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Los saberes que se ponen en juego

Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los ncleos, enla escuela tendremos que proponer situaciones de enseanza en las que sepongan en juego distintos aspectos de estos. Se trata de que los conocimientosmatemticos se introduzcan en el aula asociados con los distintos problemasque permiten resolver para luego identificarlos y sistematizarlos.

Esto es:

Usar nmeros naturales de una, dos, tres y ms cifras, a travs de su

designacin oral y representacin escrita, al comparar cantidades y nmeros. Identificar regularidades en la serie numrica y analizar el valor posicionalen contextos significativos al leer, escribir, comparar nmeros de una, dos, tresy ms cifras, y al operar con ellos.

Usar las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisincon distintos significados.

Realizar clculos exactos y aproximados de sumas y restas con nmeros deuna, dos y tres cifras eligiendo hacerlo en forma mental o escrita en funcinde los nmeros involucrados articulando los procedimientos personales con losalgoritmos usuales.

Usar progresivamente resultados de clculos memorizados (sumas dedecenas enteras, complementos a 100, dobles) y las propiedades de la adiciny la multiplicacin para resolver otros.

Explorar relaciones numricas1 y reglas de clculo de sumas, restasy multiplicaciones, y argumentar sobre su validez.

Elaborar preguntas o enunciados de problemas y registrar y organizar datosen listas y tablas a partir de distintas informaciones.

Nmero y Operaciones

EJE

1 Las relaciones numricas que se exploren estarn vinculadas con los conocimientos disponiblessobre el sistema de numeracin decimal y/o las operaciones.


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Propuestas para la enseanza

En este apartado, intentamos precisar el alcance y el sentido de los conocimien-tos que se priorizan en el Eje Nmero y Operaciones con ejemplos de activi-dades para desarrollar en el aula y de producciones de los nios.

Adems, presentamos posibles secuencias de enseanza que muestran eltipo de trabajo matemtico propuesto desde el enfoque explicitado en el apar-tado Ensear Matemtica en el Primer Ciclo.

Para leer y escribir los nmeros naturales

Los nmeros naturales se usan en diferentes situaciones, por ejemplo, paradeterminar la cantidad de elementos de una coleccin (aspecto cardinal),para saber en qu posicin se encuentra un objeto dentro de una lista ordena-da (aspecto ordinal), y tambin para anticipar resultados de una transformacinen la cantidad de objetos de una coleccin pero sobre los cuales se tiene algu-na informacin. Por ejemplo, si sabemos sumar 4 + 3 = 7 no es necesario rea-lizar un conteo efectivo para conocer cuntos chicos hay en una plaza dondehaba 4 jugando y despus llegaron 3.

En 2o

ao/grado tambin se usan los nmeros para expresar medidas. Engeneral, las medidas se indican con nmeros racionales, que se escriben conexpresiones fraccionarias o decimales. En algunos casos, como al indicar que unrecorrido es de 5 baldosas o de 4 pasos, se escribe un nmero natural, que tam-bin es racional (5 = 102 = ; 4 =

400100 = ).

En cuanto a las formas de representar los nmeros naturales, consideramostanto su designacin oral, es decir, la forma de nombrarlos y leerlos, como suescritura convencional con cifras. Para aprender los nmeros, es necesario, enprincipio, que los chicos los usen en diferentes situaciones y discutan las rela-ciones que establecen entre esas dos formas de representacin.

Para que los alumnos continen avanzando en el conocimiento de la repre-sentacin de los nmeros naturales, es necesario que ofrezcamos una amplia yvariada gama de problemas en tramos de la serie numrica cada vez msamplios. Para dicho trabajo, es conveniente plantear situaciones como las quese desarrollan en este apartado que den lugar a que los chicos puedan contarde 1 en 1, de 2 en 2 y de 10 en 10, registrar cantidades y posiciones, analizarescrituras, comparar y ordenar nmeros en distintos intervalos de la serie.

En cuanto a las situaciones donde usen nmeros para anticipar el resultado deuna transformacin de la cantidad de elementos, desarrollaremos algunos ejemplosen el apartado Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significados.


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Cuando se apunte al trabajo con regularidades y se consideren distintos tra-mos de la serie numrica, el trabajo de reflexin sobre qu se repite y qu varaen cada uno se apoyar en la posibilidad de leer y escribir los nmeros y a la vezcontribuir a ampliar estos conocimientos.

Plantear situaciones para determinar cantidades y posiciones

El avance en el dominio del conteo se puede dar en la medida en que plantee-mos situaciones que apunten a la extensin de la serie numrica, es decir quetengan que contar hasta nmeros ms grandes que los conocidos. Estas situa-

ciones podrn requerir contar de 1 en 1 a partir de 1 o desde un nmero cual-quiera, descontar desde cualquier nmero, y tambin contar de 2 en 2, de 5 en5 o de 10 en 10. Para este ltimo caso, se podr proponer, por ejemplo, lasiguiente actividad, basada en un juego clsico y bastante difundido.

El que mueve pierde: contar de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10Materiales: para cada grupo, un juego de palitos chinos o 30 palitos demadera pintados de 3 colores diferentes. A cada color se le asignar unpuntaje, por ejemplo: 2 para el rojo, 5 para el verde y 10 para el azul.Organizacin del grupo: se divide la clase en grupos de 2, 3 o 4 alumnos.

Desarrollo: en cada grupo, un alumno toma con una mano todos los

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palitos, los coloca en posicinperpendicular a la mesa y luegolos deja caer. Los palitos quedarnentonces sobre la mesa,superpuestos o no, y en distintasposiciones. Respetando el orden dela ronda, cada jugador levanta de auno los palitos sin mover losdems. En el momento en que

mueve alguno, debe dejar el turnoal siguiente jugador. Cuando no quedan palitos sobre la mesa, cada unocuenta el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cada palito. Seasigna 20 puntos extras al primero que obtiene su puntaje total.

En la primera vuelta, probablemente los chicos usarn variadas estrategiaspara averiguar el puntaje total; las intervenciones tendran que apuntar a la con-veniencia de organizar los palitos obtenidos por colores y luego realizar el conteo.Ms adelante en el ao, se puede proponer que jueguen varias vueltas y que elconteo parta desde el nmero registrado en la vuelta anterior.


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Eje

Nmeroy Operaciones

Otros juegos en los que hay que hacer un recuento de puntaje pueden darlugar al uso de distintas escalas. Por ejemplo, en un tiro al blanco donde los dife-rentes puntajes estn en el blanco y cada acierto en un sector vale 10 puntos,en otro, 5 puntos y en el tercero, 2 puntos, o en un juego de embocar objetosen una lata donde los distintos puntajes se asignan a los colores de los objetosque se tiran, por ejemplo pelotitas de papel o chapitas.

Tambin podemos presentar situaciones en las que sea necesario contar loselementos ordenados de una coleccin numerosa, como las sillas ordenadas en

filas de 10 en el saln de actos, los bancos puestos de a 5 en cada mesa en elcomedor de una escuela, los ravioles en las planchas, los tutores de plantascolocados con una distancia fija entre ellos.

Otras situaciones propicias para contar colecciones numerosas que, en prin-cipio, no estn ordenadas, son los votos de todos los alumnos de la escuela ode varios grados cuando se elige el nombre de la biblioteca o del peridico esco-lar, los tomates recogidos en una huerta o los troncos de rboles talados. 2

3 Recomendacin de lectura: se recomienda la lectura de la secuencia El coleccionistadesarrollada en el Cuaderno para el aula: Matemtica 1, en la que los alumnos tienen quecontar grandes colecciones desordenadas. Las citas completas de los textos mencionadosen este Eje se encuentran en la Bibliografa, al final de este Cuaderno.


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Luego de contar los elementos de las colecciones, podemos tanto analizar losprocedimientos utilizados como las dificultades encontradas. Es probable quealgunos alumnos, al contar los elementos de 1 en 1, hayan perdido la cuenta enms de una oportunidad mientras que otros pueden armar grupos o montoncitoscon los objetos, o descubrir la regularidad de los elementos en la repeticin (porejemplo, 5 sillas por mesa o 10 butacas por fila). As, los alumnos pueden llegara descubrir las ventajas de ciertos procedimientos a partir del intercambio sobrecmo lo hizo cada uno, ya que agrupar los objetos facilita y permite que se hagams rpido el conteo de la coleccin.

Convendr tambin proponer situaciones en las que tenga sentido contar paraatrs o descontar, como para indicar el momento exacto para comenzar una acti-vidad a partir de la cuenta regresiva, por ejemplo, prepararse para una carrera ycuando se llega a 0 salir corriendo.

Plantear situaciones para analizar la escritura de los nmeros

En 2o ao/grado, debemos tener en cuenta que un mismo nio, al apoyarse enla informacin que extraen de la forma de nombrar los nmeros, puede repre-sentar convencionalmente algunos nmeros y otros de manera no convencional.

Las investigaciones didcticas muestran que el aprendizaje de la escritura

convencional de los nmeros no sigue el orden de la serie numrica, es decir,primero los ms chicos y luego los ms grandes. Los nios aprenden primero aescribir algunos nudos o nmeros redondos (10, 20, , 100, 200, , 1000,etc.) y despus se apropian de la escritura de los nmeros que se ubican en losintervalos entre los nudos. Veamos unos ejemplos.

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En este caso, podemos preguntarnos qu sabe Diego de los nmeros.Conoce cmo se escriben convencionalmente algunos de dos y tres cifras (54y 154) y tambin algunos nudos (400 y 500). Para escribir 354, Diego se apoyaen la informacin que extrae de la numeracin hablada, el 354 se lee trescien-tos cincuenta y cuatro, lo que da cuenta de la descomposicin aditiva 300 + 50+ 4. Entonces, Diego comienza a escribir el trescientos pero contina escri-biendo el 54 de manera convencional porque ya lo conoce.

Estas escrituras errneas aparecen al plantear como problema la escriturade nmeros grandes, que todava no han sido objeto de enseanza y, enalgunos casos, subsisten aun cuando se hayan trabajado. Es posible entonces,


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Eje

Nmeroy Operaciones

desde el enfoque que planteamos, aprovechar estas producciones para quelos chicos avancen en el conocimiento de la serie al confrontar las distintasescrituras que aparecen.3

Un problema a plantear para analizar escrituras tanto si esas escrituras sehan producido en clase como si esto no ha ocurrido sera: al escribir trescien-tos cincuenta y cuatro y cuatrocientos, unos chicos lo hicieron de este modo;estn bien escritos as?

Se podra generar un espacio de intercambio en el cual los alumnos puedenexplicitar y discutir sus ideas. Ellos, en general, ya saben que el 400 es mayor queel 354 y tambin que los nmeros ms grandes tienen igual o ms cifras, por loque pueden llegar a la conclusin de que si el cuatrocientos es mayor que el tres-cientos cincuenta y cuatro, este ltimo no puede tener mayor cantidad de cifras.

A partir de la confrontacin entre las diferentes escrituras numricas de los

alumnos y entre las argumentaciones con que ellos las fundamentan, es posi-ble que sus hiptesis entren en contradiccin y que avancen hacia la notacinconvencional.

3 Recomendacin de lectura: para profundizar en el conocimiento de las hiptesis de losalumnos acerca de la escritura de los nmeros, se recomienda la lectura de Lerner, D. y Sadovsky,P., El sistema de numeracin. Un problema didctico, en: Parra, C. y Saiz, I. (comps.) (1994).


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Otra manera de discutir sobre este tipo de escrituras consistira en dar pis-tas, es decir, cierta informacin que les permita acercarse a la escritura conven-cional. Por ejemplo, se puede escribir en el pizarrn:

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En este ao/grado, las actividades de anlisis de la escritura de nmerosincluirn, por lo menos, los que tienen una, dos y tres cifras. Estas tareas podrn

plantearse a propsito de situaciones de la vida cotidiana de la escuela y que,aunque no es frecuente que los chicos participen de su resolucin, pueden sertomadas por el docente para generar en el grupo la necesidad de leer y escribirnmeros. Si bien en algunas de estas los chicos tambin tendran que operar,debern pasar primero por una instancia de registro de cantidades y por otra deinterpretacin de nmeros.

Esto puede ocurrir, por ejemplo, si hay que hacer una compra de tiles esco-lares o de cubiertos, vasos o platos para el comedor. En tal caso, podemos pre-guntar qu datos son necesarios para decidir la compra, organizar maneras degenerar informacin, operar eventualmente con ella y registrarla. Luego, al rea-

lizar la compra y ante la caja de los platos, se podr analizar qu datos de lainformacin de la etiqueta pueden ser tiles, por ejemplo, el nmero de platosenvasados o el nmero de artculo para que todos sean iguales.4

4 En el apartado Los contextos de Ensear Matemtica en el Primer Ciclo de este Cuadernose ha reflexionado sobre los mltiples factores que determinan las decisiones que tomamos ennuestra vida cotidiana. Por lo tanto, es conveniente que desarrollemos un intenso trabajo de anlisisde la informacin disponible que puede influir en la toma de decisiones cotidianas.

y preguntar: cmo se escribirel 330? y el 340? y el 350?

Les sirve esto para revisarcmo est escrito el trescien-

tos cincuenta y cuatro?


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Eje

Nmeros yoperaciones

En todos los casos, es necesario que los contextos no matemticos en losque trabajemos con los nmeros tengan sentido para los alumnos. Por ejemplo:rifas de un talonario, figuritas en un lbum, precios, distancias entre distintaslocalidades.

La lectura y escritura de nmeros tambin se puede asociar con el registro o

la interpretacin de informacin que derive del trabajo en otras reas o proyec-

tos particulares en los cuales se manejen cantidades de tres cifras, por ejem-

plo, las distancias entre ciudades en Ciencias Sociales.

Tambin se pueden analizar las escrituras cuando los nmeros no se refierana cantidades de objetos, como en un juego de lotera con nmeros de tres cifrasen el que uno del grupo canta los nmeros y los dems ponen los porotoscorrespondientes en los cartones.

Es frecuente que presentemos actividades de completamiento de escalas, loque requiere contar y descontar y tambin analizar las escrituras numricas.Para evitar que esto se convierta en una actividad tediosa y sobre la cual los

alumnos no tienen indicios de cmo la van realizando, es conveniente que ofrez-camos una cantidad limitada de nmeros, que los alumnos sean los que debandescubrir de a cunto se avanza o retrocede, e incluir algunos nmeros interca-lados que les permitan evaluar si los completamientos realizados fueron correc-tos. Por ejemplo,

Descubr cmo est armada cada serie de nmeros sabiendo que laregla para pasar de cada nmero al siguiente es siempre la misma, y luegocomplet los espacios que faltan.

410 - 415 - - - - 435

600 - 500 - - - 200 -

En actividades como las siguientes, los alumnos, adems de leer y escribirnmeros de dos y tres cifras, escribir intervalos numricos y encuadrar nmerosentre otros dos, tendrn ocasin de analizar las escrituras. Podemos plantear lasiguiente consigna para que resuelvan en pequeos grupos.


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Un grupo de 10 chicos integrantes de un equipo de voleibol organizaronuna rifa para recaudar fondos para viajar al encuentro anual. El talonarioempieza en el 0 y termina en el 199. Los chicos deciden que cada uno va avender 20 rifas y las reparten de modo de recibir nmeros consecutivos. Elprimero recibi desde el 0 a 19. Indiquen desde qu nmero y hasta qunmero le corresponde a cada chico.

Al hacer la puesta en comn de lo realizado por los grupos, hay que compa-rar las respuestas de cada uno, ya que algunos habrn escrito todos los nme-

ros de cada chico y otros solo los de los extremos.Luego se puede presentar una actividad a partir de un cuadro como el

siguiente, sugiriendo que otros alumnos tambin han organizado una rifa y ano-taron en un cuadro la informacin del reparto de los nmeros. Estos chicos ven-dan 50 rifas cada uno e indicaron solo el primero y el ltimo nmero del talona-rio que recibi cada uno.

Complet los nmeros que faltan.

Bruno Juan Dan Luis Pepe

0-49 50-99 100 - 150 - - 249

Jos Marco Martn Pedro Diego - 300 - - - - 499

Respond.La ta de Juan quiere las rifas con los nmeros 424 y 205; a quinesdeber comprrselas?

Plantear situaciones para comparar y ordenar cantidades y nmerosAvanzar en la comprensin del orden de la serie numrica requiere de la compara-cin tanto de cantidades como de nmeros de igual o diferente cantidad de cifras.

Por ejemplo, para que los chicos comparen cuatro nmeros de tres cifras sepuede presentar el siguiente juego.

Armando el mayor: comparar nmerosMateriales: un mazo de 40 cartas con las cifras del 0 al 9 cada cuatrojugadores.Organizacin: la clase se divide en grupos de 4 alumnos.

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Eje

Nmeroy Operaciones

Desarrollo: se reparten al azar 3 cartas a cada integrante y se les solicitaque cada uno arme el mayor nmero posible. Luego, comparan los nmeroslogrados y se anota un punto el que arm el mayor. Al cabo de cuatrovueltas, el ganador es el que obtiene ms puntos.

Luego de jugarlo varias veces, ser posible abrir un espacio de discusin para quelos alumnos expliciten las razones por las que pueden afirmar que un nmero esmayor o menor que otro. En este sentido, sera interesante que queden registradasen los cuadernos de clase algunas conclusiones como: el que tiene un nmero ms

grande a la izquierda es mayoro cuando dos nmeros empiezan igual nos tene-mos que fijar en el nmero siguiente para saber cul es el ms grande. Esto per-mitir volver a ellas en el caso de que alguna nueva situacin as lo requiera.

Podemos introducir variantes a este juego modificando la consigna, es decir,se puede indicar que ganar la mano aquel que logre formar el menor nmeroposible o un nmero que est en un intervalo determinado, por ejemplo, entre300 y 500. Esto les permitir arribar a nuevas conclusiones.5

Despus de jugar, se pueden plantear problemas que simulan situaciones dejuego en los que debern tener en cuenta las conclusiones a las que arribaron

en la discusin posterior.

Martn recibi tres cartas con las cifras 3 - 5 - 7. Indic cul es el mayornmero y cul el menor que puede formar.

Con las cartas 2 - 4 - 9, escrib todos los nmeros diferentes que sepueden armar y ordenalos de mayor a menor.

Nico sac las cartas con las cifras 3 - 6 - 8. Indic todos los nmerosdel intervalo 500 - 800 que pudo escribir.

Juan arm el nmero 973, Dani el 954 y Mara sac un 9 y un 7. Cules la tercera carta que le toc si form un nmero que est entre el que

arm Juan y el de Dani? Hay una nica posibilidad?

5 En el apartado Los contextos de Ensear Matemtica en el Primer Ciclo en este Cuadernose plantea la necesidad de articular el juego con otras actividades para que este puedaconstituirse en un recurso de enseanza.


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Luego, se pueden proponer otros problemas que permitan establecer relacio-nes del mismo tipo. Por ejemplo:

Complet la cifra que falta para que los tres nmeros estn ordenadosde menor a mayor123 3_3 590

345 3_7 389

705 _04 806

Al finalizar la resolucin individual, y en funcin de la confrontacin de las res-puestas de los alumnos, se puede generar una discusin acerca de la cantidadde soluciones que admiten estas situaciones. Para iniciar el debate se puedeplantear: un chico me dijo que encontr tres soluciones para el segundo caso,es posible? Y para los otros?

Otro tipo de actividad que permite a los alumnos establecer relaciones entre losnmeros de un cierto intervalo seleccionado convenientemente es el siguiente.

Averiguar el nmero: establecer relaciones entre nmerosOrganizacin del grupo: en equipos de hasta 4 participantes.Desarrollo: el maestro piensa un nmero perteneciente a un intervalodeterminado previamente; por ejemplo, entre 0 y 100. Los participantes decada grupo tendrn que realizar preguntas que se puedan responder pors o por no para averiguar el nmero pensado. Cada grupo puede anotarlo que necesite para registrar su trabajo. Esas preguntas y sus respuestasno deben ser escuchadas por el resto de los grupos. Gana el grupo queaverigua el nmero con menor cantidad de preguntas.

A partir de este juego se pretende que los chicos utilicen relaciones como esmayor que, est entre y , es menor que, termina en, empiezacon. En el transcurso, el docente podr tomar informacin acerca de las rela-ciones que usan los alumnos, es decir, cules tienen efectivamente disponiblespara la resolucin del juego.

La representacin en una banda de nmeros o una recta numrica del inter-valo inicial y los fragmentos que se van descartando es un modo de registro que,si no es utilizado por los nios, puede ser introducido por el docente.

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Despus de dos o tres partidas, es posible pedirles que anoten las preguntasque van haciendo, sus respuestas y los nmeros que fueron descartando a par-tir de ellas. Al finalizar el juego, se podr entonces discutir respecto de culesson las mejores preguntas para ganar, es decir, cules son las que permiten des-cartar mayor cantidad de nmeros.

Para conocer el sistema de numeracin

El sistema de numeracin decimal es un modo de representar cantidades quetiene caractersticas propias: usa un conjunto de diez smbolos entre los cuales

el cero tiene una funcin especial y cada smbolo tiene un valor distinto segnla posicin que ocupe en el nmero. Para escribir una cantidad en este sistema,es necesario respetar algunas reglas: cuando se usa ms de un smbolo, estosse escriben en forma horizontal, y en cada posicin, el valor del smbolo es 10veces mayor que en la posicin a su derecha.

Al abordar en la escuela el trabajo de interpretacin y escritura de nmeros,habitualmente se presentan las unidades, las decenas como grupos de 10 unida-des, las centenas como grupos de 100 unidades (o de 10 decenas), etc. Esteabordaje se centra en la idea de agrupamiento y en la descomposicin del nme-ro en unidades, decenas y centenas, segn la posicin de cada cifra. As, compren-

der que 345 es 3 centenas, 4 decenas y 5 unidades implica pensar el 345 como3 x 100, 4 x 10 y 5 x 1. Esta descomposicin, aunque se escriba solo como 3 c,4 d y 5 u es una descomposicin que involucra la multiplicacin y es frecuente quese utilice antes de haber iniciado la enseanza de la multiplicacin.

Otra manera de iniciar el estudio de la serie es considerar como punto de par-tida las ideas de los nios cuando tienen que interpretar nmeros. Ellos, en gene-ral, para decidir cunto vale una cifra en cada posicin, se apoyan en la forma denombrarlos: hay un lugar para los dieces, otro para los cienes, etctera.

Esto puede aprovecharse para relacionar la numeracin hablada (la forma dedecir los nmeros) con la escrita. As, es posible proponerles que exploren tramos de

la serie numrica escrita para establecer relaciones entre los nmeros y analizarregularidades. Las caractersticas que se repiten en cada tramo se dan tanto en looral como en lo escrito. Por ejemplo, a 31, 32, 33, corresponden a los treinti: trein-ta y uno , treinta y dos, treinta y tres. Esto no ocurre en el tramo del 11 al 15 porquesus nombres no comienzan con dieci ni en el caso de los veinti... ya que no se aso-cian con el 2 del mismo modo que los treinti... con el 3 o los ochenti... con el 8.

La forma de nombrar los nmeros da lugar a pensarlos como ya planteamos,como la suma de sus partes. Esta forma de descomposicin, denominada adi-tiva, resulta ms adecuada a las posibilidades que tienen los nios para iniciar-se en el conocimiento del sistema de numeracin.

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Eje

Nmeroy Operaciones


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Consideremos el siguiente cuadro como una presentacin de los cien primerosnmeros naturales en donde es ms sencillo reconocer las primeras regularidades:

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

100

Las regularidades de la serie numrica a la que nos referimos son las siguien-

tes: los nmeros que aparecen escritos en la primera fila son de una cifra y vancambiando desde 0 hasta 9. En la segunda fila, el primer nmero termina en 0,el segundo en 1 y el ltimo en 9, mientras que la primera cifra no se modifica.Esta misma situacin se repite en las filas siguientes.

Al decir los nmeros, entonces, todos los de una fila, a partir de la del 20,empiezan igual y terminan con la serie de uno a nueve: veintiuno, veintids, vein-titrs,..., treinta y uno, treinta y dos, treinta y tres..., etctera.

En las columnas, lo que cambia es el inicio del nmero, mientras que la ltima cifrase mantiene constante. As, los nmeros de la primera columna terminan en 0, en lasegunda terminan en 1, etc. Al decir los nmeros de una columna, todos empiezan

pero terminan igual: veintiuno, treinta y uno, cuarenta y uno, etctera.La explicitacin y el anlisis de las regularidades de nuestro sistema de

numeracin, as como la composicin y descomposicin aditiva de nmeros irndando lugar a que los chicos elaboren la idea de valor posicional de un modoincipiente, teniendo en cuenta que llevar varios aos de la escolaridad lograruna comprensin ms acabada de esta nocin.

Plantear situaciones para analizar regularidades

El trabajo respecto de las regularidades de la serie se puede continuar en 2 o

ao/grado con el mismo recurso utilizado en 1o, el cuadro de nmeros de 0 a 100.


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Luego, se pueden introducir nuevos cuadros para extender el estudio a otros inter-valos numricos, por ejemplo: de 100 a 200 o de 400 a 500 con los nmerosaumentando de 1 en 1, o donde los nmeros cambien de 10 en 10 (entre 1 y 1000).6

Las diversas actividades que presentamos apuntan al reconocimiento de laescritura de nmeros y a la toma de conciencia del valor diferente que tienecada cifra en el nmero escrito. En este sentido, es conveniente acercar nues-tro lenguaje al que usan los chicos al nombrar las posiciones cienes, dieces yunos, pues esos son los trminos significativos para ellos.

Los contextos apropiados para presentar situaciones con estos cuadros

numricos suelen ser diferentes segn el intervalo que se desee trabajar. As,los nmeros de 0 a 100 pueden identificar, adems de nmeros de una rifa, lashabitaciones de un gran hotel o las posiciones en un juego de la lotera de car-tones que se completa al sacar bolillas de una bolsa. Si se tratara de nmerosmayores que 100, los cuadros pueden usarse como control de la venta de talo-narios de rifas de ms nmeros, o de las figuritas que se completan en un lbum,o de los libros que un bibliotecario tiene inventariados en un fichero, o de unfotgrafo que tiene su material clasificado, etctera.7

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Eje

Nmeroy Operaciones

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

140 141 142 143 144 145 146 147 148 149

150 151 152 153 154 155 156 157 158 159

160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

170 171 172 173 174 175 176 177 178 179

180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

200

6 Recomendacin de lectura: segn cul sea el dominio de la serie de 1 a 100 alcanzadopor los alumnos, se puede retomar el tratamiento de este tema por medio de las propuestasplanteadas en el Cuaderno para el aula: Matemtica 1 , en el apartado Plantear situacionespara analizar regularidades.

7 Recomendacin de lectura: para profundizar en el anlisis de las actividades con cuadrosnumricos se sugiere la lectura de: Parra, C. (1992), Los nios, los maestros y los nmeros,Desarrollo curricular 1 y 2 grados.


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En este cuadro, al igual que el que va desde 0 hasta 100, los nmeros cam-bian de 1 en 1, la ltima cifra va cambiando desde 0 hasta 9 mientras la cifradel medio se mantiene igual en 10 nmeros seguidos antes de cambiar alsiguiente, en el que tambin realiza un recorrido de 0 a 9, etc. En cuanto a la ter-cera cifra comenzando desde la derecha, se mantiene igual para las10 filas.

Luego de interactuar con el cuadro de nmeros, es esperable que los alum-nos comiencen a establecer ciertas relaciones que pueden ser enunciadas confrases como en esta columna todos los nmeros terminan en...; en esta filatodos comienzan con...; todas las filas terminan en 9; despus de los casille-

ros terminados en 9 viene uno que termina en 0; en esta fila el nmero delmedio es...; si bajo un casillero es lo mismo que sumar 10; si subo un casi-

llero es lo mismo que quitar 10, etctera.

Una primera actividad que se puede presentar con el cuadro anterior consis-te en tapar algunos nmeros, por ejemplo: 104, 112, 129, 137, 154, 173, 185 ypreguntar: cules son los nmeros tapados? Cmo se dieron cuenta?

La consigna no solo requiere que los alumnos escriban o nombren cul es elnmero: tambin es importante que fundamenten cmo se dieron cuenta aqu nmero corresponde cada casillero. Por ejemplo, algunos chicos podran

afirmar: es el 154 porque viene despus del 153 y/o antes del 155; porqueest en la fila del ciento cincuenta y cont cuatro lugares; porque est en la

fila del 150 y en la columna de los que terminan con 4 . Es a partir de la con-frontacin de las argumentaciones que se podrn generar discusiones acercade la conveniencia de utilizar una u otra estrategia de acuerdo con el nmero encuestin. Por ejemplo, comenzar a contar desde 100 puede resultar eficaz paraaveriguar los nmeros ms pequeos que estn tapados (104 o 112), pero nocuando se trata de nmeros ms grandes como el 185.

Para continuar, se pueden proponer tablas con menos informacin presen-

tando un cuadro con los nmeros que encabezan las filas y las columnas, comoel siguiente.

56 Matemtica 2

>


17/64

Por ejemplo, para escribir 346, los chicos pueden establecer relaciones entrelos nmeros que encabezan la fila y la columna: est en la fila de los que empie-

zan con 3 y 4 y la columna de los que terminan con 6.Otras consignas que es posible proponer con el mismo cuadro son las que siguen.

Ubic el 344 y todos los nmeros que lo rodean. Escrib los cinco nmeros que siguen al 388. Complet la columna de los que terminan en 7.

Ya avanzados en el trabajo, podemos presentarles an menos informacin,proporcionando solo fragmentos de cuadros para completar a partir de un datocorrecto con consignas tales como las siguientes.

57

Eje

Nmeroy Operaciones

300 301 302 303 304 305 306 307 308 309

310

320

330

340

350

360

370

380

390

400

Complet los casilleros marcados.

187 En esta parte de un cuadro denmeros complet los casillerosremarcados.


18/64

Al presentar estos recortes de cuadros, es necesario hacer hincapi en que se

presenta solo una parte de un cuadro y no un cuadro de cinco por cinco, pues delo contrario pueden suponer que en el lugar del 510 tendra que estar el 505.

En 2o ao/grado, es conveniente que las actividades se realicen tambin encuadros en los que las variaciones entre casilleros vecinos en sentido horizontalsean de 10 en 10, como el siguiente.

58 Matemtica 2

>

500 502 503

514

542

510

515

En esta parte de un cuadro denmeros encontr los intrusos, esdecir, aquellos que no estn bienubicados sabiendo que el nmeroremarcado est en el lugar que lecorresponde.

Este cuadro se puede hacer en un afiche y colgarlo en el aula a la vista detodos para que los chicos puedan recurrir a l cuando necesiten obtener infor-macin al escribir distintos nmeros.

A partir del mismo cuadro se pueden proponer diferentes preguntas: qucambia en el nmero cuando se aumenta de a 10? Qu cambia en el nme-

ro cuando se baja un casillero? Qu nmeros del cuadro pueden ayudar para

saber si ochocientos quince est bien escrito de la siguiente manera: 815?oLes sirve saber cmo se escribe 810, 820, 830 para escribir 815?

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

200 210 220 230 240 250 260 270 280 290

300 310 320 330 340 350 360 370 380 390

400 410 420 430 440 450 460 470 480 490

500 510 520 530 540 550 560 570 580 590

600 610 620 630 640 650 660 670 680 690

700 710 720 730 740 750 760 770 780 790

800 810 820 830 840 850 860 870 880 890

900 910 920 930 940 950 960 970 980 990

1000


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59

Eje

Nmeroy Operaciones

Teniendo en cuenta que los conocimientos numricos de un grupo escolar sonsiempre heterogneos es conveniente que propongamos, adems de tareasiguales para todos los nios, otras diferenciadas para que cada uno pueda avan-zar de acuerdo con sus conocimientos disponibles. As, mientras algunos grupospueden trabajar completando lugares en el cuadro incompleto, otros puedenhacerlo con fragmentos de cuadros, y, en este ltimo caso, con tres o cuatronmeros como informacin o solo con uno.

En todas las situaciones, es necesario que, durante la clase, interactuemos condiferentes alumnos y tambin que promovamos la interaccin de ellos entre s. Al

exponer en las puestas en comn cmo pens cada uno para resolver, todos pue-den descubrir estrategias nuevas. Adems, es necesario buscar semejanzas ydiferencias entre las estrategias empleadas para precisar sus caractersticas, deli-mitar sus posibilidades de uso y, tal vez, utilizarlas en nuevas situaciones.

Plantear situaciones para componer y descomponer nmeros

Continuando el trabajo realizado en 1er ao/grado, presentamos propuestas paraque los alumnos realicen composiciones y descomposiciones aditivas de nme-ros y, tambin, para que se inicien en la descomposicin multiplicativa. Estasactividades se pueden plantear en una variedad de contextos.

Algunos de ellos son los que proporcionan los juegos con dinero o aquellos en losque se van sumando puntos, como los de emboque, tiro al blanco o dados, etctera.

En el caso de usar el dinero, una cantidad se expresa mediante la suma delos valores de los billetes y monedas. Para trabajar con la composicin de losnmeros en el sistema decimal conviene elegir solo billetes de $ 100, $ 10 ymonedas de $ 1, como se ver en la secuencia que presentamos.

En el caso de los juegos de emboque o tiro al blanco, las composiciones de can-tidades tendrn como sumandos los valores que demos a cada tiro o dado. As, porejemplo, si queremos que el puntaje total resulte como suma de cienes, dieces yunos, o productos donde intervienen esos nmeros, en un blanco con tres regiones

circulares concntricas podemos restringir los valores de cada regin a 1, 10 y 100.Por ejemplo, 143 puntos pueden ser:

la suma del valor de cada uno de los tiros: 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1; la suma de los totales de puntaje de cada crculo: 100 + 40 + 3; el total de cada crculo expresado como producto entre el puntaje de cada unoy el nmero de tiros en l: 1 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1.


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Antes de iniciar el trabajo con descomposiciones aditivas o multiplicacionesdel tipo descrito, se puede proponer un juego como el siguiente, que permite alos chicos avanzar en el conocimiento de un nmero por medio de las diferen-tes formas de escribirlo con adiciones de nmeros cualesquiera.

Tutti fruti de clculos: escribir nmeros con sumas y restasMateriales: por alumno, una tabla para completar con 9 columnas y 8 filas.Se usa una fila por mano.Organizacin del grupo: se juega en grupos de cuatro jugadores.

Desarrollo: por turno, un jugador va contando para adentro y otro delgrupo debe decir alto ah. Cuando esto ocurre, el que contaba dice elltimo nmero al que lleg. Luego, todos escriben el nmero cantado en laprimera columna y deben completar la primera fila de todas las columnascon cuentas de sumar o restar que den ese nmero. El primero que terminadice basta y el resto de los integrantes interrumpe su tarea solo si ya hanescrito por lo menos cuatro cuentas. Por ltimo, se procede a asignarpuntos del siguiente modo: las cuentas cuyo resultado no sea el nmerocantado valen 0, las que sean compartidas por dos o ms chicos valen 5puntos, y las no repetidas valen 10 puntos.

Gana el jugador que, al cabo de 4 vueltas, obtuvo el mayor puntaje.

Secuencia para componer y descomponer nmeros: El juego del cajero 8

Los propsitos de esta secuencia son: utilizar descomposiciones aditivas y mul-tiplicativas ligadas con la numeracin, comprender y utilizar las reglas de lanumeracin oral, y hacer funcionar los cambios 10 por 1 en dos niveles: diezmonedas de 1 se cambian por un billete de 10, y diez billetes de 10 se cambianpor uno de 100. En las primeras actividades, las descomposiciones y cambiosse hacen con las monedas y billetes, sin que los alumnos tengan que registrar

los valores pues estn escritos en estos.

60 Matemtica 2

>

8 Adaptacin de una actividad propuesta en el libro Apprentissages numriques et rsolution deproblmes. Cours prparatoire, del Grupo ERMEL (1991).


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Actividad 1

Los materiales9 para cada grupo de 4 nios son: 30 monedas de $ 1; 30 bille-tes de $ 10; 6 billetes de $ 100. Los billetes y monedas pueden ser fotoco-piados de billetes autnticos o extrados de algn juego de mesa, o fabricadocon rectngulos de papel de diferentes tipos o colores. El cajero debe tenertres cajas para guardar las distintas clases de billetes y 22 cartones, cada unocon un nmero del 8 al 30.

La clase se organiza en grupos de 4 nios. En cada grupo se nombra unalumno que ser el cajero y que tiene los billetes de $ 1, $ 10 y $ 100.

Se juegan tres vueltas y ser ganador el que tenga menos dinero alfinalizar. Por turno, cada alumno del grupo que no es cajero va extrayendo uncartn y pidiendo al cajero la cantidad de dinero expresada all, especificndolequ billetes desea. Cada chico conserva los cartones y los billetes que extrajo.Al finalizar las tres vueltas, cada uno dice cunto dinero tiene.

Si un alumno extrae, por ejemplo, el cartn que dice 27, puede pedir 27 bille-tes de $ 1, o 1 de $ 10 y 17 de $ 1 o 2 de $ 10 y 7 de $ 1.

Para averiguar el total, los chicos suelen usar procedimientos diferentes:agrupar los billetes segn su valor, contar cuntos billetes de cada clase tiene y

sumar, o agrupar y pedir cambio al cajero por billetes ms grandes, o hacer lasuma con los nmeros escritos en los cartones.

Cuando todos los grupos tengan un ganador, podemos organizar la puestaen comn de los diferentes procedimientos para calcular el total de ganancias,pidiendo a los nios que los expliciten. Es conveniente insistir en la verifica-cin de la actividad preguntando si los cambios son correctos, si hay unacorrespondencia entre el total y los billetes, y entre el total con los nmerosde los cartones, e invitando a los nios a controlar el dinero que han ganadode las dos maneras.10

Por ltimo, podemos proponer al conjunto de la clase una actividad para

resolver en el cuaderno, con preguntas como las siguientes.

61

Eje

Nmeroy Operaciones

9 Estos materiales se pueden obtener de Chemello, G. (coord.), Agrasar, M. y Chara, S. (2001).10En el apartado La gestin de la clase, de Ensear Matemtica en el Primer Ciclo de este

Cuaderno, precisamos el sentido de los intercambios grupales en las puestas en comn.


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Mariana ha extrado los cartones que dicen 15, 20 y 8. Ella dice que entotal ha obtenido 42. Es correcto?

Lucio tiene los siguientes billetes y monedas. Cunto dinero tiene?

Sumando sus cartones, Melisa ha obtenido 56. Qu billetes puede serque tenga? Escrib distintas posibilidades.

Los cartones de Carolina suman 66. Qu billetes tiene? Propon dosposibilidades.

Actividad 2

Una vez que los alumnos conocen el juego, es posible avanzar para lograr queel total que se gane pueda pasar el 100. Para ello, la partida ser de cincoturnos por nio. A continuacin, se pueden volver a proponer actividades de

cuaderno similares a las anteriores.

Actividad 3

Se trata de una actividad de comunicacin en la que cada grupo de alumnostendr que elaborar e interpretar un mensaje. La clase se organiza en unacantidad par de grupos, por ejemplo, 6. En la primera parte de la clase, todoslos grupos elaboran un mensaje y, luego, cada uno intercambiar su mensajecon otro grupo previamente establecido.El material que proponemos armar para cada grupo consiste en un sobre conuna cierta cantidad de billetes y monedas. Por ejemplo, que contengan

respectivamente las cantidades siguientes: dos sobres con $ 43, dos con $ 56y dos con $ 133. Cada par de sobres con la misma cantidad de dineroformada con billetes distintos ser entregada al par de grupos que intercam-biarn los mensajes. As, los sobres pueden tener:

$ 43 {3 billetes de 10 y 13 billetes de 1.4 billetes de 10 y 3 billetes de 1.$ 56 {4 billetes de 10 y 16 billetes de 1.3 billetes de 10 y 26 billetes de 1.$ 133

{

1 billete de 100, 3 de 10 y 3 de 1.

1 billete de 100, 2 de 10 y 13 billetes de 1.

62 Matemtica 2

>


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63

Eje

Nmeroy Operaciones

Les damos un sobre con una cierta cantidad de billetes y una posible consignapara la tarea sera: Deben escribir un mensaje al otro grupo que diga cuntodinero tienen ustedes y cuntos billetes de cada clase, para que ellos

formen despus la misma cantidad de dinero con los mismos billetes.

Luego de recibir el mensaje, el otro grupo tiene que reunir en un sobre

vaco que le vamos a dar lo mismo que hay en el sobre de ustedes.Despus se renen para ver si los dos sobres tienen los mismos billetes.

No vale dibujar los billetes en el mensaje.

Los mensajes que podran escribir seran, por ejemplo, como los siguientes:

Indica el valor de cada uno de los billetes sin incluir signos de suma.

Suma los valores de los distintos billetes.

Indica la cantidad de cada tipo de billete.

Cuando los grupos comprueban que los sobres tienen la misma cantidad dedinero y de billetes, el docente propone una puesta en comn, de modo de arri-bar a conclusiones como las siguientes: Una cantidad de dinero se puede formar con distintos billetes. Hay una manera de formar la cantidad de dinero con billetes de 10 y de 1 quese obtiene mirando las cifras de la cantidad a formar; en los ejemplos del juego,esa descomposicin es la que utiliza la menor cantidad de billetes posibles. Para obtener otra descomposicin de ms billetes, hay que cambiar 1 billetede 10 por 10 monedas de $ 1, con lo cual se obtiene una descomposicin con9 billetes ms.


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Con los registros de cada uno de los grupos, podremos proponerles queencuentren parecidos y diferencias entre las distintas escrituras. En los dos pri-meros casos, el armado del 43 se apoya en los aspectos aditivos del nmero y,en la ltima, comienzan a aparecer los aspectos multiplicativos (3 de 10 + 13de 1, es 3 x 10 + 13 x 1). No pretendemos que los alumnos reconozcan losaspectos multiplicativos de nuestro sistema de numeracin, sino que empiecena utilizarlos al resolver problemas.

Actividad 4

Se propone el mismo juego que en la Actividad 2 con la siguiente variante: encada pedido, el cajero no puede dar ms de 9 billetes de una misma clase

y el pedido se realiza por escrito. Se trata de lograr que al finalizar la clase,en la sntesis colectiva, se llegue a la idea de que mirando la escritura delnmero sobre el cartn se sepa lo que hay que pedir al cajero. Cuando seextrae un cartn como el 23, por ejemplo, se podra pedir 1 billete de $ 10 y13 de $ 1 o 2 billetes de $ 10 y tres de $ 1, pero solo esta ltima formarespeta la restriccin.Luego, podemos plantear ejercicios sistemticos en el cuaderno, escribiendoalgunos nmeros en el pizarrn y que los nios escriban los billetes que hay

que pedirle al cajero.

Actividad 5

Por medio de los problemas que siguen se busca descomponer los nmerosaditiva y multiplicativamente. En estos ser necesario poner en comn de qumanera la escritura convencional del nmero informa acerca de algunasdescomposiciones.

Joaqun le pide al cajero del banco cambio de $ 1000. Le pide diezbilletes de $ 10 y el resto, de $ 100. Mariana, en cambio, le pide cambio de

$ 1000, pero todo en billetes de $ 100. Qu billetes le dar el cajero acada uno? Completalo en la siguiente tabla.

64 Matemtica 2

>

Billetes de 100 Billetes de 10 Billetes de 1

Joaqun

Mariana


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Eje

Nmeroy Operaciones

Nicols pide que le paguen los $ 130 en billetes de $ 10. Cuntosbilletes le dar el cajero?

Cmo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100 y el resto de $ 10? Cmo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100, 15 de $ 10 y el resto de$ 1?

Laura tiene 3 billetes de $ 100 y tiene que pagar justo $ 135. Va a pedircambio al banco, pero quiere la menor cantidad posible de billetes. Qubilletes le darn?

En las primeras actividades de esta secuencia, los chicos componen nme-ros hasta 30 con diferentes sumandos. Tambin hacen sumas, manipulandobilletes o no segn sus conocimientos, que no van a superar el 90 en la prime-ra y el 150, en la segunda. En la tercera, los alumnos establecern relacionesentre dos maneras de formar una cantidad, siendo una de ellas la composicindonde hay tantos dieces y unos como indica el nmero. En la cuarta, conti-nan trabajando con esta descomposicin, respondiendo a la restriccin de notener ms de 9 billetes de cada tipo, con lo que cada nmero se puede relacio-nar con su descomposicin multiplicativa (es posible pensar 3 de 10 y 5 de 1como 3 x 10 + 5 x 1, sin escribirlo an de esta forma). En la quinta, se vuelve

sobre estas descomposiciones, pero sin usar los billetes.La secuencia, entonces, permite que los alumnos avancen en su comprensin

de nuestro sistema de numeracin. Su desarrollo puede pensarse a lo largo devarias semanas de clase, como parte de una unidad de trabajo en la que seincluyan otras actividades.

Tambin puede retomarse en 3o o 4o aos/grados trabajando fundamental-mente sobre situaciones hipotticas y ampliando el campo numrico.

Teniendo en cuenta que estas actividades de composicin y descomposicinse puedan realizar en una variedad de contextos, proponemos a continuacin

una actividad de juego de emboque, que tambin da lugar a que los alumnosestablezcan relaciones aditivas y multiplicativas. Plantear situaciones para elmismo conocimiento en nuevos contextos favorece que las relaciones estable-cidas se independicen de ellos y, por lo tanto, se favorece la posibilidad de sutransferencia a otras situaciones.

Una opcin de juego es la siguiente:


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A embocar: componer y descomponer nmeros con sumasMateriales: una lata, una mesa y cinco pelotitas o bollitos de papelencintados para cada grupo.Organizacin de la clase:

grupos de 4 a 6 jugadores.Desarrollo: cada jugadordebe tirar las cinco pelotitas yanotar el puntaje obtenido alcaer. Por cada acierto adentro

de la lata, se obtienen 100puntos; si caen sobre lamesa, 10 puntos, y si caen enel piso, 1 punto. Al cabo decuatro vueltas de cinco tiroscada una, debern averiguarquin es el ganadorcalculando el total de puntosobtenidos.

Luego de jugar varias veces, se podrn presentar situaciones para resolver enlos cuadernos tales como las que siguen.

Juan anot su puntaje en una tabla como la de abajo. Complet dondecorresponda.

100 10 1 Total

1er tiro 3 1 1

2o tiro 1 1 3

3er tiro 2 1 2

4o tiro 4 401

5o tiro 50

Segn los puntajes obtenidos, indic cuntas pelotitas cayeron en cadalugar.

100 10 1 Total

Martn 302

Nico 320

Tati 41

Dana 140

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Eje

Nmeroy Operaciones

Segn los conocimientos disponibles de los alumnos, es posible plantear elmismo juego con solo dos niveles de puntajes, 10 para el emboque en la lata y1 para el fuera de ella, o incorporando ms latas con valores diferentes: 1000,100, 10 y 1, respectivamente.

Para operar al resolver problemas con distintos procedimientos

Respecto de las cuatro operaciones bsicas con nmeros naturales (suma,resta, multiplicacin y divisin), debemos considerar en la enseanza dos aspec-tos: por un lado, los procesos que llevan a la construccin de los diferentes algo-

ritmos de cada operacin y, por otro, los distintos significados a los que puedenasociarse en los problemas que resuelven. Se sugiere abordar ambos aspectosa la vez, en una misma unidad didactica, ya que los procedimientos que los alum-nos ponen en juego frente a un problema estn ligados a la interpretacin queellos hacen de la situacin.11

Es importante sealar que, con un mismo clculo, se pueden resolver proble-mas aritmticos de diferente complejidad para el alumno, pues en cada caso sedeben establecer relaciones distintas, por ejemplo, cuando se trata de restar23 14 para la resolucin de los problemas siguientes.

En el colectivo estn viajando 23 pasajeros; bajan 14; cuntos pasajerossiguen viaje? En el aula de 2o hay 23 varones y 14 chicas; cuntos varones ms quechicas hay? Para ganar en el juego necesito 23 puntos; si ya tengo 14, cuntos puntosms debo obtener?

La misma cuenta de restar tiene significados diferentes: en el primer caso,est asociada con el significado de sacar una cantidad de otra; en el segundo,con el de comparar dos colecciones y, en el ltimo caso, se resta para averiguar

lo que le falta a una cantidad para llegar a otra.

11 En el apartado Los contextos, de Ensear Matemtica en el Primer Ciclo de este Cuaderno,hemos planteado la importancia de que los enunciados incluyan preguntas que aludan asituaciones reales o verosmiles.


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El tipo de nmeros involucrados y el lugar de la incgnita12 son otros elemen-tos del problema que, para los chicos, cambian el nivel de dificultad al resolverlos.

Presentar mltiples situaciones para resolver y reflexionar acerca de la diver-sidad de significados de cada operacin facilitar la comprensin de los alcan-ces y lmites de cada una de estas.

Es importante sealar que las categoras que aqu mencionamos son de usodidctico y apuntan a enriquecer nuestra mirada sobre los problemas que esnecesario presentar.

Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significadosLas operaciones de suma y resta con nmeros naturales deben constituirsepaulatinamente para los alumnos en un recurso disponible que resuelve situa-ciones con distintos significados. Para ello, presentaremos un conjunto de pro-blemas que denominamos aditivos, pues para solucionarlos se puede recurrir auna suma o a una resta como procedimientos ms econmicos. Los alumnospodrn resolver estos problemas de distintas formas y, luego, es convenientediscutir si alguna de ellas es ms eficaz.

Para 2o ao/grado, por ejemplo, podremos plantear problemas para: calcular el costo de una compra o el puntaje total en un juego de varias

manos (unir); calcular cunto hay que pagar si algo que costaba un valor aumenta deprecio, o la cantidad de revistas que alguien tiene si antes de su cumpleaosposea una cantidad y le regalaron otra (agregar); determinar cunto dinero qued despus de hacer una compra o cuntasbolitas quedaron despus de perder algunas (quitar); averiguar cunto ms cuesta un producto que otro o qu diferencia de edadtienen varios hermanos entre s (diferencia); determinar si es posible agregar un artculo ms a la compra, sabiendo quese dispone de una cierta cantidad de dinero;

o en cunto puede aumentar la altura de un camin para poder pasar pordebajo de un puente (complemento).

Para la resolucin de estas situaciones, los alumnos pueden, segn la inten-cin del docente al plantear el problema, manejar diversos materiales que esta-

68 Matemtica 2

>

12 En el apartado Los significados, en Ensear Matemtica en el Primer Ciclo de este Cuaderno sedesarrollan con ms detalles los diferentes significados que pueden asociarse con una misma nocin.


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Eje

Nmeroy Operaciones

13 Recomendacin de lectura: se puede encontrar un interesante anlisis sobre el uso dematerial concreto en la enseanza de las operaciones en 1er ao/grado en el material de laSecretara de Educacin de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, Pensando en laenseanza. Preguntas y respuestas, Buenos Aires, Secretara de Educacin de la Municipalidadde la Ciudad de Buenos Aires. En Internet:http://www.buenosaires.gov.ar/educacion/docentes/planeamiento/txareas_mate.php

14 Recomendacin de lectura: para ampliar la informacin sobre la complejidad de lassituaciones de la suma y la resta, se recomienda la lectura del primer captulo deLas operaciones en el Primer Ciclo. Aportes para el trabajo en el aula , de Broitman, C.(1999), Buenos Aires, Novedades Educativas.

rn disponibles para quienes los requieran. Por ejemplo, chapitas u otros ele-mentos de desecho con el fin de representar las cantidades, o rplicas demonedas y billetes para actuar de manera efectiva, pagando, dando vueltos yrealizando canjes. Los chicos tambin pueden usar otras representaciones,como son las escrituras de diverso tipo, incluyendo dibujos como nmeros suel-tos o sumas o restas.13

Los nios de 2o ao/grado suelen reconocer sin dificultad la posibilidad deusar la resta en un problema donde significa quitar, pero les resulta ms com-plejo reconocer que se puede usar esa operacin en los problemas de compa-

racin con significado de complemento o diferencia. En 1o

, probablementeresolvan estos ltimos problemas con sumas y, en 2o, se podr debatir conellos si alguna cuenta de restar permite obtener un resultado que sea respues-ta al problema. En todos los casos, el tipo de procedimiento de resolucin queutilizarn los alumnos y la conveniencia de cada uno de ellos depender de losnmeros involucrados en cada situacin.14

Consideremos algunos de los procedimientos que podran utilizar los chicos alresolver un problema como el siguiente en el tienen que completar la informacin.

Del total de 200 sillas que necesito para completar el saln para la fiesta

del 25 de Mayo tengo 185. Me faltan sillas.

Probablemente, la mayora de los nios resolver este caso pensandocunto le falta a 185 para llegar a 200. Algunos alumnos recurrirn al conteodesde 185, 186, 187 as hasta el 200; otros utilizarn ciertos resultadosmemorizados, como, por ejemplo: 185 + 5 = 190, 190 + 10 = 200 y, luego,185 + 5 + 10 = 200. Despus de que los nios hayan resuelto el problema, sepodr promover la comparacin de los procedimientos de conteo y sumas suce-sivas. En este caso, los procedimientos resultan econmicos.


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Para que los procedimientos que no implican la resta resulten ms complica-dos, es posible modificar los nmeros que intervienen en el problema. El enun-ciado transformado podra ser como el que sigue.

Del total de 238 sillas que necesito para colocar en el saln, tengo 173.Me faltan sillas.

Si an se mantiene la suma como procedimiento de resolucin, el docentepodr preguntar: es posible resolver esta situacin con una resta? o bien

comentar: un alumno resolvi esta situacin haciendo 238 173; es correc-to el procedimiento que us?

Es posible plantear otras actividades para trabajar problemas de sumas y res-tas a partir del uso de la calculadora. Si bien este uso a veces se cuestiona conel argumento de que de este modo los chicos no aprendern a calcular, el tipode problemas en los que presentamos esta herramienta mostrar claramenteque no se trata de reemplazar el trabajo que es posible desarrollar con los algo-ritmos. Se trata, en cambio, de desplegar un trabajo de anticipacin de resulta-dos que puede ser verificado rpidamente.

Conocer el funcionamiento de la calculadora demanda una serie de activida-des iniciales. Los nios espontneamente suelen interrogarnos o probar con qutecla se enciende y con cul se apaga, cules son las teclas de las diferentesoperaciones, intentan borrar si se equivocan o preguntan el significado de dife-rentes teclas aunque no las utilicen.

Despus de estas actividades, los alumnos podrn empezar a resolver proble-mas para aprender ms sobre las operaciones o sobre el sistema de numeracin.

Por ejemplo, es posible plantear problemas que permitan analizar la relacinentre la suma y la resta cuando se tienen como datos dos cantidades, como enel siguiente ejemplo.

Busc usando la calculadora qu nmero hay que sumarle a 17 paraobtener 30.

Luego de que se resuelven problemas de este tipo, se puede dar lugar a unareflexin en la que los alumnos expliciten la relacin entre la suma 17 + = 30y la resta 30 17 =... Muchos pueden encontrar el nmero realizando sumas par-ciales hasta llegar al solicitado, como, por ejemplo, 17 + 5 + 5 + 2 + 1. Otros niospueden reconocer que es posible hacer 30 17. Es factible que la relacin entreestos procedimientos sea objeto de trabajo para todos los alumnos.

70 Matemtica 2

>


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Eje

Nmeroy Operaciones

Con la intencin de que los nios resuelvan problemas para los cuales la restaes un medio de resolucin se puede presentar el siguiente problema.

Busc en la calculadora un clculo de resta cuyo resultado sea 75.

Es importante destacar que, en este caso, los chicos inician la exploracincon la calculadora conociendo el resultado del clculo, entonces podramospreguntarnos cul es el propsito de plantear esta actividad. Pues bien: pre-tendemos que los alumnos piensen la resta como una operacin que permite

averiguar la diferencia entre dos nmeros. Al proponer, el uso de la calculado-ra como forma de bsqueda de dicho clculo, estamos inhibiendo en los chi-cos el empleo de otros procedimientos, como el uso del papel o el conteo deuno en uno. En cambio, ante este problema, los chicos anticipan un clculo yluego de realizarlo efectivamente con la calculadora, comienzan a hacer recti-ficaciones de alguno de los nmeros en funcin del resultado obtenido. Otrosalumnos descubrirn que el clculo puede encontrarse sumando cualquiernmero al 75 y luego escribiendo el resultado menos el nmero agregado.Sern necesarios varios problemas similares para que toda la clase recurra ala resta para resolverlos.

Hemos planteado tambin que es conveniente presentar problemas moviendoel lugar de la incgnita. Por ejemplo, consideremos los siguientes enunciados.

Juan tiene 22 estampillas nuevas y ya peg 8. Ahora le falta pegar Juan tiene algunas estampillas nuevas para su coleccin. Ya peg 8y le falta pegar 14 . Cuntas estampillas nuevas tiene? Juan tiene 22 estampillas nuevas. Peg algunas y le falta pegar 14.Cuantas peg ya?

Con el primer problema, se apunta a averiguar la cantidad final luego de unatransformacin negativa. Como se produce una disminucin en la cantidad ini-cial de 12 estampillas, es fcil reconocer la resta como el procedimiento msconveniente.

Si, en cambio, proponemos el segundo problema, el dato a averiguar est enel estado inicial, es decir, en cuntas estampillas tena al comienzo. La transfor-macin es positiva, ya que por el regalo recibido aument esta coleccin inicial;sin embargo, no es tan habitual que los alumnos reconozcan que si en el proble-ma se produce una transformacin positiva la resta puede ser un procedimien-to posible y econmico.


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En el tercer problema, se conoce el estado inicial y el estado final y se debebuscar la transformacin que es negativa y se puede hallar a partir de la resta.

Es ciertamente importante que los alumnos resuelvan gran cantidad deproblemas en los cuales las incgnitas se presenten en distintos lugares y lastransformaciones sean positivas y negativas para que no establezcan relacioneslineales y estereotipadas, como, por ejemplo: si me regalan tengo que sumar osi perd tengo que restar. Ser el anlisis de los datos y de las relaciones que seestablecen entre s lo que permitir a los chicos elegir, entre diversos procedi-mientos posibles, alguno ms econmico.

Al proponer una variedad de problemas, hemos planteado que uno de losaspectos que cambian su complejidad es el tipo de nmeros involucrados.

Si los alumnos de 2o resuelven los problemas aditivos y sustractivos utilizan-do procedimientos grficos como los que se explicitan en el Cuaderno para elaula: Matemtica 1, siempre teniendo en cuenta las diferencias entre los alum-nos, podremos promover el pasaje a los procedimientos numricos aumentandoel tamao de los nmeros involucrados para que el dibujo de todos los elemen-tos resulte un procedimiento poco econmico.

A modo de cierre de este apartado, queremos subrayar algunas cuestiones.La organizacin de los alumnos en la clase para la resolucin de problemas

puede realizarse de diversas maneras, y no siempre en forma individual.Combinar opciones es una prctica frecuente y puede ser un camino fructfero.As, en algunos casos se puede comenzar proponiendo directamente untrabajo en pequeos grupos y en otras oportunidades pedir inicialmente la reso-lucin individual de las situaciones para que todos los chicos se involucren en laresolucin, por cierto, de diversas maneras. El encuentro del pequeo grupo, enun segundo momento, puede tener sentido en la medida en que contrasten losprocedimientos de resolucin utilizados por cada uno e identifiquen entre ellos

el o los ms convenientes. Es decir, que comiencen a comparar los resultadosobtenidos y descarten los procedimientos errados para que luego empiecen adiscutir sobre las coincidencias y las diferencias.

En la puesta en comn, entre todos, se puede continuar trabajando sobre losdistintos procedimientos: los ms frecuentes, los ms largos, los ms seguros,etc. Si centramos la mirada en coincidencias o diferencias entre procedimien-tos, esta ltima trama suele ser de gran riqueza, para lo cual, sabemos porexperiencia, no es necesario que todos los grupos expongan. Nuestra habitualrecorrida nos habr dado pistas sobre la variedad de procedimientos en uso ypodremos, sobre esa base, llegar a los que resulten interesantes para una dis-

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>


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Eje

Nmeroy Operaciones

cusin entre los chicos. Preguntas del estilo: quines usaron un procedimien-to diferente?suelen ser organizadoras de este dilogo sobre las estrategiaspuestas en juego.

Plantear situaciones para multiplicar y dividir con distintos significados

Para abordar la multiplicacin, tambin es conveniente incluir problemas quehagan referencia a distintos significados. Recurriremos con ese propsito a unconjunto de problemas que denominamos multiplicativos, es decir, aquellosque pueden resolverse con una multiplicacin o con una divisin como proce-

dimientos ms econmicos.Qu significados sera posible abordar en 2o ao/grado? Los problemas que

usualmente se presentan se pueden denominar casos sencillos de proporciona-lidad, e incluyen aquellos que admiten una organizacin rectangular de los ele-mentos. Por otro lado, los problemas denominados de combinatoria, se introdu-cen en 2o ao/grado, pero se abordarn con mayor profundidad en 3.

Es habitual iniciar este trabajo con problemas de proporcionalidad sencillos.Por ejemplo, si conocemos que 1 chocolate tiene 4 tabletas y queremos sabercuntas tabletas tienen 6 chocolates iguales para repartirlos entre amigos, seest planteando un problema en el que uno de los datos la cantidad de table-

tas de uno de los chocolates es una constante de proporcionalidad. Otra posi-bilidad sera averiguar cuntas tabletas tienen 3 chocolates si conocemos queen 6 chocolates hay 24 tabletas, y si, en este caso, se cumple que 3 chocola-tes, que es la mitad de 6 chocolates, tendrn la mitad de 24, o sea 12. Enambas resoluciones es posible usar distintas propiedades de la proporcionali-dad, y aunque en este Ciclo no se trata de hacer un trabajo especfico parareconocerlas, s es conveniente que empiecen a utilizarlas intuitivamente pararesolver problemas.

Los problemas que remiten a organizaciones rectangulares son tambinproblemas de proporcionalidad pero, en este caso, los elementos se presen-

tan ordenados en filas o columnas, por ejemplo, si sabemos que en cada filase colocan 5 sillas y queremos averiguar cuntas sillas necesitamos para com-pletar 4 filas.

Los problemas de combinatoria son aquellos en los que hay que combinarelementos de diferentes colecciones. Por ejemplo: para ir a un baile de dis-fraces, dos hermanas encontraron tres vestidos de diferentes colores rojo,amarillo y azul y dos sombreros, uno con plumas y otro con moo. Se fue-ron probando la ropa de todas las maneras posibles para ver cul les gusta-ba ms. Lo que se les pide a los chicos que averigen es cuntas manerasdiferentes de vestirse encontraron.


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Analicemos ahora algunos procedimientos que suelen usar los alumnos quean no disponen de recursos de clculo multiplicativo para resolver estos pro-blemas.15 Por ejemplo, un problema como el que sigue:

Si para armar un auto necesito 4 ruedas, para armar 5 autosnecesitar ruedas.

Llega a 20 luego de haber efectuado el conteo.

Reemplaza cada rueda por un palito y luego realiza el conteo.

Llega a 20 como resultado de sumar 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

74 Matemtica 2

>

15 En el apartado La gestin de la clase, en: Ensear Matemtica en el Primer Ciclo de esteCuaderno sealamos la necesidad de promover la diversidad de producciones y de analizarlascon todo el grupo.


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Eje

Nmeroy Operaciones

Se apoya en procedimientos de clculo dominados por l.

Suele ser frecuente y tambin parte del proceso constructivo que algunos chi-cos intenten resolver esta situacin haciendo 5 + 4. Su eleccin puede interpretar-se en funcin de considerar que la suma, seguramente, ha sido un procedimiento

eficaz hasta ese momento, e intentan generalizarlo sin poder an reconocer loque es distinto en este nuevo tipo de problema. Constituye parte del mismo pro-ceso que los chicos tiendan a no reconocer que los nmeros involucrados sonmagnitudes que corresponden a cantidades diferentes (autos y ruedas).

Para generar un espacio en el cual puedan reconocer el clculo adecuado, sepuede escribir en el pizarrn 4 + 5 y 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y decirles por ejemplo:diferentes chicos escribieron estos clculos para resolver esta situacin, expli-

quen con cul estn de acuerdo y por qu.

Para que los chicos avancen en el establecimiento de relaciones de semejan-

zas y diferencias entre la suma y la multiplicacin, tanto desde el clculo comoen el nivel de los significados, podemos tambin proponer otras situaciones. Porejemplo, una actividad de produccin de mensajes como la siguiente que permi-te, a la vez, introducir el signo x.

Organizamos la clase en una cantidad par de grupos con 3 o 4 alumnos yentregamos a cada grupo una cantidad de sobres iguales que contengan lamisma cantidad de fichas. Por ejemplo, para un grupo, 4 sobres con 5 fichas,para otro, 7 sobres con 3 fichas, etc. A continuacin, se les solicita: Escriban un


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mensaje, lo ms corto posible, para que otro grupo averige cuntos sobres

recibieron y cuntos fichas tiene cada uno. En el mensaje no pueden incluir

dibujos.16

Luego, cada par de grupos intercambia los mensajes elaborados y cada equi-po debe interpretarlo y decir cuntos sobres de cuntas fichas haba recibido elotro grupo inicialmente.

A partir de la reflexin en torno de los mensajes, que podran estar escritosen lenguaje coloquial 5 sobres de 3 fichas cada uno o bien en lenguaje sim-

blico como 3 + 3 + 3 + 3 + 3 se puede explicar que, con el propsito de abre-viar estos clculos de sumandos iguales, se usa el signo x y escribimos 5 x 3.

Con la misma intencin, tambin es posible plantear la siguiente situacin yhacer que la resuelvan en pequeos grupos.

Indic con cul de estos clculos resolveras cada uno de los siguientesproblemas.

76 Matemtica 2

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16 Tomado de Ermel (1986).

3 + 2 + 4 5 + 5 + 5

5 x 3 3 + 5 3 + 3 + 3 + 3 + 3

Mara tiene 3 primos varones y 5 mujeres. Cuntos primos tiene?

En la calesita hay 5 autitos y se sentaron 3 chicos en cada auto.Cuntos chicos se sentaron en autos?

En el campamento, cada chico llev golosinas para compartir con loscompaeros de la carpa. Nicols trajo 3 caramelos, Bruno 2 chupetines yMarcos 4 chocolates; cuntas golosinas tienen?


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Eje

Nmeroy Operaciones

En el intercambio posterior, y tomando en cuenta las respuestas de los distin-tos grupos, se espera que los chicos logren reconocer, por un lado, que haysumas que se pueden expresar como una multiplicacin y que la escritura corres-pondiente es 5 x 3 y, por otro, que hay otras sumas que no pueden expresarsecomo multiplicacin porque sus sumandos no son iguales, como en 3 + 2 + 4.

Luego podr iniciarse el reconocimiento de la propiedad conmutativa a partirde una actividad en la que los alumnos discutan la diferencia entre5 x 3 y 3 x 5, expresando ambos productos como sumas diferentes, pero deigual resultado.

Otra actividad posible consiste en presentar tarjetas dibujadas para que losnios indiquen la operacin conveniente para averiguar la cantidad de elemen-tos presentes en cada una.

Escrib un clculo que te permita averiguar cuntos lpices hay en cadatarjeta.

Para presentar problemas de proporcionalidad, podremos tambin organizarla informacin en tablas que requieran que los chicos las completen. Por ejem-plo, si les planteamos la siguiente situacin.

Un fabricante de rodados arma cada mes distintas cantidades de

bicicletas y triciclos. Para registrar la cantidad de ruedas que tiene quefabricar hace marcas en tablas como las siguientes. Complet las tablas.

Bicicletas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ruedas 2 4

Triciclos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ruedas 3 6


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En el intercambio que luego promoveremos podremos preguntar cmo pensa-ron para completar las tablas. Las verbalizaciones de diferentes nios frente a esteproblema dan cuenta de los procedimientos que ponen en juego. En varias opor-tunidades hemos escuchado a los chicos afirmar: para cada nuevo triciclo, le

pongo 3 ruedas ms, oyo voy sumando 3 en cada casillero y completo la tabla,o al doble de triciclos, el doble de ruedas:O bien:yo uso la escala del 3: 3, 6,9 Todas las formas de resolver son adecuadas y en ese momento se puede des-tacar la posibilidad de encontrar diferentes maneras para pensar la solucin.

En este ao/grado an no resulta necesario organizar el repertorio de pro-ductos en las tablas de multiplicar. Sin embargo, una vez que los nios hayanexplorado una variedad suficiente de problemas y descubierto distintos produc-tos, ser conveniente registrar los resultados que se conocen y organizar estainformacin para tenerla disponible al resolver nuevos problemas. Es ms, algu-nas maneras de organizar estos productos permiten poner en evidencia deter-minadas relaciones que facilitan la memorizacin. Por ejemplo:

78 Matemtica 2

>


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Algunos contextos que remiten a organizaciones rectangulares de los ele-mentos son los timbres en los porteros elctricos, los asientos en el teatro, lasbaldosas en un piso, etc. En este sentido, se puede solicitar a los alumnos:

Averigu la cantidad de baldosas necesarias para completar un pisocomo el del dibujo.

Algunos nios podrn dibujar las baldosas y luego contarlas; otros apelarna la suma de baldosas que hay en cada fila (5 + 5 + 5 + 5) o en cada colum-na (4 + 4 + 4 + 4 + 4). Es esperable que, a partir del trabajo realizado y delaumento de la cantidad de baldosas, con uno de los nmeros de dos cifras

como en 15 x 6 o en 34 x 5 encuentren en la multiplicacin un procedimientoms econmico que la suma.

Este tipo de problemas puede variarse cambiando el lugar de la incgnita,dando el producto y pidiendo que encuentren posibles factores, lo que implicarelacionar la multiplicacin con la divisin. Por ejemplo, se puede pedir a losalumnos que armen un piso rectangular con 18 baldosas. Al confrontar las diver-sas producciones, ya sean grficas o con forma de clculos, empezarn a tomarconciencia de la variedad de respuestas posibles (2 x 9, 3 x 6, etc.).

Tambin para la iniciacin en la divisin es conveniente incluir problemas que

nos permitan abordar diferentes significados: los de reparto y los de particin.Estos problemas surgen de cambiar de lugar la incgnita de la multiplicacin.

En los problemas de reparto, se conoce la cantidad total de elementos a repartiry la de partes, pero no cuntos elementos corresponden a cada una de las partes.Teniendo en cuenta que los repartos pueden ser equitativos o no, es necesario quepresentemos enunciados de problemas con el fin de que los nios analicen si es con-dicin el realizar un reparto en partes iguales. Por ejemplo:

Tengo 16 libros para repartir en 4 estantes. Cuntos libroscolocar en cada uno?

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Esta situacin admite variadas respuestas ya que se pueden colocar 8 enuno, 4 en otro y 2 en cada uno de los restantes. Tambin se pueden repartir en6, 5, 4 y 3, ya que no hay nada en el enunciado que indique que el valor de cadaparte deba ser el mismo.

En el caso de que los alumnos resuelvan la situacin colocando en cadaestante 4 libros, una posible intervencin que cuestiona dicha resolucin sera:un alumno de otro 2o lo resolvi colocando 3, 5, 2 y 6, respectivamente; est

bien lo que hizo? Por qu?Luego de un espacio de discusin, es posible pedirque indiquen qu modificaciones podran hacer al enunciado para que el repar-

to equitativo de libros sea una condicin.Otro aspecto a considerar de un modo colectivo es qu se hace cuando,

luego de efectuado el reparto, sobran elementos. Nos referimos aqu a los pro-blemas en los que el resto es diferente de cero. Discutir si lo que sobra puedeseguir repartindose o no supone considerar la naturaleza de los nmeros invo-lucrados: ya que no es lo mismo que sobren chocolates o libros.

Los nios de 2o ao/grado estarn en condiciones de resolver problemas dereparto utilizando distintos procedimientos. Por ejemplo, como en estos casoslos chicos podrn resolver un problema como el siguiente, con los procedimien-tos que se indican.17

Para un juego, se deben repartir 20 cartas en partes iguales entre 4jugadores. Cuntas cartas recibir cada uno?

Recurre a la representacin grfica para efectuar el reparto de 1 en 1 y luego cuenta cuntascartas le dio a cada jugador.

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17 En el apartado Las representaciones en Ensear Matemtica en el Primer Ciclo de esteCuaderno comentamos sobre la evolucin de las representaciones que usan los alumnos.


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Sustituye el dibujo de las cartas por palitos y contina igual que en el primer caso.

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Utiliza el nmero 1 para representar cada una de las cartas que se reparten.

Tanteando, prueba con diferentes sumas sucesivas hasta llegar a 20.

Dijimos que en algunos problemas la divisin se asocia con una particin.Por ejemplo:

Tengo 20 cartas y quiero darle 4 a cada uno de mis amigos. Paracuntos amigos me alcanzan?

Las cantidades en juego son las mismas que en el problema anterior, pero, eneste caso, se conoce el valor de cada parte (4 cartas a cada amigo) y se


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pregunta por la cantidad en las que puede repartirse la coleccin (en el ejemplo,de cartas). En este tipo de problemas, los alumnos no pueden recurrir al proce-dimiento de repartir de a uno los elementos. En cambio, podrn utilizar estrate-gias de resolucin como las siguientes.

Realiza restas sucesivas: va quitando de a 4 tantas veces como necesita hasta arribar al resultado.

Cuenta de 4 en 4 hasta llegar a 20.

En el caso de organizacin rectangular de los elementos, tambin se puedenplantear problemas donde la divisin tenga ambos significados. El primero de lossiguientes problemas ser necesario pensarlo como una particin, pero elsegundo se podr pensar como un reparto:

Para un acto debemos acomodar 48 asientos en filas de 8 asientos cadauna. Cuntas filas deberemos armar? Para un acto debemos acomodar 48 asientos en 8 filas. Cuntos asientostendr cada fila?

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En 2o ao/grado no es conveniente avanzar en la resolucin de estos proble-mas de divisin utilizando el algoritmo convencional de la divisin. Esto respon-de a dos motivos: por un lado, los chicos an no han incorporado un repertoriode clculos que permita resolver ese algoritmo y, por otro, los problemas que lespresentaremos no justifican su uso ya que tendrn nmeros pequeos.

Es importante presentar, en los diferentes momentos del ao, situaciones querequieran de las distintas operaciones para su resolucin y no trabajar exclusi-vamente con aquellas que apunten a la operacin que se est abordando en unperodo determinado.

Por otro lado, en el conjunto de problemas que se presentan para usar cadaoperacin con distintos significados, es interesante incluir algunos en los cua-les la informacin est vinculada con la vida cotidiana, ya sea por medio derecortes de diario con publicidades de ofertas, facturas o comprobantes queinforman sobre lo comprado, boletos, calendarios y otros, es decir, distintos por-tadores de datos numricos referidos a contextos que resulten familiares anuestros chicos. En el apartado Para trabajar con la informacin desarrollare-mos algunos ejemplos.

Para calcular de diferentes formas

Un propsito de toda la escolaridad es el trabajo con variados procedimientos ytcnicas de clculo de modo que, a lo largo del tiempo, los alumnos puedan irdisponiendo de un repertorio memorizado de clculos, de diferentes maneras dehacerlos por escrito y de un uso inteligente de la calculadora. Si pretendemosque esto sea posible para todos los chicos, es necesario que destinemos untiempo importante del trabajo en el aula para que se identifiquen las diferentesestrategias personales de resolucin, se expliciten y, luego, se sistematicen. Deeste modo, favoreceremos que puedan volver a utilizarlas en nuevas situaciones.

Si bien este tipo de clculo interviene en la resolucin de distintos problemasy se encuentra presente como herramienta til frente a variadas situaciones

tal como lo hemos planteado en el apartado anterior, tambin debe ser aborda-do como objeto de estudio en s mismo.

Una idea importante es que un mismo clculo puede resolverse con diferen-tes procedimientos y que el ms rpido y econmico para un caso puede noserlo para otro; esto depender de los nmeros que intervengan. A diferencia delalgoritmo convencional que todos realizamos de la misma manera, el clculo alque nos estamos refiriendo admite una diversidad de estrategias que puedencoexistir en el aula. Y, en este sentido, el que resulte ms cmodo para unalumno puede no serlo para otro.

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Los algoritmos tienen, entonces, un nuevo lugar en la enseanza: son formasde clculo con las que culmina un trabajo previo de produccin y anlisis de dis-tintos procedimientos originales de los mismos alumnos.18

Plantear situaciones para pasar de los distintos procedimientos

para sumar y restar a los algoritmos usuales

El dominio de los algoritmos tradicionales es el punto de llegada de un trabajoa largo plazo. En un comienzo, para la suma y la resta se plantean situacionescomo las ya presentadas en el ao anterior y que los chicos resolvieron elabo-

rando distintos procedimientos personales.19

En este ao/grado, avanzaremos con nmeros ms grandes, lo que tambindar lugar a la produccin de diferentes procedimientos numricos originales.Veamos algunas producciones de alumnos.

Para la suma:

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>

18 Recomendacin de lectura: para ampliar la propuesta sobre clculo mental, se recomienda lalectura de El Clculo mental en Parra, C. (1994).

19 Tal como se ha planteado en el apartado Las representaciones, en Ensear Matemticaen el Primer Ciclo de este Cuaderno, cuando el alumno produce una solucin, utilizarepresentaciones personales que pueden o no coincidir con las convencionales.


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Para que esta variedad de procedimientos sea posible, debemos proponer

paralelamente actividades cuyo fin sea que los alumnos memoricen un conjun-

to de resultados de clculos, como suma de dgitos, de decenas y de cente-

nas enteras. En la medida en que estos conocimientos estn disponibles, loschicos podrn elaborar esos diferentes procedimientos y tener, adems, al

aprender el algoritmo, algn control sobre los resultados.

Resulta de particular inters generar espacios de puesta en comn paraque los chicos compartan los distintos procedimientos utilizados y expliquencmo los han pensado. Se apunta a que los alumnos conozcan otros procedi-mientos, analicen en qu se parecen y se diferencian, y puedan as realizar cadavez procedimientos ms avanzados. Primero, en relacin con la pertinencia, es

decir, si el procedimiento permite llegar o no al resultado correcto. En otromomento, y de acuerdo con la cantidad de pasos, la reflexin podr girar entorno de la economa de tiempo o de esfuerzo de los distintos procedimientos.Es importante que, en las distintas ocasiones, promovamos el anlisis de proce-dimientos tanto acertados como errneos. Si algn procedimiento determinadono surgiera espontneamente en el grupo y resultara interesante su anlisis, sepuede presentar como realizado por otros alumnos.

Cuando los nios resuelven sumas y restas con diversos procedimientos,estn usando las propiedades conmutativa y asociativa de las operacionescomo instrumentos. Sin embargo, en este Ciclo no es conveniente an poner-

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Para la resta:


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les nombre. En la medida en que analicemos las producciones de los alumnos,podremos reconocer los conocimientos matemticos que ellos usan en formaimplcita para poder intervenir adecuadamente. Por ejemplo, es probable quedesde 1er ao/grado, los nios hayan usando en forma indistinta 3 + 4 y 4 + 3,pero pueden haber considerado que 2 + 8 es ms difcil que 8 + 2. Del mismomodo, en 2o, pueden usar 70 + 20 ms fcilmente que 20 + 70 23 + 7 enlugar de 7 + 23.

Una intervencin posible frente al uso de la propiedad de manera espont-nea es plantear una actividad de investigacin donde se discuta si en una cuen-

ta de sumar siempre es posible cambiar el orden de los nmeros sin que cam-bie el resultado, o cul de los sumandos conviene poner primero para facilitar elclculo. As, es posible que las propiedades se utilicen como reglas prcticas queel grupo acepta y que, ms adelante, sern explicitadas como tales.

Otros problemas donde las propiedades funcionan como instrumento de reso-lucin de manera implcita son aquellos en los que los alumnos deben construirprocedimientos originales para resolver clculos o explicar los propuestos porotros. En ellos, si fuera necesario, podrn cambiar los nmeros de lugar para aso-ciarlos segn les convenga en funcin de los clculos que tengan memorizados.

Es decir, los alumnos estarn usando las propiedades conmutativa y asociativa.Por ejemplo:

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>

Aqu, adems de conmutar, utilizan las sumas que dan 10 para realizar esteclculo de manera ms rpida.


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Veamos otro ejemplo donde los alumnos descomponen los nmeros, conmu-tan y asocian usando resultados conocidos de sumas de decenas enteras.

Progresivamente, debemos plantear situaciones ms complejas que inviten alos alumnos a buscar estrategias ms claras y econmicas, entre las que sehallan los algoritmos convencionales. En un principio, el pasaje a la cuenta para-da no debe estar tan alejado de las producciones que son del dominio de losnios. En este sentido, procedimientos como los que se muestran a continua-

cin podran resultar algoritmos intermedios entre los clculos horizontales y lacuenta convencional.

Para la suma:

Para la resta:

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48

35

83

+ + +

+

40 + 8

30 + 5

70 + 13

70 + 10 + 3

80 + 3 = 83

48

35

70 + 13 = 83

48

35

13

70

83

75

54

21

70 + 5

50 + 4

20 + 1

86

29

57

80 + 6

20 + 9

70 + 16

20 + 9

50 + 7

Otro ejemplo:


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Estas maneras de resolver los clculos ponen en evidencia las relacionesentre los nmeros, las que permanecen implcitas en el algoritmo convencional.Investigaciones realizadas en las aulas muestran que estas producciones sonposibles si, como mnimo, los alumnos han trabajado un ao sobre las regulari-dades del sistema de numeracin, comparado clculos fciles y difcilesexplicitando por qu los consideraron de un modo u otro, y una variedad deproblemas de suma y resta en los que esas operaciones hayan tenido diferen-tes significados.20

Solo despus de un intenso trabajo sobre los procedimientos personales pro-

pios y de otros que les permita a los alumnos tener un claro control sobre elresultado, es conveniente plantear otras actividades centradas en la articulacinde este ltimo con el algoritmo usual basado en agrupamientos.

Por tanto, y retomando lo explicitado al comenzar en Para calcular de dife-rentes formas, hoy los algoritmos usuales no son el punto de partida, sino unade las tantas formas de clculo; y es esperable que se conozcan luego de unintenso trabajo de produccin y anlisis de distintos procedimientos originales,sugeridos por los mismos alumnos. Es decir, que luego de desplegar el trabajoexplicitado precedentemente, podremos introducirlo explicando cmo se hace ydiciendo que es una forma de resolver esta cuenta que usan muchas personas

y solicitarles que la comparen con las que ellos conocen.

88 Matemtica 2

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20 Recomendacin de lectura: se sugiere la lectura de Algunas reflexiones en torno a laenseanza de la Matemtica en el Primer Ciclo de la EGB de H. Itzcovich (coord.) (1999).


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Otra opcin

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