VLAKKE MEETKUNDE 2studiejaar 1, periode 2, week 8

HUISWERKBespreken uit §6.1 en § 6.2 oefening 6 en 11

Huiswerk §6.1 opdracht 6Voor de punten P van een hyperbool geldt | d(P, F1) - d(P, F2)|= 4 en d(F1 , F2) = 6. Construeer tenminste 4 punten (op het tentamen altijd 5!) en teken de asymptoten. Voor het tekenen van de hyperbool tekenen we cirkels met als middelpunt de brandpunten. Voor de stralen van deze cirkels geldt dat het verschil telkens 4 moet zijn:

Huiswerk §6.1 opdracht 6

Huiswerk §6.1 opdracht 6

Huiswerk §6.1 opdracht 6Voor het tekenen van de asymptoten bepalen we het midden tussen de brandpunten en tekenen vanuit dat punt de cirkel met straal 3. Daarnaast tekenen we de richtcirkel (F1, 4). De snijpunten van deze twee cirkels noemen we R1 en R2. De middelloodlijnen van de lijnen F1R1, en F2R2 zijn de asymptoten:

Huiswerk §6.1 opdracht 6

Huiswerk §6.1 opdracht 6

Huiswerk §6.2 opdracht 11Gegeven is een parabool. R ligt op de parabool met brandpunt F. Lijn l door Ris evenwijdig met de as van de parabool. Waarom staat de raaklijn in R loodrechtop de deellijn van hoek FRP. ∠VRP = 180∘ (gestrekte hoek) [1] ∠VRS = ∠SRF (eigenschap raaklijn) [2] ∠PRQ = ∠QRF (eigenschap deellijn) [3] Uit [1], [2] en [3] volgt: ∠QRS = 90∘ en dus RS⊥QR.

Huiswerk §6.2 opdracht 11Construeer de raaklijn aan R twee keer. De eerste keer met de richtlijn en de tweede keer zonder gebruik te maken van de richtlijn. De constructiestap(pen) met richtlijn: 1) Teken vanuit R de loodlijn op de richtlijn 2) Construeer de bissectrice van ∠VRF. De constructiestappen zonder richtlijn: 1) Teken een lijn l evenwijdig aan de symmetrie-as. 2) Kies een willekeurig punt P op lijn l. 3) Construeer de deellijn van ∠FRP. 4) Construeer op de deellijn loodrecht in R een lijn.

OEFENEN!Succes!

Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. C is niet gelijk aan M. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het midden van PQ is S. Zie de figuur hiernaast. Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt. MP = MQ (straal) MS = MS (uniciteit) QS = SP (gegeven) ∠QSP = 180∘ (gestrekte hoek) ∠QSM = ∠MSP ([1]) En dus ligt S op een cirkel met middellijn MC. (Thales)

Oefening 1 15 minuten 6 punten

!

}⇒ ∆MSQ ≅ ∆MSP (ZZZ) [1]

}⇒ ∠MSP = ∠MSC = 90∘ [2]

Twee cirkels C1 en C2 met middelpunten M en N snijden elkaar in de punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt C2 in het punt E en het verlengde van straal NB snijdt C1 in punt D. Zie de figuur hiernaast. Bewijs dat de punten M, N, E en D op één cirkel liggen.

Oefening 2 15 minuten 5 punten

!

MB = MD (straal) en dus ∠MDB = ∠MBD (gelijkbenige driehoek) [1] NB = NE (straal) en dus ∠NEB = ∠NBE (gelijkbenige driehoek) [2] ∠MBD = ∠NBE (overstaande hoeken) [3] Uit [1], [2] en [3] volgt: ∠MDB = ∠NEB En dus liggen de punten D en E op dezelfde cirkel boog MN (constante hoek). Dus M, N, E en D liggen op één cirkel

Oefening 2 15 minuten 5 punten

!

Van een vierkant is A een hoekpunt en zijn M, N en P middens van zijden. In het vierkant is de ingeschreven cirkel getekend. De lijn k gaat door A en M. De lijn l gaat door P en is evenwijdig met de lijn k. Verder zijn de twee snijpunten X en Y van respectievelijk de lijnen k en l met de cirkel weergegeven. Bewijs dat de bogen PY en XN even groot zijn. ∠PMX = ∠YPM (Z-hoek) dus bg PX = bg MY (Omtrekshoek). [1] bg MP = bg PN (kwart cirkel) [2] Uit [1] en [2] volgt: bg MP - bg MY = bg PN - bg PX bg YP = bg XN

Oefening 3 10 minuten 4 punten

A

M

P

N

k

l

XY

Oefening 4 20 minuten 10 punten

Gegeven zijn twee grenzen. De ene grens bestaat binnen het kader uit één lijnstuk en de andere grens bestaat uit twee lijnstukken en een deel van een cirkel. Teken de conflictlijn binnen het kader.

Oefening 4 20 minuten 10 punten

We moeten 2 delen van deellijnen tekenen en een parabool. Hiervoor maken we geleerde constructies

Oefening 5 10 minuten 5 punten

In de figuur hiernaast is een parabool getekend met brandpunt C en richtlijn l. Teken de punten op de parabool waar de raaklijn een hoek van 45 graden maakt met de richtlijn.

Oefening 5 10 minuten 5 punten

Denk aan een vierkant. We moeten met het brandpunt C en de lijn l twee vierkanten maken. Want de diagonalen van een vierkant maken een hoek van 45 graden met de zijden. Daarvoor tekenen we door C een lijn evenwijdig aan l. De snijpunten van deze lijn met de parabool zijn de gevraagde punten.

!

Heel veel succes met de tentamens!!!