PROBLEMA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Encuentre el volumen mínimo del cono circunscrito a una esfera de radio fijo R y haga

ver que, dicho volumen,es el doble del volumen que tiene la esfera.Solución.

Un corte transversal del cono y esfera se muestra en la siguiente figura

Sean BA BF R el radio de la esfera, FD r, radio del cono y EF h la altura delcono, si denotamos EB y , entonces h y R, y AE y2 R2

El volumen del cono quedará como Vc 13 r2h 1

3 r2y R,expresión que depende de las variables r y y ,tratemos de expresar este volumen en terminos de una sola variable,digamos y ,De los triángulos rectángulos semejantes DFE y BAE, se tiene

Ry2 R2

ry R

r Ry R

y2 R2

de manera que

Vc 13r2h

13

Ry R

y2 R2

2

y R

Vc 13

R2y R3

y2 R2

Derivando Vc respecto de y, se tiene

Vc 1

3y2 R23R2y R2 R2y R32y

y2 R22

13 R2y R23y2 R2 2yy R

y2 R22

R2y R2y2 2Ry 3R2

3y2 R22

igualemos a cero esta primer derivadaR2y R2y2 2Ry 3R2

3y2 R22 0

y R2y2 2Ry 3R2 0 si y R

y2 2Ry 3R2 0

resolviendo esta ecuación cuadrática para y se tieney 3Ry R 0

y1 3R

y2 R, ya descartadoentonces la solución correcta es

y 3R

de manera que las medidas del cono buscado sonh y R 3R R 4R

r Ry R

y2 R2 R4R

9R2 R2 4R2

8R2 4R2

2 2 R 2R

2

y el volumen será

Vc 13r2h 1

3 2R

2

2

4R 13 4R2

24R

Vc 83R3 2 4

3R3 2Ve

El volumen del cono es dos veces el volumen de la esfera

faltaría comprobar, analíticamente, que realmente se trata de un mínimo, para ello

emplearemos el criterio de la primer derivada que consiste en asignar un valor un pocomenor al valor crítico y 3R y después un valor un poco mayor,

si el signo de la derivada cambia de menos a más , entonces , en dicho valor crítico, setendrá un mínimo.

Tomemos y 2R,como valor un poco menor, el signo de la primer derivada en 2R será

Vc 2R

R29R24R2 4R2 3R2

34R2 R229R43R2

39R43R2

3 R2 valor negativo

y como valor un poco mayor tomemos 4R, en este caso el signo de la primer derivadaquedará

Vc 4R

R225R216R2 8R2 3R2

315R2225R45R2

3225R4 5R2

27 signo positivo

como la derivada cambia de menos a más, se tendrá un valor mínimo para el valorcrítico analizado.

Leonardo Sáenz Baez, Noviembre 29 de 2012