϕϕ: :

( ) ( )ϕ+ϕ−

++

= ξηηξηξ

ϕ 2sin2cos22

JJJJJ

J x

( ) ( )ϕ−ϕ−

++

= ηξηξ 2sin2cos JJJJJ

J

momenty momenty bezwładności bezwładności

( ) ( )ϕτ+ϕσ−σ

+σ+σ

=σϕ 2sin2cos22 xy

yyxxyyxxn

( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ

=τϕ 2cos2sin2 xy

xxyy

( ) ( )ϕ−ϕ+= ξηηξηξ

ϕ 2sin2cos22

JJ y

( ) ( )ϕ−ϕ−

= ξηξη

ϕ 2cos2sin2

JJJ

J xy

( ) ( )ϕτ−ϕσ−σ

+σ+σ

=σϕ 2sin2cos22 xy

yyxxyyxxt

bezwładności bezwładności

naprężenianaprężenia

Analogia pomiędzy momentami Analogia pomiędzy momentami bezwładności i naprężeniamibezwładności i naprężeniami

Położenie osi głównych oraz wartości ekstremalne wartości głównych Położenie osi głównych oraz wartości ekstremalne wartości głównych ϕϕ: :

momenty momenty bezwładności bezwładności

maxmin

2

2

2 2

I I I II Iξ η ξ η

ξη

+ − = ± +

0=Jmomenty momenty bezwładności bezwładności

( )yyxx

xyo σ−σ

τ=ϕ

22tan

bezwładności bezwładności

naprężenianaprężenia

( )ηξ

ξη

−=ϕ

JJ

Jo

22tan

2

2

22 xyyyxxyyxx

minmax τ+

σ−σ±

σ+σ=σ

0=τϕ

0=ϕxyJ bezwładności bezwładności względem osi są względem osi są zawsze dodatnie zawsze dodatnie

naprężenia mogą naprężenia mogą przyjmować przyjmować wartości ujemne wartości ujemne

Przykład Przykład –– wyznaczyć naprężenia i kierunki wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeńgłówne naprężeń

Dane:Dane:

σσxxxx==35.02035.020kPakPa

σσyyyy==--0.6950.695kPakPaσσyyyy==--0.6950.695kPakPa

ττxyxy==ττyxyx==199.73199.73kPakPa

( )yyxx

xyo σ−σ

τ=ϕ

22tan

2

2

22 xyyyxxyyxx

minmax τ+

σ−σ±

σ+σ=σ

Naprężenia główne:Naprężenia główne:

Wzór na wyznaczenie Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:kierunków głównych:

Przykład Przykład –– wyznaczyć naprężenia i kierunki wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeńgłówne naprężeń

Dane:Dane:

σσxxxx==35.02035.020kPakPa

σσyyyy==--0.6950.695kPakPa

ττxyxy==ττyxyx==199.73199.73kPakPa

Naprężenia główne:Naprężenia główne:

( )yyxx

xyo σ−σ

τ=ϕ

22tan

( )22

73.1992

695.0020.35

2

695.0020.35kPa

kPakPakPakPa

minmax +

+±−=σ

2

2

22 xyyyxxyyxx

minmax τ+

σ−σ±

σ+σ=σ

( )kPakPa

kPao 695.0020.35

73.19922tan

+⋅=ϕ

Naprężenia główne:Naprężenia główne:

Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:

Przykład Przykład –– wyznaczyć naprężenia i kierunki wyznaczyć naprężenia i kierunki główne naprężeńgłówne naprężeń

( )22

73.1992

695.0020.35

2

695.0020.35kPa

kPakPakPakPa

minmax +

+±−=σ

kPakPaminmax 5267.2001625.17 ±=σ

Naprężenia główne:Naprężenia główne:

( ) 1847.11695.0020.35

73.19922tan =

+⋅=ϕ

kPakPa

kPao

min

kPamax 69.217=σkPamin 36.183−=σ

oo 89.842 =ϕ

oo 45.42=ϕ

Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:Wzór na wyznaczenie kierunków głównych:

0=τϕo

PrzykładPrzykładskładowe tensora naprężeń dla całej tarczyskładowe tensora naprężeń dla całej tarczy

Przykład Przykład naprężenia główne dla całej tarczynaprężenia główne dla całej tarczy

KoniecKoniec

2626

KoniecKoniec