VODENJE ELEKTROENERGETSKIH SISTEMOV

VODENJEELEKTROENERGETSKIH

SISTEMOV

Drago Dolinar

2

Vodenje elektroergetskih sistemov

Prva izdaja: 01.03.2010

Recenzenta: Drago DolinarDrago Dolinar

Jezikovni pregled: Drago Dolinar

Avtor: redni prof.dr. Drago Dolinar

Vrsta ucbenika: zbrano gradivoNaklada: 1 izvod

Vrsta publikacije: ucbenik

Založila: Dolinar Drago

Natisnila: Drago Dolinar

D. Dolinar : Vodenje elektroergetskih sistemov

POGLAVJE 1

Povezan EES Evrope

Slovenski EES je vkljucen v evropski EES. Združenje, ki koordinira interese vseh paralelno obratujocihEES v Evropi se imenujeENTSO-E (EuropeanNetwork ofTransmisionOperators forElectricity). Skupnicilj vseh clanic združenja je zagotavljanje nemotenega obratovanja povezanega sistema znotraj dogovor-jenih okvirjev. Združenje ima petdesetletno tradicijo. Preko povezanega omrežja skrbi ETSO-E za preskrbovec kot 450 milionov ljudi, letna poraba pa znaša vec kot 2100 TWh. Od julija 2009 ETSO-E združuje 42TSO -jev iz 34 držav.

Na sliki 1.4 so prikazane tudi druge države, ki neposredne nisoclanice UCTE- ja, z njim pa so obcasnopovezane prekoETSO (EuropeanTransmisionSystemOperators).

ETSO so se dogovorili za zelo strog režim regulacije frekvence, sistem pa bi naj zaradi povezanosti innacina vodenja ostal stabilen tudi v primeru velikih izpadov (vse do 3000 MW).

4 POVEZAN EES EVROPEU P O R A B L J E N E K R A T I C EE N T S O � E � T h e E u r o p e a n N e t w o r k o f T r a n s m i s s i o n S y s t e m O p e r a t o r s f o r E l e c t r i c i t yA T S O I � A s s o c i a t i o n o f t h e T r a n s m i s s i o n S y s t e m O p e r a t o r s o f I r e l a n dB A L T S O � B a l t i c T r a n s m i s s i o n S y s t e m O p e r a t o r sE T S O � E u r o p e a n T r a n s m i s s i o n S y s t e m O p e r a t o r sN O R D E L � N o r d i c e l e c t r i c i t y g e n e r a t i o n a n d t r a n s m i s s i o n s y s t e m sU C T E � U n i o n f o r t h e C o o r d i n a t i o n o f t h e T r a n s m i s s i o n o f E l e c t r i c i t yU K T S O A � U K T r a n s m i s s i o n S y s t e m O p e r a t o r s A s s o c i a t i o nT S O � T r a n s m i s s i o n S y s t e m O p e r a t o r sG E N C O � G e n e r a t i o n C o m p a n i e sA C E � A r e a C o n t r o l E r r o rD. Dolinar : Vodenje elektroergetskih sistemov

5

http://www.entsoe.eu/fileadmin/template/other/images/map_entsoe.png[23.2.2010 8:30:26]

Slika 1.1:Clani ENTSO-E v letu 2010

Sistem se je seveda povezoval postopoma. Leta 1997-98 je k UCTE pristopil CENTREL (Polska,Ceška,Slovaška in Madžarska) in skupna moc sistema se je s 400 GW povecala na 460 GW.


6 POVEZAN EES EVROPEV t a b e l i 1 s o p r i k a z a n e d r ž a v e p o r e g i o n a l n i s k u p i n i , p o d a n a j e t u d i b i v š o z d r u ž e n j a ,k a t e r e m u s o p r i p a d a l i p r e d j u l i j e m 2 0 0 9 . V s l i k i 2 s o g r a f i č n o p r i k a z a n e d r ž a v e p o p e t i hr e g i o n a l n i h s k u p i n a h .R e g i o n a l n a s k u p i n a D r ž a v eK o n t i n e n t a l n a E v r o p a ( b i v š i U C T E ) A v s t r i j a , B e l g i j a , B o s n a i n H e r c e g o v i n a ,B o l g a r i j a , Č e š k a , H r v a š k a , D a n s k a ( z a h o d ) ,F r a n c i j a , M a k e d o n i j a , N e m č i j a , G r č i j a ,M a d ž a r s k a , I t a l i j a , L u x e m b o u r g , Č r n a G o r a ,N i z o z e m s k a , P o l j s k a , P o r t u g a l s k a , R o m u n i j a ,S r b i j a , S l o v a š k a , S l o v e n i j a , Š p a n i j a i n Š v i c aN o r d i j s k a ( b i v š i N O R D E L ) D a n s k a ( v z h o d ) , F i n s k a , N o r v e š k a i n Š v e d s k aB a l t i k ( b i v š i B A L T S O ) E s t o n i j a , L a t v i j a , L i t v aV e l i k a B r i t a n i j a ( b i v š i U K T S O A ) V e l i k a B r i t a n i j aI r s k a ( b i v š i A T S O I ) I r s k a , V e l i k a B r i t a n i j aT a b e l a 1 : p r e g l e d r e g i o n a l n i h s k u p i nD. Dolinar : Vodenje elektroergetskih sistemov

7

Slika 1.2: Povezani EES Evrope v letu 2010


8 POVEZAN EES EVROPE

Slika 1.3: Povezani EES Evrope v letu 2000


9

Slika 1.4: Slovenski EES 2010

Slika 1.5: Frekvencne spremembe in pretoki moci v UCTE sistemu po izpadu 1060 MW proizvodnje vŠpaniji



Slika 1.6: Stanje mediteranskega obroca

Slika 1.7: Evolucuja evropskega povezanega sistema UCTE- TESIS (Trans European Synchronously Inter-conected System)


11

��

Synchronous operation with 1st resp.2nd UCTE region1st synchronous UCTE region

GB

BD

DK

PL

H

CZ

RO

BGYU

GR

I

CH

E

F

PAL

L

A

SK

UA

BY

LT

S

SLO

BiH

NL

HR

Values in GWh

MA

Associate member of UCTE

2nd synchronous UCTE region

6

14

3

1500

362

8454900

18

12

365

667

26 461

480

20

1684

869

22

32

186

289

109

961

10983679

222804

1640

123

3448

4123000

66

22

2744976

3600

248

247

9496

833 13848

1217

9051

56

6554

8853

4327

437

2371

657

23904021032

1948

355

2066

571

1971

55

8908

390

726

3608

348

87

34267

3

14611952

25

1913

4981

1223

5067

499

1238

3964

941

222

1006

495

Importing countries

B D E F GR I SLO HR BiH YU L NL A P CH CZ H PL SK III1

B - - - 495 - - - - - - 1032 1948 - - - - - - - -

D - - - 56 - - - - - - 2390 8908 3600 - 9051 248 - 726 - 1005

E - - - 437 - - - - - - - - - 2066 - - - - - 571

F 3964 8853 4327 - - 9496 - - - - - - - - 6554 - - - - 4267

GR - - - - - 6 - - - 20 - - - - - - - - - 667

I - - - 247 14 - 22 - - - - - - - 3 - - - - -

SLO - - - - - 2804 - 1461 - - - - 22 - - - - - - -

HR - - - - - - 1952 - 1006 0 - - - - - - 3 - - -

BiH - - - - - - - 222 - 1500 - - - - - - - - - -

YU - - - - 461 - - 0 362 - - - - - - - 0 - - 534

L 845 402 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

NL 2371 55 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A - 3000 - - - 976 1640 - - - - - - - 2744 0 123 - - -

P - - 1971 - - - - - - - - - - - - - - - - -

CH - 1217 - 833 - 13848 - - - - - - 66 - - - - - - -

CZ - 4900 - - - - - - - - - - 3448 - - - - 25 1913 -

H - - - - - - - 3679 - 1098 - - 412 - - - - - 18

PL - 390 - - - - - - - - - - - - - 4981 - - 1223 -

SK - - - - - - - - - - - - - - - 499 5067 0 - 109

III1 - 4481 12 355 1684 - - - - 1856 - - - - - - 1238 1595 186 -

Sum of physical energy flows in UCTE = 131982 GWh Total = 150560 GWh

1 Third countries: Albania, Belarus, Bulgaria, Denmark, Great Britain, Morocco, Rumania, Sweden and Ukraine

Exp

ort

ing

Co

un

trie

s

��

��

Slika 1.8: Fizicni pretoki moci



��

��

DK

BD

GR

I

CH

E

F

P

L

A

SLO

NL

HR

N

JIELBiH

GB

PL

H

CZ

RO

BG

AL

SK

UA

S

BY

LT

MA

Parallel operation

Radial operation

Direct current link

1st synchronous UCTE region


Associate member of UCTE

Day B D E F GR I SLO HR JIEL L NL A P CH CZ H PL SK DK

17.10.01 9966 73100 26131 66460 5663 37706 1681 1769 4192 795 9361 8455 5446 11275 9227 4516 19221 3817 1530

21.11.01 10105 79300 30055 72691 5731 42003 1796 2191 5889 741 10093 8109 5790 10414 10841 5179 21624 4406 2550

19.12.01 10588 80200 33015 74546 6664 44804 1888 2630 6432 722 11361 7847 6409 11226 10392 5277 22410 4680 2340

16.01.02 10796 76400 30661 77771 6762 43939 1795 2572 5665 800 10999 7188 6066 9491 10623 5179 22462 4586 2400

20.02.02 10905 77600 30033 74278 5817 40414 1806 2187 5006 821 9781 6384 5562 10095 10869 4777 20691 4360 2430

20.03.02 10493 75500 26729 67389 5571 37520 1760 1876 4911 716 9543 7824 5731 9661 10122 4453 19504 3896 1770

��

Slika 1.9: Paralelno delujoca podrocja


13

�

�� &��'%�� "!

��

AC

H

EI

F

SLO

BiH

YU

H

CZ

SK

L

B

NL

GB

DK D

PL

S

RU

SLT

BY U

A

AL

GR

BGR

O

P

MA

Associete member

* G.M.T. + 1

I = Import balance

E = Export balance

857

500

193199

211

145

1424

322

1400

3100

1196

481

1196

125

9

131

3556

777

2094

270

576

7549

1421

1059

Sum

oflo

ad

flow

sU

CT

E=

25508

MW

hTota

l=

30352

MW

h

I =1068

I=

E=

1884

I=

179

I=

5702

I=

333

I=

922

I=

2711

I=

49

333

3982

E=

E=

1132

E=

649

E=

999

1234

180

1113293602

HR

=E

I =670


Synchronous operation with 1st resp.2nd UCTE region

I=

912

E=

63

E=

80

P=

52400

P=

65278

P=

28759

P=

23643

P=

7453

P=

9761

P=

7837

P=

5705

P=

6582

P=

4944

P=

3826

P=

1142

P=

716

P=

17001

P=

3684

P=

4394

P=

7676

P=

1685

255

623

947

207 1087

131 26

266

83

1538

215

430

FY

RO

M

56

Slika 1.10: Pretoki moci




....üüü

?

T2 Maximum output capacity as of 31.12.2001

Thermal conventional Thermal nuclear Hydropower Total

Country MW % MW % MW % MW %

B 8248 -0.9 5738 0.4 1403 -0.2 15651 0.2D 68000 -5.2 20700 -1.4 8500 1.0 100700 -2.9E 25046 15.6 7816 4.5 17955 1.7 547 11.6F 23700 1.9 63200 0.0 24300 0.0 111200 0.4

GR 6297 4.5 3060 3.3 9512 -47.1I 54440 0.5 20346 -0.7 75903 0.0

SLO 1241 0.0 670 0.0 778 0.0 2689 0.0HR 1631 14.2 2076 0.0 3707 5.8

JIEL 6753 0.0 3893 0.0 10646 0.0L 460 513.3 1128 0.0 1608 32.0

NL 17342 -8.8 449 -10.0 37 -4.9 19404 -6.3A 5620 6.9 11160 0.5 16860 2.8P 5065 4.3 4408 0.5 9676 0.7

CH 295 1.7 3200 0.0 13285 0.3 17310 0.5CZ 9588 -9.2 1637 0.0 1945 -6.3 13171 -7.7H 5608 0.0 1772 0.8 46 0.0 7824 1.3

PL 31189 -0.1 2185 2.1 33387 0.1SK 2294 0.1 2640 20.0 2427 0.1 8057 6.3

UCTE 272817 -0.4 107822 0.4 118932 0.3 512016 -1.2



POGLAVJE 2

Vodenje sinhronskega stroja

Veliki generatorji v elektrarnah so izkljucno sinhronski stroji. Ne glede na to, da obicajno govorimo osinhronskih generatorjih, ti stroji lahko obratujejo kot generatorji (kompenzatorji) ali motorji. Vec o ra-zlicnih obratovalnih možnostih bo pojasnjeno v nadaljevanju, najprej pa se bomo omejili predvsem naanalizo generatorjevega obratovanja. Osnovne pojme povezane z vodenjem sinhronskega generatorja na-jenostavneje pojasnimo s pomocjo dinamicnega modela na sliki 2.1. V skladu z narisanim lahko sinhronskigenerator predstavimo z dinamicnim sistemom, ki ima dva vhoda in dva izhoda. Vhoda sta pogonski navorturbine tm in vzbujalna napetostUv, izhoda pa sta bodisi hitrost vrtenjaω (frekvencaf ) in napetost nasponkah strojaUs ali pa delovna moc P in jalova moc Q, kot je navedeno v oklepajih.

Uv

ω (Pg)

Us (Qg)

sinhronskega

stroja

Model

Tm

Slika 2.1: Blokovna shema sinhronskega generatorja.

Kot vhode in izhode bi seveda lahko izbrali tudi druge spremenljivke in vzbujanja, vendar je bil izbornavedenih vhodov in izhodov opravljen zato, da bo enastavneje pojasniti razliko med dvema znacilnimaobratovalnima stanjema sinhronskega generatorja.

Sinhronski stroj lahko obratuje otocno ali paralelno. V prvem primeru en sam sinhronski stroj napaja bremeali skupino bremen od preostanka omrežja, celoten sistem torej deluje kot izoliran otok. V drugem primerugre za paralelno obratovanje sinhronskega stroja v povezanem elektroenergetskem sistemu z vsaj dvemastrojema.

16 VODENJE SINHRONSKEGA STROJA

2.1 Otocno obratovanje sinhronskega generatorja

Sinhronski stroj ima dva izhoda, zato bo njegovo vodenje zajemalo regulacijo obeh izhodov. V primeruotocnega obratovanja stroja bomo tako imeli opraviti z regulacijo hitrosti (frekvence) in regulacijo napetostina sponkah stroja. Karakteristike otocno obratujocega sinhronskega stroja so prikazane na slikah 2.2 in 2.3.

P

ωsReguliran agregat

Nereguliran agregat

0

Slika 2.2: Stacionarni delovni karakteristiki otocno delujocega sinhronskega stroja - regulacija hitrosti.

∆U

UsReguliran agregat

Nereguliran agregat

0Ij

Slika 2.3: Stacionarni delovni karakteristiki otocno delujocega sinhronskega stroja - regulacija napetosti.

Na sliki 2.2 sta prikazani stacionarni karakteristikiωs = f(P ) otocno delujocega stroja; v prvem primeruje stroj nereguliran, v drugem primeru pa je stroj reguliran.

Na sliki 2.3 sta prikazani stacionarni karakteristikiUs = f(Ij) otocno delujocega stroja, kjerIj predstavljajalovo komponeneto statorskega toka sinhronskega stroja. V prvem primeru je stroj nereguliran, zato se spovecevanjem toka napetost na sponkah seseda, v drugem primeru pa je stroj reguliran, zato napetost nasponkah ostaja neodvisna od obremenitve.


2.2 Paralelno obratovanje sinhronskega generatorja 17

2.2 Paralelno obratovanje sinhronskega generatorja

Sinhronski generator lahko sinhroniziramo z omrežjem tedaj, ko se napetosti generatorja po faznem kotuin amplitudi ujemajo z napetostmi omrežja. Zaradi zahtevanega ujemanja sta seveda enaki obe napetostiin frekvenci. Ce bi z omrežjem sinhronizirali predhodno otocno delujoci regulirani sinhronski generator stako imenovano astaticno karakteristiko, delovanje stroja nebi bilo stabilno. Delovni karakteristiki strojain omrežja bi namrec bili paralelni brez presecišca, zato bi stroj lahko oddajal omrežju katero koli delovnomoc. Razmere stabiliziramo tako, da astaticno delovno karakteristiko stroja nagnemo za vrednost statikeβin tako dobimo staticno karakteristiko, kar s presecišcem karakteristike generatorja s karekteristiko omrežjaenoumno doloci delovno tocko. Razmere so prikazane na slikah 2.4 in 2.5.

Pgn P

Karakteristika omrežja

Karakteristika paralelnodelujocega agregata

Delovna tocka A

ωs

ωr

0

Slika 2.4: Stacionarni delovni karakteristiki paralelno delujocega sinhronskega stroja - regulacija delovnemoci.

Qgn Q

Karakteristika omrežja

Karakteristika paralelnodelujocega agregata

Delovna tocka A

Um

Usr

0

Slika 2.5: Stacionarni delovni karakteristiki paralelno delujocega sinhronskega stroja - regulacija jalovemoci.

Na podoben nacin z nagibom delovne karakteristike agregata zagotovimo stabilnost regulacije jalove mociQ. Pri paralelnem obratovanju torej nimamo vec opraviti z regulacijo hitrosti (frekvence) in napetosti,temvec z regulacijama delovne in jalove moci P in Q.



Opraviti imamo z dvema statikama in sicer z hitrostnoβ in napetostnoβu, ki sta v skladu s slikama 2.4 in2.5 definirani z izrazoma 2.1 in 2.2. Obe statiki sta doloceni v odstotkih in sta lahko tudi enaki, vrednostipa se najpogosteje gibljejo o obsegu4% do6%.

β =(ωr − ωs)100

Pgn

(2.1)

βu =(Usr − Us)100

Qgn

(2.2)

kjer sta sPgn in Qgn oznaceni normirani vrednosti ustreznih nominalnih moci, ωr in ωs pa sta normiranivrednosti ustreznih kotnih hitrosti. S statikamaβ in βu torej astaticni karakteristiki nagnemo in ju preob-likujemo v staticni. Imena so nekoliko neobicajna, vendar za obravnavano podrocje zelo znacilni. Statikije torej potrebno vpeljati hkrati s sinhronizacijo stroja, kot bomo v nadaljevanju videli pa sta izvedeni zdvema dodatnima povratnima vezavama. Pri prehodu iz režima otocnega obratovanja v paralelnega se torejspremeni tudi zgradba regulatorjev.

Vprašajmo se, kaj smo poleg enoumno dolocene delovne tocke posameznega agregata dodatno dosegli zuvedbo obeh statik? S tem smo dosegli primerno obnašanje reguliranega sistema v primeru spremembefrekvence ali napetosti omrežja (razmere pojasnjujeta sliki 2.6 in 2.7) in enoumno porazdelitev oddanihmoci v primeru vec paralelno delujocih sinhronskih generatorjev (razmere pojasnjujeta sliki 2.8 in 2.9).

Pg

ωs

ωr

0P

ωs −∆ω

ωs + ∆ω

Pg(ωs + ∆ω) Pg(ωs −∆ω)

Slika 2.6: Oddana delovna moc sinhronskega stroja v primeru spremembe omrežne frekvence.


2.2 Paralelno obratovanje sinhronskega generatorja 19

Q

Us

0

Us + ∆U

Us −∆U

Usr

Qg(Us + ∆U)

Qg

Qg(Us −∆U)

Slika 2.7: Oddana jalova moc sinhronskega stroja v primeru spremembe omrežne napetosti.

Kot je razvidno iz slik 2.6 in 2.7 zmanjšanje omrežne frekvence ali napetosti povzroci pripadajocepovecanje delovne in jalove moci iz vrednostiPg in Qg naPg(ωm−∆ω) in Qg(Us−∆U). Podobno pove-canje omrežne frekvence ali napetosti povzroci pripadajoce zmanjšanje delovne in jalove moci iz vrednostiPg in Qg naPg(ωm + ∆ω) in Qg(Us + ∆U).

Kot je razvidno iz slik 2.8 in 2.9 statiki omogocita enoumni porazdelitvi delovne in jalove moci med obageneratorja.

ωr2

P

ωm

ωr1

0

3

2

Pg2 Pg1

1

Slika 2.8: Oddani delovni moci sinhronskih strojev v primeru paralelnega obratovanja dveh sinhronskihstrojev.



Usr2

Q

Us

Usr1

0

3

2

Qg2 Qg1

1

Slika 2.9: Oddani jalovi moci sinhronskih strojeva v primeru paralelnega obratovanja dveh sinhronskihstrojev.

Pogosto želimo, da sprememba omrežne frekvence ne vpliva na spremembo oddane moci generatorja. Vtem primeru govorimo o tako imenovanem blokiranem turbinskem regulatorju. Razmere so prikazane nasliki 2.10. V primeru blokiranega turbinskega regulatorja majhne spremembe omrežne frekvenceωm nepovzrocijo spremembe oddane moci stroja. Morebitno veliko povecanje frekvence bi sicer zmanjšalo pri-padajoco oddano moc, vendar je taka sprememba malo mogoca.

(obratuje v neblokiranem delu)

Neblokiran regulator

Blokiran z omejitvijo

Blokiran regulator

P

ωm

ωr

0PgPgo

Slika 2.10: Primer blokiranega turbinskega regulatorja.

Primer porazdelitve moci na dva generatorja

Predpostavimo, da dva generatorja obratujeta paralelno in napajata breme z mocjo Pb = 200 MW. Nom-inalna moc prvega generatorja jePg1 = 100 MW, nominalna moc drugega pa jePg2 = 200 MW. Statikaobeh generatorjev jeβ = 4%. Kakšen delež moci bo prevzel posamezni generator?

Na podlagi zapisanega velja 2.3.P1 + P2 = 200 MW (2.3)


2.3 Modeli vodnih turbin 21

Razmere ponazarjajo karakteristike na sliki 2.11, kjer sta s tanjšimicrtami, ki izhajata iz referencne vred-nostiωnr = 1.04 p.u. narisani delovni karakteristiki obeh generatorjev v primeru proizvodnje nominalnemoci P1n in P2n. Drugi dve karakteristiki, ki izhajata iz tocke ωr, sta narisani za primer s skupno obre-menitvijo200 MW, kjer moramo porazdelitev na moci P1 in P2 še dolociti.

P1

0

P1n P2 P2n

ωnr = 1.04[pu]

ωr

ωm = 1.00[pu]

Slika 2.11: Primer porazdelitve delovne moci na dveh sinhronskih strojih.

Karakteristike na sliki 2.11 tvorijo podobne trikotnike, za katere velja razmerje 2.4.

ωnr−ωm

P2n= ωr−ωm

P2

ωnr−ωm

P1n= ωr−ωm

P1

200 = P1 + P2

(2.4)

Na podlagi treh enacb 2.4 lahko izracunamo tri neznankeP1 = 66.66 MW, P2 = 133.33 MW in ωr =1.0267 p.u.

2.3 Modeli vodnih turbin

V nadaljevanju bomo najprej dolocili dinamicne modele vodnih turbin. Dinamicni model bomo najprejdolocili za Kaplanovo turbino, pri kateri se lahko spreminja naklon statorskih (vodilnikovih) in rotorskih(tekacevih) lopatic. Potem bomo na podlagi modela Kaplanove turbine dolocili še model Francisove tur-bine, pri kateri lahko spreminjamo samo naklon statorskih lopatic. Na koncu bo dolocen še poenostavljenimodel vodne turbine, ki se po priporocilih združenje IEEE uporablja v analizi povratnih vplivov hidroagregatov na omrežje.



2.3.1 Enacba navora turbine

Navor turbine je v skladu z zapisom 2.5 funkcija padcah, hitrosti vrtenjaω, odprtja vodilnika (ali karpomika glavnega servomotorja)y in kota lopatic tekacaϕ.

tm = f(h, ω, y, ϕ) (2.5)

Funkcijska odvisnotf je nelinearna, zato bomo zapis 2.5 linearizirali v okolici delovne tocke. Po lin-earizaciji bo za mala odstopanja od delovne tocke veljala linearizirana odvisnost 2.6

∆tm =∂tm∂h

∆h +∂tm∂ω

∆ω +∂tm∂y

∆y +∂tm∂ϕ

∆ϕ (2.6)

kjer so vsi odvodi vzeti v delovni tocki.

2.3.2 Enacba pretoka skozi turbino

Pretok skozi turbino je funkcija istih spremenljivk kot navor turbine in ga doloca enacba 2.7.

q = f(h, ω, y, ϕ) (2.7)

Funkcijska odvisnotf je ponovno nelinearna, zato bomo zapis 2.7 linearizirali v okolici delovne tocke. Polinearizaciji bo za mala odstopanja od delovne tocke veljala linearizirana odvisnost 2.8

∆q =∂q

∂h∆h +

∂q

∂ω∆ω +

∂q

∂y∆y +

∂q

∂ϕ∆ϕ (2.8)

kjer so vsi odvodi prav tako vzeti v delovni tocki.

2.3.3 Enacba neto padca

Sprememba pretoka prav gotovo vpliva na spremembo padca, odvisnost pa je prav tako nelinearna, zatobomo v nadaljevanju uporabili linearizirano odvisnost v okolici delovne tocke. Predpostavimo, da je∆qvhod,∆h pa izhod, potem poenostavljeno zvezo med obema doloca enacba 2.9. Pri tem je potrebno poudar-iti, da enacba 2.9 zelo poenostavljeno ponazarja zgolj tako imenovanitogi vodni udar, ki predpostavljanestisljivost vode in popolno togost cevovodov.

∆h = −Twd

dt∆q (2.9)

V 2.9 je jeTw tako imenovanacasovna konstanta vodnega udara in bo dolocena v nadaljevanju.



2.3.4 Enacba kombinacijske odvisnosti

Tudi odvisnost med položajem bata servo motorja vodilnikay in kotom lopatic tekacaϕ je nelinearna, zatobomo uporabljali lineariziran zapis 2.10, ki pa bo veljel le v okolici delovne tocke.

Tkd

dt∆ϕ + ∆ϕ = Kk∆y (2.10)

V 2.10 jeKk koeficient ojacanja kombinacijske zveze.

2.3.5 Enacba dinamicnega ravnotežja

Enacba gibanja hidro agregata (spremenljivke so zaradi linearizirane obravnave celotnega sistema podanez malimi odmiki spremenljivk od delovne tocke) je dolocena z izrazom 2.11

Tad

dt∆ω = ∆tm −∆te (2.11)

kjer je casovna konstantaTa dejansko normirana vrednost skupnega vztrajnostnega momenta turbine ingeneratorja (oba sta togo speta na isti osi), dolocena z zapisom 2.12

Ta =Jωb

Tb

(2.12)

kjer staωb = 2πfb in Tb bazni vrednosti omrežne hitrosti in navora generatorja.

Pri tem je potrebno poudariti, da so zaradi preglednejše obravnave vrednosti vseh vhodov in spremenljivknormirane (zato so vrednosti v obmocju med0 in 1), za osnovo (bazo) pa so vzete bazne vrednosti(·)b.

2.3.6 Dolocitev casovne konstante vodnega udaraTw

Casovno konstanto vodnega udara dolocimo na podlagi razmer na sliki 2.12 s pomocjo enacbe 2.13.

Turbina

L

x

Q, v

H

Ht

Spodnja voda

Bazen

Zgornja voda

Slika 2.12: Shematski prikaz zgradbe elektrarne.



Tw =LV

Htg(2.13)

kjer jeL dolžina kanala v [m], V je hitrost v [m/s], Ht je padec v [m], g pa je zemeljski pospešek v [m/s2].

2.3.7 Dinamicni model Kaplanove turbine v obliki blokovne sheme

Model Kaplanove turbine vcasovnem podrocju podaja sistem enacb 2.14.

∆tm = ∂tm∂h

∆h + ∂tm∂ω

∆ω + ∂tm∂y

∆y + ∂tm∂ϕ

∆ϕ

∆q = ∂q∂h

∆h + ∂q∂ω

∆ω + ∂q∂y

∆y + ∂q∂ϕ

∆ϕ

Tkddt

∆ϕ + ∆ϕ = Kk∆y

∆h = −Twddt

∆q

Tad∆ωdt

= ∆tm −∆te Ta = Jωb

Tb

(2.14)

S pomocjo Laplace–ove transformacije bomo model 2.14 pretvorili v Laplace–ovo podrocje in ob tempredpostavil, da so zacetni pogoji nic. V prvih dveh enacbah zapisa 2.14 bomo vse parcialne odvode vdelovni tocki nadomestili s konstantami po naslednjem vzorcu∂x

∂y= Kxy.

∆tm(s) = Kth∆h(s) + Ktω∆ω(s) + Kty∆y(s) + Ktϕ∆ϕ(s)

∆q(s) = Kqh∆h(s) + Kqω∆ω(s) + Kqy∆y(s) + Kqϕ∆ϕ(s)

∆ϕ(s)∆y(s)

= Kk

1+sTk

∆h(s)∆q(s)

= −sTw

∆ω(s)∆tm(s)−∆te(s)

= 1sTa

(2.15)

Model Kaplanove turbine v obliki enacb 2.15 lahko narišemo v obliki blokovne sheme na sliki 2.13. Pri temsmo zaradi lažjega risanja spremenili sistem oznacevanja Laplace–ovih transformirank na naslednji nacin(·) = (·)(s), dinamicnemu modelu v obliki enacb 2.15 pa smo hkrati dodali regulator hitrosti.



−∆ωm

∆ω

Regulator

+

∆tm

∆yGsm(s)

Ksm, Tsm−

β

Gd(s)

E(s)

−

∆te

1T ′a

Hk, Tk

∆ϕKty

Ktϕ

Ktω

Kth

Kqy

KqhKqω

Kqϕ

Td, T ′d

Tw, T ′w

−∆h+

+

+

+

+ +

+

+

Ta

Klr

+

∆ωδ

∆ten+

∆ω

−

−

∆ωr

Slika 2.13: Blokovna shema Kaplanove turbine.

V osnovi imamo seveda opraviti z regulatorjem hitrosti, pri katerem pa je upoštevan tudi pospešek. Regula-tor sestavljajo trije bloki, kjer je prenosna funkcija hidravlicnega servo motorja integrator, v povratni zankiregulatorja pa se nahaja ojacanje z vrednostjo statikeβ in realni diferenciator scasovnima konstantamaTd

in T ′d. Posamezni prenosni funkciji elementov v regulatorju sta doloceni z izrazom 2.16.

Gsm(s) = ∆y(s)E(s)

= Ksm

sTsm

Gd(s) = sTd

1+sT ′d

(2.16)

Pri tem je treba poudariti pomembno znacilnost, da ima nadomestna zaprtozancna prenosna funkcija reg-ulatorja proporcionalni znacaj, kar preprosto preverimo tako, da izracunamo nadomestno zaprtozancnoprenosno funkcijo regulatorja.

2.3.8 Dolocitev modela Francisove turbine

Francisova turbina ima fiksne nastavitve lopatic vodilnika, zato je∆ϕ = 0, s tem pa se dinamicni modelagregata v Laplace–ovem podrocju v obliki sistem enacb 2.15 skrci in poenostavi v 2.17.

∆tm(s) = Kth∆h(s) + Ktω∆ω(s) + Kty∆y(s)

∆q(s) = Kqh∆h(s) + Kqω∆ω(s) + Kqy∆y(s)

∆h(s)∆q(s)

= −sTw

∆ω(s)∆tm(s)−∆te(s)

= 1sTa

(2.17)

Kot vidimo sta v zapisu 2.17 glede na zapis 2.15 izginila zadnja dvaclena v prvih dveh enacbah, tretjeenacbe iz 2.15 sploh ni vec, preostali dve pa sta ostali enaki. Blokovno shemo Francisove turbine kaže slika2.14



−∆ωm

∆ω−

−

∆ωr ∆ω

Regulator

+

∆tm

Kty

∆y

1T ′a

∆te

−

β

Tsm

Ktω

Kth

Kqy

KqhKqω

Td, T ′d

Tw, T ′w

−∆h+

+

+

+ +

+Ta

Klr

+

∆ωδ

∆ten+

−

Slika 2.14: Blokovna shema Francisove turbine.

2.3.9 Dolocitev modela poenostavljene vodne turbine

Model vodne turbine s slike 2.14 bomo v nadaljevanju dodatno poenostavili. Pri tem bomo izhajali izmodela Francisove turbine v Laplace–ovem podrocju, kjer bomo predpostavili, da je v okolici delovnetocke vpliv sicer zelo male spremembe hitrosti∆ω na spremembo pretoka∆q tako majhen, da ga lahkozanemarimo.

V tretji enacbi zapisa 2.17 izrazimo spremenljivko∆h z ∆q in za slednje vstavimo izraz za∆q, v kateremne upoštevamo srednjegaclenaKqω∆ω(s). Tako dobimo zapis 2.18.

∆h(s) = −sTw∆q(s) = −sTw(Kqh∆h(s) + Kqy∆y(s)) (2.18)

Izraz 2.18 preuredimo in dobimo 2.19

∆h(s) = −(KqhsTw∆h(s) + KqysTw∆y(s)) (2.19)

in na levi strani izpostavimo spremenljivko∆h(s), tako da dobimo 2.20.

∆h(s)(1 + (KqhsTw)) = −KqysTw∆y(s) (2.20)

Iz 2.20 izrazimo∆h(s) in dobimo 2.21

∆h(s) =−KqysTw

(1 + (KqhsTw))∆y(s) (2.21)

Sedaj vstavimo izraz 2.21 v prvo enacbo sistema 2.17 namestoclena∆h(s) in dobimo 2.22. Pri tem drugegaclenaKtω∆ω v 2.17 v izrazih 2.22 do 2.25 najprej ne bomo upoštevali (razlog je zgolj ležje racunanje delanavora, ki ga bomo zato oznacili z ∆t′m(s), na koncu pa bomo v 2.26 manjkajoci clen ponovno prišteli k∆t′m(s) in tako dobili∆tm(s).

∆t′m(s) = Kth∆h(s) + Kty∆y(s) = Kty∆y(s)− KqysTw

1+KqhsTwKth∆y(s)

= (Kty − KqysTw

1+KqhsTwKth)∆y(s)

(2.22)



Za idealno turbino velja naslednje

Kqh = 0.5 Kth = 1.5

Kqω = 0.0 Ktω = −1.0

Kqy = 1.0 Kty = 1.0

(2.23)

Konstante 2.23 upoštevamo v 2.22 in dobimo 2.24.

∆t′m(s) = (1− sTw

1 + 0.5sTw

1.5)∆y(s) (2.24)

Ce poišcemo prenosno funkcijoGvt(s) = ∆tm(s)∆y(s)

dobimo izraz 2.25.

Gvt(s) =∆t′m(s)

∆y(s)=

1− sTw

1 + 0.5sTw

(2.25)

V izrazu 2.25 upoštevamo še izpušceni vpliv spremembe hitrosti na navor in dobimo 2.26.

∆tm(s) =1− sTw

1 + 0.5sTw

∆y(s) + Ktω∆ω (2.26)

Ce sedaj upoštevamo prenosno funkcijo 2.25 in izraz 2.26 v blokovni shemi na sliki 2.14, je mogoce narisatiblokovno shemo poenostavljene vodne turbine na sliki 2.15, ki je znatno preprostejša od vseh dosedanjih.

Primer dolocitve Tw

Casovno konstanto vodnega udaraTw je mogoce izracunati tudi z naslednjim izrazom

Tw =l P

g2 H2t A η

kjer je l srednja dolžina dovodnega cevovoda v [m], P je moc agregata v [kW ], g je zemeljski pospešek,Ht

je je padec v [m], A je presek cevovoda v [m2], η pa je izkoristek agregata. Za izbrane vrednosti parametrovP = 50 MW , Ht = 50 m, l = 86 m, A = 25 m2 in η = 0.9 dobimoTw = 0.8 s.

-∆ωm

+ ∆ten+

∆ω+ ∆tm

∆y

∆t′m

∆te

−

1T ′a

β

Tsm

Td, T ′d

−∆ω

−

−

∆ωr

Regulator

+

Ktω

1−Tws1+0.5sTw

∆ωδ

+

Ta

Klr

Slika 2.15: Blokovna shema vodne turbine.



2.3.10 Model Peltonove turbine

Model Peltonove turbine bi dobili z dodatnim poenostavljanjem modela Francisove turbine, vendar bi v temprimeru že bilo treba upoštevati elasticni vodni udar. Modela Peltonove turbine ne bomo dolocevali.

2.3.11 Kompenzacija pojava vodnega udara

Upoštevanje togega vodnega udara v poenostavljenem modelu vodne turbineGvt(s) ima seveda negativnivpliv na celotno dinamiko, saj ponazarja prenosna funkcijaGvt(s) fazno neminimalni sistem. Znacilnostcasovnega odziva fazno neminimalnih sistemov je ta, da se izhod na spremembo vhoda v prvem trenutkuodzove z nasprotnim predznakom, kot ga ima vhod. Neželen pojav je tem bolj izrazit, vecja kot jecasovnakonstantaTw.

Negativne posledice znatno zmanjšamo tako, da regulatorju dodamo tako imenovano kompenzacijo vod-nega udara v obliki prenosne funkcijeGkw(s), kot je to prikazano na sliki 2.16.

−∆ωm

∆ten+

∆ω+ ∆tm

1−Tws1+0.5sTw

−∆y

1T ′a

∆te

−

Gkw(s)

β

Tsm

Td, T ′d

−∆ω

−

−

∆ωr +

Ktω

∆ωδ

+

Ta

Klr

+

Slika 2.16: Blokovna shema vodne turbine s kompenzacijo vodnega udaraGkw(s).

Prenosna funkcijaGkw(s) je dolocena z izrazom 2.27, kjer jeTaa = 0.5Ta.

Gkw(s) =1

1 + Taas

0.5Tws

1 + 0.5Tws=

1

1 + Taas(1− 1

1 + 0.5Tws) (2.27)

2.3.12 Poenostavljeni model vodne turbine s kompenzacijo vodnega udara s poenos-tavljenim modelom elektricnega podsistema sinhronskega stroja

V nadaljevanju bomo poenostavljenemu modelu vodne turbine na sliki 2.16 dodali še poenostavljeni modelelektricnega podsistema sinhronskega stroja. Model je predstavljen na sliki 2.17.



S

+

Klr Kdn

∆δ∆ωδ∆ω

1ωb

∆ten

+

+

E Us

1xd

∆te

−

−∆ωm

1T ′a

β

Tsm

Td, T ′d

−∆ω

−

−

∆ωr +

Ktω

+

Ta

+ ∆tm1−Tws

1+0.5sTw

Gkw(s)

−∆y

Slika 2.17: Blokovna shema vodne turbine s kompenzacijo vodnega udara in s poenostavljenim modelomelektricnega podsistema sinhronskega stroja.

V modelu elektricnega podsistema na sliki 2.17 je upoštevano, da je sprememba elektricnega navora∆te vskladu z enacbo 2.28 sestavljena iz treh delov; prvi je tako imenovani prispevek zaradi spremembe lastnerabe agregataKlr∆ω (pri hidroagregatu je vrednost relativno mala), drugi je sprememba zaradi prispevkadušilnega navitja sinhronskega generatorjaKdn∆ωδ (dolocen bo v poglavju z modeliranjem sinhronskegageneratorja), tretji prispevek pa predstavlja neto vrednost spremembe elektricnega navora∆ten. Spremembaskupnega elektricnega navora okrog delovne tocke (linearizacija) je dolocena z izrazom 2.28, kjer jexd takoimenovana reaktanca sinhronskega stroja v vzdolžni smeri,δ0 pa je vrednost kolesnega kota sinhronskegastroja v tocki, kjer smo opravili linearizacijo.

∆te(s) = Klr∆ω + Kdn(∆ω −∆ωm) + ∆ten

∆ten = Us Exd

sin δ0∆δ = Us Exd

S

S = sin δ0∆δ

(2.28)

2.3.13 Simulacijska analiza obratovanja hidroagregata s poneostavljenim mode-lom elektri cnega podsistema sinhronskega stroja

Simulacijska analiza obratovanja hidroagregata s poneostavljenim modelom elektricnega podsistema sinhronskegastroja bo opravljena v okolju simulacijskega paketa MATLAB - SIMULINK. V ta namen je treba najprejnarisati ustrezno vezje in vnesti ustrezne parametre, ki naj imajo naslednje vrednosti:

β = 0.05 Ksm = 1.0 Tsm = 3.0s

Td = 4.0s T ′d = Td

10Ta = 3.0s

Tw = 0.8s Klr = 0.2 Kdn = 0.3

Ta = 3.0s ωb = 314.14s−1 ∆Us∆Exd

= 1.0

(2.29)



Potencialne možnosti stacionarnih obratovalnih stanj sinhronskega generatorja so prikazane na sliki 2.18.V tocki 1 obratujemo takrat, ko je referencna vrednost frekvenceω1r, hitrost omrežja pa jeωs, generatoroddaja v omrežje delovno moc Pg1. Ce pride pri enaki referencni vrednosti hitrosti do znižanja frekvencena vrednostωs−∆ωs v stacionarnem stanju preidemo v tocko 2, oddana delovna moc generatorja pa jePg2.Ce pride do spremembe referencne vrednosti izω1r naω2r (paralelni premik delovne karakteristike) to vstacionarnem stanju povzroci prehod iz tocke 2 v tocko 3, kjer se delovna moc generatorja dodatno povecana Pg3. Prehod iz stacionarnega stanja v tocki 3 v stacionarno stanje v tocki 4 je povzrocen s ponovnimzvišanjem frekvence omrežja na vrednostωs, oddana delovna moc pa se zniža naPg4. V stacionarnemstanju je tocka 5 dosežena tako, da se ob nespremenjeni referencni vrednosti poveca frekvenca omrežje navrednostωs + ∆ωs, kar povzroci dodatno zniženje oddane delovne moci na vrednostPg5.

ωs + ∆ω

0Pg2,4

ωs

P

ω2r 5

Pg1,5 Pg3

14

32

ω1r

ωs −∆ω

Slika 2.18: Stacionarna delovna karakteristika sinhronskega generatorja v razlicnih delovnih režimih.


POGLAVJE 3

Regulacija delovne moci turboagregata

Regulacija vrtljajev oziroma delovne moci turboagregata je precej bolj kompleksna kot je bila pri hidroa-gregatu. Mehanski navor turbine in s tem tudi delovna moc sta odvisna od pretoka pare skozi turbino.Spremenljiv pretok pare skozi turbino pa pomeni spremenljivo kolicino pare, ki jo lahko zagotovimo s spre-membo kurjenja. Hitrost spremembe proizvodnje pare je povezana z regulacijo kurjenja, hitrost spremembekurjenja pa je spet odvisna od vrste kurišca. Za fosilna goriva je hitrost manjša, za tekoca in plinasta pavecja. Hitro regulacijo kolicine pare vršimo z vbrizgavanjem hladne vode (res hitre spremembe) in s spre-minjanjem dotoka goriva.

Model turboagregata, ki ga bomo izpeljali v nadaljevanju bomo zelo poenostavili. Z modeliranjem proizvod-nje pare se ne bomo ukvarjali. Predpostavili bomo, da imamo na voljo poljubno kolicino pare, mehanskinavor turbinetm pa bomo regulirali s spreminjanjem odprtja ventila, s katerim bomo linearno spreminjalipretok pare skozi turbino.

Shematicen prikaz izvedbe regulacije vrtljajev kaže slika 3.1.

Vzbujanje

dotok pare

Omrežje

SG

Pe

β

ω

− −

ωr

Turbina

Regulatorvrtljajev

Pogonventila

ventil

Slika 3.1: Shematski prikaz turboagregata.

32 REGULACIJA DELOVNE MOCI TURBOAGREGATA

V nadaljevanju bomo najprej predstavili dva zelo poenostavljena modela parne turbine. V prvem primerubomo turbino predstavili sclenom prvega reda, v drugem pa s tremicleni prvega reda. Blokovni shemiobeh modelov sta prikazani na sliki 3.2.

Tsm

α tm

α

Kvt Kst Knt

TntTstTvt

Tt

a)

Kvt + Kst + Knt ≤ 1

b)

tm

u

Tsm

u

Slika 3.2: Poenostavljeni model parne turbine.

V modelu turbine s tremicleni prvega reda posameznicleni ponazarjajo zakasnitve visokotlacnega, sred-njetlacnega in nizkotlacnega dela parne turbine. Ocitno je model ponazorjen z enim samimclenom prvegareda še enostavnejši od tistega s tremi.

Najprej narišimo blokovno shemo regulacije vrtljajev za enostavni primer modela turbine v obliki enegaclena prvega reda (slika 3.3). Hkrati predpostavimo, da velja model celotnega regulacijskega sistema samoza mala odstopanja v okolici delovne tocke (V delovni tocki je bila opravljena linearizacija modela, ki jenelinearen ne glede na to, da nelinearnosti nismo posebej omenjali).

S

KR Tsm, Ksm Kt, Tt

αmax

αmin

Km

Tm, β

−

∆ω

∆tm ∆ω∆ωr

−∆ωm

+−

Ta∆te

+

Klr Kdn

∆δ∆ωδ

1ωb

∆ten

+

+

E Us

1xd

−

Slika 3.3: Blokovna shema regulacije delovne moci parne turbine.


33

Parametri modela na sliki 3.3 so naslednji:

Ti = 24.0 s Kdn = 0.3KR = 8.0 T1 = 0.1 sTsm = 0.1 s Tm = 0.1 sKsm = 1.0 Km = 1.0Tt = 0.2 s αmax = 1.3Kt = 1.0 αmin = 0.05Ta = 3.0 s β = 0.05Klr = 0.15

(3.1)


34 REGULACIJA DELOVNE MOCI TURBOAGREGATA


POGLAVJE 4

Sinhronski stroj

Sinhronski stroj lahko v EES obratuje v enem od naslednjih obratovalnih stanj:

• Generator (SG)

• Motor (SM)

• Sinhronski kompenzator

Zgradba stroja:

• dvopolni stroj z neizraženimi poli (turbo generator) ali

• vecpolni stroji z izraženimi poli (hidro generator).

Predpostavimo, da je porazdelitev magnetnega polja na obodu statorja harmonicna, kar med drugim pomeni,da zanemarimo popacenja zaradi oblike utorov. Pri stroju z izraženimi poli je geometrija magnetnega poljaodvisna od lege rotorja, kar bo veljalo tudi za nekatere induktivnosti.

• Lastna induktivnost rotorskega navitja je neodvisna od položaja rotorja, ker se geometrija magnetnegapolja vzbujalnega navitja s spreminjanjem kotaΘ ne spreminja. Enako velja za dušilna navitja.

• Lastna induktivnost statorskega navitja se spreminja s položajem rotorjaΘ, ker se spreminja geometrijamagnetnega kroga tega navitja. Sprememba vsebuje drugo harmonsko komponento.

Medsebojne induktivnosti med navitji na statorju in rotorju se spreminjajo zaradi:

1. medsebojne lege in

36 SINHRONSKI STROJ

d- os

β- os

α′

β

α

β′

Θ

v

v′

α- os

q- os

Slika 4.1: Shematicni prikaz dvofaznega sinhronskega stroja z izraženimi poli

c) Lαα = Lββ = konstantnaa)Lββ = maksimalna

α′

α

β′

β

α

β

b) Lαα = maksimalnaLββ = minimalna

α′

β′α′

β′

β

α

Slika 4.2: Graficno tolmacenje vpliva rotorske izraženosti na pojav drugega harmonika pri induktivnostih

2. spremembe magnetnega kroga oziroma njegove magnetne upornosti

Predpostavimo linearno magnetilno karakteristiko, kar nam bo omogocilo uporabo nacela superpozicije.Hkrati zanemarimo vrtincne tokove in histerezo.

Za induktivnost navitjaα velja:

ψαv = Nαφv cos Θ = Nαφαv = NαNvivRmαv

cos Θ (4.1)

oziroma:

Lαv =Nαφαv

iv=

NαNv

Rmαv

cos Θ (4.2)

Lαvm je najvecja vrednost induktivnosti pri kotuΘ = 0.


37

(Θ− 900)

d- os

q- os

Θvα

vβ

Slika 4.3: Geometricna predstavitev magnetnih napetosti statorskih navitij

Za navitjeβ velja po analogiji z navitjemα, da je:

Lβv =NβNv

Rmβv

sin Θ = Lβvm sin Θ (4.3)

Lastne induktivnosti statorskih navitijα in β:

Vzbujanje tuljaveα, to je magnetno napetostvα = Nαiα, razdelimo vzdolžd in q osi.

vαd = vα cos Θvαq = vα sin Θ

(4.4)

Magnetni krog ima vzdolžd in q osi nespremenljivo geometrijo in s tem nespremenljivi magnetni poljizaradi magnetnih napetostivαd in vαq

φαd =vαd

Rmαd

=vα cos Θ

Rmαd

(4.5)

φαq =vαq

Rmαq

=vα sin Θ

Rmαq

(4.6)

Z navitjemα se, v skladu s sliko 4.4, sklepajo samo komponente naslednjih dveh magnetnih tokov:

φαd cos Θφαq sin Θ

(4.7)


38 SINHRONSKI STROJ

Φα

β- os

α′

β

α

Θ

α- os

q- os

d- os

β′

Vαd

Vαd

Φασ

Φαd

Φαq

Θ

Θ

ΦαdsinΘ

ΦαdcosΘ

ΦαqcosΘ

Slika 4.4: Definicija magnetnih tokov v stroju z izraženimi poli

Magnetni tok, sklenjen z navitjemα, je torej:

φα = φαd cos Θ + φαq sin Θ =vα cos Θ

Rmαd

cos Θ +vα sin Θ

Rmαq

sin Θ (4.8)

Z upoštevanjem naslednjih trigonometrijskih odvisnosti

sin2 Θ = 12(1− cos 2Θ)

cos2 Θ = 12(1 + cos 2Θ)

dobimo:φα = Nαiα

(cos2 ΘRmαd

+ sin2 ΘRmαq

)

= Nαiα2

[(1

Rmαd+ 1

Rmαq

)+

(1

Rmαd− 1

Rmαq

)cos 2Θ.

] (4.9)

Lastna induktivnost tuljaveα je:

Lαα = Nαφα

iα= N2

α

2

[(1

Rmαd+ 1

Rmαq

)+

(1

Rmαd− 1

Rmαq

)cos 2Θ

]

= Lα0 + LαΘ cos 2Θ

(4.10)

Stresano induktivnost dodamo konstantnemu delu, tako da v nadaljevanju upoštevamo naslednje:

Lα0 = Lασ + Lα0 (4.11)

Na podoben nacin dolocimo tudi lastno induktivnost navitjaβ:

Lββ =N2

β

2

[(1

Rmβd+ 1

Rmβq

)−

(1

Rmβd− 1

Rmβq

)cos 2Θ

]

= Lβ0 − LβΘ cos 2Θ

(4.12)

Medsebojna induktivnost med statorskima navitjemaα in β je dana z magnetnim tokomφα, ki se sklepa znavitjemβ.


39

Tok iα vzbudi v navitjuα magnetni tok vzdolž osid in q.

φαd =vα cos Θ

Rmαd

(4.13)

φαq =vα sin Θ

Rmαq

(4.14)

Glede na sliko 4.4 dobimo komponente teh magnetnih tokov, ki se sklepajo z navitjemβ takole:

φαβ = −φαd sin Θ + φαq cos Θ (4.15)

Torej velja:

φαβ = −Nαiα cos Θ sin Θ

Rmαd

+Nαiα sin Θ cos Θ

Rmαq

(4.16)

φαβ = −Nαiα2

(1

Rmαd

− 1

Rmαq

)sin 2Θ (4.17)

Medsebojna induktivnost med navitjemaα in β je torej:

Lαβ =Nβφαβ

iα=

NβNα

2

(1

Rmαd

− 1

Rmαq

)sin 2Θ = Lαβm sin 2Θ (4.18)

Induktivnosti sinhronskega stroja z izraženimi poli:

Lvv = N2v

Rmv

Lαv = NvNα

Rmαvcos Θ = Lαvm cos Θ

Lβv =NvNβ

Rmβvsin Θ = Lβvm sin Θ

Lαβ = Lβα =NαNβ

2

(1

Rmβd− 1

Rmβq

)sin 2Θ

= Lαβm sin 2Θ

Lαα = N2α

2

[(1

Rmαd+ 1

Rmαq

)+

(1

Rmαd− 1

Rmαq

)cos 2Θ

]

= Lα0 + Lασ + LαΘ cos 2Θ

Lββ =N2

β

2

[(1

Rmβd+ 1

Rmβq

)−

(1

Rmβd− 1

Rmβq

)cos 2Θ

]

= Lβ0 + Lβσ − LβΘ cos 2Θ

(4.19)

Pri stroju z enakimi statorskimi navitjiNα = Nβ = N dodatno velja:

Rmαd = Rmβd Rmαq = Rmβq


40 SINHRONSKI STROJ

inLαΘ = LβΘ = Lαβ (4.20)

Pri cilindricnem rotorju so magnetne upornosti v obeh oseh enake, zato se zaradiRmd = Rmq enacbe 4.19dodatno poenostavijo:

Lαα =N2

Rmαd

Lββ =N2

Rmβd

Lαβ = 0 (4.21)

Preostale induktivnosti ostanejo enake.

4.1 Vezni model sinhronskega stroja za analizo stacionarnih stanj

Vβ

α′

β′

β

α

Θ

Θ− 900

d- os

q- os

β- os

α- os

Vv

Vα

Slika 4.5: Vezni model sinhronskega stroja, ki je primeren za stacionarno analizo

Elektricne razmere v stroju dolocajo naslednje enacbe:

uv = Rviv +dψv

dt

uα = Rαiα +dψα

dt

uβ = Rβiβ +dψβ

dt

(4.22)

Uporabimo skrajšane oznacbeLvα = Lvαm, Lvβ = Lvβm in dobimo:

ψv = ivLvv + iαLvα cos Θ− iβLvβ sin Θ

ψα = iαLαα + ivLαv cos Θ− iβLαβ

= iα (Lα0 + LαΘ cos 2Θ)− iβLαβ sin 2Θ + ivLαv cos Θ

ψβ = iβLββ − ivLβv sin Θ− iαLαβ

= iβ (Lβ0 − LβΘ cos 2Θ)− iαLαβ sin 2Θ− ivLβv cos Θ

(4.23)


4.1 Vezni model sinhronskega stroja za analizo stacionarnih stanj 41

Magnetne sklepe uvrstimo v napetostne enacbe 4.22 in po odvajanju dobimo:

uv

uα

uβ

=

Rv + Lvvp Lvα cosΘp −Lvβ sinΘp−Lvα sinΘΘ −Lvβ cosΘΘ

Lαv cosΘp Rα + (Lα0 + LαΘ cos 2Θ)p −Lαβ sin 2Θp−Lαv sinΘΘ −2LαΘ sin 2ΘΘ −2Lαβ cos 2ΘΘ−Lβv sinΘp −Lαβ sin 2Θp Rβ + (Lβ0 − LβΘ cos 2Θ)p−Lβv cosΘΘ −2Lαβ cos 2ΘΘ +2LβΘ sin 2ΘΘ

iviαiβ

(4.24)

Napetostne enacbe 4.24 transformiramo v skupendq koordinatni sistem.

T =

1 0 00 cos Θ sin Θ0 − sin Θ cos Θ

(4.25)

T−1 =

1 0 00 cos Θ − sin Θ0 sin Θ cos Θ

(4.26)

Za dolocitev transformirane impedancne matrike opravimo trojni matricni produkt in dobimo:

Zvdq = T−1ZvαβT (4.27)

Z upoštevanjem trigonometrijskih enakosti

cos2 Θ + sin2 Θ = 1cos Θ cos 2Θ + sin Θ sin 2Θ = cos Θsin 2Θ cos Θ− cos 2Θ sin Θ = sin Θ

(4.28)

inRα = Rβ Lαv = Lvβ Lα0 = Lβ0 LαΘ = LβΘ = Lαβ

dobimo napetostni model sinhronskega stroja v skupnem rotorskem koordinatnem sistemu:

uv

ud

uq

=

Rv + Lvvp Lvαp 0Lαvp Rα + (Lα0 + Lαβ)p (Lα0 − Lαβ)Θ−LαvΘ −(Lα0 + Lαβ)Θ Rα + (Lα0 − Lαβ)p

ividiq

(4.29)

Sprememba sosledjad – q osi:

Preoblikovane napetostne enacbe so ob upoštevanju novih oznacb parametrov (prvotnemu navitjuα pri-padajoci indeksα zamenjatad in q, odvisno od tega, katero navitje oznacujemo) nekoliko spremenjene:

uv

ud

uq

=

Rv + Lvvp Lvqp 0Lvqp Rd + (Ld0 + Ldq)p −(Ld0 − Ldq)ΘLqvΘ (Ld0 + Ldq)Θ Rq + (Lq0 − Ldq)p

ividiq

(4.30)


42 SINHRONSKI STROJ

q- os

d- os

q

viv

id

θ

ROTOR

STATOR

d

uq

iq

uv

ud

Slika 4.6: Vezni model sinhronskega stroja v skupnih rotorskih koordinatah

d- os

viv

id

θ

ROTOR

STATOR

d

q- os q

uq

uv

ud

iq

Slika 4.7: Vezni model sinhronskega stroja v skupnih rotorskih koordinatah z zamenjanima osemad in q

Enacbe za stroj z izraženimi poli se še poenostavijo:

uv

ud

uq

Rv + Lvvp Lvqp 0Lvqp Rd + Ld0p −Lq0ΘLvqΘ Ld0Θ Rq + Lq0p

ividiq

(4.31)


4.1 Vezni model sinhronskega stroja za analizo stacionarnih stanj 43

4.1.1 Moc in navor sinhronskega stroja

Trenutna elektricna moc:p = iTu = iTZi, (4.32)

kjer je u = Zi. Za sinhronski stroj z izraženimi poli dobimo ob predpostavki enakih statorskih navitij(Rd = Rq, Ldv = Lqv, Ld0 = Lq0, Ldv = Lvq):

p =

ividiq

T

Rv + Lvvp Lvqp 0Ldvp Rd + (Ld0 + Ldq)p −(Ld0 − Ldq)ΘLdvΘ (Ld0 + Ldq)Θ Rd + (Ld0 − Ldq)p

ividiq

=

iv(Rv + Lvvp) + idLdvp + iqLdvΘ

ivLdvp + id(Rd + (Ld0 + Ldq)p) + iq(Ld0 + Ldq)Θ

id(−Ld0 + Ldq)Θ + iq(Rd + (Ld0 − Ldq)p

T

ividiq

= iv(Rv + Lvvp)iv + idLdvpiv + iqLdvΘiv + ivLdvpid + idRdid+id(Ld0 + Ldq)pid + iq(Ld0 + Ldq)Θid − id(Ld0 − Ldq)Θiq+iqRdiq + iq(Ld0 − Ldq)piq

=i2vRv + i2dRd + i2qRq {joulske izgube+ivLvvpiv + id(Ld0 + Ldq)pid+iq(Ld0 − Ldq)piq

{delež moci, ki ustreza spre-membi energije v polju last-nih induktivnosti

+idLdvpiv + ivLdvpid

{delež moci, ki ustreza spre-membi energije v polju med-sebojnih induktivnosti

+iqivLdvΘ + idiq(Ld0 + Ldq)Θ

−idiq(Ld0 − Ldq)Θ{mehanska moc

(4.33)

Mehanska moc sinhronskega stroja:

pm = iqivLdvΘ + idiq(Ld0 + Ldq)Θ− idiq(Ld0 − Ldq)Θ (4.34)

pm = iqivLdvΘ + idiq2LdqΘ (4.35)

Stroj s cilindricnim rotorjem (Ldq = 0):pm = iqivLdvΘ (4.36)

Trenutna vrednost mehanskega navora je

te =pmeh

Θ(4.37)

Stroj z izraženimi poli:te = iqivLdv + idiq2Ldq (4.38)


44 SINHRONSKI STROJ

Ustaljeno stanje:Te = IqIvLdv + 2IdIqLdq (4.39)

Cilindricni rotor:Te = IqIvLdv (4.40)

Izracun stacionarne vrednosti navora:

Vektor napetosti je:

uv

ud

uq

=

−Ev

Uα cos ωtUα cos (ωt + π

2)

(4.41)

Napetostni vektor 4.41 transformiramo v skupen koordinatni sistem. Uporabimo kotΘ, ki je za dvopolnistroj v sinhronizmu:

Θ = ωt + δ +π

2(4.42)

Pri tem dovoljujemo premikδ med lego rotorja in amplitudo napetosti na sponkah.π2

predstavlja prostorskipremik π

2medd–lego rotorja in navitjem na statorju, kjer je istocasno amplituda napetosti priδ = 0 najvecja.

Poiskati moramo zmnožek:

uv

ud

uq

=

1 0 00 cos (ωt + δ + π

2) − sin (ωt + δ + π

2)

0 sin (ωt + δ + π2) cos (ωt + δ + π

2)

−Ev

Uα cos ωtUα cos (ωt + π

2)

(4.43)

Rezultat je:

uv

ud

uq

=

−Ev

−Uα sin δUα cos δ

(4.44)

V enacbi 4.44 so nastopajoce napetosti za doloceno vrednostδ enosmerne.

Za ustaljeno stanje veljadidt

= 0. Napetostne enacbe 4.30 dobijo naslednjo obliko:−Ev

−Uα sin δUα cos δ

Rv 0 00 Rd −(Ld0 − Ldq)Θ

LdvΘ (Ld0 + Ldq)Θ Rq

Iv

Id

Iq

(4.45)

V enacbo 4.45 vpeljemo še inducirano napetostEa := IvLdvΘ.

Enacbe 4.45 rešimo in dobimo:

Iv = −Ev

Rv

=Ea

LvqΘ(4.46)

Id =Uα sin δRd + Uα cos δ(Ld0 − Ldq)Θ− Ea(Ld0 − Ldq)Θ

RdRq + ΘΘ(Ld0 + Ldq)(Ld0 − Ldq)(4.47)

Iq =Uα cos δRd − EaRd + Uα sin δ(Ld0 + Ldq)Θ

RdRq + ΘΘ(Ld0 + Ldq)(Ld0 − Ldq)(4.48)


4.2 Elektricni prehodni pojavi 45

Analiziramo ustaljeno obratovalno stanje, zato veljapΘ = Θ = ω in definiramo lahko ustrezne reaktance:

xd = Θ (Ld0 + Ldq) = ω (Ld0 + Ldq)

xq = Θ (Ld0 − Ldq) = ω (Ld0 − Ldq)(4.49)

Stacionarni vrednosti statorskih tokov sta:

Id =Uα cos δ(Ld0 − Ldq)Θ− Ea(Ld0 − Ldq)Θ

Θ2(Ld0 + Ldq)(Ld0 − Ldq)

=Eα cos δ(xq)− Eaxq

xdxq

(4.50)

Iq =Uα sin δ(Ld0 + Ldq)Θ

Θ2(Ld0 + Ldq)(Ld0 − Ldq)=

Uα sin δxd

xdxq

(4.51)

Izracunane toke vstavimo v navorno enacbo 4.39 in ob upoštevanju, da jeLqv = Lvq, dobimo:

Te = IvIqLqv + 2IdIqLdq =(

Ea

Θ

) (Uα sin δ(Ld0+Ldq)Θ

Θ2(Ld0+Ldq)(Ld0−Ldq)

)+

[Uα cos δ(Ld0+Ldq)Θ−Ea(Ld0−Ldq)Θ


Uα sin δ(Ld0+Ldq)Θ


]Ldq

= EaUα sin δΘ2(Ld0+Ldq)

+U2

αLdq sin 2δ


= EaUα sin δωmehxd

+ U2α

2ωmeh

(1xq− 1

xd

)sin 2δ

(4.52)

Za cilindricni rotor dobimo:

Te =EaUα sin δ

ωmehxd

=EaUα sin δ

Θ2(Ld0 + Ldq)(4.53)

4.2 Elektri cni prehodni pojavi

Model sinhronskega stroja je nelinearen sistem. Model je brez poenostavitev mogoce reševati le,ce hkratiizracunavamo napetostne enacbe 4.30 in mehansko enacbo:

JΘ + fΘ = tp = te ± tm (4.54)

V ustaljenem stanju jeΘ = 0 in Θ = ω in hitrost vrtenja pa je konstantna.

Ce opazujemo samo elektricni del modela sinhronskega stroja, lahko ugotovimo, da je s predpostavkokonstantne hitrosti vrtenja postal linearen.

Poenostavljena locena obravnava elektricnih in mehanskih prehodnih pojavov.

Elektricne prehodne pojave lahko grobo razvrstimo na:


46 SINHRONSKI STROJ

Drugi harmonik

δ0 π

π2

−π2

−π

T

Vsota

Osnovni harmonik

Slika 4.8: Navorne karakteristike sinhronskega stroja

1. Spremembe bremena na generatorju

2. Spremembe enosmernega vzbujanja v generatorju ali motorju in

3. Spremembe izmenicne statorske napetosti pri motorju.

Pri prehodni analizi bomo upoštevali tudi vpliv dušilnih navitij. Dušilno navitje na rotorju je v veznemmodelu na sliki 4.9 upoštevano z dodatnima navitjemaQ in D. Navitji sta namešceni v d in q osi in stakratko sklenjeni.

Na podlagi pravil, ki smo jih spoznali pri splošni teoriji elektricnih strojev, pripadajo veznemu modelusinhronskega stroja na sliki 4.9 naslednje napetostne enacbe:

uv

uQ

uD

ud

uq

=

Rv + Lvvp 0 LDvp Lvqp 00 RQ + LQQp 0 0 LQqp

LDvp 0 RD + LDDp LDdp 0Lvdp −LQdΘ LDdp Rd + Ldp −LqΘLvqΘ LQqp LDqΘ LdΘ Rq + Lqp

iviQiDidiq

Lq = Ld0 − Ldq Ld = Ld0 + Ldq

(4.55)

V napetostnih enacbah smo dodatno upoštevali, da jeLαβ = Lβα.



d- os

idd

q- os

ud

viv

uv

Qq

uq

iq

D

ROTOR

STATOR θ

iQ

iD

Slika 4.9: Vezni model sinhronskega stroja, ki omogoca dinamicno analizo

4.2.1 Nenadni simetricni kratki stik statorskih navitij

Pred nastopom kratkega stika (v praznem teku) so napetosti:

uT = [ uv 0 0 ud uq ] in iT = [ iv 0 0 0 0 ] (4.56)

Po nastopu kratkega stika se oba vektorja spremenita:

uT = [ uv 0 0 0 0 ] in iT = [ iv iQ iD id iq ] (4.57)

Pojavi se problem pravilnega upoštevanja zacetnih pogojev:

Vektor tokov zapišemo kot vsoto dveh vektorjev. Prvi vektor vsebuje tokove pred nastopom kratkega stika,torej zacetne pogoje, drugi pa prehodne.

i = i0 + i∼ (4.58)

Napetostne enacbe se spremenijo:

u = Z (i0 + i∼) = Zi0 + Zi∼ (4.59)

u− Zi0 = Zi∼ (4.60)

Vektori0 vsebuje samo vzbujalni stacionarni tokIv pred nastopom kratkega stika in potem, ko je kratkosticniprehodni pojav koncan.

i0T = [ Iv 0 0 0 0 ] (4.61)


48 SINHRONSKI STROJ

Ce izracunamo produktZi0, dobimo le prvo kolono ”impedancne” matrikeZ, pomnoženo zIv. Iv jeenosmeren in konstanten, zato odpadejo vsicleni sp.

Zi0 =

RvIv

000

LvqΘIv

(4.62)

Prvi clen v matriki 4.62 je enosmerni padec napetostiUv. Pri izracunu leve strani enacbe 4.60 postaneta clen zaradi razlike enak nic, kar je za nadaljevanje izvajanj ugodno. Zadnjiclen v vektorju predhodnoomenjene enacbe je napetost praznega tekaLvqΘIv = U0.

Zato ker jeu− Zi0

T = [ 0 0 0 0 0 U0 ]T (4.63)

dobijo napetostne enacbe po nastopu KS naslednjo obliko:

0000U0

=

Rv + Lvvp 0 LDvp Lvdp 00 RQ + LQQp 0 0 LQqp

LDvp 0 RD + LDDp LDqp 0Lvdp −LQqΘ LDqp Rd + Ldp −LqΘLvqΘ LQqp LDqΘ LdΘ Rq + Lqp

iv∼iQiDidiq

(4.64)

Tok iv∼ je prehodni del vzbujalnega toka in smo ga izracunali z:

iv∼ = iv − Iv (4.65)

Preostali toki v napetostni enacbi 4.64 so kompletni. Izracun tokov iz napetostne enacbe 4.64 je navideznopreprost:

i = Z−1u (4.66)

u ima le enclen razlicen od nic (stopnicna funkcija). Z uporabo Laplace-ove transformacije jo lahkorešujemo tudi v Laplace-ovem podrocju. Rezultat je podoben tistemu vcasovnem podrocju:

I(s) = Z−1(s)U(s) (4.67)

Z−1(s) je kvocient dveh polinomov. Polinom v števcu jecetrte stopnje, polinom v imenovalcu pa petestopnje. Postopek reševanja je naceloma razumljiv, ni pa enostaven. Ociten problem predstavlja dolocitevinverzne impedancne matrike v Laplace-ovem podrocju. Tudi ce bi jo na katerikoli nacin bilo mogocedolociti brez poenostavitev, bi imeli velike težave z interpretacijo rešitev. Vsak izracunan tok bi bil kombi-nacija petih osnovniclenov z naslednjo obliko:

A

1 + Ts(4.68)

katerega rešitev jeA(1− e−

tT ) (4.69)

Posamezni toki bi torej bili pripadajoca kombinacija petih eksponencialnih prispevkov. Dosleden rocniizracun neznanih tokov bi bil brez ustrezne programske podpore na racunalniku popolnoma nesmiseln.



Napetostne enacbe 4.64 sinhronskega stroja bomo rešili z nekaterimi smiselnimi poenostavitvami, zaradipoenostavitev pa tudi rezultati ne bodo povsem tocni. Reševanje bomo poskusili najprej poenostaviti zraznimi zvijacami.

Z uporabo tako imenovane Gausove eliminacije spremenljivk bomo v napetostnem modelu 4.64 nastopa-joce tokove (spremenljivke) navitij Q in D eliminirali tako, da bo njun vpliv ohranjen. Eliminacija tokovje ugodna tudi zato, ker ju v dušilnem navitju ne moremo meriti. Mehanizem Gausove eliminacije spre-menljivk si poglejmo na matricnem zgledu.

Izhodišcne napetostne enacbe stroja v matricni obliki u = Zi izrazimo s podmatrikami:

[u1

u2

]=

[Z11 Z12

Z21 Z22

] [i1i2

], (4.70)

kar je enako tudiu1 = Z11i1 + Z21i2u2 = Z21i1 + Z22i2

(4.71)

Iz enacbe 4.70 bomo eliminirali podsistem 2 na tak nacin, da ga bomo posredno upoštevali v prvem podsis-temu. Iz napetostne enacbe 4.71 izrazimo toki2 in dobimo:

i2 = Z22−1u2 − Z22

−1Z21i1 (4.72)

Rezultat vstavimo v enacbo 4.70 in zau1 dobimo:

u1 − Z12Z22−1u2 = Z11i1 − Z12Z22

−1Z21i1 (4.73)

Napetostna enacba za opis drugega podsistema je izginila, prvo pa lahko zapišemo drugace:

u′ = Z′i1 (4.74)

V enacbi 4.74 nastopajo le tokii1, toki i2 so eliminirani, njihov vpliv pa je ohranjen. Tak nacin eliminacijebo v nadaljevanju ugoden, saj so v analiziranem primeru kar štiri navitja v kratkem stiku in je napetost nanjihovih sponkah nic.

Vrnimo k primeru sinhronskega stroja. MatrikoZ iz cisto prakticnih razlogov preuredimo iz zaporedja(v Q D d q) v (q d v D Q) in upoštevajmo, da smo opravili pretvorbo v Laplace-ovo podrocje.

Hkrati Laplace-ov transform zaenkratcasovno nespremenljive hitrosti vrtenja sinhronskega strojasΘ(s) vnadaljevanju oznacimo skrajšano sΘ.

Z =

Rq + Lqs LdΘ LvqΘ LDqΘ LQqs−LqΘ Rd + Lds Lvds LDds −LQqΘ

0 Lvds Rv + Lvvs LDvs 00 LDds LDvs RD + LDDs 0

LQqs 0 0 0 RQ + LQQs

(4.75)

V skladu s pokazanim zgledom najprej eliminirajmo navitje Q.


50 SINHRONSKI STROJ

Z′ = Z11 − Z12Z22−1Z21 =

Rq + Lqs LdΘ LvqΘ LDqΘ−LqΘ Rd + Lds Lvds LDqs

0 Lvds Rv + Lvvs LDvs0 LDds LDvs RD + LDDs

−

L2Qqs2

RQ+LQQs0 0 0

− L2QqsΘ

RQ+LQQs0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

Z′ =

Rq + L∗qs LdΘ LvqΘ LDqΘ

−L∗qΘ Rd + Lds Lvqs LDds0 Lvqs Rv + Lvvs LDvs0 LDds LDvs RD + LDDs

(4.76)

Pri izpeljavi enacbe 4.76 smo uporabili naslednje podmatrike:

Z22 = RQ + LQQs → Z22−1 =

1

RQ + LQQsZ21 = [ LQqs 0 0 0 ]

Z22−1Z21 =

[LQqs

RQ+LQQs0 0 0

]Z12 =

LQqs−LQqΘ

00

(4.77)

Matrika Z′ je sestavljena enako kot bi bila brez dušilnega navitjaQ. Dušilno navitje spremeniclenLq vtako imenovanodušeno precno induktivnostL∗q

L∗q = Lq −L2

Qqs

RQ + LQQs(4.78)

in predstavlja nekakšno stresanje.L∗q ni cista induktivnost, ker vsebuje tudiRQ. Samo v stacionarnihstanjih, ko jes = 0, je L∗q cista induktivnost. Fizikalni pomen dušene precne induktivnostiL∗q vidimo izenacbe

Rq + L∗qs = Rq + Lqs−L2

Qqs2

RQ + LQQs(4.79)

Enacba predstavlja transformator s primarnim navitjemd in s sekundarnim navitjemQ v kratkem stiku.Ceenacbo 4.79 predstavimo s pripadajocim nadomestnim vezjem, dobimo tako imenovano nadomestno vezjesinhronskega stroja v precni smeri, prikazano na sliki 4.10.

V nadaljevanju eliminiramo tokiD ter s tem zadnjo vrsto in kolono, ki pripadata dušilnemu navitjuD vvzdolžni osi. Postopek eliminacije je podoben postopku, opisanemu v predhodnem koraku. Rezultat je



Rq (Lq − LQq)s RQ

(LQQ − LQq)sLQqsRq + L∗qs

Slika 4.10: Nadomestno vezje sinhronskega stroja v precni smeri

matrika dušenih impedanc:

Z∗ =

Rq + L∗qs LdΘ LvqΘ

−L∗qΘ Rd + Lds Lvqs0 Lvqs Rv + Lvvs

−

0L2

DqsΘ

RD+LDDs

LDqLDvsΘ

RD+LDDs

0L2

Dqs2

RD+LDDs

LDqLDvs2

RD+LDDs

0LDqLDvs2

RD+LDDs

L2Dvs2

RD+LDDs

(4.80)

Z vpeljavo novih oznak lahko matriko dušenih impedanc 4.80 zapišemo tudi drugace:

Z∗ =

Rq + L∗qs L∗dΘ L∗vqΘ

−L∗qΘ Rd + L∗ds L∗vqs0 L∗vqs Rv + L∗vs

(4.81)

kjer so dušene induktivnosti v vzdolžni osi

L∗d = Ld − L2Dqs

RD+LDDs

L∗vq = Lvq − LDqLDvs

RD+LDDs

L∗v = Lvv − L2Dvs

RD+LDDs

(4.82)

Dobili smo popolnoma enako zgradbo matrike kot brez dušilnega navitja, le da namesto nedušenih induk-tivnosti nastopajo dušene induktivnosti v precni in vzdolžni osi. Dušene induktivnosti povzrocita dušilnikratkosticni navitji Q in D na rotorju. Vpliv dušilne kletke je posredno upoštevan v impedancni matriki4.81,ceprav sta v napetostnem zapisu s to isto matriko tokova dušilnih navitij eliminirana.

Preden opravimo samo eliminacijo vzbujalnega navitja, moramo iz pripadajocega napetostnega zapisa, vkaterega vstavimo impedancno matriko 4.81, izraziti prehodno komponento vzbujalnega tokaiv∼. Iz enacbe4.83 torej izracunamo vzbujalni tok:

uv = 0 = L∗vqsid + (Rv + L∗vs)iv∼ (4.83)

iv∼ = − L∗vqs

Rv + L∗vsid (4.84)

Tok iv∼ bomo torej lahko izracunali takoj, ko bo dolocenid.


52 SINHRONSKI STROJ

V nadaljevanju opravimo še eliminacijo vzbujalnega navitjav. V primeru analize prehodnega pojava ob nas-tanku trifaznega simetricnega kratkega stika na statorskih sponkah iz predhodnega obratovanja v praznemteku je tudi vzbujalno navitje v kratkem stiku, saj smo predhodno izlocili stacionarni tokIv in imamo vpripadajocem napetostnem modelu upoštevan samo prehodni toki∼. Eliminacijo opravimo podobno kot vprvih dveh primerih. Rezultat je dušena impedancna matrika

Z∗∗ =

[Rd + L∗qs L∗dΘ−L∗qΘ Rd + L∗ds

]−

0L∗2vqsΘ

Rv+L∗vs

0L∗2vqs2

Rv+L∗vs

Z∗∗ =

[Rd + L∗qs L∗∗d Θ

−L∗qΘ Rd + L∗∗d s

](4.85)

kjer je vzdolžna dušena induktivnost celotnega stroja enaka

L∗∗d = L∗d −L∗2vqs

Rv + L∗vs(4.86)

Dušeno induktivnost 4.86 je z upoštevanjem okrajšav 4.82 mogoce predstaviti z nadomestnim vezjem zavzdolžno os sinhronskega stroja na sliki 4.11. Trditev ni prevec ocitna. Z uporabo pravil za racunanjenadomestnih impedanc vzporedno in zaporedno vezanih elementov je, izhajajoc iz vezja na sliki 4.11, dostienostavneje dokazati obratno trditev, da nadomestnemu vezju sinhronskega stroja v vzdolžni osi na sliki4.11 pripada nadomestna impedancaRd + L∗∗d . Nadomestno vezje sinhronskega stroja v vzdolžni osi je napodlagi slike 4.11 takšno, kot bi ga imel transformator s tremi navitjiv, D in Q v kratkem stiku. VRv in Lvv

sta vkljuceni tudi upornost in induktivnost vzbujalnega generatorja, torej impedanca celotnega vzbujalnegatokokroga. Hkrati s poenostavitvijo impedancne matrike so se na videz poenostavile tudi napetostne enacbe,

Rd

Rd + L∗∗d s

Rv(LDq

LDv)2

(LvqLDq

LDq)s

(Ld − LvqLDq

LDv)s

((LDq

LDv)2Lvv − LvqLDq

LDv)s

RD(Lvq

LvD

2)

((Lvq

LvD)2LDD − LvqLDq

LvD)s

Slika 4.11: Nadomestno vezje sinhronskega stroja v vzdolžni smeri

ki opisujejo razmere ob nastanku simetricnega kratkega stika na statorskih sponkah. Enacbe imajo obliko

[u0

0

]=

[Rd + L∗qs L∗∗d Θ

−L∗qΘ Rd + L∗∗d s

] [iqid

](4.87)

Iz enacbe 4.87 lahko razmeroma preprosto izracunamo oba toka in dobimo:

iq =|Dq||D| =

u0 (Rd + L∗∗d s)(Rd + L∗qs

)(Rd + L∗∗d s) + L∗∗d L∗qΘ2

(4.88)



id =|Dd||D| =

−u0L∗qΘ(

Rd + L∗qs)

(Rd + L∗∗d s) + L∗∗d L∗qΘ2(4.89)

Z opisanim postopkom Gausove eliminacije smo matriko impedanc in napetostni zapis 4.87 zelo poenos-tavili, kar pa ne velja za obe rešitvi 4.88 in 4.89.Ce v nastavku obeh predhodno omenjenih rešitev upošte-vamo okrajšave 4.78 in 4.82, dobimo v števcu izraza zaiq še vednos3, zaid pas4, v imenovalcu obeh pas5.Ugotovitev, da nastavka rešitev za oba modelna tokova s tem nismo neposredno poenostavili, je popolnomaocitna, izrazili pa smo ju na tak nacin, da bo poenostavitve na smiselni nacin v nadaljevanju sploh mogocenapraviti.

a) Dolocitev zacetnega toka kratkega stika

Najprej bomo v enacbah 4.88 in 4.89 zanemarili vse ohmske upornosti. Zanemaritev utemeljujemo z de-jstvom, da razmeroma male ohmske upornosti navitij nacasovne poteke tokov v prvih trenutkih po nastopukratkega stika sploh ne vplivajo bistveno. Trditev pojasnimo s primerom izracuna vklopnega toka v pre-prostemR, L vezju.

Elektricne razmere vR, L vezju opišemo z enacbo:

u = Ri + Ldi

dt(4.90)

Predpostavimo, da je toki v zacetnem trenutku nic in da je napetostu, podobno kotu0 v 4.88 in 4.89,stopnica. Rešitev enacbe 4.90 je:

i =u

R(1− e−

RL

t) (4.91)

Rešitev 4.91 v dovolj mali okolici zacetnega trenutka nadomestimo s prvima dvemaclenoma Taylorjevevrste in dobimo:

i(0 + h).= i(0) + hi′(0) =

u

Lh (4.92)

Mali odmik h lahko v okolicit = 0 nadomestimo kar st. Na podlagi zapisa 4.92 ugotavljamo, da jecasovnipotek toka v prvih trenutkih v okolicit = 0 neodvisen od ohmskih upornosti, kar je presenetljiva ugotovitev.

Ob zanemaritvi vseh ohmskih upornosti in pri upoštevanju konstantne hitrosti vrtenjaΘ = ω = konstanta,staL∗q in L∗∗d cisti induktivnosti. Ce ju pomnožimo zω, dobimo izredno pomembni zacetni induktivniupornosti:

X′′d = ω

(Ld −

L2vqLDD + L2

DdLvv − 2LvqLDdLvD

LDDLvv − L2vD

)(4.93)

X′′d je vzdolžna zacetna induktivna upornost sinhronskega stroja,

X′′q = ωLq − ω

L2Qq

LQQ

(4.94)

pa je precna zacetna induktivna upornost sinhronskega stroja.


54 SINHRONSKI STROJ

Z upoštevanjem obeh zacetnih induktivnih upornosti v enacbah 4.88 in 4.89 dobimo za tokovaiq in idpreoblikovani enacbi:

iq =ωu0(s)s

X ′′q (s2 + ω2)

in id = − ω2u0(s)

X′′d (s2 + ω2)

(4.95)

Simetricen kratki stik na statorskih sponkah je nastopil iz predhodnega praznega teka, zato so zacetnevrednosti tokov enake nic. Oba statorska tokova z inverzno Laplace-ovo transformacijo pretvorimocasovnopodrocje z upoštevanjem u0(s) = U0 in dobimo:

iq =U0

X ′′q

sin ωt id = − U0

X′′d

(1− cos ωt) (4.96)

Tok v navitjuα na statorju dobimo z uporabo transformacije 4.26:

iα = iq sin Θ + id cos Θ (4.97)

Vzemimo, da jeΘ = ωt+Θ0, kjer je kotΘ0 kot med osjo navitjaα in rotorjem v trenutku nastopa kratkegastika. Z upoštevanjem predhodno zapisanega dobimo:

iα =U0

X ′′q

sin ωt sin Θ− U0

X′′d

(1− cos ωt) cos Θ

=U0

X ′′q

[cos Θ0

2− cos (2ωt + Θ)

2

]

− U0

X′′d

[cos (ωt + Θ0)− cos Θ0

2− cos (2ωt + Θ0)

2

]

(4.98)

Enacbo 4.98 preoblikujemo in dobimo:

iα =U0

X ′′q

cos (ωt + Θ0){izmenicna kompo-nenta

+U01

2

(1

X′′d

+1

X ′′q

)cos Θ0

{enosmerna kompo-nenta poskrbi, datok zacne od nic

+U01

2

(1

X′′d

− 1

X ′′q

)cos (2ωt + Θ0)

{komponenta, odvisnaod dvojne frekvence,zaradi izraženosti

(4.99)

Tok iβ preprosto izracunamo na podlagi tokaiα tako, da namesto kotaΘ0 v enacbi 4.99 uporabimo (Θ0 +90o). Za dolocitev trifaznih tokov pa bi morali opraviti še dvofazno–trifazno pretvarjanje.

b) Dolocitev prehodnega toka kratkega stika

Tudi pri dolocitvi prehodnega toka kratkega stika bomo opravili nekaj poenostavitev. Pri poenostavitvah semoramo zavedati, da so ohmske upornosti sicer male in jih smemo izjemoma zanemariti, vendar ne tedaj,



ko so pomnožene z zelo velikimi vrednostmi, kot je na primer lahkocast. Mogoce je namrec, daclenRtni zanemarljiv.

Izracun prehodnega toka bomo opravili postopoma. Najprej bomo opravilipoenostavitev skupnega imen-ovalca za tokaiq in id

Imenovalec je:Ime =

(Rd + L∗qs

)(Rd + L∗∗d s) + L∗qL

∗∗d ω2

= L∗qL∗∗d

[s2 +

(Rd

L∗q+

Rd

L∗∗d

)s +

(ω2 +

R2d

L∗qL∗∗d

)] (4.100)

1. Upoštevamo, da je upornostRd mala in da smemoR2d v primerjavi zω2L∗qL

∗∗d zanemariti.

2. ZaL∗q vzamemo že znano enacbo:

L∗q = Lq −L2

Qqs

RQ + LQQs

1

L∗q=

LQQs + RQ(LQQLq − L2

Qq

)s + RQLq

=LQQ

LQQLaq − L2Qq

s +RQ

LQQ

s +RQLaq

LaqLQQ−L2Qq

(4.101)

Z vpeljavoX′′q lahko izraz 4.101 zapišemo v obliki

1

L∗q=

ω

X ′′q

s + α

s + β(4.102)

kjer smo uporabili novi oznaki

α =RQ

LQQ

in β =RQLaq

LaqLQQ − L2Qq

(4.103)

RQ je majhen. Z razvojem 4.102 v potencno vrsto zaRQ dobimo prvo aproksimacijo:

1

L∗q

.=

(ω

X ′′q

)+ kRQ (4.104)

Od tod sledi: (Rd

L∗q

)s

.=

ωRds

X ′′q

(4.105)


56 SINHRONSKI STROJ

Vse ostaleclene smo zanemarili, saj so produktiRQRd mali. Podobno lahko vzdolžno os opišemo z

Rd

L∗∗ds

.=

(ωRds

X′′d

)(4.106)

Imenovalec je zdaj

Ime .= L∗qL

∗∗d

[s2 + ωRd

(1

X ′′q

+1

X′′d

)s + ω2

](4.107)

Vpeljemo srednjo vrednost1

X′′h

=1

2

(1

X ′′q

+1

X′′d

)(4.108)

in razdelimo izraz v oklepaju enacbe 4.107 na dva dela, da dobimo:

Ime .= L∗qL

∗∗d

(s + jω +

ωRd

X′′h

) (s− jω +

ωRd

X′′h

)(4.109)

c) Rešitev za precni tok iq

Števec enacbe 4.88 za izracun tokaiq jeu0(Rd + L∗∗d s) (4.110)

kar lahko napišemo kot

u0L∗∗d

(s +

R

L∗∗d

).= u0L

∗∗d

[s +

ωRd

X′′d

](4.111)

V gornjem zapisu smo ponovno vpeljaliX′′d , zanemarili pa smo produkte upornosti.

V rešitvi zaiq se zdaj krajšaL∗∗d v števcu in imenovalcu, v imenovalcu pa ostane leL∗q. Upoštevamo šeizraz 4.104 (brez drugegaclena) za 1

L∗qin dobimo:

iq =

ωX′′

q

(s + ωRd

X′′d

)u0

(s + jω + ωRd

X′′h

) (s− jω + ωRd

X′′h

) (4.112)

Z upoštevanjemu0(s) = U0 je rešitev predhodne enacbe po zanemaritvi upornosti povsod, razen v ekspo-nentih, vcasovnem podrocju:

iq =u0

X ′′q

sin ωt e−(

ωRd

X′′h

)t

(4.113)

Zacetnacasovna konstanta dušenja je

T′′h =

X′′h

ωRd

(4.114)



d) Rešitev za vzdolžni tok

V imenovalec enacbe 4.89 lahko za izracun vzdolžnega tokaid vstavimo že poprej izpeljani izraz 4.109(imenovalca zaiq in id v nastavku rešitve sta enaka) in tako dobimo:

id =−u0L

∗qω

L∗qL∗∗d

(s + jω + ωRd

X′′h

) (s− jω + ωRd

X′′h

)

=−u0ω

L∗∗d

(s + jω + ωRd

X′′h

) (s− jω + ωRd

X′′h

)(4.115)

V izrazu zaid je v primerjavi s tistim zaiq v števcuω namestos, v imenovalcu paL∗∗d namestoL∗q, kar jegotovo zahtevnejše za reševanje. Najprej poglejmo podrobneje izraz zaL∗∗d .

Ce v enacbi zaL∗∗d upoštevamo uporabljene okrajšave, dobimo:

L∗∗d =

[(LvvLDD − L2

vD) Ld − L2DdLvv − L2

vqLDD + 2LvqLDdLvD

]s2

(LvvLDD − L2vD) s2 + (LvvRD + LDDRv) s + RvRD

+[(LvvRD − LDDRv) Ld − L2

vvRD − L2DDRv] s + RvRDLd

(LvvLDD − L2vD) s2 + (LvvRD + LDDRv) s + RvRD

(4.116)

Enacbe ne smemo poenostaviti tako, da enostavno zanemarimo produkte upornosti. V tem primeru bi lahkoenacbo krajšali ss in izgubili en koren oziroma en koren bi bil enak nic. Zelo mali koren v imenovalcuoperatorske enacbe predstavlja zelo dolgocasovno konstanto. To jeclen, ki definira pocasne spremembe inga ne smemo zanemariti.

Clene s produkti upornosti, ki so samostojni, moramo torej ohraniti, da dobimo upoštevane tudi pocasneprehode. Vseeno pa moramo najti ustrezne poenostavitve, ki bodo omogocile rešitev enacbe. Poenostavi-tve bomo opravili z upoštevanjem nekaterih fizikalnih dejstev. Pri sinhronskem stroju ima vzbujalno navitjev zelo velike lastne in medsebojne induktivnosti ter relativno male upornosti. Ima torej velikocasovnokonstanto.

Smiselno poenostavitev izraza zaL∗∗d opravimo tako, da ne izgubimo malega korena v imenovalcu.Cezanemarimo medsebojne vplive dušilnega navitja oziroma vzamemo, da jeLDd = 0 in LvD = 0 in LvD = 0,lahko vL∗∗d krajšamo faktorje (RD + LDDs) terLDD in dobimo:

L∗∗d.=

(LvvLd − L2

vq

)s + LdRv

Lvvs + Rv

(4.117)

Ta približna induktivnost bo torej relativno dobro ponazorila prehod med zacetnim in koncnim kratkimstikom in je definirana z vzbujalnim navitjem, ki je transformatorsko vezano s statorskim navitjem, ki je vkratkem stiku.Ce zdaj poenostavimo in vzamemo, da jeRv = 0 in ga pomnožimo zω, dobimo namestozacetne prehodno vzdolžno reaktanco stroja, ko izginejo vplivi dušilne kletke.

X ′d = ω

(Ld −

L2vq

Lvv

)(4.118)


58 SINHRONSKI STROJ

Poglejmo imenovalec celotnega izraza zaL∗∗d . Imenovalec sestavimo tako, da bo pravkar dobljeniclenLvv + Rv eden od faktorjev imenovalca v izrazu zaL∗∗d . Pri tem naj ostanetaclena obs2 in clen brezs vprvotnem in novem imenovalcu zaL∗∗d enaka. Imenovalec ima ob upoštevanju zapisanega obliko

Ime = (Lvvs + Rv)

(LvvLDD − L2

Dv

Lvv

s + RD

)

Razlika proti natancnemu imenovalcu je le vclenu z operatorjems.

Prvotno je veljalo:

LvvRD + LDDRv = RvRD

(Lvv

Rv

+LDD

RD

)

sedaj pa velja:

LvvRD +LvvLDD − L2

Dv

Lvv

Rv = RvRD

(Lvv

Rv

+LDD

RD

− L2vD

LvvRD

)

Lvv

Rv

>>LDD

RD

Lvv

Rv

casovna konstanta vzbujanja pri odprtih ostalih vezjih

LDD

RD

casovna konstanta vzdolžne dušilne kletke pri odprtih vezjih

s– clen v imenovalcu je sestavljen iz dveh delov: enega zelo velikega in drugega zelo malega. Veliki del(Lvv

Rv) je predstavljen natancno oziroma pravilno. Pogrešek poenostavitve je pri malem, ki je v natancnem

zapisuLDD

RQ

, v približku paLDD

RD

− L2vD

LvvRD

Razstavljanje imenovalca na faktorje lahko zdaj opravimo s približno formulo, zraven pa upoštevajmo novioznacbi zacasovne konstante:

T ′0 =

Lvv

Rv

in T′′0 =

LDD − L2Dv

Lvv

RD

(4.119)

T′′0 – zacetnacasovna konstanta praznega teka oziroma dušilnega navitja s kratko vezanim vzbujalnikom

T ′0– prehodnacasovna konstanta praznega teka oziroma vzbujanja

Zdaj je imenovalecIme .

= RvRD (1 + T ′0s)

(1 + T

′′0 s

)(4.120)

Podobno lahko približno razstavimo na faktorje tudi števecL∗∗d (enacba 4.116).

Št. = [(LdLvv − L2dv) s + LdRv] ·

[(LDD − L2

vDLd+L2a3Lvv−2LdvLDdLvD

LdLvv−L2dv

)s + RD

] (4.121)

Prvi clen ss2 in tretji brezs sta enaka kot pri pravem. Srednjiclen pris je sestavljen iz velikega in malegadela. Pri tem je vecji del natancen, manjši pa je nekoliko premajhen.



Da poenostavimo števec, vpeljemo dve novicasovni konstanti:

T ′ =1

Rv

(Lvv −

L2vq

Ld

)(4.122)

T ′–prehodnacasovna konstanta vzbujalnega navitja ob kratkem stiku statorskega navitja

T′′

=1

RD

(LDD − L2

DDLd + L2a3Lvv − 2LdvLDdLvD

LdLvv − L2dv

)(4.123)

T′′–zacetna, kratkosticnacasovna konstanta dušilnega navitja pri kratkem stiku. Števec je

Št.= LdRvRD (1 + T ′s)(1 + T

′′s)

(4.124)

Celotni izraz zaL∗∗d je približno

L∗∗d = Ld

(1 + T ′s)(1 + T

′′s)

(1 + T ′0s)

(1 + T

′′0 s

) (4.125)

Hitro vidimo, da jeT ′

0

T ′ =Xd

X ′d

=ωLd

ω(Ld − L2

dv

Lvv

)

T′′0

T ′′ =X ′

d

X′′d

T ′0T

′′0

T ′T ′′ =Xd

X′′d

Tako doloceni izraz zaL∗∗d vstavimo v enacbo zaid in enacbo 4.126 rešimo v Laplace-ovem podrocju.

id =−ω (1 + T ′

0s)(1 + T

′′0 s

)u0

Ld (1 + T ′s) (1 + T ′′s)(s + jω + ωRd

X′′h

) (s− jω + ωRd

X′′h

) (4.126)

Tok id v vzdolžni smeri ima po inverzni transformaciji vcasovno podrocje z upoštevanjemu0(s) = U0

naslednjo obliko:

id = −U0

[1

Xd

+

(1

X ′d

− 1

Xd

)e−

tT ′ +

(1

X′′d

− 1

X ′d

)e− t

T′′ − 1

X′′d

cos ωt e− t

T′′h

]

T′′h =

X′′h

ωRd

(4.127)

Tok v navitjuα dobimo z inverzno transformacijo 4.26:

iα = iq sin Θ + id cos Θ in Θ = ωt + Θ0

iα = −U0

[1

Xd+

(1

X′d− 1

Xd

)e−

tT ′ +

(1

X′′d

− 1X′

d

)e− t

T′′

]cos (ωt + Θ0)

+U01

X′′h

e− t

T′′h cos Θ0 + U0

12

[1

X′′d

− 1X′′q

]e− t

T′′h cos (2ωt + Θ0)

(4.128)


60 SINHRONSKI STROJ

V navitju β je tok premaknjen za90o oziroma kotΘ0 v transformaciji nadomestimo z(Θ0 + 90o). Poteketrifaznih tokov bi dobili z dvofazno–trifaznim pretvarjanjem.

Statorski toki v navitjih vsebujejo tri prispevke:

1. Izmenicna komponenta zacne z zelo veliko zacetno vrednostjou0

X′′d

, ki se z zacetnocasovno konstantoT′′

hitro zmanjša na prehodno vrednostu0

X′d. T

′′je dana v glavnem s statorskim kletkinim in rotorskim stre-

sanjem.T ′ je veliko daljša, ker jo doloca stresanje in polje vzbujalnega navitja. Izmenicne komponenteso v trifaznem sistemu v vseh treh navitjih enake in premaknjene za120o.

2. Enosmerna komponenta (u0

X′′h

cos Θ0) daje zacetni celotni tok v vsaki fazi, enak nic. Te komponente se od

navitja do navitja mocno razlikujejo. Komponenta hitro izgine scasovno konstantoT′′h , ki je v glavnem

dana zX′′h .

3. Komponenta z dvojno frekvenco, ki je v vseh treh navitjih enaka, le da je premaknjena. Nastane samopri izraženosti polov na rotorju in izgine enako hitro kot enosmerna sT

′′h .

f) Rotorski tok

Že prej smo izracunali, da je prehodna komponenta vzbujalnega toka

iv∼ =L∗vqs

Rv + L∗vsid (4.129)

Ce zaid in dušene induktivnosti vstavimo predhodno izracunane vrednosti, dobimo:

iv∼ =(LvqLDD − LDdLDv) s2 + LvqRDs

(LvvLDD − L2Dv) s2 + (LvvRD + LDDRv) s + RvRD

id (4.130)

Clen z daljšocasovno konstanto dobimo,ce zanemarimo dušilno navitje oziromace vzamemo, da jeLDd =LDv = 0 in krajšamo z (RD+LDDs). Za števec dobimoLvD, za imenovalec pa (Rv+Lvvs). Predpostavimo,da sta to faktorja pravega imenovalca in v rešitev vpeljimo novocasovno konstanto.

iv∼ =Ldvs

(1 + T

′′1 s

)

Rv (1 + T ′0s)

(1 + T

′′0 s

) id

T′′1 =

1

RD

(LDD − La3LDv

Ldv

)(4.131)

Zdaj vstavimo vrednosti zaid in zau0 = ωLdvIv in dobimo:

iv∼ =

(L2

dvIv

RvLd

)ω2

(1 + T

′′1 s

)s

(1 + T ′s) (1 + T ′′s)(1 + jω + ωRd

X′′h

) (1− jω + ωRd

X′′h

) (4.132)



Rešitev te enacbe za celotni vzbujalni tokiv = Iv + iv∼ je

iv = Iv +

(Xd −X ′

d

X ′d

)Iv

[e−

tT ′ −

(1− T

′′1

T ′′

)e− t

T′′ − T

′′1

T ′′ e− t

T′′h cos ωt

](4.133)

Poleg prvotnega tokaIv se pojavi v rotorju še zelo dolgo trajajoc in velik dodatni prehodni tok. Zacetnopovišanje in izmenicna komponenta sta kratkotrajna.

4.2.2 Mehanski prehodni pojavi

Ravnotežna navorna enacba:Jδ + Dδ + f(δ) = tm (4.134)

kjer soδ, δ in δ kolesni kot ter njegovacasovna odvoda, kotna hitrost in kotni pospešek.

Oznake:

J–vztrajnostni moment, preracunan na os sinhronskega stroja. Definiran je z naslednjim izrazom:

J =mD2

4

[kgm2

]

D–koeficient dušenja, ki vsebuje viskozno trenje in elektromagnetni navor dušilne kletke, ki je, podobnokot pri asinhronskem stroju, odvisen od slipa.

f(δ)–sinhronizacijski navor sinhronskega stroja, odvisen od kolesnega kota

tm–zunanja motnja. Ta navor je pogosto nic, zato se stroj poskuša sam sinhronizirati.

m–masa

D–premer rotorja

mD2–zamašni moment

f(δ) je v splošnem nelinearna funkcija kolesnega kota. Linearizacijo je mogoce opraviti samo za maleodmike v okolici dolocene delovne tocke.

D je prav tako lahko nelinearna funkcijaδ. Konstantna je samo v linearnem delu karakteristike asinhronskeganavora.

J je vecinoma konstanten,ceprav je lahko pri pogonu nekaterih premocrtnih ali nihajocih gibanj tudi nelin-earen (kompresor ali diesel motor).

Primer, ko staJ in D konstantna,f(δ) pa je linearna funkcijaδ okrog delovne tocke:

Jδ + Dδ + fδ = tm, (4.135)


62 SINHRONSKI STROJ

δ +D

Jδ +

f

Jδ =

tmJ

(4.136)

δ + 2ξωnδ + ω2nδ =

tmJ

, (4.137)

fJ

= ω2n–frekvenco nedušenega nihanja in

ξ =D

2√

Jf− koeficient dušenja

δ∞ =Tm

Jω2n

(4.138)

δ + 2ξωnδ + ω2nδ = 0 (4.139)

je

ω = ωn

√1− ξ2.

δ = δ∞

(1− 1√

1− ξ2e−ξωnt sin

(√1− ξ2ωnt + ϕ

))(4.140)

ϕ = arctan

√1− ξ2

ξ

g) Dolocitev koeficienta dušenja

TDe =m1

ωS

U2S

(RS +R′Rs

)2+ (XσS + X ′

σR)2

R′R

s(4.141)

Pri malih slipih (s je v okolici 0) v imenovalcu predhodne enacbeclen R′Rs

2po velikosti prevlada nad vsemi

drugimi, zato jih zanemarimo. Enacba 4.141 se zato poenostavi:

TDe =m1

ωs

U2S

R′R

s (4.142)

V enacbo 4.142 uvrstimo oznake, ki so uporabljene pri obravnavi sinhronskega stroja in dobimo:

TDe =m1

ωs

U2a

R′D

s, (4.143)



kjer jeUa napetost na sponkah stroja,m1 je število faz,R′D pa je nadomestna upornost dušilne kletke.

s =ωs − ωm

ωs

=δ

ωs

(4.144)

TDe =m1

ωs

U2a

R′D

δ

ωs

= Deδ De =m1

ω2s

U2a

R′D

(4.145)

Elektricno dušenje moramo povecati še za mehansko trenje, tako da je

D = De + Dviskozni

h) Sinhronizacijski navor f(δ)

Sinhronski stroj s cilindricnim rotorjem ima navor v skladu z enacbo 4.146.

Te =m1

ωm

EaUa

xd

sin δ = Tom sin δ (4.146)

Predpostavimo, da stroj obratuje stacionarno pri kotuδ0 (slika 4.12). Spremembi obremenitve, ki jo sma-tramo kot motnjo v sistemu, ustreza novo stacionarno stanjeδ∞. Sinhronizacijski navor je vδ = δ∞ vskladu s sliko 4.12 definiran z

Tsin =dTe

dδ

∣∣∣∣∣δ∞

= Tom cos δ∞ (4.147)

π

Tom

δ0 δ∞

T

δπ2

Slika 4.12: Interpretacija sinhronizacijskega navora

Elektricni kot δ spremenimo v mehanski z upoštevanjem števila polovih parovn:

δm =δ

n; Tsin = Tomn cos δm = fδm (4.148)

Pri stroju z izraženimi poli je dolocitevf(δ) nekoliko bolj zamudna, saj je poleg sinhronskega navora trebaupoštevati še reluktancnega.


64 SINHRONSKI STROJ

j) Dolocitev dinamicne stabilnosti po metodi enakih površin

Pri dolocitvi dinamicne stabilnosti z metodo enakih površin predpostavimo, da je dušenje enako nic. Gledena to, da je v realnih razmerah dušenje vedno prisotno in nikdar ni enako nic, omenjena predpostavkapomeni, da bomo analizirali najneugodnejši primer, ki prakticno ni mogoc. Ce v analizi dokažemo, da jesistem stabilen v primeru, ko je dušenje enako nic, potem lahko upraviceno trdimo, da bo sistem z dolocenostopnjo dušenja zagotovo stabilen.

Predpostavimo, da neobremenjen stroj (tocka 0) obremenimo, in da bo po koncanem prehodnem pojavuprešel v tocko δ∞. Pri prehodu iz enega stacionarnega stanja v drugo bo rotor stroja akomuliral kineticnoenergijo, ki je premosorazmerna površine med tockami 0AB0 (površina I.). Zaradi dušenja nic bo v preni-haju enako energijo, ki je premosorazmerna površini BCDB (površina II.) tudi oddal. Površini I. in II. statorej enaki.

Stabilnostni kriterij je enostaven in pravi, da bo sistem stabilen,ce tocka C leži nad tocko B, kar je v primeruna sliki 4.13 izpolnjeno.

δ0

T

δ

I.

II.

0

AB

C

D

E

π

π2

δmaxδ∞

Slika 4.13: Dolocitev stabilnosti s pomocjo metode enakih površin

Stabilnost je mogoce izboljšati s povecanjem vzbujalnega toka, saj z njegovim povecanjem v ustreznemsorazmerju navor iz polno izrisane krivulje povecamo nacrtkano izvleceno vrednost (slika 4.14). Ukrep jeseveda smamo kratkotrajen, saj se s povecanjem vzbujalnega toka poveca tudi segrevanje, kar je za kratekcas dopustno. S povecanjem vzbujanja se v skladu s skico na sliki 4.14 tocke A, B, C, D in E premaknejovišje v A”, B”, C”, D” in E”, površine pa se tudi spremenijo v I.” in II.”. Tocka δ

′′max se ob izpolnjenem

pogoju I”.= II”. pomakne precej v levo, v okolico kotaδ = π2.


4.3 Dolocitev blokovne sheme sinhronskega stroja 65

D”

δ

I.

II.

0

AB

C

D

E

π

δ′′max

δmaxδ∞δ0

A”

I.”

II.”B”

C”T

E”

Slika 4.14: Izboljšanje stabilnosti s pomocjo povecanja vzbujalnega toka

4.3 Dolocitev blokovne sheme sinhronskega stroja

ud = Rdid + Lddiddt

+ Lvqdivdt

+ LDddiDdt

− Θ (Lqiq + LQdiQ)

uv = Rviv + Lvqdiddt

+ Lvvdivdt

+ LDvdiDdt

0 = RDiD + LDddiddt

+ LDvdivdt

+ LDDdiDdt

uq = Rdiq + Lqdiqdt

+ LQqdiQdt

+ Θ (Ldid + Lvqiv + LDqiD)

0 = RQiQ + LQqdiqdt

+ LQQdiQdt

Θ =1

J(tL − te)

dδ

dt= Θ− ΘS

(4.149)


66 SINHRONSKI STROJ

Elektricni navor izracunamo z izrazi 4.150.

te = Θ (idψq − ψdiq)

ψq = Lqiq + LQqiQ

ψd = Ldid + Lvqiv + LDqiD

(4.150)

ψd in ψq sta ustrezna magnetna sklepa v vzdolžni in precni smeri,Θ pa je krožna hitrost rotorja.

Z uvedbo naslednjih novih oznak:

z1 :=diddt

z2 :=divdt

z3 :=diDdt

z4 :=diqdt

z5 :=diQdt

uv = ud −Rdid + Θ (Lqiq + LQqiQ)

u2 = uv −Rviv

u3 = −RDiD

u4 = uq −Rdiq − Θ (Ldid − Lvqiv + LDqiD)

u5 = −RQiQ

(4.151)

lahko model elektricnega podsistema sinhronskega stroja v obliki enacb 4.149 zapišemo v preglednejšiobliki 4.152, ki je primernejša za nadaljevanje racunanja.

u1 = Ldz1 + Lvqz2 + LDdz3

u2 = Lvqz1 + Lvvz2 + LDvz3

u3 = LDdz1 + LDvz2 + LDDz3

u4 = Lqz4 + LQqz5

u5 = LQqz4 + LQQz5

(4.152)

Iz strukturirane oblike zapisa enacb 4.152 vidimo, da je sistem razklopljen. Neodvisno lahko rešimo prvetri enacbe in zadnji dve. Predpostavimo, da ima rešitev sistema 4.152 naslednjo obliko:

z1 = d1u1 + d2u2 + d3u3

z2 = d2u1 + d4u2 + d5u3

z3 = d3u1 + d5u2 + d6u3

z4 = d7u4 + d8u5

z5 = d8u4 + d9u5

(4.153)


4.3 Dolocitev blokovne sheme sinhronskega stroja 67

Konstanted1 dod9, ki nastopajo v predhodnem sistemu 4.153, imajo naslednje vrednosti:

k1 = LvqLDdLDv

k2 = LvvLdLDD − LdL2Dv − LvvL

2Dd − LDDL2

vq + 2k1

d1 = (LvvLDD − L2Dv) /k2

d2 = (LDdLDv − LvqLDD) /k2

d3 = (LvqLDv − LvvLDd) /k2

d4 = (LdLDD − L2Dd) /k2

d5 = (LvqLDd − LdLDv) /k2

d6 =(LdLvv − L2

vq

)/k2

k3 = LqLQQ − L2Qq

d8 = −LQq/k3

d9 = −Lq/k3

(4.154)

Z definicijo naslednjega nabora spremenljivk:

x1 := idx2 := iq x3 := iv x4 := iDx5 := iQ x6 := Θ x7 := δ

(4.155)

lahko popolni matematicni model sinhronskega stroja zapišemo v nekoliko bolj pregledni diferencialniobliki 4.156:

ddt

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

=

a11 0 a13 a14 0 a16ψq 00 a22 0 0 a25 a26ψd 0

a31 0 a33 a34 0 a36ψq 0a41 0 a43 a44 0 a46ψq 00 a52 0 0 a55 a56ψd 0

a61 a62 0 0 0 0 00 0 0 0 0 a76 0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

+

a17 sin x7

a27 cos x7

a37 sin x7

a47 sin x7

a57 cos x7

00

+

b11 0 00 0 0

b31 0 0b41 0 00 0 00 b62 00 0 b73

uv

tLωS

(4.156)

V enacbah 4.156 imajo nastopajoce oznake naslednji pomen:

a11 = −d1Rd a13 = −d2Rv a14 = −d3RD a16 = d1 a17 = −d1Ua22 = −d7Rd a25 = −d8RQ a26 = −d7 a27 = −d7Ua31 = −d2Rd a33 = −d4Rv a34 = −d5RD a36 = d2 a37 = −d2Ua41 = −d3Rd a43 = −d5Rv a44 = −d6RD a46 = d3 a47 = −d3Ua52 = −d8Rd a55 = −d9RQ a56 = −d8 a57 = −d8U

a61 = ψq

Ja62 = −ψd

J

a76 = 1


68 SINHRONSKI STROJ

b11 = −d2 b31 = −d4 b41 = −d5 b62 = 1J

b73 = 1

inψd = c1x1 + c2x3 + c3x4

ψq = c4x2 + c5x5(4.157)

c1 = Ld c4 = Lq

c2 = Lvq c5 = LQq

c3 = LDq

(4.158)

Slika 4.15: Blokovna shema sinhronskega stroja s petimi navitji


POGLAVJE 5

Regulacija napetosti sinhronskega stroja

O regulaciji napetosti lahko govorimo dobesedno samo takrat, kadar generator deluje na lastno omrežje.Ko generator deluje paralelno z omrežjem pa imamo opraviti z regulacijo jalove moci. Povezava mednapetostjo na sponkah stroja in jalovo mocjo je linearna in dolocena z nastavitvijo statike (2). Regulacijofrekvence smo obravnavali. Pri obravnavi regulacije vzbujanja bomo predpostavili, da regulaciji frekvencein napetosti nista povezani. To je seveda samo idealizacija, ki ne drži povsem, paceprav so dovoljena samomajhna odstopanja frekvence. Zagotovo pa je napetostna regulacija znatno hitrejša od regulacije frekvence,zato bomo v vecjem delu obravnavanja regulacije napetosti predpostavili konstantno frekvenco.

5.1 Model sinhronskega stroja

Za osnovo bomo uporabili model v obliki enacb 5.1, ki smo ga dolocilo že v poglavju 4 – enacbe 4.149.Na tem mestu morda ne bo odvec, da še enkrat navedemo osnovne predpostavke, na podlagi katerih je bilmodel sinhronskega stroja v obliki enacb 5.1 sploh izpeljan. Te predpostavke so bile:

• Vpliv nasicenja železnega jedra smo zanemarili.

• Zanemarili smo histerezne izgube, izgube zaradi vrtincnih tokov in izriva toka.

• Zanemarili smo višje harmonske komponente, ki se pojavijo zaradi koncnega števila utorov, neenakomernezracne reže in izvedbe navitij.

• V vzdolžnid in v precni q smeri smo na rotorju predpostavili samo dve dušilni navitji.

• Predpostavili smo simetricno grajen dvopolni stroj.

Omenjene poenostavitve so pri modeliranju sinhronskega stroja obicajne, kadar nameravamo takšne modeleuporabiti za analizo povratnih vplivov stroja na omrežje.

70 REGULACIJA NAPETOSTI SINHRONSKEGA STROJA

Model sinhronskega stroja v obliki enacb 5.1 pa se kljub temu razlikuje od modela 4.149 v poglavju 4, sajsmo pri zapisu uporabili drugacne oznake, ki pa so v elektroenergetiki, zlasti v Evropi, obicajne. Korespon-dencna tabela oznak je podana z zapisom 5.3.

ud = rid + lddiddt

+ lhddivdt

+ lhddiDdt

− Θ (lqiq + lhdiQ)

uq = riq + lqdiqdt

+ lhqdiQdt

+ Θ (ldid + lhdiv + lhdiD)

uv = rviv + lhddiddt

+ lvdivdt

+ lhddiDdt

0 = rDiD + lhddiddt

+ lhddivdt

+ lDdiDdt

0 = rQiQ + lhqdiqdt

+ lQdiQdt

Θ =1

J(tm − te)

dδ

dt= Θ− ΘS

(5.1)

te = ωm(ψqid − ψdiq)

ψd = lhd(iD + iv) + ldid

ψq = lqiq + lhdiq

(5.2)

V zapisu 5.1 so poleg vzbujanj (napetosti) in spremenljivk (toki, hitrosti, koti in magnetni sklepi) normiranitudi vsi parametri, zato so namesto z velikimicrkami oznaceni z malimi.Cas ni normiran.

Ldd = ld Lvd = lhd

LQd = lhd Ldq = lqLDd = lhd LQv = lhd

Lvv = lv LDq = lhq

Lvq = lhd LQq = lhd

LQQ = lQ LDD = lD

(5.3)

Bazne vrednosti so sledece:

• bazna vrednost toka Ib = In

√2

• bazna vrednost napetostiUb = Un

√2

• bazna vrednost moci Sb = 3 UnIn = 32UbIb


5.2 Sinhronski stroj na lastnem omrežju 71

• bazna vrednost navora zap = 1 Tb = Sb

ωb= 3

2UbIb

1ωb

• bazna impedanca zb = Ub

Ib

• bazna induktivnost Lb = zb

ωb

• bazna kotna hitrost ωb = 2πfb

kjer smo z(·)n oznacili nominalne (nazivne) vrednosti z(·)b pa bazne vrednosti. Normirano vrednostdolocimo v skladu z zapisom 5.4

x =X

Xb

(5.4)

kjer jex normirana vrednost,X je nenormirana vrednost,Xb pa je bazna vrednost.

Medsebojne induktivnosti, ki smo jih podali z zapisom 5.4 ponazarja slika 5.1.

lhd

lhd

lhd

lhq

d- os

id

q- os

ud

ivuv

q

uq

iq iQ

Q

d

D

v

iD

Slika 5.1: Vezni model sinhronskega stroja v skupnem koordinatnem sistemudq

5.2 Sinhronski stroj na lastnem omrežju

Za obratovanje sinhronskega stroja na lastnem omrežju je znacilno naslednje:

• Napetost na sponkahUs in frekvencaf nista konstantni, ne glede na to ali je generator reguliran ali ne.Generator mora pokrivati padce napetosti, ki se spreminjajo z odjemom moci.

• Sinhronizacijskega navora ni, zato lahko pride do relativno velike spremembe frekvence, kar je potrebnoupoštevati v elektricnih prehodnih pojavih.



• Regulator napetosti je lahko astaticen; vpliv spremembe toka (obremenitve) se tukaj neposredno odražav spremembi padcev napetosti; v tem primeru je za izvedbo regulacije dovolj dobra meritev napetosti nasponkah stroja.

V nadaljevanju bomo dolocili poenostavljeni model sinhronskega generatorja, ki bo služil samo za sintezoregulatorja napetosti otocno delujocega stroja. V ta namen najprej še enkrat zapišimo tretjo enacbo iz zapisa5.1 v nekoliko spremenjeni obliki, kjer vseclene na levi in desni strani enacbe pomnožimo z−1. Dobimozapis 5.5.

−uv = −rviv − lhddiddt− lv

divdt− lhd

diDdt

(5.5)

Enacba 5.5 je preoblikovana, vendar je kljub temu ekvivalentna izhodišcni enacbi, s tem da je tako preob-likovane nikakor ne moremo vec vstaviti nazaj v model 5.1,cesar tudi ne nameravamo.

Sedaj bomo skupaj zapisali enacbo 5.5 incetrto enacbo iz zapisa 5.1, s tem da bomo dodatno spremenilipredznak vzbujalnega tokaiv in s tem dobili zapis 5.6.

uv = rviv − lhddiddt

+ lvdivdt− lhd

diDdt

0 = rDiD + lhddiddt− lhd

divdt

+ lDdiDdt

(5.6)

Zapis 5.6 s pomocjo Laplace–ove transformacije pretvorimo v Laplace–ovo podrocje in dobimo 5.7 (hkratipredpostavimo, da so zacetni pogoji nic).

Uv(s) = rvIv(s)− slhdId(s) + slvIv(s)− slhdID(s)

0 = rDID(s) + slhdId(s)− slhdIv(s) + slDID(s)(5.7)

Iz druge enacbe v 5.7 izrazimo tokID(s) in dobimo 5.8.

ID(s) =s(lhdIv(s)− lhdId(s))

rD + slD(5.8)

Tok ID(s) vstavimo v prvo enacbo zapisa 5.7 in dobimo 5.9.

Uv(s)(rD + slD) = Iv(s)[s2(lvlD − l2hd) + s(lvrD + rvlD) + rvrD]

− Id(s)[s2(lDlhd − l2hd) + slhdrD]

(5.9)

Ce v zapisu 5.9 upoštevamo lastnicasovni konstanti vzbujalnega in dušilnega navitjaTv in TD, doloceni zzapisom 5.10, dobimo 5.11.

Tv :=lvrv

in TD :=lDrD

(5.10)

Uv(s)rD(1 + sTD) = Iv(s)[rDrvs2(TvTD − l2hd

rDrv) + srDrv(Tv + TD) + rDrv]

− Id(s)[rDlhds2(TD − lhd

rD) + slhdrD]

(5.11)



Enacbo 5.11 delimo zrD in uredimo v enacbo 5.12.

Uv(s)(1 + sTD) = Iv(s)rv[s2(TvTD(1− l2hd

lDlv) + s(Tv + TD) + 1]

− Id(s)lhd[s2TD(1− lhd

lD) + s]

(5.12)

Izraz 5.12 lahko zapišemo drugace v obliki 5.13

Iv(s) = Gv(s)Uv(s) + Gvz(s)Id(s) (5.13)

kjer sta dve novo doloceni prenosni funkcijiGv(s) in Gvz(s) doloceni z izrazoma 5.14 in 5.15.

Gv(s) =1

rv

1 + sTD

(TvTD(1− l2hd

lDlv)s2 + (Tv + TD)s + 1

(5.14)

Gvz(s) =lhd

rv

sTD(1− lhd

lD)s + 1

(TvTD(1− l2hd


(5.15)

Ce analiziramo zapis 5.13 in predpostavimo, da je izhod vzbujalni tokIv, lahko ugotovimo, da nanj delujetadva vhoda in sicer vzbujalna napetostUv(s) in tok Id(s) kot motnja. Enacbo 5.13 lahko predstavimo vobliki blokovne sheme na sliki 5.2. Sedaj nas zanima, kakšna je povezava med vzbujalnim tokomIv(s) in

Gv(s)

Uv(s)

Gvz(s)

Iv(s)

Id(s)

Slika 5.2: Blokovna predstavitev zapisa 5.13

statorsko napetostjoUa(s). V skladu s prvo in drugo enacbo v zapisu 5.1 je statorska inducirana napetostpri zanemarjeni vrednosti statorske upornosti v stacionarnem stanju (odvodi tokov pocasu so nic) enakaua =

√e2

d + e2q, kjer staed in eq doloceni z zapisoma 5.16.

ed = −ω(lqiq + lhdiQ)eq = ω(ldid + lhd(iv + iD))

(5.16)

Sedaj opazujmo, kako (v Laplace–ovem podrocju) majhna sprememba vzbujalnega toka∆Iv(s) okrogdolocene delovne tocke vpliva na spremembo statorske napetosti∆Ua(s). Ker se tokIv(s) pojavlja le vizrazu zaEq(s), je sprememba le–te enaka 5.17:

∆Eq(s) = ω(s)∆ψd(s) (5.17)



Za malo spremembo magnetnega sklepa∆ψd velja:

∆ψd(s) = −lhd∆Iv(s) + lhd∆ID(s) + ld∆Id(s) (5.18)

kar se ujema z zapisom 5.2, kjer pa je predznak vzbujalnega toka spremenjen. Namesto tokaID(s) vstavimov 5.18 izraz 5.8 in dobimo 5.19.

∆ψd = Gdd(s)ld∆Id(s) + Gdvlhd∆Iv(s) (5.19)

V zapisu 5.19 smo vpeljali dve novi prenosni funkcijiGdd(s) (5.20) inGdv(s) (5.21)

Gdd(s) =1 + sTDd

1 + sTD

TDd =1

rD

(1− l2hd

ld) (5.20)

Gdv(s) =1 + sTDσ

1 + sTD

TDσ =lD − lhd

rD

=ldσ

rD

(5.21)

kjer oznakaσ predstavlja stresanje. Prenosni funkcijiGdd(s) in Gdv(s) opisujeta vpliv spremembe sta-torkega toka na spremembo magnetnega sklepa v vzdolžni smeri in s tem na spremembo statorske induci-rane napetosti.

Poenostavljeni model sinhronskega stroja, ki deluje otocno imamo sedaj dolocen.Ce sistemu dodamo regu-lator napetosti s prenosno funkcijoGR(s), prenosno funkcijo vzbujalnika (ki je lahko na primer tiristorski)in v povratni zanki merilni filter s prenosno funkcijoGf (s) lahko narišemo zaprtozancni sistem v oblikiblokovne sheme na sliki 5.3. Predpostavimo, da ima tiristorski vzbujalnik ojacanje ena (predpostavka) in

∆Ua(s)

Gvz(s)

Gv(s)Gp(s)GR(s)

KR, Ti

−

Gf (s)

Gdd(s)

Gdv(s)

∆Id(s)

ld

lhd −∆Iv(s)

∆Uv(s)

ω

∆Uar(s)

∆ψd(s)

Slika 5.3: Blokovna shema regulacije napetosti sinhronskega stroja pri otocnem nacinu obratovanja

da je v primerjavi z vsemi ostalimi elementi tako hiter, da lahko njegovo zakasnitev zanemarimo.

Regulator napetosti bomo nastavili tako, da motnje ne bomo upoštevali, predvidena bo samo spremembareferencne vrednosti. Blokovna shema na sliki 5.3 se poenostavi v blokovno shemo na sliki 5.4.

Odprtozancna prenosna funkcija sistema na sliki 5.4 je dolocena z izrazom 5.22.

Go(s) = KR1 + sTi

sTi

Gv(s) Gdvlhd ω1

1 + sTf

(5.22)



∆Ua(s)GR(s)

∆Uar(s)

KR, Ti

−Gv(s) Gdv(s) xhd

Gf (s)

Slika 5.4: Poenostavljena blokovna shema regulacije napetosti sinhronskega stroja pri otocnem nacinuobratovanja

V prenosni funkciji 5.22 moramo upoštevati predhodno doloceno prenosno funkcijoGv(s):

Gv(s) =1

rv

1 + sTD

(TvTD(1− l2hd


ki jo lahko razstavimo, kot je to razvidno iz zapisa 5.23.

Gv(s) =K1

1 + sTy

1 + sTD

1 + sTx

(5.23)

Primer: Dolo citev parametrov regulatorja napetosti

Podatki sinhronskega generatorja v normirani obliki so:

ld = 0.00456 lv = 0.00454lQ = 0.00431 lhq = 0.00414lvσ = 0.0003 lQσ = 0.00017rv = 0.001 rQ = 0.001lq = 0.00456 lD = 0.0043lhd = 0.00414 laσ = 0.00042lDσ = 0.00016 r = 0.003rD = 0.001 Ta = 3.0s

(5.24)

V skladu s predhodnim zapisom 5.23 je doloceno ojacanjeK1:

K1 =1

rv

= 1000

V nadaljevanju najprej dolocimo imenovalec prenosne funkcijeGv(s) in dobimo:

TvTD 0.122 s2 + (Tv + TD)s + 1 = 0 (5.25)



Casovni konstantiTv in TD sta:Tv = lv

rv= 0.00454

0.001= 4.54s

TD = lDrD

= 0.00430.001

= 4.3s(5.26)

Z vstavljanjem 5.26 v 5.25 dobimo karakteristicen polinom z dvema rešitvamaTx in Ty:

3.38s2 + 8.84s + 1 = 0 ⇒ Tx = 8.56s, Ty = 0.28s

Sedaj lahko ponovno zapišemo odprtozancno prenosno funkcijoGo(s):

Go(s) = KR1 + sTi

sTi

Ki1

1 + sTx

1 + sTD

1 + sTy

1 + sTDσ

1 + sTD

xhd1

1 + sTf

(5.27)

Hkrati izracunamo šeTDσ:

TDσ =lD − lhd

rD

=0.0043− 0.00414

0.001= 0.16s (5.28)

Odprtozancna prenosna funkcija je sedaj :

Go(s) = KsKR1 + sTi

sTi

1

1 + s0.28

1 + s0.16

1 + s8.56

1

1 + s0.02(5.29)

Z upoštevanjem naslednjih vrednosti ojacanjaKs in casovne konstanteTf

Ks = K1 xhd = 4.14 in Tf = 0.02

se lahko lotimo sinteze regulatorja. Uporabili bomo preprosto kompenzacijsko metodo, pri kateri z izboromregulatorjeve nicle skušamo kompenzirati najpocasnejši pol reguliranca. V skladu z zapisanim izberemo:

Ti = Tx = 8.56s

Izbrano vrednostcasovne konstante vstavimo v prenosno funkcijoGo(s) in opravimo ustrezno krajšanje.Temu sledi risanje frekvencne karakteristike v Bode–jevem diagramu. Ojacanje regulatorjaKR dolocimotako, da je ob izbrani fazni rezervi pripadajoca amplituda enaka ena (zaϕrez = 450 dobimo pripadajoceojacanjeKR = 0.38).

5.3 Paralelno obratovanje SS

Dolocitev blokovne sheme sinhronskega stroja, ki je deloval otocno je bila relativno enostavna. Za paralelnodelujoci generator je dolocitev poenostavljenega modela podobna, vendar je zaradi potrebnega upoštevanja


5.3 Paralelno obratovanje SS 77

lastnosti omrežja izracun znatno daljši. Celotno izpeljavo bomo zato izpustili in za osnovo uporabili karkoncni rezultat, to je model paralelno delujocega sinhronskega stroja v obliki blokovne sheme.

Pri dolocitvi regulatorja vzbujanja sta upoštevani naslednji dve znacilnosti:

• Predpostavili bomo konstantno omrežno frekvenco, zato bodo odpadli vsi transformacijski vplivi napetostimed statorjem in rotorjem. Pojavil se bo sinhronizacijski navor, ki bo izboljšal stabilnost obratovanja vprimerjavi s strojem, ki deluje otocno.

• Predpostavili bomo konstantno omrežno napetost. Regulacija napetosti bo zato prešla v regulacijo jalovemoci, ki jo generator daje omrežju.

Zaradi vsiljene napetosti na sponkah stroja se za zagotovitev stabilnega obratovanja pojavi potreba pouvedbi statike, s katero napetostno karakteristiko generatorja ustrezno nagnemo in s tem dosežemo enosamo presecišce s karakteristiko omrežja.

Predpostavimo, da je sinhronski generator v skladu s sliko 5.5 prikljucen na togo omrežje preko vmesnereaktancexv. Model regulacije jalove moci paralelno delujocega sinhronskega generatorja v obliki blokovne

nje

jxv

|Ea| 6 δSG

Um 6 0oUa

uv

iv

Vzbu-ja-

Slika 5.5: Paralelna vezava sinhronskega generatorja na omrežje

sheme je prikazan na sliki 5.6. Kot smo omenili, smo izpeljavo omenjene blokovne sheme izpustili.

∆Uar(s)GR(s)

KR, Ti

−Gp(s) Gpv(s)

Gf (s)

Gpm(s)

β

1axd

∆Ua(s)∆Um(s)

−

+

+

∆Ia(s)

Slika 5.6: Blokovna shema regulacije napetosti paralelno delujocega sinhronskega generatorja



Prenosni funkcijiGpv(s) in Gpm(s) sta definirani z izrazoma 5.30 in 5.31.

Gpv(s) =a

1 + aK0 xd

1

1 + sTv

1

rv

(5.30)

Gpm(s) =a

1 + a

1 + s bTv0

1 + s Tv

(5.31)

Ostali parametri incasovne konstante, ki nastopajo v obeh prenosnih funkcijah so dolocene z izrazi 5.32.

xd = ω0ld a = lvld

Tv = b+a1+a

Tv0 Tv0 = lvrv

b = 1− 1(1+ba)(1+bv)

ba = ld−lhd

ld

K0 =√

1 + 1x2

d+ 1

xdsinϕ0 bv = ld−lhd

lv

(5.32)

Podobno kot pri otocno delujocem sinhronskem generatorju bomo tudi tukaj predpostavili, da je ojacanjetiristorskega pretvornika za vzbujanje ena in da deluje hitro brez zakasnitve (poenostavitvi).

Izra cun blokovne sheme za primer paralelnega obratovanja na togem omrežju

bv = lv−lhd

lv= 0.088

ba = lv−lhd

ld= 0.092

b = 1− 1(1+ba)(1+bv)

= 1− 11.092 1.088

= 0.158

a = 0.2314.15 0.00456

.= 0.14

Tv0 = 0.004540.001

= 4.54s

Tv = b+a1+a

Tv0 = 0.158+0.141.14

4.54 = 1.18s

xd = 1.432

cosϕ0 = 0.86

K0 =√

1 + 1x2

d+ 1

xdsinϕ0 = 1.38

β = 0.05 xv = 0.2

(5.33)

Vsa pripadajoca ojacanja v prenosni funkcijiGpv(s) združimo v eno samo, zato jo lahko ponovno izrazimov naslenji obliki:

Gpv(s) =a

1 + aK0 xd

1

1 + sTv

1

rv

= 2431

1 + sTv

= 2431

1 + s1.18

Prenosna funkcijaGpm(s) je dolocena z naslenjim izrazom:


5.3 Paralelno obratovanje SS 79

Gpm(s) = 0.881 + s0.158 · 4.54

1 + s1.18= 0.88

1 + s0.72

1 + s1.18

Odprtozancna prenosna funkcijaG0(s) je v skladu z blokovno shemo na sliki dolocena 5.7 (vpliv spre-membe omrežne napetosti na spremembo statorskega toka predstavlja motnjo, ki je pri nacrtovanju regula-torja ne bomo upoštevali) dolocena z izrazom 5.34.

G0(s) = KR1 + sTi

sTi

K0 xd a

(1 + a)rv

(1− β

a xd

)1

1 + sTv

1

1 + sTf

(5.34)

Ks =K0 xd a

(1 + a)rv

(5.35)

KsGR(s)

KR, Ti

−

Gf (s) β

1axd

−

+

∆Ia(s)∆Uar(s) ∆Ua(s)

−1

1+sTv

Slika 5.7: Blokovna predstavitev zapisa

Sedaj vsa ojacanja v izrazu 5.34 združimo v eno in dobimo:

G0(s) = K1 + sTi

sTi

1

1 + sTv

1

1 + sTf

(5.36)

kjer jeK = KR Ks. Zdaj lahko opravimo še sintezo regulatorja. Uporabili bomo preprosto kompenzacijskometodo, pri kateri bomo z izborom regulatorjeve nicle kompenzirali najpocasnejši pol reguliranca. V skladuz zapisanim izberemo:

Ti = Tv = 1.18 s

Izbrano vrednostcasovne konstante vstavimo v prenosno funkcijoGo(s) in opravimo ustrezno krajšanje.Temu sledi risanje frekvencne karakteristike v Bode–jevem diagramu. Ojacanje regulatorjaKR dolocimotako, da je ob izbrani fazni rezervi pripadajoca amplituda enaka ena (zaϕrez = 450 dobimo pripadajoceojacanjeKR = 0.2).


POGLAVJE 6

Poenostavljeni model dveh povezanih EES

S popolnimi modeli generatorjev in ostalih elementov EES lahko analiziramo hitre di-namicne prehodne pojave manjših zakljucenih sistemov (primarna regulacija). Izracunvelikih povezanih EES z vec sto vozlišci s popolnimi modeli nima nobenega smisla inbi bil zaradi preobsežnosti tudi nesmiseln. Zato v teh primerih raje uporabimo poenos-tavljene modele. Kompleksni EES razdelimo na posamezna obmocja, zanje poišcemo us-trezne poenostavljene modele, ki jih potem ponovno povežemo med sabo na nacin, ki bopojasnjen v okviru tega poglavja. Za posamezna obmocja, ki so ponazorjena z ustreznimpoenostavljenim modelom potem velja, da je v njih frekvenca regulirana in enotna. Spovezovanjem obmocij lahko tvorimo povezan EES. Tak pristop k modeliranju omogocaanalizo medsistemskih nihanj, vpliv sekundarne regulacije in analizo delovanja regulacijefrekvenca - moc.

Pri izpeljavi nadomestnega poenostavljenega dinamicnega modela obmocja bomo izhajaliiz naslednjih predpostavk:

• Uporabljeni modeli obmocij bodo nelinearni, zato bomo opravili linearizacijo v okolicidelovne tocke, ki jo bomo splošno oznacevali z(·)0. Po opravljeni linearizacijo bomodalje uporabljali poenostavljene linearizirane modele.

• Sprememba jalove moci v na primeri– tem vozlišcu bo imela za posledico predvsemspremembo iznosa vozlišcne napetosti|Ui|, ki bo najmocneje izražena prav v vozlišcui.V skladu s sliko 6.1a) bo tako v primeru spremembeciste jalove moci (ohmska upornostr = 0) prišlo samo do spremembe amplitud (dolžin).

82 POENOSTAVLJENI MODEL DVEH POVEZANIH EES

• V nasprotju s tem bo sprememba delovne moci vplivala predvsem na spremembe kotovnapetosti, sprememba pa bo spet najbolj ocitna v tistem vozlišcu, kjer bo nastopilasprememba.

• Predpostavili bomo, da je regulacija napetosti dosti hitrejša od regulacije frekvence,zato bomo v izracunih uporabljali konstantne napetosti. Posledica tega bo, da regu-lacija napetosti (jalove moci) ne bo vplivala na regulacijo frekvence (delovne moci),kar seveda ne drži povsem (glej poglavje regulacije napetosti, kjer smo s simulacijamipokazali prav nasprotno).

• V poenostavljenem dinamicnem modelu obmocja bomo vecjo skupino generatorjev spodobnimi lastnostmi nadomestili z enim ekvivalentnim. Od ekvivalentnega modelabomo zahtevali, da bodo dane sistemske motnje na njem povzrocile enake spremembefrekvence, kot bi jo povzrocile na skupini posameznih generatorjev.

U

E′

I ′

I ′jxs I I ′

E′

Ijxs

I ′jxs

E

I

IjxsU

E

a) b)

Slika 6.1: Kazalcni diagram razmer v reguliranem obmocju: a) Cista sprememba jalove moci; b) Cistasprememba delovne moci.

6.1 Izpeljava dinamicnega modela

Ce elektroenergetski sistem obratuje s konstantno frekvenco v stacionarnem stanju, morabiti vsota vseh mehanskih moci vedno enaka vsoti proizvedene elektricne moci in izgub,kar doloca ravnotežni pogoj v obliki enacbe 6.1,

n∑

i=1Pm(i)− (

n∑

i=1Pg(i) +

n∑

i=1Pizg(i)) = 0 (6.1)

kjer jePm mehanska moc posamezne turbine,Pg je elektricna moc posameznega genera-torja,Pizg so izgube posameznega generatorja,n pa je število generatorjev, ki jih upošte-vamo v modelu.Ce je bilanca moci pozitivna bo frekvenca sistema narašcala tako dolgo,


6.1 Izpeljava dinamicnega modela 83

da bo vzpostavljeno ravnotežje moci 6.1, ce pa bo bilanca moci negativna, bo frekvencaomrežja upadala, dokler ne bo izpolnjeno potrebno ravnotežje.

Turbina

Sekundarna regulacija

Primarna regulacija

Regulacija vzbujanja

hitrosti

frekvence

Ventil

paroza

hitrosti ojacevalnik

Dovod pare

matorTransfor-

Ojacevalnik napetostiRegulator

Moci izmenjav

Integrator

Pogrešekobmocja

fPm

|U |r

Pg

Pr

|U |

f

ωMerilnik

HidravlicniRegulatorPreob.signala

Merilnik

Meritevnapetosti

Lokalna bremenaPb Pv

Povezovalni vod

Pg

Mešalniksignalov

Vzbujalnik

Generator

Slika 6.2: Shematski prikaz reguliranega obmocja.

V skladu s sliko 6.2 je proizvedena elektricna moc generatorjaPg enaka vsoti moci bre-men in izmenjav po vodih (enacba 6.2).

Pg = Pb + Pv (6.2)

Modeli posameznih elementov elektroenergetskega sistema, ki jih bomo uporabili v nadal-jevanju bodo nelinearni. Zaradi lažjega racunanja bomo opravili linearizacijo nelinearnostiv okolici delovne tocke in opravili analizo z lineariziranimi modeli. Elektricne in mehanskemoci generatorjevPg in Pm, moci bremen in povezovalnih vodovPb in Pv so dolocene zizrazi 6.3,

Pg = P 0g + ∆Pg

Pm = P 0m + ∆Pm

Pb = P 0b + ∆Pb

Pv = P 0v + ∆Pv

(6.3)

kjer P 0(·) oznacuje posamezne stacionarne vrednosti,∆P(·) pa so pripadajoci mali odmik

od delovne tocke. Ker nas bo zanimala samo dinamika malih sprememb, bomo sta-



cionarna stanjaP 0(·) odšteli od modela in od tukaj dalje racunali samo z malimi odmiki

∆(·).Linearizirano obliko zapisa 6.2 predstavlja enacba 6.4.

∆Pg = ∆Pb + ∆Pv (6.4)

Ravnotežje gibanja sinhronskaga agregata doloca enacba 6.5

Jdω

dt= tm − te (6.5)

kjer je J vstrajnostni moment,ω je hitrost,tm in te pa sta trenutni vrednosti mehanskegain elektricnega navora. Enacbo 6.5 pomnožimo zω0, zato dobimo na desni strani enacbe6.6 namesto navorov moci.

Jω0dω

dt= pm − pg (6.6)

Enacbo 6.6 normiramo z bazno vrednostjo navidezne moci Sb in dobimo 6.7

Jω0

Sb

dω

dt=

pm

Sb− pg

Sb(6.7)

kjer velja, da jeω = ω0 + ∆ω. Iz zapisa 6.7 ni takoj razvidno, da je enacba nelinearna,kar je posledica nelinearne odvisnostipm in pg od ∆ω. Enacbo 6.7 zato lineariziramo indobimo 6.8

H

πf0

d∆ω

dt= ∆P (6.8)

kjer smo uporabili nov parameterH, ki je dolocen z izrazoma 6.9 in 6.10 in∆P =∆pm

Sb− ∆pg

Sb.

M :=Jω0

Sb=

12Jω2

0

Sb

2

ω0=

1

πf0

W 0kin

Sb(6.9)

H :=W 0

kin

Sb[MW/MV A] (6.10)

Ravnotežje moci je v skladu s sliko 6.2 doloceno z enacbo 6.11.

∆P = ∆Pm −∆Pg −∆P ′b = ∆Pm −∆Pb −∆Pv −∆P ′

b (6.11)

kjer ∆P ′b predstavlja dušenje zaradi frekvencne odvisnosti bremen.

Sedaj moramo dolociti še pospeševalno moc ∆P , ki je enaka odvodu kineticne energijepo casu (enacba 6.12).

∆P = ddtWkin = d

dt(12JΘ2) = JΘΘ .= Jω0∆Θ

= Jω0ddt∆ω = Jω02π

ddt∆f

(6.12)



Ce predpostavimo, da imamo eno samo povezavo generatorja z drugim omrežjem, potemlahko preneseno moc po povezovalnem vodu izrazimo z enacbo 6.13

Pv =|U1||U2|

x12sin(Θ1 −Θ2) (6.13)

kjer sta|U1| in |U2| efektivni vrednosti napetosti na obeh koncih povezovalnega voda,x12

pa je induktivna upornost povezovalnega voda (ohmska upornost je zanemarjena).

Z enacbo 6.13 dolocena prenosna moc voda je nelinearna, zato jo bomo linearizirali vokolici izbrane tocke in stacionarni stanji odšteli. Linearizirano obliko zapisa 6.13 pred-stavlja enacba 6.14

∆Pv =|U1||U2|

x12cos(Θ0

1 −Θ02)(∆Θ1 −∆Θ2) (6.14)

kjer staΘ01 in Θ0

2 stacionarni vrednosti kotov obeh napetosti glede na<e – os,∆Θ1 in∆Θ2 pa sta ustrezna mala odmika od stacionarnih vrednosti.

Zaradi odvisnosti 6.15∆Θ = 2π

∫∆fdt (6.15)

lahko enacbo 6.14 zapišemo v drugacni obliki (6.16)

∆Pv = 2πS12(∫

∆f1dt−∫

∆f2dt) (6.16)

kjer S12 predstavlja parameter (tako imenovani sinhronizacijski koeficient), dolocen zenacbo 6.17.

S12 =|U1||U2|

x12cos(Θ0

1 −Θ02) =

|U1||U2|x12

cos∆Θ0 (6.17)

V enacbi dinamicnega ravnotežja 6.11 smo upoštevali spremembo moci ∆P ′b, ki je posled-

ica frekvencne odvisnosti moci bremen, dolocene z dušenjemD (izraz 6.18).

D =∆P ′

b

∆f[MW/Hz] (6.18)

Iz 6.18 izrazimoP ′b.

∆P ′b = D∆f (6.19)

V ravnotežno enacbo 6.11 najprej vstavimo izraz 6.12 in dobimo 6.20.

∆Pm −∆Pb − Jω02πd

dt∆f −∆Pv −D∆f = 0 (6.20)



S pomocjo Laplace– ove transformacije izraz 6.20 pretvorimo v Laplace– ovo podrocjein hkrati predpostavimo, da so zacetni pogoji nic.

∆Pm(s)−∆Pb(s)− Jω02πs∆f(s)−∆Pv(s)−D∆f(s) = 0 (6.21)

V enacbo 6.21 vstavimo namesto∆Pv še 6.16 in dobimo 6.22.

∆Pm(s)−∆Pb(s)− Jω02πs∆f(s)− 2πS12

s(∆f1(s)−∆f2(s))−D∆f(s) = 0 (6.22)

Na levi strani izpostavimo spremenljivko∆f(s)

∆f(s)(Jω02πs + D) = ∆Pm(s)−∆Pb(s)− 2πS12

s(∆f1(s)−∆f2(s)) (6.23)

izraz 6.23 pa preuredimo v 6.24.

∆f(s) =

(∆Pm(s)−∆Pb(s)− 2πS12

s(∆f1(s)−∆f2(s))

)Kn

1 + Tns(6.24)

V izrazu 6.24 smo uporabili dva nova parametraKn in Tn, ki sta dolocena z zapisom 6.25.

Kn =1

D[Hz/MW ] Tn =

2πJω0

D[s] (6.25)

V modelu reguliranega obmocja bomo upoštevali tudi dinamiko servomotorja in turbine.Servomotor bomo predstavili s prenosno funkcijoGsm, model turboagregata zGt, modelhidroagregata pa zGvt (enacbe 6.26 do 6.28).

Gsm(s) =1

1 + Tsms(6.26)

Gt(s) =1

1 + Tts(6.27)

Gvt(s) =1− Tws

1 + 0.5Tws(6.28)

Poenostavljeni model enega povezanega obmocja (dela elektroenergetskaga sistema, lahkopa tudi enega samega generatorja) je prikazan na sliki 6.26



−

Sekundarna regulacija

Primarna regulacija

Omrežje

Gt(s)

−

−∆f1

Kis

∆Pr

∆f1

11+Tsms

Kn1+Tns−

−∆Pm

2πS12s

∆f2

Kp

∆Pv

∆f1 −∆f2

∆Pm −∆Pv −∆Pb

∆f1

∆Pb

Slika 6.3: Blokovna shema reguliranega obmocja.

6.1.1 Primer dveh povezanih podrocij

Obravnavali bomo primer dveh reguliranih podrocij na sliki 6.4.

Br. 2

Obmocje1

Obmocje2

Pg1

Pv12

Pg2

Pb1 Pb2

Br. 1

Slika 6.4: Shema dveh reguliranih obmocij.

Pripadajoca blokovna slika je podana na sliki 6.5.



−

Gt1(s)

−

−∆f1

Ki1s

∆Pr1

∆f1

11+Tsm1s

Kn11+Tn1s

−

2πS12s

Kp1∆f1 −∆f2

∆Pm1 −∆Pv1 −∆Pb1

∆f1

Gt2(s)

−Ki2

s

∆Pr21

1+Tsm2s−

−

Kp2

∆Pm2 −∆Pv2 −∆Pb2

2πS21s

∆f2

∆f2

∆f2

−

∆f2 −∆f1

Kn21+Tn2s

−

∆Pb1

∆Pb2

∆Pm2

∆Pv1

∆Pv2

∆Pm1

−

Slika 6.5: Blokovna shema dveh reguliranega obmocij.

Parametri modela na sliki 6.5 so naslednji:

Kp1 = 83.6 Kp2 = 150.0

Ki1 = 90.0 Ki2 = 156.0

Tsm1 = 0.1s Tsm2 = 0.1s

Tt1 = 0.35s Tt2 = 0.40s

Kn1 = 0.17 Kn2 = 0.17

Tn1 = 2.0s Tn2 = 6.6s

S12 = S21 = 21.2

∆Pb1 = 10.0 ∆f .= 0.04Hz


POGLAVJE 7

Analiza stabilnosti

Paralelno delujoci sinhronski generatorji v elektroenergetskem sistemu so dinamicni sis-tem, zato so mogoca elektromehanska nihanja. Naravo teh nihanj bomo obravnavali vnadaljevanju.

Kaj lahko povzroci probleme s stabilnostjo? Glavna razloga sta dva:

• Neustrezno izvedena regulacija napetosti

• Povezovanje posameznih EES (nizkofrekvencna nihanja)

Od EES želimo, da sta v stacionarnem stanju napetost in frekvenca konstantni. Mot-nje v obliki spremembe bremen, spremembe zgradbe sistema (vklopi in izklopi vodov)povzrocijo prehodne pojave (odmike od stacionarnih stanj), ki naj bi bilicim prej koncani.

V elektroenergetsko usmerjeni literaturi (v sistemskem smislu podobnih definicij ne poz-namo!) se razlicni avtorji sklicujejo na tri vrste stabilnosti:

• Stacionarna stabilnost (Steady State Stability):EES s svojimi vzbujanji in regu-lacijskimi napravami zmore brez vecjih težav odpraviti majhne (hkrati tudi pocasne)spremembe in ob tem ostane stabilen.

• Dinamicna stabilnost (Dynamic Stability): V tem primeru gre za relativno male spre-membe (tudi trenutne motnje) v okolici delovne tocke (daljši casovni intervali) - zaanalizo lahko uporabimo linearizirane modele.

90 ANALIZA STABILNOSTI

• Prehodna stabilnost (Transient Stability): Ta stabilnost se nanaša na vecje strukturnespremembe v EES - krajšicasovni intervali - uporabljajo se nelinearni modeli

Elektromehanska nihanja so vidna predvsem kot nihanja kolesnega kotaδ, hitrosti ω inprenesene delovne in jalove moci P in Q. Nihanja so lahko:

• medsistemska (0.2 do 0.5 Hz) in

• nihanja enega agregata.

Poleg tega lahko imamo še:

• nihanja med posameznimi agregati znotraj sistema,ce so regulatorji neustrezno nastavl-jeni (1.5 do 2.5 Hz) in

• torzijska nihanja gredi (predvsem pri turogeneratorjih).

Negativne vplive na nihanja povzroca naslednje:

• dolgi cevovodi

• turbinski regulatorji s svojimi mrtvimicasi

• napetostni regulatorji z velikimi ojacanji

• poddimenzionirani povezovalni vodi

• nepravilno nastavljen frekvencni kanal

Pozitivni vplivi pa so:

• dušilna navitja na SS

• mehanske izgube

• ohmska bremena

• mocne medsistemske povezave

• dodatni stabilizacijski signali

• povišane napetosti v vozlišcih, ....

V nadaljevanju bomo nekoliko natancneje obravnavali predhodno navedeno dinamicnostabilnost.


7.1 Oddana moc generatorja 91

7.1 Oddana moc generatorja

Za generator, predstavljen z vezjem na sliki 7.1, lahko narišemo kazalcni diagram na sliki7.2.

Ea

jxst jxσs r

jxs

Ia

+ +

SG Uag Ua

−−

Slika 7.1: Vezje sinhronskega stroja, prikljucenega na omrežje.

xs = xst + xσs

Ea

Ia

Ua

δ

Ea − Ua

Ia.= Ea−Ua

jxs

Slika 7.2: Kazalcni diagram - sinhronski stroj je prikljucen na togo omrežje.

Sg = UaI∗a = Ua(

Ea − Ua

zg)∗; Zg = r + jxs

Odana delovna in jalova moc Pg in Qg sta pri stroju z izraženimi poli doloceni z izrazoma7.1 in 7.2

Pg =|Ea||Ua|

xdsinδ +

|Ua|22

(1

xd− 1

xq)sin2δ (7.1)



Qg =|Ea||Ua|

xdcosδ − |Ua|2(cos

2δ

xd+

sin2δ

xq) (7.2)

ce pa veljaxd = xq = xs (turbo stroj) pa s 7.3 in 7.5.

Pg =|Ea||Ua|

xssinδ (7.3)

Qg =|Ua|(|Ea|cosδ − |Ua|)

xs(7.4)

Sinhronska referencna os v

δ = Θ0 + ∆Θ− π2

S

N

aa′

Θ0 + ∆Θ

δ

t = 0, 150 , 1

100 , ...

Slika 7.3: Skica modela sinhronskega stroja z oznacitvijo kota δ.

7.2 Dolocitev poenostavljenega modela mehanskega podsistema SG

V nadaljevanju bomo najprej dolocili poenostavljeni model mehanskega podsistema sinhronskegageneratorja. Pred nastopom prehodnega pojava v stacionarnem stanju (oznaceno z(·)0)velja ravnotežje med mehansko in elekricno mocjo Pm in Pg (enacba 7.5).

P 0m = Pg(δ

0) (7.5)

kjer jePg skupna trifazna elektricna moc generatorja.

Med prehodnim pojavom sprememba hitrosti povzroci spremembo kineticne energijestroja, kar se v skladu z zapisom 7.6 odrazi v povecanju ali zmanjšanju moci.

P 0m = Pg(δ) +

d

dtWkin (7.6)


7.2 Dolocitev poenostavljenega modela mehanskega podsistema SG 93

Vsako energijsko pretvorbo spremljajo izgube, zato jih bomo v obliki moci trenjaPtrenja

upoštevali tudi v 7.6.

P 0m = Pg(δ) +

d

dtWkin + Ptrenja (7.7)

Enacbo 7.7 zapišemo nekoliko drugace, da dobimo

d

dtWkin = P 0

m − Pg(δ)− Ptrenja (7.8)

Kineticno energijo vrtecega rotorja doloca enacba 7.9

Wkin =1

2JΘ2 (7.9)

kjer je J skupni vztrajnosni moment turbine in generatorja (seštevek vsega, kar je naskupni osi),Θ pa je kotna hitrost rotorja. Ob upoštevanju ustrezne vrednosti kotaΘ =ωt + δ + π

2 , je pripadajoc odvod kineticne energije pocasu, ki nastopa v enacbi 7.8, enakizrazu 7.10.

d

dtWkin =

d

dt(1

2JΘ2) = JΘΘ .= Jω0∆Θ = Jω0δ (7.10)

Ravnotežje gibajocega se rotorja sinhronskega stroja je podano z enacbo gibanja 7.11

JΘ + DΘ + te = tm (7.11)

kjer je elektricni navor strojate, ob upoštevanju spremenjenih predznakov zaud in uq v7.56 (predznak zauv ni spremenjen) in izrazov zaψd in ψq prav tako v 7.56, dolocen z7.12.

te = iqψd − idψq (7.12)

Z upoštevanjem slednjega lahko zapišemo enacbo 7.11 v obliki 7.13.

JΘ + DΘ + iqψd − idψq = tm (7.13)

Enacbo 7.13 pomnožimo s hitrostjoΘ in dobimo 7.14, kjer je mehansko ravnotežjenamesto z navori opisano z mocmi.

d

dt(1

2JΘ2) + DΘ2 + Θ(iqψd − idψq) = Θtm (7.14)

Enacbo 7.14 lahko izrazimo tudi s 7.15

d

dtWkin + Ptrenja + Θ(iqψd − idψq) = Pm (7.15)



kjer smo zWkin oznacili kineticno energijo, sPtrenja pa pripadajoco moc, ki se troši zapremagovanje trenja. V nadaljevanju poglejmo nekoliko podrobneje še elektricno moc,doloceno z izrazom 7.16.

Θ(iqψd − idψq) = iqvq + idvd + r(i2q + i2d)

= 3(IqUq + IdUd) + 3r(I2q + I2

d)

= 3ReUaI∗a + 3r|Ia|2

= 3P 1fg + 3r|Ia|2 = Pg + 3r|Ia|2

(7.16)

kjer smo vzeliPg = 3P 1fg , P 1f

g pa je vrednost moci ene faze. Zaradi male upornostir sotudi joulske izgube3r|Ia|2 zelo male, zato jih bomo zanemarili.

ClenPtrenja, ki nastopa v 7.15 predstavlja moc trenja. Predpostavimo, da se moc trenjas hitrostjo spreminja premosorazmerno, kot to doloca enacba 7.17, kjer jek koeficientviskoznega trenja.

Ptrenja = kΘ2 = k(ω0 + ∆Θ)2

= kω20 + 2kω0∆Θ + k∆Θ2

.= kω20 + 2kω0∆Θ

= kω20 + 2kω0∆δ

(7.17)

Clenkω20 predstavlja izgube v stacionarnem stanju in ga bomo preprosto odšteli odPm in

tako dobiliP ′m := Pm − kω2

0. Ker je kω20 ¿ Pm, bomo dodatno predpostavili, da velja

Pm = P ′m.

Enacbo gibanja 7.11 lahko z upoštevanjem 7.10 in 7.17 sedaj zapišemo v obliki 7.18.

Jω0δ + 2kω0∆δ + Pg(δ) = Pm (7.18)

Sedaj bomo enacbo gibanja 7.18 še normirali, za osnovo pa bomo izbrali skupno trifaznonavidezno moc Sb. Enacbo 7.18 levo in desno delimo z bazno mocjo in dobimo 7.19.

Jω0

Sbδ +

2kω0

SbΘ +

3Pg(δ)

Sb=

Pm

Sb(7.19)



Z izrazi 7.20 uvedemo nove parametre, ki so znacilni v elektroenergetiki,

Jω0

Sb:=

12Jω2

0

Sb

2ω0

= 1πf0

Wkin

Sb

H := Wkin

Sb[MJ/MV A]

M := Hπf0

D := 2kω0

Sb

3Pg(δ)Sb

:= Pg(δ) [p.u.]

(7.20)

z njihovim upoštevanjem v 7.19 pa se ta zapis preoblikuje v enacbo 7.21.

Mδ + Dδ + Pg(δ) = Pm [p.u.] (7.21)

Poudariti je treba, da je enacba zaradi predhodnega normiranja zapisana z relativnimivrednostmi. Enacba 7.21 predstavlja poenostavljen model mehanskega podsistema.Ceupoštevamo, da moc Pg(δ) doloca enacba 7.1 ali 7.3 vidimo, da je 7.21 v osnovi nelin-earna. Predpostavimo, da imamo opraviti s turbogeneratorjem, kjer je moc Pg(δ) podanas 7.3. Enacbo 7.21 z upoštevanjem 7.3 zapišemo še enkrat in dobimo 7.22.

Mδ + Dδ +|Ea||Ua|

xssinδ = Pm [p.u.] (7.22)

V izrazu 7.22 upoštevamo, da jeδ = δ0+∆δ. Linearizacijo opravimo tako, daPg v okolicidelovne tockeδ0 razvijemo v Taylor– jevo vrsto in uporabimo samo prva dvaclena. Takodobimo 7.23

M(δ0 + ∆δ) + D(δ0 + ∆δ) +|Ea||Ua|

xssinδ0 +

|Ea||Ua|xs

cosδ∆δ = P 0m + ∆Pm [p.u.]

(7.23)V stacionarnem stanju zagotovo velja, da jeδ0 = δ0 = 0.

P 0g :=

|Ea||Ua|xs

sinδ0 S :=|Ea||Ua|

xscosδ0 (7.24)

V zapisu 7.23 upoštevamo okrajšavi 7.24, hkrati pa od 7.23 odštejemo stacionarno stanje(moci P 0

g in P 0m) in dobimo lineariziran model mehanskega podsistema v obliki enacbe

7.25.M∆δ + D∆δ + S∆δ = ∆Pm [p.u.] (7.25)

Karakteristicna enacba ima obliko 7.26

Ms2 + Ds + S = 0 (7.26)



korena pa sta dolocena s 7.27.

s1,2 =−D ±√D2 − 4MS

2M(7.27)

Obicajno velja, da je 4MS À D2 ⇒ s1,2 = α± jωd.

Do podobnega poenostavljenega modela mehanskega podsistema sinhronskega stroja vobliki enacbe 7.25 bi lahko prišli tudi nekoliko drugace s preoblikovanjem zadnjega delablokovne sheme na sliki 6.5, ki je še enkrat prerisan na sliki 7.4.

2πSs

−Kn

1+Tns

∆f(s)∆Pm(s)

Slika 7.4: Blokovna shema poenostavljenega modela mehanskega podsistema sinhronskega stroja.

Ce sedaj ojacanje2π upoštevamo v zgornjem bloku in ne v povratni vezavi dobimo kotizhod iz bloka v direkni zanki namesto speremembe frekvence∆f(s) spremembo hitrosti∆ω(s). Po integriranju (množenje z1s v Laplace– ovem podrocju) dobimo na izhodu∆δ(s), kot je to prikazano na sliki 7.5.

1s−

∆Pm(s)

S

2πKn

1+Tns

∆δ(s)

Slika 7.5: Preoblikovana blokovna shema poenostavljenega modela mehanskega podsistema sinhronskegastroja.

Ce sedaj za primer na sliki 7.5 izracunamo zaprtozancno nadomestno prenosno funkcijoT (s) dobimo 7.28.

T (s) = ∆δ(s)∆Pm(s) =

2πKn1+Tns

1s

1+ 2πKn1+Tns

1s

= 2πKn

s2Tn+s+2πKnS

= 1s2 Tn

2πKn+s 1

2πKn+S

= 1s2M+sD+S

(7.28)



kjer staM in D dolocena s 7.29. Ocitno smo dobili enak rezultat, kot ga predstavlja zapis7.25.

M =Tn

2πKnD =

1

2πKn(7.29)

Pripadajoc model v obliki blokovne sheme je prikazan na sliki 7.6.

1Ms2+Ds+S

∆Pm(s) ∆δ(s)

Slika 7.6: Blokovna predstavitev enacbe 7.28.

Primer: Lastna nihanja generatorja pri razlicnih obremenitvah

Naj bo generator prikljucen na toge zbiralke (neskoncna kratkosticna moc) preko voda zreaktancoxv = 0.4 [p.u.], napetost na zbiralkah je|U∞| = 1 [p.u.], notranja inducirananapetost je|Ea| = 1.8 [p.u.], reaktanca cilindricnega rotorja jexd = xq = 1 [p.u.],vztrajnostna konstanta jeH = 1.25, S = 1.0 [p.u.] in D = 0.0. Izracunajmo frekvencenihanja kolesnega kota za vrednosti obremenitevPg = 0.05, 0.5 in 1.2.

Z uporabo enacbe 7.3 lahko izracunamo pripadajoce koteδ v stacionarnih stanjih.

Pg =|Ua||Ea|

xdsinδ

Ce v predhodno enacbo uvrstimo podane vrednosti parametrov dobimo 7.30.

P 0g (δ0) =

1 · 1.81 + 0.4

sinδ0 = 1.286 sin δ0 ⇒ δ0 (7.30)

Na podlagi izracunanih kotov za posamezne vrednosti moci Pg lahko z odvajanjem enacbe7.30 po kotuδ0 dobimo 7.31.

S =∂Pg(δ

0)

∂δ0 = 1.286 cos δ0 (7.31)

Z upoštevanjem 7.20 (M = Hπf0

) dobimo zapis 7.32.

ωn =

√√√√ S

M=

√√√√Sπf0

H(7.32)

Z narašcanjem moci Pg padaS in to niža frekvenco nihanja. Nihanja so skicirana na sliki



Tabela 7.1: Lastna nihanja generatorja pri razlicnih obremenitvah

P 0 [p.u.] δ0 [el.stop.] cosδ0 ωn [rad/s] f [1/s] T [s]0.05 2.5 0.999 6.35 1.0 1.00.5 25.4 0.9 6.0 0.96 1.041.2 76.6 0.36 3.8 0.6 1.65

7.7.

ωt

0.0 π δπ2

Pm

ωt

Slika 7.7: Nihanje rotorja sinhronskega generatorja.

Analogijo bi lahko poiskali v primeru s slike 7.8. V tem primeru lahko zakljucimo, damehkejša kot bo vzmet, nižje bodo frekvence nihanj.

M Pm

δ

0.0

Slika 7.8: Ponazoritev gibajocega se rotorja.



Analiza nihanj dveh paralelno delujocih sinhronskih generatorjev

Model dveh paralelno delujocih sinhronskih generatorjev s katerim bomo analizirali lastnanihanja dobimo tako, da ustrezno sestavimo dva modela s slike 7.5. Tako dobimo modeldveh paralelno delujocih generatorjev na sliki 7.9, ki je zelo podoben tistemu iz predhod-nega poglavja.

∆δ2

−

∆Pm2

S2

2πKn2

1+Tn2s1s

−

∆Pm1

S1

2πKn1

1+Tn1s1s

+

+

−

−

∆δ1

Slika 7.9: Model dveh paralelno delujocih generatorjev.

Model dveh paralelno delujocih strojev ponazarjata enacbi 7.33 in 7.34.

M1∆δ1 + D1∆δ1 + S1(∆δ1 −∆δ2) = ∆Pm1 (7.33)

M2∆δ2 + D2∆δ2 + S2(∆δ2 −∆δ1) = ∆Pm2 (7.34)

Predpostavimo, da so joulske izgube enake nic (vse ohmske upornosti so nic). Velja naj7.35 in 7.36.

S1(∆δ1 −∆δ2) + S2∆(δ2 −∆δ1) = 0 (7.35)

∆Pm1 + ∆Pm2 = 0 (7.36)

Hkrati predpostavimo, da velja 7.37.

D1

M1=

D2

M2∆Pm2 = −∆Pm1 (7.37)

Z upoštevanjem 7.35 in 7.37 v enacbi 7.34 dobimo 7.38.

M2∆δ2 + D2∆δ2 − S1(∆δ1 −∆δ2) = −∆Pm1 (7.38)



Sedaj enacbo 7.33 delimo zM1, enacbo 7.38 pa zM2 in dobimo enacbi 7.39 in 7.40.

∆δ1 +D1

M1∆δ1 +

S1

M1(∆δ1 −∆δ2) = ∆Pm1

1

M1(7.39)

∆δ2 +D2

M2∆δ2 − S1

M2(∆δ1 −∆δ2) = −∆Pm1

1

M2(7.40)

Enacbo 7.40 odštejemo od 7.39 in dobimo 7.41.

∆δ12 +D1

M1∆δ12 + (

1

M1+

1

M2)S1(∆δ12) = (

1

M1+

1

M2)∆Pm1 (7.41)

Ce predpostavimo, da sta obe dušenji enaki nic D1 = D2 = 0, lahko za dolocitev upora-bimo metodo enakih površin.Ce morda hkrati velja šeM1 = M2 je v skladu z enacbo7.42 lastna frekvenca nedušenega nihanjaωn dveh paralelno delujocih generatorjev zakoren iz dva krat vecja od lastne frekvence enega samega generatorja.

ωn =

√√√√S1(M1 + M2)

M1M2fn =

ωn

2π(7.42)

7.3 Dolocitev poenostavljenega modela sinhronskega stroja

Sinhronski generatorji delujejo v elektoenergetskem sistemu paralelno. Generatorji sotrifazni, v sistem jih povezuje trifazno omrežje. Uveljavljeni model sinhronskega stroja,ki se uporablja v analizi obratovalnih lastnosti je dvofazni model stroja v skupnemdq–koordinatnem sistemu. Podoben model bomo uporabili tudi za študij stabilnosti. Samopo sebi se sedaj postavlja vprašanje, kako je v analizi mogoce med sabo povezati dvo-fazni model generatorja s trifaznim omrežjem ali z vec podobnimi modeli sinhronskihstrojev. Ena od možnosti je shematicno prikazana na sliki 7.10, kjer je prikazano, kako jemogocen generatorjev povezati z modelom omrežja in bremeni, s tem da je tudi omrežjeobravnavano dvofazno.


7.3 Dolocitev poenostavljenega modela sinhronskega stroja 101

macija

I0 = Y0U0

EESModel

Modelgeneratorja

1 1

δ1

Uq1, Ud1

Iq1, Id1tm1

Uv1 Ua1

Ia1

Modelgeneratorja

n n

δn

Uqn, Udn

Iqn, Idntmn

Uvn Uan

Ian

Un+m

zn+m

In+m

Un+1

zn+1

In+1Transfor-macija

Transfor-

Slika 7.10: Blokovna shema povezave sinhronskih strojev in bremen z omrežjem.

Sistem obravnave in vklucevanja generatorjev v omrežje pa velja v okviru dveh omejitev.Z njim je mogoce preprosto racunati v primeru simetrije, ko je vsota tokov in napetostienaka nic in torej imamo opraviti samo s "pozitivnim sistemom"(i0 = u0 = 0). Drugaznacilnost, ki niti ni omejitev je ta, da tak model velja samo za stacionarna stanja inpocasne spremembe.

Model omrežja, ki povezuje generatorje in bremena je podan z matricnim zapisom 7.43

Io = YoUo (7.43)

kjer je Io matrika omrežnih tokov,Yo je admitancna omrežna matrika,Uo pa je matrikaomrežnih napetosti. V primeru numericne analize - reševanja kompleksnega sistema nasliki 7.10 se je treba zavedati, da je potrebno zapis 7.43, v skladu z izbranocasovnodiskretizacijo, reševati skupaj z modeli generatorjev in bremen.

V pojasnjevanje sistema reševanja se v nadaljevanju ne bomo spušcali, saj naš namen nipojasnjevanje delovanja programov, ki takšno analizo omogocajo. Pojasniti želimo samoto, kakšne so povezave med spremenljivkami v modelu sinhronskega stroja in tistimi, kinastopajo v omrežju (torej v zapisu 7.43).

Povezave najlažje pojasnimo s kazalcnim diagramom na sliki 7.11.



d– os

<Ua

q– os

jUdejδ

=Ua

Uqejδ

δ

Real – os

Ua

Imag – os

Slika 7.11: Kazalcni diagram z dvema razlicnima sistemoma.

Na sliki imamo dva koordinatna sistema. Prvidq– koordinatni sistem je referencen zasinhronski stroj, saj je vezan na magnetno polje vzbujalnega sistema vsakega posameznegageneratorja, ki deluje v sistemu. Na podlagi zapisanega je jasno, da ima vsak sinhronskistroj svoj lastendq– koordinatni sistem, ki je za njemu lasten kotδ premaknjen od ko-ordinatnega sistema omrežja, ki je podan z Real – in Imag – osjo. Omrežni koordinatnisistem je torej skupni imenovalec, na katerega je potrebno pretvoriti spremenljivke (tokeali napetosti) posameznih generatorjev, ki so zajeti v analizo.

Predpostavimo, da socasovni poteki statorskih napetosti generatorja doloceni z zapisi7.44

ua(t) =√

2|U |cos(ω0t + 6 U)

ub(t) =√

2|U |cos(ω0t− 2π3 + 6 U)

uc(t) =√

2|U |cos(ω0t− 4π3 + 6 U)

(7.44)

kjer veljaΘ = ω0t + π2 + δ, |U | je modul napetostiua (efektivna vrednost napetostiua),

6 U je kot napetosti glede na Real – os,√

2|U | pa je torej vršna vrednost te napetosti.Z ustrezno transformacijo 7.45, ki smo jo spoznali že pri splošni teoriji elektricnih stro-jev, pretvorimo napetosti vdq– sistem (7.47). Pri tem je zaradi zahtevane simetrije (glejzacetne predpostavke) napetostu0 = 0.

uq

ud

u0

=

√√√√2

3

− sin Θ − sin(Θ− 1200) − sin(Θ− 2400)cos Θ cos(Θ− 1200) cos(Θ− 2400)

1√2

1√2

1√2

ua

ub

uc

(7.45)

Transformacija 7.45 je invariantna na moc (ortogonalna), zato dobimo inverzno transfor-macijo preprosto tako, da transformacijsko matriko transponiramo. Napetostiuq in ud


7.4 Stacionarni model sinhronskega stroja 103

torej doloca zapis 7.46.uq =

√3|U |cos(6 U − δ)

ud =√

3|U |sin(6 U − δ)(7.46)

Obe komponenti dvofaznih napetosti lahko združimo v kompleksnem zapisu 7.47

uq + jud =√

3|U |[cos(6 U − δ)+ jsin( 6 U − δ)] =√

3|U |ej( 6 U−δ) =√

3Uae−jδ (7.47)

kjer je kazalec napetostiUa dolocen zUa = |U |ej 6 U . Iz izraza 7.47 sedaj izrazimonapetostUa in dobimo 7.48.

Ua = ( uq√3 + j ud√

3)ejδ

= (Uq + jUd)ejδ

(7.48)

Transformacije med napetostima v generatorskemdq– koordinatnim sistemu in omrežnimkoordinatnim sistemom z Real – in Imag – osjo podajata transformaciji 7.49

[Uq

Ud

]=

cos δ sin δ

− sin δ cos δ

[Real Ua

Imag Ua

]

[Real Ua

Imag Ua

]=

cos δ − sin δ

sin δ cos δ

[Uq

Ud

](7.49)

7.4 Stacionarni model sinhronskega stroja

V stacionarnem stanju sta toka v dušilnih navitjih nic, torejiD = iQ = 0. Zato v modeluelektricnega podsistema sinhronskega stroja 5.1 upoštevamo samo prve tri enacbe in vnjih dodatno vzamemo, da sta tokaiD in iQ nic.

ud = −rid − ω0ψq

uq = −riq + ω0ψd

uv = rviv

ψd = ldid + klhdiv

ψv = klhdid + lviv

ψq = lqiq

(7.50)

Napetost na sponkah stroja je v skladu z definicijama 7.48 enaka zapisu 7.51

(Uq + jUd)ejδ = −r(Iq + jId)e

jδ + (ω0ldId − jω0lqIq)ejδ +

1√3ω0

√√√√3

2lhdive

jδ (7.51)



kjer jeUa = (Uq + jUd)e

jδ

Ia = (Iq + jId)ejδ

Ea = 1√3ω0

√32lhdive

jδ = ω0lhd√2 ive

jδ

xd = ω0ld

ψd = ldid + klhdiv

xq = ω0lq

k =√

32

(7.52)

Pri zadnjemclenu enacbe 7.51 smo dodali konstanto1√3 zato, ker veljaUq = uq√3 in Ud =

ud√3 . Enacbo 7.51 sedaj zapišemo krajše z upoštevanjem 7.52 in dobimo 7.53.

Ua = −rIa + xdIdejδ − jxqIqe

jδ + Ea (7.53)

Ce z izrazom 7.54 definiramo dva nova tokaIad in Iaq lahko inducirano napetostEa v7.53 izrazimo s 7.55.

Iad := jIdejδ Iaq := Iqe

jδ (7.54)

Ea = Ua + rIa + jxdIad + jxqIaq (7.55)

Enacbo 7.55 graficno ponazarja kazalcni diagram na sliki 7.12. Preden narišemo kazalcnidiagram na sliki 7.12 moramo dolociti položaj koordinatnega sistemadq, kar storimotako, da kazalcu napetostiUa graficno prištejemo ustrezen ohmski padec napetostirIa ininduktivni padec napetostijxqIa oziromajxsIa (crtkana oznaka).

jxqIa

q–os

Ua

Ia

rIa

δ

ϕjxdIad

Iaq

Iad

jxqIaq

d–osImag– os

Real– os

Ea

jxqIa

Slika 7.12: Kazalcni diagram sinhronskega stroja - ponazoritev enacbe 7.55.


7.5 Poenostavljeni dinamicni model sinhronskega stroja 105

7.5 Poenostavljeni dinamicni model sinhronskega stroja

Pri dolocitvi poenostavljenega dinamicnega modela sinhronskega stroja bomo predpostavilinaslednje:

• Sinhronski generator obratuje paralelno, imamo simetricne napetosti (u0 = i0 = 0).

• Transformacijski kot jeΘ = ω0t + π2 + δ in |δ| ¿ ω0.

• ψd in ψq sta mala v primerjavi zω0ψd in ω0ψq, zato ju zanemarimo.

• Toka v dušilnih navitjih sta nic, torejiD = iQ = 0.

Model stroja, ki bo služil za dolocitev poenostavljenega dinamicnega modela sinhronskegastroja 7.56 je zelo podoben stacionarnemu 7.50. Razlika se pojavi samo v zapisu tretjeenacbe, ki opisuje dogajanje v vzbujalnem navitju.

ud = −rid − ω0ψq

uq = −riq + ω0ψd

uv = rviv + ψv

ψd = ldid + klhdiv

ψv = klhdid + lviv

ψq = lqiq

(7.56)

Z izrazom 7.57 bomo sedaj definirali tako imenovano statorsko napetostE ′a, ki se bo

razlikovala od tretje enacbe v zapisu 7.52 po tem, da bo v njej namesto tokaiv nastopalvzbujalni magnetni sklepψv.

E ′a :=

ω0lhd√2lv

ejδψv (7.57)

V zapisu 7.57 je|E ′a| dolžina fazorjaE ′

a in je sorazmernaψv, podobno kot je bila dolžinafazorjaEa |Ea| premosorazmerna vzbujalnemu tokuiv.

Ce sedaj v izraz 7.57 zaψv uvrstimo peto enacbo iz zapisa 7.56 dobimo 7.58.

E ′a :=

ω0lhd√2lv

ejδψv =ω0kl2hd√

2lvejδid +

ω0lhd√2lv

ejδiv (7.58)



Drugi clen v enacbi 7.58 je ocitno napetostEa, kot je bila definirana s 7.52. Prviclen v7.58 bomo sedaj izrazili nekoliko drugace z zapisom 7.59.

ω0kl2hd√2lv

ejδid =ω0√

3l2hd√2√

2lvejδ√

3Id = ω0k2l2hd

lvejδId = ω0(ld − l′d)e

jδId (7.59)

V 7.59 smo upoštevali nekatere že znane odvisnosti 7.60.

id =√

3Id ; k =

√3√2

; l′d = ld − (klhd)2

lv(7.60)

Z upoštevanjem 7.60 lahko enacbo 7.59 zapišemo v obliki 7.61.

E ′a = ω0(ld − l′d)Ide

jδ + Ea = j(x′d − xd)jIdejδ + Ea (7.61)

Enacbo 7.61 bomo sedaj preoblikovali tako, da vanjo zaEa vstavimo izraz 7.55. Rezultatpreoblikovane enacbe predstavlja zapis 7.62.

E ′a = jx′d jIde

jδ + xdIdejδ + Ua + rIa + jxdIad + jxqIaq

= jx′d jIdejδ + xdIde

jδ + Ua + rIa − xdIdejδ + jxqIaq

= Ua + rIa + jx′dIad + jxqIaq

(7.62)

Enacbo 7.62 graficno ponazarja kazalcni diagram na sliki 7.13.

Real– os

q–os

Ua

Ia

rIa

δ

ϕ

Iaq

Iad

jxqIaq

d–os

E ′a

jx′dIad

jxqIaq

j(xd − x′d)Iad

Ea

Imag– os

Slika 7.13: Kazalcni diagram sinhronskega stroja - ponazoritev enacbe 7.62.


7.5 Poenostavljeni dinamicni model sinhronskega stroja 107

Izraz zauv (tretja enacba v zapisu 7.56) pomnožimo s faktorjemω0lhd√2rv

in dobimo 7.63.

ω0lhd√2rv

uv =ω0lhd√

2rv

rviv +ω0lhd√

2rv

d

dtψv (7.63)

Iz izraza zaψv (peta enacba v zapisu 7.56) izrazimo tokiv in dobimo 7.64.

ψv = klhdiv + lviv ⇒ iv =ψv

lv− klhd

lvid (7.64)

Tok iv vstavimo v prviclen v zapisu 7.63 in dobimo 7.65.

ω0lhd√2rv

rviv = ω0lhd√2rv

rv(ψv

lv− klhd

lvid)

= ω0lhd√2rv

rvψv

lv− ω0lhd√

2rvrv

klhd

lvid

= E ′a − ω0kl2hd√

2lvid = Ea

(7.65)

Pri tem smo upoštevali, da v skladu s tretjo enacbo iz zapisa 7.52 (stacionarni modelsinhronskega stroja) velja 7.66

ω0lhd√2rv

uv =ω0lhd√

2iv = Ea (7.66)

saj v stacionarnem stanju velja, da jeiv = uv

rv. Prav tako lahko ugotovimo, da se tretja

vrstica v zapisu 7.65 ujema s 7.61, kjer je treba upoštevati 7.59.

Ce sedaj še enkrat izpišemo drugiclen izraza 7.63 in hkrati upoštevamo, kako smo zizrazom 7.57 definirali fazorE ′

a (trenutno nas zanima samo absolutna vrednost|E ′a| brez

kota), v skladu z 7.67 dobimo zelo preprost rezultat, ki ga bomo v nadaljevanju upoštevaliv preoblikovanem zapisu enacbe 7.63.

ω0lhd√2rv

d

dtψv =

lvrv

ω0lhd√2lv

d

dtψv =

lvrv

d

dt|E ′

a| (7.67)

Ce z zapisom 7.68 v enacbi 7.63 uvedimo dodatno novo oznakoEvd

Evd :=ω0lhd√

2rv

uv (7.68)

lahko enacbo 7.63 zapišemo v njeni koncni obliki 7.69 (poleg 7.68 smo upoštevali še 7.66in 7.67)

Evd = |Ea|+ lvrv

d

dt|E ′

a| = |Ea|+ T ′d0

d

dt|E ′

a| (7.69)



kjer smo vpeljalicasovno konstantoT ′d0 = lv

rv. Razmerje medE ′

a in Ea je razvidno izkazalcnega diagrama na sliki 7.13. NapetostEvd je na nek nacin na stator preracunana(skalirana) vrednost vzbujalne nepetostiuv; enotaEvd je torej primerljiva z enotoEa, vprimeru uporabe relativnih vrednosti pa za normiranje obeh uporabimo isto bazno vred-nost napetosti.

Povzetek: Poenostavljeni dinamicni model sinhronskega stroja v normirani obliki

Poenostavljeni model dolocata dve diferencialni enacbi 7.21 in 7.69

Mδ + Dδ + Pg(δ) = Pm [p.u.]

T ′d0

d

dt|E ′

a|+ |Ea| = Evd

in dve algebrajski enacbi 7.70 in 7.61.

Ea = Ua + rIa + jxdIad + jxqIaq (7.70)

E ′a = Ua + rIa + jx′dIad + jxqIaq (7.71)

V 7.70 in 7.71 lahko opravimo tudi zamenjaviIad = jIdejδ in Iaq = jIqe

jδ. V 7.21 jesplošnoPg = ReUaI

∗a . Ce zanemarimo upornost, torejr = 0, velja naslednje:

Pg =|Ea||Ua|

xdsinδm +

|Ua|22

(1

xd− 1

xq)sin2δm (7.72)

oziroma:

P ′g =

|E ′a||Ua|x′d

sinδm +|Ua|2

2(

1

x′d− 1

xq)sin2δm (7.73)

kjer veljaδm := 6 Ea − 6 Ua = 6 E ′a − 6 Ua = δ − 6 Ua.

7.6 Obratovanje generator preko vmesne reaktance na togem om-režju

Predpostavimo, da obratuje generatorja preko vmesne reaktance na togem omrežju, kot jeto razvidno iz slike 7.14.


7.6 Obratovanje generator preko vmesne reaktance na togem omrežju 109

U∞6 0ojxv

x = x + xv

|E′a|6 δSG

Slika 7.14: Obratovanje generatorja preko vmesne reaktance na togo omrežje.

Razmere so prikazane v obliki kazalcnega diagrama na sliki 7.15

U∞cosδE ′

a

Ea

q–os

Iaq

IadIa

δ

ϕ

d–os

j(xd − x′d)Iad

jx′dIad

jxqIaq

Imag– os

Real– osU∞

Slika 7.15: Kazalcni diagram sinhronskega stroja - ponazoritev primera na sliki 7.14.

Na podlagi razmer na sliki 7.15 lahko zapišemo odvisnost 7.74.

|Ea| − |U∞|cosδ|E ′

a| − |U∞|cosδ=

xd|Iad|x′d|Iad| =

xd

x′d(7.74)

Na podlagi lahko|Ea| izrazimo z|E ′a| in δ neposredno iz enacbe 7.74, tako da dobimo

7.75.

|Ea| = xd

x′d|E ′

a|+ |U∞|x′d − xd

x′dcosδ (7.75)

Ce v |Ea| (enacba 7.75) upoštevamo na novo uvedeni parameterK3 (enacba 7.76), lahkoizrazimo|Ea| drugace z zapisom 7.77.

K3 =x′dxd

=x′d + xv

xd + xv(7.76)



kjer velja naslednje:xv > 0 in x′d < xd ⇒ 0 < K3 < 1.

|Ea| = 1

K3|E ′

a|+ (1− 1

K3)|U∞|cosδ (7.77)

Sedaj izracunani|Ea| vstavimo v enacbo 7.69 in tako dobimo 7.78.

K3T′d0

d

dt|E ′

a|+ |E ′a| = K3Evd + (1−K3)|U∞|cosδ (7.78)

Enacbi 7.78 sedaj pridružimo še enacbo gibanja 7.21:

Mδ + Dδ + Pg(δ) = Pm [p.u.]

kjer je moc Pg dolocena z 7.79

Pg = Pg(δ, |E ′a|) =

|E ′a||U∞|x′d

sinδ +|U∞|2

2(

1

xq− 1

xd)sin2δ (7.79)

Predpostavimo stacionarno obratovanje in stacionarne vrednosti spremenljivk(·) v de-lovni tocki 0 oznacimo na naslednji nacin (·)0 (7.80):

δ = δ0 |E ′a| = |E ′

a|0Pg = P 0

g = Pg(δ0, |E ′

a|0) Evd = E0vd

(7.80)

Sicer nelinearni model bomo linearizirali tako, da bomo sistem opazovali samo v bližnjiokolici tocke, kjer bomo linearizacijo opravili. Male odmike od delovne tocke oznacimopo naslednjem vzorcu:

δ = δ0 + ∆δ, |E ′a| = |E ′

a|0 + ∆|E ′a|, . . . (7.81)

Z izrazom 7.81 uvedene spremenljivke sedaj vstavimo 7.78 in 7.21 in odštejemo vred-nosti v stacionarni delovni tocki. Razmere med∆δ, ∆|E ′

a|, ∆Evd in ∆Pm sedaj dolocatalinearizirani diferencialni enacbi 7.82.

K3T′d0

ddt∆|E ′

a|+ ∆|E ′a| = K3∆Evd − (1−K3)|U∞|sinδ0∆δ

M∆δ + D∆δ + ∂Pg(δ0,|E′a|0)

∂δ ∆δ + ∂Pg(δ0,|E′a|0)

∂|E′a| ∆|E ′

a| = ∆Pm

(7.82)

Enacbi 7.82 bomo v nadaljevanju dodatno preoblikovali z uvedbo treh novih parametrovK1, K2 in K4 v obliki enacb 7.83.

K1 = ∂Pg(δ0,|E′a|0)

∂δ

K2 = ∂Pg(δ0,|E′a|0)

∂|E′a|

K4 = ( 1K3− 1)|U∞|sinδ0

(7.83)



ParametraK1 in K2 dolocimo z odvajanjem enacbe 7.79. Ce opravimo Laplace–ovotransformacijo obeh enacb 7.82 in predpostavimo, da so zacetni pogoji nic ter hkrati up-oštevamo 7.83, dobimo model v obliki enacb 7.84.

(K3T′d0s + 1)∆|E ′

a| = K3∆Evd −K3K4∆δ

(Ms2 + Ds + K1)∆δ = ∆Pm −K2∆|E ′a|

(7.84)

Enacbi 7.84 lahko ponazorimo z blokovno shemo na sliki 7.16.

K4

∆|E′a| ∆δ

1Ms2+Ds+K1

∆Pm

G2(s)

−K2

K31+K3T ′

d0s

G1(s)

∆Evd

−

Slika 7.16: Blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamicnega modela sinhronskega stroja.

7.6.1 Generator z regulacijo napetosti, prikljucen na togo omrežje preko vmesnereaktance

Predpostavimo, da napetostno reguliran sinhronski generator obratuje preko vmesne reak-tance na togo omrežje, kot je to prikazano na sliki 7.17.

Regul.napet.

jxv

x = x + vv

|E′a| 6 δ

SG

U∞6 0o

Ua

Ua

Slika 7.17: Blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamicnega modela sinhronskega stroja.

Napetost na sponkah stroja (zaradi linearizacije modela mali odstopek amplitude napetosti∆|Ua| od vrednosti v delovni tocki) doloca enacba 7.85, ki je povzeta po literaturi.

∆|Ua| = K5∆δ + K6∆|E ′a| (7.85)

Reaktanco vodaxv ponovno upoštevamo vx′d in xq in dalje racunamo zx′d = x′d + xv inxq = xq + xv. Inducirano napetostE ′

a predstavlja zapis 7.86.

E ′a = U∞ + jx′djIde

jδ + jxqIqejδ (7.86)



Enacbo 7.86 pomnožimo zejδ in tako dolocimo ustrezno amplitudo inducirane napetosti|E ′

a| (absolutna vrednost ali norma) (enacba 7.87).

|E ′a| = |U∞|cosδ − j|U∞|sinδ − x′dId + jxqIq (7.87)

V 7.87 sta ustrezna tokaId in Iq dolocena z enacbama 7.88.

Id =|U∞| − |E ′

a|x′d

Iq =|U∞|sinδ

xq(7.88)

Sedaj lahko izracunamo napetostUa v obliki izraza 7.89.

Ua = U∞ + jXvIa (7.89)

V 7.89 upoštevamo 7.90 in dobimo 7.91.

Ua = (Uq + jUd)ejδ

Ia = (Iq + jId)ejδ

(7.90)

(Uq + jUd) = |U∞|cosδ − j|U∞|sinδ + jxv(Iq + jId) (7.91)

Zapis 7.91 lahko locimo na dva dela in sicer:

Uq = |U∞|cosδ − xvId = xv

x′d|E ′

a|+ xv

x′d|U∞|cosδ

Ud = −xq

xq|U∞|sinδ

(7.92)

Amplituda napetostiUa je dolocena s 7.93.

|Ua| = (U 2q + U 2

d )12 (7.93)

V zapisu 7.93 upoštevamo 7.92. Tako dolocena amplituda napetosti|Ua| je nelinearna(v zapisu nastopajo sinusne in cosinusne funkcije), zato opravimo linearizacijo v okolicidelovne tocke |E ′

a| = |E ′a|0, δ = δ0 in |Ua| = |Ua|0; rezultat linearizacije je linearizirana

odvisnost 7.94.

∆|Ua| = ∂|Ua|0∂δ

∆δ +∂|Ua|0∂|E ′

a|∆|E ′

a| (7.94)

Ce primerjamo 7.94 z 7.85 ocitno velja 7.95.

K5 :=∂|Ua|0

∂δK6 :=

∂|Ua|0∂|E ′

a|(7.95)

Sedaj izracunajmo parameterK5. S posrednim odvajanjem 7.85 po kotuδ dobimo 7.96.

∂|Ua|∂δ

=1

2(U2

q + U2d )−

122(Uq

∂Uq

∂δ+ Ud

∂Ud

∂δ) (7.96)



Z upoštevanjem 7.92 dobimo 7.97.

K5 =∂|Ua|0

∂δ= −|U∞| [

x′dU0q

x′d|Ua|0sinδ0 +xqU

0d

xq|Ua|0cosδ0] (7.97)

Pri dolocitvi K5 moramo iz podanih vrednostiδ0 in |E ′a|0 torej dolociti U 0

q in U 0d , potem pa

iz tega|Ua|0 in K5. Pri tem je pomembno, da je lahkoK5 pozitiven ali negativen. Pri malihobremenitvah jeK5 pozitiven, pri velikih pa negativen, kar lahko povzroci stabilnostneprobleme, saj je napetostU0

q pozitivna, napetostU0d pa negativna.

Sedaj bomo izracunali šeK6 in pri tem upoštevali, da veljax′d = x′d + xv.

∂|Ua|∂|E ′

a|=

1

2(U2

q + U2d )−

122(Uq

∂Uq

∂|E ′a|

+ Ud∂Ud

∂|E ′a|)

(7.98)

Ker velja 7.98, z upoštevanjem 7.92 izracunamo 7.99.

K6 =∂|Ua|0∂|E ′

a|=

xv

x′d

U 0q

|Ua|0 |E′a|0 (7.99)

Glede na zapis 7.99 je torejK6 v normalnih razmerah pozitiven.

Sedaj lahko linearizirani poenostavljeni model sinhronskega stroja v obliki blokovne shemena sliki 7.16 dopolnimo z izrazom 7.94 in tako dobimo linearizirani model sinhronskegastroja z upoštevano regulacijo napetosti na sliki 7.18.

∆Ur

1Ms2+Ds+K1

∆Pm

G2(s)

−K2

K31+K3T ′

d0s

G1(s)

−

K4

K5

K6

∆|E′a| (y) (x)

∆δ∆Evd

11+Tf s

Gv(s)

−

∆Uv

+

+

∆|Ua|

Slika 7.18: Blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamicnega modela sinhronskega stroja zupoštevano regulacijo napetosti.

Na sliki 7.18Gv(s) predstavlja prenosno funkcijo, v kateri sta zajeta modela regulatorjanapetosti in vzbujalnika. BlokGf(s) z zelo malocasovno konstantoTf predstavlja filterin ga v nadaljni obravnavi lahko tudi izpustimo.



Za lažjo analizo stabilnosti bomo opravili nekatere dodatne poenostavitve, s tem da bomoizbrali Tf = 0, prenosno funkcijoGv(s) nadomestimo sKv = Gv(0); Kv > 0 in ∆Ur =0.

Z uporabo pravil blokovne algebre preoblikujemo blokovno shemo na sliki 7.18 levo odtocke (y) tako, da ostane sistem med tockama (x) in (y) nespremenjen. Na podlagi slike7.18 velja naslednje:

∆|E ′a|(s) =

K3

1 + K3T ′d0s

[−K4∆δ(s)−Kv(K5∆δ(s) + K6∆|E ′a|(s))] (7.100)

Spremenljivka∆|E ′a|(s) nastopa na levi in desni strani izraza 7.100, zato jo v izrazu 7.101

izpostavimo na levi strani enacbe.

∆|E ′a|(s)(1 +

K3KvK6

1 + K3T ′d0s

) =−K3(K4 + KvK5)

1 + K3T ′d0s

∆δ(s) (7.101)

Sedaj z izrazom 7.102 uvedemo novo prenosno funkcijoGvv(s).

Gvv(s) =∆|E ′

a|(s)∆δ(s)

=−K3(K4 + KvK5)

1 + K3KvK6 + K3T ′d0s

(7.102)

Blokovno shemo na sliki 7.18 lahko sedaj zaradi omenjene spremembe narišemo tako,kot jo kaže slika 7.19.

Gvv(s)

1Ms2+Ds+K1

∆Pm

G2(s)

−K2

∆|E′a|

∆δ−K3(K4+KvK5)

1+K5KvK6+K3T ′d0s

Slika 7.19: Blokovna shema preoblikovanega poenostavljenega lineariziranega dinamicnega modelasinhronskega stroja z upoštevano regulacijo napetosti.

V zvezi z blokovno shemo na sliki 7.19 je treba povdariti, da vhod v sistem, ki je oznacen z0 zaradi predhodnega preoblikovanja nic vec ne predstavlja referencne napetosti∆Ur(s).Hkrati vidimo, da predstavlja preoblikovani poenostavljeni linearizirani dinamicnegi modelsinhronskega stroja z upoštevano regulacijo napetosti na sliki 7.19 sistem tretje stopnje.ParametriK3, Kv in K6 so vedno pozitivne, pol ki pripadacasovni konstantiT ′

d0 pa ležidalec "levo"v s– ravnini. Ker jeK4 pozitiven ni težav s stabilnostjo, dokler jaK5 pozi-tiven, saj v tem primeru poli vedno ležijo "levo".



Težave s stabilnostjo se pojavijo, ko postaneK5 negativen, kar se lahko zgodi pri velikihdelovnih obremenitvah ali pa pri velikih prenosnih razdaljah. V tem primeru je lahkoK4 + KvK5 negativen in predhodno negativna povratna vezava postane pozitivna. Kersta pola, ki dolocata dinamiko rotorja relativno blizujω osi v s– ravnini, lahko postanesistem že pri normalnih ojacanjihKv nestabilen. Razmere ponazarja skica diagrama legakorenov (DLK) na sliki 7.20.

K4 + Kv + K5 < 0

−σ

−jω

jω

K2 je spremenljiv

Slika 7.20: Skica diagrama lege korenov.

To pomannjklivost odpravimo tako, da sistem naredimo neodvisen odK5 tako, da sistemuna sliki 7.19 dodamo povratno vezavo in vanjo vkljucimo ustrezno prenosno funkcijo, kise imenuje tudi stabilizator nihanja kotaδ (angleško Power System Stabilizer ali kratkoPSS). Stabilizator je predstavljen na sliki 7.21.

∆δ

1Ms2+Ds+K1

∆Pm

G2(s)

−K2

K31+K3T ′

d0s

G1(s)

−

K4

K5

K6

∆|E′a| (y) (x)

∆δ∆Evd

Kv

∆Uv

+

+

∆Ur

−

∆|Ua|

KS1+τs

s

Slika 7.21: Blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamicnega modela sinhronskega stroja zupoštevano regulacijo napetosti in stabilizatorjem kolesnega kotaδ.



Primer (Bergen):

Parametri:M = 3/377, D = 0, K1 = 1.01, K2 = 1.15, K3 = 0.36, K4 = 1.47,K5 = −0.097, K6 = 0.417, Kv = 25.0, KPSS = 10/377, τ = 0.05.

Odvajanju kota∆δ se je mogoce izogniti s preoblikovanjem zadnjega dela blokovnesheme 7.21, kot je to pokazano na sliki 7.22.

2π

∆Pm

−K2

K31+K3T ′

d0s

G1(s)

−

K4

K5

K6

∆|E′a|

∆Evd

Kv

∆Uv

+

+

∆Ur

−

∆|Ua|

KS1+τs

∆δ

∆δ

1s

1Ms+D

K1

−

Slika 7.22: Preoblikovana blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamicnega modelasinhronskega stroja z upoštevano regulacijo napetosti in stabilizatorjem kolesnega kotaδ.


Literatura

[1] G. Kron, The aplication of tensors to the analysis of rotating electric machinery. 1942.

[2] Drago Dolinar, Peter Jereb,Splošna teorija elektricnih strojev. Založniška dejavnost FERI, 1995.

[3] Drago Dolinar,Dinamika linearnih sistemov in regulacije. Založniška dejavnost FERI, Maribor, 1997.

[4] R. H. Park, Two–reaction theory of synchronous machines I in II.Trans. AIEE, (48 in 52), 1929 in1933.

VODENJE ELEKTROENERGETSKIH SISTEMOV

Documents

Transcript of VODENJE ELEKTROENERGETSKIH SISTEMOV