Vibracao Transversal Viga
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Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES MECÂNICASSISTEMAS CONTÍNUOS
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGA
Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
Seja o diagrama de corpo livre do elemento mostrado na figura:
Aplicando a segunda lei de Newton na direção z, tem-se:
2),(2
).(.).,()(t
txwdxxAVdxtxfdVV
Em que ρ é a massa específica, A a área da seção transversal e f (x,t) é a força por unidade de comprimento.
Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
2),(2
).(.).,()(t
txwdxxAVdxtxfdVV
Considerando que: dxxVdV .
2),(2
).(.),(),(
t
txwxAtxfxtxV
Da Mecânica dos Sólidos:xtxMtxV
),(),(
2),(2
).(.),(2),(2
t
txwxAtxfx
txM
Da Mecânica dos Sólidos: 2),(2
)(.),(x
txwxIEtxM
Em que E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção transversal, em relação ao eixo y.
Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
2),(2
).(.),(2),(2
t
txwxAtxfx
txM
Substituindo a equação da linha elástica na equação acima, obtemos a equação de movimento para vibração transversal forçada de viga não uniforme:
),(2),(2
).(.2),(2
).(.2
2txf
t
txwxAx
txwxIEx
Para viga uniforme, em que I(x) = I e A(x) = A, ou seja, as propriedades geométricas são constantes ao longo do comprimento, a equação se reduz a:
),(2),(2
..4),(4
.. txft
txwAx
txwIE
Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
),(2),(2
..4),(4
.. txft
txwAx
txwIE
Para vibração livre, f (x,t) = 0, a equação se reduz a:
AIEce
t
txw
x
txwc..02
),(2
4),(4
.2
Visto que a equação de movimento envolve uma derivada de segunda ordem em relação ao tempo e outra de quarta ordem em relação a x, a solução será encontrada a partir de duas condições iniciais e quatro condições de contorno. Assim, as condições iniciais serão dadas por:
)()0,()()0,( xowxtxwexowtxw
Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
AIEce
t
txw
x
txwc..02
),(2
4),(4
.2
A solução pode ser encontrada usando o método da separação de variáveis, ou seja:
)().(),( tTxWtxw Que substituindo na equação de movimento leva a:
22)(2
.)(
14)(4
.)(
2
dt
tTdtTdx
xWdxW
c
Que pode ser escrita como duas equações:
0)(.22)(2
0)(.44)(4
tTdt
tTdexWdx
xWd
Em que: IEA
c .
2..2
24
Vibr
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Pro
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n So
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
As soluções podem ser expressas como:
).(.4).cosh(.3).(.2).cos(.1)().().cos(.)(
xsenhCxCxsenCxCxWtBsentAtT
0)(.22)(2
0)(.44)(4
tTdt
tTdexWdx
xWd
As constantes A e B são obtidas das condições iniciais e as constantes Ci, com i = 1,2,3 e 4, das condições de contorno, conforme listadas na tabela a seguir apresentada.
A função W (x) é a função característica, ou forma modal da viga, e ω são as freqüências naturais da viga. Cada viga terá um número infinito de formas modais associadas com os infinitos valores de ω.
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
Determine as três primeiras freqüências naturais e formas modais correspondentes de uma viga bi-apoiada constituída de um material com massa específica ρ e módulo de elasticidade E. As suas características geométricas são: comprimento L, seção Transversal A e momento de inércia da seção transversal I.
EXEMPLO
02),0(20),0(
x
tW
tW
02),(20),(
x
tLW
tLW
Vibr
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
SOLUÇÃO
Aplicando as condições de contorno para x = 0, temos:
).(.4).cosh(.3).(.2).cos(.1)( xsenhCxCxsenCxCxW
03102
20310)0(
CCx
W
CCW
que permite concluir que C1 = C3 = 0. Assim, aplicando as condições de contorno para x = L, tem-se:
0).(24).(2
202
20).(.4).(.20)(
LsenhCLsenCx
W
LsenhCLsenCLW
levando a conclusão de que C4 = 0 e que:
,3,2,1..0).(2 nnLLsenC
Vibr
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Pro
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n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
IEA
c .
2..2
24 Como e ,3,2,1. n
Ln
As freqüências naturais serão dadas por: A
IE
L
nn .
..2
2.2
A solução geral, correspondente à vibração livre, é dada por:
A solução wn(x,t) correspondente à ωn pode ser expressa como:
tnsennDtnnCxlnsentnTxnWtxnw .cos.)().(),(
1.cos.),(
ntnsennDtnnCx
lnsentxw
Os valores de Cn e Dn dependem das condições iniciais.
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
AIE
L ...2
21
AIE
L ...2
242
AIE
L ...2
293
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Pro
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
VIBRAÇÃO FORÇADAA solução para vibração forçada pode ser obtida pelo princípio da superposição modal. Assim, a deflexão da viga pode ser assumida como:
1)().(),(
ntnqxnWtxw
Em que Wn (x) satisfaz a seguinte equação:
IEnAexW
dx
xnWd.
2..40)(.44)(4
,3,2,10)(.2..4)(4
.. nexWnAdx
xnWdIE
(1)
(2)
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
Substituindo a Eq. (1) na equação da vibração forçada, tem-se:
1 1),(
2)(2
).(.)(.4)(4
.n n
txfdt
tnqdxnWAtnqdx
xnWdIE
Esta nova equação pode ser reescrita, usando a Eq. (2) como:
1 1),(.
.1
2)(2
).()().(.2
n ntxf
Adt
tnqdxnWtnqtnWn
Multiplicando esta equação por Wm(x), integrando de 0 a L, e usando a condição de ortogonalidade, ou seja:
mncomL
dxxmWxnW 0 0).().(
Vibr
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Pro
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r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
Obtém-se a seguinte equação de movimento:
)(...1)(.22
)(2tnQbA
tnqndt
tnqd
Sendo Qn(t) a força generalizada, correspondente a qn(t), e b uma constante, dados pelas seguintes equações:
L
nL
nn dxxWbedxxWtxftQ0
20
).().().,()(
A solução da equação é dada por:
L
dtnsennQnbA
tnsennBtnnAtnq
0)].([).(.
...1
).(.).cos(.)(
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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
Determine a resposta em regime de funcionamento para uma viga bi-apoiada submetida a uma força f (x,t) = fo sen (ω.t) aplicada em x = a, como mostrado na figura abaixo.
EXEMPLO
Vibr
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icas
Pro
f. D
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n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
SOLUÇÃOComo visto no exemplo anterior, a função característica Wn(x), para uma viga bi-apoiada, é dada por:
Ln
ncomxnsenxnW .).()(
A força generalizada Qn(t) é dada por:
Ltsen
LansenfdxxnWtxftnQ 0
).(....0).().,()(
A resposta em regime é dada por:
L
dtnsennQnbA
tnq 0)].([).(.
...1)(
L LdxxLnsen
LdxxnWb
0 2..2
0).(2
Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
O valor de qn(t) pode ser expresso por:
).(.22
..
...0.2)( tsen
n
Lansen
LAftnq
Portanto, a vibração em regime da viga é dada por:
).(..
1....22
1..0.2),( tsenx
Lnsen
nLansen
nLAf
txw
Vibr
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s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA COM CARGA AXIAL
Seja o diagrama de corpo livre do elemento mostrado na figura:
Aplicando a segunda lei de Newton na direção z, tem-se:
2),(2
).(.
)()().().,()(
t
txwdxxA
PsendsendPPVdxtxfdVV
Em que ρ é a massa específica, A a área da seção transversal, f (x,t) é a força por unidade de comprimento e P (x,t) é a força axial.
Vibr
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s M
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Pro
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ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA COM CARGA AXIAL
Para pequenas deflexões:
dxx
wxwdx
xddsen
2
2)(
Que junto com a equação de movimento fornece:
),(2
2
2),(2
..2),(2
..2
2txf
x
wPt
txwAx
txwIEx
Que para vibração livre da viga uniforme se reduz para:
02
2
2),(2
..4),(4
..
x
wPt
txwAx
txwIE
Da Mecânica dos Sólidos:xtxMtxV
),(),(
Vibr
açõe
s M
ecân
icas
Pro
f. D
r. N
ewto
n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA COM CARGA AXIAL
02
2
2),(2
..4),(4
..
x
wPt
txwAx
txwIE
A solução é obtida usando-se o método da separação de variáveis, ou seja:
)].(.).cos(.).[(),( tsenBtAxWtxw Substituindo w(x,t) na equação de movimento, tem-se:
0)(.2..2)(2
4)(4
..
xWA
x
xWPdx
xWdIE
Que leva a seguinte solução:
).2(4).2cos(3).1(2).1cosh(1)( xssenCxsCxssenhCxsCxW 2/12
224
2
222;
21
EIA
IE
PEIPss
Vibr
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n So
eiro
VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA
Determine as freqüências naturais de uma viga bi-apoiada para uma força compressiva axial P.
EXERCÍCIO