Verkettung von zwei Funktionen … und ihre Auswirkungen auf Stetigkeit Differenzierbarkeit...
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Verkettung von zwei Funktionen
… und ihre Auswirkungen auf• Stetigkeit• Differenzierbarkeit• Integrierbarkeit
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Verkettung von Funktionen• „Bei einer Funktion f steht anstelle der Variablen x eine
Funktion g der Variablen x“→ h(x) = f(g(x)) oder f◦g
• f(x) = äußere Funktion • g(x) = innere Funktion
• Beispiel• f(x) = x³• g(x) = 5x²-6• h(x) = (5x²-6)³
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Stetigkeit
• „Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 stetig, wenn gilt: “
Also muss:1. f an der Stelle x0 definiert sein
2. Der Grenzwert f(x) existieren3. Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen
0o
x xlim f (x) f (x )
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Stetigkeit
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Stetigkeit verketteter Funktionen
• 1. Funktionen f und g sind stetig→Ist die Funktionen f in xo und g bei f(xo) stetig, dann
ist auch die Verkettung f◦g in xo stetig
• Beispiel• f(x) = ex
• g(x) = -3x• h(x) =e -3x
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Stetigkeit verketteter Funktionen
• 2. Funktionen f ist unstetig→Ist die Funktion f unstetig, ist auch die verkettete
Funktion nicht stetig
• Beispiel• f(x) =• g(x) = 3x+2• h(x) =
x
3x 2
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Stetigkeit verketteter Funktionen
• 3. Funktionen g ist unstetig→ Ist die Funktion g unstetig, ist auch die verkettete Funktion
nicht stetig
• Beispiel• f(x) = 3x+2• g(x) =
• h(x) =32
x
1
x
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Stetigkeit verketteter Funktionen
• 4. Funktionen f und g sind unstetig→Sind die Funktionen f und g unstetig, ist auch die
verkettete Funktion nicht stetig
• Beispiel• f(x) = 1/x• g(x) = • h(x) =
1
x
x
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Differenzierbarkeit
x-c
c x
(c;f(c))
(x;f(x))
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Differenzierbarkeit
x-c
c x
(c;f(c))
(x;f(x))
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Merksätze
1. Funktion ableitbar an x=c Funktion stetig an x=cDifferenzierbarkeit bedeutet Stetigkeit.
2. Funktion stetig an x=c Funktion an x=c nicht unbedingt
differenzierbarStetigkeit bedeutet nicht Differenzierbarkeit.
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Beispiel: nicht stetig und nicht differenzierbar
an c=6
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Beispiel: stetig und differenzierbar
an c=2
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Integrierbarkeit
• Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist.
a cb
Im Intervall [a,c]