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Von der kosmischen Hintergrundstrahlung
zur
Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation
eine Einführung in die Quantenmechanik
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
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Die kosmische Hintergrundstrahlung
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COBE (1989)
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Hohlraumstrahler
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Wellenlänge 𝜆 in 𝑚𝑚
Ener
gied
ich
te Τ𝐸
𝑉COBE-Messdaten für die kosmische Hintergrundstrahlung
Planck-Spektrum für 𝑻 = 𝟐, 𝟕𝟐𝟓 𝑲
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Max Planck(1858 – 1947)
Nobelpreis 1918
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Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
Energiequantisierung der Hohlraumstrahlung
Hohlraumstrahler
Max Planck 1900
𝑬 = 𝒉 ∙ 𝒇 = 𝒉 ∙𝒄
𝝀
Plancksches Wirkungsquantum 𝒉
Wellenlänge 𝜆 in 𝑛𝑚
Ener
gie
dic
hte
Τ𝐸
𝑉
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
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Experiment: Lichtelektrischer EffektPhotostrom bei Bestrahlung einer Zinkplatte mit einer Hg-Dampflampe
➢ sofortiges Einsetzen des Photostroms
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Experiment: kein Photostrom bei Bestrahlung einer Zinkplatte mit weißem Licht
➢ Photostrom nur bei Bestrahlung mit Licht ausreichend kleiner Wellenlänge
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Experiment: Gegenfeldmethode
➢ Unabhängig von der Intensität der Bestrahlung verschwindet der Photostrombei der gleichen Gegenspannung.
Photokathode
monochromatisches
Licht
Ringanode
herausgelöste
Photoelektronen
Photostrom
Vakuum-Photozelle mit Cäsium-Kathode
Gegenspannung
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Albert Einstein(1879 – 1955)
Nobelpreis 1921
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𝐖𝐀
𝐄𝐤𝐢𝐧,𝐦𝐚𝐱
𝐄𝛄 = 𝐡 ∙ 𝒇
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Einstein-Gleichung: 𝑬𝒌𝒊𝒏,𝒎𝒂𝒙 = 𝒉 ∙ 𝒇 −𝑾𝑨
𝒇𝒈−𝑾𝑨
𝑬𝒌𝒊𝒏,𝒎𝒂𝒙
∆𝑬𝒌𝒊𝒏,𝒎𝒂𝒙∆𝑬𝒌𝒊𝒏,𝒎𝒂𝒙
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Experiment: Gegenfeldmethode
Photokathode
monochromatisches
Licht
Ringanode
herausgelöste
Photoelektronen
Photostrom
Vakuum-Photozelle mit Cäsium-Kathode
Farbe rot gelb grün türkis blau
Wellenlänge 𝝀 in 𝒏𝒎
611 588 525 505 472
Frequenz
in 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑯𝒛 4,91 5,10 5,71 5,94 6,36
Gegenspannung
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Experiment: Gegenfeldmethode zum Lichtelektrischen Effekt
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Der Lichtelektrische Effekt
Lichtquantenhypothese
• Energie eines Photons: 𝑬𝜸 = 𝒉 ∙𝒄
𝝀= 𝒉 ∙ 𝒇
• Einstein-Gleichung: 𝑬𝒌𝒊𝒏,𝒎𝒂𝒙= 𝒉 ∙ 𝒇 −𝑾𝑨
Albert Einstein1905
• Lichtquanten (Photonen)
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
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Arthur Compton(1892 – 1962)
Nobelpreis 1927
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Der Compton-Effekt
𝜗
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Der Compton-Effekt
Änderung der Wellenlänge 𝝀′ in Abhängigkeit vom Streuwinkel 𝝑:
𝜗 = 0° 𝜗 = 45° 𝜗 = 90° 𝜗 = 135°
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Der Compton-Effekt
Impulsvektoren vor und nach dem Streuprozess:
𝜗
Ԧ𝑝𝛾Ԧ𝑝𝑒′
Ԧ𝑝𝛾′
( Ԧ𝑝𝛾)
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Der Compton-Effekt
Compton-Streuung eines Photons an einem Elektron:
𝜗
Ԧ𝑝𝛾Ԧ𝑝𝑒′
Ԧ𝑝𝛾′
( Ԧ𝑝𝛾)
Energieerhaltung: 𝑬𝜸 + 𝑬𝒆 = 𝑬𝜸′ + 𝑬𝒆′
vektorielle Impulserhaltung: 𝒑𝜸 = 𝒑𝜸′ + 𝒑𝒆′
∆𝝀 = 𝝀′ − 𝝀 =𝒉
𝒎𝒆 ∙ 𝒄∙ 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝝑
Impuls eines Photons:
𝒑𝜸=𝑬𝜸
𝒄=𝒉
𝝀
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Der Compton-Effekt
Arthur Compton1927
Compton-Streuung eines Photons an einem Elektron:
∆𝝀 = 𝝀′ − 𝝀 =𝒉
𝒎𝒆 ∙ 𝒄∙ 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝝑
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
2.2) Welleneigenschaften von Teilchen
2.2.1) Interferenz von Lichtwellen
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Interferenz am Doppelspalt:
LichtwellenWasserwellen
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Interferenz am Doppelspalt:
Lic
htq
uel
le
Maximum 1. Ordnung
Maximum 0. Ordnung
Maximum 1. Ordnung
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Entstehung eines Interferenzmaximums:
konstruktive Interferenz
∆𝒔 = 𝒌 ∙ 𝝀
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Interferenz am Doppelspalt:
Lic
htq
uel
le Minimum
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Entstehung eines Interferenzminimums:
∆𝒔 = 𝟐𝒌 + 𝟏 ∙𝝀
𝟐
destruktive Interferenz
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Interferenz am optischen Gitter:
Lic
htq
uel
le 𝑑
𝑎
𝑏
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Interferenz am optischen Gitter:
1. Maximum
0. Maximum
Näherung für 𝒂 ≫ 𝒅:
𝑎
𝑑
𝒃 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝜶 = 𝒌 ∙ 𝝀
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Interferenz am optischen Gitter:
𝒃 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝜶 = 𝒌 ∙ 𝝀 = 𝝀 für 𝒌 = 𝟏
𝑲𝑾𝑵: 𝐬𝐢𝐧𝜶 ≈ 𝒕𝒂𝒏 𝜶
𝒕𝒂𝒏 𝜶 =𝒂
𝒃
𝒅 =𝒂
𝒃∙ 𝝀⟹
b
b
b
1. Maximum
0. Maximum
d
a
𝜶
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
2.2) Welleneigenschaften von Teilchen
2.2.1) Interferenz von Lichtwellen
2.2.2) Die De Broglie-Hypothese
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Louis De Broglie(1892 – 1987)
Nobelpreis 1929
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
2.2) Welleneigenschaften von Teilchen
2.2.1) Interferenz von Lichtwellen
2.2.3) Elektronenbeugungsröhre und Doppelspalt
2.2.2) Die De Broglie-Hypothese
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Experiment: Elektronenbeugungsröhre
➢ verzögerungsfreies Einsetzen des Photostroms
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Experiment: Elektronenbeugungsröhre
➢ verzögerungsfreies Einsetzen des Photostroms
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Experiment: Elektronenbeugungsröhre
Folie mit Graphitstaub
Elektronen erzeugen nach Durchlaufen einer Graphitfolie ein Interferenzmuster
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Doppelspaltexperiment mit Elektronen
Claus Jönsson
(*1930)Originalarbeit von Jönsson
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Interferenz von Lichtwellen undInterferenz von Elektronen:
Experiment: Interferenz von Laserlicht am Doppelspalt und am optischen Gitter:
Doppelspaltexperiment mit Elektronen:
Claus Jönsson1959
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Experiment: Elektronenbeugungsröhre
Folie mit Graphitstaub
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Bragg-Reflexion von Röntgenstrahlung an
den Netzebenen eines Kristalls
𝜟𝒔 = 𝟐 ∙ 𝒃 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝜷 = k ∙ 𝝀
𝑏
𝑏
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William Lawrence
Bragg
(1890 – 1971)
William Henry
Bragg
(1862 – 1942)
Nobelpreis 1915
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Clinton Davisson
(1881 – 1958)
Lester Germer
(1896 – 1971)
Nobelpreis 1937
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Interferenzmuster bei der
Elektronenbeugungsröhre
Beschleunigungsspannung 𝑈𝐵
Interferenzmuster
Glühkathode
𝒅𝟐𝒅𝟏
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Sechseckige Gitterstruktur des Graphitkristalls
Netzebenenabstände:
𝒃𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟑 𝒏𝒎
𝒃𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟑 𝒏𝒎 𝒃𝟏
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Bragg-Reflexion:
𝑏
Beschleunigungsspannung 𝑈𝐵
Interferenzmuster
Glühkathode
𝒅𝟐𝒅𝟏
Interferenz von Elektronen in derElektronenbeugungsröhre:
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Die De Broglie-Hypothese
Louis De Broglie1923
Frequenz: 𝒇 =𝑬
𝒉
De Broglie-Wellenlänge: 𝝀 =𝒉
𝒑
Welleneigenschaften von Teilchen:
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Der Welle-Teilchen-Dualismus
Licht und Teilchen zeigen in bestimmtenSituationen Welleneigenschaften und inbestimmten Situationen Teilcheneigenschaften.
Ob Welleneigenschaften wie Interferenz oderTeilcheneigenschaften wie Impuls beobachtetwerden, hängt von der Versuchsanordnung ab.
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
2.2) Welleneigenschaften von Teilchen
3) Wellenfunktionen
3.1) Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion
2.2.1) Interferenz von Lichtwellen
2.2.3) Elektronenbeugungsröhre und Doppelspalt
2.2.2) Die De Broglie-Hypothese
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Wasserwelle
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Elektromagnetische Welle
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𝒙
𝒚 𝒙, 𝒕𝟎
Harmonische Wellenfunktion:
𝑨
−𝑨
𝟎
𝝀
Wellenzahl 𝒌: 𝒌 =𝟐𝝅
𝝀
⟹ 𝒚 𝒙 = 𝑨 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝒌 ∙ 𝒙 − 𝝎 ∙ 𝒕 mit 𝝎 =𝟐𝝅
𝑻
𝒚 𝒙 = 𝑨 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝅
𝝀∙ 𝒙 −
𝟐𝝅
𝑻∙ 𝒕
Kreisfrequenz 𝝎: 𝝎 =𝟐𝝅
𝑻
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Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsinterpretation:
Materiewellen als Wahrscheinlichkeitswellen:
Solche Wellenfunktionen heißen normierbare Wellenfunktionen.
Wellenfunktion: 𝚿 𝒙
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte: 𝜳(𝒙) 𝟐
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
im Bereich 𝒙 ; 𝒙 + ∆𝒙 für kleine ∆𝒙: 𝜳(𝒙) 𝟐∙ ∆𝒙
Die Gesamtaufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich −∞ ; ∞ ,
𝐝. 𝐡. 𝐝𝐢𝐞 𝐆𝐞𝐬𝐚𝐦𝐭𝐟𝐥ä𝐜𝐡𝐞 𝐮𝐧𝐭𝐞𝐫 𝐝𝐞𝐫 𝜳(𝒙) 𝟐-Kurve,
hat den Wert 1.
𝛹 𝑥
Ψ(𝑥) 2
Ψ(𝑥) 2
∆𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
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Beispiel für eine nicht normierbare Wellenfunktion(harmonische Welle):
𝜳 𝒙
𝜳 𝒙 𝟐
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Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Die Gesamt-Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens ist 1.
⟹ Teilchenwellen-Funktionen 𝚿 𝒙 müssen normierbar sein.
D.h.: Jede Fläche unter 𝛹(𝑥) 2- muss endlich sein.
normierbare Welenfunktion
𝑥 𝑥 𝑥
𝛹 𝑥 Ψ(𝑥) 2 Ψ(𝑥) 2
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Das Überlagerungsprinzip beim Doppelspaltexperiment:
Ψ1 𝑥 2 Ψ2 𝑥 2 Ψ1 𝑥 2+ Ψ2 𝑥 2
Ψ1 𝑥 + Ψ2 𝑥 2
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Überlagerung von Wahrscheinlichkeitswellen:
Überlagerung der Wellenfunktionen:
Ψ = Ψ1+Ψ2
(Superpositionsprinzip)
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte:
Ψ 2 = Ψ1 +Ψ22
= Ψ12 + Ψ2
2 + 2 ∙ Ψ1 ∙ Ψ2
Interferenzterm:
2 ∙ Ψ1 ∙ Ψ2
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Anwendung auf das Doppelspaltexperiment mit Elektronen:
Simulation: Doppelspaltexperiment
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
2.2) Welleneigenschaften von Teilchen
3) Wellenfunktionen
3.1) Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion
2.2.1) Interferenz von Lichtwellen
2.2.3) Elektronenbeugungsröhre und Doppelspalt
2.2.2) Die De Broglie-Hypothese
3.2) Harmonische Wellen und Wellenpakete
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x
Wellenpaket:
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Wie erhält man Wellenpakete?
Zusammensetzen von Gaußschen Wellenpaketen aus harmonischen Wellen:
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Gaußsches Wellenpaket
𝒙
100%
68,3%
Gaußsche Glockenkurve
𝛹 𝑥
Ψ(𝑥) 2
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𝜟𝒙 𝜟𝒌
𝜟𝒙 𝜟𝒌
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Komplementarität der Breite 𝚫𝒙 eines Wellenpakets und der Breite 𝚫𝒌 des Intervalls, aus dem die Wellenzahlen stammen:
Simulation Die Breite 𝚫𝒙 der Wellenpakete nimmt mit zunehmender Breite 𝐝𝐞𝐬 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐯𝐚𝐥𝐥𝐬 𝚫𝒌 ab (und umgekehrt).
∆𝒙 ∙ ∆𝒌 ≈ 𝟏
Die Breiten 𝚫𝒙 und 𝚫𝒌 charakterisieren die Unschärfe bzw. Unbestimmtheit der Größen 𝒙 und 𝒌.
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
2.2) Welleneigenschaften von Teilchen
3) Wellenfunktionen
3.1) Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion
2.2.1) Interferenz von Lichtwellen
2.2.3) Elektronenbeugungsröhre und Doppelspalt
2.2.2) Die De Broglie-Hypothese
3.2) Harmonische Wellen und Wellenpakete
4) Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
4.1) Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation als fundamentales Konzept
![Page 74: Von der kosmischen Hintergrundstrahlung zur ... · 2.1.2) Der Compton-Effekt 2.2) Welleneigenschaften von Teilchen 3) Wellenfunktionen 3.1) Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040113/5e12345a0c0f112e57459a72/html5/thumbnails/74.jpg)
Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation:
𝚫𝒙 ∙ ∆𝒑 ≥𝒉
𝟒𝝅
Werner Heisenberg1927
• fundamentales Konzept der Quantenmechanik
• gilt für alle Wellenfunktionen
Gemäß der De Broglie-Beziehung gilt: ∆𝒑 =𝒉
𝟐𝝅∙ ∆𝒌
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Werner Heisenberg(1901 – 1976)
Nobelpreis 1932
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1) Die Hohlraumstrahlung: Geburt der Quantenmechanik
2) Der Welle-Teilchen-Dualismus
2.1) Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen
2.1.1) Der Lichtelektrische Effekt
2.1.2) Der Compton-Effekt
2.2) Welleneigenschaften von Teilchen
3) Wellenfunktionen
3.1) Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion
2.2.1) Interferenz von Lichtwellen
2.2.3) Elektronenbeugungsröhre und Doppelspalt
2.2.2) Die De Broglie-Hypothese
3.2) Harmonische Wellen und Wellenpakete
4) Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation
4.1) Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation als fundamentales Konzept
4.2) Interpretation und Anwendungen der Heisenbergschen
Unbestimmtheitsrelation
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Unbestimmtheitsrelation für Energie und Zeit:
Es gibt auch eine Unbestimmtheitsrelation für Energie und Zeit:
𝚫𝑬 ∙ ∆𝑻 ≈𝒉
𝟐𝝅
Dabei ist 𝑻 eine Messgröße mit der Dimension einer Zeit.
Beispiele:
• Durchlaufzeit eines Wellenpakets
• mittlere Lebensdauer eines Teilchens
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Durchlaufzeit eines Wellenpakets:
xx
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Nachweis des Higgs-Teilchens:
Nac
hw
eish
äufi
gkei
t fü
r P
ho
ton
enp
aare
Nachweis des Higgs-Teilchens:
Energie in GeVResonanzbreite ∆𝐸
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Bohrsches Atommodell
(Wassertoffatom):
Niels Bohr(1885 – 1962)
Nobelpreis 1922
Atomkern
Elektron
Photon
𝑬𝒏~𝟏
𝒏𝟐
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Energieniveauschema
des Wasserstoffatoms
![Page 82: Von der kosmischen Hintergrundstrahlung zur ... · 2.1.2) Der Compton-Effekt 2.2) Welleneigenschaften von Teilchen 3) Wellenfunktionen 3.1) Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040113/5e12345a0c0f112e57459a72/html5/thumbnails/82.jpg)
Experiment: Diskretes Energiespektrum des Wasserstoffatoms (Balmerlampe)
![Page 83: Von der kosmischen Hintergrundstrahlung zur ... · 2.1.2) Der Compton-Effekt 2.2) Welleneigenschaften von Teilchen 3) Wellenfunktionen 3.1) Physikalische Bedeutung der Wellenfunktion](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040113/5e12345a0c0f112e57459a72/html5/thumbnails/83.jpg)
Ergebnis der Quantenmechanik: Orbitale des Wasserstoffatoms:
Die Orbitale beschreiben die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Raum um den Atomkern.
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• Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
Anwendung der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation auf Quantensysteme mit gebundenen Teilchen:
• Abschätzung der Größenordnungen des Energieinhalts von Quantensystemen mit gebundenen Teilchen
𝑥0 𝐿
∞∞ ∞
• Wasserstoffatom
Elektron
• Atomkern
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Stehende Wellen in einem unendlich hohen Potentialtopf
Ψ𝑛 𝑥 |Ψ_𝑛 (𝑥)|2
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𝑬𝒏~𝟏
𝒏𝟐
Potentialtopf Coulomb-Potential
Diskrete Energieniveaus von gebundenen Systemen:
𝐸1
𝐸2
𝐸3
𝐸4
𝐸5
𝐸1
𝐸2
𝐸3𝐸4
𝐸5
𝑬𝒏~𝒏𝟐
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Energiebereiche der verschiedenen Strahlungsarten:
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