Vibrações - Cap 2_2016-1
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8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
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Cap. 2 – Vibração Livre em
Sistemas 1 GDL
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2.1 Introdução
• Vibração Livre: oscila sobperturbação inicial. !: p"ndulo deum rel#$io
• 1 GDL: coordenada %!& ' su(cientepara especi(car a posição da massaa )ual)uer tempo.
• *ão +, dissipação de ener$ia:sistema não amortecido.
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2.1 Introdução
• Sistema massa-mola: mais simples possvel.
• V,rios sistemas pr,ticos podem serideali/ados como 1 GDL. !: oscilaç0es deum p"ndulo mecanismo came se$uidor
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2.1 Introdução
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2.1 Introdução
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2.1 Introdução
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
2.2.1 Equação do Movimento pela2ª Lei de Newton• 5rocedimento de obtenção da )uação:1. Selecionar uma coordenada para
descrever a posição da massa2. Determinar a con($uração de e)uilbrio
est,tico do sistema.6. 7a/er o Dia$rama de Corpo Livre da
massa.8. 4plicar a 29 Lei de *eton:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
29 Lei de *eton: ;4 ta!a de variaçãoda )uantidade de movimento linear 'i$ual < =orça )ue a$e sabre a massa oucorpo>
Se a massa ' constante:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• 5ara movimento rotacional a 29 Leide *eton resulta:
• ' o momento resultante e esão o deslocamento an$ular
e aceleração an$ular resultantes.
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• 4plicando a e)uação %2.1& < massada ($ura 2.1:
ou:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
2.2.2 Equação do movimento por outrosmétodos
Princípio de !"lem#ert$
4s e)uaç0es de movimento podem ser reescritascomo:
%2.8a& e %2.8b& podem ser e)uaç0es de e)uilbriose e =orem tratados como uma =orça oumomento %de in'rcia&. ? e)uilbrio %2.8& 'con+ecido como e)uilbrio din@mico.
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
4 aplicação desse princpio resulta nae)uação:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
Princípio dos deslocamentos virtuais
;Se um sistema )ue est, em e)uilbrio sobação de um conAunto de =orças =or
submetido a um deslocamento virtual entãoo trabal+o virtual total reali/ado pelas =orçasser, /ero.>
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• 3rabal+o virtual reali/ado pela =orça damola:
• 3rabal+o virtual reali/ado pela =orça dein'rcia:
•
Buando o trabal+o virtual total reali/adopor todas as =orças i$uala-se a /erotemos:
• Como δ! ' di=erente de /ero temos:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• Princípio da %onservação de Ener&ia
• Sistema ' conservativo se nen+uma ener$ia =orperdida devido a atrito ou membros não el,sticos)ue dissipam ener$ia.
• Se nen+um trabal+o ' reali/ado sobre o sistemapor =orças e!ternas então a ener$ia total dosistema permanece constante.
• Sistema vibrat#rio: ner$ia potencial %&
Cin'tica%3&• 3 arma/enada na massa em virtude da velocidade• arma/enada na mola em virtude da de=ormação
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• 3 E Constante• ?u:
• Substituindo %2.F& e %2.& em %2.H&:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
2.2.' Equação do sistema massa(mola na vertical
• 5osição de e)uilbrio est,tico7orça da mola
E
7orça $ravitacional
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• Se a massa so=re uma dee!ão at'! a =orça da mola ':
• 4plicando a 29 Lei de *eton:
• Como k δ st = W obtemos:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
?bs: 4 e)uação 2.1J poderia ser obtidaatrav's do princpio de DK4lembert dosdeslocamentos virtuais ou conservação da
ener$ia. Supondo a conservação daener$ia 3 permanece i$ual mas deve serobtida considerando o peso da massa.• 7orça da mola em e)uilbrio est,tico ' m$• Se a mola so=re uma dee!ão a ener$ia
potencial ':
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• 4 ener$ia potencial l)uida emrelação < posição de e)uilbrioest,tico ':
E ener$ia potencial da mola mudança na ener$ia potencialresultante da mudança na elevação da
massa m E
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
2.2.) *olução
• 4 solução da e)uação 2.6 pode serencontrada admitindo-se )ue:
• C e s constantes a determinar•
Substituindo %2.11& em %2.6&:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• 4 solução $eral da e)uação %2.6& (ca:
• sando as identidades:
• 5ode-se reescrever %2.1& como:
• C1 e C2 ou 41 e 42 podem ser de(nidaspelas condiç0es iniciais do sistema.
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• speci(cando o valor dodeslocamento e da velocidade emtEJ temos:
• 4 solução da e)uação %2.6& suAeita
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
2.2.+ Movimento ,arm-nico
• 4s e)uaç0es 2.1 2.1H e 2.1 são=unç0es +armMnicas.
• Novimento ' sim'trico em relação <posição de e)uilbrio da massa.
• 5osição de e)uilbrio: velocidade
m,!ima aceleração /ero• Deslocamentos e!tremos: velocidade
/ero aceleração m,!ima.
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• Sistema massa mola ' denominadooscilador harmônico.
• ωn E =re)u"ncia natural do sistema
• 4 e)uação %2.1H& pode serrepresentada usando
41 E 4 cos φ42 E 4 sen φ %2.1O&
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• A e φ podem ser e!pressas emtermos de A1 e A2 como:
•
%2.1O& em %2.1H&:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• sando:
• 4 e)uação %2.1H& pode ser e!pressacomo:
?nde:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• Pepresentação $r,(ca da oscilação+armMnica
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• Sendo um vetor de ma$nitude A)ue =a/ um @n$ulo ω n – φ com o ei!overtical (x), então a e)uação %2.21& 'a proAeção do vetor sobre o ei!o (x);
• A1 e A2 da e)uação %2.1H& são ascomponentes retan$ulares ao lon$ode dois ei!os orto$onais )ue =a/em@n$ulos φ e –( π /2 - φ ) em relação aovetor .
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• 4spectos do sistema massa-mola:1. Se o sistema est, na posição vertical a
=re)u"ncia natural circular ':
4 constante el,stica da mola k ':
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• Nas:
• ntão:
• 4 =re)u"ncia natural em ciclos porse$undo e o perodo natural são:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
2. 4 velocidade e a aceleração são:
6. Se o deslocamento inicial !J E /eroentão:
Se a velocidade E /ero então:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
8. 4 resposta do sistema com um $rau deliberdade pode ser representada no planodeslocamento-velocidade: espaço de estado
ou plano de =ase.Considerando o deslocamento: ountão:
?u:
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• levando %2.68& e %2.6& ao)uadrado:
ou%2.6H&
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2.2 Vibração Livre de um Sistema de 3ranslação *ão 4mortecido
• !emplo 2.1
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• Vibração por torção: Corpo r$idooscila em relação a um ei!o dere=er"ncia espec(co.
• Deslocamento: medido emcoordenada an$ular.
• Nomento restaurador pode ser
resultante da torção de umcomponente el,stico ou de ummomento desbalanceado de uma
=orça ou conAu$ado.
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• QJ E momento de in'rcia de massapolar.
• θ E rotação an$ular ou @n$ulo detorção.
• 5ela teoria da torção de ei!oscirculares:
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
2.'.1 Equação de movimento
• Considerando a ($ura e a 29 Lei de*eton temos:
• 4 =re)u"ncia natural circular ':
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• 5erodo em se$undos e =re)u"nciade vibração em ciclos por se$undo:
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• ?bservaç0es:1. Se a seção transversal do ei!o não 'circular deve-se usar uma constante
el,stica torcional apropriada.2. Nomento de in'rcia polar de massa deum disco:
6. 4 mola de torção-in'rcia mostrada 'denominada !nd"lo de tor#$o.
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
2.6.2 Solução
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• !emplo 2.H:7re)u"ncia naturalde p"ndulo
composto
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
!emplo 2.H- Bual)uer corpo r$ido articulado emum ponto )ue não seAa seu centro demassa oscilar, em relação ao ponto dearticulação sob sua pr#pria =orça$ravitacional. 3al sistema ' con+ecido
como p"ndulo composto.
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
!emplo 2.H: Solução? corpo r$ido oscila no plano x% 4 coordenada θ pode ser usada para
descrever seu movimentoDist@ncia ?G E dNomento de in'rcia de massa em
relação ao ei!o & : '
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• !emplo 2.H: Solução5ara um deslocamento θ o tor)uerestaurador ' %Wd sen θ & e a e)uaçãodo movimento ':
Considerando pe)uenosdeslocamentos %senθ 'apro!imadamente θ e cosθ 'apro!imadamente 1& a e)uação do
movimento (ca:
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• 4 =re)u"ncia natural do p"ndulocomposto ':
• Considerando a =re)u"ncia natural dop"ndulo simples: ω n = (/l)1/2 'possvel determinar o comprimentodo p"ndulo simples e)uivalente:
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• Se ' =or substitudo por mk 2 onde k ' o raio de $iração do corpo emrelação a *:
• Considerando o raio de $iração aoredor de +:
ã
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• 4 e)uação %.H& (ca:
• Se a lin+a *+ =or estendida at' oponto A de modo )ue:
ib ã i d i
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• 4 e)uação %.& (ca:
• 5ela e)uação %.& ω n ' dada por:
• ssa e)uação mostra )ue )uer o corpo
seAa articulado em relação a * ou a A sua=re)u"ncia natural ' a mesma. ? ponto 4' denominado centro de erc"ss$o.
2 6 ib ã i d Si
-
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
• %entro de percussão - aplicaç0es pr,ticas:Nartelo: centro de percussão na cabeça e
centro de rotação no cabo: impacto não
causa reação no cabo 3aco de beisebol: se a bola bater no centrode percussão e o centro de rotação estivernas mãos o Ao$ador não sente reação
perpendicular. Se a bola bater perto dasmãos o Ao$ador sente dor nas mãos
2 6 Vib ã Li d Si
-
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
nsaio de materiais I/od: ade=ormação e o encurvamento dop"ndulo são minimi/ados se o centro
de percussão estiver locali/ado pertoda borda de impacto
Podas de um autom#vel dianteiras e
traseiras são o centro de percussão eoscilação os passa$eiros não sentema reação de um impacto.
2 6 Vib ã Li d Si t
-
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2.6 Vibração Livre de um Sistematorcional não amortecido
2 8 Condiç0es de
-
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2.8 Condiç0es destabilidade
2 8 Condiç0es de
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2.8 Condiç0es destabilidade
• 7orça da mola em cada mola Ekl.senθ
• 7orça total da mola E 2kl.senθ • 7orça da $ravidade: W E m• Nomento em relação < * devido < :
• )uação de movimento da barra:
•
2 8 Condiç0es de
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2.8 Condiç0es destabilidade
• 5ara pe)uenas oscilaç0es:
• :• 4 solução da e)uação acima
depende do sinal de (12kl2 –Wl)/2ml2
•
2 8 Condiç0es de
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2.8 Condiç0es destabilidade
• %aso 1$ (12kl2 – Wl)/2ml2
?scilaç0es est,veis
?nde 41 e 42 são constantes
•
2 8 Condiç0es de
-
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2.8 Condiç0es destabilidade
• %aso 2$ (12kl2 – Wl)/2ml2 =
5ara as condiç0es iniciais e :
• Deslocamento an$ular varia linearmente a
uma velocidade constante .Se E J ocorre e)uilbrio est,tico e o p"ndulopermanece em sua posição ori$inal.
•
2 8 Condiç0es de
-
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2.8 Condiç0es destabilidade
• %aso '$ (12kl2 – Wl)/2ml2
De(nimos e a solução (ca:
?nde 1 e 2 são constantes.
Considerando condiç0es iniciais:
• θ (t) aumenta e!ponencialmente com otempo %movimento inst,vel&.
•
2 8 Condiç0es de
-
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2.8 Condiç0es destabilidade
• a/ão 0ísica para insta#ilidade$
Nomento restaurador da mola %2kl2θ &)ue tenta tra/er o sistema para a
posição de e)uilbrio ' menor )ue omomento do peso -W(l/2 )θ T )ue tentaa=astar a massa da posição de
e)uilbrio.
2 N'todo de ner$ia de
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2. N'todo de ner$ia dePaUlei$+
• N'todo da ner$ia para determinar as=re)u"ncias naturais dos sistemas com 1GDL.
• 5rincpio da conservação da ner$ia:0 1 1 = 0 2 2
1 e 2 denotam instantes de tempo.Se em 1 a massa passa por sua posição de
e)uilbrio est,tico então 1 E J.Se em 2 a massa est, no deslocamentom,!imo então 0 2 E J
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2 N'todo de ner$ia de
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2. N'todo de ner$ia dePaUlei$+
• !emplo 2.O
2 H Vibração Livre com
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
2..1 Equação do movimento
• 4 =orça de amortecimento viscoso 'proporcional < velocidade:
• c ' a constante de amortecimento• ? sinal ne$ativo indica )ue a =orça '
no sentido contr,rio da velocidade.
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• 4plicando a 29 Lei de *eton:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
2..2 *olução
• Supondo um solução:
C e s são constantes indeterminadas• %2.HJ& em %2.O&:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• 4s ra/es são:
• ssas ra/es dão duas soluç0es para a e)uação
%2.O&:
• 4 solução $eral (ca:
• C1 e C2 são constantes arbitr,rias a seremdeterminadas.
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
%onstante de amortecimentocrítico e o 0ator de amortecimento
• ? amortecimento crtico ' a)uele
para o )ual:
?u:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• ? =ator de amortecimento ' a ra/ãoentre o amortecimento e o cc:
• De %2.HH& e %2.H&:
•
:• 4 solução (ca:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• ? comportamento da e)uação %2.HO&depende da ma$nitude doamortecimento:
%aso 1$ *istema su#(amortecido J3
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• 4 solução (ca:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• ?nde %C14,C24 & % 5,φ & e % 5 ,φ &dependem das condiç0es iniciais.
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• Supondo: e então:
• :
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• 4s constantes % 5,φ & e % 5 ,φ & podemser e!pressas como:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• ? movimento descrito por %2.F2& 'um movimento +armMnicoamortecido de =re)u"ncia an$ular
• 5or causa do =ator a
amplitude diminui e!ponencialmente
com o tempo• 6re7"!ncia de 8i9ra#$o amortecida:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• ? caso sub-amortecido ' o maisimportante pois ' o Wnico )ue resulta emmovimento oscilat#rio.
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
%aso 2$ *istema criticamenteamortecido
• 4s ra/es s1 e s2 são i$uais:
• 4 solução de %2.O& (ca:
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
4plicando as condiç0es iniciaise
:
a solução torna-se:
? movimento ' aperi#dico.
2 H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
2.H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
%aso '$ *istema superamortecido
4s ra/es são reais e distintas coms2 s1:
4 solução (ca:
2.H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• 5ara as condiç0es iniciais e as constantes (cam:
? movimento ' aperi#dico e diminuie!ponencialmente com o tempo.
2.H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
• 4spectos desses sistemas:1. 4 nature/a das ra/es s1 e s2 com a
variação do amortecimento c ou ζ
pode ser mostrada em um planocomple!o:
-. Se ζ E J as ra/es são ima$in,rias-. Se J ζ 1 as ra/es são
conAu$adas comple!as-. Se ζ X 1 as ra/es são reais.
-
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2.H Vibração Livre com
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
2. m sistema criticamenteamortecido tem o menoramortecimento re)uerido para
movimento aperi#dico: a massaretorna < posição de repouso no menortempo possvel. tili/ado em armas de
=o$o.6. 4 resposta livre de um sistema com1 GDL pode ser representada em plano
de =ase ou espaço de estado
2.H Vibração Livre com
-
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2.H Vibração Livre comamortecimento viscoso
2.H Vibração Livre com
-
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çamortecimento viscoso
2..' ecremento lo&arítmico• Pepresenta a ta!a de redução da
amplitude de uma vibração livre
amortecida• Y de(nido como o lo$aritmo natural
da ra/ão entre duas amplitudes
sucessivas. Supondo um sistemasub-amortecido da e)uação 2.FJ:
2.H Vibração Livre com
-
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çamortecimento viscoso
• Nas onde' o perodo de vibração amortecida.ntão:
• 4 e)uação %2.6& (ca:
• ? decremento lo$artmico pode serobtido de %2.8&:
2.H Vibração Livre com
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çamortecimento viscoso
• 5ara amortecimento pe)ueno:
• ? decremento lo$artmico
adimensional e ' outra =orma do=ator de amortecimentoadimensional ζ.
• Pelacionando δ com ζ veri(ca-se )ueas curvas para ζ at' , são di=ceisde distin$uir:
2.H Vibração Livre com
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çamortecimento viscoso
2.H Vibração Livre com
-
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çamortecimento viscoso
• ma ve/ con+ecido δ ζ pode serdeterminado resolvendo %2.&:
• sando %2.H&:
• Se δ não =or con+ecido e possvel obt"-lomedindo dois deslocamentos consecutivos.
2.H Vibração Livre com
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çamortecimento viscoso
• Y possvel obter ζ e!perimentalmente tamb'm. Se !m e!m1 são duas amplitudes
correspondentes aos tempos tm e tm1E t1 mτd obtemos:
• Nas para dois ciclos consecutivos:
2.H Vibração Livre com
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çamortecimento viscoso
• 4 e)uação %2.O& torna-se:
• De %2.O1& e %2.&:
Bue pode ser substitudo na e)uação%2.F& ou %2.& para obter ζ .
2.H Vibração Livre com
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çamortecimento viscoso
2..) Ener&ia dissipada emamortecimento viscoso
• 4 ta!a de variação de ener$ia ':
? sinal ne$ativo denota dissipação de
ener$ia
2.H Vibração Livre com
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çamortecimento viscoso
• Supondo um movimento +armMnico simples:
4 ener$ia dissipada em um ciclo ':
4 ener$ia de dissipação ' proporcional ao
)uadrado da amplitude4 ener$ia de dissipação não ' constante pois
' =unção de ωd.
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• 4 e)uação ' v,lidamesmo )uando +,uma mola emparalelo.
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• Considerando uma mola de ri$ide/ Z:
• Como o movimento ' +armMnico
simples:
• 4 e)uação %2.O& (ca:
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
4 ener$ia dissipada em um ciclo ':
• sse resultado ' esperado pois a =orça demola não reali/a trabal+o durante umciclo completo
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• 5ode-se calcular a =ração da ener$ia)ue ' dissipada em um ciclo:
4 ener$ia total do sistema [ pode
ser e!pressa como a m,!ima ener$iapotencial
ou a m,!ima ener$ia cin'tica
.4s duas serão apro!imadamente
i$uais para pe)uenos
amortecimentos 4ssim:
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• 4 )uantidade ∆[\[ ' denominada7"antidade de amortecimentoesec:co e ' Wtil para comparar
materiais de en$en+aria.• ?utra )uantidade )ue pode ser
usada para essa comparação ' o
coeciente de erda:
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso2..+ *istemas torcionais com amortecimentoviscoso
• ?s m'todos apresentadospodem ser estendidos parasistemas torcionais comamortecimento viscoso
• Considerando a ($ura aolado o tor)ue de
amortecimento viscoso ':
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• 4 e)uação do movimento (ca:
• ?nde ' ' o momento de in'rcia de
massa do disco k t ' a constanteel,stica do sistema e θ ' odeslocamento an$ular do disco.
• 4 solução da e)uação %2.1J2& 'an,lo$a < solução para sistemas comcoordenadas lineares.
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• 5ara um sistema sub-amortecido:
?nde:
:
ct ' a constante torcional deamortecimento.
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• !emplo 2.1JW 9 E JJJ *
k 9ase E ! 1JH
c9ase E 1JJJJ *s\m
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amortecimento viscoso
• Soluçãotili/a-se o princpio da conservação da
)uantidade de movimento e a de(nição decoe(ciente de restituição para determinar avelocidade inicial da bi$orna
Considerando:8 t1 e 8 t2 E velocidades do pilão
imediatamente antes e imediatamentedepois do impacto8 a1 e 8 a2 E velocidades da bi$orna antes edepois do impacto.
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
• 5elo princpio da conservação da)uantidade de movimento:
8 a1 E J %bi$orna em repouso antes doimpacto&5ara determinar 8 t1, 0 1 = 1:
2.H Vibração Livre com
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amortecimento viscoso
%.1& (ca:
Coe(ciente de restituição %r&:
2.H Vibração Livre com
-
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amortecimento viscoso
• 4 solução de %.6& e %.& d,:
4ssim as condiç0es iniciais da bi$orna
(cam:
7ator de amortecimento:
2.H Vibração Livre comi i
-
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amortecimento viscoso
• 7re)u"ncias naturais amortecida enão amortecida:
• 4 resposta da bi$orna da e)uação
%2.F2& (ca:
2.H Vibração Livre comi i
-
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amortecimento viscoso
• !emplo 2.11
2.F Vibração livre comi d C l b
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amortecimento de Coulomb
• m muitos sistemas mec@nicos sãousados amortecedores Co"lom9 oude atrito seco
sse amortecimento pode aparecerem sistemas )uando doiscomponentes desli/am em uma
estrutura vibrat#ria*esse tipo de amortecimento a =orça
re)uerida para produ/ir desli/amento
' proporcional < =orça normal
2.F Vibração livre comt i t d C l b
-
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amortecimento de Coulomb
• 4 =orça de atrito ' dada por:%2.1JH&
' a =orça normal e µ ' o coe(ciente
de atrito? valor de µ depende dos materiais
em contato e da condição das
super=cies.
2.F Vibração livre comt i t d C l b
-
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amortecimento de Coulomb
Netal sobre metal %com lubri(cação&: µ E J1Netal sobre metal %sem lubri(cação&:
µ E J6^orrac+a sobre metal: µ E 1J• ? amortecimento Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
2.4.1 Equação do movimento
2.F Vibração livre comt i t d C l b
-
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amortecimento de Coulomb
• ? sentido da =orça de atrito variacom o sentido da velocidade. 4ssim' necess,rio considerar dois casos:
%aso 1: dx/dt ' positiva % x positivo oune$ativo&:4 massa se movimenta da es)uerda
para a direita.Da 29 Lei de *eton:
%2.1JF&
2.F Vibração livre comt i t d C l b
-
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amortecimento de Coulomb
• Sendo:%2.1J&
• 4 solução pode ser obtida
substituindo %2.1J& em %2.1JF&• ?nde ω n ' a =re)u"ncia natural A1 e A2 são constantes )ue dependem das
condiç0es iniciais.
2.F Vibração livre comt i t d C l b
-
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amortecimento de Coulomb
%aso 2: dx/dt ' ne$ativa % x positivo oune$ativo&:4 massa se movimenta da direita para a
es)uerda.Da ($ura a e)uação do movimento (ca:
%2.1JO&4 solução ' dada por:
%2.11J&• ?nde 46 e 48 dependem das condiç0es
iniciais.
2.F Vibração livre comt i t d C l b
-
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amortecimento de Coulomb
• ? termo µ /k, )ue aparece em%2.1J& e %2.11J& ' uma constante)ue representa o deslocamento
virtual da mola sob a =orça µ , se ela=osse submetida a uma =orçaest,tica;
•
ssas e)uaç0es indicam )ue omovimento ' +armMnico a cada meiociclo e a posição muda de µ /k para–% µ /k & a cada meio ciclo.
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
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amortecimento de Coulomb
2.4.2 *olução4s e)uaç0es %2.1JF& e %2.1JO& podem sere!pressas como uma Wnica e)uação % =m&:
%2.111&?nde sn(%) ' a =unção si$num cuAo valor ': 1 para % X J
-1 para % J J para % E J.
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
*ão e!iste solução analtica simplespara a e)uação %2.111&. sta pode serresolvida por m'todos num'ricos. Nas
ela pode ser resolvida analiticamentese dividir o ei!o dos tempos emse$mentos separados por %intervalosde tempo com direç0es de movimentodi=erentes&.
•
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
• Considerando as condiç0es iniciais:
%2.112&
Como x = x em t = o movimentocomeça da direita para a es)uerda
x , x 1, x 2... são as amplitudes demeios-ciclos sucessivos
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
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amortecimento de Coulomb
De %2.11J& e %2.112&:
%2.11J& torna-se:
%2.116&
• ssa e)uação s# ' v,lida para meiociclo onde:
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
• Buando a massa est, <es)uerda e seu deslocamento emrelação ao e)uilbrio ':
• ? movimento começou com
deslocamento x = x e em meiociclo ! tornou-se: - x – %2 µ /k)>então a redução da ma$nitude de !
no tem o π/ω ' 2 /k
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
• *o se$undo meio ciclo a massa semovimenta da es)uerda para adireita portanto deve-se usar a
e)uação %2.1J&• 4s condiç0es iniciais desse meio
ciclo são:
x(t = ) E valor de x em t = π/ω n nae)uação %2.116& E
•
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
• 4s constantes de %2.1J& (cam:
• 4 e)uação %2.1J& (ca:
%2.118&ssa e)uação ' v,lida somente para ose$undo meio ciclo isto ' para
.
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
*o (nal desse meio ciclo o valor de !': na e)uação %2.116& E
: na e)uação %2.118& E J.stas se tornam as condiç0es iniciaispara o terceiro meio ciclo e o
procedimento pode continuar at' omovimento parar.
•
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
• ? movimento para )uando visto )ue a =orça de mola ' menor
)ue a =orça de atrito µ . ? nWmero
de meios ciclos %r& at' o movimentocessar ':
%2.11&
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
• Caractersticas de um sistema comamortecimento Coulomb:
4 e)uação do movimento ' não linear
4 =re)u"ncia natural do sistemapermanece inalterada com a inclusãodesse amortecimento
? movimento ' peri#dico? sistema entra em repouso ap#s al$um
tempo
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
4 amplitude ' redu/ida linearmentem cada ciclo a amplitude ' redu/ida
de 8µ*\Z de modo )ue as amplitudes
no (nal de )uais)uer dois meio-ciclospodem ser relacionadas por:%2.11&
Como a amplitude ' redu/ida de 8µ*\Zem um ciclo a inclinação das retastraceAadas da ($ura 2.68 ':
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
-
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amortecimento de Coulomb
2.4.' *istemas torcionais comamortecimento %oulom#
• 4s e)uaç0es para um sistema
an$ular são semel+antes
-
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amortecimento de Coulomb
4s soluç0es de %2.11F& e %2.11& sãoan,lo$as
-
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amortecimento de Coulomb
? movimento cessa )uando:
%2.121&
2.F Vibração livre comamortecimento de Coulomb
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amortecimento de Coulomb
!emplo 2.16: Coe(ciente de atrito emrelação a posiç0es medidas de massa^loco de metal sobre super=cie
irre$ular li$ado a uma mola x E 1J cm
ciclos de oscilação %em 2
se$undos&!= E 1 cm.
Determine o coe(ciente de atrito.
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139/161
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
-
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amortecimento por +isterese
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
-
8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
141/161
amortecimento por +isterese
• 7orça necess,ria para causar umdeslocamento !%t&:
%2.122&
5ara movimento +armMnico de=re)u"ncia ω e amplitude 5 :
%6.126&
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
-
8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
142/161
amortecimento por +isterese
De %2.122& e %2.126&:
%2.128&
*o $r,(co 6 por x a e)uação %2.128&
representa um laço =ec+ado %($ura bmostrada&.
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
-
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amortecimento por +isterese
4 ,rea do laço representa a ener$iadissipada em um ciclo e ' dada por:
%2.12&
? amortecimento causado pelo atritoentre dois planos internos )ue sedesli/am < medida )ue um material sede=orma ' denominado amortecimentopor +isterese %ou s#lido ou estrutural&.
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
-
8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
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amortecimento por +isterese
• sse amortecimento =era um laço de+isterese )ue =orma a curva tensão-de=ormação
• 4 perda de ener$ia em um ciclo 'i$ual < ,rea do $r,(co.• 5ode-se então de(nir uma constante
de amortecimento por +isterese.
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
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8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
145/161
amortecimento por +isterese
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
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8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
146/161
amortecimento por +isterese
• 4 similaridade entre as duas Wltimas($uras mostradas pode ser usadapara a de(nição da constante de
amortecimento por +isterese.• Constatou-se e!perimentalmente )ue
a perda de ener$ia por cicloindepende da =re)u"ncia e 'proporcional ao )uadrado daamplitude.
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
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8/18/2019 Vibrações - Cap 2_2016-1
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amortecimento por +isterese
• 5ara esse comportamento ocoe(ciente de amortecimento 'inversamente proporcional <
=re)u"ncia: %2.12H&?nde: h E constante de
amortecimento por +istereseDe %2.12& e %2.12H&:%2.12F&
2. Vibração Livre comamortecimento por +isterese
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amortecimento por +isterese
• Pi$ide/ comple!a:Considerando a mola e o amortecedorli$ados em paralelo %($ura& para
movimento +armMnico $eral x = 5eiω t a =orça ' dada por:%2.12&
De maneira semel+ante para umamortecedor por +isterese li$ado emparalelo a relação =orça-deslocamento
(ca
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amortecimento por +isterese
?nde:%2.16J&
' denominada ri$ide/ comple!a do
sistema e β = h/k ' uma constante )ueindica uma medida adimensional deamortecimento.
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amortecimento por +isterese
• Pesposta do sistemam termos de β a perda de ener$iapor ciclo ':
%2.161&? movimento pode ser consideradoapro!imadamente +armMnico %∆W
pe)ueno& e a diminuição na amplitudepor ciclo pode ser determinada pore)uilbrio de ener$ia.
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• Considerando as ener$ias nos pontos? e @ %separados por meio ciclo&:
%6.162&
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• *os pontos @ e :%2.166&
Nultiplicando %2.162& por %2.166&:
%2.168&
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? decremento lo$artmico por+isterese ' de(nido como:
%2.16&
Como o movimento ' consideradoapro!imadamente +armMnico:
%2.16H&
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7ator de amortecimento e)uivalente:
%2.16F&
4 constante de amortecimento
e)uivalente (ca:%2.16&
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• ?bserve )ue o m'todo paradeterminar um coe(ciente deamortecimento e)uivalente s# '
valido para e!citação +armMnica.
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• !emplo 2.1: estimativa deconstante de amortecimento por+isterese
Nediç0es e!perimentais resultamnos dados mostrados na ($ura4 partir desses dados estime β e o
decremento lo$artmico δ .
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• Solução:I$uala-se a ener$ia dissipada em um ciclo
%,rea do laço de +isterese& a ∆W dae)uação %2.12F&.
Cada )uadrado da ($ura e)uivale a: 1JJ !2 *.mm
_rea total E 4C^ 4^D D7 E` %4^&
%CG& %4^&%4& %D&%7& E %12&%1& %12&%& %12&%1& E 122)uadrados
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• ssa ,rea representa: 122 !2JJ\1JJJ E 2 *.m. De %2.12F&:
5 max E JJJmInclinação da curva =orça dee!ão%pela reta ?7&:
k E 8JJ\ E J *\mmntão:
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