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양양자자역역학학

그림 35.1 양자전산에 처음으로 쓰인 실험장치. 오른쪽 아래의 그림: 이 공정에서 쓰인 양자상태의퍼텐셜.

무엇을배우는가33335555....1111 파동함수

파동함수와확률운동량운동에너지

33335555....2222 슈뢰딩거방정식33335555....3333 무한퍼텐셜우물

입자의에너지보기문제35.1 상자속의전자

다차원우물33335555....4444 유한퍼텐셜우물

경우 1: 에너지가우물깊이보다큰경우경우 2: 에너지가우물깊이보다작은경우보기문제35.2 유한퍼텐셜우물보기문제35.3 속박상태

터널링보기문제35.4 중성자터널링

주사터널링현미경33335555....5555 조화진동자

고전조화진동자양자조화진동자

33335555....6666 파동함수와측정보기문제35.5 위치와에너지

진동자파동함수에대한불확정성원리33335555....7777 대응원리33335555....8888 시간의존슈뢰딩거방정식

고유함수와고윳값33335555....9999 다입자파동함수

두입자파동함수보기문제35.6 수소분자

다페르미온파동함수양자전산

33335555....11110000 반물질보기문제35.7 물질의쌍소멸

무엇을배웠는가/주요내용문제풀이능력키우기풀이문제35.1 반쪽진동자

객관식문제설명문제연습문제

원서37장

36장에서는광자, 물질파, 그리고불확정성원리와같은양자물리학의기본적인개념들을소개

했다. 이장에서는기본개념들을원자수준의입자동역학계산으로확대할것이다. 이들계산

에필연적인수학적세부사항보다는물리적개념에집중하겠다. 양자역학의개념으로고전물

리로는상상조차할수없는실용적인발견들이가능해졌다.

초기 현대물리학자들은 파동함수가 정확히 무엇인지, 왜 확률분포가 예측결과에 핵심적

인 역할을 하는지 등등에 고심했다. 예를 들어 덴마크의 물리학자 닐스 보어는“양자역학으로

충격을받지않았다면양자역학을이해한것이아니다.”라고말했다. 또한위대한미국의물리

학자 리처드 파인만은“나는 그 어느 누구도 양자역학을 이해하지 못한다고 장담할 수 있다.

그럴수만있다면‘도대체어떻게이럴수가있지?’라고자문하지마라.‘어떻게’는아무도모

른다.”라고썼다. 그럼에도불구하고 21세기인현재, 양자역학은물리학전체를통틀어가장정

확하면서도보편적인방법론으로확립되었다.

광파와음파를공부할때, 구면파와평면파를논의했다. 그것들은파동함수의구체적인예

들이다. 마찬가지로전자의파장이무엇인지, 그냥입자라고생각하는물질의파동함수가무엇

인지질문할수있다. 이질문은관례적으로양자역학이라고부르는양자세계의역학으로이어

져서입자의파동성을탐구하게된다. 실제로지난몇년간, 단순히양자계를이해하는것을넘

어, 양자전산(그림 35.1 참조)처럼 양자계를 조작하고 이용하려는 광범위한 시도들이 있었다.

이로부터나노과학과나노기술의혁명이싹트고있다.

지금까지 양자세계의 탐구에서 성취한 것들을 간단히 복습해 보자. 역시 빛으로 시작한다. 36

496 35장 양자역학

무엇을배우는가

� 입자는 복소수 파동함수로 기술된다. 파동함수 절댓값의

제곱은 입자를 한 위치에서 발견할 확률이며, 전체 구간

에서적분하면 1이된다.

� 슈뢰딩거방정식은퍼텐셜U(x)안에있는입자의비상

대론적파동방정식이다.

� 무한 퍼텐셜우물에 갇힌 입자의 파동함수는 사인함수이

다. 에너지는 양자수의 제곱에 비례한다. 유한 퍼텐셜우

물문제의파동함수는고전적으로금지된 역까지침투

할수있다.

� 만일입자가유한한높이와너비의퍼텐셜장벽을만나면

에너지가 장벽보다 낮은 경우에도 장벽을 터널링할 수

있다. 터널링 확률은 장벽의 너비에 지수함수적으로 의

존한다.

� 조화진동자 퍼텐셜의 해인 파동함수는 에르미트 다항식

이며, 대응하는 에너지 고윳값은 등간격이다. n�0인 조

화진동자파동함수는불확정성원리가허용하는위치-운

동량불확정도곱의최솟값을갖는다.

� 대응원리: 이웃한 에너지상태의 에너지차 �E가 총에너

지 E에 비해 매우 작으면 양자 해는 고전적 극한으로 접

근한다.

� 해 턴 연산자(또는 줄여서 해 토니안)는 총에너지 연

산자이다. 따라서 슈뢰딩거 방정식인 두 해의 선형결합

역시해가된다.

� 상호작용하지않는보손의두입자파동함수는단일입자

파동함수들 곱의 대칭함수이고, 상호작용하지 않는 페르

미온의두입자파동함수는반대칭함수이다.

35.1 파동함수

장에서 광전효과와 콤프턴 산란은 빛의 입자성으로만 설명할 수 있다는 것을 배웠다. 그러나

전자기파를 다룬 31장에서는 빛이 E�E최대 sin(�x��t)(여기서 �는 파동수, �는 각진동수이

다)로시공간에서진행하는전자기파라는것과파동의세기가전기장의제곱에비례한다는것

을 배웠다. 파동광학을 다룬 34장에서 두 광파의 간섭무늬 세기를 계산할 때 이 관계를 다시

사용했다. 시간과공간의진동은빛의파동함수로기술하므로빛의세기는의심할여지없이파

동함수의제곱에비례한다.

전자에대응하는파동함수는무엇일까?더일반적으로, 입자

의양자파동함수는무엇일까?

파동함수(wave function)는 일반적으로 �(r", t)로 표기한다.

파동함수가 공간좌표 r"과 시간좌표 t에 의존한다는 것을 나타내

기 위해서이다. 파동함수의 표기로는 그리스어 소문자 �(프시)

를 사용하는 것이 보편적이다. 파동함수의 표기로, 15장에서 파

동현상을 관찰할 때처럼 y(r", t)를 사용할 수도있었지만, 20세기

초 양자물리학의 개척자들은 기호 �(r", t)를 사용했고 현재의 표

준기호로 고착되었다. 또한 파동함수로 y를 사용하면 대개 좌표

와거리로사용하는 y와혼동될수도있다.

먼저 1차원파동함수 �(r, t)를살펴보자. 여태까지 1차원공

간에서 역학문제를 탐구하여 여러가지의 물리적 통찰을 얻을 수

있었다. 편의상 위치공간의 파동함수를 조사한 후에 시간의존성을 다룬다. 파동함수의 공간적

분포에만관심이있을때는 �(x)로표기한다.

36장에서다룬이중슬릿실험에서스크린에있는전자의파동함수 �(x)는무엇일까?광자

와 마찬가지로 파동함수는 식 36.25로 주어진 세기의 제곱에 비례한다. 그림 35.2a는 세기를

보여준다. 같은그림의 (b)와 (c)부분에는세기분포에대응하는가능한두파동함수가그려져

있다. 두 파동함수는 각각 서로를 �1배 한 것과 같다. 파동함수가 음과 양의 값을 가질 수 있

는반면에세기의최솟값은 0으로음수가아님에유의해라.

파동함수와확률

입자의 파동함수가 가지는 물리적 의미는 무엇일까?그림 35.3은 전자들이 스크린

에도달하는위치와이중슬릿간섭으로생긴세기분포의관계를보여준다.

명백히 작은 단위길이의 구간에 부딪친 개수(노란 막대그림)와 세기(푸른색

곡선)는 서로 비례한다. 전자의 총수로 나눈 각 구간의 개수는 전자가 해당구간에

도달하는확률이다. 극히작은구간을사용하고싶으므로구간의너비를 dx라하자.

그러면전자가 x와 x�dx 사이의구간에도달할확률은 I(x)dx에비례한다. 결국세

기가파동함수의제곱에비례하므로, 전자가 x와 x�dx 사이에도달할확률 �(x)를다음과같

이표기할수있다.

(35.1)

이 식에서 |�(x)|2은 위치 x에서 전자를 발견할 확률 도이다. 확률은 0과 1사이의 무차원 수

이다. dx가길이의차원이므로결국확률 도는물리적으로길이차원의역수이다.

35.1 파동함수 497

그림 35.2 (a)전자의 이중슬릿 실험에서 스크린에 도달한 전자의 세기분포. (b, c) 세기분포에 대응하는 가능한두파동함수.

그림 35.3 전자의이중슬릿실험에서스크린에 도달한 전자의 세기분포. 노란색 막대그림: 스크린의 작은 단위길이의구간에부딪친전자들의수.

왜단순한파동함수의제곱대신에파동함수절댓값의제곱으로표기할까?파동함수의진

폭이복소수이므로진폭의절댓값만이양수를보장하기때문이다.

전자가반드시공간어딘가에는있기때문에공간의어떤위치에서나특정전자를발견할

확률은반드시 1이어야한다. 이에따라파동함수에대한다음의규격화조건을얻는다.

(35.2)

여기서 �(x)*는 �(x)의복소켤레이다. 규격화조건으로파동함수의진폭을결정할수있다. 위

식은파동의절댓값을모든공간에대해서적분하면 1이라는뜻이다. 만일공간전부를살펴보

면전자를발견할확률의합이 1이기때문이다.

복소수(복소수에대한수학적기초는부록 A를참조해라)를사용하면, 자유롭게운동하는

전자 파동함수의 공간의존성을 편리하게 표기할 수 있다. 입자가 자유롭게 운동하기 때문에,

파동함수는 반드시 진행파동이어야 한다. 즉 파동함수가 전자기파처럼 사인모양일 것으로 예

상할수있다. 물론파동함수는시간과공간에의존한다. 시간의존성은후에다루기로하고, 지

금은 t�0으로 놓고 x좌표 의존성에만 집중하기로 하자. 입자의 파동함수는 다음과 같이 사인

과코사인진동의선형결합으로표기한다.

여기서 파동수는 ��2�/�이며, �는 36장에서 소개한 드브로이 파장이다. 복소수를 사용하면

같은파동함수를다음과같이표기할수있다.

(35.3)

일반적으로 계수 C와 D는 A, B와 마찬가지로 복소수이다. 계수 A와 B는 전체 파동함수가 식

35.2에따라규격화된다는가정하에, 특정물리적상황에적합하도록선택할수있다.

왜 복소수로 표기하면 더 편리할까?이 질문에 대한 답은 파동함수에 대응하는 운동량에

관한설명에서알수있다.

운동량

파동함수가식 35.3인자유롭게운동하는전자를가정하자. 일단 B�0으로놓아간단히계산한

다음에 B항의중요성을생각해보자. 따라서파동함수는다음과같다.

(35.4)

이파동함수와연관된운동량은무엇일까?드브로이관계식 ��h/p에의하면, 파동수는

이며, ��h/2� 를이용한다. 따라서운동량을다음과같이얻는다.

(35.5)


확인문제35.1

복소수에 대한 오일러의 공식을 사용하

여, �(x)에 대한 두 표현이 서로 동일하

고, 진폭 사이에 A�B�C와 i(A�

B)�D의관계에있음을보여라.

파동함수에 어떤 연산을 적용하면 파동함수와 운동량의 곱을 구할 수 있을까?아래의 가설풀

이식을시도해보자.

(35.6)

여기서파동함수에적용하면운동량과파동함수의곱이나오는운동량연산자(operator)를

로표기한다. �(x)�Aei�x를 x에대해미분한결과가파동함수에 i�를곱한것과같으므로이런

방식으로운동량연산자를표기하는것이다. 그러나운동량연산자는식 35.4에만적용되는것

이아니라모든파동함수에적용될수있는일반적인연산자이다.

파동함수를미분하면다음과같이식 35.6이적합하다는것을확인할수있다.

결국 운동량 연산자를 파동함수 �(x)�Aei�x에 적용하면 운동량 p��가 파동함수에 곱해진

결과를 얻는다. 이때 식 35.4를 운동량이 p��인 자유전자의 파동함수로 해석할 수 있다. 반

면에 �(x)�Be�i�x는 음의 x방향을 따라 움직이는 운동량이 �p인 자유전자의 파동함수이다.

따라서 보다 일반적인 파동함수인 식 35.3은 왼쪽으로 진행하는 파동과 오른쪽으로 진행하는

파동의중첩을기술한다.

운동에너지

운동량연산자를입자의양자파동함수에적용하면입자의운동량을구할수있었다. 파동함수

에적용하여대응되는고전적물리량을구할수있는다른연산자는없을까?있다. 고전적물리

량중하나가입자의운동에너지이다. 고전적으로운동에너지는 K�p2/2m로표기하며, 식 35.6

의개념을토대로운동에너지연산자를다음과같이표기할수있다.

(35.7)

이식은운동에너지연산자를정의하는식으로이해할수있다. 운동량이 p��인자유입자의

파동함수 �(x)�Aei�x에운동에너지연산자가적용되면어떻게될까?다음을얻는다.

실제로운동에너지연산자가자유입자의파동함수에적용되면운동에너지가나온다. 파동함수

�(x)�Be�i�x의경우에도 (��)2��2이기때문에같은결과를얻는다. 따라서파동수 �를갖고

오른쪽으로 움직이는 파동과 왼쪽으로 움직이는 파동이 중첩된 파동함수에 운동에너지 연산

자를적용하면다음결과가나온다.

(35.8)

35.1 파동함수 499

전자들이파동함수로기술될수있다면, 파동함수의시간과공간에대한의존성을기술하는운

동방정식은 무엇일까?올바른 운동방정식이라면 앞에서 논의한 결과들과 부합하는 해를 제공

할것이다. 특히운동방정식의해는 36장에서논의한드브로이파장을가져야하며, 해의절댓

값제곱은이중슬릿산란실험의결과를재현해야한다. 오스트리아의물리학자에르빈슈뢰딩

거가 1925년에이와같은방정식을발견했고, 지금까지그의이름으로불리고있다. 이방정식

은 모든 비상대론적 양자역학의 근간이 된다.‘비상대론적’이란, 광속에 비해 물체의 속력이

작아서물체의운동에너지를 p2/2m으로표기할수있는모든물리적인경우를일컫는다. 아래

의논의는슈뢰딩거방정식을전자에적용하지만, 슈뢰딩거방정식은관습적으로입자로생각

하던모든물체에대해서도성립한다.

지금은 1차원에서 정지상태의 해, 즉 시간과 무관한 경우만 다루기로 하자. 이 경우 슈뢰

딩거방정식(Schrödinger equation)은다음과같이표기한다.

(35.9)

이식에서U(x)는위치에대해달라지는퍼텐셜에너지이며, E는파동의총에너지이다. 이식의

첫 항을 운동에너지 연산자로 소개했으므로 슈뢰딩거 방정식을 파동함수에 대한 에너지 보존

법칙의표현으로다음과같이생각할수있다.

만일 퍼텐셜에너지가 어디에서나 0이라면, 총에너지는 운동에너지와 같다. 이 경우에 대한 해

는 이미 알고 있다. 슈뢰딩거 방정식이 간단히 식 35.8로 압축되기 때문이다. 따라서 퍼텐셜에

너지가없는상태에서슈뢰딩거방정식에대한해는 �(x)�Aei�x�Be�i�x이다.

매우 큰 퍼텐셜에너지에 대한 해는 무엇일까?물리학자들은 간단한 해를 얻기 위해 무한

퍼텐셜에너지의 극한을 즐겨 사용한다. 공간에서 퍼텐셜에너지가 무한히 크면 슈뢰딩거 방정

식은 그 공간에서 에너지 E가 무한이거나 파동함수가 0일 것을 요구한다. 무한 에너지는 비물

리적인 경우로 관심이 없으므로, 파동함수는 0이어야 한다. 즉 퍼텐셜에너지가 무한인 역에

서는물리적으로입자가존재할수없다. 이러한 역을금지 역이라고부른다.

퍼텐셜에너지가 없거나 무한대인 극한에서 출발하여 좀 더 복잡한 퍼텐셜에너지에 대한

파동함수의해를구성할수있다. 파동함수의해를찾기위해다음을염두에두어야한다.

� 파동함수는 반드시 연속이어야 한다(즉 파동함수는 미분이 정의되지 않는 지점을 생성

하는어떤‘도약’도하지말아야한다).

� 무한퍼텐셜에너지인 역에서파동함수는반드시 0이어야한다.

� 파동함수는규격화되어야한다(즉식 35.2를만족해야한다).

퍼텐셜에너지 분포에 대한 첫 번째 예는 무한 퍼텐셜우물(infinite potential well)이다. 수학적


35.2 슈뢰딩거방정식

35.3 무한퍼텐셜우물

으로가장간단하면서도흥미로운물리적상황에대한통찰을제공한다. 무한퍼텐셜우물의퍼

텐셜에너지는공간좌표 x에대한함수로다음과같이정의한다.

(35.10)

이 경우에 구간 0과 a밖에서 파동함수의 값은 0이다(그림 35.4참조). 구간 내 파동함수는 식

35.3인 �(x)�Aei�x�Be�i�x이다. 위에서 언급했듯이, 이 해는 수학적으로 �(x)�C cos(�x)�D

sin(�x)와같다. 이경우는 �(0)�0이므로파동함수를사인함수로표기하는것이유리하다. 파

동함수에 x�0을대입하면다음을얻는다.

따라서 C는 0이되어, 구간 0과 a사이의해는 �(x)�Dsin(�x)이다. 왼쪽진행파 �(x)�Be�i�x

와오른쪽진행파 �(x)�Aei�x가중첩하여형성된정상파이므로무한히높은퍼텐셜장벽에갇

힌파동의해로서물리적이치에합당하다.

위의결과에따라예비파동함수를다음과같이표기해두자.

파동함수는경계에서반드시연속이어야하므로구간 0과 a사이의해에제한이따른다. 이경

우에는경계에서 0인해들만가능하다. x�0에서사인함수가 0이기때문에자동적으로만족된

다. 그러나 x�a에서경계조건은다음과같다.

위식이만족되려면모든파장 ��2�/�이아니라다음의파장들만가능하다.

왜냐하면사인함수는변수가 �의정수일때만 0의값을갖기때문이다. (엄 히말하자면 n�0

도허용되지만, a의모든유한한값에서비물리적인무한파장에해당하므로버린다. 음의 n또

한 허용되지만, sin(�x)��sin(x)이기 때문에, 이미 양의 정수들로 구한 해 이상의 새로운 해

를주지못한다.)따라서무한퍼텐셜우물에서가능한파장은다음과같다.

(35.11)

결국무한퍼텐셜우물의문제에대한슈뢰딩거방정식에서가능한해로다음을얻는다.

35.3 무한 퍼텐셜우물 501

그림 35.4 무한 퍼텐셜우물. 퍼텐셜에너지가유한한 역은푸른색으로칠해져있다.

문제를 거의 다 풀었지만 아직 파동함수의 진폭 D를 정하지 않았다. 진폭은 식 35.2의 규격화

조건을사용하여다음과같이구한다.

즉 |D|2�2/a이다. 임의의복소수 z는 z�rei�로표기할수있으며, |z|�r이고, �는위상각이다. D

의 크기가 '∂2/a이므로 일반적으로는 D�'∂2/a ei�로 표기해야 하지만 간단히 위상각을 0으로

잡는다. 따라서무한퍼텐셜우물에갇혀있는입자의파동함수는다음과같다.

(35.12)

위의해에서 n의값은무한우물속에갇혀있는입자가가질수있는가능한파동함수들을구

별한다. 즉파동함수는주양자수(principal quantumnumber) n으로분류한다. 예를들어 �1(x)

는 양자수 1에 대한 해이며, 나머지도 마찬가지다. 그림 35.5a는 가장 낮은 4개의 양자수에 대

한해를보여준다.

주어진 위치에서 입자를 발견할 확률은 파동함수 절댓값의 제곱에 비례한다는 것을 배웠

다. 이에 따라 그림 35.5b는 파동함수의 절댓값들을 보여 준다. 이 곡선들은 어디에서 입자를

발견할가능성이높은가를보여준다.

간단한정수, 즉양자수의출현은양자역학적계의전형적인특성이다. 파동함수의경계조

건에서해들이양자화된형태로존재하도록강요된것이다. 원자, 원자핵, 그리고 38~39장의기

본입자에대한논의를통해다양한상황에서더많은양자수들이있다는것을알게될것이다.

15장의줄에생긴진동에대한해는무한퍼텐셜우물안의입자에대한해와상당히비슷

하다. 줄의양쪽끝이고정되어있기때문에파동함수의마디는양끝에생긴다는조건에서기

본진동과 조화진동(기본진동수의 정수배 진동)만 허용된다. 구간 [0,a]밖의 무한 퍼텐셜은 퍼

텐셜우물가에 파동함수를 붙들어 매는 것과 같은 효과를 준다. 따라서 고전적인 줄의 진동과

무한퍼텐셜우물의양자입자에대한정지파해는수학적으로동일하다.

마지막으로방금논의한경우에서양자확률분포와고전확률분포를비교해보자. 고전적

인경우에입자는 0과 a사이에갇힌채로일정한속력 v�'∂∂2E∂/m으로움직인다.

공간의 한 점에서 입자를 발견할 확률은 점 x근처의 구간 dx에서 입자가 보내는 시간 dt

에 비례한다. 그리고 시간간격 dt는 이 점의 속도 v(x)에 반비례한다. 즉 dt�dx/v(x)이다. 따라

서구간 x와 x�dx사이에서입자를발견할고전적인확률은다음과같다.


(35.13)

만일 v가위치에무관하다면, 입자를발견할고전확률은위치의함수로서상수이어야한다. 그

림 35.6이고전확률분포를보여준다.

이 결과를 그림 35.5b의 양자역학적 확률분포와 비교하면 뚜렷한 차이를 발견할 수 있다.

양자확률분포는 0과최댓값 2/a사이에서변하는반면에고전확률분포는평균값 1/a이다. 고

전확률분포와양자확률분포사이의관계는나중에더자세히설명하겠다.

입자의에너지

슈뢰딩거방정식 35.9는입자의총에너지에의존한다. 무한퍼텐셜우물안의입자에대한완전

한 파동함수 해를 구했으므로, 이번에는 해에 대응하는 총에너지를 구해 보자. x�0과 x�a구

간밖에서파동함수는 0이므로, 대응하는입자가그곳에있을확률은 0이다. 따라서바깥 역

은에너지에기여하지않는다. 0과 a사이의구간에서는퍼텐셜에너지가없으므로총에너지는

입자의운동에너지와같다. 다음의식 35.7은운동에너지를어떻게계산해야할지알려준다.

그러나양자수 n에따라운동에너지가다를것으로예상되므로총에너지도다를것이다. 양자

수 n에대응하는총에너지를 En으로표기하자. 이제무한퍼텐셜우물안의입자에대해서


그림 35.5 (a)무한퍼텐셜우물의가장낮은네양자수에대응하는파동함수들. (b)각각의 파동함수에대해우물안임의의위치에서입자를발견할확률.

그림 35.6 무한 퍼텐셜우물에 갇혀있는 입자를 특정 위치에서 발견할 고전확률분포.

이다. 결국양자수 n에대응하는총에너지 En은다음과같이 n의제곱에비례한다.

(35.14)

또한에너지는퍼텐셜우물의너비 a의제곱과입자의질량m에각각반비례한다. 이들에너지

를에너지-위치도표에서일직선으로나타낼수있다. 이렇게나타낸그림 35.7같은도표를에

너지준위도표(energy-level diagram)라고부른다. 한편이들상태에대한에너지는퍼텐셜우물

의 (무한)높이보다낮기때문에, 이에해당하는상태를속박상태(bound states)라고한다. 무한

퍼텐셜우물에는무한히많은속박상태들이있다.

무한 퍼텐셜우물에 대한 해는 때때로‘단단한 상자 속의 입자’라고 한다. 원자에 속박된

전자나원자핵에속박된양성자에대한단순한모형으로적합하다.

문제

너비 2.00 Å � 2.00�10�10 m인상자안에갇힌전자에서가장낮은양자수를갖는파동함

수의운동에너지는얼마인가?

답

전자의질량은m�9.109�10�31 kg이다. 답은 n�1인다음과같다.

이값을전자볼트단위로다음과같이표기할수도있다.

논의

38장에서보겠지만원자의지름은대략 10�10 m이다. 결국원자내전자의전형적인에너


그림 35.7 무한퍼텐셜우물에서가장작은 네 에너지준위. 준위의 색깔은 그림 35.5의파동함수에대응한다.

상자속의전자보기문제 35.1

퀴즈문제35.1

퍼텐셜우물의너비를원래값의

반으로줄이면, n�3인파동함수의

에너지는어떻게되는가?

a) 똑같이유지된다.

b) 1/2로줄어든다.

c) 1/4로줄어든다.

d) 2배로늘어난다.

e) 4배로늘어난다.

지가 10 eV 정도라는 것을 알 수 있다. 실제 원자들은 무한 퍼텐셜상자 모형보다는 훨씬

복잡하지만, 이런방식으로물리문제에관련된에너지척도를추론하는것은교육적의미

가크다.

원자핵의 대략적인 크기인 10�15~10�14 m 너비의 상자 속에 있는 양성자(전자보다

질량이 약 2000배 크다)에 같은 방식으로 계산하면 에너지는 5�107 eV부터 5�106 eV까지

로 답이 나온다. 따라서 일반적인 핵의 에너지 척도가 5~50 MeV정도라고 결론 내릴 수

있다. 첫시도로서는대단히정확한추론이다.

다차원우물

1차원 무한 퍼텐셜우물의 아이디어는 입자가 xy평면에 갇혀 있는 2차원 우물로 확장될 수 있

으며, 더 나아가 직육면체 3차원 공간까지도 확장이 가능하다. 이 경우에 대한 완전한 해를 수

학적으로구하지않고일반적인특징들만강조하겠다.

첫째, 계산이 1차원에서 2차원으로확장되면무엇이달라질까?퍼텐셜에너지는이제 x와 y

두변수의함수이므로 U(x,y)로표시한다. 파동함수또한두변수의함수인 �(x,y)로표기해야

한다. 고전적운동에너지는다음과같이표기한다.

1차원문제의유도과정과비슷하게(식 35.6참조),운동량연산자의 x와 y성분을

로표기할수있다. 1차원문제와비교하여유일한차이는편미분으로표기한것뿐이다. (한변

수에 대한 편미분은 다른 변수들을 상수로 취급한다.)따라서 양자 파동함수에 대한 운동에너

지연산자는다음과같다.

결국 2차원슈뢰딩거방정식은다음과같이된다.

여기서 더 나아가기 위해, 퍼텐셜에너지의 형태를 구체적으로 명시할 필요가 있다. 만약 퍼텐

셜에너지를 x에만 의존하는 함수와 y에만 의존하는 함수의 합, 즉 U(x,y)�U1(x)�U2(y)로 나

타낼수있다면문제는변수분리가가능해져서, 파동함수를 �(x,y)��1(x)��2(y)처럼단일변수

함수의곱으로얻을수있다.

더욱이다음과같이단순한 2차원직사각형무한퍼텐셜우물인경우에는


확인문제35.2

만일 식 35.10의 퍼텐셜에너지 함수를

(0,a)구간밖에서도여전히무한이지만,

구간 내에서 c � 0인 상수로 대체한다

면, 무한 퍼텐셜우물의 문제에서 파동함

수와에너지는어떻게변하는가?

식 35.12에서구한 x와 y방향에대한파동함수의곱으로다음과같은파동함수를얻는다.

(35.15)

그림 35.8은가장작은양자수 nx와 ny에대한파동함수의모양을보여준다.

2차원 파동함수는 식 35.14의 1차원 양자수 n에 대응하는 에너지 값에 대한 해를 구했던

방식으로다음과같이구할수있다.

(35.16)

만약 a�b라면(정사각형)같은 에너지 값을 주는 여러 경우가 있을 수 있다. 예를 들어 양자수


그림 35.8 2차원 직사각형 퍼텐셜우물 안에서 가장 작은 양자수들을 갖는파동함수들.

(nx�1, ny�2)과 (nx�2, ny�1)의에너지는같다. 이것을‘겹침’이라고한다.

만약 퍼텐셜우물이 직사각형이 아니라면, 해는 간단한 형태로 표기할 수 없다. 그러나 많

은경우에는수치적으로풀이할수있다. 실험적으로, 매우높은(하지만무한대는아닌)전자에

대한 2차원 퍼텐셜우물은 여러 원자들을 평평한 바닥에 울타리 모양으로 나열하여 구현할 수

있다. 그림 35.9는 한 예를 보여 준다. 여기서 색깔 코드(큰 그림)나 잔물결(흑백 그림)은 평평

한 구리 표면에 배열되어 있는 각각 다른 모양의 철 원자로 구성된 울타리 안에 있는 전자의

확률분포를 나타낸다. 먼저 원자들을 위 그림과 같이 배열하여 실험적 상을 만들기 위해서

사용한기구는주사터널링현미경이라고부르며, 이장의뒤편에서자세하게설명하겠다.

1차원의경우로돌아가서무한퍼텐셜우물보다약간더복잡한문제를풀어보자. 우물의벽이

무한히높지않은, 다시말해유한한높이를갖는퍼텐셜우물에대한해를구해보자.

유한 퍼텐셜우물(finite potential well)의 형태는 그림 35.10에 나타나 있다. 다음과 같이

퍼텐셜에너지U(x)는구간 0부터 a까지는 0이며, x < 0에서는무한대이고, x > a에서는유한한

상수U1 > 0이다.

무한 퍼텐셜의 경우와 마찬가지로, 세 역에 대해 개별적으로 해를 구한 다음에 경계에서 서

로연결하여전체해를만든다. x < 0에대한해는이전과마찬가지로 0이며, 0부터 a까지의구

간에서 파동함수는 여전히 �(x)�C cos(�x)�D sin(�x)이다. 그리고 연속 파동함수이려면

�(0)�0이므로, 계수C가 0이고, 결국구간 0과 a사이에서 �(x)�Dsin(�x)이다.

하지만 x > a인경우에는새로운효과들이등장한다. 이 역에서슈뢰딩거방정식은

이고, 재정리하여다음과같이표기한다.

35.4 유한 퍼텐셜우물 507

그림 35.9 구리 표면 위에 철 원자를배열하여 만든 2차원 직사각형 울타리.울타리 안의 색깔은 전자파동의 확률도를 나타낸다. 삽입된 흑백 그림은 다른형태의 울타리들을 보여 주며, 잔물결들은 전자파동의 확률 도를 뜻한다. 이러한 배열들은 주사터널링현미경으로 만들었다.

확인문제35.3

같은방식으로3차원직육면체무한퍼텐

셜우물에대한파동함수와에너지를구할

수있는가?

그림35.10 유한퍼텐셜우물.

35.4 유한퍼텐셜우물

(35.17)

이식의형태를살펴보면파동함수를두번미분한값은상수 2m(U1�E)/�2가곱해진파

동함수 자체와 같다. 아직 에너지 E가 어떤 값을 가질 것인지는 알 수 없지만, 앞의 경험에 따

라다음과같이두경우로구분할수있다.

경우1: 에너지가우물깊이보다큰경우

E> U1이면 2m(U1�E)/�2 < 0이다. 0부터 a까지우물내구간에서는U1�0이므로무한퍼텐셜

우물과 똑같은 해를 얻는다. x > a에서도 마찬가지로 진동하는 해를 얻는다. 그러나 파장이 다

르므로파동수가달라서다음과같이표기한다.

(x > a와 E> U1인경우).

파동수 �과 �는어떻게연관될까?구간 [0,a]에서는퍼텐셜에너지가없고, 총에너지는운동에

너지 자체이므로 E��2�2/2m이다. x > a와 E > U1인 경우에 운동에너지는 단순히 E�U1이므

로 E-U1��2�2/2m이다. 따라서파동수 �은다음과같다.

(35.18)

파동수는 �< �이므로U(x)�U1 > 0인 역에서공간진동의파장은U(x)�0인 역에서

보다더크다.

총에너지가퍼텐셜우물의높이보다더큰경우(E > U1)에파동함수는다음과같다.

어떻게 완전한 해를 결정할 수 있을까?진폭 계수 D, F, G를 찾아야 한다. 이들은 다음의

세조건으로부터결정할수있다.

� 파동함수는경계 x�a에서연속이어야한다(앞에서설명).

� 파동함수의미분도 x�a에서연속이어야한다(아래에서설명).

� 파동함수의절댓값제곱은 1로규격화되어야한다.

두번째조건의이유는운동량이파동함수의미분과연관되어있기때문이다. 만약파동함수의

미분이한점에서불연속이라면운동량또한불연속이되어그점에서는정의될수없게된다.

파동수 �와 �은위조건들로인해더이상 향을받지않고, 두개모두에너지 E의값이될

수없다는것에유의하자. E의값으로는U1보다큰모든에너지들이가능할것이다.

여기서 모든 수학적 계산을 하지 않겠다. (이는 양자역학 강의에서 풀게 될 것이다.)하지

만 여태까지 풀이한 방식으로부터 예상 가능한 파동함수의 대략적인 모양을 그림 35.11처럼

그릴수있다. 그림의파동함수는각경계에서연속이며, 도함수또한연속이다(즉연결이매끄


그림 35.11 유한 퍼텐셜우물에서 에너지가퍼텐셜계단보다더큰파동함수.

럽다). 또한 일반적으로, U > 0인 역에서의 진동은 U�0에서의 진동보다 더 큰 파장(식

35.18로인해)과진폭(더큰파장과위의두조건으로인해)을가지고있다. 이경우, 띄엄띄엄

한파장이아니라연속적인모든파장이허용된다는것을다시한번강조한다.

경우2: 에너지가우물깊이보다작은경우

이경우에는입자의에너지가퍼텐셜우물의깊이보다더작으므로, E < U1의조건을충족시키

는파동함수는속박상태를이룰수있다. 먼저속박상태가과연존재하는지확인해보자. 무한

퍼텐셜우물인 경우에 가장 낮은 에너지도 유한한 0이 아닌 값을 가지기 때문에, 매우 얕은 퍼

텐셜우물에서는속박상태가생기지않는다고예상할수있다.

E < U1인 경우에는, 상수 2m(U1�E)/�2이 0보다 큰 값을 가지므로, 진동하는 해 대신에

지수함수해를얻는다. 이를양적으로나타내기위해다음의상수 �를도입한다.

(35.19)

그러면 역 x > a에서풀어야할미분방정식 35.17은

이고, 다음의해를갖는다.

(x > a와 E< U1인경우).

(이해를두번미분한결과를미분방정식에대입하여증명할수있다.)여기서 e�x는 x→일수

록 무한대로 커지므로 버린다. 즉 파동함수의 절댓값 제곱의 적분이 1이 될 수 없어서 파동함

수를규격화할수없기때문이다. 따라서G�0이며해는다음과같이간단해진다.

(x > a와 E< U1인경우).

이제세 역에대한파동함수는다음과같이표기할수있다.

(35.20)

x�a에서연속이고, 도함수도연속이며규격화된파동함수를가질조건은파동수 �와두미지

의진폭D와 F에대한세개의식을제공한다. 또한앞에서도입한상수 �는 �에의존한다. 정

의식 35.19와 역 0 � x � a에서 퍼텐셜에너지가 0이므로 E��2�2/2m이라는 사실들로부터

다음과같은결과를얻는다.

(35.21)

더 자세하게 계산하기 전에, 예상되는 해의 일반적인 특성들을 미리 살펴보자. 무한 퍼텐

셜우물의경우처럼, 퍼텐셜에너지가사라지는 역에서는유한퍼텐셜우물의파동함수도사인


모양으로 진동한다. 그러나 x > a인 경우에는 지수함수적으로 매우 작기는 하지만 파동함수가

우물벽속으로‘새는’것이가능하다. 즉파동이 x > a로‘넘쳐나가기’때문에 x < a에서파장

은 무한 퍼텐셜우물의 파장보다 좀 더 길어진다. 파장이 길면 파동수가 작아진다. 총에너지는

파동수의 절댓값 제곱에 비례하기 때문에 유한 퍼텐셜우물의 파동함수에 대응하는 에너지 값

은유한퍼텐셜우물보다더작다고예측할수있다. 달리말하면, 무한퍼텐셜우물의파동함수

들은더뭉쳐있어서유한퍼텐셜우물보다더큰운동에너지를가지고있다.

문제

그림 35.10과 같은 형태의 우물 안에서 전자가 최소 두 개의 속박상태를 갖는다고 하자.

만약너비가 a�1.30 nm라면, n�2상태의파장이같은너비의무한퍼텐셜우물에서대응

되는파장보다 20%더크기위해서는, 퍼텐셜계단U1은얼마나높아야하는가?

답

이문제는 순차적으로접근해야 한다. 첫째로, 무한퍼텐셜우물에대한결과인 식 35.11에

서, �n�2a/n(n�1, 2, 3, ...)이므로 n�2이면 �2�2a/2�a를얻는다. (평소처럼바로 a값을

대입하지않고식을일반적인형태로유지한뒤맨마지막에수치를대입할것이다.)

무한 퍼텐셜우물의 경우보다 20%더 큰 파장은 �2�1.2�2�1.2a이다. 대응하는 파동

수는 �2�2�/�2�2�/(1.2a)이다. 파동수는 파장에 반비례하고 파장이 20%증가해야 하

므로, 파동수는 20%감소되어 �2��2/1.2이다. (역시파동수에수치를대입하는것은뒤로

미룬다.)

이문제에대한일반적인파동함수는식 35.20에따라다음과같다.

x�a에서경계조건을살펴보자. 파동함수의연속성으로다음을얻는다.

(i)

파동함수의도함수에대한경계조건을확인한다. 1차도함수는

이므로, x�a에서 1차도함수의연속성으로다음을얻는다.

(ii)


유한퍼텐셜우물보기문제 35.2

식 (i)과 (ii)의우변들이서로같아서좌변들또한같아야하므로다음을얻는다.

(35.22)

이식을제곱하면다음과같다.

(iii)

또한식 35.21에서 �2은

(iv)

이므로, 식 (iii)과 (iv)를결합하여다음을얻는다.

수식으로는 이것이 답이다. 이제 숫자들을 대입해 보자. 앞에서 계산한 �2�2�/�2�

2�/(1.2a)에서 �2a�2�/1.2이므로 cot2(�2a)의인수는다음과같다.

따라서퍼텐셜계단은 1� � 에파동함수�2의에너지E2를곱한높이를가져야한다. E2는

이므로최종결과는U1� E2�0.823 eV이다.

한편 �2�2�2/1.2이고, 퍼텐셜우물에서 E � �2이므로 에너지 E2는 무한 우물보다

(1/1.2)2�0.694배로낮다.

논의

상당히전형적인문제이다. 일반해안의미정상수에대한식을세울때경계에서파동함수

와 1차도함수의연속조건을어떻게활용해야하는가를보여준다. 이문제에서일반해는미

정상수U1, D, F, �2, �를갖는식 35.20이다. 파동함수의연속조건에서식 (i)로, 1차도함수

의연속조건에서식 (ii)로얻었다. 세번째식은 �와 �2 사이의관계식 35.21로부터얻었다.

�2이문제의조건에서구체적으로명시되었으므로, 나머지 4개의미지상수를구하려면 4개

의 식이 필요하다. 경계에서 �와 1차도함수의 연속조건, 그리고 �와 �2 사이의 관계는 U1

을구하기에충분했다. 추가로D와 F를구하려면식 35.2의규격화조건을사용해야한다.

43

43

13


보기문제 35.2는 파동수의 값을 명시하는 것으로 파동함수의 형태에 대한 조건을 제시했

다. 이보다더전형적인문제는주어진깊이의퍼텐셜에알맞은파동함수를구하는것이다. 다

음의보기문제를살펴보자. 편의상위보기문제에주어진수치들을그대로사용하겠다.

문제

만약전자가그림 35.10과같은깊이U1�0.823 eV,너비 a�0.130 nm인유한퍼텐셜우물

안에갇혀있다면, 우물의가능한속박상태에대응하는파동수는얼마인가?

답

우물의 깊이는 보기문제 35.2와 같으므로 파동수 �에 대한 해는 위 보기문제의 출발점인

2�/(1.2a)에 대응한다. 또한 지수함수의 붕괴상수 �에 대한 두 가지 조건을 구했다. 식

35.22에서 ��cot(�a)이고,식 35.21에서 이다.두결과를결합하여

을얻는다. 위식의파동수 �에서아래첨자 2를생략했다. 위식을만족시키는가능한모든

� 값을찾기위해서이다. 위식은보통대수적으로풀수없지만, 수치적으로는꽤간단하게

풀린다. 이경우에상수는 a�1.30 nm, 2a21/�2�36.5이므로다음의식을풀이하면된다.

그림 35.12는 두 함수 '∂∂3∂6∂. ∂5∂�y2(푸른색)와 �y cot y(빨간색), 그리고 두 함수

의교차점을보여준다.

그림에서알수있듯이두함수가같은값을갖는점은오직두개밖에없

다. 따라서 깊이 U1�0.823 eV,너비 a�0.130 nm인 퍼텐셜우물은 두 개의 속

박상태를 갖는다. 수치적으로는 y1��1a�2.68과 y2��2a�5.23이다. 두 번째

값이바로 2�/1.2이며, 앞의보기문제에서얻은값이다. 무한퍼텐셜우물의경우와는달리

�2 � 2�1이다.

그림 35.13은 퍼텐셜우물로 사용한 퍼텐셜에너지 함수에 덧그린 두 속박상

태에대응하는에너지를보여준다.

끝으로그림 35.14a는두파동수에대응하는파동함수를공간좌표 x/a의함

수로나타낸그래프이다. 위쪽그래프는파동수 �1과에너지 E1에대응하는파동

함수에 'a를 곱한 것이고, 아래쪽 그래프는 마찬가지로 �2와 E2에 대한 것이다.

빨간색부분은퍼텐셜이 0인 역에서사인모양의파동함수를나타낸다. 푸른색

부분은 전자의 에너지보다 퍼텐셜에너지가 더 큰 역으로, 즉 고전적으로 금지


속박상태보기문제 35.3

그림35.12 속박상태의파동수구하기.

퀴즈문제35.2

만약퍼텐셜우물의너비를 2.6 nm

로늘리고깊이를보기문제 35.3과

동일하게유지한다면, 속박상태의

수는어떻게되는가?

a) 불변이다.

b) 증가한다.

c) 감소한다.

그림 35.13 유한 퍼텐셜우물에서 가능한가장낮은두파동함수의에너지.

된 역으로 파동함수가 지수함수적으로 침투한 모양이다. 그림의 가는 검은색 선을 보면 두

파동함수가매끄럽게연결된것을알수있다. 경계 x/a�1에서파동함수가연속이고, 1차도함

수또한연속이기때문이다. 각파동함수를구하려면앞의보기문제에서사용한식들을풀이해

야한다.

전자가 퍼텐셜 경계를 지나서 고전적 금지 역인 x > a로 침투할 수 있다는 사실은 양자

세계의고유한현상이다. 고전적으로는전자가벽에서튕겨나가므로 x�0과 x�a사이의어딘

가에서 항상 전자를 발견할 수 있다. 양자역학적 관점에서는 더 이상 그렇지 않다. 식 35.1에

따라 전자가공간간격 dx에존재할확률은 �(x)�|�(x)|2 dx로계산할수있다.

그림 35.14b는속박상태에있는두파동함수에대해계산한 a|�(x)|2를보여준다. 곡선아

래의면적을적분하면, 파동수 �1인속박상태에대해서는 x�0과 x�a사이에서전자를발견할

확률이 96.9%(빨간색 역)이고, 고전적금지 역인 x > a에서전자를발견할확률은 3.1%(푸

른색 역)이다. 만약 전자가 파동수 �2인 속박상태에 머문다면, 고전적 금지 역에서 발견할

확률은 18.6%이고, 0 < x < a에서 발견할 확률은 81.4%이다. 두 번째 속박상태의 에너지가 첫

번째보다더높고퍼텐셜우물의높이에근접하므로전자는고전적금지 역의저편까지더멀

리침투할수있다. 따라서금지 역에서발견할확률도커지게된다.

터널링

파동함수가 고전적 금지 역 속으로 침투한다면, 그림 35.15a처럼 높이와 너비가 유한한 퍼텐

셜계단에서는무슨일이일어날까?그림 35.15a의퍼텐셜에너지는다음과같다.


그림 35.14 (a) 유한 퍼텐셜계단에서가장 낮은 파동수를 갖는 두 파동함수를x/a의함수로나타낸그래프. 빨간색은퍼텐셜이 0인 역에서 사인모양의 파동함수, 푸른색은 고전적 금지 역에 침투한지수함수 모양의 파동함수를 나타낸다.(b) 주어진 공간좌표에서 전자를 발견할확률분포. 푸른색 면적은 고전적 금지역에서 전자를 발견할 확률을 표시한다.네 그래프 모두 경계 x�a에서 가로축이1의 값을 갖도록 크기가 조정되어, 그림(b)의 면적은 해당하는 가로 역에서 입자를발견할확률이된다.

확인문제35.4

경계 x�b에서 파동함수와 1차도함수의

연속조건을 사용하여 퍼텐셜에너지 계단

을터널링하는파동함수의위상이동와

진폭G를유도할수있는가?

또한각 역에서파동함수는다음과같이표기할수있다.

이 경우에는 장벽의 양쪽 역에서 퍼텐셜이 0이기 때문에 파동수 �는

같다. 역 0 � x � b의 파동함수는 앞에서 구했다. 파동함수는 0과 a의

역에서 사인함수(그림 35.15b의 빨간색 곡선)이고, a와 b의 역에서

는지수함수(b의푸른색곡선)이다. 달라진것은 x�b를넘어서파동함수

가지수함수적으로감소하지않는다는것이다. 대신에 0과 a의경우와똑

같은파동수 �를가지고 x > b인 역에서사인모양으로진동한다. 이과

정을 터널링(tunneling)이라고 부른다. 역 x > b에서 파동함수의 정확

한 형태(b의 초록색 곡선)는 경계 x�a와 마찬가지로 경계 x�b에서 파

동함수와 1차도함수의연속조건에서구한다.

그림 35.15c는이파동함수에대한확률 도분포를보여준다. 분명

히 파동함수가 퍼텐셜에너지 장벽을 터널링하여 반대편에 나타날 유한

한 확률이 존재한다. 고전적으로는 0 < x < a에 있는 같은 에너지의 입자

는 장벽을 벗어날 충분한 에너지가 없어서 원히 0 � x � a 사이에 갇

히게된다.

투과계수(transmission coefficient) T는 장벽의 출구에서 파동진폭

의절댓값제곱과장벽의입구에서의파동진폭의절댓값제곱의비율로정의한다. 장벽의 역

에서파동함수 Fe��x의투과계수는다음과같다.

(35.23)

위 식을 보면 투과계수는 장벽의 너비 b�a에 지수함수적으로 의존한다. 입자가 장벽의

왼편(x � a)에 있을 확률은 |�(a)|2에 비례하고, 장벽의 오른편(x b)에 있을 확률은 |�(b)|2

에 비례한다. 결국 투과계수 T는 왼쪽 장벽에 충돌한 입자가 장벽의 오른쪽에 나타날 확률을

뜻한다.

퍼텐셜에너지 장벽을 터널링하는 과정을 자연에서 관측할 수 있다면 얼마나 매혹적일까?

무거운 원자핵의 알파붕괴가 그 예이다. 알파붕괴 모형은 무거운 원자핵에 의해 형성된 퍼텐

셜에너지 장벽을 그림 35.15a와 같은 모양으로 간주하는 투박하지만 상당히 효과적인 모형이

다. 알파붕괴 모형에서는 시간이 지나면서 알파입자의 파동함수가 퍼텐셜에너지 장벽을 터널

링하여 퍼텐셜에너지덫에서새어 나온다. 이와같이 알파입자가방출되면서 (원래의핵이)다

른 핵으로 변환되는 과정을‘알파붕괴’라고 부른다. 핵의 붕괴과정은 40장에서 자세히 다룰

것이다.


그림 35.15 (a)유한한 높이와 너비의 퍼텐셜에너지 계단. (b) 퍼텐셜에너지 장벽을 터널링하는 파동함수. (c) 위치 x에서 파동함수를 발견할 확률 도분포.

문제

높이 36.2 MeV,너비 8.4 fm인직사각형퍼텐셜에너지장벽을만난운동에너지 22.4 MeV

의중성자가장벽을터널링할확률은얼마인가?

답

식 35.23에서 터널링 확률은 �t�T�e�2�(b-a)이다. 장벽의 너비가 b�a�8.4 fm이므로 붕

괴상수 �를구하면된다. 다음의식 35.19를적용하면구할수있다.

숫자들을 대입하기 위해, �를 핵과 입자물리학에서 매우 편리한 단위인 �c�197.34 MeV

fm + ��197.34 MeV fm/c로 표기한다. 이제 중성자의 질량으로 mn�1.6749�10�27

kg�939.57MeV/c2을대입하여계산하면붕괴상수로다음을얻는다.

따라서터널링확률은다음과같다.

주사터널링현미경

1981년에스위스의물리학자하인리히로러와독일물리학자게르트비니히는터널링효과로

물질표면의 상을 얻을 수 있다는 것을 발견했으며, 처음으로 원자들의 상을 얻는 데 성공

했다. 이발견으로그들은 1986년노벨물리학상을공동수상했다. 그들의업적은개념상의도

약인 동시에 그 당시의 위대한 기술적 성취 다. 그러나 기반이 되는 물리학은 지금까지 배워

온개념들로이해할수있을정도로단순한것이다.

그림 35.16a에서원자속에있는전자의퍼텐셜은검은색으로표시되어있다. 23장에서는

전자의퍼텐셜이쿨롱퍼텐셜 U(r) � 1/r이라고배웠다. 이퍼텐셜은한공간좌표의함수인검

은색 선으로 표시되었으며, 원자는 x0에 위치해 있다. 이 퍼텐셜에 전자 파동함수의 절댓값 제

곱을 겹쳐서 그린 그림을 살펴보자. (38장에서는 수소 원자에 대해서 정확하게 계산할 것이

다.)그림 35.16b~d에서, x1에위치한두번째원자가 x0에위치한전자쪽으로점점더가까이

이동한다. 두 번째 원자를 이동시키면서 퍼텐셜 분포와 대응하는 파동함수를 추적해 보자. 전

자가 x0에있는원자에서 x1에있는원자로움직이지못하게막는퍼텐셜장벽은원자들이서로

가까워짐에따라더좁고낮게변한다. 따라서전자의파동함수는장벽을터널링할수있게된

다. 정량적인계산에따르면두원자사이의거리가일정한크기이하로좁아지면터널링전류

가매우급격하게증가하는것을알수있다.

주사터널링현미경(scanning tunneling microscope, SSSSTTTTMMMM))))의 원리는 원자 하나 크기의 탐


중성자터널링보기문제 35.4

퀴즈문제35.3

보기문제 35.4에서터널링확률을

높이고싶다면, 어떻게해야하는

가?

a) 장벽의높이를증가시키고/또는

장벽의너비를증가시킨다.

b) 장벽의높이를증가시키고/또는

장벽의너비를감소시킨다.

c) 장벽의높이를감소시키고/또는

장벽의너비를증가시킨다.

d) 장벽의높이를감소시키고/또는

장벽의너비를감소시킨다.

그림 35.16 검은색 선: 좌표의 함수로나타낸원자속전자의퍼텐셜. 푸른색 선: 대응하는 전자 확률분포. (a) 고립된 단원자. (b, c, d) 여러 상대거리의이원자.

침을탐지하고싶은물질의표면에가까이가져가서전자들의터널링으로발생하는전류를기

록하는것이다(그림 35.17참조).어떻게원자하나크기의탐침을만드는것이가능할까?먼저

매우 얇은 전선을 한 각도로 자른다. 이는 매우 가느다란, 하지만 아직 원자 크기에는 미치지

못하는바늘끝이다. 그러나끝에있는원자들중하나는탐침을감싸고있는나머지원자들에

비해 아주 조금이나마 앞으로 튀어나와 있을 것이다. 이‘아주 조금’으로 충분하다. 왜냐하면

터널링 전류는 거리에 민감하게 의존하기 때문이다. 따라서 바늘의 끝 부분이 단원자와 같은

역할을한다.

탐침은되먹임고리를따라아래위로움직이면서측정한터널링전류를일정한값으로유

지한다. 그러면서 탐침은 그림 35.17a에 보라색으로 표시한 훑기 경로를 따라 표면을 탐지한

다. 이 과정을 통해 원자크기의 해상도를 갖는 표면의 상을 얻을 수 있다. 예를 들어 그림

35.17b는백금조각의표면 상을보여준다.

양자역학에서 가장 많이 계산하는 퍼텐셜들은 퍼텐셜우물, 1/r중심력 퍼텐셜 및 진동자 퍼텐

셜이다. 1/r중심력 퍼텐셜은 38장에서 배울 것이며, 퍼텐셜우물은 이미 35.3절과 35.4절에서

배웠다. 남은것은진동자퍼텐셜뿐이다.

고전조화진동자

조화진동을중점으로다룬 14장에서많은물리적상황에진동자가관련된다는것을알게되었

다. 그렇다면‘조화진동자의 양자적 표현은 무엇일까?’라는 질문이 생긴다. 즉 다음의 조화진

동자에대한퍼텐셜에너지함수에대응하는파동함수와에너지를알아야한다.

그림 35.18이 조화진동자의 퍼텐셜에너지 함수를 보여 준다. 여기서 k는 용수철상수(단위

N/m)이고, �0는 각진동수로 �0�'∂k∂/m이다. (주의: 이 장에서 k와 비슷한 여러 기호들을 사용

한다. k는 용수철상수, �는 파동수, K는 운동에너지이고, KKKK는 운동에너지 연산자이다. 이들은

혼동되기쉬우므로특별히주의하자!)


그림 35.17 (a)단원자 탐침으로 표면훑기. (b) 백금시료의 표면에 대한 실제자료.

그림35.18 위치의함수로나타낸조화진동자의퍼텐셜에너지.

35.5 조화진동자

먼저조화진동자퍼텐셜우물안에있는고전입자들의상황을복습하고넘어가자. 예를들

어용수철이나진자에매달린질량을살펴보자. 주어진총에너지 E에대해, 고전입자의운동에

너지는 총에너지와 퍼텐셜에너지의 차, 즉 K(x)�E�U(x)로 구할 수 있다. 운동에너지는 음의

값을가질수없으므로주어진총에너지의고전입자가존재할수있는, 즉‘고전적으로허용되

는 역’이생긴다(그림 35.19참조).

운동에너지(그림 35.19의푸른색곡선)가 0이되는지점에서고전적으로허용되는 역의

경계가형성된다. 고전진동자가여기서방향을되돌리기때문에이점들을고전되돌이점이라

고부른다. 되돌이점바깥에는총에너지가 E인고전입자가절대로통과하지못하는고전적금

지 역(그림 35.19의회색부분)이존재한다.

양자조화진동자

이제양자진동자를살펴보자. 슈뢰딩거방정식 35.9에진동자퍼텐셜에너지함수를대입하면

(35.24)

을얻는다. 여기서도가능한에너지값은띄엄띄엄하고, 다음과같이주어진다.

(35.25)

파동함수는 가우스 함수 (e�ax2)에 에르미트 다항식이라 불리는 특별한 다항식을 곱한 형태로

표기된다. 가장작은에너지양자수 n에대응하는몇몇파동함수들은다음과같다.

(35.26)

여기서상수 �는다음과같이정의한다.

(35.27)

이 상수는 물리적으로 길이의 차원이고, 가우스 함수의 너비를 나타낸다. 조화진동자에 대한

파동함수의일반적인형태는다음과같이표기한다.

35.5 조화진동자 517

그림35.19 진동자퍼텐셜에있는입자에게고전적으로허용되는 역.

(35.28)

여기서 에르미트 다항식 Hn(x)는 n차 다항식이다. 즉 x의 최고 차수가 xn이며, 다음과 같이 가

우스함수의도함수로정의할수있다.

일반해(식 35.28)에 대한 완전한 유도는 길고 수학적이기 때문에 여기서 다루지 않겠다.

하지만식 35.26의해들중에하나가식 35.24를만족시킨다는것을확인하면분명히유익

할 것이다. 한 예로 �1(x)가 정말로 에너지가 E1�( �1)��0� ��0인 슈뢰딩거 방정식

35.24의해라는것을보일것이다.

�1(x)를 x에대해두번미분하는것으로시작하자. 편의상파동함수를

로다시표기한다. 여기서A는규격화상수이다. 위함수의 1차및 2차미분은다음과같다.

2차도함수를슈뢰딩거방정식에대입하면다음을얻는다.

이제공통항Ae�x2/2�2을뽑아내고 x에대해정리하면다음과같다.

(i)

Ae�x2/2�2� 0이므로, x와 x3의계수가모두 0인경우에만이식이모든 x에대해성립한다.

먼저 x3의계수를살펴보면

이고, 바로식 35.27이다. 또한식 (i)에서 x의계수는다음과같다.

32

12


진동자의파동함수와에너지유도과정 35.1

방금유도한식 35.27의결과를사용하면다음을얻는다.

따라서 식 35.26의 �1(x)가 식 35.25로 주어진 에너지 E1을 갖는 슈뢰딩거 방정식의 해라

는것을보 다.

1차원조화진동자에서가능한에너지값을보면이웃하는에너지준위가일정한에너지차

��0로 등간격이다. 응집물질, 원자물리, 핵물리 등에서 다양한 계들의 에너지준위들이 등간격

인띄엄띄엄한에너지스펙트럼으로나타난다. 물리계들이이러한특성을나타낼때마다계내

에모종의양자진동이있다고가정해도무방하다.

그림 35.20은식 35.26의진동자파동함수를보여준다. 혼동을피하기위해수평 x축은같

지만수직축이다른두그래프가겹쳐져있다. 검은색포물선은 x에관한함수로서퍼텐셜에너

지를 나타내며, 빨간색 수평선은 슈뢰딩거 방정식의 해에 대응하는 총에너지를 나타낸다. 두

수직축모두에너지단위이다. 빨간색총에너지선과퍼텐셜에너지포물선의교차점은고전되

돌이점이며짧은초록색수직선으로표시되어있다. 그러나각각의파동함수를나타내는푸른

색선들은에너지단위가아니므로수직척도가다르다. 각파동함수에서, ��0선은대응하는

에너지값을표시하는수평선에일치하도록조절되어있다. 이는파동함수와고전적인되돌이

점, 그리고대응하는에너지값들을모두한그래프에세련되게표현하는방법이다. 이그림으

로각파동함수가어떻게고전적금지 역으로‘새는지’정량적으로알수있다.

그림 35.21은 각 파동함수에 대응하는 확률분포를 보여 준다. 이들은 단순히 각 파동함수

의절댓값제곱이다. 양자수 n이클수록이에대응하는고전되돌이점너머파동함수의침투범

위가줄어든다. 이결과는퍼텐셜 U(x)의형태를살펴보면쉽게이해할수있다. 총에너지 E가

큰퍼텐셜은고전되돌이점의위치에서더가파르기때문이다.

35.5 조화진동자 519

그림 35.20 조화진동자 퍼텐셜(검은색)에서 가장 낮은 에너지 5개의 값(빨간색)에 대응하는 진동자 파동함수(푸른색). 각 파동함수의고전되돌이점은짧은초록색수직선으로표시되어있다.

그림 35.21 특정 공간지점에서 특정 에너지를 가지는진동자퍼텐셜내에서전자를발견할확률분포.

특정상황에대한양자역학적파동함수를얻었다고가정하자. 파동함수가관련된물체의물리

적 특성들에 대한 정보들을 얻기 위해 어떻게 파동함수를 사용할 수 있을까?어떻게 위치, 속

도, 운동량, 운동에너지등등을계산할수있을까?

식 35.2는파동함수에대한규격화조건으로다음과같다.

관측가능한양의평균값을측정하기위해서대응하는연산자를파동함수 �에적용해라(예를

들어 pppp��p�). 그리고 그 결과에 (피적분함수로 확률 �*�를 만들기 위해) �*를 곱하고 모든

공간에 대해 적분해라. 예를 들어 파동함수에 관련된 평균 운동량을 구하려면 다음과 같이 운

동량연산자인식 35.6을파동함수에적용하고적분해라.

(35.29)

비슷한 방식으로, 운동량의 함수로 나타낼 수 있는 모든 양은 파동함수의 도함수를 포함하는

적분을통해계산할수있다. 예를들어평균운동에너지는다음과같이얻을수있다.

(35.30)

위치 x에의존하는양들에대한평균값들은더간단하게구할수있다. 즉평균위치는

(35.31)

로 구할 수 있다. 각괄호 <>로 표시된 평균값은 기댓값(expectation values)이라고 부르며, 측

정결과로 예상되는 값을 의미한다. 이런 식으로 측정과정을 설명하는 것은 다소 추상적일 수

있으므로, 다음보기문제를통해어떻게실제값에도달하는지알아보도록하자.

문제

각진동수 �0�1.00�1016 s�1인 조화진동자의 n�0 상태 파동함수에 있는 전자(질량

m�9.109�10�31 kg�511 keV/c2)의평균위치와평균운동에너지는각각무엇인가?

답

식 35.26에따라조화진동자퍼텐셜에대한슈뢰딩거방정식의해는다음과같다.

전자질량과진동자각진동수는너비매개변수 ��'∂�/ ∂mß�å0에포함되어있다. 여기서는적

분에서매번표기하는수고를줄이기위해A�1/('��1/4)와같은규격화상수를사용한다.


위치와에너지보기문제 35.5

35.6 파동함수와측정

먼저평균위치를계산하자. 식 35.31에따라관측가능한양은다음과같이계산한다.

위의 각 단계는설명할 가치가 있다. 먼저 파동함수를 넣을 때, 파동함수가 허수부분이없

는 실수라는 사실을 이용했다. 따라서 �*(x)��(x)이다. 다음 단계에서는 상수인자 A2을

적분밖으로분리하고두가우스함수를곱했다. 마지막으로 x가기함수이고 e�x2/�2이 x의

우함수이므로이들의곱은반드시 x의기함수라는사실을활용하여적분구간이대칭일때

적분결과로 0을얻었다.

그림 35.21과 확률분포 |�0(x)|2이 원점에 대해 대칭이라는 사실로부터 이런 결과를

바로읽어낼수있다. 그러나위적분이앞으로등장할여러적분중첫번째이기때문에,

모든과정들을거친뒤에예상했던답을확인하는것이도움이될것이다.

이번에는평균운동에너지에대한좀더복잡한계산을살펴보자. 식 35.30에따라

을계산해야한다. n�0인진동자파동함수를두번미분하면다음을얻는다.

한 번 미분한 것과 두 번 미분한 것은 고전 되돌이점이 표시되어 있는 그림 35.22에 나와

있다. 양자파동함수에서되돌이점은파동함수를두번미분한값이 0이되는지점이다.

[식 35.9에서 E�U이면 �(x)�0임을확인할수있다.]

위적분을계속하여다음의결과를얻을수있다.

d2

dx2

35.6 파동함수와 측정 521

그림 35.22 n�0인 진동자 파동함수(푸른색)와 위치에 대해 한 번 미분한것(초록색)과 두 번 미분한 것(빨간색).회색수직선은고전되돌이점의위치를나타낸다.

마지막 단계에서 A의 정의로부터 A2�1/(�'�)을 이용했다. 이제 거의 다 끝났다.

��'ƒ�/m∂�0를사용하면

이고, 끝으로 �0의값을대입하여다음의값을얻는다.

논의

이 값은 n�0상태의 진동자가 가지는 총에너지의 절반과 정확하게 똑같다. 또한 질량 m

에 무관하고 각진동수 �0에만 의존한다. 따라서 같은 진동자 퍼텐셜에 갇힌 다른 질량의

입자도 n�0상태에서는같은평균운동에너지를가지게된다.

진동자파동함수에대한불확정성원리

36장에서 하이젠베르크 불확정성 원리 �x��p �의 근본적인 중요성을 탐구했다. 그때 하

이젠베르크가 1927년불확정성관계를다룬그의논문에서사고실험으로제시했던‘감마선현

미경’을살펴보는것만으로도관계식의의미를파악할수있었다. 이논문에는훨씬더일반적

인수학적증명도있었으나, 여기서는이증명을재구성하지않겠다. 다만이미알고있는진동

자파동함수에대해서운동량과위치의불확정도를계산하여그결과를확인하겠다. n�0상태

에대해계산해보자.

정의에따라위치의불확정도를제곱하면 (�x)2�<(x�<x>)2>이다. 조금전 n�0에대해

<x>�0을구했다. 이경우(그리고오직 <x>�0일때) (�x)2�<x2>이다. 따라서위치의불확정

도는다음과같이적분하여얻는다.

12


확인문제35.5

이상태의평균운동량값을계산하거나,

대칭성을이용하여간단히답을제시해라.

확인문제35.6

조화진동자의 n�1, 2, 3, ... 상태에서

운동에너지의평균값을계산해라. 이를계

산할때간단한지름길이있는가, 아니면

새로운파동함수에대해일일이적분해야

하는가?

한편 운동량의 불확정도 제곱도 (�p)2�<(p�<p>)2>�<p2>이다. 진동자 파동함수에 대한 평

균운동량또한 0이기때문이다. 더나아가파동함수의평균운동에너지 <K>�<p2>/2m는보

기문제 35.5에서계산했다. 따라서간단히다음을얻는다.

위치와운동량의불확정도로구한두결과를곱하면 n�0상태의조화진동자에서

을 얻는다. 이 결과는 조화진동자의 n�0 상태가 물리적으로 허용되는 가장 작은 불확정성을

갖는 상태라는 뜻이다. 또한 너비 �에 의존하지 않으므로 결국 각진동수나 질량에 의존하지

않는다는것에주목하자. 다른양자수 n의파동함수에대한불확정도의곱이 �x��p�( �n)�

인것도쉽게보일수있다.

상대론적 역학을 탐구할 때 물체의 속력이 광속에 비해 작으면 비상대론적 뉴턴 역학으로 자

연스럽게전환되는것을보았다. 극한 vV c에서, 상대론적기술은고전물리로복귀한다. 같은

맥락으로, 양자역학으로부터고전역학을얻을수있는지, 있다면무슨극한에서가능한가를질

문할수있다. 이질문에답하기위해서진동자퍼텔셜에있는전자가특정위치에있을확률분

포를조사한다음에고전진동자와양자진동자의결과를비교해보자.

상자 속에 있는 고전입자의 경우와 마찬가지로 진동자 퍼텐셜 안에서 총에너지가 E인 입

자의 고전 확률분포를 계산할 수 있다. 식 35.13은 어떤 위치에서 입자를 발견할 고전확률은

그지점에서입자의속도에반비례한다는것을나타낸다. 속도는에너지보존법칙으로부터다

음과같이위치의함수로서계산할수있다.

이식을속도에대해풀면다음을얻는다.

12

35.7 대응원리 523

35.7 대응원리

따라서조화진동자퍼텐셜안에있는입자의고전확률분포는다음과같이표기할수있다.

이함수는두고전되돌이점사이에서만정의할수있다. 두되돌이점의위치는

이다. (확률분포함수의 분모에 있는 �는 확률함수를 적분한 값이 1이 되게 해 준다.) 그림

35.23은이렇게구한확률분포를보여주며, 되돌이점은초록색수직선으로표시되어있다.

그러나그림 35.21의양자확률분포는그림 35.23의고전확률분포와전혀일치하지않는

다. 고전적인 경우, 입자를 발견할 확률은 고전 되돌이점에서 최고가 된다. 반면에 그림 35.21

의양자확률분포는평평하거나오히려중간부분에서최대가되는것처럼보인다. 상자안입

자를 다룬 경험으로 보면 양자 파동함수가 고전 되돌이점 너머로 침투하는 것이 낯설지 않다.

그러나 고전 및 양자 경우에 대한 확률분포의 전체적인 특징들이 전혀 부합되지 않는다는 점

은우려할만하다.

이러한 결론은 더 큰 양자수 n에 대한 파동함수(그림 35.24에서는 n�20일 때이다)를 살

펴보면 변한다. 높은 양자수에 대해, 양자 확률분포는 여전히 진동하며 고전 되돌이점을 넘어

약간침투한다. 그러나양자확률은고전적극한에대응하는평균값근처에서진동한다.

이웃한 양자진동자 에너지들의 에너지차가 상수 �E��0임을 상기하자. 만일 에너지차

�E가총에너지 E에비해작아진다면, 즉 �E/EV 1이면(양자수 n이큰것과같다),양자해는

고전적 극한으로 접근한다. 이는 양자역학의 일반적 특성이며, 통상 대응원리(correspondence

principle)라고부른다.

여태까지는시간에독립적인문제들(즉시간이지나도변하지않는문제들)만다뤄왔다. 하지

만전자나다른입자들은움직인다. 어떤방정식이대응하는물질파의시간의존성을설명해줄

수있을까?파동함수는공간좌표 x는물론시간 t에도의존한다. 여전히 1차원운동으로제한하

고, 퍼텐셜에너지는시간에무관한 x만의함수라고가정하면시간의존슈뢰딩거방정식은

(35.32)

이다. 여기서 양자 파동함수의 시간 및 공간 의존성을 표시하기 위해 기호 �(x,t)를 사용한다.

이 시점에서 편미분방정식에 대한 일반해는 물론이고 어떤 일반적인 정의로부터 �(x,t)를 유

도하는것에도관심이없다. 그러나다음과같이각각하나의변수에만의존하는두함수의곱

으로나타나는파동함수의특별한해를찾을수있는지궁금하다.


그림35.23 진동자퍼텐셜안의특정위치에서 입자를 찾을 고전 확률분포(빨간색 곡선), 고전 되돌이점(초록색수직선).

그림 35.24 그림 35.23과 같고, 단지양자수 n�20에대한양자진동자확률분포가첨가되었다.

35.8 시간의존슈뢰딩거방정식

편미분방정식을풀려는이러한시도를일반적으로‘변수분리법’이라고부른다. 이러한가설풀

이식을다음과같이시간의존슈뢰딩거방정식 35.32에넣으면어떻게되는지살펴보자.

이식의양변을 �(x)�(t)로나누면다음을얻는다.

이제좌변은 x만의함수이며, 우변은 t만의함수이다. 이항등관계는오직각변이상수일때만

x와 t 모두에 대해 성립할 수 있다. 시간독립 슈뢰딩거 방정식 35.9에서 에너지로 나타난 상수

E를사용하면좌변은다음과같이시간독립슈뢰딩거방정식이된다.

한편우변은다음과같이표기할수있다.

여기서 E��를 통해 각진동수 �를 도입했다. |e�i�t|2�1이므로 규격화 상수 A를 1로 둘 수

있고최종적인해는다음과같다.

(35.33)

여기서 �(x)는 에너지가 E��인 시간의존 슈뢰딩거 방정식에 대한 규격화된 해이다. 식

35.33의 형태인 파동함수를 시간의존 슈뢰딩거 방정식의 정상해 또는 정상상태(stationary

state)라고한다. 이러한정상상태가존재할최소한의조건은퍼텐셜에너지가시간에의존하지

않아야 한다는 것이다. 즉 시간에 무관하게 일정해야 한다. 이는 총에너지 E가 보존되는 뉴턴

역학과마찬가지이다. 슈뢰딩거방정식 35.32에는많은해들이존재한다는것을잊지말라. 다

만잘정의된에너지를갖는특별한해가식 35.33의변수분리형태로가능한것도기억해라.

고유함수와고윳값

식 35.7의운동에너지에대해연산자 KKKK를정의했던것처럼, 파동함수에적용한결과로에너지

35.8 시간의존 슈뢰딩거 방정식 525

와같은파동함수의곱을주는다음의연산자HHHH를도입할수있다.

(35.34)

시간독립슈뢰딩거방정식과비교하면이연산자는다음과같이공식화할수있다.

(35.35)

연산자HHHH를해 턴연산자(Hamiltonian operator)라고부른다. 선형대수학에서, 연산자를함수

에적용하여상수에원래 함수를곱한결과를얻으면, 이함수를고유함수(eigenfunction) �(x),

상수를 고윳값(eigenvalue)이라고 부른다. 따라서 정상상태는 고윳값 E를 갖는 해민턴 연산자

HHHH의고유함수이다.

해 턴연산자는선형적이다. 즉임의의함수 1(x), 2(x),그리고상수 a1, a2에대해

(35.36)

이성립한다. 만약두함수 �1(x)와 �2(x)가고윳값 E1과 E2를가지는해일때, 해 턴연산자를

선형결합 �(x)�a1�1(x)�a2�2(x)에적용하면다음을얻는다.

일반적으로 E1 � E2일때, �(x)�a1�1(x)�a2�2(x)는HHHH의고유함수가아님에유의해라.

지금까지는하나의입자만이존재하는상태에대한양자역학을다뤄왔다. 여기서는입자가두

개이상존재할때파동함수의일반적인특성들을논의한다.

두입자파동함수

먼저 입자 두 개에서 시작하고, 하나의 입자만이 존재하는 경우에 대한 파동함수를 알고 있다

고 가정하자. 또한 정상상태(시간독립)로 국한하기로 하자. 한 입자의 파동함수 �(x)에 대한

슈뢰딩거방정식은식 35.9이다. 같은퍼텐셜에두입자를놓을때각입자가외부퍼텐셜과어

떻게상호작용하는지를계산해야한다. 두입자가서로상호작용하는일반적인경우는이책의

범주밖에있다. 하지만두입자가상호작용하지않는경우만고찰해도많은통찰력을얻을수

있고, 실제로많은물리적상황에서도도움이된다.

먼저, 표기방식에 대해 생각해 보자. 입자 1의 위치좌표를 x1, 입자 2는 x2로 표기하자. 그

러면 상태 a에 있는 입자 1의 단입자 파동함수는 �a(x1)으로, 상태 b에 있는 입자 2의 단입자

파동함수는 �b(x2)로 표기할 수 있다. 두 좌표 x1과 x2의 함수로 나타나는 두 입자 파동함수는

�(x1, x2)로표기한다.

36장에서논의한스핀과통계를감안하면다음의세경우에대해논의해야한다.


35.9 다입자파동함수

구별가능한입자—이에대한예로무한퍼텐셜우물에갇힌하나의전자와하나의중성자

를생각할수있다. 두입자상태는단순히다음과같은두단입자상태의곱이다.

(35.37)

동일한보손—이에대한예로는거울상자안의두광자(하나는상태 a, 다른하나는상태

b)가있다. 동일한보손들은구별불가능한입자들이므로, 보손 1이상태 a, 그리고동일한

보손 2가상태 b라고단정할수없다. 같은확률로보손 2가상태 a, 보손 1이상태 b에있

을 수 있기 때문이다. 두 입자 파동함수는 두 입자를 나타내는 첨자들의 교환에서 반드시

대칭이어야 한다. 즉 같은 상태를 유지해야 한다. 입자에 대한 파동함수를 단순히 단입자

파동함수들의곱으로쓰는대신에교환항을덧붙여야한다. 이를수학적으로표기하면

(35.38)

이다. 여기서보손에대한두입자파동함수가대칭함수라는것을기억하기위해위첨자 B

를사용한다. 괄호앞의인자 1/'2은두입자파동함수가 1로규격화되게한다.

동일한 페르미온—이 경우에 대한 예로는 원자 내의 두 전자(하나는 상태 a, 다른 하나는

상태 b)를 들 수 있다. 여기서도 동일한 입자들은 구별이 불가능하지만, 페르미온은 같은

상태를동시에점유할수없다는특성이있다. 따라서두입자파동함수는두입자들을교

환할때반대칭적(부호를바꾼다)이어야하며, 아래에서논의하듯이 a�b일때 ��0이다.

수학적으로는

(35.39)

이다. 여기서도페르미온에대한두입자파동함수가반대칭함수라는것을기억하기위해

위첨자 F를사용한다.

보손과 페르미온에 대한 두 입자 파동함수를 나타내는 수식들(식 35.38과 35.39)은 교환 항의

부호만다르다. 보손은 �, 페르미온은 � 부호를갖는다. 식 35.39의파동함수는두페르미온이

동시에 같은 양자상태를 점유할 수 없다는 파울리 배타원리의 기본 조건을 만족시킨다. 이 식

에서만약 b�a라고한다면다음과같이파동함수가 0이된다.

한편두페르미온의위치를바꾸면다음을얻는다.

즉두페르미온의위치를바꾸면파동함수의부호가반전된다.

35.9 다입자 파동함수 527

퀴즈문제35.4

식 35.39에서 �a(x2)��b(x1) 항은

음수이고 �a(x1)��b(x2) 항은양수

이다. 이들부호는어떻게중요한

가?

a) 두번째항이‘교환항’으로음

수이기때문에두항은위의부

호만이가능하다.

b) 두항의부호가반대만되면각

항의부호는상관없다. 각파동

함수에 �1을곱해도파동함수

는유효하다.

c) 교환항의부호는상관없지만

첫번째항은반드시양수이어

야한다.

d) 두항모두두부호가가능하므

로(��, ��, ��, ��) 네경

우의파동함수가유효하다.

이러한부호의변화는첨단물리학의여러연구주제중에서도핵심적인주제이다. 계의시

간변화로페르미온들이서로위치를바꾸는것이허용된계에서는두페르미온파동함수의부

호변동은페르미온계에대한컴퓨터시뮬레이션을매우어렵게만든다. 문제는부호변동때

문에 컴퓨터 시뮬레이션에서 물리량들의 평균이 0으로 계산된다는 것이다. 또한 서로를 나눠

야하는두양모두 0에매우가까운경우가많이발생하는데, 이는수치계산에서매우큰불확

정성을 초래한다. 이러한‘페르미온 부호 문제’는 다체 이론물리학에서 보편적이며, 물리학자

들은이문제가초래하는계산한계를극복하기위해다양하고도현명한접근을시도했지만여

태까지이렇다할성과가없다.

두페르미온계의공간좌표에서대칭인파동함수가있을까?답은‘그렇다’이다. 두페르미

온 파동함수의 반대칭 조건은 전체 파동함수가 식 35.39를 만족시켜야 한다는 뜻이다. 그러나

파동함수는스핀파동함수와공간좌표파동함수의곱이다. 만약스핀파동함수가교환에서대

칭이라면(두 페르미온의 스핀 투 이 동일하면), 공간좌표 파동함수는 반대칭이어야 한다. 그

러나스핀파동함수가반대칭이라면(두페르미온의스핀투 이반대이면)공간좌표파동함수

는교환에서보기문제 35.6처럼대칭적이다.

파동함수에서교환대칭성의중요성에대한보기문제중가장인상적인것은수소분자의

공유결합이다. 수소 분자는 두 개의 수소 원자로 이루어져있으며, 각 원자는 하나의전자

와 하나의 양성자로 구성되어 있다. 고립된 수소 원자에서 전자는 쿨롱 퍼텐셜로 인해 양

성자에 결합되어 있으며, 23장에서 확인했듯이 1/r에 비례한다. 38장에서는 수소 원자 안

에 있는 전자의 파동함수를 어떻게 계산하는지 논의할 것이다. 지금은 파동함수가 중심,

즉양성자가있는위치에서가장큰값을가지며, 지름방향으로지수함수적으로감소한다

는것만알아도충분하다.

두수소원자가서로가까이있을때, 서로의전자들을

똑같이나눠갖는것으로상호작용할수있다. 이러한화학

결합 과정을 통해 전자들을공유하는 것을 공유결합이라고

하는데, 이는하나또는그이상의전자들이한원자로부터

끌려와서 다른 원자의 주위를 돌게 되는 이온결합과는 다

른종류의결합이다.

수소 분자에 대한 두 전자의 공간좌표 파동함수를 보

여주는그림 35.25에반대칭적인경우(a)와대칭적인경우

(b)가 그려져 있다. 그림의 맨 위는 두 핵을 지나는 중심축

을 따라 파동함수를 그린 것인데 �0.37 Å에 중심을 둔 두

개의 한 전자 파동함수의 그림(점선)과 비교할 수 있다.

�0.37 Å은 평형상태에서의 수소 분자 두 핵의 위치이다.

중간 그림은 파동함수의 절댓값 제곱으로 주어진 x좌표에

서전자를발견할확률분포를보여준다. 아래그림은 xy평

면에서 전자를 발견할 확률분포이며, 노란색은 최솟값에,


수소분자보기문제 35.6

그림 35.25 수소 분자 내 전자의 공간좌표 파동함수. (a) 반대칭파동함수. (b) 대칭 파동함수. 두 입자 파동함수(위), 중심축에서의확률 도(중간), 2차원평면에서의확률분포(아래)가있다.

검은색은최댓값에대응하도록색칠되어있다.

대칭적인 공간좌표 파동함수(그림 35.25b)에서는 전자를 발견할 확률의 상당한 부분

이두원자핵의중간 역에있다. 이는전자와핵사이의쿨롱힘으로인해두원자핵이서

로의 지름방향으로 인력을 받는다는 뜻이다. 평형거리 0.74 Å에서 교환작용으로 인한 퍼

텐셜의깊이는 4.52 eV이며, 이것이두원자사이에알짜인력을만들어서H2 분자의공유

결합을만든다. 공유결합의조건은두전자가반드시반대의스핀상태—스핀 위와 스핀 아

래—를가져야한다는것이다. 만약두전자가똑같은스핀상태이면그림 35.25a처럼공간

좌표파동함수는반대칭이어야한다. 두원자핵의중간 역에서전자의존재를억제하여

두핵사이에알짜반발력을만들어서결합이이루어지지않는다.

다페르미온파동함수

식 35.39의 구조를 살펴보면, 단일입자 파동함수로부터 얻는 2�2행렬의 행렬식과 같다는 것

을알수있다.

이 행렬식은 일반적으로 슬레이터행렬식(Slater determinant)이라고 한다. 슬레이터 행렬식은

계에많은페르미온들이존재하는경우로일반화될수있다. 만약 n개의페르미온이있다면, n-

페르미온 파동함수는 다음과 같은 n�n 행렬식이다. 여기서 n�n 행렬식의 행은 단일입자 상

태를, 열은입자들의좌표들을나타낸다.

(35.40)

슬레이터행렬식은단일입자상태함수들의모든입자의좌표에대한순열을포함한다. [역주: 모

든순열�: a→�(a), a�1, 2,…, n에대해슬레이트행렬식�는�� (�1)��1(x�(1))�2(x�(2))��

�n(x�(n))로 표기할 수 있다.]인수 1/'n!은 다페르미온 파동함수가 규격화되도록 보장한다. 즉

단일입자파동함수가올바르게규격화되었을때, 위파동함수의절댓값제곱을전공간에걸쳐

적분하면 1을얻는다.

양자전산

양자역학에서현재가장활발하게연구가이루어지고있는첨단분야중하나가양자전산이다.

세계의여러연구진들은양자컴퓨터를구현하기위해다양한물리계들을사용하고있다. 이러

한 계들로 갇힌 원자의 사슬, 반도체 안의 양자점, 액체헬륨 표면의 전자, 그리고 버키볼 모음

(축구공모양으로뭉쳐진 C60 분자들)등이있다. 어떤양자계를사용할것인가에대한새로운

아이디어들이꾸준하게제안되고, 여러연구진들은이를다듬기위해노력하고있다. 여태까지

제안된양자컴퓨터들의공통점은이러한계들의다입자파동함수를다룬다는것이다.

양자전산의 잠재적 능력을 이해하기 위해, 고전적 컴퓨터의 작동원리를 살펴보자. 고전적

¡�

35.9 다입자 파동함수 529

컴퓨터는‘비트’로 저장된 디지털 정보에 작동하는 알고리즘을 기반으로 한다. 비트는‘켬’이

나‘끔’의두상태에있을수있다. 보통숫자 1과 0으로두상태를나타낸다. 오늘날의전형적

인 컴퓨터에서는 0과 1 사이에 아무것도 없다는 것을 알아 두자. 즉 오직 양자택일밖에 없다.

바이트는 8비트의 집합체이다. 따라서 한 특정한 바이트 값은 01100010으로 나타날 수 있다.

이는 한 바이트를 이루는 여덟 개의 비트들이 각각 1과 0으로 표현되는‘켬’이나‘끔’상태에

있다는뜻이다.

이제두상태양자계를생각해보자. 두상태사이의전이는외력과의상호작용을통해일

어날 수 있지만, 이러한 전이는 (광자의 흡수나 방출을 통해) 자연적으로는 일어나지 않는다.

그대로두면, 두상태중하나에있는입자는오랜시간동안그상태를유지할것이다.

0이나 1인고전적비트와비유하기위해두양자상태를 |0>과 |1>로표기한다. 그러나앞절

에서보았듯이양자역학에서한계는두상태의중첩상태에있을수도있다. 따라서비트의양

자역학적대응량큐빗(qubit)은두상태 |0>과 |1>이중첩된파동함수로다음과같이정의한다.

여기서 c1과 c0는 복소수이며 계가 상태 |0>과 |1>에 있을 때 각각의 확률진폭을 나타낸다(그

림 35.26참조). c1과 c0는 완전히 독립적이지 않다. 왜냐하면 입자가 |0>이나 |1>의 상태에 있

을확률의합이 1이라는조건, |c1|2�|c0|

2�1때문이다.

하나의큐빗으로부터 n개의큐빗으로일반화하는것은적어도개념적으로는간단하다. 서

로독립적이지않은여러개의두상태계들을생각하자. 그러면계의종합적인상태는개별상

태조합의합으로표기할수있다. 예를들어두큐빗의계에대해, 파동함수를

로표기할수있다. 여기서 c00, c01, c10, c11은규격화조건 |c11|2�|c10|

2�|c01|2�|c00|

2�1을만족하

는복소수들이다. 세큐빗에대해서는다음과같이표기할수있다.

이 식을 더 많은 수의 큐빗들에 대해 일반화할 수 있다. 1큐빗

의 파동함수에서 항의 개수는 2개, 2큐빗에 대해서는 4개, 3큐

빗에대해서는 8개등등이다. 즉 n큐빗에대한파동함수에서항

의개수는 2n개이다. 양자전산의무한한계산능력은 2n으로부터

생긴다. 컴퓨터가 n비트의 기억으로 작동할 때 고전적 컴퓨터

는 n개의 연산을 동시에 수행할 수 있다. 반면에 양자컴퓨터가

n큐빗으로 작동할 때는 2n개의 연산을 동시에 수행할 수 있다.

그림 35.27은양자컴퓨터의특정개념을나타내는개념도이다.

여기서많은경고문이대기중이다. 먼저큐빗상태의파동

함수를 관찰하는 것은 필연적으로 큐빗에 쌓여 있는 정보들을

변동시킨다. 이는 특별한 오류수정 알고리즘의 개발을 요구하

는데, 이는 양자상태를 파괴하지 않고 오류를 수정하는 것이다.

두번째로, 그저몇개의간단한보여주기연산을수행하는것이상이가능한양자컴퓨터는아


그림35.26 한큐빗을나타내는간단한그림.

그림 35.27 가능한 양자전산의 한 방법은 폴의 덫에 갇힌 8개의 Ca 이온으로 구성된 사슬이다. 진동하는 전기장으로 이온들을 가둬 둔다. 그림은 장치의 개략도이고, 삽입된 그림은 갇힌 이온에서 유도된 형광을 보여준다.

직 개발되지 않았다. 더 나아가 양자전산은 그 본질상 확률적인 것이다. 양자컴퓨터가 이론적

으로 가능한 2n개의 동시 연산을 완벽하게 소화할 수 있다는 것을 실현한 것은 아직 몇 개의

알고리즘에대해서만국한되어있다. 이러한알고리즘들중하나는큰정수를소수로인수분해

하는것이다. 현재의암호체계는대개큰정수의소인수분해가지금의컴퓨터로는인간의수명

내에 할 수 없다는 사실에 의존했기에 이 문제는 많은 관심과 자금을 끌어모았다. 그에 반해,

약 100개의큐빗으로작동하는양자컴퓨터는이작업을몇초만에끝낼수있을것이다.

앞절에서는양자역학에서입자의총에너지를나타내는해 턴연산자를논의했다. 그러나운

동에너지에는고전공식 K�p2/2m을사용했으며, 광속보다속력이매우작은경우에만적용할

수있었다. 상대성이론을다룬 35장에서운동량과에너지의일반적인관계는

로 주어졌다. 이제 질문은 다음과 같다. 광속에 비해 작지 않은 속력에 대해서도 적용 가능한

양자물리체계를구축할수있을까?즉상대론적양자역학을구축할수있을까?처음으로이를

알아낸 사람은 국의 물리학자 폴 에이드리언 모리스 디랙이다. 그는 1928년에 유명한 디랙

방정식(Dirac equation)을 발표했고, 이 업적으로 1933년 노벨 물리학상을 에르빈 슈뢰딩거와

공동수상했다.

여기서는 디랙 방정식을 유도하기는커녕 왜 나왔는지도 설명하지 않겠다. 대부분의 일반

물리학 과정에서는 이 식을 언급하지도 않는다. 그러나 디랙 방정식 표기의 의미를 설명하고,

비상대론적 슈뢰딩거 방정식과 비교한 뒤에 물리적인 결과들을 살펴볼 수 있다. 다음 몇 쪽은

훗날의심화학습자료로사용할수있다. 아니면이식을지금살펴보면서미래에이주제를탐

구할수있도록동기를찾을수도있다.

외부퍼텐셜이나힘에지배당하지않는입자인자유입자에대한디랙방정식은

(35.41)

이다. 여기서 c는광속, m은입자의정지질량, 그리고 pi는 35.1절에서소개한세직교방향 (x, y,

z)중한방향의운동량연산자이다. �0, �1, �2, �3는다음의디랙행렬들이다.

식 35.41의 파동함수 �(r", t)는 여태까지 논의했던 양자역학 파동함수인 단일성분 스칼라가

아니라다음과같이네성분으로구성된‘스피너’이다.

35.10 반물질 531

35.10 반물질

식 35.41의디랙방정식은슈뢰딩거방정식 35.32에서퍼텐셜이없는경우인

을상대론적으로확장한식이다. 디랙방정식의해를슈뢰딩거방정식의해를다뤘던방식으로

다룰수있다. 예컨대자유입자에대한해의시간의존성을다음과같이표기할수있다.

(35.42)

정상파동함수 �(r")은에너지고윳값이 E인다음의시간의존디랙방정식을만족시킨다.

(35.43)

관례에따라 z방향인특정좌표방향을따라운동하는평면파해는다음과같다.

(35.44)

여기서 p는입자의운동량이다. (입자가 z축을따라움직이기때문에, 운동량의 z성분은운동량

의절댓값, 즉운동량벡터의길이와같다.) w는네성분을가진상수스피너이다. �(r")에대한

가설풀이를정상디랙방정식에대입하면다음과같은행렬식을얻는다.

(35.45)

고윳값식의해로서가능한에너지값은다음과같다.

(35.46)

이결과는 35장에서상대론적양자역학으로얻은에너지-운동량관계과같으므로매우만족스

러운 것이다. 스피너 w의 위쪽 두 성분 w1과w2는 양의 에너지에 대한 해를 나타낸다. 하나는

‘스핀위’, 다른하나는‘스핀아래’상태에있다. 아래쪽두성분 w3와w4는음의에너지에대

한해로서각각‘스핀위’와‘스핀아래’이다.

디랙 방정식의 중요성은 이것이 고전역학의 두 확장분야를 하나의 일관된 방식으로 통합

한다는 것이다. 35장에서 물체의 속도가 빛의 속도에 필적할 때는 상대론적 기술이 필요하다

는것과, 빛의속도보다매우작은극한에서는고전역학을포함한다는것을배웠다. 36장과이

장에서는매우작은물리계에대해양자적기술이필요하다는것과, 대응원리를통해고전역학

이양자역학의특별한경우로작용한다는것을배웠다. 디랙방정식은상대론적양자역학을포

함하며, 또한특별한경우로서비상대론적양자역학도포함한다. 따라서매우만족스럽고도아

름다운일반적인틀을제공한다.

식 35.46에서음의해는무엇일까?이들을어떻게해석해야할까?여태까지양자역학에대

한논의에서는자유입자의에너지는항상양수라고가정했다. 이때문에바닥상태, 즉최저에


너지상태에대한개념이가능했다. 그러나만약음의에너지상태가있다면, 양의에너지상태에

있는 전자가 음의 에너지상태로 붕괴하는 것을 방지하는 것은 무엇이며, 또한 매번 광자를 방

출하면서더낮은상태로붕괴하는것을어떻게막을수있을까?

이러한끝없는복사문제를극복하기위해, 디랙은그림 35.28에그려진해를제시했다. 이

그림에서 가능한 모든 음의 에너지상태는 하나의 스핀 위와 하나의 스핀 아래 입자들에 의해

완전히 점유되어 있다. 점유된 음의 에너지 전자로 이루어진 진공의‘바다’는 보통 디랙 바다

(Dirac sea)라고 부른다. 음의 에너지상태에 있다고 가정한 입자들은 무엇일까?이들은 실제로

존재할까 아니면 잘못된 모형이 일관성 검사를 통과하도록 만든 관념에 불과할까?특히 디랙

바다에서음에너지의전자들중하나를떼어내그자리에구멍을만드는것이가능할까?

마지막질문에대한답은‘그렇다’이다. 디랙바다의구멍은전자와동일한질량과스핀-

이지만반대전하와스핀투 을갖는입자와같은역할을한다. 디랙바다에이러한구멍을만

들기 위해서는 디랙 바다의 전자들 중 하나를 제거한 다음에 양의 에너지상태로 옮겨야 한다.

전자를 �mc2과 mc2 사이의 금지된 틈을 건너뛰게 하려면 전자의 질량과 광속 제곱의 곱보다

두 배로 큰 에너지를 진공 속에 집어넣어야 한다(그림 35.29참조). 전자의 질

량에너지는 511 keV이므로전자를양의상태로올리고동시에디랙바다에구

멍을만들기위해서는최소 1.022MeV의에너지가필요하다.

양수이며 전자와 같은 질량을 가진 디랙 바다의 구멍은 그저 편리한 대수

학적트릭이아니라실제입자이다. 미국의물리학자칼앤더슨은 1932년에우

주선에 노출된 사진건판에서 이를 발견하고 양전자라고 명명했다. 이 실험은

디랙의 이론에 결정적인 확증을 제공했다. 이러한 성공에도 불구하고, 무한 개

의입자가모든에너지상태를채우고있는디랙바다에대한개념은그다지세

련되어보이지는않는다. 특히진공이무한한에너지를가지고있다는점은직

관에 반한다. 더 근대적인 양자 장이론은 이러한 관념적인 아이디어들을 수정

했지만, 무한대의물리량에관련된난점은아직도남아있으며, 이로인해많은

연구자들은미래에획기적인돌파구가필요하다고생각하게되었다.

양전자(positron)는 전자의 반입자(antiparticle)로, 반물질(antimatter)의 예다. 모든 페르

미온은 디랙 방정식을 따르며, 따라서 가득 채워진 디랙 바다 모형이 (그 입자에 관한)진공과

바닥상태에똑같이적용된다. 따라서각페르미온은반입자를갖고있다. 이탈리아의물리학자

에 리오 세그레와 미국의 물리학자 오언 체임벌린은 1955년에 양성자의

반입자, 즉 반양성자를 발견했다. 1995년에 물리학자들은 반수소의 첫 원자

들을 CERN에서 탐지했다. 2000년 이래, CERN에는 극저온의 반수소 원자

들이생산되고연구되는‘반입자공장’이설치되어있다. 풀려야할많은의

문점들 중 하나는 반물질이 중력에 대해 보통의 물질과 똑같이 반응하는가

하는문제이다.

반입자는자신의반물질짝을만나면함께소멸된다. 그림 35.30은쌍소

멸(annihilation) 과정을보여준다. 쌍소멸과정에서두입자의총질량은모

두 에너지로 전환된다. 따라서 양자이론과 상대론이론을 결합하면 질량과

에너지의 새로운 관계가 나온다. 질량과 에너지는 서로 전환될 수 있으며,

질량은에너지의또다른형태이다.

12

35.10 반물질 533

그림 35.28 모든 음의 에너지상태가완전히점유된디랙진공.

그림 35.29 디랙 바다에 양공 만들기: 전자-양전자 쌍생성. (a) 에너지 도표. (b)공간좌표도표.

그림35.30 전자-양전자쌍소멸.

물질-반물질쌍소멸은공상과학소설과 화에단골로등장하는에너지원이다. 이개념은

지구나 태양계, 또는 거의 확실하게 전 우주 내에 반물질의 원천이 없다는 사실을 편리하

게도 무시하고 있다. (그 이유는 원자 속 물리를 다루는 39장과 40장에서 더 자세히 살필

것이다.)에너지자원으로사용될수있는모든반물질이먼저만들어져야한다. 또한쌍소

멸을통해얻을수있는에너지이상을이과정에쏟아부어야한다. 그럼에도불구하고쌍

소멸과정에서얼마만큼의에너지가방출될지알아보는것은확실히흥미롭다.

문제1

탄산음료캔에가득찬반물질로만들어진물을보통물과쌍소멸시킨다면얼마의에너지

가방출되는가?

답1

탄산음료 캔은 0.330 L의 액체를 담고 있다. 만일 액체가 물이라면 질량은 0.330 kg이다.

반입자(반물질을 구성하는)의 질량은 그에 해당하는 입자의 질량과 같으므로, 반물질로

이루어진 물의 질량 또한 0.330 kg이다. 따라서 2�0.330 kg의 질량을 쌍소멸시켜야 한다

(0.330 kg의반물질물과 0.330 kg의물).

이질량이가지는에너지는총질량과광속의제곱을곱한것으로다음과같다.

이것이얼마나되는에너지인지알아보기위해다음질문을생각해보자.

문제2

가장 큰 원자력발전소는 1200 MW의 전력을 생산한다. 탄산음료 캔에 담겨 있는 반물질

물만큼의에너지를생산하려면이원자력발전소를얼마나가동시켜야하는가?

답2

1200 MW 발전소는 1.2�109 J의 사용 가능한 에너지를 매초마다 생산한다. 따라서

E�5.94�1016 J을생산하는데걸리는시간은다음과같다.

이는 1.5년보다더긴시간이다!


물질의쌍소멸보기문제 35.7

무엇을 배웠는가 || 주요내용

� 복소수 파동함수 �(x)의 절대제곱은 입자를 한 위치에서

발견할확률 도이다.파동함수는다음과같이규격화된다.� 운동량에대한연산자는 이다.

� 운동에너지에대한연산자는다음과같다.

무엇을 배웠는가 535

� 퍼텐셜U(x)에있는입자의슈뢰딩거방정식은다음과같다.

� x�0과 x�a에장벽이있는무한퍼텐셜우물에갇힌입자

에대한파동함수해는다음과같다.

대응하는에너지고윳값은다음과같다.

� 유한퍼텐셜

에대한슈뢰딩거방정식의해는다음과같다.

� 같은유한퍼텐셜에서 E< U1일때의해는다음과같다.

� 퍼텐셜계단

에대한파동함수는다음과같다.

에너지가장벽의높이보다낮은입자가장벽을투과할확

률은

이며, 장벽의너비에지수함수적으로의존한다.

� 조화진동자퍼텐셜 U(x)� kx2� m�02x2에대한파동함

수는다음과같다.

여기서Hn은에르미트다항식이며, �는다음과같다.

대응하는에너지고윳값은다음과같이등간격이다.

� 물리량의 양자역학적 기댓값은 대응하는 연산자를 �에

적용한 결과에 �*를 곱한 것을 전체 공간에서 적분하여

구한다. 따라서위치의기댓값은

이고, 운동량의기댓값은다음과같다.

� 바닥상태(n�0) 조화진동자 파동함수는 불확정성 원리가

허용하는운동량과위치불확정도곱의최솟값을갖는다.

� 대응원리: 이웃하는양자에너지상태의에너지차 �E가총

에너지 E에비해매우작으면, 즉 �EV E이면, 양자해는

고전적극한으로접근한다.

� 시간의존슈뢰딩거방정식은

12

12


이며, 해는 �(x,t)��(x)e�i�t이다.

� 해 턴연산자는다음과같다.

선형연산자이므로 슈뢰딩거 방정식에 대한 두 해의 선형

결합역시해가된다.

� 상호작용하지않는보손에대한두입자파동함수는단일

입자파동함수들곱의대칭함수로다음과같다.

� 상호작용하지 않는 페르미온에 대한 두 입자 파동함수는

단일입자파동함수들곱의반대칭함수로다음과같다.

� 양자전산은큐빗을다음과같이정의한다.

많은큐빗의엉킴은양자전산에서많은연산을동시에수

행할 수 있는 능력을 주므로(아직 이론으로만 가능하다),

재래식이진법연산을능가하는성능을기대할수있다.

� 디랙방정식

은상대론적에너지-운동량관계에알맞게슈뢰딩거방정

식을 일반화한 것이다. 디랙 방정식은 음의 에너지상태와

반입자의존재를예측한다.

주요용어

고유함수(eigenfunction)

고윳값(eigenvalue)

기댓값(expectation values)

대응원리(correspondence principle)

디랙바다(Dirac sea)

디랙방정식(Dirac equation)

무한퍼텐셜우물(infinite potential well)

반물질(antimatter)

반입자(antiparticle)

분리가능한(separable)

속박상태(bound states)

슈뢰딩거방정식(Schrödinger equation)

슬레이터행렬식(Slater determinant)

쌍소멸(annihilation)

양전자(positron)

에너지준위도표(energy-level diagram)

연산자(operator)

유한퍼텐셜우물(finite potential well)

정상상태(stationary state)

주사터널링현미경(scanning tunneling

microscope)

주양자수(principal quantumnumber)

큐빗(qubit)

터널링(tunneling)

투과계수(transmission coefficient)

파동함수(wave function)

해 턴연산자(Hamiltonianoperator)

새 기호와 주요 방정식

운동량연산자

운동에너지연산자

슈뢰딩거방정식

에너지고윳값, 무한퍼텐셜우물

에너지고윳값, 조화진동자

위치기댓값

해 턴연산자

문제풀이 능력 키우기 537

확인문제 해답

33335555....1111 오일러의 관계식 [e�i��cos � �i sin �]를 사용하여 계산

하면다음을얻는다.

33335555....2222 (퍼텐셜에너지에)상수 c를 더해도 파동함수 해는 변하지

않는다. 그러나모든에너지는상수 c만큼이동한다.

33335555....3333 파동함수는 세 개의 1차원 파동함수들의 곱, 즉 �(x, y,

z)��1(x)��2(y)��3(z)이다.

33335555....4444 점 b에서파동함수의연속조건은

(i)

이며, 같은점에서도함수의연속조건은다음과같다.

(ii)

식 (i)을식 (ii)로나누면 tan(�b�)� 를얻는다. 이를위

상차 에대해풀면 �tan�1 ��b를얻는다.

진폭 G를 얻기 위해서는 식 (ii)를 �로 나누고 식 (i)과 (ii)의

양변을제곱하는것이가장간단하다. 그결과는

이고, 위의두식을더하여다음을얻는다.

위식에제곱근을취하면구한G는 이다.

33335555....5555 정의에서시작하고, 다음의파동함수를넣어서구한다.

33335555....6666 조화진동자에대해서다음을얻는다.

��

문제풀이 능력 키우기

문제풀이요령

1111.... 양자역학은 모든 현대물리를 지배하며 많은 다양한 양자계

들이 연구되어 왔다. 그러나 대부분의 계는 단순명료한 분석적

인해를구하기어려우므로컴퓨터의도움을필요로한다. 초보

수준의 대부분 문제들은 유한/무한 퍼텐셜우물이나 조화진동

자로환원될수있다.

2222.... 파동함수들은 흔히 경계조건과 대칭성으로 결정될 수 있다.

해를구할때이를최대한으로활용하길바란다.

문제

다음과같은형태의퍼텐셜에전자가갇혀있다고하자.

여기서 a는 상수이다. 퍼텐셜에서의 바닥상태 에너지가 3.5 eV이면, 첫 번째 들뜬상태의

에너지는얼마인가?

풀이

생각하기

주어진 퍼텐셜은 특정 공간의 바깥에서 U(x)�인 무한 퍼텐셜우물과 U(x)� m�02x2인

조화진동자 퍼텐셜을 섞어 놓은 것이며, 여기서 상수는 a�'ƒ m�02이다. 무한 퍼텐셜우물

이파동함수에부과하는조건은, 퍼텐셜함수의유한한부분과무한한부분사이의경계면

에서파동함수가 0이어야한다는것이다. 바로이것이문제를푸는열쇠다. 이러한경계조

건은 �(x�0)�0으로표기할수있다.

그리기

그림 35.31은문제에주어진퍼텐셜함수의모양을보여준다.

조사하기

이미 왼쪽 역(x � 0)의 파동함수가 반드시 0이어야 한다는 것을 확립했다. 오른쪽 역

에서는 파동함수가 식 35.26과 같은 조화진동자 함수이어야 한다. 조화진동자 함수에서

가장낮은에너지들에해당하는몇몇파동함수는다음과같다.

12

12


3333.... 양자역학과 고전역학은 서로 완전히 다른 것은 아니다. �가

0으로가는극한에서, 양자역학은고전역학으로환원된다. 양자

해가이러한극한에서고전역학에어긋나지않도록유의해라.

4444.... 일반적으로 양자 해에서 띄엄띄엄한 에너지를 찾을 것이다.

이웃한 상태들이 일정한 에너지차를 가지면 진동자 퍼텐셜임

을 암시하고, 선형적으로 증가하면 무한 퍼텐셜우물임을 가리

킨다.

그림35.31 반쪽진동자퍼텐셜.

반쪽진동자풀이문제 35.1

여기서상수 �는 ��'ƒ∂�/m∂�0이며, 파동함수에대응하는에너지는다음과같다.

단순화하기

파동함수 �0(x), �2(x), �4(x) 및 n이짝수인다른파동함수들은분명히 x�0에서 0이아닌

값을 가지므로 반쪽 진동자의 해가 될 수 없다. 이들은 �(�x)��(x)의 성질을 갖는 짝반

전성 파동함수이다. 그러나 홀반전성 파동함수 �1(x), �3(x)등 n이 홀수인 파동함수들은

�(x�0)�0을 만족한다. 일반적으로 홀반전성 파동함수는 �(�x)��(x)이므로 연속적

이기위해서는원점에서 0이어야한다.

따라서계의바닥상태파동함수는

이고, 바닥상태의에너지는다음과같다.

한편첫번째들뜬상태파동함수는

이고, 이상태의에너지는다음과같다.

따라서첫번째들뜬상태의에너지와바닥상태의에너지비율로다음을얻는다.

계산하기

바닥상태의에너지는문제에서 3.5 eV이므로들뜬상태의에너지는다음과같다.

반올림하기

문제에주어진바닥상태의유효숫자두자리로반올림하면최종결과는다음과같다.

재확인하기

진동자파동함수에서이웃한에너지상태의에너지차가일정하다는것이특징이다. 홀반전

성 진동자 파동함수만이 유효한 해가 되는 이 문제에서도 마찬가지이다. 만일 두 번째 들

뜬상태의에너지를계산한다면, E바닥�12.8 eV을얻을것이다.113

문제풀이 능력 키우기 539


객관식 문제

33335555....1111 무한퍼텐셜에갇혀있는전자의파장은 �/2이며, �는무한퍼텐셜우물의너비이다. 전자는무슨상태에있는가?

aaaa)))) n�3 bbbb)))) n�6 cccc)))) n�4 dddd)))) n�2

33335555....2222 무한네모우물의한가운데에서입자를발견할수없는상태는무엇인가?

aaaa)))) 바닥상태 bbbb)))) 첫번째들뜬상태 cccc)))) 두번째들뜬상태dddd)))) 모두다맞는다. eeee)))) 모두다틀린다.

33335555....3333 수소원자에서전자를찾을확률은무엇에비례하는가?

aaaa)))) 전자의에너지 bbbb)))) 전자의운동량cccc)))) 전자의파동함수 dddd)))) 전자파동함수의제곱eeee)))) 위치좌표와파동함수제곱의곱 ffff)))) 모두다틀린다.

33335555....4444 같은퍼텐셜에너지에대한슈뢰딩거방정식의해가되는두파동함수의중첩은슈뢰딩거방정식의해가될수있는가?

aaaa)))) 아니요 bbbb)))) 예cccc)))) 퍼텐셜에너지에따라다르다.

dddd)))) d2�(x)/dx2�0일경우에만가능하다.

33335555....5555 1차원에서속도 v로움직이는입자의파동수크기를 �라고하자.

입자의속도가 2v로배증하면, 파동수는어떻게되는가?

aaaa)))) � bbbb)))) 2� cccc)))) �/2 dddd)))) 모두다틀린다.

33335555....6666 너비 a인 무한 퍼텐셜우물 안에 전자가 있다. 전자가 첫 번째 들뜬상태에있다면확률 도함수가최대가되는위치는무엇인가?

aaaa)))) 0 bbbb)))) a/4 cccc)))) a/2

dddd)))) 3a/4 eeee)))) a/4와 3a/4

33335555....7777 다음에서무엇(들)이옳은가?

aaaa)))) 전자의에너지는항상띄엄띄엄하다.

bbbb)))) 속박된전자의에너지는연속적이다.

cccc)))) 자유전자의에너지는띄엄띄엄하다.

dddd)))) 이온에속박될때전자의에너지는띄엄띄엄하다.

33335555....8888 다음에서무엇(들)이옳은가?

aaaa)))) 1차원의양자조화진동자에서에너지준위는등간격이다.

bbbb)))) 1차원무한퍼텐셜우물에서에너지준위는등간격이다.

cccc)))) 고전조화진동자에서가장작은총에너지는 0이다.

dddd))))대응원리는고전단순조화진동자의가장작은총에너지가 0이므로,

1차원 양자 조화진동자의 바닥상태(n�0)의 에너지 또한 0이어야 한다고말한다.

eeee)))) 1차원조화진동자의 n�0상태는 �x�p가최소인상태이다.

33335555....9999 단순조화진동은 퍼텐셜에너지 함수가 (1/2)kx2일 때(여기서 k는상수이다) 일어난다. k가 증가하면 바닥상태 에너지준위는 어떻게 되는가?

aaaa)))) 증가한다. bbbb)))) 불변이다. cccc)))) 감소한다.

33335555....11110000 에너지 E�5 eV의 입자가 높이 U�8 eV의 에너지장벽에 접근한다. 양자역학적으로는 입자가 장벽을 터널링할 확률이 존재한다. 장벽의높이가천천히낮아진다면, 입자가장벽에서반사할확률은어떻게되는가?

aaaa)))) 감소한다. bbbb)))) 증가한다. cccc)))) 불변이다.

설명문제

33335555....11111111 참과 거짓을 판별해라: 슈뢰딩거 파동함수의 진폭이 클수록 운동에너지가커진다. 구한답을설명해라.

33335555....11112222 길이 L인무한네모우물에갇힌입자의에너지가증가하면 0과L/2사이에서입자를발견할확률은어떻게되는가?

33335555....11113333 양자수 n이 무한으로 접근할 때 무한 네모우물 파동함수가 어떻게되는지생각해보자. 이극한에서확률분포는대응원리를따르는가?설명해라.

33335555....11114444 1차원 조화진동자의 짝수 n상태에 대한 운동량의 기댓값이 0

이라는것을대칭성으로논증해라.

33335555....11115555 전자의 위치 기댓값이 전자의 확률함수 �(x)가 0인 곳과 일치할수있는가?만약가능하다면, 구체적인예를들어라.

33335555....11116666 너비 20nm인 무한 퍼텐셜우물과 깊이 1 eV,너비 20nm인 유한 퍼텐셜우물 안에 있는 전자의 가장 낮은 에너지 파동함수를 각각그려라. 그림을 이용해서 유한 퍼텐셜우물의 에너지준위가 무한 퍼텐셜우물보다높은지, 낮은지, 아니면같은지판별할수있는가?

33335555....11117777 백색왜성의 중심부에서는 온도가 매우 낮기 때문에(~ 104 K)

탄소 핵들이 규칙적인 격자상태로 갇혀 있다고 생각된다. 격자간격이20 fm인 탄소 원자들의 1차원 격자를 생각해 보자. 격자에 있는 세 원자 중 중간 원자를 고려한다. 양쪽 원자의 쿨롱 퍼텐셜을 작은 진동으로어림하여 2차식으로만들어라. 이온도에서중간에있는탄소원자의에너지상태는무엇인가? (E� kBT를사용해라.)

33335555....11118888 유한 네모우물에서 에너지가 우물의 깊이보다 큰 해와 작은 해가있었다. 만약입자의에너지가우물깊이와같으면퍼텐셜우물밖에서 해가 같다는 것을 증명해라. 답을 설명하고 무슨 어려움이 있는지설명해라.

33335555....11119999 다음과 같은 퍼텐셜을 가진 반쪽 조화진동자의 속박상태로 허용되는에너지들을생각하자.

이 퍼텐셜에서 허용되는 속박상태의 에너지는 무엇인가?허용되는 파동함수의특성을토대로설명해라.

32

연습문제 541

33335555....22220000 �(x)가전자의상태를기술하는제대로규격화된파동함수라고가정한다. 실수 에 대해 두 번째 파동함수 �새(x)�ei�(x)를 생각하자. 새로운 파동함수와 관련된 확률 도는 �에 관련된 확률 도와 비교하면어떠한가?

33335555....22221111 질량m인입자의바닥상태에너지를생각하자. 퍼텐셜에너지는U(x)�U0 cosh(x/a)이며, U0와 a는 상수이다. 입자의 바닥상태 에너지를다음과같이어림할수있음을보여라.

33335555....22222222 질량 m인 비상대론적 자유입자에 관한 슈뢰딩거 방정식은 드브로이 방정식에서 제안한 것과 같이 에너지 관계 E�p2/(2m)에서 E

와 p를적절한미분연산자로대체하면얻을수있다. 이과정을이용하여질량m인 상대론적 입자에대한양자파동함수를유도해라. 여기서에너지-운동량관계식은 E2�p2c2�m2c4이다. 이관계식의제곱근을취하지말라.

연습문제

각장의푸른색문제번호는문제풀이집에풀이한문제를나타낸다. 또한푸른점 •와 ••은문제의난이도를표시한다.

33335555....1111절

33335555....22223333 중성자의운동에너지는 10.0 MeV이다. 중성자의회절효과를관측하려면어느정도크기의물체가필요한가?자연에서 10.0MeV중성자의파동성을보여줄수있는위와같은크기의표적물을찾을수있는가?

33335555....22224444 실변수 x의 복소함수가 f(x)�(8�3i)x�(7�2i)일 때, |f(x)|2을계산해라.

33335555....3333절

33335555....22225555 너비 2.0 nm의상자안에있는전자의파동함수가가질수있는가장낮은두에너지를구해라.

33335555....22226666 너비 1.0 Å의 상자 안에 있는 양성자의 파동함수가 가질 수 있는가장낮은세에너지를구해라.

33335555....22227777 바닥상태와 첫 번째 들뜬상태 사이의 에너지차 비율은 길이 L

인 무한 네모우물과 길이 2L인 무한 네모우물에서 어떻게 되는가?즉(E2�E1)L/(E2�E1)2L을구해라.

•33335555....22228888 전자가너비 1.0 nm인 1차원무한퍼텐셜우물에갇혀있다.

aaaa)))) 두번째들뜬상태와바닥상태의에너지차를구해라.

bbbb)))) 복사전이로방출되는빛의파장을구해라.

•33335555....22229999 중심이 원점에 있는 1차원 무한 네모우물의 파동함수를 구해라. 벽은 0과 a가아니라 a/2와 �a/2에있다.

•33335555....33330000 보기문제 35.1에서 너비 2.00 Å인 1차원 상자에 갇힌 전자의바닥상태 에너지를 계산했다. 하지만 원자는 일반적으로 지름이 1

Å�10�10 m인 3차원적 존재이다. 좀 더 나은 어림은 전자가 3차원 상자에갇혀있다는모형일것이다(길이 1.00 Å인정육면체상자).

aaaa)))) 계의파동함수와그에대응하는에너지를구해라.

bbbb)))) 바닥상태에너지는얼마인가?

33335555....4444절

33335555....33331111 그림 35.10의퍼텐셜우물에전자가갇혀있다. 우물의너비는 1.0

nm이며, 깊이는 2.0 eV이다. n�3인상태는우물에속박되어있는가?

33335555....33332222 운동에너지 18.0 eV의양성자가높이 29.8 MeV,너비 1.00 fm인직사각형 퍼텐셜에너지 장벽과 만난다. 양성자가 장벽을 투과할 확률은얼마인가?

•33335555....33333333 보기문제 35.4에서기술한중성자의운동에너지가 15%증가하면중성자가장벽을 투과할확률은몇배증가하는가?

•33335555....33334444 양의 x방향으로 움직이는 전자빔이 높이 2.51 eV, 너비 1.00

nm인 퍼텐셜장벽과 만난다. 전자의 운동에너지는 2.50 eV이고, 전자들은 장벽에 1초에 1000개의 빈도로 도달한다. 전자들이 평균적으로장벽을 통과하는 빈도 IT(전자수/s)는 무엇인가?전자들이 평균적으로장벽에서반사해나가는빈도 IR은얼마인가?전자들이장벽을통과하기전과후의파장을구해서비교해라.

•33335555....33335555 너비 2.00 nm,높이 7.00 eV인 퍼텐셜장벽에 접근하는 전자가10.0%의확률로장벽을투과할에너지는얼마인가?

•33335555....33336666 무한 퍼텐셜장벽을 가진 크기 1.00 nm�2.00 nm�3.00 nm의3차원 상자 안에 있는 전자를 생각하자. 가장 낮은 6개 에너지준위의양자수 nx, ny, nz와 eV단위의 에너지를 구해라. 이 에너지준위들은 겹치는가?다시말해다른양자상태들이동일한에너지를갖는가?

•33335555....33335555 STM에서 탐침의 전자가 0.100 nm 틈을 터널링할 확률은0.100%이다. STM탐침의일함수를계산해라.

••33335555....33338888 네모우물 퍼텐셜을 생각하자. x < �� 및 x > �에서 U(x)�0

이고, �� x � �에서 U(x)��U0이며, U0 > 0이다. 세 역에대한슈뢰딩거방정식의해는각각다음과같다.

x < ��인 경우: �(x)�ei�x�Re�i�x이며, �2�2mE/�2이고, R은 반사파동의진폭이다.

�� x � �인 경우: �(x)�Aei�x�Be�i�x이며, �2�2m(E�U0)/�2


이다.

x > �인경우: �(x)�Tei�x이며, T는투과파동의진폭이다.

�와 ��에서 파동함수와 그 도함수가 연속일 조건으로부터 R과 T를구해라. 또한 R�0일조건을구해라.

••33335555....33339999 aaaa)))) 그림과같은유한깊이의대칭적인 1차원퍼텐셜우물에갇혀있는전자의속박상태에대한에너지준위와파동함수를구해라.

bbbb))))고전적금지 역안으로의침투깊이�를파동함수가 1/e로줄어드는우물가장자리의거리로정의할때, 침투깊이에대한표현식을구해라.

cccc))))일반적인GaAs-GaAlAs양자우물레이저다이오드안의전자들은너비가 1nm이고 깊이가 0.300 eV인 그림과 같은 1차원 양자우물 속에갇혀 있다. 슈뢰딩거 방정식의 수치 해에 따르면 전자는 오직 하나의속박상태만갖는다(에너지 0.125 eV).이경우의침투깊이를계산해라.

33335555....5555절

33335555....44440000 산소분자는진동수가 2.99�1014 rad/s인단순조화진동자처럼거동하는 진동모드를 갖고 있다. 바닥상태와 첫 번째 두 들뜬상태의 에너지를계산해라.

33335555....44441111 조화 퍼텐셜우물 안의 전자가 3→1양자뜀에서 파장 360 nm의광자를 방출한다. 3→2양자뜀에서 방출되는 광자의 파장은 얼마인가?

(귀띔: 광자의에너지는전자의초기상태와최종상태에너지차와같다.)

33335555....44442222 수소 분자 H2의 실험결과에 따르면 에너지준위의 간격은 약9�10�20 J로 균등하다. 그렇다면 적당한 수소 원자모형은 단순조화진동자 퍼텐셜에 있는 수소 원자일 것이다. 수소 원자가 용수철상수 k인용수철같은분자에달려있다고가정하면, 용수철상수 k는얼마인가?

•33335555....44443333 한변의길이가보어반지름(R�0.0529 nm)의두배인정육면체에갇혀있는전자의바닥상태에너지를구해라. 조화진동자에서똑같은바닥상태에너지를주는용수철상수를구해라.

•33335555....44444444 조화진동자 퍼텐셜 안에 있는 입자의 초기 파동함수는�(x,0)�A[�0(x)��1(x)]이다. �(x,0)를규격화해라.

•33335555....44445555 조화진동자의바닥상태파동함수는 �0(x)�A2e�x2/2b2이다.

aaaa)))) 규격화상수A2를구해라.

bbbb)))) n�0상태에 있는 양자 조화진동자가 고전적 금지 역에서 발견될확률을구해라.

33335555....6666절

33335555....44446666 너비 L인무한퍼텐셜우물안에서 n�3상태에입자가있다. 우물의오른쪽 10%부분에서입자를발견할확률은얼마인가?

33335555....44447777 전자가 x�0과 x�L 사이에 갇혀 있다. 전자의 파동함수는�(x)�Asin(2�x/L)이고, x < 0과 x > L의 역에서는 0이다.

aaaa)))) 규격화상수A의값을구해라.

bbbb)))) 전자를 0 � x� L/3 역에서발견할확률은얼마인가?

33335555....44448888 너비 2.00 nm인 1차원무한우물에전자가 n�2상태로갇혀있다. 0.800 nm와 0.900 nm사이에서 전자를 발견할 확률을 구해라. (우물의왼쪽경계가 x�0이고오른쪽경계는 x�2.00 nm이다.)

•33335555....44449999 전자가 너비 L�300. pm인 1차원 무한 퍼텐셜우물에 갇혀 있다. 전자가 첫 번째 들뜬상태에 있을 때 구간 x�0.500L과 x�0.750L

사이에서전자를발견할확률은얼마인가?

33335555....8888절

•33335555....55550000 파동함수가 �(x,t)�Ae��x2e�i�t일때 x의불확정도를구해라.

•33335555....55551111 질량 m, 운동량 pppp의 3차원 비상대론적 자유입자의 평면파 파동함수를 표기해라. 여기에 슈뢰딩거 방정식이 요구하는 올바른 시간의존성을포함시켜라. 이파동의확률 도는무엇인가?

•33335555....55552222 정상상태(에너지고유상태)에양자입자의파동함수를 �(x,t)라고 하자. 입자 위치의 기댓값 <x>의 계산은 본문에 있다. d<x>/dt를계산해라.(<dx/dt>가아니다).

••33335555....55553333 흔히정상상태나에너지고유상태로양자계를특징짓지만, 에너지를측정하지않는한양자입자가반드시이런상태에있을필요는없다. 입자의 실제 상태는 초기조건에 의해 결정된다. 너비 a인 1차원무한 우물 안에 있는 질량 m의 입자가 다음의 파동함수를 갖는 상태에있다고가정하자.

여기서 �1은 양자수가 n�1인 정상상태를, �2는 n�2인 상태를 나타낸다. 이상태에있는입자의위치 x에서의확률분포를계산해라.

33335555....11110000절

33335555....55554444 40장을 보면 두 양성자 사이의 핵융합 반응으로 (중양성자, 반전자, 중성미자를생성하면서) 0.42 MeV의에너지가방출된다. 핵융합은 별이 빛나는 근원이며, 핵융합을 잘 이용하면 전 세계의 에너지 문제를 완전히 해결할 수 있다. 이 에너지와 양성자-반양성자 쌍소멸에서방출되는에너지를비교해라.

33335555....55555555 입자-반입자 쌍들은 종종 진공 중에서 생성된다. 에너지-시간불확정성을 살펴보았을 때, 다음의 입자쌍은 얼마나 오랫동안 존재할수있는가?

aaaa)))) 전자/양전자쌍 bbbb))))양성자/반양성자쌍33335555....55556666 양전자와 전자의 쌍소멸은 반대방향으로 움직이는 두 개의 2.0

MeV감마선을 생성한다. 양전자의 운동에너지가 전자보다 2배 더 클때전자의운동에너지를계산해라.

연습문제 543

추가문제

33335555....55557777 보기문제 35.1에서 기술한 전자를 첫 번째 들뜬상태로 올리려면얼마의에너지가필요한가?

33335555....55558888 STM에서나온전자들이자신들의총에너지보다 4.0 eV만큼더높은 퍼텐셜장벽을 만난다. 만약 바늘 끝이 표면에서 0.10 nm멀어진다면, 터널링전류는몇배로변하는가?

33335555....55559999 전자가무한퍼텐셜인 3차원정육면체 L3에갇혀있다.

aaaa)))) 바닥상태의파동함수에대한규격화된해를구해라.

bbbb)))) 전자의 스핀을 고려하여 두 번째 들뜬상태까지 점유할 수 있는 전자의개수를구해라.

33335555....66660000 교실시범실험에서사용하는질량-용수철조화진동자의각진동수는 �0�4.45 s�1이다. 만약진동자가총에너지(운동에너지더하기퍼텐셜에너지) E�1.00 J로진동한다면, 대응되는양자수 n은무엇인가?

33335555....66661111 너비 ��1.00 nm인 1차원무한퍼텐셜우물안에있는양성자의첫번째들뜬상태에너지를계산해라.

33335555....66662222 무거운 원자핵 안에 있는 5.6 MeV의 알파입자가 평균 높이 17

MeV,너비 38 fm인장벽에부딪친다. 알파입자가장벽을투과할확률은얼마인가?

33335555....66663333 각각의 운동에너지가 1/40 eV(대략 실온에 대응하는 크기)인평행한 중성자빔이 간격 0.50 nm의 이중슬릿을 통과한다. 1.5 m떨어진스크린에생기는간섭무늬극대점사이의거리는얼마인가?

33335555....66664444 길이 L�0.100 nm의 1차원 양자상자에 갇혀 있는 전자의 바닥상태에너지를 eV단위로구해라.

33335555....66665555 대략적인 1차원 양자점은 GaAs층을 몇 층의 AlxGa1�xAs로 둘러싸서 만들 수 있다. GaAs층은 단층두께 0.28 nm의 정수배 정도의두께로 가공할 수 있고, GaAs층에 있는 전자들은 상자 안에 갇힌 것처럼거동한다. 간단히계산하기위해서상자를 1차원무한우물로취급하고, 전자들과 Ga, As원자들 사이의 상호작용을 무시하기로 하자.

(이러한 상호작용은 종종 실제 전자질량을 유효질량으로 대체하는 방식으로 처리한다.) 이 우물에서의 바닥상태 에너지를 다음에 대해서계산해라.

aaaa)))) 2개의GaAs층 bbbb)))) 5개의GaAs층33335555....66666666 4.00m�10.0m�10.0m인방안의수증기분자를생각해보자.

aaaa))))분자를 상자 안의 단순입자로 볼 때, 분자의 바닥상태 에너지는 무엇인가?

bbbb)))) 이에너지를 300. K에서분자의평균열에너지와비교해라.

cccc)))) 방금계산한두값에서얻을수있는결론은무엇인가?

33335555....66667777 분리거리 8.4 fm인단단한벽사이를움직이는중성자의바닥상태에너지는무엇인가?

•33335555....66668888 STM을이용하여시료의표면을조사한다. 탐침의끝과시료표면 사이의 거리 a가 작동범위 L 내에 있다면 전자의 파동함수는|�|�e�(10.0 nm)�1a에따라지수함수적으로감소한다. STM바늘끝을통과하는 터널링 전류는 터널링 확률에 비례한다. STM 탐침의 끝이 시료표면 위 0.400 nm에 있을 때와 0.420 nm위에 있을 때 흐르는 터널링전류의비율은얼마인가?

•33335555....66669999 너비 2.00 nm인 1차원 무한 우물에 전자가 갇혀 있다. 전자가n�4상태에서 n�2상태로 전이하면서 방출하는 광자의 에너지는 두상태의에너지차와같다. 광자의파장은얼마인가?

•33335555....77770000 마주보는끝이 2.00 nm로분리된두개의긴직선평행도선이있다. 이 틈새에 갇힌 전자의 퍼텐셜에너지는 두 도선의 전도띠 에너지보다약 1.00 eV더크다. 전도띠의전자는도선에흐르는전류에기여할 수 있는 에너지를 가지고 있다. 틈새에 도달한 도선의 전도전자가다른도선으로건너뛸확률은얼마인가?

•33335555....77771111 너비 a�0.10 nm인 1차원 무한 퍼텐셜우물에 갇혀 있는 전자와, 길이 a�0.10 nm인 3차원 정육면체 모양의 무한 퍼텐셜우물에 갇혀 있는 전자를 생각해 보자. 정육면체에 갇힌 전자는 바닥상태에 있다고 하자. 1차원 우물에 있는 전자가 어느 상태에 있을 때 두 전자의에너지차가최소가되는가?또한에너지차는얼마인가?

•33335555....77772222 에너지 129 keV의전자가그림과같이 x < 0일때는무한퍼텐셜이고 529.2 fm와 2116.8 fm사이에서는 유한한 높이 U1인 퍼텐셜장벽사이에갇혀있다. 퍼텐셜외부에서전자를발견할확률이 10.0%라면퍼텐셜장벽의높이는얼마인가?

•33335555....77773333 2차원 직사각형 무한 퍼텐셜우물의 xy평면에 갇힌 전자를 생각하자. 우물의 너비는 x방향으로 w이고, y방향으로 2w이다. 겹침이일어나는 최소 에너지를 구해라. 겹침은 다른 두 상태가 같은 에너지를갖는것을뜻한다.

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