Vitesse et dérivation. Une approche interdisciplinaire ... · L’usage du seul terme de vitesse...

Vitesse et dérivation.Une approche interdisciplinaire mathématiques et sciences physiques.

IREM de Toulouse. Groupe « Maths-Physique-Lycée »

Présentation.

Groupe de l’IREM de Toulouse : « maths-physique-lycée ».

Actuellement :deux professeurs de sciences physiques: Monique Mandleur, Monique Sosset ;deux professeurs de mathématiques: Michèle Fauré, Pierre López.

Autres personnes ayant participé à des travaux :Gabriel Birague, Antoine Rossignol.

Travail présenté dans le cadre de la commission inter-IREM « mathématiques et sciences expérimentales ».


Les constats.

Premier constat.Les mathématiques et les sciences physiques s'interrogent réciproquement.

Deuxième constat.Les mathématiques sont constitutives des sciences physiques.

Elle découle de quatre constatset de quatre principes

I. Méthode de travail.



Troisième constat.Les sciences physiques utilisent des mathématiques de plus en plus sophistiquées.

« besoins mathématiques croissants de notre société »

Quatrième constat.Dans la vie des lycéens, sciences physiques et mathématiques sont liées, mais …

« si loin, si proche »


Les principes.

Premier principe :Nous allons des sciences physiques vers les mathématiques. On regarde, dans la pratique, comment le physicien utilise les mathématiques.

Deuxième principe :On veut éviter au professeur de sciences physiques de faire des mathématiques, et au professeur de mathématiques de faire des sciences physiques.



Troisième principe :Avec les situations rencontrées en sciences physiques, on peut contextualiser en mathématiques, des techniques plus ou moins explicites des programmes.Inversement, en mathématiques, il s'agit de prendre en charge l'acquisition des outils et des techniques dont le physicien pourrait avoir besoin.

Quatrième principe :Une collaboration entre les professeurs de mathématiques et de sciences physiques est nécessaire. Elle devrait aller vers des progressions concertées.



II. Deux exercices de physique.

La vitesse à l'instant est approximée par la vitesse moyenne entre les instants et , 1nt − 1nt +

nt

t2

xxv 1n1n

n ∆−= −+



avec comme « valeur » de la vitesse

τ=

2

GGV 42

3

τ=

2

GGV

42

3

Oui mais, la sécante [G2 ; G4 ] est-elle bien symétrique ?

A priori il n'en est rien.

Le mouvement étant supposé sans frottement, les forces exercées sont toutes dans un même plan vertical, donc leurs projections sur l’axe des abscisses sont nulles, donc la somme des projections des forces est nulle, donc …



On est sûr maintenant de la direction, mais qu'en est-il de la « valeur » ?

Allez vous y reconnaître dans tout ça !

On se convainc rapidement qu'ici n'est en fait qu'une

approximation de

τ2

GG 42

3V


y(m)

t (s)0

1

2

3

2 4 6 8

y (m)

x(m)0

1

2

3

1 2 3 4

Le mathématicien croit que le physicien fait çà …

alors que le physicien peut faire çà !

MV

vitesse = coefficient directeur de la tangente

vitesse = longueur du vecteur vitesse



III. La vitesse dans les programmes.

Dans les programmes de physique de terminale S.

Pas une fois n’apparaît l’expression « vitesse instantanée », ni l’expression « vitesse moyenne ».

Dans les documents d’accompagnement de physique ...

Idem !Pas tout à fait : une foisl’expression « vitesse moyenne »

pour quelque chose qui est une vitesse instantanée !


Dans les programmes de physique de première S.

« La valeur de la vitesse moyenne est introduite comme le quotient de la distance parcourue par la durée.

La mesure approchée de la valeur de la vitesse d’un point est obtenue par le calcul de la valeur de la vitesse moyenne entre

deux instants voisins. »

Bien sûr, pas une fois « vitesse instantanée ».Par contre, 32 fois « vitesse ».

Dans les documents d’accompagnement de physique ...

une fois « vitesse moyenne », mais dans un contexte spécial …81 fois « vitesse ».



Dans les programmes de mathématiques de terminale S.Une fois « vitesse instantanée ».

Dans les documents d’accompagnement de mathématiques.Une fois « vitesse moyenne ».

Dans les programmes de mathématiques de première S.Pour l’approche du nombre dérivé :

« Plusieurs démarches sont possibles: passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée (…) »

Dans les documents d’accompagnement de mathématiques.

6 fois « vitesse moyenne », 10 fois « vitesse instantanée ».



IV. L’objectif principal.

Une anecdote.

On veut éviter de faire tendre des ∆ ∆ ∆ ∆ t vers 0

vt

x

t

xt

==∆∆

→∆ d

dlim

0


V. Hypothèses de départ.

Première hypothèse. Un enseignementsur la notion de limite finie en un point fini n’est pas un préalable indispensable àl’ introduction de la notion de dérivée.

Deuxième hypothèse. La notion de tangente peut être un cadre « problématique » permettant l’introduction de la notion de dérivée. Les élèves ont des « connaissances » sur la notion de tangente àune courbe.

Troisième hypothèse.La « position limite de la sécante » n’est pas porteuse de sens pour introduire la tangente.La notion de tangente est liée à l’idée d’« indiscernabilité ».


Cinquième hypothèse.La notion de vitesse moyenne est une notion d’appui pour l’introduction de la notion de vitesse instantanée.

V. Hypothèses de départ.

Remarque.Quelle que soit la démarche utilisée, il faut in fine satisfaire aux objectifs et à la lettre du programme.

Quatrième hypothèse. La notion de vitesse instantanée ne peut prendre tout son sens que dans un contexte physique.

Est-il pédagogiquement possible de mettre en place une séquence sur la vitesse instantanée sans parler de limite ?


Le mouvement rectiligne uniforme.

I . Expérience.

VI. Premiere séance de T.P.



G nR

P

→→=∑ 0F



Question.Que peut-on dire de la trajectoire de G ?Réponse attendue.L'ensemble des points d'enregistrement semblent appartenir à une droite.

Question.Que peut-on dire de la distance entre deux points consécutifs ?Réponse attendue.Elle est sensiblement la même.

Structuration (ou modélisation).Le mouvement est rectiligne.

La vitesse a la même valeur à tout instant.


13

14

14x s.cm30

10.120

3,19,4

tt

xx

t

xv −

− =−=−−=

∆∆=


On note (vx ; vy ; vz) les coordonnées du vecteur vitesse.

II. Détermination de la coordonnée vx.

« Dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme, la coordonnée vx est égale au quotient de ∆ x entre deux points

quelconques de la trajectoire par la durée ∆ t . La vitesse a la même valeur à tout instant. »



x2

x v)v(V ==

III. Le vecteur-vitesse.Le vecteur vitesse a :

pour direction, celle de la droite trajectoire ;pour sens, celui du mouvement.

vy = 0 ; vz = 0.

Question : Quel est la valeur de la vitesse ?

Réponse attendue :


IV. Etude du graphe espace-temps représentatif de la fonction x = f (t).


Relevé des mesures. Tracé du graphe.

On obtient une droite passant par l'origine

x est proportionnel àt

x(t) est une fonction linéaire de t.

0

50

100

150

200

250

0 200 400 600 800



AB

AB

tt

xxk

−−=

Soit k le coefficient directeur

0

50

100

150

200

250

0 200 400 600 800

A

B

La valeur numérique de k est « proche » de celle de vx Structuration : La valeur du coefficient directeur de la droite représentative de la fonction f est égale à vx.

x = vx . t.


V . Structuration finale.

Dans le référentiel choisi, lorsque la somme des forces est nulle, la trajectoire du centre d'inertie G d'un mobile est une droite et la valeur de la vitesse reste constante tout au long du trajet (mouvement rectiligne et uniforme).Le vecteur-vitesse garde même direction, même sens et même norme ; c’est un vecteur constant.


Il existe entre x et t la relation : 00 xt.vxx

+=

est déterminé par le quotient ou, « plus précisément »,

par le coefficient directeur de la droite d'équation x = f (t). x0v

t

x

∆∆


Le mouvement rectiligne uniformément accéléré.

I . Expérience.

VII. Seconde séance de T.P. .

→→≠∑ 0F

G nR

P

T



Enregistrement.

La distance parcourue entre deux points successifs augmente. Sa vitesse augmente.



Graphique.

Les points obtenus ne sont plus alignés.


Dans ce cas, comment calculer la vitesse ? Mais d’abord qu’entend-on par vitesse ?


La méthode « d’encadrement ». En classe de 1°S.La vitesse pour l’instant tn est la « vitesse moyenne » entre les instants tn-1 et tn+1.

L’usage du seul terme de vitesse dans le contexte (conformément aux programmes de physique) pourrait laisser entendre que c’est une « vitesse instantanée ».

Dans le cas qui nous occupe, c’est vrai !


Le problème de la définition de la vitesse.Nous nous basons sur l’idée de Galilée:

Il pense que la vitesse instantanée à la date t d’un mobile en cours de mouvement est égale à la vitesse de ce mobile au-

delà de la date t, si à partir de cet instant t, le mobile ne subit plus de force (ou s’il est soumis à des forces qui se

compensent).



Expérience.



Enregistrement.



Graphique.




Modélisation de la partie du mouvement uniforme.



Superposition des deux mouvements.



Avec une autre date pour l’annulation des forces ...


Observation.Le tracé devient rectilignequand l'action du fil cesse. Les actions mécaniques se compensant, le mouvement de G est devenu rectiligne et uniforme (principe de l'inertie).

Que peut-on dire de cette droite ?

Elle est tangente à la courbe représentative de la fonction d'équation x = f (t) (relative au mouvement de S maintenu jusqu'au bout sous l'action de la tension du fil ).




Conséquence.

La vitesse à l’instant t se calcule par rapport au mouvement devenu rectiligne et uniforme, donc par l'évaluation du coefficient directeur de la tangente àla courbe représentative de la fonction d'équation x = f (t).

Conclusion.

La vitesse vx en un point de date t est égale à la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction x = f (t) au point considéré. Donc la valeur de vx à la date t est par définition le nombre dérivé de la fonction x = f (t) à la date t.



t

xxx d

d,v ==

t

x

t

xt ∆

∆=→∆ 0

limd

dComme

t

x

t

x

d

ddeionapproximatuneest

∆∆


Une référence bibliographique.Article (R.D.M. vol. 6.1. 1986) « Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite » de Anka Sierpinska Deux difficultés rencontrées par les élèves

- difficulté à définir la tangente comme limite de sécantes ;

- difficulté à définir la tangente au point d'inflexion.

Conséquence de ce qui précède.La dérivation ne peut pas être introduite par passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée… si on veut respecter une certaine interdisciplinarité.

VIII. La dérivation.



Conséquence.La dérivation ne peut pas être introduite par la limite des sécantes …

???Qu’est-ce qu’il reste ?

Ce dont le physicien se sertla tangente !



Texte de l’activité donné aux élèves 1. Tracer sur le document joint les tangentes à C aux points d’abscisses respectives : 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 0 ; -0,5 ; -1 ; -1,5 ; -2 2. Déterminer les coefficients directeurs de ces droites, et présentez les résultats sous la forme d’un tableau numérique.3. Tracer sur le document joint la tangente àC au point d’abscisse 3.

1° Activité : TANGENTE A LA COURBE C : y = x2.

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5


VIII. La dérivation.Remarques.a. Unité graphique de 4 cm pour faire le graphique sur le document donné aux élèves pour- avoir une partie de courbe avec une “bonne” concavité ;- ne pas avoir sur ce tracé le point d’abscisse 3.

b. A la question 2 la détermination des coefficients directeurs ne peut être que graphique.

c. Comme le point d’abscisse 3 n’est pas représenté, deux démarches :- on refait le tracé de C avec une unité graphique adaptée,- on exploite le tableau numérique de la question 2 pour mettre en place une fonction (ici affine) qui permet de calculer le coefficient directeur de la tangente.


d. La synthèse de cette activité peut se résumer par :soit la courbe d’équation y = x2 ; le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse x est égal à 2x.

e. On notera que dans cette activité c’est la notion de fonction dérivée, et non le nombre dérivé, qui intervient en tant qu’outil pour répondre à un problème.




2° Activité. Indiscernabilité entre la courbe C : y = x2 + x + 1 et la droite D : y = x + 1.Texte de l’activité donné aux élèves.

Les tracés de C et de D sont faits sur une feuille carrée de côté 20 cm avec un crayon porte-mine d’épaisseur 0,5 mm. On considère un repère orthonormal tel que le point de coordonnées ( 0 ; 1 ) soit au centre de la feuille.

1. Faites les tracés de C et de D avec une unitégraphique de 10 cm.

2. Faites les tracés de C et de D avec une unitégraphique de 1 m.

3. Déterminez une unité graphique telle que les tracés de C et D soient indiscernables.



Remarques.

a. L’indiscernabilité n’est pas une notion mathématique. Le sens que l’on doit attacher à ce mot doit faire l’objet d’un débat en classe. Les deux premières questions sont là pour aider à l’émergence d’un consensus. La définition visée est :

« deux traits sont indiscernables lorsqu’il n’y a pas de blanc entre eux ».

L’indiscernabilité ne doit pas être comprise comme la superposabilité.


b. Formulation du problème : on cherche un nombre u strictement positif tel que pour tout nombre x

| x | . u < 10 entraîne | (x2 + x + 1) – (x + 1) | . u < 0,05 ,soit, | x | . u < 10 entraîne | x2 | . u < 0,05.


On remarque que | x | . u < 10 équivaut à | x |2 . u < u

210

Donc pour que l’implication soit satisfaite, il suffit que

< 0,05 , soit u > 2000.u

210


c. On peut considérer que la formalisation choisie pour l’indiscernabilité est basée déjà sur une condition suffisante..

d. L’indiscernabilité « crayon-papier » n’est pas transférable telle que à une indiscernabilité « écran de calculatrice ».

e. Il y a une difficulté forte au raisonnement fait : travail par condition suffisante.

f. La manipulation d’unités graphiques n’est pas facile pour un élève moyen de première.




Généralisation.Si f est dérivable en 0 alors il existe une fonction affine g et

une fonction ϕ tendant vers 0 en 0 telle qu'autour de 0 , f (x) = g(x) + x . ϕ (x) .

L’indiscernabilité peut fonctionner pour justifier le caractère tangent de la représentation graphique de g .

Formulation du problème.On désigne par d, eet u les mesures respectives, avec la même unité, de la demi-largeur de la feuille, de l’épaisseur du trait et de l’unité à déterminer. On doit avoir :

quel que soit d > 0 , quel que soit e> 0 , il existe u > 0 tel que | x | . u < d entraîne | x . ϕ (x) | . u < e


Pour que l'implication | x | . u < d entraîne | x . ϕ (x) | . u < e soit vraie il suffit que


d . | ϕ (x) | < e dès que u . | x | < d ou | x | <u

d

Comme ϕ tend vers 0 lorsque x tend vers 0 , il existe a > 0

tel que pour | x | < a on ait | ϕ (x) | < d

e

Il suffit donc que u soit tel que < a soit u > u

d

a

d

Reste maintenant à reécrire le raisonnement « à l'endroit » ...



Pour finir, on remarquera que l’on peut montrer une sorte de réciproque (ceci se fait en réécrire « à l’envers » le raisonnement précédent).

C’est à dire que si une droite représentative de la fonction g est tangente à la représentation graphique de la fonction f au sens de l'indiscernabilité énoncée plus haut alors on peut écrire

f (x) = g (x) + x . ϕ (x) avec ϕ tendant vers 0 en 0 .



Conséquence.On peut définir la dérivation en 0 par :

f est dérivable en 0 lorsqu’il existe une fonction affine g et une fonction ϕ tendant vers 0 en 0 telles que

f (x) = g (x) + x . ϕ (x)

Cette définition correspondant au fait que la représentation graphique de la fonction f admette une tangente en 0, celle-ci étant par définitionla représentation graphique de la fonction g.



On peut alors enchaîner par le besoin de trouver g.Donc en particulier son coefficient dominant.On montre « classiquement » que la définition donnée est équivalente à

finieestetexistelim0 h

f(0) - f(h)h →

Et on fait l’interprétation « classique » en termes de limite de sécantes …On a donc montré que

la limite des sécantes donne la tangente.



Remarque.« La notion de développement limité à l’ordre 1 n’est pas au programme.» Programme de 1°S …Mais elle l’est au programme de TS.


Conclusion.

???

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