Vorticidad y Circulación

31.- Cinemtica de los fluidos.

31.1. Descripcin del movimiento de un fluido (941); 31.2. Campo de velocidades.Lneas de corriente (942); 31.3. Regmenes de flujo (944); 31.4. Derivada de una funcinligada a la partcula fluida (946); 31.5. Aceleracin de una partcula fluida (948);31.6. Flujo y caudal (949); 31.7. Ecuacin de continuidad (951); 31.8. Tubo de corriente(952); 31.9. Manantiales y sumideros de flujo (953); 31.10. Circulacin y vorticidad(954); 31.11. Flujo rotacional (958); 31.12. Flujo irrotacional. Potencial de velocidad(959); Problemas (963)

En esta leccin estudiaremos el movimiento de los fluidos sin interesarnos porlas fuerzas que entran en juego. Nuestro propsito es desarrollar un conjunto deconceptos cinemticos tiles para introducirnos, en las tres lecciones siguientes, enuna de las ramas ms complejas y fascinantes de la Mecnica: la Dinmica de losFluidos.

31.1. Descripcin del movimiento de un fluido.- Una forma de describir

Figura 31.1

el movimiento de un fluido consiste en dividirlo en elementos infinitesimales devolumen, asimilables al concepto de partcula, y que llamaremos partculas fluidas;entonces, es cuestin de seguir el movimiento de cada una de esas partculas fluidas.Para ello, debemos asignar coordenadas (x,y,z) a cada una de las partculas fluidas yespecificar dichas coordenadas en funcin deltiempo t. Para una partcula fluida que se encon-trase en (x0,y0,z0) en el instante t0, las coordena-das (x,y,z) en un instante t quedarn determina-das por medio de las funciones

[31.1]

x x (x0,y0,z0,t)y y (x0,y0,z0,t)z z (x0,y0,z0,t)

o bien r=r(r0,t), que describirn el movimientodel fluido (Figura 31.1). Este procedimiento es unageneralizacin inmediata de los conceptos de lamecnica de las partculas y, aunque debido

Manuel R. Ortega Girn 941

942 Lec. 31.- Cinemtica de los fluidos.

inicialmente a Euler, fue desarrollado y aplicado por Joseph Louis LAGRANGE1(1736-1813).

Sin embargo, existe otro procedimiento que resulta ms adecuado para la mayora

Figura 31.2

de los fines, desarrollado por Leonhard EULER (1707-1783), consistente en abandonarel intento de describir la historia de cada partcula fluida y, en su lugar, especificarla densidad y la velocidad del fluido en cada punto del espacio y en cada instante del

tiempo (Figura 31.2). Este es el procedimiento queseguiremos en estas lecciones. As,describiremos el movimiento del fluido especi-ficando la densidad (x,y,z;t) y el vectorvelocidad v(x,y,z;t) en el punto de coordenadas(x,y,z) y en el instante t. As pues, nosinteresaremos por lo que est ocurriendo en uncierto punto del espacio y en un cierto instantede tiempo, en lugar de preocuparnos por lo quele ocurra a una determinada partcula fluida.Cualquier magnitud fsica que utilicemos paradescribir el estado del fluido (v.g., la presin p)tendr un valor en cada punto del espacio y encada instante de tiempo, de modo que ser unafuncin de x, y, z y t (v.g., p=p(x,y,z;t)).

31.2. Campo de velocidades. Lneas de corriente.- El estudio delmovimiento de los fluidos por el mtodo de Euler nos lleva a asignar a cada puntodel espacio ocupado por el fluido un vector velocidad que es, en general, funcin delas coordenadas del punto y del tiempo, esto es, v=v(x,y,z;t). De este modo quedadefinido un campo de velocidades. Obviamente, el campo de velocidades es uncampo vectorial al que podemos aplicar la teora desarrollada en la Leccin 3(Anlisis Vectorial). A partir de las propiedades de dicho campo vectorial,obtendremos las propiedades del flujo.

En general, las velocidades de las partculas fluidas en dos puntos cualesquieradel espacio son diferentes en un mismo instante; y tambin lo son para las partculasfluidas al pasar por un punto dado en distintos instantes de tiempo. Cuando estoocurre, se dice que el campo de velocidades, y el rgimen de flujo asociado, es no-uniforme y no-estacionario (variable). Decimos que el rgimen de flujo esestacionario o permanente cuando la velocidad en un punto cualquiera permanececonstante al transcurrir el tiempo; i.e., la velocidad de las partculas fluidas al pasarpor un punto dado es siempre la misma. Naturalmente, en un punto distintotendremos una velocidad diferente, pero constante al transcurrir el tiempo. Lacondicin de rgimen estacionario significa que la velocidad de las partculas fluidas

1 Joseph Louis LAGRANGE (1736-1813); matemtico y fsico terico italo-francs. Trabaj entodos los campos de las Matemticas y en cada uno de ellos abri nuevos caminos al saber. EnAstronoma, le debemos mucho en el dominio de la Mecnica Celeste. En la Fsica, dedujo losprincipales principios de la Mecnica.

31.2.- Campo de velocidades. Lneas de corriente. 943

es tan slo funcin de sus coordenadas espaciales y no del tiempo; i.e., v=v(x,y,z).Cuando la velocidad de las partculas fluidas es la misma en todos los puntos delespacio, aun cuando pueda cambiar en el transcurso del tiempo, decimos que elrgimen de flujo es uniforme; entonces, el campo de velocidades no es funcin delas coordenadas espaciales, sino solamente del tiempo, esto es, v=v(t).

El campo vectorial de velocidades admite, como cualquier campo vectorial, una

Figura 31.3

representacin grfica mediante las llamadas lneas vectoriales (3.1), que ahorareciben el nombre de lneas de corriente. Una lnea de corriente queda definida porser tangente en cualquiera de sus puntos a la direccin de la velocidad de la partculafluida que pasa por ese punto (Figura 31.3). En un instante dado, las lneas de corrienteson las envolventes de los vectores velocidad de las partculas fluidas en el flujo. Laslneas de corriente satisfacen la ecuacin vectorial

[31.2]v dr 0

donde dr=dxi+dyj+dzk representa un desplaza-miento elemental a lo largo de la lnea de corriente.La ec. [31.2] expresa la condicin de paralelismoentre los vectores v y dr, y es equivalente a

[31.3]dxvx

dyvy

dzvz

que son las ecuaciones diferenciales de la familia de lneas de corriente.En principio, podemos hacer pasar una lnea de corriente por cada punto del

Figura 31.4

espacio ocupado por el fluido. Pero la representacin grfica resultar ms clara yconveniente si espaciamos las lneas de corriente de modo que el nmero de ellas queatraviesan la unidad de rea normal a su direccinsea proporcional al valor (medio) de la velocidad delas partculas fluidas en los puntos de dicha superfi-cie unitaria (Figura 31.4). Con este convenio obtenemosun "mapa" de lneas de corriente que es muy tilpara analizar, al menos cualitativamente, el movi-miento del fluido. En las zonas en que las lneas decorriente estn muy apretadas, la velocidad sergrande; en las que estn muy separadas, ser peque-a. Una propiedad inmediata de las lneas de co-rriente es que no pueden cruzarse; de no ser as, no quedara unvocamentedeterminada la velocidad de la partcula fluida en cada instante y en cada punto delespacio.

En el rgimen de flujo estacionario, el

Figura 31.5

patrn de lneas de corriente permaneceinalterado en el transcurso del tiempo.Consideremos un punto A situado sobre unalnea de corriente (Figura 31.5). Puesto que vno cambia al transcurrir el tiempo, todapartcula que llegue al punto A pasar por lcon la misma velocidad (en mdulo, direc-


cin y sentido) que las que le precedieron. Lo mismo ocurrir en los puntos B, C, ...Por consiguiente, si trazamos la trayectoria de una partcula que pas por el puntoA, esa ser la trayectoria de todas las partculas que lleguen al punto A. Estatrayectoria define una lnea de corriente.

En el rgimen de flujo no-estacionario, el patrn de lneas de corriente puedecambiar en el transcurso del tiempo, y las trayectorias de las partculas no coinciden,en general, con las lneas de corriente en un instante dado. Las trayectorias y laslneas de corriente se tocan en un punto, localizando la partcula en el instante encuestin.

El conjunto de lneas de corriente que, en un instante

Figura 31.6

dado, pasan por el contorno de un elemento infinitesimalde superficie (dS) definen un tubo de corriente (Figura 31.6).De la definicin de lnea de corriente, es evidente que nopasa fluido a travs de las paredes laterales de un tubo decorriente. En el rgimen de flujo estacionario, no podrnmezclarse los fluidos de diferentes tubos de corriente. Endefinitiva, un tubo de corriente se comporta como unconducto de paredes impermeables, espesor nulo y seccinrecta infinitesimal. Un nmero infinito de tubos de corrien-

te adyacentes, que dan lugar a un tubo de corriente de seccin recta finita, recibe elnombre de vena fluida.

31.3. Regmenes de flujo.- Consideraremos ahora algunas caractersticasgenerales de los diversos tipos de flujo.

(a) Flujo estacionario y flujo no-estacionario.- Como ya hemos visto

Figura 31.7

anteriormente, cuando las propiedades y caractersticas del flujo, en cada punto delespacio, permanecen invariables en el transcurso del tiempo, el flujo se llamaestacionario o permanente; en caso contrario, se llama no estacionario o variable.El campo de velocidades en un flujo estacionario es funcin solamente de lascoordenadas espaciales (x,y,z), no sindolo del tiempo t; esto es, v(x,y,z).

31.3.- Regmenes de flujo. 945

Como ya sabemos, slo en el rgimen de flujo estacionario coinciden las lneasde corriente con las trayectorias seguidas por las partculas fluidas. Las condicionesde flujo estacionario se consiguen generalmente cuando las velocidades de flujo sonpequeas.

En ocasiones, es posible obtener un flujo estacionario a partir de otro no-estacionario por un simple cambio del referencial. As, por ejemplo, para un avinen vuelo, el flujo no es estacionario en absoluto si empleamos un referencial ligadoa tierra (Figura 31.7 izq.). Sin embargo, si el avin est volando con velocidad constantev0 y empleamos un referencial solidario al avin (Figura 31.7 dcha.), el flujo del aire enese referencial, en el que el avin est en reposo, ser (aproximadamente)estacionario. Obsrvese que ahora el fluido que se encuentra por delante del avinposee una velocidad -v0 respecto al sistema de ejes (,,) y que el paso del flujo no-estacionario al estacionario podra haberse obtenido superponiendo una velocidad -v0al campo de flujo completo de la Figura 31.7 izq..

(b) Flujo uniforme y flujo no-uniforme.- Cuando la velocidad de las partculas

Figura 31.8

fluidas es la misma, en cada instante, en todos los puntos delespacio ocupado por el fluido, decimos que el flujo es uniforme;en caso contrario, sera no-uniforme. En el rgimen de flujouniforme, el patrn de lneas de corriente est constituido, encada instante, por lneas rectas, paralelas e igualmente espaciadas(Figura 31.8).

(c) Flujo compresible y flujo incompresible.- En el rgimen de flujoincompresible se supone que la densidad del fluido es constante, i.e., independientede las coordenadas espaciales y del tiempo, simplificndose as extraordinariamenteel anlisis del movimiento. En caso contrario, el flujo es compresible. Ordinaria-mente, podemos considerar que los lquidos presentan regmenes de flujo incompre-sibles; slo en situaciones tales como la propagacin del sonido en lquidos esnecesario tener en cuenta la compresibilidad de stos. Pero hasta los gases, que sonaltamente compresibles, pueden experimentar cambios tan poco importantes en sudensidad que su flujo pueda considerarse como incompresible; este es el caso de laaerodinmica subsnica, donde el aire se considera incompresible.

(d) Flujo laminar y flujo turbulento.- Utilizamos el trmino de flujo laminar

Figura 31.9

para indicar que el fluido fluye en lminas o capas (Figura 31.9 arriba), en oposicin alde flujo turbulento, cuando la velocidad en cadapunto presenta fluctuaciones macroscpicas alazar que se imponen sobre sus valores medios(Figura 31.9 abajo). El flujo laminar es un flujobien ordenado, en el que las capas fluidasdeslizan unas respecto a otras, sin entremezclar-se; v.g., la miel espesa que se vierte de un tarro.En el flujo turbulento ocurre lo contrario. El queel flujo sea laminar o turbulento quedadeterminado por su velocidad y por la configu-racin y tamao del conducto. A medida queaumenta la velocidad, se produce una transicindel rgimen laminar al turbulento. Un ejemplosencillo de esta transicin lo tenemos si obser-


vamos el humo que se eleva de un cigarrillo. Durante un cierto tramo, el humoasciende en rgimen laminar; despus, casi bruscamente, el rgimen se convierte enturbulento y el humo se dispersa.

(e) Flujo irrotacional y flujo rotacional.- Deci-

Figura 31.10

mos que el flujo es irrotacional cuando cualquierpartcula fluida no posee velocidad angular netarespecto al punto en que se encuentra. En caso contra-rio, el flujo es rotacional. Podemos tener una aproxi-macin intuitiva a estos dos tipos de flujo imaginandouna ruedecilla con paletas inmersa en el fluido enmovimiento. Si la ruedecilla tan slo se traslada, elflujo es irrotacional (Figura 31.10 arriba); si gira y setraslada (o slo gira), el flujo es rotacional. El flujorotacional incluye el movimiento de vrtice (remolinos)(Figura 31.10 abajo) y los flujos con gradiente transversal

de velocidad (Figura 31.9 arriba).(f) Flujos uni y bidimensional.- El flujo unidimensional representa una

Figura 31.11

simplificacin en la que se supone que las caractersticas y propiedades del flujo sonexpresables en funcin de una sola coordenada espacial y del tiempo. Generalmente,la coordenada espacial se toma a lo largo de una lnea de corriente o conducto(Figura 31.11). La suposicin de flujo unidimensional en un conducto exige que todaslas magnitudes fsicas de inters (velocidad, presin, ...) tengan un valor constante,en un instante dado, en todos los puntos de una seccin recta cualquiera delconducto. En realidad, esta condicin nunca se cumple rigurosamente. Sin embargo,si las diferencias no son muy grandes, o si slo interesan los efectos medios en cada

seccin recta, puede suponerse la existencia de un flujounidimensional. De forma anloga se define el flujobidimensional.

(g) Flujo interno y flujo externo.- El flujo internoes aqul en el que el fluido fluye confinado dentro deuna estructura, como el que se produce en el interiorde tuberas y canales. El flujo externo es el de unfluido alrededor de un objeto, como el que tiene lugaralrededor de un perfil de ala de avin, de un cohete, deun submarino, ...

(h) Flujo viscoso y flujo no-viscoso.- La viscosidad representa la friccin entrelas diferentes capas fluidas que se mueven con distintas velocidades. La viscosidadintroduce fuerzas tangenciales entre las capas fluidas en movimiento relativo y dalugar a la prdida de energa mecnica. En muchos casos la viscosidad juega unpapel importante en el movimiento del fluido (flujo viscoso); en otros casos, susefectos son irrelevantes (flujo no-viscoso).

31.4. Derivada de una funcin ligada a la partcula fluida.- Al utilizarseel campo de velocidades para la descripcin del movimiento de los fluidos, estamosempleando el mtodo de Euler. Entonces, tenemos que recordar que las coordenadas(x, y, z) se refieren a puntos del espacio y no denotan la localizacin de las partculasfluidas individuales. Aunque el mtodo de Euler centra la atencin sobre lo que

31.4.- Derivada de una funcin ligada a la partcula fluida. 947

ocurre en los puntos del espacio, al transcurrir el tiempo, no podremos evitar elseguimiento de las propias partculas fluidas, aunque slo sea durante cortosintervalos de tiempo dt, pues es a las partculas fluidas, y no a los puntos del espacio,a las que se aplican las leyes de la Mecnica. Cada partcula fluida lleva asociada unconjunto de magnitudes fsicas, escalares y vectoriales, tales como la densidad,presin, velocidad, aceleracin, fuerza msica, ... que son funciones, en general, delas coordenadas (x,y,z) del punto en que se encuentra en un determinado instante detiempo t.

Sea f(x,y,z;t) una funcin escalar ligada a la partcula fluida, donde (x,y,z) son lascoordenadas de la partcula fluida en el instante t. Como la partcula fluida est enmovimiento, sern x=x(t), y=y(t) y z=z(t), por la que f(x,y,z;t) es una funcin quedepende nicamente del tiempo, a travs de las variables intermedias x(t), y(t) y z(t).Empleando la regla de derivacin de funciones compuestas, llegamos a la relacin

[31.4]dfdt

ft

fx

xt

fy

yt

fz

zt

Como (x, y, z) son las coordenadas de la partcula fluida que estamos siguiendo,resulta evidente que dx/dt, dy/dt y dz/dt son las componentes cartesianas de lavelocidad de dicha partcula, i.e., vx, vy y vz, respectivamente, de modo que

[31.5]dfdt

ft

vxfx

vyfy

vzfz

Esta expresin puede escribirse en notacin vectorial, ms compacta eindependiente del sistema de coordenadas elegido, de acuerdo con el convenio deutilizacin del operador nabbla (3.12), (/x, /y, /z), obtenindose

[31.6]dfdt

ft

(v ) f

El trmino f/t representa la variacin que experimenta la funcin f(x,y,z;t) enla unidad de tiempo en un punto fijo del espacio, de coordenadas (x,y,z); tal variacinunitaria se llama derivada local y es, a su vez, funcin de x, y, z y t. El trmino(v )f representa la variacin que experimenta la funcin de f(x,y,z;t) en la unidadde tiempo debida al cambio de posicin que experimenta la partcula fluida; talvariacin unitaria se llama derivada convectiva y tambin es funcin de x, y, z y t.Por ltimo, el trmino df/dt se denomina derivada total o sustancial, por ser la sumade las derivadas local y convectiva.

Puesto que la expresin [31.6] es aplicable a cualquier funcin escalar o vectorialligada a la partcula fluida podemos escribir

[31.7]ddt

t

(v )

expresin simblica en la que las derivadas total, local y convectiva tienen elsignificado explicado anteriormente.


31.5. Aceleracin de una partcula fluida.- Podemos servirnos de laexpresin [31.4] para calcular la derivada total respecto al tiempo de cada una de lascomponentes (escalares), vx, vy y vz, de la velocidad de la partcula fluida. As,obtendremos las ecuaciones escalares siguientes:

[31.8]

dvxdt

vxt

vx

vxx

vyvxy

vzvxz

dvydt

vyt

vx

vyx

vyvyy

vzvyz

dvzdt

vzt

vx

vzx

vyvzy

vzvzz

cuyos primeros miembros representan las componentes cartesianas ax, ay y az de laaceleracin de la partcula fluida. En notacin vectorial

[31.9]a dvdt

vt

(v ) v

As pues, la aceleracin total o sustancial de una partcula fluida, i.e., dv/dt es lasuma de dos contribuciones: la aceleracin local v/t y la aceleracin convectiva(v )v.

Para ilustrar el significado fsico de las aceleraciones local y convectiva,

Figura 31.12

consideraremos un fluido fluyendo por una tubera que tiene un tramo convergente(Figura 31.12). El patrn de lneas de corriente es aproximadamente el indicado en

la figura, al menos para velocidades nodemasiado altas.

Supongamos que, a partir de un ciertoinstante, aumentamos gradualmente el caudal delfluido a travs de la tubera. Entonces, en todopunto del interior de la tubera, como A, B, ..., laspartculas fluidas van experimentando un aumentogradual de sus velocidades, a medida que

transcurre el tiempo, lo que implica la existencia de una aceleracin en cada punto. Este tipo decambio local de la velocidad en la unidad de tiempo constituye la aceleracin local y se determinacomo v/t en cada punto.

Supongamos ahora que el movimiento del fluido ocurra en rgimen estacionario. Entonces, lavelocidad de las partculas fluidas tendrn un valor constante en cada punto fijo del espacio, comoA, B, ... Sin embargo, la velocidad en el punto D ser mayor que en B, porque la seccin recta dela tubera es menor que en D. As pues, cuando una partcula fluida se mueve desde B hacia D,experimenta un aumento en su velocidad, lo que implica la existencia de una aceleracin, debidaa la falta de uniformidad del campo de velocidades v(x,y,z). Esta aceleracin es la aceleracinconvectiva, cuya expresin es (v )v.

En resumen, la aceleracin local es la consecuencia de un rgimen de flujo no-estacionario y la aceleracin convectiva lo es de un rgimen de flujo no-uniforme.

31.5.- Aceleracin de una partcula fluida. 949

En ciertos anlisis resulta conveniente utilizar un sistema de coordenadas en elque las lneas de corriente formen parte del mismo. En tal sistema, cualquiermagnitud fsica asociada al fluido podr expresarse en funcin de la coordenadaintrnseca s que mide la distancia a lo largo de cualquier lnea de corriente a unpunto fijo en ella. As, por ejemplo, sern v=v(s,t), =(s,t), p=p(s,t), ... Siconsideramos un desplazamiento elemental dr a lo largo de una lnea de corriente(Figura 31.13), el vector tangente et a la misma en un punto genrico ser

[31.10]e tdrds

dxds

i dyds

j dzds

k

y la componente de a lo largo de la lnea de corriente, esto es, et , vendr dadapor

[31.11]e t dxds

x

dyds

y

dzds

z

s

de modo que

[31.12]v v e t vs

Entonces, la expresin simblica [31.7], que relaciona las derivadas total, local y

Figura 31.13

convectiva, podr escribirse en la siguiente forma:

[31.13]ddt

t

v s

que puede aplicarse a cualquier funcin, escalaro vectorial, asociada con el fluido. As, laaceleracin total vendr dada por

[31.14]dvdt

vt

v vs

Si nos limitamos a considerar fluidos en rgimen de flujo estacionario, entoncesser v/t=0, y la aceleracin total es igual a la convectiva; i.e., dv/dt=v dv/ds.Entonces, la aceleracin total puede descomponerse en sus componentes intrnsecas:aceleracin tangencial at y aceleracin normal an, cuyas expresiones son

[31.15]atdvdt

v dvds

12

dv 2ds

an

v 2

R

donde R es el radio de curvatura de la lnea de corriente en el punto genrico.

31.6. Flujo y caudal.- Ahora nos proponemos determinar el ritmo con el quefluye la masa a travs de una superficie S fija en el espacio. Comenzaremos porconsiderar un elemento de superficie dS (Figura 31.14). Durante un intervalo de tiempoinfinitesimal dt, la masa de fluido que pasa a travs de dS ser la contenida en elcilindro oblicuo de arista v dt, paralela a la direccin de v, como se ilustra en la


Figura 31.14. El volumen de dicho cilindro es dV =v dt dS cos =v dS dt y la masacontenida en l es dm = dV =v dS dt, de modo que

Figura 31.14

[31.16]d dmdt

v dS

representa el flujo msico elemental a travs del elemen-to de superficie dS en la unidad de tiempo.

El flujo msico, o simplemente flujo, a travs deuna superficie S, fija en el espacio, vendr dado por

[31.17] S

v dS

y representa la masa de fluido que pasa a travs de la superficie S en la unidad detiempo. Las unidades de flujo son kg/s, g/s, ... u otras equivalentes.

Obsrvese que v, que es la densidad de cantidad de movimiento, representatambin la densidad de flujo, ya que su componente en cualquier direccin delespacio nos indica el ritmo a que fluye la masa por unidad de rea en dichadireccin.

El flujo volmico o caudal a travs de una superficie S, fija en el espacio, sedefine por

[31.18]S

v dS

y representa el volumen de fluido que pasa a travs de dicha superficie en la unidadde tiempo. Sus unidades son m3/s, cm3/s, l/s, ... u otras equivalentes.

En un rgimen de flujo incompresible (=cte), existe una relacin sencilla entreel flujo y el caudal:

Figura 31.15

[31.19] S

v dS

El flujo a travs de una superficie fija y cerrada S,que delimita un volumen V, vendr dado por

[31.20]S

v dS

Si el flujo es positivo habr ms flujo saliente queentrante y la masa de fluido que hay dentro de lasuperficie S deber disminuir (si no hay manantiales en

su interior); si el flujo es negativo, aumentar la masa en el interior de la superficie(si no hay sumideros en su interior). Si el flujo es cero, significa, o bien que no hayflujo a travs de S, o bien que el flujo saliente es igual al entrante, de modo que lamasa de fluido en el interior de S no aumenta ni disminuye (si no existen nimanantiales ni sumideros en su interior).

De la definicin de divergencia de un campo vectorial (3.8), se sigue que

31.6.- Flujo y caudal. 951

[31.21] (v) lmV0

1V S

(v) dS

de modo que (v) en un punto del espacio representa el flujo de masa, por unidadde volumen, que pasa a travs de una superficie que encierra al punto, cuando dichasuperficie se va "deshinchando", encerrando siempre al punto, hasta confundirse conl.

31.7. Ecuacin de continuidad.- Consideremos de nuevo una superficiecerrada S, fija respecto a un sistema coordenado (x,y,z) que delimita un volumen Vy que est inmersa en un flujo v(x,y,z;t) de un fluido de densidad (x,y,z;t). Laexpresin [31.20] nos permite calcular el flujo de masa a travs de dicha superficie.

Por otra parte, la masa de fluido que hay en un instante dado en el interior de lasuperficie S es

[31.22]m V

dV

de modo que la variacin de masa, por unidad de tiempo, en el interior de lasuperficie S es

[31.23]dmdt

ddt

V

dV V

t

dV

La ecuacin de continuidad debe ser la expresin del principio de conservacinde la masa fluida (en ausencia de manantiales y sumideros). Esto quiere decir que elflujo de masa que pasa a travs de la superficie cerrada S debe ser igual a ladisminucin, por unidad de tiempo, de la masa de fluido contenida en su interior.Esto es,

[31.24]S

v dS ddt

V

dV

que es la forma integral de la ecuacin de continuidad.Si ahora aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss (3.9) al primer

miembro de la expresin anterior, tendremos

[31.25]V

(v) dV V

t

dV

y como ambas integrales estn referidas al mismo volumen V,

[31.26]V

(v)

t

dV 0

de modo que, por ser V un volumen arbitrario, se sigue que en cualquier punto delespacio ocupado por el flujo se verifica


[31.27]t

(v) 0

que es la forma diferencial de la ecuacin de continuidad.El significado fsico de los dos trminos en la expresin anterior es el siguiente:/t representa la variacin de masa por unidad de tiempo y de volumen enun volumen elemental que contiene a un punto fijo en sistema coordenado. (v) representa la masa que sale por unidad de tiempo y de volumen atravs de la superficie de dicho volumen elemental.Para un rgimen de flujo estacionario ser /t=0, de modo que la ecuacin de

continuidad se transforma en

[31.28] (v) 0y para un flujo incompresible (=cte.) tendremos

[31.29] v 0expresin vlida aunque el flujo incompresible sea no-estacionario.

31.8. Tubo de corriente.- Consideremos un rgimen de flujo estacionario yapliquemos la ecuacin de continuidad, en su forma integral [31.24], a una porcin detubo de corriente comprendida entre dos secciones rectas fijas, dS1 y dS2. Sean v1 yv2 las velocidades y 1 y 2 las densidades del fluido en esas secciones rectas. Comoel tubo de corriente se comporta como un conducto impermeable, de modo que nohay flujo a travs de sus paredes laterales, tendremos que

[31.30]S

v dS 1v1 dS1 2v2 dS2 0

o sea

Figura 31.16

[31.31]1v1 dS1 2v2 dS2Evidentemente la expresin vdS representa el flujo demasa (masa que pasa por unidad de tiempo) a travs deuna seccin recta del tubo; dicho flujo de masa esconstante a todo lo largo de un tubo de corriente.

Si el rgimen de flujo es estacionario e incompresi-ble, entonces la expresin [31.31] se reduce a

[31.32]v1 dS1 v2 dS2que expresa la constancia del flujo de volumen o caudal (volumen de fluido que pasapor unidad de tiempo) a travs de todas las secciones rectas de un tubo de corriente.

Si consideramos un tubo de corriente de seccin recta finita (vena fluida), ysuponemos un rgimen de flujo unidimensional, adems de estacionario, lasexpresiones [31.31] y [31.32] se escriben as:

31.8.- Tubo de corriente. 953

[31.33]1v1S1 2v2S2 v1 S1 v2 S2que son las relaciones sencillas que encontramos en los textos de fsica elemental.

31.9. Manantiales y sumideros de flujo.- En el caso ms general, laecuacin de continuidad [31.27] deber reescribirse de modo que tenga en cuenta laexistencia de puntos singulares en los que /t+ (v)0. En tales puntos,llamados manantiales y sumideros de flujo, tiene lugar la aparicin y desaparicin,respectivamente, de masa fluida. Entonces, la ecuacin de continuidad adopta laforma general

Figura 31.17

[31.34]t

(v)

donde representa la masa que est apareciendo porunidad de tiempo y de volumen en un volumen elemen-tal que contiene a un punto manantial de flujo (>0) oque est desapareciendo en un punto sumidero de flujo(


por un manantial y un sumidero de la misma intensidad ( y -) separados por unadistancia muy pequea.

Obsrvese que las figuras citadas bien podran corresponder a las representaciones de loscampos electrostticos creados por una carga positiva (+Q) y por un dipolo elctrico (+Q,-Q),respectivamente. De hecho, existe una gran analoga entre los campos de flujo y electromagnticos,lo que nos permite, a menudo, determinar el campo de flujo, que resulta difcil abordar por elClculo, mediante medidas experimentales efectuadas con dispositivos electromagnticosapropiados.

31.10. Circulacin y vorticidad.- Dado un campo de velocidades v(r,t),

Figura 31.19

definimos su circulacin, en un instante t, entre los puntos y y a lo largo de unalnea fija dada C que los une, mediante laintegral curvilnea

[31.35]

C

v dr

cuyo valor depende, en general, del camino Cseguido para unir los puntos y .

En particular, la integral curvilnea anteriorpuede calcularse a lo largo de una lnea cerraday fija cualquiera. Designaremos por la circu-lacin del campo de velocidades v(r,t), en uninstante t, a lo largo de una lnea cerrada y fija,esto es

[31.36]Cv dr

Ejemplo I.- Flujo de rotacin uniforme.- Consideremos un

Figura 31.20

flujo bidimensional en el que las lneas de corriente seancircunferencias concntricas en el origen de coordenadas yen el que la velocidad venga dada por v=r (rotacinuniforme). Un flujo de este tipo corresponde a una rotacindel conjunto del fluido en torno a un eje que pasa por elorigen, perpendicular al plano del papel. En la Figura 31.20(arriba) representamos el patrn de lneas de corriente, conel espaciado adecuado; en la Figura 31.20 (abajo) represen-tamos el perfil de velocidades a lo largo de un eje normalal de giro.

La circulacin a lo largo de una lnea de corriente deradio r1 es

[31.37]1C1

v dr v1C1

ds 2 r 21

de modo que aumenta con el cuadrado del radio.

31.10.- Circulacin y vorticidad. 955

De un modo general, la lnea C no tiene por qu coincidir con una lnea de corriente. As, lacirculacin a lo largo del contorno abcda, recorrido en el sentido de las letras, es

[31.38]abcdav dr v1

abds v2

cdds r1 r1 r2 r2 (r 21 r 22 )

En consecuencia, en este ejemplo, la circulacin de v(r) a lo largo de cualquier lnea cerradaes siempre distinta de cero, con independencia de que la lnea C rodee o no al origen decoordenadas.

Figura 31.21

Ejemplo II.- Consideremos ahora un flujo bidimensional enel que las lneas de corriente sean circunferencias concntri-cas en el origen de coordenadas y en el que la velocidadvenga dada por v=K/r, siendo K una constante positiva.

La circulacin a lo largo de una lnea de corrientecualquiera es

[31.39]Cv dr v

Cds K

r2 r 2 K

de modo que tiene un valor constante y distinto de cero paracualquier circunferencia centrada en el origen. Este resultadotambin es vlido para cualquier lnea cerrada que rodee alorigen de coordenadas.

En cambio, la circulacin a lo largo de cualquier lneacerrada que no rodee al origen ser siempre nula, en esteejemplo, como resulta fcil de verificar calculndola a lolargo del contorno abcda; en efecto

[31.40]abcdav dr v1

abds v2

cdds K

r1 r1

Kr2 r2 0

En consecuencia, el origen de coordenadas es un punto singular.

El teorema de Stokes (3.11) nos permite relacionar la circulacin de un campovectorial a lo largo de una lnea cerrada cualquiera C con una integral de superficieque representa el flujo del rotacional del campo vectorial a travs de una superficiecualquiera S que tenga a la lnea C como borde o contorno. Aplicndolo al campode velocidades, tenemos

[31.41]Cv dr S( v) dS

El rotacional del campo de velocidades es un concepto muy til en el estudio delas propiedades de los campos de flujo. El rotacional del campo de velocidades recibeel nombre de vorticidad y se representa por ; esto es

[31.42] v


De acuerdo con la definicin del rotacional (3.11), la circulacin por unidad de

Figura 31.22

rea a lo largo de un circuito elemental que rodea al punto P (Figura 31.22) es igual ala componente de v en la direccin normal al elemento de superficie dS definidopor dicho circuito elemental. Esto es, la vorticidad representa la circulacin

alrededor de la unidad de rea (perpendicular a ladireccin de ). As, v es una especie de medidadel ritmo de rotacin del fluido por unidad de rea; deah viene su nombre.

La vorticidad es siempre distinta de cero en laproximidad de un remolino o vrtice (vide Ejemplos Iy II); pero tambin puede ser diferente de cero en lasregiones en las que no haya remolinos con tal de queexista un gradiente transversal de velocidad, comoilustraremos en el ejemplo siguiente.

Ejemplo III.- Gradiente transversal de velocidad.- Consideremos un flujo bidimensional en ladireccin del eje x, que represente un gradiente transversal de velocidad; esto es, v = Ay i.

La vorticidad en un punto genrico es

[31.43] v

/x/y/z

Ay00

Ak

La circulacin a lo largo del contorno abcda (Figura 31.23) es

[31.44]abcdav dr

x2

x1

Ay2dx x1

x2

Ay1dx A (x2 x1) (y2 y1)

o sea

Figura 31.23

abcdav dr AS

donde S es el rea delimitada por el contorno abcda.Este resultado es vlido cualquiera que sea la formade la lnea cerrada contenida en el flujo.

Podemos llegar al mismo resultado anteriorcalculando el flujo de la vorticidad a travs de lasuperficie S delimitada por el contorno abcda:

[31.46]

S

abcda

dS S

(A k ) ( dS k )

A S

dS AS

Si la vorticidad es nula en todos los puntos del espacio ocupado por elfluido, se dice que el flujo es irrotacional; en caso contrario, el flujo esrotacional.

31.10.- Circulacin y vorticidad. 957

Si en un punto cualquiera del campo de flujo es v=0, las partculas fluidas quepasan por dicho punto no tendrn velocidad angular neta alrededor de dicho punto;esto es, no poseern momento angular intrnseco. Pero si v0 en un punto,entonces las partculas fluidas que pasan por l poseern velocidad angular netaalrededor de un eje que pasa por dicho punto y un momento angular intrnseco(Figura 31.24).

Aclaremos el significado de v empleando un referencial que gire con veloci-

Figura 31.24 Figura 31.25

dad angular (Figura 31.25). Si designamos por v el campo de velocidades en esereferencial, se tiene:

[31.47]v v r

entonces, calculando el rotacional de ambos miembros

[31.48] v v ( r)y teniendo en cuenta que (vide Problema 31.17)

[31.49] ( r ) 2

resulta [31.50] v v 2

Entonces, si hacemos [31.51] 12 v

2

tendremos que [31.52] v 0En consecuencia, si es v0 en un punto P, ser suficiente emplear un sistema

coordenado que gire con una velocidad angular =(v)/2 para que el campo deflujo sea irrotacional en P. En definitiva, podemos interpretar la vorticidad en unpunto del campo de flujo como el doble de la velocidad angular de la partcula fluidaalrededor de un eje que pasa por dicho punto. Si la vorticidad es constante, serposible emplear un sistema coordenado giratorio en el que el flujo sea irrotacional.


31.11. Flujo rotacional.- Lo definimos como aqul en el que =v0. Elcomienzo de una rotacin en una partcula fluida que estuviese inicialmente enrgimen de flujo irrotacional exige la accin de esfuerzos cortantes sobre la superficiede la partcula fluida. La viscosidad del fluido puede proporcionar estos esfuerzoscortantes.

El rotacional del campo de velocidades

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4C.pdf 10/11/2006 20:54:02

Figura 31.26

define un nuevo campo vectorial , que puederepresentarse mediante lneas y tubos vectorialesque ahora reciben los nombres de lneas y tubosde vrtice. Si calculamos la divergencia delcampo de vrtice obtendremos

[31.53] ( v) 0ya que la divergencia de un rotacional siemprees nula (vide expr. [A12], pgina 965). El

campo de vrtice es solenoidal, de modo que no existen ni manantiales ni sumiderosdel vector ; por lo tanto, las lneas de vrtice se cierran sobre s mismas o seprolongan hasta los lmites del flujo. Si calculamos el flujo del campo de vrtice atravs de una superficie cerrada

[31.54]S dS V ( ) dV 0

En particular, si aplicamos la expresin anterior a una porcin de un tubo devrtice comprendido entre dos secciones fijas dS1 y dS2, se obtiene

[31.55]1 dS1 2 dS2de modo que el flujo de la vorticidad es el mismo a travs de todas las seccionesrectas de un tubo de vrtice.

Se define la intensidad de un tubo de vrtice de seccin recta finita como el flujode la vorticidad a travs de una seccin recta cualquiera del tubo de vrtice. Estoes

[31.56]S

dS S

( v) dSC

v dr

resultando ser igual a la circulacin del campo de velocidades v a lo largo de unalnea cerrada cualquiera trazada sobre las paredes del tubo de vrtice. Dichaintensidad se mantiene constante a lo largo del tubo de vrtice.

Ejemplo IV.- Reconsideremos el flujo bidimensional en rotacin uniforme que ya hemos tratadoen el Ejemplo I. Determinar su vorticidad.

El campo de velocidades vendr dado por

31.11.- Flujo rotacional. 959

[31.57]v r

00

xyz

yx0

de modo que

Figura 31.27

[31.58] v

/x/y/z

yx0

2 k

o sea [31.59] v 2 0

As pues, se trata de un flujo rotacional de vorticidad constante.Las lneas de vrtice son rectas paralelas regularmente espaciadas, como se ilustra en laFigura 31.27.

31.12. Flujo irrotacional. Potencial de velocidad.- Definimos el flujoirrotacional como aqul en el que v=0 en todos los puntos del espacio en los queest definido; entonces, el movimiento de las partculas fluidas es una traslacin pura,sin rotacin interna.

Como ya sabemos, un campo vectorial irrotacional puede expresarse como elgradiente de una funcin escalar llamada funcin de potencial. En consecuencia, enel movimiento irrotacional de un fluido podemos definir una funcin escalar depunto, que designaremos por y que llamaremos potencial de velocidad, tal que

[31.60]v donde el signo negativo es convencional.

La circulacin del campo de velocidades v(r,t), en un instante dado, entre lospuntos a y b, a lo largo de una lnea inmersa en el flujo y que una ambos puntos,ser

[31.61]b

aC

v dr b

a

dr b

a

d (b a)

y no depende del camino seguido, sino slo de las posiciones de los puntos a y b.El potencial en un punto genrico ser

[31.62] (r) (r0) r

r0

v(r) dr

y no queda definido a menos que se asigne un valor arbitrario a (r0).En particular, la circulacin del campo de velocidades a lo largo de una lnea

cerrada cualquiera ser nula


[31.63]Cv dr 0

salvo en el caso de que la lnea cerrada rodee a algn punto singular (vide EjemploII).

Podemos representar el campo escalar (r,t) mediante superficies equipotenciales(o lneas equipotenciales en los problemas bidimensionales), de acuerdo con lasnormas que ya conocemos para este tipo de representaciones. A partir del patrn desuperficies (o lneas) equipotenciales, que sern ortogonales con las lneas decorriente, podemos hacernos una idea cualitativa de algunas propiedades del flujo.As, en las regiones donde la velocidad del flujo sea grande, las superficies (o lneas)equipotenciales estarn muy apretadas.

Si consideramos un rgimen de flujo incompresible y sin manantiales nisumideros, adems de irrotacional, entonces ser

[31.64] v ( ) 2 0

o sea [31.65]2 0que es la ecuacin de Laplace, donde 2 es el operador laplaciano, que encoordenadas cartesianas toma la forma

[31.66]2 2x 2

2y 2

2z 2

En definitiva, toda funcin escalar que satisfaga la ecuacin de Laplace puedeser considerada como un posible potencial de velocidad correspondiente a un flujoirrotacional e incompresible. Y recprocamente, para la resolucin de un problemareferente a un flujo irrotacional e incompresible hay que encontrar la solucin de laecuacin de Laplace bajo ciertas condiciones de contorno que dependern de cadaproblema particular. Para ello puede ser conveniente la utilizacin de sistemascoordenados distintos del cartesiano.

A modo de ejemplos, analizaremos brevemente tres potenciales de velocidadsimples que dan lugar a flujos irrotacionales e incompresibles interesantes.

(a) Flujo uniforme.- El flujo irrotacional e incompresible ms elemental es el

Figura 31.28

definido por el potencial de velocidad = -v0x, donde v0 es una constante positiva.Evidentemente, este potencial de velocidad satisface la ec. de Laplace; i.e., 2=0.

El campo de velocidades viene dado por

[31.67]v v0 i

de modo que tenemos un flujo uniforme (y estaciona-rio) dirigido en el sentido positivo del eje x. Elpatrn de lneas de corriente est constituido porlneas rectas paralelas al eje x y uniformementeespaciadas (Figura 31.28); las superficies equipotencia-les son planos perpendiculares a las lneas de co-rriente y regularmente espaciados.

31.12.- Flujo irrotacional. Potencial de velocidad. 961

(b) Flujo de un manantial.- Consideremos el flujo representado por el potencialde velocidad =K/r, donde K es una constante positiva y r es la distancia al origende coordenadas. Puesto que la funcin es simtrica respecto al origen, resultaconveniente emplear coordenadas polares esfricas. As, vemos que la ec. de Laplace(vide expr. [C12], pgina 965)

[31.68]2 1r2r 2

(r ) 1r2Kr 2

0 para r 0

se satisface en todos los puntos salvo en el origen (r=0).El campo de velocidades viene dado por

[31.69]v e rr

Kr 2

e r

de modo que tenemos un flujo que se origina en el origen de coordenadas y se dirigeradialmente en todas las direcciones; esto corresponde a un punto manantial aisladoen el origen (vide Figura 31.18 izq.). Obsrvese que ni ni v estn definidos en elorigen; por eso no se cumplen ni la ec. de Laplace ni la ec. de continuidad en esepunto. La existencia de una velocidad infinita en el origen y la cuestin de laprocedencia del fluido que se est "produciendo" en dicho punto conducen a laconclusin de que ese punto es ficticio y carente de significado fsico.

La masa de fluido que atraviesa por unidad de tiempo una superficie esfricacentrada en el origen es

[31.70]S

v dS S

Kr 2

dS Kr 2 S

dS Kr 2

4 r 2 4 K

y representa el ritmo con que se est "produciendo" fluido en el origen decoordenadas.

Si cambiamos el signo del potencial de velocidad, i.e., = -K/r, con K>0,tendremos el flujo correspondiente a un sumidero en el origen.

(c) Vrtice irrotacional.- El flujo de vrtice irrotacional tiene como potencial develocidad = -K, en coordenadas cilndricas, donde K es una constante. Lassuperficies equipotenciales constituyen un haz de planos definido por el eje z. Es fcilcomprobar que este potencial de velocidad satisface a la ec. de Laplace (vide expr.[C08], pgina 965):

[31.71]2 1r 2

22

1r 2

22

( K ) 0

para r0. El campo de velocidades viene dado por

[31.72]v 1rV

e1r

( K) eKr

e


de modo que la velocidad slo tiene componente transversal y no est definidafsicamente en los puntos del eje z (r=0). Las lneas de corriente son circunferenciasconcntricas en los puntos del eje z (vide Ejemplo II).

El flujo es irrotacional por ser

[31.73] v 1rr

(r v) k1rr

r

Kr

k 0 para r 0

de modo que los puntos del eje z (r=0) son singulares y deben excluirse de la regin

Figura 31.29

de flujo irrotacional. En un flujo rotacional existe un conjunto infinito de lneas devrtice; en un vrtice irrotacional tridimensional existeun lnea de vrtice nica, definida por los centros de losvrtices irrotacionales bidimensionales.

La circulacin a lo largo de cualquier lneacerrada que no rodee al eje z ser siempre nula; pero sila lnea rodea al eje z, la circulacin tendr un valorfinito y constante, ya que

[31.74]

Cv dr

2

0v (r d)

2

0

Kr

r d 2 K

que, de acuerdo con la expresin [31.56], nos define la intensidad del vrtice.El flujo de vrtice irrotacional constituye una

Figura 31.30

buena aproximacin del tornado y del huracntropical o tifn. Naturalmente, el vrtice no puedetener una velocidad infinita en su centro, de modoque el ncleo central gira como un slido rgido ycorresponde a una zona de calma relativa (ojo delhuracn). Encontramos otro ejemplo interesante en elremolino que se forma mientras que se est vaciandoel agua de un lavabo; obviamente, el vrticeirrotacional contribuye slo a una parte de estosmovimientos, ya que las partculas fluidas poseencomponentes de velocidad radial y vertical, ademsde transversal (Figura 31.30).

Problemas 963

Problemas31.1.- Un flujo bidimensional en rgimenestacionario e incompresible est confinadopor los planos coordenados x=0 e y=0 y por elcilindro hiperblico de ecuacin xy=K (K=cte).a) Obtener la ecuacin general de la familia delneas de corriente. b) Obtener la expresin delcampo de velocidades. c) dem del campo deaceleraciones.

31.2.- En el Problema 31.1, determinar lascomponentes intrnsecas de la aceleracin enun punto genrico (x,y).31.3.- Dado el campo de velocidades

v=x2i + 3xyj + 5tk (unidades c.g.s.)determinar la velocidad y la aceleracin de lapartcula fluida que se encuentra en el puntoP(2,1,3) en el instante t=4 s.31.4.- En un flujo, el campo de velocidadesviene dado por

v = xyzi + xtj + zt2k (unidades c.g.s.)a) Determinar la velocidad de la partculafluida situada en el punto P (1,2,3) en elinstante t = 5 s. b) Determinar las aceleracio-nes local, convectiva y total en ese punto endicho instante.

31.5.- Dado el campo de velocidades

v = 10i + (x2+y2)j + xyzk (unidades c.g.s.)Cul es la aceleracin de la partcula fluidaen el punto (3,2,5)?

31.6.- En la figura se muestra una tubera de

Prob. 31.6

seccin recta circular cuyo radio vara lineal-mente en un tramo de 1.50 m de longitud. Porla tubera circula un fluido incompresible, enrgimen que puede considerarse unidimensio-nal, con un caudal constante de 113 litros/s. Sepide calcular la velocidad y la aceleracin del

fluido en los siguientes puntos situados sobreel eje de simetra de la tubera: a) al comienzode la convergencia; b) a una distancia de 0.5m del comienzo de la convergencia; c) dem a1.0 m y d) al final de la convergencia.

31.7.- En el Problema 31.6 supongamos ahoraque el flujo no es estacionario, sino que au-mente con un ritmo constante de 10 /s2. Enestas condiciones, determinar las aceleracionesen los mismos puntos citados en el Proble-ma 31.6, en el instante en que el caudal tieneel valor de 113 /s.

31.8.- Por el

Prob. 31.8

interior deuna tuberade 30 cm ded i m e t r ocircula unfluido visco-so en rgi-men laminar, presentando un perfil develocidades parablico, dado por v= 45 - 0.2r2(unid. cgs). a) Calcular el caudal a travs de latubera. b) Cul es la velocidad media delfluido en el conducto de 30 cm de dimetro?c) dem en el de 20 cm?31.9.- a) Demostrar que la ecuacin de conti-nuidad [31.27], en ausencia de manantiales ysumideros, puede expresarse en la formaalternativa d/dt + v = 0. b) Comentar elsignificado y la aplicabilidad de esta forma deexpresar la ec. de continuidad.

31.10.- a) Determinar el campo de flujoirrotacional asociado con el potencial develocidad

= 3x2 -2xt -3y2 -12zt2

b) Satisface este campo de flujo la ecuacinde continuidad para un flujo solenoidal eincompresible?

31.11.- Un flujo bidimensional e incompresibleest definido por el campo de velocidad

v = - Ayi + Bxj

donde A y B son constantes positivas. a) Ave-riguar si este campo es solenoidal. b) Averi-guar si es irrotacional. c) Encontrar la ecuacingeneral de las lneas de corriente. Cmo son


estas lneas? d) Cul es la velocidad angularintrnseca de las partculas fluidas?e) Determinar la expresin del campo deaceleraciones. f) Demostrar que la circulacindel campo de velocidades a lo largo de unalnea cerrada contenida en el plano xy esproporcional al rea que encierra dicha lnea.

31.12.- Un flujo est definido por el campo develocidades

v = (10t+x)i - yzj + 5tka) Determinar la velocidad angular intrnsecade la partcula fluida situada en el punto decoordenadas (5,6,2). b) Sobre qu superficiees irrotacional el flujo?31.13.- Un fluido gira en rgimen estacionariocon una velocidad angular =(r)k, donde rrepresenta la distancia de una partcula fluidaal eje de rotacin, que supondremos vertical.Demostrar que si el movimiento es irrotacio-nal, deber ser =K/r2, donde K es unaconstante.

31.14.- Consideremos un flujo bidimensional

Prob. 31.14

y estacionario alrededor de un cilindro deradio a, como se muestra en la figura adjunta.Utilizando coordenadas cilndricas, podemosexpresar el campo de velocidades, para unflujo en rgimen incompresible y no viscoso,de la forma siguiente

v(r,)

1a 2

r 2vcos er

1

a 2

r 2vsen e

donde v

es una constante. a) Demostrar queel flujo es solenoidal. b) Demostrar que elflujo es irrotacional. c) Obtener la expresindel potencial de velocidad (r,).31.15.- Un flujo bidimensional est definidopor el campo de velocidades

v = 2r/(5+r)e (unid. mks)

en coordenadas cilndricas. a) Demostrar queeste flujo es irrotacional. b) Expresar la velo-cidad angular intrnseca de las partculasfluidas en funcin de r. Cul sera la veloci-dad angular intrnseca de una ruedecilla depaletas colocada en r=0? c) Representargrficamente los perfiles de velocidad y devorticidad en funcin de r. d) Hacer un esque-ma aproximado del patrn de lneas de co-rriente. e) Calcular la intensidad de un tubo devrtice de seccin recta circular, de radio r,cuyo eje es el eje z. f) Verificar si se cumplela ecuacin de continuidad. Existe algnpunto singular?

31.16.- Un campo de flujo bidimensional eincompresible est definido por el campo develocidades siguiente:

v

Ar

B3r 2 sen er Br 2 cos e

en coordenadas cilndricas, donde A y B sonconstantes. a) Verificar si se cumple la ecua-cin de continuidad (sin manantiales ni sumi-deros). b) Demostrar que el flujo es rotacional.c) En qu puntos es nula la velocidad angularintrnseca de las partculas fluidas? d) Calcularla circulacin del campo de velocidades a lolargo de una circunferencia de radio Rcontenida en un plano perpendicular al eje z ycon centro en dicho eje.31.17.- Demostrar la expresin [31.48]; i.e.,(r)=2.

El operador . 965

El operador

A. OPERACIONES ALGEBRAICAS.

[A01] [A02]( ) (A B) A B

[A03] [A04](A B) A B ()

[A05] [A06] (A) A () A (A) A ()A[A07] (A B) A(B) B(A) (A )B (B )A[A08] (AB) (A) B A (B)[A09] (AB) A( B) B( A) (B )A (A )B[A10] (A )A (A)A 1

2A 2

[A11] [A12] () 2 (A) 0[A13] [A14]() 0 (A) ( A) 2A

B. TRANSFORMACIONES DE INTEGRALES.

[B01] (teorema de Stokes)C

A dr S

(A) dS

[B02]C

dr S

dS ()

[B03] (teorema de Gauss)S

A dS V

( A) dV

[B04]S

dS V

() dV

[B05]S

dS A V

(A) dV

[B06] (1 ident. de Green)S

( ) dS V

[( 2) () ()] dV

[B07] (2 ident. de Green)S

( ) dS V

[( 2) ( 2)] dV


C. SISTEMAS DE COORDENADAS.

Coordenadas cartesianas (x,y,z).[C01] i

xj y

k z

[C02] A Axx

Ayy

Azz

[C03] A i

Azy

Ayz

j

Axz

Azx

k

Ayx

Axy

[C04] 2 2x 2

2y 2

2z 2

Coordenadas cilndricas (r,,z).[C05] e r

r

e1r

k z

[C06] A 1rr

(rAr)1rA

Azz

[C07] A e r

1rAz

Az

e

Arz

Azr

k 1r

r

(rA)Ar

[C08] 2 1rr

rr

1r 2

22

2z 2

Coordenadas polares esfricas (r,,).[C09] e r

r

e1r

e1

r sen

[C10] A 1r 2

r

(r 2Ar)1

r sen

(A sen)1

r senA

[C11]A e r

1r sen

(Asen)A

e1r

1sen

Ar

r

(rA) e1r

r

(rA)Ar

[C12] 2 1r

2r 2

(r) 1r 2 sen

sen

1r 2 sen2

22

Coordenadas polares planas (r,).Como en coordenadas cilndricas, con Az=0 y /z=0

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /Warning /DownsampleGrayImages false /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 1200 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages true /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /Warning /DownsampleMonoImages false /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth 8 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org) /PDFXTrapped /Unknown

/Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

Vorticidad y Circulación

Documents

Transcript of Vorticidad y Circulación