dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · Web viewDengan menggunakan integral integral tertentu, luas...

BAB IV

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami

penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral

tertentu.

2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral

tertentu.

3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan

integral tertentu

4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan

integral tertentu.

Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral

tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan

panjang busur dan 4) luas permukaan.

Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada

pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah

praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas

dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal,

menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan

menentukan luas permukaan benda putar.

Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral

tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar

tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya

adalah sebagai berikut:

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-105

4.1 Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang dengan persamaan

atau atau yang berbatasan dengan sumbu-sumbu

koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat

dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan

dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu

atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak

disebelah kanan sumbu Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.

Gambar 4.1

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu

koordinat yang terletak di bawah sumbu atau luasan dengan persamaan dan

sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Berikut ini gambar

luasan negatif tersebut.

Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-

)(xfy )(yfx

ax bx

dy

cy

Y

XX

Y

RR

106

Gambar 4.2

Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat

terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya

dan . Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas

luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini

Gambar 4.3


)(xfy )(yfx

ax bxdy

cy

Y

X

X

Y

R R

Y

R

)(xfy

Xax bx

107

R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-

kurva Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R

dinyatakan dengan

Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif,

karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut

dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah

sebagai berikut :

a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya

dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu atau sumbu , selanjutnya bagilah luasan

dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi

yang terbentuk.

c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas

persegi panjang

d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-

masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas

luasan.

Contoh:

1) Segitiga ABC terletak pada , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat

kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu

tentukan luas segitiga ABC.

Jawab

Gambar segitiga ABC adalah


Gambar 4.4

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

Diperoleh persamaan

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan

2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu

koordinat.

Jawab

Luasan yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah


X

Y

)0,3(B)0,0(A

)7,3(C

109

Gambar 4.5

Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x

sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:

3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis


X2 2

Y

24 xy

R

110

Gambar 4.6

Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :


R X

Y

4x

2yx

111

Gambar 4.7

Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva .

Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan

dalam bentuk

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai

negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut

dimutlakkan, sehingga diperoleh:

Contoh

1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis

Jawab

Luasan dan garis dapat digambarkan sebagai berikut:


R)(yfx

Y

X

c

d

112

Gambar 4.8

Sehingga luas luasan tersebut adalah

b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah dan

dengan pada selang . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh

satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan

negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan

yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.


R X

Y

2y

2yx 2y

113

Gambar 4.9

Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan

sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

Soal-soal

Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut.

1. Luasan R dibatasi oleh kurva dan

2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan



X

Y

ax bx

)(xgy

)(xfy

)()( xgxf

x

114

4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan . Kemudian

hitunglah luasnya.


4.2 Volume Benda Putar

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R

diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X

membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu

volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus:

.

Gambar 4.10


X

Y

ba

)(xfy

115

Gambar 4.11

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan

Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang

volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

Gambar 4.12


b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R

diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda

pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu

yaitu: .

Gambar 4.13

Gambar 4.14


X

Y

)(yfx

dy

cy

117

Gambar 4.15

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan

Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang

volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar

volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda

putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas

alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka

volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah

diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu

metode cakram dan kulit tabung.

Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan

sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan


memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga

cakram yang berpusat di titik-titik pada selang .

Misal pusat cakram dan jari-jari . Maka luas cakram dinyatakan :

Oleh karena itu, volume benda putar :

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan diputar

mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

Bila daerah yang dibatasi oleh , untuk setiap

diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:

Bila daerah yang dibatasi oleh untuk setiap

diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : dan

diputar mengelilingi

a. sumbu X.

b. sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang .


Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh

b. Pada selang

Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di dan Pada selang berlaku

.

Jarak kurva terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat

dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah dan

.

Sehingga volume benda putarnya adalah:

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda

putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode

cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit

luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit

tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut dan

, tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :


Bila daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi sumbu

Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari dan tinggi tabung

Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

Misal daerah dibatasi oleh kurva

diputar mengelilingi sumbu Y.

Maka volume benda putar

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan

diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

diputar mengelilingi

sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah

parabola

Jawab

dan di atas parabola diputar mengelilingi sumbu Y.


Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu :

pada selang dibatasi dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =

2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh , sumbu X

dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda

pejal, dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ).

Oleh karena itu,

volume benda putar :

4.3 Panjang Busur


Gambar 4.16

Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva Berdasarkan

definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur

yang menghubungkan titik-titik pada busur itu.

Jika banyaknya titik-titik pada kurva banyaknya menuju tak hingga maka

panjang tiap tali busur tersebut menuju nol.

Selanjutnya jika dan sebarang dua titik pada kurva dengan

turunan adalah yang masing-masing kontinu pada interval

maka panjang tali busur dinyatakan oleh

Dengan cara yang sama, jika dan dua titik pada kurva yang

persamaannya dinyatakan dengan dengan turunannya adalah

yang masing-masing kontinu pada maka panjang busur AB

dinyatakan oleh


BPn

2P

Y

X

)(xfy iP

jP

APo

1P

123

Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:

Contoh

1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis

antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.

Jawab

Karena diperoleh sehingga

Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik

Kedua cara memberikan hasil yang sama.

2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva jika dan

Jawab


Karena maka atau dan berubah dari dan

sehingga

3) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva untuk .

Jawab

Karena maka

sehingga

Dengan menggunakan substitusi .

Misal diperoleh sehingga

Karena maka dan

Karena maka

Sehingga


4) Tentukan panjang tali busur pada kurva antara

Jawab

Karena maka

Atau sehingga diperoleh

Karena y berubah dari sehingga

\

5) Tentukan panjang tali busur pada kurva

Jawab

Karena maka dan karena maka

Sehingga diperoleh


Soal-soal

Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh

1) antara dan

2) antara dan

3) antara dan

4) antara dan

5)

6)

4.4 Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang mengelilingi salah satu sumbu pada

bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya

dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu

Perhatikan gambar berikut.

R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva diputar

mengelilingi sumbu


Gambar 4.17

Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga

terbentuk benda pejal

Gambar 4.18


X

X)(xfy

R

ax bx

X

X)(xfy

Rax bxbx

128

Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas dan

Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah

Selanjutnya andaikan dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n

bagian dengan menggunakan . Dengan demikian kurva

yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan menyatakan panjang potongan

dan andaikan adalah sebuah titik pada potongan . Karena pita potongan diputar

mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh

Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan dengan diperoleh luas permukaan

benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:

Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis

dan maka luas permukaannya dinyatakan dengan

Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

dengan maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh rumus


Contoh soal

1) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu .

Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih

dahulu menggambar benda putarnya.

Gambar 4.19

Karena maka

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas

dapat ditentukan dengan rumus:


xy 6Y

Y

X X1x 1x

xy 6

R

130

2) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu y.

dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih


Jawab

Gambar 4.20

Karena maka sehingga


X X

YY

2xy 1

131



3) Kurva diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas

permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan.


Jawab

Gambar 4.21

Karena maka diperoleh



Soal-soal


X

Y Y

X

133

1) Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x,

dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu

menggambar benda putarnya.

2) Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x,

dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu

menggambar benda putarnya.

3) Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi

sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih


4) Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi

sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih


5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x.

Tentukan luas permukaannya.

a)

b)

c)


dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · Web viewDengan menggunakan integral integral tertentu, luas...

Documents

Transcript of dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · Web viewDengan menggunakan integral integral tertentu, luas...