1. La lezione di oggi Scalari Vettori Operazioni tra vettori 2.
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1. Vettori ordinari del piano.
Teorema 1 Ogni vettore ordinario del piano
e esprimibile, in modo unico, come combi-
nazione lineare di→i ,
→j .
Osservazione 2 (→i ,
→j ) e una base di V2
spazio dei vettori ordinari del piano, ed e la
base canonica di V2.
Proposizione 3 Dati i vettori→u= a
→i +b
→j
e→v = a′
→i +b′
→j , il loro prodotto scalare e
uguale a→u · →v = aa′ + bb′.
Osservazione 4 La base (→i ,
→j ) e una base
ortonormale di V2.
2
2. Vettori ordinari dello spazio.
Teorema 5 Ogni vettore ordinario dello spa-
zio e esprimibile, in modo unico, come com-
binazione lineare di→i ,
→j ,
→k .
Osservazione 6 (→i ,
→j ,
→k ) e una base di V3
spazio dei vettori ordinari dello spazio, ed e
la base canonica di V3.
Proposizione 7 Dati i vettori→u= a
→i +b
→j
+c→k e
→v = a′
→i +b′
→j +c′
→k , il loro prodotto
scalare e uguale a
→u · →v = aa′ + bb′ + cc′.
Osservazione 8 La base (→i ,
→j ,
→k ) e una ba-
se ortonormale di V3.
3
3. Prodotto vettoriale in V3.
Teorema 9 Dati in V3 i vettori→u= a
→i +b
→j
+c→k e
→v = a′
→i +b′
→j +c′
→k , il loro prodotto
vettoriale e uguale al vettore
→u ∧ →
v =
= (bc′ − b′c)→i −(ac′ − a′c)
→j +(ab′ − a′b)
→k .
Osservazione 10 Il prodotto vettoriale di→u
e→v e uguale al vettore che si ottiene come
determinante della matrice (simbolica)→i
→j
→k
a b ca′ b′ c′
.
4