Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Anita Midzic Topalovic

VODIKOV SPEKTAR I RELATIVISTICKEPOPRAVKE

Diplomski rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Anita Midzic Topalovic

VODIKOV SPEKTAR I RELATIVISTICKEPOPRAVKE

Diplomski rad

VODITELJ: doc. dr. sc. J. Brana

Osijek, 2011.

Sazetak

Pocetkom 20. st. Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr i drugi razvili su temeljne

elemente kvantne teorije da bi objasnili nekonzistentnosti nekih fizikalnih eksperimenata,

a 1925. godine su Werner Heisenberg i Erwin Schrodinger formulirali kvantnu mehaniku.

Razvoj je kvantne mehanike tijekom 20. st. doveo do stvaranja mocnih teorijskih alata za

nastanak i razvoj novih podrucja fizike. Razvoj su kvantne teorije u smjeru valno-cesticnoga

dualizma ostvarili Werner Heisenberg i Erwin Schrodinger 1925. i 1926. godine predlazuci

tzv. matricnu, odnosno valnu reprezentaciju kvantne mehanike. Dvadesetih godina 20.

st. polazeci od de Broglijeve postavke o valnoj prirodi elektrona austrijski fizicar Erwin

Schrodinger usporedo s Heisenbergovom matricnom mehanikom razvija jos jedan kvantno-

mehanicki koncept. Engleski fizicar Paul Dirac, nakon sto se upoznao s Heisenbergovim

radom, uvodi i drugu, operatorsku shemu kvantne mehanike. On je 1928. godine sjedinio

teoriju relativnosti i kvantnu mehaniku postavivsi relativisticku valnu jednadzbu elektrona,

danas poznatu kao Diracova jednadzba.

Vodikov atom je najjednostavniji od svih atoma. Kao najjednostavniji atom u okviru

njegovog kvantnog opisa moguce je problem rijesiti egzaktno pa je zbog toga vodikov atom

kao posebno zanimljiv kvantni fizikalni sustav postao testom svih teorija koje su pokusavale

objasniti mikrosvijet, od stare Bohrove kvantne teorije do kvantne teorije polja. U ovom radu

koncentriramo se na onu stranu spektra vodikova atoma koja se odnosi na polozaj energijskih

razina u spektru izazvanu relativistickim ucincima. Razmatranje je provedeno takoder i u

okviru nerelativisticke Schrodingerove teorije kao i u okviru relativisticke Diracove teorije.

Vodikov atom je vrlo jednostavan fizikalni sustav pogodan za ispitivanje podudarnosti teorije

i eksperimenata u podrucju kvantnih fenomena, pa je zbog toga problem vodikova spektra

aktualan i danas, kao i u doba razvoja kvantne fizike. Otkrice Lambova pomaka u spektru

vodika 1947. godine je veliki napredak, jer je upravo to otkrice uvjetovalo naglom razvoju

kvantne elektrodinamike, a njome se danas najtocnije objasnjava spektar atoma vodika.

i

Abstract

At the beginning of the 20th century, Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr and

others developed the basic elements of quantum theory to explain the inconsistency of some

physical experiments, and the 1925th year Werner Heisenberg and Erwin Schrodinger for-

mulated quantum mechanics. The development of quantum mechanics in the 20th century

led to the creation of powerful theoretical tools for the creation and development of new

areas of physics. The development of the quantum theory in the direction of wave-particle

duality realized Werner Heisenberg and Erwin Schrodinger 1925th and 1926th The so-called

proposing. matrix, or wave representation of quantum mechanics. In the twenties of the 20th

century, starting from the de Broglijeve assumptions about the wave nature of electrons Aus-

trian physicist Erwin Schrodinger in parallel with Heisenberg develops matrix mechanics is

another quantum concept. English physicist Paul Dirac, after being introduced to the work

of Heisenberg, introduces another scheme operator of quantum mechanics. He in 1928. the

united theory of relativity and quantum mechanics of setting a relativistic wave equations

of electron, now known as the Dirac equation.

Hydrogen atom is the simplest of all atoms. As the simplest atom in its quantum des-

cription of the problem can be solved exactly and is therefore a hydrogen atom is particularly

interesting as quantum physics has become the system test of all theories that have tried

to explain the microcosm of the old Bohr quantum theory to quantum field theory. In this

paper, we concentrate on the other side of the spectrum of hydrogen atoms, which refers to

the position of energy level in the spectrum caused by relativistic effects. Consideration was

also conducted in the not relativistic Schrodinger theory as well as in the relativistic Dirac

theory. Hydrogen atom is very simple physical system suitable for testing the correspon-

dence of theory and experimentation in the field of quantum phenomena, and therefore the

problem of hydrogen spectrum topical today, as during the development of quantum physics.

Discovery Lamb shift in the spectrum of hydrogen 1947th has been great progress, because

it is precisely this discovery caused a rapid development of quantum electrodynamics, and

it is now most accurately explains the spectrum of hydrogen atoms.

ii

Sadrzaj

Sazetak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I OPCENITO O ELEMENTU VODIKU 2

1. OSOBINE VODIKOVA ATOMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1. SVOJSTVA VODIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. KEMIJSKI I FIZIKALNI PODACI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. IZOTOPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. RASPROSTRANJENOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. LINIJSKI SPEKTRI VODIKOVA ATOMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. BOHROV MODEL ATOMA VODIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. DALJNJI RAZVOJ BOHROVE TEORIJE . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. POTESKOCE BOHROVE TEORIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II NERELATIVISTICKA KVANTNA FIZIKA 18

1. SCHRODINGEROVA JEDNADZBA ZA

VODIKOV ATOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1. NAJJEDNOSTAVNIJI ATOM-ATOM VODIKA . . . . . . . . . . . . 22

2. RADIJALNA JEDNADZBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. ENERGIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iii

III RELATIVISTICKA KVANTNA FIZIKA 34

1. DIRACOVA JEDNADZBA SLOBODNOG

ELEKTRONA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.1. SPIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. DIRACOVA JEDNADZBA ZA VODIKOV ATOM . . . . . . . . . . . . . . 39

3. RAZINE ENERGIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. FINA STRUKTURA U DIRACOVOJ TEORIJI . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. EKSPERIMENTALNA POTVRDA TEORIJE

FINE STRUKTURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ZAKLJUCAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ZIVOTOPIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iv

Uvod

Vodikov atom je najjednostavniji od svih atoma. Sastoji se od pozitivno nabijenog

protona i negativno nabijenog elektrona. Masa protona je oko dvije tisuce puta veca od

elektronske, pa se u pojednostavljenoj slici u tom atomu elektron giba oko fiksne tocke i

pritom na elektron djeluje Coulombova sila tockaste cestice-protona.

Kao najjednostavniji atom u okviru njegovog kvantnog opisa moguce je problem rijesiti

egzaktno pa je zbog toga vodikov atom kao posebno zanimljiv kvantni fizikalni sustav postao

testom svih teorija koje su pokusavale objasniti mikrosvijet, od stare Bohrove kvantne teorije

do kvantne teorije polja.

Testiranje se odnosilo kako na samu razdiobu spektralnih linija tako i na jakosti tih linija.

U ovom radu koncentriramo se na onu stranu spektra vodikova atoma koja se odnosi na

polozaj energijskih razina u spektru izazvanu relativistickim ucincima.

Razmatranje je provedeno takoder i u okviru nerelativisticke Schrodingerove teorije kao i u

okviru relativisticke Diracove teorije.

1

I OPCENITO O ELEMENTU VODIKU

1. OSOBINE VODIKOVA ATOMA

Slika 1: Mjesto vodika u periodnom sustavu elemenata

2

ATOMSKI (REDNI) BROJ 1RELATIVNA ATOMSKA MASA 1,00794(7)

HRVATSKI NAZIV VODIKINTERNACIONALNI NAZIV HIDROGENIUM

OKSIDACIJSKA STANJA -1, 0, [1]

TALISTE/VRELISTE (K) 14,01 / 20,28ELEKTRONEGATIVNOST 2,20 / 7,18 eV

KONFIGURACIJA ZADNJE LJUSKE 1s1ELEMENT JE NEMETAL

SPADA U GRUPU 1 / IaSPADA U SKUPINU NITI JEDNU

Tablica 1: Osnovni podaci o vodikovu atomu

Vodik je kemijski element koji u periodnom sustavu elemenata nosi simbol H, atomski

(redni) broj mu je 1, a atomska masa mu iznosi 1,00794(7). Vodik (lat. Hydrogenium) je

plin bez boje, okusa i mirisa i najlaksi je kemijski element. Otkrio ga je Britanac Henry

Cavendish 1766. godine i nazvao ga ”zapaljivim zrakom”. Cavendish ga je dobio reakcijom

cinka i klorovodicne kiseline. Definirao je o kojem se plinu radi i dokazao da reakcijom

vodika i kisika nastaje voda. Zbog toga svojstva Antoine Lavoisier ga 1783. godine

naziva hidrogen, sto na grckom jeziku znaci ”onaj koji stvara vodu” (hydro - voda, genes -

stvarati). Vodik nema odreden polozaj u periodnom sustavu. Ima jedan valentni elektron

kao alkalijski metali, a od njih se razlikuje mnogo vecom energijom ionizacije. Za stabilnu

elektronsku konfiguraciju mu nedostaje jedan elektron. Mogao bi se smatrati halogenim

elementom, ali od njih ima manju elektronegativnost i afinitet prema elektronu, pa se zbog

toga proucava zasebno. Slobodan je vrlo rasiren u prirodi, ali se u malim kolicinama nalazi u

atmosferi, zemnom plinu, ekshalacijama vulkana i dr. Vezan je u sastojcima vode i hidrata,

svih kiselina i baza, hibrida i ugljikovodika, kao i gotovo svih drugih organskih spojeva. Na

Zemlji je po tezini deveti najrasprostranjeniji element, a po broju atoma drugi.

Slika 2: Vodikov atom

3

1.1. SVOJSTVA VODIKA

Pri sobnoj temperaturi vodik je zagusljiv, ali neotrovan plin bez boje, mirisa i okusa

koji se hladenjem ispod -252,8C zgusne u bezbojnu tekucinu. Pri -259,3C tekuci vodik

prelazi u cvrsti vodik koji ima heksagonsku kristalnu strukturu. Prema elektronskoj konfigu-

raciji u periodnom sustavu elemenata moze se podjednako svrstati u prvu skupinu alkalijskih

metala (jedan elektron u s-orbitali) ili u sedmu, halogenu skupinu (jedan elektron manjka do

popunjenja ljuske). Kako je vodikov atom najjednostavniji (jedan elektron koji stvara sferni

elektronski oblak oko jezgre-protona) i kod njega u potpunosti dolaze do izrazaja kvantni

efekti, vodik je u tom smislu najispravnije promatrati izdvojeno u odnosu na spomenute

skupine iako ga po odredenim svojstvima mozemo svrstati u prvu ili u sedmu skupinu.

Kao i ostali plinovi, vodik pokazuje karakteristicne spektralne linije na temelju kojih se moze

prepoznati, a to su spektralne linije Balmerove serije u vidljivom dijelu spektra, Lymanove

serije koja lezi u ultraljubicastom podrucju i tri spektralne serije (Paschenovu, Brackettovu

i Pfundovu) koje leze u infracrvenom podrucju. Proucavanje spomenutih spektralnih linija

bilo je od velikog znacenja u razvoju kvantne mehanike kao znanosti o zakonima u svijetu

atoma pocetkom ovog stoljeca.

U slobodnom stanju na Zemlji vodik se uvijek nalazi kao dvoatomna molekula H2 koja nije

mogla disocirati niti pod najvecim, do danas postignutim, tlakom. Pokazalo se da postoje

dva tipa molekula: orto i para-vodik, koje se razlikuju po ukupnom molekularnom spinu, a

zato i po spektrima zracenja. Taliste i vreliste para-vodika je za 0,1C nize od orto-vodika.

Pri standardnim uvjetima plin vodika sadrzi 25% paramolekula i 75% ortomolekula.

1.2. KEMIJSKI I FIZIKALNI PODACI

Pri normalnom tlaku i temperaturi, vodik je plin bez boje, mirisa i okusa, netopljiv u

vodi. Zagusljiv je, ali nije otrovan i laksi je 14,4 puta od zraka. Normalno vreliste vodika je

-252,8C, a taliste -259,3C. Gori na zraku i stvara eksplozivne mjesavine sa zrakom, klorom

i fluorom-praskavce. Koristi se za pravljenje amonijaka, cikloheksana, metanola. Vodik u

spojevima ima oksidacijski broj -1 i +1.

Glavne skupine spojeva su hidridi, halogenovodici, ugljikovodici, voda, teska voda. Plinoviti

vodik najlaksi je od svih plinova zbog cega je prikladan za punjenje balona i plinom punjenih

lebdjelica, a tekuci je vodik najlaksi od svih tekucina. Ima vrlo nisko taliste i vreliste. To-

plinska vodljivost mu je razmjerno velika (sedam puta veca od vodljivosti zraka), a topljivost

u vodi mala.

4

1.3. IZOTOPI

U vodiku ima 99,98% obicnog vodika (procij), 0,02% teskog vodika, atomske mase 2

(deuterij) koji je ujedno i sastavni dio teske vode, i ima superteskog vodika, atomske mase 3

(tricij), koji je i sastavni dio hidrogenske bombe. Atom obicnog vodika (procija) sastoji se od

jednog protona (jezgra) i jednog elektrona (plast), zbog te razmjerno jednostavne strukture

na njemu se moze provjeravati teorija atomske grade. Teorija je predvidjela, a eksperiment

potvrdio postojanje dviju modifikacija vodika koje se razlikuju po nekim odnosima sastav-

nog protona i elektrona. Te dvije modifikacije zvane orto-vodik i para-vodik nalaze se u

prirodnom vodiku u stalnom omjeru 3:1. Broj izotopa (ukljucujuci nuklearne izomere) je 3.

Masa izotopa je od 1 do 3. Vodik 3H, tricij, ima poluzivot 12,26 godina i oslobada β-zracenje

energije 0,01861 MeV. γ-zracenje nije zastupljeno.

1.4. RASPROSTRANJENOST

U slobodnom stanju vodik je u prirodi vrlo rasprostranjen, ali ne u velikim kolicinama.

Prisutan je u atmosferi, zemnom plinu itd. Sastavni je dio mnogih organskih spojeva, kiselina

i otopina, a s kisikom cini cjelokupnu kolicinu vode na Zemlji. Minerala vodika nema, ali

se nalazi u mnogim drugima kao sastavni dio. On je ishodna stvar iz koje su nastali ostali

elementi i cini 75% mase svemira. Na Zemlji ima malo elementarnog vodika (H2). Sastavni

je dio vulkanskih plinova. Nalazi se i u najvisim slojevima atmosfere, no u neznatnim

kolicinama jer Zemljina gravitacija ne moze zadrzati lake i brze molekule vodika. O njegovoj

rasprostranjenosti dovoljno govori cinjenica da je gotovo dvije trecine Zemljine povrsine

prekriveno vodom. U Zemljinoj kori, oceanima i atmosferi po broju atoma, vodik je treci,

odmah nakon kisika i silicija, dok je po masenom udjelu tek na desetom mjestu.

5

2. LINIJSKI SPEKTRI VODIKOVA ATOMA

Spektar je raspodjela neke fizikalne velicine po odabranoj varijabli. U ovom konkret-

nom slucaju rijec je o raspodjeli toka ili gustoce toka energije po valnoj duljini ili frekvenciji.

Linijski spektri nastaju disperzijom svjetlosti koju emitiraju pobudeni jednoatomni plinovi i

pare metala. Pojedinacna vrsta atoma, kada je van dometa utjecaja neistovrsnih atoma, emi-

tira elektromagnetsko zracenje (uglavnom u vidljivom dijelu spektra) pri prijelazu elektrona

sa vise na nize energetske nivoe. Stoga su valne duljine koje se emitiraju karakteristicne za

danu vrstu atoma.

Slika 1: Karakteristicne valne duljine za atom vodika

Najjednostavniji spektar je linijski spektar vodika. Iako se spektar sastoji od mnogo linija u

infracrvenom, vidljivom i ultraljubicastom podrucju, one se ipak mogu grupirati u pojedine

serije. Atomi razrijedenih plinova i para metala, pobudeni elektricnom strujom ili grijanjem,

emitiraju svjetlost sastavljenu od valova odredenih valnih duljina. Kazemo da se spektar te

svjetlosti sastoji od niza diskretnih spektralnih linija.

Svjetlost s kontinuirano raspodijeljenim valnim duljinama emitiraju uzarena cvrsta tijela. Od

temperature uzarenog tijela ovisi koji je dio spektra najintenzivniji, ali od mjesta maksimuma

postepeno se smanjuje jacina svjetlosti prema manjim i vecim valnim duljinama. Nasuprot

kontinuiranom spektru cvrstih tijela, kod plinova i para opaza se nesto drugo. U njihovu

se spektru pojavljuju diskretne linije, koje su karakteristicne za pojedini kemijski element.

Citav se spektar sastoji od niza ostro odredenih linija. Linijski spektar potjece od atoma.

Takvi se spektri dobivaju pri eksperimentima s katodnim i kanalnim zrakama. Elektricno

izbijanje u cijevi niskog tlaka izaziva uvijek velik broj atoma na emisiju svjetlosti. Linijske

spektre emitiraju i plemeniti plinovi, koji se sastoje od cistih atoma, a ne molekula.

Linijske spektre mozemo promatrati na emisijskom i apsorpcijskom spektru.

6

Pusti li se bijela svjetlost kroz neke pare ili plin, opaza se u dobivenom spektru da su neke

valne duljine ugusene. Tamne linije stoje tocno na onim mjestima spektra gdje bi lezale

emisijske linije. To znaci da plin apsorbira svjetlost onih valnih duljina koje bi inace emitirao

(Kirchoffov zakon). Apsorpcijski spektar potpuno se slaze s emisijskim.

Svakom kemijskom elementu pripada poseban, karakteristican skup spektralnih linija, ali se

u njihovim spektrima opazaju neka zajednicka svojstva. Spektralne linije svakog kemijskog

elementa daju se srediti u nekoliko serija. Svaka pojedina serija predstavlja niz linija, koje

su poredane po odredenom pravilu. Linije jedne serije pripadaju zajedno. Ako promatramo

linije od vecih valnih duljina prema manjim vidi se da se razmak izmedu njih smanjuje.

Linije se nakupljaju prema odredenoj valnoj duljini koja je granica te serije.

Linijski spektar vodika opazen je jos u 19.st. i njegovo proucavanje je dovelo do spoznaja o

strukturi atoma. Sastoji se od linija u infracrvenom, vidljivom i ultraljubicastom podrucju

koje se mogu grupirati u pojedine serije.

Svicarski ucitelj matematike J. Balmer 1885. godine otkrio je da se vodikov spektar

moze prikazati jednostavnom matematickom formulom. Njemu su tada bile poznate cetiri

vidljive vodikove linije s valnim duljinama:

Hα = 4.10 · 10−7m

Hβ = 4.34 · 10−7m (1.1)

Hγ = 4.86 · 10−7m

Hδ = 6.56 · 10−7m.

Vodikove linije se oznacavaju pocetnim slovima grcke abecede, koja dolaze kao indeksi ke-

mijskom simbolu H.

Reciprocne vrijednosti valnih duljina tih cetiriju linija dane su formulom:

1

λ= R

(1

22− 1

m2

);m = 3, 4, 5, 6 (1.2)

R = 109677.58cm−1 . . . Rydbergova konstanta.

Uvrstimo li u Balmerovoj formuli za m cijele brojeve vece od 7 dobivamo valne duljine koje

leze u ultraljubicastom podrucju spektra.

Uvodeci frekvenciju, Balmerovu formulu mozemo napisati u obliku:

ν =c

λ= cR

(1

22− 1

m2

);m = 3, 4, 5. (1.3)

7

Frekvencije spektralnih linija vodika mogu se prikazati kao razlike dvaju clanova, od kojih

je prvi konstantan, a drugi opada kao 1/9, 1/16, 1/25. . .

Balmerova serija je emisijski spektar vodika koji nastaje skokom elektrona iz visih kvantnih

stanja u drugo kvantno stanje.

Balmerova serija ili Balmerov niz je naziv skupine spektralnih linija u spektru vodika, koja

nastaje pri prijelazu elektrona iz stanja n > 2 na stanje glavnoga kvantnog broja n = 2.

Emisijski spektar nastaje emitiranjem fotona prilikom prijelaza elektrona iz visih pobudenih

stanja u niza kvantna stanja. Balmerovu se seriju u vidljivu dijelu spektra moze dobiti

pomocu Geisslerovih cijevi ispunjenih vodikom. Johann Balmer je ove spektralne linije

dobio 1885. godine, a one su posluzile danskom fizicaru Nielsu Bohru za oblikovanje teorije

o gradi atoma.

Svedski fizicar J. Rydberg 1900. godine je pronasao da i linije spektra alkalnih elemenata

mogu biti raporedene u serije. Predlozio je da se Balmerova formula umjesto preko valne

duljine izrazi preko frekvencije.

1908. godine njemacki fizicar koji se bavio spektroskopijom F. Paschen je nasao u infracr-

venom podrucju spektralne linije vodika kojima su se valne duljine slagale tocno s izrazima:

1

λ= R

(1

32− 1

42

)(1.4)

1

λ= R

(1

32− 1

52

).

Imamo dva clana jedne serije kojoj je konstantni clan R32

, taj clan odreduje i granicu serije.

Paschenova serija jest serija linija u spektru vodikova atoma koja nastaje skokom elektrona

iz visih energijskih nivoa u normalno stanje s kvantnim brojem n = 3.

1916. godine americki fizicar T. Lyman je pronasao na drugoj strani od Balmerove serije,

duboko u ultraljubicastom podrucju, nove spektralne linije koje mozemo prikazati istom

Balmerovom formulom samo sto za konstantni clan treba uzeti u nazivniku cijeli broj 1.

Dakle, Lymanova serija je serija linija u spektru vodikova atoma koja nastaje skokom elek-

trona iz visih energijskih nivoa u normalno stanje s kvantnim brojem n = 1.

8

Vodikov spektar sastoji se od ovih serija:

Lymanova serija:1

λ= R(

1

12− 1

n2), n = 2, 3, 4, ... (1.5)

Balmerova serija:1

λ= R(

1

22− 1

n2), n = 3, 4, 5... (1.6)

Paschenova serija:1

λ= R(

1

32− 1

n2), n = 4, 5, 6, ... (1.7)

Brackettova serija:1

λ= R(

1

42− 1

n2), n = 5, 6, 7, ... (1.8)

Slika 2: Serije vodikova spektra

U vidljivo podrucje spektra spadaju prve cetiri linije Balmerove serije.

Frekvencije spektralnih linija vodika mozemo opcenito izraziti formulom:

ν =cR

n2− cR

m2, (1.9)

gdje su n, m cijeli brojevi.

Frekvencije vodikovih linija se dobiju tako da se od niza cRn2 ucine sve moguce pozitivne

razlike.

Svicarski fizicar W. Ritz otkrio je 1908. godine opci princip kombinacije. Po tom principu

za svaki se kemijski element da postaviti niz terma T1, T2, T3, ... tako da su frekvencije njegova

spektra definirane razlikama:

ν = Tn − Tm. (1.10)

Klasicna fizika ne moze objasniti nastanak linijskih spektara atoma, svi pokusaji u tom smislu

zavrsili su neuspjehom. Spektre je 1913. godine objasnio Niels Bohr pomocu poluklasicne

kvantne teorije i svojim modelom vodikova atoma.

9

3. BOHROV MODEL ATOMA VODIKA

Razvoj temelja kvantne mehanike ostvario se kroz nekoliko koraka. U prvom razdoblju,

krajem devetnaestog i pocetkom dvadesetog stoljeca postojalo je nekoliko eksperimentalno

prikupljenih saznanja koja se ni na koji nacin nisu mogla objasniti u okviru do tada poznate

klasicne fizike. Zapravo je bio vrlo mali broj ovakvih problema koji nisu bili do kraja teorijski

shvaceni i objasnjeni. Stoga su neki ondasnji znanstvenici smatrali da ce uskoro biti doseg-

nut kraj razvoja fizike, ali nista nije moglo biti vise pogresno od takvog razmisljanja. To

je prvenstveno bio problem zracenja crnog tijela i problem specificnog toplinskog kapaciteta

cvrstih tijela na niskim temperaturama. Max Planck 1900. godine postavlja revolucionarnu

hipotezu da se energije oscilatora mijenjaju u obrocima-kvantima, koji imaju najnizu vri-

jednost hν, gdje je h = 6.6 · 10−34Js nova fundamentalna konstanta-Planckova konstanta, a

ν frekvencija oscilatora. Svaka druga energija je cjelobrojni visekratnik od hν. Ovom ide-

jom je Einstein kasnije (1905.) objasnio fotoelektricni ucinak, a Debuey problem specificnog

toplinskog kapaciteta cvrstih tijela. Eksperimenti s rasprsenjem alfa cestica, ostvareni od

strane Rutherforda, doveli su do Bohrove polu-klasicne teorije atoma, koja predstavlja drugi

veliki korak u razvoju kvantne fizike.

1 2Niels Bohr

Godine 1913. N. Bohr predlozio je prvi model vodikova modela s kvantiziranim stazama.

Iako se pokazalo da je Bohrov model pogresan, jer je zadrzao pojam gibanja elektrona po

stazi, prosirenjem ideje kvantizacije na gibanje elektrona u atomu dao je snazan poticaj dalj-

njem razvoju kvantne mehanike, kojemu su poslije bitno pridonijeli Schrodinger, Heisenberg,

Born, Dirac i drugi.

Nedugo nakon sto je Rutherford iznio svoju teoriju o ustroju atoma, postalo je jasno

kako je takva vizija neodrziva. Ideja elektrona koji kruze na odredenim udaljenostima od

pozitivne jezgre dolazila je u kontradikciju s klasicnom Maxwellovom elektrodinamikom.

1Niels Bohr (1885.-1962.), danski fizicar, bio je u mladosti odlican sportas, skijas i nogometas.2Bohr je takoder dao znacajan doprinos izgradnji statisticke interpretacije kvantne fizike, koja je danas

opceprihvacena. U kasnijim godinama angazirao se na ocuvanju mira u svijetu. Bio je veliki prijatelj Hrvatskei znatno je pomogao razvoju hrvatske fizike. 1922. godine dobio je Nobelovu nagradu za fiziku za istrazivanjastrukture atoma i zracenja.

10

Istina, bio je to znacajni napredak u odnosu na Thompsonov model koji je elektrone kalemio

na povrsinu jezgrine sfere. Elektron bi prije ili kasnije uslijed gubitka energije na zracenje

trebao pasti na jezgru, sto bi dovelo do anhiliranja naboja. Takav atom bio bi neodrziv, i

svemir kakvog poznajemo jednostavno ne bi postojao.

Bohr je pomocu jednostavnog poluklasicnog modela uspio 1913. godine izracunati energije

vodikova spektra, te objasniti atomske spektre sa svoja cuvena dva postulata. Treba naglasiti

da ovaj model iako nije tocan u potpunosti, jos uvijek dobro sluzi za razumijevanje procesa

u atomu, a posebice u obrazovne svrhe.

PRVI BOHROV POSTULAT

Postoje odredena stacionarna stanja energije u kojima elektroni kruze bez zracenja. Prirodno

elektroni borave u stacionarnim stanjima najnize energije i moguce ih je vanjskim utjecajem

prebaciti u orbite s vecim energijama.

Elektron ne moze kruziti oko jezgre po bilo kojim stazama vec samo po tocno odredenim

kvantiziranima stazama. To su tzv. dopustene ili stacionarne staze, gibajuci se po njima

elektron se nalazi u stacionarnom stanju, ne gubi energiju zraceci elektromagnetske valove.

DRUGI BOHROV POSTULAT

Elektron prebacen u stacionarno stanje vise energije prelazi u nize energetsko stanje i pri-

tom emitira kvant svjetlosti, cija je energija jednaka razlici energetskih razina navedenih

stacionarnih stanja.

Atom asporbira (upije) zracenje samo kada primi odredeni kvant energije i emitira odredeni

kvant energije kada prelazi iz viseg stacionarnog stanja u drugo nize stacionarno stanje.

Prelazak iz viseg stanja u nize moze biti spontan ili prisilan, pri cemu se emitira kvant

energije (foton). Atom ne moze sponatno prijeci iz stanja nize u stanje vise energije, nego

samo prisilno tek kada biva pogoden s odredenim kvantom energije (fotonom).

Frekvencija emitiranog fotona pri prelasku iz viseg u nize energetsko stanje dana je formulom:

hν = Em − En → ν =Em − En

h, (1.11)

gdje je E energija fotona i Em > En, a ν je frekvencija fotona.

Dakle, apsorpcijom fotona dolazi do eksitacije atoma-prelaska atoma iz nizeg u vise ener-

getsko stanje, a spontanom i prisilnom emisijom fotona dolazi do prijelaza atoma iz viseg u

nize energetsko stanje.

11

Slika 3: Apsorbcija i emisija fotona

Po Planckovoj relaciji, energija kvanta svjetlosti je:

∆E = hν, (1.12)

gdje je ν frekvencija zracenja, a h je Planckova konstanta koja iznosi 6.626 · 10−34Js.

Dakle, ∆E = E1- E2, gdje je E1energija polazne (vise) razine, a E2 energija konacnog stanja.

Slika 4: Energija emitiranog fotona

Apsorpcijom, odnosno emisijom kvanta svjetlost, elektron mijenja svoju stacionarnu stazu.

Bohr je uocio svojevrsnu analogiju izmedu gibanja planeta oko Sunca, i vrtnje elektrona

oko atomske jezgre. Planeti ostaju na svojim kruznim putanjama zbog cinjenice da su

gravitacijska sila privlacenja njihovih masa i Sunceve, te centrifugalna sila uravnotezene.

12

U slucaju elektrona postoji slicna ravnoteza centrifugalne i Coulombove sile:

mev2

r=

Ze2

4πε0r2, (1.13)

gdje je memasa elektrona koja iznosi 9.11 · 10−31kg, a e je jedinicni naboj koji iznosi 1.6022 ·10−19C, Z je atomski broj promatranog atoma. Bohr se u svojim razmatranjima zbog

jednostavnosti ogranicio na najjednostavniji atom, dakle vodik, kod kojega je Z = 1.

Slika 5: Bohrov planetarni model atoma s kruznim stacionarnim stazama elektrona (vektoriCoulombove i centrifugalne sile su tijekom rotacije pod pravim kutem)

Jasno je kako je Bohr cinjenicu da elektron gubeci energiju zracenjem pada ka jezgri anulirao

postojanjem odredenih stacionarnih orbita u kojima elektron ne zraci. No, trebalo je izdvojiti

i definirati te posebne orbite. Pretpostavio je kako vrijednosti kutnog momenta kolicine

gibanja elektrona ne mogu biti proizvoljne velicine, vec iznosi tocno odredeni kao cjelobrojni

visekratnici reducirane Planckove konstante:

l = mevr = n~, n = 0, 1, 2, 3, ... (1.14)

Ukupna energija elektrona u orbiti jednaka je zbroju kineticke energije elektrona na stazi, i

njegove potencijalne energije uslijed Coulombovskog privlacenja:

E =1

2mev

2 − Ze2

4πε0r. (1.15)

Iz ovih je uvjeta relativno jednostavno izvesti izraze za polumjer odredene orbite, te brzinu

elektrona u njoj:

r =n2h2ε0πmeZe2

(1.16)

v =Ze2

4πε0n~. (1.17)

Uocljive su dvije bitne zakonitosti: Brzina elektrona je obrnuto proporcionalna iznosu kvant-

nog broja n:

v1 : v2 : ... : vn−1 : vn = 1 :1

2: ... :

1

n− 1:

1

n. (1.18)

13

Polumjer Bohrove orbite (pretpostavljena je kruzna) proporcionalan je kvadratu kvantnog

broja:

r1 : r2 : ... : rn−1 : rn = 12 : 22 : ... : (n− 1)2 : n2. (1.19)

Slika 6: Omjer polumjera Bohrovih orbita i kvantnog broja n

Bitno je naglasiti kako je Bohra do ove spoznaje dovelo proucavanje vodikovog spektra,

odnosno uocavanje cinjenice da su odredeni kvantni skokovi elektrona analogni s linijama

u spektru. Posavsi od Rydbergove jednadzbe, Bohr je izveo izraz za frekvencije zracenja

vodikova atoma:

ν =mee

4

4π~(

1

n2− 1

k2). (1.20)

Iz Bohrove teorije slijedile su neke bitne velicine, primjerice polumjer vodikovog atoma u

osnovnom (nepobudenom stanju):

r(n=1)~2

mee2= 5.291 · 10−11m, (1.21)

te brzina elektrona u osnovnoj orbiti (prikazana u realnim dimenzijama, te u omjeru sa

brzinom svjetlosti):

v(n=1) =e2

~= 2.189 · 106m/s (1.22)

α =v(n=1)

c=

1

137(priblizna vrijednost). (1.23)

14

Slika 7: Spektar vodikovog atoma

Ovaj omjer, nazvan ’konstanta fine strukture’ ima veliku vaznost u kvantnoj elektrodinamici

(QED), primjerice pri rjesavanju Feynmanovih dijagrama, i u novije vrijeme (zadnjih 70

godina) je shvacen kao jedna od kljucnih fizikalnih konstanti. Niels Bohr je bio samo zacetnik,

onaj koji je otskrinuo vrata spoznaji opce strukture atoma. Neki dijelovi se jos nisu uklapali

u konacnu sliku, i trebalo ih je objasniti, primjerice cinjenicu da jedno stanje elektrona u

orbiti katkad rezultira dvjema linijama u spektru.

3.1. DALJNJI RAZVOJ BOHROVE TEORIJE

A. W. Sommerfeld je izvrsio korekciju Bohrove teorije atoma. Takoder se po-

zvavsi na analogiju kruzenja elektrona sa planetarnim gibanjem, pretpostavio je postojanje

elipticnih elektronskih staza, sa jezgrom u jednom od zarista elipse. Elipticne putanje s jed-

nakom vecom poluosi imaju isti kvantni broj n, no razlikuju se u spljostenosti, koja ovisi o

orbitalnom momentu kolicine gibanja l. Kao i kvantni broj, kutni moment l moze biti samo

cijeli broj:

l = 0, 1, 2, 3, . . . , n− 2, n− 1,

dakle postoji n dopustenih elipticnih staza za elektron.

Takoder, Sommerfeld je u obzir uzeo i Einsteinovu teoriju relativnosti, i tako dosao do

zakljucka da se elektroni na stazama s istim kvantnim brojevima n, ali razlicitim kutnim

momentima l razlikuju po iznosima ukupne energije. Stoga bi elektron pri prelasku s viseg

na nizi kvantni broj trebao davati visestruku liniju u spektru. Pazljivom analizom helijeve

linije valne duljine λ = 4.38 · 10−11m, koja odgovara prelasku sa n = 4 na n = 3, otkrio je

trinaest bliskih podlinija.

Bit Sommerfeldove relativisticke korekcije jest u cinjenici da se unatoc elektronovoj brzini

koja je oko 137 puta manja od brzine svjetlosti, relativisticki efekt ne moze zanemariti. Posao

je od jednadzbe za kineticku energiju elektrona (u kojoj je brzinu korigirao relativistickim

15

faktorom):

Ek = m0c2

1√1− v2

c2

− 1

. (1.24)

Uzevsi u obzir radijalni i kutni impuls ( pr = mdrdt, pϕ = mr2ϕ), izveo je pravilo koje pokazuje

kutno skretanje perihela elipticnih staza:

∆ϕ =2π

γ− 2π, (1.25)

gdje je γ = (1 – Z2e4/ 4πε0 pϕ2c2 )1/2. Perihel se dakle giba po kruznici oko jednog od fokusa

elektronove elipticne putanje.

Daljnje analize su uzele u obzir istrazivanja Pietera Zeemana koji je 1896. godine otkrio

cijepanje i pomicanje spektralnih linija u magnetskom polju. Dozvoljene orbite elektrona su

definirane magnetskim kvantnim brojem m, i ukupno ih ima 2l + 1:

m = −l,−(l − 1),−(l − 2), . . . ,−1, 0, 1, . . . , l − 2, l − 1, l.

Konacni formalni model atoma su zaokruzili znanstvenici George Uhlenbeck i Abraham

Goudsmith. Pretpostavivsi da elektron rotira oko vlastite osi, dokazali su da pored vanjskog

(orbitalnog) kutnog momenta l posjeduje i unutarnji kutni moment, tzv. spin. Ukupni kutni

moment J tada aditivno ovisi o orbitalnom i unutarnjem momentu:

J1 = l + S

J2 = l − S,

dok se za l = 0 ukupni kutni moment i spin podudaraju (J = S ). Za elektron, spin iznosi S

= 1/2. Ukupni moment J ce se u magnetskom polju takoder razloziti na 2J + 1 komponenti

koje se razlikuju po magnetskom momentu m. Cinjenica da elektron sa istim kvantnim

brojevima n, l i m moze ovisno o spinu imati dvije vrijednosti ukupnog kutnog momenta J,

objasnjava problem dvaju linija u spektru za jedno energijsko stanje.

Austrijski fizicar W. Pauli je konacno zaokruzio Bohrovu teoriju svojim nacelom iskljucenja.

U odredenom se energetskom stanju moze nalaziti samo jedan elektron, odnosno, dva elek-

trona ne mogu imati ista sva cetiri kvantna broja n, l, m i S. Ipak, istrazivanja Wernera

Heisenberga predocila su potpuno drukciju sliku ponasanja elektrona u atomu, zanemarujuci

pojam staze, uz prihvacanje iskljucivo pocetnog i konacnog energetskog stanja elektrona.

Unatoc tome, Bohrov je model za srednjoskolce jos uvijek kljucni obrazac razumijevanja

ponasanja elektrona u atomskim orbitama.

16

3.2. POTESKOCE BOHROVE TEORIJE

Od samog pocetka Bohrova teorija je izazvala mnoga pitanja, koja su ostala bez odgo-

vora. Postavljeno je pitanje kako povezati Bohrove ideje i klasicnu mehaniku u kojoj nema

kvantnih skokova, te kako elektron moze znati na koju putanju i kada mora preskociti. Som-

merfeld je razvio Bohrovu teoriju tako da je uveo ideju prostornog kvantiziranja. Uvodenje

treceg magnetskog kvantnog broja m kojim je odreden polozaj staze i kvantiziranjem pravaca

osi u odnosu na magnetsko polje omogucavalo je objasnjenje Zeemanovog efekta. Bohrova i

Sommerfeldova teorija spektara dala je rjesenje samo za frekvenciju crta i nije mogla objas-

niti njihov intenzitet niti polarizaciju. Bohr je uocio poteskoce svoje teorije, te da bi njegova

teorija mogla objasniti intenzitet i polarizaciju spektralnih crta, 1918. godine dopunio ju je

nacelom slaganja ili korespodencije. Otto Stern i Walther Gerlach, njemacki fizicari, ispiti-

vali su magnetska svojstva atoma. 1921. godine pustili su atomski snop kroz nehomogeno

magnetsko polje i dokazali da u atomima postoji magnetski moment. Pokus je pokazao

da se snop dijeli na dva simetricna snopa. Rascjep se snopa nije mogao objasniti Bohr-

Sommerfeldovom teorijom. Bilo je sve vise pojava koje se nisu mogle objasniti s Bohrovom

teorijom jer je kvantni model atoma postajao sve slozeniji, pa je bilo nuzno izgraditi teoriju

na sirim osnovama koja bi objasnila ove pojave.

17

II NERELATIVISTICKA KVANTNA FIZIKA

Kvantna fizika predstavlja jednu od najvaznijih i najplodonosnijih grana moderne fi-

zike. Nastala je devedesetih godina 20-og stoljeca. Ona proucava ponasanje elektrona i

ostalih elementarnih cestica u atomima, molekulama i kristalima, nuklearnim jezgrama. Ne-

relativisticka kvantna fizika razmatra gibanje tijela brzinom malenom u usporedbi s brzinom

svjetlosti.

Bitan korak u razvoju kvantne mehanike zapoceo je putem mnogih eksperimentalnih zapazanja,

difrakcija i interferencija snopova elektrona, koja su ukazivala na dualnu, valno-cesticnu pri-

rodu elektrona. Razvoj teorije u ovom smjeru ostvarili su Werner Heisenberg 1925. godine,

razvojem matricne formulacije kvantne fizike, te Erwin Schrodinger 1926. godine, putem

svoje glasovite jednadzbe i Paul Dirac formulacijom operatorske mehanike 1926. godine.

Time su udareni temelji nove znanosti, ali njezin razvoj time nije zavrsen.

1. SCHRODINGEROVA JEDNADZBA ZA

VODIKOV ATOM

3 4Erwin Schrodinger

Schrodingerova jednadzba gibanja elektrona je osnovna jednadzba u kvantnoj fizici.

Potpuno odbacuje pokusaje da se gibanje elektrona odvija po odredenim stazama u atomu

i nastoji opisati njihovo gibanje iskljucivo valnim svojstvima. Valovi materije se mogu sta-

tisticki protumaciti, preko vjerojatnosti nalazenja elektrona u nekom dijelu prostora u nekom

trenutku. U nekom trenutku vjerojatnost da se elektron nade u nekoj tocki prostora jed-

naka je kvadratu apsolutne vrijednosti valne funkcije. Valna funkcija se mijenja ovisno o

3Erwin Schrodinger (1887.-1961.), austrijski fizicar, otkrio je osnovnu jednadzbu gibanja elektrona uokviru nerelativisticke kvantne fizike, Schrodingerovu jednadzbu. 1933. godine zajedno s Paulom Diracomdobiva Nobelovu nagradu za fiziku za otkrice nove atomske teorije.

4Bio je veliki protivnik nacisticke ideologije zbog cega je morao prvo napustiti Berlin, a poslije Anschlussamorao je pobjeci preko Tirola u Italiju. Iz Italije je u diplomatskoj posti

”prosvercan“ avionom za Dublin.

Zivio je u Dublinu sve do svoje smrti 1961. godine.

18

hamiltonijanu-ukupnoj energiji elektrona. Pomocu te jednadzbe dobiva se kvantnofizikalni

model svakog pojedinog atoma.

Schrodingerova jednadzba predstavlja jedan od temelja kvantne mehanike. Ova jednadzba

prikazuje prostorno i vremensko ponasanje cestice u okviru kvantne mehanike.

Schrodinger 1926. godine formulira jednadzbu koja kao rjesenje daje valnu funkciju. Schrodin-

gerova jednadzba predstavlja postulat jednako kao i Newtonove jednadzbe gibanja ili zakon

o ocuvanju energije u klasicnoj mehanici. Za slobodnu cesticu, kakav je elektron, valna

funkcija Ψ ima frekvenciju i valnu duljinu koju daje Planckova i de Broglieva jednadzba:

E = h · ν

(2.1)

p =h

λ.

Za elektron privucen centralnim nabojem u odreden prostor, kao npr. elektron u atomu

vodika prihvatljiva rjesenja su moguca samo za odredene vrijednosti energije.

Schrodingerova valna mehanika se temelji na logicnoj pretpostavci da je ukupna energija

elektrona zbroj kineticke i potencijalne:

mv2

2+−e2

r= E. (2.2)

U toj jednadzbi m je masa elektrona u mirovanju, v je brzina njegova kretanja, e je naboj

elektrona, tj. −1.69 · 10−19C, a r je udaljenost elektrona od protona. Prvi pribrojnik

predstavlja kineticku, a drugi potencijalnu energiju elektrona u atomu. U kvantnoj mehanici

je lakse raditi s jednadzbama koje umjesto brzine koriste kolicinu gibanja (~p = m~v), tj.

~p2

2m− e2

r= E. (2.3)

To je jos uvijek potpuno klasican izraz. Slijedeci korak je odlucujuci za uvodenje valnih

svojstava materije. Na obje strane jednadzbe koja opisuje polozaj i kolicinu gibanja elek-

trona u svakom dijelu prostora uvodi se funkcija obiljezena sa , a fizikalne velicine prelaze u

operatore:

E → i~∂

∂t, ~p→ −i~~∇, ~r → ~r. (2.4)

Ona modulira jednadzbu kretanja elektrona tako da naglasava cinjenicu da se u nekim di-

jelovima prostora elektron odrazava naglasenije nego u drugim. To vodi danas slavljenoj

19

Schrodingerovoj jednadzbi: (p2

2m− e2

r

)Ψ = EΨ. (2.5)

Kazemo da su energija i neka druga svojstva takvog elektrona, npr. kutni moment kvantizi-

rana.

Schrodingerova jednadzba je linearna, parcijalana, diferencijalna jednadzba, kljucna za di-

skusiju o elektronima, atomima i molekulama.

Kao sto je receno, za prijelaz u valnu jednadzbu, fizicke varijable se preoblikuju u ”opera-

tore”,

~p→ ~∂i∂~x

, tj. ~p→ −i~~∇, E → i~∂

∂t,

odnosno:

i~∂Ψ

∂t= − ~2

2m∆Ψ + V (~r, t)Ψ, (2.6)

gdje je ~ = h2π

, reducirana Planckova konstanta.

Schrodingerovu jednadzbu zadovoljava valna funkcija Ψ elektrona u trodimenzionalnom pros-

toru. Ona pokazuje da se ukupna energija cestice sastoji od operatora kineticke energije (prvi

pribrojnik) i potencijalne (drugi pribrojnik) koji ovisi o okolini u kojoj se elektron nalazi.

Kao u bilo kojem drugom sustavu koji se sastoji od stojnog vala moraju biti primijenjeni

odredeni granicni uvjeti na Ψ. Glavna ogranicenja na Ψ jesu: da vrijednost Ψ mora teziti

nuli kada se elektron beskonacno udalji od jezgre, te da je funkcija Ψ neprekidna, konacna i

jednoznacna.

U Descartesovim koordinatama jednadzba postaje:

− ~2m

(∂2Ψ

∂2x2+∂2Ψ

∂2y2+∂2Ψ

∂2z2

)+ V (x, y, z)Ψ = i~

∂Ψ

∂t

(2.7)(− ~2

2m∇2 + V

)Ψ = i~

∂Ψ

∂tΨ,

gdje ∇2 ≡ ∆ predstavlja Laplaceov operator.

20

Dio jednadzbe u zagradi poznat je kao Hamiltonov operator (hamiltonian)5, pa se jednadzbu

moze sazeti u oblik:

HΨ = i~∂Ψ(~r, t)

∂t(2.8)

Ukoliko potencijalna energija V ne ovisi o vremenu, rjesenje jednadzbe (2.8) moguce je

jednostavno dobiti kao:

Ψ (~r, t) = e−i~EtΨ (~r) , (2.9)

gdje je E konstanta.

Funkcija Ψ (~r) tada zadovoljava jednadzbu:

HΨ (~r) = EΨ (~r) . (2.10)

Jednadzbu (2.10) nazivamo jednadzba stacionarnih stanja energije, a funkcije (2.9) nazivamo

stacionarna stanja energije.

Matematicki (algebarski) gledano E je svojstvena vrijednost Hamiltonovog operatora, dok

je Ψ svojstvena vrijednost njegove funkcije. Kineticka i potencijalna energija su smjestene

u hamiltonijan koji djeluje na valnu funkciju Ψ da generira razvoj valne funkcije u prostoru

i vremenu. Poznavanje pak omogucava izracunavanje dozvoljenih vrijednosti E, odnosno

rjesavanje diferencijalne jednadzbe (2.10) daje prihvatljiva rjesenja samo za odredene vrijed-

nosti E, tzv. svojstvene vrijednosti jednadzbe odnosno sustava.

Da zakljucimo, Schrodingerova jednadzba predvida buduce ponasanje dinamickih sus-

tava na atomskoj razini. To je valna jednadzba u smislu valne funkcije koja analiticki precizno

predvida vjerojatnost dogadaja ili ishoda. Naime, iz Ψ izgradujemo gustocu vjerojatnosti i

gustocu struje vjerojatnosti:

ρ = Ψ∗Ψ

(2.11)

~j = − i~2m

(Ψ∗~∇Ψ− ~∇Ψ∗Ψ

),

koje zadovoljavaju jednadzbu kontinuiteta:

∂ρ

∂t+ div~j = 0, (2.12)

ako zadovoljava Schrodingerovu jednadzbu (2.6).

5Po irskom matematicaru Sir Williamu Rowanu Hamiltonu (1805.-1865.)

21

Zbog toga je velicina: ∫dV ρ ≡

∫dVΨ∗Ψ = constt, (2.13)

pa ju uzimamo da je 1, tj. kazemo normiramo funkciju Ψ na 1:∫Ψ∗ΨdV = 1. (2.14)

I tumacimo to kao”sigurnost“ da cemo naci elektron negdje u cijelom prostoru, a Ψ∗ΨdV

je vjerojatnost da nademo elektron u volumenu dV na mjestu ~r u trenutku t.

Slika 1: Prikaz malog volumena dV u kojem nalazimo elektron na mjestu ~r u trenutku t

1.1. NAJJEDNOSTAVNIJI ATOM-ATOM VODIKA

Za sustave koji sadrzavaju samo jedan elektron naboja –e i jezgru naboja +Ze(ako Z

= 1 radi se o atomu vodika) moguce je tocno odrediti rjesenja Schrodingerove jednadzbe.

Slika 2: Atom vodika u kojemu je elektron vezan za proton elektrostatskom silom privlacenjasuprotno nabijenih cestica (razmjeri nisu u realnom omjeru)

22

Schrodingerova jednadzba za vodikov atom glasi:

i~∂Ψ

∂t= HΨ, (2.15)

gdje je H Hamiltonov operator, operator energije atoma i jednak je:

H = − ~2

2m∆ + V, (2.16)

V je potencijalna energija koja odgovara privlacnoj kulonskoj interakciji izmedu jezgre atoma

+Ze i elektrona –e i iznosi:

V (r) = −Ze2

r. (2.17)

Za vodikov atom redni broj je Z = 1, uvrstimo li izraz za potencijalnu energiju u hamiltonijan

dobijemo:

H = − ~2

2m∆− e2

r. (2.18)

Kada se cestica nalazi u stalnom potencijalu, tj. kada potencijalna energija V(r) ne ovisi

o vremenu, kao kod vodikovog atoma, moguce je pojednostaviti Schrodingerovu valnu jed-

nadzbu. Obje strane jednadzbe moraju biti jednake istoj konstanti razdvajanja posto je lijeva

strana ovisna o t, a desna o r. Tu konstantu cemo oznaciti sa E, pa dobijemo Schrodingerovu

jednadzbu oblika:

[− ~2

2m∆ + V (~r)

]Ψ (~r) = EΨ (~r) . (2.19)

Ta jednadzba je homogena po Ψ, pa je njeno partikularno rjesenje:

Ψ (~r, t) = e−i~EtΨ (~r) . (2.20)

Ova stanja nazivamo stacionarna stanja energije.

23

Nemoguce je u opcem slucaju dobiti analiticko rjesenje trodimenzionalne Schrodingerove

jednadzbe osim kada se ona moze razdvojiti na tri diferencijalne jednadzbe za pojedine

prostorne koordinate. Pomocu sfernih koordinata:

x = r sinϑ cosϕy = r sinϑ sinϕz = r cosϑ

(2.21)

za Laplaceov operator dobili bi:

∆Ψ =1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)Ψ +

1

r2

[1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

]Ψ. (2.22)

S Λ (ϑ, ϕ) oznacit cemo diferencijalni izraz u uglatoj zagradi, pa dobivamo:

∆Ψ =1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)Ψ +

1

r2Λ (ϑ, ϕ) Ψ. (2.23)

Prema tome Schrodingerova valna jednadzba glasi:

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)Ψ +

1

r2Λ (ϑ, ϕ) Ψ +

2m

~2[E − V (r)] Ψ = 0. (2.24)

Ako uvrstimo potencijalnu energiju za vodikov atom, Schrodingerova jednadzba za elektron

koji se giba u Coulombovu potencijalu jezgre ce biti:

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)Ψ +

1

r2Λ (ϑ, ϕ) Ψ +

2m

~2

[E +

Ze2

r

]Ψ = 0. (2.25)

Ako parcijalnu diferencijalnu jednadzbu rastavimo na dijelove s razlicitim varijablama, onda

njezino rjesenje trazimo u obliku produkta:

Ψ (r, ϑ, ϕ) = R (r) Y (ϑ, ϕ) , (2.26)

te ako taj produkt uvrstimo u jednadzbu (2.25) i pomnozimo s r2

RYdobijemo:

1

R

∂

∂r

(r2∂

∂rR

)+

1

YΛ (ϑ, ϕ) Y (ϑ, ϕ) +

2m

~2r2(E +

Ze2

r

)= 0. (2.27)

24

Ako jednadzbu napisemo u obliku:

1

R

∂

∂r

(r2∂

∂rR

)+

2m

~2r2(E +

Ze2

r

)=

1

YΛ (ϑ, ϕ) Y (ϑ, ϕ) , (2.28)

vidimo da lijeva strana ovisi o r, a desna o ϑ i ϕ . Obje strane moraju biti jednake nekoj

konstanti koju cemo oznaciti s λ, pa dobijemo radijalnu jednadzbu:

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂rR

)+

[2m

~2

(E +

Ze2

r

)− λ

r2

]R = 0 (2.29)

i kutnu jednadzbu:

Λ (ϑ, ϕ) Y (ϑ, ϕ) + λ (ϑ, ϕ) Y (ϑ, ϕ) = 0. (2.30)

Za kutni dio vrijedi jednadzba kuglinih funkcija:

[1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2+

1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+ λ

]Y = 0. (2.31)

Odabiremo samo ona rjesenja koja su konacna, neprekidna i jednoznacna za sve vrijednosti

argumenata ϕ ∈ [0, 2π] , ϑ ∈ [0, π]. Time je ogranicen broj mogucih vrijednosti za konstantu

λ. Kuglinu funkciju pisemo u obliku produkta dviju funkcija od kojih svaka ovisi o jednoj

varijabli:

Y (ϑ, ϕ) = Θ (ϑ) Φ (ϕ) .

Tada se jednadzba (2.31) raspada na dvije nove jednadzbe:

d2Φ

dϕ2+KΦ = 0 (2.32)

[1

sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ

∂

∂ϑ

)+

(λ− K

sin2 ϑ

)]Θ = 0. (2.33)

Uvjet da je Φ (ϕ) ∈ [0, 2π] neprekidna i jednoznacna zahtjeva da je velicina K jednaka

kvadratu cijelog broja K = m2,m = 0,±1,±2, ...i rjesenje pisemo u obliku:Φ (ϕ) = e±iρ.

Stavimo li da je to rjesenje, prva jednadzba je zadovoljena. (Ako ϕ povecamo za 2π to se

rjesenje ne smije promijeniti, a to je ispunjeno samo ako je√K jednak kvadratu cijelog broja

m).

25

Uvodimo supstituciju cosϑ = t i tada je:

d

dϑ=

d

dϑ

d

dt= − sinϑ

d

dt,

pa jednadzba (2.33) dobiva oblik:

d

dt

[(1− t2

) ddt

]+

(λ− m2

1− t2

)Θ = 0. (2.34)

Ako se ϑ mijenja od 0 do π, funkcija Θ mora biti regularna za sve vrijednosti varijable t od

−1 do +1.

Prethodna jednadzba kao diferencijalna jednadzba drugog reda ima dva linearno nezavisna

rjesenja koja su opcenito beskonacna za t = ±1 i nisu fizikalno prihvatljiva, osim za odredene

vrijednosti λ. Ako je λ = l (l + 1), gdje je l = 0, 1, 2, ...jedno od rjesenja je konacno za t = ±1.

Fizikalno prihvatljivo rjesenje jednadzbe je polinom i nazivamo ga pridruzeni Legenderov

polinom i za njega mozemo pisati:

Pml (t) =

1

2ll!

(1− t2

) |m|2

(d

dt

)|m|+l (t2 + 1

)l, (2.35)

gdje je (t2 + 1)lpolinom 2l -tog stupnja. Deriviranje snizava stupanj za |m| + l, pa slijedi

da je Pml razlicit od nule samo onda kad je l ≥ |m|. Najnizi red diferencijalne jednadzbe

koja sadrzi Legenderov polinom je jednadzba (2.34) sa λ = l (l + 1) i m = 0, a za m 6= 0

jednadzba (2.34) ima fizikalno prihvatljiva rjesenja ako je λ = l (l + 1)i |m| ≤ l.

Kutni dio Yml (ϑ, ϕ) valne funkcije kao rjesenja jednadzbe (2.31) uz λ = l (l + 1) naziva se

kuglina funkcija, tj. svaka kombinacija dopustenih vrijednosti za m i l daje jedno rjesenje

jednadzbe kuglinih funkcija:

Yml (ϑ, ϕ) = Nm

l Pml (t) Φ (ϕ) , (2.36)

gdje je Nml konstanta normiranja kuglinih funkcija:

|Nml |

2 =2l + 1 (l −m)!

4π (l +m)!. (2.37)

26

l m Yml (ϑ, ϕ)

0 0 Y 00 =

(14π

) 12

1 0 Y 01 =

(34π

) 12 cosϑ

1 ±1 Y ±11 = ±(

38π

) 12 sinϑ · e±iϕ

Tablica 2: Nekoliko prvih kuglinih funkcija

2. RADIJALNA JEDNADZBA

Opce spoznaje koje smo stekli o valovima materije u centralnosimetricnom potencijalu

primjenit cemo na Coulombov potencijal. U jednadzbu (2.29) uvrstimo λ = l (l + 1) i

dobijemo radijalnu jednadzbu koja odgovara zadanoj vrijednosti orbitalnog kvantnog broja

l:

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂rR

)+

[2m

~2

(E +

Ze2

r

)− l (l + 1)

r2

]R = 0, (2.38)

gdje su vezna stanja ona za koje je E < 0. Potencijalna energija je ovisna samo o udaljenosti

r, pa se problem svodi samo na rjesavanje jednadzbe s efektivnom potencijalnom energijom:

Vef = −Ze2

r+l (l + 1) ~2

2mr2. (2.39)

Da bi rijesili prethodnu jednadzbu, napisat cemo je u bezdimenzionalnom obliku, uvodeci

bezdimenzionalnu, nezavisnu, promjenjivu varijablu ρ = αr, pa jednadzba poprima oblik:

α2d2R

dρ2+ α2 2

ρ

dR

dρ+

2m

~2

(E +

Ze2

ρα

)R− l (l + 1)

ρ2α2R2 = 0. (2.40)

I kada ju pomnozimo s 1α2 dobivamo:

d2R

dρ2+

2

ρ

dR

dρ+

(2mE

~2α2+

2mZe2

~2α2

1

ρ

)R− l (l + 1)

ρ2R = 0. (2.41)

27

U toj jednadzbi za velike udaljenosti r glavni clan je ER, pa izabiremo α tako da bi taj clan

postao odreden broj, tj. α2 = −8mE~2 , pa jednadzba izgleda ovako:

d2R

dρ2+

2

ρ

dR

dρ+

(−1

4+λ

ρ

)R− l (l + 1)

ρ2R = 0, (2.42)

gdje je λ =Ze2

~

(m

2 |E|

) 12

. (2.43)

Asimptotsko rjesenje R (ρ) jednadzbe (2.40) u slucaju kada:

1)ρ→ 0,

d2R0

dρ2+

2

ρ

dR0

dρ− l (l + 1)

ρ2R = 0. (2.44)

Rjesenja pretpostavimo u obliku: R0 = ρs, R′0 = sρs−1, R

′′0 = s (s− 1) ρs−2 i dobijemo

jednadzbu:

s (s− 1) ρs−2 + 2sρs−2 − l (l − 1) ρs−2 = 0, (2.45)

iz koje slijede rjesenja za s : s1 = l, s2 = − (l + 1).

Za R0 dobijemo rjesenja: R0 = ρl,R0 = ρ−(l+1), a za rjesenje uzimamo R0 = ρl, jer je drugo

rjesenje singularno u ρ→ 0, pa prema tome nefizikalno.

2) ρ→∞,

d2R∞dρ2

− 1

4R∞ = 0. (2.46)

Rjesenja pretpostavimo u obliku: R∞ = eλρ, R′∞ = λeλρ, R′′∞ = λ2eλρ

i dobijemo jednadzbu:

λ2eλρ − 1

4eλρ = 0, (2.47)

te rjesenje za : λ1,2 = ±12.

Za R∞dobijemo rjesenja: R∞ = e−12ρ, R∞ = e+

12ρ, a za rjesenje uzimamo R∞ = e−

12ρ, jer

e+12ρ →∞ kada ρ→∞, pa je nefizikalno.

28

Trebamo naci tocno rjesenje jednadzbe (2.42). Ono se trazi u obliku:

R (ρ) = F (ρ) e−12ρ,

gdje je F (ρ) polinom konacnog reda po ρ.

Uvrstimo li taj oblik u jednadzbu (2.42) dobijemo jednadzbu za F (ρ) :

F ′′ +

(2

ρ− 1

)F ′ +

[λ− 1

ρ− l (l + 1)

ρ2

]F = 0. (2.48)

3. ENERGIJE

Trazimo rjesenje za funkciju F (ρ) u obliku:

F (ρ) = ρs(a0 + a1ρ+ a2ρ

2 + ...)

= ρsL (ρ) , a0 6= 0, s ≥ 0. (2.49)

Za ρ = 0 taj izraz ostaje konacan. Uvrstavanjem prethodnog izraza u (2.48) dobijemo

jednadzbu za L:

ρ2L′′ + ρ [2 (s+ 1)− ρ]L′ + [ρ (λ− s− 1) + s (s+ 1)− l (l + 1)]L = 0. (2.50)

Ako ρ izjednacimo s nulom, iz oblika od L iz jednadzbe (2.49) slijedi da je s(s+1)−l(l+1) = 0.

Ova kvadratna jednadzba po s ima dva korijena: s = l i s = −(l + 1). Granicni uvjet u

vezi konacnosti R(ρ) u tocki ρ = 0 trazi da izaberemo s = l. Odgovarajuca jednadzba za L

sada postaje:

ρ2L′′ + [2 (l + 1)− ρ]L′ + (λ− l − 1)L = 0. (2.51)

Rjesavanje prethodne jednadzbe, trazimo u obliku reda:

L (ρ) =∞∑i=0

aiρi. (2.52)

29

Rekurzivna relacija za koeficijente sukcesivnih clanova reda je oblika:

ai+1 =i− (λ− l − 1)

(i+ 1) (i+ 2l + 2)ai. (2.53)

Za zadani a0 ovim je potpuno dobiveno rjesenje L(ρ).

Asimptotsko ponasanje L(ρ) se moze naci iz koeficijenata uz visoke stupnjeve od ρ. L(ρ)

se vlada kao funkcija eρ sto vodi ka nefizikalnom rjesenju valne funkcije. Zbog toga se red

mora prekinuti i iz (2.53) slijedi da konstanta λ − l − 1 mora biti jednaka nekom cijelom

pozitivnom broju n´ ili 0, tj. λ− l− 1 = n′, odakle je λ = n′ + l + 1, n′ = 0, 1, 2, . . . Kako i

l = 0, 1, 2, . . . slijedi λ = n, n = 1, 2, 3, ...

Broj n′ zove se radijalni kvantni broj, a n glavni kvantni broj. Kako n′ i l mogu biti nule ili

cijeli pozitivni brojevi, n moze imati vrijednosti 1,2,. . .

Iz (2.43) izraz za energiju elektrona glasi:

En = − |En| = −Z2e4m

~21

2n2, (2.54)

pri cemu je ~2e2m

= a0 Bohrov polumjer vodikova atoma.

Vodikov atom u svom osnovnom stanju nema momenta impulsa koji bi proizlazio iz vrtnje

elektrona oko jezgre.

Po valnoj teoriji materije moment impulsa odreduje kvantni broj l, no l moze biti jednak

nuli sto znaci da val materije oko atomske jezgre ne ovisi o polarnim kutovima. Radijalna

valna funkcija ima oblik:

Rnl (ρ) = Nnlρle−

12ρL2l+1

n+l (ρ) . (2.55)

Normirane svojstvene funkcije operatora energije atoma vodika imaju oblik:

Ynlm (r, ϑ, ϕ) = Rnl(r)Yml (ϑ, ϕ) (2.56)

Rnl = −

(2Z

na0

)3(n− l − 1)!

2n [(n+ l)!]3

12

ρle−12ρL2l+1

n+l (ρ) , (2.57)

a0 =~2

me2, ρ = αr =

2Z

na0r,

gdje je Yml normirana kuglina funkcija, Rnl radijalna funkcija, a a0 Bohrov polumjer.

30

Za vodik, Z = 1, izraz za energiju mozemo napisati i u obliku:

En =−Z2e2

2a0n2. (2.58)

Slika 3: Energije vodikova atoma, gdje je RH = e2

2a0

ORBITALE n l Rnl

1s 1 0 R10 (r) =(Za0

) 32

2e−12ρ

2s 2 0 R20 (r) =(

Z2a0

) 32

(2− ρ) e−12ρ

2p 2 1 R21 (r) = 1√3

(Z2a0

) 32ρe−

12ρ

3s 3 0 R30 (r) = 13

(Z3a0

) 32

(6− 6ρ+ ρ2) e−12ρ

3p 3 1 R31 (r) = 13√2

(Z3a0

) 32

(4− ρ) ρe−12ρ

3d 3 2 R32 (r) = 13√10

(Z3a0

) 32ρ2e−

12ρ

Tablica 3: Radijalne valne funkcije vodikova atoma za tri najniza stanja energije n = 1,2,3

31

Slika 4: Prikaz s, p i d orbitala

Za stabilno, osnovno stanje gdje je n = 1 i l = 0, dobivamo:

Ψ =

√Z2

πa30e−Z r

a0 . (2.59)

Valna funkcija nema nigdje cvorista i iscezava tek u beskonacnoj udaljenosti. Valne funkcije

za stanja bez momenta impulsa l = 0 glase:

Ψ = e−Z r

na0Lln

(2Zr

na0

). (2.60)

Te funkcije iscezavaju na toliko koncentricnih kugli oko ishodista koliko je radijalni kvantni

broj n′. Sto je taj broj veci val se dalje prostire oko jezgre. Racun pokazuje da se prosjecno

prostiranje vala materije podudara s Bohrovim kruznicama. Time valna mehanika potvrduje

bitne rezultate Bohrove teorije. Stvarna je slika atoma, naravno drugacija. U valnoj teoriji

materije atom se pojavljuje kao elektronski val uhvacen privlacnom silom jezgre. Slaganjem

ravnih valova razlicitih valnih duljina i smjerova moze se dobiti novi val koji prema razlicitim

mogucnostima slaganja moze pokazivati najrazlicitije oblike. Tako se slaganjem dobiva val

koji samo u odredenom malom podrucju ima znatniju amplitudu titranja, a izvan toga malog

podrucja prakticki iscezava. Valovi s malom prostornom protegnutoscu zovu se valni paketi

jer nastaju superponiranjem vrlo mnogo ravnih valova razlicite valne duljine. Valni paket

moze mirovati ili se kretati prosjecnom brzinom u danom smjeru.

32

Gustocu vjerojatnosti nalazenja elektrona oko vodikove jezgre mozemo naci proracunom

valne funkciju u Coulombovom potencijalu, te kako se mijenja gustoca s udaljenoscu r od

atomske jezgre.

Vjerojatnost da u”ljusci“ izmedu r i r + dr od jezgre izmjerimo naboj e je:

4πr2dr · ψ∗ψ, (2.61)

gdje je 4πr2dr volumen kugline ljuske, a ψ∗ψ gustoca vjerojatnosti.

Za osnovno stanje n = 1, l = 0 raspodjela vjerojatnosti ima maksimum na mjestu Bohrova

polumjera atoma. U visim stacionarnim stanjima raspodjela se pomice prema vecim uda-

ljenostima. Za isti glavni kvantni broj n maksimum je raspodjele blize jezgri sto je kvantni

broj l manji.

Medutim, Schrodinger je pokusao tumaciti elektron kao oblak elektricnog naboja, no

to shvacanje valova materije nailazi na velike teskoce. S jedne strane, u elektricnom oblaku

doslo bi do medusobnog odbijanja istoimenih naboja, a to bismo morali pribrojiti potenci-

jalnoj energiji. Kad bi se elektricni oblak sirio, on bi smanjivao svoju energiju, a kad bi se

stezao, ona bi se povecavala, a takva potencijalna energija se ne smije dodati Schrodinge-

rovoj jednadzbi. Uzevsi u obzir samo vanjski potencijal koji je dolazio od atomske jezgre

ili drugog elektricki nabijenog tijela, izracunali smo ispravne energije elektrona. Elektron

zauzima vrlo malen prostor. Superpozicijom razlicitih rjesenja mozemo postici da u jedan

cas val titra intenzivno samo u ogranicenom malom prostoru, no odmah poslije toga val

materije se siri. Valni paket se rasprsuje. Ako dosta dugo cekamo, val materije ce se prosirit

po dovoljno velikom prostoru. Valovi materije moraju, dakle znaciti nesto dugo, to su valovi

vjerojatnosti.

33

III RELATIVISTICKA KVANTNA FIZIKA

Tijekom godina razvoja, postavke kvantne fizike potvrdene su kroz mnostvo ekspe-

rimentalnih rezultata, dok je teorija razmatrala mnoga nova podrucja: postojanje spina,

utjecaj relativistickih efekata, ponasanje mnostva cestica i ostalo. Razvoj kvantne mehanike

u smislu pronalazenja novih metoda i primjena je vrlo dinamican i danas, a zbog goleme pri-

mjenjivosti u podrucjima kao sto su kemija, znanost o materijalima ili elektronika, ostat ce

to i ubuduce. Priroda se medutim pokazala toliko bogata u svojoj pojavnosti da je i kvantna

mehanika iz tridesetih godina proslog stoljeca nedovoljna da bi opisala sve fundamentalne

fenomene. Zato se moralo prijeci i njene okvire, bas kao sto je ona nastala nadilazenjem

klasicne fizike. Ta prosirenja su relativisticka kvantna mehanika i kvantna teorija polja.

Gibanje brzih cestica tvari u svijetu atoma razmatra relativisticka kvantna fizika koja upo-

trebljava metode kvantne fizike i metode specijalne teorije relativnosti.

1. DIRACOVA JEDNADZBA SLOBODNOG

ELEKTRONA

6 7Paul Adrien Maurice Dirac

Engleski je fizicar Paul Adrien Maurice Dirac jedan od najvecih umova fizike svih

vremena. On je 1928. godine sjedinio teoriju relativnosti i kvantnu mehaniku postavivsi

relativisticku valnu jednadzbu elektrona, danas poznatu kao Diracova jednadzba.

6Paul Adrien Maurice Dirac, veliki britanski fizicar, roden je 1902. godine u Bristolu, Engleska, a umro1984. u Tallahasseeu, SAD. Najprije je studirao i diplomirao elektricni inzenjering na Sveucilistu u Bristolu,gdje je zapoceo i studij matematike koji je kao student-istrazivac, zavrsio 1926. godine. Matematiku jenajprije studirao na Sveucilistu u Bristolu, a kasnije je studij nastavio na Cambridgeu gdje je diplomirao1926. godine. Tu ce i predavati sve do mirovine, u koju odlazi 1969. godine. Iduce godine je postao jedanod predavaca na St.John’s College, a 1932. profesor matematike na Cambridgu.

71930. Paul Dirac je objavio Principe kvantne mehanike (eng. The Principles of Quantum Mechanics),djelo koje je potvrdilo njegov ugled Newtona 20. stoljeca. 1933. je dobio Nobelovu nagradu za fiziku kojuje dijelio s Erwinom Schrodingerom. Iste godine je izabran u clanstvo Royal Society, a 1961. je postao clanPontifical Academy of Sciences.

34

Diracov rad bio je koncentriran na matematicke i teorijske aspekte kvantne mehanike. 1926.

godine, ubrzo nakon Nielsa Bohra, razvio je opcu teorijsku strukturu za kvantnu meha-

niku, a 1928. uspio je stvoriti relativisticki oblik teorije, odnosno relativisticku kvantnu

mehaniku koja je opisivala svojstva elektrona i ispravila neuspjeh Schrodingerove teorije pri

objasnjavanju spina elektrona. Teorijski je zakljucio da postoje pozitivno naelektrizirani

elektroni koji su nazvani pozitroni. Njihovo postojanje je potvrdio i C. D. Anderson 1932.

godine. Susret elektrona i pozitrona dovodi do anihilacije (ponistenja) ove dvije anticestice

te do oslobadanja energije u obliku dva fotona (gama zracenja). Takoder, po Diracovoj teoriji

i sve druge cestice imaju svoj anti-par ili anticesticu. Iako Dirac nije nista posebno pret-

postavio o strukturi elektrona, njegova je teorija automatski pokazivala magnetna svojstva

elektrona i finu strukturu spektralnih linija. Prema tadasnjem je znanju postojala stanovita

nejednakost izmedu negativnoga i pozitivnoga elektriciteta. Dok se negativni javlja u obliku

lakih elektrona, pozitivni je vezan uz teske protone.

Diracova jednadzba je relativisticka kvantno-mehanicka valna jednadtba koja opisuje elemen-

tarne cestice spina ˝ u skladu s nacelima kvantne mehanike i teorije relativnosti. Jednadtba

postulira postojanje anticestica i predvida njihovo eksperimentalno otkrice, pa je nakon ot-

krica pozitrona postala jedan od najvecih uspjeha moderne teorijske fizike.

Kada je Schrodinger razvio svoju nerelativisticku valnu jednadzbu predlozio je njeno prosirenje

koje uzima u obzir zahtjeve specijalne teorije relativnosti. Spin cestice karakteristicna je oso-

bina relativisticke valne jednadzbe.

Relacija izmedu energije i impulsa u specijalnoj teoriji relativnosti je oblika:

E2 = p2c2 +m2c4, (3.1)

pa u skladu s principom korespodencije dobijemo jednadzbu za slobodnu relativisticku

cesticu:

(∆− 1

c2∂2

∂t2− m2c2

~2

)Ψ (~r, t) = 0. (3.2)

Dirac polazi od hamiltonijana pri pronalazenju relativisticke valne jednadzbe, a on glasi:

i~∂

∂tΨ (~r, t) = HΨ (~r, t) . (3.3)

On je promijenio hamiltonijan tako sto ga je napravio po prostornim koordinatama, jer je

klasican relativisticki hamiltonijan za slobodu cesticu pozitivan korijen desne strane jed-

35

nadzbe (3.1), a ako se ona uvrsti u (3.3), a ~p se zamijeni sa −i~∇, valna jednadzba ce

biti nesimetricna u odnosu na prostorne i vremenske izvode, pa nije ni relativisticka, a taj

hamiltonijan koji je linearan po impulsu i clanu mase glasi:

H = c~α · ~p+mc2β. (3.4)

Uvrstimo hamiltonijan u (3.3) i dobijemo valnu jednadzbu:

i~∂

∂tΨ =

(i~c~α · ∇+mc2β

)Ψ. (3.5)

U hamiltonijanu ne smije biti clan koji ovisi o koordinatama ili vremenu ako jednadzba (3.5)

opisuje slobodnu cesticu jer bi takav clan imao prostorno vremenske ovisnosti o energiji i

izazvao bi odgovarajuce sile. Izvodi po prostoru i vremenu moraju se javljati samo u p i E,

a ne u α i β, jer jednadzba mora biti linearna po svim tim izvodima. α i β nisu zavisni o

r, t, p i E, pa zato komutiraju s njima, ali to ne znaci da su α i β brojevi, jer ne moraju

medusobno biti komutativni. α i β su matrice.

α =

(0 σσ 0

)β =

(1 00 −1

), (3.5a)

αx =

(0 σxσx 0

), αy =

(0 σyσy 0

), αz =

(0 σzσz 0

), (3.5b)

gdje su σ = (σx, σy, σz) Paulijeve matrice,

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

). (3.5c)

36

1.1. SPIN

U okviru kvantne mehanike cestice posjeduju vlastiti kutni impuls. Ovaj kutni im-

puls je kvantiziran, tj. moze poprimiti samo strogo odredene vrijednost i naziva se spin.

Kako elektron ima vlastiti magnetski moment, mora imati i vlastiti moment impulsa, koji

tumacimo vrtnjom elektrona oko samog sebe. Ako uzmemo da je ~A (~r, t) = 0 i ϕ (~r, t) = ϕ (r)

mozemo napisati da je hamiltonijan:

H = c~α · ~p+mc2β + V, (3.6)

gdje je V = eϕ.

U pitanju je centralno polje, pa ocekujemo da je orbitalni moment kolicine gibanja ~L = ~r×~pkonstanta gibanja. Da bismo to provjerili, pomocu jednadzbe gibanja u Heisenbergovoj slici8

racunamo promjenu brzine u vremenu od L:

dΩ

dt=∂Ω

∂t+

1

i~[Ω, H] . (3.7)

Lijeva strana predstavlja izvode po vremenu elemenata od Ω, prvi clan na desnoj strani vodi

racuna o eksplicitnoj vremenskoj ovisnosti od Ω, a drugi clan daje promjenu Ω uslijed gibanja

fazne tocke u kojoj se izracunava Ω. Koristimo kvantne uvjete u pravokutnim koordinatama

koji vrijede za bilo koju Heisenbergovu sliku:

[x, px] = [y, py] = [z, pz] = i~, (3.8)

pa dobijemo,

i~dLxdt

= LxH −HLx = −i~c (αzpy − αypz) , (3.9)

jer L komutira s bilo kojom sferno-simetricnom funkcijom kao sto je V (r). L ne komutira

sa H, pa znaci da nije konstanta gibanja.

Ocekujemo da je moguce definirati ukupni moment kolicine gibanja koji je konstantan. Znaci

da treba naci jedan drugi operator takav da je komutator njegove x-komponente sa H ne-

gativna vrijednost desne strane jednadzbe (3.9). Ukupan zbroj tog operatora i L je tada

konstanta gibanja i moze se protumaciti kao ukupni moment kolicine gibanja. Trazeni ope-

rator je umnozak Σ i ~2.

8Formulacija kvantne mehanike u kojoj su operatori (opservable i drugi) vremenski ovisni, a vektori stanjaneovisni o vremenu. Za razliku od ove formulacije, u Schrodingerovoj su slici operatori konstantni, a stanjaevoluiraju u vremenu.

37

Ocigledno je da velicina:

~J = ~L+~2~Σ (3.10)

komutira sa H i moze se uzeti da predstavlja ukupni moment kolicine gibanja.

Vlastiti moment elektrona-spin nazivamo operator:

~S =1

2~~Σ. (3.11)

~L = ~r × ~p (3.12)

nazivamo orbitalni moment elektrona u gibanju oko jezgre.

38

2. DIRACOVA JEDNADZBA ZA VODIKOV ATOM

Ako se elektron krece u centralnosimetricnom potencijalu, prirodno je da prijedemo na

polarne koordinate. Diracova jednadzba se moze razdvojiti bez aproksimacije u sfernim ko-

ordinatama. Zbog medudjelovanja orbitalnog i spinskog momenta kolicine gibanja, postupak

je slozeniji nego za bilo koju Schrodingerovu jednadzbu.

Radijalni impuls i operator brzine definiramo:

pr = r−1 (~r · ~p− i~) (3.13)

αr = r−1 (~α · ~r) (3.14)

Nadalje definiramo operator k za koji cemo pokazati da je vezan s ukupnim momentom

kolicine gibanja:

k~ = β(

Σ · ~L+ ~), β2 = 1. (3.15)

Izmedu tih velicina postoji odnos:

αrpr + i~r−1αrβk = ~α · ~p. (3.16)

Hamiltonijan dobiva oblik:

H = cαrpr + i~cr−1αrβk +mc2β + V. (3.17)

Slijedece relacije se mogu uspostaviti pomocu (3.13), (3.14) i (3.15), pa ih mozemo napisati

u obliku:

αrk − kαr = 0, βk − kβ = 0, prk − kpr = 0, αrpr − prαr = 0.

One nam pokazuju da operator k komutira s hamiltonijanom i konstanta je gibanja.

Svojstvene vrijednosti od k mogu se naci ako uzmemo u obzir izraz (3.15) na kvadrat:

~2k2 =(~Σ · ~L

)2+ 2~

(~Σ · ~L

)+ ~2 =

(~L+

1

2~~Σ)2

+1

4~2. (3.18)

39

Prvi clan desne strane je kvadrat ukupnog momenta kolicine gibanja i ima svojstvene vrijed-

nosti j (j + 1) ~, gdje j moze biti 1/2, 3/2,. . . sto znaci da k onda ima svojstvene vrijednosti(j + 1

2

)2i k moze biti ±1,±2, ...

Sada biramo transformaciju gdje su H i k dijagonalni i predstavljeni brojevima E i k res-

pektivno. Za αr i β mozemo odabrati reduciranu matricu s dva reda i stupca:

αr =

[1 −ii 0

]β =

[1 00 −1

], (3.19)

Gdje αr i β zadovoljavaju relacije α2r = β2 = 1 i αrβ + βαr = 0.

Spinski i pravokutni dio valne funkcije odreden je uvjetom da je svojstvena funkcija operatora

k. Za racunanje energijskih razina zanima nas samo radijalni dio. Zbog strukture matrica

ima dvije komponente koje pisemo u obliku:

Ψ =

[r−1F (r)r−1G(r)

]. (3.20)

Radijalnu jednadzbu za elektron koji se krece u centralnom polju dobijemo ako izraze (3.19)

i (3.20) uvrstimo u valnu jednadzbu sa hamiltonijanom (3.17).

Pri prijelazu na diferencijalnu jednadzbu pr cemo shvatiti kao operator:

pr = −i~(∂

∂r+

1

r

). (3.21)

Primjenom Hamiltonova operatora na valnu funkciju dobit cemo dvije diferencijalne jed-

nadzbe: (E −mc2 − V

)F + c~

dG

dr+

1

rc~G = 0,

(3.22)(E +mc2 − V

)G+ c~

dF

dr+

1

rc~F = 0.

Uvodimo numericke zamjene:

α1 =mc2 + E

c~α2 =

mc2 − Ec~

(3.23)

α =√α1α2 =

√m2c4 − E2

c~ρ = αr,

40

pomocu kojih jednadzbe (3.22) postaju:

(d

dρ+k

ρ

)G−

(α2

α+

V

αc~

)F = 0

(3.24)(d

dρ− k

ρ

)F −

(α1

α+

V

αc~

)G = 0.

Za vodikov atom ~A = 0, a za ϕ = |e|r

dobijemo da je:

V (r) = eϕ = −Ze2

r. (3.25)

Uvodimo konstantu fine strukture:

γ =Ze2

c~, (3.26)

gdje velicina Vc~α postaje −γ

ρ.

Rjesenje tog problema trazimo u obliku:

F (ρ) = f (ρ) e−ρ, G (ρ) = g (ρ) e−ρ. (3.27)

Jednadzbe koje cemo dobiti su:

g′ − g +kg

ρ−(α2

α− γ

ρ

)f = 0

(3.28)f ′ − f − kf

ρ−(α1

α+γ

ρ

)g = 0.

Rjesenja trazimo u obliku reda stupnja po ρ, kao i u nerelativistickom slucaju:

f = ρs (a0 + a1ρ+ ....) , a0 6= 0

(3.29)g = ρs (b0 + b1ρ+ ....) , b0 6= 0.

Po analogiji sa rjesenjem Schrodingerove relativisticke jednadzbe za kulonsko polje dozvo-

ljavamo vrijednosti za s nesto manje od 1.

1

ρ

d

dρ

(ρ2dR

dρ

)+

[λ

ρ− 1

4− l (l + 1)− γ2

ρ2

]R = 0,

(3.30)γ ≡ Ze2

c~, α2 ≡ 4 (m2c4 − E2)

~2c2, λ ≡ 2Eγ

c~α.

41

Jednadzba (3.30) odgovara jednadzbi (2.42), samo sto je l (l + 1) zamijenjeno sa l (l + 1)−γ2.

E se izrazava pomocu λ, a parametar λ odreduje se granicnim uvjetom za R kada ρ→∞.

Ako eliminiramo ρ iz posljednje dvije jednadzbe (3.30) dobijemo:

E = mc2(

1 +γ2

λ2

)− 12

. (3.31)

Rjesenja od jednadzbe (3.30) koja su konacna za ρ je 0 i ∞, a postoje samo ako je: λ =

n′+s+1, gdje je n´ jednako nuli ili pozitivnom cijelom broju, a s odgovarajuce nenegativno

rjesenje jednadzbe:

s(s+ 1) = l(l + 1)− γ2. (3.32)

Jednadzba (3.32) ima dva rjesenja od kojih je jedno pozitivno, a drugo negativno za l < 0:

s = −1

2± 1

2

√(2l + 1)2 − 4γ2. (3.33)

Za l = rs obje vrijednosti s su negativne tako da je R(r), koje se ponasa slicno rs u blizini

tocke r = 0 singularno u koordinatnom pocetku.

Izvor kulonskog polja ima neku malu, ali konacnu velicinu, tako da je ϕ(r) svugdje konacno.

Tada se rjesenje R(r) koje je konacno u r = 0, priblizava tockastom kulonskom rjesenju

koje odgovara gornjem znaku u jednadzbi (3.33). Zato za sve l upotrebljavamo gornji znak

i dobijemo da je :

λ = n′ +1

2+

√(l +

1

2

)2

− γ2. (3.34)

Jednadzbe (3.31) i (3.34) daju finu strukturu u nerelativistickim razinama energije. To se

moze vidjeti razvijanjem izraza za razine energije u red po stupnjevima od γ2.

Rezultat do clana reda γ4 glasi:

E = mc2[1− γ2

2n2− γ4

2n4

(n

l + 12

− 3

4

)], (3.35)

gdje je n = n′ + l + 1 glavni kvantni broj i moze poprimiti samo pozitivne cjelobrojne

vrijednosti.

42

Prvi clan na desnoj strani jednadzbe odgovara energiji, a drugi clan glasi:

−mc2γ2

2n2= −mZ

2e4

2~2n2. (3.36)

Treci clan je energija fine strukture koja uklanja degeneraciju izmedu stanja istog n, a

razlicitog l. Ukupno sirenje razina fine strukture za dani n po jednadzbi (3.35) iznosi:

mc2γ4

n3

n− 1

n− 12

. (3.37)

To je puno vece od onoga sto se eksperimentalno nalazi u spektru vodikova atoma.

Uvrstimo li (3.29) u (3.28) i izjednacimo koeficijente uz ρs+ν−1s nulom, dobit cemo:

(s+ ν + k) bν − bν−1 + γaν −α2

αaν−1 = 0

(3.38)

(s+ ν − k) aν − aν−1 + γbν −α1

αbν−1 = 0,

za ν> 0. Kada je ν = 0 jednadzbe analogne sa (3.38) glase:

(s+ k) b0 + γa0 = 0 (3.39)

(s− k) a0 − γb0 = 0.

Jednadzbe (3.39) imaju trazeno rjesenje koje nije jednako nuli za a0 i b0 samo ako je deter-

minanta njihovih koeficijenata jednaka nuli. To daje uvjet:

s = ±√k2 − γ2. (3.40)

Zbog granicnog uvjeta u koordinatnom pocetku uzimamo gornji znak za s u (3.40). Re-

lacija izmedu aν i bνmoze se dobiti mnozenjem prve jednadzbe (3.38) sa α, druge sa α2, i

oduzimajuci ih, dobijemo:

bν [α (s+ ν + k) + α2γ] = aν [α2 (s+ ν − k)− αγ] . (3.41)

43

Sada ispitujemo rjesenja za velike ~r. Kada se oba reda (3.29) ne zavrsavaju, to ponasanje

odreduju njihovi visoki clanovi, tako da mozemo zanemariti konstantne faktore u usporedbi

sa ν. Tada dobijemo iz (3.38) i (3.41) da je:

aν ≈2

νaν−1 bν ≈

2

νbν−1, (3.42)

sto znaci da oba reda imaju asimptotski oblik e2ρ i regularno rjesenje se dobije samo ako

oni zavrsavaju. Uzimamo da se to dogada za ν = n′, tako da an′+1 = bn′+1 = 0. Tada obje

jednadzbe (3.38) daju relaciju:

α2an′ = −αbn′ , n′ = 0, 1, 2, ... (3.43)

Stavljajuci ν = n′ u (3.41) i koristeci jednadzbu (3.43) dobivamo energije.

Pomocu (3.23) nalazimo da je:

2α (s+ n′) = γ (α1 − α2) =2Eγ

c~, (3.44)

sto pokazuje da je E > 0.

Kvadrat tog izraza glasi:

(m2c4 − E2

)(s+ n′)

2= E2γ2, (3.45)

sto rjesavanjem po E daje:

E = mc2[1 +

γ2

(s+ n′)2

]− 12

. (3.46)

Jednadzbe (3.40) i (3.46) su ekvivalentne sa formulom koju je prvi izveo Sommerfeld na

osnovi stare kvantne teorije. Ta formula tumaci sasvim dobar spektar atoma vodika. Fina

struktura se pojavljuje kod razvijanja (3.46) u red po stupnjevima od γ2. Rezultat do clanova

reda γ4 slici jednadzbi (3.35), iako nije sasvim isti:

E = mc2[1− γ2

2n2− γ4

2n4

(n

|k|− 3

4

)], (3.47)

44

gdje je n = n′ + |k| glavni kvantni broj iz jednadzbe λ = n = n′ + l + 1, a |k| moze primiti

samo pozitivne cjelobrojne vrijednosti. Ukupno sirenje u energiji razina fine strukture za

dani n, po jednadzbi (3.47), iznosi:

mc2γ4

n3

n− 1

2n. (3.48)

To je puno manje od vrijednosti (3.37) koja je dobivena iz Schrodingerove relativisticke

jednadzbe i slaze se sa eksperimentalni rezultatima.

45

3. RAZINE ENERGIJE

Za n′> 0, za k su dozvoljene sve nenegativne i pozitivne cjelobrojne vrijednosti. Za

n′ = 0 moze se pojaviti kontradikcija izmedu (3.39) i (3.43). One daju respektivno:

b0a0

= − γ

s+ k,

b0a0

= −α2

α. (3.49)

Kako je s < |k|, prvi izraz je pozitivan ili negativan, ovisno o k, dok je drugi izraz uvijek

negativan. Znaci, za n′ = 0, k moze poprimiti smo pozitivne cjelobrojne vrijednosti.

Do sad smo pokazali da je vrijednost za nivo jednaka |k|− 12. Da bismo povezali l sa razinom,

trebamo uzeti nerelativisticku aproksimaciju da je orbitalni moment kolicine gibanja dobro

odreden. Kako u ovom slucaju F iz izraza (3.20) znatno vece od G, mozemo zamijeniti β sa

-1 i Σ sa σ u (3.15).

U toj aproksimaciji, (~L+

1

2~σ)2

=

[l(l + 1) +

3

4

]~2 + ~σ · ~L, (3.50)

takoder je jednako j(j + 1)~2.

Na ovaj nacin dobivamo da je:

k = j(j + 1)− l(l + 1) +1

4=

l + 1−l

j = l + 12

j = l − 12

. (3.51)

Kao primjer razina energije u vodiku, promatrat cemo slucaj za osnovno stanje vodikova

atoma, tj. za n = 1. Radijalni kvantni broj n´ moze biti 0,1,2,. . . dok k moze biti (3 -

n´), osim sto za n´ = 0, k moze biti samo 3. Razine sa odgovarajucom nerelativistickom

klasifikacijom prikazane su u tablici.

n´ k l j stanje0 1 0 1/2 1s1/21 1 0 1/2 2s1/21 -1 1 1/2 2p1/20 2 1 3/2 2p3/2

Tablica 4: Razine s odgovarajucom nerelativistickom klasifikacijom

Po jednadzbama (3.40) i (3.46) stanja sa istim |k| ili j imaju istu energiju. Jednadzba (3.47)

pokazuje da energija raste s povecanjem broja |k|.

46

4. FINA STRUKTURA U DIRACOVOJ TEORIJI

Uzimanjem u obzir fine strukture ispostavlja se da polozaj energetskih nivoa vodikova

atoma zavisi i od unutrasnjeg kvantnog broja j.

Terme (stanja) obiljezavamo na slijedeci nacin:

Enj~

= −Rn2

[1 +

α2

n2

(n

j + 12

− 3

4

)], (3.52)

gdje je R = e2a0

Rydbergova konstanta, a0 Bohrov polumjer, za Z = 1, konstanta fine

strukture iznosi α = e2

c~ ≈1

137.

Iz ove formule se vidi da fina struktura u Diracovoj teoriji ovisi samo o glavnom kvantnom

broju n i unutrasnjem kvantnom broju j. O orbitalnom kvantnom broju l fina struktura

nivoa ne ovisi.

Svi termi su dvostruko rascijepljeni, jer svakoj vrijednosti l odgovaraju po dvije vrijednosti

j.

Na primjer, umjesto jednog terma 2p (l = 1) imamo sada dva terma 2s1/2i 2p3/2

. Izuzetak

predstavljaju s-termi (l = 0) za koje j moze imati samo jednu vrijednost(j = 1

2

).

Na taj nacin uracunavanje relativistickih i spinskih efekata unekoliko snizava, ali ne cijepa

terme. Red degeneracije se mijenja zahvaljujuci cijepanju energetskih nivoa.

Glavni kvantni broj moze imati vrijednosti: n = 1, 2, 3, 4,. . . .

Orbitalni kvantni broj l se mijenja u granicama od l = 0 (s-stanje) do n - 1.

Unutrasnji kvantni broj j dobiva vrijednost j = l ± 12

(l 6= 0) i j = 12(l = 0).

Magnetski kvantni broj mj = −j...... + j, tj. pri danom j on dobiva 2j + 1 polucijelih

vrijednosti. Red degeneracije koji je karakteristican za bilo koje centralno polje i koji je

povezan sa ravnopravnoscu raznih pravaca iznosi 2j + 1, za cestice sa spinom 12.

Taj red za cestice bez spina iznosi 2l + 1. Degeneracija po l za raziku od relativisticke

bezspinske teorije ostaje i pri uracunavanju clanova reda α2 i slijedecih clanova reda koji su

proporcionalni s α4. Pri odredivanju velicine cijepanja spektralnih linija neophodno je uzeti

u obzir pravila selekcije:

∆l = ±1,∆j = 0,∆m1 = 0,±1,∆n-bilo koji cijeli broj.

47

Umjesto jedne linije Lymanove serije imamo dvije:

ω(1) =

(1s1/2

)−(np1/2

)ω(2) =

(1s1/2

)−(np3/2

) . (3.53)

Za linije Balmerove serije imamo slijedeca cijepanja:

ω(1) =

(2s1/2

)−(np1/2

)ω(1) =

(2s1/2

)−(np3/2

)ω(1) =

(1p3/2

)−(ns1/2

)ω(1) =

(2p1/2

)−(ns1/2

)ω(1) =

(2p3/2

)−(nd5/2

). (3.54)

Prijelaz 2p1/2→ nd5/2

bit ce zabranjen jer je u tom slucaju ∆j = 2.

Ako degeneracija po l nije uklonjena, linije ω(1) i ω(4) medusobno ce se poklapati jer pocetni

i krajnji nivoi imaju jednaku vrijednost za glavni n i unutrasnji j kvantni broj.

Na analogan nacin, moze se odrediti zakon cijepanja za druge linije. Pri tom je najnizi

energetski nivo koji se cijepa nivo n = 2, cije se cijepanje proucavalo vrlo detaljno i u

eksperimentalnom pogledu.

Nivo n = 2 mora se rascijepati na tri, pri cemu se dva od tih nivoa preklapaju:

(2s1/2

)=

(2p1/2

)= R

4

[1 + α2

4

(2− 3

4

)](2p3/2

)= R

4

[1 + α2

4

(1− 3

4

)].

(3.55)

Za frekvenciju prijelaza medu tim nivoima, prema Diracovoj teoriji nalazimo:

∆ωD =

(2p1/2

)−(

2p3/2

)= R

α2

16, (3.56)

sto iznosi 1, 095 · 104MHz.

48

Eksperiment je sa velikom tocnoscu potvrdio pravilnost zakljucka Diracove teorije.

Finu strukturu spektra atoma vodika, prvi je izracunao Sommerfeld prema klasicnoj Bohro-

voj teoriji, pri cemu je kao osnova teorije uzet relativisticki izraz za hamiltonijan. Sommerfeld

je dobio za relativisticku teoriju bez spina izraz:

∆ωSomm. = (2s)− (2p) =Rα2

16. (3.57)

Ispostavilo se da je poklapanje tog Sommerfeldovog rezultata sa zakljuckom Diracove teorije

slucajno, jer u Sommerfeldovoj teoriji nisu bili uracunati spinski efekti, pa pomocu njegove

teorije i nije bilo moguce predvidjeti postojanje triju nivoa za n = 2, cije je postojanje zatim

bilo i eksperimentalno potvrdeno.

49

5. EKSPERIMENTALNA POTVRDA TEORIJE

FINE STRUKTURE

Kao veliko dostignuce Diracove teorije smatra se objasnjenje fine strukture atomskih

spektara uz dobro slaganje sa eksperimentom kao rezultata nastajanja relativistickih i spin-

skih efekata elektrona koji se krecu u atomu. Medutim, istrazivanja nisu pruzila uvjerljive

podatke o potpunom slaganju teorije i eksperimenta.

Problem nivoa 2s1/2i 2p1/2

predstavljao je predmet specijalnih istrazivanja, jer se ti nivoi u

atomu vodika prema Diracovoj teoriji moraju medusobno tocno poklapati.

1947. godine W. E. Lamb i R. C. Retherford primjenili su radiospektroskopsku metodu

na istrazivanje polozaja nivoa 2s1/2i 2p1/2

. Pritom su koristili specijalno svojstvo 2s1/2stanja.

To stanje se pokazuje kao metastabilno, jer je dipolni prijelaz iz njega u nize stanje 1s1/2zabranjem pravilima selekcije ∆l = 0. Prijelaz iz metastabilnog stanja moguc je ili uz

ispustanje dva fotona ili uz prethodni prelazak na nivoe 2p. Lamb i Retherford su si postavili

za cilj da prouce ovaj zadnji nacin prelaska. Na osnovi izvedenih mjerenja ustanovljeno je da

je nivo 2s1/2pomjeren uvis u odnosu na nivo 2p1/2

otprilike 1/10 rastojanja medu nivoima

2p3/2− 2p1/2

koje iznosi α2

16R. Prema najnovijim podacima pomak nivoa iznosi oko 1057,77

MHz ili u valnim duzinama oko 28 cm.

1948. godine, H. Bethe daje prihvatljivo tumacenje Lambova pomaka. On pretpostavlja da

u elektronsko gibanje treba ukljuciti energijsko medudjelovanje elektrona s osnovnim stanjem

kvantiziranog elektromagnetskog zracenja.

a) b)

SLIKA 1: Lambov pomak (a-eksperimentalni podaci, b-prema Diracovoj teoriji)

Ovo naizgled sasvim neznatno neslaganje teorije i eksperimenta dovelo je do znacajnog na-

pretka u teorijskoj fizici i specijalno u kvantnoj elektrodinamici.

50

ZAKLJUCAK

Vodikov atom je vrlo jednostavan fizikalni sustav pogodan za ispitivanje podudarnosti

teorije i eksperimenata u podrucju kvantnih fenomena, pa je zbog toga problem vodikova

spektra aktualan i danas, kao i u doba razvoja kvantne fizike. Danas tocnost mjerenja

energijskih razina u atomu vodika iznosi priblizno 10−12, sto je medu najtocnijim mjerenjima

u fizici. Otkrice Lambova pomaka u spektru vodika 1947. godine je veliki napredak, jer je

upravo to otkrice uvjetovalo naglom razvoju kvantne elektrodinamike, a njome se danas

najtocnije objasnjava spektar atoma vodika.

51

LITERATURA

1. Z. Faj, PREGLED POVIJESTI FIZIKE, Osijek, 1999.

2. P. Kulisic, V. Lopac, ELEKTROMAGNETSKE POJAVE I STRUKTURA TVARI,

Skolska knjiga, Zagreb, 1991.

3. L. Shiff, QUANTUM MEHANICS, Stanford Univesity, 1968.

4. A. A. Sokolov, J. M. Loskutov, I. M. Ternov, KVANTNA MEHANIKA, Naucna knjiga,

Beograd, 1965.

5. I. Supek, TEORIJSKA FIZIKA I STRUKTURA MATERIJE, II DIO, Skolska knjiga,

Zagreb, 1977.

6. N. Zovko, OSNOVE RELATIVISTICKE KVANTNE FIZIKE, Skolska knjiga, Zagreb,

1987.

52

ZIVOTOPIS

Anita Midzic Topalovic, rodena 18.11.1981. godine u Osijeku, Republika Hrvatska. Na-

kon zavrsene Osnovne skole: “Antuna Mihanovica“ u Osijeku, upisala sam prirodoslovno-

matematicku gimnaziju u Osijeku, te nakon srednje skole upisala dodiplomski studij na

Odjelu za matematiku u Osijeku, smjer matematika-fizika.

53