vitruvio

LA TEORA DE LA PROPORCIN ARQUITECTNICA EN VITRUVIO

JUAN FRANCISCO ESTEBAN LORENTE*

Resumen

Vitruvio considera el cosmos, el hombre y la arquitectura sometidos a las armonas musi-cales. Concibe la posibilidad de usar armonas geomtricas pero no las explica. Explicamos lasarmonas musicales del texto de Vitruvio. Aclaramos el concepto y contenido de trminos oscu-ros. Recogemos la composicin de la columna y la teora del mdulo en Vitruvio. Ponemos unosejemplos de la Alta Edad Media donde todo ello se ha usado con rigor o con alguna interpre-tacin.

Vitruve considre le cosmos, lhomme et larchitecture soumis a les harmonies musicaux.Il panse, aussi, aux harmonies gomtriques mais il ne les explique pas. Ici on explique les har-monies musicaux du texte de Vitruve; aussi le contenu de divers mots difficiles. On expose lathorie de la colonne et du module; et on montre divers exemples du Haut Moyen Age o touta est employ avec prcision ou avec quelque interprtation.

* * * * *

Hoy conocemos a Vitruvio por su tratado de arquitectura, escrito ydedicado al emperador Augusto hacia el ao 15 a. J. C.; pero, funda-mentalmente, tenemos una idea de l a travs de las interpretacionesrenacentistas y las posteriores que siguen estando condicionadas por losescritos de los humanistas y arquitectos renacentistas.

Si para Wittkower estaba claro que Vitruvio no elabor una teorade la proporcin en su tratado de Los diez libros sobre la arquitectura, paraSchofield la cuestin no es tan tajante y dedica un captulo de su libro aanalizar la idea que Vitruvio tena sobre la proporcin1.

No obstante estos fundamentales trabajos, consideramos que el temade las proporciones en el libro de Vitruvio merece una consideracin,an hoy.

Artigrama, nm. 16, 2001, 229-256 I.S.S.N.: 0213-1498

* Profesor Titular del Departamento de Historia del Arte de la Facultad de Filosofa y Letrasde la Universidad de Zaragoza. Investiga en platera, arquitectura romnica e iconografa.

1 SCHOFIELD, P. H.: Teora de la proporcin en arquitectura, Labor, Barcelona, 1971, (The Theoryof Proportion in Architecture, Cambridge, 1958), p. 29.

WITTKOWER, R.: La arquitectura en la edad del humanismo, Nueva Visin, Buenos Aires, 1969,(Architectural principles in the Age of Humanism, Londres, 1949).

KRUFT, Hanno-Walter. Historia de la teora de la arquitectura, Madrid, Alianza, 1990 (1 Munich,1985. Geschichte der Architekturtheorie), tomo I, p. 23-34 (con abundante bibliografa).

RUIZ DE LA ROSA, Jos Antonio. Traza y simetra de la arquitectura en la Antigedad y en el Medievo.Universidad de Sevilla, 1987.

Hemos usado algunas de las traducciones e interpretaciones del textode los siglos XVI, XVII, XVIII y otras actuales2.

Schofield hizo lo propio tomando como fundamento las versionesde Barbaro (1567), Newton (1791), Wilkins (1812), Gwilt (1826), Mor-gan (1914) y Granger (1931).

Tambin Arnau Amo contrast otras versiones, concretamente lascastellanas de Miguel Urrea (1582), Jos Castaeda que traduce a Perrault(1761) y Ortiz Sanz (1787)3.

Acompaamos la exposicin de algunos fragmentos del texto deVitruvio para explicar su contenido y aplicaciones.

La oscuridad del pensamiento vitruviano

El propio Vitruvio avisa de la difcil comprensin de algunos prra-fos de su texto4. Esta sensacin exista a mediados del siglo IX, as CAROLHEITZ nos muestra una carta escrita por Eginardo y enviada desde Seli-genstad a su discpulo Vussin en Fulda, el 14 de marzo del 840, donde lehace notar que Vitruvio tiene palabras y prrafos oscuros5.

Por otra parte hemos de considerar, como ya lo explic PIERRE GROS6,y el propio Vitruvio lo dice en la introduccin del libro quinto, que nose propone dar explicaciones de matemtica ni de otra ciencia, sino crear

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2 VITRUVIO, Marco Lucio. Los diez libros de arquitectura. Traduccin directa del latn, prlogo ynotas de Agustn Blzquez, Barcelona, Iberia, 1986; la numeracin de los libros y pginas se hacesobre esta versin (B.).

Los textos latinos se han tomado de la edicin francesa de Les Belles Lettres: VITRUVE De lar-chitecture, livre I, texte tabli, traduit et comment par Philippe Fleury. Pars, Les Belles Lettres, 1990.VITRUVE De larchitecture, livre III, texte tabli, traduit et comment par Pierre Gros. Pars, Les BellesLettres, 1990.

VITRUVIUS on Architecture. Ed. from the Harleian manuscript 2767: por F. Granger: Cambridge,Mass. Harvard Univ. Press, London, W. Heinemann, 1983.

VITRUVVIO Pollion, M. De architectura, dividido en diez libros, traduzidos de latin en castellano porMiguel Urrea architecto, y sacado en su perfection por Juan Gracian impressor vezino de Alcala. Dirigido a laS. C. R. M. del Rey Don Phelippe Segundo deste nombre nuestro Seor. Alcal de Henares, Juan Gracin,1582, ed. facsmil, Valencia, Albatros, 1978 (U.)

VITRUVIO, Les dix livres darchitecture. Traduction intgrale de Claude Perrault, 1673, revue etcorrige sur les textes latins et prsent par Andr Dalmas. Les Libraires Associs, 1965.

VITRUVIO Polin, Marco. Los Diez Libros de Arquitectura. Traduccin y comentarios por Jos Ortizy Sanz (1787). Prlogo por Delfn Rodrguez Ruiz, ed. facsmil de Madrid, Akal, 1987. (O.S.).

VITRUVIO Polin, Marco Lucio. Los diez libros de arquitectura. Introduccin por Delfn RodrguezRuiz. Versin espaola de Jos Luis Oliver Domingo. Madrid, Alianza, 1995.

3 ARNAU AMO, J. La teora de la arquitectura en los tratados. Volumen I: Vitruvio. Madrid, Tebor Flo-res, 1987.

4 Libro V, en la introduccin y en el captulo 4, al hablar de la armona.5 HEITZ, C. Vitruve et lrchitecture du Haut Moyen Age, en Settimane di Studio del Centro Ita-

liano di Studi sullAlto Medioevo, XXII, 1974 (Spoleto 1975), p. 725-752.6 GROS, P. Structures et limites de la compilation vitruvienne dans les livres III et IV du De

architectura, en Latomus, Revue d tudes latines, 34, fasc. 4, 1975, p. 986-1009.

una compilacin ordenada y sistemtica de los diversos conocimientossobre la construccin, en resumen una compilacin divulgadora para lec-tores interesados.

Del texto de Vitruvio podemos encontrar traducciones distintas enlas partes ms oscuras y de mayor complejidad en la explicacin terica,si bien no difieren en exceso las diversas explicaciones del texto. Toda-va hoy se consideran aquellos prrafos tericos llenos de oscuridad, elloes debido principalmente a la perdida o cambio de significacin de algu-nos vocablos y a que stos en aquella poca eran polivalentes. Esta cues-tin la afront y extract particularmente Schofield7, tambin Arnau trataeste tema en uno de sus captulos8.

Los contenidos de la arquitectura

Vitruvio (I,1) comienza el libro primero distinguiendo la parte te-rica de la arquitectura a la que llama ratiocinatio y la construccin ala que llama fabrica. Ms tarde afirmar que las cualidades de la arqui-tectura son que sea firme, til y bella: firmitas, utilitas, venustas (I,3).

En el captulo segundo del mismo libro primero enumera los seiscomponentes de la arquitectura terica o ratiocinatio, que explica acontinuacin y en otras partes del tratado. La arquitectura se componede ordinatio, dispositio, eurythmia, symmetria decor y distri-butio9. Expliquemos stos y otros conceptos no siempre tenidos encuenta.

Ordinatio significa tamao adecuado, modulacin, proporcin ycorrecta distribucin de las diversas partes de un edificio. Es la ordena-cin de las partes respecto a un mdulo, que surge como divisin de laparte principal del templo, la fachada.

Aqu tenemos que recordar que en una de las inscripciones del planode San Gall (hacia el 820) alude a este concepto: Ordine quas isto consti-tuisse decet.

Compositio, esta parte y funcin del trabajo arquitectnico no vienecitada por ninguno de los autores, ello se debe a que Vitruvio no la citaen esta exposicin del libro primero, pero a ella se referir continua-

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7 SCHOFIELD, p. 33-35.8 ARNAU AMO, p. 113 ss.9 El significado de los seis contenidos clave de la arquitectura los explican SCHOFIELD, p. 32-

40 y ARNAU AMO, p. 113-133. Tambin los analiza PANOFSKY, E. La historia de la teora de las pro-porciones humanas como reflejo de la historia de los estilos, en El significado de las artes visuales,Buenos Aires, Infinito, 1970, p. 94 (Die Entwicklung der Proportionslehre als Abbild der Stilent-wicklung, en Monatshefte fr Kunstwissenschaft, XIV, 1921). Nosotros diferimos en algn detalle deestas interpretaciones.

mente en los libros III, IV y V. La primera alusin clara que de ella hacees la siguiente (III,1: traduccin literal):

La composicin de la construccin de los templos depende de la simetra,cuyas reglas deben por tanto ser observadas cuidadosamente por los arquitectos ningn templo puede presentar una razn en las composiciones sin la simetra yla proporcin, al modo como hay una exacta razn en los miembros de un hombrebien formado.

Tras hablar de la composicin del cuerpo humano, expondr la com-posicin de basas, capiteles, columnas en general.

Por compositio entiende Vitruvio la aplicacin del sistema de pro-porcin (el de las armonas musicales) a las piezas arquitectnicas,tomando siempre como unidad de referencia el mdulo, que ya ha sidoestablecido al determinar la anchura del templo (ordinatio). Comoexplica el propio Vitruvio la compositio nace de la simetra y sta de la pro-porcin y la proporcin de la razn (cociente).

Dispositio que deberamos traducir por proyecto. Es el conjunto deplanos, ideas, que incluyen dentro de s una explicacin y justificacingeomtrica. Estos planos luego se llevarn al terreno y a la construccin.Este proyecto nace del estudio y de la invencin. Esta es la nica parteterica que cita San Isidoro de Sevilla10.

As pues las obras realizadas se aprecian considerndolas desde estos tres pun-tos de vista, a saber, en cuanto a la exactitud de la ejecucin del trabajo, a la mag-nificencia y a la disposicin del conjunto. Cuando se ve una obra realizada conmagnificencia se ensalza al dueo por el coste de la obra; si se ve que el trabajo esthecho con habilidad se elogia la destreza del albail; pero si el edificio alcanza sumrito por su elegancia, proporciones y simetra, la gloria ser para el arquitecto.El arquitecto ve la obra una vez la tiene en su mente (VI,11; B.162, 163).

Eurythmia la define de la siguiente manera:

La euritmia es el bello y grato aspecto que resulta de la disposicin de todaslas partes de la obra, como consecuencia de la correspondencia entre la altura y laanchura y de stas con la longitud, de modo que el conjunto tenga las proporcionesdebidas (B. 13).

En el libro IV,3 y siguientes, al hablar de la casa particular, explicaprcticamente en que consiste la euritmia, y as nos expone cmo losespacios de cada habitacin estn sometidos a razones, pero a la vez la anchura de una habitacin se determina en razn a la contigua y principal. As la anchura del tablinio depender de la dimensin delancho del atrio y podr ser 2/3, 1/2 1/3, segn sea menor o mayorel atrio.


10 ISIDORO. Etimologas. Madrid, B.A.C. 1982; L. XIX, 9: Dispositio, constructio, venustas.

Creemos que eurythmia poda traducirse como control del espa-cio arquitectnico. Arnau es partidario de mantener la palabra euritmia,con el significado de bello ritmo.

Es el resultado de la aplicacin de la symmetria y de las correc-ciones pticas y tambin su disfrute subjetivo.

(VI,2; B. 145) En nada debe poner el arquitecto mayor cuidado que en hacerque los edificios tengan las medidas justas y proporcionadas entre el conjunto y laspartes que lo componen. Por tanto, cuando se haya determinado la regla de la sime-tra, y se hayan reducido mediante el clculo las relaciones de esta medida comn(mdulo), entonces es llegado el momento de atender con la inteligencia a la natu-raleza del lugar, al uso y al aspecto externo del futuro edificio; y quitando o aa-diendo algo a las proporciones previamente establecidas, llegar al modo y tamaoque le corresponda; pero en forma que por lo aadido o suprimido se vea que el edi-ficio ha sido bien trazado y que en l la vista nada echa de menos. (Continua conuna exposicin sobre correcciones pticas).

La diferencia entre arquitecto y propietario estriba en que el segundo no puedesaber lo que ser una obra hasta que no la ve terminada; en cambio el arquitecto,una vez tenga formada en su mente la idea, ve, aun antes de emprender la obra,el efecto futuro de su belleza, de su utilidad y de su decoro (VI,9; B. 163).

Symmetria, proportio (analogia), ratio. Symmetria es usada, a vecessimultneamente, con proporcin y razn. Symmetria la usa como tamaoconveniente, tamao de las partes en comparacin con el todo y con unmdulo. Por symmetria o la regla de la simetra (VI,2; B. 145), debemosentender las posibles combinaciones de proporciones. Es el conocimientoque permite combinar sistemas de cocientes racionales con otros irra-cionales. La symmetria nace de la proporcin y sta de la razn; todas ellasconforman la eurythmia.

Proporcin y razn corresponden a nuestros conceptos matemticosactuales.

Proportio equivalente a analoga en griego; significa tanto igual-dad entre dos razones (Euclides), como razn o cociente (Nicmaco) otamao de las partes en relacin al todo. Siglos despus Boecio ajustarlos vocablos usando para el primer concepto proportionalitas, y para elsegundo proportio 11. As pues, deberamos traducir unas veces como pro-porcin y otras como razn, o genricamente proporcin, pues en estesentido genrico lo usa muchas veces Vitruvio.

Commensus lo define como tamao comparativo, en general. Sepuede traducir como conmensuracin o proporcionado en general.Forma parte de la ordinatio y est muy prxima a la modulacin y se con-funde con ella.


11 SCHOFIELD, p. 33.

Schema que significa dibujo geomtrico (I,6; B. 29). A este respectotenemos que recordar que en los documentos del siglo XI, al referirse ala perfeccin arquitectnica de los maestros lombardos, se cita su obracomo de novo schemate12.

Decor que ha sido traducida como hermosura, ornamento, conve-niencia o decoro. No es otra cosa que la adecuacin de la forma a la fun-cin y tambin el respeto por el rito, la costumbre y la naturaleza dellugar, como subraya el propio Vitruvio. La decoracin est dentro de estepresupuesto. Podemos mantener el trmino decoro.

Distributio (del gasto) que en griego se dice oiconomia y queefectivamente para Vitruvio significa buena administracin, economa. Alarquitecto compete la ejecucin de un presupuesto adecuado y ajustadoa la obra (X, introduccin; B. 253).

En qu consiste la labor del arquitecto?

La idea de cmo expresa su pensamiento Vitruvio, la ha expuestoacertadamente Arnau Amo. Vitruvio se expresa en hiprbaton, al igualque se escribe en latn, y frecuentemente expone en primer lugar las lti-mas conclusiones. Tomemos el razonamiento de Vitruvio a la inversa desu exposicin y con un vaivn de ideas, encontraremos el saber del tra-bajo intelectual del buen arquitecto, que a la vez es el contratista cons-tructor de la obra.

1. Tras la recepcin del encargo de la obra a proyectar y ejecutar,la primera labor a la que se tiene que atender es a un ajustado presu-puesto y una buena administracin del gasto: economa. A llamar laatencin sobre ello dedica la introduccin del libro X (B. 253) (pensa-miento que ser copiado desde el siglo XVI al XVIII).

2. En segundo lugar hay que atender al decoro. Es decir la formasigue a la funcin, a la costumbre, al rito, y a la naturaleza del lugar (enel libro I,2 pone ejemplos de la adecuacin de los rdenes a las diversasdivinidades, pero a lo largo del tratado insiste continuamente en la ade-cuacin de los espacios, material, medidas, ornamento, etc., segn elrango social, capacidad econmica, etc.).

3. Tras estos dos primeros principios empieza la actividad creadorae intelectual del arquitecto; es decir, la determinacin de la regla de la


12 GALTIER, F. Lart roman lombard en Aragon. Circonstances historiques problmes artistiques,thse de Doctorat de 3e. cycle en Civilisation Mdivale, Univ. de Poitiers, 1979; Laurore de lartroman dans le royaune dAragon, en Bullet del Museu Nacional dArt de Catalunya, I,1, 1993, p. 48.Por ejemplo un documento de Ermengol de Urgel en la reconstruccin de Santa M de Gualter.

symmetria o sistema de proporciones, con el que el arquitecto va a tra-bajar en lo sucesivo (I,2 y VI,2 etc. B. 146).

En el libro IV,2 al hablar de la casa particular, Vitruvio resume enpocas palabras esta actuacin, diciendo: Primero hay que determinar laregla de las medidas (sistema de proporcin). En segundo lugar hay quetrazar la planta para conocer su magnitud (determinar la anchura delespacio) y a continuacin adaptar la proporcin a la conveniencia (modu-lacin) de modo que inmediatamente salte a la vista la euritmia.

Consecuencia del punto anterior y todava en el plano de la inven-cin, el arquitecto se plantea la concepcin general de la belleza del con-junto; es decir, la eurythmia (control del espacio arquitectnico). Es lacorrespondencia de los volmenes y la posibilidad de superponer los pla-nos de planta y alzado de ellos. Est basada en el sistema de proporcio-nes previamente concebido, en el tipo de ornamentacin a aplicar a losespacios y volmenes, y en las correcciones pticas (VI,2).

4. El cuarto paso es la materializacin del proyecto, dispositio, losplanos; en ellos solo el arquitecto sabe ver ya el resultado final. Parteimportante de esta tarea es la composicin, hacer los detalles de la arqui-tectura y toda ella de acuerdo a los diversos sistemas proporcionales, cuyasrazones proceden de los sistemas de proporciones que ha decidido utili-zar y de las dimensiones del espacio (VI,11; B. 162-163).

5. A la vez que el proyecto se hacen los detalles de la compositio.El diseo, medidas y proporciones de las partes y detalles arquitectni-cos, en especial de la columna. Cuestin esta de la compositio que estntimamente ligada a la modulacin, y debe ser hecha al igual que laspartes y composicin del cuerpo de un hombre bien formado (III,1; B. 67).

6. La ltima fase del trabajo terico del arquitecto es la conmen-suracin o modulacin, ordinatio. Es decir, el pasar el proyecto a dibu-jos y medidas concretas y a mdulos; medidas que puedan entender losoficiales y capataces de la obra.

Todo esto conforma la ratiocinatio, la labor intelectual del arqui-tecto que se plasma en planos de planta (ichnographia), alzado (ortho-graphia) y perspectiva (scenographia), a las que llama en griego ideas(prototipo) de la dispositio. En estos planos el arquitecto puede ver todoel resultado final y sus peritos pueden leer las instrucciones y funcionesa realizar.

A partir de aqu comienza la direccin de obra, la fbrica, no menosimportante en la experiencia arquitectnica; a la que dedica la mayorparte de su tratado de arquitectura. El tratado est escrito y dedicado aAugusto y lo considera apropiado para otros intelectuales aficionados a


la crtica de la construccin; en sus libros incluye consejos que sern ti-les tambin para los arquitectos (as lo escribe Vitruvio).

Teora de las proporciones

Efectivamente Vitruvio no va a desarrollar un tratado sobre la pro-porcin pero s unos principios generales sobre su aplicacin en la arqui-tectura en general, incluso en la ingeniera, quedando al saber del arqui-tecto la decisin de aplicar en cada caso un sistema proporcional (V,7;B. 123); ejemplo:

Estas proporciones no pueden acomodarse generalmente a todos los teatros,sino que deber el arquitecto advertir con diligencia la conmensuracin que con-vendr dar a las partes, y la forma con que podr acomodarlas mejor al sitio y mag-nitud de la obra

La justificacin para aplicar un sistema de proporciones a la arqui-tectura como criterio objetivo de belleza la define as Vitruvio (III,3; B. 75).

Los ojos son los que buscan la belleza, por lo tanto si no se satisface su gustotanto con las proporciones como con estas adiciones (correcciones pticas) que agran-dan oportunamente lo que pareca deficiente, el conjunto resultara desproporcio-nado y feo a quien lo contemplara.

La idea terica y prctica que Vitruvio tiene sobre el tema, est decla-rada a lo largo de su texto, si bien mucho ms confusamente que el restodel contenido de su tratado.

Tenemos que considerar que la mayor parte del tratado son consi-deraciones de tipo prctico y solamente esta cuestin de las proporcio-nes y la de la msica son las disertaciones tericas de gran complejidady, adems, se ve forzado a explicarlas con pocas palabras y con trminosgriegos.

De su exposicin se pueden deducir los siguientes principios gene-rales:

La consecucin de la belleza est en la euritmia o control del espa-cio arquitectnico, cuya base es un sistema de proporciones.

El control del espacio arquitectnico, en la prctica, cristaliza en elproyecto. Vitruvio lo considera un trabajo intelectual y que slo el arqui-tecto lo entiende.

La base terica de la belleza y de la eficacia o utilidad radica en lossistemas de proporciones (X,17; B. 282, ejemplo de las ballestas). Vitru-vio a esto lo llama de diferentes maneras, pero explica su concepcin:

En primer lugar cualquier parte del edificio debe estar hecha a pro-


porcin con el todo, es decir cada parte es una fraccin alcuota del con-junto (I,2; B. 13-14).

La unidad de medida ser la dimensin de la parte ms significativadel edificio: por ejemplo la anchura de la fachada de un templo (III,3.B. 73).

La columna de un prtico recibe el dimetro en proporcin a laanchura de su fachada y su altura depender del tipo de intercolumnio.De la anchura de la fachada surge el mdulo de la columna. Del tipo deintercolumnio surge la altura de la columna. La profundidad del prticoes equivalente a la altura de la columna. Existe tambin la posibilidad detomar la altura de la columna de la tercera parte de la anchura de lafachada (III,3, IV,3, V,3 y 7; B. 72-75, 94-95, 102, 123).

Existe la posibilidad prctica y cmoda de extraer un mdulo de launidad de medida, que es la anchura de la fachada, para luego aplicarlopor multiplicacin o divisin a otras partes (III,3; III,5; IV,1; V,10; etc.).Esto es la modulacin o conmensuracin.

El ejemplo a imitar y por lo tanto el patrn de la arquitectura comosistema de proporcin, es el cuerpo humano (I,2 y III,1; B.13 y 67). Vitru-vio aplic una antropometra a la columna ya que sta naci en paran-gn con el cuerpo del hombre (L. IV,1; B.87,88).

La columna pasa a ser patrn de medida de la arquitectura. El di-metro del fuste de la columna en su parte inferior es el mdulo de todoel edificio; pero recordemos que este mdulo es extrado de una medidams significativa del conjunto, como es la anchura de la fachada del tem-plo; despus este mdulo definir la medida y las partes de la columna.Esquema:

De la latitud de la fachada surge el dimetro de la columna, .Pero 1/3 de esta latitud puede tomarse como altura de la columna.Del intercolumnio surge la altura de la columna que se mide en dimetros, .La columna se construye a imitacin del cuerpo del hombre.El hombre rige la columna y el templo.La fachada proporciona el mdulo, , y la altura de la columna.El hombre tambin es modular.Mdulo, columna, hombre y templo forman una relacin circular y de vaivn.

Las armonas musicales

Vitruvio fue partidario del uso de las llamadas armonas musicalestanto para la arquitectura como para la ingeniera, incluso para los vasosde resonancia del teatro figuras diseadas segn las reglas de la msica(I,1; II,1, X,17 y V,1 B. 5ss. 38, 282 y120).


No obstante, Wittkower y luego Schofield13 afirman que de ello nohay ni rastro en la obra de Los diez libros sobre la arquitectura. Wittkowerafirma que el tema se debe a que los comentaristas italianos del Renaci-miento eran de ideologa neoplatnica y que extrajeron las analogasmusicales del Timeo14.

No obstante el principio de la armona musical aplicada a la arqui-tectura no era nuevo en el Renacimiento, sino cultivado durante la EdadMedia y al parecer por influjo originario del texto vitruviano y de losmatemticos y musiclogos como San Agustn y Boecio.

En cualquier caso podemos ver unas referencias concretas a ello enel texto de Vitruvio. Primero en una exposicin terica: al hablar de laimportancia de la msica y de la relacin con la astrologa para el arqui-tecto (I,1, B. 8, 9 y 11), luego al hablar del cuerpo humano (III,1; B. 68),al tratar la composicin de las basas de las columnas (III,5; B. 78ss.) yms tarde al hablar de la armona (V,4; B. 115ss.).

Recogiendo el influjo de Platn, piensa que las armonas musicalesproceden de la ordenacin csmica, compara el globo terrqueo con lasconsonancias de un arpa y luego afirma (VI,1; B. 142):

Parece que la mquina general del universo est combinada siguiendo lasreglas de una consonancia armnica que tiene como regulador el Sol.

En segundo lugar, en el nivel prctico, encontramos continuamentearmonas musicales en las propuestas para reas rectangulares: rectn-gulos 3/2, 2/1, 3/1, en foros, baslicas, templos (ej. V,1).

El interior de un templo toscano aparece dividido en tres naves, larazn entre la central y las laterales es 4/3 (IV,7; B. 101). La plaza o forodebe ser rectangular con una proporcin de 3/2 (V,1; B. 109). Las salasde bao en razn de 3/2. En las palestras, la sala llamada efebo es enrazn 4/3.

En los atrios la razn de la planta podr ser 5/3, 3/2 2/1, depen-


13 WITTKOWER , p. 102 ss. Schofield, p. 30.14 La teora de las armonas musicales aplicadas a la arquitectura en el Renacimiento donde

primero aparece es en el tratado de L. B. Alberti (De re aedificatoria, redactado en Roma entre 1443y 1452, ya muy conocido antes de su publicacin en Florencia, 1485) y a quien cita es a Pitgoras yno a Platn. Expresamente declara su principio del siguiente modo:

Los nmeros gracias a los cuales se produce aquella armona de sonidos sumamente agra-dable al odo, son los mismos nmeros que consiguen que los ojos y el espritu queden henchidosde un admirable placer. Por consiguiente, de la msica, que ha estudiado muy a fondo tales nme-ros se obtendrn la totalidad de las leyes de la delimitacin...

De estos nmeros se sirven los arquitectos a las mil maravillas; y los utilizan bien de dos endos (para las plantas), como en las plazas; bien de tres en tres (para los volmenes) casos enlos que ponen en juego la longitud, la anchura, e intentan que la altura est en armoniosa corres-pondencia con una y otra dimensin. (ALBERTO, Len Bautista. Los diez libros de arquitectura, tradu-cidos por Francisco Lozano, Madrid, Alfonso Gmez, 1582, ed. facsmil, Oviedo, 1975, L. IX,4, p.284. En la edicin de Madrid, Akal, 1991, L. IX,5, p. 387).

diendo de su tamao, la altura ser igual a la anchura. Al hablar del tri-clinio es an ms concreto y para sus tres dimensiones propone la serie8, 6, 4, para largo, alto y ancho (VI,4; B. 147-149).

Es decir, como en ocasiones anteriores, Vitruvio aunque no hace unaexposicin terica sobre las armonas musicales aplicadas a la arquitec-tura, l las aplic y, someramente, las explic, pero de manera que sloson inteligibles para los conocedores de la materia (el propio Vitruvioavisa expresamente de ello al lector (V,4 y 5; B. 115-120).

Sistemas proporcionales geomtricos

Schofield afirma que Vitruvio pudo considerar, adems, otros siste-mas proporcionales, geomtricos e inconmensurables, y que no entranen competencia con los anteriores15.

La referencia a la posibilidad de usar sistemas proporcionales de tipogeomtrico es escasa:

A nivel terico-prctico afirma que los mtodos aritmticos explican,muchas veces ms fcilmente que los geomtricos, las razones de las medi-das y las cuestiones de las proporciones (I,1; B. 6).

A lo largo del tratado muestra algn caso prctico, de gran sencillez:por ejemplo: una de las posibilidades de hacer el volumen de un atrio es2, 1, 1, largo, alto y ancho (VI,4; B. 147); la construccin y la medidadel baco de un capitel corintio, la diagonal tenga el doble del dime-tro de la columna (IV,1; B. 68); esta es tambin la duplicacin del reade un cuadrado que explica en la introduccin del libro IX, que dice latoma de Platn. La construccin del teatro sometido a una estrella de 12puntas (V,6). Las acanaladuras del fuste drico, cuya profundidad es (2-1)/2 (IV,3. B. 96). Las volutas del capitel jnico (III,5); y algunas pocascosas ms.

En la misma introduccin al libro IX nos explica la escuadra de Pit-goras, de lados 3, 4 y 5, til para construir las pendientes de las escaleras.

Tambin afirma que Arquitas de Tarento y Eratstenes de Cireneresolvieron cada uno a su manera la duplicacin del cubo (cuestin toda-va hoy insoluble, matemtica y geomtricamente); pero recurdese quela diagonal del cubo es 3.

Dentro de este tema de nmeros inconmensurables debemos teneren cuenta que el cociente aparece calculado en 3,125; Vitruvio lo sim-plifica as, al objeto de construir una mquina til para medir distanciasen carreteras (X,14; B. 275).


15 SCHOFIELD, p. 45.

En el captulo dedicado a las proporciones del cuerpo humano, mues-tra cmo la naturaleza solucion con el hombre el problema de la cua-dratura del crculo (otro de los problemas irresolubles). En este captuloal considerar la posibilidad de inscribir el cuerpo humano en un crculoy en un cuadrado (III,1; B. 68) podemos suponer que igualmente pensen las posibilidades de las proporciones derivadas del tringulo = 3, delpentgono = (1+5)/2 y del octgono = 1+2. En la disposicin del tea-tro, sometido a una estrella de doce puntas (ya sea por el tringulo, porel cuadrado, por el hexgono o por el dodecgono), podemos suponerque Vitruvio conoce geomtricamente la divisin del dimetro de la cir-cunferencia en media y extrema razn, lo que se ha llamado divina pro-porcin, la razn del pentgono.

Como expuso Pierre Gros16, adems de estas citas concretas, Vitru-vio hace continuas simplificaciones a razones inconmensurables, perotodas se refieren a 2 y alguna aproximacin a 5. Igualmente demostreste autor que en Vitruvio no hay ninguna alusin concreta a la llamadadivina proporcin.

As pues a lo largo del texto de Vitruvio se trasluce una posibilidadde explicar por mtodos geomtricos el sistema proporcional de la arqui-tectura, pero su aplicacin se restringe casi por completo a la formacinastrolgica del teatro, a la razn existente en el rectngulo de lados 3 x4 y diagonal 5 y a la existente entre los lados del cuadrado y su diagonal,tema efectivamente muy usado en toda la poca romana.

Las armonas musicales

Se entiende por armonas musicales la proporcin basada en las siguien-tes razones de nmeros enteros, o cocientes racionales.

2/1 = dupla o disdiapasn.3/2 = sesquialtera o diapente.4/3 = sesquitercia o diatesarn.3/1 = tripla o diapasn-con-diapente.4/1 = cudrupla o disdiapasn.Dupla menos tono = 16/ 9 (1,777). Serie 9,12,16: razn continua sesqui-

tercia.Dupla ms tono = 9/4 (2,25). Serie 4,6,9: razn continua sesquialtera.


16 GROS, P. Nombres irrationels et nombres parfaits chez Vitruve, en MEFRA, 88, 1976, p.669-704. Este autor hace una perfecta crtica a autores como Hanbridge, Ghyka, Lorenzen por sumal uso e interpretacin de Vitruvio, o como Vicari quien consider que Vitruvio se refera exclu-sivamente a la razn F al hablar de analogia.

Los sistemas geomtricos

Por sistemas geomtricos se entiende la proporcin basada en lassiguientes razones de cocientes irracionales; razones que rigen la geo-metra de los polgonos y poliedros regulares.

2 = diagonal del cuadrado (1,414).1+2 = el octgono y su estrella.3 = el tringulo equiltero, diagonal del cubo (1,732).5 = diagonal del doble cuadrado, diagonal de la dupla (2,236).(1+5)/2 = media y extrema razn, divina proporcin, F, razn del

pentgono y de su estrella (1,618).

Obsrvese la similitud de cocientes:3/2= 1,5 prximo a 2, F, 3.16/9= 1,777 (dupla menos tono), prximo a 3.9/4= 2,25 (dula ms tono), prximo a 5 .

Las medidas romanas y el cuerpo humano ideal

Pertica = 10 pies.Passus (paso) = 2 gradus = 5 pies.Cubitus (codo) = 0,4437 m. = pie y medio = 6 palmos = 24 dedos.Pie = 0,2958 m. = 4 palmos = 16 dedos = 12 pulgadas.Palmus (palmo) = 1/4 de pie = 4 dedos = 3 pulgadas.Uncia (pulgada) = 1/12 pie = 1+1/3 dedo.

Vitruvio afirma que las medidas romanas estn sacadas del cuerpohumano ideal, pero en concreto al referirse al pie lo considera equi-valente a la huella que deja el pie en la arena (IV,1; B. 87).

La tradicin ha hecho que sean comparables con los miembros huma-nos, no obstante un pie de medida, 1 pes, casi 30 cm., resulta dema-siado grande anatmicamente, es por ello por lo que ya en la Alta Edad


Media vemos cmo el pie humano es 1/7 de la altura total del cuerpo(no 1/6 como dice Vitruvio). Sin embargo 1 palmus de 7,4 cm. resultacorto para la anchura de la mano, lo mismo que la medida de un dedo(incluso en la poca de Vitruvio). Es decir Vitruvio no renuncia al con-vencionalismo de las medidas, por las que un cuerpo ideal deba teneren la poca 1,77 m. de alto, pero el pie de una estatua no era 1/6 de sualtura17.

La arquitectura y la columna como el cuerpo humano

Que la arquitectura debe ser hecha con las mismas proporciones queel cuerpo de un hombre bien formado es uno de los postulados de lateora de Vitruvio (III,1; B. 67). Adems aade que la columna se hizo aimitacin del cuerpo del hombre (IV,1; B. 87-88) y que los sistemas depesos y medidas y la aritmtica misma, as como la proporcin, nacen dela referencia al cuerpo humano (IV,1; B. 70). De lo que concluye que esdigno de alabanza que el arquitecto aplique este sistema proporcional alos templos.

(III,1; B. 67) En efecto, no puede hablarse de una obra bien realizada, sino existe esta relacin de proporcin, regulada como lo est en el cuerpo de un hom-bre bien formado.

(IV,1; B. 87) Como desconocan las proporciones que deban dar a las colum-nas resolvieron tomar como medida la huella del pie de un hombre y la aplica-ron en el sentido de la altura, y habiendo descubierto que el pie era la sexta partedel cuerpo, transfirieron esta relacin a la columna, dando a sta de altura seisveces el grueso de su imoscapo, incluido el capitel. De esta suerte, la columna drica,proporcionada al cuerpo varonil Algn tiempo ms tarde, deseando construir untemplo a Diana y buscando la manera de dar proporcin a sus columnas, siguie-ron los mismos principios anteriores, e hicieron su relacin en altura sirvindose dela huella de los pies; pero esta vez les dieron la delicadeza de un cuerpo de mujer.Primeramente hicieron el dimetro de la columna igual a la octava parte de sualtura, con el fin de darle un aire ms esbelto; seguidamente imaginaron ponerle labasa hecha a manera de calzado; tallaron las volutas a una y otra parte del capi-tel, queriendo imitar el cabello que cae en bucles a derecha e izquierda, y por mediode cimacios y festones, como cabellos arreglados sobre la frente, adornaron la parteanterior de los capiteles, adems trazaron estras a lo largo del fuste de la columna,a imitacin de los pliegues de la tnica de las matronas. De este modo, con estosdos matices vinieron a inventar estos dos gneros de columnas, imitando en las unasla simplicidad desnuda y despreocupacin del cuerpo masculino y en las otras ladelicadeza, el ornato y las proporciones de la mujer.


17 Hay una confusin entre medidas y partes del cuerpo humano. De este tema se ocupa H.Knell, 1984; citado por P. Gros, Vitruvio libro III, p. 65, nota 2.7.

En cuanto al tercer genero de columnas, llamado corintio, representa la deli-cadeza de una doncella, cuyo talle por su edad, es ms fino, y por lo tanto ms sus-ceptible de recibir adornos que puedan aumentar su belleza natural.

La consecuencia de estos prrafos es que el capitel representa lacabeza as como la basa el calzado y el fuste equivale a la longitud delcuerpo humano.

En el mismo prrafo en que Vitruvio pone como ejemplo de pro-porcionalidad el sistema del cuerpo humano, afirma que similarmente elarquitecto deba encontrar una solucin proporcional para la arquitec-tura de los templos (III,1; B. 68). A continuacin (III,3; B. 72 ss.) colocaa la columna y su mdulo como patrn de medida del templo.

Ya hemos visto como en el libro IV,1 (B. 86-88) afirma que la columnase configur, originariamente, a imitacin del cuerpo humano y la com-para con tres tipos humanos: el drico con el varn, de seis dimetrosde alto, al igual que el hombre tiene seis pies, pero luego la alargaron a7 dimetros; el jnico al cuerpo de la mujer, de 8 dimetros y, ms tarde,la hicieron esbelta de 9 dimetros; y el corintio, ms fino y adormado, locompara al cuerpo de una doncella adolescente (10 dimetros).

De todo esto se saca una conclusin rpida: el cuerpo humano, aligual que la columna y junto con ella son patrn y medida referencial dela arquitectura, especialmente del templo divino (en la Edad Media la igle-sia); asimismo la columna se construye a semejanza del cuerpo humano.Esta conclusin la tenemos ejemplificada en varios de los autores del Rena-cimiento, como Francesco di Giorgio, Sagredo, Simn Garca18.

La antropometra arquitectnica expuesta en el tratado de Francescodi Giorgio (hacia 1490), nos muestra la superposicin de la columna ydel templo con el cuerpo humano; las cabeceras de estas iglesias se ase-mejan mucho a las romnicas. Creemos que Francesco di Giorgio pudoconsiderar particularmente, un legado medieval que permaneca latentea travs de las interpretaciones de Vitruvio.

El hombre vitruviano (III,1)

Vitruvio en el primer captulo del libro III describe el sistema de pro-porciones del cuerpo humano porque ningn templo puede presentar unarazn en las composiciones sin la simetra y la proporcin, al modo como hay unaexacta razn en los miembros de un hombre bien formado.


18 Ver por ejemplo ARNAU AMO, J. La teora de la arquitectura en los tratados. Volumen III: Filarete.Di Giorgio. Serlio. Palladio. Madrid, Tebor Flores, 1988, p. 99-106. FUSCO, Renato de, Il codice della archi-tettura, Antologia di trattadisti, Npoles, 1968.

Los distintos miembros del cuerpo son partes proporcionadas al todo,pero tambin se pueden medir por medio de una unidad mnima comoel palmus o el dedo, ya que 4 palmos o 16 dedos forman la dimensinde un pie.

El cuerpo humano, segn se mida, consta de 10 rostros o de 8 cabe-zas o de 6 pies o de 4 codos o de 24 palmos.

Las medidas romanas se han sacado de las medidas de un cuerpohumano ideal.

El pie romano, la huella de un pie en el suelo es 1 pes o pie demedida 0,2958 m. Alto total del hombre 1,7748 m.

El rostro se divide en tres tercios. Toda la palma de la mano tienela misma longitud que el rostro y ste mide 3/5 de un pie; luego el pieequivale a 5 partes de las 3 en las que se divide el rostro. El rostro nopuede medirse en unidades exactas de palmus o dedos, pero s la cabezaque tiene 3 palmos y el pie que tiene cuatro.

Desde lo alto del pecho al arranque de los pelos hay 1/6 del cuerpo,es decir, un pie; est midiendo desde el fondo de la garganta, la partealta del esternn, desde la unin de las clavculas.

Desde lo alto del pecho a la coronilla hay 1/4 de la altura, es decirlo mismo que un codo. Est midiendo desde la parte ms prominentedel pecho, es decir, desde los pectorales; dimensin que es la misma quela anchura de hombros. Vitruvio usa la expresin summo pectore condoble sentido: lo ms alto y lo ms prominente (P. Gros prefiere la elip-sis de a medio pectore).

El texto ms explcito sobre las proporciones es aquel que describelas del cuerpo humano: III,1 (B. 282; O.S. 58-59)

Compuso la naturaleza el cuerpo del hombre de suerte que su rostro, desde labarba hasta lo alto de la frente y la raz del pelo es la dcima parte de su altura.Otro tanto es la palma de la mano desde el nudo de la mueca hasta el extremo deldedo largo. Toda la cabeza desde la barba hasta lo alto del vrtice o coronilla es laoctava parte del hombre. Lo mismo es por detrs desde la nuca hasta lo alto. Desdelo alto del pecho hasta la raz del pelo es la sexta parte: hasta la coronilla la cuarta.Desde lo bajo de la barba hasta lo inferior de la nariz es un tercio del rostro: todala nariz hasta el entrecejo otro tercio, y otro desde all hasta la raz del pelo y fin dela frente. El pie es la sexta parte de la altura del cuerpo: el codo la cuarta: el pechotambin la cuarta. (El palmo la vigsimo cuarta). Todos los otros miembros tienentambin su conmensuracin proporcionada Del modo mismo, pues, los miembrosde los templos sagrados deben tener exactsima correspondencia de dimensiones decada uno de ellos a todo el edificio.

Luego si la naturaleza compuso el cuerpo del hombre de manera que sus miem-bros tengan proporcin y correspondencia con todo l, no sin causa los antiguos esta-blecieron tambin en la construccin de los edificios una exacta conmensuracin decada una de sus partes con el todo. Establecido este buen orden en todas las obras,


lo observaron principalmente en los templos de los dioses, donde suelen permanecereternamente los aciertos y errores de los artfices.

Problemas en la interpretacin del hombre vitruviano

Muchos comentaristas han considerado irreconciliables las diversasrazones y proporciones del hombre de Vitruvio, alegando que no podatener el cuerpo humano a la vez 10 rostros y 8 cabezas, y que desde loalto del pecho a la frente si era 1/6 de la altura del hombre, hasta lacoronilla, no poda ser 1/4. Vase a este respecto, como ejemplo, elcomentario de ORTIZ SANZ19.

Leonardo coment a Vitruvio en su famosa figura y texto del hom-bre vitruviano (dibujo de la Academia de Venecia), pero hizo correccio-nes a sus proporciones; consider el pie 1/7 de la altura del hombre,como se vena haciendo en la Edad Media.

Soluciones del hombre vitruviano

Vitruvio nos plantea de entrada una sencilla ecuacin.La altura del hombre equivale a 10 rostros o equivale a 8 cabezas.

Es decir cada cabeza mide 1,25 rostros; la parte de pelo, la parte supe-rior del crneo, mide 1/4 del rostro o 1/5 de la cabeza.

La cabeza mide 3 palmos que son 9 pulgadas o 12 dedos. El pie mide4 palmos que son 12 pulgadas o 16 dedos.

Si el rostro se divide en 3 partes; el pie tiene 5/3 de rostro o 4/3 decabeza, o sea 1/6 de la altura total del hombre. El codo tiene la cuartaparte de la altura del cuerpo que son 2,5 rostros o 2 cabezas.

La altura del cuerpo equivale a 96 dedos, que son 24 palmos, o sea6 pies. Por medio de dedos puede conmensurarse casi todo el cuerpohumano, excepto el rostro (9,6 dedos)20. En ningn momento Vitruvioconsidera la posible dimensin de la altura del cabello.


19 VITRUVIO Polin, Marco. Los Diez Libros de Arquitectura. Traduccin y comentarios por JosOrtiz y Sanz (1787). Prologo por Delfn Rodrguez Ruiz, ed. facsmil de Madrid, Akal, 1987; notasal libro III, 1, p. 58.

Tambin encuentra problemas de interpretacin PANOFSKY, E. La historia de la teora de lasproporciones humanas como reflejo de la historia de los estilos, e, El significado de las artes visuales,Buenos Aires, Infinito, 1970, p. 93.

20 De este modo, la cabeza es conmensurable, 12 dedos = 9 pulgadas = 3 palmos. El rostro noes conmensurable, pues equivale a 9,6 dedos y la parte superior de la cabeza a 2,4 dedos, pero entreambas partes es fcil llegar a una aproximacin, y el rostro puede evaluarse en 9+2/3 dedos (2 pal-mos + 1 pulgada + 1/4 de pulgada) y la parte superior de la abeza en 2+1/3 dedos (1 pulgada + 1dedo); en total 12 dedos o 3 palmos = 1 cabeza.

Armonas musicales en el hombre

As pues el cuerpo mide 10 rostros = 8 cabezas = 6 pies = 4 codos =24 palmos, que son 72 pulgadas = 96 dedos = 30 narices = 40 cuartos derostro = 40 quintos de cabeza.

Vitruvio est buscando en las razones del cuerpo humano unoscocientes intencionados. Veamos:

Razn = pie/cabeza = 4/3 = sesquitercia.Razn = codo/cabeza = 2/1 = dupla.Razn = codo/pie = 3/2 = sesqualtera.Razn = cabeza/palmo = 3/1 = tripla.Razn = pie/palmo = 4/1 = cudrupla.As pues tenemos todas las consonancias musicales y la serie:1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12, 1/16, 1/24, 1/30, 1/40 que

es una escala de proporcin armnica = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, juntocon otra proveniente del nmero perfecto, 10, 30, 40. Ver el cuadro delas armonas musicales.

Al ser la cabeza 1/8 de la altura del cuerpo, esta parte equivale altono.

Veamos: La altura total son 8 cabezas y la mitad 4, al igual que lacuarta parte es 1 codo = 2 cabezas y esa es la distancia desde la partesuperior de la cabeza a los pectorales. Tenemos pues la dupla o diapasn(2/1) y la cudrupla (4/1). La distancia desde la garganta a la raz delpelo es 1/6 y desde los pectorales a la parte superior de la cabeza 1/4;la proporcin que existe entre ambas razones o cocientes es sesquialtera3/2 = 6/4. El cuerpo lo mide en 8 cabezas o en 6 pies, la razn que existeentre el pie y la cabeza es 8/6: pie = 16 dedos; cabeza = 12 dedos; 16/12= 8/6 = 4/3 = sesquitercia. La manera ms sencilla de encontrar la triplaes en la nariz que es la tercera parte del rostro, pero la tenemos muy apa-rente en la razn existente entre la distancia desde la garganta a la razdel pelo (1 pie) y desde la garganta al extremo de los dedos de las manos(3 pies). Nos queda el tono que equivale a 1/8, es decir la dimensin dela cabeza.

Como vemos, intencionadamente, Vitruvio nos est diciendo que elcuerpo humano, bien formado, se conmensure como se conmensure, esthecho de acuerdo a las proporciones de la armona musical, cuyas razo-nes fundamentales son 2/1; 3/1; 4/1; 3/2; 4/3 y 1/8 o tono.

Adems introduce las razones musicales 5/4 y 5/3, tambin usadasen arquitectura.


La cuadratura del crculo

El prrafo siguiente a las armonas musicales del cuerpo humano, lodedica Vitruvio a un ejemplo prctico sobre la cuadratura del crculo.

En un hombre tendido de cbito supino, con las manos y los piesextendidos, si se tomase como centro el ombligo, trazando con el com-ps un crculo, ste tocara los dedos de ambas manos y los de los pies.Pero si se coloca de pie y solamente con los brazos en cruz, el cuerpohumano se puede inscribir en un cuadrado y su centro es el sexo. AquVitruvio muestra cmo la naturaleza sabe conciliar el permetro del cua-drado y la circunferencia, la cuadratura del crculo, problema insolublepara el conocimiento matemtico humano.

Asimismo el centro natural del cuerpo humano es el ombligo, pues tendido elhombre supinamente, y abiertos los brazos y piernas, si se pone un pie del compsen el ombligo, y se forma un crculo con el otro, tocar los extremos de pies y manos.Lo mismo que en un crculo suceder en un cuadrado; porque si se mide desde lasplantas a la coronilla, y se pasa la medida transversalmente a los brazos tendidos,se hallar ser la altura igual a la anchura, resultando un cuadrado perfecto. (III,1;B. 68).

Este tema insertado intencionadamente en el captulo que habla dela composicin del templo, quiere decir, en la mente de Vitruvio, que eltemplo tambin se puede componer siguiendo un sistema geomtrico, esdecir 2, 3, y divina proporcin, sistemas que surgen del cuadrado, trin-gulo y pentgono inscritos en el crculo; todos ellos compatibles con lasarmonas musicales, tal y como nos lo da a entender Vitruvio21.

La alusin simultnea al crculo y al cuadrado y la ya aludida de laestrella de doce puntas para la formacin del teatro, puede que sean lasnicas que ocultan el conocimiento de Vitruvio sobre la llamada divinaproporcin ya que para inscribir un cuadrado en media circunferenciase tiene que dividir el dimetro en media y extrema razn, en la llamadadivina proporcin, lo mismo que para construir el pentgono inscritoen el crculo, y todo parte de la geometra del radio que es el lado delhexgono.

Los nmeros perfectos

Tras la cuadratura del crculo, y recordando las armonas musicalesdel cuerpo humano, Vitruvio elabora unas pocas lneas sobre los nme-


21 2 es la razn entre la diaginal y el lado del cuadrado; 3 es la razn entre la altura deltringulo equiltero y su semilado; divina proporcin es la razn entre la diagonal del pentgonoregular y su lado.

ros perfectos, en resumen el 10 y el 6 que sumados dan 16. As mismo,como lo ha expuesto previamente, el cuerpo humano tiene esos nme-ros: 10 rostros 6 pies, pues igualmente el templo deber tener en suforma y composicin estos nmeros.

(III,1; B. 69-70) Los antiguos estimaron perfecto el nmero diez porque lotomaron del nmero de los dedos de las manos; de los dedos nace luego el palmo ydel palmo el pie. Por este motivo, Platn estim perfecto el nmero diez Los mate-mticos, al contrario, quisieron que el nmero perfecto fuese el seis, porque los divi-sores de este nmero, a su modo de razonar, sumados, igualan el nmero seis.Igualmente porque el pie del hombre corresponde a la sexta parte de la altura de sucuerpo, o en otros trminos, porque la expresin de la altura del cuerpo en nmerode pies es este nmero, que es el de pies de la altura, estos resultan seis, declararonal seis nmero perfecto y tambin observaron que la longitud del codo se componede seis palmos y por consiguiente de veinticuatro dedos. Los nuestros, por el con-trario, primero eligieron el nmero diez, . Considerando despus que los nmerosdiez y seis eran perfectos, los sumaron y formaron uno perfectsimo, que es el dieci-sis. El origen de esto fue el pie, resulta que el pie comprende diecisis dedos

La msica (I,1; B. 8)

Conviene adems que el arquitecto conozca la msica para que puedaentender las leyes de las proporciones cannica y matemtica (canoni-cam rationem et matematicam se debera traducir: para conocer las pro-porciones basadas en las medias armnicas y aritmticas). Esta alusin laencontramos ya en el Timeo de Platn cuando dice: despus llen losintervalos dobles y triples de tal modo que entre cada intervalo hubiesemedias armnicas y aritmticas22.

De la armona (V,4)

(O.S. 116) Los tonos que un hombre puede naturalmente formarcon su voz, llamados en griego symphoniai, son seis, a saber: diatesa-rn (sesquitercia, 4/3), diapente (sesqualtera, 3/2), diapasn (dupla,2/1), diapasn-con-diatesarn (dupla con sesquitercia, 8/3 = tripla menostono), diapasn-con-diapente (dupla con sesqualtera, 3/1, tripla) y dis-diapasn (cudrupla, 4/1).


22 PLATN, Dilogos, VI, Timeo, Madrid, Gredos, 1992, pp. 175 y 179; hemos hecho una sim-plificacin de un prrafo largo y complejo.

Armonas musicales en el cosmos (I, 1)

Igualmente entre los astrlogos y msicos es comn el tratado res-pecto a la simpata de los astros y de las sinfonas, as las cuadraturas ytrgonos con el diatesarn y el diapente. Las relaciones musicales, dia-tesarn y diapente, aluden a las razones 4/3 sesquitercia y 3/2 sesqual-tera.

La relacin entre cuadratura y trgono con la sesquitercia y ses-qualtera musical merece una explicacin:

El zodiaco tiene 12 signos, el trgono son 4 signos (120) y la cua-dratura son 3 signos (90). La razn entre 12/4 es tripla; 12/3 es cu-drupla. La razn entre el zodiaco y el resto del trgono o de la cuadra-tura: 12/8 = 3/2 sesqualtera o diapente; 12/9 = 4/3 sesquitercia odiatesarn. La razn entre el trgono y la cuadratura es 4/3 sesquiterciao diatesarn. La razn entre lo sobrante de la cuadratura y del trgonoes 9/8, el tono.

En los 12 signos del zodiaco surge pues la escala 3,4,6,8,9,12, en laque un signo equivale a un tono. En esta alusin Vitruvio recoge partede la teora conocida como msica de las esferas celestes. Esquema:


4

8

1212

3

9

9/8

tono

La columna

Vitruvio se refiere a la columna, principalmente, en el libro III, cap-tulos 3 y 5 y en los libros IV, V y VI; al hablar del templo, baslica, teatroy casas.

Distingue cuatro tipos de columnas: drico (IV,3) al que concibe sinbasa y con veinte estras en el fuste; toscano (IV,7); jnico (III,5) y corin-tio (IV,1). Cuando Vitruvio habla de un modo general se refiere siempreal orden jnico cuya composicin es la misma que el corintio, salvo enel capitel.

Slo cita tres tipos de basa: la toscana, la de tipo tico y la jnica.

Cuando cita el pedestal, ste contabiliza separadamente de lacolumna, pero su altura ser una parte de ella (V,7; B. 123).

Vitruvio expone una norma general para la composicin de lacolumna (basa, fuste y capitel). La columna se define por su mdulo ypor su altura. El mdulo surge como una parte de la medida ms signi-ficativa del templo, la latitud de la fachada; pero la altura de la columnadepende del intercolumnio (III,3; B. 72-75). Esta es la norma cannica.Pero por comodidad puede adoptarse otra solucin tradicional: que laaltura de la columna sea 1/3 de la latitud de la fachada (IV,7 y V,1; B.102 y 110) (sistema que recoge Isidoro de Sevilla).

El dimetro del fuste en su parte inferior, imoscapo, unas veces esun mdulo y otras dos mdulos. El fuste se adelgaza en la parte superior,sumoscapo, esta disminucin es de variable razn, segn la altura dela columna (III,3).

La altura de la columna se expresa en dimetros. Para el orden jnicoda diferentes alturas en dimetros: 8, 85, 9, 95 y 10; el corintio tiene lamisma composicin que el jnico pero su capitel es ms alto (III,3 y 5).Vitruvio prefiere para el orden corintio una altura de 10 dimetros.

Intercolumnio

Para Vitruvio el intercolumnio es la distancia entre la parte exteriorde dos fustes de columna, medida en el imoscapo y expresada en di-metros. En primer lugar se refiere al templo en general, que, como enotras ocasiones, debemos suponer que es de orden jnico (III,3; B. 72-75).

As distingue cinco clases de intercolumnios y cinco alturas de colum-nas: el picnostilo (pesado) tiene de intercolumnio un dimetro y medioy su altura es de diez dimetros; el sistilo (ordenado) tiene de interco-lumnio dos dimetros y su altura es de nueve y medio dimetros; el eus-tilo (bello) tiene un intercolumnio de dos dimetros y un cuarto (peroel intercolumnio central de tres dimetros) y su altura es de ocho y medio(en otro prrafo dice nueve y medio); el diastilo (espacioso) tiene deseparacin tres dimetros y le corresponde una altura de ocho y medio;el aerostilo (aereo) tiene un intercolumnio mayor a los tres dimetros yla altura de su columna debe ser de ocho dimetros.


Intercolumnio alturaPicnostilo 1,5 10Sistilo 2 9,5Eustilo 2,25 y 3 8,5 o 9,5Diastilo 3 8,5Aerostilo ms de 3 8

Para el peristilo de la casa recomienda mayor espacio en el interco-lumnio, entre 3 y 4 dimetros, salvo que sean dricos (VI,4; B. 149).

En el teatro recomienda un intercolumnio de 2,75 dimetros paraun orden drico.

Clculo del mdulo

De todos estos cinco tipos de intercolumnios, prefiere el eustilo,el ms correcto, y calcula el mdulo de la columna de la siguiente manera:Si el templo hubiera de ser tetrastilo (de cuatro columnas) de dividir sufrente en once partes [y media], si fuera de seis columnas se dividir endieciocho partes y si hubiera de ser octastilo se dividir en veinticuatro ymedia, una de esas partes ser el dimetro de la columna (III,3; B. 73).

Tiene importancia que conozcamos la versin latina de este prrafo23

y sus variantes en los manuscritos de los siglos X al XII, pues en ellos,como nos muestran Granger y Gros, se ha podido leer: en lugar de XIs,once, o diez y media; en lugar de XVIII, diez y nueve; en lugar de XXIV,veinticinco.

Eustilo: 2,25 y 3 Columnas: 4 mdulo = 1/11s 1/10,5 fachada

6 1/18 1/198 1/24,5 1/25,5

En segundo lugar habla del templo drico que carece de basa paralas columnas (IV,3; B. 94, 95). Aunque la altura primitiva de su columnaera de 6 dimetros, su altura cannica son 7 dimetros. En el caso deldrico diastilo, si fuera tetrastilo la fachada se dividir en 27 partes (28); pero si fuera hexastilo, la fachada se dividir en 42 partes (43, 33, 32). Si el templo fuera drico sistilo, si fuera tetrastilo la fachada se


23 VITRUVE De larchitecture, livre III, texte tabli, traduit et comment par Pierre Gros. Pars, LesBelles Lettres, 1990; III,3,7; p. 16-17. Frons loci quae in aede constituta fuerit, si tretrastylos faciendafuerit, dividatur in partes XIs, praeter crepidines et proiecturas spinarum, si sex erit columnarum,in partes XVIII, si octastylos constituetur, dividatur in XXIV et semissem. Item ex his partibus, sivetetrastyli, sive hexastyli, sive octastyli, una pars sumatur aeque erit modulus.

dividir en 19,5 partes ( 18, 23) y si fuera hexstilo en 29,5 ( 29, 28, 35). A cada una de estas partes las llama mdulo. Siempre dos deestas partes sern la medida del dimetro de la columna24. Luego redu-cido a dimetros resulta:

Drico diastilo: 3 Columnas 4 = 2/27 2/28 fachada

6 2/42 2/32Drico sistilo: 2 Columnas 4 = 2/19,5 2/18 fachada

6 2/29,5 2/29

En tercer lugar habla del templo toscano cuya columna tiene de alto1/3 de la latitud de la fachada y se compone de 7 mdulos (IV,7; B. 102);seguidamente afirma que Algunos arquitectos toman incluso la distri-bucin de las columnas del gnero toscano y la aplican a los templos deorden corintio o jnico (IV,8; B. 104). Esto lo interpret Isidoro de Sevi-lla en un sentido general, con las siguientes palabras: El antiguo canonera que la altura de las columnas deba equivaler a la tercera parte de la anchura25.

La altura de la columna toscana ser 7 dimetros (el fuste 6); losintercolumnios en el templo toscano dependen de la separacin de losmuros, pero equivalen a 5 dimetros los laterales y 7 el central26. La alturade la basa es de 1/2 dimetro, se compone de plinto que es la mitad dela altura y del toro con su apfisis; el plinto tiene de ancho dimetro ymedio, y se hace de planta circular. El capitel tiene de alto lo mismo quela basa y su altura se divide en tres tercios: uno para el hipotraquelio consu apfisis, otro para el equino y otro para el baco que tiene de anchuralo mismo que el dimetro del imoscapo, sobresaliendo del dimetrosuperior 1/8 por cada lado.


24 Aqu hacemos la misma advertencia que anteriormente pues en diferentes manuscritos apa-recen diferentes cifras. VITRUVIUS on Architecture, ed. from the Harleian manuscript 2767, por F. Gran-ger, Cambridge, Mass. Harvard Univ. Press, London, W. Heinemann, 1983; IV,3,3 p. 220 y IV,3,7, p. 224.

VITRUVIO O.S. p. 90 y 93, notas.25ISIDORO de Sevilla, Etimologas. Edicin bilinge. Madrid, B.A.C., 1982, L.XV,8,14; tomo II, p.

246-247: Antiqua ratio erat columnarum altitudinis tertia pars latitudinum.26Vitruvio (IV,7; B. 101) no lo expresa as de sencillamente por lo que puede llegarse a varias

interpretaciones: una rigurosa, la expuesta de intercolumnios de 5 y 7 dimetros; otra ms ligera de5,3 y 7,4 dimetros; incluso una interpretacin laxa de 6 y 8 dimetros. En los ejemplos podemosobservar que estas interpretaciones se observaron: en Saint-Hilaire la rigurosa, en Jaca y S. Zeno deVerona la ligera y en San Lorenzo de Verona la laxa.

El mdulo en la Alta Edad Media

En la Alta Edad Media encontramos varios templos, iglesias, que seacomodan a los intercolumnios vitruvianos, as por ejemplo: La iglesiadel plano de Saint-Gall (hacia el 820) tiene un intercolumnio diastilo (3). La iglesia de Saint-Genoux (Poitou) tiene un espacio interior todode columnas y su intercolumnio es picnostilo (1,5 ). Santa M de Jumi-ges (Normanda) alterna pilares y columnas con un intercolumnio dias-tilo (3 ). Intercolumnio aerostilo tienen las iglesias de Ingrandes-sur-Vienne (Poitou) (3,5 ), Saint-Revrien y Saint-Menoux (Nivernais) (3,5y 3,25 ). Intercolumnio toscano tienen las iglesias de Sait-Hilaire de Poi-tiers (5 ), la catedral de Jaca (5,3 ), San Zeno en Verona (7,4 ) ySan Lorenzo en Verona (6 )27.

La altura de las columnas de estas iglesias es por lo general de 9 di-metros. En Santa M de Jumiges es de seis dimetros, en Saint-Genouxes de siete y medio y en Saint-Menoux es de ocho y un tercio. En SantaM de Alan (Huesca) la columna tiene 10 dimetros de altura.

Tambin el mdulo de las columnas se extrajo de la anchura de lafachada de estas iglesias: En Saint-Gall la anchura de la nave central, pro-yectada como fachada, se pudo dividir por 27 o por 28 partes y dos par-tes hacen el dimetro de la columna; igualmente se hizo en Santa M deAlan. En Saint-Hilaire el mismo espacio se pudo dividir en 24 o 25 par-tes y una de ellas hace el dimetro. En la catedral de Jaca, en Jumiges,en Saint-Genoux y en Saint-Menoux, el mismo espacio se pudo dividir en11,5 partes, en 11, en 10,5 o en 10 y una de ellas hace el dimetro. EnSan Zeno el mismo espacio se dividi en 18 partes y una hace el dime-tro. En San Lorenzo de Verona se dividi en 29,5 y dos hacen el dime-tro de las columnas.

Las basas

Vitruvio describe tres tipos de basa, a una la llama al estilo tico, laotra la llama jnica, ambas tienen medidas similares (III,5; B. 78); la ter-cera basa es la toscana (IV,7; B. 102).

El alto total de la basa tica o jnica, incluido el plinto, es igual a lamitad del dimetro. La basa tica sobresale, por cada lado, 1/4 del di-


27ESTEBAN LORENTE, J. F. La ordinatio y compositio vitruviana en las columnas romnicas.Metrologa de ejemplos escogidos, en Imgenes y promotores en el artemedieval. Homenaje a Joaqun Yarzaluaces. M L. Melero M., F Espaol B., A. Orriols i A., D. Rico C. (eds.), Universidad Autnoma deBarcelona, Bellaterra, 2001, pp. 101-114. El plano de Saint-Gall y la ordinatio vitruviana, en Signo(Alcal de Hsenares), 2002, en prensa.

En la arquitectura de la Alta Edad Media slo hemos visto basas ti-cas y cuando se han realizado en las iglesias del siglo XI, cada una se rea-liz con diferente composicin, si bien guardando el sitemas de armo-nas musicales28.

metro. El plinto tiene de altura 1/6 del dimetro; la parte superior equi-vale a 1/3 del dimetro y est formada por dos toros y una escocia inter-media, el toro superior es 1/12 del dimetro y las otras dos piezas midencada una 3/24 del dimetro (la escocia con sus filetes). De modo quereduciendo a denominador comn nos encontramos con la secuencia2/24 , 3/24 , 4/24 , 6/24 , 8/24 , 12/24 , que es el ejemplo de la mssencilla escala musical: 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 12, ya explicada.

La basa jnica tiene la misma configuracin y mdulos generales. Elplinto tiene de alto 1/6 del dimetro y sobresale 3/8 del dimetro. Laparte superior de la basa est formada por un toro que con su filete supe-rior mide de alto 3/21. El centro de la basa lo ocupan dos escocias. La escocia inferior con sus filetes tiene de alto 2/21 del dimetro. Sobreesta escocia va una serie de astrgalos y otra escocia, estas piezas, juntas,miden 2/21. As pues la parte de las molduras, escocias y toro, miden dealto 1/3 del dimetro y los astrgalos sobresalen 3/16 del dimetro.

La basa toscana mide de alto1/2 dimetro que se reparte a partesiguales entre el toro superior y el plinto que es de perfil circular y sobre-sale 1/4 del dimetro.

Dibujo: Basa tica. Basa jnica. Basa toscana.


28ESTEBAN LORENTE, J. F. La metrologa y sus consecuencias en Saint-Hilaire de Poitiers (hacia1049), en ARTIGRAMA, n 12, Zaragoza, Dpto. de H del Arte, 1996-97, p. 335-357; La iglesia deSan Cristbal de Luzs, finales del siglo XI, en Lux Ripacurtiae II, arte sacro medieval, Zaragoza,Gobierno de Aragn, 1998, p. 53-68; La metrologa en Santa Mara de Alan (hacia el ao 1100),en ARTIGRAMA, n 13, 1998, p. 223-241; La metrologa de la catedral romnica de Jaca: 1, en ARTI-GRAMA, n 14, 1999, p. 241-262; La metrologa de la catedral romnica de Jaca: 2, en ARTIGRAMA,n 15, 2000, pp. 231-258.

Columna corintia

Vitruvio prefiere para el orden corintio una altura de 10 dimetros,no importndole el tipo de intercolumnio. Diez dimetros es lo que con-sidera que debe tener de altura la columna corintia de los prticos delteatro y as las construy en la baslica de Fano (V,10).

La construccin de la columna corintia es la misma que la de lacolumna jnica, exceptuando su capitel, por ello es ligeramente ms altadebido a la mayor dimensin del capitel (V,10; B. 128). El capitel jnicotiene de altura la tercera parte del dimetro de la columna, pero el bacocon las volutas alcanzan la mitad del dimetro, ya que stas desciendenpor degajo del astrgalo (III,5 y IV,1; B. 79 y 86).

El capitel corintio tiene de alto un dimetro, incluido el baco. Secompone de la zona de hojas y del baco. El dimetro de la base del capi-tel, en la parte inferior de las hojas, tiene la misma dimensin que el dela parte alta del fuste; por debajo del capitel queda el astrgalo y la partealta del fuste.

El baco tiene de alto 1/7 de la altura del capitel. El baco tieneplanta cuadrada y su diagonal equivale a dos dimetros; los cuatro ladosse recortan cncavamente y la flecha de esta curvatura es 1/9 de la lon-gitud del lado.

La parte de las hojas se divide en tres fajas: dos fajas de hojas y unasuperior para los caulculos y flores. Las cuatro flores, situadas en los fren-tes, tendrn el mismo tamao que el espesor del baco (IV,1; B. 89).

Como la columna corintia se compone igualmente que la jnica,debemos entender que para Vitruvio su altura puede ser, tambin, de 8,9 9,5 mdulos-diametro, adems de los diez dimetros que l prefiere.

Las columnas del teatro

En el caso de las columnas de la escena del teatro, su altura deberser la cuarta parte del dimetro de la orquesta (V,7; B. 123).

Al hablar de los prticos situados detrs de la escena del teatro (V.10;B. 127-128), al no sostener peso, Vitruvio da a las columnas proporcio-nes ms esbeltas que las cannicas.

Si las columnas fueran dricas su altura ser 7,5 dimetros y el inter-columnio de 2,75. Si fueran jnicas tendrn de alto 9,527 dimetros: 8,5para el fuste, 1/2 para la basa y 19/36 para el capitel. Si fueran corintiastendrn 10 dimetros de altura y uno de ellos ser el capitel.

Los pedestales de estas columnas pueden llegar a medir 1/3 de laaltura de la columna (V,7; B. 123).


Cuando hay superposicin de rdenes, las columnas superiores sern1/4 ms pequeas que las inferiores y el zcalo sobre el que se apoyanser la cuarta parte de la columna (V,1; B. 110).

Conclusin

La intencin de todo lo escrito es dejar clara la idea de proporcinarquitectnica en Vitruvio y mostrar cmo a lo largo de la Alta EdadMedia los arquitectos siguieron los preceptos de Vitruvio en un sentidogeneral, con libertad de interpretacin y de creacin, como se ve refle-jado en la construccin de las basas, en las proporciones del capitel, enlos mdulos de las columnas y en la manera de calcular el mdulo.

El presente trabajo quiere ser la justificacin terica de trabajos ante-riores que sobre metrologa medieval hemos hecho. Con todo ello dese-amos facilitar la tarea a otros trabajos posteriores.


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