Vjeµzbe 1 i 2: Neodre�eni integrali - tabliµcni integrali, metod smjene i metodparcijalne integracije

Funkcija F se zove primitivna funkcija funkcije f na nekom razmaku (konaµcnom ili beskon-aµcnom, otvorenom ili zatvorenom), ako je funkcija F neprekidna i diferencijabilna u svakoj un-utra�njoj taµcki tog razmaka i ako vrijedi F 0(x) = f(x). Skup svih primitivnih funkcija funkcije fse naziva neodre�enim integralom funkcije f i oznaµcava saZ

f(x)dx.

Pi�emo Zf(x)dx = F (x) + C,

pri µcemu je C proizvoljna realna konstanta.U sljedecoj tablici su dati osnovni neodre�eni integrali:

1 oR0 dx = C

2 oRx�dx = x�+1

�+1 + C � 6= �13 o

Rdxx = ln jxj+ C

4 oRaxdx = ax

ln a + C 0 < � 6= �15 o

Rsinxdx = � cosx+ C

6 oRcosxdx = sinx+ C

7 oR

dxcos2 x = tgx+ C

8 oR

dxsin2 x

= �ctgx+ C

9 oR

dxp1�x2 =

�arcsinx+ C� arccosx+ C

10 oR

dx1+x2 =

�arctgx+ C�arcctgx+ C

11 oR

dxx2�1 =

12 ln

���x�1x+1

���+ C12 o

Rdxpx2�1 = ln

��x+px2 � 1��+ C13 o

Rshxdx = ch x+ C

14 oRchxdx = sh x+ C

15 oR

dxsh2x = �cthx+ C

16 oR

dxch2x = thx+ C

Neka je F (x) primitivna funkcija zadate funkcije f(x): Tada vrijedi:

i) ddx

�Rf(x)dx

�= f(x) ;

ii)RdF (x) = F (x) + C ;

iii)R[�f(x)]dx = �

Rf(x)dx, � 2 R ;

iv) za dvije funkcije f i g koje imaju primitivne funkcije na nekom razmaku vrijedi jednakostZ[f(x)� g(x)]dx =

Zf(x)dx�

Zg(x)dx.

1

Primjer 1 Izraµcunaj sljedece neodre�ene integrale:

i)R �4x3 + 2

px� 7x+ 2

p3�dx;

ii)R(x2 � 1)2dx;

iii)R �

8x3� 4x2+ 2

x

�dx;

iv)Rx2�x+1p

xdx;

v)R (px�2 3px)2

xdx;

vi)R q

xpxpxdx;

vii)R(x+ 3ex) dx;

viii)R23xexdx;

ix)Rcos2 x

2dx;

x)Rtg2xdx;

xi)R

x2

x2+1dx;

xii)R

dxx2�x4 .

Zadatak 1 Izraµcunati neodre�ene integrale:

i)Rx (x+ 1) (x� 2) dx;

ii)R �x� 1p

x

�3dx;

iii)R

dxx2+x4

;

iv)R2x+5x

10xdx;

v)Rsin2 x

2dx;

vi)Rcth2xdx.

Rezultat:

i)Rx (x+ 1) (x� 2) dx= 1

4x4 � 1

3x3 � x2 + C;

ii)R �x� 1p

x

�3dx= 3x+ 1

4x4 + 2p

x� 6

5x52 + C;

iii)R

dxx2+x4

= � arctanx� 1x + C;

iv)R2x+5x

10xdx= � 1

ln 5

�15

�x � 1ln 2

�12

�x+ C;

v)Rsin2 x

2dx= 1

2x�12 sinx+ C;

vi)Rcth2xdx= x� cthx+ C.

INeka je na nekom razmaku de�nirana sloµzena funkcija f ('(x)) i neka je funkcija t = '(x)

neprekidna na tom razmaku i diferencijabilna u svim unutra�njim taµckama tog razmaka; tada, akopostoji integral

Rf(t)dt, onda postoji i integral

Rf(' (x))'0 (x) dx i vrijedi jednakost:Z

f(' (x))'0 (x) dx =

Zf(t)dt jt='(x) .

Posljednju formulu zovemo formulom integriranja zamjene.Ako za funkciju t = '(x) na posmatranom razmaku postoji inverzna funkcija x = '�1(t), onda

prethodnu formulu moµzemo napisati u oblikuZf(t)dt =

Zf(' (x))'0 (x) dx jx='�1(t) ,

2

ili, ako promjenljivu integracije oznaµcimo sa x, moµzemo pisatiZf(x)dx =

Zf(' (t))'0 (t) dt jt='�1(x) .

Posljednju formulu nazivamo formulom integracije pomocu smjene promjenljive.

Primjer 2 Dokazati sljedece opce formule:

i)R

dxx2+a2 =

1aarctg

xa + C = �

1aarcctg

xa + C1, a 6= 0;

ii)R

dxpa2�x2 = arcsin

xjaj + C = � arccos

xjaj + C1, a 6= 0;

iii)Reaxdx = 1

aeax + C, a 6= 0.

Zadatak 2 Dokazati sljedece opce formule:

i)R

dxx2�a2 =

12a ln

���x�ax+a

���+ C, a 6= 0;ii)

Rdxpx2�a2 = ln

��x+px2 � a2��+ C, a 6= 0;iii)

Rsin axdx = � 1

a cos ax+ C, a 6= 0.

Primjer 3 Koristeci se formulom za smjenu promjenljive, izraµcunati sljedece neodre�ene integrale:

i)R

dxp7x2�8 ;

ii)Re2xdx;

iii)R

xdxp1�x2 ;

iv)Rx2px3 + 1dx;

v)R 3

px

x(px+ 3

px)dx;

vi)Rtgxdx;

vii)R sin

pxp

xdx;

viii)R

dxsin x ;

ix)R

dx2 sin2 x+3 cos2 x

;

x)Rln2 xx dx;

xi)R

dxchx ;

xii)R q

arcsin x1�x2 dx.

Zadatak 3 Izraµcunati sljedece neodre�ene integrale koristeci se metodom smjene promjenljive:

i)R �

xx5+2

�4dx;

ii)R

dx1+ 3

px+1

;

iii)R

exdxp4�e2x ;

iv)R

dxcos x ;

v)R

ln xxp1+ln x

dx;

vi)Rarctgex

chx dx.

Rezultat:

i)R �

xx5+2

�4dx = � 1

15

�x5 + 2

��3+ C;

ii)R

dx1+ 3

px+1

= 32

3

q(x+ 1)

2 � 3 3px+ 1 + 3 ln

��1 + 3px+ 1

��+ C;iii)

Rexdxp4�e2x = arcsin

�12ex�+ C;

3

iv)R

dxcos x = ln

��tg �x2 + �4

���+ C;v)

Rln x

xp1+ln x

dx = 23 (lnx� 2)

p1 + lnx+ C;

vi)Rarctgex

chx dx = arctg2ex + C.

INeka su funkcije u (x) i v (x) neprekidne na nekom razmaku i diferencijabilne u svim njegovim

unutra�njim taµckama. Tada, ako na tom razmaku postoji integralRvu0dx, onda postoji i integralR

uv0dx, i vrijedi Zuv0dx = uv �

Zvu0dx tj.

Zudv = uv �

Zvdu.

Posljednja formula se zove formula parcijalne integracije.

Primjer 4 Koristeci metod parcijalne integracije rije�iti sljedece neodre�ene integrale:

i)Rlnxdx;

ii)Rx cosxdx;

iii)R �x2 + 3x� 1

�e�xdx;

iv)Rarccos2 xdx;

v)R p

a2 � x2dx, a 6= 0;

vi)Rln�x+

p4 + x2

�dx;

vi)Rarctg

pxdx;

vii)Rarcsin xx2 dx

viii)Re2x sin 3xdx;

ix)Rxex cosxdx;

x)Rcos (lnx) dx.

Zadatak 4 Koristeci metod parcijalne integracije rije�iti sljedece neodre�ene integrale:

i)Rxshxdx;

ii)R �x2 � 2x+ 3

�ln (x+ 1) dx;

iii)R

xdxcos2 x ;

iv)Rsinx ln tgxdx;

v)Rx2 arcsin 2xdx;

vi)Rln4 xdx.

Rezultat:

i)Rxshxdx = xchx� shx+ C;

ii)R �x2 � 2x+ 3

�ln (x+ 1) dx =

�x3

3 � x2 + 3x+ 13

3

�ln (x+ 1)� x3

9 +2x2

3 � 13x3 + C;

iii)R

xdxcos2 x = xtgx+ ln jcosxj+ C;

iv)Rsinx ln tgxdx = ln

��tg x2 ��� cosx ln tgx+ C;v)

Rx2 arcsin 2xdx = x3

3 arcsin 2x+2x2+136

p1� 4x2 + C;

vi)Rln4 xdx =

�ln4 x� 4 ln3 x+ 12 ln2 x� 24 lnx+ 24

�x+ C.

I

4