Vjezbe 9

Vjezbe 9

FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije

13. Rijesite nejednadzbe

a) (3− x)3x−53−x < 1,

b) log29 x ≥ log2

3

√1− x

4.

Vjezbe 9

FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije

13. Rijesite nejednadzbe

a) (3− x)3x−53−x < 1,

b) log29 x ≥ log2

3

√1− x

4.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

Svojstva

1. sin2 x + cos2 x = 1

2. sin(x + 2kπ) = sin x , cos(x + 2kπ) = cos xtg(x + kπ) = tg x , ctg(x + kπ) = ctg x

3. sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos xcos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

tg(x ± y) =tg x ± tg y

1∓ tg xtg y

ctg(x ± y) =ctg xctg y ∓ 1

ctg y ± ctg x

4. sin(−x) = − sin x , cos(−x) = cos xtg(−x) = −tg x , ctg(−x) = −ctg x

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

Ciklometrijske funkcije (Arkus funkcije)

y = arcsin x ako je x = sin yy = arccos x ako je x = cos yy = arctg x ako je x = tg y

y = arcctg x ako je x = ctg y

arcsin : [−1, 1]→[−π

2,π

2

]arccos : [−1, 1]→ [0, π]

arctg : R→⟨−π

2,π

2

⟩arcctg : R→ 〈0, π〉

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

14. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cosπ

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

14. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cosπ

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

14. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cosπ

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

14. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cosπ

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

15. Rijesite jednadzbe:

a) sin(x +

π

6

)=

√2

2,

b)tg x + 3

tg x − 3=

tg x + 1

2tg x − 6,

c) sin x + cos2 x = 1,

d) sin2 x − 8 sin x cos x + 7 cos2 x = 0.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

15. Rijesite jednadzbe:

a) sin(x +

π

6

)=

√2

2,

b)tg x + 3

tg x − 3=

tg x + 1

2tg x − 6,

c) sin x + cos2 x = 1,

d) sin2 x − 8 sin x cos x + 7 cos2 x = 0.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

15. Rijesite jednadzbe:

a) sin(x +

π

6

)=

√2

2,

b)tg x + 3

tg x − 3=

tg x + 1

2tg x − 6,

c) sin x + cos2 x = 1,

d) sin2 x − 8 sin x cos x + 7 cos2 x = 0.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

15. Rijesite jednadzbe:

a) sin(x +

π

6

)=

√2

2,

b)tg x + 3

tg x − 3=

tg x + 1

2tg x − 6,

c) sin x + cos2 x = 1,

d) sin2 x − 8 sin x cos x + 7 cos2 x = 0.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

16. Skicirajte grafove funkcija:

a) f (x) = sin(x +

π

6

),

b) f (x) = −1

2cos

(3π

4− 2x

).

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

16. Skicirajte grafove funkcija:

a) f (x) = sin(x +

π

6

),

b) f (x) = −1

2cos

(3π

4− 2x

).

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

17. Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) =x − 2

cos 2x,

b) f (x) = − 1

x2 − 8x + 15+ arcsin

x − 5

2,

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

17. Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) =x − 2

cos 2x,

b) f (x) = − 1

x2 − 8x + 15+ arcsin

x − 5

2,

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

18. Rijesite nejednadzbe

a) 2 sin2 x − 5 sin x + 3 > 0,

b) 2 cos2 x +√

3 sin x < 2,

c) 3 sin2 x + 5 cos2 x − 8 sin x cos x > 0.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

18. Rijesite nejednadzbe

a) 2 sin2 x − 5 sin x + 3 > 0,

b) 2 cos2 x +√

3 sin x < 2,

c) 3 sin2 x + 5 cos2 x − 8 sin x cos x > 0.

Vjezbe 9

FunkcijeTrigonometrijske i ciklometrijske funkcije

18. Rijesite nejednadzbe

a) 2 sin2 x − 5 sin x + 3 > 0,

b) 2 cos2 x +√

3 sin x < 2,

c) 3 sin2 x + 5 cos2 x − 8 sin x cos x > 0.

Vjezbe 9

Funkcije

19. Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) = log5(x2 + 2x − 3)

b) f (x) =1

xex

c) f (x) =

√1

x− 1 + log 2x + 1

d) f (x) = 2arcsin x−1x+1

e) f (x) = (sin x)cos x

Vjezbe 9

Funkcije

19. Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) = log5(x2 + 2x − 3)

b) f (x) =1

xex

c) f (x) =

√1

x− 1 + log 2x + 1

d) f (x) = 2arcsin x−1x+1

e) f (x) = (sin x)cos x

Vjezbe 9

Funkcije

19. Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) = log5(x2 + 2x − 3)

b) f (x) =1

xex

c) f (x) =

√1

x− 1 + log 2x + 1

d) f (x) = 2arcsin x−1x+1

e) f (x) = (sin x)cos x

Vjezbe 9

Funkcije

19. Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) = log5(x2 + 2x − 3)

b) f (x) =1

xex

c) f (x) =

√1

x− 1 + log 2x + 1

d) f (x) = 2arcsin x−1x+1

e) f (x) = (sin x)cos x

Vjezbe 9

Funkcije

19. Odredite domene sljedecih funkcija:

a) f (x) = log5(x2 + 2x − 3)

b) f (x) =1

xex

c) f (x) =

√1

x− 1 + log 2x + 1

d) f (x) = 2arcsin x−1x+1

e) f (x) = (sin x)cos x

Vjezbe 9

Nizovi realnih brojeva

Funkciju a : {1, 2, . . . , s} → R nazivamo konacni niz realnihbrojeva i biljezimo uredenom listom brojeva a1, a2, . . . , as gdje jean = a(n), n = 1, 2, . . . , s.

Funkciju a : N→ R nazivamo (beskonacni) niz realnih brojeva ioznacavamo s a1, a2, . . . , an, . . . ili (an), pri cemu je an = a(n).

Vjezbe 9

Nizovi realnih brojeva

Funkciju a : {1, 2, . . . , s} → R nazivamo konacni niz realnihbrojeva i biljezimo uredenom listom brojeva a1, a2, . . . , as gdje jean = a(n), n = 1, 2, . . . , s.

Funkciju a : N→ R nazivamo (beskonacni) niz realnih brojeva ioznacavamo s a1, a2, . . . , an, . . . ili (an), pri cemu je an = a(n).

Vjezbe 9

Nizovi realnih brojevaAritmeticki niz

Aritmeticki niz

razlika susjednih clanova je konstantna

an+1 − an = an − an−1 =⇒ an =an−1 + an+1

2

an+1 − an = d , tj. an+1 = an + d ∀n ∈ N

d – diferencija aritmetickog niza

an = a1 + (n − 1)d

zbroj prvih n clanova

Sn =n

2(a1 + an) =

n

2(2a1 + (n − 1)d)

Vjezbe 9

Nizovi realnih brojevaAritmeticki niz

Aritmeticki niz

razlika susjednih clanova je konstantna

an+1 − an = an − an−1 =⇒ an =an−1 + an+1

2

an+1 − an = d , tj. an+1 = an + d ∀n ∈ N

d – diferencija aritmetickog niza

an = a1 + (n − 1)d

zbroj prvih n clanova

Sn =n

2(a1 + an) =

n

2(2a1 + (n − 1)d)

Vjezbe 9

Nizovi realnih brojevaGeometrijski niz

Geometrijski niz

kvocijent susjednih clanova je konstantan

an+1

an=

an

an−1=⇒ an =

√an−1an+1

an+1

an= q, tj. an+1 = an · q

q – kvocijent geometrijskog niza

an = a1 · qn−1

zbroj prvih n clanova

Sn =

a11− qn

1− q, q 6= 1

n · a1, q = 1

Vjezbe 9

Nizovi realnih brojevaGeometrijski niz

Geometrijski niz

kvocijent susjednih clanova je konstantan

an+1

an=

an

an−1=⇒ an =

√an−1an+1

an+1

an= q, tj. an+1 = an · q

q – kvocijent geometrijskog niza

an = a1 · qn−1

zbroj prvih n clanova

Sn =

a11− qn

1− q, q 6= 1

n · a1, q = 1

Vjezbe 9