Dr. Virginia ATANASIU

Departamentul de Matematica

Academia de Studii Economice din Bucuresti

MODELARE ŞI APLICABILITATE ÎN TEORIA CREDIBILITAŢII

MODELING AND APPLICATION IN CREDIBILITY THEORY

Abstract. This paper, by its new elements approached and related

to mathematical device, highlights the factors and conditions that can

compete, support and improve the situation of the non-life insurance

and of the actuarial accounting. The credibility models addressed in

all their complexity and incorporated into the mathematical device

foresee their value for the non-life insurance practice.

An important aspect of the article is the way that

mathematics, by the theory of probability and by the mathematical

statistics, involve in solving difficult problems that the actuaries in

analyzing face in analyzing and solving the non-life insurance, reveals

and reinforces the belief that the mathematical tool expands to

practical life problems and helps to solve them with maximum of

efficiency.

Key words: credibility regression models, classical result of

regression, credibility estimators, credibility and actuarial

calculations.

AMS Subject Classification: 62PO5

INTRODUCERE

Pe linia apropierii generale dintre matematică şi sistemul asigurărilor non-

viaţă de pe piaţa mondială a acestor asigurări, precum şi a sistemului de

contabilitate actuarială, respectiv a sistemului finanţelor şi a celui de fiscalitate,

se înscrie şi prezenta lucrare, care abordează probleme teoretice şi practice

diverse din domeniul asigurărilor non-viaţă, cel al contabilităţii actuariale,

respectiv cel al finanţelor şi cel al fiscalităţii, elaborând şi dezvoltând aşa-numita

teorie a credibilităţii, cu scopul de a constitui o bază matematică necesară şi

totodată utilă fundamentării deciziilor specifice gestiunii afacerilor financiare.

Articolul conţine numeroase rezultate teoretice cu caracter specific

activităţilor de asigurare non-viaţă, de contabilitate actuarială, respectiv de

finanţe şi de fiscalitate şi cuprinde, totodată, foarte multe formule, procedee şi

Virginia Atanasiu

modele de calcul matematic practic, care pot să apară în diversitatea afacerilor

şi care sunt ilustrate, ulterior, prin câteva exemple numerice soluţionate.

Ca orice produs al unei activităţi didactice şi de cercetare ştiinţifică de

lungă durată, lucrarea constituie o sinteză de preocupări, idei şi rezultate

teoretice şi practice, în care aparatul matematic îşi dovedeşte utilitatea.

Într-o încercare de prezentare riguroasă şi unitară, articolul realizat este

structurat pe două secţiuni, fiecare dintre ele având un anumit scop bine

definit, atât ca parte de sine stătătoare, cât şi ca o componentă a ansamblului pe

care îl alcătuiesc împreună, cu un anumit grad de interdependenţă.

În cadrul lucrării s-a efectuat o trecere în revistă a două modele de

credibilitate, pe care se clădeşte teoria de regresie a credibilităţii, mai precis

teoria modernă a regresiei credibilităţii.

Dezvoltarea pe larg a fiecărui model în parte dintre cele două anterior

menţionate, evidenţiază aplicabilitatea acestora în asigurările non-viaţă, în

contabilitatea actuarială, în finanţe şi fiscalitate, prin prezentarea primelor nete

de risc, a calculelor actuariale şi a rezultatelor de credibilitate specifice lor, în

care s-au introdus efecte precum „inflaţia”.

În acest articol realizăm astfel, o privire de ansamblu asupra structurii

teoriei moderne a regresiei credibilităţii şi a multiplelor posibilităţi practice ale

ei de rezolvare a problemelor pe care le implică la ora actuală industria

asigurărilor non-viaţă şi domeniile de interes vast economic, financiar, fiscal,

contabil, actuarial.

Mai precis, dezbatem unele aplicaţii practice ale asigurărilor non-viaţă, cu

profunde implicaţii în economie, contabilitate, finanţe şi fiscalitate, ce pot fi

soluţionate prin mijloacele teoretice ale credibilităţii, prezentând în acest sens o

incursiune în teoria modernă a credibilităţii, împreună cu cele mai recente

dezvoltări ale teoriei matematicilor economice pentru credibilitate.

Convins fiind că nu pot ataca riguros şi totodată în mod credibil o

problematică atât de vastă şi de sensibilă la schimbări cum este aceea a

asigurărilor non-viaţă, cu calculele specifice lor de tip economic, financiar,

contabil şi fiscal pentru primele nete de risc şi implicit cu rezultatele acestor

calcule, am iniţiat şi treptat am perfectat teoria regresiei credibilităţii,

realizându-mi astfel, dezideratul de a pătrunde din ce în ce mai profund în taina

asigurărilor de acest gen.

Principalele rezultate ale articolului sunt: 1) dezvoltarea unei expresii pentru

estimatorul credibilităţii al primei pure nete de risc, bazat pe observaţii,

pornind de la o bine-cunoscută formulă de reprezentare a inversei pentru o clasă

specială de matrici şi permiţând ca efecte, precum inflaţia; din cauza inflaţiei

facem ipoteza de regresie, care afirmă că prima pură netă de risc se modifică (se

schimbă) în timp; 2) dezvoltarea unei soluţii de credibilitate sub forma unei

combinaţii liniare a estimatorului individual (bazat pe datele unui singur

contract izolat) cu estimatorul colectiv (bazat pe datele agregate de la un

colectiv de contracte identice); pentru a ilustra soluţia cu proprietăţile sus-

menţionate, am avut nevoie de bine-cunoscuta teoremă de reprezentare pentru

o clasă specială de matrice, de proprietăţile urmei pentru o matrice pătratică,

Modelare şi aplicabilitate în teoria credibilitaţii

__________________________________________________________________

de produsul scalar a doi vectori, de norma în raport cu o matrice pozitiv

definită dată în prealabil şi de proprietăţile matematice complicate ale

mediilor condiţionate şi ale covarianţelor condiţionate.

Aducând la cunoştinţă aceste contribuţii remarcabile ale credibilităţii

asigurărilor non-viaţă, relevăm faptul că ele reprezintă cu certitudine, singura

soluţie posibilă atunci când domeniul asigurărilor non-viaţă este confruntat cu

riscuri ale căror caracteristici elementare de risc nu pot fi determinate pentru

niciun colectiv (sau portofoliu) de contracte bine definit, sau cu o acoperire a

riscului în circumstanţe nemaiîntâlnite până acum, situaţii în care specialiştii

trebuie să ia decizii cu date puţine sau cu nicio dată obiectivă.

Lucrarea, ca mod de prezentare, are un caracter ştiinţifico-practic, cu

accesibilitate graduată, prezentând o serie de probleme teoretice şi practice, a

căror abordare necesită o pregătire matematică solidă corelată cu o stăpânire

clară şi riguroasă a conceptelor economico-financiare, dar şi de contabilitate,

precum şi de fiscalitate aferente.

Ca orice produs al unei activităţi de cercetare ştiinţifică de lungă durată,

articolul constituie o sinteză de preocupări, idei şi rezultate teoretice şi

practice, dintre care foarte multe sunt originale, precum cele două modele

prezentate aici, ele fiind publicate acum pentru prima dată, în care aparatul

matematic, cel economico-financiar împreună cu cel contabil şi cel fiscal se

împletesc şi îşi dovedesc din plin utilitatea.

Lucrarea, astfel realizată, este bazată pe un rezultat simplu, dar fundamental

al teoriei asigurărilor în general, şi anume că: „orice individ cere o asigurare,

dacă este convins de utilitatea şi credibilitatea acesteia”.

Articolul atinge deci unul din domeniile sensibile ale sistemului general al

activităţilor financiare şi anume asigurările şi un altul al contabilităţii, prin

prisma calculării şi evaluării primelor de asigurare şi a altor concepte conexe cu

acestea.

Mărturisesc sincer, că mi-ar face o mare plăcere ca prezenta lucrare să poată fi

considerată ca o contribuţie la dezvoltarea domeniului asigurărilor non-viaţă, a

celui economico-financiar, a celui contabil şi a celui fiscal, prin încercările pe

care le-am făcut de a analiza şi a fundamenta riguros din punct de vedere al

matematicilor economice teoria credibilităţii, teorie deosebit de importantă în

ceea ce priveşte luarea unor decizii deosebit de importante, legate de dificila, dar

interesanta şi extrem de dinamica gestiune a afacerilor financiare, precum şi de

calculul primelor nete de risc ale contractelor de asigurare non-viaţă, care

permit efecte precum „inflaţia”.

Articolul poate fi privit din două puncte de vedere, şi anume unul clasic legat

de problemele generale de contabilitate şi fiscalitate, cum ar fi evaluarea

primelor nete de risc pentru contractele non-viaţă şi un al doilea actual sau

modern, specific microeconomiei asigurărilor (prin prisma conceptelor de

utilitate, credibilitate şi decizii raţionale în condiţii de incertitudine).

În modelul de regresie a credibilităţii prezentat de secţiunea 1., se va

permite variaţia lui jXM ( 1j ).

Virginia Atanasiu

Modelul de regresie a credibilităţii a fost introdus pentru prima dată de

actuarul de marcă Hachemeister. Acesta considera portofolii din mai multe

state ale U.S.A.. Fie, aşadar, unul dintre aceste portofolii şi fie jX suma medie

a pretenţiilor (solicitărilor) de despăgubire din anul j , pentru portofoliul

considerat. Datorită inflaţiei, nu se presupune că jXM este independentă de

j , ci se face presupunerea de regresie: ~~

'

jj YXM , unde ~

'

jY este un vector

cunoscut, iar ~

un vector necunoscut. Estimând vectorul ~

pentru diferite

state, Hachemeister a descoperit diferenţe mari, fapt care l-a determinat să

admită că fiecăruia dintre state îi era asociat un parametru de risc aleator

necunoscut , conţinând caracteristicile de risc ale acestui stat şi că aceşti

din diferite state erau independenţi şi identic distribuiţi. Ţinând seama de cele

afirmate anterior, Hachemeister a introdus ipoteza de regresie:

~~

' bYXM jj, vizând un stat particular, unde

~

'

jY este un vector nealeator

cunoscut de dimensiune q1 , iar ~b un vector aleator necunoscut de

dimensiune 1q , conţinând variabilele aleatoare necunoscute de regresie, cu

~~bM , pentru ca

~~

'

jj YXM ( j s-a interpretat ca timp calendaristic,

adică s-a considerat inflaţia pentru acelaşi timp calendaristic). După aceste remarci

introductive privind necesitatea considerării modelului de regresie a credibilităţii,

prezentăm ipotezele de lucru ale modelului lui Hachemeister.

1. MODELUL DE REGRESIE A CREDIBILITĂŢII

Fie '

21~

,...,, tXXXX un vector 1t aleator al observaţiilor şi un

parametru de risc aleator neobservabil, ce caracterizează riscul considerat.

1) Se face supoziţia de regresie: ~~~bYXM , unde:

~Y este o matrice

nealeatoare cunoscută de ordinul qt şi de rang tq , iar ~b este un vector

aleator necunoscut, de dimensiune 1q , conţinând variabilele aleatoare

necunoscute de regresie („constantele” în raport cu timpul, de regresie

necunoscute);

2) ~

.

~bCov

not

(matrice pozitiv definită);

3) ~

.

~XCovM

not

(matrice pozitiv definită);

Modelare şi aplicabilitate în teoria credibilitaţii

__________________________________________________________________

4) ~

.

~

bMnot

;

5) În cadrul acestui model, se defineşte prima netă de risc, după cum

urmează: ~~

'ba (1.1),

unde: ~a este un vector nealeator cunoscut de dimensiune 1q .

Scopul propus este acela al determinării unei expresii cât mai simple pentru

~

, estimatorul liniar şi neomogen de credibilitate al lui bazat pe ~X . Din

acest motiv, este necesară lema de mai jos:

Lema 1.1: Fie ~A o matrice de dimensiune sr şi

~B o matrice de

dimensiune rs . Atunci, are loc identitatea:

~

1

~~~~~

1

~~~BABIAIBAI (1.2),

cu condiţia ca inversele de mai sus să existe.

Demonstraţia aferentă lemei 1.1 este prezentată în continuare. Avem:

~~

1

~~~~~~~~~~~~

1

~~~~~~~~~~~IBABIABAIABAIBABIABIABAII

~

1

~~~~~~~~~~~

1

~~~~~~~~~~BABIABAIBAIBABIABAAIBA

~

1

~~~~~~~~BABIAIBAI . Prin urmare, a rezultat:

~

1

~~~~~~~~~BABIAIBAII .

~

1

~~~~~

1

~~~BABIAIBAI , adică exact

(1.2). Rezultatul urmărit de noi, este obţinut în teorema 1.2:

Teorema 1.2: Estimatorul liniar şi neomogen de credibilitate ~

pentru

, bazat pe ~X are expresia:

~~~

^

~~~

'~

ZIbZa (1.3),

unde:

~

1

~

'

~

1

~

1

~

'

~

^

~XYYYb (1.4)

şi:

1

~

1

~

'

~~~~

1

~

'

~~~YYIYYZ (1.5).

Virginia Atanasiu

Demonstraţia aferentă teoremei 1.2 este prezentată în cartea [1], de la

bibliografie, la paginile 108-116.

2. APLICAŢII ALE MODELULUI DE REGRESIE A

CREDIBILITĂŢII

Aplicaţiile considerate de noi, în cadrul acestei secţiuni sunt următoarele:

Aplicaţia 2.1: Dacă interpretăm pe ca vector, notându-l în acest caz,

~

, atunci definiţia (1.1) se transpune astfel: ~~~

bA (2.1),

unde: ~A este o matrice nealeatoare cunoscută de ordinul qp .

Aplicaţia 2.2: Estimatorul liniar şi neomogen de credibilitate al unui vector

se introduce ca fiind vectorul estimatorilor liniari şi neomogeni de credibilitate

pentru fiecare componentă în parte a vectorului ce se estimează.

Ţinând seama de acesta, precum şi de teorema prezentată mai sus, rezultă că

~

~

, estimatorul liniar şi neomogen de credibilitate al vectorului ~

este dat

de relaţia următoare: ~~~

^

~~~

~

~

ZIbZA (2.2).

Aplicaţia 2.3: Un caz special, interesant al lui (2.1) este acela în care ~~IA ,

când ~~~

1.2

~

bbI şi deci, estimatorul liniar-neomogen de credibilitate

al vectorului ~b este:

~~~

^

~~~~~

^

~~~

2.2~

~ZIbZZIbZIb (2.3).

Dacă dorim să îmbunătăţim pe ~

sub aspectul calităţilor pe care acesta

trebuie să le posede pentru a fi un estimator cât mai bun (cât mai fidel) al lui

, atunci impunem ca ~

să fie nedeplasat pentru , şi astfel

obţinem următoarea aplicaţie:

Aplicaţia 2.4: Estimatorul liniar şi neomogen de credibilitate

nedeplasat pentru , bazat pe ~X este:

^

~~

^

'ba (2.4).

Modelare şi aplicabilitate în teoria credibilitaţii

__________________________________________________________________

Notă: Amintim definiţia estimatorului nedeplasat. Fie r o funcţie

reală de argument aleator şi ^

r un estimator al lui r . Spunem că, ^

r este

un estimator nedeplasat al lui r , dacă:

rrM^

aproape sigur (a.s) (2.5).

Justificarea relaţiei (2.4) este următoarea. Fie: ~~

0

.

' Xgg (2.6),

un estimator liniar şi neomogen -nedeplasat al lui , unde 0g este o

constantă scalară, iar ~

g un vector constant de dimensiune 1t . Conform

definiţiei estimatorului -nedeplasat, rezultă că: .

M a.s. (2.7),

sau (a se vedea (2.6) şi (1.1)): ~~~~

0 '' baXggM a.s., sau încă:

~~~~0 '' baXMgg a.s., (deoarece:

|''|'~~

0~~

0~~

0 XMggMXgMgMXggM

~~0 ' XMgg ), adică (a se vedea ipoteza 1)):

~~~~~0 '' babYgg a.s.,

iar de aici deducem că: ~~~~

0 '' bYgag a.s. (2.8).

Întrucât 0g este o constantă scalară, este clar că: 0',~

0 bgCov (2.9).

Ţinând seama de (2.8), relaţia (2.9) devine: 0',''~~~~~bbYgaCov ,

sau: 0',''~~~~~bbCovYga , sau încă (a se vedea (1.10)):

0''~~~~bCovYga , adică (a se vedea ipoteza 2)): 0''

~~~~Yga , de unde

rezultă că trebuie să avem: ~~~

'' Yga (2.10),

Virginia Atanasiu

deoarece ~

a fost presupusă pozitiv definită. Introducând (2.10) în (2.8), obţinem

că: 00g (2.11),

ceea ce implică: t

j

jj XgXg1

~~

6.2.

' (2.12),

unde: '

21

.

~

,..., t

not

gggg . Introducând notaţiile: '

21~

,...,, qaaaa şi

qj

tiijYY,1

,1~

, se observă că (2.10) este echivalentă cu următoarea egalitate:

tqt

q

tq

YY

YY

ggaa

1

111

11 ,...,,..., , sau cu:

tqtqttq YgYgYgYgaa ...,...,...,..., 1111111 , care conduce la:

qiYgat

j

jiji ,1,1

, sau la: qiYgat

j

jiji ,1,01

(2.13).

Determinarea estimatorului liniar şi neomogen de credibilitate nedeplasat

pentru , bazat pe ~X revine la rezolvarea următoarei probleme de minim:

2

~~''

~~

XgMMing

(2.14),

date fiind condiţiile (2.13). Din acest motiv, aplicăm metoda multiplicatorilor lui

Lagrange. Fie funcţia lui Lagrange:

12.2

11

2

~~11 2':,...,,,...,

t

j

jiji

q

i

iqt YgaXgMggQQ

t

j

jiji

q

i

i

t

j

jj YgaXgM11

2

1

12.2

2 (2.15),

unde q,...,1 sunt multiplicatorii lui Lagrange. Are loc şirul de egalităţi:

q

i

i

t

j

jj

tjj

jjjj

t

j

jj XgXXggXgMQ11'1

''

1

22215.2

222

Modelare şi aplicabilitate în teoria credibilitaţii

__________________________________________________________________

tjj

jjjjj

t

j

j

t

j

jiji XXMggXMgMYga'1

''

2

1

22

1

2

t

j

jj

t

j

jiji

q

i

ij

t

j

j XMgMYgaXMg1

222

111

22

t

j

jiji

q

i

ij

t

j

jjjj

tjj

j YgaXMgXXMgg111

''

'1

2])([2)(2'

t

kjj

kjjkkk XXMggXMgM1

222 ......2......

......2 kk XMg kiki

q

1ii Yg...a2 ... (2.16).

Impunând condiţiile: tkg

Q

k

,1,0 (2.17),

obţinem:

tkYXMXXMgXMg ki

q

i

ikkj

t

kjj

jkk ,1,0222211

2 (2.18),

sau (împărţind cu 2 şi grupând convenabil termenii):

tkYXMXXMg ki

q

i

ik

t

j

kjj ,1,011

, relaţie, pe care o

numerotăm cu (2.19), sau încă:

tkYXXgMq

i

kiik

t

j

jj ,1,011

, adică:

tkYXXgCovq

i

kiik

t

j

jj ,1,0,11

(2.20),

deoarece:

tkXXgMXXgCov k

t

j

jjk

t

j

jj ,1,,11

(2.21).

Virginia Atanasiu

Într-adevăr, fie tk ,1 ; are loc şirul de egalităţi:

k

t

j

jjk

t

j

jj XXgMXXgCov11

,

k

t

j

jjk

t

j

jj XXgMXMXgM1

)12.2(

1

k

t

j

jjk XXgMXMXgM1

12.2

~~

''

MMXXgMXMM k

t

j

jjk

1

.

.

1

MMMXXgMXM k

t

j

jjk

kk

t

j

jjk XMMMXXgMXM1

7.2

k

t

j

jj XXgM1

. Ecuaţiile (2.20) se pot scrie echivalent sub formă

vectorială, astfel: 0',~~~~~

YgXXCov (2.22),

unde '

1

.

~

,..., q

not

şi aceasta întrucât: ~~~~~

', YgXXCov

'

11

'

1 ,...,,...,,,..., ttt ggXXXXCov

t

j

jjt

qtqt

q

XgXXCov

YY

YY

1

'

1

1

1

111

,,...,

Modelare şi aplicabilitate în teoria credibilitaţii

__________________________________________________________________

,...,,1

1

11

1111 t

j

jj

qtqt

qq

XgXCov

YY

YY

'

11

1

'

1

,...,,,q

i

tii

q

i

ii

t

j

jjt YYXgXCov

'

1

1

1

,,...,, t

t

j

jj

t

j

jj XXgCovXXgCov

,...,,,...,1

11

1

'

11

1

q

i

ii

t

j

jj

q

i

tii

q

i

ii YXXgCovYY

'

11

,,q

i

tiit

t

j

jj YXXgCov , de unde se vede, acum că, este evidentă

echivalenţa: (2.20) (2.22). Din (2.22), rezultă că:

0',,~~~~~~

YgXXCovXCov (2.23).

Însă:

~~~~~, XMMXMMMXMXMXCov

~~~XMMMXMMXMMM

1.1'

~~

)1

25.2~~,, bYCovXMCovMXMM

~~~~~~~

'

~~~~

'

~~~

)1.1(

,, aYabCovYabbCovYabbYCov (2.24),

unde (2.25) reprezintă următoarea egalitate: ' (2.25),

adevărată deoarece: j

q

j

jqq babbaaba1

'

11~

'

~

1.1

,...,,..., ,

cu ,...,1

.

~bb

not'

qb şi deci:

q

j

jj

q

j

jj baba1

'

1

', adică

are loc (2.25). Din (2.24), să reţinem că: ~~~~

, aYXCov (2.26).

Virginia Atanasiu

De asemenea, avem că:

|',',',~~~~

10.1

~~~~~~XXovCMgXCovgXXCovgXXCov

)3

~~~~~~

)1

14.1~~~'',||',| gYbbYovCXCovMgXMXMCov

',~~~~

)3

bbCovY~~~~~

)2

~~~~~

10.1

~~''' gYYgYbCovYgY . Deci:

~~~~~~~~'', gYYgXXCov (2.27).

Introducând (2.24) şi (2.27) în (2.23), obţinem:

0'~~~~~~~~~~

YgYYaY (2.28).

Dar: ~~~~

'

~~~~

'

~~~~~~''' gYYYgYaYaY . Prin urmare:

~~~~~~~' gYYaY (2.29).

Înlocuind (2.29) în (2.28), rezultă că: 0''~~~~~~~~~~~~

YgYYggYY ,

adică: ~~~~

Yg , de unde: ~~

1

~~

Yg (2.30),

şi de aici: 1

~~~

'

~~

1

~~

''' YYg (2.31),

întrucât ~

simetrică, implică: 1

~

'1

~ (2.32),

astfel că: ~

1

~~~~~

''' YYYg (2.33),

care inserată în (2.10), conduce la: ~

1

~~~~''' YYa (2.34),

de unde: 1

~

1

~~~~

''' YYa (2.35),

care înlocuit în (2.31), implică: 1

~~

1

~

1

~~~~

'''' YYYag (2.36).

În concluzie: ^

~~

4.1

~

1

~~

1

~

1

~~~

36.2

~~

14.2^

''''' baXYYYaXg (2.37),

adică: ^

~~

^

'ba , ceea ce demonstrează aplicaţia 2.4.

Modelare şi aplicabilitate în teoria credibilitaţii

__________________________________________________________________

La fel ca pentru estimatorii liniari şi neomogeni de credibilitate ai

vectorilor, putem transfera, în mod direct, rezultatul aplicaţiei 2.4, asupra

estimării vectorilor, obţinând următoarea aplicaţie:

Aplicaţia 2.5: Estimatorul liniar şi neomogen de credibilitate

nedeplasat al vectorului ~~

1.2

~

bA (2.38),

este dat de relaţia de mai jos: ^

~~

^

~

bA (2.39).

Aplicaţia 2.6: Un caz special, interesant al lui (2.38) este acela în care

~~IA , când

~~~

38.2

~

bbI şi deci, estimatorul liniar-neomogen de

credibilitate nedeplasat al vectorului ~b este

^

~

^

~~

39.2^

~bbIb .

Acest ultim rezultat conduce la următoarea interpretare a relaţiei (2.3),

redată sub forma aplicaţiei de mai jos:

Aplicaţia 2.7: Estimatorul liniar şi neomogen de credibilitate pentru ~b ,

adică, ~

~b , este o medie aritmetică ponderată a estimatorului liniar-neomogen

de credibilitate nedeplasat pentru ~b , adică a lui

^

~b , cu valoarea medie a

lui ~b , adică cu

~

.

Remarca 2.8: Hachemeister a introdus modelul de regresie a credibilităţii,

în cadrul ipotezei speciale că, dat fiind , observaţiile anuale tXXX ,...,, 21

sunt independente condiţional, cu varianţele condiţionate:

j

jP

sXVar

2

(2.40),

unde jP reprezintă numărul pretenţiilor (solicitărilor) de despăgubire din anul

j . Acest număr este presupus a fi cunoscut şi este considerat nealeator.

În concluzie, cele opt exemple considerate, reprezintă cazuri speciale din

perspectiva teoriei regresiei a credibilităţii, precum şi a teoriei contabilităţii

actuariale.

Virginia Atanasiu

3. CONCLUZII

Teoria matematică a credibilităţii împreună cu teoria contabilităţii

actuariale realizate de noi, în cadrul acestui articol este fundamentală pentru a

demonstra utilitatea modelelor de regresie a credibilităţii şi respectiv a

calculului de contabilitate actuarială, pentru portofolii de asigurări non-viaţă.

Aducând la cunoştinţă aceste rezultate remarcabile ale regresiei credibilităţii

asigurărilor non-viaţă, relevăm faptul că ele reprezintă cu certitudine, singura

soluţie posibilă, atumci când domeniul asigurărilor non-viaţă este confruntat cu

riscuri ale căror caracteristici elementare de risc nu pot fi determinate pentru nici

un colectiv (portofoliu) de contracte bine definit, sau cu o acoperire a riscului în

circumstanţe nemaiîntâlnite până acum, situaţii în care actuarii trebuia să ia decizii

cu date puţine sau cu nici o dată colectivă.

Articolul nostru prin elementele noi abordate şi corelate aparatului matematic,

reliefează factorii şi condiţiile care pot concura, sprijini şi îmbunătăţii situaţia

asigurărilor non-viaţă şi a contabilităţii actuariale.

Modelele de credibilitate abordate în toată complexitatea lor şi încorporate

aparatului matematic lasă să se întrevadă valoarea lor pentru practica asigurărilor

non-viaţă.

Un aspect important al articolului, îl constituie modul în care matematicile,

prin teoria probabilităţilor şi prin statistica matematică, intervin în soluţionarea

problemelor dificile cu care se confruntă actuarii în analiza şi soluţionarea

asigurărilor non-viaţă, relevă şi întăreşte convingerea că, instrumentul matematic

se extinde la problemele practice de viaţă şi ajută la rezolvarea lor cu maximum de

eficienţă.

În acelaşi timp, subliniem faptul că teoria riscului şi a contabilităţii actuariale,

se fac simţite în abordarea problemei asigurărilor non-viaţă, din perspectiva

credibilităţii, cu aspectele ei aplicative şi care reîntregesc problematica existentă.

Regresia credibilităţii în industria asigurărilor non-viaţă rămâne o temă

deschisă, nouă, originală şi care aduce contribuţii utile în acest domeniu.

BIBLIOGRAFIE

[1] Atanasiu, V. (2009), Contribuţii la teoria credibilităţii, monografie de autor,

Editura Printech, Bucureşti, ISBN 978-606-521-417-0;

[2]. Atanasiu, V.(2009), Useful applications of the credibility theory, Metalurgia

International (journal ISI), no. 4 special issue, vol. XIV(2009), pp. 22-28;

[3] Bodea, C. N. (2008), Models of Non-Life Insurance Mathematics,

Informatica Economică (journal B+), nr. 1 (45)/2008, vol. XII(2008), pp. 40-

45;

Modelare şi aplicabilitate în teoria credibilitaţii

__________________________________________________________________

[4]. Bühlmann, H. si Gisler, A. (2005), Universitext A Course in Credibility

Theory and its Applications, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Printed in

The Netherlands, pp. 55-74, 77-117, 199-217, 10.1007/3-540-29273-X_8;

[5] Cossette, H., Marceau, É. si Toureille, F. (2011), Risk models based on time

series for count random variables, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 48, issue 1, pages 19-28;

[6] Kremer, E. (2005), Credibility for regression models with autoregressive

error terms, BLÄTTER DER DGVFM, Volume 27, Number 1, April pp. 71-

79, 10.1007/BF02809145;

[7]. Ohlsson, E. (2008), Combining generalized linear models and credibility

models in practice, Scandinavian Actuarial Journal, 4, 301-314, Applied

Section, Taylor & Francis Group, ISSN 0346-1238 print/ISSN 1651-2030

online;

[8] Ohlsson, E. (2005), Simplified estimation of structure parameters in

hierarchical credibility, The 36th ASTIN Colloquium, Zurich. Available

online at: http://www.astin200f.ch/;

[9] Ohlsson, E. (2006), Credibility estimators in multiplicative models,

Mathematical Statistics, Stockholm University, Research Report, 3. Available

online at: http://www.math.su.se/matstat/reports/seriea/;

[10] Pitselis, G.(2008), Robust regression credibility: The influence function

approach, Insurance: Mathematics and Economics, vol. 42, issue 1, pages

288-300.