VIBRACIN LIBRE

DetallesPg.

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................3

Movimiento armnico..............................................................................................................4

Ecuacin del movimiento - frecuencia natural.........................................................................5

Pndulo simple.........................................................................................................................11

Pndulo compuesto o pndulo fsico........................................................................................13

Combinacin de resortes..........................................................................................................16

En paralelo................................................................................................................................16

En serie.....................................................................................................................................18

Mtodo de la energa................................................................................................................24

Mtodo Newton........................................................................................................................27

Mtodo de Rayleigh.................................................................................................................28

Vibracin forzada sin amortiguamiento...................................................................................41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................46

Vibracin libre amortiguada.....................................................................................................47

Sistema con amortiguamiento crtico.......................................................................................48

Movimiento sub-amortiguado..................................................................................................50

Movimiento sobre-amortiguado...............................................................................................52

Sistema de un solo grado de libertad.

Muchos sistemas pueden vibrar en ms de una manera y direccin. Si un sistema est restringido a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por completo la localizacin geomtrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de un solo grado de libertad.

Por Ej.:

Movimiento armnico.

El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un balancn de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos ssmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo "t", se le llama PERIDICO donde "t" es el periodo de oscilacin.

Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento peridico debe satisfacer la relacin:

x(t) = x(t + t)

El movimiento peridico ms simple es el MOVIMIENTO ARMNICO. Este movimiento puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se desplaza de su posicin de reposo y se la libera, oscilar hacia arriba y abajo; si se coloca una fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de pelcula sensible a la luz que es movida a velocidad constante.

Este movimiento registrado en la pelcula puede representarse por medio de la ecuacin:

Donde:

A = Amplitud de oscilacin, medida desde su posicin de equilibrio.

= Periodo y se repite cuando Ecuacin del movimiento - frecuencia natural.

El sistema oscilatorio ms simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya que su movimiento est descrito por una coordenada "x".

Cuando se pone en movimiento, la oscilacin tendr lugar a la frecuencia natural que es una propiedad del sistema.

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.

La posicin del equilibrio esttico:

(1)

Si se desplaza un "x" a partir del equilibrio esttico, las fuerzas que actan son:

En el resorte

Debido al peso

Si se toma a "x" como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y aceleracin son tambin positivas por estar dirigidas hacia abajo.

Segn (1)

Por tanto:

(2)

Note que el hecho de haber elegido como referencia la posicin de equilibrio esttico a la medida "x", ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad y a la fuerza esttica del resorte de la ecuacin del movimiento (Ver ecuacin (2)) y la fuerza resultante es solamente debida al desplazamiento "x".

(3)

La frecuencia natural circular ser:

La ecuacin (3) queda por tanto:

(4)

El movimiento definido por la ecuacin (4) se llama "Movimiento Armnico Simple" y se caracteriza porque la aceleracin es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.

Note que satisfacen la ecuacin; por tanto constituyen soluciones particulares.

La solucin a esta ecuacin es de la forma:

(5)

Derivando dos veces:

(6)

(7)

Reemplazando (5) y (7) en (4)

Como:

son soluciones linealmente independientes

Entonces

tambin son soluciones

Y tambin ser:

(8)

Pero:

(9)

(10)

(9) y (10) en (8)

(11)

Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.

Suponiendo que:

Condiciones de contorno

o Condiciones iniciales

Derivando (11)

(12)

Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B

En (11)

En (12)

Reemplazando las cts. A y B en (11)

Donde

frecuencia natural circular

El periodo natural de oscilacin es:

pero: Por tanto:

o tambin: La frecuencia natural:

Estas cantidades pueden expresarse en funcin a la deflexin o deformacin esttica ya que:

Reemplazando en estas ltimas ecuaciones:

* Frecuencia natural circular:

* Periodo natural:

* Frecuencia natural:

La solucin general tambin puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares por cts.. arbitrarias y sumndolas, es decir:

(a)

(b)

(c)

a) y (c) en (4)

Cumple la igualdad, por tanto es solucin de (4) la ecuacin (a)

Como esta expresin contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solucin obtenida (a) es la solucin general y A y B dependen de las condiciones iniciales.

Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleracin obtenidas para una partcula, pueden escribirse en forma ms compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma de las componentes en "x" de los vectores A y B respectivamente.

Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud El M.A.S. de "P" a lo largo del eje "x" puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento de un punto "Q" que describe un crculo de radio con una velocidad angular constante "".

Representando por "" el ngulo formado por los vectores OQ y A, se escribe:

Que conduce a otras formas de expresin del desplazamiento, velocidad y aceleracin.

Ejm. Una masa de Kg. est suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexin esttica y verifique la frecuencia natural.

a) Frecuencia natural

b) La deflexin esttica

Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa "M" en el extremo de un voladizo de masa despreciable.

Primero se encuentra la deformacin de la viga en el extremo (Donde est la carga).

Por condiciones de contorno:

y = 0

Por tanto la deformacin es: La deformacin mxima ocurre en x = L

Como siendo la deformacin, entonces la ecuacin (*) se adecua a:

Se sabe que la frecuencia natural circular es: Entonces.

1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresin para la frecuencia de la masa.

Segn tablas: La deformacin en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde est m) viene dada por:

Adecuando a nuestro caso:

Se sabe que la frecuencia natural est dada por:

Entonces:

Pndulo simple.

El pndulo simple se compone de una masa puntual "m" que cuelga en el extremo inferior de un hilo resistente de longitud "L" de peso despreciable.

Desplazada la partcula de la posicin de equilibrio en un ngulo ""y luego liberada, el pndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro "O" y radio "L", bajo la influencia de la fuerza restauradora ""que es la componente del peso "W" en la direccin tangencial.

Para un tiempo cualquiera "t", la cuerda forma un ngulo "" con la vertical y el sistema de fuerzas que acta sobre la partcula lo constituyen el peso "W" y la tensin "T" en la cuerda.

Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene:

Donde

Radio de la curva

L

Entonces:

Comparando con la ecuacin del M.A.S. se ve que el movimiento del pndulo no es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilacin es pequea:

(En radianes)

Luego puede escribirse:

(Solucin aproximada)

Por comparacin se tiene que la frecuencia natural circular est dada por:

Llegando a la conclusin que el pndulo simple es un M.A.S. para pequeas oscilaciones.

Su periodo est dado (Frmula de HUYHENS):

Ejm. Suponiendo que el pndulo de un reloj sigue la teora del pndulo simple. Cul ser la longitud si tiene el periodo de un segundo?

Se sabe que el periodo est dado por:

Despejando:

Trabajando en [pies]

Pndulo compuesto o pndulo fsico.

Un cuerpo rgido que puede oscilar libremente alrededor de un punto en suspensin que es su centroide, constituye un pndulo compuesto.

Los distintos puntos materiales del rgido, constituyen otros tantos pndulos simples que si estn a diferentes distancias del eje de giro tendran que oscilar con periodos distintos.

Pero como se trata de un pndulo fsico, este se mueve con un periodo propio de oscilacin

Si el pndulo compuesto es desplazado de su posicin de equilibrio, esta vuelve por efecto del momento de su peso "W" respecto al eje.

pero

donde:

Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin I=Radio de giro

r

Aceleracin angular

Para oscilaciones pequeas

[Rad]

Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:

como

(2)

Analizando esta frmula (2), se nota que para oscilaciones pequeas, el movimiento oscilatorio del pndulo fsico es M.A.S. siendo:

Frecuencia natural circular

y su periodo de oscilacin es:

Ejm. Una chapa cuadrada homognea de lado "L" (Pies) y masa "m" est suspendida del punto medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilacin.

Para oscilaciones pequeas:

(1)

Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro

De tablas se tiene que: El momento respecto al eje X es:

En este caso la rotacin es respecto al eje X por tanto segn STEINER

(2)

Reemplazando (2) en (1)

Combinacin de resortes.

Cuando la deformacin de la masa vibratoria implica a ms de un resorte. Para facilitar el clculo de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.

En paralelo.

Las caractersticas son:

Todos los resortes tienen la misma deformacin

(1)

La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes ; es decir:

(2)

Se sabe que: adecuando a (2) segn (1) se tiene:

Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura tambin representa un sistema en paralelo.

- Considerando la masa "m" descompuesta en dos partes "" y "" tales que

(1)

Sean las frecuencias naturales de cada una:

(2)

Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa. Por tanto:

(3)

(2) en (3)

(4)

(5)

(4) y (5) en (1)

En serie.

El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Caractersticas:

La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de los resortes; es decir:

(1)

El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.

(2)

Pero:

Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2)

Ejm. Determine la frecuencia natural del vibracin del bloque, si sabe que los resortes estn inicialmente comprimidos.

Por la figura, se puede decir que el sistema est en paralelo, por tanto:

Luego la figura se reduce a :

donde:

pero

Ejercicios:

1. Un disco homogneo semi-circular de radio "r" y masa "m" est pivotado en su centro y gira libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilacin para desplazamientos pequeos.

Para oscilaciones pequeas:

I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro.

Extrayendo de tablas:

Reemplazando:

2. Un cilindro homogneo de masa "m" est suspendido por un resorte de constante "K" [lb/Plg] y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.

D.C.L. para la posicin de equilibrio esttico:

(1)

D.C.L. para un desplazamiento x:

Donde:

Para un cilindro

Segn (1)

Ordenando

(2)

3. Una varilla rgida de peso despreciable est restringida a oscilar en un plano vertical. Determine la frecuencia natural de la masa "m".

En la posicin que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformacin , por tanto en su equilibrio esttico:

(1)

Cuando se desplaza un "x", la sumatoria de momentos ser:

Pero

Donde

(2)

Segn (1) queda:

(3)

Pero donde en este caso

(4) en (3)

4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo. Determine el periodo natural de vibracin.

Inicialmente para estar en esa posicin, el resorte debe estar comprimido.

Equilibrio esttico:

(1)

Si se desplaza un cierto ngulo q o distancia x

Segn (1)

Pero

Mtodo de la energa.

El movimiento armnico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y elsticas de restauracin que actan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.

Entonces la conservacin de la energa puede usarse para determinar la ecuacin diferencial de movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibracin del cuerpo.

Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energa total es parte cintica y parte potencial.

La energa cintica "T" es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la energa potencial "V" es almacenada en forma de energa elstica de deformacin o de trabajo realizado en un campo de fuerza gravitacional.

Coma la energa total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir:

Como el inters se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:

Donde (1) es el instante en que la masa est pasando por su posicin de equilibrio esttico(por

tanto ) (Ya que el N. R. Est ah).

Sea (2) el instante en que ocurre el mximo desplazamiento de la masa

Sin embargo, si el sistema est experimentando un movimiento armnico, y son valores mximos y por tanto:

que conduce de inmediato a la frecuencia natural.

Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se desplaza una cantidad arbitraria "x" desde su posicin de equilibrio.

La energa cintica es:

La energa potencial es:

Segn la conservacin de la energa

El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuacin respecto a "t":

Factorizando

Si se escribe la ecuacin de energa para "Un sistema de cuerpos conectados", tambin puede determinarse la frecuencia natural o ecuacin del movimiento por medio de la derivacin.

(Este mtodo permite determinar "Directamente" la frecuencia circular "")

Procedimiento para el anlisis.

1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequea distancia "x" desde la posicin de equilibrio esttico. (L. R.)

2. Formule la ecuacin de energa para el cuerpo , recordando que la energa cintica es para traslacin y rotacin, es decir: y la energa potencial es: (Gravitacional y elstica).

3. Se procede a la derivacin y se factoriza los trminos comunes.

4. La ecuacin resultante representa la ecuacin del movimiento para el sistema.

Ejm. Un cilindro slido homogneo de masa "m" se sujeta por medio de un resorte de constante "K" lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la frecuencia es: .

Por el mtodo energtico

Pero

; ; Por tanto:

(1)

La energa potencial

Pero:

(2)

Mtodo Newton:

ESTTICA

DINMICA

Esttica:

(1)

Dinmica:

(2)

Reemplazando (1) en (2) y ordenando

Como no existe deslizamiento

Mtodo de Rayleigh:

El mtodo de energa, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas, siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.

En sistemas donde las masas estn unidas por conectores rgidos, palancas o engranajes, el movimiento de las diferentes masas puede expresarse en trminos del movimiento "x" de algn punto especfico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.

La energa cintica puede escribirse como:

Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto especfico.= Ahora bien, si la rigidez "K" de este punto es tambin conocida, la frecuencia natural puede calcularse por:

En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la distribucin de la amplitud de vibracin antes de calcular la energa cintica "RAYLEIGH".

1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.

Sea "" la velocidad de la masa "M"

Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en "y" vara linealmente.

La energa cintica del sistema puede ser ahora:

Masa por unidad de longitud=

Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa "M" es 1/3m; es decir:

Aadiendo esto a la masa concentrada "M", la frecuencia natural ser:

2. Una viga simplemente apoyada de masa "m" tiene una masa concentrada "M" en el centro de la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.

Primero se halla la variacin de la amplitud (Deformacin) con respecto a "x" segn tablas:

La ecuacin de la elstica y la flecha mxima estn dadas por:

Para

Operando en la ecuacin de la elstica se tiene:

Por tanto:

La energa cintica ser:

De donde la masa efectiva es:

Por tanto la frecuencia es:

Pero se sabe que:

3. La masa de la varilla delgada de seccin uniforme es pequea comparada con la masa que tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilacin de la masa, suponiendo que la oscilacin es pequea.

La energa potencial es la gravitacional y la elstica:

Pero:

(1)

Pero: Para oscilaciones pequeas

(2)

La energa cintica es de traslacin:

Pero:

(3)

La derivada temporal

4. Una esfera homognea de radio "r" y masa "m" puede rodar libremente sin deslizar sobre una superficie esfrica de radio "R". Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical. Determine la frecuencia natural de oscilacin de la esfera.

La energa potencial es:

La energa cintica es de traslacin y rotacin

donde: (Respecto del punto "O")

Pero:

(Considerando A centro instantneo)

Por tanto:

Pero:

5. Un disco homogneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-plg-seg2. En la posicin de equilibrio esttico ambos resortes estn estirados 1 plg.. Encuentre la frecuencia natural angular de oscilacin del disco, cuando se le da un pequeo desplazamiento angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.

La energa cintica:

(1)

La energa potencia elstica:

Como:

(2)

Pero:

Reemplazando valores:

6. Un cilindro homogneo de masa "m" est suspendido por un resorte "K" y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.

Energa cintica:

Por tanto:

Energa potencial:

Pero:

7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibracin "f" si los resortes estn originalmente no estirados.

Energa cintica:

Pero:

(1)

Energa potencial (Elstica solamente):

pero:

(2)

Se sabe que:

8. Determine La ecuacin diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de su centro de masa es R = 100 mm. = 0.1 m.

R = 200 mm. = 0.2 m.

= 125 mm. = 0.125 m.

Energa cintica (Traslacin y rotacin):

Pero: (1)

pero: (2)

Energa potencial (Elstica solamente):

Pero: (3)

Reemplazando valores:

9. Para ngulos pequeos de oscilacin, encuentre la frecuencia de oscilacin del sistema.

Por el mtodo de la Energa

Pero

Reemplazando

Derivando

10. Hallar la ecuacin del movimiento de un pndulo invertido que est restringido por un resorte, cuya constante es "K". Se supone que la masa del pndulo est concentrada a una distancia "L" del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rgido para que el pndulo sea estable.

Pero = velocidad

Pero

Pero

Vibracin forzada sin amortiguamiento.

Para este caso la ecuacin diferencial tiene la forma siguiente:

(1)

Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: a) Solucin a-transitoria complementaria: Cuando la ecuacin es homognea, es decir:

La cual tiene como solucin:

b) Solucin estacionaria o particular: Cuando la ecuacin es:

Su solucin es del tipo:

(2)

Derivando dos veces:

(3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

Factorizando G y ordenando

Pero:

Sea:

(4)

Reemplazando (4) en (2)

(Solucin particular)

Como la solucin general es del tipo:

Entonces:

(5)

Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno

Si

(a)

Si

(b)

Reemplazando (a) en (5)

Derivando (5)

(6)

Reemplazando (b) en (6)

Pero

Reemplazando las constantes A y B en (5)

(7)

Donde:

Amplitud de la fuerza externa

Rigidez del resorte

Frecuencia circular del movimiento

Frecuencia circular de carga

Si se analiza la ecuacin (7), se nota que:

Si , es decir; entonces el factor lo que implica que al estar en el denominador se hace infinita la expresin. Esta situacin se llama RESONANCIA.

La solucin particular para el caso tiene la forma:

Donde :

Esta expresin muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.

Ejm. Un bloque de masa "m" est soportado por un resorte de ctte. "K" el cual est montado sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armnico hacia arriba y hacia abajo. Determine el movimiento del bloque.

Solucin complementaria Solucin particular:

Por uno de los mtodos abreviados, se tiene que la solucin es de la forma:

:Por tanto en este caso, la ecuacin diferencial ser:Sea

Pero

Por tanto la solucin general es:

Tipos de amortiguamiento.

a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a travs de fluidos.

Ctte. De proporcionalidad

Velocidad

b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo dentro un fluido es alta.

Ctte. De proporcionalidad

Velocidad

c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra superficie.

Coeficiente de roce cintico

Fuerza normal

Vibracin libre amortiguada.

En la situacin de equilibrio esttico (caso b) no acta todava la amortiguacin

(1)

En la situacin (c) se tiene:

Segn (1)

Ordenando:

(2)

Si

y

(3)

Dividiendo entre "m" la ecuacin (3)

(4)

Resolviendo cual si fuese una ecuacin de segundo grado.

Como

Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles:

Si

El sistema tiene amortiguamiento CRITICO

Si

El sistema es SUB-AMORTIGUADO

Si

El sistema est SOBRE-AMORTIGUADO

Sistema con amortiguamiento crtico.

Como

De ah

Amortiguamiento crtico

Por tanto la raz de la ecuacin (4) son iguales y sern:

Por tanto la solucin de la ecuacin (4) tendr la forma:

Donde Ctts. a determinar

Factorizando

Como

(5)

(5)

Conforme se tiene que ms rpidamente que se aproxima a ; el movimiento se disipa exponencialmente.

De hecho, el caso de amortiguamiento crtico es el caso lmite de sobre-amortiguamiento.

"El amortiguamiento crtico, representa una condicin en la que tiene el valor mnimo necesario para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO"

Para hallar las constantes de la ecuacin (5) se realiza segn condiciones de contorno.

Se sabe que: (6)

(6) en (5)

(7)

Reemplazando en (7)

Derivando (7)

Reemplazando las constantes y en (5)

Ordenando:

Movimiento sub-amortiguado.

Esta situacin ocurre cuando:

Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendr soluciones imaginarias.

Sea Razn de amortiguamiento

Reemplazando en:

Sea:

Velocidad angular amortiguadoFrecuencia de oscilaciones amortiguadas

(a)

La solucin a la ecuacin diferencial tendr la forma:

(b)

Reemplazando (a) en (b)

(c)

Como:

Reemplazando en (c)

(d)

Para

Derivando (d):

Para

Pero

Movimiento sobre-amortiguado.

Esto ocurre cuando:

Razn de amortiguamiento

Reemplazando en:

(a)La solucin a la ecuacin diferencial es del tipo:

(b)

Reemplazando (a) en (b)

(c)

Derivando (c)

(d)

Las condiciones de contorno son:

Para:

; ; Reemplazando en (c)

(*)

Reemplazando en (d)

(**)

Reemplazando (*) en (**)

Reemplazando en (*)

*****

El movimiento es una funcin exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como

APERIODICA.

Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura "h" sobre una superficie dura. Cul ser el movimiento resultante de la masa "m"?

La ecuacin diferencial para este sistema es:

(1)

La expresin se puede escribir como:

La solucin de esta ecuacin es:

(2)

Como

y Reemplazando en (2)

Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario:

Sea:

La solucin a la ecuacin (1) es de la forma:

Como:

Reemplazando y simplificando:

(3)

Derivando (3)

(4)

Considerando el nivel de referencia (L.R) del grfico, se tiene las consideraciones de contorno

; ; Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes.

En (3)

En (4)

Reemplazando en (3)

Pero

1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg.. Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posicin de reposo. Cul ser el desplazamiento al final del primer segundo?.

La ecuacin diferencial para este caso es:

La solucin o primitiva de esta ecuacin es:

(a)

; ; [Plg/seg]

(b)

Reemplazando en (a)

Derivando (a)

Pero Reemplazando en (a)

(c)

Pero

Por tanto estos valores reemplazado en (c)

2. Un pndulo simple est pivotado en "0". Si la masa de la varilla es despreciable y las oscilaciones pequeas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del pndulo.

donde

(1)

pero

Reemplazando en (1)

Ordenando

(2)

La solucin de esta ecuacin de segundo grado es:

De aqu, la frecuencia circular amortiguada es la raz, pero cambiando los trminos:

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