Vibraciones Uv
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7/30/2019 Vibraciones Uv
http://slidepdf.com/reader/full/vibraciones-uv 4/10
Existen tres funciones forzantes básicas que pueden ser utilizadas para dar soluciónaproximada a los problemas de movimiento transitorio. Estas son:
a).- Función forzante de escalón rectangular b).- Función forzante de rampa
c).- Función de paso exponencialmente decreciente
5.2.1.- Función forzante de escalón rectangular .
La ecuación de movimiento del sistema es: omx kx F
El desplazamiento resultante es: cos oF n n k
x A t Bsen t
Si el sistema se encuentra inicialmente en reposo, (0) 0 x y (0) 0 x , siendo las constantes
/ o A F k y 0 B , por lo que la respuesta es
( ) (1 cos )oF nk
x t t
5.2.2.- Función forzante de rampa.La función forzante ( )F t aumenta linealmente al transcurrir el tiempo.
La ecuación del movimiento es: mx kx Ct
El desplazamiento resultante es: cos Ct n n k
x A t Bsen t
Dadas las condiciones iniciales (0) 0 x y (0) 0 x , los valores de las constantes son 0 A y
/ n B C k , por lo que la respuesta es
( ) ( )n
C n n
k
x t t sen t
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5.2.3.- Función de paso exponencialmente decreciente.
La ecuación del movimiento es: at omx kx F e
El desplazamiento resultante es:2
( ) cos at oF en n
ma k x t A t Bsen t
Dadas las condiciones iniciales (0) 0 x y (0) 0 x , los valores de las constantes son
2 2
1
o o
a
n
F F
ma k k
A
y
2
1
o
an
n
aF
k
B
, por lo que la respuesta es
2
1
( ) ( cos )o
na
n
F at an n
k
x t sen t t e
5.2.4.- Formulación de la transformada de Laplace.El método de la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial, produce unasolución completa transitoria y forzada.
Para el caso general con condiciones iniciales (0) x y (0) x , la ecuación de movimiento delsistema excitado por una fuerza arbitraria ( )F t es
( )mx cx kx F t ------------------- ( i )
Determinando la transformada de Laplace de la ecuación ( i ) se tiene que
2( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) ( )ms X s ms x mx csX s cx kX s F s
2 2
( ) ( ) (0) (0)( )
F s ms c x mx
ms cs k ms cs k X s
---------- ( ii )
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Para el caso más general, la ecuación ( ii ) puede escribirse como
( )
( )( )
A s
B s X s ------------------------- ( iii )
en donde ( ) A s y ( ) B s son polinomios y ( ) B s es en general, de mayor orden que ( ) A s .
Determinando la inversa de ( iii ) se obtiene la respuesta ( ) x t .
5.3.- Excitación de la base. Generalmente el soporte de un sistema dinámico está sometido a un movimiento repentino,especificado por su desplazamiento, velocidad o aceleración. La ecuación del movimientoentonces puede expresarse en términos del desplazamiento relativo z x y , por
22 n n z z z y ------------------------ (5.7)
y por lo tanto, todos los resultados del sistema excitado por medio de una fuerza, se aplican alsistema de base excitada para z , cuando el término / oF m es reemplazado por y o el
negativo de la aceleración de base.
Para un sistema no amortiguado inicialmente en reposo, la solución para los desplazamientosrelativos es
10
( ) ( )n
t n z y sen t d ------------------- (5-8)
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Problema 5.2.- Un émbolo de 20 kg se desliza dentro de un cilindro liso de diámetro interior de125mm y está soportado por un resorte de módulo elástico de 965 N/m. En el tiempo 0t , laválvula entre el depósito de gas y el cilindro se abre súbitamente aumentando la presión en elcilindro a 20 kPa. Se deja entonces escapar el gas a través de un orificio B, descendiendo lapresión exponencialmente con el tiempo de manera que, después de 2 seg disminuye hasta un
valor de 10 kPa. Determínese la respuesta transitoria del émbolo, como función del tiempo, y laamplitud de estado estable de la carrera del émbolo.
Solución: 1101 10.2 20
ln ln 3.4657 so o
p pat p t p
e a a
2 296520
48.25 sk n m
6.9462 rad/sn
Ecuación del movimiento: at at o o r mx kx F e p A e
---------- (a)2 2 2
4(0.125) 1.227 10 mr A ( área proyectada)
Solución homogénea: cos H n n x A t Bsen t
Solución particular:at
P x Ce
at P x Cae
2 at
P x Ca e
Sustituyendo P x y sus derivadas en (a) se obtiene lo siguiente:
2
2( ) o r p Aat at
o r ma k
C ma k e p A e C
La solución general es:2
( ) cos o r p A at n n
ma k x t A t Bsen t e
-------------- (b)
2( ) coso r p aA at
n n n n ma k x t A sen t B t e
-----(c)Sustituyendo las condiciones iniciales (0) 0 x y (0) 0 x en (b) y (c) se encuentra que
2o r p A
ma k A
,
2( )
o r
n
p aA
ma k B
Sustituyendo A y B en (b) se obtiene la solución final
2( ) coso r
n
p A at an n
ma k x t sen t t e
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Para el estado estable 0at e , por lo que la expresión resultante es
2
2 2 2( ) cos 1 ( )o r o r
n n
p A p Aa an n n
ma k ma k x t sen t t sen t
22
1
( ) ( )o r
a
n
p An
k
x t sen t
-------------- (d)
La amplitud de estado estable se determina por 2
2 2
2
20000 1.227 10
965 1 (3.4657/6.9462)1
0.22758 mo r
a
n
p A
k
X
0.22758 m X
Problema 5.3.- Determine la respuesta, para 1t t de un oscilador mecánico simple, a la función
forzante que se indica en la figura, usando la integral de convolución.
Solución: El problema puede resolverse considerando dos rampas, de acuerdo con la siguientefigura:
Primera rampa Segunda rampa
Para la primera rampa ( 10 t t ),1
( ) oF t
f t t
1
0 0( ) n
n
t t
n nm k h t sen t sen t
Por convolución se tiene que0
( ) ( ) ( )t
x t f h t d , por lo que
10
( ) ( )n ot F
nk t x t sen t d
Integrando por partes se obtiene la siguiente expresión:
211
0( ) cos ( ) ( )n o
n n
t F
n nkt x t t sen t 1 11( ) on
F t nk t t x t sen t , 1t t
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Para segunda rampa ( 1t t ) y tomando en cuenta la respuesta de la parte anterior, la solución
es1
1 1
11( ) ( )o
n
F t t
nk t t x t sen t t
Por superposición se obtiene lo siguiente:1 1
1 1 1 1
1 11( ) ( )o
n n
F t t t
n nk t t t t x t sen t sen t t
1 1
1 11
( ) 1 ( )o
n n
F
n nk t t x t sen t sen t t
Ejemplo 5.4.- Un pulso rectangular de altura oF y duración ot es aplicado a un sistema resorte-
masa no amortiguado. Considerando que el pulso es la suma de dos pulsos escalonados, comose muestra en la figura, determine su respuesta para ot t por medio de la superposición de las
soluciones amortiguadas.
Solución:
Ecuación del movimiento: ( ) ( )o o omx kx F U t F U t t ----- (a)
Condiciones iniciales: (0) 0 x , (0) 0 x
Transformada de Laplace de (a):
2 1 1( ) ( ) ost o os s
ms k X s F F e 2 2 1 1( ) ( ) o o oF F st
n m s m ss X s e
2 2 2 21 1
( ) ( )( ) o o o
n n
F F st
m ms s s s X s e
2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) o o
n n n n
F st s sm s ss s
X s e
------------ (b)
La respuesta para ot t se obtiene calculando la transformada inversa de la ecuación (b),
siendo ésta
2
( ) 1 cos 1 cos ( )o
n
F n n o
m x t t t t
( ) cos ( ) cosoF
n o nk x t t t t