Ergebnisse der Pilotusergruppe Oder: „Der durchschnittliche Vermögensverwalter“ 20. Juni 2014.
Vergleich der Portfoliomodelle Imammen.vwl.uni-mannheim.de/fileadmin/user_upload/mammen/... ·...
Transcript of Vergleich der Portfoliomodelle Imammen.vwl.uni-mannheim.de/fileadmin/user_upload/mammen/... ·...
Vergleich der Portfoliomodelle I
Manuel Molitor
Seminar Portfoliokreditrisiko
2
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Agenda
1. CreditRisk+
– Zusammenfassung– WEF– Kritik
2. CreditMetrics
3. CreditRisk+ vs CreditMetrics
4. CreditMetrics in CreditRisk +
5. CreditRisk+ in CreditMetrics
6. Zusammenfassung
3
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Eigenschaften
• Nur auf Ausfall-Ereignisse fokussiert
• Ausfälle sind Poisson-Verteilt
• Risikofaktoren Gamma-Verteilt
• Ausfallrisiko nicht an der Kapitalstruktur gebunden
• Annahme:– Ausfallwahrscheinlichkeit in einer Periode gleich hoch
für die selbe Periodendauer in der Zukunft
– Die Anzahl der Ausfälle in einer bestimmten Periode sind unabhängig zu einer anderen Periode
4
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Eigenschaften
• Die bedingte Wahrscheinlichkeit pi(x) eines Ausfall des Schuldners i– Einer Funktion von der jeweiligen Ratingklasse des
Schuldners i– Die Realisation der Risikofaktoren x– Der Vektor der Faktorladungen
• Intuition: Die Risikofaktoren x dienen die unbedingte Wahrscheinlichkeit zu erhöhen/reduzieren
( )1
( ) ( )K
i k ikik
p x p x wς=
= ∑
5
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (WEF)
• Ausfälle werden durch die WEF berechnet
• WEF dient zum Herleiten von Einzel-wahrscheinlichkeiten und der Verteilungsfunktion
• Annahmen bei einer WEF Fk(z):– Wenn K1 und K2 unabhängige ZV sind, dann ist die WEF
von den Summen K1+K2 gleich dem Produkt zweier WEF
– Wenn Fk(z|x) mit einer Verteilungsfunktion H(x) für x
( ) ( | ) ( )K K
x
F z F z x dH x= ∫
6
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Kritik zu CreditRisk+
• Exposure konstant
• Keine Migrationsrisiken
• Verliert an Genauigkeit durch Exposure Bänder
• Poisson: E[x]=Var[x] nicht empirisch nachgewiesen
• Nur für geringe Ausfallwahrscheinlichkeiten
7
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Agenda
1. CreditRisk+
2. CreditMetrics– Eigenschaften– CM2S– Kritik– Rating Agencies
3. CreditRisk+ vs CreditMetrics
4. CreditMetrics in CreditRisk +
5. CreditRisk+ in CreditMetrics
6. Zusammenfassung
8
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Eigenschaften
• Misst Korrelation in Kreditqualität für alle Gruppen von Schuldnern– Nicht direkt möglich
– Basiert auf gemeinsame Wahrscheinlichkeit von assetreturns
• Nur equity returns (Vereinfachung der Kapitalstruktur)
• Kernstück: Latente ZV
• Monte Carlo Simulation
• recovery rate flexibel
9
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Annahmen
• Kredit-Homogenität:– Alle Schuldner Kredithomogen in der gleichen
Ratingklasse• Gleiche Migrationswahrscheinlichkeiten
• Gleiche Ausfallwahrscheinlichkeiten
• Equity Preis als Proxy
• Unterliegt der Normalverteilung
10
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Eigenschaften
• Misst Ausfälle + Auf- und Abstufung zwischen den Ratingklassen
• Modellierung durch eine unbeobachtbare latente ZV yi, die verbunden mit Schuldner i ist
• wi : relative Sensitivität des Schuldners i zu den Risikofaktoren
• : relative Wichtigkeit des idiosynkratischen Risikos für den Schuldner
i i i iy xw η ε= +
iη
11
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Eigenschaften
• Schuldner Ausfall, wenn:
• Die Werte so gesetzt, dass die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit für geratetenSchuldner entspricht
wie bei CreditRisk+ definiert
Cζ
( )i i i ixw Cζη ε+ <
ζpζ
pζ
12
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
CM2S
• Restriktive Version von CreditMetrics
• Nur zwei Zustände– Ausfall
– Nicht-Ausfall
• Verlust bei Ausfall ist fixiert– Also keine speziellen Risiken in der Rückzahlung
13
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Kritik zu CreditMetrics
• Übergangswahrscheinlichkeiten basieren auf durchschnittliche historischen Frequenzen von Ausfällen und Kreditmigrationen
• Alle Firmen der gleichen Ratingklassegleiches Ausfallrisiko
• Aktuelle Ausfallraten sind gleich der historischen Ausfallraten
• Kreditratingänderung = Kreditqualitätsänderung
• Kreditrating Ausfallraten≜
14
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Rating Agenturen
• Ordinale Ranking
• Nur langsame Veränderung wg historischen Frequenzen
überschätzt die wahre W. für das bleiben in der gleichen Ratingklasse
• Durchschnittliche historische PD überschätzt die PD für typischen Firmen in einer Ratingklasse
• Wenn die W. in der gleichen Klasse zu bleiben und die PD zu groß sind
Übergangswahrscheinlichkeiten zu klein
15
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Agenda
1. CreditRisk+
2. CreditMetrics
3. CreditRisk+ vs CreditMetrics– Vergleich– Vor- und Nachteile
4. CreditMetrics in CreditRisk +
5. CreditRisk+ in CreditMetrics
6. Zusammenfassung
16
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Vergleich
– Deterministische Zinsraten
– Deterministische Exposures
– Keine Marktrisiken
– Keine nicht-lineare Produkte
Gemeinsamkeiten:
17
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
•Flexibilität
•Multi-State Modell mit Migrations-matrizen
•spezielle Risiken bei recovery rate
Vorteile
•Rechnerintensiv
•Kredit-Homogenität
•Historische Daten
Nachteile
CreditMetrics
18
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
•Sehr Computerfreundlich
•Output übersichtlich
•Analytisches Modell
Vorteile
•Exposure konstant
•Exposure Bänder->Genauigkeit
•Keine Migrationsrisiken
•Poisson->E[x]=Var[x]
->keine empirsiche Evidenz
•Keine Analyse von Daten
•pA nicht sinnvoll geschätzt
Nachteile
CreditRisk+
19
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
•Asset-basiertes Modell
•Lineares Modell
•Monte Carlo Simulation
•Normalverteilung
•Kreditmigrationen
•Spezielle Risiken bei recovery rate
•Unbeobachtbare latente ZV
•Monte Carlo Simulation
CreditMetrics
•Ausfallbasierendes Modell
•Mischmodell
•Rein mathematischer Struktur
• Poisson-Verteilt
•Faktorladungen/Gewichtung Gammaverteilt
•Keine Migrationsberücksichtigung
•Fixe recovery rate
•Hilfsvariablen
CreditRisk+
Vergleich beider Modelle
20
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Agenda
1. CreditRisk+
2. CreditMetrics
3. CreditRisk+ vs CreditMetrics
4. CreditMetrics in CreditRisk +
– Implementieren von CreditMetrics in CreditRisk +
– Exkurs: Taylor Entwicklung
5. CreditRisk+ in CreditMetrics
6. Zusammenfassung
21
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Implementieren von CM in CR+
• Ziel: Credit Risk+ – implizite bedingte PD-fkt. pi(x)
• CreditMetrics:
• Schuldner fällt aus, wenn
• ist standardnormal verteilt
( ) exp(log(1 ( )( 1))) exp( ( )( 1))i i iz x p x z p x zℑ = + − ≈ −
( )i i i ixw Cζη ε+ <
i i i iy xw η ε= +
( )( ) (( ) / )i i i ip x C xwζ η= Φ −
iε
22
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Implementieren von CM in CR+
• Annahme: Ausfall-Ereignisse unabhängig zw. Schuldern
• Bedingte WEF für Ausfälle
– Auch hier die Poisson-Approximation möglich
• Durch Integration nach x:
• Alle Risikofaktoren werden durch die Dichte berücksichtigt
( ) ( ) exp( ( )( 1)) exp( ( )( 1))i ii i
z x z x p x z x zπ π µℑ = ℑ ≈ − = −
( ) ( ) ( )z z x x dx∞
Ω−∞
ℑ = ℑ Φ∫
23
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Exkurs: Taylor Entwicklung
• Taylor Entwicklung von f(x):
– Allein mit Hilfe der Funktions- und Ableitungswerte an ein und derselben Stelle x0
f(x) mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen
( )0 0
0
1( ) ( )( )
!n n
n
f x f x x xn
∞
=
= −∑
24
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Implementieren von CM in CR+
• Koeffizient vor zn ist: unbedingte Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle im PF
– Wobei
• Übliche CreditRisk+ WEF:
0
0
( )( ) exp( ( )) ( )
!
1( ) exp( ( )) ( ) ( )
!
n n
n
n n
n
x zz x x dx
n
z x x x dx zn
µµ
µ µ
∞ ∞
Ω=−∞
∞∞
Ω= −∞
ℑ = − Φ
ℑ = − Φ
∑∫
∑ ∫
( ) ( )ix p xµ ≡∑
0
( ) ( ) n
n
z p ndefaults z∞
=
ℑ =∑
25
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Agenda
1. CreditRisk+
2. CreditMetrics
3. CreditRisk+ vs CreditMetrics
4. CreditMetrics in CreditRisk +
5. CreditRisk+ in CreditMetrics– Implementieren von CreditRisk+ in CreditMetrics– Kleine Formunterschiede
6. Zusammenfassung
26
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Implementieren von CR+ in CM
• Hier CM2S für Vereinfachung
• Bestimmen die latente Variable für Schuldner i
• xk und wik wie in CreditRisk+
gamma verteilt
• Die idiokratischen Risikofaktoren sind i.i.d., exponentiell mit 1 verteilt
1
1
K
i k ik ik
y x w ε−
=
= ∑
iε
27
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Implementieren von CR+ in CM
• Schuldner fällt aus, wenn
• Da Exponentialfunktion
• Mit
( ) ( )1
Pr( ) PrK
i i k iki ik
y p x p x w xζ ζε=
< = <
∑
( )
( ) 1 x
X Exp
P X x e λ
λ−≤ = −
∼
( ) ( )1
Pr( ) 1 expK
i k iki ik
y p x p x wζ ζ=
< = − −
∑
1λ =
28
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Implementieren von CR+ in CM
• Selbe Approximation:
• Unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit ist wie benötigt
( )1
( )K
k ik iik
p x w p xζ=
≈ =∑
( ) ( )1
Pr( ) 1 expK
i k iki ik
y p x p x wζ ζ=
< = − −
∑
1
( )1
( )K
k ik iik
p x w p xζ
−
=
= ∑
p
log(1 )
1 x
x x
x e
+ ≈+ ≈
29
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Kleine Formunterschiede
• Übliche CM Modell: latente variable ist lineare Summe von normalen ZV
• Hier: multiplikative Form– > gleiche Idee
• CM: Schwellenwerte: Funktion von
• Hier:
– >Prozess identisch
pζ
pζ
30
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Agenda
1. CreditRisk+
2. CreditMetrics
3. CreditRisk+ vs CreditMetrics
4. CreditMetrics in CreditRisk +
5. CreditRisk+ in CreditMetrics
6. Zusammenfassung– Unterschiede– Verteilungsannahmen und Funktionsformen– Abschluß
31
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
•Verteilungsannahmen
•Funktionsformen
Wesentliche
• Lösungstechniken
• mathematische Sprache
• Methoden der Kalibriation
Unwesentliche
Unterschiede zwischen den Modellen
32
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Verteilungsannahmen und Funktionsformen
• Beide Modelle: – Wahl der Verteilung des systematischen Risikofaktors x
– Funktionsform der bedingten PD pi(x)
die Form der gemeinsamen Verteilung über Schuldnerausfälle im Portfolio
• CM : NV und beeinflussen die Ergebnisse stark
• CR: Gammaverteilung und bedingte WEF– kleine Abweichung von der Gamma Spezifikaten
signifikanten Unterschied in der tail percentile Werten
( )( ) (( ) / )i i i ip x C xwζ η= Φ −
33
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
CreditRisk CM Version
• Möglich: Monte Carlo Version von CreditRisk– Vermeidet Poissonverteilung
– Vermeidet Verlust exposures Approximation
– Ermöglicht Rückzahlungsrisiken
Verliert Computerfreundlichkeit
• Orthogonalität in CR auch möglich– Mehr Vorsicht bei Identifizierung und Kalibrierung der
Sektorrisiken
34
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Zusammenfassung
• CreditRisk+ : – Ausfall-basierend; Analytisch
• CreditMetrics: – Asset-basierend; Monte-Carlo Simulation
• Keine gravierende mathematische Unterschiede
• Deutliche Unterschiede durch Funktionsformen und Verteilungsannahmen
35
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Literatur
• Gordy, M.B. (2000): A comparative anatomy of credit riskmodels, Journal of Banking and Finance, 24, 119--149
• Crouhy, M., Galai, D., Mark, R. (2000): Comparativeanalysis of current credit risk models, Journal of Banking and Finance, 24, 59--117
• Credit Suisse First Boston (CSFB) (1997): CreditRisk+: A credit risk management framework, Technical report, Credit Suisse First Boston.
36
CreditRisk+
CreditMetrics
CR vs CM
CM in CR
CR in CM
Zusammenfassung
Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!