ViŠa TehniČka Škola Subotica

8/14/2019 ViŠa TehniČka Škola Subotica

http://slidepdf.com/reader/full/visa-tehnicka-skola-subotica 1/102

VIŠA TEHNIČKA ŠKOLASUBOTICA

mr. Rozgonji Endre

MEHANIKAdrugi deo

KINEMATIKA

SUBOTICA, 2001. god.



SADRŽAJ

1. UVOD....................................................................................................................12. KINEMATIKA TAČKE..................................................................................... 2

2.1. Definisanje položaja tačke u prostoru................................................ 22.1.1.Vektorski postupak................................................................... 22.1.2. Analitički postupak..................................................................32.1.3. Prirodni postupak.....................................................................5

2.2. Brzina tačke...........................................................................................72.2.1. Vektor brzine tačke..................................................................72.2.2. Brzina tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu.................82.2.3. Brzina tačke u prirodnom kooridnatnom sistemu....................92.2.4. Hodograf brzine.......................................................................10

2.3. Ubrzanje tačke...................................................................................... 112.3.1. Vektor ubrzanja........................................................................11

2.3.2. Ubrzanje tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu.............122.3.3. Prirodni koordinatni sitem....................................................... 132.4. Posebni slučajevi kretanja tačke......................................................... 17

2.4.1. Jednoliko pravolinijsko kretanje tačke.................................... 172.4.2. Jednoliko krivolinijsko kretanje tačke.....................................192.4.3. Jednako promenljivo pravolinijsko kretanje tačke.................. 19

2.4.3.1. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje tačke..........202.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje tačke........ 20

2.4.4. Jednako promenljivo krivolinijsko kretanje tačke...................212.4.4.1. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje tačke...........222.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje tačke.........23

2.4.5. Kružno kretanje tačke..............................................................242.4.5.1. Jednoliko kružno kretanje tačke............................... 252.4.5.2. Jednako ubrzano kružno kretanje tačke....................262.4.5.3. Jednako usporeno kružno kretanje tačke.................. 27

2.4.6. Harmonijsko kretanje tačke..................................................... 283. KINEMATIKA KRUTOG TELA......................................................................36

3.1. Translatorno kretanje krutog tela...................................................... 363.2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose...........................................39

3.2.1. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje............................................ 393.2.2. Posebni slučajevi obrtnog kretanja.......................................... 41

3.2.2.1. Ravnomerno (jednoliko) obrtanje.............................413.2.2.2. Ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo)obrtanje.................................................................... 41

3.2.3. Brzine tačaka tela koje se obr će oko nepokretne ose.............. 423.2.4. Ubrzanja tačaka tela koje se obr će oko nepokretna ose.......... 43

3.3. Ravno kretanje krutog tela..................................................................473.3.1. Putanja tačaka tela pri ravnom kretanju...................................483.3.2. Brzine tačaka tela koje vrši ravno kretanje..............................49

3.3.2.1. Teorema o projekcijama brzina................................ 513.3.3. Trenutni pol brzina...................................................................523.3.4. Određivanje brzina tačaka pomoću trenutnog pola brzina...... 52

3.3.5. Posebni slučajevi određivanja trenutnog pola brzina.............. 53

3.3.5.1.Ravna figura koja se kotrlja bez klizanja ponepokretnoj površini drugog tela..............................53



3.3.5.2. Vektori brzina Avr

i Bvr

su paralelni, a prava AB kojaspaja te tačke nije normalna na vektore bzina........... 54


i Bvr

su paralelni, a prava AB kojaspaja te tačke normalna je na vektore bzina.............. 54

3.3.6. Ubrzanja tačaka pri ravnom kretanju.......................................584. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE TAČKE.....................65

4.1. Jednačine kretanja................................................................................654.2. Trenutna ugaona brzina.......................................................................69

4.3. Trenutno ugaono ubrzanje.................................................................. 705. OPŠTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TELA.................................. 76

5.1. Jednačine opšteg kretanja slobodnog krutog tela..............................765.2. Brzine tela koje vrši opšte kretanje.....................................................765.3. Ubrzanje tela koje vrši opšte kretanje................................................ 77

6. SLOŽENO KRETANJE TAČKE...................................................................... 806.1. Relativno, prenosno i apsolutno kretanje tačke.................................806.2. Apsolutna brzina tačke.........................................................................806.3. Apsolutno ubrzanje tačke.................................................................... 84

6.3.1. Konstrukcija Koriolisovog ubrzanja........................................866.3.2. Primeri određivanja smera Koriolisovog ubrzanja.................. 876.3.3. Posebni slučajevi određivanja vektora prenosnog ubrzanja.... 876.3.4. Određivanje komponenata apsolutnog ubrzanja......................88

7. SLOŽENO KRETANJE KRUTOG TELA.......................................................987.1. Apsolutna brzina tela............................................................................987.2. Apsolutno ubrzanje...............................................................................997.3. Osnovni oblici složenog kretanja.........................................................99

7.3.1. Translatorna kretanja............................................................... 997.3.2. Obrtanje oko paralelnih osa.....................................................100

7.3.2.1. Slučaj kada su obrtanja tela usmerana u isom smeru1007.3.2.2. Slučaj kada su obrtanja tela usmerana u suprotnom

smeru........................................................................1017.4. Proračun planetarnih prenosnika....................................................... 103

8. LITERATURA.....................................................................................................109



1. UVOD

U uvodu prvog dela mehanike - statike izneti su osnovni zadaci mehanike, njen razvoj i podela na statiku, kinematiku i dinamiku.

Kinematika proučava kretanja tela ne uzimajući u obzir uzroke (masu i sile) koji izazivaju kretanja.Ta kretanja tela pri zadatim geometrijskim uslovima proučavaju se u zavisnosti od vremena.

Kinematika predstavlja uvod u dinamiku, jer definiše osnovne kinematske zavisnosti, koje suneophodne za proučavanje kretanja tela pod dejstvom sila. Kinematske metode međutim imaju isamostalan praktični značaj, pri proučavanju kretanja delova raznih mehanizama. Upravo zbog

pojave ovih problema u mašinskoj tehnici, kinematika se izdvojila u samostalni deo mehanike u prvoj polovini 19. veka.Pod kretanjem se u mehanici podrazumeva promena položaja, koji jedno materijalno telo vrši uodnosu na drugo, u prostoru.Za definisanje položaja pokretne tačke, tela u odnosu na tu tačku ili tela prema kome se proučavakretanje, koristi se referentni koordinatni sistem, koji je čvrsto vezan za tačku ili telo u odnosu nakoje se proučava kretanje. Ukoliko koordinate tačaka izabranog koordinatnog sistema za svevreme kretanja ostaju konstantne, tada se telo u odnosu na taj koordinatni sistem nalazi u

mirovanju. Međutim, ako se koordinate ma koje tačke tela menjaju tokom vremena, tada se uodnosu na referentni koordinatni sistem telo kreće.Prostor se u mehanici smatra trodimenzionalnim Euklidovim prostorom. Za jedinicu dužine ( L) primerenju rastojanja u ovom prostoru usvaja se metar [m]. Vreme (t ) se u mehanici smatrauniverzalnim, tj. da teče na isti način u svim koordinatnim sistemima. Za jedinicu vremena uzimase jedna sekunda [s]. Svi kinematički elementi, kao što su: put (trajektorija), brzina i ubrzanje

izražavaju se pomoću ovih osnovnih jedinica. Na ovaj način definisan prostor i vreme izražavaju samo približno realne osobine prostora.Međutim, kako pokazuju razni eksperimenti, za realna kretanja koja se pojavljuju u svakodnevnomživotu, a koja se vrše sa mnogo manjim brzinama od brzine prostiranja svetlosti, takvo

približavanje je potpuno opravdano, jer za praktične primene daje potpuno zadovoljavaju

ćutačnost.

Vreme u mehanici je pozitivna skalarna veličina, koja se neprekidno menja. U problemimakinematike vreme t se uzima za nezavisnu promenljivu veličinu. Sve ostale promenljive veličine ukinematici se posmatraju u funkciji vremena. Vreme se posmatra uvek od nekog poč etnog trenutka

vremena (t=0), koje se utvr đuje u svakom konkretnom problemu. Svaki određ eni trenutak

vremena t definiše se brojem sekundi, računajući od početnog trenutka vremena. Svaka razlikaizmeđu bilo koja dva uzastopna trenutka vremena tokom kretanja, zove se vremenski interval.

U kinematici se sva razmatranja utvr đuju na osnovu praktičnih iskustava, dok se zaključci potvr đuju eksperimentima. Zbog toga, u kinematici nikakvi dopunski zakoni, ili aksiomi, za proučavanje kretanja nisu potrebni.

Za definisanje kinematičkih karakteristika nekog kretanja, koje se želi proučiti, neophodno je dakretanja bude bilo kako definisano (zadato).Kinematički definisati kretanje ili zakon kretanja tela ili tačke, znači definisati položaj tog tela ilitačke u odnosu na dati referentni koordinatni sistem u bilo kojem trenutku vremena. Najvažnijizadatak kinematike je utvr đivanje matematičkih metoda za definisanje tog kretanja.Po najosnovnijoj podeli kinematika se deli na:

- kinematiku tačke,- kinematiku krutog tela.



2. KINEMATIKA TAČKE

U kinematici tačke rešavaju se dva osnovna problema:1. Ustanovlajavanje analitičkih postupaka za definisanje kretanja tačke u odnosu na utvr đenikoordinatni sistem.2. Na osnovu zadatog zakona kretanja tačke, određivanje kinematičkih karakteristika kretanja

tačke, kao što su:- trajektorija tačke,- brzina tačke,- ubrzanje tačke.

Zamišljena neprekidna linija, koju opisuje pokretna tačka M u prostoru zove se putanja ilitrajektorija tačke.Deo putanje između dva uzastopna položaja tačke M je pređ eni put.

Ukoliko je trajektorija prava linija, tačka vrši pravolinijsko kretanje, ako je pak kriva linija, tačkavrši krivolinijsko kretanje.

Za definisanje kretanja tačke u prostoru primenjuju se najčešće sledeća tri postupka:1. vektorski,2. analitički (koordinatni),3. prirodni postupak.

2.1. DEFINISANJE POLOŽAJA TAČKE U PROSTORU

2.1.1. VEKTORSKI POSTUPAK

Položaj tačke M u svakom trenutkuvremena može se odrediti vektorom

položaja r r

u odnosu na početak ODekartovog koordinatnog sistema, premaslici 2.1. Pošto je svaki vektor određen satri podatka, za definisanje položaja tačkeM potrebno je poznavati intenzitet,

pravac i smer vektora položaja r r

. Prikretanju tačke M menja se vektor r

ri po

pravcu i po intenzitetu sa vremenom i predstavlja vektorsku funkciju vremena t

:

)(t r r rr = . (2.1)

Jednačina (2.1) predstavlja zakon

kretanja tač ke u vektorskom obliku.

Pomoću ove jednačine moguća jekonstrukcija vektora r

ru svakom trenutku vremena, i na taj način da se određuje položaj pokretne

tačke. Geometrijsko mesto krajeva vektora r r

određuje putanju tačke M .U posebnom slučaju, kada je r

r= const tačka se nalazi u mirovanju.

Slika 2.1. Vektorski postupak



2.1.2. ANALITIČKI POSTUPAK (KOORDINATNI)

Koordinate tačke M su skalarni parametri (brojevi) čije vrednosti određuju položaj pokretne tačke.Skup ovih koordinata čini koordinatni sistem. Najčešće korišćen koordinatni sistem je pravougli

Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije, koji se satoji od tri orijentisane ose Ox, Oy, Oz,

koje prolaze kroz tačku O i ne leže u istoj ravni. Ako su te ose međ usobno normalne, Dekartovkoordinatni sistem je pravougli (ortoganalan). Ako smerovi osa odgovaraju palcu, kažiprstu i

srednjem prstu desne ruke (sa dlanom naviše), koordinatni sistem je desne orijentacije. U ovomsistemu gledajući iz smera ose Oz , obrtanjem ose Ox u obrnutom smeru kretanja skazaljke na

satu, dolazi do njenog poklapanja sa osom Oy. Jedinični vektori (ortovi) koordinatnihosa ),,( k ji

rrruzeti u istom smeru sa koordinatnim osama, čine jedinični trijedar, prema slici 2.1.

Projekcijom vektora položaja r r

na ose Dekartovog koordinatnog sistema, položaj tačke M određen je sa tri broja x,y,z , koji predstavljaju algebarske projekcije vektora pokretne tačke na koordinatneose prema:

k z j yi xr rrrr

⋅+⋅+⋅= . (2.2)gde su:

- k jir

rr ,, jedinični vektori,- x,y,z koordinate tačke M .

Pošto se tačka kreće, sve tri koordinate se menjaju tokom vremena, pa jednačina (2.2) postaje:

k t z jt yit xt r rrrr

⋅+⋅+⋅= )()()()( . (2.3)

Za poznavanje zakona kretanja tačke, tj.da bi se mogao odrediti u svakom trenutku vremena položaj tačke u prostoru, potrebno je poznavati promene koordinate tačke sa vremenom, definisane jednačinama:

).(

),(

),(

t z z

t y y

t x x

=

=

=

(2.4)

Jednačine (2.4) predstavljaju jednač ine kretanja u analiti č kom obliku, ili skalarni oblik

parametarske jednač ine putanje. U ovim jednačinama parametar je vreme t.

Eliminacijom parametra t iz jednačina (2.4) dobija se jednačina linije putanje.

U posebnom slučaju, pri kretanju tačke u ravni, kretanje će biti određeno sa samo dve jednačinekretanja, prema:

).(;)( t y yt x x == (2.5)

Primer 2.1.

Kretanje tačke određeno je jednačinama ( x,y - u metrima, t - u sekundama):

.36,48 22t t yt t x −=−=

Potrebno je odrediti liniju putanje tačke. Rešenje:

Za određivanje putanje, potrebno je eliminisati parametar, tj. vreme t iz navedenih jednačina.Množenjem prve jednačine sa 3 , a druge sa 4, i oduzimanjem druge jednačine od prve, dobiće se:

043 =− y x , ili



x y4

3= .

Na osnovu ove jednačine se vidi da je putanja prava linija, koja saosom Ox zalkapa ugao a, pri čemu je 43=αtg (slika 2.2).

Primer 2.2.

Kretanje tačke je dato sledećim jednačinama:

.t 5

2 sin10 y ,t

5

2cos10 x ππ ==

Potrebno je odrediti liniju putanje.

Rešenje:Iz gornjih jednačina potrebno je eliminisati vreme t . Deleći obe strane jednačina sa 10, zatimdizanjem na kvadrat i sabiranjem se dobija jednačina:

100 y x 22 =+ .

Što predstavlja kružnu liniju sa poluprečnikom R=10.

Primer 2.3.

Kretanje tačke u ravni Oxy dato je vektorskom jednačinom oblika:

t 2cosct 2 sinbr rrr

+= .

Gde su vektori cibrr

vektori određeni koordinatama )4;3( c ),3;2( brr

.Odrediti liniju putanje.

Rešenje:

Gore navedeni vektori predstavljeni pomoću komponenata imaju oblike:

j4i3c; j3i2b; j yi xr rrrrrrrrr

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= ,gde su:

- j ,i

rr

jedinični vektori koordinatnih osa.Izjednačavajući vrednosti pored istih jediničnih vektora, kretanje je definisano sistemom jednačina:

t 2cos4t 2 sin3 y ,t 2cos3t 2 sin2 x +=+= .

Iz ovih jednačina potrebno je eliminisati vreme, izražavajući vrdenosti:

y2 x3t 2cos , x4 y3t 2 sin −=−= .

Dizanjem na kvadrat i sabiranjem jednačina, dobije se linija putanje u obliku:

01 y13 xy36 x251 ) y2 x3( ) x4 y3( 2222 =−+−=−−+− .

Što predstavlja jednačinu elipse.

Slika 2.2. Ilustracija primera2.1



Primer 2.4.

Odrediti putanju sredine M klipne poluge klipnog mehanizma prema slici 2.3, ako je

a2 ABOA == , i ako pri okretanju krivajeugao ϕ u toku vremena raste

proporcionalno vremenu: ϕ=ω⋅t . Rešenje:

Za označene koordinatne ose prema slici

2.3. koordinate tačke M ( x i y) iznosiće:

ϕϕϕ sina y ,cosacosa2 x ⋅=⋅+⋅= .

Zamenom ugla ϕ sa njegovom vrednošću, jednačine kretanja tačke M iznosiće:

t sina y ,t cosa3 x ⋅⋅=⋅⋅= ωω .

Za određivanje putanje tačke M jednačine kretanja se mogu napisati u obliku:

t sina

y ,t cos

a3

x⋅=⋅= ωω .

Dizanjem na kvadrat i sabiranjem ovih jednačina se dobije:

1a

y

a9

x2

2

2

2

=+ .

Što predstavlja elipsu sa poluosama 3a i a.

2.1.3. PRIRODNI POSTUPAK

Prirodni postupak definisanja kretanja tačke upotrebljava se u onim slučajevima, kada je putanjatačke unapred poznata. Tako je za poznatu putanju l po kojoj sekreće tačka M, moguće odrediti položaj tačke tako, što seizabere početna tačka O za referentnu tačku, a putanja tačke seusvoji za krivolinijsku koordinatnu osu, prema slici 2.4.Krivolinijskom koordinatom OM s = , koja je jednaka

rastojanju tačke M od referentne tačke O, određen je položajtačke na putanji. Rastojanje s mereno na jednu stranu se usvajaza pozitivno, a na drugu stranu za negativno (kao i kod drugih"običnih" koordinatnih osa), što je potrebno kod referentnetačke obavezno i označiti.Krivolinijska koordinata s pri kretanju tačke M po putanji semenja tokom vremena, i biće neka funkcija vremena prema:

)t ( s s = . (2.6)

Jednačina (2.6) izražava zakon kretanja (zakon puta) tačke po putanji.

Za određivanje kretanja tačke prirodnim postupkom, potrebno je poznavati:1. putanju tač ke,2. poč etak koordinatnog sistema na putanji sa utvr đenim pozitivnim i negativnim smerom,

Slika 2.3. Ilustracija primera 2.3

Slika 2.4. Prirodni postupak



3. zakon kretanja tač ke duž putanje oblika )t ( s s = , gde rastojanje s određuje krivolinijskukoordinatu tačke.Krivolinijsku koordinatu )t ( s s = treba razlikovati od pređenog puta tačke M po putanji, jer sekrivolinijskom koordinatom određuje položaj tačke M na putanji u datom trenutku vremena odreferentne tačke. 0M (početni položaj tačke), kada je vreme t=t 0=0 (slika 2.4).

Za proučavanje kretanja tačke po liniji često se primenjuje prirodni trijedar , koji će se izložiti u

daljnjem.U tački M putanje, prvo se nacrtatangenta sa jediničnim vektorom

T r

, zatim normala na tangentu sa jediničnim vektorom N

r, koja je

usmerena prema centru krivinetrajektorije tačke. Ovi vektoriformiraju ravan, koji se zoveoskulatorna ravan (ravan koji se

priljubljuje na krivu ds), premaslici 2.5. Treća koordinatna osa jenormalna na oskulatorni ravan utački M , sa jediničnim vektorom

Br

. Navedeni jedinični vektori zovuse:

T r

- tangenta, N

r- glavna normala,

Br

- binormala.Pravougli koordinatni sistem, konstruisan u pokretnoj tački

M sa koordinatnim osama usmerenim

duž tangente (T r ), glavne normale ( N

r ) i binormale ( Br ), zove se prirodni trijedar. Koordinate kojeodređuju položaj tačke na liniji u odnosu na ovaj sistem zovu se prirodne koordinate.

Jedinični vektori T r

i N r

određuju oskulatornu ravan, jedinični vektori N r

i Br

određuju normalnu

ravan, a vektori T r

i Br

definišu rektifikacionu (tangentnu) ravan (slika 2.5).Ovaj prirodni trijedar pri kretanju tačke kreće se zajedno sa njom, pa se i orijentacija osa trijedrastalno menja i svakom položaju tačke odgovara poseban prirodni trijedar.U ovom koordinatnom sistemu važe sledeće relacije:

N T Brrr

×= - uslov normalnosti,

) s( r r rr

= - vektor položaja ma koje tačke na trajektoriji, je funkcija krivolinijske koordinate,

ds

r d T

rr= - tangenta je izvod vektora položaja po krivolinijskoj koordinati s,

N R

1 N K

ds

T d

k

rrr

⋅=⋅= - izvod tangente po koordinati s je jednak proizvodu krivine K i glavne

normale, ili proizvodu recipročne vrednosti poluprečnika krivine Rk i glavnenormale.

Slika 2.5. Prirodni trijedar



2.2. BRZINA TAČKE

2.2.1. VEKTOR BRZINE TAČKE

Brzina je jedna od osnovnih kinematičkih parametara kretanja tačke. Za pokretnu tačku M , koja sekreće po određenoj putanji u prostoru, položaj tačke u trenutku vremena t biće određen vektorom

položaja )t ( r r

. U sledećem trenutku t 1 = t+∆t , tačka će se nalaziti u položaju M 1, određeno

vektorom položaja r r r 1rrr ∆+= . Vektor r r∆ određuje pomeranje tačke za vremenski period t ∆ i

zove se vektor pomeranja tač ke. Iz trougla OMM 1 sa slike 2.6 vidi se da je vektor pomeranja tačkeodređen razlikom vektora položaja:

r r r MM 11

rrr∆=−= .

Odnos vektora pomeranjatačke premaodgovarajućemvremenskom intervaluodređuje po intenzitetu,

pravcu i smeru vektor

srednje brzine i pokazujekako se tokom vremenavrši pomeranje tačke M iz

jednog položaja u drugi.

t

r

t

MM v 1

SR ∆∆

∆

rv

== . (2.7)

Vektor srednje brzine imaisti pravac i isti smer sa

vektorom r r

∆ u smeru kretanja, jer je vreme ∆t uvek pozitivna skalarna veličina (delenjem sa ∆t

pravac vektora SRvr

se ne menja, dok se menja samo intenzitet u poređenju sa intenzitetom vektora

r r

∆ , slika 2.6).Ako se vremenski interval ∆t tako menja da teži nuli, dobije se vektor brzine v

rtačke M u datom

trenutku vremena:

t

r limvlimv 0t SR0t ∆

∆∆∆

rrr

→→ == .

Granična vrednost odnosat

r ∆

∆rkada ∆t →0 predstavlja prvi izvod vektora r

r∆ po vremenu t , koji

se označava sa:

r dt

r d &rr

= .

I na kraju, u konačnom obliku se dobije:

r dt

r d v &r

rr

== . (2.8)

Vektor brzine tač ke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora položaja tač ke povremenu. Vektor brzine tačke u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na putanju iusmeren je u smeru kretanja.Osobine vektora brzine su:

Slika 2.6.Vektor brzine



1. Ako vektor brzine menja svoj pravac, kretanje je krivolinijsko.2. Ako je konstantnog pravca, kretanje je pravolinijsko.3. Ako je vektor brzine konstantnog intenziteta, kretanje je ravnomerno.4. Ako se intenzitet vektora brzine menja sa vremenom, kretanje je promenljivo.

Dimenzija brzine je

s

m.

2.2.2. BRZINA TAČKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU

Položaj tačke M u Dekartovom koordinatnom sistemu određen je na osnovu jednačine (2.3)izrazom:

k )t ( z j )t ( yi )t ( x )t ( r rrrr

⋅+⋅+⋅= .

Vektor brzine tačke je jednak prvom izvodu vektora položaja po vremenu i na osnovu (2.8) iznosi:

k v jvivk z j yi xdt

r d v z y x

rrrr&

r&

r&

rr

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅== .

Sa slike 2.7 se vidi da projekcijevektora brzine v

riznose:

z dt

dz v , y

dt

dyv , x

dt

dxv z y x

&&& ======

(2.9)

Projekcije vektora brzine tač ke na

ose Dekartovog koordinatnog

sistema jednake su prvim izvodima

koordinata po vremenu.

Za poznate projekcije brzine njenintenzitet se određuje po izrazu:

2222

z

2

y

2

x z y xvvvvv &&&r

++=++== . (2.10)

Pravac vektora brzine definisan je uglovima α ,β ,γ , koje vektor vr zalkapa sa koordinatnim osama(slika 2.7). Kosinusi tih uglova su:

,

z y x

z

v

vcos )k ,v( cos

, z y x

y

v

vcos ) j ,v( cos

, z y x

x

v

vcos )i ,v( cos

222

z

222

y

222

x

&&&

&rr

&&&

&rr

&&&

&rr

++===∠

++===∠

++===∠

γ

β

α

. (2.11)

Za slučaj ravanskog kretanja z=0, izrazi (2.10 i 2.11.) imaju sledeće oblike:

Slika 2.7. Projekcije brzine tačke



22 y xv && += ,

v

vcos ,

v

vcos

y x == βα .

2.2.3. BRZINA TAČKE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU

Zakon kretanja tačke u prirodnom koordinatnom sistemu, na osnovu (2.6) iznosi:

)t ( s s = .

Vektor položaja tačke na trajektoriji je takođe poznat i ima oblik:

) s( r r rr

= .

Vektor brzine je po definiciji prvi izvod vektora položaja po vremenu i dat je u sledećem obliku:

dt

ds

ds

r d

dt

r d v ⋅==

rrr

,

dge su:

- prvi člandt

r d r

je jedinični vektor tangente na trajektoriju tj. T r

,

- drugi člandt

ds predstavlja izvod puta po vremenu tj. s& .

Vektor brzine ima oblik:

T svr

&r

⋅= , ili

T vvrr

⋅= . (2.12)

Intenzitet projekcije vektora brzine vr

(broj č ana vrednost brzine -v ) tač ke, koja spada u pravac

tangente na putanju, jednak je prvom izvodu krivolinijske koordinate po vremenu. Brzina imaznak + ili - u zavisnosti od smera kretanja tačke.

Ako je

dt

dsv = >0 (+), tačka se kreće u pozitivnom smeru (u stranu porasta krivolinijske

koordinate),

ako jedt

dsv = <0 (-), tačka se kreće u negativnom smeru, prema slici 2.8.

Slika 2.8. Smer brzine



2.2.4. HODOGRAF BRZINE

Brzina pokretne tačke menja se po vremenu i za proizvoljno krivolinijsko kretanje tačke M , zanekoliko položaja tačaka vektori brzine imaju određene veličine i pravce. Ako se svi vektori brzina

prenesu u zajedni č ku tač ku Ov prema slici 2.9, tada geometrijsko mesto krajeva vektora brzina

određuju krivu, koja se zove hodograf vektora brzine pokretne teč ke.

Primer 2.5.

Odrediti brzinu tačke za kretanje iz primera 2.1. Rešenje:

Komponente brzine tačke se određuju kao prvi izvodi odgovarajućih koordinata tačaka po vremenu prema:

( ) ( )t 16 ydt

dyv ,t 18 x

dt

dxv y x −===−=== && ,

a ukupna brzina prema:

)t 1( 10 y xv 22 −=+= && [m/s].

Vektor brzine vr

usmeren je niz putanju, tj.liniju AB (slika 2.2). Projekcije brzine su u vremenskomintervalu 0< t < 1 pozitivne, prema tome u tom vremenskom intervalu brzina je usmerena od tačkeO ka tački B. U trenutku vremena t = 0 v = 10 [m/s], a u trenutku t = 1[s] v = 0. Pri daljemkretanju tačke, kada je t >1 [ s], obe projekcije brzine su negativne, što znači, da je brzina usmerenaod B ka A.

Na kraju, može da se primeti i to, da je u trenutku t = 0 [ s] x = 0 i y = 0; u trenutku t = 1 [ s] x = 4, y = 3 (tačka B); u trenutku t = 2 [ s] x = 0, y = 0; za t > 2 [ s] veličine x i y se povećavaju poapsolutnoj vrednosti i ostaju za sve vreme kretanja negativne.Jednačine date u uslovu primera 2.1, pokazuju tok kretanja tačke. Kretanje počinje iz tačke O

početnom brzinom v0 = 10 [m/s] i vrši se duž prave AB, koja zaklapa sa osom Ox ugao α . Na delu puta OB tačka stigne za jednu sekundu u položaj B (4,3), u kom položaju je brzina tačke jednakanuli. Od ovog trenutka tačka se kreće u suprotnu stranu. U trenutku t = 2 [ s] tačka se ponovonalazi na koordinatnom početku i nastavlja da se kreće duž prave OA.

Primer 2.6.

Odrediti hodograf brzine za kretanje iz primera 2.2. Rešenje:

Komponente brzina su:

Slika 2.9. Hodograf brzine



x5

2t 5

2cos4 y , y5

2t 5

2 sin4 x ⋅=⋅=⋅−=⋅−= ππππππ && .

Intenzitet brzine je:

π4 y xv 2

2 =+= && .

Ukoliko se iz gornjih jednačina ( x& i y& ) eliminiše vreme t dobiće se hodograf brzine. Odmah sevidi, da je hodograf brzine kružna linija poluprečnika 4π , sa polom koji se poklapa sa središtem

putanje.

Primer 2.7.

Odrediti brzinu sredine M klipne poluge iz primera 2.4. Rešenje:

Komponente brzine tačke M su:

t cosa yv ,t sina3 xv y x ⋅⋅==⋅⋅−== ωωωω && .

Intenzitet brzine je jednak:

t cost sin9av 22 ⋅+⋅⋅= ωωω .

Brzina je promenljiva veličina, koja se u toku vremena menja u granicama od vmin=aω dovmaks=3aω..

2.3. UBRZANJE TAČKE

2.3.1. VEKTOR UBRZANJA

Ubrzanje tačke pri proizvoljnom krivolinijskom kretanju karakteriše promenu intenziteta i pravcavektora brzine u toku vremena.

Neka se u trenutku vremena t tačka nalazi u položaju M i ima brzinu vr

, u trenutku t+∆t se nalazi u položaju M 1 sa brzinom vv

rr∆+ ,

gde vr

∆ karakteriše promenuvektora brzine (slika 2.10).Deleći priraštaj brzine v

r∆ sa

vremenskim intervalom ∆t ,

njihov odnos određuje vektor srednjeg ubrzanja tačke za dativremenski interval:

t

vaSR ∆

∆r

r= . (2.13)

Vektor vr

∆ se najjednostavnijeodređuje konstrukcijom paralelograma vektora v

ri vv

rr∆+ , kako je to prikazano na slici 2.10.

Povlačeći vektore vr

i vvrr

∆+ iz zajedničke tačke O1, zbir vektora vr

i vr

∆ definisaće vektor

vvrr

∆+ tj. dijagonalu paralelograma, koja je ujedno i vektor brzine u tački M 1.

Slika 2.10. Vektor ubrzanja



Vektor vr

∆ je uvek usmeren u konkavnu (izdubljenu) stranu putanje. Vektor srednjeg ubrzanjatakođe ima isti pravac kao i vektor v

r∆ i usmeren je u konkavnu stranu trajektorije.

Ubrzanje tačke u datom trenutku vremena t je vektorska veličina ar

kojoj teži vektor srednjegubrzanja SRa

rkada vremenski interval ∆t teži nuli:

dt

vd

t

vlimalima 0t SR0t

rrrr

=== →→ ∆∆

∆∆ , ili

r dt

r d v

dt

vd a

2

2

&&rr

&rr

r==== . (2.14)

Vektor ubrzanja ar

tač ke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine po

vremenu ili drugom izvodu vektora položaja tač ke po vremenu.Vektor ubrzanja karakteriše promenu vektora brzine tokom vremena po intenzitetu i pravcu.Bitno je odrediti kakav položaj zauzima vektor ubrzanja a

ru odnosu na putanju tačke. Položaj

vektora ar

, ako je putanje tačke ravna kriva linija (tačka se stalno kreće u istoj ravni), tada vektor ubrzanja ar , (kao i vektor srednjeg ubrzanja SRar ) leži u ravni krive i usmeren je u konkavnu stranu

te krive.Ako je putanje tačke prostorna kriva linija, tj. ne leži u jednoj ravni, tada će vektor srednjegubrzanja SRa

rbiti usmeren u konkavnu stranu putanje i ležaće u ravni, koja prolazi kroz tangentu u

tački M i pravu, koja je paralelna tangenti u susednoj tački M 1, prema prikazu na slici 2.10. Ugraničnom slučaju, kada se tačke M i M 1 poklapaju, ravan će zauzeti položaj koji se priljubljuje uzkrivu, koja za prostorne krive linije definiše oskulatornu ravan.

Prema tome, u opštem slučaju vektor ubrzanja ar

leži u oskulatornoj ravni i usmeren je u

konkavnu stranu putanje.

Dimenzija ubrzanja je 2 s

m

.

2.3.2. UBRZANJE TAČKE U DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU

U vektorskim jednačinama koje sadrže izvode, prelaz od zavisnosti između vektora na zavisnostizmeđu njihovih projekcija može se izvesti korišćenjem teoreme koja glasi: projekcija izvoda na

bilo koju nepomi č nu osu jednaka je izvodu projekcije vektora na istu osu.

Vektor položaja tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu prema (2.2) iznosi:

k z j yi xr rrrr

⋅+⋅+⋅= .

Vektor brzine iste tačke na osnovu (2.8) definisan je:

dt

r d v

rr

= .

Vektor ubrzanja dat je zavisnošću (2.14) prema:

dt

vd a

rr

= ,

i na osnovu teoreme o projekciji izvoda vektora može se napisati:



k z j yi x )k z j yi x( dt

d a

r&&

r&&

r&&

r&

r&

r&

r⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅= ,

ili

k a jaiaa z y x

rrrr⋅+⋅+⋅= ,

gde su:

z dt

z d

dt

dva , y

dt

yd

dt

dva , x

dt

xd

dt

dva

2

2 z

z 2

2 y

y2

2 x

x&&&&&& ========= . (2.15)

Projekcije vektora ubrzanja na ose Dekartovog koordinarnog sistema jednake su drugim

izvodima koordinata pokretne tač e po

vremenu.

Intenzitet vektora ubrzanja na osnovu slike2.11 određuje se prema:

2222

z

2

y

2

x z y xaaaa &&&&&& ++=++= .(2.16)

Pravac vektora ubrzanja definiše seuglovima, koje vektor ubrzanja zaklapa sakoordinatnim osama. Kosinusi ovih uglovase određuju prema:

. z y x

z

a

acos

, z y x

ya

acos

, z y x

x

a

acos

222

z a

222

ya

222

xa

&&&&&&

&&

&&&&&&&&

&&&&&&

&&

++==

++==

++==

γ

β

α

. (2.17)

Ako je kretanje definisano u Dekartovom koordinatnom sistemu jednačinama (2.2) i (2.3), tada se brzina tačke određuje prema obrascima (2.9) i (2.10) a ubrzanje prema (2.15) i (2.16). Ukoliko sekretanje tačke vrši u ravni u navedenim jednačinama treća projekcija otpada, jer je koordinata z=0.

2.3.3. PRIRODNI KOORDINATNI SISTEM

Po definiciji vektor ubrzanja može se napisati:

dt

vd a

rr

= .

Vektor brzine tačke u prirodnom koordinatnom sistemu definisan je na osnovu (2.12) i vektor ubrzanja postaje:

T sT s )T s( dt

d

a

&r

&

r

&&

r

&

r

⋅+⋅=⋅= .

Kao što se vidi vektor ubrzanje tačke određen je vektorskim zbirom dve komponente ubrzanja.

Slika 2.11. Ubrzanje u Dekartovom koordinatnomsistemu



Izvod vektora tangente T r

može da se transformiše na sledeći način (množeći brojitelj i imenitelj sads):

s R

N

dt

ds

ds

T d

ds

ds

dt

T d

dt

T d

K

&

rrrr

⋅=⋅=⋅= ,

gde su:- N

rglavna normala,

- Rk poluprečnik krivine- s& brzina kretanja tačke.

Drugi izvod krivolinijske koordinate po vremenu je:

dt

dv ) s(

dt

d s == &&& .

I na osnovu gore navedenog, vektor ubrzanja postaje:

N R sT

dt dv

R N s sT

dt dva

K

2

K

r&

rr

&&r

r ⋅+⋅=⋅+⋅= . (2.18)

Ubrzanje tačke je određeno vektorskim zbirom dveju komponenata, od kojih je jedna usmerena

duž tangente a druga duž glavne normale. Pošto jedinični vektori tangente i glavne normaledefinišu oskulatornu ravan sledi, da vektor ubrzanja uvek leži u oskulatornoj ravni .

Komponente ubrzanja kako je prikazano na slici 2.12. su:

T

dt

dva t

rr⋅= - zove se tangencijalno

ubrzanje,

N R

sa

K

2

n

r&r⋅= - zove se normalno

ubrzanje.

Vektorski zbir ovih komponentidaje vektor ubrzanje tačke:

N aT aa nt

rrr⋅+⋅= . (2.19)

Projektovanjem vektora ubrzanja na ose prirodnog trijedra, tj. komponente ubrzanja su:

s ) s( dt

d

dt

dva t

&&& === . (2.20)

Projekcija vektora ubrzanja na tangentu tj. tangencijalno ubrzanje karakteriše promenu brzine po

intenzitetu i jednako je prvom izvodu projekcije brzine na pravac tangente (brojčane - algebarske

veličine brzine) ili drugom izvodu krivolinijske koordinate (rastojanja) po vremenu.

Slika 2.12. Prirodne komponente ubrzanja



K

2

K

2

n R

v

R

sa ==

&. (2.21)

Projekcija vektora ubrzanja na glavnu normalu tj. normalno ubrzanje karakteriše promenu pravca

vektora brzine, jednako je količniku kvadrata brzine i poluprečnika krivine putanje u datoj tačkikrive i usmereno je u konkavnu stranu putanje ka centru krivine.

Pošto se ubrzanje tačke nalazi u oskulatornoj ravni, tre

ća komponenta projekcije ubrzanja je:

0a B = .

Ovaj rezultat izražava jednu od veoma značajnih teorema u kinematici tačke.Ukoliko se nanesu

komponentevektora t a

ri

nar

vektora ubrzanja

duž tangente T r

i

glavne normale N r ,koje su po veličini(brojčano) jednakeat i an prema slici2.13, komponenta

nar

će uvek biti

usmerena premakonkavnoj stranikrive (veličina an jeuvek pozitivna),

dok komponenta t ar

može biti usmerena ili prema pozitivnom, ili prema negativnom smeru tangente T r

u zavisnosti odznaka projekcije at . Ukoliko je:

0a t > kretanje je ubrzano,

0a t < kretanje je usporeno.

Intenzitet ubrzanja, pošto su komponente međusobno normalne iznosi:

2

K

22

2

n

2

t Rv

dt dvaaa

+

=+= . (2.22)

Položaj ubrzanja definisan je uglom αn u odnosu na glavnu normalu, koji je dat izrazom:

n

t

na

atg =α . (2.23)

Ako je kretanje tačke definisano u prirodnim koordinatama, poznavajući zakon putanje (2.6) što

podrazumeva i poznavanje poluprečnika krivine u bilo kojoj tački, korišćenjem formula (2.8) i(2.18) do (2.23), mogu biti određeni vektor brzinii vektor ubrzanja u bilo kom trenutku vremena.

Primer 2.8.

Slika 2.13. Smer tangencijalnog ubrzanja



Odrediti ubrzanje tačke iz primera 2.1. Rešenje:

Komponente ubrzanja tačke se određuju po formuli (2.15) i iznose:

6 ydt

yd a ,8 x

dt

xd a

2

2

y2

2

x −===−=== &&&& ,

ubrzanje iznosi:

( ) ( )

=−+−=+=2

222

y

2

x s

m106 8aaa .

Ubrzanje tačke za razliku od brzine koja se menja po određenom zakonu, je konstantno i iznosi 10[m/s2].

Primer 2.9.

Odrediti ubrzanje tačke iz primera 2.4. Rešenje:

Komponente ubrzanja tačke M iznose:

22

y

22

x yt sina ya , xt cosa3 xa ωωωωωω −=⋅−==−=⋅−== &&&& ,

ubrzanje tačke:

( ) 2224 r y xa ωω =+= ,

gde r predstavlja dužinu OM tj. vektor položaja tačke M . Veličina ubrzanja tačke se menja proporcionalno njenom rastojanju od centra elipse.Za određivanje smera vektora ubrzanja a

rkoristiće se izrazi (2.17):

r

y

a

y

a

acos ,

r

x

a

x

a

acos

y

a x

a −===−===&&&&

βα .

Ubrzanje tačke M za sve vreme kretanja usmereno je duž prave OM prema centru elipse.

Primer 2.10.

Teret klatna za male oscilacije kreće se pokrugu poluprećnika l prema slici 2.14. Zakonkretanja je s=Csinω⋅t za koordinatni početak u

tački O, pri čemu su veličine C i ω konstante.Odrediti brzinu, tangencijalno i normalnoubrzanje tereta i one položaje u kojima oveveličine postaju nula.

Rešenje:

Tražene veličine se određuju pomoćuodgovarajućih formula i iznose:

Slika 2.14. Ilustracija primera 2.10.



.t cosl

C

l

va

,t sinC dt

dva

,t cosC dt

dsv

2222

n

2

t

⋅==

⋅−==

⋅==

ωω

ωω

ωω

Na osnovu zakona kretanja se vidi da teret vrši duž puta harmonijsku oscilaciju sa amplitudom C .U krajnjim tačkama A i B je sinω⋅t=± 1, pa je zato cosω⋅t=0. U ovim tačkama (tačke A i B) brzina inormalno ubrzanje postaju nula, ali u ovim položajima tangencijalno ubrzanje ima najvećuvrednost koje iznosi atmaks=C ω2. Kada teret prolazi kroz koordinatni početak O, biće s=0, pa je

sinω⋅t=0 a cosω⋅t=1. U ovom položaju je at =0, a v i an imaju maksimalne vrednosti:

l

C a ,C v

22

nmaksmaks

ωω == .

U ovom primeru se vidi da pri krivolinijskom neravnomernom kretanju u pojedinim tačkama putanje ubrzanja at i an mugu da budu jednaka nuli. Tangencijalno ubrzanje at =0 u onim tačkama u

kojima je 0dt

dv= , tj. tamo, gde v ima maksimum ili minimum. Normalno ubrzanje an=0 je u onim

tačkama gde je v=0 ili gde je R K =∞ - prevojna tačka putanje.

2.4. POSEBNI SLUČAJEVI KRETANJA TAČKE

2.4.1. JEDNOLIKO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE

Pravolinijsko kretanje tačke može se smatrati specijalnim slučajem krivolinijskog kretanja, kadvaži da je Rk =∞, pa je normalno ubrzanje 0

R

va

k

2

n == .

Ukoliko je kretanje jednoliko, brzina tač ke je stalna (konstantna) pa važi, da je:

0a0

dt

dva

const vv

t

0

=⇒

==

==. (2.24)

Potrebno je naglasiti, da je samo u sluč aju jednolikog pravolinijskog kretanja ubrzanje jednakonuli.

Pravolinijsko kretanje tačke prikazano ja na slici 2.15.Ukoliko je poznata brzina tačke v, koja je jednolika:

,ivvv

,const vv s

00

0rrr

&

⋅==

===

tada se zakon kretanja tačke određuje:

,vdt ds 0=Slika 2.15. Pravolinijsko kretanje tačke



dt vds 0 ⋅= .

Integriranjem obe strane jednačine se dobije:

∫ ∫ +⋅=⇒⋅= C t v sdt vds 00 ,

integraciona konsranta C se određuje iz početnih uslova koji su:

00 sC s s0t za =⇒== ,

pa konačno, zakon puta ima oblik:

t v s s 00 ⋅+= . (2.25)

Veličina pređenog puta, koju tačka prelazi od početnog položaja prema slici 2.15. ( s-s0=x) biće:

t v x 0 ⋅=

Brzina tačke je određena izrazom:

t

xvv0 == .

Kinematičke veličine se grafički predstavljajukinemati č kim dijagramima. Ovi dijagrami se

crtaju u Dekartovom koordinatnom sistemutako, što se na apscisu nanosi vreme (t ) a naordinatu određena kinematička veličina.Osnovni kinematički dijagrami su :

a) Dijagram puta i vremena ( x;t ) dijagram, b) Dijagram brzine i vremana (v;t ) dijagram,c) Dijagram ubrzanja i vremena (a;t ) dijagram.

Odgovarajući kinematički dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici

2.16. Dijagram pod a) predstavlja dijagram putai vremena, koji je jedna prava linija pod uglomα u odnosu na apscisu. Dijagram pod b)

predstavlja dijagram brzine i vremena, koji je jedna paralelna linija sa apscisom. Dok dijagram pod c) predstavlja dijagram ubrzanja ivremena, koji je sama osa apscise, jer jeubrzanje a=0.

Slika 2.16. Kinematički dijagrami jednolikog pravolinijskog kretanja



2.4.2 JEDNOLIKO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE

Osnovna karakteristika jednolikog krivolinijskog kretanja tačke je stalna veličina brzine kretanjatj.:

K

2

n

t

0

R

vaa

0dt

dva

,const sv==⇒

==

== &

. (2.26)

Ukupno ubrzanje kretanja je jednako normalnoj komponenti ubrzanja. Vektor ubrzanja ar

je zasve vreme kretanja usmeren u pravcu glavne normale na putanju, kako je to prikazano na slici 2.17.Zakon kretanja se određuje na osnovu poznate brzine kretanja:

0vdt

ds= ,

dt vds 0 ⋅= .

Integrirajući obe strane jednačine sedobije:

∫ ∫ +⋅=⇒⋅= C t v sdt vds 00 ,

integraciona konstanta se određuje na osnovu početnih uslova, tako da se u početku kretanja (t=0)tačka nalazila na udaljenju s0 :

0 sC = ,

zakon puta ima oblik:

t v s s 00 ⋅+= . (2.27)

Bitno je još jednom da se naglasi, da ubrzanje nije jednako nuli, već je jednako normalnom

ubrzanju koje karakteriše promenu pravca vektora brzine pokretne tač ke.

2.4.3. JEDNAKO PROMENLJIVO PRAVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE

Karakteristika jednako promenljivog pravolinijskog kretanja je, da je ubrzanje kretanja

konstantno:

const a = . (2.28)

Pri tome se razlikuju dva slučaja. Ukoliko je ubrzanje već e od nule (a>0) i ima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je ubrzanje negativan (a<0) kretanje je jednako

usporeno.

Slika 2.17. Krivolinijsko kretanje tačke



2.4.3.1. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje tačke

Kako je već ranije navedeno, ubrzanje jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja je konstantna i pozitivno:

0const xa >== && . (2.29)

Vektor ubrzanja ar

i vektor brzine vr

imaju iste smerove,kako je to prikazano na slici 2.18.Zakon brzine se dobija integriranjem jednačine (2.29) uodgovarajućim granicama:

∫ ∫ =⇒⋅=⇒= dt a xd dt x xd

dt

xd x &&&&

&&& ,

t av x 0 ⋅+=& . (2.30)

Brzina pri ovom kretanju raste proporcionalno sa vremenom(ravnomerno) i ima isti smer saubrzanjem.Jednačina (2.30) može da se napiše u

obliku:

dt at dt vdxt avdt

dx x 00 ⋅+⋅=⇒⋅+==& .

Drugom integracijom jednačine (2.30) sedobije zakon puta jednako ubrzanog

pravolinijskog kretanja:

2

t at v x x

2

00

⋅+⋅+= . (2.31)

Iz jednaćine se vidi, da put raste sakvadratom vremena.

Kinematički dijagrami jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja prikazani su na slici 2.19.

2.4.3.2. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje tačke

Ubrzanje pri ovom kretanju je takođe konstantno, ali ima negativan znak:

0const xa <== && . (2.32)

Slika 2.18. Jednako ubrzano pravolinijsko kretanje

Slika 2.19. Kinematički dijagrami jednako ubrzanog pravolinijskog kretanja

Slika 2.20. Jednako usporeno pravolinijsko kretanje



Vektor ubrzanja ar

ima suprotan smer u odnosu na vektor brzine vr

, kako je to prikazano na slici2.20.

Zakon brzine se dobija integriranjem jednačine (2.32) u odgovarajućim granicama:

t av xv 0 ⋅−== & . (2.33)

Brzina pri ovom kretanju stalno opada po linearnom zakonu sa vremenom, tj jednako usporeno

kretanje uvek mora imati poč etnu brzinu.

Drugom integracijom jednačine (2.33) se dobije zakon puta jednako usporenog pravolinijskogkretanja oblika:

2

t at v x x

2

00

⋅−⋅+= . (2.34)

Pošto brzina stalno opada tokom vremena, postoji vremenski trenutak (t 1) kada brzina postaje jednaka nuli, kao što je prikazano na kinematičkom

dijagramu brzine slika 2.21:

0vt t za 1 == , pa sledi:

a

vt 0t avv 0

110 =⇒=⋅−= .

Ukoliko se kretanje nastavlja, ona ima suprotansmer. U vremenskom trenutku t 1 dijagram puta ima

ekstremnu vrednost. Uvrštavajući vrednost za t 1 u jednačinu (2.34) dobija se ekstremna veličina puta pri kretanju ( x1):

2

0000

2

11001

a

va

2

1

a

vv x

2

t at v x x

⋅⋅−⋅+=

⋅−⋅+=

te vrednost za x1 iznosi:

a2

v

x x

2

0

01 += .

Prikazujući kinematički dijagram puta (slika 2.21)vidi se da se u početku kretanja tačka nalazila na

rastojanju x0 i udaljava se sve do veličine puta x1, koju dostiže u vremenskom trenutku t 1, gde imaekstremnu vrednost. Pri daljem kretanju, tačka menja smer kretanja (brzina postaje negativna) ikretanje se nastavlja u suprotnom smeru.

2.4.4. JEDNAKO PROMENLJIVO KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE

Pri krivolinijskom kretanju ubrzanje karakteriše promenu intenziteta i pravca vektora brzine u tokuvremena za razliku od pravolinijskog kretanja, gde postoji samo jedno ubrzanje, jer je pravackretanja prava linija (an=0). Pri krivolinijskom kretanju tangencijalno ubrzanje karakteriše

promenu intenziteta brzine tačke, a normalno ubrzanje karakteriše promenu pravca brzine tačke.

Slika 2.21. Kinematički dijagrami jednakousporenog pravolinijskog kretanja



Za slučaj jednako promenljivog krivolinijskog kretanja, (slično kao i u slučaju jednako promenljivog pravolinijskog kretanja) za sve vreme kretanja ubrzanje je konstantno. Pri čemu seza slučaj krivolinijskog kretanja to odnosi na tangencijalno ubrzanje.

Prema tome krivolinijsko kretanje tač ke je jednako promenljivo, ako je za sve vreme kretanjatangencionalno ubrzanje konstantno:

const sdt dva t === && . (2.35)

I ovde se razlikuju dva slučaja. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje već e od nule (at >0) i ubrzanjeima isti znak sa brzinom, kretanje je jednako ubrzano. Ukoliko je tangencijalno ubrzanje

negativan (at <0) kretanje je jednako usporeno.

2.4.4.1. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje tačke

Osnovna karakteristika ovog

kretanja je konstantno, pozitivnotangencijalno ubrzanje:

0const sdt

dva t >=== && . (2.36)

Vektor ubrzanja t ar

i vektor

brzine vr

imaju iste smerove,kako je to prikazano na slici2.22.

Zakon brzine se dobija integriranjem jednačine (2.36) prema:

dt sdv sadt

dvt ⋅=⇒== &&&& .

Integriranjem leve i desne strane jednačine u odgovarajućim granicama (za t=0, put s=s0, a brzinav=v0) se dobija zakon brzine:

t av s t 0 ⋅+=& . (2.37)

Još jednim integriranjem jednačine (3.37) se dobije zakon puta jednako ubrzanog krivolinijskogkretanja, sledećeg oblika:

2

t at v s s

2

t 00

⋅+⋅+= . (2.38)

Normalno ubrzanje određeno je izrazom:

( )

K

2

t 0

K

2

n R

t av

R

sa

⋅+==

&. (2.39)

slika 2.22. Jednako ubrzano krivolinijsko kretanje



Vektor ubrzanja ar jednak je vektorskom zbiru vektora tangencijalnog t a

ri vektora normalnog

ubrzanja nar

. Pošto su vektori tangencijalnog ubrzanja t ar

i vektora brzine vr

istog znaka, ugao

između ovih vektor biće oštar (slika 2.22).

2.4.4.2. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje tačke

Karakteristika kretanja je konstantnotangencijalno ubrzanje koje je manje od nule(negativno):

0const sa t <== && . (2.40)

Vektor tangencijalnog ubrzanja t ar

i vektor

brzine vr

imaju različite smerove, premaslici 2.23.

Zakon brzine nakon integriranja jednačine(2.40) ima oblik:

t av s t 0 ⋅−=& . (2.41)

Zakon puta, posle ponovnog integriranja:

2

t at v s s

2

t

00

⋅−⋅+=

. (2.42)

Normalno ubrzanje:

( )

K

2

t 0

n R

t ava

⋅−= . (2.43)

Vektor ubrzanja ar jednak je vektorskom zbiru vektora tangencijalnog t a

ri vektora normalnog

ubrzanja na

r

. Pošto su vektori tangencijalnog ubrzanja t a

r

i vektora brzine v

r

različitog znaka, ugaoizmeđu ovih vektor biće tup (slika 2.23).

Izrazi (2.37), (2.38), (2.41) i (2.42) se razlikuju od odgovarajućih izraza (2.30), (2.31), (2.33) i(2.34) pravolinijskog kretanja po tome, što u njima umesto ukupnog ubrzanja a figurišetangencijalno ubrzanje at i umesto pravolinijske koordinate x stoji krivolinijska koordinata s. Prematome kinematički dijagrami oba kretanja imaju iste oblike.Još jednom rezimirajući razliku izmeđ u jednolikog pravolinijskog i jednolikog krivolinijskog

kretanja tačke, sastoji se u sledećem:- pri jednolikom pravolinijskom kretanju ukupno ubrzanje tač ke je jednako nuli ,- pri jednolikom krivolinijskom kretanju ukupno ubrzanje je jednako normalnom ubrzanju.

Isto tako postoje razlike i pri jednako promenljivom pravolinijskom i jednako promenljivom

krivolinijskom kretanju tačke, koje su:- pri jednako promenljivom pravolinijskom kretanju ubrzanje je konstantno (pizitivno ilinegativno) i jednako je tangencijalnoj komponenti ubrzanja,

Slika 2.23. Jednako usporeno krivolinijsko kretanje



- pri jednako promenljivom krivolinijskom kretanju ubrzanje je takođ e konstantno ali je određ eno

vektorskim zbirom dveju komponenti ubrzanja - tangencijalnom i normalnom:

2

n

2

t aaa += .

2.4.5. KRUŽNO KRETANJE TAČ

KEU slučaju da se tačka kreće takvim kretanjem, pri kojem postoje obe komponente ubrzanja (at i an)tj. kretanje je krivolinijsko, pri čemu poluprečnik krivine R K ima konstantnu vrednost, tada se tačkaM kreće po kružnoj putanji, prema slici 2.24. Dakle osnovni pokazatelji kružnog kretaja su:

const R ,0 R

va ,0

dt

dva k

K

2

nt =≠=≠= .

Put tačke (slika 2.24) može da se izrazi u funkciji

ugla pomeranja ϕ i poluprečnika putanje R K

(poluprečnika onog kruga po kojem se tačka kreće) prema:

ϕ⋅= R s . (2.44)

Ukoliko je poznat zakon promene ugla ϕ po vremenutj. zakon kretanja ϕ =ϕ(t), brzina kretanja jedefinisana izrazom:

ϕ&& ⋅== R sv . (2.45)

Brzina definisan izrazom (2.45) se zove obimna

brzina kružnog kretanja, čiji vektor vr pada u pravac

tangente na putanju.Izvod ugla po vremenu (ϕ& ) se zove ugaona brzina

kružnog kretanja i obeležava se sa ω (ω =ϕ& ).Komponente ubrzanja se definišu po poznatim izratima (2.20) i (2.21), pa tangencijalno ubrzanje

kružnog kretanja ima oblik:

ϕ&&&& ⋅== R sat . (2.46)

Gde se drugi izvod ugla po vremenu (ϕ&& )zove ugaono ubrzanje kružnog kretanja i obeležava se sa

ε (ε=ϕ&& ). Normalno ubrzanje kružnog kretanja definisano je izrazom:

K

2

n R

sa

&= ,

uzimajući u obzir izraz (2.45) normalno ubrzanje postaje:

R

Ra

22

n

ϕ&⋅= ,

Slika 2.24. Kružno kretanje



ili u konačnom obliku:

2

n Ra ϕ&⋅= . (2.47)

Ukupna vrednost ubrzanja se određuje kao vektorski zbir komponenti, prema:

nt aaa += ,

i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

42 Ra ϕϕ &&& +⋅= . (2.48)

Pravac ubrzanja je definisan uglom αn u odnosu na pravac normalne komponente ubrzanja (slika2.24), koji iznosi:

n

t n

a

atg =α ,

i na osnovu (2.46) i (2.47) ima oblik:

2n R

Rtg

ϕ

ϕα

&

&&

⋅

⋅= ,

ili u konačnom obliku:

2ntg ϕϕα&

&&= . (2.49)

U zavisnosti od karaktera ugaone brzine (ω) i tangencijalnog ubrzanja, odnosno ugaonog ubrzanja(ε) kružno kretanje može imati oblik jednolikog (ravnomernog) kružnog kretanja ilineravnomernog (jednako ubrzanog ili jednako usporenog) kružnog kretanja.

2.4.5.1. Jednoliko kružno kretanje tačke



Kružno kretanje se naziva jednolikim ako je brzina kretanja (obimna brzina) konstantna( const sv == & ). Pošto je poluprečnik R konstantan, na osnovu (2.45) može se zaključiti da je i

ugaona brzina (ω) konstantna veličina (slika 2.25).Ugaona brzina jednolikog kružnog kretanja zove se

još i kružna frekvencija.Tangencijalno ubrzanje zbog konstantnosti brzinekretanja i na osnovu (2.46) je jednako nuli. Dakle

osnovne karakteristike jednolikog kružnog kretanjasu:

0a

,const

t =

=ω. (2.50)

Ugaona brzina kretanja po definiciji ima oblik:

dt

d ϕϕω == & ,

ili

dt d ⋅= ωϕ .

Iz ove jednačine, smatrajući da je u trenutku t = 0, ugao ϕ = ϕ0, integriranjem leve i desne strane,uzimajući u obzir početne uslove kretanja, dobije se zakon puta oblika:

( )t R sili

t

0

0

⋅+=

⋅+=

ωϕ

ωϕϕ

. (2.51)

U slučaju da tačka obiđe ceo krug (ϕ = 2π), može se napisati:

T 2 ⋅= ωπ ,

gde jeωπ2

T = vreme obilaska punog kruga.

Normalno ubrzanje na osnovu (2.47) i (2.50) ima oblik:

const Ra 2

n =⋅= ω . (2.52)

2.4.5.2. Jednako ubrzano kružno kretanje tačke

Kružno kretanje je jednako ubrzano, ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i pozitivno:

0const R sa t >=⋅== ϕ&&&& . (2.53)

Na osnovu gornje zavisnosti sledi da je ugaono ubrzanje konstantno i pozitivno:

0const >== εϕ&& . (2.54)

Slika 2.25. Jednoliko kružno kretanje



Ugaono ubrzanje može se napisati u obliku:

dt

d

dt

d ωϕϕε ===

&&& ,

ili dt d ⋅= εω ,

Iz ove jednačine, smatrajući da je u trenutku t = 0, ugaona brzina ω = ω0, integriranjem leve idesne strane, uzimajući u obzir početne uslove kretanja, dobije se zakon brzine oblika:

t 0 ⋅+== εωϕω & . (2.55)

Iz jednačine (2.55) smatrajući da je u trenutku t = 0, ugaona brzina ω =ω0, a položaj tačke pokružnoj putanji određen uglom ϕ = ϕ0, još jednim itegriranjem leve i desne strane, uzimajući uobzir početne uslove, zakon puta ima oblik:

2

t

t

2

00

⋅+⋅+=

εωϕϕ . (2.56)

Obimna brzina i komponente ubrzanja jednako ubrzanog kružnog kretanja imaju oblike:

( )

( ) .t R Ra

, R Ra

,t R Rv

2

0

2

n

t

0

⋅+=⋅=

⋅=⋅=

⋅+=⋅=

εωϕ

εϕ

εωϕ

&

&&

&

2.4.5.3. Jednako usporeno kružno kretanje tačke

Kružno kretanje je jednako usporeno , ako je tangencijalno ubrzanje konstantno i negativno:

0const R sa t <=⋅== ϕ&&& . (2.57)

Ujedno i ugaono ubrzanje je konstantno i negativno:

0const <== εϕ&& . (2.58)

Ako se ugaono ubrzanje napiše u obliku:

dt d ⋅= εω .

Integrirajući levu i desnu stranu jednačine, smatrajući da je u trenutku t=0, ugaona brzina ω=ω0 ida je ugaono ubrzanje negativno, dobije se zakon brzine (ugaone brzine) oblika:

t 0 ⋅−== εωϕω & . (2.59)

Još jednim integriranjem obe strane jednačine (2.59), uzimajući da je u trenutku vremena t=0, položaj tačke određen uglom ϕ=ϕ0, dobije se zakon puta oblika:



2

t t

2

00

⋅−⋅+=

εωϕϕ . (2.60)

Obimna brzina, tangencijalno i normalno ubzanje jednako usporenog kružnog kretanja imajuoblike:

( )

( ) .t R Ra

, R Ra

,t R Rv

2

0

2

n

t

0

⋅−=⋅=

⋅=⋅=

⋅−=⋅=

εωϕ

εϕ

εωϕ

&

&&

&

Može se zaključiti, da ukoliko ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje ε imaju iste znake (2.55),obrtanje će biti jednako (ravnomerno) ubrzano, a ako su suprotnog znaka (2.59) obrtanje će biti

jednako (ravnomerno) usporeno.Takođe postoji analogija između zakona pravolinijskog i kružnog kretanja tačke. Upoređujućiformule kojima su definisane kinematičke karaktaristike pravolinijskog kretanja (2.25), (2.30),(2.31),(2.33) i (2.43) u kojima su figurisali x,v i a, zamenom sa φ ,ω i ε se dobijaju formule zadefinisanje kinematičkih karaktaristika kružnog kretanja (2.51), (2.55),(2.56), (2.59) i (2.60).

2.4.6. HARMONIJSKO KRETANJE TAČKE

Ukoliko se tačka kreće po pravolinijskoj putanji po zakonu kretanja koja ima oblik:

( )0t sin R x ϕω +⋅= , (2.61)

gde su:

- R, ω i ϕ0 konstante,

takvo kretanje tačke zove se harmonijsko kretanje.Rastojanje x od koordinatnog početka O semenja po gore navedenom zakonu (2.61), pričemu tačka M vrši oscilatorno kretanje između

položaja +R i -R , prikazano na slici 2.26.Oscilovanje po zakonu (2.61) u tehnici imaveoma važnu ulogu, koja se zove i prosto

harmonijsko oscilovanje.Veličina R, koja

predstavlja najveće udaljenje ta

čke odkoordinatnog početka (centra oscilovanja), zove se amplituda oscilovanja.

Tačka koja počinje kretanje u trenutku t = 0 iz položaja M 0 (gde je ϕ =ϕ0) ponovo će doći u isti položaj za vreme t 1, za koji je sin( ω⋅t 1+ϕ0 )=0 tj. ω⋅t 1 = 2π.Vremenski interval T=t 1=2π / ω, u kome tačka izvrši jednu punu oscilaciju, zove se period

oscilacije.Recipročna vrednost perioda oscilacije f=1/T=ω /2π se zove frekvencija oscilacije.Merna jedinicafrekvencije oscilacije je Herc [Hz], koja označava broj oscilovanja u jednoj sekundi.Harmonijsko kretanje se može veoma efikasno ilustrovati kao projekcija jednolikog kružnogkretanja tačke, prikazano na slici 2.27. Zakon puta jednolikog kružnog kretanja prema (2.51)iznosi:

Slika 2.26.Harmonijsko kretanje



t 0 ⋅+= ωϕϕ .

Projektujući položaj tačke na x oxu ona iznosi:

( )0t sin R x ϕω +⋅⋅= ,

što predstavlja jednačinu harmonijskogkretanja (2.61).Za slučaj da tačka polazi iz koordinatnog

početka O, kada važi da je za t=0, ϕ0=0, projekcija tačke na x osu definisano je jednačinom:

t sin R x ⋅⋅= ω .

Projektujući položaj tačke na y osu, ona iznosi:

t cos R y ⋅⋅= ω .

Obe ove jednačine predstavljaju harmonijska kretanja, sa faznom razlikom od π /2. Eliminisanjem parametra (t ) iz gornjih jednačina, dobiće se linija putanje tj.krug poluprečnika R:

222 R y x =+ ,

pa se dve harmonijske oscilacije, sa faznom razlikom od π /2, mogu smatrati komponentnim

kretanjem tačke M po kružnoj liniji. Brzina tač ke, koja vrši harmonijsko kretanje iznosiće:

( )0t cos R xv ϕωω +⋅⋅== & . (2.62)

Ubrzanje tač ke pri harmonijskom kretanju iznosiće:

( )0

2t sin R xa ϕωω +⋅⋅−== && . (2.63)

Prema tome, pri ovakvom kretanju i brzina i ubrzanje tačke tokom vremena, menjaju se po

harmonijskom zakonu.Kinematički dijagrami kretanja predstavljaju sinusoidu i kosinusoidu, prikazane na slici 2.28.

Slika 2.27. Ilustracija harmonijskog kretanja



Dijagram puta i vremena određen izrazom: )t sin( R x 0ϕω +⋅⋅= ,

za t =0,

00 sin R x ϕ⋅= .

Dijagram brzine i vremena ima oblik: )t cos( Rv 0ϕωω +⋅⋅= ,

maksimalna brzina je: Rvmaks ⋅= ω

Dijagram ubrzanja i vremena dat je izrazom: )t sin( Ra 0

2 ϕωω +⋅⋅−= ,

sa maksimalnom vrednošću:2

maks Ra ω⋅=

Treba ovde istaći, da dijagram kretanja (dijagram puta i vremena) treba razlikovati od putanje, koja je prava linija.Pri rešavanju zadataka u okviru kinematike tačke, oni se najčešće odnose na određivanje brzine iubrzanja tačke, kao i u određivanju dužine puta koji tačka prelazi u izvesnom vremenskom

intervalu.U prvom koraku neophodno je odrediti zakon kretanja tačke. Zakon kretanja može biti datneposredno uslovima zadatka, i to definasan jednačinom kretanja ili karakteristikama, kojeodređuju dato kretanje ("tačka se kreće jednoliko", "tačka se kreće jednako usporeno"). U ovomslučaju se koriste izvedene formule za rešavanje. U drugom slučaju zakon kretanja tačke nije dat,ali zavisi od kretanja neke druge tačke. U ovom slučaju rešavanje zadatka treba početiodređivanjem jednačine kretanja posmatrane tačke.

Primer 2.11.Voz, koji se kretao brzinom v0=54 [km/h], zaustavio se za t 1=2[min] posle početka kočenja.Smatrajući da se voz za vreme kočenja kretao jednako usporeno, odrediti put za vreme kočenja.

Rešenje:

Iz uslova zadatka kretanje voza može da se posmatra kao jednako usporeno pravolinijsko kretajetačke, čiji zakon je kretanja (puta) određen jednačinom (2.34):

2

t at v x

2

0

⋅−⋅= ,

gde se x meri od onog mesta, odakle je voz počeo ko

čenje (prema tome x0=0).Brzina kretanja na osnovu (2.33) biće jednaka:

t avv 0 ⋅−= ,

Slika 2. 28. Kinematički dijagrami harmonijskogkretanja



Pošto se voz u trenutku vremena t=t 1 zaustavio, to je u ton trenutku brzina v1=0. Smenjivanjemove vrednosti u gornju jednačinu, ona postaje:

10 t av0 ⋅−= ,

ili

1

0

t

v

a = .

Sada je ovu vrednost ubrzanja potrebno zameniti u jednačinu zakona kretanja i ako se stavi da jet=t 1, dobije se traženi put:

[ ]m9002

t v x 10

1 =⋅

= .

Potrebno je skrenuti pažnju, da je pri prorač unima

neophodno sve merne jedinice izraziti u istim jedinicama.Obično rastojanje se izražava u metrima a vreme usekundama. U ovom primeru je:

[ ] [ ] s120t , s / m156 ,3

54

3600

100054v 10 ===

⋅= .

Primer 2.12.

Čovek visine h udaljava se brzinom v1 od lampe, koja senalazi na visini H , prikazano na slici 2.29. Odrediti kojom

brzinom se kreće čoveč ja senka?

Rešenje:Da bi se mogao rešiti ovaj zadatak, potrebno je najpre dase nađe zakon po kome se kreće čoveč ja senka. Ako seuzima za koordinatni početak tačka O, koja se nalazi naistoj vertikali sa lampom, sa osom x u desno (slika 2.29).Ako se čovek nalazi na proizvoljnom rastojanju x1 na tojosi od tačke O, u tom slučaju kraj njegove senke bićeudaljen za x2 od tačke O.

Iz sličnosti trouglova OAM i DAB može se napisati:

12 xh H

H x ⋅−= .

Ova jednačina izražava zakon kretanja kraja senke M , ako je poznat zakon kretanja čoveka, tj x1=x1(t).

Ako se odredi izvod obe strane jednačine po vremenu, pri čemu se uzima u obzir da je 11 v

dt

dx= , a

22 v

dt

dx= , gde je v2 tražena brzina, dobiće se:

12 v

h H

H v ⋅

−

= .




Ako se čovek kreće konstantnom brzinom (v1=const ), onda će i brzina v2 biti konstantna, ali u

odnosuh H

H

−veća od brzine čoveka.

Neophodno je skrenuti pažnju, da jednač ine kretanja treba postaviti za telo (ili mehanizam) koje

se nalazi u proizvoljnom položaju. Jedino u tom slučaju se mogu odrediti jednačine kretanja kojeodređuju položaj pokretne tačke u proizvoljnom trenutku vremena.

Primer 2.13.Klizači A i B mehanizma prikazanog na slici2.30, koji su spojeni polugom AB dužine l=30

[cm], kreću se pri obrtanju krivaje OD, pomeđusobno upravnim osama. Krivaja OD

dužine l/2 vezana je zglobom za sredinu poluge AB. Odrediti zakone kretanja klizača A

i B ako se krivaja obr će tako da se ugao ϕ povećava proporcionalno vremenu (takvoobrtanje naziva se jednoliko), čineći dva

obrtaja u minutu. Koliko iznose brzine iubrzanja klizača u trenutku kada je ugaoϕ=30° ?

Rešenje:

Zakon kretanja tačaka A i B mogu se naći,ukoliko se zna kretanje krivaje OD. Prema uslovima zadatka ϕ=ω⋅t , gde je ω konstantnikoeficijent. Poznato je da je u trenutku t=60 [s] ugao ϕ=4π (dva obrtaja); prema tome 4π=60ωodatle je ω=π /15 [ s-1].Za koordinatne ose x i y po slici, određuju se sada zakoni kretanja klizača. Pošto je ADOD = ,sledi da ϕ=∠OAB . Tada je ϕϕ sinl y ,cosl x B A == , odnosno:

t sinl y ,t cosl x B A ⋅=⋅= ωω .

Ove jednačine određuju zakone kretanja svakog klizača. Kao što se vidi klizači vrše harmonijskeoscilacije. Diferencirajući izraze za x A i y B po vremenu, određuju se brzine i ubrzanja klizača, kojeiznose:

.t sinl ya ,t cosl yv

,t cosl xa ,t sinl xv

2

B B B B

2

A A A A

⋅−==⋅==

⋅−==⋅−==

ωωωω

ωωωω

&&&

&&&

Kada je ugao ϕ =30°, veličina ω⋅t=π /6. U tom trenutku vremena biće:

[ ] [ ][ ] [ ]. s / cm66 ,0l 2 / 1 ya , s / cm44 ,53l 2 / 1 yv

, s / cm14 ,13l 2 / 1 xa , s / cm14 ,3l 2 / 1 xv

22

B B B B

22

A A A A

−=−====

−=−==−=−==

ωω

ωω

&&&

&&&

Znaci pokazuju smerove vektora brzine i ubrzanja. Klizač A se iz posmatranog položaja krećeubrzano, a klizač B usporeno.

Primer 2.14.

Kretanje tačke M određeno je jednačinama t u z ,t cos R y ,t sin R x ⋅=⋅=⋅= ωω ,gde su R, ω i u

konstantne veličine. Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje tačke. Rešenje:

Dižući prve dve jednačine na kvadrat i posle sabiranja, s obzirom da je 1t cost sin22 =⋅+⋅ ωω , se

dobija:




222 R y x =+ .

Putanje tačke se nalazi na kružnom cilindru poluprečnika R, čija se osa poklapa sa osom z , premaslici 2.31. Izražavajući vreme t iz treće jednačine, izamenom u prvu se dobije:

⋅= z u

sin R xω

.

Putanja tačke će biti linija koja se nalazi u presekucilindra sa poluprečnikom R i sinusoidalne površine, čija

je izvodnica paralelna sa osom y. U stvari ova linija je jedna zavojnica. Iz jednačina kretanja se vidi da jedanzavojak zavojnice tačka pređe za vreme t 1, koji seodređuje iz jednačine πω 2t 1 =⋅ . Za to vreme tačka će

se pomeriti duž ose z za veličinuω

π u2t uh 1

⋅=⋅= , koja

se zove hod (korak) zavojnice.Brzine se određuju diferenciranjem jednačine kretanja

po vremenu, koje iznose:

u z ,t sin R y ,t cos R x =⋅−=⋅= &&& ωωωω ,odakle je:

( ) 22222222222 u Rut sint cos R z y xv +=+⋅+⋅=++= ωωωω&&& .

Sve veličine pod kvadratnim korenom su konstantne što zanči, da se tačka kreće brzinomkonstantnog intenziteta, koja je usmerena po tangenti putanje.Komponente ubrzanja se dobijaju diferenciranjem izraza brzine po vremenu, koje iznose:

0 z ,t cos R y ,t sin R x 22 =⋅−=⋅−= &&&&&& ωωωω ,odakle je:

222 R y xa ω=+= &&&& .

Kretanje se vrši sa ubrzanjem konstantnog intenziteta. Pravac vektora ubrzanja se određuje pomoćuuglova pravaca prema (2.17), koji iznose:

0a

z

a

acos ,

R

yt cos

a

y

a

acos ,

R

xt sin

a

x

a

acos z

a

y

a

x

a ===−=⋅−===−=⋅−===&&&&&&

γωβωα .

Sa slike se vidi da je:

βα cos R

y ,cos

R

x== ,

gde su uglovi α i β uglovi koje zaklapa poluprečnik R sa osama x i y . Kako se uglovi αa i βa

razlikuju od kosinusa uglova α i β samo po znaku, može se zaključiti, da je ubrzanje tačke

usmereno, za sve vreme kretanja po poluprečniku cilindra, prema njegovoj osi.U ovom primeru se vidi da ubrzanje tačke nije jednako nuli, mada se ona kreće brzinomkonstantnog intenziteta. Pošto se kretanje tačke odvija po površini cilindra po zavojnici, njen

pravac se stalno menja, što znači da postoji normalno ubrzanje tačke.




Primer 2.15.

Voz počinje da se kreće jednako ubrzanim kretanjem po krivini poluprečnika R = 800 [m],dostigne brzinu od v1 = 36 [km/h]. Odrediti brzinu i ubrzanje voza na sredini tog puta.

Rešenje:

Pošto se voz kreće jednako ubrzano i kako je v0 = 0, to se zakon njegovog kretanja određuje premaizrazu (2.38), pri čemu je s0 = 0:

2

t a s

2

t ⋅= ,

a brzina prema (2.37) iznosi:

t av t ⋅= .

Ukoliko se eliminiše vreme t iz ovih jednačina, dobija se:

sa2v t

2 = .

Prema uslovima zadatka, kada je s = s1 , tada je v = v1.Odatle se dobije:

1

2

1t

s2

va = .

Na sredini puta, pri s2 = 1/2s1, brzina v2 biće jednaka:

11t 2t 2 v

2

1 sa sa2v === .

Normalno ubrzanje na tom mestu putanje je jednako:

R2

v

R

va

2

1

2

22n == .

Ukupno ubrzanje voza na sredini puta iznosi:

22

1

2

1

2

n

2

t

R

1

s

1v

2

1aaa +=+= .

Smenjivanjem brojčane vrednosti se dobije:

[ ] [ ]2

22 s / m1 ,048

5a , s / m1 ,7 v ≈=≈ .

Primer 2.16.

Tačka izbačena horizontalnom brzinom kreće se po zakonu, koji je određen jednačinama:

20 t g

21 y ,t v x ⋅=⋅= ,

dge su v0 i g neke konstante.



Odrediti putanju, brzinu i ubrzanje tačke, kao i tangencijalno i normalno ubrzanje i poluprečnik krivine putanje u proizvoljnom položaju, s tim da se sve ove veličine izraze preko brzine tačke utom položaju.

Rešenje:

Iz prve jednačine, određeno vreme kada se smeni u drugu jednačinu dobije se:

2

2

0

xv2

g y = .

Putanja tačke je parabola, prema slici 2.32.Diferenciranjem jednačina kretanja po vremenu, se dobija:

t g ydt

dyv ,v x

dt

dxv y0 x ⋅====== && ,

odakle je

222

0

2

y

2

x t g vvvv ⋅+=+= . (a)

U početku kretanja (t = 0) brzina tačke je v = v0 , a zatim se u toku vremena brzina tačkeneprekidno povećava.Komponente ubrzanja tačke iznosi:

g ydt

yd a ,0 x

dt

xd a

2

2

y2

2

x ====== &&&& ,

Pa i ukupno ubrzanje tačke iznosi: g a = .

Tačka se kreće konstantnim ubrzanjem koje je usmereno duž ose y. Bez obzira na to, da je ubrzanjekonstantno a = const , ipak tačka se ne kreće jednako promenljivim krivolinijskim kretanjem, jer za

jednako promenljivo krivolinijsko kretanje treba da bude ispunjem uslov (2.35) tj. da je at = const,

a ne a = const. Pri ovom kretanju, at nije konstantno.Znajući zavisnost v od t , prema (a), tangencijalno ubrzanje iznosi:

v

t g

t g v

t g

dt

dva

2

2220

2

t =+

== ,

Iz jednačine (a) sledi da je 222

0

2 t g vv += , pa prema tome vreme t iznosi:

2

0

2vv

g

1t −= .

Smenjujući vrednost za t u jednačinu za at ono se dobija u funkciji v prema:

2

2

0

t vv1 g a −= .

Slika 2.32. Ilustracija primera2.16.



Iz ove jednačine se može zaključiti, da je u početnom trenutku kada je v = v0 ,at = 0. Zatim, sa povećanjm v, vrednost at raste i pri v→∞ , at → g ,što znači, da će u graničnom slučaju tangencijalnoubrzanje težiti totalnom ubrzanju g .

Normalno ubrzanje an se dobija iz zavisnosti:

2

n

2

t

2 aaa += .

Odavde je:

2

2

02

2

2

0222

t

22

nv

v g

v

v1 g g aaa =

−−=−= ,

odnosno

v

g va 0

n

⋅= .

U početnom trenutku vremena (v = v0) an = g , a zatim se sa povećanjem v vrednost an smanjuje i ugraničnom slučaju teži nuli.Poluprečnik krivine se određuje iz izraza:

K

2

n R

va = .

Odavde je:

g v

v

a

v R

0

2

n

2

k ⋅== .

U početku kretanja poluprečnik krivine ima najmanju vrednost:

g

v R

20

min K = ,

zatim sa povećanjem v poluprečnik krivine raste, pa se krivina putanje K stalno smanjuje. Kadav→∞ i R K →∞ , a krivina K teži nuli.

3. KINEMATIKA KRUTOG TELA



U prirodi su sva tela čvrsta, koja su pri kretanju podvrgnuta deformacijama, što znači da serastojanja dveju tačaka tela menja pod uticajem sila i spregova, i telo menja svoj oblik. Predmet

proučavanja kinematike su kretanja krutih tela. Pod krutim telom se podrazumeva ono telo, kod

koga se tokom kretanja međ usobno rastojanje tač aka tela ne menja. Takva tela u prirodi ne postoje, ona su samo zamišljena. Pri ispitivanju kretaja krutih tela u kinematici, zanemaruje se injihova materijalnost tj. ispituju se kretanja samo geometrijskih oblika.

Pod krutim telom se podrazumeva skup geometrijskih tačaka raspoređenih u prostoru, koje

obrazuju sistem tač aka.Položaj krutog tela u prostoru u opštem slučaju se određuje generalisanim koordinatama.Generalisane koordinate su nezavisni parametri pomoću kojih se jednoznač no može odrediti

položaj tela u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani koordinatni sistem. Broj

generalisanih koordinata je identi č an sa brojem stepeni slobode kretanja. O pojmu generalisanihkoordinata i broju stepeni slobode kretanja, bilo je već reči u prvom delu mehanike, u analitičkojstatici.Kretanje krutog tela u opštem obliku, tj osnovna kretanja slobodnog krutog tela su translatorno iobrtno kretanje. Iz ovih osnovnih kretanja sastoje se sva ostala kretanja, koja se odnose nadelimično vezana (neslobodna) kruta tela, koje su:

1. Translatorno kretanje krutog tela (čista translacija),2. Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose (čista rotacija),3. Ravno kretanje krutog tela (translacija + rotacija u ravni),4. Obrtanje krutog tela oko nepokretne tačke,5. Opšte kretanje slobodnog krutog tela,6. Složeno kretanje krutog tela.

U daljem delu proučiće se sva navedena kretanja.

3.1. TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TELA

Kretanje krutog tela naziva se translatornim, pri kojem u toku kretanja, linija koja spaja dve tač ke

krutog tela uvek ostaje sama sebi paralelna. Pri translatornom kretanju sve tač ke krutog telaopisuju istovetne putanje.Translatorno kretanje ne treba mešati sa pravolinijskim kretanjem. Pri translatornom kretanju

putanje tačaka tela mogu da budu proizvoljne krive linije. Prema tometranslacija može da bude

pravolinijska i krivolinijska, kako je prikazano na slici 3.1. Na ovoj slici proizvoljna prava AB tela premešta seu položaj A1 B1 tako da ostaje samasebi uvek paralelna. Ova translacijamože da bude izvedena po pravoj liniji(puna linija) ili pak po proizvoljnojkrivoj liniji (tačkasta linija).Položaj tačaka A i B u trenutkuvremena t određen je vektorima

položaja Ar r

i Br r

. Vektror ρr

kojiodređuje položaj tačke A u odnosu natačku B je konstantan, jer je telo kruto.

Isto tako ni pravac vektora ρr

se ne menja, jer se telo kreće translatorno.Pa se može zapisati:

const AB == ρr

,

Slika 3.1. Translatorno kretanje



ρrrr

+= A B r r . (3.1)

Pri kretanju tela vektori položaja Ar r

i Br r

se menjaju tokom vremena. Brzine tačaka A i B seodređuju diferenciranjem obe strane jednačine (3.1) po vremenu, što daje:

( )dt

d

dt

r d r

dt

d

dt

r d v A

A B

B

ρρ

rrrr

rr

+=+== ,

gde su:

-dt

r d Ar

brzina tačke A,

- 0dt

d =

ρr

jer je vektor ρr

konstantna veličina.

Konačno, sledi da je:

B A vvrr

= . (3.2)

Što znači, da su brzine tačaka A i B u bilo kom trenutku vremena jednake po intenzitetu, pravcu ismeru.Diferenciranjem obe strane jednačine (3.2) po vremenu se dobija:

dt

vd

dt

vd B A

rr

= ,

ili B A aa

rr= . (3.3.)

Prema tome i ubrzanja tačaka A i B u bilo kom trenutku vremena su jednaka po intenzitetu, pravcu ismeru.Iz dobijenih rezultata može se zaključiti, da se pri translatornom kretanju krutog tela sve tač ke

tela kreć u na isti nač in, imaju istovetne putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja. Translatornokretanje krutog tela je potpuno određ eno kretanjem samo jedne njegove tač ke, na pr. težišta.Translatorno kretanje ima tri stepena slobode kretanja n = 3 i jednačine kretanja u analitičkomobliku su jednake:

).t ( z z

),t ( y y

),t ( x x

C C

C C

C C

=

=

=

Neki primeri translatornih kretanja su:1. Klipovi u motoru sa unutrašnjim sagorevanjem, ili karoserija automobila na pravom i ravnom

putu. Oba ova kretanja su pravolinijska, jer putanje svih tačaka su prave linije.2. Štap AB prikazan na slici 3.2. pri obrtanju poluge O1 A i O2 B se kreće translatornim kretanjem

pod uslovom da su poluge jednake dužine ( R AO AO 21 == ).

Za poznat zakon promene ugla ϕ po vremenu, tj. zakon kretanja oblika:



t k ⋅=ϕ ,gde je:

- k konstanta.

Projekcije tačke A za označenkoordinatni sistem iznose:

.t k sin R sin R y

,t k cos Rcos R x

A

A

⋅==

⋅==

ϕ

ϕ

Izražavajući trigonometrijskefunkcije iz gornjih jednačina sedobija:

. R

yt k sin

, R

xt k cos

A

A

=⋅

=⋅

Dizanjem jednačina na kvadrat i sabiranjem se eliminiše parametar t pa se dobija putanja oblika:

1 R

y

R

xt k sint k cos

2

2

A

2

2

A22 =+=⋅+⋅ ,

ili222 R y x =+ .

Što predstavlja kružnu putanju.Zakon puta biće jednak:

t k R R s A ⋅⋅=⋅= ϕ .Brzina kretanja:

const k Rdt

dsv A

A =⋅== ,

pri čemu su vektori brzina svih tačaka iste:

C B A vvvrrr

== .

Komponente ubrzanja (pošto se radi o krivolinijskom kretanju) iznose:

0dt

dva A

At == ,

22

An k R R

va ⋅== .

Na osnovu gornjih jednačina može se zaključiti, da se tačke štapa AB kreću po kružnim linijama sa

jednolikim kružnim kretanjem. Vektori brzina imaju pravac tangente na putanju, a vektori ubrzanja(postoji samo normalno ubrzanje) imaju pravac glavne normale na putanju.U ovom primeru prikazano je krivolinijsko translatorno kretanje.

Slika 3.2. Translatorno kretanje štapa AB



Bitno je još jednom napomenuti, da je pri translatornom kretanju brzina vr

svih tačaka ista i zove sebrzina translatornog kretanja, ubrzanje a

r je takođe zajedničko za sve tačke tela i zove se ubrzanje

translatornog kretanja. Vektori vr

i ar

mogu biti ucrtani u bilo koju tačku tela pri translatornomkretanju.Brzina i ubrzanje tela ima smisla samo pri translatornom kretajnu. U svim ostalim sluč ajevima

kretanja tela, pojedine tač ke tela kreću se razli č itim brzinama i razli č itim ubrzanjima.

3.2. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNE OSE

Obrtanje krutog tela oko nepokretne ose je takvo

kretanje, pri kome bilo koje dve tač ke tela ostaju za

vreme kretanja nepokretne. Ako su te dve tačketela A i B nepokretne, onda se kroz njih može

postaviti prava, koja se zove nepokretna osa. Svetač ke krutog tela koje se nalaze na ovoj osi ostajunepokretne, dok ostale tač ke tela pri ovom obrtanjuopisuju kružne putanje u ravnima normalnim na

nepokretnu osu obrtanja prema slici 3.3. Na ovojslici nepokretna osa sa jednim krajem se nalazi usferni zglob, drugim krajem u vođici. Postoje i takvislučajevi obrtaja tela oko ose, pri kojima nijednatačka tela ne pripada obrtnoj osi, na pr. gumaautomobilskog točka.Položaj tela pri obrtanju, pošto tačke tela opisujukružne putanje određen je uglom ϕ, koji se meri uodnosu na referentnu, nepomičnu ravan O. Toznači, da ovo kretanje ima samo jedan stepenslobode kretanja, za čega je potrebno imati samo

jedan podatak.Da bi položaj tela u svakom vremenskom trenutku

bio određen, potrebno je poznavati zavisnost ugla ϕod vremena t oblika:

)t ( ϕϕ = . (3.4)

Jednačina (3.4) definiše zakon obrtnog kretanja krutog tela.

3.2.1. UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE

Kinematičke karakteristike krutog tela pri njegovom obrtanju oko nepokretne ose su:- ugaona brzina - ω ,

- ugaono ubrzanje -ε .Obe ove kinematičke karakteristike proizilaze zbog promene ugla obrtanja ϕ po vremenu.Ako se telo obrne iz položaja M 1 u M 2 za ugao ∆ϕ = ϕ2 - ϕ1 u vremenu ∆t = t 2 - t 1, tada se odnos

priraštaja ugla obrtanja ∆ϕ i intervala vremena ∆t zove srednja ugaona brzina tela, koja iznosi:

12

1122 sr

t t

)t ( )t (

t −

−==

ϕϕ

∆ϕ∆

ω .

Slika 3.3. Obrtanje krutog tela okonepokretne ose



Ugaona brzina tela u datom trenutku vremena t je veličina kojoj teži srednja ugaona brzina ω sr ,kada interval vremena teži nuli, dakle:

t lim 0t ∆

ϕ∆ω ∆ →= ,

ili

ϕ

ϕ

ω &== dt

d

. (3.5)

Na taj način, ugaona brzina ω krutog tela, koje se obr ć e oko nepokretne ose jednaka je po

intenzitetu prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu.

Dimenzija ugaone brzine je:

[ ]1 s s

1

sekunda

radijan

vreme

ugao −====ω .

Pri neravnomernom obrtanju ugaona brzina ω se menja tokom vremena. Veli č ina koja karakteriše promenu ugaone brzine tokom vremena je ugaono ubrzanje.Ako u trenutku vremena t 1 ugaona brzina iznosi ω1 a u trenutku t 2 = t 1+∆t iznosi ω2, tada sekoličnik priraštaja ugaone brzine ∆ω = ω2 - ω1 i intervala vremena ∆t zove srednje ugaono

ubrzanje, koje iznosi:

12

1122 sr

t t

)t ( )t (

t −

−==

ωω

∆ω∆

ε .

Ugaono ubrzanje tela u datom trenutku vremena t , je veličina kojoj teži srednje ugaono ubrzanjeε sr , kada interval vremena teži nuli, dakle:

t limlim 0t sr 0t ∆

ω∆εε ∆∆ →→ == ,

ili

ϕϕ

ωω

ε &&& ====2

2

dt

d

dt

d . (3.6)

Ugaono ubrzanje krutog tela, koje se obr ć e oko nepokretne ose

u datom trenutku vremena, po intenzitetu je jednako prvom

izvodu ugaone brzine po vremenu ili drugom izvodu ugla

obrtanja po vremenu.

Dimenzija ugaonog ubrzanja je jednaka [ s-2].Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja su vektori u pravcuose obrtanja (slika 3.4) :

k ,k rrrr

⋅=⋅= εεωω .

Intenzitet ovih vektora (brojčana vrednost) se određuje naosnovu zavisnosti (3.5) i (3.6). Smer vektora ugaone brzine ω

r

je u onu stranu ose, iz koje se vidi obrtanje tela u smeru

suprotnom od kretanja skazaljke na satu.za ω >0 obrtanje je pozitivno,za ω <0 obrtanje je negativno.

Smer vektora ugaonog ubrzanja εr poklopi ć e se sa smerom

Slika 3.4. Vektori ugaone brzine i ugaonog ubrzanja



vektora ugaone brzine ωr

, ako je kretanje ubrzano, tj. ε >0 (veličine ω i ε su istog znaka), odnosnorazli č itog su smera ako je kretanje usporeno tj. ε <0 (veličine ω i ε su suprotnog znaka).

3.2.2. POSEBNI SLUČAJEVI OBRTNOG KRETANJA

3.2.2.1. Ravnomerno (jednoliko) obrtanje

Obrtanje krutog tela je ravnomerno (jednoliko), ako je ugaona brzina obrtanja za sve vremekretanja konstantna (ω = const ). Iz konstantnosti ugaone brzine sledi, da je ugaono ubrzanje

jednak nuli (ε = 0). Dakle:

.0

,const

=

=

ε

ω(3.7)

Zakon puta ravnomernog obrtanja se određuje integriranjem jednačine (3.5). Iz jednačine sledi:

dt d ⋅= ωϕ .

Integriranjem leve i desne strane jednačine:

∫ ∫ +⋅=⇒= C t dt d ωϕωϕ ,

smatrajući za početne uslove kretanja t =0, ugao ϕ =0 integraciona konstanta C =0, pa se dobija:

t ⋅= ωϕ . (3.8)

Iz jednačine (3.8) proizilazi, da je pri ravnomernom obrtanju oko ose ugaona brzina tela iznosi:

t

ϕω = . (3.9)

U tehnici ravnomerno obrtno kretajne ima veoma rasprostranjenu primenu, brzina ravnomernog

obrtanja obično se određ uje brojem obrtaja u minuti . Broj obrtaja u minuti obično se označava san [obrtaja/min], pri čemu treba naglasiti, da dimenzija n-a nije ugao, nego ugaona brzina. Bitno jesada odrediti zavisnost između n [obrtaja/min] i ω [1/s]. Pri jednom obrtaju telo se okrene za ugao2π (ceo krug), pa za n obrtaja okrenuće se za ugao 2πn. Ako se tih n obrtaja telo izvrši za vremet=1 [min]=60 [ s], tada na osnovu jednačine (3.9) proizilazi, da je:

[ ]1 sn1 ,0

30

n −≈⋅

=π

ω . (3.10)

3.2.2.2. Ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo) obrtanje

Obrtanje krutog tela je ravnomerno promenljivo (jednako promenljivo) ako ugaono ubrzanje zasve vreme kretanja ostaje konstantna veličina:

const

dt

d ==

ωε . (3.11)

Zakon brzine se određuju iz jednačine (3.11) integrirajući obe strana jednačine:



1

C t dt d dt d ∫ ∫ +⋅=⇒=⇒⋅= εωεωεω ,

integraciona konstanta se određuje iz početnih uslova, pri čemu se smatra da je u trenutku t =0,ugaona brzina ω = ω0, vrednost integracione konstante iznosiće C 1 =ω0 , pa zakon ugaone brzine

ravnomerno promenljivog obrtanja ima oblik:

t 0 ⋅+= εωω . (3.12)

Još jednim integriranjem jednačine (3.12) se dobije zakon puta ravnomerno promenljivog obrtnogkretanja:

2

2

000 C t 2

1t dt t dt d dt t dt dt d

dt

d +⋅+⋅=⇒⋅+=⇒⋅+⋅=⇒⋅=⇒= ∫ ∫ ∫ εωϕεωϕεωϕωϕ

ϕω ,

integraciona konstanta C 2 se određuje iz početnih uslova, koji su t =0, ω = ω0 i ϕ =ϕ0 iz kojih sledivrednost za C 2 =0, i konačan oblik zakona puta ravnomerno promenljivog obrtanja:

2

00 t 2

1t ⋅+⋅+= εωϕϕ . (3.13)

Obrtanja za slučaj da je :ε =const >0 je jednako ubrzano ( ω i ε imaju iste znake),ε =const <0 je jednako usporeno ( ω i ε imaju suprotne znake).

Ukoliko ugaono ubrzanje nije konstantna veličina, obrtanje tela je proizvoljno promenljivo.

3.2.3. BRZINE TAČ

AKA TELA KOJE SE OBR Ć

E OKO NEPOKRETNE OSEU prethodnom poglavlju određene su kinematičke karaktaristike obrtanja tela kao celine. Međutimu nekim slučajevima potrebno je odrediti kinemati č ke karakteristike pojedinih tač aka tela koje se

obr ć e.Za proizvoljnu tačku M, tela koja se nalazi na rastojanju R od ose obrtanja (slika 3.4), a koja vršikružno kretanje, zakon kretanja tačke na osnovu (2.44) iznosi:

)t ( R s ϕ⋅= .

Ravan kruga po kojoj se tačka kreće normalna je na osu obrtanja sa centrom u tački C , koja se

nalazi na samoj osi.Brzina tačke je jednaka:

dt

d R ) R(

dt

d

dt

dsv

ϕϕ ⋅=⋅== ,

ili ωϕ ⋅=⋅= R Rv & . (3.14)

Prema tome, intenzitet brzine tač ke M, krutog tela koje se obr ć e oko nepokrtene ose, jednak je

proizvodu iz normalnog rastojanja tač ke od ose (poluprečnika kružne putanje) i ugaone brzine.

Brzina v se zove obimna ili linerna brzina tač ke.



Bitno je napomenuti, da je ugaona brzina ω jednaka za

sve tač ke tela koje se obr će, a obimne brzine vi pojedinih

tač aka tela su proporcionalne rastojanjim tih tač aka od

obrtne ose.Obimne brzine tačaka su usmerene duž tangente na kružne

putanje, i leže u ravni koja je normalna na obrtnu osu, kaošto je prikazano na slici 3.5.

Za rastojanje r tačke M od koordinatnog početka sistema(slika 3.4), obimna brzina tačke iznosi:

ω⋅= Rv ,ili

αω sinr v ⋅⋅= ,gde je:

- α ugao između obrtne ose i rastojanja r .

Ako se r r

smatra vektorom položaja tačke M, naznači sevektor ugaone brzine, koja se nalazi u osi obrtaja (slika3.6), tada vektor obimne brzine (s obzirom na definicijuvektorskog proizvoda) ima oblik:

r vrrr

×= ω . (3.15)

Dakle, vektor obimne brzine tačke tela pri obrtnomkretanju, jednak je vektorskom proizvodu vektora ugaone

brzine i vektora položaja tačke.

3.2.4. UBRZANJA TAČAKA TELA KOJE SE OBR ĆE OKO NEPOKRETNE OSE

Kao što je već rečeno tačke tela se kreću po kružnim putanjima, tj. po krivim linijama i ubrzanjetačaka sastojaće se iz dve komponente ubrzanja (tangencijalnog i normalnog).

Intenzitet tangencijalnog ubrzanja prema (2.20) iznosi:

dt

d R ) R(

dt

d

dt

dva t

ωω ⋅=⋅== ,

ili konačnoε⋅= Ra t . (3.16)

Intenzitet normalnog ubrzanja na osnovu (2.21) ima oblik:

R

R

R

va

22

K

2

n

ω⋅== ,

ili konačno2

n Ra ω⋅= . (3.17)

Tangencijalno ubrzanje at usmereno je u pravcu tangente na putanju (u smeru kretanja, ako se teloobr će ubrzano, ili u suprotnom smeru, ako je obrtanje usporeno). Normalno ubrzanje an uvek jeusmereno u pravcu poluprečnika R prema obrtnoj osi, kako je prikazano na slici 3.7.Ukupno ubrzanje tač ke M na osnovu (2.22) ima oblik:

Slika 3.5. Obimne brzine tačaka priobrtanju tela oko nepokretne ose

Slika 3.6. Vektor obimne brzine



42222

n

2

t R Raaa ωε ⋅+⋅=+= ,

odnosno

42 Ra ωε +⋅= . (3.18)

Pravac vektora ubrzanja u odnosu na poluprečnik,koji određuje položaj tačke tela na kružnoj putanji

određen je uglom αn, koji na osnovu (2.23) iznosi:

2n

t

n R

R

a

atg

ω

εα

⋅

⋅== ,

ili

2ntg ω

εα = . (3.19)

Pošto u jednom datom trenutku vremena sve tačke tela imaju istu ugaonu brzinu ω i ugaono

ubrzanje ε , iz formula (3.18) i (3.19) proizilazi, da će ukupno ubrzanje tačaka tela koje se obr ćeoko nepokretne ose, biti proporcionalno njihovim rastojanjima od obrtne ose i zaklapati jedan istiugao αn sa poluprečnikom kružne putanje tačke (slika 3.7).Vektor ubrzanja proizvoljne tačke M tela, može da se dobije i diferenciranjem vektorske jednačine(3.15) po vremenu, koja ima oblik:

dt

r d r

dt

d )r (

dt

d

dt

vd a

rrr

rrr

rr

×+×=×== ωω

ω ,

gde su:

-

dt

d ωr

vektor ugaonog ubrzanja (εr

),

-dt

r d r

vektor ugaone brzine ( r vrrr

×= ω ).

Pa se može napisati:

)r ( r arrrrrr

××+×= ωωε . (3.20)

U izrazu (3.20) prvi član ( r rr

×ε ) predstavljavektor tangencijalnog ubrzanja ( t a

r), a drugi

član [ )r ( rrr

×× ωω ] predstavlja vektor

normalnog ubrzanja ( nar ) tačke M .Vektor normalnog ubrzanja uvek je usmerena prema centru kružne putanje (osi obrtanja). Smer

tangencijalnog ubrzanja zavisi od vrste kretanja, i to za slučaj jednako ubrzanog obrtanja smer vektora tangencijalnog ubrzanja je identi č an sa smerom vektora obimne brzine (slika 3.8.a), a za

jednako usporeno obrtanje ima suprotan smer od vektora obimne brzine (slika 3.8.b). Primer 3.1.

Vratilo koje se obr će sa n =90 [obrtaja/min] posle isključenja motora počinje da se obr ćeravnomerno usporeno i zaustavi se posle t 1 = 40 [ s]. Odrediti koliko je obrtaja izvršilo vratilo za tovreme.

Rešenje:

Pošto se vratilo obr će ravnomerno usporenim obrtanjem, na osnovu (3.13) i (3.12) može senapisati:

Slika 3.7. Vektor ubrzanja pokretne tačke

Slika 3.8. Smerovi vektora ubrzanja za jednakoubrzano i jednako usporeno kretanje



2

0 t 2

1t ⋅−⋅= εωϕ , (a)

t 0 ⋅−= εωω . (b)

Početna ugaona brzina vratila pri usporenom obrtanju biće ona, koju je vratilo imalo u momentuisključenja motora. Prema tome:

30

n0

⋅= πω .

U trenutku zaustavljanja t = t 1 ugaona brzina (obrtanje) vratila je ω1 =0. Ako se ova vrednost uneseu jednačinu (b) dobiće se:

,t 30

n0 1⋅−

⋅= ε

π

i

1t 30

n

⋅⋅

=π

ε .

Ako se označi broj obrtaja koji vratilo izvrši za vreme t 1 sa N (pri čemu ne sme se mešati sa n, jer n je ugaona brzina!) onda će ugao obrtanja, koji će vratilo učiniti za ovo vreme biti ϕ1 = 2π N .Smenjujući vrednosti za ω i ϕ1 u jednačinu (a), dobija se:

111 t 60

nt

60

nt

30

n N 2 ⋅

⋅=⋅

⋅−⋅

⋅=

ππππ ,

odakle je

[ ]obrtaja30120

t n N 1 =

⋅= .

Primer 3.2.

Zamajac poluprečnika R = 1,2 [m] obr će se ravnomerno sa n = 90 [obrtaja/min]. Odrediti brzinu iubrzanje tačke, koja se nalazi na obimu zamajca.

Rešenje:

Brzina tačke na osnovu (3.14) je v =R⋅ω, gde je ω ugaona brzina, koju obavezno treba izraziti uradijanima u sekundi. U ovom slučaju je:

[ ]1

s330

n −

=

⋅

= π

π

ω .

Tada je

[ ] s / m3 ,11 R30

nv ≈

⋅=

π.

Pošto je ω = const , to je ε =0, pa će ubrzanje tačke imati samo normalnu komponentu:

[ ]222

2

n s / m6 ,106 R900

n Raa ≈⋅

⋅=⋅==

πω .

Ubrzanje tačke usmereno je prema obrtnoj osi. Primer 3.3.

U početku kretanja zamajac se obr će po zakonu:



3t

32

9=ϕ .

Odrediti brzinu i ubrzanje tačke koja se nalazi na rastojanju R = 0,8 [m] od obrtne ose, u onomtrenutku, kada tangencijalno ubrzanje te tačke bude jednako sa normalnim ubrzanjem.

Rešenje:

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje zamajca na osnovu (3.5) i (3.6) biće jednako:

t 16

27

dt

d

dt

d ,t

32

27

dt

d 2

22 =====

ϕωε

ϕω .

Tangencijalno i normalno ubrzanje prema (3.16) i (3.17) imaju oblike:

2

nt Ra , Ra ωε ⋅=⋅= .

Ako se vremenski trenutak kada at = an, označi sa t 1, u tom trenutku biće ε1 = ω12 ili:

4

1

2

1 t 32

27 t

16

27 ⋅

= ,

odakle je

27

64t

3

1 = , odnosno [ ] s3

4t 1 = .

Smenjujući ovu vrednost za t 1 u izraze za ω i ε, dobija se da je u trenutku vremena t 1:

[ ] [ ]21

11 s

49 , s

23 −− == εω .

Odavde su tražene veličine jednake:

[ ] [ ]22

1

2

1111 s / m54 ,228 ,1 Ra , s / m2 ,1 Rv ≈=+⋅==⋅= ωεω .

Vektor 1ar

usmeren je pod uglom od 45° prema poluprečniku R.

Primer 3.4.

Teret B prema slici 3.9, dovodi u obrtanje vratilo

poluprečnika r i zupčanik 1 poluprečnika r 1, koji ječvrsto vezan za vratilo. Kretanje tereta počinje izstanja mirovanja i vrši se sa konstantnim ubrzanjema. Odrediti po kom će se zakonu obrtati u tom slučajuzupčanik 2, poluprečnika r 2, koji je spregnut sazupčanikom1.

Rešenje:

Pošto teret počinje da se kreće bez početne brzine, toće njegova brzina v B u proizvoljnom trenutkuvremena t biti jednaka at (v B =at ).Tu istu brzinu ćeimati i tačka na obimu vratila. Sa druge strane, brzinate tačke.Slika 3.9. Ilustracija primera 3.4.



jednaka je r ⋅ω1, gde je ω1 zajednička ugaona brzina obrtanja vratila i zupčanika 1. Prema tome :

r

t at ar v 11 B

⋅=⇒⋅=⋅= ωω .

Potrebno je sada odrediti ω2. Kako se u tački C dodiruju zupčanici, brzina na obimu oba zupčanikau toj tački mora biti ista, pa je vC =r 1⋅ω1 =r 2⋅ω2, odakle je :

t r r

ar

r

r

2

11

2

12 ⋅

⋅⋅=⋅= ωω .

Prema tome, ugaona brzina obrtanja zupčanika 2 se povećava proporcionalno sa vremenom.Pošto

jedt

d 22

ϕω = , gde je ϕ2 obrtni ugao zupčanika 2, dobiće se:

tdt r r

ar d

2

12 ⋅

⋅

⋅=ϕ .

I iz ove jednačine posle integriranja obe strane, smatrajući da je u trenutku t = 0 obrtni ugao ϕ2 =0, određuje se zakon jednako ubrzanog obrtanja zupčanika 2 u obliku:

2

2

12 t

r r 2

ar ⋅

⋅=ϕ .

3.3. RAVNO KRETANJE KRUTOG TELA

Ravno kretajne krutog tela je takvo kretanje, pri kome se

sve tač ke tela kreć u paralelno prema nekoj nepokretnoj

ravni Π, prikazno na slici 3.10. Ravnim kretanjem sekreće na pr. poluga klipnog mehanizma, kotur koji sekotrlja na pravolinijskom putu i sl.Za prouč avanje ravnog kretanja tela kao celine, dovoljno

je da se prouč i kretanje preseka S tela sa ravni xy, koji ukinematičkom smislu u potpunosti zamenjuje č itavo kruto

telo.Položaj preseka S u ravni xy u potpunosti je određen

položajem tačaka A (x A ,y A ) i B(x B ,y B ), tj. sa četiri podataka (slika 3.11). Zbog krutosti tela (pa i presekaS ) rastojanje tačaka l AB = je nepromenjeno i možese napisati jednačina veze oblika:

( ) ( )2

A B

2

A B

2 y y x xl −+−= ,

iz čega sledi da su samo tri koordinate nezavisne, pa je ravno kretanje određeno sa tri nezavisna parametra, tj. ima tri stepeni slobode kretanja. To sudve translacije duž osa x i y i jedna rotacija okoupravne ose ( osa z ) na presek S .Položaj preseka S može da se odredi položajem

Slika 3.10. Ravno kretanje tela

Slika 3.11. Položaj preseka S u ravni



proizvoljne tačke A sa koordinatama x A i y A i uglom ϕ koji obrazuje proizvoljno povučena a duž

AB u preseku S , sa osom x. Tačka A koji je proizvoljno izabran u preseku S zove se pol.

Pri kretanju tela tokom vremena se menjaju x A , y A i ϕ. Kretanje tela je poznato, ukoliko su poznate promene ovih generalisanih koordinata po vremenu:

( )

( )( ).t f ,t f y

,t f x

3

2 A

1 A

==

=

ϕ (3.21)

Jednačine (3.21) definišu zakon ravnog kretanja tela.Razmatrajući dva uzastopna položaja I

i II , koje zauzima presek S pri ravnomkretanju tela, prema slici 3.12. To

pomeranje može se izvesti najpre jednim translatornim kretanjem, pri

kojem prava 11 B A zauzima položaj

' 12 B A , zatim okretanjem preseka S oko

pola A2 za ugao ϕ do položaja B2.Odavde može se zaključiti, da seravno kretanje krutog tela sastoji iz

dva komponentna kretanja, to su:translatorno kretanje, pri kome se sve

tač ke tela kreć u isto tako kao i pol A i obrtno kretanje oko pola A. Pri

proučavanju ravnog kretanja može seza pol izabrati bilo koja tačka. Ako se

pri pomeranju iz položaja I i II (slika 3.12.) izabere tačka B za pol, tada će se telo pomerititranslatornim kretanjem prvo do tačke B2 ( pri tom pomeranju prava 11 A B zauzeće položaj '

12 A B ),

zatim okretanjem tela oko tačke B2 za ugao ϕ zauzeće konačni položaj II . Vidi se da se translatorno pomeranje B1 B2 razlikuje od translatornog pomeranja A1 A2, dok obrtni deo ostaje isti, jer je

'

12

'

12 B A A B (ugao ϕ je isti). Prema tome, obrtni deo kretanja ostaje isti i ne menja se kada se za

polove biraju druge tačke.Prve dve jednačine (3.21) karaktarišu translatorni deo kretanja a treća obrtanje krutog tela oko pola.Osnovne kinematičke karakteristike ravnog kretanja su brzina i ubrzanje translatornog delakretanja, koje su jednake brzini i ubrzanju pola ( Av

ri Aa

r) i ugaona brzina i ugaono ubrzanje (ω i ε )

obrtnog dela kretanja oko pola. Ove veličine u bilo kom trenutku vremena t mogu se odrediti iz jednačina (3.21). Promenom pola menjaju se karakteristike translatornog dela kretaja, dok karaktaristike obrtnog dela kretanja ostaju nepromenjene.

3.3.1. PUTANJA TAČAKA TELA PRI RAVNOM KRETANJU

Za određivanje putanje pojedinih tačaka tela, dovoljno da se odredi putanja tačke koja leži u

preseku S . Ukoliko je položaj tačke M tela koji se nalazi u preseku S određen ratojanjem AM =l iuglom α prema slici 3.13, a kretanje tela određeno jednačinama (3.21), onda će koordinate tačke M

biti određene sa:( )

( ) , sinl y y

,cosl x x

AM

AM

αϕ

αϕ

++=

++=(3.22)

Slika 3.12. Komponentna kretaja pri ravnom kretanju tela



gde su:- x A = x A(t); y A =y A(t); ϕ =ϕ(t) poznate funkcije vremena.

Jednačine (3.22) definišu zakon kretanja tačke M u ravni xy.Jednačina putanje tačke M se dobija ukoliko se iz jednačina(3.22) eliminiše vreme t .

Primer 3.5.Klizači A i B, pričvršćeni za polugu elipsografa, kreću se pomeđusobno upravnim osama, prikazano na slici 3.14. Rastojanje

l AB = . Odrediti putanju tačke M poluge. Rešenje:

Ako se za pol uzimatačka A, od koje je

položaj tačke M određen rastojanjem b AM = , a položaj poluge određen uglom ϕ, tada će koordinate x i y tačke M

biti:

ϕcos )l b( x −= ,ϕ sinb y = .

Kada se iz ovih jednačina eliminiše ugao ϕ, dobiće se putanje tačke tj. elipsa:

1b

y

)l b(

x2

2

2

2

=+−

,

sa poluosama elipsa a=(b-l) i b sa centrom u tački O.

Ukoliko se menja rastojanje l i b pomoću odgovarajućihvijaka, u tački M postavljenom olovkom može da se nacrtaelipsa sa bilo kojim osama, naravno koje nisu duže od

poluge. Zato se ovaj mehanizam zove - elipsograf.

3.3.2. BRZINE TAČAKA TELA KOJE VRŠI RAVNO KRETANJE

Kako je već rečeno, ravno kretanje krutog tela sastoji se iz translatornog dela kretanja, pri čemu sesve tačke tela kreću brzinom pola Av

r, i iz obrtnog dela kretanja oko tog pola. Brzina bilo koje

tačke tela B pri ravnom kretaju, dobija se kao geometrijski zbir brzina ovih dveju komponentnih

kretanja.Uzimajući presek S , u kojem je položaj tačke B u odnosu nakoordinatni sistem xy (slika 3.14.)određen vektorom položaja:

AB A B r r r rrr

+= .

Vektor brzine tačke B po definiciji je:

dt

r d

dt

r d

dt

r d v AB A B

B

rrrr

+== .

U gornjoj jednačini prvi član A A v

dt

r d rr

= predstavlja brzinu tačke A

(pola A).

Slika 3.13. položaj tačke M


Slika 3.15. Brzina tačke B



Drugi član jednačine A

B AB v

dt

r d rr

= jednak je brzini tačke B pri obrtanju tela oko pola A, i zove se

obrtna brzina tačke B u odnosu na pol A. Iz čega proizilazi:

A

B A B vvvrrr

+= . (3.23)

Obrtna brzina A

Bv

r

u skladu sa definicijom obimne brzine pri obrtnom kretanju oko ose, koja prolazikroz pol A i normalna je na presek S a u skladu sa izrazom (3.15) ima oblik:

ABv A

B ×= ωrr

, (3.24)gde je:

- ω ugaona brzina obrtanja tela. Na osnovu izraza sledi, da je brzina bilo koje tač ke tela (ravne figure) pri ravnom kretanju,

jednaka je vektorskom zbiru brzine pola A i obrtne brzine tač ke, koju ona ima usled obrtanja oko

pola A.Intenzitet i pravac brzine Bv

rodređuje se

konstrukcijom paralelograma, određenogkomponentama brzine, prikazano na slici 3.16.Intenzitet obrtne brzine je određen

ωω ⋅=⋅= AB ABv A

B

r, pri čemu je obrtna brzina

normalna na pravac AB, i usmerena je u stranu

obrtanja ( ABv A

B ⊥ ).

Primer 3.6.

Odrediti brzinu tačke M na obimu točka, koji sekotrlja bez klizanja po podlozi, ako je brzina središtatočka C iznosi vC , a ugao CKM=α, prikazano na slici3.17.

Rešenje:

Ako se tačka C , sa poznatom brzinom izabere za pol, može da se napiše:

C

M C M vvvrrr

+= ,

gde je CM v C

M ⊥r

, a po intenzitetu iznosi:

ωω ⋅=⋅= RMC v

C

M ( R je poluprečnik to

čka).Veličina ugaone brzine ω odrediće se iz uslova da

tačka K ne klizi po podlozi, pa je u datom trenutkuv K = 0. Sa druge strane, kako važi za tačku M ,tako može da se napiše i za tačku K da je:

C

K C K vvvrrr

+= ,

gde je ωω ⋅=⋅= R KC vC

K .

Pošto su za tačku K vektori brzina C

K vr

i C vr

usmereni duž iste prave, pa će pri v K =0 biti C

C

K vv = ,

odakle je R

vC =ω . Na kraju sledi da je C

C

M v Rv =⋅= ω .

Slika 3.16. Vektor brzine tačke B




Paralelogram vektora brzina C

M vr

i C vr

biće romb. Ugao između pravca vektora brzine C vr

i C

M vr

je

ugao β , jer su kraci koji obrazuju jedan i drugi ugao međusobno normalni. Međutim, važi i to da je β = 2α, kao centralni i periferijalni ugao opisan nad istim lukom. Sada, na osnovu osobineromba, uglovi između vrzina C v

ri M v

r, i između brzina C

M vr

i M vr

su takođe jednaki uglu α.

I najzad, pošto su dijagonale romba međusobno normalne, dobije se:

KM vicosv2v M C M ⊥=r

α .

Sam tok proračuna, kako se vidi, dosta je glomazan. U daljnjem, izložiće se metoda kojaomogućava da se slični zadaci reše daleko jednostavnije.

3.3.2.1. Teorema o projekcijama brzina

Određivanje brzina na osnovu formule (3.23), kao što je ilustrovano na primeru 3.6. dosta jesloženo. Međutim na osnovu ove osnovne zavisnosti, može se dobiti niz drugih metoda, koje su

prostije za određ

ivanje brzine tačaka tela.Jedna od tih metoda temelji se na sledećoj teoremi: projekcije brzina dveju tač aka na pravac koji

spaja te dve tač ke su međ usobno jednake.

Ukoliko se posmatraju dve proizvoljne tačke tela A i B, i ako se tačka A uzme za pol, prema slici3.18, na osnovu formule (3.23) može se napisati, da je

A

B A B vvvrrr

+= . Projektujući obe strane jednačine na

pravu AB, pri čemu se, imajući u vidu da je vektor A

Bvr

normalan na pravu AB, dobija:

βα cosvcosv B A = . (3.24)

Time je gornja teorema dokazana. Pomoću ovezavisnosti lako se određuje brzina tačke tela, ako je

poznat pravac kretanja te tačke i brzina bilo koje drugetačke tog tela.

Primer 3.7.

Odrediti zavisnost brzina tačaka A i B polugeelipsografa, prikazanog na slici 3.19, pri datom ugluϕ

Rešenje:

Pravci brzina tačaka A i B su poznati, jer klizačiimaju određene ograničene smerove kretanja.Projektujući sada vektore Av

ri Bv

rna liniju koja spaja

tačke A i B, prema dokazanoj teoremi (3.24) dobijese:

)90cos( vcosv B A ϕϕ −°= ,

odakle je

ϕtg vv B A = .

Slika 3.18. Projekcije brzine dve tačke




3.3.3. TRENUTNI POL BRZINA

Pri ravnom kretanju tela, u svakom trenutku vremena postoji u ravni preseka S jedna tačka, čija je brzina jednaka nuli i ta tačka se zove trenutni pol

brzina. Dakle, trenutnim polom brzina naziva se tač ka

u preseku S tela č ija je brzina u datom trenutkuvremena jednaka nuli.

Ako tačke A i B imaju brzine Avr

i Bvr

, pri čemu ovivektori nisu paralelni (slika 3.20), tačka P koja jeodređena presekom normalnih pravaca na vektore brzinau datom trenutku vremana nema brzinu ( 0v P =

r) i to je

trenutni pol brzina.Pošto su projekcije brzina na pravac koji spaja dve tačke

jednake (prema teoremi o projekcijama brzina tačakatela), da tačka P ima brzinu, morala bi jednovremeno da

bude normalna na dve prave PA i PB , koje se seku utački P , a to je nemoguće. Pri kretanju se položaj trenutnog pola brzina stalno

menja, pa svakom trenutku vremena odgovara poseban

položaj pola brzina.

3.3.4. ODREĐIVANJE BRZINA TAČAKA POMOĆU TRENUTNOG POLA BRZINA

Druga i veoma prosta metoda za određivanje brzina tačaka tela pri ravnom kretanju je pomoćutrenutnog pola brzina. Ako je za određeni vremenski trenutak t tačka P trenutni pol brzina, premaslici 3.20, brzina tačke A po (3.23) iznosi:

P

A

P

A P A vvvvrrrr

=+= ,

jer je 0v P =r

.Isti rezultat se dobije i za bilo koju drugu tačku tela. Prema tome, brzina bilo koje tač ke ravne

figure u datom trenutku vremena jednaka je obrtnoj brzini oko ose kroz trenutni pol P (obimnoj brzini pri obrtaju oko trenutnog pola brzina).Intenziteti brzina tačaka saglasno jednačini (3.24) iznosi:

. ) PBv( PBv

, ) PAv( PAv

B B

A A

⊥⋅=

⊥⋅=r

r

ω

ω(3.25)

Iz jednačine (3.25) sledi, da je:

ω== PB

v

PA

v B A . (3.26)

Intenziteti brzina pojedinih tač aka tela su proporcionalni njihovim rastojanjima od trenutnog

pola brzina. Rastojanja tačaka od trenutnog pola brzina su trenutni polupreč nici obrtaja.Prema tome, intenzitet brzine bilo koje tačke preseka S, jednak je proizvodu trenutnog

poluprečnika obrtanja i ugaone brzine ravnog kretanja krutog tela. Na osnovu gornjih rezultata, može se zaključiti sledeće:

Slika 3.20.Trenutni pol brzina



1. Za određ ivanje trenutnog pola brzina, potrebno je poznavati pravac brzine bilo koje dve tač ke.Ukoliko su poznati pravci brzina B A viv

rrtačaka A i B, trenutni pol brzina se nalazi u tački u kojoj

se seku normale povučene u tačkama A i B na pravce brzina u tim tačkama.2. Za određ ivanje brzine proizvoljne tač ke tela M potrebno je da se zna intenzitet i pravac brzine

neke tač ke tela (na pr. A) i pravac brzine neke druge tač ke tela (na pr. B). Tada se prvo određujetrenutni pol brzina P povlačeći normale na brzine B A viv

rru tačkama A i B, a po smeru brzine

Av

r

zna se smer obrtanja tela. U drugom koraku, iz trenutnog pola se povlači prava PM do ta

čke M,

čija se brzina želi odrediti. Pošto je poznat intenzitet brzine v A na osnovu formule (3.26) određujese intenzitet brzine vM u tački M . Vektor brzine u ovoj tački M v

rusmeren je u smeru obrtanja tela i

upravan je na pravu PM .3. Ugaona brzina tela, na osnovu (3.26) jednaka je u svakom trenutku vremena odnosu brzina

bilo koje tač ke preseka S tela i rastojanja te tač ke od trenutnog pola brzina P .

Primer 3.8.

Za polugu elipsografa AM, pravci brzina tačaka A i B su poznati (slika 3.21). Odrediti pravac i smer brzine u tački M . Rešenje:

Prvo se odredi trenutni pol brzina. Ako se na pravce vektora brzina B A viv

rrpovuku normale iz tačaka A i B, u preseku

ovih pravih će se nalaziti trenutni pol brzina P poluge. Iz proporcije na osnovu (3.26) se dobija:

PB

v

PA

v B A = ,

ili

ϕtg v PB

PAvv B B A ⋅=⋅= .

Rezultat se slaže sa rezultatom iz primera 3.7.Intenzitet brzine u tački M se dobije na isti način, prema:

PB

PM vv BM ⋅= .

Dužina PM može da se izračuna ako je poznato AM , AB i ugao ϕ . Pravac i smer vektora M vr

prikazani su na slici 3.21. Vektor M vr

normalan je na pravu PM ( PM vM ⊥ ), a usmeren je u pravcu

ugaone brzine obrtanja. Ugaona brzina obrtanja poluge je: PB

v B=ω .




3.3.5. POSEBNI SLUČAJEVI ODREĐIVANJA TRENUTNOG POLA BRZINA

3.3.5.1.Ravna figura koja se kotrlja bez klizanja ponepokretnoj površini drugog tela

Ako se ravno kretanje ostvaruje pri kotrljanju cilindričnog tela po nepokretnoj površini drugog tela prema slici 3.22, u ovom

slučaju je tačka dodira trenutni pol brzina P , jer tačke dodiradva tela pri odsustvu klizanja imaju iste brzine. Pošto je uovom slučaju jedno telo nepokretno sledi da je v P =0. Primer zaovakvo kretanje je kotrljanje točka po šini.Vektori brzina ostalih tačaka (tačke A, B, C, O) određuju seveoma lako poznavajući pol brzina. Spajanjem tačaka sa polom

brzina, vektori brzine imaju smer normale na ove prave,usmerene u smeru kotrljanja točka (ugaone brzine ω).


i Bvr

su paralelni, a prava AB koja spaja te tačke nije normalna na

vektore brzina

Takav slučaj trenutnog položaja vektora brzina dat je na slici3.23. Povlačeći normale na pravce brzina odmah se vidi da setrenutni pol brzina nalazi u beskonač nosti .

Na osnovu teorema o projekcijama brzina proizilazi da je:

βα cosvcosv B A = ,ili

B A vv = .

Rezultat je očigledan, jer su uglovi α i β međusobno jednaki.To znači, da se u posmatranom trenutku vremena, brzine svihtačaka tela međusobno jednake po intenzitetu, pravcu i smeru,tj. telo u tom trenutku vremena ima trasnslatorno kretanje.Ugaona brzina tela, u tom trenutku vremena jednaka je nuli.


i Bvr

su paralelni, a prava AB

koja spaja te tačke normalna je na vektore brzina

Slika 3.22. Trenutni pol prikotrljanju točka

Slika 3.23. Paralelne brzine



Položaj trenutnog pola seodređuje povlačenjem linijaod vrhova vektora brzina, i

gde linija seče liniju AB ililiniju u produžetku (premaslici 3.24.), nalazi se trenutni

pol brzina P .

Ova konstrukcija je prikaz proporcije (3.26). Zanalaženje trenutnog pola

brzina P u ovom slučaju, pored pravaca brzina, potrebno je poznavati iintenzitete brzina v A i v B. Naslici 3.24.a) prikazana jekonstrukcija za slučaj kada

brzine imaju iste smerove, pričemu trenutni pol ne morauvek da se nalazi unutar konture preseka S , pa je u tom slučaju potrebno zamisliti, da je sa presekom spojena neograničenaravan. Na slici 3.24.b) smerovi brzina su različiti, pa se trenutni pol brzina P u ovom slučaju nalazi

unutar rastojanja AB .Vidi se, da je raspored brzina od ose koja se nalazi u trenutnom polu brzina P i normalna je naravan preseka S, isti kao u slučaju obrtnog kretanja tela oko ose. Ova osa se zove trenutna obrtna

osa.Za razliku od fiksne obrtne ose (pri obrtnom kretanju) trenutna obrtna osa (pri ravnom kretanju)

za vreme kretanja stalno menja svoj položaj tj. ravno kretanje se satoji iz niza uzastopnihelementarnih okretaja oko trenutnih obtnih osa.

Pri rešavanju zadataka, pri određivanju brzine tačaka tela i ugaone brzine tela, potrebno je poznavati intenzitet i pravac brzine jedne tač ke tela i pravac brzine druge tač ke tela. Na osnovu poznatih podataka, sa ovim veličinama treba započeti rešavanje zadataka.Ukoliko se prouč ava kretanje mehanizma, koji se sastoji iz više krutih tela, tada je potrebno

prikazati sklop u onom položaju, u kome treba odrediti tražene veličine. Bitno je obratit pažnju nato , da svako kruto telo (deo mehanizma) ako vrši ravno kretanje, ima u datom trenutku vremena

svoj trenutni pol brzina i ugaonu brzinu.

Primer 3.9.

Odrediti brzinu tačke M na obimu točka, koji se kotrlja, iz primera 3.6, pomoću trenutnog pola brzina. Rešenje:

Slika 3.24. Paralelne brzine



Tačka dodira P točka (slika 3.25) je trenutni pol brzina,

jer je v P =0. Poznato je dalje da je PM vM ⊥r

. Pošto jeugao PMD ugao na polukrugu, on je prav ugao, pa ćevektori brzina bilo koje tačke na obimu točka prolazitikroz tačku D. Radi ilustracije, ucrtana je brzina E v

ru

tački E na obimu točka. Ako se postavlja proporcijaoblika:

PC

v

PM

v C M = ,

gde su:- R PC = ,

- αcos R2 PM = ,

proizilazi da je:

αcosv2v C M ⋅= .

Rezultat je isti kao i u zadatku 3.6. Ukoliko je tačka M dalja od tačke P , njena brzina biće veća.

Najveću brzinu imaće tačka D (pri cosα =1, odnosno pri α =0°). Brzina u tački D iznosiće v D =2vC

. Ugaona brzina točka prema izrazu (3.26) je jednaka:

R

v

PC

v C C ==ω .

Primer 3.10.

Krivaja OA klipnog mehanizma prema slici 3.26, dužine r, obr će se konstantnom ugaonom

brzinom ωOA. Dužina klipne poluge je l AB = . Pri datom uglu ϕ odrediti:1. brzinu klipne poluge (tačke B),2. položaj tačke M klipne poluge AB,koja ima najmanju brzinu,3. ugaonu brzinu ω AB klipne poluge.Posebno analizirati položaje mehanizmakada je ϕ =0 i ϕ =90°.

Rešenje:

Iz datih podataka proizilazi da tačka A

ima brzinu v A =r ⋅ωOA koja je normalna na polugu OA, a brzina tačke B je usmerenaduž prave BO. Na osnovu ovih podataka,koji su dovoljni, potrebno je odreditikinematičke karakteristike poluge AB.1. Na osnovu teoreme o projekcijama

brzina, može se napisati:

βα cosvcosv B A = .

Ugao OAD , kao spoljašnji ugao trougla OAB, jednak je ϕ+β. Pa sledi da je α =90°-( ϕ+β ).Brzina tačke B ima oblik:





( )βϕϕωβ

βφω tg cos sinr

cos

) sin( r v OAOA B +⋅=

+⋅= .

Eliminišući ugao β iz trougla AOB sledi:

l

sin

r

sin ϕβ= .

Takođe važi da je:

β

ββ

2 sin1

sintg

−= .

I brzina tačke B na kraju ima oblik:

ϕϕ

ϕω sin

sinr l

cosr 1r v

222OA B

−

⋅+⋅= .

2. Povlačeći normale na brzine u tačkama A i B, u njihovom preseku se nalazi trenutni pol brzina P

za klipnu polugu AB (prava AP je produžetak krivaje OA). Najmanju brzinu će imati tačka M koja je najbliža trenutnom polu P , tj. tačka koja se nalazi na pravoj PM normalnoj na AB. Brzina tetačke iznosi:

( )βϕωα +⋅== sinr cosvv OA AM .

3. Ugaona brzina poluge AB premaformuli (3.26) je jednaka:

, PA

v A AB =ω odnosno

PB

v B AB =ω .

Dužine PB i PA mogu da seizračunaju na osnovu podataka datih uzadatku.4. Kada je ugao ϕ =0 (slika 3.27 a)normala AB na brzinu Av

ri normala Bb

na pravac brzine Bvr

seku se u tački B.

Prema tome, tačka B je u datomtrenutku položaj trenutnog pola brzina, pa je v B =0. U ovom položaju je:

OA A

Abl

r

AB

vωω == .

Raspored brzina tačaka klipne poluge AB prikazan je na crtežu.5. Pri uglu ϕ =90° (slika 3.27 b) brzine Av

ri Bv

rsu paralelne među sobom tako da se njihove

normale seku u beskonačnosti. Te sledi, da u tom trenutku vremena sve tačke poluge AB imaju iste brzine, koje su jednake Av

r, pa ω AB =0.

Primer 3.11.




Krivaja OA, koja se obr će oko ose O ugaonom brzinom ωOA , nosi na svom kraju osovinu pokretnogzupčanika 1, koji se kotrlja bez klizanja ponepomičnom zupčaniku 2. Poluprečnicizupčanika su međusobno jednaki i iznose r . Zazupčanik 1 zglobom je vezana poluga BD,dužine l , koja je spojena za balansijer DC,

prikazano na slici 3.28. Odrediti ugaonu brzinu

ω BD poluge u trenutku kada je ona upravna nakrivaji OA,ako je u tom trenutku ugao

BDC=45°. Rešenje:

Za određivanje ω BD potrebno je da se zna brzina bilo koje tačke poluge BD i položajnjenog trenutnog pola brzina. Prvo se određuje

brzina tačke B, koja istovremeno pripada izupčaniku 1. Za zupčanik je poznata brzina

v A=2r ωOA (pri čemu je OAv A⊥r

) i trenutni pol

brzina P 1 (koji se nalazi u tački dodirazupčanika 1 i 2). Pošto je B P v 1 B ⊥

ri na osnovu

teoreme o projekcijama brzina sledi:

A B v45cosv =° ,odakle je

2r 22vv OA A B ω== .

Sada je za polugu BD poznata brzina Bvr

i pravac brzine Dvr

( DC v D ⊥r

). Ako se povuče normala na

brzine Bv

r

i Dv

r

, u njihovom presekuće se nalaziti trenutni pol brzina P BD poluge BD .Sa slike sevidi da je odsečak:

2l 2

1 BP BD = .

Tada je

OA

BD

B BD

l

r 4

BP

vωω == .

Bitno je tu napomenuti, da je povlačenje normala na vektore brzina Avr

i Dvr

radi određivanja

trenutnog pola brzina pogrešno, jer tačke A i D pripadaju različitim telima i presek pomenutihnormala ne određuje nikakav trenutni pol brzina.

Primer 3.12.

Na osovinu O nasađena su nezavisno jedan od drugog zupčanik 1 i krivaja OA, koja se obr ćeugaonom brzinom ωOA. Krivaja nosi osovinu A zupčanika 2, čvrsto vezanu za polugu AB, koja

prolazi kroz obrtni zglob C , prema slici 3.29. Poluprečnici zupčanika 1 i 2 su jednaki. Odrediti

ugaonu brzinu ω1 zupčanika 1 u trenutku kada je OC OA⊥ , ako je u tom položaju ugao ACO=30°. Rešenje:




Da bi se odredila ugaona brzina ω1 zupčanika 1 potrebno je da se odredi brzina njegove tačke E . Ta brzina će se naći iz uslova, da istu brzinu ima i tačka E na zupčaniku 2. Za zupčanik je poznat pravac iintenzitet brzine u tački A:

OA A A r 2v ,OAv ω=⊥r

,

pri čemu je r poluprečik zupčanika.Pored toga, poznat je i pravac brzine E v

r, međutim to

je u datom slučaju nedovoljno, jer je A E vvrv

. Po

teoremi o projekcijama, intenzitet brzine v E ne možeda se odredi, jer su brzine E v

ri Av

rupravne na AE .

Za dalje rešavanje problema, iskoristiće se činjenicada zupčanik 2 i poluga AB obrazuju jedno telo, jer sučvrsto spojeni. Za to telo poznat je pravac brzine

tačke C . Naime vektor C v

r

usmeren je duž CA, jer utački C poluga prolazi kroz zglob. Ako se ucrtajunormale na brzine Av

ri C v

r, odrediće se položaj

trenutnog pola brzina tela BAE , tačka P .Prema uslovima koji su dati u zadatku, ugao ACO=30°, može se napisati da je i ugao CPA=30°.Tada se može napisati da je:

r 7 PE ,r 8 AC 2 PA ,r 4 AO2 AC ==⋅==⋅= .

Tada iz proporcije:

PA

v

PE

v Ae = ,

sledi, da je

OA A E r 8

7 v

8

7 v ω⋅== .

Odavde je :

OA E

14

7

OE

vωω == .

3.3.6. UBRZANJA TAČAKA PRI RAVNOM KRETANJU

Slično kao i brzina pri ravnom kretanju, i ubrzanje bilo koje tačke se sastoji iz ubrzanja koje tačkaima pri translatornom i obrtnom kretanju tela. Z određivanje ubrzanja tačke tela izvršiće sediferenciranje izraza za brzinu pri ravnom kretanju (3.23), koji iznosi:

ABvvvv A

A

B A B ×+=+= ωrrrrr

.

Diferenciranjem gornjeg izraza po vremenu dobija se:




dt

ABd AB

dt

d

dt

vd

dt

vd A B ×+×+= ωω rrrr

,

gde su:

- B B a

dt

vd rr

= vektor ubrzanja tačke B,

- A A a

dt

vd rr

= vektor ubrzanja tačke A,

- εω rr

=dt

d vektor ugaonog ubrzanja preseka S ,

- A

Bv ABdt

ABd rr=×= ω prema (3.24) i može da se napiše:

( ) AB ABaa A B ××+×+= ωωεrrrrr

,

zadnji član jednačine ima oblik:

( ) 2 AB AB ωωω ⋅−=××rr

, jer je AB⊥ωr

,što daje:

2

A B AB ABaa ωε ⋅−×+=rrr

.

U ovoj jednačini zadnja dva člana određuju ubrzanje tačke B pri obrtanju zajedno sa telom oko

pola A, prema tome A

B

2a AB ABrr

=⋅−× ωε , koji se zove obrtno ubrzanje tačke B oko pola A. Ukrajnjoj formi jednačina ubrzanja tačke pri ravnom kretanju ima oblik:

A B A B aaa rrr += . (3.27)

Prema tome, ubrzanje bilo koje tač ke tela B pri ravnom kretanju, jednako je geometrijskom zbiru

ubrzanja neke druge tač ke tela A, koji je uzeta za pol i ubrzanja tač ke B pri njegovom obrtanju

oko tog pola.Obrtno ubrzanje tačke B ima dve komponente, normalnu i tangencijalnu prema:

2 A

B AB ABa ωε ⋅−×=rr

,gde su:

- ABa

A

Bt ×= ε

rr

tangencijalna komponenta,- 2 A

Bn ABa ω⋅−=r

normalna komponenta obrtnog ubrzanja.

Pa ubrzanje tačke B ima oblik:

A

Bn

A

Bt A B aaaarrrr

++= . (3.28)

Intenzitet i pravac ubrzanja Bar

se određuje konstrukcijom odgovarajućeg paralelograma iz

komponenata ubrzanja prema slici 3.30. Vektor A

Bt ar

je normalan na AB i usmeren prema smeru

obrtanja, ukoliko je obrtanje ubrzano, odnosno ima suprotan smer obrtanja, ako je obrtanje

usporeno. Vektor A

Bnar

usmeren je uvek od tačke B prema tački A (polu).



Intenziteti tangencijalnog i normalnogobrtnog ubrzanja se izračunaju premasledećim jednačinama:

. ABa

, ABa

2 A

Bn

A

Bt

ω

ε

⋅=

⋅=(3.29)

Intenzitet obrtnog ubrzanja ima oblik:

42a

B ABa ωε += . (3.30)

Ugao koju zaklapa vektor obrtnogubrzanja sa vektorom normalnekonponente obrtnog ubrzanja seizračunava po obrascu:

2tg

ω

εγ = . (3.31)

Ako pol A vrši bilo kakvo krivolinijsko kretanje umesto pravolinijskog, onda će se i njegovoubrzanje sastojati iz dve komponente, tangencijalne i normalne, pa ubrzanje taćke B tada imaoblik:

A

Bn

A

Bt At An Baaaaarrrrr

+++=. (3.32)

Ubrzanje bilo koje tač ke B preseka S jednako je vektorskom zbiru ubrzanja tač ke A koje je uzeta

za pol i obrtnog ubrzanja tač ke B oko pola A.

Primer 3.13.

Središte točka O koji se kotrlja po pravolinijskom putu (šini), ima u datom trenutku vremena brzinuvO = 1[m/s] i ubrzanje aO =2 [m/s2]. Poluprečnik točka jednak je R = 0,2 [m]. Odrediti ubrzanje

tačke B kraja prečnika AB, koji je upravan naOP , i ubrzanje tačke P , koja se poklapa satrenutnim polom brzina, prema slici 3.31.

Rešenje:Pošto su Ov

ri Oa

rpoznate veličine, usvojiće se

tačka O za pol. U prvom koraku određuje seugaona brzina ω . Tačka dodira P je trenutni pol

brzina, prema tome ugaona brzina točka je:

R

v

PO

v oO ==ω . (a)

Pravac i smer za ω određuje se na osnovu pravca i smera brzine Ovr

, kako je dato na slici 3.31.

U drugom koraku se određuje ugaono ubrzanje ε. Pošto u jednačini (a) veličina R PO = ostajekonstantna pri bilo kom položaju točka, to diferencirajući ovu jednačinu po vremenu dobija se:

Slika 3.30. Komponente ubrzanja tačke pri ravnomkretanju tela




,dt

dv

R

1

dt

d O⋅== εω

odnosno R

aO=ε . (b)

Znaci za ε i ω se poklapaju, pa je obrtanje točka ubrzano. Napomena: Ne treba misliti, da je veličina vO konstantna, ako je po uslovima zadatka vO = 1[m/s], jer veličina vO u zadatku data je za određeni trenutak vremena. U toku vremena veličina vO semenja, jer je aO≠0.

U datom slučaju je OO

O

avdt

dv

== & , jer se tačka O kreće pravolinijskim kretanjem. U opštem

slučaju je Ot O a

dt

dv= .

U trećem koraku određuju se vektori obrtnog ubrzanja ( O

Bt ar

i O

Bnar

). Pošto se pol nalazi u tački O na

osnovu (3.28) biće:

O

Bn

O

Bt O B aaaarrrr

++= (c)

Po uslovima zadatka je R PO = i [ ]2

O

O

Bt s / m2a BOa ==⋅= ε , [ ]2

2

O2O

Bn s / m5 R

v

BOa ==⋅= ω .(d)

Na slici 3.31 prikazane su odvojeno u tački B komponente vektora ubrzanja Bar

. Vektor

Oar

premešten iz tačke O, vektor O

Bt ar

povučen u smeru obrtanja, jer je kretanje ubrzano i vektor o

Bnar

ima smer uvek od tačke B prema polu O . Na kraju se izračunava veličina ubrzanja u tački B Ba

r. Na osnovu rasporeda vektora ubrzanja u

tački B i za označen koordinatni sistem, projekcije ubrzanja iznosi:

[ ]2

O

O

Bn Bx s / m3aaa =−= , [ ]2O

Bt By s / m2aa == ,odakle je

[ ]22

By

2

Bxb s / m6 ,313aaa ≈=+= .

Na isti način se može dobiti i ubrzanje tačke P koje je jednako [ ]2O

Pn P s / m5aa == i usmereno je

duž PO. Na taj način, ubrzanje tačke P , čija je brzina u datom trenutku jednaka muli, nije jednakonuli.

Primer 3.14.

Po nepomičnom zupčaniku 1, poluprečnika r 1 = 0,3 [m], kotrlja se zupčanik 2, poluprečnika r 2= 0,2[m], koji je nasađen na krivaju OA. Krivaja, koja se obr će oko ose O ima u datom trenutku ugaonu

brzinu ω =1 [ s-1] i ugaono ubrzanje ε =

-4 [ s-2], prikazano na slici 3.32. Odreditiu tom trenutku vremena ubrzanje tačke

D koja se nalazi na obimu pokretnogzupčanika (poluprečnik AD upravan jena krivaju).

Rešenje:

Za rešavanje zadatka potrebno je da serazmotri kretanje zupčanika 2. Na

osnovu datih podataka lako je naći brzinu Avr

i ubrzanje Aar

tačke A ovogzupčanika, koja se uzima za pol.




- Određ ivanje brzine Avr

i Aar

. Znajući ω i ε krivaje, brzina i ubrzanje je određeno:

[ ] s / m5 ,0OAv A =⋅= ω ,

[ ]2

At s / m2OAa −=⋅= ε ,

[ ]22

An s / m5 ,0OAa =⋅= ω .

Pošto su znaci v A i a At različiti, kretanje tačke A iz datog položaja je usporeno. Vektori At ar i Anar

imaju pravce, koji su prikazani na slici 3.32.- Određ ivanje ω2. Tačka dodira P je trenutni pol brzina za zupčanik 2, prema tome ugaona brzinazupčanika 2 iznosi:

[ ]1

2

2

A A2 s5 ,2 ,

r

v

PA

v −=== ωω .

Smer za ω2 (smer obrtanja zupčanika) određuje se na osnovu smera brzine v A, prikazano je na

slici.- Određ ivanje ε2. Kao i u prethodnom primeru, veličina 2r PA = za sve vreme kretanja jekonstantna, pa ugaono ubrzanje iznosi:

[ ]2

2

2

At A

2

22 s10 ,

r

a

dt

dv

r

1

dt

d −−==⋅== εω

ε .

Pošto su znaci za ω2 i ε2 različiti, obrtanje zupčanika 2 je usporeno.- Određ ivanje

A

Dt ar

i A

Dnar

. Ubrzanje tačke D se određuje prema formuli (3.32):

A Dn

A Dt An At D aaaaa rrrrr +++= .

U ovom slučaju je 2r DA = , pa

[ ] [ ]22

2

A

Dn

2

2

A

Dt s / m25 ,1 DAa , s / m2 DAa =⋅=−=⋅= ωε .

Na slici su posebno prikazani vektori iz kojih se sastoji ubrzanje Dar

, tj. At ar

, Anar

(preneto iz tačke

D), A

Dt ar

(uzima se u suprotnom smeru od obrtanja, jer je obrtanje usporeno), A

Dnar

(uzima se od

tačke D ka polu A).- Izrač unavanje Dar . Povlačeći ose x i y projekcije ubrzanja su:

[ ] [ ]2

An

A

Dt Dy

2 A

Dn At Dx s / m5 ,1aaa , s / m25 ,3aaa =−==+= ,

odakle je

[ ]22

Dy

2

Dx D s / m58 ,3aaa ≈+= .

Primer 3.15.

Za krivaju OA, koja se ravnomerno obr će oko ose O ugaonom brzinom ωOA=4 [ s-1], pričvršćena je

poluga AB, koja je vezana za balansijer BC . Date su dimenzije: [ ]m5 ,0r OA == , r 2 AB = ,

2r BC = . U položaju prikazanom na slici 3.33, ugao OAB=90° , ugao ABC=45°. Odrediti za ovaj položaj ubrzanje tačke B poluge, a takođe i ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje balansijera BC .



Rešenje:

Zadatak se može rešiti grafički ili analitički. I. Grafič ko rešenje. Posmatrajući kretanje poluge AB, za pol se uzima tačka A. Pošto je ωOA=const,za tačku A može se napisati:

[ ] 22

OA An AOA A s / m8r aa , s / m2r v =⋅===⋅= ωω . (a)

Na slici 3.33 su prikazani vektori

Avr

i Aar

.

- Određ ivanje ω AB.Putanja tačke B

poluge je poznata(krug poluprečnika

BC ). Pošto je poznat pravac brzine

( ) BC vv B B ⊥rr

, može

da se odredi položajtrenutnog pola

brzina P poluge AB.Sa slike se vidi da je

r 2 AB AP == .Tada je:

AP

v A AB =ω , odnosno [ ]1

AO AB s22

1 −== ωω . (b)

Smer okretanja prikazan je na crtežu.

U ovom primeru rastojanje PA , pri kretanju mehanizma se menja i za određivanje ε AB ne može seupotrebiti isti način kao u prethodnom primeru, pa će se odredi prvo veličine A

Bna i Bna .

- Određ ivanje A

Bnar

. Pošto je poznat ω AB po formuli (3.29) sledi:

[ ]22

AB

A

Bn s / m4 ABa =⋅= ω . (c)

- Određ ivanje Bnar

. Pošto je poznata putanja tačke B, može da se odredi normalno ubrzanje a Bn te

tačke. Na osnovu teoreme o projekcijama brzina, projekcije brzina na polugu BA daju:

A B v45cosv =° ,odakle

2vv A B = ,i tada

[ ]22

A

2

B Bn s / m28

2r

v2

BC

va === . (d)

- Određ ivanje Ba

r

. Ubrzanje tačke B sastoji se iz dve komponente, i jednako je Bn Bt B aaa

rrr

+= . Sadruge strane, veličina Ba

rodređena je formulom (3.28). Odavde sledi da je:




Bt Bn

A

Bt

A

Bn A aaaaarrrrr

+=++ . (e)

Na slici 3.33 ova jednačina je prikazana grafički. Iz proizvoljnog centra O1, u određenoj razmeri,

povuče se vektor 11 A aOa =r

, zatim se od tačke a1 povuče vektor k aa 1

A

Bn =r

( ABa A

Bn

r) kroz tačku k

povlači se prava kb1 upravno na a1k . Ova prava određuje pravac A

Bt ar

i negde na njoj leži kraj

traženog vektora Bar

.

U daljnjem, iz tačke O1 se povuče vektor nOa 1 Bn =r

, (pri čemu BC a Bn

r

), a zatim upravno na njega pravu nb1, koja određuje pravac Bt a

r. Kraj vektora Ba

rtreba takođe da leži na toj pravoj, što zanči

da tačka b1, u kojoj se seku prave kb1 i nb1, određuje kraj vektora Bar

. Prema tome 11 B bOa =r

.

Ako se sada izmeri dužina 11bO i ako se pomnoži sa usvojenom razmerom crteža, veličina

ubrzanja u tački B iznosi a B≈13 [m/s2].

Sa slike slede i ostale konponente A

Bt 1 akbr

= i Bt 1 anbr

= .

- Određ ivanje ε AB. Ako se odredi dužina 1kb , na osnovu formule (3.29) sledi:

BA

kb

BA

a1

A Bt

AB ==ε .

Uzimajući u obzir razmeru crteža, vrednost za 2

AB s20 −=ε . Sa crteža se vidi da će vektor

A B

A

B vvvrrr

−= biti usmeren suprotno od smera vektora A

Bt ar

, prema tome, obrtanje štapa AB je

usporeno, a 2

AB s20−−=ε .

II Analitič ko određ ivanje Bar

. Posle izvršenih svih proračuna u prethodnim tačkama (a do d), potrebno je konstruisati vektorski poligon koji izražava jednačinu (e).Povlačeći koordinatnu osu x upravnu na nepoznati vektor A

Bt

ar

i projektujući obe strane jednačine

(e) na tu osu, dobija se:°−°= 45cosa45cosaa Bt Bn

A

Bn .

Iz ove jednačine sledi:

2424282aaa A

Bn Bn Bt =−=⋅−= .

I konačni rezultat je :

( ) ( ) [ ]22

BN

2

Bt B s / m65 ,12104aaa ≈=+= .

Ako je potrebno da se brojčano odredi ε AB tada, projektujući obe strane jednačine (e) na osu O1n,upravnu na Bt a

r, se dobija:

Bn A Bt

A Bna a45cosa45cosa45cosa =°+°+°− .

Odavde sledi:

[ ]2

Bn

A

Bn A

A

Bt s / m202aaaa =+−= ,

i

[ ]2

A

Bt

Ab s20 AB

a−==ε .

Posle određivanja veličina v B i a Bt , mogu da se nađu ugaona brzina i ugaono ubrzanje balansijera BC iz formula:

BC

a ,

BC

cv Bt BC B BC == εω .

Kada se izračunaju, vrednosti ovih veličina iznose: ] s[ 8 ], s[ 42

BC

1

Bc

−− −== εω (znak - znači da

je smer ubrzanja Bt ar

suprotan od smera brzine Bvr

).



4. OBRTANJE KRUTOG TELA OKO NEPOKRETNETAČKE

4.1. JEDNAČINE KRETANJAKretanje krutog tela, pri kome bilo koja tačka tela pri kretanju ostaje nepokretna, naziva se obrtanjekrutog lela oko nepokretne tačke ili sferno kretanje, jer se sve tačke tela kreću po sferama čiji jecentar u nepomičnoj tački.

Nepokretna tačka može da pripada telu, ili da se nalazi van njega, ali tada mora biti na neki načinčvrsto vezano za telo.Ako se nepokretna tačka O usvoji za početak nepokretnog Dekartovog koordinatnog sistema ( x0 ,

y0 , z 0 ) i osim nepokretnog uvede i pokretni koordinatni sistem ( x1 , y1 , z 1 ) sa početkom u tačkiO, ali čvrsto vezan za telo, prema slici 4.1, tada se položaj tela pri obrtanju oko nepokretne tačke

jednoznačno biti određen položajem pokretnog koordinatnog sistema ( x1 , y1 , z 1 ) u odnosu nanepokretni ( x0 , y0 , z 0 ).

Jedan od postupaka određivanjameđusobnog položaja ovihkoordinatnih sistema je Ojlerov

postupak. Ojler je pokazao da se položaj tela pri obrtanju okonepokretne tačke jednoznačno možeodrediti sa tri ugla, koji se po njemunazivaju Ojlerovi uglovi.Definisanje međusobnog položaja

koordinatnih sistema pomoću t.z.modifikovanih Ojlerovih uglova prikazaće se u daljnjem. Smatra se dase u početku oba koordinatna sistema

poklapaju. Zatim se prvo obrnekoordinatni sistem x1 , y1 , z 1 okovertikalne ose z 0 za ugao ψ (ugaoskretanja). Druga rotacija se izvrši okoose y0 za ugao ϑ (ugao propinjanja),a treća rotacija oko ose x0 za ugao ϕ(ugao valjanja), prikazano na slici 4.1.Uglovi ψ , ϑ i ϕ nazivaju semodifikovanim Ojlerovim uglovima.

Pomoću ovih uglova, položaj tela pri obrtanju oko nepokretne tačke, određen je sa tri geleralisanekoordinate i prema tome kruto telo koji se obr će oko nepokretne tačke ima tri stepena slobodekretanja n = 3 (može da vrši tri nezavisna obrtanja).Modifikovani Ojlerovi uglovi ψ , ϑ i ϕ menjaju se tokom vremena, prema tome oni su nekefunkcije vremena t i njihove parametarske jednačine su:

).t ( f

),t ( f

),t ( f

3

2

1

=

=

=

ϕ

ϑ

ψ

(4.1)

Jednačine 4.1 nazivaju se zakoni sfernog kretanja.

Slika 4.1. Modifikovani Ojlerovi uglovi



Uglovi rotacije oko koordinatnih osa nazivaju se još:

- ψ je ugao precesije (ugao skretanja, engl. ROLL)- ϑ je ugao nutacije (ugao propinjanja, engl. PITCH)- ϕ je ugao sopstvene rotacije (ugao valjanja, engl. YAW)

Međusobna veza pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema određuje se posmatranjem svakogobrtanja ponaosob, prema sledećim prikazima:1. Obrtanje za ugao ψ (ugao skretanja - ROLL)

Prvo obrtanje oko ose z 0 prikazano je na slici 4.2. Pod a) u prostoru, a pod b) gledano u ravni x0 y0.Veza između jediničnih vektora pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema na osnovu slike4.2.b) može da se napise u obliku:

.k k

,cos j sini j

, sin jcosii

0

00

00

rr

rrr

rrr

=′

⋅+⋅−=′

⋅+⋅=′

ψψ

ψψ

Ista jednačina napisana u matričnom obliku glasi:

0

00

00

0

0

0

k

cos j sini

sin jcosi

k

j

i

100

0cos sin

0 sincos

k

j

i

r

rr

rr

r

r

r

r

r

r

ψψ

ψψ

ψψ

ψψ

+−

+

=⋅

−

=

′

′

′

.

Vezu između ovih koordinatnih sistema, pri obrtanju pod uglom ψ predstavlja matricatransformacije oblika:

Slika 4.2. Obrtanje za ugao ψ



100

0cos sin

0 sincos

)( R ψψ

ψψ

ψ

−

= . (4.2)

2. Obrtanje za ugao ϑ (ugao propinjajna - PITCH)

Drugo obrtanje prethodno obrnutog koordinarnog sistema se vrši oko ose y' prikazano na slici 4.3a) u prostoru, b) u ranvi x' z' gledano iz pravca y' ose.Veza između jediničnih vektora pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema na osnovu slike

4.3.b) može da se napise u obliku:

.cosk sinik

, j j

, sink cosii

ϑϑ

ϑϑ

⋅′+⋅′=′′

′=′′

⋅′−⋅′=′′

rrr

rr

rrr

Vezu između ovih koordinatnih sistema, pri obrtanju pod uglom ϑ predstavlja matricatransformacije oblika:

ϑϑ

ϑϑϑ

cos0 sin

010 sin0cos

)( R

−

= . (4.3)

3. Obrtanje za ugao ϕ (ugao valjanja- YAW)

Treće obrtanje oko ose x'' prikazano je na slici 4.4. a) u prostoru, b) u ravni y'' z'' gledano iz pravcaose x'' .Veza između jediničnih vektora pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema na osnovu slike4.4.b) može da se napiše u obliku:

Slika 4.3. Obrtanje za ugao ϑ



.cosk sin jk

, sink cos j j

,ii

ϕϕ

ϕϕ

⋅′′+⋅′′−=′′′

⋅′′+⋅′′=′′′

′′=′′′

rrr

rrr

rr

Vezu između ovih koordinatnih sistema, pri obrtanju pod uglom ϕ predstavlja matrica

transformacije oblika:

ϕϕ

ϕϕϕ

cos sin0

sincos0

001

)( R −= . (4.4)

Potpuna transformacija, koja uzima u obzir sve tri rotacije istovremeno, dobija se kao proizvod trimatrice (4.2, 4.3 i 4.4) koja se zove matrica rotacije oblika:

.

coscoscos sin sin

sincoscos sin sincoscos sin sin sincos sin

sin sincos sincoscos sin sin sincoscoscos

)( R )( R )( R R1

0

ϕϑϑϕϑ

ϕψϕϑψϕψϕϑψϑψ

ϕψϕϑψϕψϕϑψϑψ

ϕϑψ

−

−+

+−

==

Gornja matrica rotacije najčešće je prikazana u obliku:

z 3 z 2 z 1

y3 y2 y1

x3 x2 x1

eee

eee

eee

R = . (4.5)

Članovi matrice e predstavljaju trigonometrijske zavisnosti pojedinih uglova rotacije.

Veza vektora položaja r r u nepokretnom ( x0 ,y0 ,z 0) koordinatnom sistemu i vektora pr u pokretnomkoordinatnom sistemu ( x1 ,y1 ,z 1) može da se napiše u obliku:

Slika 4.4.Obrtanje za ugao ϕ



p Rr rr

⋅= (4.6)

gde je:- R matrica rotacije.



4.2. TRENUTNA UGAONA BRZINA

Vektor trenutne ugaone brzine ωr

tela koje se obr će oko nepokretne tačke određen je vektorskimzbirom komponentnih ugaonih brzina, prema:

0k ji

r

&

r&

&&r&r&rr

⋅+′⋅+′′⋅=++= ψϑϕϕϑψω . (4.7)

gde su:

- ψ&r ugaona brzina precesije,

- ϑ&r ugaona brzina nutacije,

- ϕ&r ugaona brzina sopstvene rotacije.

Projekcije vektora ugaone brzine (ωr

) na ose nepokretnog koordinatnog sistema ( x0 ,y0 ,z 0) seodređuju pomoću jednačina transformacije u sledećem obliku:

( )( )( ) .k k jik

, jk ji j

,ik jii

000 z

000 y

000 x

rr&

r&

r&

rr

rr&

r&

r&

rr

rr&

r&r&

rr

⋅⋅+′⋅+′′⋅=⋅=

⋅⋅+′⋅+′′⋅=⋅=

⋅⋅+′⋅+′′⋅=⋅=

ψϑϕωω

ψϑϕωω

ψϑϕωω

Uvrštavajući odgovarajuće jednačine transformacije, izrazi postaju:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) .k k cos j sini sink cos sin jcosi

, jk cos j sini sink cos sin jcosi

,ik cos j sini sink cos sin jcosi

0000000 z

0000000 y

0000000 x

rr&rr&rrr&

rr&

rr&

rrr&

rr&

rr&

rrr&

⋅⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅=

ψψψϑϑϑψψϕω



Posle množenja, izrazi u krajnjoj formi su:

. sin

,coscos sin

, sincoscos

z

y

x

ψϑϕω

ψϑϑψϕω

ψϑϑψϕω

&&

&&

&&

+⋅−=

⋅+⋅⋅=

⋅−⋅⋅=

(4.8)

Projekcije ugaone brzine (ω

r

) na koordinatne ose, određ

ene po jednačinama (4.8) nazivaju seOjlerovim kinemati č kim jednač inama.

Veličina (intenzitet) trenutne ugaone brzine je:

2

z

2

y

2

x ωωωω ++= . (4.9)

Pravac vektora ugaone brzine zaklapa uglove sa koordinatnim osama po izrazima:

( ) ( ) ( )ω

ωω

ω

ωω

ω

ωω z

0

y

0

x

0 k ,cos , j ,cos ,i ,cos =∠=∠=∠rrrrrr

. (4.10)

Za male uglove rotacije ψ ,ϑ ,ϕ vrednosti trigonometrijskih funkcija0 , , sin ,1 , ,cos ≈≈ ϕϑψϕϑψ , pa projekcije trenutne ugaone brzine postaju:



ψωϑωϕω &&& ≈≈≈ z y x , , . (4.11)

4.3. TRENUNO UGAONO UBRZANJE

Projekcije vektora ugaonog ubrzcanja εr

na ose nepokretnog koordinatnog sistema, jednake su

izvodima po vremenu odgovarajućih projekcija vektora ugaone brzine ωr

:

.dt

d ,

dt

d ,

dt

d z

z z y

y

y x x

x ωω

εωω

εωω

ε &&& ====== (4.12)

Intenzitet vektora trenutnog ugaonog ubrzanja je:

2

z

2

y

2

x εεεε ++= . (4.13)

Pravac vektora ε

r

u odnosu na ose nepokretnog koordinatnig sistema određen je uglovima:

( ) ( ) ( ) .k ,cos , j ,cos ,i ,cos z 0

y

0 x

0 ε

εε

ε

εε

ε

εε =∠=∠=∠

rrrrrr(4.14)

Obrtanje krutog tela oko nepokretne tačke našlo je primenu u proučavanju kinematičkihkarakteristika kretanja aviona i brodova (slika 4.5.). Posebno treba ovde istaći važnost obrtanja telaoko nepokretne tačke pri definisanju kinematičkih karakteristika kretanja robota.

Najjednostavniji primer obrtanja tela oko nepokretne tačke je obrtanje koničnog zupčastog para,ako je jedan od zupčanika fiksiran.

Primer 4.1.

Odrediti brzine tačaka B i C konusnog zupčanika (slika 4.6), ako je brzina obrtanja središta A

zupčanika po njegovoj putanji poznata. Konusni zupčanik se pri kretanju kotrlja bez klizanja ponepomičnoj konusnoj površini K .

Slika 4.5. Kretanje aviona i broda



Rešenje:

Konusni zupčanik se obr će oko nepokretne tačke O. Tačkezupčanika, koje leže na pravoj OB, moraju imati iste brzine, kaoi tačke površine K , jer se zupčanik kotrlja po njoj bez klizanja.Prema tome, brzine tačaka jednake su nuli i prava OB je trenutnaobrtna osa konusnog zupčanika. Tada je v A=h1⋅ω , gde je ω -

ugaona brzina zupčanika pri njegovom obrtanju oko ose OB, h1 -rastojanje tačke A od te ose. Odavde je ω = v A /h1.

Brzina vC tačke C biće jednaka h2⋅ω, gde je h2 - rastojanje tačkeC od ose OB. Kako je u datom slučaju h2 = 2h1 , to je vC = 2v A .

Za tačku B, koja leži na trenutnoj obrtnoj osi, v B =0.

Primer 4.2.

Kružni konus (1) poluprečnika osnove R = 20 [cm] i visine h = 20⋅ 3 [cm] kotrlja se po kružnomkonusu (2) i pri tome za 1 minut načini 15 obrtaja (slika 4.7). Odrediti: a) ugaonu brzinu precesije,sopstvene rotacije i trenutnu ugaonu brzinu pokretnog konusa (1), b) veličinu brzine tačke A tog

konusa.

Rešenje:

a) Konus (1) se kreće sfernim kretanjem, jer mu je tačka O nepokretna. Ugaona brzina precesijeizračunava se po obrascu:

[ ]1

p s57 ,130

n −=⋅

=π

ω .

Vektor ove ugaone brzine leži na Oz osi, a smer joj je uperen naniže zbog pretpostavljenogsmera kretanja konusa (1).Vektor ugaone brzine sopstvene rotacije sω

rleži

u pravcu i smeru Oy ose. Trenutna osa obrtanja, a sa njom i vektor trenutne ugaone brzine ωr

, ležena izvodnicama u kojima se konusi dodiruju. Veličina trenutne ugaone brzine izračunava se naosnovu paralelograma ugaonih brzina (slika 4.7) odakle je :

] s[ 14 ,3 sin

1 p −=== πα

ωω ,

a takođe i:

] s[ 72 ,22

3ctg 1 p s −==⋅= παωω ,

jer je:

°=

=⇒== 30

3

1arctg

3

1

h

Rtg αα .

Kraj trenutne ugaone brzine opisuje krug, jer je ω = const. Ugaono ubrzanje ωε &rr= je geometrijski

jednako brzini ur

kraja vektora trenutne ugaone brzine ωr

. Ono ima pravac tangente na hodograf trenutne ugaone brzine i određuje de po obrascu:

ωωωrrr&r ×== pu .

Intenzitet ugaonog ubrzanja se prema tome izračunava kao intenzitet gornjeg vektorskog proizvoda, tj:

( )ωωωωωεrr

& , sin p p ∠⋅⋅== .


Slika 4.7. ilustracija primera 4.2.



Napomena: ugaono ubrzanje tela, koje se kreće sfernim kretanjem, ima u opštem slučaju, kada jeconst ≠ω , još jednu komponentu čiji je intenzitet jednak izvodu intenziteta trenutne ugaone

brzine, a koja leži na trenutnoj osi obrtanja. U opštem slučaju je vektor ugaonog ubrzanja jednak:

ωωωω

ωrrr&r ×+= p0

dt

d ,

gde je:- 0ω

rjedinični vektor trenutne ose obrtanja Ω.

U ovom zadatku je ( ) αωω −°=∠ 90 , p

rr, pa je intenzitet ugaonog ubrzanja tela:

] s[ 26 ,44

3

2

3

2 )90 sin(

22

p

−=⋅

=⋅⋅=−°⋅⋅==π

ππ

αωωωε & .

b) Brzina tačke A ima, zbog smera obrtanja konusa (1), pravac i smer Ox ose (slika 4.7 a) a

intenzitet joj se računa po obrascu:

] s / cm[ 6 ,108320cos R2hv A ==⋅⋅=⋅= πωαωΩ ,

gde je najkraće rastojanje tačke A od trenutne ose obrtanja:

]cm[ 320cos R2h =⋅= αΩ .

Primer 4.3.

Krivaja K datog mehanizma (slika 4.8) obr će se ugaonim ubrzanjem ] s[

2

2

K

−=π

ω , a početna

brzina joj je bila ] s[ 2

0 K

−= πω . Svojim

obrtanjem krivaja dovodi u kretanje konusnizupčanik (1) poluprečnika r , koji je spregnut sanepokretnim konusnim zupčanikom (2)

poluprečnika R =2r . Odrediti u trenutku t=1 [s]

ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje zupčanika (1) iveličinu brzine tačke A toga zupčanika.

Rešenje:

Tačka O je nepokretna pa je kretanje zup

čanika(1) sferno. Ugaona brzina krivaje je ugaona

brzina precesije i menja se po zakonu:

] s[ 2

t 1t

2

K 0 K p

−

+=⋅+= πωωω .

Ugaonu brzinu sopstvene rotacije ω s i trenutnuugaonu brzinu ω moguće je odrediti na osnovu

paralelograma sa slike 4.8. Veličine tih ugaonih brzina su:

,2t 12ctg p s +⋅=⋅= παωω

i




,2

t 15

5

5 sin

p p

+⋅=== πω

α

ωω

gde je :

5

52cosi ,

2

5 sin ,

2

1tg

⋅=== ααα .

Za dati trenutak vremena t = 1 [s] vrednosti ovih ugaonih brzina su:

] s[ 2

53 ], s[ 3 11

s

−− == πωπω .

Ugaono ubrzanje zupčanika (1) ima dve komponente, tj.:

21 ωωω &r&r&r += .

Prva komponenta leži na trenutnoj osi obrtanja i ima intenzitet koji je jednak izvodu intenzitetatrenutne ugaone brzine i iznosi:

] s[ 2

5

dt

d 2

1

−== πω

ω& .

Druga komponenta je određena:ωψωωωr&rrr&r ×=×= p2 ,

i ima veličinu:

( )2

2 p p2

2t 12 , sin

+⋅=∠⋅⋅= πωωωωω rr& ,

što za t = 1 [s] iznosi:

] s[ 2

9 22

2

−= πω& .

Vektor 2ω&r je upravan na ravan vektora pωr

i ωr

, dok je vektor 1ω&r kolinearan sa ωr

. To znači da je

uvek 21 ωω &r&r ⊥ . Zbod ove činjenice, se veličina ugaonog ubrzanja računa po Pitagorinoj teoremi. Uovom slučaju to iznosi:

( ) ] s[ 8152

222

2

2

1

−+⋅=+= ππ

ωωω &&& .

Brzina tačke A zupčanika (1) je:

] s / cm[ r 6 hva πωΩ =⋅= ,

gde najkraće rastojanje tačke A od trenutne ose iznosi:

r 5

54cos sin25r 2 sinr Rh22 =⋅⋅=⋅+= αααΩ ,



a ugaona brzina, kao što je već izračunato iznosi: ] s[ 2

53 1−⋅=ω .

Primer 4.4.

Osovina OC diska se obr će oko nepokretnetačke O tako, da sa vertikalnom osom gradistalni ugao α = 60° . Na taj način dolazi dokotrljanja diska poluprečnika R = 20 3 [cm]

po horizontalnoj podlozi bez klizanja, što je prikazano na slici 4.9. Obrtanja osovine diska je ravnomerno sa konstantnim ugaonim brzinama: 32 s p == ωω . Odrediti ugaonu

brzinu i ugaono ubrzanje diska, brzine iubrzanja tačaka A i B diska ako je H = 60

[cm].

Rešenje:Iz paralelograma ugaonih brzina (slika 4.10a) sledi, na osnovu kosinusne teoreme, da je ugaona brzina diska:

] s[ 6 cos2 1

s p

2

s

2

p

−=⋅++= αωωωωω .

Iz sinusne teoreme sledi:

( ) αω

αω

β

ω

sin180 sin sin

s =−°

= ,

pa izlazi da je:

°=⇒=⋅=⋅= 302

1

2

3

6

32 sin sin s βα

ω

ωβ .

Pošto je:

320tg H AO =⋅=′ β ,

znači da je :

R AO =′ ,

tj.tačka A diska leži na trenutnoj osi Ω , i brzina te tačke v A = 0, a brzina tačke B ima vrednost:





( ) ] s / cm[ 360cos R2hv B =⋅−=⋅= ωβαωΩ .

Ugaono ubrzanje diska ima samo komponentu:ωωωrr&r ×= p2 ,

jer je ω = const (zbog ω p = ω s = const ).

Vektor ugaonog ubrzanja 2ωω &r

&r

= upravan je na ravan crteža i leži u pravcu Ox ose, sa veličinom:

] s[ 36 sin 2

p

−=⋅⋅= βωωω .

Pošto tačka A leži na trenutnoj osi, njeno normalno ubrzanje je jednako nuli, pa je ubrzanje tetačke:

] s / cm[ 720

23

3360

cos

H OAhaa

2

At A ==⋅

=⋅=⋅==βω

ωωε

&&& .

Tačka B ima obe komponente ubrzanja, koje su:

] s / cm[ 216036 60ha 22

Bn =⋅=⋅= ωΩ ,

i

] s / cm[ 720OAOBha 2

Bt =⋅=⋅=⋅= ωωωε &&& .

Veličina ukupnog ubrzanja se određuje pomoću kosinusne teoreme, (prema slici 4.10 b):

] s / m[ 05 ,19 ] s / cm[ 19053628800cosaa2aaa

22

Bn Bt

2

Bn

2

Bt B ===−+= α .



5. OPŠTE KRETANJE SLOBODNOG KRUTOG TELA

5.1. JEDNAČINE OPŠTEG KRETANJA SLOBODNOG KRUTOG TELA

Opšte kretanje slobodnog krutog tela je takvo kretanje, pri kome se telo može bilo kako pomerati u prostoru.

Na slici 5.1. prikazano je slobodno krutotelo, koji vrši opšte kretanje u odnosu nanepokretni koordinatni sistem (x0 ,y0 ,z 0 ).Proizvoljna tačka tela A se usvaja za pol, ukojoj se postavlja početak pokretnogkoordinatnog sistema (x1 , y1 , z 1 ), koji se

proizvoljno pomera zajedno sa telom.Određivanje položaja tela svodi se tada naodređivanje položaja pokretnog

koordinatnog sistema (x1 , y1 ,z 1 ) u odnosuna nepokretni (x0 ,y0 ,z 0 ).Položaj pokretnog koordinatnog sistema(x1 , y1 ,z 1 ) u odnosu na pol ( A) određen je

pomoću Ojlerovih uglova ϕ; ϑ; ψ, a sobzirom da se i sam pol A kreće, položaj

pola u odnosu na nepokretni koordinatnisistem (x0 ,y0 ,z 0 ) određen je koordinatama x A , y A , z A.

To znač i, da je položaj tela koje vrši opšte kretanje određ en sa šest generalisanih koordinata, pa

telo ima šest stepeni slobode kretanja- tri translacije duž osa x0 ,y0 ,z 0 i tri nezavisne rotacije oko

osa x1 , y1 ,z 1 koja prolaze kroz pol A.

Generalisane koordinate se menjaju tokom vremena i one su funkcije vremena:

).t ( f ),t ( f z

),t ( f ),t ( f y

),t ( f ),t ( f x

6 3 A

52 A

41 A

==

==

==

ψ

ϑ

ϕ

(5.1)

Jednačine (5.1) se zovu zakoni opšteg kretanja slobodnog krutog tela.

5.2. BRZINE TELA KOJE VRŠI OPŠTE KRETANJE

Položaj tačke B određen je u nepokretnom koordinatnom sistemu (x0 ,y0 ,z 0 ) sa:

ABr r A B +=rr

,gde su:

- Ar r

vektor položaja pokretnog pola - A,

- AB vektor položaja B u odnosu na pol A.

Brzina tačke B određeno je prvim izvodom po vremenu vektora položaja Br r

, prema:

( )dt

ABd

dt

r d

dt

r d v A B

B +==rr

r, (5.2)

Slika 5.1. Opšte kretanje slobodnog krutog tela



gde su:

- A A v

dt

r d rr

= translatorna brzina pola,

-( )dt

ABd brzina tačke pri obrtanju oko pola A.

Drugi član jednačine (5.2) može da se napiše u obliku:

( ) A

Bv ABdt

ABd rr=×= ω ,

gde su:- ω

rtrenutna ugaona brzina,

- A

Bvr

obrtna brzina tačke B.

I konačno, brzina tačke B ima oblik:

ABvv

,ilivvv

A B

A B A B

×+=+=

ωrrrrrr

. (5.3)

Brzina proizvoljne tač ke B slobodnog krutog tela, koje vrši ravno kretanje, jednaka je

vektorskom zbiru translatorne brzine pola A Avr

i obrtne brzine A

Bvr

tač ke B, koje ona ima, kada

se telo obr ć e oko pola A.

5.3. UBRZANJE TELA KOJE VRŠI OPŠTE KRETANJE

Vektor ubrzanja određen je prvim izvodom po vremenu vektora brzine i ima oblik:

( )dt

ABd AB

dt

d

dt

vd

dt

vd a A B

B ×+×+== ωω rrrr

r,

gde su:- Aa

rtranslatorno ubrzanje pola A,

- εr

vektor trenutnog ugaonog ubrzanja.

Zadnji član gornje jednačine prema (5.3) ima oblik: ( ) AB×× ωωrr

, pa ubrzaje tačke B iznosi:

AB ABaa A B ××+×+= ωωε rrrr ,gde je:

- ( ) AB AB ××+× ωωεrrr

deo ubrzanja tačke B usled obrtanja tela oko pola A.

I konačno ubrzanje tačke B ima oblik:

A

B A B aaarrr

+= . (5.4)

Ubrzanje proizvoljne tač ke B tela koje vrši opšte kretanje jednako je vektorskom zbiru

translatornog ubrzanja pola aar

i obrtnog ubrzanja A Bar

tač ke B usled obrtanja tela oko pola A .

Primer 5.1.

Kretanje slobodnog krutog tela dato je jednačinama:



( )344

,t cos4

,t sin4

,t 4 z ,2t y ,t 2 x z y x A

2

A

2

A +=−===+==π

ωππ

ωππ

ω .

gde su:- x,y,z, dato u [cm],- t dato u [ s].

Odrediti veličinu ugaone brzine, ugaonog ubrzanja tela i veličine brzine i apsolutnog ubrzanjatačke M tela, koja ima koordinate xM =4 [cm], yM = 2 [cm], z M = 4 [cm], posle t = 2 [s] kretanja.

Rešenje:Projekcije vektora brzine i ubrzanja pola A na ose nepokretnog koordinatnog sistema su:

,0 z ,2 y ,4 x

,4 z ,t 2 y ,t 4 x

A A A

A A A

===

===

&&&&&&

&&&

tako da su intenziteti tih vektora:

( )

[ ] , s / cm46 ,4 z y xa

,t 542 z y xv

22 A

2 A

2 A A

2 / 122

A

2

A

2

A A

=++=

+=++=

&&&&&&

&&&

za dati vrenemski trenutak t = 2[s] vrednost brzine je:

[ ] s / cm8 ,9v A = .

Veličina ugaone brzine iznosi:

( ) [ ]12 / 1

22

z

2

y

2

x s3414

−

++=++=

πωωωω .

Diferenciranjem projekcija ugaone brzine dobiju se projekcije ugaonog ubrzanja:

[ ]

.0dt

d

,0t sin4dt

d

, s46 ,24

t cos4dt

d

z z z

2 y

y y

222

x x x

===

====

===== −

ωεω

ππω

εω

ππ

πωεω

&

&

&

Brzina tačke M (4,2,8) određuje se prema izrazu:

( ) AM AM r r vvrrrrr

−×+= ω ,

čije su projekcije na ose nepokretnog koordinatnog sistema:

( )

( )

( ). y y z z

, x x y y

, z z x x

AM x AM

AM z AM

AM y AM

−+=

−+=

−+=

ω

ω

ω

&&

&&

&&



S obzirom na izračunate projekcije brzine tačke A i ugaone brzine tela, kao i na koordinate pola A udatom trenutku vremena: x A = 8 [cm], y A = 6 [cm], z A = 8 [cm], projekcije brzine tačke M imajuvrednosti:

[ ]

[ ]

[ ] , s / cm86 ,0 )84( 4

04 z

, s / cm140 )84( 5 ,44 y

, s / cm26 )6 2( 5 ,4 )88( 4

8 x

M

M

M

=−++=

−=−−+=

=−−−−=

π

π

&

&

&

intenzitet te brzine iznosi:

[ ] s / cm54 ,2974 ,872 z y xv 2

M

2

M

2

M M ==++= &&& .

Vektor ubrzanja tačke M određuje se na osnovu izraza:

( ) ( )[ ] ( ) .r r r r r r a AM AM aa 2 AM AM AM A AM ωωωωωωε ⋅−−−⋅+−×+=××+×+=rrrrrrrr

&rrrrrrr

Skalarni proizvod skalarnog proizvoda trenutne ugaone brzine ωr

i vektora položaja AM tačke M

u odnosu na pol A iznosi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ππ

ωωωω =−+−−=−⋅+−⋅+−⋅=−⋅ 885 ,46 22

0 x x y y z z r r AM z AM y AM x AM

rrr.

Projekcije vektora ubrzanja tačke M su:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) , z z r r x x y y z z

, y yr r z z x x y y

, x xr r y y z z x x

AM

2

AM z AM y AM x AM

AM

2

AM y AM x AM z AM

AM 2

AM x AM z AM y AM

−−−⋅+−−−+=

−−−⋅+−−−+=−−−⋅+−−−+=

ωωωωω

ωωωωωωωωωω

rrr&&&&&&

rrr&&&&&&

rrr&&&&&&

ove projekcije za date podatke imaju vrednosti:

[ ]

[ ] , s / cm3 ,45 ,4 z

, s / cm3 ,824

4

2 y

, s / cm8 ,86 44 x

22

M

222

M

22

M

=+−=

=+−=

=+=

ππ

ωπ

ω

&&

&&

&&

pa veličina apsolutnog ubrzanja tačke M iznosi:

[ ]22

M

2

M

2

M M s / cm7 ,11914326 z y xa ==++= &&&&&& .



6. SLOŽENO KRETANJE TAČKE

U dosadadašnjim poglavljima, pri proučavanju kretanja tačke ona se proučavala u odnosu naapsolutno nepokretni koordinatni sistem. Pri rešavanju određenih problema, korisno je proučitikretanje tačke i u odnosu na pokretni koordinatni sistem, koji se kreće u odnosu na apsolutno

nepokretni koordinatni sistem. U ovom slučaju to znači, da se kretanje tačke proučava jednovremeno u odnosu na dva koordinatna sistema, od kojih je jedan apsolutno nepokretan a drugise kreće po određenom zakonu u odnosu na prvi.

6.1. RELATIVNO, PRENOSNO I APSOLUTNO KRETANJE TAČKE

Posmatrajući kretanje tačke M (slika 6.1) u odnosu na koordinatni sistem (x,y,z , ) koji se kreće uodnosu na nepokretni koordinatni sistem x1 ,y1 ,z 1 mogu da se razlikuju sledeća kretanja:

1. Kretanje tačke u odnosu na pokretni koordinatni sistem (x,y,z,) se

zove relativno kretanje. (Relativnokretanje vidi samo posmatrač koji jevezan za pokretni koordinatnisistem).2. Kretanje tačke u odnosu nanepokretni koordinatni sistem(x1 ,y1 ,z 1 ) je apsolutno kretanje ili

složeno kretanje.

3. Kretanje pokretnog koordinatnogsistema (x,y,z , ) u odnosu nanepokretni (x1 ,y1 ,z 1 ) se zove

prenosno kretajne. Na pr. slučaj putnika koji se kreće u pokretnom vozu. Kretanje putnika uvagonu je relativno kretanje.Kretanje putnika u odnosu na zemlju(koja se smatra apsolutnonepokretnim koordinatnim sistemom)

je apsolutno kretanje, a kretanje vozau odnosu na zemlju je prenosno

kretanje.Zadatak u slučaju složenog kretanja tačke svodi se na to, da se odrede kinematičke karakteristikeapsolutnog kretanja, kada su poznate kinematičke karakteristike prenosnog i relativnog kretanjatačke.

6.2. APSOLUTNA BRZINA TAČKE

Položaj pokretnog koordinatnog sistema (x,y,z , ) u odnosu na nepokretni (x1 ,y1 ,z 1 ) određen jevektorom položaja 0r

r, a položaj tačke M u odnosu na pokretni koordinatni sistem (x,y,z , ) određen

je vektorom položaja ρr

, prema slici 6.1. Vektor ρr

određen je:

k )t ( z j )t ( yi )t ( x

rrrr

⋅+⋅+⋅=ρ ,gde su:

- x(t), y(t), z(t) relativne koordinate tačke M , koje se tokom vremena menjaju i poznate sufunkcije od vremena.

Slika 6.1. Složeno kretanje tačke



Položaj tačke u odnosu na nepokretni koordinatni sistem (x1 ,y1 ,z 1 ) određen je vektorom položajar r

, koji ima oblik:

k )t ( z j )t ( yi )t ( xr r r 00

rrrrrrr⋅+⋅+⋅+=+= ρ .

Pri tome su promenljive ne samo veličine ),t ( z ),t ( y ),t ( x ,r 0

r

nego i jedinični vektori k , j ,i

rrr

- kojimenjaju svoj pravac prilikom obrtanja pokretnog koordinatnog sistema oko pola O.Apsolutna brzina tačke M je jednaka prvom izvodu po vremenu vektora položaja r

r prema:

dt

d

dt

r d

dt

r d 0 ρrrr

+= ,

izvod vektora ρr

je određen kao:

4 4 4 4 34 4 4 4 21

rrr

4 4 4 34 4 4 21

r&

r&

r&

r

rr

r

ρω

ρ

×

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=dt

k d z

dt

jd y

dt

id xk z j yi x

dt

d

r v

, (6.1)

gde su:- r v

rvektor relativne brzine,

- ωr

trenutna ugaona brzina prenosnog kretanja pokretnog koordinatnog sistema,- ρω

rr× označava obrtanje pokretnog koordinatnog sistema oko pola O,

pa izraz za apsolutnu brzinu vr

ima oblik:

r

v

0 vvv

p

r

43421

rrrr

r

+×+= ρω ,

ili: r p vvv

rrr+= . (6.2)

gde su:- 0v

rvektor brzine pola O,

- r vr

vektor relativne brzine,

- pvr

vektor prenosne brzine.

Apsolutna brzina tač ke jednaka je vektorskom zbiru prenosne brzine pvr

i relativne brzine r vr

.

Prenosna brzina pvr određena je vektorskim zbirom brzine pola O (brzine 0vr ) i brzine ρω rr × ,koja karakteriše obrtanje pokretnog koordinatnog sistema oko pola O . Ovako određena prenosna

brzina predstavlja najopštiji slučaj složenog kretanja tačke.U zavisnosti od karaktera kretanja pokretnog koordinatnog sistema, prenosna brzina se određuje nasledeći način:- U slučaju da pokretni koordinatni sistem vrši ravno kretanje:

o

M o p vvvrrr

+= , (6.3)

gde su:-

ovr

translatorna brzina pola O,

- o

M vr

obrtno kretanje u ravni.

- Za slučaj, da je prenosno kretanje obrtanje, prenosna brzina ima oblik:



ρωrrr

×= pv , (6.4)

gde je:- ω

rvektor ugaone brzine obrtanja.

- Ako je prenosno kretanje translatorno kretanje, prenosna brzina se određuje:

o p vv rr = , (6.5)

Bitno je ovde još jednom naglasiti, da bez obzira na vrstu prenosnog kretanja, apsolutna brzina

tač ke M se određ uje po obrascu (6.1) s tim, da se prenosna brzina određ uje u zavisnosti od vrste

prenosnog kretanja krutog tela obrasci od (6.3) do (6.5).

Primer 6.1.

Tačka M kreće se duž prave OA brzinom v (prema slici 6.2), a sama prava se obr će u ravni Ox1 y1

oko taćke O ugaonom brzinom ω. Odrediti brzinu tačke M prema koordinatnom sistemu Ox1 y1 uzavisnosti od rastojanja OM r = .

Rešenje:

Kretanje tačke M je složeno kretanje, koje se sastojiiz relativnog kretanja duž prave OA i kretanjazajedno sa tom pravom. U ovom slučaju će brzina

r vvrr

= , usmerana duž OA, biti relativna brzina tačke.Obrtno kretanje prave OA oko tačke O za tačku M je

prenosno kretanje, a brzina one tačke prave OA sakojom se u datom trenutku vremana poklapa tačka M,

biće njena prenosna brzina pvr

. Pošto se ta tačka

prave kreće po krugu poluprečnika OM r = , to je ova brzina po intenzitetu jednaka v p=r ⋅ω ,upravna je na pravac OM i ima smer obrtanja. Konstruišući paralelogram brzina nad vektorima r v

ri pv

r, može da

se odredi apsolutna brzina avr

kreatnja tačke M prema koordinatnom sistemu Ox1 y1. Kako su

brzine r vr

i pvr

međusobno normalne, to je apsolutna brzina po intenzitetu jednaka:

222

a r vv ω⋅+= .

Primer 6.2.

Reka širine h teče konstantnom brzinom v.Veslač može da saopšti čamcu premanepomičnoj vodi brzinu koja je jednaka v1.Odrediti pod kojim uglom treba prelaziti rekuda bi se na suprotnu obalu stiglo najkraćemvremenu. Gde će u tom slučaju pristatičamac?

Rešenje:

Neka čamac počne da se kreće iz tačke O

prema slici 6.3.Za koordinatne ose iz te tačke Ox1 y1 položajčamca u proizvoljnom trenutku vremena biće utački M . Pretpostavljajući da veslač saopštava

Ilustracija primera 6.1.




čamcu kretanje pod konstantnim uglom α prema osi Oy1. Tada je apsolutna brzina čamca avr

jednaka vektorskom zbiru iz relativne brzine r vr

, koja je jednaka brzini koju čamcu saopštava

veslač ( 1r vvrr

= ), i prenosne brzine pvr

, koja je jednaka brzini toka reke ( vv p

rr= ) prema:

vvvvv 1 pr a

rrrrr+=+= .

Projekcije apsolutne brzine na koordinatne ose (po teoremi o projekcijama zbira vektora) jednakesu:

αα cosv )v( ,v sinv )v( 1 ya1 xa 11⋅=+⋅= .

Pošto su obe projekcije konstantne, to će pomeranje čamca duž koordinatnih osa biti jednako:

t )cosv( y ,t )v sinv( x 1111 ⋅⋅=⋅+⋅= αα .

Kada čamac bude stigao na suprotnu obalu biće y1 =h. Iz koje se može izraziti potrebno vreme za

prelazak čamca sa jedne na drugu obalu:

αcosv

ht

1

1 ⋅= .

Očigledno, da će vreme t 1 biti najmaje, kada je cosα=1, tj. ako je α=0. Veslač će u najkraćemvremenu preći reku ako bude usmerio čamac upravno na obalu. Tom prilikom je:

1

minv

ht = .

Ako se u izraz za x1 uvrsti da je α=0, i t=t min dobiće se :

hv

v x

1

1 ⋅= .

Prema tome, čamac će dospeti u tačku B koja je udaljena odose Oy1 za rastojanje x1 nizvodno. Ovo pomeranje bićeutoliko manje, ukoliko je manja brzina v i širina reke h iukoliko je veća brzina v1.

Primer 6.3.

Pero OM pribora za registrovanje obrazuje u datom trenutkuvremena ugao α sa horizontalom i ima brzinu v usmerenunormalno na pravac OM , prema slici 6.4. Doboš sa hartijomobr će se oko vertikalne ose ugaonom brzinom ω. Odrediti

brzinu 1vr

pomeranja pera po hartiji, ako je poluprečnik doboša jednak r .

Rešenje:

Apsolutna brzina pera je poznata vva

rr= . Brzina v

rjednaka je

geometrijskom zbiru brzine kretanja pera u odnosu na hartiju(to je tražena brzina 1v

r) i prenosne brzine pv

r, koja je po




intenzitetu jednaka brzini one tačke hartije koju u datom trenutku vremena dodiruje pero. Pointenzitetu ova brzina je jednaka v p=r ⋅ω.

Na osnovu teoreme o slaganju brzina biće:

p1 vvvrrr

+= ,

odakle je :

p1

vvvrrr

−= .

Ako se nad vektorima vr

i ( pvr

− )konstruiše paralelogram brzina iz kojeg je moguće odrediti traženu

brzinu 1vr

. Pošto je ugao između vr

i ( pvr

− ) jednak 90°-α, to je po intenzitetu:

αωω sinvr 2r vv 222

1 +⋅+= .

Primer 6.4.

Kraj B horizontalnog štapa AB vezan je zglobom sa klizačem koji klizi duž proreza kulise OC i prisiljava je da se obr će oko ose O prema slici 6.5. Rastojanje ose O od štapa AB jednako je h.Odrediti ugaonu brzinu kulise u zavisnosti od brzine štapa v i ugla ϕ.

Rešenje:

Apsolutna brzina klizača, koja je jednaka brziništapa v

r, je poznata. Ova brzina klizača je jednaka

vektorskom zbiru relativne brzine r vr

klizača duž

proreza kulise i prenosne brzine pvr

, koja je

jednaka brzini one tačke kulise, koja se u datomtrenutku vremena poklapa sa klizačem. Smeroviovih brzina su poznati, jer je brzina r v

rusmerena

duž prave OB, dok je brzina pvr upravna na OB.

Razlažući datu brzinu vr

u pravce r vr

i pvr

,ove

brzine se mogu odrediti. Iz paralelograma brzinase vidi da je po intenzitetu brzina ϕcosvv p ⋅= .

Sa druge strane, prenosna brzina je jednaka

ωϕ

ω ⋅=⋅=cos

hOBv p , gde je ω ugaona brzina

kulise. Izjednačavanjem ovih izraza za prenosnu brzinu, dobiće se ugaona brzina kulise u obliku:

ϕω 2cosh

v⋅= .

6.3. APSOLUTNO UBRZANJE TAČKE

Apsolutno ubrzanje tačke M pri složenom kretanju određen je prvim izvodom po vremenuapsolutne brzine, koje ima oblik:

dt

vd a

rr

= .




7. SLOŽENO KRETANJE KRUTOG TELA

Složeno kretanje krutog tela se sastoji iz relativnog kretanja tela u odnosu na pokretni koordinatnisistem ( x,y,z ) i prenosnog kretanja tela zajedno sa pokretnim koordinatnim sistemom u odnosu nanepokretni koordinatni sistem ( x1 ,y1 ,z 1), prikazano na slici 7.1.

Na slici tača O (centar pokretnog koordinatnog sistema) predstavlja pol prenosnog kretanja, a tačka A (proizvoljna tačka krutog tela), predstavlja pol relativnog kretanja.Zadaci kinematike svode se naiznalaženje zavisnosti izmeđukarakteristika relativnog, prenosnogi apsolutnog kretanja.U opštem slučaju prenosno

kretanje sastoji se iz : Translatornogkretajna pola O i obrtanja oko pola

O sa ugaonom brzinom prenosnogkretanja ω p. Relativno kretanje

sastoji se iz : Translatornog kretanjatačke A i obrtanja oko tačke A saugaonom brzinom relativnogkretanja ωr .

7.1. APSOLUTNA BRZINATELA

Apsolutna brzina tela na osnovu (6.2) imaće sledeći oblik:

r p vvvrrr

+= , (7.1)

gde su:- v

rvektor apsolutne brzine,

- pvr

vektor prenosne brzine,

- r vr

vektor relativne brzine.Dalje, na osnovu (6.1) pojedine komponentne brzine imaju oblike:a) Vektor prenosne brzine

,

po p r vvrrrr

×+= ω ,

gdesu:- ov

rvektor translatorne brzine pola O,

- pωr

trenutna ugaona brzina prenosnog kretanja.

b) Vektor relativne brzine

ρωrrrr

×+= r Ar r vv ,gde su:

- Ar vr

translatorna brzina tačke A,

- r ωr

trenutna ugaona brzina relativnog kretajna.

Konačan oblik apsolutne brzine krutog tela pri složenom kretanju je:

ρωωrrrrrrr

×++×+= r Ar

,

po vr vv . (7.2)

Slika 7.1. Složeno kretanje krutog tela



7.2. APSOLUTNO UBRZANJE

Apsolutno ubrzanje tela na osnovu (6.7) ima oblik:

cr p aaaarrrr

++= , (7.3)

gde su:

- a

r

vektor apsolutnog ubrzanja,- par vektor prenosnog ubrzanja,

- r ar

vektor relativnog ubrzanja,

- car

vektor Korilisovog ubrzanja.

Komponente apsolutnog ubrzanja imaju oblike:a) Vektor prenosnog ubrzanja

( ) ,

p p

,

po p r r aarrrrrrr

××+×+= ωωε ,

gde su:- oar vektor ubrzanja pola O,- pε

rvektor trenutnog ugaonog prenosnog ubrzanja (ugaono ubrzanje prenosnog

koordinatnog sistema),- pω

rvektor trenutne ugaone brzine prenosnog kretanja.

b) Vektor relativnog ubrzanja

( )ρωωρεrrrrrrr

××+×+= r r r Ar r aa ,gde su:

- Ar ar

vektor relativnog ubrzanja tačke A,

- r εr vektor ralativnog trenutnog ugaonog ubrzanja,- r ω

r vektor trenutne ugaone brzine relativnog kretanja.

c) Vektor Koriolisovog ubrzanja

( )r pc v2arrr

×⋅= ω ,

gde su:- pω

rvektor trenutne ugaone brzine prenosnog kretanja,

- r vr

vektor relativne brzine.

7.3. OSNOVNI OBLICI SLOŽENOG KRETANJA

U daljnjem će se razmatrati složeno kretanje krutog tela za sledeće slučajeve:- kada su ralativno i prenosno kretanje translatorna,- kada su ova kretanja obrtanja oko paralelnih osa.

7.3.1. TRANSLATORNA KRETANJA

Ukoliko kruto telo koje se kreće translatornom brzinom r vr

u odnosu na pokretni koordinatni sistem

( x,y,z,), koji se kreće translatonom brzinom pv

r

u odnosu na nepokretni koordinatni sistem( x1 ,y1 ,z 1), telo vrši složeno kretanje. Brzina apsolutnog kretanja definisana prema (7.1) isnosi:



pr vvvrrr

+= . (7.4)

Brzina apsolutnog kretanja jednaka jevektorskom zbiru relativnog i prenosnogkretanja. Ako su relativno i prenosno kretanje

krutog tela translatorna kretanja, onda je

apsolutno (složeno) kretanje tela takođ e

translatorno. Slučaj ovakvog kretanja prikazan je na slici 7.2.

7.3.2. OBRTANJE OKO PARALELNIH OSA

Posmatrajući slučaj, kada je relativno kretanje obrtno kretanje, koje se vrši sa ugaonom brzinom

1ω oko ose z , koja je pričvršćena za krivaju (prema slici 7.3), koja se obr će oko ose z 1 sa ugaonom

brzinom prenosnog kretanja ω2 . Ako su ose međusobom paralelne, tada će kretanje tela biti ravnou odnosu na ravan upravnu na ose obrtanja. Mogu se razlikovati dva slučaja i to, kada su obakretanja u istom smeru , i kada su obrtanja usmerena u suprotnim smerovima.

7.3.2.1. Slučaj kada su obrtanja tela usmerena u istom smeru

Posmatrajući telo koje se obr će okoose z ugaonom brzinom 1ωr i zajednosa osom z obr će se oko drugenepokretne ose z 1 sa ugaonom

brzinom 2ωr

, prikazano na slici 7.3.Ose su paralelne, a obrtanja se vrše uistu stranu, tj. zupčanik I pomoćukrivaje kotrlja se po nepokretnomzupčaniku II .Obrtanje oko ose z je relativnokretanje, a obrtanje oko ose z 1 je

prenosno kretanje. Na rastojanju OA postoji tačka C čija je apsolutna brzina u datom trenutku vremena jednaka nuli (jer je zupčanik II

nepokretan).Apsolutna brzina tačke C je određena

prema:

CpCr C vvvrrr

+= ,

pri čemu su:

1Cr AC v ω⋅= ,

Slika 7.2. Slaganje translatornih kretanja

Slika 7.3. Slaganje istosmernih obrtanja



2Cp OC v ω⋅= .

Vektori brzina su istog pravca, a suprotnog smera (prema slici 7.3). S obzirom da je 0vC =r

sledi:

21 OC AC ωω ⋅=⋅ ,ili

AC OC

21 ωω = . (7.5)

Pošto je apsolutna brzina tačke jednaka nuli, tač ka C predstavlja trenutni pol brzina.

Intenzitet trenutne ugaone brzine ω određuje se na osnovu apsolutne brzine tačke A, kao brzineusled obrtanja tela oko osa z i z 1, odnosno brzine usled apsolutnog obrtanja tela oko trenutnog pola

brzine C .-Apsolutna brzina tač ke A usled obrtanja tela oko osa z i z 1 iznosi:

221 A OAOA0v ωωω ⋅=⋅+⋅= .

Tačka A ima samo prenosnu brzinu (jer se nalazi na osi obrtanja z ).- Brzina tač ke A usled apsolutnog obrtanja oko trenutnog pola brzina C iznosi:

ω⋅= AC v A ,gde je:

- ω intenzitet trenutne ugaone brzine.

Iz gornjih relacija i sa slike 7.3. sledi:

222 AC

OC 1

AC

OC AC

AC

AOωωωω ⋅

+=⋅+=⋅= ,

odnosno

21 ωωω += . (7.6)

Kada telo uč estvuje jednovremeno u dva obrtanja oko paralelnih osa u istu stranu, onda ć e

apsolutno kretanje tela biti trenutno obrtanje apsolutnom ugaonom brzinom ω = ω1+ω2 , koja je

usmerena u istu stranu oko trenutnog pola brzina C .

U toku vremena, trenutna obrtna osa opisuje cilindričnu površinu, tj. ona menja svoj položaj u prostoru.

Uzimajući u obzir relaciju (7.5) mogu se napisati i sledeće zavisnosti:

AOOC AC AC OC

2121 ωωωωω=

+

+== . (7.8)

7.3.2.2. Slučaj kada su obrtanja tela usmerena u suprotnom smeru

Model ovakvog obrtanja je obrtanje zupčanika I ugaonom brzinom ω1 oko ose z koji je vezan polugom OA sa centrom zupčanika II (osa z

1), pri čemu se zupčanik I kotrlja po zupčaniku II sa

unutrašnim ozubljenjem, koji je fiksiran (slika 7.4).



Pod pretpostavkom da je 1ω > 2ω možeda se odredi tačka C , čija je brzina udatom trenutku jednaka nuli. Ova tačkanalazi se sa strane ugaone brzine sa većimintenzitetom tj. 1ω

r, prema slici 7.4.

Slično kao i u prethodnom slučaju za brzine tačke C mogu se napisati izrazi:

1Cr AC v ω⋅= ,

2Cp OC v ω⋅= ,

ili

21 OC AC ωω ⋅=⋅ ,iz čega sledi:

AC OC

21 ωω

= . (7.9)

Intenzitet brzine tačke A može da senapiše u sledećim oblicima:

212 A OA0OAv ωωω ⋅=⋅+⋅= ,

ω⋅= AC v A .

Na osnovu gornjih zavisnosti, i slike 7.4. može da se napiše sledeće:

212

2

1222 11

AC

OC

AC

AC OC

AC

OAωωω

ω

ωωωωω −=⋅

−=⋅

−=⋅

−=⋅= ,

ili

21 ωωω −= . (7.10)

Ako telo uč estvuje jednovremeno u dva obrtanja oko paralelnih osa sa ugaonim brzinama

razli č itih intenziteta i razli č itih smerova, onda je apsolutno kretanje trenutno obrtanje ugaonom

brzinom ω = ω1 - ω2 , i vrši se u stranu ugaone brzine već eg intenziteta oko trenutnog pola brzineC.

Uzimajući u obzir relaciju (7.9) mogu se napisati i sledeće zavisnosti:

AO AC OC

21 ωωω== . (7.11)

Gornji rezultati dobijeni u ovom poglavlju, mogu se upotrebiti za kinematički proračun cilindričnihzupčastih prenosnika. Obič ni zupč asti prenosnici su prenosnici kod kojih su ose svih međusobnoozubljenih zupčanika nepomične. Bilo kod spoljašnjeg (slika 7.3), bilo kod unutrašnjeg (slika 7.4)

ozubljenja dvaju zupčanika, biće (na osnovu formula 7.5 i 7.9) 2211 r r ⋅=⋅ ωω , gde suOC r , AC r 21 == odgovarajući poluprečnici zupčanika. Pošto je broj zubaca z spregnutih

Slika 7.4. Slaganje suprotnosmernih obrtanja



zupčanika proporcionalan njihovim poluprečnicima i da se obrtanje zupčanika, pri unutrašnjemozubljenju, vrši u istom smeru, a pri spoljašnjem ozubljenju u suprotnom smeru, dobije se:

1

2

1

2

.unutr 2

1

1

2

1

2

. spolj2

1

z

z

r

r ,

z

z

r

r ==

−=−=

ω

ω

ω

ω. (7.12)

Pored "običnih" prenosnika postoje i t.z. planetarni prenosnici, čiji će kinematički proračun bitiobrađen u sledećem poglavlju.

7.4. PRORAČUN PLANETARNIH PRENOSNIKA

Planetarni zupč asti prenosnici su takvi prenosnici, u kojima se jedan ili više zupčanika u obliku planetarnog zupčanika jednovremeno obr će oko svoje ose i oko ose drugog zupčanika. U stvari planetarni zupčanici pričvršćeni su za jednu krivaju ( AB), koja se obr će oko centra nepokretnogzupčanika ( z 1), prema slici 7.5. U slučaju, da zupčanik z 1 može da se obr će oko svoje osenezavisno od krivaje AB, takav prenosnik se zove diferencijalni zupč asti prenosnik.

Vratila ovih prenosnika su paralelna.Za proračun kinematičkih karakteristika ovih prenosnika pogodno je primeniti metod

zaustavljanja, ili metod Wilis-a (1841). Ova metoda sastoji se u tome, što se zamisli da je kretanje pogonske krivaje zaustavljeno i njena ugaona brzina sa suprotnim smerom preneta na sve članovesistema. Zadatak se zatim dalje rešava kao pri obrtanju sistema tela oko nepokretnih osa (odnosnokao problem "običnih" prenosnika). Primena metode ilustrovaće se na nekoliko primera.

Primer 7.1.

U planetarnom mehanizmu prema slici 7.5 zupčanik 1, poluprečnika r 1, je nepokretan, dok sekrivaja AB obr će konstantnom ugaonom brzinom ω AB. Potrebno je odrediti ugaonu brzinuzupčanika 3, poluprečnika r 3.

Rešenje:

Apsolutne ugaone brzine obrtanja zupčanikau odnosu na ose nepokretnog koordinatnogsistema ( x1 ,y1) označavaju se sa ω1 (ω1 =0),ω2 i ω3. Ako se celoj ravni Ax1 y1 saopštiobrtanje ugaonom brzinom -ω AB dobiće seobrtanja koja se vrše ugaonim brzinama:

, ,0 AB22 AB1 ωωωωω −=−=) )

0 , AB AB33 =−= ωωωω) )

Na ovaj način se dobija "običan" prenosnik,i na osnovu (7.12) mogu da se napišu sledeći

odnosi ugaonih brzina:

2

3

3

2

1

2

2

1

r

r ,

r

r −=−=

ω

ω

ω

ω )

)

)

)

,

odakle je

1

3

1

3

3

1

z z

r r ==

ωω )

)

.




Vidi se, da je odnos ugaonih brzina krajnjih zupč anika kod "obi č nih" prenosnika obrnuto

proporcionalan njihovim polupreč nicima (broju zubaca) i ne zavisi od polupreč nika umetnutih

zupč anika.

Zamenom odgovarajučih ugaonih brzina se dobija:

1

3

AB3

AB

r

r =

−

−

ωω

ω.

Odavde je apsolutna ugaona brzina zupčanika 3:

AB

3

13

r

r 1 ωω ⋅

−= .

Ako je r 3 > r 1 tada se smer obrtanja zupčanika 3 poklapa sa smerom obrtanja krivaje, a ako je r 3 <r 1 tada se ne poklapa.U slučaju r 3 = r 1 tada se dobije da je ω3 = 0 i zupčanik 3 u tom slučaju krećese translatorno.

Primer 7.2.

Krivaja OA obr će se konstantnom ugaonom brzinom ω 0 oko ose nepokretnog zupčanika sa brojemzuba z 0 =60. Za krivaju su zglobno vezani zupčanici sa brojevima zubaca z 1=40, z 2=50, z 3=25

(prema slici 7.6). Odrediti ugaonu brzinu ω 3 zupčanika 3.

Rešenje:

Krivaja OA vrši obrtanje oko nepokretne ose,zupčanici z 1 ,z 2 ,z 3 ravno kretanje, a zupčanik z 0 jenepokretan. Kretanje poluge se zaustavlja i

prenosi se njeno kretanje sa suprotnim znakom

na sve članove sistema (kako na pokretne, tako ina nepokretne). Zupčanici imaju ugaone brzine:

0330121200 , ,0 ωωωωωωωω −=−=−=) ) )

.

Primenjujući metod rešavanja zadataka tela kojase obr će oko nepokretnih osa dobija se:

0

1

12

0

r

r −=

ω

ω )

)

,2

3

3

12

r

r −=

ω

ω )

)

.

Iz ovih jednačina proizilazi:

0

31

023

r r

r r ωω) )

⋅⋅

⋅= , ili ( )0

31

0203

r r

r r ωωω −⋅

⋅

⋅=− .

Odavde, imajući u vidu da su brojevi zubaca zupčanika proporcionalni sa poluprečnicima, proizilazi:

00031

02

031

02

3 22540

6050

1 z z

z z

1r r

r r

1 ωωωωω ⋅−=⋅

⋅

⋅

−=⋅

⋅

⋅

−=⋅

⋅

⋅

−= .




Primer 7.3.

Ram I-I obr će se ugaonom brzinom ω1 oko horizontalne nepokretne ose AB. Točkovi II i III koji sumeđusobno spojeni slobodno su postavljeni na vratilo rama. Točak II zahvata nepokretan točak IV ,a točak III zahvata točak V , koji se slobodno obr će oko ose AB. Poluprečnici točkova su: r 2 , r 3 , r 4 ,

r 5 prema slici 7.7. Odrediti ugaonu brzinu ω3 točka V .

Rešenje:

Ako se u mislima zaustavi ram I i njegovaugaona brzina se prenese na ostale članove,dobija se:

13312211 , ,0 ωωωωωωωω −=−=−=) ) )

.

Na osnovu prenosnih odnosa proizilazi:

5

3

2

3

4

2

2

1

r

r ,

r

r −=−=

ω

ω

ω

ω )

)

)

)

,

ili

1

25

43

2

5

3

3r r

r r

r

r ωωω) ) )

⋅⋅

⋅=⋅−= ,

Zamenom apsolutnih ugaonih brzina se dobije:

1

25

4331

25

4313

r r

r r 1

r r

r r ωωωωω ⋅

⋅

⋅−=⇒⋅

⋅

⋅−=− .

Primer 7.4.

Na slici 7.8 prikazan je planetarni prenosnik, koji se sastoji od nepokretnog zupčanika 1 poluprečnika r 1=40 [cm], dva pokretna zupčanika r 2=20 [cm], i r 3=30 [cm] na zajedničkomvratilu i zupčanika sa unutrašnjim ozubljenjem poluprečnika r 4=90 [cm] na vratilu II . Vratilo I sakrivajom koja nosi vratila pokretnihzupčanika ima n I =1800 [o/min]. Odrediti

broj obrtaja vratila II .

Rešenje:

Na osnovu metode zaustavljanja sledi:

I II II I 22 I 1 , ,0 ωωωωωωωω −=−=−=) ) )

.

Na osnovu sprege pojedinih zupčastih parovasa slike sledi:

1

2

12

1

2

2

1

r

r

r

r ωω

ω

ω ) ) )

)

⋅−=⇒−= ,

2

4

3 II

4

3

2

II

r

r

r

r ωω

ω

ω ) ) )

)

⋅=⇒= ,

zamenom 2ω )

iz prethodne jednačine sedobija:





1

24

13 II

r r

r r ωω) )

⋅⋅

⋅−= .

Zamenom apsolutnih ugaonih brzina dobija se:

I

24

13 I II r r

r r

ωωω ⋅⋅

⋅=− ,

ili

I

42

31 II 1

r r

r r ωω ⋅

+

⋅

⋅= .

Veza ugaone brzine vratila I i broja obrtaja:

πππ

ω 6030

1800

30

n I =

⋅=

⋅= .

Ugaona brzina vratila II iznosi:

[ ]1

II s1006019020

3040 −=⋅

+⋅⋅

= ππω .

Broja obrtaja vratila II iznosi:

[ ]min / 030001003030

n II =⋅

=⋅

=π

ππ

ω.

Primer 7.5.

Reduktor prikazan na slici 7.9 sastoji se iz sledećihelemenata:- nepomičnog zupčanika 1,- dva spregnuta zupčanika 2 i 3, nasađena na krivaju, koja jespojena sa vodećim vratilom AC ,- zupčanika 4, koji se nalazi na vođenom vratilu B.Broj zubaca pojedinih zupčanika iznosi: z 1=120, z 2=40,

z 3=30, z 4=50. Vodeće vratilo se obr će sa brojem obrtaja

n A=1500 [o/min]. Odrediti broj obrtaja vođ

enog vratila B. Rešenje:

Apsolutne ugaone brzine pojedinih elemanata reduktora seoznačavaju: vratilo A sa krivajom sa ω A; zupčanik 4 zajednosa vratilom B sa ω B; zupčanik 2 i 3 sa ω23. Zupčanik 1 jefiksiran, pa njegova ugaona brzina ω1=0.Saopštavajući elementima ugaonu brzinu -ω A, dobijaju seugaone brzine zupčanika:

A B4 A2323 A1 A , ,0 ,0 ωωωωωωωωω −=−=−==) ) ) )

.

Primenjujući za zupčanike 1 i 2 i za zupčanike 3 i 4 zavisnost (7.12.) dobija se:




3

4

4

23

1

2

23

1

z

z ,

z

z −==

ω

ω

ω

ω )

)

)

)

.

Iz gornjih jednačina proizilazi:

31

42

4

1

z z

z z

⋅

⋅−=

ω

ω )

)

,

ili za apsolutne ugaone brzine

31

42

A B

A

z z

z z

⋅

⋅−=

−

−

ωω

ω.

Iz ove jednačine, imajući u vidu da je broj obrtaja n proporcionalan sa ugaonon brzinom ω sedobije:

[ ]min / 0420015005040

301201n

z z

z z 1n A

42

31 B =⋅

⋅⋅

+=⋅

⋅

⋅+= .

Primer 7.6.

Rešiti zadatak 7.5. pod uslovom da se zupčanik 1 obr će u istom smeru sa vodećem vratilom AC sa brojem obrtaja n1=1100 [o/min] (reduktor sa diferencijalnim prenosnikom).

Rešenje:

Zadatak se reševa na isti način kao i prethodni (7.5.), s tom razlikom što je sada 01 ≠ω i prema

uslovima zadatka znaci za ω1 i ω2 poklapaju i dobija se da je: A11 ωωω −= )

. Na osnovu proporcije iz prethodnog zadatka:

31

42

4

1

z z

z z

⋅

⋅−=ω

ω )

)

,

se dobija:

31

42

A B

A1

z z

z z

⋅

⋅−=

−

−

ωω

ωω.

Odnos brojeva obrtaja iznosi:

( ) min] / o[ 2220nn z z

z z nn 1 A

42

31

A B =−⋅⋅

⋅+= .

Ukoliko bi zupčanik 1 imao suprotan smer obrtaja od smera obrtaja vratila AC , tada u dobijenomrezultatu treba promeniti znak kod n1.

Primer 7.7.

Kod prenosnika prema slici 7.10, vodeće vratilo O obr će se ugaonom brzinom ω0 i dovodi dokretanje vratilo na kome su postavljeni zupčanici II i III . Zupčanik II se kotrlja unutar nepokretnogzupčanika V . Odrediti ugaone brzine zupčanika I i IV , ako su poluprečnici zupčanika r 1 , r 2 , r 3 ,,r 4.

Rešenje:

Ugaone brzine pojedinih zupčanika pre i posle zaustavljanja vode

ćeg vratila prikazane su usledećoj tabeli:



ZUPČANICIKRIVAJA I II III IV V

PREZAUSTAVLJA

NJAω0 ω1 ω2 ω2 ω4 0

POSLEZAUSTAVLJA

NJA0 ω1-ω0 ω2-ω0 ω2-ω0 ω4-ω0 -ω0

Na osnovu međusobnih veza zupčanika (slika 7.10) i tabele dobijaju se sledeći odnosi:

( )02

1

201

1

2

02

01

r

r

r

r ωωωω

ωω

ωω−⋅−=−⇒−=

−

−,

( )02

4

304

3

4

04

02

r

r

r

r

ωωωωωω

ωω

−⋅−=−⇒−=−

−,

( )0

1

202

2

5

0

02

r

r

r

r ωωω

ω

ωω−⋅=−⇒=

−

−.

Odakle sledi:

0

1

51 1

r

r ωω ⋅

+= ,

0

42

534 1

r r

r r ωω ⋅

+

⋅

⋅= .




8. LITERATURA

1. D. Rašković:Mehanika II kinematika(Naučna knjiga, Beograd 1950.)

2. Davorin Bazjanac:Tehnička mehanika, Kinematika(Tehnička knjiga, Zagreb 1959.)

3. S.M.Targ:Teorijska mehanika, Kratak kurs(Građevinska knjiga, Beograd 1985.)

4. Vladimir Šikoparija:Kinematika(Naučna knjiga, Beograd 1983.)

5. Vladimir Šikoparija:Kinematika, zbirka rešenih zadataka iz mehanike II(Naučna knjiga, Beograd 1990.)

6. Pattantyús:Gépész és villamosmérnökök kézikönyve(Műszaki könyvkiadó, Budapest 1961.)

ViŠa TehniČka Škola Subotica

Documents

Transcript of ViŠa TehniČka Škola Subotica