VTS Subotica Signali

5/28/2018 VTS Subotica Signali

1/264

VIA TEHNIKA KOLA SUBOTICA

Obrada signala( verzija 2)

rukopis

Dr. DRY PTER


2/264

1. Uvod

1

1.1ta je obrada signala 21.2Gde se danas koristi DSP tehnologija 21.3Zato je bolja digitalna obrada od analogne 31.4Mogunosti digitalne tehnike 51.5Digitalni raunari 61.6Tipian DSP sistem i njegov razvoj 71.7Predmet knjige 8

2. Analogni signali i analiza mrea 9

2.1 Razlaganje periodinih signala 92.2 Raunanje srednje vrednosti 142.3 Mree periodinih struja 172.4 Snaga i trenutna snaga 182.5 Klasifikacija snaga 192.6 Fourier-ova transformacija 222.7 irina spektra 24

3. Analogni signali i sinteza mrea 26

3.1 Podela filtara 263.2 Zadavanje specifikacija filtara 283.3 Priblini postupci 31

3.3.1 Uporeivanje aproksimacija 373.3.2 Frekventne transformacije 39

3.4 Sinteza aktivnih RC kola 413.4.1 Realizacija aktivnih RC kola 42

3.5 PLL-Fazno povratna sprega 473.5.1 Direktan uslov sinteze 483.5.2 Posredno generisanje sa PLL strujnim krugom 503.5.3 Primena PLL strujnih krugova 51

4. Sluajni procesi i signali 53

4.1 Sluajne promenljive 534.2 Sluajni procesi 61

4.2.1 Definicija sluajnih procesa 614.2.2 Oznaavanja 62

4.3 Statistike prvog i drugog reda 624.4 Kordinatne transformacije 634.5 Momenti i autokorelacija 654.6 Vremenski proseci 674.7 Stacionarni procesi 67

4.8 Spektralni domen 69

5. Analogno/digitalna i digitalno/analogna pretvaranja 73

5.1 Uzorkovanje analognih signala 745.2 Teorema uzorkovanja 775.3 Kvantizacija i kodovanje 835.4 Diskretna obrada neprekidnih signala 845.5 Interpolacija i decimacija diskretnih signala 885.6 Primena menjanja uzorkovane brzine 94


3/264

6. Diskretni signali i sistemi 101

6.1 U vremenu diskretni signali 1026.2 Osnovne operacije i karakteristini vremenski redovi 1036.2.1 Osnovne diskretne operacije 1036.2.2 Karakteristini vremenski redovi 1046.2.3 Klasifikacija diskretno vremenskih signala 106

6.3 Opis diskretno vremenskih sistema 1126.3.1 Vremenski invarijantni (nepromenjeni) sistemi 1126.3.2 Linearni sistemi 1126.3.3 Kauzalnost 1136.3.4 Sistemi sa pamenjem 1136.3.5 Stabilnost 114

6.4 Linearno vremenski invarijantni sistemi 1146.4.1 Nekoliko osobina konvolucionog zbira 116

6.5 Klasifikacija LTI sistema 1166.6 Diskretni vremenski redovi i sistemi u frekventnom domenu 1176.7 Opis vremenskih redova sa Fourierovom transformacijom 1186.8 Diskretna Fourierova transformacija konane duine 119

6.9 Cirkularna konvolucija 1216.10 Simetrine osobine diskretne Fourierove transformacije 1246.11 Teoreme Fourierove transformacije 1266.12 Karakteristini Fourier transformacioni parovi 1276.13 FFT-brzi Fourier-ov transformacioni algoritam 127

6.13.1 Aritmetika sloenosti raunanja DFT-a 1286.13.2 FFT 129

6.14 Prozorske funkcije 1306.14.1 Pravougaona prozorska funkcija 1336.14.2 Druge puno upotrebljavane prozorske funkcije 1346.14.3 Parametarske prozorske funkcije 139

6.15 Auto- i unakrsna korelacija 143

7. Z-transformacija i njena upotreba u analizi LTI sistemima 150

7.1 Z-transformacija 1507.1.1 z-transformacija kauzalnih i nekauzalnih redova 152

7.2 Najpoznatiji z-transformacioni parovi 1587.3 Osobine z-transformacije 1597.4 Inverzna z-transformacija 160

7.4.1 Tabelarni postupak 1617.4.2 Razlaganje na parcijalne razlomke 1627.4.3 Razvoj u red 164

7.5 Uniliteralna z-transformacija 1657.5.1 Linearne diferencijalne jednaine sa konstantnim koeficijentima 1667.6 Analiza LTI sistema sa upotrebom z-transformacije 1677.7 Stabilnost diskretnih sistema 168

7.7.1 Jury test stabilnosti 1697.7.2 Schr-Chon test stabilnosti 1707.7.3 Stabilnost funkcija drugog reda 172

8. Struktura diskretno vremenskih sistema 176

8.1 Oznake 177


4/264

8.2 Osnovne IIR realizacije 1798.2.1 Direktna realizacija 1798.2.2 Transponovana forma 1818.2.3 Kaskadna forma 1838.2.4 Forme paralelne realizacije 185

8.3 Osnovni sklopovi za realizaciju FIR mrea 1878.3.1 Forma direktne realizacije 1878.3.2 Kaskadna realizacija FIR filtra 188

8.4 FIR realizacija sa linearnom fazom 188

9. Upotreba DFT-a 190

9.1 Fourier-ova analiza signala sa upotrebom DFT-a 1919.2 Spektrar determistikih signala 1939.3 DFT analiza sinusnih signala 194

9.3.1 Uticaj prozorisanja 1959.4 Vremenski zavisna Fourier-ova transformacija 202

9.4.1 Uticaj prozorske funkcije 2049.4.2 Analiza govornog signala 205

9.5 Blok konvolucija sa vremensko zavisnom Fourierovom transformacijom 205

9.6 Parametri vremensko diskretnih sluajnih procesa 2069.7 Spektar stacionarnih signala: Periodogram 2079.7.1 Welch postupak: Usrednjavanje modifikovanog periodograma 209

9.8 Filtriranje vremensko diskretnih sluajnih signala 213

10. Projektovanje FIR filtara 216

10.1 Osobine FIR sistema 21710.2 Osobine impulsnog odziva funkcije sistema sa linearnom fazom 21810.3 Poloaj nule u z-ravni FIR sistema sa linearnom fazom 22010.4 Sinteza FIR filtra sa prozorskom funkcijom 221

10.4.1 Visokopropusni filtar 22210.4.2 Filtar propusnik opsega 22210.4.3 Filtar nepropusnik opsega 22410.4.4 Uloga prozorskih funkcija u projektovanju filtara 22510.4.5 Sinteza FIR filtra uz pomoKaiser prozorske funkcije 226

10.5 Projektovanje FIR filtra na bazi frekventnog uzorkovanja 23010.6 Sinteza diskretnog diferencijatora 23610.7 Hilbertov transformator 241

11.Projektovanje IIR filtara 24311.1 Projektovanje IIR filtra sa pribliavanjem derivacije 244

11.2 Projektovanje IIR filra upotrebei impulsnu invarijanciju 24611.2.1 Poboljana impulsno invarijantna transformacija 24911.3 Upotreba bilinearnog preslikavanja u projektovanju IIR filtra 250

11.3.1 Izoblienja bilinearne transformacije 25211.4 Predistorzija i tipska transformacija 254

11.4.1 Zadavanje specifikacija i frekventna izoblienja 25411.4.2 Tipska transformacija u analognom domenu 25511.4.3.Preslikavanje u digitalnim domenu 255

11.4.4 Realizacija digitalnog filra 256

Literatura 263

Biografija 264


5/264

Uvod

Nauka o procesiranju signala se bavi prouavanjem signala. Procesiranje signala se moedogoditi u neprekidnom i diskretnom odnosno u digitalnom sistemu. Neprekidni sistemi za obradu

signala imali su veliku ulogu sve dok se digitalni sistemi nisu usavrili do tog stupnja, da nisupostali pogodni za obradu signala u realnom vremenu. Signali se danas u veini sluaja obrauju udigitalnom domenu, digitalnim procesorima. Sa neprekidnim vremenskim intervalom ovi digitalnisistemi se povezivaju sa pretvaraima.

Usavravanje digitalne obrade signala u prvom redu se moe zahvaliti napretku raunsketehnike. U prvom stupnju napretka se koristio samo za simulaciju analognih procesa, ali vrlo brzosu doli do zakljuka, da digitalni raunar nije pogodan samo za simulaciju, ve da se mogurealizovati u digitalnom domenu kompletni sistemi, sa kojima u potpunosti moemo obraditidigitalne signale.

Ova knjiga je prvenstveno namenjena za studente viih kola sa profilom elektronike, ali jemogu upotrebljavati i ininjeri koji su vezavrili studije, prilikom korienja DSP-a. Analognomobradom signala emo se baviti samo onoliko da student stekne osnovno znanje i da kasnije moeda prati gradivo digitalne obrade signala. Autor se nije trudio na celinu, jer oblast obrade signaladanas na poetku treg milenijuma, u oblasti svake struke je uzeo zamah, i konsultovanje problemaje obimno.U ovom udbeniku autor je naao za zanimljivo, da obradi osnovne teme o obradisignala.


6/264

Uvod

2

Cilj knjige je da pripremi italaca da sam realizuje konkretne hardware-ske i software-skerealizacije, kao prvo

1. na nivou teorije,2. kroz zanimljive zadatke,3. simulacija rezultata kroz MATLAB i4. na kraju, olakati upotrebu DSP-a korisniku.

U nastavku, prvo u vezi sa gradivom trudiemo se da stvorimo laku preglednost, da bi kasnije

lake bilo praenje celog gradiva, i jo emo se truditi pokazati sredstva sa kojoma emo ovezadatke obavljati.

1.1. ta je obrada signalaNaa okolina je puna raznih uticaja, zvuk, svetlost itd. koje moemo osetiti naim ulima.

Na organizam ima pet ulnih organa, pet senzora, vid, sluh, miris, ukus i dodir. Tako za

oseaj zvuka koristimo ui. Oseaj oseamo preko nervnih sistema sa elektrinim znacima kojeprosleujemo mozgu. Kada ovi signali stignu u mozak, oni raspolau razliitim frekvencijama,amplitudama koji stvaraju sliku o dejstvu zvuka. Ovako moemo utvrditi tip zvuka (da li je tomuzika, razgovor ili buka od aviona) kao i njegov pravac. Pored toga imamo jedan snaan raunarna raspolaganju, a to je mozak. Nije teko prekopirati u velikim crtama ovaj sklop, ali je teko,odnosno nemogue napraviti sistem koji e delovati kao ljudski mozak. Ljudski mozak obraujepojave preko nervnih sistema i pretvara u elektrine signale. Ove neprekidne signale uglavnomnazivamo ANALOGNIM signalima. Na osnovu ovoga na mozak moemo tretirati kao analogniraunar sa velikim kapacitetom. Tehniku kada analogne signale obraujemo sa analognimelementima nazivamo analogno procesiranje signala.

Mi znamo da projektujemo analogni raunar, ali njegov kapacitet i fleksibilnost zaostaje zamozgom. Digitalni raunari kao PC mnogo je jednostavniji sistem i moemo postii velike rezultateu numerikoj obradi podataka, ali imaju ograniene mogunosti, nisu dovoljno brzi za obraduanalognih signala. Analogne signale moemo obraditi sa digitalnim elementima, kao prvo mora sepretvoriti u digitalni signal. Pretvaranje se vri Analogno/Digitalnim pretvaraem skraeno AD.Onaj proces kada signale obraujemo u digitalnom domenu nazivamo digitalno procesiranjesignalaa engleski Digital Signal Processing odnosno skraeno DSP. Danas vekonkretno za ovajzadatak postoje konstruisani procesori, to su procesori za digitalnu obradu signala odnosno skraenoDSP.

1.2 Gde se danas koristi DSP tehnologija?

Odgovor bi bio laki kada bi pitanje bilo gde se ne koristi?. Danas u savremenoj tehnicinema takve oblasti gde se ne koristi bar jedan DSP procesor, odnosno jedan ili vie ureaja sakojima se moe izvriti DSP raunanje (FPGA, CPLD ili neke druge bre ali ne za DSP predvieniprocesori). Elementi za DSP danas nisu skupi, naroito ako uzmemo u obzir u kakvom su odnosucena procesora i cena gotovog proizvoda. Proizvoai DSP procesora su uglavnom proizvoai kojise bave proizvodnjom procesora i analogno elektronskih ipova. Najvei proizvoai su: AnalogDevices, Hitachi, Motorola, Texas Instruments, Zilog i Zoran.


7/264

Uvod

U profesionalnim sredstvima se koristi kao na primer: instrument za merenje, sloenimupravljakim sistemima, profesionalna komunikativna sredstva, telefonske centrale, video telefonimobilni telefoni, za nadzor bolesnika, virtuelne naoare, roboti, za nadzor aviona, kod radara,kodera itd.

Osim profesionalnih sredstava koristi se jo i za regulisanje rada elektromotora. Uproizvodnji automobila, gde danas u jednom savremenom automobilu postoji vie DSP procesorakoji posebno nadgledaju koenje, reguliu rad motora itd. Takoe DSP ureaji su ugraeni u

sisteme za obradu fotografija, modeme, hard diskove, u igrice, 3D grafikim ureajima u raunarutzv. turbo kartice, HI-FI ureajima, multimedijalnim sistemima, muzikim ureajima kao na primersintisajzer, elektrina gitara itd. Ovo nabrajanje bi se moglo nastaviti. Evo par primera upotrebeDSP-a.

Muzikim instrumentima uglavnom se koristi jedan konkretni DSP procesor tzv. muzikiprocesor on predstavlja srce muzikih instrumenata. Danas u modernim sintisajzerima osnovnimuziki zvuci, realizacija razliitih muzikih uticaja nezamislivo je bez jednog ozbiljnog DSPprocesora. Za popravku akustike sale, uzimaju se u obzir razliiti postupci kao distribuiranimuziki uticaj, reverberacija itd. Sve ovo je neizvodljivo bez upotrebe DSP procesora.

U okviru komercijalnih PC raunara sve vea potreba se ukazuje za upotrebom DSPtehnologije. Modemi, hubovi, ruteri itd. danas ve za internet raunarske mree nezamisliv jenjihov rad bez DSP tehnologije. Kako raste potreba za internetom, kako koliinski tako i kvalitetnopa se sve vea i vea potreba ukazuje za upotrebom DSP procesora sa velikom snagom. Poto izdana u dan raste informaciona brzina, ali ostaju stari prenosni mediji (slabiji lokalni kablovi,analogni mreni pojaavai, analogne centrale, ometane radio mree itd.), pored novih, zahtev zaupotrebom DSP procesora je sve vei. Zadatak DSP procesor je da eliminie: greke u prilagoenjukabla, linearne i nelinearne deformacije signala i da eliminie um iz zadatog signala i na osnovutoga da na odgovarajui nain tumai dobijeni znak. CD, Hard disk, Flopi disk, sa porastomkapaciteta memorije i minimizacijom gabarita, odnosno sa porastom brzine itanje/pisanje stvorenisu suprotni uslovi, koje se ne mogu pratiti klasinim digitalnim ureajima, zato su se stvorili uslovi

za upravljanje sa DSP-om. Sa poveanjem gustine podataka, sa poveanjem brzine, uloga DSPprocesora na ovom polju je sve vea. Komercijalizacija tehnologije 3D grafike, sa pojavom PCturbo kartice, u velikoj meri je porasla upotreba DSP procesora. Danas ve su modernije igricesimulacije letenja, i one ve zahtevaju komunikaciju bar sa jednim DSP procesorom. Reenja zarealizaciju 3D grafike mogu biti video procesori ali su cene jo izuzetno velike za obinogkorisnika.Igriceizvan raunara sadre sve vie procesora, pa je DSP procesor za generisanje zvuka,za prepoznavanje zvuka i za pokrete u igrici.

Mobilni telefonunutar mree ima vie zadataka. Nekoliko od njih: kodovanje, dekodovanje,potiskivanje uma, prilagoavanje signala, izbor kanala....Za ovakve sloene zadatke, sa malimzahtevom za memorijom sa niskom upotrebom energije jedino je pogodan DSP procesor.

Za pokretanje elektromotora je izraena posebna porodica DSP-a (pr. Analog Devices,Motorolla ili Texas Instruments porodice). Ove porodice procesora se bave optereivanjemelektromotora i sa upravljakim algoritmom, ona u realnom vremenu upravlja sa MOSFET-om iliIGBT tranzistorom. Danas ve i u standardne invertore se ugrauju DSP procesori. DSP procesormoe da obrauje kontrolne signale oko MHz-nih struja, odreene reakcije da sprovede i dagenerie odreene estokanalne PWM signale za trofazno pokretanje.

Ovo nabrajanje bi se moglo nastaviti, ali to nije cilj ove knjige. Sa ovim nabrajanjem dalismo sliku, da DSP ima sve veu i veu ulogu u profesionalnom i svakodnevnom ivotu.


8/264

Uvod

4

1.3. Zato je bolja digitalna obrada signala od analogne?Gledano sa take korienja i sa razvojem dananja digitalna tehnika mnogo je naprednija

od analogne tehnike. Ove prednosti moemo svrstati u sledee kategorije: programibilnost,ponavljanje, stabilnost, laka realizacija adaptivnih algoritama, linearna karakteristika faze, NOTCHfiltar itd. Prednost digitalne tehnike je da se mogu uvati i da se mogu sabijati podaci. Digitalnatehnika ima reenja za sve probleme, ali to nije istina, ponegde analogna tehnika ima bolja reenjaod digitalne.

Razmotrimo neke dobre osobine digitalnih sistema. Programibilnost,znai da isti hardwaremoemo programirati u irem krugu, za reenja problema digitalnih signala. Ovako na primer akomenjamo parametre jednog filtra onda to vrimo programiranjem, dok kod analogne tehnike sapromenom elemenata, isto tako ako elimo da promenimo stepen ili tip filtra to kod DSP procesoraradimo programiranjem ipa, dok kod analognog filtra treba ponovo da se projektuje ploa, jer sestari ne moe promeniti za odgovarajui problem. Uticaj temperature kod analogne elemenata jenajkritiniji inilac, dovoljno je pogledati samo temperaturne karakteristike. Svaki ureaj koji sadriotpore, operacione pojaavae sa promenom temperature menja se prenosna karakteristika. Dok koddigitalnih strujnih krugova ako se radna temperatura nalazi u granicama deklarisanih odproizvoaa onda sa promenom temperature operacije se ne menjaju, rezultat operacije ostaje isti.Fleksibilizacijaako isti hardware hoemo koristiti za druge zadatke u veini sluaja nije ni potrebnoponovno programiranje. Ako je na sistem fleksibilan jednostavno aktiviramo neki drugimemorijski domen ili fiziki promenimo unapred programiran memorijski ip, ili sa spoljnjimprekidaima prekopamo na drugi memorijski domen, i isti taj memorijski ip sada se moe koristitiza drugi zadatak. Starenje naroito su osetljivi analogni ureaji, i unutar toga kondenzatori, jer savremenom materijal dielektrine izolacije umori se i samim tim se promeni elektrina osobinaunutar strujnog kruga. Ovu injenicu trebamo uzeti u obzir prilikom projektovanja.

Tolerancija, parametarska razlika elementa ili sistema. Vano je uzeti u obzir prilikomprojektovanja, ali isto tako i prilikom izrade. Zbog toga projektant uglavnom ispie tolerancijuelemenata prilikom izrade. Tolerancija otpornika je uglavnom 5% skuplji su 2%, mogu biti i 1% a imanje. Tolerancija tipinih kondezatora je 20%, a moe i vie. Kod analognih sistema pripadajupodaci koje sadre osetljivost sistema i toleranciju parametara.

Sistemi koji su napravljeni od analognih elemenata, njihovo ponaanje ne znamo tanoodrediti. Nakon zavretka ureaja ako je potrebno mora se kalibrisati. Proizvoasmatra za uspenuproizvodnju predfiltriranje elemenata. Vana su i merenja nakon zavretka procesa proizvodnje.Preko ovih merenja moge se izvriti korekcije u pripremi sastavnih elemenata, ili u planudokumentacije proizvoda.

Osetljivost i granicu tolerancije trebamo uzeti u obzir prilikom raunanja analognih strujnihkrugova. Preko ovoga se moe izbei uticaj promene parametara sastavnih elemenata. Analizaosetljivosti i toleranciona analiza je sloen proces. Ako uzmemo u obzir promenu parametarasastavnih elemenata onda postaje sloeniji strujni krug i primorava projektanta da prihvati i nepoeljne kompromise. Projektovanjem digitalnih ili DSP sistema mogu se izbei ovi problemi. Alidigitalne ili DSP procesore moemo projektovati kao dopunjavajue strujne krugove, da bi dosadprojektovan dobro radio i kontrolisao velike analogne i mehanike sisteme, sa vremenom dakoriguje parametre. (ilustracija se moe videti na slici 1.1).


9/264

Uvod

a) Sistem pogreno radi b) Korigovan sistem

Slika 1.1. Poboljanje stare pogreno funkcionirajue analogne elektronike sa DSP-om

Kao to smo videli ako stvaramo analogni sistem i ako ponovimo to stvaranje i uporedimomerene parametre oba stvorenog sistema, trudei se odabiranjem istih sastavnih elementa, merenirezultati e se dosta razlikovati. Ako na istom analognom elektronskom sistemu merimo vie putaisti parametar moemo uoiti velike razlike u merenim rezultatima. U suprotnost analognimsistemima, delovi digitalnih sistema se ne kvare i moemo sastaviti vie hiljada sistema, a merenirezultati kod svih sistema treba da se slau.

1.4. Mogunosti digitalne tehnike

Imamo posebne zahteve u procesu realizacije, koji se mogu realizovati samo digitalnomtehnikom. Od ovih specifinih sistema pomenuemo nekoliko, na primer.filtar sa linearnom fazom,kod ovih filtara, faza spektralne komponente signala u istoj meri se menja prilikom prolaska krozfiltar. Ovakvi filtri su FIR filtri. NOTCHfiltre moemo projektovati sa DSP-om. Ovi filtriproputaju jedan veoma tanak opseg frekvencije. Adaptivno aktivni sistem za potiskivnje um-a sanapretkom tehnike sve vea joj je potreba. Svaki ureaj koji emituje zvuk u okolinuelektromagnetni talas, za oveka ili za neki sistem se javlja kao korisna pojava ili se javlja kaotetan um. Potisak uma u govornom domenu ili u elektrinom domenu smatra se kao zelena tema.Postoje i analogna reenja, ali mogunost promene karakteristike uma jako je mala, zbog togatehniki relevantno reenje moe doi u obzir tehnika sa DSP procesorom. Danas ve imamo

izraene algoritme i hardverska reenja pr. u kabini automobila u naslonu za glavu ugra

enmikrofon i sistemzvunika sa DSP-om, pilotskoj kabini u kacigi pilota ugraen sistem za

otklanjanje buke, u oba sluaja se koristi za otklanjanje buke motora, karoserije i brzinske bukeImamo gotova reenja za smanjivanje sakupljena buka u prenosnim linijama telefona, televizije. Zakompresovane podatke bez gubitka velika je potreba u informatici. Sa kompresovanim podacimamoemo utedeti prostor u memoriji, a i kod prenosa signala potreban prenosni kapacitet se moesmanjiti. Kompresovane podatke posle uvanja ili prenosa suprotnim algoritmom otpakujemo napoetnu veliinu. Postoji i kompresija sa gubitkom ali onda jedan deo informacije se gubi, ovajpostupak se koristi za kompresiju zvuka i slike.


10/264

Uvod

6

1.5. Digitalni raunariPostavlja se pitanje ako postoji standardni PC, sa osnovnim procesorom zato nije mogue

realizovati sistem za digitalnu obradu signala u realnom vremenu sa ovim procesorima, zatoimamo potrebu za procesorom koji ima drugi karakter. Na ovo pitanje odgovoriemo veoma kratko.Postoje dve osnovne strukture raunara, jedan je Neumann Jano iHarvard struktura.

Slika 1.2.Veza memorija i BUS-a kod a) Harvard i b) von Neumann procesoraNeumann Jano struktura raunara: ova struktura je postala standardna na polju

raunara. Karakteristika arhitekture je da program i polje informacije nisu odvojeni u memorijskomprostoru, a ni unutar procesora u linijama prenosnih informacija (tzv. BUS). Ovakav ureaj je biopogodan za rukovanje sa novcem, za vremenski nezavisna raunanja. Ovaj raunarski ureaj nijepredstavljao problem kod klasine upotrebe sve dok se raunar nije koristio u realnom vremenu(real time). Za ovaj zadatak nije pogodan, jer unutar bus-a odjednom se moe pojaviti samo jedanpodatak ili program, pa tako efektivnu brzinu raunara nije mogue poveati u eljenoj meri.

Harvard je danas tipina DSP arhitektura: Prvi raunar je Horward Aitken projektovao

na Harvardskom univerzitetu 1944-te (odavde potie ime). Arhitekturu Harvardskih ra

unarakarakterie, da poseduju posebni memorijski prostor i bus-eve za rukovanje sa programima i

poljem informacija. Ovaj ureaj je u prvoj fazi razvoja premaio mogunosti tehnologije, i zbogtoga su poeli da se razvijaju Neumann raunare. Tokom 1980-te sve vea potreba se pokazala zaobradu digitalnih podataka u realnom vremenu, i tada su ponovo doli do izraaja Harvard raunari.Glavni razlog za to je, da rukovanje sa veliko brojnim programima i podacima u realnom vremanujedan bus Neumann-ovog raunara ne obezbeuje.

DSP procesori raspolau iskljuivo klasianom Harvard strukturom, ili izmenjenom Harvardstrukturom. Dananje DSP procesore karakterie jedno taktno izvrenje operacije. DSP procesorizvrava tipine DSP operacije kao mnoenje, mnoenje sabiranje pomeranje informacije

(konvolucija) itd. se rauna kao jedna radnja. Najvie operacije DSP procesor izvrava u jednomradnom ciklusu. Prilikom izvrenja radnje prisutni su i dugaki pipeling ciklusi. U osnovi DSP

procesore moemo podeliti na dve velike grupe fix tani i floating point DSP procesori. Da vamdoaramo mogunosti DSP procesora pogledajmo koliko mnoenja moe izvriti u roku od 1sekunde pr. TMS320C540/50 procesor. Ako je frekvencija takta procesora 50MHz onda za jednusekundu moe izvriti 50 miliona mnoenja, koje jedan PC raunar ne moe ni pribliiti. Sloenijezadatke izvravaju jo efektivnije nego PC procesor.


11/264

Uvod

1.6. Tipian DSP sistem i njegov razvojJedan tipian DSP sistem je prikazan na slici 1.3. Danas veodreeni DSP ip se ugrauje

za odreenu primenu, on poseduje dovoljno memorije, unutranji AD konvertor, unutranju logikujedinicu, da puno puta ininjer koji gradi sistem moe razmiljati o jedno ipnom reenju. Kodosnovnih reenja treba jedan strujni krug koji pripema signal za obradu pr. AD konvertor,schmittriger itd. i potreban je jedan ureaj koji obraen signal pretvara u signal koji je kompatibilan

korisniku, ovakvi su DA konvertori, pokretaki strujni krugovi itd. Na slici 1.3. moe se videtijedan tipian ematski sklop koji sadri DSP ureaj i okolinu kao i programerski prikljuak gde suizvrene odreene promene veprilikom aplikacije.

Slika 1.3. Tipian sklop DSP sistema

Osnovni DSP hardware-ski sklop, koji se kasnije moe koristiti i u druge svrhe, ako gaukljuimo u dato okruenje gde ga elimo primeniti, sistem nee raditi sve dok ga ne programiramoDa bi mogli da ga programiramo trebamo se posluiti sa vie sredstava, kao to su:

-assembler, koji vri prevod mainskih instrukcija u onu formu koju i mainarazume.

-programi na viim programskim jezicima, mogu se prevesti na asemblere raznihproizvoaa procesora.Prilikom prevoda instrukcija sa viih programskih jezika oni mogu posedovati viak asemblerskihinstrukcija. Jo i danas vai tvrdnja, da bi iskoristili sve efektivne mogunosti DSP-a mora se

programirati samo u asembleru.-emulatori: ponaaju se kao bilo koji DSP, i mogu stupiti u kontakt sa bilo kojimprikljuenim hardware-om na njih. Ovo je izuzetno efektivno sredstvo za razvojnog ininjera jertrenutno moe da prati dogaaje, pa ne treba da nagaa. Moderni emulatori nisu zamena za DSPureaje nego su pomona sredstva za kontrolu rada programa.

-simulator, to je software-ska varijanta DSP-a. Pre nego to napravimo hardware-skiplan DSP-a, na bilo kojem raunaru moemo pustiti u rad program, i na taj nain simuliratiponaanje DSP-a.

-razvojni ciklus, u prvom koraku trebamo odluiti da li se plan moe realizovati ikako. Ovo postiemo:


12/264

Uvod

8

a.)primenom software-ske simulacijeb.) izborom hardware-a ic.) iskustvom.

Ova tri faktora su u stalnom ciklusu, sve dok se projekat ne zavri. Ako promenimo nekutaku onda eventualno treba promenuti i ostale.

Kratko emo pregledati najpoznatije proizvoae DSP procesora bez zahteva celovitosti i to

po ABC-dnom redosledu: Analog Devices, Hitachi, Motorolla, Texas Instruments, Zilog.Obrada specifinosti pojedinih procesora nije tema ove knjige, jer se DSP procesori jakobrzo se menjuju i iz dana u dan i gube aktuelnost, javlja se i problem osnove njihovih programiranjau oblasti mikroprocesorskih problema.

1.7. Predmet knjige

U drugom poglavlju se bavimo analizom analognih sistema. Ovo poglavlje obezbeujeminimalno znanje iz analiza mrea, da bi se moglo efektivno pratiti tema digitalne obrade signala.

Tree poglavlje obezbeuje znanje minimalnih mrenih sinteza. Kod sinteze digitalnihfiltara potreban je osnovni stepen znanja.

etvrto poglavlje zatvara red u pripremnim poglavljima. U ovom poglavlju na osnovnomnivou uvodimo sluajne signale i pojmove oko njih.

U petom poglavlju obraujemo prelaz sa analognog na digitalni i obrnuto. Zanimamo se i saproblemom uzorkovanja.

esto poglavlje je najobilnije poglavlje. Ovde definiemo osnovne pojmove diskretnihsignala i sa sistema. Svrstavamo diskretne signale i sisteme. Posebno se bavimo Fourier-ovom

analizom diskretnih signala. Na kraju poglavlja se bavimo korelacionom analizom diskretnihsignala.

Tema sedmog poglavlja je Z-transformacija. Posebno se bavimo problematikom stabilizacijediskretnih signala.

Osmo poglavlje obrauje sklop diskretno vremenskih sistema. Pored osnovnih sklopova kaoto su direktna, kaskadna i paralelna izvedba, obrauju se i specifini sklopovi.

Upotrebom DFT-a se bavimo u devetom poglavlju. U estom poglavlju smo obraivaliosnovu diskretnu Fourier-ovu transformaciju. U ovom poglavlju se bavimo primenom, analiziramo

determistike signale i posebno se bavimo uvodnim karakterom za analizu stohastinih signala uspektralnom domenu.

U desetom i jedanaestom poglavlju se bavimo projektovanjem FIR i IIR filtara.


13/264

Analiza analognih signaala i mrea

Drugo poglavlje uvruje vremenski neprekidne sisteme i osnove analize signala. Ovoteoretsko gradivo ima ulogu utemeljivanja, u kasnijim obradama diskretno vremenskih sistema.

Nadalje sluiemo se jednom specijalnom mreom strukturom, tzv.: parametarskikoncentrisanim, linearanim, invarijantnim i kauzalnim mreama.Unutar mrea veza izmeu struja i napona uglavnom nije linearna. Uglavnom u toku vebe mi ihsmatramo linearnim. Analiza linearnih mrea mnogo je jednostavnija, zato u veini sluaja vekod

prvog pribliavanja uzimamo da je linearan iako znamo da nije linearan. Dalja vana mrenaosobina je, da veza izmeu mrenih parametara, vremenski je konstantna (invarijantna) ilipromenjiva. Karakteristika kauzalnih mrea je da budui dogaaji ne mogu uticati na sadanjost ilina prolost.

Analiza mrea, smatra zadatim elemente strujnih krugova, nasuprot mrenim sintezama gdese moraju odrediti vrednosti mrenih elemenata. U ovom poglavlju se bavimo analizom mrea.Teorija mrea se ne bavi realizacijom elemenata strujnih krugova, to je zadatak proizvodnjesastavnih elemenata, ali uzima u obzir osobinu realizovanih elemenata.

Mree i signale opisujemo u vremenskom i frekventnom domenu. Veza izmeu ova dva

domena se ostvaruje Laplace-ovom transformacijom. Specijalni sluaj Laplace-ove transformacijeje Fourier-ova transformacija.

2.1. Razlaganje periodinih signala

Periodini signali prema definiciji mogu se karakterisati na sledei nain:

,...2,1,0),()( =+= nnTtsts (2.1)Analiza periodinih signala se gradi na Fourier-ovim teorijama. Na osnovu ove teorije svaki

periodini signal se moe razloiti na sinusoidalne lanove. Ove funkcije, na osnovu Fourier-ove


14/264

Analiza analognih signala i mrea

10

teorije moemo razlagati u red. Neka bude s(t) periodian signal, ija je perioda T, a njojpripadajua kruna frekvencija '=2/T, tada je Fourier-ov red sledei:

( )

=

++=1

0 sincos)(k

kk tkBtkAFts (2.2.)

gde su F0, Ak i Bk Fourier-ovi koeficijenti. Razlaganje indexa k=l je komponent osnovnogharmonika dok su ostali komponenti vii harmonici. Fourier-ovi koeficijenti se mogu raunati nasledei nain:

==T

tdtsdttsT

F0

2

0

0 )()(2

1)(

1

==

2

00

)()cos()(1

)cos()(2

tdtktsdttktsT

AT

k (2.3)

==

2

00

)()sin()(1

)sin()(2

tdtktsdttktsT

BT

k

U nekim sluajevima moe se skratiti raunanje koeficijenata:

1. Ako je funkcija periodina, nije potrebno raunati u intervalu od (0,T), ve bilo kojiinterval od (t0,t0+T) gde se mogu izraunati integrali, jer za rezultat dobijemo istu vrednost.

2. Ako je funcija parna, u tom sluaju:

0s)cos()(4

,)(2

)()(2

0

2

0

0 ==== kT

k

T

BdttktsT

AdttsT

Ftsts (2.4)

3. Ako je funkcija neparna, onda:

====2

0

0 )sin()(2

s0,0)()(T

kk dttktsT

BAFtsts (2.5)

4. Ako su dve poluperiode jedno drugome slika u ogledalu onda:

,0,0,0)(2 220

====

+ nn BAFts

Tts

+=+2/

012 )12cos()(

4 T

n tdtntsTA s +=+2

012 )12sin()(

4T

n tdtntsTB ; (2.6)

5. Ako se ispuni 4. uslov, i funkcija je jo parna ili neparna, u tom sluaju dovoljno jeraunati koeficijente u etvrtini periode i uzeti etvorostruku vrednost za rezultat. U ovom sluajuje dovoljno raunati koeficijenteA2n+1i B2n+1.

6. U praksi retko se vri raunanje Fourier-ovih koeficijenata pomou izraza, jer uglavnomoblici dobijene funkcije i njihov razvoj u red moe se nai tablino u literaturi. U tabeli 2.1 se moguvideti funkcije i grafikoni Fourier-ovog reda koje se mnogo upotrebljavaju u praksi. Sakombinacijom funkcija u tablici mogu se izraziti i druge funkcije. Koristei linearnost Fourier-ovetransformacije mogu se izraunati spektralne komponente.


15/264

Analiza analognih siganala i mrea

-

Tabela 2.1. Fourier-ov red sledeih funkcija

Rednibroj

Vremenski oblik signala Fourier-ov red signala

1.

++=

==

...6cos7*5

14cos

5*3

12cos

3*1

142

)/2cos()(

ttt

Tttf

2.

+++=

==

...6cos7*5

14cos

5*3

12cos

3*1

142

)/2sin()(

ttt

Tttf

3.

+++=

=

6cos7*5

14cos

5*3

12cos

3*1

12cos

2

11

)(

tttt

tf

4. ++++=

=

6cos7*5

14cos

5*3

12cos

3*1

12cos

2

11

)(

tttt

tf

5.

+++= ...5sin

5

13sin

3

1sin

4)( ttttf

6.

+++= ...5cos5

1

3cos3

1

cos

4

)( ttttf

7.

+= ...5sin

5

13sin

3

1sin

8)(

222ttttf


16/264


12

8.

+++= ...5cos

5

13cos

3

1cos

8)(

222ttttf

9.

+++= ...3sin312sin

21sin1

21)( ttttf

10.

++++= ...3sin

3

12sin

2

1sin

1

2

1)( ttttf

11.

++

++=...5sin5sin

5

13sin3sin3

1

sinsin4)(

2

2

t

tttf

12.

++

+=

...5cos5sin5

1

3cos3sin3

1cossin

4)(

2

2

t

tt

tf

U celoj tabeli koliinski odnos je sledei:

T

2= (2.7)

Moemo saeti sinusne i kosinusne lanove koji pripadaju istom harmoniku pa se takoopisuje jednim kosinusnim lanom. Ovako dobijene spektralne komponente opisuju amplitudski ifazni spektar. Diskretne komponente amplitudskog i faznog spektra se mogu raunati iz Fourier-ovih koeficijenata na sledei nain:

kkkkkkkk tkFtkFtkFtkBtkA sin)sin(cos)cos()cos()sin()cos( =+=+

kkk FA cos= s kkk FB sin= (2.8)22

kkk BAF += s tgk kk

B

A=

posle ovoga signal razvijen u red sa amplitudnim i faznim komponentama moe se opisati nasledei nain:

=

++=1

0 )cos()(k

kk tkFFtf (2.9)


17/264


-

Na slici 2.2. se moe videti oblik jednog signala kao i amplitudni i fazni spektar.

Slika 2.2.Jedan a) periodini signal b) amplitudski i c) fazni spektar

Amplitudski spektar je parna funkcija, dok je fazni spektar neparna funkcija.

Ako signale karakteriemo sa amplitudskim i faznim spektrumom nasuprot Fourier-ovimkoeficijentima Ak i Bk, dobijamo realnije vrednosti za ininjersku upotrebu koje se mogu meritiposredno ili neposredno.

Ispis Fourier-ovih redova u exponencijalnoj formi u odnosu na izraz (2.2) i (2.9), ima mnogoprednosti u raunskoj tehnici. Ove prednosti emo videti kasnije. Ova forma oznaavanja ima inedostatke, moramo uvesti pojam negativne frekvencije. Kao to emo videti negativna frekvencijase odnosi na negativne vrednosti ku izrazu (2.10).


18/264


14

Svaki realni sinusni napon, moemo opisati kao zbir dva komplex-na dela napona, od kojihjedan ima krunu frekvenciju +a drugi -odnosno:

tjtj eu

eu

tutu +==22

cos)( 000

Kao to se moe videti na slici 2.3. originalni vektor se moe zamisliti kao zbir dva dela

vektora. Ovi delovi vektora okreu se u suprotnom smeru. Original je uvek realan. Jednakomponenta ovog originala je lan sa negativnom frekvencijom, i njegov par sa pozitivnomfrekvencijom daju realni napon.

Slika 2.3. Prikaz negativne frekvencije

Exponencijalni oblik Fourier-ovog reda:

+

=

= ktjk

keCtf )( (2.10)

komplexni koeficijenti se mogu izraziti sa realnim koeficijentima:

CA jB

F ek

k k

k

j k=

=2

1

2

$ s C F0 0= (2.11)

Komplexni koeficijenti se mogu izraunati iz samog signala:

( )

=T

tjk

k dtetfT

C0

1(2.12)

Izrazi (2.10) i (2.12) ine komplexni transformacioni par.

2.2. Raunanje srednje vrednosti

U tom sluaju ako nam je poznat Fourier-ov red periodinog signala:


19/264


-

=

++=0

0 )cos()(k

kk tkIIti (2.13)

jednostavnu srednju vrednost moemo raunati na sledei nain:

0

0

010

00 )cos(1

IdttkIdtIT

IT

k

i

k

T

=++= = 444 3444 21

(2.14)

Kod raunanja efektivne vrednostiprvo izraunamo kvadrat trenutne vrednosti signala:

=

=

=

=

+++++++=1 11 1

0222

02 )cos()cos(2)cos(2)(cos)(

kkn

n

nknk

k k

kkkk tntkIItkIItkIIti

primenom integrala dolazimo do sledeeg izraza:

=

=

=

=

=

++++

++++==

1 1

0

0

0

010

0

0

01

2

10

20

0

22

)cos()cos()cos(1

)22cos(2

11

2

111)(

1

k

kn

n

T

nknk

T

k

k

k

T T

k

k

k

k

TT

eff

dttntkIIdttkIIT

dttkT

dtIT

dtIT

dttiT

I

44444 344444 21444 3444 21

444 3444 21

=

+=1

220

2

2

1

k

keff III (2.15)

Ako uvedemo pojam efektivne vrednosti harmonijskog lana:

,...2,1,2

1== kII kkeff (2.16)

onda moemo na sledei nain opisati efektivnu vrednost signala:

...222

12

00

2 +++==

=effeff

k

keffeff IIIII (2.17)

Na osnovu ovoga kvadrat efektivne vrednosti periodinog signala jednak je kvadratnom

zbiru efektivne vrednosti pojedinih harminonih lanova.

Klir faktor zadaje odnos efektive vrednosti viih harmonika i efektivne vrednosti celogsignala:

kI I I

I

I I

I

I

If=

+ + ++

=

2

2

3

2

4

2 2

1

2

1

2

21

...(2.18)

Mala je distorzija ako kima malo vrednost.


20/264


16

Zadatak 2.1.: Odredimo efektivnu vrednost prvih N harmonika sledeih periodinih signala:-pravougaoni signal,

-trougaoni signal.

Uporedimo sa efektivnom vrednou celog signala.

Reenje: Odreeni oblici signala i Fourier-ovi redovi se mogu videti u tablici 2.1. Prvo emoizraunati kvadrat efektivne vrednosti pravougaonog signala:

===2/

0

2/

0

22 111

2)(1

2TT

Neff dtT

dttuT

U

Kvadrat efektivne vrednosti trougaonog signala:

===4/

0

24/

0

22

3

1)

41(

14)(

14

TT

Heff dttTT

dttuT

U

Ako uzmemo u obzir lan sa prvim N harmonikom, onda efektivnu vrednost raunamo na sledei

na

in:

=

=N

n

neff

N

eff UU0

2

Intenzitet pojedinih harmonijskih lanova za dva signala:

2

8

2

422n

Un

U HnNn

==

Sada sreivamo u tablici 2.2. za dva razliita signala, i gledamo kako se menja procentualna

razmera efektivnih signala do N-tog lana, u odnosu na realnu efektivnu vrednost.

Tabela 2.2. Uporeivanje efektivnih vrednosti

Harmonik Pravougaonisignal

Trougaoni signal

1 90.0% 88.9%

3 94.7% 99.8%

5 96.5% 99.9%


21/264


-

a) b)Slika 2.4. Uticaj harmonika na formiranje vremenskog oblika signala kod a) pravougaonog i b)

trougaonog signala

Kao to se vidi iz tablice sa dodavanjem viih harmonika brzo se priblii efektivna vrednost,realnoj efektivnoj vrednosti signala. Ova injenica se okom moe videti kod trougaonog signalaFormiranje oblika trougaonog signala, je bre nego kod etvorougaonog signala, ako krenemo odosnovnog harmonika i korak po korak dodajemo lanove pojedinih harmonika. Ovo se lako moeproveriti sa pr. MATLAB Signal Toolbox-om a rezultat se moe videti na slici 2.4.

2.3. Mree periodinih struja

Razlaganje u Fourier-ov red primenjiv je samo u stacionarnom reimu rada mreaperiodinih struja. Kao prvo objasnimo najednostavniji sluaj, ako mrea sadri jedan naponskigenerator sa sloenim periodinim naponom napajanja. Ovaj signal nek bude u(t). Sada napiimooblik napona razvijen u Fourier-ov red:

=

= +=++= 10

10 )cos()(

k

tjkj

k

k

kk eeUUktUUtu k

(2.19)

Ovo shvatimo ovako, da svaki harmonik predstavlja jedan naponski generator kao to se vidi naslici 2.5.


22/264


18

Slika 2.5. Prikaz Fourier-ovog razlaganja u red a) zbir naponskog generatora b) uticaj razlaganjanapona u red

Poto je strujni krug linearan, vai teorema superpozicije. Na osnovu ovoga strujugeneratora moemo raunati kao zbir parcijalnih struja koje stvaraju pojedini generatori harmonika.Ovako moemo izraunati preko pojedinih generatora harmonika generisane struje, ali za to nam jepotrebno poznavanje impedanse, koje k' krunom frekvencijom optereuju generatore

harmoninih napona (gde je k ceo broj).

Impedancija optereen sa harmonijskim lanovima:

kj

k

i

iikk eZCjk

LjkRZZ =

=1

,, (2.20)

veliina pojedine komponente struje:

)cos(

1

Re)( kkk

ktjj

kk

k tkZ

U

eeUZtik

+=

=

(2.21)

vrednost potpune struje:

=

++=10

0 )cos(

)(k

kk

k

k tkZ

U

Z

Uti (2.22)

U strujnom krugu na razne naine mogu biti povezani otporiRi, kalemoviLi, i kondenzatoriCi. Index ipokazuje, da ima vie otpora, kalema i kondenzatora u strujnom krugu.

2.4. Snaga i trenutna snagaIspitajmo jedan dvopol ija je struja i(t) i napon u(t), vremenski periodini signal. Trenutna

snaga koju prihvata dati strujni krug:

p t it u t( ) ( ) ( )= (2.23)

Poto je strujni i naponski signal periodian signal, zbog toga se moe razviti u Fourier-ovred pa se izraz 2.21 moe pisati u sledeem obliku:

Linearnamrea

Linearnamrea


23/264


-

=

=

++=++=1

00

0 )cos()()cos()(k

kk

k

kkk tkUUtustkIIti .

.)cos()cos(

)cos()cos()(

1 1

00

1000

=

=

=

=

++++

+++++=

k n

nnknk

k

kk

k

kkk

tntkIU

tkUItkIUIUtp

(2.24)

Iz sloenog izraza trenutne snage, ne moemo izvui nikakav zakljuak.

Prosena snga se rauna na sledei nain:

PT

p t dt

T

= 1

0

( ) (2.25)

ako uvrstimo izraze struje i napona onda je:

,2

)22cos(cos12

])cos()cos([1

1 0

00

0 1

00

=

=

+++=

=+++=

k

T

kkkkeffkeff

T

k

kkkkk

dttk

TIUIU

dttktkIUIU

T

P

Za jednu periodu integral sinusnih funkcija je nula, tako da je srednja vrednost snage:

K+++==

=22211100

0

coscoscos effeffeffeffk

kkeffkeff IUIUIUIUP (2.26)

gde je2

kkeff

UU = i

2

kkeff

II = efektivna vrednost struje i napona k-tog harmonika.

2.5. Klasifikacija snaga

U mreama sinusnih struja, izgled snage u komplexnom domenu je sledei:

S U I= (2.27)

Na slian nain snaga pojedinih harmonika se moe opisati u komplexnoj formi.

Korisna snaga sinusnog signala:

P S U I= =cos cos (2.28)

gde cosnazivamo faktor snage. Za sloene periodine signale korisna snaga se moe raunati kaozbir korisnih snaga pojedinih harmonika odnosno:

=

==1

coscosk

kkk UIIUP


24/264


20

nema fiziki znaaj. Na slian nain moemo definisati kod sinusnih signala virtuelnu snagu sasledeim izrazom:

'sinsin1

=

==k

kkk UIIUQ

moramo naglasiti da ' nije jednak sa -jem, pa zbog toga ne moemo pisati za osnovni signal:

S P Q= +2 2 (2.29)

ve:

S P Q St

= + +2 2 2 (2.30)

gde je Stsnaga izoblienja, koja izraava meru za koliko se razlikuje sistem sa osnovnom periodomsignala od sistema sa sinusnim (u sluaju sinusnog napona i struje St =0).

Zadatak 2.2.: Meovito paralelno oscilatorno kolo (slika 2.6.), koja se sastoji od jednog otporaR=1', jednog induktiviteta reaktanse L=1' i jednog kapaciteta reaktanse 1/C. Strujni krugse napaja iz strujnog generatora:

])][2/5sin()4/3sin()6/sin(2[)( Attttig ++++=

Slika 2.6. Meovito paralelno oscilatorno kolo

a) Odredite vrednost trenutnog napona na oscilatornom krugu.b) Odredi predatu korisnu snagu, virtuelnu snagu odnosno distorzionu snagu zatim

i vrednosti i .

Reenje: a) U oscilatornom krugu maximalna vrednost napona na krunoj frekvenciji k:

gkgkkrez Ijkk

jkI

LCkCRjk

LjkRU

++

=+

+=

222_ 1

)1(

1

Uvrtavanjem na pojedinim harmonijskim frekvencijama za k (k=0,1,3,5) i vrednosti struje:


25/264


-

].V[4

1

501

1251

524

51

]V[73

27

73

271

38

31

],V[221

225_

4

3

443_

1261_

=+

+=

=+

+=

=+

=

jj

rez

jjj

rez

jj

rez

ej

ej

jU

eej

ej

jU

eej

jU

Trenutna vrednost napona:

].V[4

1

501

1251

524

51

]V[73

27

73

271

38

31

],V[221

225_

4

3

443_

1261_

=+

+=

=+

+=

=+

=

jj

rez

jjj

rez

jj

rez

ej

ej

jU

eej

ej

jU

eej

jU

Slika 2.7. Jedna perioda struje strujnog generatora i napona na oscilatornom krugu

b) Prvo raunamo korisnu snagu kao zbir korisnih snaga po harmonicima:

2cos5

1

_ == =

n

n

gneffneffrez IUP [W]

dok je virtuelna snaga snaga:

724.1sin5

1_ ==

=n

n

gnnrez IUQ [VA]

Efektivna vrednost struje i napona:

Ueff=1.449[V] s Igeff=1.7321[A].

S=UeffIgeff=2.5098[VA]


26/264


22

Sada vemoemo raunati distorzionu snagu:

][1517.1222 VAQPSSt ==

i zanimljivi uglovi:

21.48'68697.0'sin

61.8956348.0cos

===

===

SQ

S

P

2.6. Fourier-ova transformacija

Spektre neperiodinih vremenskih funkcija neposredno ne moemo dobiti pomou Fourier-ovog reda. Meutim moemo dobiti kvalitativnu zamisao o oekivanom rezultatu, ako primenimoFourier-ov razvoj u red, i stvorimo prelazno podruje. Prelazno podruje stvaramo tako da Tperiodu pribliavamo beskonanosti.U toku stvaranja prelaznog podruja, moe se uoiti smanjenjerazdaljine harmonijskih lanova odnosno 0=1/2T vrednost se pribliava nuli. Time prvobitnilinijski spektar prelazi u neprekidnu raspodelu.

Matematiki ovo prelazno podruje moe se iskoristiti, da dobijemo iz Fourier-ovog redaFourier-ovu transformaciju. Transformacioni par funkcijef(t)je sledei izraz:

+

= dejFtf tj)(2

1)(

dt

+

-

tj-f(t)e=)F(j (2.31)

u osnovnom sluajuF(j)je komplexan broj i moe se napisati u sledeem obliku:

)(arg)(s)()(

)()( )(

==

=

jFjFA

eAjF j

(2.32)

gde jeA() i ()respektivno amplitudni i fazni spektar.

U nastavku sa Fourier-ovom transformacijom bez dokaza nabrojimo nekoliko teoreme. Oveteoreme vie puta se pojavljuju u toku obrade signala u razliitim formama.

1. Teorema: Konvergencija Ako se ova teorema ispuni onda imamo Fourier-ovutransformaciju:


27/264


-

onda je simetrian transformacioni par:

)(2)( fjtF (2.35)

4. Teorema: Vremensko skaliranje)(

1)( ajF

aatf (2.36)

5. Teorema: Pomeranje u vremenskom domenu

0)()( 0tj

ejFttf (2.37)

6. Teorema: Pomeranje u spektralnom domenu

)()( 00 jjFtfe tj (2.38)

7a) Teorema: Konvolucija u vremenskom domenu Ako

)()(s)()( jGtgjFtf , onda

+

)()()()( jGjFdtgf (2.39)

7b)Teorema: Konvolucija u frekventnom domenu

+

djGjFtgtf )()(2

1)()(

(2.40)

8. Teorema: Parsevalova teorema:

= +

+

djFdttf22

)(2

1)(

(2.41)

9. Teorema: Poisson-ov izraz za sabiranje:

a) Ako jef(t)proizvoljna funkcija i )()( jFtf onda:

TjnF

TnTf s

n n

s 1jegde)(1)( == +

=

+

=(2.42)

b) Ako jef(t)=0 a t


28/264


24

2.7. irina spektra

Vano je da na odgovarajui nain uoimo minimalni spektralni domen koji je potreban, daprenos signala moemo verodostojno realizovati. Ovaj problem u osnovi se razlae na dva dela,prvo granica irine opsega signala, drugo irina opsega prenosnog sistema odnosno odreivanjegranine frekvencije.

irina opsega signala, nije jednoznano definisana koliina. irina opsega je frekventnidomen 0, unutar kojeg se nalaze spektralne komponente spektra ija je energija vea nego jednaunapred zadata vrednost. Na osnovu ovoga ovu granicu:

a) Prema prvom nainu, na osnovu energetskog spektra signalaF(j)2, ona granica, gdeje vrednost energetskog spektra ve manja nego jedna unapred odreena mala vrednost 2. Ovadefinicija ima slabu taku, ako amplituda (energija) spektra signala ima karakter talasnosti (pr. kaofunkcijasinx/x ) jer onda (na slici 2.8. se moe videti) imamo jednu unapred zadatu vrednost kojadaje viestruko reenje za irinu opsega. U ovakvom sluaju reenje se moe odrediti prema anelopispektra signala.

Slika 2.8.: Uticaj talasnog amplitudskog spektra u odreivanju irini opsega signala

b) A na osnovu drugog postupka, granice spektra signala odreujemo tako da, do zadate

vrednosti frekvencije gledamo koji udeo ima energija signala. Sa ovom definicijom eliminisali smouticaj talasnosti. Na osnovu ovog postupka, unapred zadajemo jedan mali broj. Deo (1-) je deosadraja energije signala, i nalazi se unutar granine frekvencije, odnosno:

+

=== dttfdjFEEdjF )()(1

)1()(1 2

0

22

1

2

1

20

0

(2.44)


29/264


-

Uglavnom uzimamo za =0.1, to znai da 90% energije signala se nalazi u prenosnomdomenu.

Definicije ne mogu poticati jedno iz druge. Ne moe se izdvojiti jedan par (,), za kojedobijemo isti irinu opsega za bilo koji signal.

irinu opsega prenosne karakteristike moemo odrediti na osnovu karakteristike prenosa

energije. Obeleimo sa 2 maximalnu, sa 1minimalnu i sa 0centralnu krunu frekvenciju. Zadomen irine opsega strujnog kruga biramo domen gde je amplitudna karakteristika maximalna,intenzitet energetskog spektra i levo i desno ne opadne na pola, ili vrednost amplitudskekarakteristike se ne smanji za 30%:

AA

AA2

2

2 2( ) ( )m ax m ax < < (2.43)

ako izrazimo u decibelima:

A A( ) m ax 3dB (2.44)

Veliina irine opsega:0=21.


30/264

Sinteza analognih signala i mrea

Filtri imaju osnovnu ulogu u svim poljima elektronike tako u telekomunikaciji, regulacionojelektronici, mernim instrumentima, akustici, videotehnici i u profesionalnoj i neprofesionalnojelektronici. U ovim ureajima, filtrima nazivamo one elemente koje su linearne, vremenskiinvarijantne i u vremenskom ili u frekventnom domenu na jedan unapred zadat nain modifikujuzadati signal. Veina zadataka za vebu se bazira na amplitudskim- i faznim karakteristikama, ili nakarakteristiku kanjenja sistema. Prilikom projektovanja i realizacije filtra, u sutini sledee zadatketrebamo reiti: trebamo nai datu specifikaciju prenosne funkcije, zatim ovom teorijskom filtruodreenu priblinu metodu ili aproksimaciju i na kraju za realizaciju trebamo odabrati jednokonkretno mreno reenje strujnog kruga. Kod reenja trebamo voditi rauna na toleranciju i

gubitke parametara elemenata strujnog kruga.U ovom poglavlju prvo emo se baviti zadavanjem specifikacije filtra. U nastavku baviemo

se raznim pribliavanjem amplitudne karakteristike pazei na razvoj karakteristike kanjenjasistema i na tranzientne osobine. Kada se bavimo aproksimacijom karakteristike kanjenja sistemaonda u isto vreme odreujemo i odreenu amplitudnu karakteristiku.

Za aproksimaciju amplitudske karakteristike i karakteristike kanjenja sistema pogodninaini odnose se na niskopropusne filtre, i pribline funkcije se odnose na normalizovane graninefrekvencije.

Ovo poglavlje u sutini ima dvostruki cilj, kao prvo za studente daje uvid u sintezuanalognih mrea, odnosno daje osnovu kod realizovanja digitalnih filtara. Definisani su i osnovnipojmovi koje koristimo i prilikom projektovanja digitalnih filtra. Ovakvi su, parametri tolerancijskeeme, razne aproksimacije, propusni opseg, nepropusni opseg, prelazni opseg, nisko propusni filtar,visokopropusni filtar itd.

3.1 Podela filtaraKod filtra u sutini razlikujemo tri opsega, to su: propusni opseg, prelazni opseg i

nepropusni opseg. U propusnom opsegu, filtar u idealnom sluaju bez distorzije prenese spektralnekomponente signala koje spadaju u ovaj opseg, a u nepropusnom opsegu u idealnom sluaju ne


31/264


27

prenosi spektralne komponente veih maximalno priguava. U idealnom sluaju prelazni opseg sepretpostavlja kao beskonano uzak, to se u stvarnosti ne moe postii kao to emo videti primerprilikom projektovanja tzv. FIR digitalnog filtra, ove pretpostavke mogu imati i negativneposledice.

Slika 3.1. Definicija pojedinih opsega filtra

Prvo u obzir uzimamo samo propusni opseg i nepropusni opseg. Filtri se mogu podeliti uzavisnosti od smetanja granica propousnog i nepropusnog opsegu na osnovne tipovePretpostavimo idealnu prenosnu karakteristiku u propusnom opsegu vrednost pojaanja je jedan(posle normalizacije), dok u nepropusnom opsegu je nula. U idealnom sluaju pretpostavimo, da jeskokoviti prelazni domen na graninoj frekvenciji, ili graninim frekvencijama. Kasnije emodefinisati prelazni domen.

Niskopropusni filtar:Od nulte vrednosti frekvencije do granine frekvencijeFhje propusnidomen dok od granine frekvencije do beskonanosti nepropusni domen.

Slika 3.2. Idealizovana prenosna karakteristika niskopropusnog filtra

Visokopropusni filtar:Na manjim frekvencijama do granine frekvencije je nepropusniopseg, dok od viih frekvencija do beskonanosti je propusni opseg.

Slika 3.3. Idealizovana prenosna karakteristika visokopropusnog filtra

Filtar propusnik opsega:Moemo razlikovati dve granine frekvencije. Od nulte frekvencijedo prve granine frekvencije to je prvi nepropusni opseg, dok od prve granine frekvencije do druge


32/264


28

granine frekvencije je propusni opseg i od druge granine frekvencijeFh2do beskonanosti druginepropusni opseg.

Slika 3.4. Idealizovana prenosna karakteristika filtra propusnika opsega

Filtar nepropusnik opsega: Ovaj filtarski tip je inverzan od filtra propusnika opsega. Odnulte frekvencije do prve granine frekvencije Fh1je prvi propusni opseg, dok od prve graninefrekvencije do druge granine frekvencije Fh2 je nepropusni opseg, od frekvencije Fh2 dobeskonanosti je drugi propusni opseg.

Slika 3.5 Idealizovana prenosna karakteristika filtra nepropusnika opsega

Sve propusni filtar:Ovi filtri u celom opsegu frekvencije imaju jedinstveno pojaanje samofazna karakteristika karakterie ove filtre. Sve propusne filtre koristimo uglavnom kao korektorefaze.

Slika 3.6. Karakteristike sve propusnog filtra

3.2. Zadavanje specifikacije filtra

Filtri su takvi strujni krugovi koji ispunjavaju razne potrebe izmeu ulaza i izlaza ukomplexnom frekventnom domenu, ili frekventnom domenu, ili u vremenskom domenu. Unastavku definisaemo uslove u frekventnom domenu:

Prenosna funkcija filtra prema definiciji:

)(

)()(

=

jX

jXjH

be

ki (3.1)

Iz prenosne funkcije lako se mogu raunati vrednosti koji su karakteristini u graninojfrekvenciji kao amplitudska karakteristika:


33/264


29

)(log20)( = jHa (3.2)

fazna karakteristika:

)()( = jarcH (3.3)

odnosno karakteristika kanjenja sistema koja potie iz fazne karakteristike:

=d

d )()(

(3.4)

Propisi o frekventnom domenu i o vremenskom domenu vode do komplexnog frekventnogdomena. Propisi o komplexnom frekventnom domenu odreuju poloaj polova i nule prenosnihfunkcija u ravni.

==

i

i

j

j

Ps

Zs

AsD

sNsH

)(

)(

)(

)()( (3.5)

N(s) iD(s) su polinomi sa realnim koeficijentima, zbog toga koreni polinoma uvek su realniili komplexno konjugovani parovi.

Za odreen par polova Q-faktor odreujemo prema definiciji na sledei nain:

)Re(2

)(Im)(Re 22

k

kk

kP

PPQ

+= (3.6)

gde posebno trebamo istai tzv. kritian par polova, par polova sa maximalnim Q faktorom, koji senalazi najblie imaginarnoj osi.

Osnovni oblik prenosne funkcije niskopropusnog filtra je razloen na kaskadne lanovedrugog stepena:

[ ]

+

+

=++

=

k pkpkpk

k

kk s

Q

s

H

sbsa

HsH

2

2

02

0

11

)( (3.7)

pojedini lanovi koji realizuju odreen pari polova, njihova prenosna funkcija je zavisna funkcija oddva parametra pk i Qpk gde je Qpk faktor dobrote k-tog kaskadnog lana, a pk tzv. krunafrekvencija prilagoavanja. Prenosna funkcija razloena na inioce ak i bk sa koeficijentima jepojaanje, fazno pomeranje i frekventna zavisnost grupnog kanjenja moe se izraunati

respektivno sa sledeim izrazima:

[ ] ++=

k

norknorkk

norbba

AA

4222

202

)2(1)( (3.8)

[ ] +++

=k norknorkki

norkkcs

bba

baT

4222

2

)2(1

)1(

2

1 (3.10)

=k nork

nork

b

a2

2

1arctan (3.11)


34/264


30

gde je nornormirana kruna frekvencija odnosno nor=/ni nje normirana kruna frekvencija.

U veini sluaja prilikom projektovanja polazna taka nije prenosna karakteristika, veogranienja koje se odnose na nju. Ogranienja se mogu zadati tolerancionom emom. Tolerancionaema obezbeuje veu slobodu kod realizacije filtra, nego kad bi se striktno vezala za datukarakteristiku. Toleranciona ema daje mogunost da eljena prenosna karakteristika u odreenojmeri bude upotrebljena kao priblina aproksimaciona funkcija. Svaka takva aproksimaciona

funkcija moe doi u obzir koja se nalazi izvan zabranjene povrine zadate krive tolerancione eme.Aproksimacija kao i toleranciona ema moe se odnositi na amplitudnu karakteristiku, faznukarakteristiku i karakteristiku kanjenja, u zavisnosti od toga koji filtarski parametar je prvi urealizaciji datog filtra. Dalje opirnije emo se baviti pribliavanjem amplitudne karakteristike.

U literaturi projektovanja filtra prihvaeno je da se pribline funkcije zadaju za tzv.referentne niskopropusne filtre. Za referentne niskopropusne filtre karakteristine osobine koje sezadaju u katalozima, da bismo mogli konkretno upotrebljavati osobine za filtre, moramo izvritiodreene transformacije i normalizaciju. To znai da prilikom projektovanja filtra tolerancionuemu koja sadri odreene propise sa odreenom frekventnom transformacijom trebamo preslikatiza referentni niskopropusni filtar. Primer: moemo videti preslikavanje tolerancione eme filtra

nepropusnika opsega u referentni niskopropusni filtar (moe se videti na slici 3.7.).

Slika 3.7. Preslikavanje filtra nepropusnika opsega u referentni niskopropusni filtar

Kod filtarskih funkcija razlikujemo propusni opseg, nepropusni opseg i prelazni domen. Upropusnom opsegu signal se pojaava ili proputa nepromenjeno ili u jako maloj meri se priguava.Suprotno ovome u nepropusnom opsegu signal se u velikoj meri pruguava. U prelaznom domenuprenosna funkcija nije posebno definisana, ali zato se moe oekivati da amplitudska karakteristikabude monotona. U osnovnom sluaju broj prenosnih i nepropusnih opsega moe biti i vie.

Iz referentne niskopropusne tolerancione eme proizilazi da referentni filtar (nor)amplitudskoj karakteristici nor =0....1 normiranom frekventnom domenu, u propusnom opsegufiltra mora ostati u granicama 0...-aHdok nor=norS,......., a u nepropusnom domenu svuda morada se kree ispod as. Na slici 3.8. moe se videti toleranciona ema referentnog niskopropusnog

filtra.

Slika 3.8. Toleranciona ema referentnog niskopropusnog filtra


35/264


31

Prilikom aproximacije, amplitudska karakteristika referentnog niskopropusnog filtra sepribliava sa sledeom funkcijom:

2)(1

1log20)(log20)(

nor

nornor

K

jFa

+== (3.12)

U izrazu (3.12) K(nor) je tzv. karakteristina funkcija a F(jnor) normirana prenosna

funkcija. Karakteristina funkcija mora ispunjavati sledei zahtev:

HnorK )( (3.13)

Dvosmerno izraunavanje parametara a i moe se videti u izrazu (3.14) za vrednostkritinog pojaanja:

110110

)1log(10)1log(101

1log20

10/10/

22

2

==

+=+=+

=

SH a

S

a

H

SSH

H

H aa

(3.14)

3.3. Priblini postupci

Pod uobiajnim projektovanjem filtra podrazumevamo odreivanje nule i polovereferentnog niskopropusnog filtra pored datih zahteva. Za izraunavanje korena posmatraemo viepribline metode, sa razliitim karakterima u propusnom i nepropusnom opsegu.

Aproksimacija prethodi realizaciji, i moe se razdvojiti od realizacije zadatka. Ujednostavnijim sluajevima potrebe se odnose na frekventni domen. Ako je ulazni signal sinusni iliima karakter impulsnog reda, onda se sklapanje moe izvriti na jednostavan nain za amplitudnu

karakteristiku i faznu karakteristiku ili karakteristiku kanjenja sistema overavanjem ekvivalentnihpropisia. U modernoj telekomunikaciji sve ei su specifini ulazni signali na primer. um, sinusnipaket, signali sa raznom modulacijom itd. U ovakvim sluajevima zahteve u vezi filtra u veinisluaja nemogue je prevesti za amplitudsku karakteristiku i karakteristiku kanjenja sistema, ondasu mogui sledei iteracioni postupci od analize i modifikovanja.

Izabrane karakteristine funkcije moraju imati najmanji mogui stepen i iz aproksimacionekarakteristike moe se razlikovati sa dozvoljenom grekom koju ograniava toleranciona ema.

Maximalano glatko pribliavanje sa Butterworth aproksimacijom: Karaktristika ovogpribliavanja je maximalno ravna amplitudska karakteristika kako u propusnom tako i unepropusnom opsegu. U ovom sluaju prvi izvod (2N-1) je neprekidna i jednaka je sa nulom nakrunoj frekvenciji nor=0, i

( )N

norH

norjH 222

1

1

+=

(3.15)


36/264


32

na nor krunim frekvencijama. Ova jednaina ima 2N polova. Pripadajui koreni levepoluravni i njihov proizvod daje polinomH(P).

Asimptotska vrednost priguenja u beskonanosti je:

[dB])log(20)log(20 norH NA += (3.16)

Minimalni potrebni stepen filtra se rauna iz sledee zavisnosti:

norH

norS

H

s

N

log

log

(3.17)

Neposredno moemo dobiti koeficijente aii biosnovnih lanova drugog stepena:

- za parne stepene:

12/,...,12 )12(cos2

===

i

i

b

nin

ia (3.18)

- za neparne stepene:-

2/)1(,...,2,1jeako

1

2

)12(cos2

0

1

1

1

+==

=

=

=

ni

b

n

ia

b

a

i

i

(3.19)

Slika 3.9. Butterworth-ova aproksimacija (=1) a) amplitudska karakteristika b) faznakarakteristika zaN=2,4i za 8 odnosno c) mesto polova i nula zaN=8

Csebisevljeva aproksimacija propusnog domena


37/264


33

Sa Csebisev-ljevom aproksimacijom u poreenju sa Butterworth-ov pribliavanjem, moe seostvariti mnogo bri prenos izmeu propusnog opsega i nepropusnog opsega, ali ovo moemozahvaliti talasnosti propusnog opsega. Kvadratna vrednost odreene prenosne funkcije:

( ))(1

122

2

norN

norT

jH+

=

(3.20)

gde je TN (x) N-ti Csebisev polinom:

=

1 x)],(coshcosh[

1 x)],(coscos[)(

1

1

xN

xNxTN (3.21)

Asimptotska vrednost pojaanja u beskonanosti:

[dB])log(20)1(0206.6)log(20 norNNA ++= (3.22)

Minimalni stepen filtra sa kojom moemo ostvariti propisane zahteve:

norH

norS

H

S

N1

1

cosh

cosh

(3.23)

Jednaina (3.20) je za raunanje koeficijenta ai i bi,za konkretnu oscilaciju propusnogopsega, to je dug proces, ali sa programskim paketom za obradu signala ili iz tablice lako se moeodrediti.

Na slici 3.10 moe se videti amplitudska i fazna karakteristika za vrednosti N=3, i 5odnosno poloaj polova i nula za vrednostiN=5i =0.3

Slika 3.10.Csebisev aproksimacija a) amplitudska karakteristika i b) fazna karakteristika i c)poloaj nula i polova


38/264


34

Za veu selektivnost moramo platiti povoljnijim tranzientnim osobinama. Za realizacijuCsebisev filtra potrebni su osnovni lanovi sa veim Q-faktorom, kao kod Butterworth-filtra.

Csebisevljeva aproksimacija nepropusnog domena (Inverzna csebisev-ljeva

aproksimacija)

Inverzna Csebisev aproksimacija potie iz Csebisev aproksimacije:

( )

)/(

)(1

1

2

22

2

norSnorN

SnorN

nor

T

TjH

+

=

(3.24)

Minimalni stepen filtra sa kojim se moe ostvariti propisani zahtevi:

)(cosh

)(cosh

1

1

norH

norS

H

S

N

(3.25)

Raunanje koeficijenta ai i bi pored konkretne nepropusne talasnosti dosta je dugaakproces, zato koristimo za obradu signala programske pakete ili gotove tablice.

Na slici 3.11 se moe videti inverzno Csebisev pribliavanje, amplitudska karakteristika zaN=3i 5.

Slika 3.11.Amplitudska i fazna karakteristika inverzne Csebisev-ljeve aproksimacije

Tranzientna osobina inverznog Csebisev-ljevog filtra za malo je loija od stepena istogButterworth-ovog filtra ali selektivnost se znatno poveala. Kod inverznog Csebisev filtra potrebanje manji faktor dobrote nego kod Csebisev filtra ali se javljaju nule koji poveavaju realizacijusloenosti strujnog kruga.

Cauer-ovo eliptino pribliavanje. Eliptino pribliavanje kao u propusnom tako i unepropusnom opsegu daje talasno pribliavanje


39/264


35

Sa ovim pribliavanjem moemo ostvariti naroito brze prelaze izmeu propusnog inepropusnog opsega, ali u obe oblasti amplitudska karakteristika je talasna. Kvadrat amplitudskekarakteristike opisuje sledea funkcija:

( ))(1

122

2

norN

norU

jH+

=

(3.26)

gde je UN(x)nulte vrednosti eliptina funkcija Jacobi funkcije prvog reda.

Minimalni stepen date realizacije izraunavamo sa sledeim izrazom:

1

8ln

1

4ln

222 +

norSSH

N

(3.27)

Odreivanje polova je sloen iteracioni postupak, i nije zadatak ove knjige da daje postupkeza izraunavanje. Postoje gotovi programi na raznim programskim jezicima za izraunavanje takoFORTRAN, C i MATLAB ili gotove tablice.

Od nabrojanih metoda pribliavanja sa Cauer-ovim pribliavanjem moemo ostvariti filtarsa najmanjim stepenom za iste polazne uslove. Ali ona ima i pozadinu jer je velika nelinearnostfazne karakteristike.

Eliptinu aproksimaciju upotrebljavamo onda kada elimo da realizujemo zahteve samogue najmanjim stepenom funkcije za amplitudsku karakteristiku. Nesumnjivo je da izmeuaproksimacione funkcije sa istim stepenom, pored datih vrednosti aHi aS, eliptine funkcije daju inajmanji odnos S/H. U isto vreme za realizaciju filtra potrebni su lanovi sa veim Q-faktorom.

Na slici 3.12 moe se videti amplitudska i fazna karakteristika za vrednosti N=4 odnosnopolovi i nule za istu vrednostiN=4.

Slika 3.12. Eliptina aproksimacija a) amplitudska karakteristika i b) fazna karakteristika


40/264


36

Slika 3.12. Eliptina aproksimacija i poloaj polova i nula

Koreni kod Cauer realizacije kako nule tako i polovi su konjugovano komplexni parovi,

polovi su levoj poluravni dok su nule na zamiljenoj osi. Ako je realizacija neparnog stepena ondaimamo jednu nulu u beskonanosti i imamo jedan realan pol sa negativnim predznakom.

Bessel (Thomson) aproksimacija: Sa Bessel filtrima uspelo je ostvariti oekivanja, da upropusnom domenu frekvencija je sa nezavisnim vremenskim kanjenjem, tj. sa frekvencijomsrazmerni filtri faznog pomeranja prenos pravougaonog signala je idealan. Bessel-filtri posedujuveoma dobre tranzientne osobine, ali im je selektivnost dosta mala.

Distorziono osloboen tranzentni prenos znai da signal koji prolazi kroz filtar kasni sajednim konstantnim vremenom to u odnosu na ulazni signal, ali oblik se nee promenuti. Znai uvremenskom domenu onda je distorziono osloboen prenos ako vai sledea zavisnost izmeu

ulaznog i izlaznog signala:)()( 0ttfconsttf beki = (3.28)

Za nedistorzioni impulsni prenos nije dovoljno da amplitudna prenosna karakteristika filtra uodnosu na spektar signala bude dovoljno iroka u frekventnom domenu i frekvencija budenezavisna, nego vano je da u ovom frekvencijskom opsegu vremensko kanjenje bude nezavisnaod frekvencije odnosno da bude konstantna.

Bessel filtre karakteriemo sa sledeom funkcijom:

)(1)(

SBSH

N

= (3.29)

gde jeBN(S) N-ti Bessel-ov polinom. Ove polinome moemo opisati u sledeim formama:

=

=N

k

k

kN SaSB0

)( (3.30)

koeficijente akopisuje sledei izraz:

N0,1,...,k)!(!2

)!2(=

=

kNk

kNa

kNk(3.31)


41/264


37

Slika 3.13. Bessel aproksimacija a) amplitudska b) fazna karakteristika i c) poloaj polova i nula

Sa alternativnim postupkom moge se odrediti Bessel polinomi rekurzivno iz sledeepovezanosti:

)()()12()( 22

1 SBSSBNSB NNN += (3.32)

odreene poetne vrednosti B(S)=1sB1(S)=S+1.

Vana osobina Bessel filtra je linearni fazni karakter u prenosnom domenu ovo se moevideti na slici 3.13. Na slici 3.13 se moe videti amplitudska i fazna karakteristika za N=3 i 6odnosno poloaj polova i nula za vrednostN=6.

3.3.1 Uporeivanje aproksimacija

Kao prvo moe se postaviti jedno pitanje: da li uopte postoji idealno pribliavanje?Odgovor jednoznano je ne, jer u jednom sluaju jedan tip pribliavanja daje bolje reenje a udrugom drugo reenje.

Prvo emo uporediti postupke aproksimacije amplitudske karakteristike idealnogniskopropusnog filtra

Moemo izvui jako vane zakljuke u tom sluaju ako pomou etiri aproksimacionemetode uporeujemo niskopropusne filtre sa istom karakteristikom. Uporedimo filtre koje dobijamosa sledeim specifikacijama:

N=9 aH=1dB as=60dB


42/264


38

Slika 3.15 Karakteristike priguenja sa upotrebom raznih aproksimacija a)Butterworth b)Csebisevc) Inverzni Csebisev d) Eliptina

Kao to se vidi sa slike 3.15 frekvencija norH nema uvek istu ulogu kod svakeaproksimacije. Tome da uloga bude saglasna moramo izvriti posebne transformacije ali sa ovimproblemom neemo se baviti u ovoj knjizi. Unutar propusnog opsega karakteristika oscilira kod

Csebisev i eliptinog pribliavanja. Na gornjoj granici propusnog opsega eliptina i Csebisev-ljevaaproksimacija je bolja nego Butterwoth-ova i inverzna Csebisev-ljeva aproksimacija jer unosi manjapriguenja. U prenosnom opsegu gledajui irinu prenosnog opsega najbolji je eliptini filtar ondainverzni Csebisev filtar, Csebisev filtar pa Butterworth-ov filtar. U nepropusnom opsegu Csebisev iButterworth-ov filtar je u postepenom porastu i obezbeuje vee priguenje od eliptine i invrezneCsebisev-ljeve aproksimacije. Gledano analognu ili digitalnu realizaciju filtra uvek je lakerealizovati takvu prenosnu funkciju, kada je prenosna funkcija oblika inverznog polinoma. Odnosno

kada je u izrazu (3.5)N(s) konstantan, primer kao Butterworth i Csebisev filtar, nasuprot inverznomCsebisev-om ili eliptinim filtrima koja opisuje racionalne funkcije ( u izrazu 3.5 N(s) je takoepolinom).

Karakter faznog i grupnog kanjenja sistema moemo uoiti na slici 3.16 u sluaju filtraN=4-tog reda.

Kao to se vidi na slici 3.16 fazna karakteristika Bessel-ovog filtra je linearnija negokarakteristika Butterworth-ovog filtra. Na ostalim slikama uporeujemo Butterworth-ovukarakteristiku sa ostalim aproksimacionim faznim karakteristikama. Moe se videti da je svaki loiji


43/264


39

od Butterworth-ove aproksimacije. Ovako je Bessel-ova aproksimacija od ostalih mnoga bolja. Ovose naroito odnosi na gornju granicu prenosnog opsega.

Na kraju ako analiziramo da jedan dati specifikacioni filtar sa kojom aproksimacijommoemo ostvariti sa najmanjim stepenom, odgovor je jednoznaan: eliptinim filtrom ali imaveoma lou faznu karakteristiku.

Slika 3.16. Uporeivanje faznih uglova sa upotrebom raznih filtarskih aproksimacija a) BesselButterworth b) Butterworth Csebisev c) Inverz Csebisev Butterworth odnosno d) Eliptini

Butterworth

3.3.2. Frekventne transformacije

U tom sluaju ako bi projektovali visokopropusne filtre, filtre propusnika opsega itd. ondapolazimo iz raznih aproksimacija referentnog niskopropusnog filtra (Butterworth, Csebisev itd.) iprimenjujemo odreenu frekventnu transformaciju.

Pretpostavimo da je poznat jedan niskopropusni filtar sa graninom frekvencijom c, ielimo ostvariti jedan drugi niskopropusni filtar sa graninom frekvencijom c

. Onda je odreenatransformacija:

ssc

c

,

(3.33)

ovako dobijemo jedan niskopropusni filtar sa sledeom prenosnom funkcijom:


44/264


40

= sHH

c

cpa ,

(3.34)

Na slian nain moemo odrediti odreenu prenosnu funkciju i za ostale tipove filtra.

Visokopropusni filtardobijamo preslikavanjem niskopropusnog filtra:

ss cc

,

(3.35)

prenosna funkcija visokopropusnog filtra:

=

sHH ccpa

,

(3.36)

Transformacija iz niskopropusnog filtra u filtar nepropusnik opsegadaje za rezultat dve graninefrekvencije, donju di gornju graninu frekvenciju g. Izraz je sledei:

)(

2

af

fa

cs

ss

+ (3.37)

odreena prenosna funkcija:

+=

)()(

2

af

fa

cpsas

sHsH (3.38)

Filtar nepropusnik opsega realizujemo iz niskopropusnog filtra sa sledeim

transformacijama:

fa

af

cs

ss

+

2

)((3.39)

Granine frekvencije na slian nain definiemo kao kod filtra nepropusnika opsega. Odreenaprenosna funkcija:

+

=

fa

af

cpszs

sHsH

2

)()( (3.40)

Preslikavanja filtra propusnika opsega i filtra nepropusnika opsega su nelinearnapreslikavanja i na osnovu ovoga deformiemo karakteristiku niskopropusnog filtra.

Nelinearnost u prvom redu se ne reprezentira kod prenosne funkcije, nego na osovinifrekvencije ali ne menja karakter prenosne funkcije.

Zadatak 3.1.:Transformiimo jednopolni niskopropusni filtar sa sledeom prenosnom funkcijom:

C

C

ssH

+

=)(


45/264


41

ufiltar opsega sa donjom a i gornjom graninom frekvencijomf.Odredimo prenosnu funkcijufiltra propusnika opsega, i poloaj polova i nula.

Reenje: Poeljna transformacija je izraz (3.37). Uvrteno:

faaf

af

caf

fa ss

s

s

ssH

++

=

+

+=

)(

)(

1

)(

1)(

22

prenosna funcija ima jednu nulu us=0odnosno polovi:

2

622 faafafs

+=

3.4. Sinteza aktivnih RC kola

Ova knjiga se kratko bavi realizacijom RC filtra, jer uglavnom prilikom korektne izgradnjesistema digitalnih obrada signala ispred AD konverzionog elementa moramo upotrebljavati tzvantialising filtar, odnosno iza DA konvertora tzv. rekonstrukcioni filtar. U mnogim sluajevima ovefiltre ostvarujemo aktivnim RC filtrima. Antialising filtrima i rekonstrukcionim filtrima se bavi petopoglavlje.

Prvi poslovi koji se bave mrenim sintezama odnose se na pasivne RLC strujne krugove,

koje sadre otpore, kondenzatore, induktivitete odnosno idealne transformatore kao sastavneelemente. Sa brzim razvojem telekomunikacije pojavio se vei zahtev za ovim istraivanjima. Kaorezultat istrivanja je teorija osobine povoljne pasivne osetljivosti RLC strujnih krugova i deorezultata, tablice i konane formule, i tako je postalo lako za upotrebu.

Sa napretkom tehnologije operacioni pojaava je postao osnovna graa analogneelektronike. Sa rezultatom istraivanja postalo je jasno da teko rukujui induktiviteti mogu se izfiltarskog kruga zameniti operacionim pojaavaima, kao simulacionim konvertorima induktivitetaSa usavravanjem tehnologije operacionih pojaavaa, aktivni RC filtri su osvojili veu oblast u

realizaciji filtra. Znanje koje se odnosilo na pasivne strujne krugove moglo se upotrebiti kodrealizacije aktivnih RC filtra, i krenulo je daljem teorijskom napretku.

U toku sinteze imamo dve osnovne mogunosti:-Direktna sintezaprenosnu funkciju filtra realizujemo bez razlaganja, ili-kaskadna sinteza prenosnu funkciju prvo rastavimo na stepene drugog reda prenosnih

funkcija, zatim pojedine delove funkcije ostvarujemo posebno osnovnim lanovima drugog stepenavezajui ih na red.


46/264


42

Poto cilj ove knjige nije detaljna aktivna RC sinteza a sa opirnijom mrenim sintezamaemo se baviti u digitalnim realizacijama, zbog toga knjiga se bavi informativnim karakteromkaskadnih realizacija.

Kaskadni sklop svoju popularnost moe zahvaliti teorijskoj i praktinoj jednostavnostiodnosno lakoj praktinoj upotrebljenosti. Kod kaskadne sintezi u velikom broju su katalokisreeni osnovni lanovi, poznate osobine stoje nam na raspolaganju i za svaku potrebu moe se naiodreeni tip.

Za nas poseban problem ini analiza osetljivistiaktivnih RC strujnih krugova, ali nije temaove knjige, koga interesuje ovaj problem ima na raspolaganju veliki broj literature.

3.4.1 Realizacija akivnih RC kola

Prvo emo se baviti niskopropusnim i visokopropusnim filtrima prvog stepena.

Slika 3.17.Niskopropusni aktivan RC filtar prvog stepena

Niskopropusni filtar prvog stepena moe se realizovati jednostavno pomou slike 3.17. sajednim RC lanom. Prenos ovog strujnog kruga pored jedininog pojaanjaA0=1:

sasRC

sH11

1

1

1)(

+=

+= (3.41)

Parametar a1 moe se slobodno birati ali je uglavnom a1=1, dok kod realizacije viih filtaraneparnih stepena mogu se pojaviti lanovi prvog stepena za koje a1 nije jednak jedan. Posleuporeivanja koeficijenata:RC=a1/2fh, gde jefhgranina frekvencija filtra.

Ovaj strujni krug je nezavisan od optereenja. Operacioni pojaava odvaja optereenje ipostoji mogunost za slobodno odabiranje pojaanja jednosmerne komponente sa otporima R2 i R3(A0=1+R2/R3).

Menjanjem elementa R i C, iz niskopropusnog filtra prvog stepena moe se realizovativisokopropusni filtar, pogledaj strujni krug na slici 3.18.


47/264


43

Slika 3.18. Visokopropusni aktivni RC filtar prvog stepena

Prenosna funkcija visokopropusnog filtra:

sa

sa

sRC

sRCsH

1

1

11)(

+=

+= (3.42)

Filtar propusnik opsega moe se ostvariti kao kaskadna veza jednog niskopropusnog ivisokopropusnog filtra. Na slici 3.19. se vidi objanjenje.

Slika 3.19. Realizacija filtra propusnika opsega

Prenosna funkcija filtra, kada su zanemareni pojaavaki inioci iz pojedinih osnovnihlanova prvog stepena:

22112

2211

22

22

11 )(1111

11)(

CRCRsCRCRsCsR

CsR

CsRsH

+++=

++= (3.43)

RC proizvod niskopropusnog filtra i visokopropusnog filtra moe se povezati sa jednomkonstantom k. Konstantu kodreujemo iz jednog takvog RC proizvoda koja odgovara rezonantnojfrekvenciji koja na logaritamsko frekventnoj skali sa lanovimaR1C1i R2C2se nalazi na jednakomrastojanju od prelomne frekvencije, kao to se vidi na slici 3.20. Opis filtra se uglavnom definie ulogaritamsko frekventnom domenu.

Slika 3.20. Prikaz definicije kparametra

Ovako stiemo do sledee povezanosti:


48/264


44

kFf

kFf

kFF

kFF

R

R

R

R

/logloglog

logloglog

2

1

2

1

=

=

=

+=(3.44)

odreene RC vrednosti ovih izraza:

R2C2=RC/k s R1C1=kRC (3.45)uvrteno u izraz (3.43):

22 )()1

1(1

/)(

RCsRCk

s

ksRCsA

+++= (3.46)

normirana prenosna funkcija, rezonantne frekvencijefr, filtra propusnika opsega :

2)1

1(1

/)(

sk

s

kssA

+++= (3.47)

ovaj izraz ako uporedimo sa izrazom (3.7) onda je odreeni faktor dobrote:

12 +=

k

kQ (3.48)

Q-ima maximum za k=1 a njena vrednost je 1/2. Ova mala vrednost Q-a, za realizaciju veegizraaja bi morali upotrebljavati filtar sa veim stepenom.

Optimizirane prenosne funkcije drugog i veeg stepena sadre konjugovano komplexne paripolove, nije mogue realizovati ovakve strujne krugove sa pasivnim RC strujnim krugovima. Akobi smo realizovali sa pasivnim LRC strujnim krugom onda bi moralo ugraditi induktivitete veevrednosti, koja uglavnom oteava realizaciju, odnosno velike geometrijske vrednosti, pojavauzajamnog elektromagnetnog polja sa ostalim strujnim elementima u okolini induktiviteta. Saoperacionim pojaavaem sa povratnom spregom na odreen nain, sa RC elementima strujnihkrugova moe se ostvariti takav frekvencijski domen za prenosnu funkciju, da nema potrebe zasimulacijom induktiviteta.

Prenosna funkcija niskopropusnog filtra drugog stepena:

211

0

1)(

sbsa

HsH

++= (3.49)

iroku skalu imaju razne realizacije, sa razliitim prednostima i manama. Nije cilj oveknjige da se detaljno bavi sa ovom temom, vepreko zadataka da prikae jedan postupak merenjastrujnog kruga sa upotrebom dosadanjih izraza.

Zadatak 3.2.:Projektujmo jedan niskopropusni filtar sa sledeim specifikacijama:

FH=1kHz aH=3dB FS=2.5kHz aS=20dB

Proverimo mogunost realizacije Butterworth-a i Csebisev-a.


49/264


45

Reenje:a) Prema Butterworth-u prvo je potrebno odrediti minimalni stepen filtra:

351.2

log

log

min==

NN

H

S

H

s

(3.50)

dati zahtev mogue je ostvariti kaskadnom vezom osnovnih lanova niskopropusnog filtra prvog idrugog stepena. U sluaju Csebisev realizacije:

291.1

cosh

cosh

min1

1

==

NN

H

S

H

S

(3.51)

dati zahtev se moe ostvariti niskopropusnim osnovnim lanom drugog stepena.

U sluaju Butterworth realizacije koeficijente odreujemo iz tablice ili raunanjem ili izprogramskog paketa. :

-niskopropusni osnovni lan prvog stepena

a1=1b1=0

-osnovni lan drugog stepena

a2=2cos/4=1.4142

b2=1

U sluaju Csebisev realizacije:

a1=1.0650

b1=1.9305

U nastavku baviemo se problemom realizacije strujnog kruga. U sluaju Butterworthfiltarske realizacije, filtar prvog stepena realizujemo prema slici 3.17. lan drugog stepena u sluaju

Butterworth ili Csebisev realizacije, moe se realizovati tzv. Sallen-Key niskopropusnimfiltrom prema slici 3.21.


50/264


46

Slika 3.21.

ematski prikaz Sallen-Key niskopropusnog filtra

Osnovni karakter Sallen-Key filtra je da ima dve grane povratne sprege, jedna je negativnapovratna sprega gde se moe podeavati pojaanje strujnog kruga, dok sa pozitivnom povratnomspregom moe regulisati karakter prenosne funkcije strujnog kruga. Ovom strujnom krugunegativna povratna sprega dolazi do izraaja preko otpora R3 i (1-)R3, a sa vrednou

podeavamo vrednost pojaanja. Pozitivna povratna sprega se deava preko kondenzatora C2.Prenosna funkcija Sallen-Key niskopropusnog filtra:

[ ] 21212

211211 )1(1)(

CCRRsCRCRCRssH

++++=

(3.52)

ova prenosna funkcija je sloena za analizu jer sadri puno nezavise promenjive. Ovaj strujni krugmoe imati vie pojednostavljenja. Najee je upotrebljavan kad je R1=R2=R i C1=C2=C.Mogunost realizacije za razne aproksimacije imamo mogunost sa promenom koeficijenta. Poslepojednostavljenja prenosna funkcija je sledea:

222)3(1)( CRsRCssH

++= (3.53)

Ovaj filtarski strujni krug se pretvori u oscilatorno kolo ako je linearan i ako je koeficijentpored lana nula, ovo je deava ako je =3. U ovom sluaju rezonantna frekvencija jefr=1/2RC.

Ako uporedimo koeficijente sa polaznim izrazom (3.49), onda:

1

11

b

a-3

2 ==

hf

bRC

Ako uvrstimo koeficijente onda dobiemo sledee protiv vrednosti kod Butterworth realizacije,kod lana sa prvim stepenom:RC=1/210

3=1.59 10

-4 pretpostavimo da ja C=100nF onda R=1.59K, odnosno lan drugogstepena:

RC=1/2103=1.59 10

-4pretpostavimo daje C=100nFondaR=1.59Ka vrednost faktora pojaanja=3-1.1442=1.5858 i odavde mogue vrednosti otpora: R4=(+1)R3, a za R3 moemo biratiproizvoljno vrednosti na primer:R3=10Konda jeR4=25.86K.


51/264


47

Kod Csebisev realizacije: RC=2.21 10-4pretpostavimo da je C=100nF onda R=2.21K avrednost faktora pojaanja =2.231i odavde proizvoljno biramo vrednostR3, na primer:R3=10Konda jeR4=32.31K.

3.5. PLL - Fazna povratna spregaU primeni analogne elektronike (automatika, telekomunikacija) jedan osnovni strujni krug j

VTS Subotica Signali

Documents

Transcript of VTS Subotica Signali