Vetores - SpeedServ · •Sentido Vetor AB B A 5 ... Definimos a diferença v 1 – v 2 como v 1 +...
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Exercício: Seja P um paralelepípedo com faces
paralelas aos planos coordenados. Sabendo que A =
(1,1,1) e B = (3,4,5) são dois dos seus vértices,
determine os outros vértices.
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Distância entre dois pontos
Sejam P(x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) dois pontos do espaço.
A distância entre eles é dada por:
d(P, Q) = √(x2– x1 )2 + (y2 – y1 )
2 + (z2 – z1 )2
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Vetores Coplanares
São vetores que possuem representantes no mesmo
plano.
coplanares não coplanares
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Propriedades da Adição
1. Associativa
2. Comutativa
1. Elemento neutro
1. Elemento oposto
3,,)()( Vcbacbacba
3, Vbaabba
30 Vaaa
0)()(/)(0
aaaaaa
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Multiplicação por um escalar
Dados:
vetorv
real
:
:
vw
é o vetor vezes o vetor v
Definição:
• Se =0 ou =0 então =0
• é definido como:
comprimento: | |=||| |
direção: é paralelo a
sentido: se >0 o sentido é o mesmo de
<0 o sentido é oposto ao de
Exemplo: v v
2
v
2
1v
2
v
v
v
v
v
v
v
v
v
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Propriedades da multiplicação por
escalar
Para quaisquer vetores u e v e quaisquer escalar e b reais são
válidas as seguintes propriedades:
Rvv bbb ,)()(
Rvuvu
)(
Rvvv bbb ,)(
vv
1
M1.
M2.
M3.
M4 (elemento neutro da operação)
•Versor de um vetor
Se v≠0 o seu versor é um vetor unitário (modulo 1) e possui a
mesma direção e mesmo sentido. Representação: versor de v:
v
vv
*ˆ
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Produto Escalar
Considere dois vetores não nulos
O produto escalar de por é o número real
Se um dos vetores for nulo o produto escalar é igual a zero.
Notação:
212121 ...cos... zzyyxxvuvu
),,(),,( 222111 zyxvezyxu
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Propriedades do Produto Escalar
Considere os vetores , e e seja t um número real.
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0. vuvu
Observe que os vetores das bases canônica do R2 e do R3 são
ortogonais e unitários.
1,0,0,0,1,0,0,0,1k,j,i
b
1,0,0,1j,i
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Norma (Módulo) de um vetor
2
222
.
.
vvv
vvzyxv
• A desigualdade de Cauchy-Schwarz continua válida:
|u.v| ||u||. ||v||
• O ângulo entre os vetores u e v, θ, é tal que:
0 θ π
cos θ = (u.v) / (||u||. ||v||)
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Ângulo entre dois vetores
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vu
vuvuvu
vuvvuuvvuvvuuu
vuvvuuvuvu
vuvuvu
.
.coscos...2.2
cos...2......
cos...2..)).((
,cos...2222
Ângulos e Cossenos Diretores
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Vamos determinar os ângulos entre um vetor não nulo
e os vetores da base canônica:
z,y,xu
iu
iui,ucos
u
0,0,1z,y,x
u
x
u
xarccosi,u
ju
juj,ucos
u
0,1,0z,y,x
u
y
u
yarccosj,u b
ku
kuk,ucos
u
1,0,0z,y,x
u
z
u
zarccosk,u
1)(cos)(cos)(cos 222 b
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Observe que:
u
z
u
y
u
xu
uu
,,
1* )cos(),cos(),cos( b
Os ângulos , b e são chamados ângulos diretores e os
cossenos desses ângulos são chamados cossenos diretores.
Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 b
Exemplo: Determine o versor de um vetor u sabendo que
dois dos seus cossenos diretores são:
6
6)cos( b
3
6)cos(
Projeção de um vetor
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v2
v1
v
u
v2
v1
v
u
Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 com v1 // u
e v2 u.
O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u
e é denotado por:
vvv
vuvuproj
.
.),(
Produto Vetorial
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O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em
um vetor.
Notação do produto vetorial: u x v.
Sejam u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2), então:
222
111
zyx
zyx
kji
vu
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O vetor u x v é simultaneamente
ortogonal a u e v.
u
u x v v
v x u
(u x v).u = 0 e (u x v).v = 0
u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o
sentido do vetor resultante.
u x v = 0 se e somente se u // v
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Se é o ângulo entre os vetores u e v então:
|u x v| = |u||v| sen
O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais
ao |u| e |v|.
|u|
|v|
Produto Misto
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Definição: Sejam u , v e w . O produto misto entre esses vetores é
um número real, denotado e definido por:
Interpretação Geométrica do Produto
Misto
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Sejam u , v e w três vetores não coplanares.
Exemplos
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1) Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e
OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC =
(2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo
e uma das suas alturas.
2)
A respeito do tetraedro de arestas OA, OB, e OC,
sabemos que OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e OC =
(1,3,2). Calcule o valor de x, para que o volume
desse tetraedro seja igual a 2 u.v.