Vibrations Forcées de Structures Minces, Élastiques, Non Linéaires
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Vibrations forces de structuresminces, lastiques, non linaires
Franck Prignon
sous la direction de Bruno Cochelin et Sergio Bellizzi
06 juillet 2004
Laboratoire de Mcanique et dAcoustique - Equipes MN et SACADS
p.0/44
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Motivations de ltude (1/2)
Vibrations non linaires
I Pourquoi ?bruits
vibrations lorigine de ...dgradations (fatigue, rupture ...)
Enjeux : prdiction et/ou contrle dimensionnement, estimation de dure de vie ...
I Non linaire ?
Linaire concepts bien matriss,(modes propres, analyse modale ...), outils nombreux.
Non linaire plus complexe, domaine encore trs ouvert,pas dapproche systmatique.
Pourquoi ? allgement, optimisation des structures, contacts, jeux ...
p.1/44
-
Motivations (2/2)
I Quelques exemples de problmes concrets de vibrations non linaires ...
Aronautique Nuclaire
Instruments de musique Biophysique
p.2/44
-
Motivations (2/2)
I Quelques exemples de problmes concrets de vibrations non linaires ...
Aronautique
Nuclaire
Instruments de musique Biophysique
p.2/44
-
Motivations (2/2)
I Quelques exemples de problmes concrets de vibrations non linaires ...
Aronautique Nuclaire
Instruments de musique Biophysique
p.2/44
-
Motivations (2/2)
I Quelques exemples de problmes concrets de vibrations non linaires ...
Aronautique Nuclaire
Instruments de musique
Biophysique
p.2/44
-
Motivations (2/2)
I Quelques exemples de problmes concrets de vibrations non linaires ...
Aronautique Nuclaire
Instruments de musique Biophysique
p.2/44
-
Cadre de ltude
I LMA : Opration de Recherche vibrations non linaires
Structures non linaires sous sollicitation externe
Numrique :description du
comportement dynamique
mthodes et outils desimulation
Exprimental : observation du comportementdynamique non linaire identification/validation du modle
Principaux axes de recherche :
modes non linaires
dfinition et calculutilisation (modles rduits ...)analyse des bifurcations
rponse force une excitation stochastique ou dterministe
p.3/44
-
Cadre de ltude
I LMA : Opration de Recherche vibrations non linaires
Structures non linaires sous sollicitation externe
Numrique :description du
comportement dynamique
mthodes et outils desimulation
Exprimental : observation du comportementdynamique non linaire identification/validation du modle
Principaux axes de recherche :
modes non linaires
dfinition et calculutilisation (modles rduits ...)analyse des bifurcations
rponse force une excitation stochastique ou dterministe
p.3/44
-
Objectifs de la thse
tude de la rponse force :
structures quelconques grands nombre de degrs de libert non linarits gomtriques sollicitation harmonique recherche de solutions priodiques
Numrique :dveloppement dun outil de simulation,par application de la mthode de lquilibrage harmonique,intgr un code lments finis gnraliste.
Exprimental :conception et dmarrage dessais sur des structures minces
p.4/44
-
PlanI Motivations et cadre de ltude
I Approche exprimentaleI Cadre mcaniqueI Mthodes de rsolution numrique
B Prsentation
B La mthode de lEquilibrage Harmonique (EH)
B La Mthode Asymptotique Numrique (MAN)
I Exemples de simulations
B tude dune poutre
B Recalage avec les rsultats exprimentaux
I Conclusions et perspectives
p.5/44
-
Approche exprimentale
p.5/44
-
Etude exprimentale
I poutre droite bi-encastre, en aluminium
zx
y30mm
600 mm
paisseur: h=2mm
hL
= 1300
comportement non linaire
p.6/44
-
Systme dexcitation
I Excitation ponctuelle, mono-harmonique :
systme bobine-aimant sans contactAimant
Bobine
d=33.3mm
L=64mm
10mm
Structure
x
I
Deux paramtres de contrle : amplitude () et pulsation ()
p.7/44
-
Dmarche exprimentale
Phase pilotage des paramtres
Source Traitement des sorties ...
Amplitude
p.8/44
-
Dmarche exprimentale
Phase pilotage des paramtres
Source Traitement des sorties ...
Amplitude
p.8/44
-
Quelques rsultats (1/4)
I En rgime linaire : (faible amplitude dexcitation : 0.03 N)
25 30 35 400
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
25 30 35 40
120
100
80
60
40
20
PSfrag replacements
frquences dexcitation (Hz)frquences dexcitation (Hz)
dpl
acem
ents
/pa
isse
ur
dph
asag
e
p.9/44
-
Quelques rsultats (2/4)
I En rgime non linaire : harmonique 1 (fondamentale)
27 27.5 28 28.5 29 29.5
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
27 27.5 28 28.5 29 29.5
50
0
50
100
150
PSfrag replacements
frquences dexcitation (Hz) frquences dexcitation (Hz)
dpl
acem
ents
/pa
isse
ur
dph
asag
e
Amplitude de la force : 0.18 N
p.10/44
-
Quelques rsultats (3/4)
I harmoniques 2 et 3...
54 55 56 57 58 59 60 610
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
3 Harmonique 2
80 82 84 86 88 90 920
0.2
0.4
0.6
0.8
1x 10
3 Harmonique 3
PSfrag replacements
frquences dexcitation (Hz)frquences dexcitation (Hz)
dpl
acem
ents
/pa
isse
ur
dphasage
p.11/44
-
Quelques rsultats (4/4)
I En rgime non linaire : harmonique 1 (fondamentale)
26 27 28 29 30 310
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
26 27 28 29 30 31100
50
0
50
100
150
200
PSfrag replacements
frquences dexcitation (Hz) frquences dexcitation (Hz)
dpl
acem
ents
/pa
isse
ur
dph
asag
e
Amplitude de la force : 0.12, 0.18 et 0.35 N
p.12/44
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Variation des frquences propres linaires
I Variations ...
relativement aux valeursthoriques/simules dun essai lautre au cours dun mme essai
Force (N) f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz)
rf. numrique 28.8-29.8 79.5-82.3 156.2-161.8
0.032 31.4 83.2 160.4
0.12 28.4 79 156
0.12 28.1 (29.5) 78.2 (80.75) 155.25 (157.5)
0.35 27.5 78 155
I Quelques explications ...
mise en place de la structure imparfaite ? influence de la temprature ? dfaut de forme ? prcontrainte ?
p.13/44
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Bilan de lapproche exprimentale
I Essais sur la poutre :
Observation du comportement non linaire
rponse hystrtique (sauts ...) prsence dharmoniques
Aide la conception dun nouveau banc
Choix du matriel (excitation ...) Mise en place dun mode opratoire Identification de problmes (frquences propres ...)
p.14/44
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Plaque encastre prcontrainte
Montage : Encastrement dans un cadre :
Dispositif de prcontrainte : interaction de modes
p.15/44
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Perspectives
Poursuite des essais sur la poutre
observation des dformes vers un changement de rgime ?(amplitude dexcitation plus grande)
Exploitation du banc plaque
interaction de modes confrontation avec des simulations numriques
p.16/44
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PlanI Motivations et cadre de ltude
I Approche exprimentaleI Cadre mcaniqueI Mthodes de rsolution numrique
B Prsentation
B La mthode de lEquilibrage Harmonique (EH)
B La Mthode Asymptotique Numrique (MAN)
I Exemples de simulations
B tude dune poutre
B Recalage avec les rsultats exprimentaux
I Conclusions et perspectives
p.17/44
-
Cadre mcanique
p.17/44
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Quelles non linarits ?
I non linarits dans les structures
matriau (contraintes fonctions non linaires des dformations) conditions aux limites (chocs, jeux, frottements) gomtriques grands dplacements, petites dformations
I non linarits gomtriques
reprsentatives de nombreux casforme polynomiale quations quadratiques ou cubiques
Relation dformations-dplacements non linaire :
(u) = 12(u + tu) + 1
2tuu
=
l(u) +
nl(u, u)
u(x, t) : dplacements(x, t) dformations de Green-Lagrange.
termesnon linaires
p.18/44
-
Quelles non linarits ?
I non linarits dans les structures
matriau (contraintes fonctions non linaires des dformations) conditions aux limites (chocs, jeux, frottements) gomtriques grands dplacements, petites dformations
I non linarits gomtriques
reprsentatives de nombreux casforme polynomiale quations quadratiques ou cubiques
Relation dformations-dplacements non linaire :
(u) = 12(u + tu) + 1
2tuu
=
l(u) +
nl(u, u)
u(x, t) : dplacements(x, t) dformations de Green-Lagrange.
termesnon linaires
p.18/44
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criture du problme de llastodynamique (1/2)I Hypothses
Formulation 3D, Lagrangienne totale comportement lastique linaire non linarits gomtriques pas damortissement
I Inconnues
dplacements, u(x, t) Discrtisation spatiale q dformations (x, t) de Green-Lagrange par contraintes S(x, t), Piola-Kirchhoff II lments finis S
I Prise en compte dun dfaut et/ou dune prcontrainte :
prcontraintEtat
Etat dform
Etat "parfait"
u
d*
d
Etat avecdfaut
d : dfaut gomtrique(d, S) : tat prcontraint
p.19/44
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criture du problme de llastodynamique (2/2)
I Relation dformations-dplacements :
= (Bl + Bnl(d))q + 12Bnl(q)q
= (Bl + Bnl(d))q + Bnl(q)q
Bnl(q) oprateurlinaire en q
I Formulation du problme :
V
(t(Bl + Bnl(d))S + tBnl(q)S)dV + Fext = Mq
S = S + D(BL + Bnl(d))q + 12DBnl(q)q
PPVloi de comportement
Mq + (L0 + L
1(S) + L2(d
))q + Q(q, q) + Q1(d, q, q) + C(q, q, q) = Fext
L : linaireQ : quadratiqueC : cubique
dcalage desfrquences propres
ajout dunterme quadratique
p.20/44
-
criture du problme de llastodynamique (2/2)
I Relation dformations-dplacements :
= (Bl + Bnl(d))q + 12Bnl(q)q
= (Bl + Bnl(d))q + Bnl(q)q
Bnl(q) oprateurlinaire en q
I Formulation du problme :
V
(t(Bl + Bnl(d))S + tBnl(q)S)dV + Fext = Mq
S = S + D(BL + Bnl(d))q + 12DBnl(q)q
PPVloi de comportement
Mq + (L0 + L
1(S) + L2(d
))q + Q(q, q) + Q1(d, q, q) + C(q, q, q) = Fext
L : linaireQ : quadratiqueC : cubique
dcalage desfrquences propres
ajout dunterme quadratique
p.20/44
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criture du problme de llastodynamique (2/2)
I Relation dformations-dplacements :
= (Bl + Bnl(d))q + 12Bnl(q)q
= (Bl + Bnl(d))q + Bnl(q)q
Bnl(q) oprateurlinaire en q
I Formulation du problme :
V
(t(Bl + Bnl(d))S + tBnl(q)S)dV + Fext = Mq
S = S + D(BL + Bnl(d))q + 12DBnl(q)q
PPVloi de comportement
Mq + (L0 + L
1(S) + L2(d
))q + Q(q, q) + Q1(d, q, q) + C(q, q, q) = Fext
L : linaireQ : quadratiqueC : cubique
dcalage desfrquences propres
ajout dunterme quadratique
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-
Mthodes et outils numriques
de rsolution
p.20/44
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Mthodes de rsolutionI Objectif : calcul de la rponse force rsolution dun systme
dquations diffrentielles non linaires.
I Combinaison de deux mthodes :
EH : Equilibre Harmonique, recherche de solutionspriodiques sous forme de sries harmoniques.
MAN : Mthode Asymptotique Numrique, recherche desolutions sous forme de sries entires.Mthode de perturbation-continuation.
lastodynamique,EDPNL
inconnues : q, Sparamtres : ,
EHEq. algbriques
non linaires
MANq(, )
S(, )
I implmentation dans un code lments finis maison, eve(Fortran 90).
p.21/44
-
Application de lquilibrage Harmonique
pour F ext = k=H1
k=0 Fk cos kt,
q(t) =k=H1
k=0 qk cos kt
S(t) =k=H1
k=0 sk cos kt
Dveloppements des inconnuesen sries harmoniquespas de sinus,tous les termes, pairs et impairs,paramtres de contrle : et .
n EDNLn inconnues+2 paramtres
V
t(BL + Bnl(q) + Bnl(d))SdV + Fext = Mq
S = S + D(BL + 12Bnl(q) + Bnl(d))q
Q = {qk}k=0..H1
S = {sk}k=0..H1
mmeforme
n H EANLn H inconnues
+2 paramtres
V
T (Bl + Bnl(Q) + Bnl(d))SdV 2MQ = F
S = S + D(Bl + 12Bnl(Q) + Bnl(d))Q
p.22/44
-
Application de lquilibrage Harmonique
pour F ext = k=H1
k=0 Fk cos kt,
q(t) =k=H1
k=0 qk cos kt
S(t) =k=H1
k=0 sk cos kt
Dveloppements des inconnuesen sries harmoniquespas de sinus,tous les termes, pairs et impairs,paramtres de contrle : et .
n EDNLn inconnues+2 paramtres
V
t(BL + Bnl(q) + Bnl(d))SdV + Fext = Mq
S = S + D(BL + 12Bnl(q) + Bnl(d))q
Q = {qk}k=0..H1
S = {sk}k=0..H1
mmeforme
n H EANLn H inconnues
+2 paramtres
V
T (Bl + Bnl(Q) + Bnl(d))SdV 2MQ = F
S = S + D(Bl + 12Bnl(Q) + Bnl(d))Q
p.22/44
-
Application de lquilibrage Harmonique
pour F ext = k=H1
k=0 Fk cos kt,
q(t) =k=H1
k=0 qk cos kt
S(t) =k=H1
k=0 sk cos kt
Dveloppements des inconnuesen sries harmoniquespas de sinus,tous les termes, pairs et impairs,paramtres de contrle : et .
n EDNLn inconnues+2 paramtres
V
t(BL + Bnl(q) + Bnl(d))SdV + Fext = Mq
S = S + D(BL + 12Bnl(q) + Bnl(d))q
Q = {qk}k=0..H1
S = {sk}k=0..H1
mmeforme
n H EANLn H inconnues
+2 paramtres
V
T (Bl + Bnl(Q) + Bnl(d))SdV 2MQ = F
S = S + D(Bl + 12Bnl(Q) + Bnl(d))Q
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-
Application de lquilibrage Harmonique
pour F ext = k=H1
k=0 Fk cos kt,
q(t) =k=H1
k=0 qk cos kt
S(t) =k=H1
k=0 sk cos kt
Dveloppements des inconnuesen sries harmoniquespas de sinus,tous les termes, pairs et impairs,paramtres de contrle : et .
n EDNLn inconnues+2 paramtres
V
t(BL + Bnl(q) + Bnl(d))SdV + Fext = Mq
S = S + D(BL + 12Bnl(q) + Bnl(d))q
Q = {qk}k=0..H1
S = {sk}k=0..H1
mmeforme
n H EANLn H inconnues
+2 paramtres
V
T (Bl + Bnl(Q) + Bnl(d))SdV 2MQ = F
S = S + D(Bl + 12Bnl(Q) + Bnl(d))Q
p.22/44
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EH : construction des nouveaux oprateurs
criture gnralisable H construction automatique
I Autres oprateurs ...(matrices diagonales par blocs)
I Exemple pour H = 3...
Bnl(q)S = ( ) + ( ) cost + ( ) cos 2t
termes constants en cos t en cos 2t
Bnl(Q)S
(Bnl(q)S)0
(Bnl(q)S)1
(Bnl(q)S)2
=
Bnl(q0) 12Bnl(q1) 1
2Bnl(q2)
Bnl(q1) Bnl(q0 + 12q2) 1
2Bnl(q1)
Bnl(q2) 12Bnl(q1) Bnl(q0)
S0
S1
S2
D =
D 0 . . .
0 D...
. . .
Bl =
Bl 0 . . .
0 Bl
.... . .
M =
0 0 . . .
0 M 0 . . .... 0 4M
... 9M. . .
p.23/44
-
MAN : principe gnral
?R(U , ) = 0 U()
U Rn (n + 1) inconnues R n quations
Problme algbrique non linaire
Dveloppements en sries entires
U = U0 +
k=1
akUk (U0, 0) : point solution
= 0 +
k=1
akk a : paramtre de chemin
R(U , ) = aR1 + a2R2 + = 0
ie Rp = RU
0Up +
R
0
p Fnlp = 0
Kt(0)
[
Up
p
]
= F nlp
Succession de problmes linaires
Morceaux de branchePSfrag replacements
U
p.24/44
-
MAN : principe gnral
?R(U , ) = 0 U()
U Rn (n + 1) inconnues R n quations
Problme algbrique non linaire
Dveloppements en sries entires
U = U0 +
k=1
akUk (U0, 0) : point solution
= 0 +
k=1
akk a : paramtre de chemin
R(U , ) = aR1 + a2R2 + = 0
ie Rp = RU
0Up +
R
0
p Fnlp = 0
Kt(0)
[
Up
p
]
= F nlp
Succession de problmes linaires
Morceaux de branchePSfrag replacements
U
p.24/44
-
MAN : principe gnral
?R(U , ) = 0 U()
U Rn (n + 1) inconnues R n quations
Problme algbrique non linaire
Dveloppements en sries entires
U = U0 +
k=1
akUk (U0, 0) : point solution
= 0 +
k=1
akk a : paramtre de chemin
R(U , ) = aR1 + a2R2 + = 0
ie Rp = RU
0Up +
R
0
p Fnlp = 0
Kt(0)
[
Up
p
]
= F nlp
Succession de problmes linaires
Morceaux de branchePSfrag replacements
U
p.24/44
-
MAN (2)I Application au problme de vibrations forces :
V
T (Bl + Bnl(Q) + Bnl(d))SdV 2MQ = F
S = S + D(Bl + 12Bnl(Q) + Bnl(d))Q
surfaces (2 paramtres),adaptation de la MAN
=N
k=1
akk =
= 0 +N
k=1 akk fix
ou2 = 20 +
Nk=1 a
kk fix
et
Q = Q0 +N
k=1 akQk
S = S0 +N
k=1 akSk
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
q
PSfrag replacements
U
0
0.5
1
1.5
2 0
2
4
6
0
2
4
6
8
10
q
PSfrag replacements
U
p.25/44
-
MAN (3)I Problmes linariss chaque ordre
Ordre 1 : Ordre p :{ [
Kt(0) 20M
]
Q1 = 1FmantQ1PQ1 +
21 = 1
{ [
Kt(0) 20M
]
Qp = pFman + Fnlp
tQ1PQp + 1p = 0
Kt(0) =
0
T B(Q0)DB(Q0)d0 K
fnlp =
0(T B
(Q0)Snlp +
p1r=1
T Bnl(Qpr)Sr)d0
Continuation ... en force en pulsation
k = . . . k k
Fman = . . . F MQ0
Fnlp = . . . fnlp f
nlp +
p1
r=1
rMQpr
p.26/44
-
Intgration de la mthode Eve
Eve : code lments finis, gnraliste, en Fortran 90
Apports :
I Equilibrage Harmonique :
lment existant(DKT, DKQ ...)
Assemblage des
matrices blocslment EH
I MAN : adaptation au problme en dynamique solveur non linaire
I Autres :
dfaut et prcontrainte nouveau type de stockage solveur linaire pour des matrices non symtriques post-traitement (interface Matlab)
p.27/44
-
BilanElments Harmoniques construction automatique desoprateurs, H procdure indpendante dellment de base taille des systmes fonction de H augmentation du temps de calcul
MAN simplicit dutilisationet de pilotage solutions analytiques :sries riches en informations une seule inversion dematrice par morceau de branche traitement des bifurcations
OutilI Intgr un code lments finis capable de traiter une large classe de structuresI Valid sur des exemples issus de la littratureI Amliorations possibles : ajout de nouveaux lments
optimisation (solveur, stockage ...)
p.28/44
-
Exemples de simulations
p.28/44
-
Introduction
IRponse force dune poutre mince, bi-encastre
60 cm
1.5 cm
h=2mm 40 lments DKQ-EH
E = 0.7e11Pa
= 0.33
= 2762kg.m3
Cas traits : excitation 0 mode non linaire excitation 6= 0, fixe rponse force
Rappel :
q(t, ) =H1
k=0
qk cos jt q0() = q(0, ) =H1
k=0
qk en un point
dformes de la structure fix
p.29/44
-
Premier mode
1 1.5 2 2.5 3 3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
/1
2345
C
D
E
PSfrag replacements
q0/h
p.30/44
-
Premier mode
1 1.5 2 2.5 3 3.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
/1
2345
C
D
E
PSfrag replacements
q0/h
p.30/44
-
Premier mode : harmoniques
H = 5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.51
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Harmonique 1
Harmonique 3
/1
C E
PSfrag replacements
p.31/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h
35
,rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h
35
,rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h
35
,rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h
35
,rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h
35
,rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h
35
,rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h 3
5,
rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Premier mode : bifurcation
0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
/1
5678
A
B
F
G PSfrag replacements
q0/h 3
5,
rsonance interne 1 : 5entre les modes 1 et 3.
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
/1
qk/h
Harmonique 1
Harmonique 5
PSfrag replacements
/1
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
mode 1branche de liaisonmode3
PSfrag replacements
q0/h
= 15 = 3
= 1
5 = 3
p.32/44
-
Mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
235689
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
/1
43
,rsonance interne 1 : 3entre les modes 2 et 4.
2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
/1
Harmonique 3
Harmonique 1
PSfrag replacements
p.33/44
-
Mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
235689
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
/1
43
,rsonance interne 1 : 3entre les modes 2 et 4.
2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
/1
Harmonique 3
Harmonique 1
PSfrag replacements
p.33/44
-
Mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
235689
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
/1
43
,rsonance interne 1 : 3entre les modes 2 et 4.
2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
/1
Harmonique 3
Harmonique 1
PSfrag replacements
p.33/44
-
Mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
235689
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
/1
43
,rsonance interne 1 : 3entre les modes 2 et 4.
2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
/1
Harmonique 3
Harmonique 1
PSfrag replacements
p.33/44
-
Mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
235689
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
/1
43
,rsonance interne 1 : 3entre les modes 2 et 4.
2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
/1
Harmonique 3
Harmonique 1
PSfrag replacements
p.33/44
-
Mode 3
5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
/1
3568
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
62
,rsonance interne 1 : 2entre les modes 3 et 6.
p.34/44
-
Mode 3
5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
/1
3568
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
62
,rsonance interne 1 : 2entre les modes 3 et 6.
p.34/44
-
Mode 3
5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
/1
3568
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
62
,rsonance interne 1 : 2entre les modes 3 et 6.
p.34/44
-
Mode 3
5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
/1
3568
A
B
C
PSfrag replacements
q0/h
62
,rsonance interne 1 : 2entre les modes 3 et 6.
p.34/44
-
Rponse forceI Rponse force, excitation damplitude 1 N rsonances autour des modes rsonances secondaires
1 2 3 4 5 6 7
1
0.5
0
0.5
1
1.5
/1
q 0/h
Mode 1 Mode 2 Mode 3
p.35/44
-
Rsonances secondaires
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
/1
A
B
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Harmonique 7
Harmonique 1
Harmonique 3
/1
Rsonances super-harmoniques :A : = 3
3
B : = 56
p.36/44
-
Rsonances secondaires
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
/1
A
B
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Harmonique 7
Harmonique 1
Harmonique 3
/1
Rsonances super-harmoniques :A : = 3
3
B : = 56
p.36/44
-
Rsonances secondaires
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
/1
A
B
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Harmonique 7
Harmonique 1
Harmonique 3
/1
Rsonances super-harmoniques :A : = 3
3
B : = 56
p.36/44
-
Rsonances secondaires
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
/1
A
B
1.85 1.9 1.95 20.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Harmonique 7
Harmonique 1
Harmonique 3
/1
Rsonances super-harmoniques :A : = 3
3
B : = 56
p.36/44
-
Rponse force autour du mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
PSfrag replacements
q0/h
/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
A B
C PSfrag replacements
q0/h
/1
p.37/44
-
Rponse force autour du mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
PSfrag replacements
q0/h
/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
A B
C PSfrag replacements
q0/h
/1
p.37/44
-
Rponse force autour du mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
PSfrag replacements
q0/h
/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
A B
C PSfrag replacements
q0/h
/1
p.37/44
-
Rponse force autour du mode 2
2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.30.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
/1
PSfrag replacements
q0/h
/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
q 0/h
PSfrag replacements/1
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.40.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
/1
A B
C PSfrag replacements
q0/h
/1
p.37/44
-
Rsonances autour des modes 1 et 3
0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
/1
0/h
PSfrag replacements5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
/1
q 0/h
p.38/44
-
Comparaison avec les rsultats exprimentaux
Force : 0.3 N f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz)num . 29 80 157
Exp. 27.5 78 155
0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
/1
q1/h
SimulationEssai
Harmonique 1
0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.080
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5x 10
3 Harmonique 3
/1
q3/h
SimulationEssai
p.39/44
-
Recalage du modle ...
IDfaut gomtrique damplitude maximale correction de la courbure augmentation des frquences propres
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.30.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
z/h
d1d2d3
0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
/1
q1/h
=0Essai =1.6mm=0.6 mm
Dfaut 1
Harmonique 1
0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
/1
q1/h
=0=0.5=0.4Essai
Dfaut 2
Harmonique 1
0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.060
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016Harmonique 2
/1
q2/h
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10
1
2
3
4
5
6x 10
3 Harmonique 3
/1
q3/h
Essai d1, =0.6 mmd2, =0.4 mmCas parfait
p.40/44
-
Recalage du modle ...
IDfaut gomtrique damplitude maximale correction de la courbure augmentation des frquences propres
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.30.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
z/h
d1d2d3
0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
/1
q1/h
=0Essai =1.6mm=0.6 mm
Dfaut 1
Harmonique 1
0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
/1
q1/h
=0=0.5=0.4Essai
Dfaut 2
Harmonique 1
0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.060
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016Harmonique 2
/1
q2/h
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10
1
2
3
4
5
6x 10
3 Harmonique 3
/1
q3/h
Essai d1, =0.6 mmd2, =0.4 mmCas parfait
p.40/44
-
Recalage (2)
IPrcontrainte seule (compression) recalage des frquences propres, pas ou peu deffet sur la rponse force.
IPrcontrainte (compression, dx=4.6e-3mm) + dfaut gomtrique,amplitude max :0.4mm (mode 1)
0.95 1 1.05 1.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/1
q 1/h
Cas parfaitEssai 3Recalage
0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.060
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016Harmonique 2
/1
q2/h
0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10
1
2
3
4
5
6x 10
3 Harmonique 3
/1
q3/h
Cas parfaitEssaiRecalage
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-
Conclusion des simulations
Observation de phnomnes non linaires :
scenari de bifurcation compliqus rsonances internes et secondaires MNL : support de la rponse force
Recalage du modle sur les rsultats exprimentaux
Limites :
Pas damortissement Pas dtude de stabilit
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-
Conclusion gnrale
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-
Bilan
Ralisation dun banc dessai
Outil numrique pour le calcul de la rponse force, en non linaire
lmnts finis EH+MAN
Observation/simulation de phnomnes non linaires
exprimentale et numrique bifurcations (rsonances internes, secondaires ...) intrt des modes non linaires
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Perspectives
Amliorations du code
amortissement stabilit optimisation (stockage, solveurs ...)
Poursuite des tudes ...
exprimentale (plaque ...) numrique : traitement de structures complexes
Comparaison avec dautres mthodes
intgration temporelle dorbites priodiques sous-espaces invariants
Autres types dexcitation
multi-priodique alatoire
Reflexion sur lutilisation des modes non linaires
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-
Fin
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Motivations de l'tude (1/2)Motivations (2/2)Cadre de l'tudeObjectifs de la thsePlanApproche exprimentaleEtude exprimentaleSystme d'excitationDmarche exprimentaleQuelques rsultats (1/4)Quelques rsultats (2/4)Quelques rsultats (3/4)Quelques rsultats (4/4)Variation des frquences propres linairesBilan de l'approche exprimentalePlaque encastre prcontraintePerspectivesPlanCadre mcaniqueQuelles non linarits?criture du problme de l'lastodynamique (1/2)criture du problme de l'lastodynamique (2/2)Mthodes et outils numriques de rsolutionMthodes de rsolutionApplication de l'quilibrage HarmoniqueEH: construction des nouveaux oprateursMAN: principe gnralMAN (2)MAN (3)Intgration de la mthode EveBilanExemples de simulationsIntroductionPremier modePremier mode: harmoniquesPremier mode: bifurcationMode 2Mode 3Rponse forceRsonances secondairesRponse force autour du mode 2Rsonances autour des modes 1 et 3Comparaison avec les rsultats exprimentauxRecalage du modle ...Recalage (2)Conclusion des simulationsConclusion gnraleBilanPerspectivesFin